01.讲真题-第11章第1节-题型1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 06:02:45

好，那接下来咱们看一下数据描述这一块的内容。好吧，数据描述它的相关的考点。大家一起再看看。那所以描述的公式也不是很多啊啊，不是很多。接下来咱们看第一节就平均值，它的内容平均值的一些计算方法。计算小窍门。平直。考试频率还比较高。别觉得平时简单，它考试频率还是比较高的啊。而且除了平均值之外，

还有几个其他数，比如众数啊，中位数啊。还有一些加权平均。啊，然后这块儿。啊，主要考察平均值，还有一个加权平均，他的一个计算方法。好平均值定义，我们看看平均定义假设n个数s1s2 SN，把它n个数求和再除，以n得到n个数的平均值。是吧，

这n个数平行值的计算方法。好加权平均加平均就是乘以它权重，这个权重代表它所占的比例，知道吧？权重就代表它所占的一个比例情况。还有一些平时的计算技巧，讲讲平时计算技巧，一个是对于等差数列平行值，直接等于首项。加冒象。除以二是吧？应该说等差数列，咱们学过等差数列前项和。等差数列求和。所以套公式得到二分之a加an，

也可以把它写成中间项。或者等于中间项，但有时候中间项不好找，容易找错。咱们就可以用首项加末项除以二来进行讲，如果要是奇数项，如果等差数列奇数项奇数项中间项只有一项。围绕偶数项，偶偶数项，中间项就有两项，两项相加，除以二。啊，两项加除以二就差中间项。第二个可以把所有数都减去同一个数减同一个数后，

这样剩下数呢就比较小，你要求它平均值求完后，然后再加上这个k就行。那都减到同一个数是吧？这样的话数就好算一点是吧？好，接下来咱们看平时计算好吧，平时计算就找平时计算基本的公式，还学会一些小技巧来进行计算。这样话就简单一些。好看一下第一题啊，第一题。第一题呢，它问上半年它的月平均产值到底是多少？他们公司二月份产值为三六万。

啊，这二月份告诉我们了是吧？这三六万。然后b月份那么增加了11万。就二月份比一月份增加了11万。然后比三月份少了那么七点二万。它内容少了七点二万，而第二季度为第一季度的一点四倍，那么上半年它的平值到底是多少？好，那我们把根据这些等量关系，把它的每个月份给它写出来好吧，大家简单思考一下，我们可以看到。他给的二月份。

好，二月份是36。啊，这个很容易是吧？然后一月份。啊，一月份因为二月份比一月份增加了11万，二月份如果比一月份增加11万，那就说明一月份比二月份少了11万，少了11万就拿36-11。得到25。对吧，等于25好，这个写好了啊，写好了，

然后呢，它又比三月份少了七点二，那么就可以求出三月份的值。那么，三月份它的数值就可以求解出来好，三月份数值这个求出来以后，那接下来我们呢？就可以看出三月份就相当于36。加上七点二。是吧，36+7点二应当考试，没有计算器，大家在做的时候，我们呢可以。可以预估一下。

是吧，可以预估一下啊，这是呃，那么一二三三个月份它的数值。然后第二季度又是第一季度的一点四倍，第二季度为第一季度的一点四倍，好，那么二季度他问上半年是吧？上半年。好，上半年的数值就拿前两个季度就第一季度和第二季度那么。这个。啊相加再除以六个月是吧？就除以六个月。好，

那接下来我们来看一下，那么要把第一季度，第一季度的话就是36。加25，加上四十三点二。这是第一季度值36，加上25，加上四十三点二啊，大家想想，这就是第一季度它的数值。好，那第一季度那么求出来以后，第二季度就是它一点四倍，那么两个季度加在一起就其实就是它的二点四倍。是吧，

所以这样看是不懂了，两阳记录把它加在一起，好李阳记录加在一起。就是第一季度的二点四倍，这样的话，大家就可以节省它的运算方法是吧？要不然的话，你第一季度还得求第二季度还得求那么这样。运算量就会大一点，所以我们可以把它合并啊，合并合并乘以二点四×2点四，然后二点四跟这个六可以约掉，正好是零点四零点四的话。然后就可以写出它的数值，所以大家可以预估预估一下大家啊，

预估预估因为。这个前面这个括号加在一起。再乘以一个二点四，然后再除以一个六，那么约对大约42左右，所以在这我们可以看一下，因为取一个整数知道吧，你就取一个整数就行了，近似计计计算一下。取个整数，取个整数，然后这样就知道四十二点四，41，42的样子。所以就得到41点多啊，

因为没有计算器的话，那么这个直接算它就会比较复杂一点。是吧，好这样，这是它的知识点。好，那么在这里面呢，要掌握它计算方法是什么计算方法？我们平均值我们可以把所有数都给它拿走，一个数拿走一个数以后，然后再算平均值是不是要简单，比如说我把所有数都拿走一个30或都拿走一个40。都拿走40，然后给他凑一个整数是吧？或者啊，

都拿走36啊，都拿走36都拿走36，然后每个月份啊，每个月都拿走36都拿走36以后，那剩下的。我们再来进行分析是吧？这样话就要简单一点。是不是所以大家呢？这样算就要简单点，所以你可以都拿走同一个数，因为咱平均值的时候就每个数都减掉同一个数，对吧？都减掉同个数，那接下来那就可以。写出它的结果是吧？

所以然后把它算出来后，然后再来算它的平值，所以都拿走三六的话，那么相当于二月份就为零。是吧，二月份就为零，然后一月份就负的11万。啊，三月份就是七点二万，然后这样话不就是好算吗？好算那么那么一季度的它就好算一季度好算那二二季度也很好算。好吧，这是大家在计算的时候，那么方法就是你都拿这个30都拿走36，那么都是可以的，

所以能拿这个基准量，然后基准量后算完后再把这个基准给它补回来。啊，补回来，然后再来分析它的结果就行了，好吧，这是这道题，它的一个数值的计算方法。所以如果都取都拿一个36的话，都拿都拿走36。或者都取一个基准量。嗯。都找一个基准量。好基础量那么36以36作为基础，作为基础，

那么呃，一月份就是。负11。二月份为零。然后三月份就是七点二。是吧，三月份就七点二，所以这样啊，第一季度不就很好算嘛，第一季度很好算好，第一季度这就算好了，把三个这个加在一起，就第一季度量，然后第二季度正好呢，又是它的一点四倍。

一点四倍，然后三三十六咱们再单独算是吧，所以说一二季度加在一起，这两个这个负11跟零还是七点二，那么这一加。一加就简单就可以算出来，等于三三点八三点八，然后再自己再乘个呃二点四倍，因为它一季度和二季度相加，最后再把36再给它添回去。这样就可以了，好吧，所以大家呢，就直接给它拼一下就可以得到答案，好吧，

所以这道题大家自己去做就行了，答案就选择b选项好，这是它的。思路当然，这个也可以采用预估的方法来做好吧，预估方法做预估方法做那么大家知道第二季度是第一季度的一点四倍。那通过这个，我们可以预估两个季度平均下来，那么到到底是多少是吧？所以在这里面呢啊，也可以大概呢，按照这个倍数情况进行预估。好，那这是第一个题，第一个题各种方法都可以好吧，

然后接下来那么这个第二题，第二题这个稍微难一点。啊，第二题这个题这个题可能大家做的时候不好做。好吧，所以这一章的题一般呢，也就考一个题，所以大家在做的时候考试呢，要看它考平均值还考方差，那这样的知识点。好吧，那接下来我们看一下第二题，这个题好某学生在军训时进行打靶测试，共涉及14。它的第六次，

第七次，第八，第九次射击分别是命中了啊，这个九环八点四环啊，那么这些给了这些。成绩那第九次的平均环数高于那么前五次的平均环数。好吧，平衡数好，如果有。使实施的平衡数超过八点八，第14至少射中多少好？那这道题的难点就在于那么至少射中多少？啊，至少射中多少环？好，

那接下来我们来看这道题，它怎么去分析？关键点是在这里面第二句话啊，第二句话就前九次的平行函数高于前五次的平行函数。知道吧，就在这，这是它的一个关键点。啊，这是它的一个关键词啊，就是前九次的平衡数高于前五次平衡数，那咱们这样想，假设前九次和前五次要相等，会得到什么样情况？是吧，就前九次和前五次，

如果相等会得到什么情况，先按照相等来做是吧？那这样我们就给他写一下吧，大家边思考边做一做，假如这第一次第一次我们用a1表示，第二次用a2表示好吧？然后a3a4。啊，都给它写出来吧。好，那么都给大家写出来。好写出来，我们看看它六七八九的设计的情况就知道了，六七八九。是吧，

所以在这里面我们可以写作六七八九就是九环八点四八点一和九点三是吧就六。第六次，第七次，第八次，第九次。好，那这个写好了。好，这是它六七八九好六一八九，大家可以把这个六七八九假设啊，假设如果前九次环数跟前五次环数，如果平行环数要一样。那说明前五次的跟六七八九，这四次平环数也一样，知道吧，

如果两次平环数一样合在一起，它平环数还是一样的。知道吧，所以说咱们假设那么先假设这个前九次平行函数跟前五次平行函数是一样。知道吧，就是一样一样的话，那说明前五次跟六七八九，这四次也是一样的，对吧？也是一样，所以在这里面大家呢，就可以简单的来看看它的数数值。好，这里选项也可以采用这个预估的方法来做是吧？所以说你可以看一下它要已经大于多少了，

你这也可以简单的预估一下。好，那接下来我们来看一下这个呃六七八九，它的平均环数怎么算？里边儿有平环数，你可以呃都减掉一个九来做好吧，都减掉一个九啊呃来做，所以说咱们先求出六七八九它的平环数。就四分之。九+8点，四+8点，一+9点三是不是把这几个加在一起啊？想想是不是这样的？啊，就把这个九加在一起，

九+8点四。加八点一+9点三。在这边都可以减掉一个九或都减掉一个八也行是吧？都都减到一个八也行，就平移法。是吧，给它都挪走一个八都挪挪走八，然后剩下剩下数我们再算算是吧，大家就可以都算算。这样说，这不是一+0点四+0点一+1点三嘛，是不是这样的？大家都算算这个结果。是不是已经是八点七了是吧？这个已经是八点七了。

对不对？所以这样就可以算出来是八点七好，那么咱们假设啊，假设前九次也平平均划算也是八点七那么。a呃第六次，第七次，第八，第九次平方数也八点七，那说明前五次平平数也是八点七是吧？所以这个平行函数它也是八点七。对呃，八点七八点七大家呃，想想一想。呃，它咱们先预估一下好吧，

先预估一下，如果使14的平行函数超过八点八。超过八点八那么大家知道平均值要超过八点八，那么总分总分要大于88是吧？总分要大于88。就总和呀，总和一定要大于88。对不对？总额大概八，所以说你前面这前九次你都按照八点七预估啊，预估预估一下，你可以知道那第十次，虽然你不用算具体经验值，那也第十次也能。算出来是吧？

因为总总的成绩就是八点八×10是吧？总的就就八点八×10。880×10。然后假设咱们就是假，这道题不会至少至多算不会至少至多算你如果前九次都按照八点七来做。前九次都按照八点七来做。好，那这个也大概能预估上它的一个数啊，应该接近多少是吧？当然这是有误差的了是吧？这是有误差的就考试，如果实在不会做，大家可以按照这个进行预。预估一下是吧？预估预估的话，

那你可以勾档案，你找一个差差不多这样的一个数。好，如果想精确算怎么算？接下来大家记不记得咱们讲过至少制作的分蛋糕原理是吧？分蛋糕原理，分蛋糕原理，大家想一想，如果让第十次要少。第14要少。第14。要少那分蛋糕院知道要从两个角度来说，一个是总蛋糕要少。是吧，总蛋糕要小越小越好。

另外一个让其他人吃的越多越好，就像咱买蛋糕一样，买蛋糕你买小一点是吧？尽可能买小一点总蛋糕。然后另外让其他九个人吃的多一点儿，那么第十个人他就会少。是不是它第十的人，他就会少一些？好，那咱们先看总蛋糕，总蛋糕，因为它平均环数超过八点八，超过八点八，那总环数就是88，然后再加上一个零点一环，

这个蛋糕是最小蛋糕是吧？所以总蛋糕是最小。总蛋糕最小就是总数最小。最小先给大家写出来好吧，我们来写一个总数最小。好，那总数最小的话，那接下来我们就可以看出来总数要最小，总数最小，那肯定就是八点八×10。哒。然后再加上一个零点一。啊，这总数最小，为什么要要加上零点一又讲讲啊，

为什么加上零点一，因为他说要超过平衡，要超过八点八。是吧，要超过它。要比他多，咱们是按照刚好八点半算的，然后再比较多一点，比较多一点，这时候总蛋糕是最小的。是吧，这个分担到总担额最小，然后接下来我们让其他人吃的多一点，其他人吃的多一点，刚才咱们让什么让这个前五次的跟六七八九这四次的平均数是一样的。

对吧，一样的，现在他说前九次的要高于前五次的，那说明前五次的总数要比它再低那么一点点就行了。所以前五次最前五次的在比它低的情况下，前五次最多最多对吧？前五次最多对前五次最多就给它把总分减掉个零点一就行了，所以前五次。给大家写啊，就前五次。最多。咳咳咳。好，前五次最多好，那么前五次最多就相当于刚才咱们按照八点七算的是吧？

对，就八点七×5-0点一对对对八点七。乘以八点七×5-0点一。因为它平均值刚好是这个八点七嘛，前五次的总分就是八点七×5-0点一。好，这样写好了，写好了，然后接下来就就可以了，因为a呃六七八九它是固定的，对吧啊六六一八九它分蛋糕是固定的。啊，这样剩下的用总分儿减掉呃，这些前九次就得到第十次最少，所以最后就可以得到第十次最少。

最少最少的话，我们把式子给大家写一下，最后算出来就等于九点九是吧？所以最少最少的话就第十次最少。最少用总数，最少的话总数是刚才说的是那个数是八点八×10+0点一。啊，给它写了八点八×10+0点一减去减去，那么就是前五次的再减掉六七八九的就行了好吧，再减上这些就行了，这个能看到吧？减掉前五次，前五次就八点七乘以个五，然后减零点一，然后这个可以把它合并在一起是吧？

合并然后再减掉六七八九次，六七八九这八点七乘以个四。四啊，八点七×4相当于减去八点七×9了。然后后面再加上个零点一是吧，就把它合在一起就行了，好，那这就是这个就是前九次的情况是吧？前九次了。然后这样大家简单的化简一下就可以得到它的数值是吧？然后这样就可以得到它大概是九点九。所以这道题它求制造制度，用了咱们学过的分蛋糕原理，知道吧，如果让某一个人吃蛋糕少，

首先我们看总蛋糕能不能尽量小小一点？然后让其他人再分的多一点，从这两个角度让第十个人呢，最少这样就可以得到它的结果。好，这样就算出来好，这是它的呃数值好吧，用总的减掉前九次的，然后就可以得到它的结果。当然考试你可能想不到那么多，或者没时间想那么多，你直接用这个预估也行好吧，直接用这个预估也能得到答案，这些答案就选择e选项。预估应该是至少应该九点七了是吧？

你预估完后就九点七。啊，九点七以上那么这一块，它的这个内容啊，所以这个啊，那么蛋糕大法就相当于是整整体的蛋糕，看能不能怎么变化，然后每个人又怎么分？是吧，从这两个角度来写就可以了，好，那么咱们在研究至少至多的时候还有一些其他的呃，就分蛋糕是常用的，知道吧，那么其他的还有一些呃，

这个原理到时候大家可以看一看。好，各位同学都看这个题。某学生参加八次考试。他前四次的成绩分别是88，72，79和90。要使八次考试平均成绩超过86分。啊乘以均呃，要为整数最后一次，至少至少应该考多少分都想想，至少应该考多少分？好想想这个题。好，前四成绩都知道了，

考了88，72，79和八，80和90。要使八次的平均成绩超过八六分。好，那么实在不行可以设一个未知数也行。最后一次考s分也行。最后一次要考s分，咱也不知道多少分。这样八色评分，咱们就可以写出来。八的平均分就可以写出来。这就可以求解出来。好，

总共是一二三四。五六七八。好，一二三四五六七八。他问最后一次要要最少是多少分？还有呢，咱们讲过至少至多问题是吧，然后第一次这是88分，这是72分，这是79分，这是90分。那有同学可能。会觉得五六七他没告诉我们。五六七他没告诉咱们。伍六七没告诉咱们。

其他项项就是要越少。说明五六七得考的高一点儿是吧？考的越高越好，没高越好，然后每每次都是100分嗯，默认满分都是100分啊。如果没有说的话，都是百分制。像如果他说的话，就是比如说是。满分是120呀，或者多少他会告诉你，或者满分150他没说都是满分100分啊，都按照100分。来做也就是按照最多。

百度比如第五次，第六，第七次考的越多，五六七考的越多，那这个最后一次可以考的少一点。是不是这样的？考究少一些，看这个明白没？这个原理要要听懂啊。这个原理要听懂。好吧，他的方法。所以还要知道最后这个超过八六分要超过啊，不能够出现等于八六啊超过。这是超过没有等号的。

所以在选a的同学，大家要注意一下，检查一下那成绩超过了没有？不是说刚好是86，刚好86还还不行？刚好八六还不行，还得超过一点。如果刚好是平行于86分，你算的是59。算59，如果如果要算59分的话，你这个算了八次平分刚好是八六。对吧，平行杠八六这还不行，所以给它加上一个一分。

这样就超过了好吧，超过了，比如说它平均分是86点1分或者86点2分，这就超过了。好吧，就超过所以说可能有同学在考试时候啊，没看见超过超过就大于。大就大一点点就行，比如86点1分也算86点2分也算啊，超一点点就就行。是吧，所以在这里面大家呢？要知道，正确答案应该选b啊选b，然后列式就这样，

列列式就是88+72+79。加90+100×3。加100。乘以三。再加上最后一次是x，然后除以八。要大于86，大于86就得到s呢？是大于59，大于59呢取？s又等于60。就写好了，只要等于60这样就写出来了好吧，它的方法。好，

这是它做的要点好，当然你可以让所有数都跟平均值去减，都减了一个86都减了86，我们看最后。都按照八六来算，你看最后一次要考多少分，这样计算要简单是吧？计算要要要简单，你就看它比八六多几分。是吧，比八六。多多几分就都按照平行线来算好，这个比八六。多了两分。这比86少了。

少了少了这个。14分。他比八六少14分，这比八六少了九分。这比86多了四分。好，这个比八六多了14分。这也多少实时分，这也多少实时。14分，接下来咱们算一下它的值，你看这14跟这十负14，这样能抵消掉。抵押掉，抵押掉，

然后这个就是二跟这个负九就减减七减七减七，这个就是七。其实这个算出来什么算出来它它额外是14+14，再加一个七就行了。是吧，所以在这里面大家呢，就可以看出来，让每个数都跟八六去进行对比，知道吧八六，而且它比八六到底少多少分，比八六多多少分？这样，然后来进行分析和思考，懂了吧？这样就可以写出来这些，

然后这个这个这个。负14跟这个14，它能能能抵消掉一个，知道吧？所以在这边给大家再再再说一下，它怎么去分析的？啊，这个。负十跟十能抵消掉一个吗？抵消掉，然后这个负二啊，这正二正二加上这个四四的话，然后在这里面我们就可以写它的数值，对吧？就是这个二加上这个四得到六六减九得到减三。

所以说最后再减减个三。是吧，然后这样。就得到它的这个值。这样写好了，懂了吧？有时候这个就给他减掉一个三。三然后呢，大家呢，就可以得到它的这个数值结果。首先看它比这个八六。这不，以八六作为一个基础，因为它平均分儿按照八六来，先按照八六算嘛，

八六算应该看每一个比它多了多少。对吧，多了多少？多了多了啊，这是七分是吧？这个是七好，这是七七的话，然后然后这块，然后再看减几。这是减掉一个一就行啊，减掉一就行。就二二七。对吧，就减了一个一。就看每一个它跟八六去比较，

比较完以后得了27，27的话，说明什么？说明最后一次，最后一次只要86扣掉27就行。啊，扣掉二二七就行了是吧？就得到五五十九这样算。啊八六减二十七就可以了，所以让每个数都跟八六去进行比较。看是比八六多，还是比八六少，那最后呢？前面这几次最后还余个27分，27分，

只要最后一次。那么，它是八六减二七，就这样评分刚好是。八六也就是它要等于59的时候，它刚好八六，反正现在它要超过八六，超过八六，59给它加一就行了。那就选择b好吧，这是它做题方法，思路好，接下来我们再看一下第三题这个题啊，第三题今天这道题的做法有很多，你就看他他问什么了，

因为这道题他只让我们一个排名是吧？这张牌不用具体计算值，这里如果要问甲丙丙们的具体数值，我也告诉大家一些简便方法来算。好吧，就这道题，它只问排名，只问排名的话。其实大家就可以看它高分所占的比例情况，知道吧，用高分做占的比例来进行做，这个要简单点。知道吧，好这个题大家想想应该怎么做这道题的方法有好几个，我们一个个来说一说，

首先最笨的方法，最笨方法就是拿总分除以总人数了。是吧，这个最笨的方法，最笨的方法，比如说那么甲评分乙评分。然后来进行说是最笨的方法，那就是说总分总分怎么算呢？就是每一个分数乘以人数，每一个分数乘以人数，那么把这个总分加在一起，加在一起，然后呢？再除以总人数就可以了。是吧，

就可以得到这个结果好，如果用简单方法来做的话，这道题呢，你就直接可以看它分数高分的占的一个比重情况是吧，就看这高分的。高分儿不是看谁人数多啊？不看人数多，看它占的比例情况，你看它在高分儿对于甲而言不要看人数的具体量是看相对量。减了它正好都占四分之一。是吧，都占了四分之一。因为甲总共40人嘛，甲总共是40人，你看是不是这样的甲总共是四四十人？

甲总共是40人，然后乙呢？是呃乙是60人。然后丙呢是50人。比呢，是五十人是吧？所以就看它占的比例，不是看人数多少啊，是看它占的比例情况，比方看这个九分的九分的话，那么乙就占了三分之一。乙占三分之一，那这个呢？就占了六分之一。是吧，

这个占六分之一，然后再看丙丙的话，他正好啊，占了五十分之十五，五十分之十五就零点三就十分之三。啊，都占了十分之三。好占了石钟山，所以在这里面大家呢，就可以看出来预估一下是吧？预估一下，这是预估，预估完可以看这个乙应该九分占的多。对吧，以九分占的多，

九分占的多的话，乙那么这个应该呃高一些，所以大家看两眼就可以看出来是吧？就看两眼可以。看出来你因为上下你一定要看相对量上，不要看具体人数。啊，不要看具体人数，然后这样的，然后对就甲丙可以看看甲丙甲丙的话，你可以看一下甲丙这个额都四分之一是零点二五对吧？四分之一是占零点二五。然后丙呢？他都是零点三零点三肯定比零点二五多，所以说丙的这个评分肯定要比甲要高。

然后乙跟丙乙跟丙的话，那在这里面大家可以看一下，那么乙的要高乙的是三分之一，三分之一是零点三三三。啊比零点三要高一点是吧啊？高一点，然后在这里面乙乙的是最高的，所以大家的排名顺序，我们就可以写出来。好吧，所以答案就排出来了，所以它由高到低来排。由高到低来排，那这个答案就可以求解出来，好吧，

答案就可以算出来，它的一个比例关系，所以你可以看甲和丙，它的比值关系，然后再看乙跟丙，它的一个比值关系。这样就可以写出它的数值关系。好，那这是它的一个比例情况，量量比好吧，量量比。然后接下来具体算我们看怎么算是吧，具体要求解我们看它怎么去去求解的方法，这个方法那么按照一般方法做，那是比较麻烦。

一般话要求出总总分，然后再算再算它的，这个就是一般话，我给他写一个式子好吧，比如说甲。一般方法假的话就这样写啊，就一般方法啊，一般方法假假的成绩呢。呃，就等于一个呃，总人数40人。总人数四人，然后呢？就六×10。九六×10+7×10+8×10+9×10。

是吧，就给他写，加上七×10。加上八×10+9×10。啊，这个肯定是比较麻烦是吧？这个肯定是比较麻烦的，所以我们看有没有技巧？告诉你一个小技巧，什么技巧呢？如果每一个分数，它的人数要一样，其实跟人数就没有关系了，直接拿分数求平均。所以他绩效直接拿分数求平平均。

直接四分之。拿分数求平均就行了，对吧？就是如果每个分数每个分数，它的人数要一样，每个分数人数要一样，就直接拿分数求平均。另外，再强调一下这个分数。它如果要成等差数列的话，它的求平的技巧直接就取中间值有点像对称，知道吧？它正好是是对称的就取中间值，中间值有七点五。知道吧，

假所以甲大家直接可以看。直接可以看它七点五，为什么七点五？因为它是等差数列等差数列等差数列就直接取中间，知道吧？以后再遇到每个分数，它人数要一样的时候。荣耀一样，我们直接取中间座就行了。啊，所以直接就这个根本不用算是吧，直接可以看到甲就是七点五。对吧，甲就七点五啊，直接取中间就可以了。

是吧，然后甲就直接口算出来了。然后这个乙乙教给大家怎么口口算乙？你这样，你先把他这个20个人给他挪过来，五个人总可以吧？这都15个人。再把20个人给他挪过来，五个人。这15个人，这也15个人。是吧，给他挪过来五个人总行吧？好，挪过来五个人以后，

那现在全都是15个人，对吧？全都15个人好，全都15个人的话，大家想想啊，就挪过来五个人。挪威现在都15个人，都15个人，说明什么意思？如果假设他人数全都15个人。全都是我的，它评分是不是也是7点5分是吧？它的评分它也是七点五。对不对也也也应该七点五吧，因为只要是每个分数人数都一样，

这时候呢，不管有几个人，他都是七点五。接下来，但是呢，现在这个挪过五个人，说明什么呢？说明总分少了五分，为什么总分少五分？这五个人，人家本来是考九分的，你把它当做八分来做了，所以每个人少了五分，每个人每个人少了一分。所以五个人少了五分，

现在可以总分补上五分，这五分一定要有福同享，知道吧，这五个人一定要有福同享，一定要一定要五个人，大家伙一块一块分。对吧，大家伙，他是一块分的是吧？大家伙，他他应该是应该是一。一起分的，你想想这是不是这样的，大家伙一一起分。对吧，

也就说呃就先呃，再再强调先让所有的分数对应都15个人，都15个人的话，那这时候他平均分还是7点5分？那这样，只不过呢，这时候总分少了五分，为什么少了五分？因为每个人少了一分，有五个人呀，人家本来是考九分的。你把当做了八分来做，当做八分来做，每个人少一分，每人少一分的话，

那总分就少五分，现在要给大家总分补五分，补五分，一定要让这个补得五分，让大家伙一块分。看对这个平均值影响多大是吧？影响多大，所以这样直接就口算出来了。然后再再看丙丙的话怎么办？丙的话你就把他当做十二点五个人。至于总人数不能动啊，总人数它是不能动的，都把它当做十二点五个人。总人数不能动，都十二点五个人。

是吧，就十二点五。啊，这都十二点五个人是吧？十二点五十二点五。这是十二点五，这是十二点五好，这时候大家可以发现它的评分还是7点5分。对吧，平分还是7点5分，然后再加上。再加上好，再加上大家可以看大家想想。这时候总分少了几分，会不会算总分少少了几分？

零点几分，那你这样想吧，就八分往六分里放，放了两个两点五个人。啊，是吧？八分往六分里面放了二点五个人放二点五个人，每人少了两分，所以这个少了五分，然后九分往七分里面给他搁了两两二点五个人。给他搁了二点五人，一个人少算了2点5分是吧？然后这一块啊，一个人一个人少算两分，一个少算两分，

二点五个人就少算五分，所以总共少算十分，知道吧？总少算十分。就给他补十分，然后这样就写好了。如果这样要求具体值的话，就按照老师讲的这个来做好吧，如果要没求具体值的话，直接看它的比例和权重，直接一眼就可以观察出来。是吧，观察出来就简单，就看它高分的占的比例到底多还少，就直接就可以观察出来。

如果这个要问甲乙丙呢？具体值等于几等于几？就按照这个小窍门来做，也就说你把先把这个每一个分数下面人数变成一样的。变一样的，变一样的话，然后呢，它的平均分就之后都是七点五都七点五，然后呢，你看它总分少了几个少少了几分少几分，那最后一行我再强调一下，最后一行为什么可以把八分给六分呢？你把八分给七分也行，反正反正这个都是就八分，不是15个人吗？

八分15个人给谁二点五个人都一样，总分他还一样。好吧，这个我只是为了好算，我举了一种呃，这个情况知道吧呃，所以不一定是八分给六分啊，八分给变成六分，有可能八分变七分。好吧，这一块它这个情况。好，所以在这里面大家呢啊，就可以比较它的数值，知道吧，

就把八分给六分，二点五个人每人少两分，二点五个人就少五分。然后九分呢，给七分每人呢，给他少算两分，二点五个人少算五分，所以总分少算十分。十分，然后这样就可以它的这个市值，所以接下来就是十二分之一和五分之一是吧，所以在这里面大家呢，就这个就可以写它的这个数值。那最后丙呢？是最多的是吧？

丙最多这个答案选e啊，答案给大家写一下，选e好，这就写写出来了。好吧，这是它的这个式子好，这个题我给大家进行再概括一下吧，从头到尾概括一下，首先第一步呃，第一种方法，一般方法呢，就相当于是呃，用最笨笨的方法就是把所有。人的总分相加除以人数是吧？人数那这个计算量会比较大，

刚才有同学第二个方法是让所有都减掉六分。然后同样去做，那还是呃一样的原理，也是用总分相加除以一个总人数。啊，都减到六，只不过好算一点好吧，好好算一点，这样的好吧，这样的。然后那么接下来简便方法是什么呢？是你就看它所占的比例。然后如果要计算的简便方法，什么计算简便方法，大家都让每一个。

分数线的人数要一样是吧？每个分数下面人数一样啊，然后结合这道题结合等差数列值等差数列正好六七八九是一个啊，取一个中间值，中间值有七点五。知道吧，就有点儿像对称一样，就六七八九正好它对称轴是七点五，就是它们的终点，知道吧，是是终点。啊，终点正好呢，就是七点五啊，所以说这个刚才甲正好是每一个分数都是十，

都是十个人，所以它有七点五。然后乙他每个人数不一样不一样，都把它变成15个人，15个人看总分，这时候少算几分，然后给他补上，补上了分一定要让大家有福同享。然后要除以总人数，然后丙丙让他都变成十二点五个人都变十二点五个人，然后这一块儿大家呢？呃，要掌握这样的方法好吧？好，刚才还有同学说把它分为呃，

这个一半也行是吧？有同学觉得可以把它分成一半。好一半儿好一半儿的话，就是相当于六七，然后算一下大家平均分儿，然后八九算一下平均分儿，算完平均分儿以后呢，然后再用权重的方法算总体的平均分儿也行。啊，就这边评分这边评分，然后呢，看根据两边的权重，然后再算整体的评分，这样也行。你看乙乙正好两边都站30人是吧？

你看乙两边都站30人，然后丙的话丙的话是左边站20个人，左边六分七分站20个人。然后右边呢站30个人。啊，这样做也是可以的，好吧，这样也行，所以有同学这样算的也是可以的，算左边的平均分，右边的平均分。然后两边呢，用权重的方法来做，这样也是OK的好吧，这个都是行的。

好，这样的内容好了，这是给大家讲的这个题好吧，这个题大家看这几个方法，看是不是弄明白了？看还有没有什么疑问？好，这道题就选择e选项。好，再看这个题。甲丙三个地区公务员参加测试人数和考分情况如图所示，三个地区就甲地区，乙地和丙地，它的考量评分的最大值。和最小值差到底是多少？

大家想想最大值和最小值的差。最小值减最大值减最小值差值到底是等于几想一想？它的差值。好都想想这道题的差值到底是等于是选多少？首先咱们要看谁的谁的值大，谁的值小。我们可以看到甲他每一个都是十分。啊，都是人数，人数都是十人啊，十人这个是分数啊，上面是分数。剩下分数，这个是人数。对吧，

这都是人数。啊，这这里面都是人人数，如果按照常规去求的话。常规气球的话比较麻烦，常规气球应该是呃拿分数乘以人数，分数乘以人数，分数乘以人数，分数乘以人数得到总分。然后再除以总人数。甲总共是40人。乙总共呢是60人。丙总共呢是50人。对不对？丙总，

它是五式。如果按照常规算的话，是可以的。但在这种因为他要求这个差，可以让所有数都减掉一个七分儿，这样做要简单都减掉七分儿，就是负二分儿。零分，两分。四分是吧？都减掉一个七分。减积分算完后，我们再加上七嘛，这样话不就简单吗？你看甲的平分。

就40个人，他总分总分的话，你看这是负20，这是零，这正好是正20。是吧，正好是正的20。然后这四×10。然后再加上一个。七分是吧？再加一七分，所以甲的平分就八，这样不就简单吗？啊，这样减了都减掉同一个值都减了同一个七分。

算完后呢？评分算完后我会再给你加上七分。啊乙的评分儿乙评分儿是六六十个人，60人可以看一下这个负二×15就负30这个零×15就为零。然后二×10就二二十，这是80。也就负30，加上20，再加上80，是不是这样的？就二十八十。然后这样就算出来，然后算完，再加上一个七。再加一个七。

就七加上六分之七。好，这样就写好了。好，然后再看丙。丙是50个人。丙的话，在这边大家可以看到这个负二×10就是负20，然后这个是零，这个二×15就是30，所以负20+30。再加一个60。啊，这样比如好算吗？是不是就等于八点四？

就八点四，它最大值就八点四，最小值是八。是吧，大家选选一选，看这个答案是不是又算出来就选d？选择d就可以了。好吧，答案就求出来了啊，所以大家就可以看出什么呢？它在算这个平均值的时候，你可以让所有数都减到同一个数，减到同一个数的话。一般在减的时候都往中间这个数来减，知道吧？

减中间数好处什么有负的有正的？这样好抵消负的正的，算起来也方便，懂了吧？这样计算就可以了。好看，这个是不是懂了？好，接下来咱们来看一下下一个题，第四题这个题。好，第四题，如果ABC的算术平均值等于13。然后收场，平时呃等于13，

然后这道题那么c的值到底等于几c的值到底为几？所以这道题大家呢？呃，可以把它用倍数来算好吧，这里算上平均等于13就可以得到什么呢？得到它的和。是吧，它的和。它和的值知道，然后再根据它们的比例。比例，然后这样就行了好吧，所以这道题我们一起来看它的结果好，首先第一步得到a+b+c应该等于39。看是不是懂了啊？

a+b+c应该等于39。第二个要把比例呢给它变成一个最简整数，比就a比b比c。a bbc都把它扩大12倍，知道吧？扩大12倍变成一个整数比扩大12倍以后就变成了是六。比四比三。好就得到六比四比三这样的一个值是吧？就六比四比三就得到这样一个结果。好那么六比四比三，这样求出来以后，接下来我们看它总共按照咱们学过的比例。就比正好是13份是吧？总的加在一起是13份。稍微给它乘以个三倍就行了。

是吧啊，正好对它这个刚好跟13巧合了是吧，所以正好13份啊，13份13份，然后这一块正好每个都给它扩大三倍，扩三倍c的值就等于九。这个值正好等于九好吧，这个答案就选择c选项啊，别给做错了。好，这是这道题，它的做题的方法好，这道题大家就是用咱们比例扩大倍数的方法来做，这个题要简单。是不是要掌它的方法和思路？

好，下一个题，咱们看这个题。啊，这个题咱们做题的方法和思路，它的这个知识点看一下。好，这个题大家可以把这个男员工变成一个等差数列求是吧？男员工变成一个等差数列来进行求求解是吧？所以这地方大家呢，要知道它的这个方法。和思路好吧，所以大家啊。它的特特征和内容。看是不是，

所以说在这里面，大家可以看它，就是这是最后是41，最后23。这41这二二三，然后在这里面，大家呢？要注意一下，所以我们可以把这个变成这个24，这个变成40。是吧，像这样的。是吧，然后给它填过去好吧，给它进行填填过去，

这样的一个方法好吧，然后大家可以看一下它的这个内容。和思路。好看看是不是懂了，填完以后正好是不一个等差数列等差数列，这时候记住等差数列求和就等于中间值知道吧，刚才咱们上一个那个表格法也是这样的。只要它的等差数列，它的这个都是中间值是吧？直接找中间值就可以了。好吧，找它找找它中间值找中间值正好就32。我给大家推导一下吧，推导一下，等差数列它的平均值啊，

等差数列。好等差数列，它的平均值。然后所以它的平均值应该怎么做呢？本来应该是写的SN÷n是不是？就SN，除以n。它的平均值等差数列SN除以nsn除以n，大家知道等差数列求过公式之后等于二分之a一。一+an再乘以n。是不是得等它出来求和呀？想一想。是不是等差数列求和是二分之a一加an？再乘以n是不是，然后上下剩下约掉约掉正好呢？

这个就得到二分之a一加an。所以记住，只要等差数列啊，它的平均值，它等差数列平均值直接拿第一个加，最后除以二也可以把它写成中间项，中间项可以把它写成a二分之n加一。好一个写中间项好吧a二分之n加一啊，一个写在中间项都是可可以的是吧，然后这样的内容。啊，写这个这个中间项。是吧啊，后面这个代表呃，这个中间项它的这个内容和方法好看懂了没有好，

这是它的这个考试知识点。好，那么这是咱们学过的公式，对不对？然后这样就直接用中间项就求解出来了。好，那接下来咱们再看一下。好，再看一下，就是女员工女员工这块怎么不做呢？员工你去掉一个27对吧？有两二十七。零点二七你应该去掉一个27嘛。去掉一个27。好去掉27以后，

大家可以发现剩下是不是也是呃等差数列啊？看是不是也是等差数列？是吧，你看去掉以后这样二三二五二七二九三一，它也是等差数列也等差数列，它的这个平均值是不是也是27啊？是吧，平时也是27嘛。跟着也是二期，对吧？所以这样就直接就看出来了。平均值27，然后再把27给它补回来，知道吧？27补回来，

你补回来27，它还是不变，因为刚才不是去掉一个27嘛。七月二十七七月27，那么。他是剩下是27，然后再把27的那个人给他叫回来。所以我先把27的那个人呢，给他去掉去掉话，那么咱们剩下啊几个人求一下平均值，求一下平均值发现二正好27。这27的话，然后呢？然后算完后再把那个人叫回来，你说再回来，

回来叫回来以后啊，正好就是27。27它它它加上27它还不变。那有同学，万一去掉那个28怎么办？比如说请大家思考它原理，如果去掉一个以后。去掉一个以后。它是27补回来是28，怎么办？补回来是28，怎么办？补回二八没事，假设啊假设，然后现在这些人都是27平均，

然后来加入一个28的。过来一个28的，过来一个28没事儿，他多了一个一那28把它称成27+1知道吧，把它称成27+1，它多了一个一多了一，让所有人一块儿平分。好吧，一块平均分是吧？就多出来一个，多出来一个，然后这时候你看总有几个人几个人一起平均分就行。是吧，这样就可以写出来，结果好看，

这个懂了没有？好，这样就求出来了啊，如果如果去掉就去掉，增加跟平均值一样的人啊，一样的一样的，它平均值是不变的。知道吧，平时不变对，如果如果要补回一个二十八岁的人，应该是就是二十七，加上六分之一就行了，知道吧，如果假假设补一个二十八岁的。不一二八岁的他不多一岁嘛，

多一岁那正好就是二十七，加上六分之一。就二十七加上六分之一，他多的那个人一定要要六个人一块儿分，你知道吧，加上他补回的那个人啊，加上他补回的那个人一块儿分。是吧，如果呃补的对，让他大家伙一起分，一起分就就记住有福同享。比如说那如果补回来是一个25人啊，25岁怎么办？补到一个25岁，比如说原来是原来是27岁。

大家原来是27岁，27岁，平均值27岁，然后补回一个25的，补回25的话，是不是他比平均值少两个？比平均少两个让有难同当，就是就让27-2÷6，27-2÷6是吧？这叫有难同同当。啊有难同当，因为他比这个低，没事，大家伙八方支援对吧？都都支援他。

只要它第一季度啊。一个考试，它这个评分算好了，补补一个人，如果这个人比评分高那么多的，这个人多多的，这个让大家呢有福同享。如果补的这个人比评分低低的话，那就这就有难同当就行了，让大家呢一块儿去承担这个就行。是吧，就一起承担，就这样的一个内容，看懂了没有？好，

这是给大家强调的，这个如果补的多，补的少怎么办？要一定要把原理弄清楚。是吧，就原理弄清楚，这样就写好了，是不是啊？这样的知识点看明白没有好，这是它的这个方法。好那么呃，接下来男女都知道了，要求全部的知道吧，男女都知道了，接下来咱们回来，

男女都知道了，要求全部的全部用权重做用权重，因为。这个男生总共是15个人，女生呢？呃，我看男生是总共是九个吧？数一一二三四五六七八九是不是九个男生是九个人？女生六个人，总共呢是十五个人是吧？十五个人，十五人正好是三比二三比二的话就是男生占到五分之三，女生占到五分之二，所以全体的平均值。全体。

全体的话，他就可以拿这个男生的乘以一个。好，五分之三女生乘以五分之二。女生乘以五分之二这样写好了，当然在既然这个数的时候，大家一定要让所有都减这个二十七，所有都减到二十七来做就行了是吧？所以都给它减掉27，减掉减掉二二十七，这不就好算吗？所以拿一二十七放在旁边27。啊，就可以了。是吧，

都减掉27-27以后，那这32-27不剩一个五岁吗？是吧？男生就剩一个五岁了。五岁，然后女生呢，就剩一个零零零岁了是吧？女生就剩一个零了。都减到27嘛。都讲27那女生不就剩一个零嘛，男生不就剩一个五嘛。是吧，然后这样就算就等于30。好，算上就等于30啊，

这样就写好了是吧？然后这样，所以大家要用平移法啊来做这个呢，就选择a。好吧，答案就选择a，所以这道题大家学到了什么啊？学到什么我们给大家概括一下，可能刚才有同学就没听清楚，第一个它数列。接近等差数列的时候，接近等差数列的时候，大家呢，就可以把它改造一下。在改造一个表达式时候，

一定要注意这个问题啊，改造一个表达式时候要注意这个问题，平时。平九等于总和，除以它的个数。好总和除以它的个数。平时是不能总和差除以它个数。好那总和除以它的个数在这里面，大家呢就可以。把总和不变，个数不不变，所以说我们就可以随便改造，是要人数不变，总和不变，这个平时可以随便改造，

比如说我们在刚才在改造这个男员工的时候，基因等差数列，可以把最后。最后一个人呢，一岁给他挪到第一个人上是吧？把最后一个人一岁给他挪到第一个人上。是吧，这样的结果就写出来了是吧？得到这个值。是吧，所以在这里面，所以以后记住接近等差数列的题，接近等差数列题，你把它改造成等差数列，敢等差数列，

直接用咱们等差数列的，那么平均的一个小技巧首尾相加，除以二或者找中项。找中间项都行好吧，都可以。然后第二女生女生大家会增增添像增添人的方法来做好吧，增增添人。比如增加一个人，或者去掉一个人来进行分析是吧？增加一个人去掉一个人啊来进行求解就可以了。好，这是给大家强调的，增加一个人，那么怎么办？需要一个人怎么办？

然后再如果要知道。知道它的平均年龄啊，知道求全体的大家可以用权重的方法做权重方法做，这样就可以了。拳头方法。啊，讲到全程方法，还要给大家讲溶液浓度混合，告诉大家一个方法是吧？就刚才咱们在算这个全体年龄的时候，比如说32%的溶液浓度。与27%溶液浓度。32%溶液浓度和27%的溶液浓度。按照三比二来混合就混合的浓度到底是多少？混合浓度到底是多少？

比如说一个是三份，一个是两份。啊，按照三比二来混合求混合的浓度。混合浓度这时候的话，那么应该拿百分之三十二乘以它的权重乘以个五分之三百分之二十七乘以个五分之二。是吧，乘以五分之二，但是呢，我教给大家一个方法，什么方法以后在计算这些内容的时候，你直接让所有都减了一个二十七，所有都减了一个百分之二十七，知道吧？牛大在计计算浓度的时候，

所有都减到一个27%，跟刚才咱们计算的那个全年平年一样，都把减成27%都减到27%，以后那个32%，它的浓度只变只剩下5%了。然后百分之二七浓度就剩下一个零是吧？就剩下一个零。对吧，剩下的零所以说直接就可以算到30%啊，过程跟刚才上面那个是一样的，知道吧，跟刚才是一样，所以以后啊，几个浓度啊，混混在一起。

它不管考三种浓度混合，还是考四种浓度，还是考两种浓度混合，都是这样的，知道吧？比如甲乙丙三种溶液浓度，比如甲是占几分之几，乙占几分之一，丙占几分之几，然后混完以后。求它最后最后的浓度，这时候呢，可以让所有浓度都减掉，同一个值减同学剩下的用权重的方法做就可以了。是吧，

剩下啊，然后这个就可以求解出来好吧，求混后的浓度大家呢，用这个方法让所有都减了一个27%，减了27%，那就那就变成零了嘛，那有的浓度变成零了，变零就好算呀。是不是就这个原理，它是一样的？好，接下来咱们看这个题。好为了了解学生的成绩，按照人数比例进行抽样，结果如下。

啊，结果如下，这些表上数据求男生平均分与全体平均分到底是多少？大家看这个题。那求男生的平分和全体平分。想想。好，那么本来要计算平均分，这个男生叔叔应该是九个一二三四五六七八九九个人。女生应该六个人。是吧，女生是六个人。你要计算平均分，本来应该是什么把这九个人相加再除以九，这样数就比较大，

所以你都可以给它减掉同一个数。比如说减了80，这个这个数要整一点，可以减掉80。是吧，可以减掉80。来进行分析。是不是减到一个80来？求求求解嘛，所以第一种方法就男生的平分。好都减了80的话，那这有好算呀？都减了80。多减80的话就是负七分。负四分负二分，

这是零，这是二，这是四，这是六。这八这是20，最后再加上八八十。这都减到80。来进行计算。减八，大家可以发现，这个负二和这个二正好抵消掉，负四和四正好抵抵消掉，这不就好算吗？对不对？这样就好，

算一点，这都减掉80。把每个数啊都给它减掉，这个八八十。减了80以后，那么就是。把每个数都给算出来。大家看这个都很好。抵消嘛，很很好抵消抵消，这正好是六加八十四十四减七。得到七上面就27，27，除以九得到三就83。这个写好了是吧？

得到八三。然后再看女生的。你是不是也都可以给它减掉一个80啊？女生都给他减到一个一个80啊，这都可可以的。是吧，都减了一个80。都减了80的话，就女生六个人都减83。然后你都减到90也行啊，都都都减到90也行，因为我看他90的数要多一点，反正减80咱就按照80算吧。你想减到80的话，这是三，

这个是零，这是11。这是13，这是负一。这是12。是吧，都减掉八八十，得到这个值。然后再加上80。好，那接下来咱们算算呗，算算，然后这个就是。13这二二六二二六减上二二十五是吧？所以这个也都很好算，

这不是这是二二二六嘛，二六+12。啊，这都都非常容易算的。是吧，这样就写出来了啊，写出来，所以让所有数都减到80。然后呢啊来进行写他的方法是吧啊，写的方法。啊，减掉80，减掉80就是这是三，这是这是零，就不用写，

这是十一十三，然后这个就是九。啊，觉得减到90要好算点是吧？减到90要容易算一些啊，你减到九九十就这样算的。好都减90，这个就是负七。这是负十，这是十，这是一减上90，这是一了减上90，这是三，这是负一，这是二。

然后再加90这样的。好一样的好吧，一样的。好，那这个这个也一样，这个我们把这个一跟这负一给它抵消一下是吧？啊，抵消抵消掉，然后这是五五五的话，然后这个正好也等于88。啊，一样的是吧？一样好，那么女生的评分是88，还往全体全体，

这时候要用全重，知道吧？如果要知道每部分的成绩要算总体的成绩，要算要算一下这个全体的。全体的评分，全体评分就可以拿这个男生，他占了五分之三。加上女生占了五分之二。对吧，男生在我们这，女生在我们这。这样写好了。需要，但在这里做的时候，大家呢，

有个小小窍门儿都减掉80来做，要好算都减掉80的话，男生呢，就剩一个三分。女生剩一个八分。然后再加上一个80，这样好算一点。是吧，这样就得到是85。看到吧，得到85就是这个答案，就选择a是吧？选择a这样就好做一点。然后这是它的方法，看是不是懂了？

好，所以在计算平均值的时候可以把都减掉一个数，然后再进行计算啊，学会这样的做题方法和思路。

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01.讲真题-第11章第1节-题型1

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