053.专项十二-题型2~3

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 10:46:24

好，下面咱们看一下题型二就是列举法和穷举法。这个对于这个条件比较复杂的排列组合啊，不容用公式去计算，往往用穷举或者画出图来达到意想不到的结果就是画图啊列举。知道吧，你考试呢，对立意法要求呢，也是比较高的，所以大家一定要掌握这个列举的这个方法。啊，而且有时候呢，它可以与几何呀，或者与数列呢相结合来考题是吧，比如说组成什么等差数列呀，

或者说构成什么三角形啊，图形知道吧？它往往呢，就与几何。或者数列。结合。知道吧，几何或者数列来相结合来进行出题。好，那接下来咱们来看一下这个题，通常呢为三五七九十一的五条线路中取三条来做这个三角形构成三角形。则组成不同三角形到底有几个？那接下来大家知道三角形啊，任意两边之和大于第三边，任意两边之差要小于第三边，

这两句话只要。满足一句话就行了，知道吧？所以三角形的要求大家都学过是吧？任意两边之和。要大于第三边。啊，任意任意两边自差小于第三边。啊任两边之和，大于第三。边任两边之差，小于第三边。好这样的。好，那接下来咱们来看一下它的这个。

思路你用和也行，用差也行，但是这个任意咱们怎么样？理解任意的话就相当于是a+b要大于c。a+c要大于BB+c要大于a。大家想，如果你全都这样验证一下，是比较复杂，任意的话就是a-b绝对值小于c。a-c的绝对值小于b。b- 4的绝对值小于a，如果你你这样验，首先这两句话是等价的，只要挑一句话就行，不用这两句话都验证。

知道吧，这两句话它的等价。第二个，第二个那么不管任何一句话，它都有三种情况，对吧？任意有三种情况，那我怎么样？可以简化。变化啊，如果c是最大边。两个小边相加大于最大边就可以了，我们可以从最大边角度来分析。也可以从最小边，最小边，

另外两边的差值小于最小边也行，所以按照最小边思考也可以，懂了吧？这样的话就可以找到捷径。比如说这道题要按照最小边，比如最小边要三。最小边要三，另外两边差值一定要小于三，比如五跟七可以。七跟九可以，九跟11也行。是吧，如果最小边要是五最小边要是五，那七跟九可可以七跟11也行。啊九跟11它也行是吧？

最小边要七的话，七九十一这样就可以了是吧？你就固定最小边。这边让另外两个角长边。它的差值小于这个最小边就可以了，所以算出来应该有七种啊，这样大家应该选择e选项，就这样去列。好，这是它的列举的方法，所以列举的时候啊，一定要注意找好规则，这样就不会列错，否则的话列多了列少了，大家不好检查。

好，那接下来咱们看这个题。啊将色子投两次，而色子的话，每次呢，都六个点，走的点数分别是b和c点，分别为BC。啊则方程x方加b+c等于有十根的情况，数到有多少种？大家知道要有十根，当然是大于等于零，当然就等于b方减4 AC。将来4c要大于等于大于等，于是b方要大于等于4c。

二点四c那这这时候我们就可以进行列了是吧？可以列大家知道c要取一的时候，反正就固定一个列，另外一个吧。c取一的时候c取一的时候b可以取二三。四五六都行。是吧，然后c取二的时候c取二的时候。z2的时候b可以取三四五六。是不是这样的啊？就这这样这样举例就OK了。然后c=3的时候。七点三的时候，这十二十二的话b可以取。四五六。

好c，取四的时候。这一次的时候b还是四五六。对吧，好C区五的时候。c5的时候BC七五的时候，这边是20。20那就是五跟六。对吧，然后c取六的时候c6的时候啊，四六二十四。24那b还是五六？品牌五六可以把它加在一起就行了，看这是五种加这个九种。九种加这个六种，

15种，15种加这。四种就共19种。情况这个呢，就选择a选项啊，再把它列出来就可以了好吧，当然如果有同学觉得正面比较多，也可以从反面反面就大于等于它的反面就是小于。你找b方小于4c也行，因为总情况数就36，36代表什么意思？第一次质有六种，第二次又是六种六乘以六三十六。因为它两个嘛，两三六三六种，

然后检查反面，这样也可以从反面思考也行，这个都没什么问题好，这是它的做题方法和要点，看是不是懂了？好，接下来咱们看题三题三呢就。就一个位置，一个元素的问题啊，就是位置元素。好位置元素的话，大家一一般呢，先处理特殊的。然后再处理一般的，这是考试重点，

比如说有特殊要求的，比如说甲想坐在哪，或者不想坐在哪，它有特殊要求的。比较挑剔的，咱们先把它安排好，其他安排好以后，然后再安排一般的就可以了，好吧，所以先。安排特殊元素或者特殊位置，有时候特殊元素就代表人比较特殊，特殊位置这个座位比较特殊，比如说这个座位只能坐男生或只能坐女生。然后再考虑其他的一般的元素或者位置。

是吧，一般原文或者这样就OK了好，这是它的方法好看懂了没有？首先咱们看第一个就排除的问题。啊，排座位问题啊，排座位问题的话，那么从七个。不同文艺节目选五个编成一个节目单，若某女演员她不能排在第二个位置上，共有多少种排法啊这个？特殊元素就是这个女演员。阿特图，它不想做在第二个位置。好，

那接下来这道题，我们有这几个方法来进行分析啊，方法一。方方法一我们可以呢分类。分类什么？这个女演员她有可能选上，有可能没选上是吧？所以这五个节目单一二三。啊，这个这个写一二三三四五吧。啊，就是女演员，她会在第二个或者。就是它不能在第二个是吧？我们可以分类，

那就模拟演员。他可能没选中。啊，没有选中啊，没有没有选中的话，那在这里面它就是c。啊，这个就从其他啊，其他人选五个就c六五。对吧，如果他没选中，没选中就从其他六个再选五个。这能看到吧，从其他六个六个节目选五个。啊，

没选中的。对不对？没选上，然后乘以五的阶乘。啊，如果没选中，如果要选中的话。选中的话，那这时候。这时候还剩其他六个，再选四个节目就行。就从其他六个节目再选四个节目就可以了。啊，这样就五个节目就够了嘛，你女演员也选中了，

然后再从其他六个里面挑四个就可以了，但是然后乘以一个。这个女演员她比较特殊，先把牌女演员就c四一对吧？就是一三四五啊，这个女演员挑一个。排好了，然后剩下还有四个位置，四个节目来进行全排。然后把这两类相加就得到二一六零。这样就写好了。是吧，这是它的做题方法，看懂了没有啊？这是方法一。

方法二，方法二的话，我们在这里面，我们可以什么？可以采用反面法。反面法就所有的减掉他的反面反面就女演员在这个节目位置。啊女演员在这个节目里啊，检查反面，所以所有情况数我们写所有情况数就从七个里面选五个。来进行排节目单，安排节目就乘以五的阶乘，然后减去这个女演员，她再这个节目。女演员在这节目那就走其他六个选四个来进行排就行了。是吧，

因为女演员她在第二个节目，她已经排好了，排好那从。其他再选四个节目，在其他四个位置排就可以了，好吧，这样就排好了，看这个懂了没有？看这个方法是否明白，是吧？把其他位置排好，然后方法三。方法三呢，采用占位法。方法三，

参与法。参与法就相当于选一个人，把这个位置给它占上。选一个人把这个位置站上，你不是你不想坐这个位置吗？比如说呃，某个同学不想坐这个位置，我把选从其他同学选一个人把这个位置站上就可以了。就从剩下六个。六个人。选一个把第二个节目要站上好，第二节目排好了，第二站上以后剩下的啊，这四个位置我再选四个来进行排就行了。从其他还有六个里面选四个，

然后在四其他四个位置来排，这样就可以了，把它占上。这叫占位法，这些得到的结果都等于二一六零。好答案就写好了，看这块是不是听懂了，就这个题呢，它考察就是。呃，三个方法知道吧？分类。也可以呢，用反面法也可以用战役法来进行思考，好看大家是不是听懂了，

从这个角度来做这几个角度都行。好，那接下来咱们看这个题有两排座位。前排11个，后排12个，安排两座。来做啊，安排两并不是说这11个座位都做完。他没有都做满。他只做两个人。啊，规定前排中间的三个座位不能坐这三个凳子坏了，不能坐。知道吧，然后接下来咱们呢？

安排这两座，这两左右它不相邻，左右不能够相邻，然后再问不同排法有多少种？不能拍吧好，那接下来咱们来看一下这个题，我们画个图好吧，排除问题画个图这道题。要做两排，我们来画个图，前排11个。一二三四五。61个，这个前排中间三个座位坏了，再加这个前排。

中间三个座位坏了，这是前排。前排中间三个呢，这个座位坏了。然后后排还有12个。后排有四个啊，后排12个，现在安排两人座，安排两座，两人呢？左右不相邻，前后无所谓。啊，咱们相邻都只是左右好吧，只是左右情况好，

那接下来咱们来看一下它的这个方法。好，那么这道题可以从正面做，也可以从反面做啊，从正面做就分类是吧，从正面做就分类。那咱们这两人给他起上名字好吧，起上甲乙名字啊，我就以甲乙两个人。这样呢，它要分成三类都在前排。或都在后排。是吧，或者说一前一后。知道吧啊，

都在前排。这这个分类的话就就麻烦点，都在前排。都在后排。还有一前一后。它可以都在前排，也可以都在后排，还可以一前一后啊，这样的。如果都在前排，那又要分了，都在左边或都在右边或者一左一右是吧？又要分，如果都在左边可以用插空法。说左边注意左边它有四个位置，

四个位置的话，然后安排两人坐，一定要让两人搬走两把椅子。对吧，不要让这个人直接参观人直接参观的话，他没有隐座知道吧，所以让四个人啊，四个座位搬走，两把座位搬走，两把座位的话，这时候。这个两个人因为座位都一样，两人悬着两把椅子，两把椅子，这个。

这个呢，剩下还有两把两把椅子之间有三个空位c三二，然后两人坐的时候二者皆成。如果都在右边，都在右边一样，让两个人搬走两把椅子，还剩下两把椅子，两把椅子，三个空，三个空，然后。然后两个人做的时候可以排序，然后还有一左一右一左一右，比如左边。安排一个右边安排一个两个交换是吧？

就左边选个座位c11，右边选座位c11。然后在做的时候，二者竞争在做的时候可以交换。然后都在后边，都在后边有插空，因为12个座位需要两个座位，需要两个座位的话。需要两个座位，然后还剩下十个座位，十个座位有11个空选，两个空让两个人坐就行，如果一前一后，那么前排有八个座位。选一个后排有12座位，

选一个，然后两人坐的时候可以排个序好，那这是啊，它的这个三类把它加在一起得到346。就得到它结果得到346，这难就选择b。好，这是它的这个方法，看懂了没有？好，这样写出来，这是一种方法。啊，第二个就是反面法。咱们用总的情况数减掉两人相邻，

那总的情况总共有多少种座位可以坐？大家知道前面有八个，后边有12个，总共呢有20个座位，选两个两人的。啊，做的时候可以排序，减去两人的相邻座，然后现在呢，这时候我们就画画一下，它有多少个相邻的情况啊？这两个箱里这两箱这两箱里这两箱里这两箱里这两箱里是不是这箱里？所以说大家可以发现，这有三对儿项链，这有三对儿六，

六对儿六对儿的话啊，这个第二排第二排有11对儿，因为12个座位，11对儿11个对儿，你自己画嘛一二三。四五。七八九十十一是吧？反正这样画啊，所以说这个呢。啊，第一排呢？有六对。第二排有11对儿，总共加在一起17对儿c十七一，这个11对儿挑一对儿。

知道吧，这个一就代表一对儿啊，一对儿是两个座位，然后让坐的时候乘以二的阶乘。啊，这样写也可以，那么前面正好是380-34。这样就可以算出结果。啊算的结果就等于346。啊，346比上面分类做要简单。是吧，这样就求解出来了啊，答案就写出来啊，要给大家强调是呃，

反面两个人不相邻的，反面是两人相邻啊，两人。写一下不相邻。它的反面。是两人相邻。两个不相连，反面是两个相连。好，那那但三个人不相邻的反面不就不是三人相邻啊，三人不相邻。它的反面就不是三人相邻，所以说超过两人它的反面。就别理解错了好吧，两个人不相连，

反面是两个人相连，三个人不相连的反面不是三个人相连，三个人不相连，反面有可能是两个相连，跟另外一个人不相连。但也有可能是三个都相邻。是吧，也有可能三个人，他都像你这样的是吧？所以说它的反面就至少。有两人相遇。好，那这个给大家强调一下，如果要考三个人，三人不相邻的反面，

别理解错，很多同学以三人不相邻的反面是三人相邻，那这样就。做错了好吧，大家在做题时候一定要把这个理解弄清楚，别理解有偏差。接下来咱们看第二个数字问题，数字问题其实就是一个特殊的位置问题，因为数字就相当于元素位置法嘛。是吧，然后在这里面，我把数字放在什么位置是吧？这些数字呢？它其实也就是一个位置问题。啊，

一般呢先。末尾后，首位在其余是吧？然后在这里面怎样呢？考虑清楚好，我们看这个题用零二三。四五五个数的组成，没有重数的三位数，其中偶数到底有多少个？啊，求得偶数，它到底有几个？偶数问题好，那接下来咱们看一下这个偶数。偶数大家知道个位必须是零二四，

但是这个零比较特殊，零比较特殊，在这里面零怎么处理零呢？要么就分类。啊，所以这道题你可以分类。那对个位为二的啊，个位为零的和个位为二四的。分成两类。好个位为零零的时候，我们看一下个位为零的时候，如果个位要为零，这时候呢，这个百位百位可以是二三四五挑一个c四一。十位是c三一，

这有12个是吧？所以说。百位写好了，然后再写十位，如果个位要是二跟四选一个个位就要选一个个位。更选好了，比如说各位选的是二，那这个百位在选的时候，百位就不能选零，只能是百分之c。啊，百倍就c3亿了。百位c三一百位呢？不能选零，然后接下来十位十位还是c三一，

因为十位可以选零。是vic相遇，所以就得到18种，然后把它加在一起共。30种这个答案就选择b好吧，所以以后遇到偶数末位就个位又分为零和分为其他值来进行写。为什么要分开？因为你不分开的话，这个百位没法写，大家可以看这个百位。百位一会儿c四一，一会儿c三一，所以它要受零的影响。它受零的干扰，所以这时候呢啊，

要把它分开写。好，那接下来咱们再看。另外一个方法。列方法就是遇到速度问题，还有一个巧妙方法，什么你可以把零当做可以放在百位，就所有的三位数。这个三位数就包含真的三位数和假的三位数，什么假三位数就是最高为零的，这样三位数真的三位数和假三位数都给它写出来，写出来，然后再减去首位为零的就可以了。好吧，所以接下来我们呢就可以写出它的这个词。

就是它的这个结果好，所以我们在这里面，我们呢就来看看，看这时候呢个位呢，就可以写c3e。各位各位，有c3有所有的三位数。所有的三维偶数知道吧？所有三维偶数最高位为零，不为零都无所谓，先把个位写好，个位就是三一。像这样，然后这个在百位。百位就c4亿。

因为有没有零无所谓。然后十位就是c三一。然后减掉减掉什么减掉首位为零的，这样的偶数。所谓v零个位，就是24个位，就是c二一。因为百位它已经为零了嘛，百位为零了，那这时候百位为零了。然后这时候还剩下还剩下三个。选一个就十位，剩下三个选一个，这样就可以写出来好吧，这样就等于36再减了六得到30。

加上减六得到30，这样就写好了好，这是它的方法，看懂了没有啊？掌握它的要点。好，所以大家呢，要把这个思路弄清楚，看是不是听懂了？啊，所以遇到零的问题，大家大家就用所有的减掉零在首位的。知道吧，这样的做。好，

那接下来咱们看一下这个题能被三整除的啊，用这个零二三四五五个数字组成，没有重复数字的。三位数就能被三整除的到底有多少个？大家想想这个题。好，那么能被三整除，大家知道数位之和要三的倍数是吧？能被三整除数位和。啊，要为三的倍数。啊b1要为三的倍数。啊，那么要为三大倍数化，那这就要就得讨论对不对啊？

就得讨论，比如说啊零二四。可以对吧啊，零二四这个型还有零四五。零四五也行是吧？还有二三四。这样也行，或者三四五。35这样写，所以说把这个啊情况写出来啊，零二四零二四的话，注意这个百位，它不能为零百位，不能为零百位，只c二一就是二跟四选一个，

然后剩下两个数在十位和个位可以排序。是吧，这个这也c二一×2的阶层是吧？然后这个也是这个就是三的阶层了，这也三的阶层。所以共20个。所以说这个答案就选a。好吧，就是如果。一个数能被三整除，就看它数位之和要三的倍数，数位之和就这样去讨论列举。但是如果数比较多，比如说零到八，或者说再多给你几个数，

这时候你在这儿列，那肯定是比较。容易出错，万一漏掉怎么办？也不好检查对吧？考试一着急就容易出错。好，那这时候我们应该怎么办呢？这就看余数知道吧，所以说当数比较多的时候。看余数，因为这道题数比较少，那么列列可能还可以，对吧？但数要多的时候，

那么就看余数。大家知道一个数除以三的余数，要么就余零余零就整除，要么就余一，要么就余二是吧，所以找这个余数，所以说大家作为技巧就找余数。你把它这个数除以三余零的余一的。还有余二的。把它分清楚好，咱们看一下鱼鳞的，鱼鳞的话就是啊，这道题就就零个三是吧，鱼鳞的就。零跟三。

然后余一的余一的就是。就四。是吧，余一的啊，就是四。啊余二的就二跟五。余二的就二跟五。是不是这样的啊？这样这样需要了，需要那么要取三个数三个数的和要为三的倍数三个数的和要为三的倍数。三个数的和要为三的倍数，那这道题它只能是余零的选一个，余一的选一个，余二的选一个。对吧，

一个你看一个余零的，一个余一的，一个余二的加在一起，它是三的倍数，当然还有可能是三个都余零的。加一起也是三的倍数，但这道题它数不够。知道吧，他数不够。啊，取三个都鱼鳞的。三个都能被三整除加在一起，它肯定也能被三整除嘛，对不对？或者说。

三个都余一的。三都余一加在一起，它也是能被三整除的，或三个都余二的。只不过后面这些情况都不存在，因为它数比较少，比如这再多给你几个数，它就会存在这些情况。知道吧，所以在咱们这个题只出现了一个鱼鳞，一个鱼，一个鱼儿，这时候咱们呢，用所有的不管是。首位是不是为零所有的减掉零在首位的好吧，

这样话是不是要简单点，我们接下来做就是鱼鳞的选一个。余一的选一个。余二的选选一个，然后排个序。这时候排成了三位数再减掉。减掉什么？减掉首位为零的。这样的首位为零。减掉首v0首v0的话，那余零呢？就已经选好了，然后再选一个余一的。再选一个余二的，然后在十位和个位来进行排，

这样就OK了是吧？十位和个位排，因为这时候就首位为零的。首尾为零的这样的好吧，然后这样的话就得到24-4就得到20，这样就写好24-4得到20。这样就求出来了，好吧，这样也可以。啊，这就按照余数，所以以后啊，整除或者选几个数，它的和要能被整除的话，你看它有几个余数，

只要它余数的和。能够整除，那就OK了。所以说从余数的角度来分析，这样话就是不会漏掉一些情况，知道吧？所以大家呢，要掌握它的。分析方法也会分析和思考。另外，以后遇到速度零的时候，你可以让所有的数。比如所有的偶数减掉零在首位的偶偶数或所有能被三整除数减掉零在首位的能被三整除数。而减去首位。v0的数。

唉，这样话就好做一点好吧，这样话就是在求所有数的时候，这个零它在不在首位在哪这个？没有影响了，把零当做一个普通数字，这样写起来要简单，不容易错，然后再减掉首为零的，这样数把它减好。检查这样答案就写好好，这是它的思路和方法，要弄清楚。好，接下来咱们看这个题，

从一三五七。取两个数字，从零二四六八取两个数字组成，没有重复数的四位数就能被五整除的四位数。大家知道能被五整除个位，要么为零，要么为为五是吧？这时候就不用看数位和了，不用看数位和这时候就不用分析余数。知道吧，所以说大家知道能背五整除就看个位。个位为零或者为五。是不是这样的啊？找一下个位，个位等于零或者五。

好，那接下来。接下来这道题这道题的话，也可以用刚才咱们讲过的，用所有的能被五整除的四位数，当然首位为零不为零无所谓，所有的然后减掉零在首位的。好吧，这样零在首位的，这样就OK了啊，这样就可以了。好，这是它的方法。好，那接下来咱们看一下这个四位数。

这时候从这个一三五七选两个，从零二四六八选选两个。选点选点的话，组成没有重复四位数，能被五整除，能被五整除，那这个讨论也可以完全可以，因为看个为零的时候你看。有多少种各为五的时候有多少种，因为零和五它比较明确，所以这时候呢，你不用减法也可以，对吧？然后个位为零的时候，个位为零的时候，

那就从一三五七随便选两个。c四二然后这时候个v0呢v0从二四六八再选一个就行了。然后这是三个数，然后再排序是吧？在十位百位千位进行排序就可以了好吧，然后再看个位为五的时候。各150，各150就一三七，他选一个。z三一，然后从。从这个这时候呢，这是要涉及到零的问题，这零的问题，这时候我们要用减法做好吧，

减法做。如果要不用减法，这时候各位V5的时候你要分情况分取到零和没取到零，这时候呢啊，不好讨论的话容易错，我们就可以用减法做。所以c三一就一。一三七选一个。然后接下来咱们再看，然后然后这个。这个零二四六八选两个，这两个就相当于五个里面挑两个。是吧，五个里面挑两个。这两个这时候三个数在。

十位百位千位排序排序要减掉零在首位的好吧，要减掉减掉零零在首位啊零在首位的话，那个位还要为五啊。各位v五零幺在首位，各位要v五零幺在首位，接下来我们就可以看到啊，那么各要V5从一三七再选一个。是吧，重新三七再选一个就行了啊，接下来咱们再看。你看零他已经选上了，你选上，然后从二四六八四个里面挑挑一个。挑一个挑完两个数啊，在十位和百位来进行排序，

选完后再排序，这样就OK了好，这是它的这个方法。好，那接下来我们简单的算算这个算很很简单，这c四二=6。啊六。乘以然后这个这个24。这个等于144是吧？144，然后这个算算。这个六这是180。然后这个。减掉24。减24啊，

这个得到是啊，156。啊，156。是吧，一百五六，然后把这两个加在一起，共300个。啊，这些答案就选择a选项好，这是它的做题方法是吧？这道题这道题也说在讨论个位为伍的时候，我们用了一些减法减。减去一个首为零的，把这首为零的给它减掉就可以了，

好吧，这样来进行处理要简单一点啊，看是不是听懂了？按照这样思路来进行分析。好，那这是它的做题的方法好吧，遇到数字问题零的时候呢，大家也不用担心遇到零，要么就分分类分类，有同学可能分不好。然后呢，可以减去零在首位的，这样处理要简单一些。好，接下来咱们看这个题，

从一到三的正数中取三个数相加，使它们和必须能被三整除问选法总数到底多少种？好，那这这个题我们呢就要按照余数进行分类了。啊，跟前面有个题类似，你前面如果数比较少，你可以去列举一下，但是数比较多，一定要按余数来进行分类。则遇到以遇到和为倍数遇和。为某个倍数时。一定要按余数来进行分类。应当按照余数来进行分类，知道吧？

啊，遇到和为几的倍数。再按照余数来进行分类就OK了。好，这是它的方法。好，那接下来我们来看一下这道题，这道题那么除以三的余数，要么余零。啊，要么就余一。要么就余二。好，那余零的话，我们看余零的话就三六九到30是吧？

然后余一的话就一四七。到29。二八是吧？到二八好这样的。好，那么要余二的时候，余二是就二五八移到29好，这样就写好。好，这就写出来那么这30个数，大家发现这个每个圈儿啊，那这个圈儿是十个。是吧，这个圈也十个，这个圈也十个，

所以它都十个。十个数好，那接下来咱们看它三个数的和要能被三整除，这种和能被三整除的话，要么三个都余零的。加在一起，要么三个都余一的，要么三个都余二的，加在一起，要么一个余零的，一个余一余二的是吧？然后这样写就OK了。好吧，所以这是它的方法。看懂了没有？

是不是好那三个都余零的，三个都余零的，我们就写出来。啊c13。三个都于零的。啊，三个都是一的。c十三三个都余二的c13，加上最后这个鱼鳞的挑一个。余一的挑一个，余二的也挑一个，这样就写出来了，好吧，就得到1360。啊，

这个呢，应该选择b选项啊，这是它的方法，看懂了没有？这个呢，选择b，这是它的处理思路。看明白没有啊，要掌握它的考试要要点和内容。比如说如果这里要改成什么，从一到30这些数取三个数。取三数啊，要使得它的和能被四整除是吧？如果改成这样的。改成取三个数。

它的和要为四的倍数。你会不会分析和思考？啊三数和为四的倍数，三数和要为四的倍数，接下来你要按照它们除以四的余数来分类那一个数，除以四它的余数。有四种情况。榆林。余一。余二。鱼三是吧啊，有这几种情况啊，鱼鳞鱼一鱼二鱼三好有这几个，那接下来咱们看鱼鳞的鱼鳞的话就是。四，

82。到二八。那这有七个。啊余一的余一的就是一五到29。是吧啊，一五到29是八个。啊，这个输入有八个余二的余二就是二。六到30，它也是八个。对吧，也八个。然后余三的余三呢？就三七。到27。

那七个。啊，它七个好，这个写好了，需要大家想三个数，它的和要为四的倍数。三数的和要为四的倍数，三数的和要为四的倍数是什么？一个余零的，一个余一的，一个余三的形。啊，一个余零的两余二的凑在一起，加在一起也是四的倍数。是不是这样的？

对不对？这又又想办法凑在一起。啊，凑在一起就行了啊，凑在一起为四的倍数就可以。好吧，然后呢？我们看还还有没有其他情况？想想是不是，然后你看看还有一个余三的两余二。呃，两个余三的，一个余二的也行。是吧啊，两个余三的。

加在一起，然后再加一个余二的，这样也可以。是不是所以大家呢？就是。啊，要找它的这个方法。懂了吧，所以说啊，要想想我们怎么去拼凑好，那这个拼凑情况弄好了，那接下来就可以选这个数了。好吧，把这个数给它选好。好，

那接下来我们看它怎么去选啊？怎么选好选一个鱼鳞的？选一个鱼鳞的就是c七一。再选一个余一的，余一的c八一。再选一个余三的对吧？选一个余三的，所以余零的选一个余一的选一个余三的选一个，再加上。这样鱼鳞的选一个鱼鳞的是c7，然后鱼饵的选两个。加上余三的选两个。余二的选一个。一三的选两个，一二的选一个啊，

这样就可以了啊，这些数大家自己去做就OK了。好，那么以此类推，比如说取三个数和为五的倍数一样，你先按照余数去分类，分完类以后你看这个叫余数它的和。能够成倍数，那就满足他要求了好吧，所以从语数角度来进行分析和判断好以上呢，就是语数它的一个考法和应用一定要弄清楚，看是否听懂了。好，接下来咱们再看这个题，用数字零一二三四五组成，

没有重复的数字，且比两万大的五位还有偶数有多少种？这个看起来比较复杂是吧？比较比两万大，那还要是五位的偶数。是吧，好，那么接下来咱们来看一下它这个。五位的偶数。把各个数给写出来个十百千万。个十百千万，它五位的偶数好，那接下来咱们来看一下它这个情况。大家想想一想。像首先这个偶数肯定个位是零。

二四这样的，然后首位首位呢？首位可以为二三四五是吧？所以在这里面我们就可以看一下。啊，首位就是二三四五。啊，这个首位。啊，首位为二可以，因为首位为二，它这个因为没有乘速度嘛，肯定比两位要大嘛，为三也行，为四也行，

为五也可以。是不是然后这块儿它的这个情况？好，那接下来咱们来看一下偶数，咱们就分分个为零和不为零来进行讨论是吧？我知道，你看他对这个。对这个千位有限制，所以我们来看看啊，如果个要为零的时候。个要为零的时候，个要为零的时候，那么这时候这个万位可以取二三四五，所以四一。是吧，

最高位这是万位c四一。对吧c4亿，然后个位为零，然后这个c4亿。然后这个这就写一个。然后接下来咱们看这个。千位千位还是c4亿？对吧，千位。啊，它这个一样，你看个以为零用用了一个是吧？个以为零用了一个，因为它总共六个数字嘛，六个数字，

然后外面它用了一个，用了一个，这时候还有。四个数，这个数，然后这是千位，然后百位就c三一。十位就c二一是吧？这样就可以写出来啊，写出来，然后呢就可以写成九六。然后各位。个位要为二或者为四，我们看看啊，个位为二或者为四。

好个位，不管为二还是为四，因为这个万位它不能为零是吧？万位它它不能为零呃，如果如果个要为二的话。这个万位只是c三一，各位为四的时候，万位还是c三一是吧？所以万位就是c三一，但是个位要写一下个位是c二一。好外围是c三一。好，然后这时候呢，这个千位千位还是c4亿，因为个位用了一个数，

外面用了一个数，六个数，还剩下四个四个数，作为千位还剩下c4亿。百位呢胜c三一。十位是c二一。是吧，十位就十二十二亿好，那这样就写出来了。好，那接下来你看这是六六三十六三十六乘以四一百四十四。144，然后把这两个加在一起啊，就是96。这样144，

然后这个算式就等于240。对，共240，这样答案就选择b选项。就这道题，它比两万大，大家呢？这样的偶数，我们就找个为零的偶数，到底多少个个为二或者四的时候？有多少个把每个数位给大家写出来，它选法选法写出来以后，那么答案就可以求解出来，好，这是它的这个。

思路看是不是懂了得通过这道题那数字问题，不管是偶数也好，比多少大的偶数还有是几的倍数，大家一定要会分析思考，结合些余数来进行求解。就可以得到答案。好，接下来咱们看考情二就相邻和不相邻问题。啊，相邻不相邻问题我们讲过，相邻采用捆绑打包的方法做。红包打包啊，不相邻的，咱们用插空法。啊，

查封当相邻，问题与不相同，问题同时出现在题干中，同出现时一定要先解决相邻，问题再解决不相邻问题。一定要先打包，最后再插空，知道吧？就插空是最后收尾的部分啊，一定要先打包。最后再插空。这样写好了，好，那接下来咱们来看一下，看一下这个题。

啊，四名学生和两名教师排成一排照相。两位教师不能站在两端，需要相邻的方法有多少种好，那接下来我们看两教师。这时候呢，要打包是吧？所以两个老师要打包。然后这个还有四个学生。啊，四个学生。好，李阳老师和四个学生。然后接下来咱们来看一下啊，它的这个表达式那两老师打包就二的阶层，

然后让四个学生站好四的阶阶层。比如说abcd四个学生站好，但这个包的话，它只能放在这三个地方，一二三三个地方这一包。选个地方放z三一知道吧，包这个地方。要要选个位置放。就是这个，只有这两个老师有可能放在这儿，放在这儿，放在这儿，因为老师不能站在两端嘛。分成两两段。知道吧，

这是在这里面啊，就写出来了，好，那接下来我们就可以求出来，相当于144这个呢，应该选择c选项。好，这是它做题方法好吧？然后注意这道题不能够从反面做，因为它是且且的话，反面就比较复杂，且要变成或所以直接从正面做，如果两端的空也不能用。那就在中间的空位来挑就行了，比如说c三一代表选空位。

啊，把空位选好，而且注意打包的时候要注意包内部的顺序，不要忘记了梁老师，他可以排序啊，把这个排序的方法要弄清楚。接下来咱们看这个题，这个题就属于属于一个关灯模型是吧，然后关灯的方法，马路上一边有八盏路灯提供照明，晚上12点后为了节约用电。计划关掉其中三盏灯，要三盏灯不能相邻，因为相邻的关的话，这个整个一段。

啊，这个路就比较黑，影响照明了，知道吧，所以说咱们呢，就是降电灯不能关，所以说这道题呢，就是相当于是这个八盏灯。把灯关掉的和开掉的是吧？啊亮的。量呢，就相当于是啊，五盏的。然后不亮的就关掉的，关掉的话就相当于三盏灯。

它关掉的要求呢，是不相邻。关掉灯不能相连是吧？这三盏灯它不能相连。啊三盏灯不不相邻，那这时候怎么办？要要先排好其他的，最后再插空，所以先把亮灯排好。这个亮灯在排除，因为灯泡是一样，就不用再排序了啊，比如说画勾的就代表亮灯。把这五个亮灯给它排好。啊，

五个亮灯给它进行排好好一二三四五五个亮灯，五个亮灯排好以后，那接下来这个。不亮灯，那就得插空，因为灯泡是一样，灯泡是一样，所以说这个灯泡就不用再排序了。然后这个位置不一样，位置不一样，所以从六个位置选三个位置就可以了好吧，六个位置选三个位置，所以在这里面我们又写一个c六三。从位置选三位置选三位置，然后把这个不亮灯往里插空，

比如这插一个空，这插一个空，这插一个空。但是呢，这个灯泡它一样就不用再排序了，知道吧，所以这样算就等于20这呢，就选c就属于一个关灯模型，比如说。它总共一排呢，有n盏灯。是吧，然后要关掉m盏灯啊，比如说给大家举个例子是吧，可以给大家总结一个公式。

这一排有n盏灯。但要关掉。m枕头。关掉m盏灯要求呢，这关的灯呢，要不相邻。幻灯呢，是不相邻？然后这时候呢，那应该怎么写？你知道吧，这n盏灯n盏灯的话，它关掉m盏，也就说还有n-m盏是亮的。n-m载量的。

就n-m展示亮灯。这亮灯里面有几个空位呢？要加一，因为两端的空位，它可以用，如果他要说两端的灯也不能关，两头灯也不能关，那两头空位就不能用。就两端呢，就不能用，只能用中间的，知道吧，如果他没说没说就代表两端灯，它可以用，可以关，

可以关的话，那这时候呢，就写CN。减m+1就两头的空里，可以用这n-m就代表亮的灯。亮灯就n盏灯，里面有m盏是关掉了，那n-m是亮的啊，亮亮的后面加一代表空位，空位这么多空位。那个空，然后再把m盏灯往里放就行了。啊m，在那往里放就是这个公式，它的关灯的方法好吧，

就求解好了啊，就是它的关灯方法，所以说这个公式一定要在理解基础之上记忆就行了。好吧，对它的方法数我们就可以写出来。方法树就这样写，就在理解计算，把它记好好，这是它的这个基本的方法，看是不是懂了啊，这个观众的模型要弄清楚。好，那接下来咱们再看这个题啊，这个题它给的是一二三四五六七八九准没有重数的九位数。而且在一无数之间，

它有两个数，然后呢？再加入两个数呢，这两个数都得是偶数，并且三七九三个奇数不能相邻。啊，它不能相连，那么问有多少种方法啊？不能相连，问这样九位数到底多少个？好，大家思考一下。这道题还好，没有零没有零的话，就要简单点好，

那么这道题就考察一个小团体，比如说谁跟谁之间。间隔几个人，那这就是小团体，因为它一跟五之间要间隔两个数，这两个数都要是偶数，所以这是一个小团体。就是小团体，所以一跟五之间。啊是吧，两数，而且两个数都得是偶数。啊，两个数那都要是偶数。这样的啊，

一跟五之间两个数，两个数都要是偶数，并且三七九三个奇数不能相邻啊三七九。啊，三九三个奇数呢，不能够挨着，不能挨挨在一起啊，三九三个奇数不能够相邻。好，那接下来咱们看这个不相邻，一定要最后查空。知道吧，小团体先打包39，最后查空，我们看还剩下几个数啊，

还剩下几个数？呃，一三五七九那奇数全用完了，那剩下偶数二四六八四个偶数，所以说那么还有两个偶数。是吧，因为总共四个偶数就二四六八四个偶数，四个偶数用了两个，还剩下两个偶数，两个偶数，它们之间有空位。这样有空位，然后呢？这时候往空位里放就OK了好吧，这是它的方法。

好，那接下来咱们来看一下呃，这个表达式首先呢，这个要选两个偶数放在一物之间，所以c四二选两个偶数，然后这个二的阶乘乘以二的阶乘，这样就行了是吧？c12从四个偶数里面选两个偶数往里放。选两偶数以后，然后一跟五排个序，然后两个偶数排排个序，然后这个包打好了，这个包跟剩下两个偶数。三个一起来排序就三的阶层。然后最后这个包跟另外两个偶数嘛，

看成三个一起来排，排完后，然后这时候它有四个空位是吧？四个一二三四，四个空位，四个空位，咱们需要几个空位呢？需要三个空位，需要三个空位，然后把三七九往里放，三七九往里放的时候，那么要乘以三的阶乘，因为三七九它可以排个序。再乘以三的阶乘，这样就可以了，

然后接下来我们把它稍微化简一下，就等于二×12的三次方。这个答案就选择c选项，因为有时候考试数比较大。咱们考试没有计算器啊，你这时候也不用把它算出来。是吧，不用把它算出来，然后呢？这时候呢，你就写成它的数的多少次方就可以了，减这样就可以好吧，这样大家简单的化简一下，化简完就得到二乘以十二三次方。就这个题，

大家一定要把思路弄清楚。知道吧，也就说看它这个偶数的情况啊，怎么选，然后内部这个包内部包内部呢，它不能够写成四的阶层，因为包内部只能两个偶数。来进行排序，一跟五来进行排序啊，这个打包知道吧这？包内部，然后再写三的阶层，就这个包与另外两个偶数来排。然后这个c13代表选空位，然后再乘以三的阶乘就OK了好，

这是它的方法，看懂了没有啊？找它的思路。好，接下来咱们再看这个题。啊，五个男生，五个女生站在一排，男生不相离，女生也不相离。好，那来看它的这个方法到底怎么写好？这时候你先拍男生先拍女生都行啊，然后如果先把五个男生拍好。我男生排好就是我的阶层，

我男生排好就是我的阶层。五的阶层，然后这时候我们来看一下，如果有同学这样写，就发现错了，他说这个有六个空位。六个空位选五个空位c六五，然后把五个女生来插空，这样做呢，就是一个错误写法。这个错误写法写错在哪你知道吧？放哪错因是什么知道吧？错因的话，如果。女生从六个空位随便选五个空位，

那如果选这五个空位就不行了哈，这个选这五个空位。如果选这五个空位，就会出现有男生挨在一起的情况，知道吧？所以如果要出现两类都不相邻，两类都不相邻，就意味着中间空位一定要占满。知道吧，所以正确写法应该这样写。这样写法，这样也就是说这个中间这个空位一定要占满。啊，中间空位一定要占满。中间空位占满，

然后女生要么？站前面，要么站在后面这个所以说这样话，也就说简言之，如果还没懂同学，简言之就女生，要么就是。占前五个空位或女生占后五个空位，有两种知道吧？有两种要么女生呢？占后五个空位。知道吧，所以说男生五的阶层，女生要么占前五个，要么占后五个，

乘以二倍就行。等于二倍，因为它有两种能懂吧啊，两种所以应该二×5的阶乘的平方答案就写好，建议答案就选择这个b选项。好，它的方法其实这道题就告诉我们就两类都不相邻。啊两两类都不相邻的话，也叫交错排列，知道吧，所以它的方法啊，两类都不相邻，叫交错排列。交错排列就是相当于它中间空一定要占满是吧？有两类它都不相邻。

原布线就交错。排列就男女男女这个交错排列。啊，交错排列的话，它这个中间呢，一定要占满中间，一定要占满。好，所以这是它的这个关键点，中间站满，然后两头那么挑一个站就行了，这这个乘以二倍啊，所以这一块呢，不要给写错了好吧？就是男生不相恋，

女生也不相恋，他的这个方法要弄清楚。啊，如果要五个男生，四个女生占五个男生，四个女生，男生不相邻，女生也不相邻，那女生只能站在中间四个空位。知道吧，那就五的阶乘乘以四的阶乘女生呢，就不能够随意的选空位，如果随意选空位，就会产生有两个男生挨在一起，这样就会出错。

知道吧，这样大家呢，要注意它的答题要点，别弄错了。好，那接下来咱们看这个题。好，五个人排成一排。加以不相邻，加宾也不相邻。它的不同排法有多少种？好，那这道题呢？是写啊，有同学想从反面反面会变成或知道吧，

这个反面的同学要给大家提醒一下。这个铁会变成货，这个写错了。好，那接下来咱们来看一下它的这个方法。那么那么关键点呢？发现这里面有都有什么都有讲。是吧，所以你看甲乙不相邻有甲甲丙也不相邻也有甲是吧，所以说在这种实在不行大家呢？就撸起袖子列举，给它拼一把是吧？一点儿一点列的话，这个总能列列出来就是麻烦点。这五个人排成一排，

比如说甲在站在一号位。甲站在一号位那乙和丙只能在三四五挑了是吧？乙和丙它在三三四五挑乙和丙，它就相当于是c三二。因为因为乙和丙，它只是35挑两个挑两个占，然后乘以二的阶乘，然后这个乙丙占好了乙丙占好以后，那么剩下还有两个人，因为甲占好了嘛，剩下还有两两人。再排因为假如站在一号位的时候，那么这个算出来总共有12种。是吧，这样算出来就有12种。

好，这个写好了，看这个懂了没有？啊甲在一号位就是啊乙跟丙只能在35。来选两个位置站，然后剩下还有两个人。啊，来占就行了好吧，这是这个情况啊，如果甲要站在二号位。甲站在二号位那乙和丙只能在四五号位站了。是吧，乙乙和丙只能在四四五号位站，剩下两个人站，这个得到四四种。

啊，如果甲要站在三号位。甲站在三号位，那么乙和丙只能在一五号位站，一五号位，一五号位就是二的阶层，这是乙和丙的战法。然后再乘以其他两人的战法也是。如果甲要站在四号位。甲站在设位啊，那么乙和丙只能站在一二号位，一二号位，一二号位，那就是二的阶层。然后呢，

剩下两个再占也是四，这样写好了。啊，如果甲要在五号位。甲在五号位，甲在五号位，那么这个乙和丙只能在一二三选两个站，只能在一二三选两个站。是吧，一二三它选两个。啊，只能在一二三一二三就是c三二。二的阶层乘以二的阶层。得到12好，然后把这几个全加在一起，

就得到那么就是36种。好吧，这样答案就选择c啊，这是它的方法好，这是一种方法，看这个懂了没有？啊，这种方法比较麻烦点，但至少保证呢，能做对对吧，就排除有时候呢，你只要把它分类分类的话，分类清楚，那这个做是可以写出来的，没什么问题。

是吧，能能写好。但是呢，如果大家想简单点做简单点做另外的方法，这是一种方法，就一个做就假的一号位，二号位，三号位，四号位，五号位啊，一个写。对应把表达式写出来。然后另外的话就是就是乙跟丙的状态不确定，不确定我们要分类，因为乙和丙有可能相邻，

有可能不相邻。是吧，所以说接下来我们呢，就可以来进行写。好，我们来看一下乙和丙。因为乙和丙的话，我们要分类啊，这是第二种方法，刚才第一种方法就是一点点的根据甲的位置来分析其他人。对吧，那接下来咱们看一下乙跟丙。音频有可能是相连，有可能是不相连。好，

那乙和丙要相邻时又打包，这时候跟甲呢，是不相邻的是吧？再插空就行了，所以说假设这个乙和丙要打包，然后把丁跟午给它排好。零五排好，零五排好就是二的阶层，然后甲乙打包也是二的阶层，就甲乙打个包啊，二的阶层是吧？然后这时候呢，它有三个空位。是吧，还有三个空位，

三个空位选选几个空位，三个空位选两个空位。然后然后甲乙。呃，这个乙跟丙打个包。然后给大家画个图，这个乙跟丙打个包，然后跟甲来插空。知道吧，就乙跟丙来打个包，打包跟甲来插空。我再把这过程说一下，首先丁根务剩下两人先站好二者阶层，然后乙跟丙打包，那二者阶层。

然后这个包跟这个甲那么三个空位，要选两个空位c三二选两个空位选两个空位以后，然后这两个空位这个包跟甲它可以排个序。就乘以二的阶乘这样写好好吧，乘以二阶乘这就写出来了，好这个得到24种。啊，如果乙跟丙要不相邻。啊乙跟丙要要要不相邻乙跟丙要不相邻的话，就相当于甲乙不相邻甲丙不相邻乙跟丙也不相邻，咱们不相邻就代表任意两个不相邻，如果任意两个不相邻，直接插空就行。啊，任意两人不行就直接插空，

就把丁跟戊给它排好，就二者皆成排好，然后然后这有三个空位，三个空位呢，然后三个人来插这三个空位。因为甲乙丙三人都不相邻，这得到十二十二，所以共加在一起就36。共加起来就36就写好了，好这个答案就选择c啊，这是它的做题方法思路，看是不懂了啊，它的要点。然后接下来咱们再看。好，

咱们再看，还有同学想从反面做，我们看反面什么反面，你把这个甲乙不相邻，把它看成p。甲丙不相离，把它看成q啊，甲乙不相离。甲丙培养把它看成q，它的反面反面就是甲乙相邻或者甲丙相邻是吧？所以有同学从反面做也行。它的反面有甲乙相邻。或者甲丙相邻。所以这里面反面就会出现或啊，这个大家逻辑一定要弄清楚，

反面会出现或的问题，那接下来我们用总的情况数总的情况就五的阶乘。这五个人随便排减去甲乙相邻，甲乙相邻就甲乙打个包知道吧？甲乙打包，甲乙打个包。然后其他还有三个人，所以说甲乙包内部要排个序。然后乘以四的阶层，这二的阶层代表是甲乙打包包内部要排序好，这个打好包了，这个包。跟剩下三个人，剩下三个人就是呃丙丁戊，这三个人把它看成四个，

因为这个包就看了一个，还有三个人把它看四个，四个一起排序。加上甲丙相等，甲丙相等也是二的阶乘乘以四的阶乘，注意咱们讲过货的问题，或者呢A货币。A货币就写成a+b，减去a交b。是吧，或的问题就是a+b减掉a+b，这样就OK了。你要简易它交，注意点a交b，要知道什么意思啊？

a交BA交b就是甲乙相连，且甲丙相连。甲乙相邻企业加乙丙相对不是30相邻，就很多同学这一块儿写错了，结果发现答案对不上，找不到原因。大家想想，甲乙相邻且甲丙相邻是什么情况？甲跟乙要相邻，甲跟丙要相邻，能不能想到甲只能站在中间，所以这个包只能是甲站在正中间不能动。这样才能满足甲跟乙是相邻的，而且甲跟丙也相邻。所以说这个包内部就是二的阶层，

然后这时候还剩下丁根物。这样钉跟物，所以说这个包内部是二的阶层，然后再乘以三的阶层，这二的阶层代表是乙跟丙来排序甲站在正中间不能动。然后这三个阶层代表是这个包看成一个，还有钉跟物看成两个，总共呢，把它看成三个来进行排。这样就可以了，好吧，这样算呢，也等于36。很多同学错在这，这地方就出错了好吧，

错在这一块儿。啊，错在a交b这一块儿，所以说它反面是或或的话，那就减掉它的交集，它交集这一块儿别弄错了。好吧，这是给大家讲的这这个题，其实这个题是比较难的，主要大家逻辑关系要把它梳理清楚，逻辑关系梳理清楚，那这个题就好做了，好吧，要把这样的题目。都要弄清楚，

看是不是明白了？好，接下来咱们看啊，31题这个题。我们涉及八枪命中，四枪恰好三枪要连中，恰好三枪连中好，那这个连中就相当于是。要打包就相邻要打包。项链要打包，这样就OK了好吧，这是它的这个方法。好，那么接下来我们看它命中四枪，它要三枪要连中。

好，那相当于你把这个不重的这个四枪先给它排好，有点像咱们关灯模型一样。要把灯泡先排好，因为这个都是一样的，因为没打中，这都是一样的，就不要再排序了。然后接下来三枪连中啊，把三个对勾连中和另外一个把它插空就行了，大家发现这有几个空可以。一二三四五。是不是它有五个空？是不是有五个空？好从五个空，

我们要选几个空，大家看看从五个空。五个空要选两个空。对吧，五个空要选两个空。好，五个空要选两个空。选好以后，这个还要排序，知道吧？虽然这个命中是一样的，但是它这三个中跟这个。是不一样的是吧？这个包跟这个是不一样的，如果要这种情况就不要再排序了，

比如说这两个勾儿打个包，这两个勾儿打个包。打包这两包就一模一样了，就不要再排序了，知道吧？你看这两包它一样的。啊，因为这两个命中，这两个命中，这个是一样的，现在它不一样，现在它三个命中和一个命中，这个是是不一样的是吧？不一样，所以要乘以二的阶乘，

这样得到20，这样答案就写好，这样答案就选择c选项。好，这是它的做题方法，看懂了没有？好吧，所以通过这道题，大家呢？要知道它的考试方法。懂了吧，也就说我们呢，就要会分析。啊，答案就写出来一个20。

啊，这是它的做题点。也通过这道题，大家呢啊，一定要把这个相邻打包还涉及到不相邻。表面上，它只考它的相邻，但是实质上还考的不相邻，不相邻，要把这个。这个包跟这个呢，要分开插空隔开就可以了，而且它的做题要点方法。接下来咱们看这个题有八个人站成一排，四个男生，

三个女生，恰好三个男生相邻。那跟上题差不多，但是不一样点是什么不一样点要注意排序知道吧，因为这个男生要恰好三个男生相邻，这时候呢女生呢？要先站好。啊，女生先给她排好。好女生排好后，这时候四的阶乘。因为女生是不一样，跟上题不一样，上题。他这个都没打中，

没打中不中，它是相同的，对吧？好，那这时候女生呢，先排好，然后这有三个男生。要打个包。还有一个男生跟这个包去插空就行了，所以这时候要从四个男生选三个男生，三个男生要打包，这就代表。是打包。啊，打好包了，

然后这时候叫插空，大家可以发现一二三四五啊，有五个空位啊，五个空位，那么选几个空位插空五个空位，要选两个空位。是吧，一二三四五五个空要选两个空位，选两个空位，然后把这个包跟这个男生来插空，就乘以二的阶乘就可以了。好吧，去查空，这样就可以写出结果，那这些答案这些数稍微大点，

这些答案就幺幺五二零。啊幺幺五二零啊，这个求解出来好吧，这个恰有三个男生相邻，表面上他只考察相邻。但是实际上还考察了插空，就这个包跟剩下那个男生要插空。好，这是它的这个方法。思路看是不懂了，所以要掌握它的考要点，要会分析知道吧，而且要知道什么时候排序，什么时候不该排序。一定要会分析和思考，

这是它的这个考虑要点，所以大家呢，要把这个相邻不相邻，尤其有的题呢，它比较复杂，两类都不相邻啊，或者相邻不相邻啊，同时出现的时候啊。要怎么处理？把这些方法要弄清楚。啊，考试时候把图画好，这样话就不会出错了，得掌握这样的做题要点就可以达到考试要求。

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