025.24-顿悟-专项五-函数方程不等式-题型3

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 06:32:59

下面咱们学习题型三特殊函数啊。啊，特殊函数我们看第一个就是指数和对数函数。啊，遇到指数和对数函数，一定要看它单调性。单调性呢，是由底数来决定的啊啊，那么当它的底数大于一的时候是单增的，不管指数对数，它都是单增的。当a大于零，小于一的时候，是单调递减的。第二个一定要换元。

啊换元把整体呢给它换下来，换转化为一元二次函数来迂回求解啊，这样的话我们就可以。把它化成咱们学过的比较简单的一元二次函数来分析。啊，接下来咱们看一下例15这个题例，15的，它就是有指数和这个一元二次函数，然后符合二层的一个函数。啊，那我们来可以看它这个底数是二分之一为底的。以二分之一为底，它单调递减的啊，单调递减以它底数是二分之一。所以它单调递减。

它是单调递减好，那既然是单调减的话，那说明它这个表达式。啊，要求它的最大值，只要找到这个s方减2s最小值就行了，所以先求它的最小值。先求s方减2s，它的最小值。最好是这个抛物线就可以看出来抛物线，它开口向上，它最好只有s=1的时候，它最好值是负一。就s=1的时候，它对称轴正好为一嘛I=1的时候，

它最小值。就为这个负一。啊s=1的时候，它最小值是负一啊，那最小值是负一，那这f还最大值就可以写出来f还是最大值？这样就是二分之一的负一次方就等于二好，这样大家应该选择b选项啊，对它的做题方法和思路。所以答案就选b。所以它根据它单调性和抛物线，它的最值来进行分析和思考就可以了。啊，接下来咱们看一下例16这个题已知函数fi等于啊，这个分式求fi最大值到底是多少？

啊，这道题呢？我们先要把它给整理一下好吧，因为不整理那这个不好分析，所以说上面这个我用指数的运算公式。二的x+4次方可以把它写成二的x×16。因为这个二的四次方等于16，然后四的x可以把它写成2x，它的平方，然后再加八。这个地方如果看的不清楚，大家可以换元令t=2的xt呢，是正数。啊，因为大家知道这个t的取值范围叫正数好，

这个就变成了ft的一个表达式了，就变成。16t除以个t方加八求，它的最值就像这个，这跟咱们考题。出题是类似的，上下都除一个t或者说取啊，倒数也可以好吧，上下都除一个t就变成16。然后除以一个。啊，这个就t加t分之八。就分子分母同除，以t同除以t的原因是为了让分子呢，变成一个常数。

分子为常数。好，那接下来咱们可以看到这个。t加t分之八啊，它这个呢，就相当于是可以用矩阵定理来进行分析和思考啊。t加t分之八用矩阵定理来分析。大家知道t加t分之八应该大于等于二倍的根号下两个相乘。是吧，所以说这个大于等于它，然后它要求它求它的数值，我们就可以写出它的这个表达式。是吧，所以说那分母越小啊，分母这大于号，

它这个又变成小于等于号，小于等于号16÷2倍根号18。啊二倍根号18啊二倍根号八啊，这就写好了。就像那上面上下化简一下化简这样的根号，八根号八这样的2倍根号二。二百根二这样写出来，然后用均衡定理，大家不要忘记啊，什么时候取等号啊，这个t这个t正好就等于什么t等于t分之八的时候。所以t正好等于二倍根号二的时候。啊，这样就写出来了t=2倍根号二倍根号直接写成。二的二分之三次方也行，

这样等于二的x次方，所以x等于二分之三的时候，它这个取最大值。如果这条问它要取最大值的时候s等于几s，正好等于二分之三的时候。啊，它取最值取最大值。最小值是二倍根号二啊，这个答案就选择的是c选项好，那这道题它考察指数，另外我们要学会换元分析。啊，换元以后我们呢再来啊，用矩阵定理，然后来进行求解好，

这是它的做题的要点方法。好，下面咱们来看一下。第17题。y等于log三之x乘以log十二分之x的最小值到底多少？需要最小值这道题是考察对数对数的话，我们先用对数公式做一下。化解所以说这个就可以写成y=1个lo gx-log三。乘以个lo gx-log 12。啊，就logs减log三减logs减log十二啊，这样的一个式子，然后可以令t等于lo gx。啊t=lo gx这样写好啊t的值就等于lo gx啊t=lo gx以后，那这个y我们就可以把它变成。

t-log三乘以个t-log 12。这样的t-log三×t-log 12。然后这个大家可以把它看成关于t的，开口向上的一个抛物线。还有向上的这个抛物线啊，抛物线，然后在这里面大家可以看到它的对称轴，对称轴就两根的中点，对吧？对称轴。是吧，就两根的中点。啊，两个重点，一个根是log 3，

一个根log 12，所以它对称轴，我们就可以写出来。对称轴正好就等于两根的中点，就log 3+log 12。然后这样啊，两个的终点。然后这样的话，接下来我们知道log 3+log 12就等于log 36。因为大家知道两个同底对数相加就能增数相乘，得到log 36 log 3十六三十六可以写成六的平方。是吧，36大家可以写六的平方啊，那么六的平方，然后前面这个二次方，

然后给它。提到前面去，这样就等于log 6。是吧，就等于log 6啊，所以说t=log六的时候，那这个y它有最小值，因为它开口向上y的最小值就可以写出来。你把t=log六带到里面去吧！log6变成log6-log三=log二。乘以一个log六减log十二等于log二分之一。啊，这个log二分之一正好等于负的log二，这个log二乘以负的log二就等于负的log方二。啊，

就等于负的log方二这样就写好了，这样大家就选择c选项答案就求解出来了啊。电脑上就选择c好，这是它做题的方法和思路。好吧，通过这道题，大家呢啊，不管指数也好，对数也好，我们可以把它整体做一个换元换元以后呢，然后把它转化成咱一个抛物线，抛物线的话，我们就可以找对称轴。对称轴呢，可以把它看成两根的中点啊，

这个找上对称轴，所以它对称轴呢，正好是方程两根的中点。好，这是两根知道，然后用这个找对称轴，找对称轴以后，然后再来算它的最小值，这样话就比较简单，看这块儿是不是听懂了？嗯嗯。好，下面咱们看一下分段函数。好分类函数是指自变量。它有不同的取值范围内，

有不同的表达式。有不同对应法则。啊，它是一个函数。但是又是个比较特殊函数。CD表达式非常特殊函数。经常呢，会被学生误认为是几个函数，它不是这样的，也就是说不同的取值情况，它的表示是发生变化的。它的定义是各段。它取值定域的并集，比如它能取到的定域，把它并在一起，

它值域也是。它能取到。各段函数值域的并集就我能取到值都属于我的D盘儿是吧，然后这块儿是吧，并在起。分类函数呢？在咱们呃做题中啊，运用非常广泛，因为它体现着分类讨论的思想。啊，数影结合的一些思想等等的，然后分段函数呢，应用较广，做题师要根据这个范围来确定它对应的表达式。是吧，

可以拿范围出去就行了。好，那接下来咱们看一下啊，这个题。fs它是分成两段儿s小于一的时候，取这个表达式s大于一的时候，大于等于一取这个表达式。啊，现在要解一个不等式fs大于等于一，然后自变量x满足这个的取值范围包含几个整数？啊，那这个题肯定要分段讨论。其实咱们绝对值可以把它看成一个特殊的分段函数，对吧？绝对值咱们有时候用分段讨论，

把一个绝对值分成几段儿？每一段的表达式是不一样的，所以把它看成一个特殊的分段函数。好，那接下来咱们来看一下它的这个知识点。好，那当x小于一的时候，咱们看它应该怎么写对吧？x小于一的时候看一下它的方法。而小于一的时候，它变成了。x+1^2，这是fx是吧？所以它的fx就取x+1^2。好，

这样就是s小于一的时候f 2=s+1^2，然后它要大于等于一。那等于那这个我们就可以解出来，解出来就可以得到x大于等于零或者说。x小于等于负二。啊，那么在这里面还要满足这个前提，知道吧？还要满足这个前提，满足前提，那这个。要把这个范围跟它呃，满足这个前提，要取交集，所以就可以得到。

得到x大于等于零小于一，或者说x小于等于负二啊，得到这个值。其实做到这，大家可以发现一个什么问题啊，它已经有无数多个了，无多个那第二段越并越多。是吧啊，它的体制范围只能增加，不能减少啊，所以说在这里面它已经有无数多个这道题做到这儿就可以直接选答案选e了。啊，因为这它已经有很多很多个整数了，对不对？好，

第二段咱们再写写当s大于等于一的时候，大于等于一的时候fx就等于四减去根号x- 1。它这个大于等于一。是吧啊，大于等于一那么，然后这个就可以移过来，移过就变成根号x- 1小于等于三。啊根号s- 1小于等于三这样的。好吧，这样的这样，然后呢，就可以看出这个x- 1，然后两边平方平方就变成x- 1小于等于九。来减一小于等于九小于等于九呢x就小于等于十了。啊小于等于十，

小于等于十，还要满足s大于等于一啊，满足s大于等于一，所以又得到。s大于等于一，小于等于十。这样的，然后这是第一段儿的跟这第二段儿并在一起，并在一起的话，这个一就可以接在一起，知道吧，一它又接在一块儿。一接在一块儿的话，就可以得到x它的取值，所以中上。

这样就相当于一呃零小于等于x小于等于十，或者说x小于等于二。要等于负二，这样就写好了。好，那这是它的这个取值情况。好，那这是综上把两段儿并在一起，把它符合题目要求的都并在一起，就得到它所有的它能取到的取值范围。啊，这是这个题啊，建议大家就选择e选项好看，各位同学是不是听懂了？那通过这道题，

大家呢？要知道的，考试要点我们分段函数，大家也不要怕。就把它。分成几种情况来进行讨论求解就OK了。好，下面咱们看这个题fi等于负一一，然后s大于等于0s，小于零则不等式，它的解包含几个整数？而且也包含几个整数啊好，那接下来咱们来看一下呃。呃，首先呢，

要把这个这有个fs+2要把它写好是吧？fs+2。fx+2怎么写呢？就把fx表达式里面x都换成x+2就行了好吧，就x都换成x+2。一负一就变成x+2。大于等于零而加尔，大于等于零可以写成s，大于等于负二。再变成x+2小于零，又变成x小于负二。这样的是吧？变s+2小于零变成s小于负二好就得到它这个数值。好，那这是fx+2写出来就接下来就按照这个来进行分摊讨论，

而不是原来的啊，这个s大于零和s小于零分摊讨论啊，一定要把它变。变成s+2以后啊，这个来进行分摊讨论就行了，所以第一段儿我们就可以看当x大于等于负二时。I大于等于负二时，那么这个fs+2。就取一了一的话，就变成x+x+2。小于等于五。是吧，这样的，所以这样很容易解出来x又小于等于二分之三。加点二二分之三，

但是还要满的还是大于等于负二，所以我们就可以得到。得到就是负二小于等于x，小于等于二分之三。对吧，所以我们就通过这个第一段儿就写好了，接下来呢，看第二段儿。第二，当x如果要是小于二的时候，小于负二时。x如果小于负二，那这个fx+2就取负一取负一就变成x-x- 2。啊，得到这个值得到值，

然后它小于等于五。啊小于等于五的话，那大家发现这个恒成立，因为左边x它就没有了，因为它这个是成立的，成成立的话也说这个都成立，都成立的话。它要取值范围就取。s小于负二就行了，所以它得到。x小于负二。然后接下来把两段并在一起，并在一起就终上可得。综上综上，就相当于x小于等于二分之三。

登上这两个，把它并在一起，并在一起得到s小于等于二分之三，这样就写好了，所以说它这个有无数多个值是吧？这个呢，也是选择e啊，无数多个。好，这是它的考试方法思路，看是不懂啊，那大家呢，在做题的时候，其实先把这个复合函数fx+2表示写出来。解完后，

然后再来分散讨论，求出它的结果就OK了。啊，下面咱们看这个题f还是等于这个分段函数s小等0x大零则f二零二零到底等于多少？f二零二零的值到底等于几？好，那接下来咱们来看一下啊，这道题这道题它要求f二零二零的值，那我们看一下f二零二零肯定要带这个表达式。啊，在这个表示在大于零的时候，它表达式是吧？所以在这个。所以我们就可以得到f二零二零，正好就等于。

把x等于二零二零年代入里面，正好就得了f二零一九再加一，是不是这样的？把x等于二零二零带到里面去，变成f二零一九再加一，然后f二零一九又等于f二零一八再加一。f二零一八再加一，然后再往下加，所以就等于f二零一八+1，后面再加一变成加二。是吧，这个变加。然后f二零一八呢，又等于f二零一七又加一，所以它等于f二零一七+1，

后面有个加二变成加三。好，第二点。是吧，两点这样写，这样那就一直写到什么写到大于零的时候啊，大大大零的时候就相当于写到。这个s=1的时候是吧，所以它应该等于f1，加上二零一九，然后这个规律怎么写，知道吧规律大家可以发现这样的，你一定要找规律啊。咱们看这个二零一九这个括号里面的数，加上外面这个一正好等于二零二零这个括号里面是二零一八。

加上外面这个数二，它也等于二零二零，这二零一七加上外面这个三，也等于二零二零啊，括号里面是一。然后是还是二零一九是吧？然后f1又等于几f1的话又等于f0+1，所以就可以写成f0，再加上二零二零。这样的，然后f0的话就带第一段儿表达式就行了f0f0的话就正好就等于log以二为底一的对数，再加二零二零。这样的情况好吧，就把x=0带到里面去，带到里面就log以2d一的对数，

再加上二零二零这样行了，大家知道log以2d一的对数值，它正好就为零。啊零加上二零二零啊，这个还等于二零二零。啊，这个答案就选择a选项。啊，所以大家注意这个地方有个log以a为底一的对数值为0 log以a为底a的对数值为一啊。log以a为底，a分之一的对数值应该等于负一。啊，等于负一好，这是它的这个常用的对数值要弄清楚好吧，这个在做题中，

我们这个对数值要掌握住。好，这道题就考察它的分段函数以及呢，它不断的往下啊进行写，往下迭代，迭代完后最后。得到f0的值，然后就可以得到答案了，好，这是它的求解方法思路。好，接下来咱们再看一下复合函数，它的考试内容复合函数。好，再看一下例21这个题已知a属于实数fi，

它是一个分段函数，且可以确定a的值到底是多少？那这道题我们其实。又考到复合函数，又考到分段函数，复合函数就是外面一个函数，里面它又一个函数，好吧，这有复合函数，那接下来我们来看这个复合函数应该怎么去处理和分析啊？好，那我们看一下条件一。好看一下条件，一条件一它是ff 1正好等于五，能不能求出a的值？

那是不是首先要把f1的值解出来呀？先求里面对吧，所以条件一我们的。先求里面啊，先把f1的值给它解出来。f1的值是不是带第二段儿对吧？因为正好在s小于等于二这一段儿啊，这f1的值正好就等于二+a。啊，这fa的值这样等于。二+a就写好了，接下来接下来它又是ff 1。ff 1，其就等于个fa+2是吧？这二+a我可以把它写成a+2。

啊，那关键点是什么？关键点这个a+2到底是第一段儿还是第二段儿？你不知道，所以这是要讨论就a+2，如果要大于二的时候，那就是取第一段儿。是吧，所以我们要讨论一下，当这个a+2要大于2 a+2大于二，就当a大于零的时候。啊，那这个a大于零的时候a+2，它就大于二，大于二就取第一段儿了，

第一段儿就相当于fa+2，这样就等于a+2^2再减四。得到a+2^2再减4 a+2平方减四代，到里面就得到是a方加4a是吧？a方加4a。然后它正好要等于五嘛，题目说了要等于五。a5那么a的值就等于一或者啊负是吧a=1？或者负这样就写好了好吧啊a的值它等于一。啊，或者负啊，就这样的一个方法。看到了没有啊？a的值，但是a的值呢？

这个a大于0a大于零的话，所以说这个负呢要舍掉对吧？这个负的值啊，要把它舍掉。找掉那只能取a=1。好，那这是当a大于零的时候再看一下，就是a+2要小于等于二就a小于等于零的时候，我们看一下啊a小于等于零的时候。好当一小等当一小等零的时候，这时候fa+2。啊a要小等于零的时候ff1+2就带第二段表达式是吧？就a+2-3a+2-3就变成a-1的绝对值再加a。是不是啊？得到这样一个式子，

这个能看懂吧？然后就带第二段表达式带第二段表达式以后，然后这一块儿呢，因为a是小于零的嘛a小于零的话a减一肯定是负的，对吧负的，所以说可以把它写成一减a。把绝值去掉。也根据咱们绝值定义啊，绝值去掉绝值去掉，它正好就为一。这样唯一它不可能啊，等于五，因为它题目出来条件一说，它要等于五，那这个a呢？

是不存在的。AA它是没有。没有，所以说综合这两两种情况啊，那么我们知道这个a值为一，这唯一只有一个值，只有一个值，它充分的这题一呢？我们是可以确定a的值的a的值呢，是只有唯一的接着呢，看条件条件f中括号f根号六。正好等于三。啊，正好为三为三的话，那在这里面大家可以看到啊，

那我们先把f根号六给大家写出来，对吧？f根号六。条件咱们先写f根号六。大家知道根号六应该是二点多，根号六二点多应该在第一段儿表达式，这就等于根号六的平方再减四，正好等于二。是吧，好这个根号六写出来，然后ff根号六。这样又等于f2。正好等于f。f二的话，应该取第二段表达式对吧？

第二段表示第二段表示就二二减三，绝对值是一就等于一加a。啊，就等于一+1啊，就等于一加一一+1，然后这样算出来，它正好都等于三。等于三，等于三，推出a的值正好等于二。啊a的值等于二，所以这样话就根据它这个条件儿，它的值等于三，可以确定a的值只有一个，这一个，

所以它这个就充分的条件儿，它也成立。有两个条件单独均充分，建议大家选择d选项好，这是它的做题的处理方法和思路，看是不是懂了啊，所以这道题就考察复合函数分段函数啊来讨论。取出数值以后，还要验证前面的条件，把这都验证好，就可以得到答案，看是否明白了。好，那接下来咱们再看这个题，已知二次函数fs=s^2减2s则f括号fs大于等于fs。

啊，这也考了，又考察复函数是吧？又考察二次函数，这里大家千万不要把ffs表达式求出来，然后再写啊，如果那样做就很复杂了，有同学他这样写的哎。ff x.那写的是没错，但是就比较复杂，你就先把这个fx表达式里面x换成fx，得到fx的平方。减二倍的fx是不是把这样带到里面去？fx又等于s平方。

减2s的平方，减二倍的s平方，减2x是不是这样的？所以把这个fs写成s平方，减2x。然后这样这样的话，把它平方展开，它就变成四方四方的话，它这个呢就比较复杂是吧？比较复杂，然后再大于等于。fs再大于等于fs正好s平方减2x。啊，这样话啊，这样解就稍微复杂点儿，

不过这样话用整体换元啊，还可以是吧，你可以把？这个s方减2s，看那个t这也这这也行是吧？这如果不换元就不行了啊，这道题换元还好。哎，好，所以说这道题你就定t=x^2减2x，这个变成t方。t方减2t大于等于t，也可以把描成t方减3t大于等于零。是吧，把它给它移过来t方减三大于等于零大于等于零就得到t小于等于零，

或者说t大于等于三。是不是得到这个值得到这个值以后，那接下来那么t小于等于零，就相当于s方减2s小于等于零。使得s方减2s小于等于零。或者说x方减2x大于等于三，得到这个结果。好，那它这个小于等于零，那x应该在两根之间就x在零到二。对吧，它的小于等于s应该在零到二。然后大于等于三，大于等于三的话，它这个解应该在两两边，

一个是负1s，小于等于负一。或者说x大于等于三。是吧x小于等于负一或者x大于等于三啊，这样就写好了，接下来只要条件范围落在这个范围之内都算充分，条件一落在这个范围之内算充分。条件s大于三的话，这个里面也算充分，所以条件一条件二它都充分正确，答案应该选择d选项就求解出来了。其实做这个题一开始就换元是最简单的，知道吧，一开始就令t=fs来换元，得到这个结果。

啊，如果你把把它写到这儿，然后换元也还行，如果把这个平方一展开，那么这就不好做了，知道吧，所以这是。大家呢，先用整体的思想啊，相相当于先把fs这个整体它取值范围求出来，取值范围求出来以后，然后再。慢慢解x的范围，就像咱们吃水果一样，有一层皮一层皮的来进行分析是吧？

外面一层去掉以后，然后再分析里面一层。这样话我们做起来就比较简单了。好，那接下来咱们看一下第四个就最大值函数，最小值函数它的这个概念。啊，最小值函数最小值函数这个咱们呃，以前面也接触过，就是就代表最小值。对吧，理解成。啊，表示里面的一些最小值三个，里面最小值最小值的话，

就它小于等于a且小于等于b且小于等于c。这max代表最大值最大值的话，就每个数都要大于等于a，大于等于b，大于等于c。对函数而言，如果它这个fs和gs是一个一元函数，而且它图像好坏，你可以表示各函数图像中最低的部分。把每个函数图像给它画出来，表示最低部分，然后这个呢，表示各函数中最高的部分，最大的部分，知道吧，

所以max表示每一个函数给它画出来。它表示，它这个各函数里面最高最大的部分啊，这是它的。啊，这个画图的一些方法，但但是有时候呢，没法画，比如说有AB两个。啊，那这时候你怎么画？那两个变量，两个变量的话，那到底以a还是以b来画呢？没法画。

除非里面都是一个x啊，一个变量，比如这是x也好，这也都是x相关的，那这时候可以画，知道吧，所以这道题呢？有没法画，而且这大家可以看到，还比较复杂，你看又里面是一个最大值，外面有个最小值是吧？又符合在一起的。那这个咱们一层层来分析，先看看里面的这个东西。

那里面的东西。有些东西的话，咱们就可以设里面这个呢，是一个y好吧，因为这个AB都大于0 AB都大于零的话a是大于0b大于0a方。b方，这都是正的是吧？所以我们就可以列。这个y等于个max。AB.a方分之一加上。立方分之一。这样的好吧。就是AB，然后a方分之一+b^2分之一啊，

得到这样的一个式子。啊，令它这样的一个东西。好看懂了吧，令y等于这个最大值函数。这样那这个y肯定是正的。为什么y正呢？y不管等于a=b还是等于它，反正取三者里面最大的嘛，肯定就都正数，因为这里面每个都正的看到没，你这个每个它都正数。啊，那接下来大家要学一个重要的一个技能，就要把这个最值函数符号给它去掉，

有点像咱们解绝育值一样，那这绝育值符号要能把它去掉。啊，这个绝知符号。要学会把它去掉，那这个怎么去掉呢？y是它里里面最大的y是它那些里面最大化，那接下来我们呢就可以看到y既然是最大的y，应该比每个都大。是吧y应该大于等于a。y应该大于等于b。y还大于等于。a方加b方分之一是吧是吧y反正取里面最大的数嘛，比如说咱们就取咱班班最高的。分儿最高分儿那你取得这个最高分儿肯定大于等于每一个人，

对吧？它肯定要大于等于a大于等于b大于等于它是不是这样的？好，然后接下来我们呢就来看它这个表达式，我们应该怎么分析是吧？怎么分析然后？我们先把y的取值范围求出来，注意把这个符号去掉，以后那么有两种方案，一种方案就三个相加，另外一个方案就相乘。是吧，所以在这里面我们呢，就来看看这个a方分之一+b^2分之一应该怎么去分析和思考。是吧是吧，

大家学过这咱们的这个基本的不等式不等式就x方加y方大于等于2 xy。是吧，或者a方加b方大于等于2 AB好，那在这里面我们呢就可以这样来进行写了。所以大家知道a方分之一+b^2分之一。正好大于等于往下接着写，大于等于二倍的根号下。啊，这个这就不用根号了是吧？因为它正好是平方，就是二倍的两个相乘是吧？就把这个a分之一b分之一看成这个x和y。就相当于x方加y方大于等于2 xy得到这个值。而且大家知道这个。这这两个相乘，

这两个相乘就可以得到什么？这两个先相乘一下，相乘相乘得到y方大于等于a×b，因为它都正数可以相乘啊。就AB啊，还有y都是正数，所以这两个相乘将能得到y方大于等于AB。y方大于等于AB有AB要小于等于y方，因为小于等于y方把这AB换成y方。应该这样的是吧？把AB换成外啊，外外方是这样的啊，这样的，然后把这个就得到y大于等于二÷y^2把这y方。给大家写过来，

写过就再变成y的三次方大于等于2y，三次方大于等于2y就大于等于三次根号二。y大于等于三乘根2y大于等于三乘根二，它要求这个里面这个函数最小值，它其实就相当于求这个y的最小值，知道吧，所以这道题。这得相当于求命外。因为这个里面这一大块儿都把它看成y嘛y，所以原式就相当于求y的最小值y，最小值的话就等于y最小，最小就取三次根号二。不能再小了是吧？这样就可以写出来这个呢，应该选择e选项。

啊，方法或者刚才做到这的，大家如果想不到把这三个相乘也可以，三个相三个相乘的话，可能大家好理解一点儿。对吧，然后三个一相乘，三个相乘的话就变成y的三次方大于等于a×b乘以个。a方。地方这样的是不是啊？这样的，然后我们把这个给大家，给大家展开一些展开，正好就得到得到什么？a分之b加上b分之a对吧？

然后a分之b加b分之a正好用一下平行定理，平行定理它正好大于等于二，这样也可以。啊，这样做呢，也比较简单是吧，所以有同学这样做的，这样做，然后y的三次方大于等于2y要大于等于三。四根号二开根号根号，然后就可以得到结果，它是一样的好吧，这个答案就选择e。好看，这一块儿是不是明白？

是不是听懂了啊？那通过这道题，大家呢？要知道它的这个方法啊，首先呢，要把这个看成一个整体，然后呢？一定要把这最大值和最小值符号给它去掉，去掉以后就好解了。啊，这道题呢？是考的去掉以后，然后用相乘来做，有时候呢，还要用相加来做，

这时候要具体。情况具体看。好，那接下来咱们看一下24题，这个题。假设定义域为r的实数。函数fsgs满足fs+gs=2 s÷x^2加八，则它的最小最大值到底多少？求这个幂函数的最大值。其实这道题相当于求什么，知道吧？相当于求这个求max。面fx gx。这样的是吧，就可以求max，

然后me fsgs啊，就这样的一个。一个方法。这个能懂吧啊，这样的。好，那在这里面大家注意这道题，因为fsgs它的每一个表达式，你不知道每个表达式你不知道哈？这时候呢，你你怎么去分析啊？每个表是不知道f2，也不知道gs，也不知道不能画图做。是吧，

好，那接下来我们看这道题应该怎么思考啊？这道题它的方法。那么，那我首先呢，利用这个y=1个幂。fx和gx。将来y它的最小值y它最小值的话，比如说要取咱班儿最低分儿最低分儿啊，最低分儿肯定比每个人都要小，所以这样把这个符号去掉。y小等于它。y小于等于gx是吧？然后这时候呢，就不要乘法了，

原因有两个，第一个你不招正负，这两个不能直接乘。第二个的话。啊，你乘完以后fs×gs表达式，你不知道是吧？不知道，所以这两个想相加，因为他知道它加法，对吧？这两个式给它相加。相加相加的话，你就变成二倍的y小于等于fs+gx。是吧，

得到这个结果。那接下，然后接下来我们再来看它的这个数值情况。然后这if+gs啊，那么这块儿我就可以得到2x。所以一个x平方加八。啊加八啊，它要求它这个y的最大值，求这个y最大值，我们把这个二给它除过来吧，二除过来就相当于是。y小于等于x除，以x方加八。然后在这边大家想想，要注意把这个要求它最大值，

对吧？这样的s肯定要是正数，所以这道题。它隐含的x是正数，为什么x正数？因为x要是负的话，它不可能是大。负的话，这边儿是一个负的，负的话，因为它要求最大值嘛，求最大值，那你能正则正嘛？就像你考试能考好，你就尽量考好点儿呗，

是不是你就能大就尽量多考点儿吧，能多就尽量多点儿。是吧，所以说这个呢呃，要既然分析最大值的话，就x肯定要正的时候，它才能更大一点儿嘛，尽可能大一点儿，对不对？所以这道题s为正s为正的话。这个你把这跟前面一样，前面做的一样，就是上下都除以个x。这样的是吧？这样大家知道x加x分之八，

那这个肯定在s大于零的时候。大于等于二倍的根号八就等于一个四倍根号二。是不是因为这个分母要大，它这个就变小了是吧？就变小了？啊，这样的，所以这个就可以把它写成八分之根号二，把它有理化，得到这个结果。就求出来了好吧，这这是它的这个方法和思路。当然，这个负的就不用讨论，负的它不会大，

知道吧？所以这时候呢，你在正的情况下去写就行了，所以这样的话，正确答案应该选择a选项。好，那通过这两题，我们得到的方法跟之前呢，我们可以概括一下，如果这里面函数表达式是知道了能画图，那么就可以画图做，用图像法做。啊，如果它没法画图，没法画图，

我们就把这个最大值和最小值的符号去掉，符号去掉以后，然后呢，把它相加或者相乘这两个题。把加法和乘法都用到了啊，用到相加或者相相乘，然后写它的范围，所以以后呢，大家按照这样的方法。来做就可以了，然后结合这个矩阵定理做。啊，对于基础不好的同学，那对于这两个题，还有一个小技巧，

就是大家可以发现它取等号的条件是什么？取等号条件其实。这个括号里面的三个数都一模一样，都都相等的时候，它取等号知道吧，所以考试不会做的同学啊，教给大家一个蒙猜的技巧，蒙猜技巧就相当于是。啊，不敢三七二十一直接让这三个相等，知道吧，直接让这三个相等，直接让这个AB，还有就是。a方b方直接相相等就OK了。

直接相等，所以说简单粗暴啊，对不会做的同学蒙猜答案。因为a和b相等，你把b换成a就行了，b换成a就相当于是这个等于a方分之二。因为b就跟a1模一样嘛b的平方也换成a的平方，然后这样变成a方分之二，这样的话a的值就可以解出来a正好等于一个三次根号二。比如说这括号里面都等于三次根号二，它也三次根号二，它也三次，它也三次根号二三个数一样，三个数一样，它最大值还是三次根号二，

它最小值还是三次根号二，你看直接一秒钟就找答案。是不是啊？呃，这个蒙猜技巧，然后这个题呢？也一样这个题呢？让fs和gs是相等的是吧？让fs和gs相等，这样考试实在不会做，你就这样蒙猜算了。让两项两项都等于x÷x平方加八。然后做到这儿的话，那你就得会点儿均值定理了，把上下啊x给它除下来，

除下来以后，然后呢，让这个均值定理做，做完后也等于八分之根号。好吧，所以总之让它都一都相等，好吧，所以针对不会做的一个蒙猜的方法，就是以后遇到这种求最值上让它都相等。都等等完后把这个数字解出来，想答案就可以了，这是针对基础不好的同学，可以这样去蒙猜个答案啊。接下来看一下虚拟函数，虚拟函数其实就是抽象函数。

抽样函数就相当于它没有固定的表达式，没有告诉你这个表达式。啊，它是抽象的，你要根据题干信息来找函数关系，它只告诉你函数关系，满足一些式子常见方法，有构造函数法。构造方程组或者递推函数法。通过这几个来求解是吧？给构造函数，构造方程组或者递追函数好，那接下来咱们看这个题已知FM满足二倍ff，加上fs分之一等于三s则f二的值到底等于几？叫f2值这道题呢，

这样想。大家可以看这有x有x分之一，反正它这个x满足什么值都行都行，那让求xx等于二。带到里面去I等于二带到里面就变成二倍的f二，加上f二分之一正好等于六。是吧，把s等于二带到里面去，它正好就为六这样写好了，然后x正好等于二分之一的时候。x等于二分之一x等于二分之一，对吧？带带到里面去，带到里面去，为什么想到二分之一知道吧？

因为x等于二分之一的时候就又出现一个f二。知道吧，所以把s等于二分之一带到里面去，二倍的f二分之一。加上f就等于二分之三。这样的就等于二分之三，这样的结果。然后这两个要把f二求出来f二求出来就把f二分之一给它消掉就行了，消掉就把上面四都乘以二倍，知道吧，都都都乘以都乘以二倍以后。然后呢？这个就是消元法，就相当于把它看成两个方，两个未知数去解就行了，

好吧，就是二倍的。呃，就是把上面乘以二×2变成四倍的，就把第一个方程。都给它乘以个二倍就四倍的f2。将二倍的f二分之一正好等于个十二。是吧，然后让这两式相减两两式相减，一相减就OK了，一相减这二倍的f二分之一又减掉了，这变成三倍的f二。就等于十二减二分之三。是吧，然后都除以个三就四减二分之一得到它就等于三点儿，

五f二等于三点儿五这样写写出来了。f2正好等于三点五。好正确答案就选择c选项啊，这个我求解出来了，如果这里这道题要改成求fx表达式值，你知道怎么求吗？如果求fx表达式。求fi表达式，你就这样求。你这样求你就是呃，原来这个fx fx分之一等于三x。然后把这x都换成s分之一，再换一遍，知道吧？就跟刚才那个取个二取个二分之一是一个意思，

把这个再换一遍就二倍的fs分之一。加上fx就等于。x分之三是吧？然后这两式呢？你想办法把x分之一给它约掉，约掉就第一个式都乘以个二倍。然后两式相减。两千年就得到三倍的fx就等于六x减去x分之三。所以fs就可以得到是二s减s分之一，就得到这个表达式了好吧，所以如果这道题要换一个问法，要求fs表达式是下列哪个选项？那这时候呢，也可以这样去选。好吧，

就这样，总之呢，就给它换一下，知道吧，换换完后就OK了，当然它有时候出题是用x和x分之一来进行出。有的时候用其他的倒数关系或者其他的交换的情情况来进行出好吧，大家呢，只要取相应值就OK了。就可以得到它的结果啊。好，那接下来咱们再看这个题。啊，那么就是fs对任意的AB。属于实数都满足fa+b=fa+FB再减6f二=12这个函数，

它到底什么表达式也不知道，它也属于一个抽象函数。那接下来让求f2的值到底等于多少要写f2值好？那接下来我们看f2值，我们应该怎么分析和思考？f二七。啊，我们观察一下啊，观察给了f负二。是吧f2那求f2呃，那我们比如说a和b唉a取负2h2 b=- 2，我们看是不是a=2 b=- 2的时候？就我们先根据咱们想要值啊，做一下这个变形知道吧啊a=2 b=- 2时候再变成f0。这fa的值就代表f2 FB的值就代表f负二。

它减六。是吧，然后这个f负二知道了啊，就剩一个f0和f2了，我们接下来其实咱目标把f0解出来就行了。是吧，在在知道f0哎f2就可以写出来f0怎么呢？f0就让a和b都等于零。a和b都等于零，这个变成f0。这要等于f 0+f零。减六是吧？然后这样推出f0的值。正好就为六。这样就得到这个f0的值啊，

这样就得六啊，这个写好了是吧？好f0=6代到里面去，那这个基本就OK了啊，这个六等于个f2。那f负二就相当于12再减六。是吧，然后这个f2的值，我们就可以解出来。这样就得到f2的值就等于个零。正确答案应该选择a啊选择a。当然，这里还可以让你求这个f4的值啊，或者f几的值都一样，那f4的值，

这时候你怎么做你知道吧，如果让你求f4的值。而f4的值就让a=2 b=2，比如说我们在退步讲那求f4的值f4的值，那让a=2 b=2 a=2 b=2，这就变成f4了。l4，然后a和b都等于二就等于二倍的f2。减六啊f2刚才已经求出来是零是吧？f2的值正好为零嘛？f2值等于零带到里面去，带到里面去，正好就等于负六。这样写好了好吧，这他的方法就写出来了，

好看这个是不是听懂了啊？要掌握它的做题的要点。所以做这些题的时候，大家呢，要注意我们呢，就灵活观察，不管让你求f2也好f2也好，还f4啊f6啊，就这类情况，大家呢啊，一定要通过它所给的这个条件呢。来进行变化，取相应的值来进行分析，就可以得到它的答案。啊，

接下来咱们来看一下，第六个就是反比例函数，特殊函数里面反比函数，反比函数形式就是。y等于s分之k，当然这个k呢是不为零的，它的一个比例系数。反比函数，它图像呢？当k大零的时候，它在一三象限，它是一个双曲线，它关于原点对称。啊，也就说这个k如果大于零的时候。

它这样的，它反比它的图像在一三象限。啊，如果k小于零的时候。k小于零的时候，那正好在二四象限啊k小于零，它正好在二四象象限啊，这是它的这个思路。好，那接下来咱们来看一下啊，这个题那m和m分之一是反比函数上面一点，其实在这道题。是吓你的，一个纸老虎，其实这个n方减2 n- 1啊，

这个那别管它是吧，别管它，大家知道。大家知道这个系数k这个k其实就等于s×y。大家发现一个是m，一个是m分之一，所以这两个相乘相乘相当于k就为一知道吧？k就为一所以说这个反比函数其实就相当于什么？就相当于y等于s分之一了。知道吧，这个n就别别别管它，知道吧，其实这道题相当n方减2 n- 1，它正好等于一这个n呢就。你就别解它，

因为这里又没有问n的值。对不对？他又没有问n，所以在这里面。我们呢，直接可以看出它这个反比例函数，这个系数kk呢，就等于x坐标乘以y坐标，所以这个k的值正好等于一就写好了。写好写好以后，那接下来它的就是y等于s分之一，那则此图像。这是图像与直线y=-s+BB的绝对值，小于二的焦点个数，那么求这个焦点大家可以用代数法，

也可以用几个法代数法，有联立方程，然后看它的。根到底情况什么样的？如果它要有根就有焦点，如果没有根就没有焦点，所以说这个代数法咱们说一下代数法。代入法就把y等于x分之一和这个负x加b的绝值值给它联立一下。连在一起连在一起，然后把它整理成关于x这个方程，然后都乘以x都乘以x以后就变成了。啊一=-x^2加上b的绝对值乘以x。那么两边都乘以x都乘以s，有一=-x^2加b绝对值乘以x，把一项移过来s平方减b的绝对值x+1正好等于零。

好，这样的，这样我们看它德尔塔好吧，德尔德尔塔等于b的平方绝对值的平方绝对值就不要了，然后减四。减四那这道题目说了b的绝对值小于2b的绝对值小于二，那说明b的平方就小于4b的平方要小于四。啊，那说明啊b- 4又小于零。b演示了小于0b，演示了小于零，所以当然选当然小于零，它说明它就是无实根，无实根就无交点。五焦点不际上正确答案，

应该选择a啊，正确答案选a啊，它也没有交点。接下来咱们也可以看几个法。解法就得会画图，刚刚咱们讲了y等于s分之一的图，大家会画它的图像，在一三象限y等于负s加。b的绝对值，这个相当于是一条直线，斜率是负一一条直线好，接下来我们画图来进行分析和思考，画一下图。好，先画这个反比例函数，

它的图像。是y等于x分之一它的图像。然后接下来我们再来看啊，这个y=-s+b的绝对值，因为它b的绝对值正好等于二，我们看相看相切的时候。相切时候，那这个焦点正好一点是吧？这个这个焦点啊焦点是吧？因为y。y=-s，它斜率是要负一嘛？啊，斜率正好是斜率，正好在负一这个点。

是吧，然后这块儿我们可以先看它，先看相切的时候，相切的时候它一定要过一点。过一点，所以它一定是加二。零点加二是吧？零点加二，然后这边相切的时候。我们先看相切手。那这个点肯定是负一负一。是不是啊？复习复习复习的话，那这个。啊，

就可以写出来是吧？负一负一。y=-x- 2。是吧，然后这块儿就是说这块儿就是。二这块就是负二。啊，看这个明白没有是吧？这样的。好，那这个一点一点怎么求出来的？大家要知道啊，一点怎么求出来？因为它这个。斜率正好负一嘛。

其实这样负一也就说这个横坐标和和纵坐标，它应该相等。啊，应该应该相等的话，也就说这个坐标跟这个坐标它一样一样化，然后呢，让xy相等相等的话不是一嘛？一跟一嘛，是不是这样就找到了好吧，然后这个呢相等这都是负一和负一是不是？然后这时候呢，它的这个这个这个是相切的时候。相接那现在呢？他说它b的绝对小于2b的绝对小于二就相当于是它这个直线呢啊，截距呢，

应该介于这两条线之间，这条线之间呢，肯定就没有交点了。是吧啊，这些线这些线跟这个。反比例函数是没有交点的，所以这些答案也选择a你画图做也可以好吧，看几何？

		自动登录	找回密码
密码			立即注册

025.24-顿悟-专项五-函数方程不等式-题型3

浏览过的版块