01.讲真题-第9章第1节-题型1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 05:59:24

各位同学大家好，接下来我们来学习排列组合。啊排组合也是大家感觉比较难的一个知识模块，其主要原因排组合最大特征是什么特征呢？就是空想。这样特征需要大家空想，就这是排列组合。好给大家强调的最大的一个做题的特征，它需要大家空想。所以大家这块怎么去空想是吧？为什么是把它称为是空想啊？因为很多。他做排除的题。是看不见摸不着的，所以大家要训练思维方法好吧好，

那接下来咱们呢来看一下基础知识。好，因为有同学可能起步比较晚，或者说啊，基础知识忘了，然后咱们给大家进行。提一下这个基础知识内容，看一下这基础知识的一些基本概念方法好吧，然后讲讲这个基础知识。好，那我们来看一下这个基础知识，给大家学的一些内容，首先我们来看一下这一块儿。啊，这一块它的这个考试的比重情况啊，

考试比重呢，这也是大家十分的一个重灾区好吧，所以大家呢，特别容易丢分。所以这一块丢分呢比较多原因呢，就是基本原理呢，就理解不清做题呢，就是凭运气凭感觉。好吧，所以这一块大家呢啊，就区分不了什么是用乘法，什么用加法，什么是什么是选取，什么是排序？是吧，

然后这一块。好，那接下来我们要把排除学好，就要把基本的思维训练好，掌握基本原理，才能以不变应万变。啊，才能达到考试的效果。好命题空白，咱们这个an m就不做要求啊am就不做要求，考试呢就不学a几几。啊，因为越学a机器那么大家越容易混乱是吧？所以大家以前之所以没学好的原因就是很多同学就不知道什么时候写a，什么时候写c导致做题呢？

这时候呢？就啊，做错了，所以大家呢，在做的时候咱们呢考试不考A级级啊，这样的话，真题里面也不出现这个，也不要求这个，所以大家学的时候公式越少。我们做题的准确率啊，越高，所以大家呢，要掌握咱们的排组合，它的主要的核心点。好排除咱们考试呢，

主要考察三个方面，再一块来分析，一个是分类和分布两个基本原理。两基础原理只要出现不确定的，或者说互相干扰的这个情况啊，马上要进行分类啊，分类如果要出现多个运算步骤的时候。啊，多个运算步骤，那这要分步及其算。啊，多个运算步骤，这做分步就可以了。然后另外类类之间那么分类，用加法用加号步一步之间用乘乘法，

比如说你再分成几步？啊，那就写成几个相乘分类，就用加法加号来表示就行了。在有的比较复杂题的时候，又要分类，又要分步，你一定要先分类，先宏观的分类。分成几类，然后再。分布就可以了。是吧，然后再分布，所以这是第一个啊，

内容就是加法跟乘法，不要给写错了，很多同学加跟乘就写错了。第二个就元素选取啊，什么时候选取选取咱们就用组合来表示啊选取，比如说五个选三个，我们就可以用组合来表示好吧，选取我们都用组合。来表示，然后咱们看排序，排序的话，那么就是帝王顺序，如果对这个。结果产生影响，那这时候那么就是需要排序好吧，

排序问题，另外最后要注意是元素是相同还是不同？那这时候大家呢？在做的时候一定要区分清楚，比如相同球跟不同球，对咱们这个做题的答案影响是不一样的。好吧，所以大家要知道，另外当选取和排序同时出现的时候，一定要先选后排，先选后排，这样话大家呢，就不至于混淆混乱。好，那接下来咱们给大家进行分析啊，

这个基本的公式吧，可能有同学公式忘记啊，是吧？这公式。排除也是咱们全书公式最少的啊，公式最少的啊，这一块公式也没几个公式，最少的一章。主要是训练大家思维好，一个就是组合的公式，大家要知道。组合公式啊，组合公式cnm主要记后面这个就行了啊，只要记记这个就可以了啊，忘记同学。

然后呢就？把cm写一写cm就等于m的阶乘分支。n×n减，一×n减，二一直乘到n-m+1。我教给大家这个公式怎么记好吧？然后忘记同学，我们给他写，比如c七三。实际上你先写个等号，写等号以后，然后这时候交叉交叉什么意思？就是七跟三这个交叉一下。啊七跟三这样交叉一下。啊，

交叉写过来，交叉写过来，然后这块就写七这个就写呃，这个就写三这写七是吧？然后这个上面写七，下面写三，这样交叉一下好，那么交叉完以后接下来。接下来往下写三个数啊，往下写三个数七六五，这个三二一这样写好了。七六五这三二一这样就写好了好吧，这是七六五这三二一。啊，这个写出来了，

是不是然后七六五四二一这个写出来结果？那这样就行了，是不是？所以这样就可以上下再约一约，约一约就等于35。这知道怎么写吧，先完成一个这个交叉好完成交叉以后，然后呢，然后他往下写几个数，如果要三就往下写三个数。如果要四就写四个数是吧？就这样写就可以了，好吧，所以这就是咱们公式的含义，分母分母这个三×2×1也可以写成三的阶乘。

好吧，也写成三的阶层，所以这是它的公式，所以这个公式大家就这样去记就很简单。利亚战争组合里面有个非常重要的性质，那性质就第一个就cnm就应该等于cnn-m这个重要性质。cm就等于cn-m。比如说我们在计算c七五的时候啊，如果是要再算c七五。那这个用公式做，那就比较复杂，因为要写五个数相乘啊，那大家就可以转化成c七二来做。c七二要简单是吧？c七二要简单c七二的话，

分子只要写两个数，写相乘就行了。分母也只要写两个数相乘，分母就是二×1。这样直接就给算出来是吧？所以说这个组合性质就是它上标两个相加，正好等于下面这个数的时候，那这时候我们可以用这个性质来进行写。好吧，这是第一个性质，用的比较多，加上一个重点的标记。接下来，我们看第二性质，第二性质就是它所有的加在一起等于二的N次方，

就是CN 0+CN一+CN二一加到CNN，它等于二的N次方。好吧，这样的一个情况。然后这是组合，然后另外大家记住常用的组合数。因为咱们做题要想提高速度，要把常用的数值把它记下来好吧，记下来，这样话就快一些，比如说CN 0就等于CNN n，它就等于一。好，那CN 0 CN 0和CN它的意义代表什么意思？说一下e一个代表n个里面取零个就n个一里面一个都不要，

也是一种方法。然后CN=CN等于就n个里面全取，它也是一那全都要，比如给你五个五个全都要，那么也是一种方法。是吧，然后接下来CN 1 CN 1就等于。就等于nc 1，比如说c三一就等于3c三一代表什么意思呢？实际上就代表三个里面随便取一个，三个里面随便取一个，那它不有三种区法吗？要么取这个取这个取这个。是吧，就三种取法。

啊c三一那接下来我们看一下c四二c四二就等于c五二就等于c五三，它为十。啊CC五二c五三=10c六二=c六四=15c六三=20，好吧，把常用的这几个要背下来。这样咱们做题的时候就可以提高速度。好，另外咱们再看阶层，阶层就代表排序啊，阶层就代表排序，比如三个排序就应该有六种情况，三个排序就写三的阶层，知道吧，阶层代表排序。然后组合就代表选取，

然后这样的含义，大家要知道，然后阶层就n的阶层就是一直乘到一就行了。就一直撑下去。然后常用的阶层，我们来看看常用阶层就零的阶层就为一啊，然后一的阶层也为一二的阶层为二三的阶层为六四的阶层为二十四五的阶层120。好注意这个阶层就代表是排序，比如说三个排序。ABC.上海，它排出来应该有应该有啊，这个。六种情况好吧，应该有六种情况。

然后这一块儿在这里面，大家呢，要注意有六种情况，三的阶层啊，三年级，比如ABC，它排的时候我们可以排ABC。a cb是吧？那个可以列点。ABC.好a cb，然后bac。BC a.是吧，就bac啊BC a还可以写成cab。

CBA所以大家要知道什么叫做排序。好它左中右再交换顺序，这叫做排序是吧？排序的方法排放总共还有这六种情况。好，这是它的这个特征，好，这是它如何来进行排序？它的表达式好了，那接下来咱们就可以看一下里面的题目，然后先给大家热身好吧，先讲一下基础知识。里面的这个概念内容就基本计算好吧，然后看看大家这个公式，这个记住没有好吧，

练习一下这公式。然后没做的同学都思考一下这公式。好，那我们来看一下这里面它的这个。题目这个题目就让大家训练一下，咱们讲过的公式，看会不会会不会使用好吧公式？那如果它已知。好已知cm- 1 m- 2等于这个值，那么则。现在哪个是正确的好，那这个。这个题大家要注意，当上面这个数比较大的时候，大家会用咱们公式啊cnm=CN。

n-m用这个公式来去写，把这公式再写一遍吧，就cnm就等于cnn-m用这公式来来去写。是吧，然后这样的用的公式，所以左边咱们来看一下，左边就是cm- 1 m- 2。大家都想想，它应该等于几？然后cm- 1 m- 2，它正好都等于几是吧？对，这个正好就等于。cm减一一，这个能看懂吧？

就套咱们的公式。然后对它正好等于m- 1。好，那这是左边就写好了，右边右边大家再运算一下，这个CN+1 n- 2看这个等于几？CN+1 n- 2，这个是等于多少大家都跟着思路来一起算算练习一下这些公式。好，那在这里面大家呢？就套一下公式套公式，我们就可以看到，正好可以CN+1。三。是吧c+a 3 c+a三这个公式怎怎么写啊？

分母是不是就刚才交给你分母就写三？分母就写三。是吧，分母就写三分子呢，就n+1。刚才让大家交叉嘛，这个这个没有忘吧，就交交叉一下，交叉完后接下来就三×2×1。三×2×1这样写，然后分子就是nn- 1这样写是吧？这样n- 1。就是n+1，然后这块就是nn- 1好，这样的一个写的形式，

看这个是不是懂了？然后这样就写好了，这样呢，上下就可以把它这个写一写，写一写它等于六分之。好，就等于六分之，然后是n+1 nn- 1得到这个结果。好就六分之n加n和n减一得到这个结果，好得到这个结果以后那么。把它带到里面去，带到里面右边。和左边那么用，刚才我们画的，结果代到里面就m- 1就左边了，

刚才已经化简好了。右边右边有个n减一分之三。然后乘以一个这个六分之n加一n乘以n减一。好就六分之n加一n乘以n减一，然后这块大家可以给它约掉是吧？约掉大家可以看三跟六，可以约掉一下，这两约约掉就变成二了。然后这n减一n跟n减一可以约掉一下是吧？n减一跟n减一可以把它约掉，约掉完就变成二分之n乘n加一。好得到这个结果，二分之n乘n加一正好是咱们一二三四五六七八九十的一个求和是吧？一个求和，所以有同学已经做出来了，

这个答案就选d。是吧，正确答案就就选d它，正好是一个求和知道吧，这个求和的符号能看懂什么意思吧，考试在咱们数列里面也出现过几次求和，这代表sigma求和sigma求和k从一到n。把它加在一起是吧？加在一起就相当于一+2+3，这个符号就代表是一+2+3。一加到n。啊，所以这个符号给大家写一下啊，它代表一+2+3，一直加到n。

好一加二加三一加到n，它正好这个东西正好就等于二分之n乘n加一啊。正好等于二分之n乘呃n加一。所以这样d选项，它正好就满足了好吧，这个正确答案就选择d好，这是这个题对这个就是西格玛就是求和。那sigma就求和嘛，求和求和就从一到n求和好这道题，如果觉得麻烦，考试时候也可以取特值验证。比如说呃，还有一个小技巧，就n取特值，比如n取二。

啊m，它也为二，你可以验证选项，这也可以是吧？所以说这道题这道题你自己也可以取特值验证考试，不想算。比如m=2呀，或者n=2呀，你看下面选项呃是否成成立是吧？或者说你取一些值n=2或者什么的算m=2，这样也行。是吧，你自己取一些特质。啊取特征，自自己去思考吧，

这个就不再去讲了，所以讲这个题的目的主要在训练一下这个公式，它的一个使用情况好吧，掌握一下基本的公式，忘记公式同学呢？然后大家呢，简单练习一下这些公式，看能不能想起来会不会用好吧，好这个题看还有没有什么疑问？反正就是化简下一个题，我们来看一下下个题，下题大家看看都思考一下，看看做了没有下一个题目好那么c。5 xc 6 x=10×c7s分之。七啊，

这个表达式好，问它解到底多少？就这个关于x的一个方程，它的解到底是多少？这个解这道题竟然验证选项，这是比较快的。嗯。好验证选项，这个要快一些是吧？所以验证选项。这你就用特值法就验证选项就可以了，所以你可以验证s=2是符合要求的是吧？所以s=2。好，那么这一块你可以带到里面去，

还等一下，这个就是c五二。对，你先算这个好验证的嘛，偶数一般好算呀，这c六二。好让大家验证一下是吧？然后然后这一块大家知道这个c五二c五二刚刚背的就等于十啊，就等于十。这个刚才咱们都背过了cdr，就等于15 cdr就等于15。是吧，然后这样就可以写写出来了。写出来以后，然后接下来接下来你自己自己验证一下，

右边右边的话正好七。十×1个c七二。好，那c七二刚才给大家说了，就是21这个大家应该自己会做是吧？这得三十分之一。好，上面这个大家算算也等于三十分之一。是吧，算算这个也等于三分之一，所以它这个就成立了好吧，这就成立了，考试一定要验证选项，因为这个解确实不好解。另外，

也可以很快排除a和b。啊，直接解确实比较麻烦，好可以排除a和b为什么为什么一看可以排除a和b，因为a和b左边可以稍微观察一下。左边是负的呃a和b，因为s要等于四的时候。c五四跟c六四你自己可以去观察一下。啊，所以在这里面还还右边c七四，你可以发现它这个是不满足的。是吧，所以在这里面大家呢啊，就可以简单的去观察一下。然后还有额，

这个b要额x为三的时候，两边也观察一下好吧，反正就带到里面去验证就可以了。好，这道题就选择c选项，反正这都是最基本的，入门的让大家练习一下这个组合数的计算方法，看这个是不是懂了？接下来我们再看一下组合数的它的大小情况。它大概情况这个题是条文综合判断题，大家都思考一下，您看。哪个条件充分好？这个题大家都思考一下。大家可以看条文，

一条文一如n要为十的时候n要为十的时候，那大家知道c14跟c16应该相等。是吧，所以条件1n要等于十的时候。所以条一肯定是不行的，那它十的时候就相等了，这肯定不可以。然后n=9的时候n=9的时候，那么这个正好是c九四和c九六。他的去比较条件上是可以的。啊，条件二就可以了，因为c九六正好等于c九三。c九六这样等于c九三，所以在这里面c九四是大于c九三的是吧？

所以。所以这个啊，是成立的，所以这些答案就选b。好在这里面大家要注注意，咱们组合数它这个数是先增大再减小，这样的一个情况啊，先增大再减小，什么叫先增大再减小，我给你举个例子就明白了，以五为例吧。好比如c五零c五一c五二。然后c五三c五四c五五，所以大家可以观察一个特征，其他的也一样啊。

其他也一样，它先增大再减减小好吧，然后这一块它的这个。这个要知道啊，对在中间的时候，那么它取一个比较大的值是吧？你看c五零它就是一。c五一，它是五。这是十，你看到没有？它在增大，然后税务，虽然它也为十，这是五，

这是一。所以大家可以看到它在中间的时候是比较大的啊，中间啊比较大。也就是说，也就是说这个cnm。cm这m越接近n的一半儿，它越大，然后m就越接近于n的一半儿。月经二分之三的一半，那这个组合数越大啊，所以说中间大两边小。然后另外，如果呃，如果这个n要是偶数啊n要是偶偶数，中间只有一个最大的。

对，中间就一个最大n，要是偶数n，要是奇数，比如说n要是五，这是奇数，那中间两个是最大的。是吧，中间两个是比较大的。中间两个比较大，如果n要是偶偶数，中间只有一个是最大。好吧，所以这是它的这个特征，而且两头是对对称的，

两头对称的啊，所以说它它的中就是意思就中间大两两头小。它中间大，然后两头小。然后还而且它对称。它对称的是吧？两边对称难看，第一个跟最后一个一样，第二个。啊，第二个，然后呢？跟道路第二个一样，第三个跟道路第三个一样是吧？所以它两边是对称的啊，

这样的情况。它就这个它的这个特征方法，看是不是懂了，然后对称轴啥对称轴就是就是左右两边是对对称嘛，就像咱们这个这个正好是对称的是吧？就相当于它正好关于某个线是对称的啊，这样的。对接近n的一半儿是最大的，总是最大的。接近n的一半儿就是在中间那块儿时候就二分之n的时候。好，那么这块是越来越大啊，就是就像有点像一个开口向下的一个一个这种这种一个图像一样是吧？在中间。这块是是最大的，

中间这块最大好吧，然后这一块，所以大家做多了，这些都可以把数备注备注的话，然后就可以。啊，直接可以口算是吧，这个没啥难的。好再做这这一个题吧，反正这个入门级的东西快速给大家过一遍好吧，然后这一块。好，你像第二题这个题这题有没有同学做了？你选什么答案？是吧，

选这么大，最好大家在听课前都提前预习一下，或者看一眼，然后这样的话，听课效果会好一点。是吧，然后这一块大家可以看到，那么这个是c。这道题主要考察一个公式啊，你看CN x如果等于cny。给大家写一下，就CN x=cny，那它应该满足什么样特征是吧？cns要等于cny。它应该满足什么条件是吧？

大家要知道这个这道题这道题的听的收获就是两个。它啊，那么对就是x+y要满足等于n。就这道题s java要等于31。那接下来等于n还有或者说还有一种情况x和y本身就相等啊，别忘记了。或者x和y，它本身是相等的。它本身是相等的是吧？然后这一块它本身就一样。啊，所以这个你可以把n给它解出来，解出来解出来，然后看下面选项，他给的行不行是吧？

行不行？所以这两个条件呢？都不太行，你看如果要由题干来做题干来做就4 n- 1，加上n+7。应该等于31。对吧，等于31或者说是。或者说这两个干脆相等。或者说。4 n- 1=n+7好，这两个干脆是相等的，这样也行啊，干脆相等，这样也可以。

是吧，所以这样大家呢，就可以看出来条一和条件，它都不行是吧啊，都不行。好，那这是这个n就自己去解嘛，这个n很好解嘛n就等于五嘛。对吧n这个是V5。是吧n只能为五，因为后面这个后面这个n它不是不是整数，那就算了，就不是整数就排除了，所以这道题n=5。那条件一条件一这个方程，

大家可以口算条件1 n=3跟四，所以不满足条件1n呢是等于三跟四的是不满足。条件大家谁能口算出它的答案？条件nn就是四跟六。啊四四跟六，然后这一块，所以这个都不行，所以这样两个都不行，联联联合联合联合以后。联合有两条，联合n是取四也不行，就选e啊，就选e。啊，新判是上推下还是下推上快？

咱所有重新判题都必须是下推上所有重新判都是只能是下推上。咱们从题干往下化简，不是上推下，而是找题干的等价条件。题干的等价条件，这个咱们在前面重新判断，给大家讲过，如果遇到重新判断题干比较复杂，比如说咱们做一些应用题啊，做一些几何呀，或做一些其他题目，然后题干它能化简先把题干等价条件化一化。画画画，然后呢？然后再来进行分析是吧？

所以在这里面就是可以把题干稍稍微简单画画来分析，当然到底什么样快这个话你就可以，你可以去观察具体题目应用。有的题难先把题干化解完，然后看条件，可能要快一点好吧，然后这一块它这个是这个情况。啊，如果如果有同学说，如果有一个条件算的n=5行不行？呃n=5比如说。比如说条件1n是等于三或者五，这个行不行？啊，这这个行不行？

这个是不行的啊，这个是不行有比如说条案一要要要改成这个。假条一得到n=3或者五。条件一，如果改成n=3或者五，这个是不不行的错的。它必须是。条件给的数值落在题干范围之内。不能超出题干的范围，你看它这个条件给它多了一个三多了三，那这个推不出来，它多了一个三。好吧，然后这个推不出来。好，

那这一块。那注意它多一个值就推不出来啊，必须是它落在题干范围之内，它才能推导出来，好吧，这样才才行啊，这样才可以的。好，这是给大家讲的这个内容好了，那么以上呢，都是给大家进行入门几个知识掌握一下组合数，大家听完这些呢，看你的收获达到没，首先c组合数的计算。公式会不会分析另外的左数特征，

就是越往中间越大，两边小左数性质啊，要知道。另外，还有一些主要素啊，基本的。

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01.讲真题-第9章第1节-题型1

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