027.24-顿悟-专项六-不等式证明方法-练习

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 06:33:46

下面咱们看这个题叫做AB为实数，且a的三次方b+AB的三次方等于六则a的四次方加b四次方最小值到底是多少？啊，这道题可以用差值的方法来去比较它两个大小啊，这是一个方法，另一个方法还可以用。科技不等式。啊来进行分析和思考啊。所以这道题咱们看方法一。啊，用差值比较大小。插值法，比如看a的四方，加b的四方，这个所求的是跟a的三次方b。

和AB的三次方，那么它大小到底什么样子的啊？这是一个处理方法，接下来我们呢？就可以把它进行。两两分组。进行分解。所以大家可以看到，那这时候a的四次方跟a的三次方b可以提出一个a的三次方。就a三次方，以后就变成了a-b。然后这个呢，提一个b的三次方变成一个b-a。好，那这时候呢，

我们这两个再提出一个a-b。a-b变成a的三次方，减b的三次方啊a的三次方，减b三次方，我们如果看不出来，我们还可以进行。啊，进行分解，如果不分解也可以看出来，你看如果a大于b的时候，那这块儿肯定是正的a小于b的时候这块儿还。还是正的。对吧，所以它这个可能是同号的，可能大于等于零，

如果你看不出来，我们再分。大家知道a的三次方减b，三次方可以分成a-b乘以个a方加AB，加上b方。所以大家知道前面这个正好是a-b^2，它具备恢复性。后面这个a方加AB加b方，它也具备非负性，如果看不出来，我们可以接着写a减b的平方，这里面可以配成a加上二分之b的平方，再加上四分之三。b方是吧？再加上四分之三b方啊，

那就可以写成a减b的平方。乘以个a加二分之b的平方，再加四分之三b方啊，得到这样一个结果，那结果然后接下来它可能大于等于零。其实做到这儿就可以发现a-b×a的三次方减b三次方肯定是同号的，肯定大于等于零好大于等于零，那就可以。证明出来a的四方加b次方大于等于。a的三次方b+AB的三次方好，这个数正好等于六可以得到它，最小值就为六这个答案。就选择e选项好，它的这个处理方法看懂了没有？好，

然后方法二。方法二的话，咱们呢就可以用科一不等式啊，科一不等式，科一不等式，大家知道在a的四方啊b的四方，我们呢就可以把它写成a的四方加b的四方。我们再给它乘一个一+1。乘一+1，乘一+1变成什么了？变成就是这个可以把它看成平方的平方。这四方也可以把它看成平方的平方。然后再乘一个一的平方+1^2。好，这是科一不等式。

大于等于大于等于那第一个乘以第一个就是a方第二个乘以第二个就是b方，它的平方知道吧，然后这个科一不等式。给大家写一下啊，用柯西不等式。非不等式一样的a方加b方乘，以个c方加d方。大于等于AC+BD它括号的平方得到这个结果。啊得到这个值得到这个值，那接下来我们就可以写出来它的这个表达式，懂了吧？啊，这样就求解出来了对，然后接下来我们可以看到把这个四次方看成平方的平方，然后给它配上两个一就得到这个值。

得到值以后，大家可以发现a方加b方的平方，我们可以把它看成什么呢？看成啊，接着从右边开始接着写，可以看看到a方加b方，再乘以a方加b方。是吧，大家知道这个a方加b方啊，大于等于2 AB。后面a方b方是不用变的。知道吧，所以前面a方加b方大于等于2 AB，后面a方b方这个不用变，所以大家可以发现这一块儿。

画绿色的这一块儿正好是这个已知条件给的这个六。啊，已知条件给的这个值就是六啊，它给的这个结果就是这个就正好等于12啊，这等于12，然后注意这边呢，它有一个二。因为我给它配了一个一+1，有个二，所以两边再除以二就可以得到a的四方加b的四方。就大于等于12，除以22，除以二，其实就是六。好，

这是第二个方法，这样就可以了，如果考实在不会做，还有一个蒙猜的方法啊，蒙猜方法考试实在不会做，考试中又让a和b相等好吧。还有一个这个蒙猜的方法。如果考试遇到咱们这个取最值一般呢，多数都相等，咱并不说100%的保证你能蒙对啊。保保证不一定能不能对，但是呢，你实在不会做啊，那么你就碰一下运气嘛，让a和b相等a和b相等，

他发现这是a的四方，这也是b的四方，它正好有六正好有六就选择e选项。是吧，这样话就是这样，蒙猜当然有的时候不一定能蒙对啊，这只是告诉大家，它是有一定的运气成分，实在不会做没招了嘛，你就这样做做，如果会做的话，可以采用两种方法。一个咱们讲了差值比较法，另外一个就是可以不等式这种方法，然后再来变形可以不等式变到这儿以后，

然后再用一下咱们的a方加比方大一点二AB。这样一个式来分析，就可以得到答案了。好，接下来咱们看一下这个题，这个题如果方法你想不到的话，我们呢也要学会用一些特值来进行排除选项啊，来首先看f1的绝对值是什么东西？f1的绝对值就把s=1带到里面去，就像一+a+b的绝对值。f4的绝对值f4的绝对值可以写成四+2a再加b。然后f9的绝对值。f9的绝对值就可以把它写成。九+3a，再加上b。

是吧，这样的啊，所以f九把s等于九得到这个结果，那就那他问这个大于等于二分之一的个数有几个就这三个数大于等于二分之一个数有几个，那我们可以取这个值，比如说。你看a和b它都取零的时候都都取零的时候，这三个都是大于等于二分之一的，都比二分之一大，所以说这个呢，三个都可以，所以说这个。这个d不行啊e不行c不行是吧，这时候那AB=0的时候三个啊都。可以都成立，

都是满足大于等于二分之一，对吧？所以这个所以c不行d不行e不行，就剩下a跟b。啊a跟b的话，然后在这里面，我们再看首先看这个大的，看大的话，我又列a=- 3啊，再取一个a=- 3。a=- 3的时候，我们看一下这个f1的绝对值就变成了b- 2。f2的绝对值也变成了b- 2。是吧a=- 3啊a=- 3的时候f4，这是f4的绝对值。

这f9的绝对值就等于b的绝对值，所以a=- 3，我就先把这个大的先给它弄个小一点儿嘛。是吧，往小一点儿，然后所以说想到a=- 3a负三以后，大家可以发现。我可以让b取多少呢？b取一个二点一或者二点二，我的b再取一个二点一或者二点二。二点一也行，二点一大家发现这个f一和f四的值，这个局域值，它都是小于二分之一了是吧？都比二分之一要小。

那这时候呢？f九是大于啊，这个二分之一的是吧？所以说在这里面啊，只有一个是。是满足的，只有一个是满足那a选项，不行a选项，它说两个或三个没有两个或三个，我找到的只有一个f9的绝对值是满足的，其他就是不满足，所以这个a选项呢，是不可以的。是吧，所以说只有这个b选项啊，

有时候我不知道b选项是不是对，但是我排除完以后，那只有b选项了。是吧，因为咱们选择题是单选题啊，这是这种方法啊，这个方法大家考试呢，遇到符号也不要慌啊，从选项的角度来进行分析。分析入手，排除一下就可以得到答案，好这道题那么。啊，一般的这个分析思路什么分析思路呢？咱们要讲逆向思维来进行分析，

因为它要它要证呃，这个f1。绝对值大于等于二分之一f四的，绝对值大于等于二分之一。还有f九的绝对值大于等于二分之一。是吧，就f一大于等于二分之一f四大于等于二分之一f九大于等于二分之一在这里面，那么它大家可以看到。我们又从它的反面假设都比二分之一小，我们看行不行？我们先做一个假设，假设如果推出矛盾，说明假设有问题。假设全都。全都小于二分之一，

看行不行是吧？假设每个都小于二分之一，这个小于二分之一，这个小于二分之一，这个也小于二分之一，假设每个都比二分之一要小。啊，这个可不可以是吧，所以在这里面大家要掌握它的方法啊，第一个要比二分之一小，第二比二分之一小，我们看行不行？好，第一个要比二分之一小，就说明一加a加b绝对值要小于二分之一，

小于二分之一，它就在负二分之一到一之间。然后第二个也要小于二分之一，小于二分之一就四加二a加b。然后正好也在负二分之一到二分之一之间。然后第三个就九加三a，加上b，它也在负二分之一到二分之一之间好，那接下来我们呢？就用其中两个。然后呢？跟另外一个来推矛盾好吧，假如这是一式，这是二式和三式。啊，

一式二式三式，然后这两式相加，我们看能得到一个什么情况，这样我为什么要想到这两式相加，知道吧，因为这两式相加正好呢。这个出现2a和b这样的一个形式，知道吧，所以大家会观察啊，所以一+3。一+3就变成什么？变成左边相加就变成一个负一，这边变成十+4a，加上2b小于一。是吧，

交易，然后这个除以二啊，除以二÷2以后，那接下来我们呢，就可以把它变成这样的一个结果。或者说你不除以二也行啊，除以二除以二也可以除以二的话就变成负二分之一。小于五加二a，加上b小于二分之一，再除以二。再除以二号，然后再两边从中减掉一个一两边从中减掉一，主要为了出现四加二a加b两边从中减一就负二分之三。小于四加二a加b，小于负二分之一是吧？

然后得到这个结果，得得到这个结果以后，大家发现这个式子。啊与第二式正好是矛盾的，因为这有四加二a加b，这也有四加二a加b，这两个正好是矛盾的，你看它说得到这个小于负二分之一。这边是大于负二分之一，这两个是矛盾的，所以它这一块儿这个余这个二是矛盾。与二审矛盾说明咱们假设呢，是错的假错的，也就说全都是小于二分之一，那是不可能全都小于二分之一，

是不可能的啊。啊，那就说明至少有一个啊，应该大于等于二分之一，对吧啊就得到？至少有一个。这大概等于二分之一了啊，这样就写好了，这个呢，应该选择的是第二个选项好吧，这是它的做题方法，看这个题是不是懂了啊，要知道它的推导。思路啊，所以用咱们的假设法，

假设咱们假设是且，所以反面变成或了啊，这个能懂吧，咱们假设是第一个小于二分之一，且第二个小于二分之一，且第三个小于二分之一。那么，它反面就是或啊，且就变成或就代表至少有一个大于等于二分之一。好，这是它的这个方法啊，就这个用一下反面的思维来进行证，这个不等式，看大家听懂没有？啊，

接下来这道题x为实数，求这个表达式的最大值与最小值之差是多少？那咱们初等数学那么解决这个的话，只能。啊靠咱们的啊德尔塔判别式来进行分析的，因为s为实数转成方程，所以这个转成方程。那高数的话，就求导之类的，懂了吧？所以这道题咱们啊就不再用高数的方法，要用初数的方法，初数的方法，大家想想就是我们就可以。转化为方程。

啊，然后利用data。啊，就利用这个单儿上。大于等于零来给你分析。好，这个大家可能之前呢，就没有接触过这种方法，或者用的比较少啊，好，那这个又令y或者令。呃，这个m都行y=x^2减3 x+4。求x方加3 s+4，其实这道题除了问它最大值最小值，

还可以问它的值域，相当于这个函数y的值域是多少？知道吧，另外一种问法啊，另外一种问法也可以求这个y的值域。这两种问法都行啊，都是可以的。好，这种情况把分母乘过来，然后把它整理成关于x这个方程，大家知道这个分母它是横正的啊。啊，分母它这是横正，你看小于零横正，所以分母它不可能为零，

所以把它乘过来，怎么就变成yx方加上3 yx+4 y？这样等于s方减3 x+4，然后把移项移过来，变成y- 1s方。啊，加上三倍的y+1 x，再加四倍的y- 1=0，好把它移项给移过来，知道吧，把这个做一下移项处理。你要处理呢，把它合并一下，合并s平方，这个斜小就变成y- 1，

然后这个3s给它移过来就三倍的y+1。然后这个四给大家移过来四倍的y- 1，这样就写好了，就要让大大于等于零，为什么大于等于零，因为x是实数，也就说这个关于x的方程，它应该有实根。应该有十根。另外，这个y也不可能等于一知道吧，因为y为一的时候y为一的时候，那么这个x呃y为一的时候x为零啊，看一下x行不行？因为y=1的时候y=1的时候就像分子分母一样，

分子分母一样s为零，反正这个也可以也可以简单讨论一下y=1的时候。啊x是等于零的，也就说它的值域里面y是可以取一的，对吧？然后y不等于一的时候。y不等于的时候，它就是一个二次方程，二次方程，我们就可以用data了。因为它这个方程有十根，当然它就等于b的平方减四a cb的平方就是九倍的y加一的平方b的平方减四AC减十六倍的y减一的平方要大于等于零。是吧，大于等于零，这样写好，

所以做到这儿，大家不要把这个平方给它展开，这个平方展开呢，就比较麻烦，知道吧，所以这块儿大家可以用。可以用什么用这个平方差公式做这个要简单知道吧，你可以看这个九可以把写成三的平方嘛，也可以写成3y。加三的平方，这个可以写成4 y- 4^2。用平方差公式呗，等于两个相加，两个相加就让7y减一两个相加，然后两个相减，

两个相减就负y+7。它大于等于零，那等于注意它的y的系数是负的，负的话我们把它变成小于号，小于号，所以说y它应该在两根之间。一个是七分之一，一个是七。另外y=1正好落在这个范围内，所以综上我们就可以得到y的值域的范围啊，如果它这个范围里面没有这个一啊，没有这个一还有另外。把这个一给它并在一起，知道吧？并在一起，

那刚好这个一在有，所以综上可以得到y的值域，应该在七分之一。到七这样一个情况均到七，所以说它最大值就取七了，最小值就取七分之一，所以最大值减最小值，它就等于一个六又七分之六。得到这个结果好吧，得到六又七分之六啊，这是它的这个方法，这个呢，就选择e选项啊，这是它的做题要点和思路，看大家懂了没有？

所以这里大家可能想不到啊，转成一个方程，所以以后遇到s为实数，不管是分式还是什么表达式，都要把它转成关于s这个方程。利用方程有实根，当然大于等于零来求。这个范围好吧，这是它的一个要点啊，一定要会分析和思考。好，接下来咱们看这个题，这个题它要是一个重新判断题，要证明a+b+c大于等于根号三就像1 ABC是正实数。条件下AB+b+CA=1=1，

那这个单独条件肯定是不成立的，比如说条件一它证书证书。它还可以取很多呀，可以取很多，比如说呃ABC，它都取零点五。啊，都取零点五那这个就不可以？条件上它又没说是正实数啊，没没没说正数，没说正实数，你可以取反例啊，我把反例给写上像一的反例，比如ABC，它都取零点儿五。

你看我那么这就不满足了，因为根号儿三是一点儿七三二a+b+c是一点儿五，那这个不满足条件儿条件儿AB+b+AC=0，那找反例。当然，我可以取AV 0是吧？取a的值为零。啊AA的值为0a的值为零的话，然后b×c它为一嘛，啊b×c它它正好为一。为一的话，那在这里面嗯，你如果取它都为一的话，就是这是它成立的，那在这里面咱们呢就可以取这个值。

啊，取这个值取呢，就比如说呃a和b它。呃a为0a为零的时候a为零的时候，这个这个点就没有了，剩下的是BC为一。那是BC正好为一，BC为一的话，大家知道，那么我们就可以让。啊，让这个BC BC如果你都取一再强调一下BC，如果都为一的时候啊，都为一带到里面去，带到里面去，

那这个。这个b和c。啊a+b+c，它要大于根号三大于根号三那这个这个不要不找正面例子知道吧，一定要找反例，所以说AV 0呢，这个不行你就找一些。找一下负的吧，我觉得大家找一下负的就行了，对吧？那b和c都取负一。啊b+c都去负一，这时候b+c它又比根号三小了是吧？所以你可以找负的。啊，

这是它的这个找反例的方法，那接下来咱们看一下。条件它这个是不可以的。啊，条件不可以好，那接下来我们来看一下啊，这个联合起来。啊，联想企业，联想企业的话，大家注意，首先要把这个事做一下，等价化简，因为因为它都是正数了，都正数a+b+c大于等于根号三。

我们要两边给它平方一下a+b+c括号的平方大于等于三。对吧，我们就采用顺藤摸瓜的方式来进行分析好，为什么想到平方？因为它平方展开正好有AB+b+AC，这能用上知道吧？因为它这个a+b+c^2展开之后，a方加b方加c方加二倍的AB+BC+AC。那这个大于等于三。这样的好，在这边大家知道这个条件，二它给的正好，这块儿正好是一。啊，正好就是一一的话，

乘以二正好得到二，所以这个值就等于二，然后二把它移过来，移过来就变成三减二，三减二就得到一了，就可以得到a方加b方加c方，这样大于等于。啊，大于等于这个一这能看到吧，所以把这个AB+b+AC把它换成一换成一，这个二给它移过来，移过来就可以得到这个结果，就a方加b方加c方大于等于一。我们只要证明这个东西就行了好，那这个东西怎么证明它大于等于一呢？

啊，我们呢，就知道a方b方c方。我们知道这个a方加b方大于等于2 AB。然后b方加c方大于等于。二倍的BC。a方加c方大于等于2 AC，把这三个给它相加。把三个给它相相加相，加完以后大家可以发现左边正好是两个a方，两个b方，两个c方，右边是2 AB，2b是2 AC。然后把它加完以后呢，

两边可以约掉一个二约掉二就变成a方加b方加c方大于等于AB+BC+AC。啊，这样就写好了好吧，这是它的方法，这样就求解出来了。好，那么这是它的这个思路啊，是不是就说明就正出来a方加b方加c方确实是大于等于一，其实大于等于一，那么也让也让这个倒推知道吧倒推。首先就是正头a方加b，方加c方是大于等于一的，大于等于一，然后两边再同时加上二再加二就可以推出它的结果，所以说。

啊，从这个地方顺藤摸瓜倒着推啊，从有结果来去找这个原因啊，从那个逆向分析，这样答案就可以推出来，这个答案就选c。好，这是它的方法和思路，看是不是懂了啊，所以大家在这些不等式的时候，我们呢，就可以先由这个式子来慢慢辨析，辨析完后，然后倒着推来证明它是充分的。就可以得到这个结果了啊，

就就逆向推，比如它可以推出它。它就是它啊，它呢，又推出它啊，这个又推出它对它这个啊，这样逆着就能推出这个结果。好，那接下来咱们看这个题啊，这个题显然大家可以看到啊，题案一肯定要啊，用这个科一不等式，很明显的科一不等式，因为它有平方，有交叉相乘是吧？

所以就可以得到用科一不等式。诶，不能大家知道a方加b方加c方。乘以个s方加y，方加z方。大于等于括号ax，加上by+cz括号的平方是吧？然后接下来我们可以看到条项一它这个两个，它这个两个都为一都为一的话就可以得到。ax+by+cz^2是小于等于一的，小于等于一可以得到ax+by+cz肯定是。小于等于一，当然这边还大于等于负一，无所谓了，只要条件的范围落在题干范围之内，

它都算充分啊，条件一是可以的。看得懂了没有？接下来看条件儿，条件儿三角形ABC的三边长啊，是abcs yz，分别是三角形任意点到三边的距离，这个距离可以把它看成高。也可以把它看成高则三角形，面积是小于二分之一，其实这道题大家就是用三个小三角形面积相加，然后呢？啊加在一起等于整个三角形面积好吧，所以在这里面大家可以发现啊，它这样的一个是啊，

这是三角形ABC。然后三眼内有一点啊，到它的垂直距离。啊，垂直于比如说这个边是a，这个边是b，这个边是c。然后这个长度分别就是x这个长度分别是y这个长度分别是z好吧啊，这就是x这个y这个z。啊，这样的这样，那接下来我们来看一下那三角形的面积，面积就是可以把它分成三个小三角形。啊，三个小三三角形，

第一个就是二分之一a乘以x啊，这二分之一b乘以y。这二分之一z乘以c乘以z是吧？这能看懂吧？有三个小三角形面积相加，就等于整个大三角形面积。啊，那在这里面，它说这个面积要小于二分之一。题目说了，这个三角形面要小于二分之一，然后两边同乘以二乘乘以二就可以得到as加by加cz，这样小于一。就可以了，所以大家以后记住，

如果三角形内有一点到三边有距离，把它利用这个三角形的高。然后求面积来进行分析和思考，所以这道题提供一个条件儿都成立，建议大家就选择d选项好，这是它的处理方法，思路看是不是懂了？啊，下面咱们看这个题若s大于1y大于一则a小于b。好，这里要考察这个不等式的放缩啊，就把分母啊进行变形啊，就不等式它的放缩。不能放说啊。好，

那接下来它x大于1y大于一则a小于b好那么条件一条件一条件一那么这个a。等于个x+y除以个一+x+y，我们就可以把它写成什么写成，把它拆成s除，以一+s+y。加上y÷1+x+y。这样的对吧x÷1+x+y+y÷1+x+y好，大家发现跟这个b有什么关联，你看b的话就相当于是把这个y。啊，给它去掉去掉，然后这个呢，就相当把s给它去掉，大家知道分母变小，它的整个数值。

啊，那么就可以写出来，它要变大是吧？变大所以说小于x÷1+x，因为这个分母它变小了嘛，整个数这边儿要大一点儿。然后这边儿也一样y，除以一+y啊，这边变大啊，就可以得到a是小于b的，就正好小于b。所以这个这个条件一是ok的，然后咱们看条件儿条件儿这个aa呢，就等于x+y÷1-x-y。就等于x÷1-x-y+y÷1-x-y把它拆开。

拆开以后，大家可以看一下它跟b这两个关联，关联的话，相当于把这个减y去掉了啊，这个是减x给它去掉了。是不是跟b的关系，大家发现相当于分母什么分母变大了，分母变大了，然后呢，就相当于是整个数值呢？整个数值呢啊，要变小是吧？有变小，所以大于x÷1+x这个y÷1-y。啊，

这样就写好了啊，所以说这个就是b，所以得到a大于b啊，这个呢就不太行是吧？好，这是它的。这个方法思路看是不懂了，所以在这里面大家呢啊，要学会对分母做些改造来进行分析和思考。所以条件儿不行，所以呢，应该选择a选项啊，看这一块儿是不是听明白了，是不是懂了啊？好，

那接下来咱们看这个题，三角形ABC中已知三边的长分别是ABC。啊且则a分之一加b分之一加c分之一大于根号a加根号b加根号c。选项一，它三角形的面积为四分之一，三角形面积为四分之一，那ABC就不知道是多多少。是吧，这个确定不了。啊，这个鉴定不了。这个ABC到底左边大还是右边大啊？你不确定？是吧，这时候呢，

就不知道它等于值第二个外接半径为一，外接半径为一，那这个三边长它有很多种情况，这时候呢，也确定不了。对吧，所以这是要联合起来。两写大家知道这个外接圆半径有个公式啊，外接圆半径r。就等于ABC÷4倍的s。啊ABC除以四倍的面积，懂了吧？这个面积等于四分之一外间半径为一，这样就可以推出a乘以b乘以c，它正好为一。

知道吧啊，就可以推出ABC，它的数值为一好，那这个公式它怎么来的？我们给大家进行讲讲好吧，讲讲这个外接半径公式，它怎么得到的？那公式呢，是这样得到的啊，这样的分析的，也就说我们呢就是。知道那么就是正弦定理a÷s in a。等于个b÷sinb。等于c÷sinc。等于二倍的ry。

二倍ry好，这是它的这个情况，然后另外咱们还知道三角形的面积等于二分之一AB乘以夹角的正弦值sinc。好吧，sinc啊，那通过这个大家就可以把这个sinc给它写出来，所以说得到sinc，这样等于。2s÷AB对吧？这个sinc就可以写成二倍的面积，除以AB，然后把这个sinc带到里面去。啊3c。带到里面去，带到里面去，

那就得到这个结果了，你看c除以个2s÷AB。然后这个正好等于ABC÷2倍的s=2倍的r外接圆，然后再把这个二除过来，除过来就得到这个结果了，好吧，如果有同学不知道这个公式怎么来的，简单给大家推导一遍啊。好，那推导这就得到ABC为一了。ABC为一，而且大家知道这道题ABC不可能相等。ABC肯定是互不相等的。为什么互不相等？如果ABC要相等，

它就是一个等边三角形。啊等边三角形呢，它面积就不满足四分之一了，大家知道等边三角形的面积等于四分之根号三倍的边长平方。是吧，所以ABC如果都等于一，它是不可以的。ABC呢，不能都为一，所以这个就这是一个隐含条件，知道吧，那接下来咱们看一下这个a分之一加b分之一加c分之一，我就可以把ABC等于一呢啊带到这个分子里面去。所以我们就可以写成这样的一个式子。就a分之一加b分之一加c分之一。

啊，把这个一呢可以换成ABC啊，这个分子一换成ABC，这个属于一的妙用，然后这个得到是BC+AC，加上AB。是吧，这样的。好，这样试试大家呢，再看右边右边是根号儿a根号儿b根号儿c这道题，大家要想到啊根号儿a，你一定要把它变成根号儿a，乘一个一，这也考察一的妙用。

知道吧，一这个一呢，再换成ABC。再换的ABC知道吧？一换的ABC这样就可以把它写成啊，那么写成AB×AC这样的好吧，所以说a×ABC可以写成AB乘以。这个AC。这样的式子AB×AC。啊AB×AC这样的一个情况。是吧，这样的这样的话，大家呢就可以用咱们的均值定理了好吧，所以在这里面大家啊，如果不会写的话，

大家知道。你可以都给它乘以个二再除以二，然后呢，把它写成二分之BC加AC。二分之BC加AB。二分之AC加AB是不是这样的啊？这样的情况，然后用两个数的上平值大于等于两个数的几个平值就BC乘以AC。加根号下BC乘以个AB。再加上根号下AC×AB。然后这个值，然后大家知道这个ABC，它相乘正好为一啊ABC正好为一啊这个ABC为一。啊，这个ABC也为一，

所以这个正好就变成了根号c加根号b加根号a是吧？由于ABC它不能够相等，不能相等的话，所以它取不到等号，取不到等号，那这地方它就变成大于号了。变大也好是吧？变变大也好，那这个题干就证出来了，所以正确答案应该选择c选项，所以两天联合起来可以证明这个是充分的。所以这道题要考察外接圆半径三角形的面积，还有三边乘积，它们之间的关系，这个要弄清楚。

所以这是一个公式，要弄清楚另外一个，大家一定要想到一的妙用，左边这个一的妙用，大家能想到把分子一都换成ABC。右边这个根号a1定要想到跟它乘一个一。乘个一的目的，正好可以拆成两对儿，两对儿的话，我们就可以用均值定理来进行分析了，知道吧，有时候拆到这儿以后。它这样小于等于二分之AB加AC，知道吧？把它每一个这样一拆开，

同样道理根号儿b也这样变形，根号儿c也这样变形。这样就找到解题的突破口了啊，所以这道题大家可能想不到这个一它如何来进行妙用。啊，这是这道题，它的考试内容和方法。下面咱们看这个题啊a是等比数列则确定它是递增的好，那等比数列递递增的话，那我们首先要分析下等比数列它的特征是什么啊？等比数列。咱们是这样的，咱们先看公比。公比q如果大一点，那所有元素同号。

好，如果大于零，它每个元素都同号a1a2a3，它所有都是同号的同号，你就看a1，如果大于零，它就是同正的，它都是正数。如果a1小于0a一小于零，它是同复的。a小于零，它是同负的好吧，所有元素同号，然后咱们看q要小于0q小于零，它应该正负交错的。

这么叫做到底先正再负呢？你要看AA，如果要是大于零的话，就第一项是正的，后面就是负的。啊它它要么就正负正负。这样的好，要么就是负正负正这样的，反正就看AA，如果大于零就第一种情况a要小于零就第二种情况。好吧，这是它的等比数列的呃特征，接下来它要递增，递增的话，它肯定不能正负交错，

正负交错的话。它这个肯定是在波动，在波动它不会说是递增的，那递增只能是第一种情况递增。第一种情况递增，我们看一下递增的这个数情况。递增的话，如果都为正数的话，都为正数的话q1定要大于一是吧？这时候它递增，然后在同正里面要递增的话，要a1肯定是为正的。q，肯定大于一，这样才是这样。

在增大的是吧？如果同复的话。同步化a1小于0q，大于零小于一，它也在递增，知道吧？它也在递增，比如说负三。下一个负三乘以二分之一，下一个负三乘以四分之一。点点点，这样的话，它也在也在递增是吧？也在无限增大好，那接下来咱们看一下条一和条件，

看行不行？条件一，他只知道a+a四=9，那到底a是正的还是负的？这个确定不了是吧？他公比这个也求不出来。平方一呢，是不可以的。条件，它只知道a2×a三=8好a2×a三=8在这里面单条件也不行，因为a2和a31000都是负的。或者都是正的，它也没有告诉我们这个到底数是多少a2×a三光等于8a2a三的值有无数多个，它这个也不行。接下来，

我们要联合起来啊，联合来分析。原来分析大家知道这个a 1+a四，它等于九。啊，我们学过等比数列性质，大家知道a2×a三这样的a1×a四，那这样等于八是吧？就a 1+a四=9。啊a 1+a四，它正好为九。a+4，它正好就为九。然后a2×a三正好等于a1×4正好等于八，这样就写好了好吧，

这样就写出来了。好，这样就写出它的这个方法。方法，然后接下来我们呢就可以看出来，可以把它看成方程两根是吧？因为两个数的和a+a数的和正好等于九。两数乘积正好等于八，所以可以把AA 4看成方程两根。方程是x方减9 x+8，这样的话正好根据韦达定理可以看两个之和，正好等于九两个乘以，正好等于八。只要两根。两根两根，

一个是一，一个八。但问题是c=1，c=8，它有两种情况是吧？要么a1=1a4=8。这时候它是递增的是吧？它它它在这个慢慢在增加是吧？或者说有可能a4=8。a1它为一，这时候又递减的了是吧？这时候它是递减的。它在减小，这时候它是在递增。所以它到底是增还是减，

不能够必然的退出来，所以说在这里面你也不知道公比到底是什么情况好，所以这样它有两种结果，这时候就不充分。正确答案就选择的是e选项好，这是它的做题方法和思路，看是不懂了啊。好，下面咱们来看这个题y=s^2。加s+a在负二到二上最大值与最小值之和。之和要为六，之和要为六。好，那接下来咱们来看一下它最大最小值和到底是多少？好，

我们来看一下条件一。但是它说ux轴有一个交点啊，ux轴有一个有有一个交点，且ABC它不为零。有一个交点那，但是它的对称轴在哪你也不知道呀，确定不了对吧？它的最大值。我们讲过，在一个区间上的最大值和最小值，要看它的图像，它的顶点在不在这个区间上？有它最大的最小值是在边界点取到，还是在顶点处取到？这时候要观察一下，

懂了吧？所以这时候。条一呢，肯定是不可以的，你条一它对称轴，你不知道，光知道有一个交点，这个也不行好吧，所以这个肯定不行。条件条件他只告诉呢2b方。等于c，但是a到底是什么情况啊？然后这时候呢啊他他也确定不了是吧？所以他他这个。啊，

它这个值啊，也是啊，求不出来的，所以这个肯定就不行，所以接下来我们把这个题的题干先给它分析清楚。题干，大家知道它所给的抛物线x方加x加ax方加x加一，它对称轴正好是负二分之一，也就是y等于x方加x加a。它对应轴正好就是负二分之一这样的一个情况。负二分之一，然后他从负一到二。啊负一到二负三，那显然二是最大的，然后再负二分之一，

它最小，所以它最大值与最小值。它的和最大值。啊，加上最小值。就等于它最大值最大值的话，正好就是f二对吧？就f二最大值，它最小值呢？就是负二分之一是最小值。负二分之一，它的最小值好，那接下来我们把二带到里面就四加二加a，它最小值负二分之一带到里面去负二分之一带到里面就四分之一。减二分之一加a好，

这样的一个数值是吧？然后这个就看它最小值是不是六了，是不是等于六，然后简单把这些画一画好吧，画一画。画一下就相当于六减四分之一加二a，加二a就看这个数，它是否等于六了？啊啊，是否等于六？如果要等于六，它就充分好吧，所以这个题干先跟它对称轴，然后看一下，因为它开口向上离对称轴越远它的。

数值越大，离这种越近，它的数值越小，这样就写好了，好，那接下来我们就可以看。看那显然要联合起来，因为它这ABC里面有有未有未未知数是吧，所以单独肯定是不充分的条件，单独它也也解不出来这个a的值。所以要联合起来。好领养企业，好领养企业的话，在这里面我们呢，就可以看出条件一它跟x轴只有一个交点，

只有一个交点，它大厦就为零。啊，与x轴有一个交点，德尔塔就为零，德尔塔就为零，德尔塔就b方减4 AC。它正好为零好，这是条件一好，那条件二条件二正好是这个二倍的b方。等于c把它带到里面去，你把这c换成二倍的b方也行。c换成二倍b方，因为这个b它肯定是不为零的啊，所以说b方减8 AB方，

这样就为零，因为这个b肯定不为零，因为条件一说了a×b×c不为零。好，那说明b肯定是不为零b不为零，又推出a的值a的值呢等于八分之一是吧a的值等于八分之一a的值等于八分之一带到这里面去，它刚好就等于六，所以这个题干呢，它是成立的。好吧，把a的值给它解出来解出来，然后这样就可以写出它的数值。所以两条要联想起来，那是充分的正确答案，就选择c选项好，

这是它的方法和思路，看是不是听懂了。接下来咱们看这个题啊，那么ABC为三个正实数。啊则a加上a分之一的平方b加b分之一平方c加c分之一平方要大于等于三分之一百。那这道题大家呢？可以用一下全方和全方和的话，主要为了出现a+b+c这样的一个式子来。有同学可能把它展开了啊，展开以后那么这个就有平方是吧，展开以后它就有平方，这样做起来要复杂一点是吧，所以这个不展开也行，不展开就相当于是a加a分之一的平方。除以个一。

这个b加b分之一的平方，除以个一加上c加c分之一的平方，除以个一。是吧，这个一。除以一以后，那接下来我们用一下全方和它应该大于等于分母呢，是三个一相加分母相加。分子的话就相加a，加a分之一，加上b，加b分之一，加c，加c分之一。括号的平方是吧？

得到这个值，但是接下来由条件一我们来看条件一。那a加b加c要等于一的时候要等于一的时候，这里面a加b加c就解决掉了，关键是这里面a分之一加b分之一加c分之一应该如何来分析和思考？是吧，所以在这里面大家呢，要掌握的方法，我们呢，就要把这个倒数来进行化简和求解好，那接下来我们就看条文一它的倒数情况。到了情况下，就是a分之一加b分之一加c分之一，我们再用一下全方和，因为这个一可以看成一的平方。

a的平方，所以大于等于一+1+1^2，所以一个a+b+c是吧？因为题号一它a+b+c，它正好为一嘛。这样为一为一的话，上面就是三的平方就等于九。零点九比如说a分之一加b分之一加c分之一是大于等，大于等于九的，那这样就可以得到a加b加c。加上a分之一加b分之一加c分之一，它应该大于等于一加九。正好等于十是吧？正好就为十。好，

这样就为十那这个就可以，条件一就可以得到得到这个题目就是a加a分之一的平方加上。b加b分之一的平方。将c加c分之一的平方让大于等于。这个这个分母一+1+1，然后等于三三的话，然后这个还有个平方，因为这括号里面刚才咱证明了，括号里面正好大于等于十。它平方就大于等于100。加上100，所以说提问一，这个是充分的。条件咱们看一下a+b+c正好等于二，同样道理就换了一个数。

若a加b加c正好等于二等于二，大家可以得到，得到就是a分之一加b分之一加c分之一。它这个平方平方，它大于等于这个a+b+c上面就相当于是还是一+1+1^2。然后这个呢，就算出来就等于一个二分之九。对吧，三分之一啊，二分之九。然后接下来我们就可以算出这个a加b加c，加上a分之一加b分之一加c分之一。好它大于等于这个二加二分之九。这样就等于二分之十三。是吧，

有二分之十十三了。好，实际上呢，接下来我们再来看，原来这个是原式的分母，还有一个三上面再一个平方好吧，这所以。条件儿把这个分子的括号儿里面得到它大于等于二分之十四十三，注意这个括号儿还有一个平方，不要忘记了好吧？就可以得到a加a分之一。平方加上b加b分之一的平方。加c加c分之一的平方。大于等于然后这个三分之二分之十三括号的平方，这算就等于十二分之一百六十九。

啊，它得到大于等于十二分之一百六十九，而十二分之一百六十九又比三分之十三分之一百，小知道吧？十二分之一百六十九要小于三分之一百。加三分之一百就说明它它大于这个数，它不一定大于三分之一百。啊，这个是不满足的啊，所以条件二这个是推不出来，然后一是成立的，所以正确答案应该选择的是a选项。好，这套做题的方法思路看是不懂啊，通过这道题，

大家呢，要掌握的做题要点就是把这个全方和不等式把它用好。为什么想到全方和因为全方和它这个平方，它正好呢啊，能够把它写上。好，这个都能写出来好吧，当然有同学用呢，这个可以不能试也行，因为从这个角度可以不能试呢，也可以用可以不能试的话就这样的。就a加a分之一的平方，加上b加b分之一的平方。加上c加c分之一的平方。然后这个给它乘以一个。

乘以个。一的平方+1^2+1^2，这样大于等于。大于等于第一个乘以第一个加第二个乘以第二个加第三个乘以第三个就是第一个乘以第一个。第二个乘以第二个。第三个乘以第三个。啊，这个跟刚才咱们这个呃全方和差不多，就相当于把这个分母的这个一+1+1乘到左边了。是吧，乘到左边好，这是科一不等式，科一不等式做到这以后，接下来就一样了，接下来还面临到a+b+c的值。

和a分之一，b分之一，c分之一的值是吧？就a加b加c的值和a分之一，b分之一，c分之一的值。啊，这两只这两只往下做的话，跟刚才的这个写法呢是一样的是吧？做题方法是一样，你要把这个a分之一b分之一c分之一的取值范围求出来，还有a加b加c。这个书带到里面去，把这个括号儿里面这个写出来，写出来以后答案就求出来了噢，

看这个是不是懂了党它的做题方法和思路？啊，这道题正确答案就选择的是。

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027.24-顿悟-专项六-不等式证明方法-练习

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