046.24-顿悟-专项十一-立体几何-练习

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 10:42:31

首先我们来看一下立体几何，它主要的一些考试的题目和方法，我们看一下第一个。如果求得一个内接长方体的三长棱长为这个该球的表面是是多少好，那大家知道长方体的对角线就是球的半径。求半径r就等于二分之根号下a方加b方加c方。等于二分之根号下一+4+9。就等于根号14好，这是球的半径表，面积就等于四派r方带到里面就等于14派，这个呢就选择d。所以这道题大家听完后，收获就是根据长方体的棱长算出来体对角线，体对角线，那就代表它的呃球的直径，

把球的半径算出来以后，再求它的面积。好，第二个题能切割为球的圆柱，切割下的体积占球体最少多少？就这道题要考察一个至少问题好，我们来看一个圆柱。啊，一个圆柱，如果这个圆柱比较长。比较长，大家发现，如果要把它变成一个球的话，这样切掉的部分就浪费的部分比较多，发发现没有那上面这一大块儿都浪费了。

好，怎么样保证浪费的要少呢？怎么保证浪费的要少？就这个球跟他正好上下左右都相切。是吧，好，这个圆柱正好是一个等边圆柱，正好是求它的内切球。啊内切球因为这道题是求比值，我们可以取特值啊，求比值取特值，我们就可以设这个。圆作半径r为1h就等于二，听到没？因为它这个h就等于这个球的直径，

这个球的半径跟原作半径是一样的。球的半径跟圆的半径是一样，所以球的直径等于二高就为二，所以这样切掉了体积是多少？切掉体就拿这个圆柱的体积派上方乘以高。减掉球的体三分之四派乘以r的三次方。然后除以啊除以它的占球体多少三分之四派r的三次方。好，这个算完就等于二分之一好，这个呢，就选择c选项，所以这道题它表面上是考察把圆柱体变成球体。其实还用到了咱们讲过的圆柱的内切球这样一个公式，而且这个圆柱必须是一个等边圆柱，然后根据它的体积关系来求答案就可以了。

第三题我们看把一个半球切割成底面半球，没求半径的圆柱则半球体和圆柱体之比，到底说这是半球？咱们考试里面出现半球，里面有一个正方体，这道题是考察一个半球，把它加工成一个。圆柱体。好加工成一个圆圆柱，我们来看一下它的这个情况，好画一个示意图，好再加工成一个圆圆圆柱，这就是一个圆柱。啊，这样的特征是吧把半球切割成求半径呃，

为一半儿的圆柱好，这又求比值，记住一个句话，求比值取特值。啊，求比值。取特值。所以大家记住这句话好，我们假设这个球的半径为二。这个圆柱的半径r就为一是吧啊？圆柱的这个半径因为是它求的一半儿嘛，一半儿，然后这地方我们作为一个辅助线。做一个辅助线，辅助线，

这是它的高，这就是大r是吧？大r，所以我们就可以得到一个关系式。就求半径平方等于r方，加上h方这样的特征。这样就求解出来了，就是说然后半球体我们算一下。为半球。比上v柱体。好半球体就等于三分之二派r的立方。对吧，三分之二派r立方因为半球，它的半径为二，然后大家知道球的体不是三分之四嘛。

派r立方，然后半球就是三分之二，是它一半，然后v柱体v柱体就等于派乘以r方再乘以高。好，这上下月月啊，上下月月月，然后就得到16比上三倍根号三，这个答案就应该选择e选项，这样就求解出来了。好，这道题主要考点就是考察半球，还有这个圆柱，它们之间的关系。好，

第四题两个半径分别为六和八，深度相等的圆柱形容器，甲乙把装满甲里面的水倒入乙里面。水深比乙深低一厘米，然后问容器的深度到底多少？好，我们画个示意图甲呢，它的半径小小一点。这是假。它的r1是六，然后乙的话这个。大一点是吧？它高度是一样啊，高度是一样，它的半径呢？

为八半径是为八的。好，现在呢？他要把甲的里面一些装满装满的这个水给他倒过来是吧？倒到一里面倒一里面他的水呢？只是。占一部分高好，这个水的高呢？是整个容器高的三分之二还要少一，如果整个容器高是h。这个水的高是三分之二h减一，然后接下来我们列等量等量什么呢？就是它的。啊水的体积相等就等于派乘以r1。平方再乘以高，

因为这两个容器的深度相同，深度相同就是它的高是一样的，就等于派乘以r2方。然后再乘以个三分之二h减一，然后把这个代到里面去，就派乘以三十六乘以h。就等于派乘以。啊，64。然后再乘以三分之二h减一，然后两边把派约一约，然后这个h解就等于九点六啊，自己自己去算就行了，得到这个答案好吧，然后h就可以解出来。

好，这是它的这个特征啊，就是让两者啊水的体相等列一个等式求出h就可以了。好，第五题两头密封的水桶啊，里面装了一些水，水瓶横放时，大家想想就是，就像咱们喝的矿泉水水瓶一样。然后里面有部分水，把它这个横横过来放横过来放它水呢，只是占其中一部分啊，只是占其中一部分好水平横放时。桶内有水的部分占水面圆周的四四分之一，就这一段。

比如说这个有水的，这个弧长就圆圆周这个弧长。弧长占整个圆周的四分之一，那就说明这个角就是九度，对吧？就是四分之一嘛，四分之一一圈儿不是三百六嘛，它就等于九度。啊，90度好，那么当水直立时，水桶的高度与桶高是多少？那这道题它给了只给了一个这个截面图，我们要画一个立体图是什么呀？是这样的。

那假如这个是水水桶与圆柱形的水桶。啊，如果要横着放的话。啊，这是它它它的水。啊这这这些都它的水好，所以也就说这这个有水的部分占整个呢，它的四分之一就这一段。占整个圆周的四分之一，所以它画的是一个截面，然后现在把这个水桶竖着放。竖过来放。碎放，然后这个有水的呢，这现在水就就占了这么多是吧？

这水占了这么多，所以大家可以发现，如果一个密闭的容器啊，一个横着放，一个竖着放，或者不管怎么放？它水的体积是相同的是吧？水的体积它是洗相同的好，这道题是求比值，我们还那句话求比值用特值法做就行了好，我们假设这个半径为一好吧。半径是唯一的，这个这个水桶是一样的，半径都为一这个桶的高是h桶的高是h这个水的高是h水。啊AH水好，

接下来我们看一下这里面水的体积，这里面水的体积怎么算呢？就拿这个面积，然后再乘以这个高就行了好。好面就这个圆弧阴影面积好吧，就这阴影面阴影面怎么算呢？我们刚才说了，设这个半径为一，半径为一，就拿这个四分之一圆减掉一个等腰直角三角形就行了。好，四分之一圆，四分之一派r方。减去一个等腰直角三角形就二分之r方好吧，所以这个等腰直角三角形，

它的面积就是二分之一。好这个，然后再乘以它的高。高这个是水的体积啊，就拿这个底面积，然后乘以这个高这个水的体积等于右边右边这个放的话，它就是派乘以r方。然后再乘以h水。啊派乘以r方啊，然后再乘以这个h水，然后这样我们就可以推出这个h水。比上它说占统高的内容是吧？那hc比上它就等于这个四分之一减去二派分之一，这样咱就选择b选项，这样答案就求解出来了。

所以通过这道题，大家要学会的做题方法和思路，就是我们要根据水的体积相等，水的量相等来列一个等式分析就可以了。好，第六题，大家可以作为一个结论来记，我们前面在讲平面几何，一个讲过是吧？平面几何，然后这个体积相等的正方体等边圆如何求？它的表面积是什么样的情况？如果体积要相同的话，那么求的表面积它要小一点，所以在这里面大家注意好，

那么我们就把结论给它总结一下，推就不再推了啊。啊，如果体积相同时。好，那么s求。s求，然后小于这个s与等边圆柱，小于s正方体。好吧好，那这一块儿大家怎么记一个自然系现象呢？怎么记一个自然现象就是大家记住一个自然现象就是水滴。为什么是球形的？就大家知道下雨以后啊呃，这个池塘荷叶里面上面的水珠啊。

或者说你看这个草地上的呃露珠是吧？水珠它也都是球形的，为什么球形呢？就在体积相同的情况下。啊，它这个呃为球体的时候，它表面要小，表面要小，你从来没看到在下雨完雨以后在池塘荷叶上没看一个正方体的水珠在那摇来摇去摇来摇去，那不可能。是不是所以在这里面好，为什么它的球形的呢？因为它做水滴成球形的目的，它是为了使得表面积最小，为什么要使得表面积最小呢？

因为它表面越小，这个蒸发的越慢是吧？蒸发越慢，然后它为了让自己在自然界里面生命。存活的更长嘛，就像我们每个人一样，都希望自己活的长一点，是不是这样的，所以它水滴呈一个这个球形，它爆在空气里的表面要少。因为大家都有一个呃，这个常识，比如地上洒水了，我们把它给摊开扫开扫开以后，那这个水蒸发的就快嘛，

是吧？或者我们洗完衣服来晾这个衣服是吧？晾衣服都给它撑开来晾，这样话这个。衣服干的快，你不可能说洗完衣服把衣服给它团成一个球，然后挂在阳台上晾是吧？那不可能让这衣服干的比较慢，所以说所以在这里面它的表面积越小，它蒸发的越慢。表面越大，蒸发的越快，所以说在这里面水滴呢，大家注意水呢，也是有生命的，

知道吧，然后它每滴水，大家在喝的时候，其实呢，它它也是有生命的。好，所以在这里面大家知道这个水滴，它为了让自己的生命呢更长一点，让表面小一点，这样蒸发的会非常慢，是不是就这样的特征啊？所以这样大家可以。呃，记住它的这个方法，所以应该是s3是最小的是吧？

然后s2s1所以这个呢？应该选择e好，如果反过来表面积要相相同。表面相同好，那么球体的体积是最大的。啊，球体的体积是最最大的好吧，所以把这大小反过来啊，如果这几个表面相当比较它体积，它的体积是。球体体积是最大的好，这是它的这个特征和方法好，这是咱们前面呃学过的立体几何，然后在平面几何，平面几何呢，

比如说可以写成三角形啊，这上面是立体的啊，如果平面几何。编辑，比如说三角形，四边形和圆。和圆那么它的这个情况好，如果周长要相相同。啊，周长要要相同好，周长相同的话，那么这个三角形的表面积还有正方形的表面，这个三角形都是等边三角形这个。正方形都都是不是其他的这个这个这个图形不是其他四边形不是长方形也不是呃，这个平行四边形啊，

它就是正方形。好，那它周长相等它面积情况面积情况就圆的面积是是最大的是吧啊？圆的面积是最大的啊？然后周长是一样的时候，圆的面积是最大好，如果要面积相相同。面相同，面面要相同的话就反过来。三角形的周长是是最大的。三角形的周长，这个c就代表周长啊c就代表周长好吧，好在这里面我再给大家进行强调一下，咱们前面讲平面几何时候记得给大家总结过，如果忘记重新再写一下，

立体几何就比较球体等边元素，一定是等边元素不能。其他柱体啊，还有正方体，不能是长方体啊，正方体好，它的比较情况，然后如果平面几个，一定是等边三角形，不能是其他三角形，一定是正方形，不能是其他四边形啊。还有这个圆，那它的这个情况，大家呢？

要知道它的方法好吧，所以这是它的特征，比如说周长相同面相，这样的话，我们就考试就不用再计算了，好吧，要不然计算的话还得设一些数。然后呢？再求解呢？也比较麻烦。好，然后第七题这道题长方体的三条棱长之比三比二比一，表面是88，最长一条棱到底是等于多少？好，

那么知道这个比例，我们就可以设3k2k和k。是吧，然后三条棱分别是3k，2k和k，它表面是88，那大家知道表面公式就等于二倍的两两相乘就3k乘以两两乘啊。啊，两两乘就可以了，3k×k就3k方，加上6k方，加上2k方。就等于个22k方，它等于88，88，

那这个k解的就等于2k解的等于二，所以最长的棱。最常能就是3k就等于六，最难就选择e选项好看，这个题是不是学会了，所以通过这道题，大家要掌握的做题方法就是采用这个比例系数k，然后呢，解出k，然后。才算答案，记住表面公式就可以了。好，那第八题我们来看一下一个长方体长宽之比是二比一宽，高之比三比二，

若长里全部棱长是220，求它体积好，那么根据长宽和宽高。之比我们要把它统一比例，长宽比是二比一宽高比。是三比二好通过这个，我们就可以算出长宽。高它的比例情况啊，长宽高它比例情况，因为这两个都是宽嘛，这样它都都是宽的话，然后在这里面我们呢就可以。看图都给它扩大三倍六比三比二是吧？就统一比例同一比例，那这样我们就可以设长为是6k宽是？

3k高是2k是个比例系数，所以它要给两个分开的比例，听到没？这两个分开比例，然后呢？在这我们首先要把它合在一起，合在一起，然后呢？再写它的结果就可以了。然后这一块我们就可以写它的表面积公式。好它告诉棱长公式是吧？好棱长棱长和，然后就等于四倍的a+b+c嘛，四倍的就6 k+3 k+2 k。啊，

它这个算出来等于44k，它正好等于220好，这个k算出来就等于5k。可以算算它得到五得到五以后，然后算它体积v就行了，体积v就长宽高相乘嘛，就六×3k。乘以2k好，我们把它带到里面就30×15，再乘以个十。就等于4500，这个答案就选择d选项，答案就求解出来了，好，这是给大家强调做题的方法和思路，

看是不是学会了。好啊，还是利用比例法跟上题差不多，根据比例系数k求出来，然后再算它的体积好第九题。他说，这个长方体共一个顶点的三个面，面积是呃根号，二根号，三根号六，这个长方体体对角线长到底是多少？体对角线长好，在这里大家可以发现三个顶点，面积分别是AB。BC.

和AC。是不是这样的，然后这个解出ABC的值就行了，这个ABC的值怎么解呢？你可以用前两个相乘除，以第三个就可以得到a的值好吧？啊，前两个呃相乘啊，除以第三个就可以得到b的值是吧？所以前两个相乘。啊，然后除以第三个，然后这里这两个相乘除以第三个就可以把这个a跟c给它约掉嘛。啊约掉，所以就可以得到b的值是吧？

然后b的值把它求解出来好吧，然后呢b的值知道了任何一个都可以求啊，所以在这里面学会了吗？啊，不会我给给大家再强调一下前两个相乘啊，再除以第三个就得到b方为一是吧？b方为1b就为1b为一，那就a都等于根号，2c就等于根号三。这条线好了，它的体直角线。体这条线d就等于根号下a方加b方加c方就等于根号下一+2+3就根号六，这样拿去选d选项。这样就写好了，看这个题是否明白了，

通过这道题，大家要会解两两相乘的这样的方程组，把每一个未知数给它求出来啊。解两两相乘的方组，只要让其中两个方程相乘除，以另外一个马上就可以得到这个未知数的值。好，第十题，甲乙两个圆柱体甲的底面周长是乙的两倍，如果周长它两倍，说明半径是它两倍是吧？甲的高是乙的是二分之一。求甲体是乙的多少倍？那么求比值我们就可以取特值好吧，好，

那么甲它相当于是矮胖的。乙呢，相当于是高寿的。啊，这是甲这个是乙是吧？因为底面周长是乙的两倍，说明半径差两倍，我们设甲的半径为二乙的半径就为一。好那么甲的高度是乙高度二分之一，我们设乙的高度为二。乙的高度为二甲的高度，它又为一，然后这样的话，我们看v甲比v乙。v加比v就等于派乘以r方，

再乘以高除以一派乘以r方，再乘以高就得到二，这个答案就选择c选项。答案就求解出来了，所以通过这道题，大家就可以看出求比值，你就取特值，做这样话要简单根据它的呃半径和高的关系来求答案就行了。好，第11题。一个圆柱侧面展开出是正方形，它的侧面积是底面积的多少倍？又是求倍数，求比值，求比值，

你就取特值就行了啊。好，那在这里面，我们画一个这个图。它展开正好是一个正方形，我们假设这个半径r为一，半径r为一，这一块儿就是二派是吧？这个底面周长。大家知道它展开图，这个边长就得底面周长，如果设半径为一，它周长是二派，然后它高它高呢，也是这个二二二派，

因为它是正方形嘛。正方形好，它侧面积s侧。比上s底面积。好，我们来看一下他做题的方法，把它带到里面去，侧面正好是这个正方形面积的二派的平方，是不是就可以得到答案？好，那这个侧面积我们写出来了，就这个正方形的面积，二派平方写好了，然后底面积就是派r方。派尔坊。

然后这个约完后得到四啊，得到四派倍是吧？所以这个呢，应该选择c选项。好在这里面有同学有个疑问，它这底面也算不算是是上底和下底？其实这里严格来说的话应该是下底好吧，所以说怕大家有引起歧义啊。啊，引起歧义，因为如果他要说底的话，有可能包含上底，有可能包含下底，不过一般说底的话，默认都是下底好吧，

如果你要怕自己有歧义的话，考生会给你说是下底面积啊，所以这块儿给大家进行。强调一下好吧，到时候理解的时候不要给理解错了啊。要不然正好少算了一半啊，所以这是给大家强调的特征，下面我们来看第12题这个题啊，这个矩形给它卷成一个圆柱体它。矩形卷圆里有两个卷法，一个卷成高瘦状，一个卷成矮胖的，一个一个矩形呢，这个横横着卷，一个竖着卷，

是不是？所以这里它高为12好吧。所以在这里面这个这个是。12这个是八啊啊，这个是12，这个是八，然后卷成一个圆柱的侧面。卷成圆柱的侧侧面侧面，大家看这个高等于12，那么这个八的话正好是底面的周长，对吧？周长知道了，那么它半径就拿八÷2派就得到它的这个半径就是四除以派。好吧，就根据它这个八作为它周长算它的半径好半径，

知道了就可以算它体积vv就等于派乘以r方。然后再乘以高啊，得到它这个数值关系啊，然后这一块我们就可以得到。16×12就等于192除以派好，这个答案就选择这个b选项，答案就求解出来了，好看这个题是不是明白了？通过这道题，大家要知道它的长跟宽，它的这个特征，然后呢，来求出它的半径和高，然后呢，再算它的体积就行了，

当然这个矩形还可以给大家转过来。横着呃来卷，横着来卷的话，就是把这个八作为这个高了啊一样道理。好，那么第十三题两个球形容器，若将大球的溶液五分之二溶液倒入小球中，正好可以装满小球，这个呃就相当于一个球形容器的大球啊。啊，这有个小口是吧？这是里面呃，这个这个大球的五分之二。啊，大球这个五分之二，

然后这是一个小球的容器，正好能能能够装满是吧？正好能够装满。好，那说明根据水的体积相相等，就说明这个大球的五分之二的体积等于小球的体积是吧？这个得到v大比v小。就等于这个二分之五是不是是这样特征好，大家知道球体它的体积比是不是这样等于半径之比的立方就等于r大比上r小？括号的三次方是吧？就大球大的半径比小半径的三次方，这样是r大比上r小。就等于三次根号五比上三次根号二啊，这样就选出来就选择c选项，看是否明白了，

通过这道题，大家要掌握的做题方法就是根据水的体积相等列一个等式，然后找到它体积比。体积比，然后再转化成半径比，所以大家注意任何两个球，它体积之比都等于半径之比的三次方啊，那么任何两个球球的表面积之比就等于半径之比的平方啊，所以大家要知道。好，第14题那么球的内接正方体的棱长为根号，二是则此球的表面积到底是多少？好，那么就这道题从正方体的角度来说，就正方体的外接球。

正方体的外接球。接下来我们求出啊正方体外接球的半径公式，二分之根号。三倍的。能长好吧，所以这是正方体外接球r=2分之根号三倍的a好，这个a不就等于根号二吗？a等于根号二，所以这道题我们就得到是二分之根号六。啊，就二分之根号六这样就写好了，所以在这里面就是棱长是根号二把它带到里面去，这样就得到是根号六。那么球的表面积等于四派r方，然后在这里面正好等于六派这个呢，

就选择d选项好，这是给大家强调的做题的方法，看是不是学会了？好通过这道题，大家要掌握内容就是正方体外接球的公式和球的表面积公式，把它掌握住。好，第15题，它一个底半径为r的圆柱体量杯中，然后装有适量水，若放了一个半径为r的。一个铁球。然后它的高度恰好身高r啊，这个就这个就考察，那么它放入物体，

它对这个。呃，水面高度影响大家知道放入物体的体积就等于这个水面升高的，这个体积是吧？这样的情况，然后在这里面大家知道就三分之四派r的三次方。三分之四派r的三次方，然后这就是小球的体，等于它水面升高体水面升高体，然后这个半径呢，不是r嘛，升高高度也是r是不是？这就等于呃派r方再乘以r，因为它升高的是一个小圆柱啊，小圆柱就用派乘以半径平方再乘以这个圆柱的高高呢，

就相当于升高的。高度就是r，然后这样两边呢，我们就可以把它派给它约掉是吧？约掉约掉就可以得到r方就等于三之四倍的小r方。好，然后呢？我们他要求大r比小r大r比小r就可以得到，这个是二倍根号三三分之二倍根号三，这个答案就选择。a选项答案就求解出来了，好看这个题是不是学会了？这道题主要考点就考察水中放入物体，它对水面的高度的影响大家呢？要掌握它的判断方法和做题的方法。

好，以后大家再遇到这个水中放物体，就是它在水中的体积就等于水面上升的高度，当然还有一个难一点呢，比如说有的物体呢，比较大比较大，它有一部分露在水面上头。啊，有一部分在水里头，这时候你就看在水里头的体积就等于水面上升的这个内容好吧，大家呢，要掌握它的特征。好，那接下来我们来看一下，重新判断题里面的情况，

好，第16题三个球中最大球的体是另外两球体和的3倍。好条件一那三个半径之比是一比二比三条件二大球半径是另外两球半径之和好，那我们来看条件一，因为题干这一块儿没法做了，我们看条件一条件一呢就。就是v大那那这个因为它求比值，我们就可以设特值好吧，就半径分别是一二三句就行了啊，就v大。v大就等于一个三分之四派r的三次方。好，这是v大，然后v中加上v小就另外两个较小了，另外两个，

另外两个就是三分之四。派乘以二的三次方加一的三三次方好，这样的特征，然后这样我们可以得到这个就可以得到这个是。八八加一得到是九，这个是三分之四派乘以二十七啊，前面三分之四甭管它，三分之四派乘以。乘以一个九，所以大家可以看，这是27，这个是九，正好是三倍啊，正好是满足三倍，所以调一是充分。

条件这个不太行，条件它大球半径是另外两个小的半径之和，比如r=r一+r二。那这个v大等于三分之四派r的大r的三次方v中加v小。就等于三分之四派r一的三次方加r二的三次方，那这个就不一定是三倍了是吧？这个不一定是三倍，那只知道它是它两个之和，这个呢就确定不了，所以条件儿呢，这个是不行，未知数太多了。所以这道题正确答案就选择a选项，看是不是学会了好，那么这是这个题啊，

这个题主要根据它的半径的关系，然后呢，来求它体的关系，看大家是不是学会了？这个题我们来看一下圆柱的体积是正方体的4%倍好，那么条件一圆柱与正方体的高是相等的，那只知道它高相等，但它这个。圆柱。和这个正方体它的呃，这个圆柱的底面半径不知道对吧，所以这个圆柱到底面半径是小一点还是大一点，这个不知道，所以条件一单独补充问。条件只招侧面一项的，

侧面一项让它高，是不知道对不对高和半径这个不好分析，所以单独不充分肯定要联合起来。好联想起来，我们来看一下，因为它要求倍数求比值和求倍数，我们就设特值做就行了，好不好？我讲的正方体棱长为一。正方体呃棱长为一，因为它是说它两者高相等嘛，这个正方体的高，它是唯一的，这个圆柱的高，它也为一。

然后圆的半径为r，再根据两者的侧面相等，我们把半径求出来，那么正方体的侧面就四周这四个面儿，听到没？正方体的侧面积。好正方体的侧面积就是四个面儿，它的面积听到没有？就是四个面儿，它的这个面面积值。这样的特征好就是四正方体的侧面积，然后圆柱的侧面积好，圆柱的侧面积我们看是什么情况呢？就是相当于这个等于底面周长。再乘以这个高。

高呢就是一啊，好就推出rr就等于二除以派啊，这个半径r就可以求解出来。就等于派分之2r求出来了，然后它的v柱体的体积。比上v正方体v正方体就唯一，因为它棱长是唯一的棱长为一，然后它它这个正方体它这个。体又为一它柱体，就等于派乘以r方乘以高高呢？它就为一所以这样算出来，就等于四除以派啊，所以联合充分正确答案就选c。好，那么单独的话，

它都缺少信息，没法推导，所以说联合起来是充分的，所以就c选项看是不是学会了？好，那么这个题一个高为3h，底面半径为2r的无盖圆柱形装有水，然后水的高为2r。则水能从容器内溢出啊，能能从里头溢出来，好在这里面我们来看一下什么叫能溢出来啊，有时候装进物体体能把上面空白的。这个体给它占满，这样话就有点像乌鸦喝水一样是吧？大家小时候学过一篇课文，

乌鸦喝水，它就是这个水比较少，它往里面放点石头，这个水面慢慢就升高了啊。好，那我们来看一下这个题，这个题我们先把题干啊呃画一下图，它高呢是3r。这高h呢，等于3r。然后底面半径呢是2r，底面半径是2r。好注意这个r，它不是这个这个半径啊，它不不是这个圆半径，

它的半径是2r，别给看错了。好，这时候呢，它装有一部分的水，这个水呢，还没装满水，装到哪了？装到2r这么高？好，这个水的高是2r好，上面还空了一部分，对吧？空了一部分好，那我们就看一下。

啊，那么第一个装入七颗半径为r的实心钢球啊，那这钢球就是好，我们看一下这个微球，它的体积七颗啊。七颗就总共体积吧，七颗乘以一个三分之四派r的立方，那我们看一下它上面空的这个体积到底说上面空的。上面空的就等于派r方派r方，然后再乘它这个高是吧？乘它这个高它高上面空的是r是吧？派2r方，然后再乘以高。好再乘以高派，乘以2r方，

然后再乘以高，然后这样就得到是四派。r的三次方是吧？得到四派r的三次方得到这个特征啊，所以在这里面就它的半径是2r，明白吧？就你看这个圆柱上方，它空的体到底是多少？把它求出来，就是说派乘以半径的平方，然后再乘以个高高呢，就是r这样就算出来等于四派r的三次方好，这就为空算出来。为空算出来以后，接下来我们看，

只要它放的物体大于它就行了，这显然是大于它的是吧？大于为空的。好大于为空的，所以这个呢条件一是可以的条件二我们来看放入棱长为二二r的实心正方体的钢钢块儿。好放入一个棱长为2r的，然后这个v正方体我们来看一下它的特征，好v正方体我们看一下它的这个表达式。就等于2r的立方，就等于八倍的r的立方，八倍r立方是小于这个的，因为四乘以派这个。这个比较大，所以小雨为空，所以它这个呢是不行的，

这个答案就选择这个a选项好，这给大家强调做题的方法，看是不是明白了？通过这道题，大家要知道它的特征就是我们如何呃来根据放的物体体和空的体做比较来判断。好，这个题就长离表面积为88，然后在这个条件，一是三棱长之比比例知道了，它肯定求不出面积值，因为它比例它不知道比例系数。条件下，长方体体积知道，但它不知道它的棱长到底怎么变化也不行，所以明显要联合。

然后啊，我们就可以设棱长。为k2k和3k。啊设棱长为2k，2k和3k，好在这里面我们可以根据它的体积vv呢，就等于k×2k。再乘以3k就等于6k的，三次方等于48。然后k呢，得到就是2k得二好k得二，它的表面积s就等于二倍的，这个两两乘嘛是？是不是啊？两两层就3k方，

加上6k方，加上2k方。然后这算等于88，所以联想企业成分正确，答案就选c选项啊好，这道题比较简，就考察正方体的棱长和体积表面积的公式，这样就可以求出它的答案了，看是不是学会了。下面再看这个题，能确定一个长方体的体积，能确定长方体积v啊，那么这个v那就等于一个a×b×c。条件一指着它表面积，条件儿指着它体对角线，

大家知道这个表面积s=2倍的AB+BC+AC。条件它体这条线d就等于根号下a方加b方加c方，因为这里面大家可以发现有三个未知数是。是吧ABC有三个未知数，所以说两个方程是解不出来的，解不出来，所以它这个确定不了，单独不充分，联想企业也不充分，这道题呢，就选择e选项，看是不是学会了？好，那这是第五题啊，第五题主要看长体的表面积体积啊，

还有对角线，那它的这个特征。和方法看是不是明白了？好，这个题两圆柱的侧面相等，则能求出两者体之比是三比二啊体之比。是三比二这样的情况啊，两圆柱的侧面积它一样啊，侧面一样，我们看条件一条件一的话，它的底半径之比。分别是六和四啊，这个两个圆柱，一个大一点儿。好一个小一点儿，

因为它侧面积要要保证一样啊，这个半径假如是六这个半径呢是四好，假如这个高是h1这个高是h2。这高h1好，它的侧面要相等，我们只要求它高，它的一个数值情况是吧？根据它侧面相等的话，第一个侧面一定是。二派r乘以高h1，这个是二派r乘以高h2是吧？然后这个就是二派。r然后乘以h1这个二派r×1个h2好，这样我们就可以很容易算出这h1和AH 2的比就三倍的h1就等于二倍的h2。好，

那这是它的这个特征，接着我们看体比v1比v2v1比v2就等于派r1方乘以高h1派r2方乘以h2。好在这里面大家可以知道这个r是等于六六的平方，这是四的平方乘以，然后h1和h2的比h1比上h2正好等于。这个是二比三，是不是？所以说h一把它看看成二吧h二把它看成三吧三，然后大家上下呢，给它约一约是吧？约约约正好得到是三比二。好吧，所以题案一呢是充分的。好条件儿，两者的半径是三和二，

跟这个同理啊，条件儿同理。条件是同同理的好，那么同理，那它这个比值一个是三，一个是二，然后同理它这个呢也是哎，充分的是吧，所以说这个数我就不再算了，跟它呢是一样的道理。好答案呢，就选择这个d选项，看是不是学会了。好，这个题在一个直径为32的圆柱体呃容器中放入一个实心铁球，

水面升高了九，假设球完全浸没水中，且水没有溢出。好吧，就是它怕出现影响歧义好，那可以看它这个直径是32啊。直径32，一个圆柱形放一个实心铁铁球，然后这个水面它升高了九。啊，水面升高了九好，那么求这个铁球的，我们把这个题干给大家化简一下，化简求出这个直径或者半径，以后我们再去分析好吧，

好，那么由题干，我们可以得到什么情况呢？啊由题干，我们可以看出这个铁球完全成立，我们设这个球的半径为r好吧，球的半径为r三分之四派r的立方。就等于水面升高的部分，水面升高就派乘以r的平方，这个圆柱的直径为32，半径为16，然后再乘以一个高度九。啊，这样就可以写出来，然后两边把派给它约掉好吧，

约掉约掉，然后再约掉一个四。幺四=64乘以个27，所以这r我们就可以求出r正好等于12是吧？好，这个r是代表球的半径啊，球的半径是12，球的半径12，那说明体积的直径为24条，况一呢是符合。那条件它的体又表面为144，这个不行，条件要表面为144。这条件儿那这个半径r呢，就肯定就不是12了是吧？

所以在这里面这个r啊，这个就就不是12所以r呢，它就不等于12了，所以它就不不充分，所以这个咱就选择a选项。看这个题是不是学会了，通过这道题，大家要学会的方法和思路就是我们。啊，要看出来，主要是放入物体，如果这个物体全沉没在水里面，然后呢，这个物体体积等于水面上升的体积，然后列一个等式，

求它的参数，这个我们。刚在做前面几个题时候，你遇到过好看这类方法是不是学会了？好，那么整个立体几何？我们的题就讲完了，大家把做错的或者不会做的题呢？好好再加强一下，总的立体几何？这个考试内容不是很难，大家呢，要把这个空间想象能力呢，要加强一下，这样就达到考试要求。

好，我们本章就讲解完毕，这个祝大家金榜题名，各位同学拜拜！

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