034.24-顿悟-专项八-数列-题型5-题型7

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 06:35:33

下面咱们看一下题型五错位相减的一些大招的妙解法。啊，错位相减，什么情况下采用错位相减呢？就如果一个数列，它写成一个等差乘一个等比数列，可以采用错位相减的方法来进行求解。就是an比如写成BN×CN，其中BN呢是一个等差CN是一个等比啊，如果出现这种形式，我们可以采用。错位相减的方式来进行分析和思考，要掌握这个错位相减它的求解方法。好，那我们来看一下。

啊，尤其它一个特殊情况是吧啊，特殊情况a如果写成等于一个a倍的。a×n+1个b，前面就是一个等差。括号里面就是一个等差，为什么是等差呢？因为它的关于n的一个依次表达式，这样的数列通项，它就是一个等差。然后后面q的N次方就代表一个等比为什么是等比呢？它只要写成一个指数形式，它就是一个等比。啊，这个等比，

然后这样的话SN就可以得到，这个是靠这个是当然，这个是你肯定是记不住。啊记100遍也记不住，所以考试要知道它的过程怎么推导就行了，因为错位相减的话啊，它出现的时候你直接会推导公式呢，记不住没关系。所以我们借助这个题来说一下，它如何来推导，如何来推导，当然。这个c呢？前项和大家可以用特值法来做啊，实在不行特值法，

比如n取一的时候，那么看看它行不行是吧？如果实在不会做。也可以用特值排除法。啊，特殊排法，那大家知道s1就等于c1是吧？s1就等于c1c1实质上等于一×2的零次方，它等于一。是吧啊n=1的时候啊，这样的c1，所以在这里面大家就可以排除一些选项，你看a选项n=1的时候，它是不是满足？n等一时候，

它就是负的，那这可能不行，然后b选项n等一的时候啊，你看它是不是满足是吧，这样的话我们就可以排除一些选项，就把n等一分别带到。每个选项里面，然后排除一下，排除完，然后得到它的结果是吧？得到结果，然后看看它是不是一这样就可以？很快得到答案是吧啊，如果s1排除完以后，那么有两个选项，

那么就算s2s2就等于c 1+c二。啊c1的值正好为1c二的值，正好就是三×2c2的值，相当于n=2的时候n=2的时候。就三三×2，所以又得到七是吧？所以这样，所以大家呢？就是呃，排除一选项嘛，排除选项，那我们就可以。写它的值是吧？然后这样得到结果啊，这是一种方法啊，

另外咱们讲讲处理相减法的原理是什么样好吧，大家一起来。分析一下它的处理相减的原理，就相当于是这个SN。正好就等于c1。加c2一直加到CN那c1的值，正好就是一。是吧，一。加c2的值c2值，它正好就是什么呢？正好就是c2。就相当于是呃。代到里面去三。把n=2带到里面去，

带到里面调到三。乘以二的一次方是吧？然后下一个就是五×2^2。对不对？一直加到就2 n- 1×1个二的n- 1次方啊，得到这个是这SN。然后接下来我们看它的公比后面这个等比数列，它公比正好为二，所以两边要同时以二来进行分析。所以得到二倍的SN等于。然后第一项乘以二就变成一×2。然后这个三×2再乘以二就变成三×2^2，往后错一位。对不对？一直加到最后。

它的前项，然后乘以二就变成2 n- 1。那它前项前项应该是2 n- 3对吧？就是它倒数第二项，然后乘以个二正好变成二的n- 1次方，然后再加上。它最后一项乘以二，最后一项乘以二就是2 n- 1。乘以个二的N次方啊，得到这样的那，然后得到这两式以后，然后进行相减。在相减时候，我们用第二式减第一式就可以了，好吧，

所以两式呢，做一下相减。让第二式减第一式。啊，如果用上面减下面的话，左边是负的，这样也可以啊，这个不影响，所以左边这个相减就变成负的SN。啊，右边现象，然后这个一就照抄下来就不管它，然后这个三×2-1×2。啊五那这有个五减三看到没？这个三减一这个五减三这个二n减一和二n减三。

好，那这两个相减，这两个相减正好就得到什么？就得到这俩相减，正好得到二的平方，再得到二的三次方，这两个相减得到二的N次方，因为这个前面括号相减，不又会减去个二吗？然后二乘以这个后面二的n- 1次方就可以变成二的N次方，知道吧？这就写成二加。对二的平方了，因为三减一得到二，知道吧？

二乘以二得到二的平方，五减三又得到二二乘以二的平方，得到二的三次方。你加上这个加到二的N次方。然后减去最后一项2 n- 1×2的N次方好得到这个结果，然后接下来这一块儿进行求和就行了。啊求和就是二的平方，二的三次方，一到二的N次方啊，给它进行求和。要求和好，求和以后变成负的SN就等于个一，加上这个求和就等于一减公比分之。它的公比呢，是二首项呢？

是四。乘以一减公比的n- 1次方，为什么n- 1次方？因为从二二次方三次方到N次方，它总有n- 1项。知道吧，有n- 1项好，那这样就可以写出来，然后再减去一个2 n- 1×1个二的N次方。好，那接下来咱们继续再往下写啊，继续写继续，然后这个地方呢，我们就可以带到一加上，正好是负一负一把这四乘到里面去。

是吧，所以说这个负的SN就等于一加上。啊，然后四倍的。二的n- 1次方再减一减去个2 n- 1×2的N次方。啊，然后呢？这四×2的n- 1次方。啊，正好是二×2的n+1+1次方。是吧，这样的，然后呢？这样我们就可以写出来了，有负的SN就等于一个，

因为这个有一减四得到负三。加上二×2的。这个N次方。然后再减去2 n- 1。二的N次方。是不是这样的，然后这两个都提出一个二的N次方，然后两边变一下负号吧，两边都乘以负号就变SN就等于三。减去二×2的N次方，加上2 n- 1×2的N次方是不是？然后这俩都提出二的N次方，这样就变成。2 n- 3×2的N次方再加三就得到得到这个结果，就2 n- 3×2N次方再加三。

啊，这个算完了，所以推导完这里呢，也是选择b选项，那通过这道题，大家呢，要掌握的方法就是这个公式记不住，不要紧，所以在这里面我们呢？就是套这个呃。错位相减的啊，原理来分析是吧把SN写出来，然后都给它成一个公比，往后错一位错一位，然后两式相减。

现在把中间相同的地方给它合并一下，合并完中间又出现一个等比数列啊，这个等比数列求和，然后再把次方呢给它。进行整理就可以得到结果，好，这是它做题方法和思路，看是不是懂了？好，接下来咱们再看这个题啊，数列an满足a一加上二分之a二一直加到n分之an等于三的N次方减二。则a的前项和到底说。它这个地方求的an的前项和相当于求什么？求的是a 1+a二。一加到an的，

到底是等于几是吧？好，那这个题我们看应该怎么去处理？这里我们观察左边左边就相当于什么？啊，一分之a一加上二分之a二。其实这道题教给大家一个小的技巧，还是找特值法做是比较简单的，你比如说那么特值法，大家可以取什么取n=1的时候。就特斯法n=1的时候n=1的时候，那左边就剩一个a1了，对吧？a1右边就剩三的一次方减二就得到是一。a的值正好为1a的值为一，

那么这个s1它也为一是吧？s1它也为一，这时候我们就可以带到里面去来进行分析啊。我们一看它是不是为一那a选项n等一的时候，这个不太行啊b选项n等一的时候啊，这个呢也不太行。是吧，所以在这里面大家呢啊，就可以看出它它它这个值也也也不是等于一的，然后c选项把n=1带到里面去啊，这个也不满足。然后d选项n等于一的时候，那它这个是负这后面是减的是吧啊减的啊，这个也不行，然后e选项n等于一的时候n等于一的时候，

这正好是二分之三减二分之一，正好OK。是吧，所以这样的话，它s1应该等于a1正好等于一，所以说给排除选项，这样是比较快的。啊，如果一般方法，我们看怎么做一般方法？一般方法那得a1这个二分之。a二我们可以构造一个新数列，相当于BN这样等于一个n分之an。所以它这个a1加二分之a二一加到它相当于什么？相当于b。

b的前项和知道吧？那b 1+b二。一加到BN=3的N次方减二，它这个前项和注意它这个BN这个这个数列，它是一个前项和它这个不是一个等比数列，因为它这个二不满足啊，不满足刚才咱们这个。这个系数情况，刚刚咱们在前面讲了。只有它的系数加后面系数等于零的时候，那这时候它才是等比数列前项和这时候不满足，不满足的话就把它分开写就行了好吧，分开写。所以这个呢，将分开写，

把b人的表达式写出来啊，写出来写出来这个这个你你怎么写呢？就可以写的b 1+b二。一加到BN减一三=3的n- 1次方再减二，所以两式相减就可以把它求解出来，只不过BN 1定要分成两段写。当然等于一的时候，这个b1的值呢？正好呢，就等于a1的值是吧？b1的值呢，等于a1a1的值正好就就等于什么？就等于一。啊a的值差正好为一就写出来了，是不是a的值差正好正好就等于一就写完了好看这个名儿没有？

a值呢，正好就就等等于一啊。啊，就写出来了，然后咱们再看n大于等于二的时候，大于等于二的时候，你就用它的前项和减掉它前减一项和这两个相减。相减的话就是三的N次方减，三的n减，一次方就可以写成二×3的n减，一次方好这BN。啊BN写出来那an就可以写出来了是吧？所以这道题先把BN求出来BN求出来，那an的表达式就写写出来了。因为这个呃an正好等于n倍的BN是吧，

所以an。大等于n倍的BN。当n=1的时候，那么它的a1的值就为一，当n大于等于二的时候n大于等于二的时候，那相当于是2n×3的n- 1次方。这样就写好了，好，我们把an的表达式求出来以后啊，我们接下来看一下SN。啊SN，它正好等于a 1+a二一直加到an是吧？然后接下来我们看a1的值正好就是一。是吧，这样就写出来了a的值，

那正好就得到是一。啊a2的值a2值就带到里面去n=2带到里面去，带到里面大家可以发现得到四啊n=2就四×1个。三好，接下来咱们看a3的值a3的值呢？六×3^2一直加到。现在就是2n×1个三的n- 1次方啊，这样写好了。好，这是它的这个表达式，然后接下来我们两边同称它的公比，因为它的公比正好是以三为底的指数，所以这个三就是它公比。所以两边都乘以三，然后三倍的SN。

然后把它往后错一位，大家知道一往后错一位就变成一×3。是吧啊，一×3这样就写好了，然后接下来它往后错一位啊，往往后错一位，往后错一位就相当于是。这个四×3^2。点点，你加到它的倒数第二项，倒数第二项就是它前项了，前项是二倍的n- 1×3。的n- 2次，方n- 2次方，然后再乘以三就变成n- 1次方。

然后再加上最后一项乘以三，最后一项乘以三就2n×3的N次方。好，做到这我们两式就可以相减。啊，两式相减好两相减，大家上下来进行解。啊来来来，减来减的话，大家可以发现这个左边相减就变成负的2倍的SN。然后这个一减下来就是一。加上这个减下来四乘以三一×3减下来就变成九了。然后这个剪下来，这个剪下来，大家可以看到，

正好就是二×3^2。价格就二×3的三次方。啊，一直到这两个相减就二×3的n- 1次方。然后减去2n×3的N次方好，这样就写好了啊，这是它的方法思路，看是不懂了啊。然后接下来我们看括号里面就可以对它进行求和括号中求和就负二倍的SN，然后一个十+2乘以个。就一减公比，它的公比多少？三一减公比首项三的平方×1-3的，这个总共有多少项？大家可以看到。

从二移到n- 1，总共有n- 2项。是吧，总有n- 2项。好，这是它的这个像素，然后减去2n×3的N次方。好，大家知道这个二跟这个分母的这个数呢，它就能够抵消掉是吧啊，这个因为这个一减三正好负二跟它就能抵消掉。比较掉就变成负2 SN就等于十，然后这个抵消完了之后有个负的，有个负的话，这个三乘到里面九。

加上三的N次方。减去2n×3的N次方。然后这个两边呢，再重乘一个负号啊，这个算出来就一。啊，加上一减二n乘以一个三的N次方是吧？然后两边同除一个负二，我们负二就得到了。这个就相当于是。啊，二分之二n减一。乘以一个三的N次方，然后再减二分之一。啊，

这样就写出它的结果来了，好，这是它的做题方法啊，看是不是懂了，两边把负二除过来就可以得到结果。好，那这样就算出来答案就选择的是e选项，跟这个就是一样的。就大家这道题第一步呢，首先呢，要用这个换元令，这个BN等于这个表达式，然后BN可以看出。啊，它的求和公式知道求和知道了，

要会写出它的这个通项，把并列通项写出来以后注意这道题要分段儿。写出来，然后再把an的表达式写出来，an表达式写出来，然后再写an的求和求和用错位相减的方法来进行分析和思考，就可以得到答案。好看，这块儿是不明白了啊，要掌握它的处理方法。好，接下来咱们看各类递推公式。啊，首先咱们看一下内等差数列啊，内等差数列内等数列，

当看到an+1-an=fn时可以直接采用累加法来进行求解。你要累加来进行分析和思考，我们看下这个题数列a满足a=1，且对任意的mn，然后都有。am+n=am+n+mn。啊，那么则这个式到底等于多少啊？求这个式到底是多少？好，那在这里面大家想一想。啊，这个是那第一步是不是要把an的表达式求出来啊？an的表达式写出来就可以了，是不是啊？

因为它对于任意的对于任意的话，那在这里面你可以取一下特值。比较特质，当然也可以按照咱们前面讲的技巧，年份的时候大家呢，也可以把它换成年号是吧，这个咱们也讲过啊，你可以把这个二零二三看成n。就令n等于二零二三。n等于二零幺三，它相当于求的是a一分之一加a二分之一，一直加到an分之一。然后这a选项a选项就可以写成n分之n减一。这个b选项就是n加一分之n。c选项c选项就可以写成这个n。

这个就相当于二分之n加一。然后d选项就可以把它写成n分之。二倍的n+1。啊，二倍的n- 1是吧？正好是二零二二是吧？然后e选项e选项就可以把它写成。n分之，然后呢2n。再减一。是不是所以说这种处理方法，你就把这二零二三，然后把它看这个n看n以后它这个求的就变成a一分之一加a二分之一加到a。n分之一，然后接下来我们就是AA呢，

就相当于n分之n减一b呢，就是相当于n加一分之一等等，这样替换。就像这道题，能想办法把a要求出来，对a它告诉我们了，那等于一那很简单a=1，所以说当n=1的时候，看它是否为一，你看a选项不太行啊a选项n=1的时候。它这个不是唯一的。然后这样就不太行，对吧？所以说大家呢，就可以写出它的值，

那n=1的时候n=1时候它要为一的话，有两个选项看e选项。啊e选项和c选项都可以，你看n等于一的时候n等于一的时候，它这两个都是OK的OK，然后接下来你再算一个a二值，把a二值算到里面看a一分之一加a二分之一。到底c选项和e选项选哪个就可以了？好吧，所以这是它的处理方法，所以根据a的值，然后再算。啊，如果有同学不会算a2值的话，你让m和n都取一嘛。

m和n都取m和n都取那这个题干式子就变成a2。那等于两个a1，再加上一个一。然后这个正好等于三，正好等于三，然后所以说a一分之一加a二分之a一分之一加a二分之一，那就一加上三分之一，正好等于三分之四。三三分之四，所以你把n等于二带带到里面去，看它是不是三分之四，那只有c选项是符合的是吧？c选项就是也就说a一分之一加a二分之一相等于三分之四，所以c选项才符合的，所以接下来那e选项就不行，

所以这样c选项就选出来了。是吧，好，这是它的这个方法啊，这是用特值法教给大家怎么去分析和求解？那接下来我们看一般方法怎么做？一般方法，大家先列m=1列m=1的时候就an+1，这样等于一个。a 1+an，再加上n是吧令m=1 m=1的话，这个a1的值章等于一嘛，所以an就等于。an+1就等于an+n+1是吧？就把这个a1呢等于一带到里面去，

带到里面，然后这个就变成一个类等差数列。就变成an+1-an，正好等于个n+1这样写啊，希望大家有写的若干项一相加就行，写若干项一相加就ok了。若干项相加，就是a二减a一等于个二a三减a二等于个三。是吧，就是an-an- 1正好等于n把这几个相加就可以得到an-a一，这样等于二加三一加到n。啊，因为a一的值正好等于一把一带到里面去，这样就可以得到an一加二加三加到n就等于二分之n乘n加一。啊an的表达式写出来了，

那它要求的倒数首先把这个an分之一倒过来，那就二这个nn加一，这样把它裂开。有n分之一减n加一分之一是吧把它裂开，裂开后那接下来就是a一分之一加a二分之一。一加到a二零二三分之一，因为它每项都有个二，可以把二给它提出来，提出来的话，那n等于一的时候一减二分之一，加上二分之一减三分之一。可以加到啊，这个后面后面的话就相当于是二零二三就相当于二零二三分之一。减二零二四分之一得到这个结果，然后中间的这个可以抵消掉是吧？

这个都。抵消掉要求等于二倍的一减二零二四。然后这样就等于二乘以二零二四二零二三，然后把它约掉幺零幺二二零二三。这样的好，这样写好了好吧，这是它的方法，幺零幺二二零二三。好，这是它的处理知识点，看是不是懂了啊，所以通过咱们这个类等差数列啊，然后呢，只要出现这种。形式的特征，

大家就把它累加好吧，所以可能这里面出现了mn两个啊符号，可能有同学就不会做，这也不要紧，一般呢，就取一啊，或者取一个。常见的数啊，然后试一试好吧，所以说大家呢，就可以求解出来，对基础不好的同学，大家呢，也可以用特值法来排除选项，可以得到答案。

啊，下面咱们来看一下类等比数列类等比数列，当看到n+1÷n=f一个表达式时候，可以直接采用累乘法。来求解匹数，若干项一相乘啊，它就可以得到结果了。好，接下来咱们来看一下例18这个题。啊已知正项数列an满足a1=1 n+2乘以个an+1^2，减去n+1×an平方，加上an+1。乘an=0问，它的通项到底多少？求这nn的通项啊，

这里实在不行，大家也可以列n=1的时候，首先咱们看一下。因为它的a的值告诉我们了，大家也可以排除选项a的值告诉我们看n=1的时候a的值等于一人可以用排除法。这样a的值等于一的话，你看a选项肯定就不行了是吧？a选项不不不可以了。然后BC。d可以写e也不行是吧？所以满足a1=1的话，那只有bcd这三个选项就给排除两个。然后接下来我们再来看您，可以再算一下n=2 n=2的时候，然后把n=1带到里面去，

带到里面就变三倍的a2方。减去二倍的a1方，再加上a2×a一=0是吧？所以把n=1带到里面，带到里面有三倍的a2方。减去二倍的a1方，加上a2×a一。大家知道a的值正好等于一嘛a的值正好等于一带到等于几a一值等于一带到等于三a二减去二。加上一个a2，它正好v0。是吧，正好为零，正好为零，因为它是一个正向数列这块儿呢，你可以用十相乘因式分解，

知道吧，十相乘因式分解分一分吧。分一份分一份，那么那得到的是三分之二是吧？所以说在这里面答案就可以求解出来，所以这个a二解的就等于三分之二。a二所以说算算a二等于三分之二负的就舍掉啊，负舍掉，所以它是要求正向数列，然后a二等于三分之二，那么把n等于二带到里面去，这个b选项是可以的。那c选项和d选项就不行了是吧？所以就选择b，所以这是用什么呢？

用咱们讲过的啊，特值排列法来进行分析和思考的。接下来咱们再看一下。啊，那么一般方法。好，一般方法大家可以用十相乘，其实刚才已经演示过十相乘，把它分一分知道吧？十相乘，把它分一分看这样分。是n+2。是一是n+1是负的，这也是一把这个看成交交叉项知道吧，你把这个n+1看成。

以一项来分an大家看一项，中间这个就交交叉项，交叉项就交叉相乘再相加，这样的交叉项。然后这样话就可以得到它的这个数值了是吧？得到这个如果没看懂的同学，它就可以分成n+2乘，以个an+1。减去个n+1×an。然后乘以个an+1+1个an。是吧，等于零这样就写好了是吧？这等于零写好了好，那接下来我们来看一下啊，因为这个它是正向数正正数，

这个肯定是正数了。这样是不是那肯定是正数，那正数的话，那只能括号为零，括号为零的话，那在这里面就可以得到这个an+1。除以个an。这样就等于一个n+1除以个n+2，是不是得到这个四啊？好，那得到这个四以后，那接下来我们呢？就可以采用。啊，这个啊相。

层它累乘法是吧？因为这个表达式我们就可以得到啊，得到它这个。类等比数列啊，给它写若干相乘也就说a2÷a一。就n=1的时候嘛，就nn=1的时候是吧，然后呢n=2的时候。等等于二二手这样。啊一一直在往后写是吧？往后写就变成an÷an- 1。这样就等于n+1分针，然后把它相乘。把它乘在一起，所以然后左边跟左边乘右边，

左边乘分子分母，它就能约掉嘛，约掉约掉的话就剩一个an÷a一了。右边有三分之二乘以一个四分之三。是吧，乘以四乘三乘一点点一乘到n加一分之n。然后这个它都可以约掉啊，约掉。如果前面剩的是分子，后面一定剩的是分母啊，这道题呢，它这个a的值，它告诉我们正好等于一是吧a的值，它已经告诉我们等等等于一。可以把这个啊an就可以写出来啊an就可以写出来写成二÷n+1。

啊，这样就求出来了好吧，所以a的值它告诉我们啊，带到里面去，所以这里首先呢，做到这大家可以想到十字相乘的这个方法。啊，十字相乘法，这样的一个式子，然后呢，把它分分解分解开后，然后再来啊，把这个递推数列公式找到，只要找到以后，然后写若干项相乘就可以得到答案了。

好在它的处理方法和思路，看是不是懂了？好，接下来咱们看一下构造等差数列构造等差数列。啊，构造等差数列，那么遇到什么情况？构造等差数列，比如说第一个当看到an+1=an÷c。n+1的时候，这类形式这些形式给它倒过来，知道吧？给它取下倒数啊，取下倒数也就是说把它变成什么变成？an加一分之一。

这样就等于an分之cnc乘以an。再加e，这样就可以写c，加上n分之一，然后这样n分之一，它就是一个等差数列，而且它的公差呢，正好为这个c。啊公差指正为c，它是一个等差数列。啊，第二个当看到an+1=p倍的an+q的N次方时候，两边同除以个这个qn次方。是吧，从除以个qn次方或qn+1次方来构造成一个等差数列都行。

都可以啊，那么如果同时除以q的n+1次方就这样，同时除以qn+1次方就变an+1。所以q的n+1次方。等于p乘以个an÷q的N次方，然后再加上一个。因为咱们除的是q的n+1嘛，所以说这个p呢p呢，一般呢，就变成一个q知道吧p呢，就又变成一个q，因为这样话，它可以把这个qn+1次方呢。再给它做一下变换。知道吧，

做一个变换。所以说在这个等号两面同时除以qn+1次方得到an+1÷qn+1=p×an÷q的N次方啊n+1次方。这个q的n+1次方一定要想办法把它变成q的N次方，这样的话整体就可以构造了是吧？构造构造成一个等差数列。后面就是它的。这个公差了好吧，有它的这个方法。好，那接下来咱们看一下这个题已知数列n中a一等于一an加一等于n加二分之二倍n。这个n呢，是属于这个整数的啊，属于正整数好吧n是属于这个这个正整数。则数列n的通项到底多少是吧通项？好，

那接下来咱们来看这个题，它的通项那首先我给它取倒数。那这里还有一个方法，什么方法就排除选项法，所以就根据a1=1，你也可以排除选项，知道吧？a的值正好为一。a值唯一的话，你可以看这个b选项不太行。然后c选不太行d选不太行e选项也不太行，因为n等一的时候看a1是否为一嘛，所以说这个只剩下a选项了。只剩下这个这个a选项就OK了好吧，这是它的方法，

然后接下来我们看把第二个啊，一般方法怎么做？我们讲讲。这个排除法就比较快，如果啊，如果有两项都满足a1=1，这时候呢，你就算一下a2的值把a2值算出来，然后再排除一遍。两次排除就可以了啊，那接下来咱们看一般方法，一般方法一定要取倒数，取倒数把它倒过来。那我这块就是变成二倍的an。啊，

这个an+2了是吧？an+2。除以一个二倍an。然后它这个等于二分之一加上，或者把这个。或者把这个分母二二给它乘过来吧，二乘过来就变成什么了，变成an加一分之二。然后这个an÷an就变成一了一+2除以个an是不是这样的，这样你就可以利用BN正好就等于什么呢？啊，另一个BN。要等于二÷an啊，那你这个BN。BN就等于二÷n的这个值。

这是它的这个方法啊，并这个BN等于这个值啊BN等于这个值，它又是一个等差数列，它公差正好为一。公差为一啊，它的首项首项正好等于二，除以a1=2好，那首项知道了，公差知道了，那就等于首项加上n- 1倍的公差。这样就等于n+1啊，这是它的方法，好BN=n+1，那么an就可以写出来了，an an就等于二。

二除以个n+1得到这个结果好吧，在哪里选择a选项好？这是它的处理方法思路，看是不是懂了啊？掌握它的考虑要点。好，那接下来咱们就看一下这个这类型的，它后面有个这个一个指数情况，那当这道题看起来比较复杂，大家呢？怎么去处理呢？我们呢？就可以。啊，验证选项，

排除选项，比如说a一等于一个六分之五。a等六分之后，你看一下n等一的时候看这个行不行是吧？这是a选项就可以了，其他呢就验证啊，如果验证完后有两个选项满足，那我们就再算一下a2就行了。好吧，所以说考试时候呢，就用这个特值排除法。用这个排除法做最快的。排除法与验证选项嘛，这样做是最快的。然后接下来咱们看这个题，

我们应该怎么去构造这个？首先呢，要把这二分之一的n加一次方两边同乘以啊，一般方法咱们写写。一般方法，另外有两边同乘以。两乘以二的n+1次方是吧？然后两边同乘以二的n+1次方好，这个乘完后就可以得到。啊，得到得到这个二的n+1次方乘以an+1。等于然后这个乘完后就变成呃三分之一乘以个二的n加一次方。然后这个是an，然后再加一个一是吧，得到这个结果。

那结果的话，因为我们要把它。把它看成这个二的n+1次方，还要再变一下，因为咱们要做一个整体的弄是吧，所以二的n+1次方要拿走一个二。那这二的原因，接下来就明白了。如果不懂同学接下来明白了，因为你要把这个看成一个新的数列BN，这个把它看成一个BN+1。知道吧，把这看成一个BN和BN+1这样的一个式子，知道吧，所以我们可以列。

BN就等于二的N次方乘以an×an以后，那这个就可以把它变成什么变成一个这个变成BN+1。这样等于三分之二BN，然后再加一个一，大家可以看到，这正好是一个什么数列，这正好就是一个咱们学过的。要构造一个等比数列是吧？构造一个等比数列，我们两边呢都给它做一下变换。啊，这个变量这个这个不会构造同学呢，可以用待定系数法构造，有它构造完后的结果，这样的它加上一个常数等于三分之二括号。

BN再加上一个常数。好，这个c怎么来的呢？c的话，你可以把它移项移过来，你看三分之二c，然后把c减过来，正好等于这个一有三分之二c再减c，正好等于一个。等于个一所以c的值上等于负三。啊c的值等于负三，啊c的值等于负三，那这样就ok了，是不是啊c的值等于负三，所以说它又可以构造成bn+1-3？

等于三分之二倍的BN减三得到这个结果，对吧？得到这个值好，得到这个值以后，那接下来我们呢？就可以利用这个BN减三唉。再有一个这个数列啊，再有个数再构造我们一个数列，然后这就是一个等比数列是吧，我们把这个看成等等比数列。它的公比的三分之二，它的首项什么首项是b一减三。然后b1又等于什么？b1又等于二×a一。是吧，

二乘a一好a一的值等于六分之五是吧a的值正好等于六分之五，所以二乘以六分之五是三分之五。好，三分之五减三，三分之五减三，正好等于负的三分之四。啊，三分之五减三，这样等于负的三分之四好，所以说这个BN减三就可以写的BN减三。大家正好拿首项乘以一减工比负的三分之四。乘以公比的n- 1次方。啊公比的n减一次方好吧，所以说就这个公比的n减一次方公比正好三分之二是吧？好，

这样就OK了。然后把这个三分之四拿拿出个二二乘以三分之二，所以说这个就得到负二乘以三分之二的N次方。啊，得到这个结果，那就然后再把三给它移过来啊，移过来移过来，这样BN就可以写出来BN就等于三减去二乘以三分之二括号的N次方。好，那BN知道了，那么这个an也就算出来了，an算出来那这个答案就求解出来了好吧，然后an啊an。就求解出来an就拿BN÷2的N次方嘛？BN÷2的N次方。

是吧，好，那它除以二的N次方那除以2n2N次方，接下来我们呢就可以看到这个三÷2N次方。减去这个分子，正好有二人次方，二人次方除完后，就相当于减一个三分之二。是吧，因为这个分子它正好呢，这个二的N次方，它这个没有了，没有这个二÷3的N次方。好，这样就写出来了，

好，这是它的这个处理方法，然后这样对照一下答案，就选择a选项好，这是它处理要点。好，这里稍微难一点，因为多次构造知道吧，所以第一次呢，先把这个整理整理完后把它看成BN BN，这再构造一次，构造一次把BN的表达式写出来BN表达式写出来，然后再写an表达式。好，这是它做题的要点方法，

看是不是弄清楚了？好，接下来咱们来看构造等比数列。各等位数列，其实刚才咱们做题中用到了，就上一个题就就是如果要遇到an+1=cube an+c时。我们可以给它呢啊，加上一个常数，加上一个常数，加上常数以后，然后呢，把它构造成新的一个等比数列，这个k怎么求呢？k的是这样的，知道吧？

你把这个q×k，然后把k移过来，就相当于q×k-k，正好等于这个c。等于c所以k呢，就等于c÷q- 1就这个意思好吧，所以他这样求的，当然这个公式不用记，你遇到的话，那么你现在也推导，比如说刚刚咱们在。做上一个题的时候，做到这的时候，我们就给它添上一个待定系数c，把c给它求出来c求出来以后，

然后接下来这个BN就好写了。啊，这是它的这个做题的方法，这大家呢，按照这样的方法把它写好。然后第二个，第二个就相当于更复杂一点，更复杂一点，要构造两次，比如说n+1=a。乘以an+b，乘以n+c这种形式，然后呢，你先第一步先把它都给它添上一个几n，加上多少常数？

是吧，这种形式这种形式以后，然后呢，就通过待定系数法把pq解出来，知道吧，所以这里面pq是什么呢？pq得是咱们设的待定设的待定系数。啊，然后整理完后把pq解出来pq解出来以后那么就OK了啊，这是它的这个特征，如果这两种情况没有弄懂的话，咱们。分别看看，其实第一个情况，刚才咱们在讲上个题的时候啊，

都用到过啊，像这个题。看21题，大家看一下这个题，它的处理方法，这地方我们呢？首先呢，就是把这个式子做一下变换好吧，变换。这个an我们可以把它变成。这个负二分之一an减一，加上一个二分之三，这样的是吧？就是an就等于负二分之一。n减再加上二分之三得到这个结果。

那这个那接下来咱们再来看看。看看我们呢，就可以给它令它给它来一个常数吧。当然，要记住，公式可能会更好一点，记不住这也没关系，好吧，就把它设一个待定常数，待定常数正好呢，就是负二分之c再减c，正好等于二分之三。是吧c正好等于负一啊c的值正好等于负1c的值等于负一又变成an。减一。等于负二分之一。

an- 1再减一好，你把这个看成一个BN，把这个看成一个BN。BN就等于一个an- 1注意，不要把右边括号看成BN啊。啊，咱们在构造数列。要保证一个什么，保证它的下面这个n要保持一致，知道吧，不要给弄差了啊，所以这个下标是n的，跟下标是n的，要保持一致。要不然的话，

到时候你总是差一个，就是不知道它这个序号，到时候错在哪？所以只要保持一致就行，令它等于BN等于BN，它的公比正好是负二分之一。公比是负二分之一，这样的情况是吧？公比呢？就负二分之一。那公比值啊，公比值和负二分之一。啊公比负二分之一，那写好了，那接下来咱们来看一下这个第十个啊，

它求我们先把BN给它写出来吧，它首项要写的b一。p增长等于a一减一就等于负二分之一。啊b一的值正好等于a一减去负二分之一，好首项是负二分之一，公比是负二分之一，那b一的通项就可以写出来。这样的负二分之一的N次方。让那an- 1。是吧，就等于an- 1好，那an就写出来了，ann就等于一减去。啊，一一加上。

负二分之一的N次方是吧？好，这样就写好了，求什么求这个a十的值。有于十的值绝对值呢，就相当于一加上负二分之一的十次方跟二分之一的十次方，它是一样的。然后就幺零二四分支幺零二五，这样就写好了。啊幺零二五啊，这个呢，应该选择的是a选项啊，这是它的构造数列的一个基本方法，看这个明白没有，掌握它的考试要点。

好，接下来咱们看这个这个题，这地方它有个2 n+1，有2 n+1的话，我们在构造的时候，我们两边呢都要给它弄一个。待定的一个式子是吧？待待定一个pq。啊先先进行把把这个结构给它打好，就像咱们盖房子一样，结构打好，打好以后再看里面的细节啊。所以这个也就是它构造完后就形成这样形的an+1。然后加上一个。p倍的n+1+1个q。

然后一个三倍的括号an+pn，再加上一个q。好，这样的一个式子。好把这结构先给它写好，结构写好，那pq到底怎么写呢？你把它都给它重新合并整理用一下，待定系数法好吧？重新合并整理，合并整理的话，又不是变成an+1就等于三倍的an。大家发现，这正好是3 pn 3 pn，这有个pn相当于2 pn。

对吧，这个二屏。然后这大家发现这有个三倍的q3倍q，这有个q就变成2q。但这地方左边还有一个p啊，因为p×n+1嘛，后面有个一乘以个p，所以得到这个值，然后大家发现这个呢，正好。跟这个正好就是2 n+1知道吧，所以说它正好是2 n+1跟它相对应的2 n+1得到p的值正好等于一，这样就写好了好吧？p是等呃，唯一那q值它正好也为一是吧，

所以可以推出pq的值都为一。bq指差正好都为一。这是都为一，然后就可以算出a6的值，算出这个aaa 6的值，所以我们这样的话pq值都为一的话，那这个通项解出解出来，然后再继续往下算是吧？这个都为一，就相当于an+1，加上一个n+1。再加一，然后一个三倍的an+1个n再加一，得到这个值啊，看懂了没有？

懂了以后，那接下来我们把这个括号看成一个新的这个BN。好令，这个BN就等于一个an+n再加一好，这个BN就写好了b写好，大家知道BN它就是一个等比数列，它的公比正好为三。公比为三。它的首项b就等于a1+1再加一首首项好a的值，它告诉我们是等于一的，对吧？a的值是等于1a的值等于一。啊，带到里面，它正好为三那它的首项为三公比也为三那这个BN它的通项就可以写出来。

BN的通项就等于三的N次方。三次项通项知道了，那么an的同项写出来an正好就等于三的N次方减n- 1。好，那么这个a呢？同样写出来，它要求a6。a6a6就等于三的六次方减六再减一是吧a6？然后这样就等于729。729，然后减一个七，得到722。得到722好，这样就写出来好，那答案就求这722，

这些答案就选择a选项好，这来做题的方法思路，看是不是听懂了。再通过这道题，大家呢？要知道，考试方法就是我们在做的时候呢，遇到这两类。套这个模板做就行了。然后呢？把这个框架。和知特征弄清楚。啊，其实各类题它都换了一个数而已是吧？所以它的它的基本原理都是一样的，

所以把原理掌握了，这些难题也都能很好的把它。做出来好，这是它的求解方法，是不是我看各位同学是不是听懂了？下面咱们看一下这个取对数的数列。啊取对数取对数，如果形入a的n+1 an+1=p×an r这里呢？一般呢？两边呢？要取对数取对数转换成这种形式。啊曲对数。其实长到这样去，然后再构造成等比数列再退回到咱们前面讲的是吧啊，这一取对数它就OK了，

那这个r1取对数就变成前面的式子。面前是把它作为一个整体，把它作为整体，然后再进行换好吧，然后当然当然这里面pq跟这个p呢不是一回事啊，所以有同学发现这个p跟这个p不是一回事，我给大家进行简单推导一下。这个两边取对数，比如说咱们取以e为底的l nan+1，当然咱们要求它一定都正的啊。因为正着它取对数才有意义。这是正的，然后正好等于一个。lnp×an r这样的。这样，

然后接下来我们可以看到这个两个相乘就可以写两个对数相加p，再加上。然后lnanr次方这r次方可以写到前面去。r×lnn接到前面去，知道吧？就r被着lnn接到前面去，这个写好。知道吧，然后接下来咱们就把这个。lnn+1和lnn，把它看成一个新的数列，把它这个看成一个BN啊，这个看成一个BN+1。就形形式这个形式，这里面p跟这个p不是一回事儿啊，

不一回事儿啊，这是它的这个思路。好，那接下来咱们来看一下。看下这个题好，这个题大家。啊，取下对数是吧？当这道题大家也可以去验证选项是吧啊？也可以排除选项，这样也比较快。大家知道a的值上等于三吗？AA值等于三，大家看a选项肯定不太行。是吧b选项也不太行。

啊c选项。啊c选项可可以是吧？啊n等嗯n等一的时候，这上面是二的零次方二零次方就为一，所以就变成三的一次方。然后这个呢n等一的时候这个也行e选项不太行，所以就剩下这个CD两选CD两选，再剩下a2。大家知道a2a2正好等于a1的平方，正好等于九。所以再算一下a2当n=2的时候，看它是不是等于九那d选项就不太行是吧啊d选项它。它这个不满足是九那c选项是可以的。好，这样就写好了好吧，

这是它的这个方法好，那接下来我们再看一般方法怎么做？好，一般方法先对它两边取log取对数，那你怎么判断它正数呢？因为大家知道a是正的a是正的，那a2肯定也是正的，因为a 2=an^2就后面的数都是前面数的平方。那第一个是正的，那第二个也正的，第三个也正的是吧？所以两边可以取对对数就是变l nan+1就等于二倍的。line an.是吧，这样的。

啊，这样接下来我们就可以把l nan看成一个BN对利用BN再等于l nan。这样的是吧？这样的式子好，这样式子，那接下来我们可以看到这个相当于是BN+1正好等于二倍的BN。它就是一个等比数列公比，正好为二。分别为二那它首项b 1=lna一正好等于ln 3。是吧，好首项知道了，公比知道了，那必应的通项就可以写出来，那得拿首项乘以一个公比的。n- 1次方。

首项乘以公比的n- 1次方好，这个写好了好，那写好以后它正好就等于一个什么等于一个l nan。啊log n，然后呢这个呢？啊，这块儿左边怎么知道怎么处理吧？左边可以把这个系数写成这样写三的二的n- 1次方。啊，这个怎么呃来的呢？咱们前面学过叫m倍的，比如ln。啊，这个a可以写成lna的m次方知道吧？就这样得到的，

所以你把这个二的n- 1次方写到它这个。指数上面知道吧，就把这m写到这个指数上面。是这样的，然后这样就等于lna的l nan。le nan是吧？这个BN这样等于le nan，然后这样an那就可以写出来an这样等于三的二的n- 1次方。啊，这样就求解出来了啊，这是它的这个方法好，那这个呢，就选择c选项。好，这是它的注意，

要掌握这些指数，还有这个对数，它的一些运算公式，一些变形别写错了。啊，这是它的处理方法，注意这个三的二的n- 1次方，这块儿不要给写错了就是。三的二的，比如说。三次方。不等于三的二次方括号的三次方，这两个不一样啊，这两个不一样，有有同学呢，

这块儿容易看错，这个不一样。如果三的二的三次方，它这样算的啊，它先算上面的它的。运算的优先级和顺序是先算上面先算二的三次方啊，二的三次方算完以后，然后再算这个指数，所以说左边它其实就等于三的八次方。然后因为二的三次方正好等于八，现当于三的八次方右边这个等于什么右边大家知道右边这个三的二次方在三次方。三=3的二×3次，方等于三的六次方，只要这两个是不不相等，知道吧，

因为咱们学过a的m次方括号在N次方。本a的m×N次方按照这样的方式来进行写的，这要弄清楚好吧，也可以写。下面我们来看一下题型七啊数列的性质，我们来看一下数列性质，它主要的考试思路。主要考察两种思维题目。啊，一方面考察正向思维，这项思维呢，告诉我们数列来运用通项的性质和求和的性质来进行求解。另外一个由逆向思维反过来或者倒过来考啊，已知方程来判断数列的类型啊，这是第二个。

所以在学习本题型的时候，建议各位考生呢，再把数列性质和知识点的推导关系呢，再熟悉一遍啊，它的原理是什么？要把它。好了，理解清楚，然后再做题。好，接下来咱们看下这个题。假设a是正数组成的，等比数列SN是前项和。啊，已知a2a4=1a3=7。

则s5到底等于几好？这个题主要考察是等比数列，它相关的性质好，我们来看一下已知条件。啊a2×a四正好等于1a二×a四=1，那我们就可以可以写成什么呢？可以写成a2×a四。这样的a3的平方。然后等于一是吧，用数列性质，所以等比数列，然后看到乘积，又想到数列性质来进行分析。所以a2×a四就等于a3的平方，它等于一，

这样的话a3的值正好就等于。一啊，因为它这是正数组成的数列啊正数。正数组成的数列。然后所以a3的值，那这样就为一。然后接下来咱们看s3啊s3s3的话，你可以这样写，可以写成a 1+a二+a三。a3的值正好等于一。是吧a3纸这样为一，然后这样子等于七。要推出a 1+a二，正好等于六。好a加一二，

它得到的正正好得到是六。好，得到六以后，那接下来我们来看一下好，那么a3值为一。a和。a2=6，那这样的话，我们就可以转化了a3可以写成a1×q^2，然后等于一，然后a 1+a二可以写成a1。乘以个一+q，它正好就等于个六。然后那么两个相除啊，我们主要想把这个公比求出来，

还有首项给它求出来就可以了好吧？所以两个相除。相除以后就得到啊q平方。q平方啊，除以一+q正好等于六。六倍的一+q是吧？得得到q方减6 q- 6正好为零。啊，得到这样的一个式子是吧？所以两式相除两项就得到啊q的平方。啊，然后呢？出一个。q啊，除以一+q。

啊，正好等于一除以六嘛，然后等于一除以六一除以六，它正好是六分之一是吧啊，这边我们就可以写出来。我这边写成六就行了好吧，得到这个式子。所以通过这个化简就可以得到6q方等一个一+q。e+q，然后接下来我们就可以得到这个6q方减q- 1正好等于零。然后给它十相乘因式分解。啊，因为它各项均为正的，所以等比数列它公比一定是正数啊，正数，

所以这个六可以分成二和三这一一。然后这个是负的。负的，所以q的值就等于二分之一，这就写好了。q值等于二分之一。啊q等于二分之一，那么带到里面去a的值就可以写出来a值。然后等于四啊a的值为四q值等于二分之一，这样就写好了，接下来接下来我们就可以算出来s五的值嗯，因为要求s五。s就等于一减q分之首，项等于一减q的五次方。啊，

这样的一个式子啊，得到这样的一个表达式啊，那这样的话，我们可以算等于四分之三十一。啊四十四十一好答案就求解出来，这些答案应该选择的是b选项啊，这做题的要点和方法看明白没有？所以通过这个大家呢？就是会都用a和q表示把它解出来，然后再写求和就OK了。好，接下来咱们再看这个题，浪a浪b浪c要成等差数列成等差数列好，那么条件一。条件一，

条件一，它ABC要成等比数列ABC要成等比数列，那么我们就可以写成AC=b^2。但是呢，这个对数呢，要保留意义啊，如果a和c要出现负的话，这个不行，所以大家注意啊，这个呢就错了。是吧啊，他又没说ABC是正的还是负的，然后条件他说ABC要成等差数列ABC成等差数列，那你也不知道它这个正负。对吧ABC的正负是确定不了的。

联想起来，联想起来，既成等比，又成等差，就是非零的常数列，但常数列，它万一都是负的，也不行。比如它都取负二或都取负三，这个也不行，所以这道题它正负未知，所以量起来它也不充分。两条件均不充分就选择e选项啊，再重新判断题，它的选项呢，

在前面给大家介绍过。所以要知道它选项的含义啊e选项代表单独不充分，联想起来也不充分。啊，下面咱们看一下二六。假设等比数列an的前项和为SN。若s10比s5=1比二求s5+s十+s15，然后s10-s五，它的值到底是多少？好，那通过这道题，大家可以看，主要考察等比数列求和的性质啊，所以大家知道等比数列。那么，

这种SNS 2 n-sn？s3-s二仍然为等比数列。这咱们学过的，然后在这里面n区5n区五的话，就相当于s5s10-s五。s15-s十。仍然是等比的。啊s5s10-s5s15-s十，它仍然是成等比的好吧，它仍然是等比数列。接下来咱们这道题求比值，那后面求的比值，我们可以取特值来做是吧？我们用特值法。他说s10比s5=1比二，

所以我们可以s5就等于2s十正好等于一。s=1接下来我们来看看s5，把它看成2 s=1 s=1的话。说明s10那么减s5这样就可以算出来，正好是负一。对啊，这是二这是负一下一个就是负二分之一。啊，下一个就二分之一是吧？它公比正好是负二分之一，公比是负二分之一，所以下一个这个数就二分之一。有s十五减十，这样等于二分之一，所以我们就可以啊，

这个得到那么s。x十五就可以求解出来嘛啊x十五x十五把这几个加在一起，正好等于二分之三。x十五等于二二分之三，这样写好了是吧？通过x十五减x十等于二分之一，得到这个值得到这个值，我们就可以算算它正好就二分之三。好，二分之三，那接下来我们算出来以后再来看。再看它这个求的式子，求式子，求什么，求s 5+s十。

加s15。比上s10-s五。这样等于s十减s五正好一减二。啊s五s五是二s十是一s十五是二分之三。是吧，然后这样就可以得到它的数值，这样这样等于负的二分之九。所以用特值法结合这个性质做这个要快一点是吧？这个就可以直接。快速找到答案这一栏，又选择d选项好，这条做题的方法思路看出来。

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