02.讲真题-第9章第1节-题型2-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 05:59:38

接下来咱们看里面的题型。首先，看选取问题。啊，现在当样本比较多，供应的比较多，然后这时候呢，就选取就行了啊，供应的比较多，进行选选取。可以由于针对不同类别元素的选取，要结合至少至多不完全相同，完全不同的问法来进行求解。好吧，有时候正面做，

有时候反面做，你就看正面反反面啊，哪个简单正面分析还是反面来求解？啊，这时候而且排列组合对咱们。学习逻辑。也是有帮助的，所以大家呢，要把排组和逻辑结合在一起，当然逻辑学好了，对分析排列组合问题也是有帮助的。懂了吧，所以逻辑和排列组合数学这块，它是呢相互促进的。如果排列组合这块学的不太不太好，

那会影响逻辑，同样逻辑，如果没有分析好，那像有的你分析排列组合，那你就转不过来。是不是绕不出来了？好，所以大家呢，要把这个选取要弄明白选取呢，这是重点选取，一般经常要用。考的也比较多。好，大家先看这个题。这道题是男生女生，

他把样本分类进行了，比如说有时候咱们分成。呃，红球黑球。或者红球白球来进行选是吧？那在这里面大家呢？也会分析和思考。好，都想想。都思考一下，看这个题应该怎么做？某办公室有男职工。是五个人，女职工是四个人。男职工五个人，

五个人，女职工四个人。要从中抽调三人支援工作。这三个人支援工作。但至少要有两位是男士。大家这道题想想。好，这里再说一下，容易错的一个方法啊，大家有没有同学之前做题时候容易犯错误？看错误的方法，看错误啊，就至少两难。它的一个错误方法。有同学说我先选两栏。

先选两难，从五个人，五个男生先选两难，反正至少两两难嘛。然后剩下还有三难。四女七个人，从七个人随便选一个，反正这个不管这七个人里面选的是男生女生，反正至少就有两男。听起来好像合情合理，但这样做就错了。错了，这个重复了，知道吧？错因就重复了。

重新又重复了，因为它从同一个样本取样，它又重复了，你给它编上号就明白为什么重复了，比如说男职工分别分成abcdefabcde。然后c的话，有可能取得AC这两难的c71000取得是d这个难的c的话，有可能取得AD这个两难的c7取c。是吧，它这个就重复了很多好吧，所以大家千万不要从同一个样本。多次取样啊，都是同一个样本取，第一次抓一个，第二次又抓放在一起，

它就重复了。知道吧，这个重复错误。什么时候可以从同一个样本取，你知道吧？比如说放在不同的位置，放在不同位置，这个没事，比如说咱们讲的个位，十位，百位。啊个位十位百位，比如说我从这几个数取一个放在个位，再从剩下的取一个放在十位，这个话可以，

这虽然都从同一个样本取。但它它放的位置不一样是吧？放的位置是不一样的，这样的话是可以从同一样本取。如果你从同一样本取取完放的位置也是同样的一个位置，比如说从这个人里面取一个人放在个位。然后再从里面取一个，还放在这个位置，还放在同样的这个位置，然后这时候它就肯定会重复好吧，所以大家注意。这个解法就分类。就分类就可以了，好至少两男，它也可以是什么？

可以是两男一女，两男一女就是c五二。乘以一个c四一，因为这个活没干完。活没干完，然后就写。乘号知道吧，后面干嘛就写乘号，所以说这个就代表是c五二×c四就两男一女。这个等于40，然后另外还有三个男生的情况，三个男生的情况就是三男。就等于十，所以分类用加法，所以共。

50种。这样求解出来，建议大家选择a。好选a。好，大家发现你看咱们这些解法，这些解法看样本就隔离开了，我从男生取完以后就不再从男生样本取了是吧？从男生取完后就不再从男生样本取了。是吧，然后剩下从女生样本取，所以取样每个样本我只取了一次样本，看没有重复取。也就是说，男生取完后就不再从男生样本取了是吧？

样本就取的时候没有从同一样本取。反正记住你要你可以从同一样门取，取完后要么就取完以后放的地方是不一样的啊，给它隔开了，放地方不一样，要么你就取的时候。啊，只能从一个样本取一次好吧，这样的话就不会出现错误啊。好，各位同学再加油，既然排组合，不用刷多少题，把一个题举一反三，弄明白了你就会了。

好，这个题大家想一想。把至少改成至多，大家会不会做？大家都加油做啊。我看大家这个学的还是不错的，大家都加油，做都做对了，是不是？有男职工五人，女职工四个人。从中抽调三人支援其他工作。至多有两位是男士，想想这道题怎么做？好，

那这道题可以从正面做，也可以从反面做，反面做要简单点。之中有两位男士正面做的话，有可能是两个男，有可能一个男，有可能是没有男。是吧，所以这面做呢，要复杂一点。这面就分类，分类的话至多有两难，是至多那就相当于是两难。一女啊，两男一女加上，

要么就是一个男两两女。要么就三个女生，这样做也可以。好要我觉得从反面做比较简单。反面做的话就相当于是。总共七个人。总共九个人。因为五+4是九个人。九能选三个人。这九个人选这样的。简约至多有两个男士，它的反面就男士三个超过两个，超过两个就三个，三个都是男士，三个都是男士，

就是c五三。就等于八四减十。就等于74答案就选d。答案选d这样写好好吧，最大方法看来是不懂了。好，接下来咱们来看这个题。某办公室有男职工五个人，女职工四个人，从中抽调三人支援其他工作，要求男女都有。你想想怎么做锻炼你的思维？大家都加油，男女都有。好，

哪里都有，应该怎么写？好，那接下来咱们看男女都有，男女都有的话，如果正面做。你千万不要用错误解法啊，我再强调一下，千万不能再出错了啊，咱们已经讲过若干遍了。错句话这样的，比如说选一个男选一个女，就选一个男选一个女，反正他男女都有嘛。然后再从剩下七个人里面再选选一个人，

就剩下还有。四个男生，三个女生，七个人再任选，一个任选一个，然后这就出现重复重复的特别多啊，咱咱咱不再讲了，你自己编个号，把它一列，你会发现重复特别多。好吧，这个咱就不再说了，然后这些接法这些接法要么正面做正面做就是呃，一男两女。或两男一女。

这样是吧？这样做。九点70选择a选项是吧？或者说反面做也行，反反面做用c九三。减去全都男生没有女生。再减去前头的女生，没有男生。是吧，然后这样就等于八四减十再减四就等于七十。啊，这样也可以好吧，正面反面都给它写上它反面的含义代表是全都是男生，没有女生。或者说全都是女生，

没有男生。好，这它反面。好，那接下来咱们再看这个题。要有什么要有男职工多于女职工。有男生多于女生出的方案到底有多少种？大家想想。怎么样理解男生多为女生？都思考。怎么理解男生要多为女生？所以如果出现这种不等式大小啊，出现这种不等式。或者大小。这样的。

这样的这样的话，大家呢，就要分类讨论就行了。所以方法就分类讨讨论好吧，好来想想男职工多于女女职工，男职工多于女女职工，那怎么写呢？就男生要么就是。两个女生，一个是吧？所以要么就两男一女，要么就三个男男生。是吧，三个男生，反正男生多为女女生嘛，

那就40+10。就等于50，这答案选a。是吧，就选一这样写好。好看，是不是懂了？好了，那么这个题就全方位的让大家掌握什么分类，比如样本这个分成男生女生两类。像有时候分成三类啊，有时候分成四类，比如分成三类就是红球，白球，黑球。

是吧，分成。三类有时候还分成四类，知道吧，所以这类的方法要知道，而且要知道分类用加法分步用乘法。好，那接下来咱们再看这个题。某公司员工义务献血在体检合格的人中。这个体检是合格的。然后这时候分成四类，你看有O型的A型的B型的AB型的。它把样本分成四类，按照血型分成四类，有O型，

A型，B型和AB型。好若同四种血型的人，各选一人去献血。则不能选法到底有多少种。这波段选法到底有多少种？好，那这道题大家注意要写乘还写加，一定要弄清楚。要各选一个人。各选一个人，各选一个人，大家想想是吧？应该怎么写？O型的选一个人，

这个事儿没做完，就讲到这里给大家讲讲乘和加它的区别啊，好这事儿没做完，没做完就写乘。乘以c五一，乘以c八一，乘以c七三一。要算它结果是吧，然后这样就等于1200。好，那接下来我们看加跟乘的区别。加上层的区别，加上层区别就在什么地方区别，区别在于什么地方？就看加一层，

它这个任务是否完成？如果任务完成了。那就写加就做完了就写加，如果任务未完成。未完成就写成是吧？未完成它就写成这样的啊，没有完成就写成。完成就写加啊，这样的。呃，活儿没干完嘛，还没取完，没取完就写成。四，大家来了。

好，你看这个题，这个题就稍微难一点了，增加难度，而且对大家逻辑要求比较高了，都思考一下。某公司义务献血在体检合格的人中O型还是十个人A型，五个人B型，八个人AB型，三个人从四种血型的人中。啊，选择三选择不同血型的三人去献血。咱不不有四种血型的人吗？啊，就这个有四种血血型的人。

好，大家想想。嗯。就咱们现在这个体检合格人中啊，有四种血型，这这些人。你要选出三选择不同的血型。算着。就从以上这些人中啊，从以上这些人选出不同的血型，三人就这三人血型都不能一样。啊，问有多少种方法？大家看，这时候我们就得分类是吧？

好，有的人做的比较快，算完了是不是啊？就得分类。分类分类化，然后在这里面，大家呢，就可以写出来啊，分类。那么，要么就是选一个什么选一个这个分类做了。选一个O型的，选一个A型的，选一个B型的。或选一个O型的，

选一个B型的，选一个A型的。是吧，或者选一个O型的，选一个A型的。选一个AB型型的。或者选一个AB型的，选一个A型的，选一个B型的，选一个AB型的。这样的是不是这样的？好，然后把它加在一起，这样得到是910。这个答案应该选择b选项。

好，这个算好了，选择b。他的方法。是吧，就三三个人的血型都不能一样这样的。好，如果这道题要改改一改啊，如果它这个数值都是一样的人啊，数数值它都是一样，比如说。比如说都是八个人。啊，这里咱们算做完了，如果假设都是八个人，

每一种血型都是八个人，如果改变了。每种血型。都是八个人。呃，每个企业呢，都是八个人。好，每个选项都是八个人，都八个人，这种这种做的时候你就可以简化了，比如说这个O型也是八个人A型也是八个人B型，也八个人AB型，也八个人。看这个c八一c八一c八一c八一c八一c八一c八一，

这都是c八一。是吧，这都是c八一。然后这样就可以简化，知道吧，反正都是c八一嘛。都是yz就可以简化。z8 AC 8 AC 8a，它都可以简化。是吧c8 AC 8 AC 8a它都能都都能简化。它简化的话，那这个从四种血型选不同血型三种，你就可以完成这样一个东西c四三。这三代表什么呀？代表四个血型选三个血型。

是吧，因为有四种血型选三种血型。然后每个血型都是c11呃c八一了。c八一×c。八一是不是没有选？都是c八一c八一c八一。是吧，这样就可以选四的七次方。因为c13=4嘛。c3，它为四。好c3大于四，然后八八八可以写成二×4嘛？八八可以写成二二乘以四二，或者说那么变成二的方米也行。

是吧，然后就四。乘以八的三次方。八三二它可以写成二的。九九次方吧，二二九次方再乘以二就二的11次方，这样也行。啊，这样也可以是吧？这样也行啊，注意啊，如果他的血型人数都一样，就可以用组合选了。昨天刚才为什么不能不能写c13呢？又怕有同学说这不有四种血型吗？

四种血型，我三选三种血型啊。为什么不能写个c13选三种血型呢？因为它的人数不一样，人数不一样就得分开写，知道吧？人数不一样分开写。如果每种血型的人都是八个人都是一样，或者都是六个人都是一样，或者都是五个人，它都一样，所以啊，这时候呢，你就可以把它。把它直接写个c四三c四三，

就代表从四个血型挑出三种血型，然后每个血型选一个人。这样的话，这三个人的血型就是不一样的。好看，这个是不懂了。好看看这个是不是明白了，想一想。好，然后再看这个题。好在体检合格中啊，反正还是这个一样，从四种血型的人中选不完全相同的血型，三个人去献血就从这这么多人。选择不完全相同的血型三个人。

啊，不完全相同的。这不是完全相同，这三个人的血型啊，不是完全相同。之前的题咱们做的是。完全不同的血型，三人的血型完全不同，大家都思考一下，看这个题都加油做做。看这个题的方法。想想应该怎么做？好，这个题有没有同学算出来这个题？好，

这题已经算完了啊，不完全相同，这个咱们肯定要用反面法求求解。只能用反面法了。方法要选要减去什么，减去完全相同的血型，那总共咱们加在一起共是二六个人吧，十+5+8+3。就等于26个人啊，所以总共是26个人。从26个人的话，那它看它的反面情况啊，总共是26个人。好，26个人的话，

那在这里面大家想一想就26个人。我们可以怎么写？想想总的情况是二六选三，这是总的选法。仅三人的血型相同，三人血型相同，有可能三个人都是O型血的，你看三个人都是A型血，看三个人都是。B型血有可能，其他的都是AB型血。啊，这样就等于二四一三这个答案选a把数稍微大一点儿。就二四一三。好，

这里写好了好吧，看这个是不是懂了？呃，用总的情况数减掉三人血型相同。相当血型的这个人好吧，看这个是不懂。好，接下来咱们看一下这个题。某公司员工义务献血在体检合格的人中还这么还这么多人，所以从四种血型中选三人献血，还还是用这么多人选三人献，要必须要有O型的。你大家要这知道这个O型，它可以给。各类型的共是吧，

所以说这个必须要有O型的。就从这个这个这么多人里面要选三个人去选取。那必要有O型的。必须有。好，大家知道这个逻辑里面咱们学过有就代表至少有一个。也就代表至少有一个。好，这个大家会不会做这道题？大家是不是也要从反反面做？因为正面的话比较麻烦，有O型血的，到底是有一个O型血还是两O型血还是三个oo型血？咱从反反面做。反面话就是总共还是26个人啊，

还是26个人，26个选三？减去没有O型血的，没有O型血的话，这时候你就不用分AB这样的情况了，你就把AB这种情况都合在一起，就16个人。选三个对吧？适当选三个好，这样就等于2600。减掉一个560等于二零四零。现在大家选b选项。好看懂了没有？当然正面做，我四给你列列好吧，

正面做四列列。这样就有一个O型的。和其他选两个人。加两个O型的。其他选一个的加三个oo型的。是吧，如果正面列就这样列。好吧，正面列它就这样写。然后就正面的做法好吧，这个算的也等于二零四零。就一个O型的，两O型的，三二O型的这样写。好，

那接下来咱们看这个题。这个题它要求O型血的人数。要多于其他人数。咳咳。O型血的人数是最多，相当于是。就是从这里面选三个人献血，这三个人里头on血的人数要多。大家想想。应该怎么写？就on血要占的多。多为其他斜线人数。好都思考一下on写的人数要最多。好，那接下来咱们看应该怎么写？

好要oe写的人数要最多。欧文写的人数要最最多。那我们可以看O型血，可以两个人是吧？O型血两个人。你看on选是十个人选，两个人从16个人选一个人。加上on学三个人。是吧，这样的话就得到720，加上120=840。这呢就选c选项。是吧，好了，这是给大家讲的啊，

多少呀？完全相同啊，不相同啊，或者至少有一个。这样的内容看各位同学是不是懂了？好，咱们再看下一个题，大家思考一下。某商店经营15种商品。每个橱窗内陈列五种。好陈列五种。每两次沉列的商品不完全相同。每两次陈列商品都不能完全相同，那么最多可以陈列多少次？然后最多它可以沉淀多少次。

还是那句话，关键是。文字理解。很多同学这道题没理解，或者没听，没读懂什么意思，没弄明白什么意思，那这道题你可能就不好做了。好，那这个题大家想想应该怎么做？你要知道什么意思啊，关键是什么？这个现在有15种东西，这个有个橱窗。每一次就陈列五种。

也就每两次商品不能完全一样。比如说我第一次这个部完全一样，代表什么意思？可以部分一样啊，比如第一次我成立abcde。第二个成立abcdf是吧？只要两次陈列，上面不完全一样就行了，不能不不是完全一样的。部分一样可以，部分一样。当然，也可以全都不一样，知道吧？全都不一样，

比如说ghi。JK.这样写。反正这些都是属于就不完全一样，可以是部分相同，不能够全都一样，不能够全一样，比如说有部分是一样的。也可以一点都不一样。是吧，一点都不都不一样，这样的。好，最多你像这个最多把一些同学弄晕了。最多把一些同学弄晕了，

其实这个大家不要想复杂了，知道吧，不要想复杂，其实这道题直接就是什么直接就是c15。五就行了。这时候我大家不会做的同学，我们简单说说怎么怎么写，这时候刚咱们讲过这组合式的公式啊。那就15给它写在上面。14，13，12，11，然后再除以个五的阶乘。所以今天大家可以发现，

答案一定是这个数，你不会算，因为咱们考试没有计算器，你不会算的话，你看它11的倍数，咱们今天讲过11的。倍数好11倍数的特征，11倍数是是什么？从右向左奇数为之和，减掉偶数为之和。那这11倍数，或者看13倍数。13位二有三位一节是吧？三位一节好，也就说末三位减掉前面的啊，

末三位减掉前面的，减完后是13倍数也行。所以只有b选项，你看满足11的倍数，也满足13的倍数，其他的话都不行排除掉。这个呢，就选择b。在哪选b这个写好好吧，在哪选b还有这个情况？好看懂了没有？那有同学可能还是理解不了，为什么c15怎么表示最多？因为这个商品太多了，我没法给你列，

但又提到列举法。它的重要性可以让你明白很多道理。当然列一法，大家不要误解，不是说我把这几千个全列出来啊，不是这个意思，你要明白道理就好办了。它到底是什么？我给你举个例子，咱就别说15种了，15种有点多是吧？不好给你列，咱们就说六种商品。63个人每次选两种陈列。没有选两种来层层列。

要求每次陈列的不完全相相同，问最多可以选多少大家知道啊，这个六六六种六种话，咱们就用四种算了。四种这种四种好列是吧？就是abcd。加四种，四种是abcd。好abcd话，每次选两种来成立，那大家知道c12。咱们先说c12的含义。c12代表这样的含义。c12的话，它表示含义是什么？

含义表示的是AB。ac ad BC BD CD这有c12。所以c12它有六种情况，六种选法。ccr是不是六种选法？看一下吧，而且大家发现它这个选法之间是不完全相同的，发现没有？所以记住咱们的组合数cnm。选出来这m东东西。它有那么多种选法，所以说m的东西它是不完全相同的。它是不完全相同的，知道吧？选择m个东西，

它是不完全相同的。它是不完全相同的。这样的啊，不完全一样。这个能看懂吧？啊，不完全一样。你看到没有？你看c是二，这不完全一样，所以说为什么要加最多知道吧？为什么题目要加最多？因为不加最多的话，它的答案没法制定，比如说四种商品，

每次选两种陈列要求，每次陈列的商品不完全相同。那我可以陈列两次，比如说a bac可以陈列两次，也可以陈列三次。你得陈列四次，你得陈列五次是吧？所以它必须加个最多最多就是六次，最多就是六次。为什么最多六次？因为你第七次陈列，不管你怎么陈列，第七次一定是跟他们某一次完全相等，比如第七次陈列AD。所以AD的话呃，

跟这次有完全一样了是吧？就有最多的含义就最多，最多就这么多。就就这就这么多。这个最多了。再多一次，它就会出现跟前面某一次完全相同的这样的情况。怎么跟前面某一次是一样的？那就不行了是吧？这个给大家强调，所以大家现在要理解cm cm，它表示众多选法中。每次选择m种，这都是不完全相同的啊，所以说m个它都是不完全相同的。

对吧，所以取出的。取出的。按m个，它是不完全相同的。所以要知道咱们。排组和算的这个情况数啊，排组和算的这个情况数都是不完全相同的情况数，知道吧，不完全相同的情况有多少个？这要知道啊，不完全相同的。然后正好转化成陈列次数，陈列次数最多，最多就不能超过这么多，

一旦超过这么多，它会出现完全相同的。知道吧，这个你就明白了好吧，然后再回来看这个题你就懂了，所以c四五五是代表不完全相同的取法，有3003。总情况。就不完全相同的取法有3003种。现在它要陈列的话也最多陈列3003次。第3004次，只要多一次，它就会跟前面某一次完全一样，只要多一次跟前面某一次，它就完全一样。

这样就不可以好吧，这样就不太行，还有这套方法思路，看是不是懂了？好，那接下来咱们看这个题。好，这里这里就给大家讲讲单循环和双循环好吧？这单循环双循环也考过几次，单循环双循环，但一定要有生活常识，比如说有时候我们看比赛是吧，看电视这个比赛。那什么单循环，什么双循环，

大家做这个题想一想。好单循环双循环，我们看做这个题。好，我们说说什么是单循环？单环期就每两队只赛一场。每两队只筛一场呃单循环，它的公式我们说说。说一下公式。啊，公式公式，如果有n支队。单循环。n类如果单单循环，那相当于是。

每对。要比赛。n- 1场。每队要比赛nn- 1场。共比赛。s in 2乘。好，每队比赛n- 1场，共比赛CN 2场。每队比赛n- 1场，共比赛CN 2场。啊，每队都比赛n-1场，总共比赛n-2场，比如说如果要要有四支队abcd4队，

什么叫单循环？就a跟b比a跟c比a跟d比，然后接下来BB的话就不再找a比了啊，因为每两队只赛一场。每两队它只赛一场。那b我不再找一笔b，找cb找d。然后CC就不再找a比了c也不再找b比了，因为这个比赛过了c呢，就找d比。是这样的好吧，这样所以每队他都要比赛n- 1场。然后的话。总共比赛剩下二场好吧，这加在一起，

总共比赛剩下二场好，这个单循环。好，那接下来咱们看这个题，他把八名选手等分为两组进行单选比赛，这个分两组，你不用去分了，有的人说我用不用从这个八个人选四个人进行分组，不用分人家分好了。啊，分好就现在去打比赛就行了，好吧，就八个人已经分好了。分成两组，四人一组，

四人一组，它已经分好了。坐上去打比赛。在比赛过程中，某一个选手只打了一场就退赛了，只打一场就退赛。大家如果不退赛，他应该打多少场？如果都不退赛。就第一组不退赛，第一组不退赛应该打c四二场。第二个不退赛也打c12场。是吧，第一组不退赛就打c12，第二组不退赛也打c12场。

呃，如果大家都不退赛，正常打，你要打这么多场？你要正常比赛的话啊，这这两组之间不再比了啊，大家题千万不要理解错了。就像大家做逻辑题的时候，不要过度推理。知道吧，不要想多了，好这两组就不让，不用再打了，知道吧，这两组就不要，

不用再打了。这两组之间就不打了。好，那接下来这两组就不用再比了嘛，不用不用再比了，然后呢，就总共就打12层，12层，但是呢？他退赛了，退赛的话，我们看应该减掉几场，因为他只打一场就退赛，所以每人因为每个队要打三场。哪个队应该比赛三场？

比赛的话，那么他他打一场就赛也就每个人应该打三场，他打一场就就走了，走了还剩下两场没法打。所以说这个就少两两场，他没法打，他只比赛一场。少量场没法打，所以说这个就是12-2就得了十场。是吧，所以实际比赛十场，本来应该12场，但因为两场呢，打不了了，打不了就是十场，

这哪里选e？选e看这个懂了吧？好，这个给大家强调这个内容。那接下来咱们看双循环。简单说一下，双循环。剩下就是每两队要赛两场，有点像主场客场一样，每两队。要比赛。两场。比如说a找b打一场。b再找a再打打一场就这个意思好吧，就每每两队要赛两场，

就这样的。好，那接下来看公式。如果n字对。双循环。好，第一个就是每对。要比在二×n- 1上。呃，每个队啊，要比赛二倍的n- 1层。每个对吗？要比二倍的n- 1少，然后呢？就是共比赛。

二×CN二乘。其实它比单循环都多乘以个二是吧？都乘以二就可以了啊，这是双循环的公式。好吧，要知道好这个单循环双循环它的公式。考试遇到的时候要会分析。不知道大家这个比赛弄清楚没有？大家再思考思考。比如说，在某次乒乓球单打比赛中，将十名选手等分为两组进行小组单循环。任一鸣先生打了两场比赛就退了。就有事就退了。问，

小组赛实际比赛场数实际能打多少场？就其他人没退赛啊？就有一个人退赛了。好，大家做做看谁做的快。就十个人分成两两组。看谁做的快啊？好，那写一写啊，看看它的这个方法。方法论应该怎么写？如果要不退赛的话，应该是c五二c五二。是吧，如果不退赛，

不退赛应该比赛这么长，然后每人大家知道，因为他五个人一组，每每人。每每人每人要打要比赛四场。每日比赛四场。没别事啊，他要退赛。要退赛，因为他这个人应该打四场，他他打了两场就跑了，打了两场就跑了，然后他又少少打。少点。两场是吧？

这样的两场没法打了，没法打，他又跑了啊，所以说实际比赛就可以写出来。十+10-2就等于18。这个呢，应该选择d是吧？选择d又写好。然后看这个方法是不是听懂了，或者这样做也行，或者有同学这样做的。你先把那个人给他去掉是吧？就那个人，他给他去掉，剩下四个人打算了是吧？

你这样写也行。c五二第一组，比如说第一组五个人，人家正常打。大家都是正常比赛第二组那个人呢，先把它去掉。需要。啊，那个人去掉去掉以后那么其他的人都正常打。然后再加上什么，再加上那个人，人家打了两场是吧，再加上比赛的两场。这样也可以，也得到18。

都行好吧，有同学这样做的也没事儿，都是可以的，好看这个是不懂了。好，接下来看稍微难一点的。用组合来求系数。首先就是系数。如果括号里面是两项，可以用二项定理来求，但它这三项三项咱们就组合选取就可以了好吧，它这括号里面三项。大家思考一下。看会不会做。好在x平方加3 x+1括号的五次方展开式中，

x平方的系数到底是多少？再用组合来求这个系数，都思考一下。好，这个就相当于组合它的应用啊，求系数。另外，大家还要知道什么问题呢？知道多项式系数，它怎么构成的？要知道这个x平方，它怎么构成的？对吧，所以要就要把组合跟代数结合在一起了。其实，

不管是二项定理还是里面三项，它的思路都可以这样去理解。把它的五次方可以拆成五个相同的相乘x平方加3x。f平方加3 x+1。把拆成五个括号相乘。啊。好变成这种相乘的。而变现了以后，大家再想一想。把它变成相乘了以后，我们应该怎么做？我想想s平方应该怎么乘出来？h平方注意，我们多项式乘法是这样的乘法啊，多项乘法就每个括号儿只能取一项，

知道吧？不能说这个括号儿里面取两项。是吧，这个不行就每个括号只能取一项。也不能不取，不能说这个括号，我一个都不取，不可以啊，这个每个括号。它只能取一项，不能多也不能少，然后相相乘好吧，就每个括号。取一项。然后相乘。

这个相乘式是什么？相乘就表示，展开后的其中一项啊，就每个括号取一项，然后相乘，它就表示展开的其中一项。表示展开式中的一项。表示展开式中的一项好，这样的内容。好，接下来咱们来看它的这个方法。那是不是我们可以取一个x平方，再取四个一啊，比如说直接取一个x平方，大家能听懂吧？

求x平方，其他都取一。这样乘这样可以对不对？所以c五一x平方。因为它有五个，五个到底取第一个还是取第二个，所以有c五一。其他都取一都取一的话，你也可以省略。c四四就省略了好吧，一的四次方也可以省略，但如果它后面这个一要是二或者说其他值，那这个你就别省了。加上还有没有其他情况？它需要什么性，

可以取两个3s层对吧？然后这有五个3s取两个3s层。剩下都取一，比如说前面这两个括号，我取的是3x。剩下它都取一。剩下它都为一，这样也可以吧？现在就等于95x平方。选e是吧？95x平方就选e这样的。是不是95x平方就选一？你看看这是不是是不是行了？好不知道大家听懂没有，大家再练习练习。

比如说x三次方系数。好s3这东西我看应该怎么写？l3系系数，我们看一下s平方加3 s+1的五次方，还把它看成五个括号相乘。好看五个括号下s三次方都想一想一想怎么选？s三次方可以这样写，选一个s平方，再选一个3x，剩下的它都取一。加上。可以取三个3x乘。剩下全取一。但如果这个一要改成负一，这时候你就不要省了，

因为负一的三次方是负的，这个不能省了啊。好，有没有同学算出来，所以大家不要漏掉情况了啊，算算完之后等于330。s的三次方。是不是这样的？好，再来再练一下s次方系数。都列练。s4方系数应该怎么写？大家都加油思考s4方应该怎么写？哎，四方系数应该怎么写？

它有几种情况，别弄错了啊，有几种情况？选两个s平方，剩下剩下都选一。这样可以，对不对？就从这五个里面选两s平方，剩下都选一。加上。选一个s平方。再选。两个3x，剩下全选一。然后再加上。

选四个3x。这样那个选一就行了。是不是这样的？好，就算完后就等于六八五x四次方。好看，这个懂了没有？你算的是不是这样的？如果再难一点，再复杂一点，大家能不能挑战一下想想？比如说乘以x- 1，它的x四次方。啊，谁会做？

乘以s几减一，也就说s平方加3 s+1的五次方。乘以s- 1，我们应该怎么思考？然后大家一定要把它给拆开，知道吧？s- 1把它拆开，拆成s×s平方加3 s+1的五次方。减去s平方加3 s+1，它的五次方这样的。好，那讲到这儿，大家看看谁会做。所以考的时候要把它拆开。再看要找x四次方系数，

注意前面这一项有x，其实只要括号里面找x三次方就行了。知道吧，其实这个后面这一块儿只要找x三次方x三次方跟x乘正好就x四次方，所以它因为它前面有个x。后面这块就找x四次方就行了。可以用前面做的，结果来做这个题好吧，所以这个块只要找x三次方。在s三次方，刚才咱们讲过了。因为这个括号x三次方。是330，330，然后这。

不是x三次方吗？然后再乘以个x嘛。因为这里边还有个ix，对不对？乘完后就有x次方，是不是这样的？然后减去这块要用什么？要用x次方。要用x次方，所以减去个六八五x次方，这样就可以了。看有没有同学算出答案来。谁知道它的结果了，想一想。好，

那答案就算好了。这个答案选e这个求解出来了好，这是它的做题方法思路，看是不是懂了？好了，咱们上午就讲到这好吧，上午就讲到这啊，大家所以这样学习一定要把一个点啊，给它弄深入。举一反三，不要说我一个题做了一遍，又不会这边一定要能够把一个题呢变成多个题，哎。改成多个问法，这样话你就可以做到以一挡十的效果是吧？

这样话一个题就可以代表很多题。是吧，以点带面就来复习。好，那接下来咱们看这个题。在某次比赛中，有六名选手进入决赛，若决赛呢，咱们设为一个一等奖。两二等奖三个，三等奖则可能获奖结果有多少种情况？要大家它的获奖结果到底多少种好，大家都思考这个题，想一想。好，

它的一等奖是一个。还有二等奖，还有三等奖。是吧，好，所以在这里面大家呢，就可以写出它的数值好一等奖一个，那相当于是c六一。一等奖选一个，然后两二等奖从剩下五个里面，然后再。选两个。最后从三个里面。选三个作为三等奖，算出来就等于60。

好，为什么这个咱们可以从同一个样本重复取样？对吧，这个咱们是从同一个样本来进行取样的，因为什么？因为它放的位置不同，有放了一等奖，放了二等奖，放了三等奖啊，所以放的位置呢，是不一样的。放的位置不一样，所以说它这个。讲它呢，是可以进行。

从同一个样本取的啊，所以咱们都都是从这六个人来进行选取。所以从从同一样本来取样，它要求就是放的位置不同。要么如果放到同一个位置，就不能从同一个样本来取了。啊，有同学可不可以用a六六÷a二乘呃除以a三三来算？呃，这个这个不能那样算。这个不能那样算。呃，因为两个二等奖，三个三三等奖。你是把它打包算算什么还是什么？

因为这个它有没有排序？没有排序啊，你用a六六÷a二÷a三三啊，你把这两个看成一个吗？呃，是把两个人放在二等奖里面是不是？啊，一般咱们用组合就可以了啊，组合就就行了。因为除法一般都是销售顺序，销售顺序，所以说在这里面大家呢就是。呃，就就尽量不要用除法好吧，除非咱们消除顺序的时候再用除法啊。

你看下一个题。好，对比一下什么时候用除法，什么时候不能用除法啊？在某次比赛中，有六名选手进入决赛。若结约设有一个一等奖，一个二等奖，四个三等奖则可能结果到底是多少？呃，一等奖是一个一等奖，二等奖也是一个三等奖是四个，想一想。好，那么一等奖是一个？

还有二等奖。还有三等奖。啊，一等奖一个，二等奖一个，四个三等奖，那可以选择c六一。选一个给一等奖，然后再从剩下五个里面选一个给二等奖，然后剩下四个。剩下四个。啊c四四这不要排序c四四。是吧，这次这样就可以了，然后这样得到30。

所以选一等奖，选一个二等奖，选一个三等奖，四个，这样就写好。因为选完后直接给的是一等奖，这选完直接给二等奖，这时候就不用再排序了，你选完了知道吧，就不要再排序了。那么，这个答案选b。好，这也是它的方法。所以大家体会一下好，

那么这个在给指定对象分的时候那么直接，依次选取就可以了好吧，就依次用组合选取。一直用组合选选取就行了，每一个分别给它选好，选好就结束了好吧，这是它的方法啊。好，那接下来咱们再看这个题。好它设为。两个一等奖，两二等奖，两个三等奖就一等奖，两个二等奖，两个三等奖，

两个问他可能获奖结果，想想应该怎么做？一等奖有两个，二等奖有两个，三等奖有两个，则它可能的结果到底有几个想一想？好都想想答案好，各位同学都做做好这个是不是可以写c六二？c四二c2是吧？好就c六二c四二c2这样的情况。啊，这样一等奖选两个，二等奖选两个，三等奖选两个。啊，

这时候就不用再排序了，知道吗？不要再排序，所以大家注意，这不管是三个房间也好。三个奖项也好，那么一次选好就结束了，或者三个人也好。比如说咱有六本书给三个人甲拿两本乙拿两本丙拿两本，然后在这里面，咱们直接一一对应。分好就可以了，好吧，就这样就写出来等于90在哪选e？选e。

后面咱们再学分组的时候，学分组的时候有的是先分组先分组，然后再给几个对象排序。知道吧，再给几个对象排序，那时候是如果没有指定没有指定，那这个时候要先分分组，然后再排序。比如说到底谁拿谁拿一，谁拿二谁拿三，不知道是吧？不知道不知道这个要排序。好，接下来咱们。再来看这个题稍微难一点的。

在某次比赛中，有六名选手进入决赛。如果决赛设有两个一等奖，两二等奖，两个三等奖。且小明没有获得一等奖，则可能结果共有多少种。若小明小明他没有获得一等奖。好，这样的情况想想。下面没有获得一等奖。好。小明没有获得一等奖。好，大家想这道题应该怎么写？

好。小明没有获得一等奖，那说明小明要么是二等奖，要么三等奖。你从正面就来讨论也行。从这边讨论一下，或者从反面做一些反面做就是用总的方法，总的方法减去小明获得一等奖的方法，这样也行。好正面就这样做正面，如果小明在二等奖。那接下来我们就怎么写呢？就c五二c五二是一等的情况。这个正面写一下。正面正面c五二就一等奖选两个人，

二等奖小明在二等奖二等奖，然后这个。三个选一个，然后最后c2就是三等奖。或者说小明在三等奖，小明在三等奖。跟小明他在二等奖表达式是一样，直接乘以二也行。叠乘以二一些，这样就等于60。好，如果它的表达式要一样一样，直接乘以二也可以。或者说你写个c二一，让小明挑一个二等奖或三等奖也行，

写个c二一也行c二一，就相当于小明二等三等挑一个。是吧，二等三等挑选一个，挑选一个，然后呢，剩下然后再排这正面反面做也可以。反正用总的情况数就c六二c四二c2。总的情况数减掉，小明获一等奖情况，小明在一等奖的时候，那么一等奖还差一个人。然后剩下就二等奖和三等奖。这样做也可以。90-30得到60，

这样做都是可以的，在哪就选d选项。好，这是它的做题的方法。呃，这有点像房间一样，相当于六个人给他安排到三个房间。呃，一等奖，二等奖，三等奖，把它看三个房间，把它看在一号房间，二号房间和三号房间，看三个房间就可以了。

是吧，这样的情况啊，看三个房间就OK了。好，这是它的方法。好，接下来咱们再看那个双循环好吧？呃，双循环赛。那单循环咱们讲完了，咱们再看双循环。呃，大家看双循环双循环，它怕你看不懂，所以考试的时候括号会给你解释一下。

双循环就每两队要赛两场。是吧，这是双循环。上下如果要n次对双循环。好n是对，如果双双双循环好，它要共比赛。公比s in 2×2。长，然后每每对。比赛。二倍的n- 1乘。每队比赛二倍的n- 1场好这样的。好再一次足球预选赛呢，有五个球队进行双循环规定，

胜一场三分，平一场负一场。它的一个球队积分不同情况到底有多少种？就一个队。大家想一想，它积分有多少种情况就比完了，它积分到底什么情况啊？那这里就有点像讨论取值啊，讨论取值。呃，有点像列举讨论好吧，采用列举讨论。列一讨论就可以了啊。列举进行讨论。好，

大家想想一个球队，它积分不同，情况应该怎么写？好遇到这种情况的话，大家首先找最高分和最低分。它一个球队最高分多少种？最多最低分多少是吧？这里面大家要知道它的方法。好一个球队，它得分。好一个求解的时候，大家想想。这道题它是五个球队，五个球队，每个总共每个球队要比赛八场是吧？

所以通过这个题，我们可以发现每个球队要比赛八场。实际上，这个n取五嘛n=5 n=5的话，每个球队要打八场比赛，分别那么。他如果八场比赛全败了。八点全办了，就零分。是吧，都踢败了就零分，然后如果都踢胜了，就24分。是吧，如果都赢了八场，

全踢赢了，那就是24分，所以一个球队它有零分到24分。零到二次元，大家不要选25。不要选25选25的话，那这个。看看中间有没有得分，它不存在的情况。但这24分肯定是OK的，对吧？就24分没问题，全全胜就24。胜贫。负然后这个最后算它得分。

这样得分好，如果它全胜。这是24分，因为剩一场是三分。平上是一分，负是零分。呃，这个24分，我们看23分，它能不能得到？而二二三二三呢，也就说它只剩七场。剩七省。剩七场，然后呢？

剩七场就得21分了，对吧？得21分，然后如果平一场。平常也就是二二二十二分了。他得不到23分，发现没有？他得了个二三分。那实际上它得不了。你剩七场，这是21，然后平一场。得的得一分，然后22分可以呃，二一分行就是七零一，

这二一分是可以的。也就是说胜七场，然后败一场，然后最后得到21分。这二一分是可可以的，剩下都没问题了，剩下就就二分也可以。二分线看二分怎么来的呢？二分大家可以发现剩六成。剩六场平两场就20分。频量上就20分。是吧，所以这样就可以算出来就18+2。就二分。那19分也没问题，

19分你把它就是平移场。然后呢？啊负一层啊19分。接下来呃，19，18，17剩剩下都可以，剩下到零都是没问题的。好，那有同学可能会问为什么剩下的不用一一讨论呢？因为剩的少，剩的少的话，而且它频是一分。我可以通过。调整这个一使得它产生一个连续的整数，

因为调整一嘛啊一。呃一比如说条件一上变成连续值了十九十八是吧？你比如说啊，这个剩六的时候我的二二放在这。二放在这一个，你看我给你再写一个六一就变成19了，所以我们调整这个一，我们分析一下调整这个一。调完这个一的话，那我就可以让把它变成连续整数，比如我把一调到这来。就变18了，就以此类推。是吧，好，

那以此类推就行了，所以往下往下，因为往下往下，为什么不用它了？因为往下剩的场数少。那这个平的这个一就会多多的话，我就给它调整调整，都可以调整成什么相邻的整数？那调整成相邻的整数，这都是可以的。对不对？当然得分19的情况，它不只有一种得分19的情况，它不只有一种。比如说。

胜五场得15分。是吧，生物场得得得15分啊，得18分的情况，它不止一种，你比如说这样的。平三场。呃，也总共打八场嘛。像我们看这个三五十五十五加上。加上这个35+3也得到18分，所以18分的情况，它不止一种。是吧，不置一样，

总之呢，我接下来就可以调整这个平的，调整这个三，让它变成连续的整数。是吧，因为后面这个一越多越多越好调是吧？越好调，所以说大家就可以看出来就一越少越少越不好调。啊一，越少越少的话。这个就不好调了，一越多的话越好调是吧？这样的是这样哈，大家可以发现就是啊，以此类推往下呢，

这个都是可以的了啊，往下这都是没问题，就不用再列了，分析一下就可以了。好，往下这个点点。再到一这都是没问题的。呃，到最后的零是吧？所以在这里面大家呢，就可以看到呃，那么就是23这个得分是得得不了的，所以这个呢，应该选择的是。b选项这个题呢，

稍微难一点。呃，就也就说综上可以发现，这23分。是不存在的。啊，其他都是有可能的，所以说在这里面这些答案就选b好这道得分，看是否明白了。有同学想的是每场啊，比赛得分都有三种情况啊，每场有三三种情况。每场有三种，然后呢？三×8得二，

24好，这是一个巧合，这是一个巧合。因为因为它这个是问的得分情况啊，得分情况你那个算的是胜败的情况。算是胜败情况，比如说这里要把平的改成两分。如果这道题分数改改两分，那这个答案又是不一样，答案又不一样，你不能选24，不能说他正好。是啊，每次比赛有三三种情况。然后这一块大家呢？

啊，想一想。它是问的分数。你不信，你看这个题。你你看这个题就专门呃，知道有同学他的疑问是吧？啊，这个题。你看这个题分数一改。你发现你这个不就不能用24来算了，不能用。八×3来进行算。诶，这样哈，

就可以给大家验证。大家的想法是吧？所以有的时候排列组合，你发现自己用。呃，错误的思维得到答案可能是一样。所以说就怕大家呢，以为自己这种方法呢，是对的，结果下次用这个方法做，那之后就会出错。你看这个题，这个题我把这个分数改了一下。负一场就扣一分。好它的这个得分情况到底是什么样子？

好五个球队进行双循环，虽然大家知道每个队还是比赛。每个队还是比赛。八场。美队依然比赛八场。好，我们看每队的得分。就一个球队，它得分。呃，如果八场全赢的话。大家算一下。好，如果八场要全胜，就是24，

如果八场全败。判天半就是。负八。只要得分可以是负的啊，得分它可以是负的。好，那这个这个从负八到24那么共30。三是吧，然后共33种。但是你不能选33种。好，我们简单给大家分析一下。好，那么这块在这里面，大家可以看到这个剩。

频负。如果八场全胜。这得分是24。波浪全胜得分就24。但如果。少胜一场。少说一场，不管这一场变成平还是变变成负。要看它得分的规律。等规律。好，那么这大家知道刚才讲的这个剩异常给三分。平一场给一分，负一场就扣一分。好，

这个就是21，这个一就变成22。然后这个。这是20。一减二就二十。所以大家可以发现一个什么规律。如果把剩的一场。调到平的这一块。那这个总分就会下降两分。是吧，如果把剩余场调到平这块又变成两分，就总分要减两分。如果把剩的一场变成负的，变成负的。变负了，

那这个总分要减掉四分。是吧，总分它要减减减掉四分。你想是不是这样的？总分减四分。那不管怎么样，它都得是偶数，你发现没有？它得分不可能是奇数，同样道理。你再把这个剩的这个七场变成六六场，六场那一场不管是放到平的。还是放到负的，它往下还是要减减两份。如果把这个剩的一场。

比如说减掉剩的一场，放到平的这一块，总分是减两分。把这个剩雷场。减掉放到负的这一块负的这一块，它总分再减掉四分。所以你会发现它总是什么？总是这个偶数。是吧，以此类推，你看总是这个偶数总是变成这个偶数的，这种这种情况点儿点儿。好吧，大家想想。所以弄不懂同学，

大家立几个立几个，一定要找到规律是吧？找到规律，你不管怎么调它弄不它弄不成奇数。发现没？你看弄成奇数。这基数是不可以的。比如说要么是减两分，要么就减四分。呃，每一个都是要么减两分，要么减四分。是吧，所以它得分只能为偶数，我们发现没有，

所以通过这个发现一个什么规律得分。只能为偶数这样的。啊，得分，那只能是偶数。对吧，咱们只能为偶偶数，那接下来大家看选答案，看大家明白没有？好，那么33个里面有几个是偶偶数？有17个偶数，因为什么？因为首尾它是偶数。首尾它是偶数啊，

有17个，这个答案选d我看大家都做对了。是吧啊，选d这样写好了对不对？所以总共那么共17个偶偶数。好这个呢，就选择d。所以大家看这道题就不能说他每场有三种情况，比赛八场八场，虽然他是24种情况，但是得分儿情况就不是24了，是不是？所以大家可以看看。就这个题，看是不是懂了？

啊，再练习一个。有五个球队进行双循环。规定胜一场，给三分儿平一场，给零分儿负一场，扣一分儿，问他得分情况到底有多少种，想一想。那这个题大家还发现还是每队要比赛八场。好，这个这几个题有点像奥数思维了是吧？所以说就相当于排列组合跟奥数思维结合在一起。你要找规律。就每队他的比赛八场。

没没对比在八上那一个对它的积分。啊，一个。球球队。它的积分，它的得分。呃，一个球队，它的得分。好一个求一个得分，那在这里面大家想想。像如果它全胜全胜的话是24，如果全败全败的话是负八。对吧，所以在这里面如果。

全败了，负八如果全胜就24是吧？全胜就24。这样的，所以这也是共33种。做到这跟前面题是一样的。接下来大家思考什么问题呢？看它的。得分的规律是什么？整个规律是什么？就是剩。频负它，总得分。胜的话是三分，平的话是零，

负的话是扣一分。好吧好，那这样的。呃胜给三分平的话，给零分负的话是扣一分。大家想，如果全胜。可能就24了。如果它要剩。七场就把一场放到平的。或者放到负的，我们看有什么规律？那么放到平的。这块就变成21分。也就说它要总分要减三分。

是吧，总分要减三分。如果剩的要放在负的这一块。负负的这块儿。就20这总分要减四分，可以看到这地方是是要扣三分是吧？要扣三分。这块要扣掉四分。是吧，就24。就24，24到21要扣掉三分。在24到二十二十四到这个20要扣掉四分。是不是这样的，就要扣掉四分。

好，那接下来大家看规律。那也就是说，大家发现这23分，22分，还有19分，这种情况是不可能的。你看这个22分23分没有？十，十，19分也没有。19分没有剩下，是不是每个分儿都有呢？看看剩下每个分儿，剩下大家可以发现18分有实际上拿这21扣三分。

那21扣三分可以有18分。17分也有，就21分扣掉四分。就按21分扣四分。扣四分有17分啊，所以18和十十七是有的。18和十十七这都有，知道吧？就拿21扣三分。那二一扣四分有了。然后16也行，十六十五也行。16，16就拿20 QQ四分呗。然后接下来接下来它就就能接上了，

你看只要是这几个二一二十十八十七能连连着往下都能连连着往下就。挨挨个扣呗是吧？一个扣三分，一个扣四分，扣三分，QQ四分，那它这个都能接着。好，你看明白没有？呃，这这往下都连着了，这个是没事的。就挨个扣就行了。所以大家可以发现，缺少什么情况呢？

缺少。缺少的话就是22。就二三二十二和十九三种情况。看跟你分析的是不一样。好，大家想想选什么答案？所以共。就是33-3得到三种情况。呃，33-3得到三种。这呢，应该选择d。选选择d。好了，那做这个题的规律，

大家发现没有把剩余场移到平的或剩余场移到负的看。每变一次，它的分到底是怎么调整才能往下，以此类推？这样调调的话，答案就写好了。看各位同学是不明白了。大家还可以发现一个规律，什么规律缺的话，一般都是开头的缺。是吧，开头我们看缺什么，看后面缺不缺？是吧啊，你看后面它有没有缺的，

后面如果都能挨在一起，都能挨着一个挨一个，一个挨一个能挨着，这就没事了。是吧，所以分析几个规律啊，开头的很重要，开头上看它缺不缺？好这样的题啊，看是不明白了。

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02.讲真题-第9章第1节-题型2-1

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