055.专项十二-题型5

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 10:47:17

好，接下来咱们再看一下其他问题，其他其他问题的话，比如说这个配对儿问题，鞋子的配对儿问题那么大家先挑双，然后再挑不成双的，有挑单只的。是吧，然后在这里面那么如果成双的话，那很简单。乘商的话，那直接选双就行了。别选了，比如需要几双直接选双，如果要不成双的。

好，这个这个不成双的不成双，一定要它要分两步，因为它比较复杂，比较复杂，这个事儿呢，不能够一步到位，不能一步到位的话，那只能是逐步来分析，就先选双。然后再选支。啊先选双，然后再选支就行了，对吧？先选双，

然后再选支，这样就可以了。先选上，然后。在选之。好，它这样的。啊，再从这个选字，就代表从左脚右脚啊来进行选就可以了。好，那这是它的这个方法，然后公式的话，我们可以给大家写上公式，比如说n双鞋。

然后要取r双。那直接啊。直接就从cnr就行了，直接cnr是吧n双鞋，比如说有五双鞋需要三双，五双鞋需要三双，直接写一个c五三。这样就可以选出三双就可以了啊，如果要n双鞋。取r值都不成双的。取r值要不成双的，那一定要先选r双，先选r双，然后每双鞋，再取左脚，

右脚，左脚，右脚就c二一c二一c二一好多c二一相乘就二的r次方。知道吧，二的r次方就代表这个意思，就代表左脚右脚左脚右脚选一个就可以了，如果在公式弄明白同学，咱们呢来做题来分析和思考。好，那么看一下这个题，从五双不同的。号码儿中中任取四只。这四鞋至少有两只配成一双的不同区法好，那么这是也就说四鞋至少要有一双。至少遇到至少我们可以从正面做，

也可以从反面做都行，好吧，这道题大家看看它从正面做反面做都可以。也就说它四只鞋。这些那至少要有一双。那实时写它，至少要有一双。啊47那至少要有一双至少一双，那正面来做的话。正面就是相当于是正好是一双。是吧，还有两双的情况。好一双和两双情况好，如果要一双一双的话，应该怎么写呢？

一双。一张画，那相当于是从。从五双鞋里面取一双好，这一双就写好了。一双需要，然后再乘以什么再乘以剩下的两只不成双，剩下两只不不成双的话，一定要先。取两双，每双有个左脚右脚，这是两支不成双的。好，为什么要这样取咱们画个图就明白了啊？画图咱们就主要说不成双的好吧，

比如说咱们不不成双的话是。a的双鞋，左脚c的双鞋，右脚是吧？这两只是不成双的，对不对？是不是这两只是不成双？这两只要不成双，大家发现这两只一定得来源于两两双。来自两双鞋。是不是来自于两双鞋，它不可能来自三双，它就来自AC，这两双鞋里面挑的是吧？所以说从这个。

呃，鞋里面取两双提两双的话，那么每双有可能取左脚，有可能取右脚，它搭配吗？比如a这双鞋可以左脚c这双鞋可以右脚。有可能a这双鞋左脚c这双鞋也左脚是吧啊啊，也左脚或者说都是右脚或者一右一左，所以它这个c二一c二一就这个意思，懂了吧？啊，这是它的这个方法，看是不是明白了？列算的有120种。然后呢？

如果刚好是两双，刚好两双，直接从五双里面取两双，取两双就是十种，所以把这个加在一起，共120+10就等于130种方法。所以呢，应该选择c选项好，这是它的思路和要点，看是不是明白了？好，这从正面做它的这个方法好，如果要从反面做，应该什么情况反面，那就至少有一个的反面，

就一个都没有。是吧，一个都没有，就是没有成双的啊，就是没有成双的。啊，没有乘上，然后接下来我们要用总情况数总情况数有多少种情况呢？就五双不同的鞋要取四只总情况数，就五双鞋就十只鞋。啊，五双就十只鞋，十只鞋任取四只。c14是吧？就十双鞋，

然后取四只嘛，就c14就写好了，对不对？写好这总共十。实质些。取四只总的选法减去。显然，在这里面是什么？在这里面它这个。这个没有承双，没有成双，就四只全单只四只全单只的话，刚才咱们讲了也要先选四双，每一双鞋，左脚右脚左脚右脚套，

刚才讲的公式。就可以了好吧，然后这样就可以写出它的这个。思路这个呢c10等于二百一二百一，然后这个减掉这个是80。也等于130是吧？也也是130好，这是它的方法，所以这个后面这个四只都不成双。知道吧，四肢不成双，这四肢不成双鞋一定得来源四双，然后在四双里面左脚右脚左脚右脚左脚右脚来选就行了。是吧，这样的话就可以写出它的答案，

也是130好看，各位同学是不是懂了，所以鞋子配对儿问题就了解一下就行了，好吧，就成双。不成双，然后把它弄清楚，原来弄清楚写的时候就不会出错，好，这是它的考要点和思路，看各位同学是不是听懂了？你用其他方法写一个容易错，另外一个比较乱啊，就是按照这种规范的写法就可以得到答案啊。好，

接下来咱们看ctrl 2就全能元素。权益元素就身兼多职，知道吧？就是多面手，就这个意思，权益元素，它具备各种属性，但是。同一个时刻，只能充当一个角色。知道吧啊啊，在这里面它的这个内容，比如说它既能当英语又能当法语，它英法它都会，但是呢，

在同一时刻它。只能从事英和法一个。一个因为人不能够分身是吧？不能说又让干英语活儿，又干法语活儿，咱们讲了不能够一心二用，是不是这样的？所以说在同一时刻，那只能。那么，充当一个角色，所以这种问题首先呢，可以根据权能元素啊，然后来进行分类求解啊分类。分类做啊好，

这是他的做题思路。好，接下来我们看这个题，九人组的篮球队，其中七个人散打前锋。三人散打后卫，现在从中选五个人。选某人两位三分，且前分又分为左中右，后位又分为左右位，然后这里面它这个意思是选完后还要再排个序。因为比如说三个打分的，谁在左谁在中谁在右，还要排序后位，还有左右排序，

知道吧，所以在这里面大家大家这个蓝。篮球场那么前个前面三个峰。后面两个未是吧？这是风。这个是v。然后这是然后接下来我们看总共九个人，九个人的话，我们可以看出这应该有一个人是全能的，因为三+7-9正好等于一。所以有一个人，他风位和位位都可以打是吧？就是就是七+3减掉这个九啊，那一个人他都可以打。严格的我们可以分，

为什么呢？分为这个人选上啊，所以说在这里面我们看九个人把它这九个人。重新分一下吧。这几个人重新分一下，就是只会封的。所以说呢，有六个人。然后指挥为的有两个人，然后还有一个全能的。是不是就一个全全能的呀，所以只会打封的有六个人，只会打未的有两个人，还有一个是全能的。啊，

这样的，那接下来咱们就分为这几类，第一个就是全能的嗯，没选上好吧，咱看全能。按照权能分类，权能如果要嗯没选中先说没选中没选中，要简单点儿没选中。好，如果全能要没选中的话，我们看应该怎么写是吧？全能人他没没选中。选择要没选中的话，那这时候只能是从六个分里面选三个。但这三个分，

它要排个序是吧？三个分，它要排个序。然后这两个位，两个位就C2C2，然后这个位位要排个序是吧？所以c六三就从六个里面选三个啊，在分位排个序左中右。然后位位左右排个序，这样就可以写出它的结果，大家知道c六三是等于20。然后这个是六。然后这个是二。所以就等于240。好240种好，

如果要选中了。权责人选中，全责人要选，选中的话，我们可以看全责人要选中全责人，如果要选中。那这个这个权责人有可能安排在风位，有可能安排在位位，所以还要再分类，知道吧？权责人要选中选中他，如果在分位。还有可能在位位是吧？如果全人在分位的话，那分位只要再从剩下六个选两个就就行了是吧？

因为全人人已经已经当分位了。所以从只能从风位里面选两个选两个话，然后乘以三的阶层，因为三个人三人在左中右这三个位置排个序。然后乘以剩下两个位位的。来进行写就行了。好，那这c六二是15。15，15×6是90，90再乘以二，180。然后如果全人在位位，全人如果在位位分位的话，就c六三×3的阶乘。

是吧c六三×3的阶乘。然后再乘以什么呢？再乘以这个位位位权能人已经在位位了，然后位位再选一个人就够了c二一选一个人。选一个人位位，然后再加上权利人，这两个人去打位位位的话，它可以左右交换。最后最后交换，然后大家知道c六三c六三是20啊20，然后乘以一个。三啊，乘以三的阶，乘以六这120，120，

120乘以个四得到480。四点八好，这样就可以写出它的结果。加一起就等于这是420，加上480就等于900，所以共900种。共900好，这是它的答案，这个答案应该选择e选项好，这是它的方法好，这是一种方法好，另外还有一个方法。恋爱方法是什么呢？是我们可以按照岗位来分，你可以按照位位来分，

按照风位来分。都行，我按照位位分。微微，它只有两种情况，只有两种情况，无全能的。和有全能的。这样的是吧啊，无全能的和有有全能的，这样的位位好，如果要无全能的无全能的话，我们来看一下它的这个方法啊，没有全能的。啊没有没有前端没有前端的话，

那这个位位它只能是c2。乘以二的阶乘，先把位位给它弄好，这个位位是吧？没有全等的。就从这个里面选，然后注意当权责人，没选上的时候，那么这个权责人一定要当做风味来对待啊，所以说这时候风味就不要写c六二了，应该写c七二。知道吧，全能的放在风味里面，就c七二×2的阶乘这样来进行写。知道吧，

所以这样写就行了c七二，然后这个。乘以它正好等于五五十六。是吧，这样等于56好，这是无全能的好，如果位位要有全能，位位要全全能的话，就c二一×2的阶层，这个位位就写好了。对吧，微微斜二，然后这个再写分位，分位分位的话就c六三。乘以一个这个三的提阶乘。

是吧c六三啊哦，这个地方这这地方这地方写错了，应该是他需要三个人。c七三×3的节省是吧？然后给它标注一下，这是位位，这是分位。终于，他需要三个人，对吧？所以魏魏。好，这是c七三啊，七个里面选三个人是吧？七个人选三个人，

我再把这个说一下，就是魏伟如果无权人无权的话。那么就c二二就是位位，然后去左右排个序，然后呢，接下来这个圈子一定要放在分位，分位有七个人。七个人，七个人要选三个人啊，分位是需要三个人CG 3×3的阶阶层，这样就行了，好CG 3乘以这是35。三三十五三十五乘以个六是两百一两百一再乘以二。420。啊420啊，

如果这个位位要有全能的位位，要有全能的话，就c二一×2精神，然后剩下这个风位，风位的话就从六个人再选三个人，这样写好了。那大家知道c3是20，20×6得120，120啊，120啊，120，然后再乘以个四得到480。把它加载起也是共900。就420+480啊，也共900，

当然还可以按照分位。来来来，进行写一样的好吧，一样，所以这两种一样就快速写写啊，如果要无全能的。啊，如果有全能的。好无权能的话，在这里面，大家就从六个方位里面选三个，把风位先给它解决掉再说c六三×3的阶乘，这是风位就给它解解决了。然后位位位的话，注意位位的话，

就是三个人了啊，这个两个加上一个全人，三个人，三个人选两个，然后弄位位。这个后面这个是位位。然后再说c六三是二十二十乘以六一百二。啊120啊120乘以三百六三百六这样乘以二七百二。是吧，所以在这里面大家呢，就可以写出它的这个方法啊，所以计算的时候大家呢啊，算算它的数值。然后如果要有全能的，有全能风味，

如果有风味，如果有全能的话，那只直接风味，再从六个里选两个就行了。然后乘以三的阶乘，这是分位啊，因为分位它有一个全能的，然后再从剩下六个人选两个，这样三个人来进行排序。好吧，三人来排排序。然后位为c2×2的阶乘，这是位位。好，大家知道c6c六二是十五十五乘以六九十九十九十乘以二一百八。

180那么720+180，720+180也共900。共900好，那么讲到这，大家可以发现，那么以后遇到全能元素，有两个思维，一个思维按照全能元素选中没选中，而且选中的时候还要再分小类。然后大类里面再分享选中的话，它有可能在风位，有可能在位位好吧，选中的情况啊，如果第二方啊，第二方就按照他的角色这个岗位角色有无权能来分类？

有无全能的话，那这样分类就分两类就行了，要简单点儿，而且注意，如果他要没选中的全能的，然后这个全能人在另外一个选的时候一定要把它放在里面一块儿选。知道吧，放里面一起选就行了好吧，这是它的方法思路，看是不是懂了？好，接下来咱们看这个题，在一次演唱会上，共十名演员，其中八人能唱歌，

五人能跳舞，要演出一个，两人唱歌，两人伴舞的节目，问有多少种选法？这道题这道题，它在舞台上就不用再分顺序，不用不像刚咱们做的啊，那么这个。打篮球风位，它还分为左中右位置是吧？这在舞台上唱歌儿，唱歌儿它就不分谁站在左边唱，谁站在右边唱啊？这就呃不不再排序了。

知道吧，就不用去排序，所以在这里面咱们呢，就是直接给它选出来就行了，接下来我们看这道题有几个全能的啊？现在就八+5-10。就等于三，所以三人是全能的。三权的三权的话，也就是十个人，十个人变成什么情况了，变成是五个人只唱歌的是五个人只唱的。指挥唱歌的是五个人。只会跳的。所谓跳的，

就是两个人。对吧，只跳梁的，然后全能的。三人是全能的。三全能大家发现，如果全能人比较多的话啊，全能人如果比较多。比较多比较多的话，然后这时候如果按照上一题的方法，一按照全人去去分类就很麻烦，比如全人人三人家有三个全人嘛。全人现在没选中，全人选中一个，全人选中两个，

全人选中三个，那这个太复杂了是吧？然后而且全人选中还要再分小类大类，里面还要再分小类，那有必要。复杂，所以在这里面有同学说这个为什么八+5-10就等于三个全能呢？因为大家发现这个集合的问题嘛。就集合的问题嘛，看这个是唱歌的。这是跳舞的嘛？跳舞的跳舞的，大家想想那这唱歌的是八个人，跳舞的是五个人，总共才十个人嘛，

十个人，那中间的交集可能三个人嘛？33人，这个指挥唱的就五个人嘛，指挥跳的就两个人嘛，所以呃，不懂这个八+5-10的同学，那现在你就明白了，它就其实是一个集合。集合的利用思维懂了吧？好看，这个是不是明白了？好，那接下来如果按照全能选，我给大家写写，

特别麻烦，弄不好就会出错啊，全能就没选中。没选中到好写，然后选中一个。选选一人，选一人还要看这个人是安排唱歌还是安排跳舞，知道吧，然后还要选两人。啊，选两人的话，你要看这两人是都去唱歌还是都去跳舞，还是一唱一跳是吧？还是一唱一跳？是吧，

一个人唱歌，一个人跳舞，那太麻烦，还有全人选三个人。选选三个人，到底哪两人跳舞，哪两人去唱歌啊？或者说两人跳舞，一个人唱歌。或者两人唱歌，一个人跳舞。是吧，反正这个这个太麻烦，太麻烦，弄不好就会出错啊，

咱们就抛弃这个方法好吧，如果全人比较多的时候，按照全人分就比较麻烦，咱们按照岗位来进行写。更加容易是吧？按照岗位费，按照跳舞来分，按照唱歌来分都行啊都行，所以在这里面咱按照按照这个，我把两个方法都写，按照跳舞来分。跳舞来分，跳舞来分，要么就是无无全能的。啊无全能，

要么一个全全能的。要么两个全全能的。是不是这样的，因为跳舞总共就两个人嘛，跳舞总共是就就两个人嘛，就选跳舞的，两人唱歌，两人跳舞嘛，只选。两人跳舞的，两人跳舞的话，那不就最多就两个圈在那？好，那接下来看一下啊，如果要无全能的啊，

如果要没有全能没没有全能怎么办呢啊？没没有全没有全能的话，那我们呢？这个跳舞只能是从只会跳两人来去选去跳舞，这是跳舞的就选好了。是吧，因为这两个跳舞也不用在舞台上，左右排序就不用再乘以二的阶乘，知道吧，跳舞的就弄完了。然后唱歌的唱歌的注意，如果全人要没选上，把全人全当做唱歌的去弄啊，就c8。二知道吧z8，

然后这个就得到28种。然后如果要有一个全真去。去跳舞，一个选项就是c二一c二一。啊c二一c三一。就这这个跳舞的，这这前面这个代表跳舞跳舞就是c二一就选一个跳舞的，然后从全能人再选一个c三一就是从全能选一个好，这两人去跳舞就行了。跳舞弄完以后，然后剩下的呢？我们呢？剩下的那么还有只会唱歌的五个人注意，还有两个全人没选上，总共是七个人啊。

七个人，七个人选两个。现在选两个，这样就可以了。好，这个算就等于二百一一十六。好吧，就得到是二二百一六好，这样就写好了，好看这个是不是明白了？啊一百二六对吧啊一个一百二六。啊，126好，那这个写出它的结果了，然后两个圈子呢，

我们来看两个圈子，两个圈子的话，那相当于从三个圈子人选两个圈子呢去跳舞。是吧，从三个圈身选两个圈身跳舞，然后这时候唱歌的五个人，再加上还有一个圈身没选上的六个有c六二。这样就写好了，然后c三二就得三三×15。得到45。啊，得到45，然后这样就可以写出它的结果。好吧，看看这个是不是明白了啊？

所以前面这个就代表是跳舞的，后面就代表了唱歌的它的选法。好，这个共就199。共199种好吧，把这加在一起，当然呢，有同学说按照唱歌来分行不行也可以按照唱歌分啊，唱歌分的话就相当于是没有全能的。啊，无全能的。啊，一个全能的。和两个全等的。都行好，

如果唱歌的要没有全能的，没有没有全能的话，那相当于是从这个五个唱歌里面选两个去唱歌就行了。剩下剩下都会跳舞，都跳舞这三个圈子呢，加上指挥跳的两个人总共是五个人，五个人选两个去进行跳舞。所以前面代表是唱歌的，后面代表跳舞的，这算是等于100种。如果要有一个全能的去进行唱歌儿，所以c三一c五一。知道吧c三一就选一个权益人去唱歌，然后c五一从五个选一个去唱歌，两个唱歌就弄好了。

然后剩下的两个跳舞的和两个没选上的全能人，因为三个全能人只选走了一个，还有两个全能没选上，从四个里面选两个去跳舞。c12去跳舞，然后这样就得到是90。啊，这样得到90，这样写好了，然后两个全人两两个全人c三二两个全人去唱歌，两个全人去唱歌。然后剩下剩下有跳舞的两个人，加上一个全能人啊，没选上全能人，所以总共三个人，

三个人呢，那么去再去选两个跳舞。所以得到九所以把加在一起也是共199种。共199种答案是一样的好吧，它的方法答案是一样好，这点答案应该选择e选项好，这是它的做题要点和思路，看是不是懂了？好，那通过这个题，大家就告诉我们，如果权利人要多的话，那么按照岗位的角色来分，稍微简单点儿。是吧，

如果权益人比较少的话，你可以按照权益人选中没选中分，当权益人选中的时候，大类里面还要再分小类，这个权益人怎么去安排？是吧，那最后还要再分，所以大家要弄清楚好吧，这两大思维都是可以的，看各位同学是不是掌握住了？接下来咱看图色问题。图的问题一般相邻区域呢，是不同色，每个区域只能涂一种颜色，按照题目说给它涂按顺序，

将每个区域涂好就行了。那图色呢，总共有三类啊。有三大类涂色，三大类涂色的方法都一样，所以咱们就呃没有一一给大家讲一个是点的涂色。点的图的就像啊，咱们这个这个图形上有若干个点。是吧，比如说这个这个有若若若干点若若干点的话，比如说它它组成这样的。啊，这有若干点。abcd.四个点，

所以呢，它要求相邻的点颜色不能一样，比如a点要涂红色b就不能涂红色d，当然也不能涂红色了，就跟a相邻的。这个点都不能涂红红色，就点的涂色。点涂色，第二个就是线段涂色。比方说，比如说AB这一段儿BC是一个线段CD是一个线段AD是一个线段，那相邻也不能同色。比如说AB这个线段涂的是红色。红色那跟它相邻的就不能再涂红色了是吧？这是线段涂色，

还有这个区域涂色就面儿的涂涂色。它分为几个区域是吧面儿的图色，面儿图色就像咱们地图一样是吧啊，比如说啊，一个城市它分为几个行政区。然后给它进行涂涂色是吧？这三类它涂色的问题要掌握住它出的问题都是每个区域只能涂一种颜色啊，相邻的它不同色。知道吧，就每个对象。只一种颜颜色，只一只一种颜色，不能说这个，这个点我给它涂两个颜色，或者这个线段。

涂两下，或者这个面儿。这个区域这个面儿给大家进行涂两个颜色，那不行，每个对象只能涂一种颜色，而且相邻的是不同色。相邻的颜色是不能一样的。另外，大家还要注意什么颜色可以重复用。颜色它可以重复用，比如说什么比如红色，用完以后那这个还可以再用红色，比如AB用完红色CD还可以再用红色颜色，它可以重复用。好吧，

所以要注意它的这个要求和特征。好，那接下来咱们看点儿题。好，那看这个题啊，用六种不同颜色给图中四个格来。涂涂色啊，比如说这一二三四四个格儿来涂色啊，每个格儿只能涂一种颜色。相邻的两格儿颜色不同，并且两端的颜色也不一样，一跟四两端颜色也不一样，那么不同的图的方法有多少种？啊，那么在涂色的时候有两大方法，

知道吧？有两大方法。方法一，方法一，就是根据颜色的种类来分类讨论。各类使用颜色种类，比如说用两种颜色还是用三种颜色？是我们颜色的种类。来讨论，比如说我要涂完这个，是不是用两种颜色就可以把它涂好啊？两种颜色或者三种颜色把它涂好。方法二，方法二呢，就相当于是啊，

逐块儿区域图。逐块涂一般逐块涂了，大家好想是吧？因为按照颜色种类分，有时候会漏掉，知道吧？比如说用用两种颜色来涂这个去。有多少种图法用三种颜色的图，用四种颜色的图有多少种图法？是吧，有时候呢，容易出错，所以咱们就可以逐块儿来涂，逐块儿涂，比如一涂完后涂二再涂三再涂四，

但有时候呢，要出现这个分类讨论，知道吧？要出现这个分类讨讨论的情况。好，那接下来咱们看一下一这块儿一这块儿的话，它有因为六种颜色嘛c六一这是一号区。是吧c6e。然后二号区域呢，就c五一。二区就剩下五种颜色了是吧？剩下五五种颜色来来进行涂。对二号区域。然后三号区域。啊，

三号区域，它跟二号不一样，三号区域，它跟一可以一样，也可以不一样，但三号区域大家注意。三号区，它会影响四号区，一号区也会影响四号区，如果出现出现两个都影响同一个东西的时候，这叫分类啊，这叫分类，所以有同学不知道什么时候需要分类。比如说这四号区受三的影响，四号区还受一的影响，

因为它要求啊，两端的格子颜色是不一样的。啊，它有这个要求，有这个要求，咱们要分类分类就三跟一要同色，三跟一要同色，三就不用再选了是吧？三与一要同同色。三就不用选了，三没有，比如说三就一种方法，也当然这个一可以省略掉，比如说一要涂的是红色，那三也涂红色就行了，

它跟一的颜色是一样的。然后乘以一个啊，乘乘以一个乘以一个，这时候四号区域四号区域，它就是它就是啊，有五种方法了，对吧？它只要跟三不一样颜色，因为六个嘛，六个去掉一个就是五种方法，这是这个，这就是四号区域。加上如果三跟一要不同色，三跟一要不同色，再到三跟二不能同色跟一不能同色六种颜色去掉两种去掉两种，

它只剩下四种。就三号区域，它与一要不同色。不能，它就去掉两种，还剩下四种，然后这时候那么四号区四号区四号区它跟三不能一样跟一不能一样，所以六种颜色它有。有两种不能用，所以它只有四种情况下可以用。然后这样的话就是30乘以个。啊，这是16+5得到21。就等于630种。好，

最简单应该选择e选项好，这是它的方法好看，这个是不是懂了好吧，按照它的这个区域。逐逐个涂涂的时候，如果发现有两块儿区域影响，同一块儿时候就分类讨论好吧，若出现。有两个。影响同一个。就分类讨论。就分类型的分成分成同色和不同色两两种情况。讨论一下就行了好吧好，这是它的这个基本方法思路，看是不是懂了？

好，那接下来咱们看这个点的涂色是吧？这这个刚才上面其实考的面儿涂色，那这个题考察点的涂色。好，我们来看这个题，将一个四棱锥，四棱锥如果不懂的话，它给画了一个图是吧？就上面带个尖儿。它这个有四个棱啊，然后给它每个顶点染上一种颜色是同一棱的两端点意思。异色异色就不同色，就是在相邻的就是不同色，现在只有五种颜色可以供使用，

问不同的染色方法有多少种？啊，那其实这道题也可以把它变成一个平面的，知道吧？这是一个立体的啊，立体你可以把它变成平，把它变成把这个四动锥上面顶点给它压到下面来压下面呢，其实就变成这样一个。东西了好，这是p点。是吧啊，这是s点。然后这是abcd。是吧，把它压下来是吧？

压下来就变成这样的一个一个情况了，对不对？把它压平了。对吧，上面给它变平了，当然你不变平也没事儿是吧？大家可以发现s是不是跟四个点都相连，所以一定要先投谁啊？先头它跟各点都相连的中心，这个点先给它涂好。是吧，中心那个点给它涂好就行了。所以s点图的话就c五一。这s点图啊，就c五一。

啊ss点就涂好了，所以呢，接下来按照abcd慢慢涂呗是吧？按照abcd啊慢慢涂就行了。好，再涂AA的话，还剩下四种颜色，可以选这个a。对吧AA跟s不能一样吧，然后再看b啊，再看b啊BB的话，那么这时候呢也剩下。因为b跟a不能一样b跟s它。不能一样是不是？然后这个b呢？

还剩下三种，它可以选。然后再看c。c的话，它不能跟s一样，不能跟b一样c可以跟a一样，但大家发现一个什么呢c会影响da也会影响d。你你看到没有它a它会影响DC，它也影响d，刚才咱讲过的，这时候要。讨论c跟a同色和c跟a不不不同色，如果c跟a同色c呢？只有一一种方法就c与a同色。它只有一种方法c跟a它同色嘛，

它只有一种方法，然后这个dd的话就去掉a的颜色，不能用去掉s颜色不能用，所以五种就去掉两种不能用，所以它还剩下三种。ds三点三的加上。啊，加上加的话，然后在这里面，大家可以看c跟a不同色的时候c跟a不同色的时候c跟s颜色不能用c跟b的颜色不能用c跟a的颜色也不能用，所以说五种就去掉三种，所以c。它如果与a不同色。不能说啊，它只剩下去掉三种，

去掉三种，它只剩下两种，这时候再看d，因为d跟a不能一样d跟s不能一样d跟c不能一样。所以五种颜色也要去掉三种，去掉三种的话，只剩下两种可以选。好，这样就写出来了，然后这样话就很好算，然后前面是60。乘以个这个七就等于420。这个呢，应该选择d选项好，那这个给大家讲了面儿的涂色和点的涂色好吧，

线段涂的也一样，比如说这有线段儿是吧，按照这个线段儿来来来进行涂。是吧，那这个思路差不多好吧，咱们就讲了面儿涂色和点的涂色。线的图册没给大家举例题，那就是一样的，去分析就行了，比如说这有几个线段儿，相对于线段儿颜色不能一样。让大家来进行涂好吧，所以只要遇到有两个都影响同一个，这时候呢，大家就分分类分分类来写，

要不分类的话，它容易错，没法写。知知道吧，这它的这个做题的方法。好，接下来咱们来看一下整体思路来进行求解，对直接不好分析，看的比较麻烦的题目，将题目进行转化，这个转化很重要。就有点像咱们在求一些复杂面积，几何面积的时候，我们也可以把图形呢进行转化，转化化归转化策略是从数量少的慢慢寻找规律，

得到数量多的。计算方法就我们在学习的时候也这样的，先学简单的，数量少的先弄明白，弄明白后，然后再找复杂的。是吧，这样话就可以写出来。好，那接下来咱们看一下它这个怎么去转化？25个人排成五×5的方阵，现从中选三个人，要求三个人不在同一行，也不在同一列。啊，

注意这个是企业有同学说想从反面做反面的话，那有必要吗？反面这个企业就会变成货啊，就三人不在同一行，且不在同一列，所以有同学想从反面。反面又变或反面又三人同行或者三人同列。知道吧，所以在这里面它的反面反面，在这里面就就三人呃，反面也不是三人都在同一行啊，也不是三人都在同一行，所以反面很复杂。反面。反面不是三人都在同一行，

或者三人都在同一列，不是这个反面应该是至少有两人在同一行，或者至少有两人在同一列反面，它这个特别麻烦的反面，所以说别成反面做了。反面就三人中，至少有两人。同一行。或者同一列。当然，它包括三个人都在同一行或同一地的情况，但是反面太复杂，咱们就别从反面做了。好，那这个是五×5的方阵，

三人不在同一行，不在同一列，这什么叫划归啊？或者是咱们先想这三人不在同一行同一列。就是逆向思维，从这个地方入手，三人不在同一行，不在同一列，肯定三人要出现三行三列。是吧，三三人肯定要要占据三行三列。是吧，所以上层肯定，比如说这里有三行，咱先不说五行了。

是吧，肯定要占据三行三列三个人是吧？三人占三行三列，但是咱们一行行的来来写。第一个人在第一行，他可以写个c三一。是吧c三一。啊c3c三一比如说第一个人，他选的是这儿第一行，那第二个人，第二个人他他这不能站在中间了，他只能站在前后前后啊，就c二一。c二一比如说它站在这儿c二一。12页，

然后接下来接下来最后一个最后一个应该只能c1最后一个只能站在这儿是吧，只能站在这儿，所以说在这里面他就写好了。是吧，这是啊，假设就是三人不在同行同列啊，它的这个简单数量少的数量少的先给它弄明白。就三行三列。这样的情况，三到三列先给它弄好，那么然后再再考虑这个五×5的方阵，五×5^2阵就从从这个五行里面取三行，从五列里面取三列就行了。所以乘以个c五三c五三。这样算就等于600。

相等于600好，这样答案就选择b选项好吧，就在这个就相当于从五行里面取三行，从五列里面取三列。这个能懂吧，这样的话就产生了三行三列，如果不懂的同学，我再给你举例子，比如说原来是。啊，原来是五行一二三四五。一二三四五。啊，这样的啊，这样的这样的话，

大家可以看到，那么它的思路是什么什怎么转化从这里面任取三行？好任取三列。三列好为交叉地方，为交叉的地方就咱们这个三行三列知道吧，所以说不懂同学就相当于是。c五三×c五三实际上从五行里面取三行。从五列里面取三列为它交叉位置，交叉位置这些。交叉位置的。为交叉位置，为交叉位置正好就是三行三列，看到没？正好就三行三列，为交叉位置嘛，

交叉位置正好三行。三列是吧？是不是就三行三列为交叉位置，所以这个交叉位置三行三列，三行三列以后，然后再从这里面再取三个人？就这个意思是吧？就取三个人，所以说咱们只不过是逆着想，逆着想先考虑三行三列，三行三列，然后取三个人弄好了，弄好然后再从这里面来进行选。就可以了好吧，这是它的这个方法思路，

看是不是懂了？得到600当然有的同学呢，做这个题做重复了，多算了多算了，你看问题出现在哪儿多算？啊，有同学还是先从三行三列里面来写三行三列里面来，写的时候它就相当于是先从有同学是九个人一块儿取，从九个里面挑一个。重取个零，它没有逐行去选啊，所以做这个几行几列一定要逐行去选，或者逐列去选，知道吧？所以在这呢，

如果如果有同学说从九个里面挑一个啊，这个在九个里面，比如说这不是九个吗？九个随便挑一个，假设挑的是是这个地方。挑挑这地方挑这地方，那么第二个挑的时候。第二条的时候，第二条的时候，那么这一行这一列就不能选了，对不对？这一行这一列肯定就不能再选了，不能再选，最后还剩下四个。对吧，

因为你把这一行给它去掉，这一列去掉，那还剩下这四个，这四个有同学说再选一个乘以c4亿。再选一个，比如说我们选的是这个。只要选择这个。只要选这个呃，选这个就是这个选这个，然后再把这一行这一列去掉这些去掉那最后一个只能是c1。乘乘c1这，然后呢？最后还是乘一个c五三。税务三税务三税务三原理一样，还是从这个五行五列里面取三行取三列出来。

但这样做为什么会多了？为什么会多了？因为什么？因为它从这里面就犯了重复企业。什么情况？比如说那么c九一取的是甲，这取的是乙，这取的是丙一个c九一取的是丙。这其实是。甲这个取的是乙，它会出现重复，因为c9c9有可能取先取这个数，有可能先取这个数。有可能先取。这个数对吧？

c九一它是随便取的，随便取的，咱们讲了怎么样避免重复呢？这是一个错误计划啊。怎么避免成为一定要取样时候把它隔开？隔开，比如说我们为什么要逐行取，逐行取它就隔开，比如第一行取，后面第二次再取的时候没有涉及到第一行。隔隔开隔开，它又不会出现重复，知道吧，一定要隔隔离开。所以第一次从第一行取。

第二次就从第二行取第三，从第三行取它样本呢，隔离了隔离就不会出现出现重复知道吧，所以大家不要犯这样的错误。好，这给大家强调了这个内容。当然，有同学说，老师，我当时没想到先弄成三行三列曲，从直接从二二十五个里面从这五行五列取行，不行也可以，但是从25列取，还要注意这个样本呢，一定要隔离开，

要么就逐行选，要么就逐列选。好吧，你不能说从25个先取一个人，剩下再从16个里面再再取一个人就会出现，刚才咱们说的重复啊，有同学说从25里面取一个取一个去掉这一行这一列。剩下16个人，再再取一个，所以另外的一个错法。有没有同学这样写c2十五一从25个里面挑一个挑一个，然后去掉这一行这一列，还剩下16个16个里面。然后再取一个，再取一个，

然后再去掉这一行这一列，然后再从剩下九个里面取一个，这样的话就会是多算了很多是吧？知道吧，这就会出现错误啊，出现错误好那么正确的话，你可以把它弄成三行三列来取取，然后然后再。乘以c五三c五三，如果想不到的话，也可以从这25，25要取的话，那正确解法就这样的。好比如第一行，第一行我们。

我们取。呃，取一个，但是但是现在问题出现在哪儿你知道吧？问题出现在哪儿？因为有可能有可能他没选中第一行，知道吧，所以说在这里面你还要去讨论，所以还得写c五三。嗯，孩子要写CPI，因为因为他这个他这个人他有可能第一行没取到，有可能是取第二行。是吧，有可能取第二行。

所以在这里面还得写c五三c五三就相当于是还得从。五行里面取三行出来是吧？五行里面取三行出来。是吧，还跟刚才一样，然后从五列里面取三列出来，然后第一行取一个，第二行那么这时候呢，第一行取一个。第二行那么就取一个，第三行就一个，所以跟刚才的道理差不多好吧，倒倒倒也差不多，这样就写好了。当然，

如果啊，有同学说这个觉得这个除呃错法错法除一个三的阶乘行不行，除以三的阶乘可以。除了商人阶层是可以的。为什么处于三的阶段嗯，可以呢？因为。因为你这个重复正好重复了一个排序，消个序也行，消个序也行，或者说你这样写也行，就c2十五一。c十六一c九一除以个三的阶乘，这算了也等于600。好吧，

算的它也等于610样的啊，一样好吧，这样一些或者把上面这个除以三的间的一些，因为它除它正好多重复了一个排序甲丙的一个排序。知道吧啊，这样是他的做题方法。好，这是看这个题是不是明白了啊？如果如果明白了，我再给大家改一个题，看能不能做对，别到时候这道题感觉听懂了是吧？这道题听懂了，然后换个题又不会了。比如说呃，

从这个里面选四个人，四个人不在同一行，也不在同。普通一列，那么怎么做是吧啊？改成选四个人。啊四人，他不在同行。同意率啊，各位同学都加油做做。四个人不在同一行同一列，想想。那应该怎么分析？好，那这时候大家可以呃，

听懂刚才咱们咱们先写四行四列。这个大家一定要逐行去写啊，一会儿给大家讲到这里写一个注意事项，所以在这个写方的时候要逐行去写。知道吧，逐行逐行去写。当然，你不着想写不着想写，然后这个写完了，除一个四的阶乘也行，但有时候呢，它没法除，像这道题还好，这道题它正好是。嗯，

是排了个序除啊，最佳方法就是一行上写，比如第一行是c4亿。d项ccc甲要选的是这儿，那第二行第二行这个位置就就不能选了，只剩下c3e。c三一c三一，比如说它取的是是这个地方取的，这地方好，那下一行只剩下两个可以选了c二一。12页那最后一个啊，比如说这这个这个选的是是这个位置选在这个位置，那下一个只能选择这c1。c1然后乘以一个乘以一个，因为它总共是五行呃五列，

所以说再乘以c五四c五四。就可以了，好看这个是不是懂了？好吧，就看这是不是不是明白了啊，所以在这里面就c四一c三一c二一就这样的一个式子。是吧，然后在这里面就第一行，第一行它选选一个有四种情况，第二行选一个有三种情况，这一行选一个有两种情况，这一行。就剩下一个了，然后乘以c五四c五四，大家知道c五四是五，

这也是五，这是25。好，25×4是一百一百，然后再乘六也是600啊，答案也是600啊，这样的懂了吧？这个它的方法。思路啊，或者说啊，你整个选整个选，把它看成五行五列，整个选五行五列，那第一次选就c二二十五一，第二次选就c十六一。

c七九一，然后这个c四一这时候要除以四的阶乘也算也可以。也可以啊，算了，也是600好吧，600。这样的看是不是懂了？好，这是方正，方正的话就给大家先写一个好吧啊，遇到这种方正。然后选不同行不不同列。不同行不不同列的问题的时候，我们这时候应该怎么办呢？应该逐行或者逐列去分析。

分析就可以了，逐行或者逐列分析，这样就可以得到结果好了，那这是给大家强调的做题要点和方法，看各位同学是不是听懂了？好，那接下来我们看这个题，红黄蓝色球各五支。它以标有abcde五个字母。从中取五只，总共多少个球啊？总共15个球对吧？15个球，因为红有五个，黄有五个，

蓝有五个，总共15个球，15个球。从中取五只。要求各字母均有字母都得有，而且三色要齐全。就字母要全，颜色也要全，问有。多少种不同的区法。这这道题注意，这道题也不要从反面做，因为这个企业它的反面就是货，货的话也挺麻烦的，所以大家从正面做就行了。

就字母它都得有。而且颜色要齐全，就是颜色要进行齐全就红黄蓝，它都都得有。红黄蓝都得有，大家想一想，那么那应该是什么样情况是吧？有时候要取五只球。五只球，那么它的颜色都得有。30多页，30多页，要么是什么？要么就是。就是两红。

两个黄。一个蓝。是不是你看当然它可以排个序了啊啊，排个序，比如说这个两个黄两个红。一个蓝，或者说两个蓝。两个红，一个黄，这样也可以，是不是这样排个序？还有一种就是三个红。一个黄，一个蓝。当然，

它也可以排排个序啊啊，也可以排个序，比如说啊，三个蓝。一个黄一个红，这样也行是吧？也行，反正就是就是这样的，它可以排序，咱们一个个来来写，所以先把它这个按照颜色来给它列一列。颜色列，然后再列字母好吧，再列字母，所以先列颜色再列字母。

这样的好，如果要两个红，两个黄，一个蓝，一个蓝，那么在这里面大家可以发现。发现然后这个红红的话，到底是哪两个字母是红红球，比如有可能是AC。也有可能是BD是吧，所以说在这里面有c五二。c五二c五二代表什么意思呢？c五二就代表是？c五二它代表是从这个字母里面选两个去红红球。是吧，

然后这样的啊，这样的一个情况。是吧，然后这个c12c12。啊c12。啊，它这样的情况c12啊啊啊，这个c12是吧？因为还剩下三个字母啊，因为总共五个字母，五个字母从五个字母选两个，选两个给它弄红红色。然后c12c12，然后这个就是。从剩下两个那种黄色。

是吧，然后剩下这个就蓝色就可以了。蓝色就OK了，是是不是这样的情况啊？这样就写好了。好下掉了，然后接下来我们看它有三种情况啊啊，有有有三种情况，所以还要再乘以三。零三是哪三种情况呢？比如说这个有可能是一个红，这有可能是一个黄。啊，一个黄是吧？就就就这样的，

因为什么？因为两黄两红跟一个蓝。它在颜色上是一致的，知道吧？所以说大家这样不要乘以三的阶层啊，乘以三的阶层就错了，知道吧？乘以三的阶层它就错了。它区别区别在在这个蓝色上，它的区别在这儿。知道吧，在这不要乘以三三的阶乘，因为什么？因为因为这个两个黄。两个红。

跟一个栏，我再把这个说说吧。啊，两个黄，两个红跟一个蓝，它是一样的啊，它一样那有同学说这个这个球它不一样。就不一样，咱们在选的时候已经任意选了呀，你任意因为c五二就任意选选的呀，所以说在这里面就再强调两个红，两个黄，一个蓝跟两个黄，两个红，一个蓝，

它是一样的。知道吧，一样的，所以说这时候呢，你这这种情况就不要去考虑了。不要去考虑，所以说这个时候就一个红一个红的话，比如说这是两个黄。两个蓝。或者一个黄一个黄的话，就是两个红，两个蓝。所以它这也是有三种三种呢，这个三就在就代表这个意思，懂了吧？

然后接下来三个红，一个黄，一个蓝。腮红一个黄一个蓝，这一黄一蓝，它也是一样的，也也一样一样话，然后在这里面，那它就是这时候呢，就分为三个黄。和三个栏。然后这个这个这时候就是一个红一个蓝。这时候是一个红，一个黄。它也乘乘以三是吧啊，

也乘以三那么这时候它写怎么写呢？这时候这时候它写。那写的好，那么红的红的，那再选那就c五三c五三，然后这个黄的就c二一。蓝的就是c1，最后呢，再乘以个三。等于三这样就写好了，好，那接下来咱们算一下它的值。上面这个就是等于一个90。下面这个就是一个60。加在一起共就是150。

把这两个加在一起，90+60=150这样呢？应该选择c啊，这是他的做题方法思路啊。好，这是它的要点，所以大家要注意什么样重复什么样，不重复别弄错了。或这道题要觉得不好理解的话，那么还有一种还还有一种方法，还有一种方法就是相当于把这abcde五个字母呢分堆。分成三堆，分成三堆，然后再交给三个人，就三种颜色，

再交给三个人，这样的话你就可以排序了是吧？所以我们可以或者另外一个方法，另外一个方法就是abcde。分成三堆。分三的话，那咱们讲过可以按照什么按照二二一来分是吧？然后可以按照三一来分。好，如果按照二一来分的话，二一来分的话就可以写成c五二c三二c1，这时候要除以二的阶乘。是吧，咱们讲过分堆嘛，比如说五个人分堆，

如果这两个这两个是一样的啊，分堆。分类分类，然后最后呢，再乘以三阶乘以三阶是什么就交给三个人，这三种颜色就相当于三个人。知道吧，三个人或者三个不同的组是吧？就三组是不同的，这后面就相当于是颜色。那颜色问题是不是这样的一个方法好看？这个是不是懂了？然后这个算出来等于90。然后按照三一分三一，这两个一可以省略直接写一个c五三是吧？

c五三你要写c二一c1还要再除以二进制，咱们讲过都是分。在分堆的时候，如果都是一的话，它可以省略那省略，然后这时候再乘以一个什么三段阶层，三段阶层仍然是给它弄颜色。是吧，那颜颜色这三种颜色就相当于三个不同的组名儿，知道吧？在分组啊起不同的名字。知道吧，弄成不同的组就行了，好，这是它的这个内容方法。

好，这个共。90+60就等于150。九列加60就等于150好吧，这样也行，所以相当于是啊，要么就按照颜色先从颜色的角度来来进行写。啊，把颜色分好，颜色分好，然后再分这个球，这是第一种写法好吧，先按照颜色分，分完后，然后再给它安排球。

因为咱们这个球是任意选的，任意选的话，所以说那么前两组就不要再排序了。啊，这一样，这后两两组它就不要再排序了啊，这是一种先先按照颜色讨论，然后再分球。第二种情况是我先按照求。分成三堆，分成三堆以后，然后再给它涂颜色，再给它安排颜色，安排颜色的话，就乘以三的阶乘就行了。

所以在求分堆的时候，按照咱们前面讲过的，有几组相同就除以几的阶乘来进行写就可以得到答案。好吧，这是给大家强调做题方法和思路，看是不懂了，反正就这些思维稍微难一点儿，复杂一点儿，大家呢，再琢磨琢磨，比如说可以改成比如说以后。改成五个球，或者把这五个球改成四个球，四个球呢，有三种颜色，

那么那应该怎么分是吧？一样的思路和方法，看各位同学。是不是听懂了？

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