002.24-顿悟-专项1-练习（下）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 06:06:35

好，接下来咱们看第九题，这个题满足不等式，它消零的x的取值范围到底多少？好，那这道题我们可以观察x系数呢，是不一样的。啊，那这道题，而且右边呢是一个零，我们就想到了平方法，当然这道题也可以用特值排除选项法都可以好吧，所以大家呢？这个技巧也可以用特值排除选项，这个技巧咱们讲过啊，

特值然后验证。排除跟特值排除法一般对于问题纠结题，那么效果呢？会好一些。好那么例外，这道题当然也可以采用分段讨论法。分摊讨论的话就稍微麻烦点儿，分摊讨论就一个数轴搞定，所有好这分摊讨论法。那么还可以，什么还可以图像法？还可以用图像法啊，用图像法来画的话就画出y=1个x+1-2x-3绝对值。画的它的图像就可以了好吧，这是它图像法，

当然这道题最好的方法是这种平方法。这个方法平方法，因为把移项，因为这正好是零移项，用平方处理要简单，所以x+1-2x-3。然后小于零，我们可以把它变成。x+1小于2 x- 3。这个绝对值，然后变成这样以后，然后两边平方处理。平方完后啊，因为右边这个x系数大，所以把左边移到右边来，

所以变成2 x- 3它的平方。然后减去x+1^2要变大一点。是吧，所以两边平方把左边给它移到右边来，平方平方法用平方差公式就可以得到我们想要的结果。平拉共就等于两个相加乘以两个相减，两个相加就是3 x- 2，那两个相加3 x- 2。然后两个相减。啊两相减两相减的话就是x- 4。然后大于零，大家注意大于它取两边，这样就可以写出来答案，所以它的解集就是x小于三分之二，或者说x大于四。

好，那么这些答案应该选择的是e选项，答案就求解出来了啊，这是它的做题方法和思路，考试时候大家呢，用平方法做比较简单。好，各位学霸，大家开始加油了，各位学霸，大家要开始加油，比如说把小于零改成一个小于一，大家看会不会分析？和思考是吧？所以在这里面大家呢，

要会注意它的这个方法，比如说把这个小小零改成小于一。各位学霸，加油！大家比赛，各位同学比赛了。就改成x+1的绝对值，减去2 x- 3的绝对值啊，如果把这地方要改成小于一。就是它的解集。开始比赛，听课同学都按照按暂停键，然后呢，开始做，做完后然后再听老师讲解的答案都在纸上做一做啊。

好，那这道题大家可以用分段讨论法做是吧？所以大家呢啊，可以用分段讨论做。好分段讨论这种方法，做自己画个数轴，一个数轴搞定所有啊，分段讨论做。这道题平方法就不适合了啊啊，如果要把它一项一贯两面平方越整越麻烦，知道吧，越来越复杂，所以说平方法就不适合了，所以平方法它只适合于这个。常数为零的时候，

然后接下来我们可以用画图法，所以老师讲这个的目的，让大家掌握画图它的方法思路到底怎么画？大家看看画图法啊，这个题咱们就采用图像法。好图像法看好画出y=x+1-2x-3的绝对值。y=s+1-2a-3的绝对值。y=x+1-2x-3的绝对值啊，这样的。好，那接下来咱们来看一下它的这个思路好吧？好，那么第一步先找点负一一个点。还有一个二分之三，一个点。

啊，所以负一个点啊，二二分之三一个点啊，负一个点二分之三一个点。然后当这个x=- 1的时候，算一下y的值x=- 1的时候y正好等于负五。所以x=- 1带到里面去。y上的正好等于负。好，然后这是负。然后x等于二分之三的时候。I等于二二分之三的时候，它算的等于二分之五。虽然等于二分之五，然后两点连线。

两点嗯嗯，连线好，那这个就是中间的表达式，这个写好了好吧，中间表达式。然后因为这中间是减号，然后x系数前面是一，这个是二，那么通过减号的运算。一减掉二一减二，咱们讲过，如果系数运算呃，运算完它的负的它负的两边往下画就行了。对两边都往往下画，这样就可以了啊，

两边都往下画好，那这样话，如果它要问它最值，我们就可以求它，最值就是二分之五最大值。它没有最小值。啊，没有最小值好这画图的三步，第一步找点，第二步连线，第三步两侧的趋势看看。好，那接接下来，接下来咱们再画小小一小小一，然后再找y等一这条线。

y=1这条线接下来重点来了，要会找焦点，很多同学不会找这个焦点到底多少？找焦点要看表达式，注意最右边表达式最右边这个焦点，每个绝对值里面都是正的，直接把绝对值给它砍掉就行了啊。所以这个焦点这样把绝对值直接去掉，就变成x+1-2x+3。然后让它等于一，这样就写好了好，这是它的这个数值答案就可以求解出来好吧，所以这样算出来s数值就得的是三。啊三然后呢？大家呢？

就可以写出它的结果。好，这个s得到就三。大家简单解一解。然后接下来看左边这个焦点，左边这个焦点是在中间这一段儿，中间这一段儿的话x在负一到二分之三哎，到负一二在二分之三啊，这个点。这个焦点，这个焦点的话，那么第一个绝对值是正的，第二个绝对值是负的是吧？第一个绝对是正的。第二个绝知是负的。

然后这样x我们就可以求解出来啊x就可以解出来它的数值答案呢，就很容易就解出来了。好，那这个是s解，正好等于一。来解出来，它正好就为一。好，那这样就写出来答案了，好，那这看这一块儿啊，这个值对应的x值正好就为一，所以它解集。解集就是一到三好看，各位学霸是不是掌握？

是不是掌握了？是不是做对了？好吧，看各位同学对一下答案好，这是它的做题方法和思路。好，接下来咱们看第十题，这个题关于s的方程啊，那么它等于s根的个数到底多少？那这道题啊，发现又含有。又含有根号儿，又含有这个绝育值，我们一个个来梳理啊梳理，大家遇到这种题不要慌，

其实。看起来越复杂题其实越好做，就有时候看起来越简单的题啊，发现越不好做，知道吧，所以这种人看起来唉很复杂，你看左边这一大堆绝对值，还有根号。然后里面还有一个绝对值，右边还有一个x，你看看起来很可怕，其实大家一点儿点儿梳理，你可以发现这道题很简单的。大家可以发现，它这个肯定是大于等于零的。

为什么大家知道非复性是吧？所以在这里面这有非复性。啊，非物性就这个绝对值是大于等于零的，这个绝对大于等于零这个根号，它也大于等于零这个根号，它也大于等于零，所以两个都大于等于零，当然大于等于x。就大于等于所以这个隐含着s大于等于零好，如果s大于等于零的时候，那么这时候呢，这个绝对值我们都可以把它去掉了，需要就一减x。加上根号下x- 2=ix是吧，

然后在这里面去掉以后，大家发现这个要保证根号有意义，根号有意义的话，要保证s要大于等于二。是吧，根号得有e呀，根号得有e嘛，根号根号得有e变成这个x- 2。这个要保证非负的嘛，所以I大等于2I大等于二，那第一个绝约值又可以把它去掉，所以这个绝约值一会儿就去没了，发现没有？所以一减s绝对值变成x减一的绝对值。好，

这是s- 2=x，然后这两边s又抵消掉，抵消掉就变成根号x- 2，正好等于一。等于x呢，就只能就为三了是吧？x只能为三那只有一个根。只有一个根，这个答案选b啊，所以这道题其实考察非物性看起来很可怕，慢慢儿把绝对值都慢慢儿去掉了，去掉的话，这道题答案就做出来了。很简单，接下来咱们看第11题这个方程，

它解之和到底多少？所有解之和所有解之和，它这个a给的是大于一的a给的大于一，这道题可以采用分散讨论法，也可以采用这个画图法做都行好吧？所以在这里面，大家呢，可以采用分散讨论法，也可以采用画图法啊，都可以画图的话，就里面给它折一下就行了，这个咱们前面也给大家做过是吧？就首先要分的，它的x大于等于2x大于等于二的时候就变成了x- 2再减一，就是变成x- 3=a。

等于那么x。减三就等于正负a。正负a那么x呢？它正好呢，把三移过来，三移过来，三+a。还有一个三减a。唉，三减，但大家注意，由于a是大一的a，大一a大大一的话，这三减a它这个就要舍掉好吧，因为a要比一大a要比一大三减a，

它就小于二了。三减一小于二，所以这个数呢，要要舍掉的。啊，这个数呢？是可以的是吧？这个。可以的，然后s要小于二，而小于二的话，那这个绝对值去掉就变成二减x减一，正好等于一个一减x绝对值。也可以写成x- 1绝对值，它等于a好，

那说明x- 1应该等于正负a。啊，正负a的话，那么x一个根是一加a，还有一个根是一减a。啊一减a好，由于a是大于一的a大大于一的话，那么这一加a它又超过这个二了是吧？超过二了，所以说。前面这个这个根要舍掉的。这根要舍掉，那它取后面这个根取这个一减a这个根，那么答案就可以写出来，所以它的两根。

两根角s=3+a。还有一个x=1-a，就在跟着和跟着和，正好就等于四，这个答案就选择e选项，答案就求解出来了好吧，所以这道题。啊，咱们前面做题是a大于零，小于1a，大于零，小于一，它就有四个根好吧，四个根四个根可以求它所有解之和。好，

这道题咱们前面有类似的这个题目，看是不是懂了？好，接下来咱们看第12题，这道题三个句子，三个句子的话，首先咱们看能不能变成三角不等式，所以这道题呢，你像平方法呀，画图啊，或者说。分层讨论啊，都比较复杂，所以这道题考点大家可以看的，就是三角不等式用三角不等式来分析。

三不等式来分析，我们可以看一下这个2 m- 7=m- 2，加上m- 5。好，我们说了，先看哪边儿先看有两个觉知那边儿啊，先有两个觉知这个看成a这个把它看成b。这个2 m- 1正好是a+b是吧？就a+b，所以说你可以把它看成是a+b的绝对值。等于a的绝对值，加b的绝对值。好a+b就等于a的绝对值，加b的绝对值，然后这样就写好好吧，

这是它的方法，看是不是懂了啊？有a+b的绝对值等于a的绝对加b的绝对值。然后这个它的乘积条件正好是AB是大于等于零的是吧？AB是同号，所以这道题就可以推出什么推出这个m- 2乘以个m- 5是大于等于零。大于等于零，就说明m小于等于二，或者m大于等于五，当然这个也可以用特值排除法啊。特殊排除法，比如说m，到时候你取二呀，或者说取三呀，反正就这这几个值啊，

你带到里面去排排除呗，排除这样也能找答案也是可以的。好吧，然后这道题正确答案就选择b选项。好，这是它的做题方法，思路，看是不是明白了？好，接下来咱们看这个题s在二到五a的绝对值等于五减SB的绝对值等于x减二求b减a取值范围到底多少？这道题呢，是利用三角不等式来求它的取值范围是吧？所以就利用三角不等式。啊，求它的取值范围。

另有三项不等式求取值范围好，我们知道这个b-a它的绝对值小于等于它的绝对值相加。大于等于这个b-a的绝对值相减。对吧啊，相减好，那接下来我们可以看b的绝对值，加a的绝对值就b-a。小小于等于然后b的绝对值加a的绝对值正好就是x- 2加上。五减x，这正好就为三。是吧，就为三所以s-2+5-s，它正好就为三，然后大于等于大于等于b的绝对值减a的绝对值，这也正好就是2x-7。

是吧，就2 x- 7右边不用管右边，它正好是一个常数，右边正好是一个常数，我们就看左边了。是吧，就看左边。左边因为求b-a的取值范围，求b-a的取值范围在这里面，一定要找2 s- 7的最小值，不要把它理解成恒成立啊，有同学说这个b-a的绝对值大于它，是不是恒成立，恒成立的话？那应该大于它的最大值啊，

所以就有同学找2 a- 7的最大，那这个错了，应该找2 a- 7的最小值，2 a- 7当x在二到五的时候，它最小值是多少呢？我们可以简单的画一个图，或者说简单的判断一下，它最好是可以是零对吧？就二二s减七，这是二分之七，它的图像呢？是这样的。是y=2 x- 7，它的值图s正好在二到5s，是从二到五。

也就是它正好是图像这一段儿。好，这这一段儿好，这一段儿的话，大家可以发现它最小可以取到零是吧？最小它可以取到，也就说这个2 s- 7。在x在二到五的时候x在二到五的时候，它应该是在零到这个一，因为把五带到里面去或者二带里面啊三。啊零零到三零到三，所以它这个零到三零到三的话b-a一定要取rs- 7的最小值啊，最小值。不要理解它的恒成立为什么呢？一会儿我会给你解释的。

我给你解释，然后比如说这道题，如果如果要改成x4到五，先把这些答案写好啊，答案写答案就零到三，应该选择e选项。啊，选择e选项，然后这道题，这如果x要改成x在四到五。唉，这四到五这道题你就不能选零到三了，它取不到这个零了，所以s如果四到五的话，四到五的话，

那么2 x- 7。应该是在一到三。因为如果x要在四到五，大家看图从四到五的话，那么四到五四到五的话，那这个的最小值就x=4的时候它的一。所以这时候呢，它的范围是在一到三一到三那b-a的取值范围。b-h的范围，那么应该再从一。到三因为要取左边的最小值啊，左边最小，然后再取右边的最大值好，为什么要取左边最小值这个很多同学弄不懂，因为咱们求的是什么？

其实它可以起到的取值范围就有可能的，取值范围不是必然知道吧，不是必然它有可能我跟你。呃，换一个这个这个方法来进行说，你就懂了。比如说啊，咱们这个乙同学的成绩大于等于甲，小于等于丙。啊，咱们比如说三个同学的成绩。三个同学成成绩，三个同学成绩，那么乙呢？是大于等于甲，

小于等于丙啊，这乙的值大于等于甲，小于等于丙。啊，这是乙的。这个情况好，那咱们知道什么知道这个甲的成绩是？65到70分。啊，然后丙的成成绩丙的成绩是80到95分。80到90问乙同学，他的成绩可能的范围是什么？成绩可能会考多少分？注意它有可能取到的范围，知道吧？

所以这时候呢，不要把它理解成恒成立啊，就这一点一定要弄清楚。有同学理解成，乙大于等于甲恒成立，但是甲恒成立就乙。有同学说，乙一定要大于。它的最大值。这个就错了，而且还有同学理解成乙小于等于丙恒成立，对吧？这不是恒成立这人家问的是取得范围，取得范围是有可能取到的范。范围知道吧，

有可能的产能范围是不是这个乙的范围？如果听懂同学，大家都说一下乙的范围应该多少乙的范围，它有可能考65分，有可能考95分，对吧？也就乙的范围。因为乙的范围，比如说当甲考65分的时候，乙也考65分，这种可能性是存在的呀。是吧，这种可能性存在，然后丙考95的时候也考95分，是不是？

所以它这个呢是这样的啊啊，如果这个例子你听懂了，那这块儿你就明白为什么要取左边的最小值，取右边最大值，所以说。这个乙的范围。啊乙的范围一定要小于等于丙的最大值。大于等于甲的最小值好吧，这个原理这个思想一定要弄清楚，跟那个恒成立不一样，如果要改成恒成立改成，比如说乙。恒大于等于甲是吧？要恒成立就这个是恒成立，恒成立的话，

那么乙就得大于70分了。大于等于70分乙呢？要小于等于丙恒成立乙就得小于等于80分知道吧？所以说在这里它不是恒成立，这是它求它取值范围乙的范围是这样的，如果改成恒恒成立。那这一块儿别理解错了，不要混淆了好吧，这要看清楚题目的要求，人家问的是恒成立还是问的是取值范围，取值范围就代表是有可能我取到的数值都算。呃，体制范围是吧？这是给大家强调的啊。好，

第十四题这个题呢？主要考察x分之x绝对值，那肯定要呃讨论对吧？这道题也没法画图是吧？所以这道题就采用讨论法分段讨论就行了。那就x大于零，因为x不能等于零啊，因为x在分母上，它不能等于零x大于零x大于零的时候，那这个表达式就变成x减x分之四。就等于一个正三。是吧，所以x大于零的时候，那么这个表达式可以化简化简完后，然后两边同乘以x把它移项。

变成x平方减3 x- 4=0。是吧，所以这个方程的根就可以求解出来一个负一，一个正四。但这个正四呢，要舍掉啊，不负一要舍掉。因为它这个s要大于零是吧？所以x要大于零的啊，所以说这个负一是要舍掉的，这个就就不能要了。好看s小于零的时候。啊x小x小于零时候变成负s减s分之四等于一个负三。是不是这样的，所以x小于零的时候把绝对值去掉，

变成这样的，然后两边通成一个负号，变成x加x分之四等于一个正三。啊，等于正材等正正啊，在这里面大家呢，就是两边同乘以负，然后再乘乘以分母乘乘以分母就变x方减3 x+4。它等于零。它等等你，等你大家可以发现这个是无实根，其实刚才做到这也可以发现是无实根，因为x是负的x负的话，左边是负的，右边是正三，

所以它这个肯定是无实根了。对不对？所以说这个就无实根。啊，所以它这个就是无实根。50根，所以说中上它只有只有一个根。综上，就x只能取等于四这一个根是吧？x=4这一个根这个答案应该选择b选项。咱就求解出来了，那咱就选择b二第二十三题，它的做题方法就是分段讨论，而且遇到x分之x绝对值这种特征。复旦讨论啊，

就更更快一点。下面我们来看第15题，通过这个题就是利用绝对值定义来化简绝对值就行了，因为a是小于零的，对吧？所以由a小于零。我们就给它x就小于等于负一，因为它这个绝对值a的绝对值分值a它变成负一了，所以这样话啊原式。我们就可以化简出来，化简出来，然后x+1的绝对值，因为x小于等于负一嘛x小于等于负x+1小于等于小于等于负x- 1。所以可以把这个绝值给它去掉去掉，变成负还是减一那s小于等于负1s小于等于负一这个绝值里面，

它也是负的。对吧啊，也是负的负的，然后再加个负号就变成正的了。然后这些答案就得到是负三，这个比较简单，这些答案就选d好吧，所以这就考察已知x范围来去掉绝值化简，这种绝值定义就可以了啊。这道题比较容易。好，接下来咱们看第19题，你看这道题就刚刚咱们讲过的，如果他要出一个重新判断题，咱们就不能够呃取特值了，

注意重新判断特质，不能证明成立啊，不能说唉，我取个值正好能推出题干。就说明这个条件一定成立，就特指不能证明充分是吧？很多同学在考场上犯这样错误。是吧啊，看看说的是不是你，然后呢，取一个值一带到里面去，发现能推出题干。就认为它充分是吧？其实呢，它这个。

重新判断题只能用特质证明它不充分，知道吧？证明证明它不充分，所以说这在这里面大家呢？这道题重新判，咱们讲过重新判定还是优先化简题干把题干化简完，然后再看。啊，它是不是成立是吧？所以在这里面大家呢，应该要要注意重新判断题，它的一个思路和方法是吧？重新判断它的考试内容。好，那这道题咱们先化简题干吧，

化简题干题干它一减去绝对值s×1+s大于零成立，那这道题怎么办？这道题可以分段讨论做。是吧，分段讨论，还有一种方法，还有一种方法就是这样的，与两块儿相乘大于零，要么两都大于零，要么两都小于零，这样做也行。是吧，所以这道题我们来说一下，这是特值法给大家进行强调一下，重新判断题。

条件充分判断。条件条件充分，判断条件充分，判断的话，那么它的这个特值法，它的使用情况是吧？就特值法。就不能够取正例。证明充分。好只能取反例。啊，证明不充分。啊，所以说不能取正例证明，充分只能取反例证明，

它不充分啊，这是它的这个内容啊，接下来咱们来看一下它的这个方法，这个这道题。这道题就是咱们的由题干先进行化解。好题干题干的话，我们可以采用分段讨论法。分段讨论，分段讨论就x大于等于零的时候。啊，分完讨论咱们就可以一个数轴搞定是吧？直接画个轴就行了，不用跟它啰嗦。然后一个轴搞定所有，然后s大于等于零的时候s大于等于零时候，

这个绝对值直接把它去掉啊，所以说s大于等于零的时候，那么在这一段儿的时候。那绝对值直接去掉就一减x乘以一加x是吧？所以左边变成一减x了，这绝对值去掉。乘一加x，然后这正好就等于一减x平方大于零一x平方大于零，它就可以得到x。呃，平方是小于零的x平方，小于1x平方，小于一就x应该在呃在在这个负一到一，但负一到一的话。还要保证它大于零，

是不是啊？所以在这里面大家发现x=0的时候，它也成立，所以说这个x就应该大于等于零小于一。这样就行了是吧？然后咱们再看s小于零的时候这一段。而小于零的时候，这条注意零这点要验证一下啊，零这点反正也也成立放在这就行了，咱们再看s小于零的时候x小于零的时候，这变成什么变成一+x。乘以一+x大于零，是不是大家可以发现这个x小于零的时候？啊，那么得到这个值是吧？

得到这个值这个。绝对值去掉变一+s乘，以一+s大于零，这个写好了，要正好变成一+s平方大于零好，一+s平方大于零，一+s平方大于零，那正好就是x呢，只要不等于负一就行。只要这个解着s不等于负一就可以了，所以分段讨论一个数轴搞定所有是不是，所以在这里面大家可以。得到什么？得到就是。它的范围就是x啊，

那么这个只要是不等于负一的，全以实数，它都是大于零的，所以说在这里把。并在一起啊，把它并在一起，并在一起就是x小于一，且x不等于负一。把它并在一起，就它这个就这个绿色的范围，它都是可以的，知道吧，绿色范围都行，只要把负一点点去掉。这里有s小于一。

且s不等于负一都都行，所以在这里面大家可以发现条件，一条件一这个是充分的条件，1x小于一大于负一落在这个范围内部是成成立的条件s小于负一，它也成立也在这个范围内部。所以咱们讲过小推大小范围的推大范围的，知道吧，所以条件一和条件它都是成立的，所以这样答案就选择d选项。好，这个我写好了，这个呢，就选择d好，这是它做题方法思路，看这个是不是听懂了啊，

它的考试要点。好，那通过这道题，大家就采用分段讨论做，那或者这样做也行，另外一个方法，另外一个方法，那么题干呢，我们还可以这样去解。因为大家知道两个相乘大于零，要么两个都是大于零的，两个都都大于零，如果第一个括号儿大于零，第二个括号儿也大于零，第一个括号儿要大于零，

说明s绝对值应该小于一。第二括号儿也要大一点，第二括号儿大一点就s要大于负一。好，或者说是第一个括号。负的第一个括号，负的第一个括号，负的就是啊，一减s绝对值大于一它它这个是负的是吧？这个是负的，那后面这个它也是负的。也负的负的s小于负一。好，那把它这个第一个节点，第一个节点，

大家知道这个就是x小于一大于负一了是吧？x小于一大于负一。或者这个找它交集时候，交集有x小于负一。啊，两个并在一起，两个并在一起，这个负一正好把这个点去掉就可以了，所以就x小于一且x不等于负一。这样就可以得到答案是吧？这样求出来了，看这个方法是不是听懂了，这是它的考要点，看是不是明白了啊？接下来我们看一下17题。

好，那这个不等式s+y的绝对值小于x-y绝对值成立啊x+y绝对值小于x-y绝对值成立。好，那么第一个s小于s绝对值且y等于负的y的绝对值好，这里主要考察什么考察咱们讲过的三角不等式来分析。是吧，当然这个也可以用平方法做，也可以用平方法，也可以用三角不等式啊，首先咱们看一下题干它的等价条件。x+y小于x-y，它的等价条件就xy应该是异号的。sy 1号这sy 1号那怎么去证明可以用这个平方法？平方法，平方法，

你一贯用平方差公式或者什么的都可以推出。xy是小于零的。对吧啊xy小小于零。好，那接下来咱们来看一下条件一。平方1x小于x的局域值，大家知道x小于x的局域值就可以推出x1定是负的。对吧x1定是小于零的。第二个y等于注意负y的绝对值，负y绝对值可以写成y的绝对值。是吧，负I绝对值，它可以写成y的绝对值。啊，这样的好，

那这样就可以推出y呢？是大于等于零的。是吧y大于等于零。好，那这个条件一它不成立原因是什么？不成立原因y=0的时候是不充分的啊，所以在这里面大家注意，所以当y=0的时候。它这是不充分的。好，我们再看条件二。条件下xy小于xy绝对值，其实大家可以把xy看成一个整体，知道吧？看成一个整体。

看这个整体的话，然后在这里面啊套第一个这公式其实就可以得到sy。应该是负的负的，它正好跟题干呢，是完全吻合的，所以条件上既充分也必要啊，既充分也必要，所以它既充分也是必要的。所以条件二是充分的条件一不充分。啊，正确答案应该选择的是b选项，答案就写好了，好，这是它的知识点和内容，看是不是懂了？

好，那通过这个题，我们要给大家总结一下好吧，各位同学，大家拿出小本本要开始做笔记了。好就x绝对值等于x它乘以条件x绝对大于x它乘以条件x绝对大于等于x乘以条件。x绝对小于x，它乘以条件x绝对小于等于x，它乘以条件好x绝对等于负x，它乘以条件。s绝对大于负s乘以条件。s绝对大于等于负s乘以条件。s绝对小于x的乘以条件。x的绝对值。小于等于x，

它成立条件。好在这里面大家呢，都思考一下好，各位学霸们。先自己写，写完了，然后再再对答案加油，写完，然后再往下看啊，所以视频按照暂停键自己先写一写。好，那接下来咱们公布答案，第一个就是s大于等于零。d2s小于零第三个任意实数。我说是恒成立。

啊，第四个这个是空集，这个是x大于等于零就第四个最后一个跟第一个是一样，知道吧，最后一个跟第一个是一样。然后接下来负s负s就s小于等于零。x大于零的，这是权力实数r这这是空集。啊，后面这两个少了一个负ix啊好，那这空集，然后这个跟第一个它一样x小于等于。小于等于零。好，大家对一下答案，

看是不是写对了？好了，这都都写好，没有写好，然后再看s+y的绝对值和s-y的绝对值好吧，就x+y绝对值。等于x-y的绝对值，如果这样大家用平方法做就行了，知道吧？平方法，所以这个就相当于x×y就等于零。好，如果x+y绝对值大于x-y绝对值就可以得到x×y大于零。如果在这地方要加上等号，那这地方也加上等号就OK了，

知道吧？好，如果x+y小于x-y绝对值。就推出xy是小于零的，如果这地方加上等号。这地方也加等号就可以了好，这是给大家进行讲的，它这些这个题看是不是明白了？那拿着小本本把它记好。接下来这个题是考察它这个不等式，它对任意实物都成立，都成立就恒成立呗。恒成立，咱们先看题干好吧，先找题干的等价条件。

题干通过这里要告诉大家什么问题啊，它的最值跟这个系数二分之五x没有关系，知道吧？跟这个二分之五只要是系数一样。它最值呢，是不影响的，懂了吧？不影响，所以在这里面它大于a，大于等于a恒成立，只要左边的最小值，它大于等于a就行了。大就取小嘛，还记不记得最小最小值正好是九是吧？最小值就一个负四，

一个正五，所以呢，画一个数轴。它正好是九九的话，只要大于等于a就行了，就在这里面，大家可以发现啊，那么也就说a只要小于等于九，它都充分都充分，那小最大嘛调一。a小于等于五落在a小于等于九范围内条件儿a在零到八，它也落在它范围内，所以在这里面它呢？这个都是充分的，所以两个条件都充分正确，

答案就选d选项，然后通过这道题给大家进行，把上面那个公式再说说，如果在这个x前面加上一个相同的系数k。这个是不影响的，知道吧啊？不影响的，所以说通过这道题可以给大家进行写上就kx。减a+kx-b。啊，它仍然是有最小值。有最小值是AB之间的无最大值。它最小值是AB之间的距离，当然这个k呢，是不能为零的。

k不能为零是吧？好，那这个它这个情况k呢？它是不影响的，比如说k都取二都取三都取四，它最小值呢？是不变的。啊，它最小，值不发生变化，它变的是什么呢？变的是取最小值时x的范围。发生发生变化，知道吧？取最小值是x范围发生变，

其实你把这个呃ks把它看成个t，你就明白了。ks把它看成t就变成t-a，加上t-b嘛是吧，然后t的范围。kk如果发生变化，只是影响x的范围啊，取最小值时候x取的范围影响其他呢，是不影响的好吧，这是它的方法思路。好，接下来咱们看这个方程，它跟的这个情况有无数？正根还要无数，还得有正根。

是吧，好，那接下来咱们画一下图好吧，画一下它的图。这个画图做当然，你可以用分段讨论做是吧？也可以用绝对几个亿做，那这时候我们画一个图画出y注意y=x-a，加上x-b。它图这个咱们前面讲过，它就像一个这种平底锅，这样的一个情况。是吧，就这样的一个情况，假如一个点是a点，

一个点是b点，这样的一个图好，如果y=x-a-x-b。好，那它的图。它说大概就是一个z字形，当然当然，这些数轴不画了，它的z字形有可能是这样的z字形。也有可能这样的zz字形是吧？反正就看它到底左边是最大值还是右边最大值了好吧，就看它这个这个情况就可以了。所以接下来咱们来看一下这个题，这个题的话，它加号加号加号的话，

那我们来看它的这个取值情况。好x+2加上。x- 8。画一下它的它的图，它的图呢？就一个点呢，是负二。一个点正八是吧？一个点负二，一个点正八，然后在这里面它的最小值正好都是十。它最小值就是十这样的情况是吧啊，一个负二，一个正八，它最小值正好就为十。

好，这是它的图，它的图，它要说它要等于a有无数正根啊？有无数正根，然后在这里面大家可以发现。好，这个a它其实呢？就在这儿啊，这个y=ay=a，它就是有无数正根，你看正根有无数多个？当然这时候它有无数多个负根了。是吧，反正总之它就有无数多个根，

反正它只要充分就可以嘛啊，充分就行了，所以这里面大家呢，就可以看它的这个数值。是吧，所以大家发现条件一呢，不太行，条件一它是没有根条件二它这个也没有根是吧，所以条件一条件一二它这下面它都没有根。好吧，都没有根，所以说一跟二都不行。然后联合也没法联合，因为两条线矛盾也没法联合，所以选择e是吧？

两条线是无法联合的，就选择e这样写好。啊，这是它的这个支点。好，那各位学霸们，大家准备好了。好把它改一改。把这个。这个a放在里面。a放在里面，然后这时候应该怎么做是吧？把它改成x+2+x。x-a=8，它有无数正根。

啊我我我是这个。不这样，那只要它最小值等于八就行，你画完图嘛，画完图，画完图就可以看是不是，然后它的这个数值。是吧，要产生无数正根，无数正根啊，它这个等于八嘛。是不是然后然后这样的一个一个情况？是吧，所以在这里面大家可以看，先按照最小值好，

各位学霸们都抓紧思考。它最小值最小值正好是a+2，它等于8 a+2，等于八推出a的值，一个是多少呢？一个是负六呃负，11个是正六。对吧，一个负十，一个正六。好，这时候给大家设置一个陷阱，大家还记不记得给它设置一个陷阱？好，这里面设置一个陷阱，

如果a要负十和正六，我们看a要等于负十的时候。a要等于负十时候，它是这样的一个图了。这是负十，这是负二，然后这个是。十它这样的一个图。啊，这个是八是吧？最小值是八？这要是八，它要等于八。这是y=8大家发现。它是有无数多的根，

但是没有正根，看到没？是有无数多个根呀？它无数个根，咱们承认，但是不是正根，你发现没有？它不是正根。你看，这是负根，所以说这个负十，如果改成无数负根，无数负根a=- 10是没问题的，知道吧？所以这时候呢a=- 10是不能要的啊。

然后咱们再看a=6的时候。再看a=6的时候，大家可以发现这个数学处处都都是坑。看到没AV 6的时候。好a要为六的时候a要为6a要为六的话，那变成这样了，一个负二，一个是六。然后这个是八。这个这个是八，然后这个时候y=8。啊y=8 y=8，这时候确实有无数多个正根嘛，确实有嘛，有有就行嘛，

人人家没说只有正根没有负根，人家负根可以有嘛，负根也可以有，但是人家只要有无数正根，确实有嘛。它只是充分嘛。是吧，所以这个y=8的时候，它这也是有无数个正当然它这时候还有无数多个负根呐，就这一段儿，它有无数多个负数。是不是好，这是给大家强强调的，所以这时候六是是行的，这个十要舍掉无数正根儿。

如果改成无数复根的话，那这个行这无数多个复根，这也可以有无数多个复根？是不是所以你看刚才有同学是不是就做错了，所以看是不是学霸，你经能不能经得起检验，能经得起检验，你就是学霸。好，接下来咱们看下一个题，下一题对于任意都成立，任意都成立，按咱们讲觉着大啊我来说。大你要说小是吧？那么大就找它最小值，

所以我们看题干。看题干，只要它的最小值就2x-1-x-2，它的最小值。大于a就行了是吧？最小值大于a，记住大就变成小啊，那最小值大于a，那接下来如何求？最小值如何求？最小值可以画图法来进行求。另外一点呢，大家呢，也可以验证两个零点，它的数值如果不想画的话，

就验证两个点数值，看谁最小就它的最小值是吧，这个咱们在。前面讲说过I等于二分之一的时候I等于二分之一二x减一减去x减二就等于负的。然后这个I等于二分之一的时候，这个呢？就是二二分之三负二分之三。是吧i=2的时候i=2的时候，这个2x-1-x-2，它要等于个三。是吧，好，那显然这个就是它最小值。这是它最小值是吧？这是最小值啊，

这是啊，找这个最小的啊，而我们前面还讲过另外一个数不不一定是最大值啊，这个原因大家。知道咱们前面给大家分析过的啊，它这个有最小值，因为题目说了有最小值，它一定这个是在最小地方就产最小值。好，如果他画图，那咱把这个题讲完，那这道题那么只只要满足。只要a小于负二分之三。那么就充分那么条件儿，为什么不行？

条件儿不行的原因，它是一个等号，所以这个不行是吧？a得小于负二分之三。提问一可以啊，提问一可以就小推大好吧，提问一是可以的，这个答案就选a。如果这道题要画图的话，图的话，我也可以给大家画一下，各位同学都可以演示一下画图。y=2x-1-x-2是吧？那它图像大家各位同学想想怎么画？它一个点呢，

是二分之一。还有一个点是二是吧？一个点二分之一，一个点是二，当然是等于二分之一的时候带到里面，它是负二分之三。啊当x=2的时候x=2的时候，那带到里面去它三。好，那这两点连连一下就OK了，然后连连一下，连完后，然后这个往上画就行了，两边都都往上画。那两面都往上，

所以它这个点就有最小值，所以它最小值就是负的二分之三。好，那这是它的这个图像的画图方法是吧？它有最小值，而且两边方向咱们讲了怎么画是吧？如果前面系数跟后面系数。然后运算完是正的，它就往上画就行啊，往上画好，这是它的画图的这个思路。好，接下来咱们看21题，它存在实数m，这存在就行。

使得它小于a成立，只要有就行，存在只要哪怕有一个也可以知道吧，只要有就可以。好，那接下来咱们来看一下它的这个数值m加二绝对值加上六减三m绝对值小于等于a要成立。相当于它这个注意，它这个成立，它不是对任意实数，如果这个得改成什么，如果任意实数m使它小于a要成立。那只要是它的最小值。啊，它的小于就变成最大值是吧？小就大啊，

所以注意这道题跟上面题不一样，上面是任意实数。啊，任意x都成立，如果这道题要改成任意实数m，使得它都要成立，那就变成一个恒成立。知道吧啊，恒恒成立恒成立的话，那么这个小于号就变最大值，只要它最大值小于a就行了，最最大值当然这只只不过这道题它没有最大值了。是吧啊，它因为一直往上的。好，

那接下来咱们画个图吧，接下来咱画个图行，可以把这个m看成个x也行，或者说你画m也没事儿，所以这道题咱们用图像法做。y等于m加二注意这个六减三m可以把它写成三m减六绝对值。好，那接下来画一张图。它都记住，只要中间是加号，中间加号，前面系数，不管谁大谁小，两边都往上画就行了啊，只要中间加号。

就中间要求减号的时候，大家要判断一下，中间要减号，如果前面系数大，后面系数小，那么这个就往上画。如果前面系数小，后面系数大，就往下画，如果这两个系数要一样，两边就水平的画好吧，水平画就OK了。好，那接下来咱们来看一下这个题，这个题的话，

那么m=- 2还有一个m=+2是吧？所以一个是负二一个正二。这是m轴啊，这是m轴，然后呢？就是m=- 2的时候m=- 2的时候，它正好是正12比较大的一个数正12。m=2的时候m=2的时候它是四。看下四。好中间呢，连一下线啊，连一下线，然后呢，两边呢都往上画就行了。两边都往上画好，

这样就可以了好，那这个点。这个点是四。这个点大概12好了，这里就画好了。啊，两边都往上画，它要小于等于a有解，小于等于a有解的话，它也就说它它的这个绝知图像在a下方存在图。图像就可以了，等一下我们图像图像啊，咱们画啊，一个这个y=a这这条线只要y=ay=a只要比这四稍微大一点点大一点点。那这个局值图像在呃y=a这条线下方有图像，

就说明有解。是吧，就有解就可以了啊，有解理解的话，那在这里面大家可以看a=4也行AA=4的话，刚好是一个m值啊。所以a=4的时候m它只能取这个二知道吧，所以a=4也行，所以说只要a小于等于四，那么都是。充分的啊，都是能满足题目好吧，都是能满足题目的，都能满足题目在这里面那题，一是充分的。

条件a大于四，这就不行了。a大于四，它这个就不太行了，所以在这里面大家呢啊，要注意啊AA大于四是可以的，对吧哦？a大于四，应该是a大于等于四。也刚才我们讲了，那这个a的图像应该在它上方是吧？a要高啊a要高。如果它大于a，要恒成立啊，如果改成大于等于a，

要恒成立的话，那么这时候它它的a应该是小于等于四啊，所以a大于等于四都充分。就a=4的时候a=4的时候m值只有一个值a，如果大于四，比如说a要在这个位置，它m的取值情况就是这个区间了。是吧，区间所以提供一个条件儿，它都成立。所以呢，应该选择4d选项，懂了吧？好，如果这个题要改成这样的。

改成m+2，加上3 m- 6，大于等于a恒成立。那这时候a应该小于等于四知道吧？a小于等于4a小于等于四的时候，那这时候呢？它恒成立的。好，这样就写上答案了啊，这是它做题方法思路，看是不懂了。好，接下来咱们再看这里面三个绝对值三三，其实右边这个绝对值没啥用，关键是左边。

它有三个整数解。三三种解那这道题大家怎么做？啊，这道题的话啊，你可以由下往上推，因为题干觉得没法化解了，没法化解，你可以由下往上推，条件儿相当于是a等于a分之一，相当于a等于正负一啊。a等于正负一知道吧，你可以把分母的a给它乘过来，乘过来，这a正好等于正负一其他发现a不管等于正一还是负1a的，绝对都是一，

所以说两个条件，其实对这个题而言是等价的。懂了吧啊，这个等等价，所以无论是一还二一或者二。它其实呢，都可以得到这个变成x- 2，绝对值减一等于个一是吧？就一或者二那这个等号右边它都是一。都一的话，那么咱们呢？可以采用分段讨论，由内至外，分段讨论做分段讨论，要x大于等于二的时候。

I大等于二，I大等于二时候就变成了x- 2，再减一就等于x- 3的绝对值等于一。i- 3绝对等于1 i- 3绝对等于一的话，大家知道s=4。或者二是吧四或者二。然后x小于二的时候x小于二的时候里面绝对变成负的变成负的变成二减x减一是吧，这就等于一减x绝对值为一。啊一减x绝对为一，那么x要么为零要么为负二是吧？所以在这里面大家呢啊，就可以写出来，所以当x小于二的时候把里面绝对值去掉。变成二减x，再再减一就得到负一减x，

负一减x的话，我们也可以把它写成什么呢？写成一个x+1的绝对值，它为一是吧x+1的绝对值，它为一，所以在这里面大家呢，就可以写出它的数。数值和答案是吧？所以在这里面就是啊，分摊讨论分摊讨论的话，你把它这个其实去掉。啊，这个这个绝对去掉啊，这个绝对去掉的话应该是。应该是一减x是吧啊，

应该是这个啊，这个是这个是一一减x对不对？es写x减一。然后这个就唯一啊，这样就对了是吧？这样就对了。所以这样就求得x=0或者二，当然这个二的话，刚才已经算过了，二的话就不在第二段了，所以这个二呢，你可以不用写。能写就I=0，I=0，这时候呢，

它有三个解是吧？就是有三个整数解啊，所以说一样一个条件对它来说是一样的，所以两个条件都充分。都算正确答案，应该选择d选项啊，两条它都是可以的。好，那这是这个题，当然这道题还可以问什么时候有四个整数解是吧？比如说难一点什么有四个整数解还记不记得咱们前面？画这个绝对值的绝对值图有印象吧啊，看还有没有印象啊，比如说这道题问什么时候有四个解或者什么时候有？呃，

有两个解之类的是不是？所以这个就是x- 2绝对值减一的绝对值，它的图到底怎么画？是吧，他图的一个绘画，他都在先画觉知里面的图像，知道吧，先把觉知里面图像画着画，在外面呢，整体加觉知，然后把x轴项目图像给它翻上去啊。人家的画图是这样画的。先画绝对值里面图像，所以里面就s- 2绝对值减一，而s- 2的绝对值，

那这样就是二。这样这是y=x- 2的绝对值是吧？好，这样就写好了，然后减一把它图像往下给它移动一个单位。就行了。这个咱们前面也讲过是吧？往下移动一个单位。这样的是吧？往下移动一个单位好，这是这个，然后再外面再加角色，把下面给它翻上去就行了。是吧，把下面给它翻上去。

翻完以后就相当于一个这种w型了是吧？翻完以后的图就这样的一个图。拍完以后的图。啊，这个点刚好就是一。啊，本来这点是二是吧？本来这点是二往下移动一个单位就变成一了，知道吧？往下移动一个单位就变成一了。啊，那中间中间它这个这个二。就有点儿像它对称轴，知道吧？它的对称轴对称轴这个。

对称轴。有个对称轴，所以左右对对称的，然后再讨论这个a的数值a呢，是一条水平线，看什么时候有四个解？是吧，什么时候有两个解？是吧，什么什么时候四个解什么时候三个解两个解，这个咱们都讲过好吧，大家呢要会分析和思考就可以了。接下来23这个题，它说这个数值等于m，它是等于一个常数啊，

它是一个常数。好，那么条件1s大于九，小于十条件2s大于十，小于11是吧？那接下来这道题我们要掌握什么情况，叫偶数个绝对相加。如果要是偶数个绝对值相加。就s在中间两点中间。两个。零点之间时。表达式。然后呢呃，取最小值，这时候它也是一个常数。

取最小值。这时候呢，它也是一个叫做常数。什么叫做常数啊？就跟这个x无关，它就是一个常数，它这个是无最大值。无最大值啊，如果要奇数个绝对相加啊，奇数个。绝对值相加。奇数绝对相加，而在中间一个零点时表示取最小值，而在中间。一个零点。

十表达式。它取最小值。然后呢，它无最大值。啊无最大值啊，这样就写好了。好，那接下来咱们看一下条件一。它的它是一二三到20是吧？所以它这个是一二三它的零点。是一二三一点儿点儿到20好，那中间两个零点多少，中间两个零点就十和11了。是吧，十个11，

因为总共二二十个点嘛，第十个和第11个，所以x在第十个和第11的时候。那它为常数。那在第十个到第11个时候为常数，所以这一答案那么就可以写出来它的这个结果是吧？所以这一答案应该条件儿是充分的条件一就。不行选b是吧？只要条件范围落在提案成立范围之内，都算充分啊，都是可以的。然后这道题大家呢？各位学霸们准备好了，各位学霸们，大家谁能求出这个最小值是多少？

或者说这个常数是多少？啊，各位学霸们，谁求一求就x- 1，加上x减二一加到x- 20，它这个常数多少？或者它最小值为多少？大家都按。暂停键都计算一下，各位同学加油了。比赛看谁算出来了。好，那接下来咱们来看一下。这个题这个题的话，大家可以取特值做，

反正就s在十到11，它都是它最小值是吧？这个时候咱就不用画图了。然后x在十到11，十到11呢，你可以取I=10或者I=11都行。这个都没事儿，而等于十的时候，那么第一个绝对值变成九，第二个绝对值变成八，第三个绝对值变成七。啊，一直到。一然后中间是会出现零啊，就x- 10。

的时候那么这个正好为零。然后接下来就是一二。一到十是吧？一到最后一项，最后一项当s=10带到里面去的时候，它正好就为十。好，那这正好是一个等差数列求和是吧？等差数列求和等差数列求和大家发现这正好是一加到九。啊，一一+9都能口算嘛，这正好一+20嘛，一+9正好等于45嘛。是不是所以这个很简单，就是45。

然后这个一加到11+10，正好是55嘛。啊55加在一起，正好等于100。对吧，所以在这里面大家呢，就可以求解出来。100好看，各位学霸们做对了没有？所以这道题答案。就100好，恭喜雪豹们。好，那接下来咱们看24，24题，

这个题求求最小值，求最小值用，刚才咱们上一题讲的结论就行了，好吧，上一题讲的结论。条件一，它的函数这个y=sigma，sigma就代表求和n从一到19，所以条件一，因为这个重新判断它题干，没法化解，没法化解，你就看条件了。条件s- 1，加s- 2。

一加到x- 19，大家发现这道题，它是一个奇数个绝对相加，所以刚刚咱们讲的这这句话啊就是。总结结论就奇数个绝对相加啊，奇数个绝对相加时候，那么它总共是一到十九十九个点，19个点的话。那么就s=10这一个点的时候是吧？所以s=10。这I=10，那这十怎么算？记住个点，记住点就是第一个加最后一个除以二就行了啊，第一个加最后一个除以二，

所以一+19÷2。有它的中间点y=10的时候。那它的y的最小值，我们就可以算出来啊I=10的时候带到里面去，正好是多少正好是九。加八加到一+0，然后再加一，一直再加到九是吧？所以从。九加到一，这再加上从一加到九，正好等于45+45。杠等于90，所以调养一，它是充分的啊，

调养一，它是OK的。咱们看条件儿。条件s- 22和s- 68，然后这个数值这个数的话，它这个它最小值。最小值应该是68-22啊，68-22，所以说它这个应该等于46知道吧，等于46所以它这个是不充分的。别看错了，如果这道题要改成s+22，也就说这两个减号有一个改成加号，那么这个就得到。90了啊，

就是68+22，68+22，正好就得到90，如果这两个。两个减号里面只能改一个啊，比如把前面这个改成加号，它最高值就是90，或者把后面这个改成加号，它最高值也为90。那这里答案就选择a选项，答案就求解出来了，好，这叫做题方法思路，看是不是懂了好，这是咱们整个绝对值的。

方法大家看是不是掌握了，然后大家把这些方法好好的整理笔记归纳，然后它的规律根据它绝值个数和。和觉知的特征来选择对应的方法来去解题，掌握觉知画图的一些画图的小技巧，这样就能达到。考试要求好，本章我们就讲解完毕，最后祝大家金榜题名，成功上岸。

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002.24-顿悟-专项1-练习（下）

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