01.讲真题-第10章第1节-题型1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 06:02:02

接下来咱们学习概率。好，我们首先给大家分析一下概率的知识点。概率的一些公式要知道啊。首先咱们来学习古典概率，古典概率也是考试里面必考的概率啊，也是大家容易错的概率。因为古典概率需要用排列组合来学习。啊，用排组合来求解，排组合大家有同学容易出错，所以导致概率呢，就容易出错。首先咱们来看一下考试的比重情况。所以大家要重视固定概率，

因为固定概率是考试必考点。考试。必要点，它主要特征最大特征就是等可能就每种情况出现的可能性是一样的。啊，这些可能性是一样，所以才有了比率。比例就是比值来求概率。好，那对于一个古典实验而言，必须要具备下列两个条件，它才能称为古典概率第一个啊，样本空间是有限的。有时候我们可以用排除和计算出它的情况数，它不是无限多个。

第二，每个基本事件出现的可能性是相等的，也是公平的，出现每种情况是相等，比如说像咱们制硬币。正面向上，反面向上，它出现的可能性呢？都相等的。好在古典概率的这个情况下，事件a他概率定义，我们可以看一看。好那么一个。事件发生的概率就等于它的事件的情况数，除以总的情况数，

用个比值来表示它的概率。好吧，好在这里面大家要注意，咱们考试四个方面，第一个是取样。取样概率第二是分房第三个数字问题，第四个是取球，取球呢，也可以把它看成取样的一个特殊情况。好吧，所以这是考试的主要的考点，其中取样就是选取问题是考试的重点。好，那接下来咱们来看一下呃，概率里面常用的一些方法啊。

首先，取样概率。取样概率有时候涉及到编号的运算，咱们呢，要结合例与法来进行分析和求解。就列举在列举时候不要给列错了，也不要列多了，或列少了，同时要注意取样的方式，取样方式，它分为一次性取有放回取和无放回取三种情况啊。然后分房分房的话，也经常用到方秘方。就可重元素的排列问题方便法，所以一定要注意它次方的数写顺序，

不要把数字写反了好吧，几的几次方不要用反了。另外，数字问题考试出现的，比如说几位数啊，组成自然数啊，编码啊，或者编号，还有数字表达式运算都属于此类题目。另外还有个取球，取球的话包括什么球的颜色编号得分，还有数量等等的啊，比如取得数量啊。啊，这类考法啊，

有的时候还要分类，或者说有时候要从反面做啊，这是它支点的啊，主要的结构。好吧，咱们就通过题目来掌握它的考试方法。首先咱们看一下题型一，这是简单取样的概率。减取量概率，它就是问法上比较简单。简单选啊，往往涉及到正品或者次品，然后选人或者选物品，有时候还会出现至少至多等情况。啊，

遇到至少至多大家也可以从正面做，也可以从反面做都行。啊，正面反面都是可以的啊，可以从正面做，也可以从反面做啊，都可以啊，这是它的方法。好，下面咱们一起来看这个题。十件产品中有三件次品，从中取两件，至少抽到一件次品的概率是多少？所以大家拿到题以后，首先判断它是一个怎么样取样，

这是要一次性取样啊，一次性取样，而且他说至少要抽到一件次品。好，那说明它就至少只多问题啊，至少只多问题。好，那在这里面，我们呢就可以掌握它的答题方法和思路。所以它的这道题就从反面做好吧好，如果遇到知道之后，我们可以从反面做。反面至少有一个的反面，有一个都没有。所以概率p就等于一减去一减去好，

那么在这里面分母分母就。从十个里面随便抽两件，所以c12这分母它的写法。分母就是c12，分子就是c。因为它呃没有次品，它的反面是没有次品，没有次品有正品，所以七个正品里面取两个。好，这样就可以得到，就等于十五分之八。建议大家就选择d选项好，这样做题方法思路好吧，这大家呢，

要会计算分析啊，遇到至少之多要会求解。就可以得到答案了。好，各位同学，一起来做这个题。大家都写写看这个题。好实验产品中有三件次品。然后从中随机抽出两件。就从十件产品里面随机抽出两件。在两件里面至多抽到一件次品的概率是多少？好，各位同学，想想。看大家会不会分析啊，

至多抽到一件次品的概率。大家看看应该怎么做？啊，至多抽到一件次品。好，那么如果正面做正面做的话，那么至多至多就可以把它变成小于等于。比如说次品的数量应该小于等于一。小等一我们可以发现它的反面情况，要简单反面情况简单，我们可以从反面来思考好吧，大家都想想。从反面来思考看会不会做。好，大家掌握它的做题方法好，

我们来一起来看看，从反面思考。好，如果要从反面来求解的话。它概率p就等于一减去。好，大家都想一想。给他点时间都思考一下，都做一做。它的分母。分母呢，总共是选两件，所以总情况数要会写啊，总情况数总情况数就相当于c12。好，

十件里面取两件c12，这分母它的总行数c12。分子大家算算分子它的这个情况数。好那么至多一件次品，它的反面什么呢？反面就是。两件次品。反面就是两键。啊，就两件事情。好两页视频我们看应该怎么写？啊，所以它的反面就这个两件都是次品，两件都是次品的话，它应该从三件次品里面选两件次品。

好看，这懂了没有？从三件里面选两件啊，这是它的方法。好，那么大家计算它结果好，这个c12c12就代表是什么代表？怎么去计算呀？c12c12就是从十件里面取两件。好，它的方法我们来看看。好c12期就等于一个45。然后c三二就等于三好吧。首先呢，一减十五分之一，

一减十五分之一，就等于十五分之十四。啊，这个呢，应该选择d选项啊，这道做题方法思路。所以大家以后遇到至少至多问题的时候，我们观察一下到底是从正面做简单还是从反面做简单好吧，然后来写它的答案。好看，各位同学，还有没有什么疑问？下面咱们看这个题。啊，一批灯泡共十只，

其中有三只质量不合格，仅从该批灯泡中随机取出五只，则第一个这五只灯泡都合格，概率是多少？啊，都合格好，这道题也是一次性取样，对吧？所以一次性取五支，然后呢？它要保证都合格。好，这第一问它的方法。第一问我们用p1来表示啊，分母呢，

是从十字里面取五值，所以c15。十个里面取五值嘛啊c15。好，这是它的写法c15。然后分子。啊分子的话，我们看它应该怎么去写啊分子？分子化物质都要合格，都合格就从那合格里面取物质就行了。啊c七五所以分母是c15分子是c七五好，这个在计算完答案。就等于十二分之一，这个答案就选择e选项啊，这叫做理方法好吧啊，

如果都合格，就从合格里面进行取就行了。啊，不是特别难，所以取样问题，这块儿也比较简单。好，第二问，这五只中只有三只合格概率是多少？只有三只合格就三只合格的话，那分母呢就c15？税收，然后只有三只合格，只有三只合格的话，那就从七只合格里面取三只合格的。

啊c七三去合合格的，然后另外那么从从剩下不合格里面还有三只不合格里面。然后再进行取啊，再进行取两支。再取两支，这样就可以了，好吧，所以这是它的答题方法，就从七支里面取三支合格的。剩下从三只不合格里面取两只不合格的，这样就可以满足它的要求，好，这样答案我们就可以求解出来。等于十二分之五正确答案应该选择的是a选项。好，

这个是取合格儿和不合格儿，它的一个答题方法和思路。好，下面咱们看这道题取产品的问题。n件产品中有d件是不合格的。从里面任取两件。啊，从里面认清两件则恰好一件不合格，概率是多少？下游线不符合概率好，那接下来我们来看一下它概率p。分母呢，就总情况数知道吧，总情况数就从n键里面取两键，所以CN 2。

就总行数总的里面从n件里面取两件，有CN 2分子分子，我们再看它恰好一件不合格。切角线不合格，这是分子。好后签好邮件不合格，我们看应该怎么写？下一件不合格就从不合格里面取一件。啊，从合格里面再取一些。好吧，所以在这里面大家呢，就可以写出来。啊，那就得到了这个结果，

分母分母的话s in二我们就可以计算出来，就等于二分之n乘n减一。分子呢，就是d×1个n-d这样的。所以把这个二给它乘上去就可以得到二倍的。d×n-d，然后再除以n和n- 1。然后这道题它的符号比较多，别算错了好吧，它的符号这个答案就选择的是e选项。它的方法，所以呢，选择e好，这是它的考试思路和要点啊，所以又从这个里面取两件，

恰有一件不合格，它的概率，这个要会分析和思考啊。好，下面咱们看这个题。啊，这地方要遇到这种票价，或者遇到数字运算的这种题目啊，大家一定要采用什么呢？采用列举法来分析好吧，用列举来进行求解和思考啊。啊，用列举的方法来进行分析。啊例一法来进行求解。好，

大家可以发现，他上一部新歌剧，前座票是50好，大家看一下他给的前座。前座是50，中间呢是35。厚是20。然后接下来我们来看购到任任何一种票是等可能的。如果现在要买两张票。其价值不超过70元。不超过70元就小于等于70啊，不超过70块钱。就小于等于70，它的概率多少？好，

那接下来咱们来看一下。它的这个市值，然后不超过70就小于等于70，小于等于70的话，我们来看一下列举一下它有几种情况是吧？列举一下。啊小于等于70。然后其实就是50+20可以。是吧，50加二二十。是不是这样就OK了？对吧啊，50+20这样是小等于70。还有呢，就是35。

加35这样也行，两张35也可以。两到35也行。然后呢，接下来就是35+20也可以。35就20+20也可以。是吧，20+20也可以好，总共呢列出了四种情况，好四种情况，那总情况是多少？总情况是再加上50+50。和50+35。然后这样就写出来，所以总共列出来了，

这道题就采用列举法就行了，总列出来大家可以发现总共有六种情况，这个列出来这总情况数啊。有六种情况。其中小于等于70的有这四种。那六种里面只有四种，所以这答案就三分之二。啊，三分之二好这个呢，应该选择的是d选项。选项d还有它的考试方法好吧，所以大家把所有的票呢都给它列举出来，然后再找到里面小于等于70的票。这样就可以了，然后这两张票呢，

可以不用再排序好吧，因为总共有两张票，那选了两张票，这两张票可以不用排序。好，这是它的这个做题的方法啊，所以遇到这种。票的问题，大家呢，就是通过这个数值运算，大家采用这个例一法来进行求解，就可以得到答案，好看这一块儿是不是明白了？好，接下来咱们看这个题。

好它一批产品。合力为95%。它的合力告诉我们是95%。在合理里面呢，又分为一等品和二等品，其余呢是二等品。现程中取一件则该产品是二等品的概率是多少？求这个二等品的概率和。数值到底多少？好，这里大家在做的时候呢，我们怎么去分析呢？我们看二等品，它占的比例就行了，它这道题二等品。

啊，这个啊，按二等品二等品概率p。好它总共呢，合力是95%。就是零点九五，然后一等品占了。61%等品占60%，剩下的就二等品就占了一减60%，就占了40%是吧？占了百40%。是这样，就等于95%乘以40%。好，这个可以。

等于零点儿三八百分之38。好，这样写出来，这样答案应该选择b选项就零点三八就写出来了啊，好，这是看这道题就告诉我们什么问题呢？其实概率呢，它跟这个比例啊，然后有相通的地方是吧？其实从某种意义上讲，这个概率就是它所占的比例。啊，概率和比例问题。啊，概率一比例好，

这是它的方法和思路好吧，这样的考法看懂了没有啊？好，下面咱们看这个题。这道题是考察血型。36个人血型如下。然后它反正这样本要么就分，为什么各种类型按照血型分呀，或按照呃什么？给的这个条件来进行分，比如男生啊，女生呀。红球白球啊，正品次品呀，就这样的是吧分，

然后这些血型是这么多。现在从中随机的选中两个人。啊，从里面要挑两个啊，就从36上挑两个，这两个血型相同。选项呢好，那选相同代表什么意思呢？代表要要讨论呢，要么都是A型的，要么B型的，要么AB型的，要么O型的。是吧，这样的方法。

好get p。分母呢，是c三六二。啊，分母就是c三二六二，这叫分母。分母就相当于总情况数从36个人里面选两个人，分母总情况数。分子分两人，两人呢？要么都是A型的是吧？要么都是A型的c十二二。要么都是B型的，要么都是AB型的。要么都是O型的。

这样的好吧，这样的。好，那在这里面就是呃，要分情况讨论，因为两个血型相同嘛，咱们要分为这几种情况嘛。是吧，有可能都是A型的，有可能都是B型的，有可能都是AB型的，有可能都是O型的，好这样的分情况讨论就可以了。然后接下来我们呢，就可以算它，

结果就等于三百一十五分之七十七。当然了，就通过这个去运算得到结果，三百一十五分之七十七这样就求解出来了啊。当然，这道题它计算稍微复杂点儿好吧，数稍微大点儿，大家在计算的时候小心点，别给算错了啊。求解的时候细心点儿。好，下面咱们看这个题。这有取正品的问题好，大家看这道题。某商店举行电竞活动顾客消费达到一定金额后，

可以在四种赠品中随机选取两件不同赠品。啊来进行挑正品。好在任意两位顾客所选正品中，恰好一件品种相同的概率是多少？下邮件品种要相同。好，那接下来我们来看一下它应该怎么去求解？咱们可以把这个正品呢，给它起个名字或者编个号好吧，所以在正品里面啊，起个名字，比如四种正品。下面咱们又是abcd。好，这四种正品。

然后在两个顾客里面任意两个顾客里面所选制品中分母，这个很很好写，分母就第一个顾客c四二。从四个正品里面选两个就c12。然后再乘以c12变成c12，从剩下第二个顾客，剩下四个里面再选两个啊c12。好吧c12好，这c12×c12。分子分子恰好一见品种要相同。切削件品种要相同，那在这里面，我们从四个里面选一个要相同的。c四一这个就相同的。啊，

比如说啊，咱们都选的是一个a赠品好吧，比如说两人啊，他都有a赠品a赠品作作为相同的。a证明相同的好，接下来那么甲，咱们就设甲乙两位顾客甲，这位顾客再从。bcd里面再选一个。这是假顾客，然后再再选一个，比如说从这个bcd里面选一个正品。啊，假设甲选的是c正品。那剩下还有个顾客，

第二顾客，第二顾客甲是乙。啊一选的正品。就c二一啊，已选正品，就c二一这样写好啊，已选正品。调c二一再从c2选，注意这个选就选完了，不要再排序了啊，千万不要再排序了。再排一那这个就错了啊，所以这样答案就等于三分之二。好，这个答案应该选择e。

很多同学说，这让甲乙两个啊，这个手里面赠品再排个序，这就错了，因为甲乙两个之间在选的时候，他已经排序了，因为咱们在选的时候任意选。就从同一个样本在取样的时候，它已经排过序了，知道吧？就因为c三一从这里面任意选的。c二一从c2里面任意选的，比如说有先选b再选c跟先选c再选b甲，两人手里面正品，他已经排过了，

知道吧？已经排过了啊，就不用再排了，所以这一块儿大家呢，特别特别容易出错啊。所以大家遇到这种情况，先把两个人共同的正品选出来，选剩下每个人再选自己不一样的正品。好吧，就按照这样思路来做就可以了。好，接下来咱们看这个题。某商店举行电庆活动，顾客消费达到一定数量后，可以在五种正品中随机选出三件不同的正品。

然后任意两位顾客所选的正品中，恰好两件品种相同的概率是多少？好，大家想这道题应该怎么写表达式啊？就大大家呢，可以从这五种里面选出三件不同的正品。有五种，比如说abcd 5种。啊abcd有五种，五种，大家呢？从里面要选出三件不同的正品。那五种里面选出三件不同的正品。好在任意两位顾客啊，两个人里面挑两件品种相同。

其他两样品种相同，什么意思啊？比如说第一位顾客。第一位顾客，所以大家在做排组合的时候或概率时候，如果有同学基础比较薄弱，不要空想。一排组合，它比较抽象，不要空想。你就写出或者列出一种情况，你找到规律以后，那么这个式子就会写了，比如说。恰有两种，

两件品种相同，什么意思？比如第一位顾客选的是abd，第二位顾客。选的是。a be它有两种是一样的。是吧，就这两个顾客，他有两种是一样的。好看，这明白没有好这两种还有一样。就在两位顾客里面，他所选的赠品中挑两件，它是一样的。好，

大家想想这个题。好，有没有同学算出来，我们首先来写它的分母分母比较简单，在咱们古典概率里面，大家注意这个分母呢，是比较容易的啊，分母是比较简单的。啊，分母分母话就每个人直接去选取三个。大家看会不会写，每个人从五种里面选三个，比如说甲顾客，第一位顾客，甲顾客，

那么从五个里面选三个。比如假顾客呢，他选的呢，是比如说ABC啊，或者说a be啊。啊，这样的选三个。乘以然后第二个顾客从五个里面选三个这样的。好，那接下来大家再看分子。分子有没有同学写完？恰好两件品种要相同。现在我从五种里面先选两种，让这两个人他都有这个相同的啊，这个品种。

是吧，在这里面大家就可以写成c五二。啊c五二这块就从五种里面选两种相同的啊c五二。从五种里面选两种相同的。对吧，比如说save 2，咱们选的是AB AB，那这AB每个人都都有。然后让假顾客。假过，然后从这个其他里面再选一个，比如说。因为有两种是相同的，对吧？比如说我选的是AB两种，

剩下的还有CD CD三三种，三种话，那么甲顾客再从其他品种里面选一个。比如说甲选的是d。d那么另外一个顾客呢？再选一个就行了，因为这两种是相同的，对吧？AB是相同的，它都有了。所以说甲从剩下的三种里面选一个乙从剩下的。啊，剩下的两种里面选一个就行了好吧，剩下两种里面选一个c二一。那剩下两种里面挑一个，

这样就可以了。好，这是它表达式，看大家会不会算？然后这些数都很好算。分母就是十×10因为c五三就等于10c五二，它也为十，这是三这是二。所以就得到十五分之三。这样呢，应该选择c选项好，这是它做了一个方法思路，看是不懂了。啊，这个呢，

应该选择c啊，它的考试要点和内容。所以大家首先选出两两个人共同的这个品种的。这个商品是吧，共同的，所以前面c五二就代表选共同的。后面每人各选各的就行了，好看这个是不是听懂了？好，下面咱们看这个题。某商店举行电竞活动顾客消费达到的数量中，可以在五种里面随机选择三件。不同的赠品。比如说还是abcd。好在任意两位顾客所选的证品中，

至少有两种品种相同好，这里面出现了，至少看你应该怎么做。好，至少有两种相同，如果从正面做，大家注意至少。我们可以把它变成大于等于二是吧，至少可以把它变成大于等于二，这样的情况。好，都写写，看看大家会不会做？至少这里可以从正面做，也可以从反面做。

以后遇到至少大家把它变成大于等于号，变成变成大于等于二就可以了。啊，大于等于二。好大于等于二，那么要么就取二，要么取三，所以说正面情况是这样做的。这种情况就是有两种相同或者三种都相同是吧？两种相同或三种它都相同。啊，这样的内容看是不懂了啊，就两种相同或三种，它都都相同。分母的话就c五三c五三。

分子那么两人正好有两种相同，两种相同，那么就c五二从五个里面选两个，让这两个人。它是相同的，剩下各选各的。c三一c二一。再加上。两个人选的这三件都相同，就c五三。分母就十×10，上面有十×3×2，再加上十。越往有得到十分之七。好这个呢，

应该选择的是e选项。好，这样的应该选择e好看，各位同学是不是懂了？接下来看一下反面。看一下反面情况。好反面情况是什么？反面就至少有两个相同，大家知道大于等于二他的反面。大家想想是什么？大于等于二，他的反面。还没有小雨儿吗？所以大于等于的反面就小于。小于二就相当于取零跟一。

请0a一代表什么意思呢？就两个人品种都不相同。和两人只有一种品种相同。遇到反面求概率，一定要用一减。分母c五三c五三。啊分母它c五三c五三。分子咱们看看啊，分子。分子化零种相同，零种相同就是甲选甲的乙选乙的。甲呢，从五个里面。好五个里面挑是吧？五五个里面挑。

是吧啊，甲从五个里面挑。但在这里面，它不会出现什么，不会出现那么林总就两人，他正品都不一样的情况，那不会出现。是吧，也就说不产不存在零种相同的，因为什么？因为这种五种五种一个人选三种以后。剩下那个人，他没法再选三种了是吧？没法再选三种，所以大家通过逻辑分析可以发现它不存在。

两人选的。都是不同的，那不会出现，所以说在这里面它只能是只能是选这个出现一种相同的是吧？在这里面只能出现啊，一种相同的好，一种相同的话，那就相当于c五一，让两人有一种是相同的。相同的，然后每个人还差两种，每个人差两种，各选各的就行了是吧？各选各的c四二。c2啊，

各选各的，这样行了。啊，比如说这个相同的，他们都选的a赠品是相同的，剩下还有四个四个，一个人从四个里面挑两个，剩下一个人，剩下两个人就剩下两个就行了。好吧，这样的写都可以。好答案是一样的好吧，所以这次遇到至少至多大家要会分析和思考，看各位同学是不是懂了，还有没有什么疑问？

好，接下来咱们再看这个题。他在五种正品中还是随机选三件不同正品？然后任意两位顾客所选的赠品中，至多有两件品种相同。要不然至多有两件品种相同。至多要相同。大家想想，至多有两件呢，是相同的。好至多。大家可以把它变成小于等于号。小于等于号。好，大家发现至多的话，

它正面情况就多一点，正面情况小于等于二就零一二，当然虽然这道题它不存在零了。啊，两人必须要有一个相同是吧？啊，然后也可以从反面做。反面就小于等于二，它的反面就大于二。就小雨的反面又大雨。大于二，那只能是三个，只能取三了是吧？只能取三好，那他呢？

也就说他的反面就是。三个人选的这个赠品都是一样的是吧？比如说你选的ABC，我选的也是ABC选的是一样的。所以用反面做要简单。也有反面思考。就一减去。分母就是c五三×c五三。这样的啊，分母c五三×c五三分母总情况数分子化，两人选的它都是一样的，两人选都是一样的，那就c五三。就是选的这三种呃，选的三种，

大家都一样。啊，比如说选的是ABC，两人选都一样是吧？就c五三好这个一减去十分之一。给到十分之九。好这个呢，就选d选项啊，这个呢，就选d好的方法，看是不是懂了啊，它的做题要点，看是不是明白了？在哪里选d？当然，

正面也能做，正面就去做，正面呢，就相当于是呃，两人有一种相同的，或者说两人有两种相同的。相同的，这样也可以加在一起一样的啊。好，下面咱们再看这个题。在十道备选试题中。甲能答对八道，乙能答对六道。某次考试，从这十道题中随机选三道作为考题。

啊，从这里面随机选择三道。然后至少达到两道，他才算及格。这甲乙考都及格的概率到底是是多少？甲乙考都及格。好在这里面大家想想注意这个题，大家不要给呃，这个想多了是吧？有同学想到这个。十道题里面有哪些是甲答对的？有哪些是乙答对的？还有甲乙共同答答对的题目。那样就想多了。是吧，

你要把十道题要分为甲，能答对哪八道乙能答对哪些题，然后。甲乙共同答对的是哪些题？是吧，所以在这里面大家呢，就在做的时候呢，就是要注意。然后如果某次考试从这十道题中选三道作为考题。选三道作为考题。至少答对两题才算合格，那么甲乙考的都合格，这就从甲乙分别去考虑就行了好吧，所以这道题呢，大家注意。

我们来看甲要合格。假药合格概率，你看是是什么样的假药合格？假合格，咱用p1来表示吧，假合格概率。巧合概率，大家可以发现就相当于是。三道题，他至少答对两道，他才算合格。至少答对两道包含什么？包含答对两道。或者答对三道是吧来进行分析，答对两道或答对三道。

就可以了，好，那接下来咱们来看一下。分母是c13，因为总共。总共是十个题，选三个题。那么，甲要能答对两道题，甲要能答对两道题，就c八二还有一个题呢？叫答。错了是吧？c八二就从八个题里面。选两个会做的题。

还有两个不会的，选一个加上。加上那么甲答对三个题，答对三个题。答，这三个题的话，那接下来就相当于是c八三。啊c八三这样的情况。好，那么也可以用反面做都行，反面做。反面做是什么？反面做就答对一道。是吧，答对一道，

因为至少答对两道嘛，它的正面是至少答对两道。反面是答对一道。或答对零道是吧？答对一道或答对零道。答对一道应该怎么写呢？答对一道就相当于是c八一答错两道。还有一种情况是答错三道，答错三道，对于甲来说，他不可能答错三道。因为十个题，它八个题会会做了，还有两个题不会做啊，两个题最多都都都错两个题。

是吧，两不会做的题，它都错了。是吧，然后它不可能错三个题，因为它八个题它都对的，这样写也行，这样就可以得到十五分之十四。啊，这甲他的做题的这个合格的概率甲就求解出来了，咱们再看乙合格的概率。啊，已核概率。一个概率分母，我们看应该怎么写啊？

乙合格乙合格应该c13。c13好乙和个，要么就是啊，答对两道c六二。c六二，然后答错一道c四一，或者说答对三道。c六三是吧？答对三道。这样大家化简一下，得到三分之二，得到三分之二。好，那么两人都合格，两人都成功的概率，

咱们讲过两人都成功的概率。就等于两个乘盖的相乘就行了，所以说都合格。都和就是p1×p二。就十五分之十四乘以三分之二。等于四十五分之二十八。这个呢，应选择a选项。好，这是它的做题的要点方法啊，对于乙咱们就不用从反面做了，乙乙的反面，因为他有可能答错。两个有可能答错三个好吧，为什么甲可以从反面做，

因为甲的反面只有答错两个，他不可能出现答错三个的题目。是不是这样就写出来了，所以这道题最后还用到了乘法啊，两个同时发生或都成功，那么哪两个概率相乘就可以得到结果？好，这是它的做题的要点和方法啊，就这道题不要给考虑错了。好，下面咱们看这个题。好某公司九名工程师张三是其中之一，从中抽调四个人组成攻坚小组。包含张三的概率到底多少？包含张三。

包含咱们讲过包含谁谁自动就取到了啊，包含谁自动就取完了好吧，所以在这里面大家呢？就可以看出来好概率p。分母呢是。c9。四你从九个人里面随便选四个人，总的选法就c有四。分子分子如果包含张三张三就自动过来了，然后再从剩下八个人里面选三个人就行了。c八三二就包含谁？它自动过了，自动过了，表达式就不显示了，只要它自动就过了。

然后这下这些接下来我们就可以写c8c八三，从其他八个人里面选三个人就可以得到结果。然后得到就是九分之四。两至四好这样呢，就选择d选项。那答案选d好，它的方法思路看懂了不？这就包含谁或者不包含谁，一定要会分析和思考啊。好，各位同学，做这个题。某公司有九名工程师。有有九个人从中任意抽调四人助身。公关小组。

其中里面取四个人要组成公关小组。问，包含张三，但不包括李四，他的概率是多少？好，各位同学都思考一下。大家加油做。好看看应该怎么写啊？还有九名工程师从中任意抽调四人，就是从里面选四个人。这四个人里面要包含张三，但不包含李四，他的概率是多少？各位同学都想一想。

应该怎么写？在咱们写概率的时候，分母是比较好写的，分母代表总情况数，分母是比较简单的啊，分母写写是比较容易的。所以它的分母应该写成c十九四。啊c九四这是分母，它的总情况数c九四。咱们再看分子。再看分子。分子化，它应该怎么写分子？甚至包含过张三。包含谁，

它就自动就过来了，懂了吧？这块就不用再管它，包含张三张三就自动就过来了。所以张三就有了。然后不包含李四，把李四给它去掉。去掉就不包含李四。然后这时候剩下。九个人还去掉张三和李四，还有七个人。七个人再选三个人就可以了。c七三就可以了，这选三个人。虽然写的c七三，

但我们手里面有四个人，因为张三他已经选上了，张三选上了，那只有张三就有了好吧，张三选选上了。好。张三选上了，然后从剩下七个人再选三个人就行了好吧，然后这一块儿看是不是懂了？然后c九四算呢，就等于126c七三算等于35，剩下约掉。约掉一个七约掉七得到15，这得到18。啊，

这个呢，应该选择b选项啊，它的方法看是不是重要？好，这个内容看是不是明白了？所以以后遇到包含谁，它自己就过来了，不包含谁就把谁给它去掉就行了，好吧，这是包含不包含它的。呃，这个做题的方法看是不是明白了？好，下面咱们看这个题。某公司有九名工程师，

从中任意抽调四人组成攻坚小组。张三和李四不同时选上。它概率大家，谢谢。不同时选上。就思考一下啊，它不能同时选上。啊，应该怎么写啊？不同时选上。那这个概率应该怎样写？不同的选项，不同的选项的话，我们要从正面做，从正面做的话，

那情况比较多，正面做，比如说有章无理。是吧，正面又太多了。比如有章。有张三。无理呃，有理无章。好无章无理。是吧啊，五脏五里是吧，这样正面我觉得我们从反面做要简单。反面做就是张有章有理。就是张理和张和李同时选上。

好吧，这样你从头选上好看，有没有上传答案了，所以说概率p我们从反面做就一减去分母是c九四。分母是九四。分子的话是有章有理。有章有理，就同时选上。也就说这四个人账号里要同时有同时有那剩下还有两个人再从其他七个人选，两个人就行了。现在选两个就可以了啊，就是账号里同时选上这个过程，在表达式是不体现出来的。知道吧，所以像咱们像有的在表达式是体验不出来的啊，

所以大家呢，要有分析和思考。好，它表达式是体现不了。只有一减去他同时选上这样的一个方法，好吧，看懂了没有？好，那接下来我们简单算算。这是126，这是21。这样又等于六分之五。好这个呢，应该选择的是c选项。好，

这是它的做题方法和思路啊，大家做这些题的时候要结合一些逻辑分析看一下它正面好做还是反面好做？最后来写上答案好看，各位同学是否明白了？好，接下来咱们再看。现从五名管理专业，四名经济专业，一名财科专业的学生中，随机派出一个三人小组。好五名管理四名经济一名财会直接派出一个三人小组。则该校等三个专业各有一名学生，概率是多少？三个专业各有一名学生。它的概率好，

我们看概率p。分母大家看，总共几个人呀？分母总共是不是十个人呀？你看五个管理的市民经济的一名财会的。所以总共十个人，十个人，那总共选几个人？看看是不是要选三个人呀？这就c13。分母就c13。啊c13，然后分子。分子的话，它每个专业各有一名学生，

我们又从管理专业选一个是吧？管理专业选一个，所以就c五一经济专业选一个财会专业选一个。所以c五一c四一c一，然后这得到就六分之一大家化简一下。然后六分之一这样呢，应该选择的是e选项。就每个专业各有一个学生来进行选来进行取样，就可以得到答案了，好吧，这些题都不是特别难。这样就写好了。接下来咱们看这个题。现有四名管理专业，三名经济专业和两名财会专业的学生中，

随机选出一个三人小组。这里三人不用再排序，构成一个小组就可以了。知道吧，这三个人组成一个小组，这三个人呢，就不再分左中右排序了。则该小组中三人专业不完全相同的概率是多少？三人专业不能完全相同。好，我们看看应该怎么写啊？三人专业不能完全相同。好，都写写啊。三个专业不完全相同，

那从正面做的话，大家想想应该怎么做？就三个人，有可能是三个专业。有三个人啊，他来自三个专业，有可能三个人是来自其中两个专业。但来自其中两个专业还要分类讨论，到底是来自哪两个专业就是正面太复杂。是吧，正面太复杂，所以我们可以从反面思考。反面就三个人的专业，要是相同的是吧？它反面是专业。

是相同的。我们来看它的概率p。有没有同学设出答案来？都说说。分母总情况数总共是九个人。选三个人是吧？所以分母是九个人选三个人c九三。分母是九个人选三个人。然后分子。分子三个人，专业要相同，虽然专业相同，要么三个人都是管理专业，要么三个人都是经济专业。因为财会专业只有两个人，

他没法选择三个人。所以这种情况就不考虑了。好，那接下来我们来写下它的结果。c九三是等于84，上面是四+1。所以就是一减去八十四分之五就等于八十四分之七十九。这个呢，应该选择a。那这个呢？应该选a这样写好了，好看，这个是不懂了。好，接下来咱们看这个题。

现有四名管理专业，三名经济专业和两名财会专业的学生中，随机派出一个三人小组。则该小组中管理专业人数多于其他专业的概率。要多于其他专业。就三个人里面管理专业的人数要多于其他专业。各位同学都想一想，应该怎么做都思考一下。这时候要分类。啊，要分类。以后遇到。多雨啊，少雨啊，或者说这种大小，

这种范围形式，咱们要分类做。分类啊，那多余那有可能是管理。专业好管理专业，管理专业是两个人。其他是一个人。对吧，企业家是一个人。管理专业三个人。三个人，三个人，其他就零个人。其他就没有了。好分这两类好，

有没有同学算出答案来看谁算的快？好，get AP。啊，有没有什么设的答案呢？分母分母的话，正好是九个人。九个人，所以在这里面我们就可以看出。c九三是分母。c五三分子分子的话就是选两个管理专业人数c四二。剩下。经济专业和财会专业可以混在一起，一块儿选知道吧？可以混在一起，

一块儿选反正都其他再选一个人就行了。所以不用再细分了。所以进专业和财务专业总共是五个人，五个人。选一个人。加上加上加上的话，就相当于是。c五三啊c四三，因为c四三因为管理专业选三个就c四三。其他就不选了是吧？就这样，它的情况啊，所以第一个式子代表是选两个管理的c四二。从其他五个人里面，然后再选一个，

就选一个其他专业的选一个人。或者说管理选三个人c四三，这样就写好了好吧，这是他的表达式。啊c九三=84c四二是六啊六+6×5，得到三十三十，然后再加c四三是四。然后这样上下约掉一个二得到四十二分之十七。这个答案就选择d选项，这是他做题方法思路，看是不是懂了这个答案应该选择d它考要点。看大家是不是明白了？然后接下来咱们来看这个题。从四名管理专业，三名经济专业和两名财会专业的学生中，

随机选出一个三人小组。则该小组三人中至多有两种专业，概率是多少？好至多有两种专业的概率。啊，制作者有两种专业。好的，想想啊。啊，遇到至多有两种专业。那至多大家可以把它换成。小于等于。只要专业。种类小于等于二，小于等于二，

从正面做的话，有可能是两个专业，有可能是一个专业。啊，这边做那如果要是两个专业的话，还要讨论是管理还是经济还是管理还是财会？是吧，这样再分类就比较复杂，好大家从反面做看谁做的快，大家加油。它的反面反面要大于二，知道吧？小于等于二的反面就大于二。大于二就相当于是有三个专业。然后大家都想想一想啊。

好，所以这道题咱们用反面做要简单。1%减去那么三个专业就三个人，是三个专业。分母呢，是九个人取三个人。分母是九人取三人。分子的话就三个人要来，这三个专业都做做，三来人来三个专业c四一c三一c二一。是吧c四一c三一c二一就这样的情况。这样写好了。是不是这样就写出来了？好，那接下来我们换算一下答案，

分母是八四。上面就是四×3×2就24。剩下都约掉约一约，最后得到是七分之五。这样答案应该选择d选项。这个答案选d，这样就写好了，好看各位同学是不是懂了？好，这是它的做题方法，看是否明白了啊？好，接下来咱们看还有一些开关电路的题啊，开关电路的。啊图十杠一所示是一个简单的电路图，

这是一个简单的电路。s1s二三表示开关。开关这个闭合中的这三个开关中的两个，但这三个开关。三个开关要选择其中两个给它合上，合上问这灯泡发光的概率是多少？其实这样大家可以列举法例，举就OK了，例举呢，就是比较快的。对不对啊？列一下就行了。好，大家想想它的方法啊，列举一下来进行求解。

好列一下，我们可以看到它总共呢，就是s1s2可以闭合这两个。s1和s3这两个s2和s3。是吧，所以我们呢，就给它进行列举出来。好列出来，它总共有三种情况，所以要发光发光，大家可以发现发光就是s1跟s3这两个发光s2和s3发光。是吧s1和s3发光s2和s3是发光的是吧？所以这里面发光的。它有两种情况，总情况数三种。

是吧，总情况是三种，能发光就两种情况。那这个呢，应该选择e选项，这样写好在哪里选择e好它的做题方法思路，看是不懂了啊。而选择e选项。可以大家遇到这种开关啊，遇到这种电路图，大家呢，也可以列举总共有几种情况，把它列举出来以后，然后呢，我们再来进行观察。

啊，它发光这种这个有几种情况来进行写就可以得到答案了。好看，这个是不是懂了啊？好，接下来咱们看一些啊，这个电路题。好看，这个电路题好，电路题要结合一些列举法来分析啊，这个电路题。啊，就列举。好都想想电路题就如何来列举分析。好如图，

它是一个简单电路图s1s二三s4，它表示开关。现在随机闭合两个灯泡，能发光概率是多少？随机闭合两个。它灯泡要能发光。就这现在这个开关看到没？这个开关都开着闭合，就把它合上。好，那这道题也可以从正面做，也可以从反面做都行，正面做就发光。发光发光，大家可以发现发光，

你可以。可以发光，什么意思？就s1s2要选一个。闭合对吧？s3和s4要选一个闭合。想想是不是这样的，就s1s2这个要选一个闭合s3s4要选一个闭合啊，这样的情况是不是？选个闭合就行了，所以s1s2。选一个就是这个c二一代表s1s2选一个闭合。然后这个就是s3和s4选一个闭合。s3和s4选一个闭合就行了，然后这样就得到是四。

表示发光就有四种。接下来我们来看一下它的概率p。分母分母的话，总共四个开关，随便闭合两个c12有六种情况是吧？随便选两个闭合。剩下两个不闭合。是吧，有六种情况，分子就四，所以就得到六分之四，这样等于三分之二。得到是e选项。好吧，当然这道题也可以从反面做，

反面是不发光。不发光，不发光怎么样？闭合两个，它不发光，不发光，闭合两个只有两种情，只有两种情况，一种是闭合s1s2。是吧s1s二把它闭合上，把闭合上，然后这个灯泡是不发光的，或者说s3s4闭合上。这个灯泡也不发光是吧？因为这个电路它断开，

它没有通过来好吧，所以简单电路常识，大家要知道。好吧，这个电流它没通过来，没通过这个灯泡就不发光。所以不发光就是s1s。二闭合这一种情况，或者说s3s4闭合。好，这样的都叫不发光，所以说不发光概率有两两种情况。就一减去有两种分母还是c6c四二就得到是六。这就得到也是三分之二。好吧，

一样也三分之二，所以不发光，就这样的好看，各位同学是不是懂了？好答案都是选择e选项，看是否明白了啊？好，接下来咱们看这个题。如图所示，是一个简单的电路图。啊，那么s1s二三s表示开关现在随机闭合三个。问，灯泡发光概率是多少？这四个开关里面随便给他关三个。

合上三个好吧，大家想想。合上三个。那灯泡发光概率到底多少？想想这个题。好，这个题大家根据施工常识可以发现。b和三个，它灯泡b必然发光是吧？必然发光，这个就是不用算对吧？不用算。所以这道题呢，主要让大家练习大家的观察和反应能力。是吧，

它必然发光，所以闭合三个不用算了。它是必然事件，必然发生事件概率就为一啊，必它是必然发光。平方随概率p它等于一，这必然事件嘛，概率唯一必然发生的。是吧，这样就很简单，必然是发光的。他不可能出现不发光的情况。是吧，只要合三个，它电流肯定是通过的，

所以它必然发光。好看，这个是不懂了。他的方法。好，那接下来咱们来看一下。这个题实验产品中有四件一等品。那试验一等品从中啊，任取两件则至少有一件一等品的概率到底是多少？至少有一件印证品的概念。好遇到至少有一个大家可以从反面来做。反面来分析。反应分离就一减去它没有应用品。只要有一件一等品，就一减去它没有一等品。

好，这样的好吧，所以大家可以发现总情况数是十件里面取两件，所以分母应该写c12。就十个里面取两个嘛，就c12这要写好了。好，这是它的这个方法，十件里面取两件。分子至少有一件一等品，就算它没有一等品，它反面呢？是没有一等，没有一等品，就从六件里面取两件就行了。

是吧，这样的话，从反面做得到答案就等于三分之二，这样答案应该选择b选项。好，它的方法思路看是不懂了啊。接下来增加一点点难度。求这些概率的最大值，最小值，最值问题，看各位同学会不会分析好吧，求概率的最值问题。最值的一些基本方法，看会不会分析。甲两种品牌手机共20部。

任选两步跳一步，假手就概率为p。则p的最大值到底是多少？大家想一想。求p的最大值到底是等于几？好，这道题咱们怎么思考呢？因为咱不知道这个甲到底有多少个是吧？甲不知道有几个？所以在这里面，咱们呢？就设甲呢？是s部。设甲是s部。好，

那么这个乙就是20-s部。啊，如果甲要是s部，那乙就是20-s部。对吧，因为总共是20步。好看是不懂了，总共手机加在一起是20部。然后接下来咱们来看一下它的概率p。欠有一部假手机的概率。下一步，加入该ID，我们看怎么写？分母呢，就是c。

22啊，这是分母。分别代表是从20步里面选两步。是吧，就是分母。然后分子。分子的话，我们呢，就选一步甲，再选一步乙。因为这两步里面恰好一步是甲嘛，两步里面恰好一步是甲，这样的是不是这样写好了？好，那接下来大家知道这个公式。

CN 1正好就等于n。对不对？试验一这个公式就等于n。然后接下来我们再来看。这个式子。分母c22，它等于190。分母分母，大家要用组合数来计算，就等于190。分子这个CS 1就是x。是吧，然后这就20-x。好，那接下来用咱们前面学过的抛物线来进行分析。

那抛物线。可以用抛物线做是吧？这个把它看成开口向下的一个抛物线。靠向下的一个抛物线在这里面，它对称轴我们就可以找到。对准轴就是十。啊，对称轴正好是两根的中点啊，一个是零，一个是20，所以说它的中点就十。但也可以用矩阵定理做，因为这两个数的和为定值。何为定值的话？他成绩就有最大值。

是吧，咱们前面讲过，如果两数的和要是为定值乘积就有最大值，这时候呢，我们呢，就可以看当两数相等的时候，它取最大。所以这也是s=10，所以在这里面都可以得到，所以s=10的时候。p max.就等于一百九十分之十乘以十。确定十九分之十答案就写好了。啊，就得到这个结果好看，

这个懂了吗？这个答案应该选择的是d选项，他的方法。好，那么也就说咱们在做一些概率题的时候，它可以结合。咱们前面学过的抛物线呀，或矩阵定理呀，来计算一些最值这类方法，大家要知道好吧，通过这个来求解它最值。好，咱们一起来做这个题。已知十件产品中有若干件一等品。就一等品的若干件，

咱也不知道里面有几件啊？若干件一等品。从中任取两件。至少有一件一等品的概率为p。问p的最小值到底是多少？各位同学想想。p的最小值到底是等于几？就这个十个产品，里面有若干件是一等品。现在咱从里面招收两件。招完两件后发现什么？至少有一件一等品，概率为p。求p的最小值到底等于几？好，

大家想想这个题。但遇到至少有一个我们应该从反面做对不对？至少有一个大家肯定要从反面做。所以我们可以设这个实践产品里面。有n件一等品。是吧，实际咱也不知道多少件实践中。有n件一等品。然后其他的都是非v定品啊，就是十减n键。非一等品。好实际案件非一等品。好，接下来。大家呢，

就可以从这里面用反面来写它的概率p反面法。反正啊，就一减去。至少有一件一等品的概率是两件都不是一等品。对吧，至少有一个异能品，它反面两件都不是异能品，所以分母呢就c12。分子的话就c。好，因为它这个。在这里面，大家呢？就可以看到。就是c。

十减二二。啊，这样的。其实这地方要设为n要好解一点儿是吧？这地方设为n呢？要好弄一点儿。嗯，反正是咱们往下写吧。好，那c12c12大家可以看到。这个大家运算一下c12。和上面的CN 2，这个二可以约掉啊，可以约掉，约掉就变成90了。

然后这边十减乘以个九减。是吧，十减乘以九减。因为这上面都有二，这个下面有二，所以把它约掉。啊，刚才咱们应该设这个非等品的，为n键要好写好解一点儿，要不然这个。首先这个也能写一会儿，讲讲完这个告诉大家设这个非等品为n件，你可以看好好讨论点儿。啊，这个也能讨论，

就是麻烦点。90分之。90。减19 n+n^2。是吧，这样的。可以看到，它正好是这个把它乘开乘开，正好是90。减去19 n+n^2，然后这个通分吧。同学们，把这个一一可以写成九十分之九十，然后这个一相减。你想减，

你想减这个呢？就变成90分之。负n方加19n。这样的。对吧，这样的一个一个数值情况。然后做到这做到这，大家可以看到这是开口向下的抛物线。开往向下的抛物线。它对称轴对称轴是多少呢？对称轴。钝轴是二分之十九。零九点五。盾轴九点五，大家知道啊，

离这个盾轴越远，离这个盾轴越远，它这个越小，离盾轴越近。它越大。是吧，直接对应轴啊。这个明白吧，只有对称轴。那越近它这个越大，离它越远越小。是吧，所以我们看n的范围啊。这n肯定要大于等于一。是吧，

这个n肯定要大于等于一，为什么大于等于n不能取零？因为人家说了实验产品中有若干件一等品有，有的话就代表至少有一个。这个有啊，就代表至少有一个也说这n可能是大于。三位一的。是吧n肯定是大于等等于一。对吧，因为有嘛有就得至少有一个不能说，没有一等品，没有一等品不行，人家题目说了，要有就一定是有一等品的。所以这个n大家可以发现n取一的时候，

那么应该是这个抛物线最小明白吧，所以n取一的时候。它最小，因为n取二的时候，它这正好在增加是吧？这个在增大，那大家就可以写出来。好看看大家会不会写它的方法？看会不会纠结。这n=1的时候。看p呢，是最小的。九十分之负一加十九。等于九十分之十八得到十五分之一。好，

如果这道题要问n比较大nn要大n要大就基因对称轴就行了，基因对称轴比如n=9的时候。这点呢，离盾轴要近一点。是吧n=9的时候，这个对轴它近一些。好，这是给大家强调他做的一个方法思路，看是不懂了。对它，这是一个抛物线。对吧，这是一个抛物线。好，这个咱们是设那个什么设那个？

呃n是一等品，十几n键是非一等品，反正这个这个这地方运算稍微复杂点。好吧，如果反过来设，看是不是要简单点，另外一种。另外一种，另外我们设n键呢，是非能品。设n键非一等品。设n件非正品，那么他概率p我们就可以写出来了。一减去分母还是c12？分母还是c12分子，

又变成CN 2了。s in 2，知道吧？分子是s in 2。然后就等于一减去这个就90，这是n×n- 1。得到这个值，就n×n- 1。对吧，跟上面差不多吧。是吧，这跟跟上面差差不多。啊，只知道这个结果。那这个你给它通分也行，

通分也行呃，不通分也没事。同样就是这是90，就是负n方加n。90这样的是吧？这样的。就是把这个乘开，这前面还有个负号啊，还有负号，然后这个一给它通分过过来。跟过来，然后这个也把看开口向下的抛物线。抛物线和抛物线，它对称轴正好呢，是二分之一是吧？

所以它对称轴是二分之一。定做二分之一。但是二分之一大家发现什么问题啊，这个n越大它越小是吧？n越大它越小n越小它才越大。所以离离这个盾轴越远，它越小，所以这时候nnn最多就取九嘛n，最多取9n，不能取十。为什么不能取十呢？因为这十件里面一等品最少要有一件，那非正品，那也是。最多要有九键是吧？

这个n应该小于等于九。是吧，不能超过九，那就小于等于九。那小于等于九这样就写出来了。是吧，答案就求出来了n小于等于九最大值取九，所以大家可以发现n=9的时候，它是最小的这样。也可以好吧，这样一样，所以n=9的时候。这个p呢，是最小的。p最小，

然后在这里面大家算的，结果也等于是五分之一。把这九带到里面算答案是一样的。然后这是它的做题方法，思路看是不懂了。下面咱们看这个题。好里面的讲义甲里面放了大小相同的试卷，共12页。总共12页，其中五语文是五页，数学四页，英语三页，他随意的从讲义夹中抽取一页，他抽取是数学试卷的概率是多少？咱们知道如果要取一个样品。

取一个样，取一个样，它的概率就等于所占的比例啊，比如说咱们取球，如果取出一个球，它是红球的概率就等于红球。所占的比例好吧，所以它这个是数学实验的概率p。大家知道总共呢是12页。总共有12页，那数学呢？是四页是吧？数学是四页？然后这样就等于三分之一。建议大家去选择b，

选择e三分之一就行，就需要了好吧，所以说在这里面就取一个样。取一个样品，它概率呢，就等于所占的比例。概率就等于所占比例，用这个比例来进行求解就可以了，好吧，看大家是不是明白了啊，用这个来分析和思考。好，下面咱们看这个题。某试卷由15道选择题构成。每道题有四个选项啊，

它四选只有一个选项是符合题目要求的，就像单选题了。啊，然后甲呢是有六道题呢，能确定正确的选项，就他自己会做能做对。就15个题能做对。你看它有五道题，能排除两个错误选项。有五个题啊，能排到两个错误的。剩下两个它就不会做了，因为它四个选项有两个明显错误的。它有四个题，有四道题能排除一个错误选项。

它是一个错误选项。然而，如果从每道排除后的剩余的选项中。随便蒙一个啊，选一个作为答案则甲得满分的概率到底是多少？好让算得满分，得满分就是相当于他正好能蒙对是吧？好那想一想，大家这道题想想。它有六个题能判定正确答案，六个题会做，会做的话，它概率就为一，就不用再写了是吧？有六个题，

它正好能做出来。啊会做，所以这个就不用写了，右五道题能排除两个错误选项啊，四个选项有两个排除错了。剩下两个，剩下两个，它蒙一个正好蒙对概率是二分之一。二分之一因为五道题，所以说二分之一的五次方为什么五次方因为二分之一乘以二分之一乘以二分之一？好，这题到底写加还是写乘大家呢？要弄清楚到底写加还是写乘，因为大家在做题的时候。它这个加和乘的区别什么呢？

如果任务。没完成就写乘，因为这试卷还没答完，没答完就写乘号啊，没答完就写乘号，答完了就写加号。是吧，所以在这里面大家呢？就可以写出它这个题还没做完，又写成了啊，乘以有四道题能排除一个错误选项。设定能排除错误选项，就相当于是三个，剩下三个选项，蒙一个就三分之一。

的四次方这样写好了好吧，所以大家注意这个呢，应该选择的是b选项。这样就写写出来了，所以通过这道题，大家要知道那么加跟乘的区别。阶层的区别，阶层区别化，它区别什么呢？很简单，就看这个事情是不是做完了任务是不是完成？好，如果任务没完成。就写乘号，比如这个活儿还没干完，

还差几个人没干完，那这时候写乘号就整个题目大家没完成就写乘号。如果完成了，就写加号。完成就写加就行了好吧，解答方法完成就写加没有完成就写成。好，这是它的这个知识点啊，看是不是懂了啊，所以加根乘比例写错了啊，这是它的答题方法。好，接下来咱们再看这个题。某试卷由十道重新判断题构成。每道题有五个选项，

只有一个选项是符合要求的。甲呢，有两道呢，能确定正确答案。有两道呢，他能确认这一单有他会做是吧？有两道能确认这一单。有两道会做。然后有三道题呢，能确定条件，一是不充分的。确定条件，一是不同的。大家知道题目一要不充分。咱们重新判断题，

看它备选答案是多少是吧？如果条件一要不充分。它在备选答案。条件一不充分，就不能够选a和d了是吧？重新判定，大家都知道不能选a和d。那有可能选b。有可能选c，有可能选e，所以他蒙对的概率就三分之一。是吧，反正就剩这三个，你随便蒙一个吧，蒙对概率有三分之一，

对吧？好，这是第一个确定条件，一是不同的。然后有两道题能确定，二是充分的。调整充分的。好条件二充分的话，条件二如果充分条件一，咱还不知道最后答案，要么就选a，要么就选，要么选b，要么选d。因为条件，

它已经充分了，对吧？条件充分了。这时候呢，它就是蒙对的概率是二分之一。是吧，所以说在这里面啊，因为条件是充分的，对吧？充分如果条件单独充分就选b，如果条件一也充分就选d。有点d接下来咱们看剩下题目两条都是互相矛盾的。大家知道，如果要矛盾。两条线矛盾的话，

就不能选c是吧？咱们讲过不能选c，有可能选a，有可能选b，有可能选d，有可能选e。所以说Monday概率就四分之一。是吧，蒙对概率四分之一好，那接下来咱们看一下总共十个题是有两个题能做对两题能做对，就有这个会做就不用写了。然后有三道题选这个这个呢，是有三三道题。三个题，然后这有两个题能确定是充分的，

两题能确定充分的，总共不十个题吗？十个题有两个能确定答案的。然后有三个。是一不充分的，有两个。是充分的，所以这时候还剩下。还剩这时候总共已经做了七个题，七个题还剩下两个。还还剩下两个好吧，所以说在这里面大家呢，就可以看出它的这个方法。对，还剩下三呃还呃呃，

还剩下，因为它有两道题呃，有三个题，剩下三个题是矛盾的，对吧？好，因为总共它有两个，两个题会做嘛啊，有两题会做，然后还有三个题，一是不充分的，还有两个题呢。这个二是充分的，剩下三个，剩下三个题都是矛盾的，

接下来我们可以算出它的概率p。那这样三分之一的三次方。乘以二分之一的平方。等于四分之一的三次方。好吧，然后接下来答案我们就可以求解出来，答案正好是选择e选项，答案就求出来了啊，正确答案就选择e。好，这是他他得满分的概率好吧，所以大家呢，在做田园春判的时候告诉大家，在蒙猜的时候不要随便去蒙猜。是吧，

你根据条件逻辑关系，然后呢呃压缩一下选项的范围，这样蒙对的几率也会高一些。好吧，看这个是不是明白了啊？下面咱们看这个题。某实验由十道重新判断组成，每道有五个选项，只有一个是符合要求的。假如有三道能确定正确答案，有三道可以确定正确答案。有两道能缺现，两个条件都不充分。有三道题呢。能确定条件二，

包含条件一。有两道呢，能确定两个条件的，不用联合，如果每个题排除后，剩余选选一个答案这。得满分的概率是多少？好，咱们一看看这个，它有三道题呢，能确认正确答案。这呢，他就会做有两个题，能确定两个条件，单独都不充分，

所以这个如果单独都不充分。好，要么选c，要么选e。单独都因为单独都不充分，要看联合了，联合要么充分，要么就不充分，所以选c和e。有三个题能确定条件，二包含条件一啊，有条件二要包含条件一。好条件要包含条件一，那在这里面大家注意。注意，

那肯定不能选b了。如果b要成立b的大范围，要成立条件一，它肯定也成立。是吧，所以有可能选a。啊，有可能选a。然后也不会选c了，有可能选d，有可能选e。是吧，就二要包含一这大家在做通分判的时候，你要知道如果二的范围大，包含一的范围。

这时候呢，大范围的。单独不能充分，但它大范围，如果单独充分的话。那你比如说你举个例子吧。你可以看这个二的范围比较大，二的范围正好包含条件一。想想如果二要成立s大于一要成立，那么条件一它肯定也成立，所以说肯定不能选b。那有可能选a。那也不能联合，因为联合以后它的交集还是二，所以没必要联合。

对吧，然后有可能选d，有可能选e好，这是二包含一。有两道题能确定两条线不用联合啊，不用联合。好不联合，要么就选a，要么就选b，要么选d，要么选e。是吧，它它就。啊不不不，用联合。

好，那这是它的方法，所以在这里面大家可以看一下，有三道题能确认答案。有三道题，它能能能确答。好吧，然后这一块儿。然后不用联合，不用联合的话，那在这里面那么就不用选c跟e了是吧？不用联合。不联合，因为c跟e是联合以后充分和不充分c和e都需要联合。对吧，

然后接下来我们看一下题的数量。结束的话，大家可以看到。呃，有三个题能做对，有两个题能确定。确定这个不充有三个题。这样的有三个题。能确定。是包含关系，有两个题。是不用联合，然后还有三个题会做好，这十个题的情况，接下来我们看一下它概率p。

它的概率p。get a pg e tap的话，然后在这里面大家可以看到。这个二选一就是二分之一。的平方乘以个。存在三分之一的平方。三分之一三次方，然后再乘以三分之一的平方。是吧，31平方。然后这个呢，应该选择a。现在大家应该选择a这样写好好吧，现在大家选a好，这是它的方法思路，

看是不懂了。好，下面咱们看这个题。曾有一个红球，两个白球，三个黑球中随机选了三个球，这三个球的颜色至多要有两种。好之后两种那正面。不好做，咱们从反面好吧，这道题从反面做。能反面思考就可以了，因为至多有两种。它的反面就表示颜色有三种。就多于两种嘛，

所以颜色有三种，所以它概率p就可以一减去。分母分母的话，总共它是一次性取三个球，一定要看清楚啊，它一次性取三个球。一寸取三个球，那总共呢？它是六个球对吧？所以一个红两个白三个黑，总共是六个球。啊，六个球取三个球。好，六个球取三个。

然后三个其实颜色只都有两种，它的反面有三种颜色都有，就一个红的，两个白的和三个黑的。啊，一个红的两白三黑的。然后这个减括号正好等于零点七。零浏览器这样呢，就选择。选择e好吧，所以这是它的方法，所以大家从反面做就可以了，好看这个是不是懂了啊？看是不是明白了？好，

接下来咱们看这个题。从装有两个红球。两白球，三个黑球袋中随机选出三个球。这三个球的颜色至少要有两种。如果感知道两种知道两种，这个正面反面差不多，咱们就从正面做就行了好吧，从正面做它概率p。我们可以把它写成总共呢，是七个球对吧？两个红两白，三个球总共是七个球。啊，七个七个球，

至少有两种。啊，至少要两种，至少两两种话。啊，它的正面什么颜色有两种或者三种是吧？所以是正面就是两种颜色或者三种颜色。正面反面，我们看是不是要简单点？反面是不是？就一种颜色。是吧，反面就就就只有一种颜色，那这个从反面做嘛？反面反面就是分母就c七三，

从七个里面选三个。啊，从七个里面选三个就c七三。分子分子，它颜色只有一种。就三个球的颜色，只有一种三球颜色，只有一种大家发现它这个只有黑色是是三个。他可以选三个，因为红的和白的，他只有两个红的和白球，他只有两个，只有两个取不出三个球。它只有两个球，我们把它取出三个球，

所以在这地方只有黑球，它能取出。三个来是吧？所以它的反面这样算出来就等于一个三十五分之三十四。这个呢，就选择a选项。好，这是它的考试要点和方法，所以大家在做的时候，我们要知道呢，它的方法就是看正面反面它怎么？怎么好算？好，所以说在这里面，如果呃白球红球它取不出来三个，

这时候呢，它就不用管它，就看三个黑球取出来就可以了。这是它的做题要点。好，下面咱们看这个题在一个不透明的布袋中装有两只白球m只黄球和若干只黑球。它们只有颜色不同。就颜色不同，其他都一样，这m=3。条形一摸出一个球，它的概率正好是零点二，大家记住，如果取一个样，取一个样的概率就等于它所占的比例。

知道吧，取一个样好这样的。好条件二它取一个样，摸到红球概率是零点三好，那接下来我们来看一下条件一。条形它取一个球。白球概率是零点二，说明白球占了总数量的零点二。总数量零点二，因为它取一个样，这个概率就等于它所占的比例，知道吧，所以条件一。它等于白球占总数的。零点二这样就可以得到总数。

应该总共是两只白球嘛，所以总数就可以算出来，总数就得到十。所以条件二单独呢，是求不出来，里面有几个黑的，有几个黄的，这也求不出来，所以条件一是不行的。条件他他摸到黄球的概率是零点三，就说明黄球。占总数。这样是零点三。还原占整数刚好只有零点三，这个写好。

是吧，这是零点三就求解出来。环球不是占总数的零点三吗？但是咱们这些总数单独看条件，总数又不知道是吧，总数咱又不知道多少个。也不知道它有几个，所以在这里面条件上单独也不充分，领养企业就可以了，领养企业我们根据条件一得到总数为十。所谓是带到这个带到这个条件上的分母里面带到这个分母里面带到这个分母里面就得到十分之它的黄球。黄球这样有m个嘛？黄球这样有有m个对吧？所以黄球。它这样有m个。

然后这样m就会等于是三，所以联合是充分的，这个呢，就选择c选项好，这是它的做题方法和思路。所以这道题大家要掌的问题是取一个球，它的概率就得到所占的比例，要掌握这样的内容就可以得到答案了。

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01.讲真题-第10章第1节-题型1

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