054.专项十二-题型4

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 10:47:04

好，那接下来咱们看题四啊，位置和元素情况，一个位置和多个元素情况就观察元素与对象，我们采用不同的策略。啊，不同策略，首先咱们看一下分房问题的特征，分房问题的特征，分房问题有一个房间可以容纳多个人。这个房间可以把它看成坑，就像一个坑可以种多个萝卜。啊，一个坑儿可以种多个萝卜。但是呢，

每一个人只能去一个房间啊啊，不能说把一个萝卜给它切成啊几部分，然后每个坑装一点，这是不可以的，比如说把一个萝卜给它切开。这个萝卜是不能分的是吧？不能说把一个萝卜切成几份，那个坑呢？放一点，那这是不行的。啊，就像咱们人不能够分身是吧？人实际上说分身乏术是吧？然后呢啊，人不能分身？

啊，这个意思好吧，所以这个给大家讲分房问题，它的特征你要弄清楚，分房的话就一个坑儿，可以种多个萝卜，当然像有的房间它也也可以是空的，比如这个坑儿，你不种萝卜也没事儿，也可以种多个萝卜，就像任意种。知道吧，任意做，然后接下来我们看一下它的这个内容啊，那么一定要先观察什么先观察。

元素和对象的这个情况，元素对象元素不同，对象也不同，而且对元素呢，没有任何限定，就这个元素呢，可以把它看萝卜。这个前面呢，可以把它看成萝卜。然后对象呢，可以把它看成一个房间。或者看成一个坑。是吧啊，看成这个坑吧。好，

那接下来再看元素不同，对象不同，那对象呢？它没有限定啊，这个没有任何限制，随便可以弄，这时候可以。可以使用方密法，方法就像这个坑啊，可以是空的，也可以放东西，没有任何限制好吧，这叫方密法。然后元素不同，对象不同，

对元素它有限定。啊，对元素它是有限定的，有限的话，那如果发现它是有对应关系，比如说啊，萝卜跟坑有对应关系，比如三号萝卜必须放在三号坑。是吧，四号萝卜放在四号坑，就像咱们前面讲对号和不对号来进行分析啊，如果元素不同，对象不同，对象有限定。且分组中有相同的数量，

一定要先分堆后分配。是吧，就相当于比如说把萝卜啊，那么分分成组。分分组就分堆分组，分组完后，然后再往坑里放，再分配就可以了，好吧，这是它的内容。然后第四个就元素不同，对象相同，对象相同，就是坑是一样的。坑一样，

那只分组就行了，不用再排序了，因为坑它是一模一样，往坑里放的时候它没有区别，它一模一样的。然后第五个元素相同对象，它不同元素相同，它对象不同，那么大家呢，先满足数量后。在隔板，因为咱们隔板要求至少有一个，但有时候呢，隔板法它呢，这个呢，

它不满足这个数量要求，不满足数量要求呢，我们呢，就先调整数量，然后再用隔板法就行了。啊，如果元素相同，萝卜相同，对象也相同，这只能是用穷举列举法做好吧，列举法就别给写错了，得用列举法来分析。好在这里面给大家进行列一个表格好吧，列个表格，这样大家看的更清晰一点啊，

看的更清，先看这个元素是否相同？然后再看对象是否相同。啊，然后接下来我们来看一下。啊，如果元素不同对象，它这个要不同的话，要看它有无约束条件。它有没有要求其他要求好，如果它的没有限定用方密法做就行了啊，没有限定，如果有限定，而且它有个对应关系，那么就对号和不对号。

然后有其他数量限定，有其他数量，比如说这个数量限定，比如说至少呀，至多呀。或者其他限定这个一定要先分堆，然后再。往坑里放，再排序就行了。然后元素不同，对象相同，这时候呢，就是只分堆，不用分配，就无论它有没有要求这些空的，

这个这个代表是无论是否有要要求，无论有无要求。它都这样的啊，无论它有要求，它都这样的。无论有无要求，它都是这样的一个情况。然后它这个元素相同，对象不同，它这个情况啊，元素相同，它对象不同，然后这个每个对象至少有一个就用非空的隔板法。如果它这个可空对元素无要求，是可空。

可控，咱们用隔板可控法好吧，可控的这个隔板法来做啊，如果元素相同，对象不同，如果它数量超过一。数量要超过超过一定要先调整数量再隔板，这几个都是隔板法。这几个都是隔板法，最后呢，元素相同，对象相同，无论有无要求。没有要求，都是用列举法求形法，

列举法就可以了啊，用列举方法来进行分析和思考，这样就可以了，好，这是它的方法思路，看是不懂了，大家呢，要把这些方法掌握好，不要混淆了，知道吧？好，那接下来咱们看里面题，首先咱们看一下方密法，方法就允许重复排列问题的特特点就是以元素为研究对象。元素不受位置约束，

可以逐一的安排，一般n个不同元素没有限制安排在m位置上，它的排列mn次方，比如说咱们这n个人。有m个房间。也就说它这个房间无要求。房间无要求，这些房间可以空着，也可以装很多人，比如n个人都去一个房间行，所以他没有任何要求随便装。是吧，所以呢，这时候呢，它就有m的N次方这种方法，

或者说把它写成这样的，写成这个房间。然后人这样的情况是吧？就房间和人这样的一个情况啊，房间数，然后这是人数这样的一个特征。啊n个人m房间，他还没有要求啊，这样的一个式式子。好，接下来咱们来看一下，如果n个球。m个盒子。然后它也是无要求的。无要求啊，

这样的话就盒子在底数求在指数上面。求在指数上面，这样就写好了好吧，和在底数求在指数上面，这样就写出来了好，那这是它的这个式子是吧？所以通过这个，我们看它的特征怎么去记，主要看底数，底数的话就相当于是。它相当于是什么可重用的？可重用，比如说这个房间你能用，我也能用，大家都能用。

是吧，可重用的，然后呢啊，底数还可以把理解成什么，理解成共享的。就这个盒子啊，它这个球的共享，比如说第一个球能放这个盒子，第二个球还能放它这个盒子盒子，所以它在共享的。是吧，或者说底数呢，也可以把它看成一个容器，可以容纳这东西的物品啊，装东西的物品是吧，

把它看成容器。这样也行是吧，所以大家呢，要知道这个方位法它的特征啊，这怎么样记别给记错了好吧，这是它的内容啊。下面我们来看这个题，三人去四个城市旅游。每个人可以至多选三个城市，当然可以不去旅游了。那么，共有多少种方法？大家先把每个人的选法给它求解出来啊，每人看有多少种选法？因为四个省旅游每人至多可以选三个，

至多可以选三个就c四三。从四个选三个，从四个选两个，从四个选一个，大家可以说可以不去留啊，这样的写法。好，这样写法，大家就可以算出来，就等于15。啊15当然也可以用二的四次方反面减掉c四四全选就等于16-1。等于15也可以好，这24方怎么来的呢？大家知道所有的排列组合它的相加。就有个公式CN 0+CN一。

加s in 2。b加到CN。就等于二的N次方是吧？CN 0+CN一+CN二一加到CN就等于二的N次方啊，这样的一个式子。好，那接下来比如说c四零+c四一一直加到c四四。就等于二的四次方就等于16。这样就可以了，所以说总共呢，就16种情况，然后减掉四个城市全选的这一种情况，得到15种。好，每个人都15种情况，

那么三个人，三个人就是15×15，再乘以15。得到15的三次方得到这个结果啊，这样呢，就选择e选项。电答又选e好，这是它的这个思路和方法。看是不懂了啊，把每个人的情况写写出来，从正面做也可以，从反面做啊15种，然后呢，再上面三个人，他的方法数有多少种就可以了。

好，接下来咱们看这个题，某间大楼一楼上来七名乘客。到了各自一层下电梯，因为下电梯的方法，上电梯一楼是上啊，一楼是上，所以下的话，它只能从二层到七层。是吧，下层从二层到七层给他整，只只有六六次下电梯的机会，对吧？六下电梯的机会。好，

六下点，记住大家知道这个乘数是共享的，这个是共享的，或者说共用的。比如说大家都在二二楼下，或都在三楼下，知道吧？它不是独享的，它是共享的大家，比如说都上六楼，都从六楼下。然后六楼你能下，我也能下，他也能下，都大家是共用的，

懂了吧？所以这点就别给写错了，好，这是它的这个内容，所以说好楼层有六个楼层，那么人数是七个人。啊起点，所以说写六的七次方这呢，应该选择c选项啊，这是它的做题要点啊，别给写错了。好，如果他要说这个人呃，不能在同一楼层下，那么在这里面，

那就是就不能共享，比如说啊，张同学在二楼下，其他人就不能在二楼下，那这时候。那这个楼楼层每人是独独享的啊，比如我在这个楼层下，其他人不能在楼层下这个独享，所以要注意啊，注意它的这个概念，别给写错了。下面我们来看考前二对号和不对号问题。对号不对号问题，那主要是记住答案就可以了啊，记住一些答案。

然后对号的话，只有一种方法，那什么时候用对号和不对号呢？就像它有一一对应关系。啊一一对应关系好吧啊，利用有一一对应关系，那这时候呢，我们用对号不对号。然后在这里面这个对号问题，它只有一种方法。不管几个人对号啊，它只有一种。就像大大家坐火车一样啊，都按照自己火车票上的座位去坐，那只有一种方法。

就像大家参加考试，都按照准考证上的号去教室里面做，这也是只有一种方法，然后不对号的话，那就记答案。不对号记答案就两不对号是一种方法，三个不对号两种。四个不对号，九种五个不对号，有44种。方法好吧，一般咱们记到啊，四个就可以了啊，唉，然后再多咱们就不要求了。

好，接下来咱们看一下这个题。是个编号为一二三四五的五个球和编号为一二三四五的五个盒子。先将五个球投到这五个盒内，也就每个盒子要放一个球，每个盒子呢，必须要放一个球，并且嵌有两个球的编号与盒子编号呢要一样。好，大家发现它是每个盒子要放一个球，这个产生了一一对应关系。产生了一对应关系。啊一一的对应情况好，对应情况，然后在这里面大家呢，

就可以看出它有两个球的编号与盒子编号呢是相同的。有两个是相同，好在这里面大家呢，看看那么有两个编号一样，那我们就相有两个对号，两个对号就是c五二。有两个对号。c五二。啊，这是对号对号啊，它就只有一种方法是吧？那接下来这是对号的两个球。选出来，然后乘以一个，然后剩下还有三个不对号，

三个不对号就有两种方法，这是不对号的。啊两种方法，然后再算算就等于20种。这呢，应该选择d选项好，这是它的这个方法思路，看是不是懂了啊？这个呢，选d，然后各位学霸们，我们把这题如果改一改，看大家会不会做？把恰有两个改成至少有两个。然后呢，

编号是相同的编号与盒子编号是相同好吧就。恰有两个改成至少有两个，它的求的编号与和的编号是相同的。好，那接下来我们来看这个题怎么做？那至少有两个大家可以从正面做，反面做都是可以的啊，大家做完以后，然后再对答案。好，如果从正面做，大家知道至少有把它看成大于等于如果从正面。正面大于等于二，就相当于是二三四五是吧？就二二三四五大于等于二大于等于二，

就取二三四五。好，那么如果有两个对号，有两个对号，刚才写的就c五二×1个，剩下不对号，然后三个对号就c五三。c有三三个对号，然后呢，还有两个对号，两个对号就一种方法。两不对啊，一种方法加上四个对号，注意这块儿大家特别容易出错，如果五个球四个都对号排了，

那剩下那个也只能对号排，所以四个对号跟五个全对号是一样的啊。就一种情况，懂了吧，大家都别给写错了，所以这样算出来就应该等于31种好，因为这个是20，加上这个十，再加一就是31种。啊31种，看各位同学做对了没有？当然用反面做也可以啊，反面做反面做的话就是呃五个球任意排五的阶乘，注意这个不能写成方幂啊。不能写成次方，

为什么因为这道题它是每个盒子一个球，相当于一个萝卜一个坑，咱们用阶层来表示啊，我的阶层。那就五个和五个球，然后减去减去的话，那么至少有两个它的反面就是一个和都没有啊，一个对号的。剩下四个都不对号，就是九。你看四个都不对号，减去五个都不对号，我都不对号就44是只有120减去，然后这是。啊，

45-44啊，再减44又减89，这也等于31啊，所以说答案是一样的，所以大家可以看这地方正面反面。都是一样的好看，各位同学是不是听懂了？然后各位学员们再加油，如果把这个至少改成至多，各位同学看会不会分析？啊，至多有两个这个编号。跟盒子编号是相同的啊，至多一两个，大家知道至多遇到至多的话，

大家可以把它变成。小于等于二，小于等于二的话，可以是零一二是吧？至多两个嘛，至多两个。好，当然这个也可以从正面做，从反面做都可以正面。好，那就至多就变成小于等于小于等于二的话，那就零一二零个那么对号，零个对号就说明五个都不对号，五个都不对号，就44种。

加上有一个对号，一个对号就c五一啊，一个对号，剩下四个。不对号儿。加上有两个对号c五二，剩下三个不对号就两种。然后这样就可以写出来，这是44，这是45，这个加在一起89，89，然后再加20。所以就得到109好就正面，当然也可以从反面做。

反反面做的话，反面做就是五的阶乘就120减去啊，它的反面就是大于二大于二就取三四五。啊，所以说它的反面就比二要大，比二要大的话就取三四五。好三个，三个叫c五三，三个对号，剩下两个不对号就一种方案，然后减掉四个对号，刚才说了四个对号和五个对号，它是一样的。啊，一样的就得到120减掉11也等于109好看，

各位学霸们是不是做对了？大家加油。看是不是明白了好，这遇到至少至多问题，大家从正面反面都行，考试的时候你只要选一个呃，简单的做就行了。好，这是给大家进行强调的思路和方法，看是不明白了。接下来咱们看这个题，假设编号为一二三到十的十个球放，编号为一到十的十个盒子里面。然后每个盒子内放一个球，恰好四个球的编号与盒子编号不一致好，

那恰好四个不一致，就相当于四个。不对号，剩下六个得对号是吧？四个不对号。啊，六个对号。好，那么先写哪个都行，四个不对号，先先从十个里面选四个。十个里面选四个，十个里面选四个，让它呢，这个是不对号，

不对号的话，它四个不对号就有九种。然后剩下六个全对号，六个全对号就只有一种方法了，其余六个都对号就一种方法，然后这样就可以算它的答案，然后c14算出来就等于210，然后再乘以九就等于。一八九零啊，这些答案应该选择d选项好，这是它的做题方法和思路，看是不懂了，所以这道题就是在这个元素里面有对号的，有不对号的，大家呢，

分别给它写出来就行了啊。对号的多少？不对号多少？那这样就写出来好，这个一就代表对号，它只有一种方法，大家要知道它的考要点。好，接下来咱们再看分组和分配问题，对于分组问题，如果出现相同的分组，要除以它的阶乘以消序。好吧啊，已消去，在这里面咱们这个讲过啊，

讲比如说这个abcd四个。四个四个分层。二二四个，如果分成二四个，如果分成二，你要写c四二c2，它这会出现问题。啊c四二c2，这就会出现的问题，对吧，因为c四二有六种情况，六种情况它任意选的啊，任任意选的，所以我给大家列一点就明白了啊，列一点就明白，

然后c四二c2。c四二有可能选的是AB。然后这剩下的是CD是吧CC有可能选的是AC剩的是BD有可能选的是AD剩的就是BC。有可能选的是BC，剩的是AD，有可能选的是BD，剩的是AC啊，剩的是AC，有可能选的是CD。是不是AB是吧？所以这个c四二六六种，剩下c2所以大家可以看到，看的非常清晰，可以看到第一个跟最后一个它是。这个一样的，

这个是跟它一样，然后这个是跟它一样的是吧？所以大家可以看到它这个就出现一样的了，因为什么？因为大家可以看到这个是AB 1组。是吧，这是这是AB 1组，这是CD 1组，跟CD 1组AB 1组，这两组因为组一组之间，它不不用再排序啊，组一组它不再排序，不再排序的话。所以在这里面，大家呢，

就可以看到那它这个表表达式，它是一样的分组，同样道理，第二个跟。这个是一样的，第三个跟这个是一样的是吧？一样的，所以说它又多了一个排序，而且这种多了一个排序，这种多算呢，不能靠减法啊，因为咱们如果排序组合出现了多算的话，一般呢，有两种思维，一种思维的话是。

减是吧，多算多少个给它减掉，还有一种呢，就是除法这种呢，为什么不能靠减法来解决多算的问题呢，因为它是多算多少倍，多算多少倍，那么你这个减就不好减了，所以要以一个除法。啊，除法好，那有同学说这个组合不是咱们学过组合，不是没有顺序吗？它怎么会产生一个顺序呢？组合本身是没有顺序，

组合本身没有顺序，什么意思呢？就c四二这个二是没有顺序的。二没有顺序，比如说AB，这个是没有顺序abba，咱没有排序吧，你看这一组没有排序，然后这个c2这个2 CD CD DC，咱们也没有排序。是吧，也是没有排序的，所以在在这里面就是每一个组合的内部，它是不排序的，但是呢，

它主要主要是组合之间产生的排序。知道吧，就组合之间它都有个排序问题，组合之间的排序，所以这是它的这个概念啊，所以说正确答案应该写c四二c2÷2的阶乘。就等于一个三种，所以它要分成二二的话，它只有三种分法知道吧啊，如果abcd要分成。分成三一，分成三一的话就没问题了，你就写c四三c1这个没问题，因为c四三的话，它的数量不一样，

不一样的话，它就不会出现重复，比如说ABC，这剩的是d。这abd剩下CA CD，剩下是BBC d，剩下是a。啊，剩的是a这时候呢，它就不会出产生重复了，看到没有，它不会产生，因为前后它就不会产生重复，所以一般在出现相同分组的时候，它会产生重复。

懂了吧好，这是给大家讲这个内容和方法，这时候就不用除了啊，大家看得非常清楚，所以把这个简单的原理掌握住，那再复杂问题也就明白了呃，另外呢，大家呢，还要知道有时候呢，分完组。最后还要再分配，比如说把这分了两组，然后呢，交给两个不同的人啊，或者说把这两个组起成组名儿，

比如分成数学组和语文组，然后分完组后再排序就行了。啊，在排序，所以一定要先分组再排序好，这是给大家强调的，这个做题的方法思路，大家要知道为什么除不要死记硬背除啊，一定要理解它的原因啊，为什么除什么时候除什么时候不用除大家呢？要会分析和思考。好，那接下来咱们看这个题六本不同的书分成三堆，若分给三个人，每人两本则不同分法到底有多少种，

分给三个人。当然，那么第一问的话，大家有两种思路，第一种思路就是先。法一。就先分堆，然后再排序。呃，再排序先分类，那么六本书分成二二二分二的话就c六二c四二c二二。除以三的阶乘是吧？这是分堆，要把六本书分成三堆。好，

这是分队，那么它的方法，然后接下来再乘以三的阶段，乘以三的阶段代表什么意思？代表分给三个人。啊，代表是分给三个人，然后这个分子分母，它能约掉是吧？三等间能约掉？能约掉能约掉话，那这样直接就可以写成c六二c四二c2，这样就得到是90。那得到90这个呢，就选择a选项好，

这是第一问啊，当然第一问还有另外一种方案，另外一种方法我们不太不太建议啊啊。不太建议，不太建议的话那么就是边选边分，边选边边分，比如说第一个人。就有时候呢，你答案是对的，知道吧，但是换一个就可能就出错，边选边分，比如说我从六本书里面选两本给第一个人。啊，第一个人就拿好了是吧？

第一个人就拿好了。然后呢，再从剩下四本选两本给第二个人，第二个人就分完了，剩下两本给第三个人，这样算出来也是90，这个答案也是对的。但是第一问我要给大家写一下错误解法啊，错误解法。第一种，咱们看错误解法。错一就是这样的，所以他这样的，我从六本书里面选两本书，然后呢？

这两本书呢？给其中一个人是吧？选一个人。那选项就是从六本书选两本选两本书以后，然后到底给谁呀？从三个人，比如说甲乙丙三个人选一个人给他。给它，然后再乘以。乘以那么，从剩下四本选两本书，选两本书，然后从剩下两人再选一个人再给。再再给，然后再乘以什么呢？

乘以那么c2最后两本书给最后那那个人啊，这样写这样写呢就错了，这样写就错了。啊错错了就重复了，重复了那听起来好像有点儿道理，重复在哪儿知道吧？你看听起来确实有点儿道理，从六本书先挑两本挑两本呢，到底给谁选一个人给？然后再从剩下四本挑两本挑两本的话，然后呢，再选一个人给他，然后剩下两本书给剩下那个人。那这个错因在哪知道吧？错因错因话，

因为咱们知道c六二是任意选的人，也任意选书，也任意选它，就会出现重复了。重复了，懂了吧？比如说选了AB，这两本书给的是甲。啊，选的是比如说AB两本书给给的是甲，这是CD两本书给的是是乙。ef两本书给的是丙。但是呢c6要是任意选的呀，任意选有可能选择CD两本书啊c3也人也任意选啊CD两本书，万一给的是乙呢？

然后c是剩下两本，剩下选两本，剩下选两本，要选AB两本呢，然后剩下两人选一个人给甲呢，最后剩的是ef书给丙呢，你看这张分法是不是一样的，你看AB书给甲。CD书给乙跟CD书给乙AB书给甲，它是一样的是吧？一样的好，这样就错了，然后错二。错，我从六本书选完以后给第一个人，

从剩下四本给第二人，剩下两本书给第三个人，有同学这地方又成了一个三的阶层，这也错了。我就问他为什么乘以三的阶呢？他说第一个人的两本书，第二个人两本书，第三个人两本书，他们手里面书可以交换呀。是吧，第一个人两本书，第二个人两本书，第三个人两本书，他手里的书，他可以去交换，

对不对？三个人他他的书，他可以去交换。三个人，他手里的书去交换，这样呢，这个也错了。啊，这个也是错的是吧？因为什么呢？因为在选的时候他已经交换过了，知道吧？选的时候这个物品已经分完了，分完了，然后把物品他们之间再交换一次，

那就错的。知道吧，这错了，所以这是给大家强调的，它的这个内容是吧？有错误的好，这是给大家强调的，这个错误的原因是什么？然后第二问甲得四分乙。与丙两人各得一本不同，分法到底有多少种？好，那第二问我们来看一下，第二问甲要得四本，那么相当于c六四甲得四本。

乙呢？得一本c二一，这是乙丙得一本。这时候大家就不要再排序了，因为这个甲已经选完了，乙选完了，丙选完了，所以错误阶段有同学又把乙和丙手里所有交换了一下，再乘以二的阶乘。这样就错了好吧，这个就不要再交换了。再交换就错了，所以这个算出来就是三种，这个呢，应该选择b选项。

选择b选项，大家要注意好，那这是甲如果他指定分给谁了，那这四本给甲，然后选一本给乙，再选一本给丙。然后在这里面，大家要注意是什么情况呢？如果把第二问要改一改。改改成那分给三个人。三人一人四本，另两人各一本。啊，一人四本，另两人他各一本啊，

一人是四本，另外两人他各一本。好，这时候呢，这时候呢，方法又不一样，因为这四本书。四本书有可能给甲，有可能给乙，有可能给丙，知道吧，所以这时候大家就先分堆了，就分成四一一给它进行分堆。那四一给它进行分堆就行了，四一来来进行分。

知道吧，分分堆的时候啊，然后呢，你可以用咱们刚才讲的简写法，直接写一个c六四。谁说四就分好三堆了，然后再分给三个人乘以三的阶乘？乘以三的阶阶乘，这样就可以了，好吧，这个时候大家呢，要注意它的方法，这个算就等于90种。好看，各位学霸们做对了没有啊？

当然当然，这道题还可以这样写，还可以这样写，但写的时候一定要小心出错，就c六四从六本书选四本。给一个人这时候这个人要选c三一要选，因为谁拿这个四本书有可能甲拿乙拿丙拿是吧，所以说这个四本书，然后另外两人各一本各一本的话，那么这个。这个就是c二一c1，后面就不要再乘以二阶乘，因为两人各一本，他在选的时候已经交换过了。显然，

是不是已交换过了，知道吧，接下来把原来这一问写一个c三一就行了，就相当于是这个四本书到底给谁。剩下的一本一本，剩下两人写c二一c1这个两本啊书已经分好了，就不要再交换了啊，这样得到也是90好吧，就思路一定要清晰啊，不要乱了。好，这是第二问啊，它的这个方法改完以后，它的结果就是90啊，然后第三问，

如果一堆三本，一堆两本，一堆一本分给甲乙丙，则不能分法，到底有多少种？好，那么这道题大家呢？就先把数分成三二，一分成三堆，分三堆就是相当于c六三。c三二c1分成三堆是吧？c六三c三二c1分三分成三堆以后，然后呢？再交给三个人，因为三个人要排个序，

再交给三个人就行了。三个人再排个序，交给三个人，这样就可以了，好吧，所以这样就它的做题的方法思路，看这个是不是懂了？那后面呢？后面三个键就给三个人。给上人，然后来分一分就可以得到它的答案，好，那这就给大家强调c六三是20，然后这个呢是三六十，60乘以六三百六。

360好，那正确答案应该选择d好吧，答案就求解出来，正确答案选d好，这道做题方法思路看是不明白了啊，所以大家要会分析，如果第三个要。改成这样的。好，各位学问们，这改成这样，改成这样，甲三本。乙两本，丙一本。

这时候大家注意甲三本，那只能是写c六三甲就拿三本了，这时候就不要再交换，因为甲的三本不能让乙拿三本。然后乙拿两本就c三二，丙拿一本就c1，这样后面就不要再乘以三阶层了，因为三人手里的数数量是不一样的，就不要再交换了。好吧，所以大家呢，要注意它的方法，这样算就等于60种。好，这是他的思路和要点，

看看是否明白了，大家做题方法要弄清楚。好，所以就千万不要乱了啊，乱的话就考试就容易出错。好，接下来咱们看这个题五本不同的书，全部分给四个学生，每个学生制造一本问不同的分法到底是多少种？好，那这道题大家先分堆啊，先分堆，然后再排序，千万不要乱了。尤其对针对基础比较薄的同学，

你要按照这个啊这个顺序来做，不要边分边排，边分边排，可能你的答案碰巧是对的，但是呢，以后就会出错。好问不同的，分给四个学生，每本每个学生至少一本，问他分法到底是多少种好，大家想想。这个题我们先把五本书。分成二一一一这样的情况是吧？叫二一一分成二一一以后，那接下来我们来看一下它的这个情况。

啊二一一二一一的话，那么在这里面大家就可以看出一个什么情况呀？是不是这样就可以用简写法，因为刚才咱前面讲的这一一可以省略，如果你不用简写法，应该写c五二c三一c二一c1。除以三的阶乘要用简写法的话，那就很简单，就c五二。减法就c五二就行了是吧？所以他这就十种，所以说把它分堆分堆法总共有十十种情况，所以然后再排序。再排序，再排序就十×4的阶乘是吧？

四的阶乘代表什么呀？代表给给四个人。给四个人把这分好了，给四个人，所以正好等于240，然后建议大家应该选择e选项好，这道做题方法思路看是不懂了。好，那么在这里面大家要注意什么时候采用方秘法知道吧，如果去掉每个学生至少一本。啊，去掉每个学生至少100，所以这里改各位学霸们又加油准备了啊，加油准备了，大家呢，

都要好好思考一下。大家一起加油，准备啊好，如果改成这样的话，就得用方笔法改成，比如说那么去掉每个学生至至少一本就是五本不同的书。给四个人。给四个人，这时候呢啊，那学生呢，有的学生可以是空的啊，也可以没拿到书是吧，然后这个这个相当于是五本不能书，把它看成五个萝卜。啊，

五个萝卜，四个人把它看四个坑儿啊，如果它这个坑儿没有要求，比如一个坑儿可以放多个萝卜，比如五个萝卜啊，五个萝卜都可以给第一个人。或者说有的坑可以空的，比如说有的人没拿到书，他可以任意分，没有任何要求的时候，这要用方密法，这方密法应该怎么写呢？大家想想。各位学霸们都思考一下几的几几几次方啊，你思考一下几的几次方？

是五的四次方还是四的五次方呀？啊，正确答案是不是四的五五次方呀？是吧？因为这个四个人相当于四个坑嘛，四个坑咱们讲了这个底底数就是坑嘛。然后这个五就代表是五个萝卜嘛，五个物品嘛，是吧？有点像五个球儿，放在四个盒儿里头一样。是不是然后这样的啊，所以这个方位法别弄错了。另外，把这个每个学生至少一本改成每个学生至多两本，

各位同学想想啊，如果改成这个。改成还是五本不同的书。给四个人。然后每人至多两本书。好每人至多两本书，每人至多两本书的话，它的分法到底有多少种是吧？每人它至多两本书，它的分法到底多少种？就五本不同的书给四个人。每人至多要两本书，它的这个内容。每人至多两本书。好，

每次做这里面还要先分堆，知道吧？当它要分类了。分类分类的话，它可以分成什么呀？大家可以分分成分成二一一一是吧？这样是可以的，反正制作。两本吗？还有没有？还有没有来想想啊？还有的还有就是二二一零。是吧，就二二一零啊，这样分也可以，

就是二二一零就是有个人是空的啊，这样也可以，反正每人最多两本书嘛。就这两本书，这样就行了。是吧，这样就写出来了，然后在这里面大家就可以看到。那到二二二一一跟刚才道理一样，就240种是吧？这个刚才写过了，其实就等于十乘以个四的阶乘就等于240。这样的情况，然后这种情况咱们写这种情况啊，在这里面二二二一二一那先分队应该怎么写？

大家想想c五二。c三二c1是不是要除以二的阶乘呀？是不是除以二的阶乘？c五二c三二c1÷2的阶阶乘好，这就写好了，写好那接下来我们要把这个。这个给分一分分分那乘以四的阶乘行不行？这是可以的，因为这个零它只有一个零是可以乘以四的阶乘的，或者这样写一些。因为有三个人是拿书的，还有一个人是没拿书的，所以你可以写c四三c四三就代表选三个人选三个人来取这个书，剩下那个人呢？就是守空的就。

不给它分书了。乘以三的阶乘，这样做也可以。这道题碰巧可以写四的阶乘，因为它数正好一样，因为它这个零只有一个零，这个是没问题的，知道吧啊，这个呢，我们可以选三个人。分到书的三个人，然后还有一个人没分到书，或者说呢，我们呢让？四个人一块儿排序也行，

因为它这个零只有一个零，知道吧？只有这个一个零是没没问题的。好，那这个数很好算，应得到c五二就是十，然后c三二它就是三，所以这个就是30嘛。三三十，除以二就15嘛啊，十五十五再乘以24。啊，后面这个数就是24，然后这样我们就可以写出它的数数数值答案，就求解出来了好吧，

然后这个这个就算了，三三百六。是吧，这算了，三三百六。看一下答案是不是这样的是吧，然后这样就求解出来了。好，那么这360，360，然后这个240+360共就600种方法。啊600种分法好看，各位同学是不是明白了啊？他的这个方法。好，

那这是给大家讲，每人至多两本书，如果改成每人至多三本书呢？大家各位同学学霸们再加油准备啊，还有五本不同的书。给四个人，然后每人至多。三，本书。那这样的应该怎么分？每人制作三本书。好，每人制作三本书，那要分类了。要分类当然分类又多了，

就二一一一。二二一零。是吧啊，然后呢？还可以分什么分成？至多三本吧啊，至多三本书，至多三本书，比如说分成三。一一零这种可以对吧？分成三一一零。啊，这种是可以的是吧？还可以分成什么分成三二零零对吧？分成三二零零这样也行？

是不是这样的，分成三二零零。啊，这样的一个思路，看这个明白没有是吧？所以在这里面大家呢，就是每人制作三本书，首先要分类分类别分错了，可以分成二一一。可以分成二二一零。是吧，然后这样的好可以分为。啊三一一零，然后可以分成三二零零这样的。好，

那么前面这个方法咱们就不说了，前面这个方法刚刚咱们写过了，好这种方法就是240种。240种，然后这种方法就360种，这也分过了。那个也分过了，然后三一一零谢谢三一零三一零就可以写成c五三用简写法c五三后面一，咱就省略了。是吧，一然后因为这里面有一个零一个零，还可以写四的阶乘还凑合，知道吧，因为它这一个零零，它跟它们没有重复。

然后这个是240。然后三二零零三二零零这时候就不能写四的阶层啊，不能写四的阶层，因为它有两个零，两个零，因为这两个零它是一样的，知道吧，两个零它它一样的，这时候呢，你就你就别给我写错了。所以这时候怎么写呢？这时候就写c五三c2就相当于把它分成了三二分，三二分，三二是有两个人手里有书的，所以我们关注有书的，

所以要乘以c四二c四二就选择两个人是哪哪？拿书的，然后这两人他可以交换啊，到底谁拿三本谁拿两本交换，剩下两人是空的，然后空的就不用再排序了，知道吧，这地方不能写四的阶层，所以老师讲这个目的就是有一个零的时候你写四的阶层还凑合其实。呃，严格的意义来写的话，应该向上面这个写，就选三个人来拿这三三本书排个序，知道吧？挑三个人来过来取书。

知道吧，然后这就挑两人来过来取数，这是它的这个方法c五三是十十c是26。啊六，这算120好吧，这算120，然后这样就写出来，然后把这加在一起嘛，加在一起，这不是600吗？刚才已经算过了是吧？600。啊600+360，共960。啊，

共960种好，那这是它的这个方法和思路，看这个是不懂了啊，这是它的求解，所以讲这题目里如果有两个零的话，一定要是先选人来拿这个书。然后剩下再交换就可以了好，这是强调的做题要点啊，所以把这几问看是不都做对了？好都做对，说明这个方法就掌握住了，看是不是明白了啊，所以它的考试要点。好，接下来咱们看这个题，

将八个人平均分成两组，其中包含三个老同事，五个年轻的同事。这三个老同志不能。不能在同组啊，不能同同组，它的总数到底有多少种？这考察不同组问题是吧？而且这两组呢，它是没有区别，没有起组名儿，知道吧？它并没有说分成甲乙两组。是吧，并没有说甲乙两组，

所以在这里面它八个人平均这个平均的意思什么意思啊？平均意思平均意思就相当于是。每组四个人是吧？平均只有八个人，每组四个人，四四每组四四个人。是人，咱们咱把这三个老同事给它起上名字好吧，给它起上名字，给它起上甲乙丙吧。啊加AB啊三老同志不能在一组，不能在在一组，因为它总共就两两组嘛，两组那只能是有两人在在一组。有两人在在一组知道吧？

有两人。在A组，所以在这里面，大家可以发现。好，那只能是啊，那这一组呢？是有两个。老同事是吧？然后这时候还有两个年轻的。同事啊，就年轻的。同事，这是一个老同事。和和三个年轻的。

是不是这样的啊？这样的情况。好，这样的一个内容是吧？好，这是两个老同事，两个年轻的，一个老同事，三个年年轻的好，接下来我们写写接下来那在这里面，我们就可以写什么情况？就可以写，因为三个老同学选两个老同事，然后从五个年轻的选两个年年轻的好，第一组就写好了。

是吧，第一组写好了，然后第二组，第二组还剩下一个老同事，还剩下三个年轻同事，这写好了，所以这个这个就不用再除了啊。不要再出了。知道吧，那有同学，这不是四个人，这四个人这这都是四个人啊，为什么不除呢？咱除意思是什么意？有几组相同就除以几的阶乘相同意思是什么？

就数字要一样，汉字要一样，知道吧？所以。大家可以发现这个汉字。这个数字是不一样，看这是两个老同事，这是一个老同事是吧？他这个是不一样的，知道吧？所以数量是不一样的。然后这是两个年轻的，这三个年轻的，所以它内部的这个数字呢，是不一样的，

不一样，这个不要再出了好，那在这里面就得到三种。算出来三种这个答案，应该选择b选项好，这是它做题方法好吧，看这个是不是懂了？好，那这道题还可以改一改好吧，改改如果没弄明明白，同学可以。改改改，比如九个人平均分成三组。啊，九人平均分成三组，

然后第一问。第一问，比如说甲乙它要同组。第二问甲乙同组。它与丙不不同组。第三问甲乙丙。三人啊，都不在一组啊，三人三人任两人。都不同组。好，那这是在这里面来看看，好第一问，那么甲乙要同组，甲乙要要同组看怎么写？

啊gra要妥充组。既然要同组的话，我们看它的写法。好，各位学校们，大家都加油加油，先画图啊，分组问题对于比较复杂问题。那么，一定要先画图。所以有同学在分组问题，他拿这个题目过来问的时候啊，他问他表达式写的对不对，我说一定要先画图。因为我看你的图才能告诉你写的对不对，

因为图不一样的话，那写的表达式是不一样的，甲乙同组也相当于甲乙它在一组。然后这个还差一个人是吧？还差一个，然后这三个人这三个人。好，那接下来咱们看一下第一组，第一组的话，第一组大家就可以写什么写成c。7c七又去掉，甲乙还有七个人，七个人选一个人，七个人选一个人，在甲乙这一块儿是吧？

然后剩下还有六个人，六个人写c六三c三三。除以二的阶乘。啊c六三c三三c2为什么要除以二的阶乘呢？因为这三人跟这三人他是完全相同的，看汉字也一样，数字也一样，它是全等的组，有点像咱们讲三角形的全等一样。啊捐了要这时候要出。知道吧啊，要要出这这上面等于70种。啊，这样就写出来了好吧，然后第二个甲乙通组乙丙不通组乙丙不通，

这个有两种画图的方法，所以它答案就有呃两种写法知道吧，两种写法，所以第二问你看你的画图是怎么画的？知道吧，要看你怎么画图的。那怎么去画图的好？那接下来我们来看他怎么去画图啊？好，那么就甲乙。一一组，这还差一个人。然后丙这还差两个人。然后这剩下就三个人。这样的情况，

然后接下来咱们来看一下，甲乙甲乙这边选一个人就c。六一因为去掉甲丙，还剩下六个人c六一丙，这块儿还差两个人，差两个人就c五二，剩下就c三三，这算等于60种。看能有这是一种画图的方法，那么还有一种画画图的方法，还有一种写法，还有一种写法，或者这样写也行。啊，甲乙是。

一组这这一组弄好了，剩下丙其实丙把他当做一个普通人，丙在这儿，丙在这儿，这一组他都一样的，丙把他当做一个普普通人就行了。这三个人，这三个人。好，按照这种方法写，你看答案是一样的，首先那么甲乙这还是六个人选，一个人因为要去掉甲丙，因为九个人嘛，去掉甲丙还剩下六个人。

所以六个人选一个人，然后这时候呢？丙把他看成普通人，普通人的话，丙在这儿，丙在这儿，无所谓了，然后在这里面，大家可以看到这个丙就把当成普通人，这时候还剩下六个人，六个人的话，那正好写c六三c三三。然后除以二的阶乘，为什么除以二阶乘？因为这两组它的汉字一样，

数字一样，看到没看人字是一样的，数字也一样，就全等。全等三角形的全等一样，全等全等话，那算出来也等于60。所以两个画图的不一样，然后表达式不一样，但答案它都是一样的，知道吧？答案它都一模一样好看，这个是不是听懂了啊？所以对于复杂分组，一定要先画图。

好，另外咱们再看。甲乙丙三人任意两人，他不同组。甲丙三任意两人，他不不不同组，我们看应该怎么写任两人不同组，又相当于甲乙丙。然后这时候是两个人。配成一组，这两个人，这两个人配成一组是吧？然后这时候我们看怎么写，这时候呢，就直接写c六二c四二c2。

这里就不用除了，为什么不用除我们看汉字是不一样，这有甲字，这有乙，这些丙有甲字，乙丙是吧？汉字是不一样的，汉汉字不一样，这时候就。不用除了，然后这样就可以写出它的结果好吧，所以大家注意它的这个方法啊，方法这个一定要弄清楚，所以一定要是。呃，

完全相同的组啊，所以说大家一定要注意的是什么？有几组相同相对有全等？有几组相同相同，就代表着全等。完全一样，相当就除以几的阶乘。啊，又记录相同，就除以几的阶层好，这是它的这个方法好吧，这个看这个是不是明白了它的基本方法？好，那接下来大家呢？再给大家做一个题，

比如说七个人。分成三组。每组至少两人啊，每组至少两个人，然后求甲乙。不同组的方法。甲乙不同组有多少种方法？各位学霸们，加油！七个人分成三组，每组至少两个人求甲乙不同组的方法到底有多少？那首先遇到至少咱们先分类先分类，这道题还好，它就有一类。是吧，

七人分成三组，各位学校们做完以后，然后再对答案。啊，不要等到老师讲完，你再记笔记啊，一定要对对答案好吧，大家想想那么这个分成三组七个人应该怎么分呀？每组至少两人就是三。二二分或者二三无所谓，因为三组它嗯没有区别，三组一样没有区别，分成三二二分成二二三都是可以的。它是没有区别的，懂了吧？

好，那求甲乙它要不同组？甲乙不同组，甲乙不同组，这道题可以从正面做，也可以从反反面做啊，我都给大家写写好吧，都要写写啊，正面做的话就甲乙不同组有可能是一人在三人组，一人在两两人组，正面就这样写。这边甲有可能在三三人组啊，乙有可能在两两人组啊，比如甲这还差两个人，乙这还差一个人。

然后这。还差这还有两个人是吧？当然这道题应该也可以把乙当做一个普普通人也行，当成一个普普通人也可以好，那这种写法的话就相当于是c。啊，总共是七个人，七个人去掉，甲乙还有五个人，对吧？七个人去掉两去掉两，还有五个人，五个人的话，那么就像c五二。c五二c五二哈原来是甲乙c五二。

c五二c五二就相当于是甲乙。啊甲这块给他选两个人，然后这时候呢，乙乙这给他选一个人，选一个人还剩下c三一啊乙这一组弄好了，然后这还剩下c2。剩下两人。这等于30。或者说你把他把这个什么呢？把他乙当做普通人，刚咱们讲过写c五二啊，当做普通人，后来呢，这就是两个人，这两个人知道吧，

就c四二c2这时候一定要除以二的阶乘这个图。就这样，这是两个人，这是两个人，然后这个汉字一样，数字一样，所以就要除知道吧，除所以这时候乙当做普通人，刚刚咱们讲过了是吧，这叫除除完后答案也是30好吧，就是。这种看怎么画了好，那这是甲在甲在三人组啊，那么乙在两人组他的这个情况当然还有可能是。还有可能是那么乙在三乙在三人组，

甲在两两人组的情况是吧？所以在这里面，所以还有可能是乙在。三人组。甲在两两两人组。所以它表示跟上一样，也是三种，或者我们直接把这30×2也行，三三十×2，这是第二类好吧，这是第二类。那把这30×2啊，还有可能是什么？还有可能甲乙都在两两人组，比如说这个是三人组。

甲和乙都在两组，甲一个人，乙一个人啊，这个情况不要漏掉，甲乙都在两组。然后这时候呢，我们这三个人就可以。写一个c五三。解c五三，然后这时候呢，还有两两人选一个人给甲c二一，然后再选一个人给乙，这时候就不要再除了啊，不要再除，因为什么？

因为这个汉字是不一样的。汉字不一样，所以说一定要把图画汉字是不一样的，这不用再出，所以算出来就等于二二种，这样写好了是吧？算出来就等于二种。最后写出来了。好，那把这加在一起30加三十六十六十+20就80好吧，所以共八种情况。共八种好，如果是从反面做反面做反面做什么反面做就是甲乙同同组当然要用反面做，咱们要先求总情况数啊。对吧，

要先求总情况数，那总情况要把它求解出来。总情况下，七个人任意分成三二二，那有多少种方法是吧？那在这里面就可以写c七三。c四二c2，然后这是要除以二的阶乘，因为这两组它是一样的是吧啊？这这两组它它的一模一样的，所以在这里面就可以写出来。然后这个是二，这个也是二，这两组它一样，然后c一三正好等于三三十五。

啊，35c是26啊六÷2得到三三十五×3就105，所以总情况数是105种。然后接下来他反反面反面是什么？反面就是甲乙同组。甲乙同组，甲乙同组，甲乙同组，要么甲乙都在三人组，要么甲乙两人都在二人组，是不是这样的？如果甲两都在三人组，那甲乙那这还差一个人。然后这是两个人，这是呃呃，

两个人这样的啊，所以甲乙啊这是。配一个人，然后这两个人，这两个人，他的这个情况懂了吧？好，这样这样，甲乙都在三组，甲都在三组，这时候就c几呀？c五一对吧？c五一然后这是c四二c2，大家发现后面这两组呢，它是一样的啊。

数量一样，汉字也一样，全等所以这样算就等于30好，这样就求解出来了好吧啊，就就就三种。所以甲乙它都在三人组。啊，这样的特征，大家要会分析好吧，所以大家呢，要知道它的这个基本的方法。方法啊，这样就可以写出来好，这个甲乙同组，它都在三组的情况下，

都在三三三组，三组的话，然后这块儿就可以得到它的数值是吧？然后三组，然后这块儿算的15。啊算15，因为还要除以个二是吧？除以二得到15，然后接下来咱们来看一下，如果甲乙呢？他都在二人组，这二人组就相当于三个人。那甲乙都在两两组，这样的情况，这样情况，

那应该怎么写呢？这个就相当于是c五三。啊c五三甲乙呢？这两人组已经弄好了，不用选了，然后剩下c2。这样这样c2这样就行了是吧？这样就算出来就等于十种，这样就等于十十种情况，这c五三就代表这三人组。然后甲乙这个组弄好了，然后这两人剩下两人当了一组，所以这个反面就是25种，25种，那么它的情况数有105减二二十五。

105是总情况数减掉25，得到是80，80，然后跟上面一样的也是这个80种情况。是吧，一样的，它也80种情况，所以在这里面大家呢，可以看到它也是80种。好，这样的方法好吧，所以这给大家进行补充的内容，看各位同学是不是听懂了？接下来咱们看这个题，一个团体一起处以团建，

将八个人分成猛虎队和雄鹰队啊，那么这个有组名了，比如说分成数学组，语文组。每组四个人就用甲乙必须要同组，丙与丁不能同组，这时候总共有多少种分分法？总共有多少种分法啊？那这时候那么大家呢？一定要先分组，然后再排序啊？一定要先分组再排序，因为比较复杂，先分组。再排序。

啊，如果你要边选边分的话，特别容易错，知道吧？特别容易错，而且呢，对于比较复杂的情况下，一定要画图。一定要画画图。先不区分猛虎队和雄雄鹰队啊，不区分猛虎嗯，这个猛虎队和雄鹰队，然后每队四个人，每队四个人，有八个人。

分成四四分四四，其中甲乙呢？必须同组，必须同组，甲乙必须。同一组，然后丙丁不能同组，丙丁不能同组，这时候要分为两类，一类是丙在甲乙组，一个是丁在。甲甲乙组是吧？我们来分一分，如果丙在甲甲甲乙组，那这时候这一组还差一个人。

这四个人就凑好了，然后剩下的剩下就丁呀和其他三个人，然后凑好了是吧？就这样的一个表达式。然后接下来我们来看看这种情况，这种情况就相当于是呃就从嗯。甲乙丙丁。去掉甲乙丙丁八个人，去掉甲乙丙丁还剩下四个四个选一个c四一选一个选一个，这弄好了，剩下剩下这个就c三三c三三就不用写了c3就不用写。然后这是一种情况，然后大家知道，然后呢，第二种情况就相当于是甲乙一组跟丁一组，

这还有一个人。这时候是丙，然后这三个人其实表达式跟上面一样，你干脆乘以二算了好吧，就这两个表示它是基本上一样的，你乘以个二。就可以了。是吧，就乘以二这样写好了，行，那接下来我们呢？再乘以一个二的阶乘，为什么二二二的阶乘要起这个对？队名儿。这个二建就就就分队是吧？

到底谁是猛虎队？这个是猛虎队还是雄鹰队？这是猛虎队还是雄鹰队是吧？是吧，然后给它分成对就可以了好，那在这里面答案就求解出来，正确答案就等于16正确答案选b。啊选b。当然还有一个不太规范的做法，就相当于有同学说直接让他来选对是吧？来选对比如说甲乙要同一组，甲乙在猛虎队还在雄雄雄鹰队。是吧，然后呢？然后让丙丁不同组，

丙丁不同组啊，一个是猛虎队，一个雄鹰队，然后然后然后再再来分再分，然后剩下的人，然后再往里填。剩下人再往里填，这样话你可能运气比较好，能写对，但是如果要分成三个队，或者说每队的人数要不一样，那这时候就会出错。知道吧，比如说这八个人分成啊，每嗯每队是三个人和五个人，

三个人和五个人，那这时候呢，就会出问题好吧，所以大家呢，还是踏踏实实的先画图分好组。分好组以后，把组分好，最后给它往这个队名儿里面啊，进行安排安排，再排个序就可以了，好这个给大家讲分组的核心的精髓，大家是不是？呃，都领悟了，回去再琢磨琢磨，

看各位同学是不是听懂了？下面咱们看这个题。七人分成三组，分别为三人，两人，两人，甲乙不同组则不同的分组方式到底有多少种好？那这个题大家可以从正面做，也可以从反面做。啊，那么先说反面反面要简单反面有甲乙同组，咱们先看分组问题，七个人，它分成三二二总的分法。共多少种？

共就c七三c四二c2，然后除以二的阶乘对吧？因为这两组它一样的，所以要除以二的阶乘。好，然后接下来就等于105。所以算出来就等于105种好，那这是总共的选法，我们就写出来了，接下来我们看甲乙同组。甲乙同时要分为两类，一类，甲乙在三人组，比如甲乙这还差一个人。另外两人啊，

两人这样的，所以大家分组问题的时候一定要先画图，把图画出来就可以了。好，这样话我们就可以写出c五一最后一从五个选一个给甲乙，然后剩下c四二c二二。然后再除以二的阶乘，这样就可以得到它的数值，然后这个上面是30，然后除以二得到15。然后接下来咱们再看，如果甲乙在两人组这三个人啊，甲乙在这。然后这还有两个人好，那这时候那么三个人c五二c五三是吧？

剩下c2。这个甲乙就不用管它了，这个这个甲乙跟这两个呢是不一样的啊，咱们讲了要除的话必须是完全相同的组才除。是吧，比如说数字一样，汉字一样，它才可以。啊，那这个把这加在一起是25种25种，那就105减掉25得到80种。啊，这些答案就选择e选项啊，这是减掉甲乙同组，而且知道上面为什么除上面，

因为这两个人，这两个人他是任意选的。它没有写人的名字是吧？然后这时候呢，我们要除除一下，然后后面这块儿这三个人和这两个人呢啊，他这个人数是不一样的，所以就不用再除了。都要掌握它的处理方法和思路。好，接下来如果从这面做，从这面做，甲乙要不同组。啊，那从这边做，

那就要复杂一点，甲乙不同组，比如甲在三人组，乙在两人组啊，比如甲，这是两个人。然后乙这是一个人，然后这还有两个人。好，那接下来那总共是c五二。啊c五二啊，从五个人，然后选两个人，然后这个呢就是c。三一。

然后c2啊c2这个没有一样的是吧？没有没有一样的，这时候呢，我们就可以看出来，然后这个就是30种。三种三种同样，如果乙在两人组，然后甲在一人组。跟上面一样也三种是吧啊，也三种。然后接下来我们看那么甲乙不同组，甲乙两人都在两人组，比如说甲这三人甲。和乙都在两人组啊，这一人这一人。

好，那接下来写一写那这个c五三啊c五三，然后c二一c1。这样就得到是。20种c五三就从五个人选三个人。然后这个是甲呢，配一个人c二一乙，还有一个人c1好，那加在一起共80种。所以两种方法算的答案都是80都是一样的，对吧？然后这个30别忘了30，还有20把这几个加在一起就可以得到答案。好看，大家是不是听懂了，

所以要掌握分组的特征，一定要先画图，然后再对应一些表达式啊，这样就可以得到它结果。好，接下来咱们看这个题。将七人分成三组，分别为三人，两人，两人。甲乙同组与丙不同组，则不同的分组方法到底有多少种？好，那接下来我们先画图好吧，画图甲乙同组与丙不同组，

那甲乙呢？有可能在三人组，有可能在两组，这个咱们就从正面做就可以了啊。那分类如果甲乙要在三人组。那丙可能就在两组了，丙在两组，丙有两种写法，要么把丙给写出来。知道吧，并并写并写出来它的方法，就这样的啊，就相当于是这个呢，就c四一甲乙选一个啊c四一。啊，

这个呢？就c三一。啊c2这样得到12种是吧？12种啊，有同学呢，没有把丙写着有同学这样画的图，比如说很多同学问这个分子用不用除，我就跟他说我得看你画的图。你要画这种图，就不用再除了，因为这个饼它的名字跟这边是不一样的，对吧？然后这时候呢，就得除这时候呢，因为。

如果写成两人，两人就把丙当做普通人，丙当做普通人的话，那这样他就可以写了啊，丙当做一个普通人。好当做普通人的话，那接下来我们就可以看出啊，这个就c啊，这个当然还是c四一了，因为要要去掉丙之外还是c四一。乘以一个，剩下就c四二c2，这时候要除以二的阶乘等于12啊，就这这这个或者这个啊，都都得到12，

注意这两个12不是12相加啊。是这第一类里面的两种写法，知道吧？两种方法啊，两种方法，所以你要这样画笔呢，当做普通人的话就要除，因为这两个跟这两个是任意选的，就要除一下。好吧，然后接下来我们来看一下。啊，如果甲乙要在两人组，甲乙要在呃呃两人组，比如甲乙。

这两个组。然后的话，然后丙丙丙不管在哪就无所谓了，丙在这也好，丙的名字咱们就不用再写了。是吧，丙在这丙当中，可能丙在这在这都无所谓是吧，所以说甲乙两人组这个两人组也就啊弄好了，不用再选人了，人数就够了。接下来就是c五三。c2这样就等于十，然后共。12+10就等于22，

这难选c，注意前面两个这个这个是或的关系啊，前面这两个就这种写法，或者这种写法啊，不要把12。加上12再加十啊，不要这样写啊，所以大家呢，不要给理解错了，知道吧，所以说大家在写的时候要注意啊就。前面两个是或。啊，这样写或者这样写得到都12好吧，要掌握它的方法，

其实分子问题大家呃比较简单，只要把图画出来，你要不画图的话，那就容易写错，只要图。画好了，那对着图来写，结果其实很简单的，把这个就都可以写出来。下面咱们看这个题，现有六名男生，三名女生，将来九个人分成三组，每组三人，恰有两个女生是同组的，

则不同。分组方式是多少？大家还是先画图。把图画出来，比如说那么有两个女生，然后这是一个男生，因为她说每组一定要三个人嘛啊啊，每组一定要三个人。然后这三个人。这三个人是吧？所以在这里面啊，这里面就是啊，两女一男，然后三个人三个人啊，这样的一个处理方法。

好，那接下来就相当于这三个，这三个我都给大家写出来好吧，写出来就是这，如果写出来的话就是一女。两男这还有几个呢？还有三个男生。是吧，再给大家写写出来，写出来，如果你图要这样写的话，那表达式就这样写了，表达式就是啊，先选两个女生c三二。c三二，

然后再选一个男生就c六一×1个女生c1，然后c五二，然后再乘以c三三。啊，这样就写出它的这个方法了。然后这个c12啊，就三三三×6，然后再乘以十得到180，对吧？180都写好了。啊，如果有同学换成另外一个写另外一个图，另外一个图呢？就这样的啊，两女一男。

剩下的话就三个人，三个人就把它当当做普通人，名字和性别就不用再管它了。好，如果这种写法的话，大家就可以看出这个c三二。c六一选个男生，剩下还有六个人，还有六个人就c六三。z三三，然后除以二的阶乘，这样就可以写出来好吧，然后算算答案也等于180。啊，应用规划，

所以说那么在这里面那么该不该除其实呢？就要看你的图，知道吧？就看你画图，所以有同学说这个问老师这个分组该不该除啊？老师也没法回答你，因为你是第一种画图还是第二种画图，如果这个有性别区别或者有名字区别，这样的组呢，它就属于不同的组，就不要再除了。啊，如果他这个当做普通人，这三个人是三个人名字一样，汉字一样，

这时候呢，你就得处一下好吧，所以要弄清楚它们的区别，这样的话，大家做题就不会出错了。好看，这一块儿是不是弄明白了？好，接下来咱们再看隔板法，那么将相同元素分给不同对象时，要用隔板法思考，就相同元素。啊，一定是相同的，分给不同对象，

用隔板法，比如n个相同的。元素。分给。m个不同的对象。如果每人至少要分一个。那么，它格外环境下呢？cn- 1。m- 1种。好，这个n- 1代表什么代表是空位数？n- 1就是空位数m- 1就是板子数。m减就是板子数好吧，那这个n减就是空位数m减就是就是板子数放多少块板子？

是吧，这样的情况啊，其中隔板法它的公式有很多，那其实其他工程都建立在这个基础之上的啊，每人至少分一个建至少。建立这个基础之上，如果要不是每人至少分一个，一定要调整调整完，然后再用隔板法好吧，这是隔板法，它的一个公式。好，接下来我们看。这个题a+b+c+d=12有几组正整数解，大家要知道正整数正整数就大于等于一的整数。

啊正整数，所以这道题呢，如果不用隔板法去转化的话，那这道题不好做，所以你把它转成什么转化成那么12个球？12球分给。abcd四个人是吧？12球分给abcd四个，然后呢？他分到了球的数量就代表他的解。比如说a分了两个球a分了两个球就代表a又取2b分了三个球c分了一个球。c分一个d分了六个球是吧？就它分几个球就代表它解取多少好，所以你把12个相同球分给abcd四个人，每人至少分一个球就证明出解。

正如解的话，然后在这里面，大家呢，就可以写出它的公式是吧？所以在这里面，我们呢，就可以把它看成c十二减一，四减一就等于c十一三。好c十一三的话，那么在这里面就等于165。这样答案应该选择a选项，答案就求解出来了。啊，选择a好，这是它的做题方法，

所以12个球分给abcd四个人，然后每人至少一个球，这样就可以写出它的结果。好，这是它的做题的方法思路，看是不是我明白了？好，这是它的考试内容。然后这个把正负值路解把它改成非负值路解，各位同学都思考一下，看谁会做各位学霸们，大家想想，比如a+b+c+d。等于12改成有几组？非负整数解。

那这非负整数解就代表是零是吧？非负整数就大于等于零，它可以取零可以呢？想格板法怎么表示这个零？比如说a要取零。b要取零，它应该什么情况？a取0b取零，比如c取7d取五是吧？那就非负。整数解那怎么表示？所以非负整数解它这个咱们的隔板法是不能表示零的，你不能让两个隔板碰在一起，碰在一起就说就说它分为零，那是不行，

那怎么表示这个零呢？嗯，然后大家想怎么表示这个零零，它是表示不了的。你比方说你看都给它加上一呗是吧，比如a+1 b+1 c+1 d+1。就等于12+4了是吧？两边都给它做横等边形加1 a+1，这个整体b+1，这个整体c+1，这个整体它又变成大于等等于一了。是吧，它本来原来是大于等于零的嘛，原来大于等于零，现在啊，

给它变成大于等等于一了。是吧，大于等于一这样的好，既然大于等等于一的话，那在这里面就可以用隔板法了，所以你把a+1看成一个新的未知数。啊，看那个新的位置数大a这大写的b这大写的c这大写的d=16，它这个又变成正整数解了。是不是变成正整数解了，这样就行了？是不是就变成正整数解到底有多少个正正整数解这样就可以求解出来？是不是然后？然后这个正收解它的这个情况。看是不是明白了，

好这种解它的这个方法，然后这种就可以套c十六减一四减一就可以写成c十五三了。啊，这样写好吧，所以这个呃变成一个可控的格板法公式。成功啊，功能咱们给他推广就n+m- 1 m- 1是吧？就这可控的，所以相当于把它虚拟一个m+1个m，每个人都加上一。每每人都加上一啊，就相当于整个加上一个四是吧？整个加上一个四，这样就写好了好吧，这是它的这个基本的方法啊。

好，这是给大家推导隔板法的使用，看是不是都听懂了？

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