047.24-顿悟-专项十一-立体几何-题型1-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 10:44:01

下面咱们看一下专项11立体几何？啊，立体的这一块儿主要考察图形的想象能力。我们看第一节核心决例。它的专项解析例几个模块。考试主要侧重于空间响应能力，而且在此模块中，一方面要掌握各几个题的基本公式，比如表面积和体积的公式，要知道。另一方面，要通过立体几何，在日常生活中，它的应用啊，建立一些数学模型，

比如说我们看很多建筑物的构型。它就是来源于一些立体几何的组合，再复杂的图形，我们可以把拆成一些简单的立体图形啊。所以地理几何也是考生必拿分儿的内容，所以大家只要把想象能力弄好，那这一块儿就可以把分数拿到手。要学好第几个考点。只要能够找到切割的角度啊，就能够事半功倍，把这题给它解答出来。好，接下来咱们看第一个内容啊，今天给大家归纳的第一个题型就是空间的重构。空间重构就是要知道空间它构成情况是什么啊，

给我们一个正方体，我们的构成情况，大家要知道是。是不是它是由什么构成的啊？就是一个正方体。好，那正方体不要觉得正方体比较简单是吧？然后它的它的构成情况好，那么正方体呢？它是由。这些构成的正方体。啊，那么一个就是六个面儿。啊，八个顶点。

啊，六个面儿就上下左右前后啊，六个面儿，还有八个顶点，然后还有12条棱。啊12条棱，另外那还有体对角线，那么体对角线总共有四条。体对角线的话，就在正方体内部连最远的点啊，这有两条，那这边呢？还有两条。还有两条啊，所以在这里面大家呢就可以啊，

找到它的这个体对角线，它的问题是吧，体对角线就连接最远的两个顶点。那么构成的啊，这个情况啊，所以说那么四条体对角线。然后面对角线，面对角线就是每个面，知道吧，每个面它它有对角线，每个面对它，每个平面上它就是一个正方形的。那个平面儿上，它有两条对对角线，所以总共六个面儿，

总共有12条面儿对角线。好，这是它的一个空间的构成情况，好，那么它的考题情况是什么呢？它特征就两个相对面儿，尤其只能看到一个面儿，比如说给一个。那么，这个正方体啊，你可以看右边是咱们看到的情况，因为有一个后面面被前面挡到了。知道吧，所以说只能看到一个，因为这是咱们看到的情况，

只能看到一个。另外一组相对面同时出现的选项应该排除，就是不可不可能说什么不可能同时。它还是根据第一个特征得到的啊，不可能同时看到前面和后面是吧，你不能说前面后面你同时能看到。是吧啊，所以说在这里面啊，相对面如果同时出现，那看不到啊，那不可能在这个。这个图上能看到。好，这是它的情况。那接下来咱们看展开是吧？

这因为咱们讲了那么这个立体如何展开，如何判断相对面儿？碳相对面有两种情况，那第一行第一种情况就同行或者同列间隔。相隔一个面儿啊，如果要有同一行有同一列啊，有同一行，比如说这个是同一行的，或者这是同一列的。啊，只要如果在同样中间隔了一个隔了一个，比如这两个面儿。它又会出现了相对面儿中间间隔了一个，这样会会产生相对面儿，知道吧？

就这样的一个情况。好，那么如果要同一列也行，同一列间隔一个间隔一个，大家可以看一下这两个白色的啊，中间隔了一个，这两个是相对面儿。然后另外画圆圈的。这两个画圆圈儿，这两个是相对面儿，因为它中间隔了一个，所以同一行或者同一列的，那么它这个。隔一个。就会那么出现相对面第二个z字形。

z字形两端就紧邻z字形中线的面儿，这句话可能大家看不到什么是z字形z字形，咱们画一个z字字母，这是一个z字形。所以中间这条线是一个非常关键的线啊，中间这条线这条线就把称为日字形的中线，那么一定要紧邻着它。比如说啊，那么这个五跟六五跟六，你把这一二三四画一条竖线。画一条竖线，虽然这个作为z字形的一条中线，所以那紧邻着它的话就是五跟六啊，五跟六这两个是。挨在一起的，

还有这种情况是吧？这种情况呃，这这种情况那这两个也是挨在一起的，还有这种情况。只要这个中中线啊，那这两个它也挨在一起是吧？或者横横着画中线也行。啊横横着画，横着画中线，大家可以看b跟f。BB跟f它是这样的b跟f它是挨在一起的，它是紧邻啊，就挨着这个z字形的中线的面儿。啊，紧邻位置线中中线面，

然后在这里面那么或者是竖着的。是不就a跟d是吧？a跟d所以说中线中线只要找到中线，找到中线以后，那么这样都是OK的。是不是然后这是它的这个方法，紧邻中线的啊，就这两种情况啊，大家要会找它相对的面，知道吧啊？啊，这是它的考试内容和方法。好了，下面咱们看这个题。啊如图，

我构造相同的正方体数字积木排在一起，那么这五个数字积木下底面的数字之和到底多少？其实这道题其实你要把这个积木。它这个每个面儿数字找到就可以了，好吧，我们要观察观察什么观察这个相邻的面儿，因为这道题。我们只能看到相邻面儿，然后对面儿呢，在这个图里面儿，它都盖上了啊，看不到，所以说我们要找到相邻面儿。啊，那么找到切入点是根据相邻面儿来推导其他面儿。

对象里面来。推其他面。好，那接下来咱们来看一下。画一下它图。好，我们画一下它的这个图，把正方体图给它画出来。啊，把这图给它画好。好，那图画好，那接下来啊，咱们来看一下啊，大家发现一二五这三个是相邻的，

对吧？这个很重要，还按照。第一个啊，摆放的方式，第一个摆放方式就是上面这个是五。啊，上面这个面儿是五，然后左边这个面儿是一是吧？然后前面这个面儿是二。啊，前面这个面。这前面这个面是二，然后接下来我们要观察啊一这个特征啊，找到一好大家发现一跟四也相邻。

所以大家可以发现啊，一跟五相邻，一与五。相邻一与二是相邻的。对吧，所以大家观察第一个，你看一跟二这个面儿是挨在一起的，一跟五挨在一起，那通过这个可以找到一与四也相邻。好，那四号面儿就给定下来啊，四号面儿啊，那就相当于是跟一挨在一起的是吧，所以在这里面啊，那么。

一跟四要相等。啊，那前面儿。啊，上面所以四号面儿，要么在底部跟它相邻是吧？要么在底部，要么在后面儿。所以四号面儿肯定在这两个位置，知道吧啊，这两个啊位置好，那么有可能是四号面儿在底面儿。有可能四号面儿在它的背面儿。对，在背面儿是吧？

反正四方面就在这样的啊，一个位置。好，接下来咱们再看二号啊，二跟五相邻是吧？二跟五相邻，然后二跟三还要挨挨在一起。啊二跟三挨在一起，如果当这个四号面儿要在底面儿的时候，底面儿的时候，那右边就是三号面儿，我们先看第一种情况。啊，第一种情况，第一种情况，

四要底面儿好，那么大家注意这个二。还要跟。三挨在一起是吧？二跟三挨在一起，所以说那么右面儿就是三号面儿。啊，这块儿这块儿它有三毫秒。对吧，所以说这个二是前面这个面儿，前面这个面儿，它跟三个面儿啊，要挨在一起，所以二跟五挨在一起，二跟三挨在一起。

另外，大家还要看三跟五，要挨在一起，然后五跟六要挨在一起是吧啊？五跟六啊挨在一起，所以说后面这个面儿就六。背面就是六啊，这种情况是OK的，那刚才说了，咱们还有还有一种情况。好，还有还有一种情况，还有一种情况就是看另外一种情况行不行啊？上面还是五。这边儿还是一啊，

前面儿是二啊，如果背面儿是四看一下，如果背面儿是四。啊，它的背面。啊，背面儿是刚才咱们讲了两种情况，对吧啊，就是底面儿为四或者背面儿为四背面儿是的话，我们再看二。啊二跟三要挨在一起是吧？啊二二跟三挨在一起好，三跟五挨在一起就前面，如果是三。好，

如果前面。啊啊，因为因为这个前面是二嘛啊，前面是二，后面是四了，那这个三只能在下面。啊，这在下面，因为这个二跟三，它要挨在一块儿啊，三有可能在下面啊，或者说有可能在右面。对不对？有可能是在右边。反正二要跟三挨在一起，

好三还要跟五挨在一起，那说明三它肯定不能在底面儿了啊。啊三也不能在底面儿，对吧？所以三跟五挨在一起，然后五跟六挨在一起啊，那么就像六。啊，那么这一块儿就六六的话，那那就那就不行了，因为因为这个你看这是一这前面是二这是三后面是四那底面儿呢就六。里面是六，但六的话，那那五跟六没法挨在一起，所以这个图呢就不可以，

所以第二种情况不可以，所以说只能是第一个图。啊，这是第一个图，第一个图我们就可以写出来啊，就第一个图，第一个图就是一在左面儿，二在正前方，五是上面儿。三右面儿四在底面儿六在后面儿好吧，那接下来我们再找对面儿找对面儿，其实这道题它要求底面儿数字就看对面儿。然后五的对面，我们可以看一下五的对面是四。然后二的对面儿，

然后二的对面儿应该是正后方，正后方就是六是吧？有六。然后这个一的对面一的对面正好三。然后三的对面儿，三的对面儿就是一。啊，删到这边儿。有一，然后再看五的对面五的对面又有四。啊，又是好那把这个下方的数加在一起，就四+6+3，再加一再加四。然后这样的话就得到18到18，

这些答案就选择的是e选项啊，就可以得到它的18好看，这个听懂没有，这是它做题的方法和思路啊。好，那接下来咱们再看。第二个题有一个无盖的正方体纸盒啊，这个正方体纸盒是没有盖子啊，无盖的正方体纸盒。下底标有m看到没？下有标底m将其展开成平面图形，就这下底。展开把展开图平面图形，那这个平面图形可以是什么好？大家选选这个题好都想象一下。

想想应该选什么答案好吧，它是一个无盖儿的，就是一个正方体纸纸盒，它是没有盖子的。没有盖子，那么现在把它展开展开，有可能是选什么？好，那么没有盖儿给大家进行提示一下，这道题它的思路是什么？它的特征或者思路。湿度啊，就是m它无对面。它没有对面儿就行了好吧啊m它不存在对面儿好，大家想这道题应该选什么答案是吧，

这道题看看是不是懂了？所以通过这两个题，大家呢，要知道它的考试方法是吧，所以这道题那么就是a选项就m不能存在对面儿，你像b选项为什么错b选项它m这有个对面儿？啊，这个面儿就是m的对面儿这个错了，然后c选项c选项这个面儿就是它的对面儿是吧？这个面儿就是它的。对面儿这个就不行是吧？然后这一块儿，然后这一块儿这一块儿的话m它有对面儿是吧？只要m有对面儿，它这个都是不可以的。

好，那这是a选项就可以，是什么样图形？那就这样的一个图好吧，看各位同学是不是听懂了，所以要找它思路。好，接下来咱们再看一下外接球和内切球这个考点。啊，这个考点这个考点在上上年考试真题里面啊，也经常考内接球，外接球也考了好多次，它要长点。掌握常见的几何体，比如长方体，

正方体，圆锥体，内切球和外接球的计算关系。由于对于半球情况也要有所了解。知道吧，在咱们二零一九年考试也考了半球的题题目是吧，所以这个半球的这个也要所了解啊，也要知道它的考试内容。好，那接下来咱们看一下这个图好吧，给大家画一下图，好注意这个内切球，咱们先说一下书上的内内切球。啊，那些就是它对图形是有要求的啊。

它对图形是有要求的，它是有门槛儿的。对吧，它对图形有要求。必须是什么？必须上下左右很方正，这样话才OK很方方正正，这样才可以。是吧，然后在这里很方方正正的。这样才行，那这是正方体才有长方体就没有是吧？长方体是没有的，所以正方体它都有正方体，正方体什么意思？

这正方体里面放一个球，知道吧？里面放个球跟上下左右它都能。切着知道吧，它都能切着啊，这个这么要长方长方体的话，它这个就不行了，你看这是一个长方体，各位同学可以看这长方体。长方体，长方体，你放了一个最大球，是由最短的这个边决定的，知道吧？最短边决定的，

你放一个这个最大的球，实际上就最短边决定的，它只能坑。跟一部分切到另外一部分长的，这个就切不着了，知道吧，所以说长方体它没有那些球。然后圆柱圆柱必须是等边圆柱，它才有等边等边圆柱是什么意思？等边圆柱它的轴截面是一个正方形。知道吧，它的轴轴截面是一个正方形，这样这个球跟上下还有四周都能切着，知道吧啊，它都能切着，

这样它才OK，而且两者半径是相等的。两个半径相等啊，所以说这个等边圆柱它才有，如果这个圆柱太高，圆柱太高或者太扁。太扁了，那这个球啊，这个它不能跟四周都能切上，知道吧，所以在这里面大家要注意一下啊。好那么呃，这个那些球要简单，只有正方体和等边圆柱才有好吧，长方体啊，

或者其他的圆柱呢是没有的。好吧，这是给大家强调的，它的内切球。然后正方体它的这个棱长正好是求的直径啊，要知道。接下来咱们再看外接球，外接球，它对图形无要求。也就是它可以包罗万象，知道吧，它对图形呢，是没有要要求的，比如说正方体，它有我外面一个球，

可以把它包在一起的，知道吧，外面一个球。这样球把它包进去，那长方体也可以的，这个长长方体我这个球也可以把它包到里面去是吧？圆柱，然后包括这个棱棱柱也可以的。是吧，所以在这里面这个这个棱柱，这是一个三棱柱啊，这是这个三棱柱好，那么这个棱柱也是OK的。啊，棱柱也行是吧？

所以给它这个包到里面去好，那接下来咱们一个个看啊，那么长方体和正方体这两个呢，都是体对角线。它的球的直径就等于体对对角线，它的半径就等于二分之体对角线。二分之二分体对角线，然后这个正方体正方体，它的这个体对角线正方体它的。体对角线正好是根号三倍的a是吧？这个正方体，它的体对角线。体对角线，然后呢，这一半儿就是它的外接球的半径，

然后长方体长方体它体对角线大家都学过根号下a方加b方加c方。是吧，然后再除以二九它的半径啊啊，这是。长方体，它的体对角线。然后呃圆柱的话，这个圆的话是轴截面的对对角线，这是轴截面的对角线，所以它半径r就等于二分之。轴截面。它的对角线。好什么叫轴截面讲讲啊，所以呢，它它中间有个有个轴知道吧，

能能看到吗？就从正中间这个切开。从正中间这个切开切开后，它这个叫轴截面。啊，这是轴截面啊，轴轴截面的这个这个对对角线这样就是啊，那这个绿色的。绿色就是它的球的直径好吧，那轴截面这个对角线用勾股定理做啊，勾股定理，然后这下面这段长度是2r是圆柱的直径。这个是圆柱的高是吧？然后用勾股定理做就可以了，好吧，

就这样的，接下来三棱柱三棱柱的话，我们给大家进行强调一下，三棱柱虽然命题之前考试没有考过，但是呢，大家注意，现在考试的几何呢？他偶尔呢，出一些创新的，或者之前考纲上没有的一些题好吧，所以咱们大家呢，要知道这三棱柱啊。啊三棱柱三棱柱，大家可以看，这就是它的球心。

三组，这是它的球性，然后这个公式怎么推导出来的？我讲讲啊，这个公式怎么推导这个它就不能够做截面儿，这个也不能找对角线了。为什么呢？因为你把这个球心跟这个连接以后，然后这条线你把它延长延长，它不一定过上面那个点啊。不一定，它不过上面那个点的，知道吧？它它不过上面那个点。这个懂了吧，

所以接下来那怎么能把它放大一点好吧，放大大家想一想好，那这段儿长度。这上呢，应该是棱柱，它高的一半，知道吧？那如果总高是h。总高是AH，然后这个就是高的一半儿二分之h，懂了吧？这是高的一半儿是二分之h啊？这是高的一半。啊，然后呢？

这个就是球的半径r知道吧？这是球的半径r，另外这个球心垂直投影到下面这个面儿。这个点这个点，因为下面咱们讲正三棱柱啊，正三棱柱一般三棱柱，咱们就不在学校，太麻烦，正三棱柱。正三棱柱的话。那投影下来，这个心正好是等边三角形，它四心合一，知道吧？等边三角形可能有同学忘记了，

咱们再说一下啊，把平面几个再说一下。叫等边三角形，它底面儿是一个等边三角形。等边三角形，它是四心合一的啊，等边三角形，它是四心合一的。所以如果它的边长要为a的话啊，它边长要为a，那这个就是它的外接圆知道吧？外接圆。它的长度。外接圆长度，所以这道咱们前面学过，

就正好是三分之根号三倍的a啊。所以这段长度。就是绿色这段儿长度。啊，绿色这段儿长度这段儿长度占了三分之根号三倍的a懂了吧啊，咱们讲过啊，这个公式当中把平行几何看，所以这段儿绿色的绿色有三分之根号三倍的a。啊三杠三，然后这个就用勾股定理做就可以了好吧，这个就是求的半径r，所以接下来大家看这个公式就可以看得非常清楚了，这r方。就等于两直角边的平方和这一块儿，就是三分之根号三倍的a的平方，

这块儿是二分之h它的平方。好吧，就三分之根号三a它的平方，这是二分之h它的平方啊，这样的内容是吧？所以这个公式是这样推出来的好吧？好，这是给大家进行讲的，这个内切球和外接球，接下来咱们就练习一些题目。下面咱们看一下这道题正三棱柱内有一个内切球，半径为r则这个正三棱柱的体积到底多少？则正35体积。好，那这道题主要是要找它的高，

还有半径是吧？正常是要内切球，内切球对图形有要求啊，这道题主要考察一个正三棱柱。好，这三种内外还考察内切球。好，那咱们知道正三什么叫正三柱底面是一个等边三角形？啊，这是一个正三棱柱，然后里面是一个内切球。好，它里面是一个内切球啊，这样的一个情况。然后接下来咱们再来看它的这个。

柿子啊，再看这个柿子。然后接下来咱们看一下它这个求的半径为r说明高应该等于二倍的r就是高，正好等于球的直径。然后接下来咱们讲讲内接球内内接球内接球，你把这个截面做一个这个截面。若减法，就相当于这个，这个正好是。这个三角形它的。内圈的圆心是吧？所以说球的半径，球的半径r，如果它的棱长为a，棱长为a，

这个得到球的半径r。这样就等于咱们知道等边三角形，它内切半径正好是六分之根号三倍的r。啊，它的这个。半径这样的六分之根号三倍的a是吧？就内切圆的半径。实际上是六分之根号三倍的a。好，这是它的半径，这就写好了。对吧，好，那接下来他要求体求体，我们把这个a给他写出来a。

a就等于二倍根号三倍的r好吧，这样就可以求解出来。啊，就求求出来了，然后接下来我们问它体积vv呢，就等于底面乘以高，在这等边三角形，它的面积就等于四分之根号三倍的边长平方。比方说它的平方，平方正好等于12r方。然后再乘上高高呢，正好是2r。高这样的2r这样的话就得到是它的结果就可以求解出来六倍的。根号3r的三次方这个呢，应该选择a选项好，

这是它做题方法好吧，这个呢，就选择a。好，那有找到这些基本的关系式就行了啊，所以说正三棱柱它的高，还有它的这个一定要做。正中间做一个截面，作为截面这个球的大圆。正好是这个截面儿，这个等边三角形，它的一个内切圆圆心啊，所以要知道等边三角形内切圆半径的这个知识就可以得到答案了。好，接下来咱们看一些参数的陷阱，

这这参数陷阱是什么符号比较多的时候，大家不要看乱了，尤其它的符号跟咱们正常表达含义不一样的时候好吧，就就主要是看符号表达的含义是什么？符号表达含义是什么？好，那这道题的ABC它不是表示咱们通常所说的长宽高，不是表示长方体的长宽高好吧，所以这个符号的意义。别看错了，它有共同顶点三个面儿的面儿对角线，这里面还要知道是面儿对角线啊，面儿对角线。好，那则它的外球表面是多少要求？

外球表面要算它体对角线对吧？面儿对角线和体对角线关系是什么？所以这道题让大家掌握了精髓所在是面儿对角线与体对对角线的关系。好面儿这条线与体这条线的关系是什么？好吧，面儿这条线与体这条线的关系。好，那接下来咱们来看一下啊，这个题这个题的话，我们就设棱长。为MK吧。知道吧，所以这道题在推的时候符号很多，别做错了好吧，所以讲棱长为ABC。

好棱长为这个ABC。啊v mn k吧，那ABC用过了算了mn k。对吧，它用过了，好棱长为mn k的话，那接下来面儿这条线是什么情况呢？面儿这面儿这条根号下m方加n方就等于a。是吧，或者说你把这个根号去掉算了，就是a方吧，然后m方加k方这个图咱就甭画了啊，就等于b的平方。然后什么n的方加k方就等于c的平方，这个能懂吗？

这样的。然后把这三个相加再除以二，这样可以得到m方加n方加k方。是吧，三个相加除以二得到这个值了。好三个相加除以二就得到m方加m方加k方。然后开根号就是它的体对角线长度，所以这道题体对角线。就根号下m方加n方加k方，现在根号下二分之a方加b方加c方。好，这是它体对角线和面对角线，它的关系好吧关系。只有呢面这条线平方相加，除以二开根号得到体，

这条线的长度。好提掉线是外接球的直径啊，外球的半径就可以算出来好吧，外球的半径啊，这个外接球半径就等于二分之根号下。m方加n方加k方。它让求是不表面积是吧？表面表面有s求的表面正好等于四派r方是吧？求的表面积s就等于四派r方。把它带到里面去，带到里面去，这这个二正好呢，给它平方以后跟这四抵消掉了，有派乘以m方加n方加k方。也就等于二分之派乘以个a方加b方加c方。

好，这是它的做题的方法，这样答案我们看一下就选择的是呃e选项。好，这是它的这个做题方法好吧，这道题啊，这道题大家呢，就是要知道面儿对角线和体对角线，它们之间的关系，然后呢，把体对角线转成外接球的半。呃，这个直径转成半径，然后再算它的球的表面积。好，

那接下来咱们再说一下半球好吧，再说一下半球的问题。然后啊球完整球讲完，然后再看一下半球。半球内有一个内接正方体啊，半球内还有一个内接正方体。这个半球内部。啊正方体的一个面儿，正好在半球的底面圆上啊，这个底面圆上，如果正方体棱长为根号六则半球的表面积。和题分别是多少？就像这个半球啊，它的面积体积大家思思考一下，看谁做的快都想想。

啊，以后遇到半球的话，那么有两种处理思路，第一种处理思路是什么呢？我们把它补成一个完整的球，就再给它扩充一模一样的。第二种思路是什么？是是直接做辅助线，构造直角三角形好吧，大家算算这个题。啊，关键是求出球的半径好吧，我们给它推导一个公式好吧，推导一个公式，其实这道题题不重要啊。

公式要把它推导好。这道题要么就把它补成一个完整的球。啊，要么呢就是。不补充一个完整的球，直接构造一个直角三角形也行。啊，构造一个直角三角形，这也可以。好，那接下来咱们看一下，如果正方体棱长为a。然后这下面这一段长度，这段长度应该对角线的一半。对吧，

所以就下面这个应该对角线的一半。这条线一半属于二分之根号2a。然后这一块儿这个边长就是球的半径r。对不对？所以大家用勾股定理就可以得到r半径。好看，有没有同学做完好吧，就是可以得到r半径好，那接下来咱们来看一下。好，它这个半径的情况。好，那接下来咱们就写一下它这个表达式好吧，就可以得到这个r方应该等于a方加上二分之根号2a。括号的平方。

这样算呢，应该等于二分之三a方。好，大家想想是不是这样的？然后这个公式又可以写出来r就等于开根号儿啊，就是二分之根号儿六倍的a。好吧，好看谁做出来了？大家想想想。好，那这道题那由于这个a是等于根号六的，我们就可以得到。r的值r值上等于三。是吧r值是不是等于三大家有没有把球的半径解出来？好r值，

如果等于三的话，那这个半球的表面积s就可以算出来。s半球表面是什么？是拿这个球面弯曲的球面，加上下面这个大圆啊。知道吧，加上下面这个大圆，这个要知道啊，加上下面这个大圆就可以了，所以大家要。球的面积应该四派r方，但它半球半球是二派r方。然后再加上一个大圆。所以大家呢啊，要知道好吧，

所以就别做错，应该等于27派。27派所以有同学少算了一个大圆，知道吧？这样的话就错了，所以它表面积嘛，外表的面积。第三个，它体积v。大家知道整个完整球的体是三分之四派r立方，它半球就三分之二派r的立方。对不对？所以这样的话就得到18派。好这个呢，应该选择的是a选项好看，

这个题是不懂了，就这道题主要记住一个公式啊。啊，一个公式。好，这是呃半球里面一个正方体，然后给大家扩充一下好吧，这个题大家都做完了没？还没有什么疑问。如果半球里面要是一个圆柱，应该是什么样情况是吧？我们来看一下，如果半球里面要是一个圆柱，给大家画一个图。好，

那接下来如果要是半球，大家看。里面一个圆柱，看会不会分析是吧？假如这是一个半球。然后里面它一个圆柱。好，那接下来咱们看一下。好，那么大家也要做一个辅助线，知道吧？做一个辅助线就可以解决出来了。然后这样的。好，然后这一块儿呢，

就是球的半径r。然后下面这一块儿是圆柱的半径r是吧？圆柱半径r，所以说就可以得到一个关于r方应该等于h方，加上r方。好得到这个式子，然后呢？考试时候会告诉你这三个量，里面已知其中两个量，比如告诉你圆柱的高。和圆柱的半径，大家可以求出球的半径，球的半径求出来了，那么这个式子也就写好了好吧，然后这个球的半径求出来，

然后表面积啊体积就可以计算出来了。好吧，让它不一定是等边圆柱，这个不一定是等边圆柱，它这个圆柱就没有要求了。比如说它半径为一呀，高为三呀，或者几呀，或者都OK的，知道吧？反正就利用勾股定理，勾股定理，然后把这个写出来，写出来后，然后再求它的体积或者面积。

好，那咱们看一下这个题好，已知ABC为长方体的长宽高则可确定长方体外接球的表面积。啊外求的表面积。好要求长方体外接球的表面积，只要是求外接球的直径就可以了好吧，外接球。它直径就等于体，这条线就根号下a方加b方加c方。好，那条件一是知道均值啊，知道均值，知道均值是a+b+c，知道条件方差，讲完之后大家还记得咱们讲方差的有两个公式啊，

方差有两个公式。可能大家忘记了，第一个是定义式n分之一，每个数减掉平均值的平方，把它加在一起。好，每个数减到平均值平方，把它加在一起就可以了，好吧，这是第一个好，第二个公式就是平方的。平均。减去平均值的平方。好，那这个也可以用一个符号简记就平方的平均值，

减去平均值的平方好吧？平方的平均值减掉平均值的平方，这样的。好平方平直减平直平方啊，这样的内容。好，那这个公式给大家写完了，接下来这道题肯定要联合，对不对？因为单独条件一只知道平均值呢，这个外围球的直直径确定不了，确定不了外围球的表面积就确定不了。是吧，所以就接下来那肯定要联合。好联合以后这道题是三个数，

三个数就相当于是可以写成三分之a方加b方加c方。减掉平均值。它的平方好，大家知道条件儿方差是知道的方差，知道条件一这个平均值，知道通过这个可以算出a方加b方加c方的值是吧？a方加b方加c方值a方加b方加c方值算出来。外接球的直径能算出来，外接球直径能算出来，外接球的表面就确定了是吧？就确定了，所以这道题联合起来是充分的好吧，所以正确答案就选择c选项。啊，所以要记住这个方差的第二公式啊，

这个方差第二公式大家知道方差有个重要的性质，什么性质啊，是不是非负性呀？啊，这个非复性。也可以证明咱们的这个是大于等于零，大于等于零，就证明这个平方把它开根号平方平均值是这个比这个要大的是吧？咱们不讲平次定理吗？咱们就其他不说了，就平次定理n分之s一。加s二加SN是不是小于等于根号下n分之s一方加s二方加SN方，这个就证明就这样证的好吧，就这样证的。因为这个方差肯定是非负的，

肯定大于等于零，大于等于零的话就可以得到这个数，肯定大于等于它。或者或者这个数啊，比比它小啊，比它小，比它小，能把这个平方开过来开过来，因为咱们平值定理要求都是正数都正数，所以说它就是满足这个范围。是吧，好，这是咱们平时定理里面内容，所以也给大家进行说一下，平行值定理，

这个怎么去进行证明它跟这个方差有一定的关系啊，这个方差。知道吧，我们把这个根号一开过来，开过来就可以得到这个值好吧，得到咱们讲过的就三分之a加b加c。小于等于根号下三分之a方加b方加c方两个数，咱们前面学过是吧？三个数啊，就这样。好了，这是给大家顺便提一下这个平行四定理，它的大小关系怎么去理解？跟这个方差呢，也有一定的关联好吧，

这个大家把它记好，没有这道题的精髓所在，知道吧？大家听完这道题的收获是方差两公式，要知道，此外要知道，通过方差第二公式可以可以证明平方平均值为什么要比这个？这个算术平均值也要稍微大点是吧？这也给它进行一个证明。

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