050.专项十二-练习-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 10:44:43

下面咱们看27题，这个题这个题啊，政府召集五家企业的负责人开会，其中甲企业呢，有两个参加会。其余四家企业各有一个人到会，然后会上要有三人发言，这三人来自三家不同的企业。它的可能情况数到底有多少种？那这道题我们可以从正面做，正面的话就相当于要分类。要分类分类就分成甲企业比较特殊，甲来了两人，那么就这个发言的人。那么，

甲参加没有？还是没参加？有甲还是无甲是吧？发言的人。啊，有甲企业还是无甲企业？好，如果有甲企业的话，那么甲企业两人只能选一个人来发言，是不是这两人只能挑一个人来进行发言？那么剩下还需要两人发言，就从四家企业里面这四个人里面再选两人来发言，这样就可以了。好那么无假的话，无假的话就相当于是从其他四个企业选三个企业来，

所以加在一起共。16种。加起共16种，这个呢，就选择b选项好，这是方法一。好，我们看方法二方法二呢？我们用这个反面的减法。排名减法，那总的选法我们看有多少？总的选法就是总有几个人呀，有几个人大家可以看看。在这里面，这是四个人，

加上两总共是六个人，对吧？有开会的，总共是六个人，五家企业，有六个人过来开会，六个人随便挑三个人来发言。减去。啊，简介三个人，他不是来自不同企业，三个人里面有相同企业，有相同企业，那一定是假企业，因为其他企业他只有一个人，

对不对？其他企业它只有一个人好，那么说明它的反面有甲企业，这两个人他都参会了。然后再从其他四家里面再选一个人，就这种反面情况，就是两个甲企业的和一个其他的，这是反面的情况，如果这道题。其他四家企业参会的人比较多啊，参会人比较比如其他四家企业，有的企业也是参加两个人，这时候还要反面，还要再减反面呃，就会比较复杂，

如果发现反面比较复杂，就从正面做就可以了。好吧，然后这样就是20。减掉四得到16，答案呢是一样的好吧，所以在这里面大家呢啊，从题目的要求可以从正面做，也可以从反面做考试，你看它这个数字怎么改，如果其他四家企业它的。参加人数也比较多，这时候呢，反面呢，就讲起就比较复杂了啊。

好来看28题，这个题十名大学毕业生选三个人担任。村主任助理，甲乙至少有一人入选，而丙没有入入选。并没有入选好，那么在这里面不同选法到底是多少这个，而就代表是且是吧，而代表且这个就代表是前面把它看成a，后面把它看成b，接下来a。且b！就相当于a交b。是吧啊，这个a且BA写成a交b好，

咱们前面讲a交b可以用欧米伽减去AC并上BC。还要写成a-a交BC。还可以写成b-b交a分。好，这样的特征。好，那在这里面我们呢？呃，第一个方法，第一个方法，我们用分类用加法，第二个方法就可以用减法，好吧，方法一。方法依旧是分类。

反正有甲乙至少有个人入选，甲乙至少有个入选，那么甲乙那么如果选乙人。甲乙如果选两个人，我们看看那接下来我们来看一下啊，它的表达式。如果甲乙选一个人，这时候那么就写c二一是吧？甲乙挑一个人。第二个人，然后呢？因为他丙嗯没有入选丙没有入选，那只能从其他七个人里面再选两个人，这样就可以了。然后这样就可以得到42。

好，如果甲乙两人都选，然后再乘以c七一。这有七个人，所以把它加在一起就得到49人，所以共。49种选法，这个答案就选择c选项好，这是给大家强调的分类啊，甲乙至少有一人入选，我们就可以分类分成，甲乙选中一个人和甲乙两人都选了来进行分类。这样就可以了，好，我们来看方法二。

方法，我们用这个减法。用减法如果呃，用第一个式子来画，第一个式子来画，变成或变成或的话，这个就不好弄是吧？它变或大家从学逻辑的角度，它的反面这个且就变成或了。或的话就相当于甲乙没有选或者说。丙入选了，丙没有入选的，反面有丙入选了是吧？那这块儿呢？不好写好来看一下，

后两个后两可以把这个a看成一个集合，减掉这个。a呢，要加以至少一个入选。减去甲乙至少有一个人入选，并且然后丙入选了丙b非就代表丙入选了。是吧，丙入入选了，那这时候呢，你可以去思考好吧，甲入选了啊，甲乙至少有一个人入选，然后丙这块儿。这块儿的话，丙入选了这块儿还不如呢，

用这个来做要简单，这来做这个代表是丙没有入选减去丙没有入选且。甲乙都没入选，就甲乙知道有人入选，甲乙都没入选，我这道题能选这个做好吧，选这个做好，那么这道题就可以用。这个b呢，就代表丙没入选的所有选法，丙没有入选所有选法，应该是c九三。是吧，丙没有入选他的所有选项c九三，然后减去丙没有入选，

其实甲乙也没入选。就相当于甲乙丙三个人都没入选，甲乙丙三个人都没入选，就减掉c七三。减掉c七三得到八四，减掉35也等于49，好吧，所以这个大家算一下，得到答案是一样的。好，那么遇到这个且的问题，我反复给大家强调过，可以用分类的方法做啊，分类用加法，这是用加法做，

也可以用减法减法，这三个表达式，你自己可以去挑。好吧，然后根据你逻辑的分析和判断，看用哪个表示要简单，我们就用哪个做就可以了。好，这是给大家。强调的做题点。好，这个答案就选c选项好29题29题，这道题移动公司推出一组手机号码卡号的前七位数的固定。然后从啊这个前面这个数啊，不管它从这个零零零到九九共一万个号码。

公司规定，凡卡号后四位就在后四位，含有数字四或者七，注意这是或或者七的。然后呢，一律作为优惠卡，因为这样的号儿不是太好，所以说我们呢，就作为优惠卡，问这优惠卡到底是多少个？啊，注意，这是或的关系啊，好那么遇到a或b。啊，

遇到a或b应该写成a+b。减a交b。好呃a。加b-a交b啊，这样的情况还可以把它写成什么呢啊？写成。啊，就是欧米伽。就总结了减掉a非。交b费。啊a飞交b飞用欧米伽减去a飞交b飞好这样的特征好，那在这里面我们来看一下它的这个内容。这道题我们就可以用总情况解好吧，解那总情况不有一万个号吗？一万号减去不含四且不含七的不含四且不含七的，

大家知道这个十个数。十个数去掉不含四且不含七，那么这个都是每一个都是剩八个数了，对吧？因为每一位都是零到90个数嘛，零到90个数去掉。四跟七去掉四跟七的话，只剩下八个数，所以说个位十位百位千位。啊，这样的特征啊，这样我们就可以写出它的这个数值情况，然后这样我们就可以算出答案来，好吧，所以这是给大家强调的特征，

就等于五九零四。啊，这个答案就选择c选项好，这是给大家讲的做题方法啊，所以大家遇到这些或的问题，我们来看这个反面反面就不含四且不含七。那这样不含四且不含七呢，要好做一点好，这是给大家强调的做题点。接下来，我们看第30题啊，在一块并排石垄的，石垄的田地中选择两垄分别种AB两种作物，每种作物种植一种。为有利生长，

它的间隔不小于就大于等于六啊不小于。这不同的做法有多少种？那这道题大家可以发现它的间隔，那么有可能是六，有可能是七，有可能是八，是吧？所以在这里面，我们呢？可以。采用反面也不好说，有同学说反面发大于等于六的，反面小于六小于六的话，那有可能是五有可能是四有可能三有可能二。啊，

有可能一那这个或者说两者相邻是吧？反面也不好做，所以我们就直接从正面做吧，正面做第一种情况，那么这个可以分类。好吧，所以在这里面我我把这个这个方法一就是列列举法。啊列举分类我我把它这十种给它标上号好吧，标上号。好，这一二三四五六七八九十好，那这个施施总。这种大家想想，如果a要种在这。a要种在这儿a要种在这儿中间得间隔六个一二三四五六六那b可以种在八。

90是吧，所以b呢，它可以去选在这好，如果a要种在第二个位置a要种在第二个位置，那b只能选九跟十。是吧b，他只能选九跟十嘛，如果a要重在第三个位置。然后b它只能选这个十。啊b，它只能在这个地方好，所以在这里面可以发现好第一种列出来有三三种情况，第二种列出来有两种情况，这是有一种情况是吧？所以就可以选三+2+1。

但在这里面，大家注意AB，它可以互换，听到没有？因为我刚才说的先讨论a那同样道理，那有可能先讨论b是吧？先讨论b的这个情况BB。b在一号a，它有三种b在二号a，有两种等等的，所以在这里面我们就可以写作，就等于12种。所以要乘以二就AB，也可以理解成AB可以交换好，这是一个方法，

然后方法二。那么，我们看采用这种插空法，做插空法什么AB？它间隔不小于六不小于六的话，我们先让AB。刚好呢，间隔是六楼一二三四五六。啊，这样的是吧？这时候其中这个他已经用掉了八笼，为什么你看中间是空了六笼，然后a用了一笼b，用了一笼，所以总共呢用了八笼。

巴陇那这时候是不是还有呃梁陇啊？好，还剩两拢这个两拢它可以插空是可以分开插空，听到没分开插空分开插空，大家注意那么这个空位可以用。中间这几个空位，中间这些空位。都是一样的啊，中间别看这个空位那么多，这都是一样的，因为这个这个空的拢插在这插在这插在这插在这效果是一样的，明白吧？所以在这里面其实有效控位就是左边一个龙，中间这些空位都是一样的，右边有个空位，

它可以可以用。所以在这里面，它这两种可以分开插空，所以从三个空位里面选两个空位是吧？从三个空位就这是一个中间，这些都是把它当成一一个啊，看一个。然后右边一个所以三个选两个好，然后这个就这这这两种，剩下两种是分开插，然后注意AB它可以交换啊。AB它可以左右交换是吧？AB它可以左右有可能a在左边有可能a在右边，加上还有可能是什么？啊，

还有可能是这两种呢啊，一起插空这两种相当于打个包一起插空这两种可以都插在这个空也可以都插在这这个空，这个空都是一样的啊，有可能都插这个空。所以c三一。c三一，然后乘以二的阶乘，这个二的阶乘代表AB，它可以交换AB，它可以交换这个算完也等于12。好，这个方法给大家强调了，那这个方法适用于什么呢？适用于剩下的这个垄它比较少，那么这时候可以用这个方法。

如果剩下的种要比较多，比如剩下三种的话，那这个讨论起来就比较麻烦，剩下三种的话，有可能这三种是分开插空的。啊，三种是隔开插空，有可能三种里面有两种。两种是一起的，跟另外一个来查空。有可能三种一起来插空。所以在要根据啊，剩余的这个垄带插空的时候，那么有几个是挨在一起的啊，有可能是分开的，

有可能两个挨在一起，有可能三个挨在一起。好吧，所以在这里面大家呢，要会写它的表达式，不要给做错了。好，再给大家介绍两个方法，第一个方法就是列举的方法，列举方法也是非常重要的一个方法，大家呢，一定要掌握这种方法啊。在这里，我们再看第31题，这道题主要考察全能元素问题啊，

全能元素我们在奖励之后给大家讲了两个方法是吧，所以大家可以用两个方法，我再给大家进行写一写啊。有11名翻译人员，其中五名英语，四名日语，另外两人呢，都精通，这两人就是全能的。都都精通，从中找八个人，哎，要求两翻译小组请四人翻译英语，四人翻译日文，这两个小组能同时工作，

同工的就什么意思，不能说让这个全人翻译完英语活儿，然后再过来翻译日语。日本活就一个人，他不能呃分身是吧？所以说在这里面就就必须得这四个人，这四个人那选择八个人，你不能说选了七个人，选了七个人，有一个人全能的先过来干英语活，过来干英语活，那个人再过来干日语。那这个呢，他为了避免理解上歧义，所以说在这里面他要求呢，

同时工作是这个意思，然后这样的分配云端有多少有多少种情况？可以写出多少种情况？好在这里面方法一。方法一的话，我们就根据全能人来进行分类。根据全能人。来分类，这样就可以了。好那么权人，他有可能选中，有可能没选中是吧？所以权人如果选呀选呃零个人。如果全人要选一个人。好，

如果全人两人都选上了。啊，全人是零个人，一个人两个人，如果全人要选零个人的话，零个人是什么呀？那相当于是只能没有只能。只能是让这些人来翻译了，不能有钱人就五个英语选四个去翻译c五四。乘以一个c四四。好，这个都等于五。这个写好了。好，那么如果全人要选一个人啊，

选选一个人好，那么全人如果选一个人的话，那在这里面我们来看是什么情况？选一个人，如果这个人要去英语是吧？这个人要去英语，英语是不是还差三个人呀？就c五三。然后乘以一个c四四。啊，日语再选四个人，假如全全人要去日语，去日语，那么英语就是c五四。英语C五四，

然后呢？日语就c四三。好，那这全能选中一定要分啊，分它的这个情况好，这个c五三是十十。然后这个呢？啊，这个五乘以四二十这个30。对吧，所以这个就可以写出来。然后接着我们来看一下，全能选两选两个，他又又得分类啊，就大类里面分小类就得全能，

两人都去英语都去英语的话，英语还差两个人c五二。好日语呃，再选四个人。好那么前人他有可能。好，那么上面这个呢？还要还要再添上一个，再添一个什么，因为全员选一个人，是不是还整体还要再乘一个c二二一是吧？所以在这里面啊，这里要乘一个c二二一c二一代表就全人到底选哪哪个人是吧，所以要写一个c二一啊，到时候呢？

啊，要选一下，所以这个就得到是60。啊，就是全能，他要选一下啊，所以大家记住啊，这两个人全能选一个。好，那接下来我们再看，如果2000人去日语去日语的话，就c5呃c五四。是吧c五四，然后乘以一个c四二。好，

那么还有可能是两人全人一个去英语，一个去日语就c五三。c四三。注意还要乘以个二的阶乘啊，为什么乘以二的阶乘？因为这两圈人那么英语和日语，它两个可以交换明白吧，它两个可以交换。所以说在这里面，我们呢，就可以写出来结果。我们来看一下这个c五二，这个就是十是吧？这就是十，然后呢？

加上这个呃，这个是五五乘以六三十。这是30，然后再加上这个c五三不就十吗？十然后乘以个四。啊十×4，然后再乘以二啊，这样的特特征是吧？所以这个就是十×42，这88加这个就120。120好，那把它加在一起，我们就可以得到共185好吧，这个就是五，这个是60，

这120，所以共。八大家在一起。共185。好，这个答案就选择b选项好，那这个方法一我们看方法二。啊，方法二这一块儿，大家呢？看看怎么去思考呢？方法二。方法我们可以按照这个角色就看，按照英文或者按照日文，它的角色构成情况来分析是吧？

好，我们来看英文。啊，按照日文也行啊，英文。好，因为它的构构成情况什么呢？就是无全能的一个全能和两个全能的是吧？好无全能的。好那么一个全能的。和两个全能的。好，那这样的特征好，那看一下，如果这个因为要无全能的无全能的话，

那这时候就c五四。啊，英文就学好了，注意英文没选上的全能人都要作为日语的候选人，日语原来是四个，加上两个就变成六个啊。六个c六四。好，那么c六四=c六二就得到十五十五，然后再乘以五得到75。好，这个就写出来是75，然后一个全能的，一个全能的话，那这时候得挑一个是不是得得挑一个全能的c二一？

挑一个全能的挑全能，然后呢去英语英文英文就是c五三。好c五三好，这英文就写好了，写好，然后这时候还有一个圈子没选上，没选上要放在日语里面来选啊，所以日语原来四个四个加上一个就是五个五个，然后选四个日语的。好，那这个大家知道c五四是五五乘以这个十十+10×10得100。好，我们再看一下两个全能的去英语，两个全能的去英语，那么英语就是c五二。

英语就是CC五二好，这个法语呃，日语就是c四四。c四四然后这样就得到是十，然后十，然后把这三个加在一起，它也是185是一样的是吧？所以在这里面给大家进行讲讲啊，可以按照全能人。它的选中情况分类，这是第一个思路，第二个思路可以按照某一个角色，你可以按照英文，它的角色构成英文，它的角色分为没有全人组成一个全人组成和两个全人组成。

按照这个角色来进行分就可以了。好，接下来我们看32题某外语，有九个人至少会其中一门，其中七个人会英语，三个人会日语。那这时候我们先看全能有几个就七+3。减料酒。等于一这个一呢就全能的，有一个是吧，全能有一个。好，这时候呢，他要选出会英语和日语的，有一个人这个大家也可以按照刚才咱们讲的两种方法来写好吧，

然后呢，你可以按照这个全能的。啊，这是方法一啊，方法一，这是方法一了。方法一哎，全能全能的，如果要选中和没选中啊，如果选没选中。我们看全程帧，如果它要没选中啊，全程要没选中的话，那在这里面我们看来怎么来写啊？全人如果没选中的话，

那么在这里面就相当于是从六个只会英语的，对吧？就六个只会英的。然后两个指挥日语的。还有一个是全能的是吧？没全能，那只能是c六一。c二一。这样就得到12种。好，这是没选中好，如果要选中的话。选选中的话，那在这里面这个选中要看他去英语还去日语，如果他要去英语，

那么日语选选一个就行了，如果他要去日语，那么英语选一个。这里得到18种。好，那么加在一起就共20种。好，这样就可以写出来，总共呢是二种。好，那这样呢，就选择b选项好，这是给大家强调的知识点好，这是方法一，我们再看方法二。

再看方法二，好方法二的话，那它的特点是什么呢？就相当于是我们根据这个角色看英语。它的构成情况。看英语好，那么英语如果要是。无全能的。好，我们来看一下，如果英语它有没有全能的好？英语要没有全能的话，应该怎么写呢？就相当于是从六个英语里面。挑一个。

啊，英语的。然后日语这位这个全能人没选上，没选上的话，那么应当放在日语候选人，日语原来是两个，加上这个全能人就三个。所以三个里面挑一个。挑一个，然后这时候呢，就18种。好，那么如果这个英语里面有这个全能的，全能的是选上了。选上那英语就就完就完事了是吧？

英语就够了，然后就剩再选日语，日语的话就两个人选，一个人就行了是吧？c二一。就等于二。好把这两个加在一起，它也是20，答案是一样的好吧，一样做法啊，看是否学会了。好，那么33题这个题。从变为一二三五六的六个球，任取四个。

放在编号为abcd的四个盒子中，每个盒子一个球，且二号球不能放在b中，四号球不能放在d中，问不同的方法到底有多少种？好，那么接下来我们来看这个题，这个题我们把前面看成一个a这块儿，把它看成一个b是吧？比如这这个中间就是且a且b。啊a且且b好，那么a且b就相当于a交BA交b，我们前面讲可以写上欧米伽减去AC并上BC。也可以写成a-a交b费。也可以写成b-b交AC。

好，这样的特征。好，那在这里面，我们来看一下呃，这个表达式，这表示我们可以用这个方法来来做这个方法就相当于是它的反面AC就代表二号球在b中。且就变成或色球在d中好吧，所以在这里面我们可以用这个方法做啊，所有的方法应该应该有多少种呢？欧米伽应该多少种啊？我们应该就c六四。乘以四的阶乘就像是从六个球里面选了四个c六四，四个球，每个盒子放一个球，

然后就乘以四的阶乘。然后减去。减去a非或者b非就是二号球在b中或者四号球在d中啊，就二号球在b中就是。a这两个并并的话，就相当于是什么呢？就是a并b。可以写成a+b-a交b，就这样的特征啊，所以这个a就相当于a非a非就相当于什么相当于二号球在b中，二号球在b中，那么从其他几个球啊？从其他五个球再选三个，再剩下a CD盒进行排序，加上BC就代表四号球在d中。

四号球在d中就相当于c五三再选三个球，然后这三个球在ABC排序减去，减去它两个交，它两个交就二号球在b中，且四号球在d中。那么就才从剩下四个球里面选两个球，选两个球在。在b和在a和c里面进行排是吧？在a和c这两个盒子里面进行排，这样就可以写出它的结果好吧好，那最后算出来答案就等于一个。252这个答案就选择c选项啊，这是它的这个特征和方法，当然大家也可以按照其他思路来进行写。其他思路，

其他思路的话，比如这个二号球不放在b中啊，我还可以再给大家进行另外一种减法，这个都可可以啊，这是用欧米伽的这种方式，欧米伽这出现或或的话就等于两个相加，再减去两个交。是吧，他或他，然后还可以怎么写呢？还可以另外一种写法是这样写，另外写法反正用这个用这个写是一样的好吧，我们用这个写这个写就二号球不在b中的所有写法，二号球不在b中，那就从一三四五。

五六随便选一个放在b中就c五一啊，放在b中，然后呢b就放好了。b放好了。然后呢？我们再来看一下，从其他几个球再进行挑是吧？然后还有三个呃盒盒子需要放，然后再挑三个球c五三。乘以三的阶乘好，这是其他三个球好，这就代表二号球不在b中的所有方法啊，二号球不在。中所有方法减去a交BC代表什么呀？a交BC就是二号球不在b中，

且四号球在dd中。就四号球在d中，且二号球呢？不在b中，就二号球，它没有放在b这个里头。好四号球在d里面，他已经放好了，那么b里面不能放二号球，不能放二号球，二号球就原来是六个球，六个球呃，四号球已经放了，还剩下五个，五个去掉二号球，

还有四个。所以四个里面挑一个。挑一个，那这时候还剩下AC哎AC的话，然后这时候还剩下几个球呢，还剩下三个球了，是不是啊？呃，还还剩下四个球，因为二号球可以在AC里头是吧？所以还剩下四个球。四个球再挑两个，然后再来排排序，这个这个就排在哪排在AC呃，这个情况AC这个呢？

就排在a cd。好吧，我给大家写一下啊，这个c5就BB盒子不能选二号球，然后a cd再选三个球来排。减去这个二号球不能放在b里头，然后呢呃AC两个盒子再排就行了好吧，然后这个我们就可以写作五×1个。然后这个是十乘以个六。减去，然后这是四。乘以六。再乘以二，再乘以二，好，

这个就可以得到，前面是300。减去一个48。300-48，这个得到是252。啊，得到就二二百五十二这样就写好了，好正确答案就选择c选项，看是不是学会了？好，那下面咱们看34题，这里六张作为编号为一二三五六电影票分给四个人，每人至少一张，最多两张。且分到两张票，

必有连连续的编号，为什么连续编号就要呃，有时候呢，学校给你发电影儿，你要要要求你的朋友来做，直接给你连号儿是吧，你跟你朋友看电影儿的时候可以坐在一起。好吧，所以说为了方便你和你的朋友呢，一起去看电影，所以在这里面他要给联系编号，所以这个大家发现这四个人。四个人应该是呃，是什么情况呢？四个人？

应该有两人是拿一张票的。是吧，有两人是拿了一张票。还有两个人各拿两张票，是不是这样的？好，那这是他的电影票的情况，然后接下来我们来看一下这两张票连号的这个方法到底有多少种是吧？连号方法。连号我们就得列列一下连连号。啊，这时候就要用列举法，就连号的方法啊，就用列举法啊，列列这样就可以了。

好，那么连号我们可以看，可以连什么连一二？然后另外就是三四。是吧，可以用一二，然后另外三四，还有可能是一二。一样，然后呢？另外就。四五。还有什么？还有就一样。五六。

是吧，好那么还有没有？还有就是二三。二三好，二二三的话就四五。还有就二三。五六。好啊，还有三四。木根六。好，那这个咱们把票都给它分好啊，这分成这六种情况是吧啊？六种情况啊，就一二三四。

另外，五跟六有两张单票好吧，还有一二四五就三跟六是两张单票等等的，所以说这个可以分成六种情况。好，六种情况，我相当于把票分成了四份儿，听到没？这个分成四份儿，分成四份儿，然后交给四个人做一下排序就行了啊。所以六种情况。然后乘以四的阶乘，这样就可以了。然后这样就等于24×6得到144。

好，这样就可以写出来的结果得到144。好，那正确答案应该选择d选项，答案就求好了好，这是给大家强调的做题点方法，看是不是明白了？好，这道题主要考连号儿就得用列语法把连号儿给它列出来啊。35题，这个题。五名乒乓球队员中，有两名老队员和三名新队员从中选择三名队员，排成一，二，

三号。啊，从选了三名队员，排成一二三号好入选三名队员中，至少有一名老队员，这个我可以把它看成a。条件且一二号至少有名新队员，这把他看成b。啊，这个是且。好又遇到刚咱们讲过的a交b了，是不是这样的特征？又遇到a交b，所以a交b。我们刚才遇到了好多次，

是不是可以写成？哦，米嘎。减去AC。冰上必废。啊，也可以写成a。减去a交。必非。好也可以写成b-b交AC。啊，可以写成这样的特征。好，那么接下来我们来看一下它的式子。好，

那我们这道题呃，当然还可以用分类啊，还可以用分类，所以这道题方法比较多方法一，我们可以用分类。分类来来进行写。啊，分类来表示。好，那分类化，那在这里面就他说这个三个人至少有一名老队员。啊，而且一二号至少有名新队员，那人员的构成可以写成就一劳两两心是吧？这就一劳两心。

好就是一个老队员，两个新新队员啊，还可以写成什么呢？写成两个老队员。然后一个新队员。对吧啊，一个新队员来分类，这样行好，那在这里面如果一劳两两心两心一二号至少要有一名新队员。啊，一二号一号二号那么至少要有一名细心队员好，这有一名新队员，那在这边看一到两两星，这三个人不管怎么排，那肯定一二号那至少有明星。

新队员了，不管怎么排是吧？那这块儿都会至少有名新新队员，所以就直接让三个人全排去就OK了，就是六种。是吧，六六种，但是这里面要要选一下啊，要选一下，然后因为一老两新，然后有两名老队员。所以说要c二一。是吧，有两名老队员要选选一个，然后三名新队员要选两个。

所以这个算出来就等于36。啊，再算算算，结果就等于36。好了，如果两老一心啊，两老一心的话，那么在这里面先把这个人给选好吧，有两名老队员c2。二是吧啊，两名老老队员选好了，然后一个新队员啊，一个细心队员就是c三一。啊，一个新兴队员。

然后就两个老队员，一个新队员，这个写好了，写好以后那么这时候呢，大家可以看，就这个新队员得给他安排到一号或者二号c二一。就这个c二一就相当于新新队员，他去哪儿是吧？就c二一，然后剩下还有两个老队员就在剩下两个编号，随便排就行了。好，这样我们就可以写出来，结果好这个呢，就是得到是12啊12，

然后呢，加在一起得到就48。加在一起，它大概就48种。好，那正确答案就选择a选项，这是给大家强调的好方法，二我们来看一下。方法二，方法二的话，我们写一写啊，方法二，方法三说是呃，就是a且BA且b，我们可以写成什么呢？

我们这道题我们看用用用哪个式啊？这三个式用哪个那么看用第一个行不行？第一个就变成没有老队员。或者是。然后呢？一二号都不是新队员，那这货是吧？这货。啊或然后呢？就用这个式来去表表示是吧？这是一个方法，那可以用这个表达式来去写。好，那这个表表达式来写的话就相当于是所有的选法，然后给大家求求解出来是吧啊，

所有选法。给他求解出来，所以用用前面这个表示可以写就所有的欧米伽就c五三五个队员，随便选三个人。然后这三个人在一二三号随便排个序。乘以三的阶乘。然后减去减去括号括号，这个就代表是没有老队员，或者说一二号。一二号。然后呢呃，没有新队队员是吧？因为至少有有一个嘛，至少有一个就代表一个都没有是吧？好，

我们先看ac ac就代表没有老队员，没有老队员就说明全都是新队员。对吧好，这是a飞加上b飞。好b飞b飞，我们来看一下是多少b飞b飞的话就相当于是呃一二号啊，一二号没有。新队员就一二号都是老队员是吧？一二号都是老队员好，一二号都是老队员，那么两个老队员都得过来，就是在在在一二号排。然后乘以一个。啊乘以一个乘以一个，然后这个三号是不是我们还得再选选一选啊？

三号必须是新队员就c三一。然后减去，因为b的话啊a或b那么还要减掉它两个交集交集就是啊，既没有老队员，而且呢，一二号那么还得是新队员。是吧，所以在这里面大家呢，就可以写写出来就一二号他他都不是这个这样的，就相当于他两个的交集，明白吧，你要找他交集交集就相当于是这个三名队员没有老队员。且。一二号没有新队员，那这个交集好像就是零是吧？

这个交集正好就为零，那是不可能的。好吧，所以在这里面我们就可以写出来，结果然后这样就得到这个是前面算的，就是60。减掉12。得得到48。啊，得到48好这种写法啊，也是AA选项，当然大家还可以用什么？还可以用a减去。a教b飞用这个做也可可以，大家可以练一下好吧，

也可以练一下，就像是a就代表没有老呃a代表至少有一个老队员，他的方法数。然后呢？如果你觉得这个不好，你用这个做也行，这个都用b-b交a非a非就代表没有老队员。是吧，所以在这里面，你自己可以去锻炼一下思维啊，自己练习一下。好，我们来看36题，在由数字一二三四五组成的，没有重复数的五位数中大于二三幺四五且小于。

四三五二幺，它的数共有多少个？就介于这个范围之间的五位数到底有多少个好？我们来看一下。呃，对于数字，它有给一个限定范围，我们要采用查字典。啊查字典好，那么查字典那么什么叫查字典？大家想想我们在呃英文查字典的时候，是不是从这个第一个字母开始，往后慢慢查呀？是不是呃，慢慢慢查，

比如说我们查apple这个单词。apple这个英文字典字典这个单词怎么好？你先查a字母开头的，然后再查BP字母，再查p字母，再查l开开头，最后再查e字母，就找到这个单词了，是不是？所以这个就叫查字典好，那在这里面，我们先查这个。二三一四五。就介于二三一四五。我们先看二开头的啊，

有多少个就比它大啊，就介于它和四三。五二一。之间的好都比它大的比较大，那么如果要是二开头啊，比它大的二开开头比较大的话，那我们要看这个三。是吧，三三它可以取四跟五，所有的数是不是所以就二开头的这个地方，我们可以取。四跟五都可以是吧？你看取四也好，五也好，后面这三个数都可以随便排了，

是不是这样的？是不是这样想想，后面这个30度可以随便拍，只要这地方放四跟五，那这个肯定都比它大，所以这个就c二一。啊乘以一个，然后三的阶乘。这等于12。啊12，然后二开开多少？还有没有二开多少？如果这个地方刚好是三。呃根号三根号三的话，那这个数只要排四跟五。

这个数只要排四跟五。c二一是吧？就这个地方排四跟五四跟五的话，后面这两个数，后面剩下的这两个数，比如说这个排四，剩下一跟五一跟五可以随便排。所以乘以个二的阶乘。然后这个就得到是四。好，得到结果就是四。好，然后呢？我们来看一下，如果这个是。

二三一。要是二二三一二三一的话，那这一块儿这一块儿它只能排五了。这块儿只能排四，所以这个就就有一个是吧？好这个就一个，所以二开头的总共加加在一起就17个。看到没有，就这个把它加在一起啊，这个算出来，我们可以看到它总共就17个。好，这个二开头就写好了，那么三开头的所有数是不是都可以啊？三开头的啊，

后面这四个怎么排都都行，是不是？啊，这四个数怎么排都可以，三开头的就二一四五，随便怎么排，主要就是四的阶乘。就等于24。好，那这是它这个情况，然后接下来我们再看四开头的好，四开头的这块儿呃，四开头我们就有小就要比比这个数要小四开头的。如果他这个。千位要是一要要是一的话啊，

要一或或者二是吧，就这个数要一或者二。你看就这个地方要一或者二，它肯定比三都小嘛，比三都都小，那这后面这个这个数都可以随便排了，是不是？所以在这里面。它这个数都可以随便排，我们写着就c二一。乘以。好c二一就代表这个地方，它可以取一跟二啊，这地方它可以取一跟二一跟二，然后后面这三个数，

剩下三个数随便排就三的阶乘。这个算出来就等于一个12。是不是好好这一跟二的就？排完了，是不是然后再排三的？啊，这个千位是三的千位三呢？那这个数要比五要小，比五五要小的就是一跟二。那一个二一个二，那这两个数后面剩下两个数可以随便写是吧？是不是就c二一啊？这个c二一代表什么意思呢？代表是这个剩下就是一跟二排在百位。排排列表剩下两个数呢，

就可以随便排。就可以随随便排，然后这样我们算算就得到就四种。啊四种，然后还有就是。四三如果百位药师五。百位要师五五五的话，百位要师五的话，那么要比这个数要小，比它要小，比它要小的话，那这个十位只能是二个位，只能是一，这就是一个。对吧，

这就是一个。好，然后这个就是四开头的就有17个是吧？所以共我们就可以写出来。共刚才讲的二开头的有17个。然后三开头的有24个。啊，加上这个。四开头有17个。这样得到是58个。好，这样子的是58个，所以这个呢，应该选择c选项答案就求解出来了，好看这个思路，

这个就叫做。查字典啊，从这个高位。百位十位个位，然后慢慢往下查，查完后看比它小的也好，比它大的也好，那么有多少种选法，看是不是学会了？好，我们来看37题，这个题十名队员有三名主力。现在选五名队员。参加比赛，三名主力队员。

安排在一三五位置，然后七名队员安排在选两人，按照二四位置，所以不同的出场安排有多少种？那一个三名队员。就三个主力，所以说全选全选就可以省略就三的阶层，那个主力队员就安排好了，是不是那好乘以一个？啊乘以个其他七名，再选两个人。c七二啊，再再选两人选两人呢，要排在24位置，乘以二的阶层，

这样就可以了。三大阶层正好是六。然后这个c七二得到是21。然后再乘以二。好，最后答案就得到是252。得到答案就是252好，这个写这个答案就选择b选项这道题呢，比较简单，直接把主力安排好，然后其他一般队员给大家选出来，安排好就可以了。好，这是给大家强调的做题方法和思路，看这些题是否学会了啊？

不啊，不会做的，遇到一些难题，尤其遇到且的关系啊a且b，大家学会刚才咱讲的公式。可以呢，分类也可以用减法，减法的话可以用三种减法，你自己去挑好吧，所以大家呢，要掌握这样的做题思路和方法。好，下面咱们看38题，这个题将编号为一到十十个球放到编号为一到十十个盒子，每个盒子里放一个球。

恰有三个球的编号，与其所在的编号不一致，就三号三个不对号，那就说明剩下七个是对号，所以我们首先写c17。这个计又代表它对号了。就从十个选出七个，让它对号来排。然后剩下三个不对号，那么三个不对号，那么就是两种方法。三个步调备注就两两种方法，那c17就等于c13，然后乘以二，然后最后我们算答案就等于240。

这个呢，就选择b选项好，这是给大家强调这道题考点，就有一部分元素对号，有一部分元素不对号，大家会分析和思考。好，我们来看39题，这个题将九个人含甲乙平均分成三组就相当，每组三个人就九个人。分成三三三好，甲乙分在同一组则不同的分组方法有多少种好，那么甲乙他在同一组那甲乙这一组是不是还少一个人？另外两组各三个人。好，

那接下来我们来看甲乙这一组少一个人，是不是要写一个c七一c七一就代表从其他七个人里面选一个人给甲乙配成一组？好加一这一组就配好了，接下来我们再来看，剩下要六个人，六个人就写c六三c三三。然后除以二的阶乘，这样就写好了。啊c六三c三三除以二七，因为这两组它的数量是一样的，所以在分的时候大家注意不要重复了。好，所以这道题这一答就得到是70种好，这是给大家强调的做题点，所以大家要注意相同数量，

要注意呃，肖旭那么前面有甲乙这个组员的成员的名字，这时候呢，他就不参与肖旭。去了啊，虽然第一组他也是三个人，大家一定要记住下面我们来学习第40题，我们来看一下它的处理问题方法。好八本不同的书，按照以下要求分配各有多少种不同的分法，按照以下要求来分配。好，那么第一问平均分给甲乙丙丁四个人啊，平均分给甲乙丙丁四个人。好，

那么第一问我们可以有两种方法，方法一。我们这个书先锋堆。然后再排序。这个再排序就相当于是再分给四个人。好先分堆再排序，相当于分给四个人好，那八本书按照二二二分成四堆，就相当于c八二。c六二c四二c2，然后这时候除以四的阶乘，这样就相当于把八本书按照二二都给它分好了。分成了四份儿好，分成四份儿以后我们再乘以一个它的这个顺序情况就行了，然后因为这四份儿交给四个人，

那么再乘以四的阶乘。好，这是第一种写法，然后第二种写法方法二。方法二，如果他这个人他这个都知道分的数量，那么依次按人选选选书。但这时候就不要再排序了啊，依次按人。然后选书，这就不用再排序了，好那么甲就是选两本乙选两本。然后丙选两本。丁选两本，这时候这四个人手里书就不用再排序了，

这时候四个人每人他都是两本书。啊，每人都是两本，选好以后他们之间就不用再排了，因为他这是任意挑的啊，所以有同学这样写完后面再乘以四的阶层，我问他为什么要乘以四的阶层，他说这个每人选完书后手里的书可以交换啊，比如说甲手里两本书。跟一手里两本书可以兑换呀，其实在这个选的时候，它任意选的任选它已经兑换过了啊，不要再兑换了。好，那么在这里面，

我们就可以得到正确答案，就等于二五二零。这呢，应该选择b选项。然后第二问。第二问三个人一人四本，一人两本，一人一本，大家发现不知道这谁拿四本？所以在这里面，我们就用方法，一来做就行了，一定要先分堆。然后再排序。先分堆再排序好，

那接下来我们来看一下就相当于是这个按照四二二分成三堆，那么就相当于c八四。c四二c二二，然后后两堆数量一样啊，所以在这里面就除以二的阶乘就可以了。好，那这c八四c四二c2÷2的阶乘除完以后，然后再乘以这三个人进行排序。三个人进行排序，这样就可以了，好这道题不要按照方法二来思考，按照方法二大家容易错。那么怎么改就按照可以按照方法二来做呢？比如说甲是拿四本，乙是拿两本，

丙是拿两本，这时候呢，你可以按照方法二依次按人选数，比如说甲选四本。乙选两本，丙选两本，这样就可以了，好吧，所以在这里大家呢，注意它的方法。好，这个答案就选择e选项好，这是给大家强调的两问的区别，那么第一问它相当于给了这个甲乙丙丁人，然后每个人知道哪几本书？

第二本不知道这个四本到底是甲拿还是乙拿还是丙拿，不知道，所以这时候呢，就一定要先分堆分堆以后，然后再排序，把这个两个问。做一下对比啊，不要给混淆了，下面我们来看第41题，这个题目这个题它相当于是。这个是一个至少至多问题，至少至多问题，我们一定要按照他的情况来进行讨论，然后先。因为他这个房间不知道是几个人，

这时候呢，一定要先分堆先分组，然后再排序啊，所以在这里面我们来看一下六个人。然后分三堆。或者分三三组，分三组的话，那么由于由于他每个房间至少一名乘客，所以说在分的时候那么只能分成什么呢？可以分成二二。二分对吧？分成三堆。然后也可以按照这个三。二一分也可以按照四一分是吧？所以在这里面分好分好以后，

这个就是c六二c四二c二二。然后除以三的阶乘。好，这个就c六三c三二c1这样就写好了好吧，就c六二c四二c2÷3的之间这c六三。c三二c1这个就可以写成c六四c二一c1÷2的阶乘，这样就写好了。好，这个表达式就写好，写好以后把这些都写的结果，最后呢，再乘以三的阶乘往三个房间里放。乘以三的阶乘，再让三个房间里放，这样就可以写出来结果，

然后最后这个答案自己算把这个加在一起。就得到是540这呢，就选择e选项好，这是给大家强调的做题点，所以遇到至少至多这种在分堆或者说出现范围的时候，大家呢，一定要先按照。啊，我们这个给的数值范围先分类分类以后，然后把分堆分好分好，最后再往三个房间里放，这样就可以写出来的结果。好看，这个是不是学会了好那么此外大家还要注意一个错误解法。容易错的地方，

错的地方有同学是这样想的啊，这样想就想的是这样的，这不有三个房间吗？啊，三个房间，他从六个人先选，三个人先选，三个人一人呢，去一个房间。啊，一人去一个房间是不是？然后六个人选三个人就每个房间先安排一个人啊，因为他要求每个房间至少要有一门旅客嘛。每个房间至少要有每一旅客，然后也就说那么每个房间先安排一个人。

安排一个人好，安排一个人，然后再乘以啊，这个三的阶乘这个这个就安排好了，那么这时候剩下是不是还有三个人呀？因为六个人安排完三个人，剩下还有三个人。这三个人是不是可以随便放呀？三个人任意放三个房间，任意放的时候就可以写成方蜜。这样写呢就错了，这样就重复了很多，因为这个人先选的跟后选的，他会出现重复，比如说甲乙先选甲再放乙。

和先放乙这个在这个房间，最后再放甲这个房间，它的一样的效果，听到没有？它的效果是一样的，所以在这里面大家别给。出错了好，这是给大家强调的做题的易错点，所以遇到至少之多，千万不要先排好一部分人，剩下一部分人再去安排，这样的话就会出现错误。好，那么42题七人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？

第一问分成三组，分别为一个人，两人和四个人。好一个人，两人四个人就c七一c6。2c四四啊，这样就可以写它的结果好吧，所以在这里面啊，就得到是105。选b选项得到105。好，那么条件选五个人分成两组，就先挑出五个人分成两组，然后比如从七个人里面挑出五个人。挑了五个人以后，

把这五个人再分成两组，这是分步分步，一定要用乘法，听到没？这个事儿没做完，没做完就用乘法。啊乘以那么一组，是两个人，一组是三个人，因为这道题为什么不用除法呢？原因是什么呢？原因因为它这个分的数量都没有出现相同的是吧？是吧，所以这个就不用除。好，

然后这个我们就可以写出它的这个数值，这个算算这样答案就等于210。选d选项。啊，答案就写好了，当然第二问这样写也行，这个选五个人这块儿呢呃，可以。不用去管他，就从七个人，然后呢，挑出两两组，一组两人一组呢，是三个人是吧，就是从七个人里面我们呃选出两个小小组，

一组两人一组三个人，当然剩下还有人的话，咱们就不再。安排了，所以这样写也行，就c七二啊c七二中七个人选，两个人作为第一组。是吧，作为第一组，第一组就分完了，然后再从剩下还有五个人选，三个人作为第二组啊，第二组就分完了，算算也等于210。思路都是一样的，

所以有的时候这一步呢呃，可以把它合在合二为一啊，合二合二为一合成一个环节来分析，这样就可以。更简单一点。下面我们来看43题九人含甲乙平均分三种，甲乙分在不同组则不同分组的方法到底有多少种？好，这个方法一我们就相当于是啊，这个直接法正面分析方法二就可以用反面法。甲乙分在不不同组，因为他正好是三个人，三个人，三个人平均分三组，相当于每组三个人，

每组三个人，甲乙分在不同组，那就甲是一个组。那这还差两个人乙是一个组，还差两个人，这时候还剩下三个人是吧？我们就可以写表达式甲这块儿还差两个人就从这个。啊，七个人里面选两个人给这个甲是吧？给甲然后再从剩下五个人选两个人给乙。这样我呢，选两个人给乙甲乙这个分好了，就是还剩下三个人。再单独乘为一组就可以了，注意小，

这就不用乘也不用除了啊，那有同学说这两组数量跟这两个数量一样，为什么不用再除一下呢？虽然这两组数量跟这两组数量一样，那这时候因为这时候呢，他这个有甲乙这样小组成员的名字。或者说这道题也不要处于三的阶层，有同学说这三组都是三个人，都三个人用不用处于三的阶层，也不用记住，只要出现小组成员的名字，比如有甲乙这小组成员名字的时候，这时候呢，大家就不要再除了。好吧，

所以在这里面大家呢，就可以写它的结果等于210。选d好方法，二方法二有反面。反面什么意思？遇到这个否定词的时候，比如甲乙在不同组否定词，我们就可以用反面来做，用总的总的情况数减掉甲乙在同一组。加在同一组前面，我们刚才做题的时候给大家做过一个题，是不是所以大家呢？要知道所以总的情况数就分为三三三，这时候是c九三c六三c三三。因为这时候这个分。

小组的时候没有出现小组成员的名字，没有出现小组成员名字，这时候呢，就需要除以三的阶乘，然后减去甲乙在同一组，甲乙在同一组，刚才我们写过甲乙在同一组。就相当于再从七个人选一个人是吧？从七个人选一个人给甲乙就甲乙，然后在同一组。就是剩下还有六个人，六个人就三三分就行了c六三c三三÷2的阶乘，因为这三人跟这三人他会出现重复。所以除以二的阶乘，这样就写好了，

好这个减完后也等于210这个大家自己去算算就可以得到它的结果。好，44题某校从八名教师中选四名教师，去四个边远山区支教，每第一个人请甲和乙不同去。甲和丙只能同去，或者同不去。这不同的选派方案到底有多少种？那这道题就得分类讨论了，因为它出现。干扰情况甲和乙不能同时去好，那我们就可以看那么甲的情况，那么甲要去。是什么情况？甲要不去是什么情况是吧？

好，当然这个大类里面还要分为小类，所以说这时候我们要分类。假假去还是不去？对吧，好那么甲要去的时候，那这时候肯定要有丙。对吧，甲去的时候可能呃要有丙。听到没？就甲丙丙只能同去或者同不去，所以甲要去肯定有丙有丙，这时候呢？乙肯定是。不能去的无乙是吧？

所以甲去的时候就有丙无乙，有丙无乙，然后这时候还要再选几个人啊，因为甲去了，然后丙又去了，这时候两个人两个人，然后。还因为他总共需要四个人嘛，总共需要四个人，还要再选两个人是不是？所以说再选两人。所以它的表达式应该怎么写呢？甲去了丙去了，这时候指定了就不用再管他，然后八个人八个人去掉甲丙，

还有五个人是吧？五个人再选两个人。好，这时候手边四个人就齐了啊，四个人齐了，四个人齐了，去四个地方支教，然后乘以四的阶层。好，这样就写好。然后再看甲不去的时候，甲不去的时候。啊，我们又分为什么？分为分为这个已去已不不不去情况是吧，

所以又已去。已不去的情况。对吧，所以在这里面注意甲，要不去的时候这个丙他也不去了。对吧，丙也是不去好，这时候我们看乙去好，这时候乙去了，因为总共需要四个人，是不还要再选三个人？啊，再选三个人，再选三个人，从哪哪些人里面选呢？

因为八个人要去掉甲乙丙。啊，去掉甲乙丙还有五个人，五个人，然后再选三人，所以这里面再选三人就五三好，这个时候里面就四个人啊，是哪四个人呢？就是乙。你去了，然后从其他五个人再选三个人，这总共四个人，四个人，然后再去排就等于240。好，

这就写好了，好写好，然后在这里面，我们再看乙不不去的时候好，乙也不不去，就是甲不去，丙不去乙也。也不想去，这时候呢，我们直接还需要再选四人。对吧，还需要再选四人，五个人再选四个人就甲乙丙这几个人都不去，都不去，那么从五个人再选四个人。

乘以四的阶乘。然后这样就等于。啊，这个120是吧？120好，然后把它加在一起，共就是600共600，这个答案就选择e选项啊，就240+240，再加120。然后加在一起啊，就共600，这样就写好了，好看这块是不是学会了好，通过这道题，

大家要掌握的做题方法思路就是啊，一定要根据他们互相干扰的情况，然后来分类。分完类。

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