02.讲真题-第6章第1节-题型2～3

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 05:56:15

下面咱们看一下tn二三角形里面相关的长度。其它长度求图形的长度主要根据图形的特点来寻找边长的关系来进行求，那求长度有什么样常用的方法呢？可以根据勾股定理来求，可以等腰关系求等边关系的求全等关系，求求相似关系求就可以了。啊，勾股定理等腰等边全等和相似的关系来进行求解。好，下面咱们看这个题。在直角三角形中，若斜边与一个直角边的和为八差为二，则另外一条直角边长度到底多少？这道题呢，很简单，

就是c比如说c-a等于个八啊c+a=8 c-a，它正好等于二。就是它的这个斜边，咱们用c表示好吧，斜边用c表示，然后呢？这个呢？直角边咱们用a来表示，这样就可以很容易解出那么c的值，正好等于五。c就等于五那a的值就等于三那三四五嘛，所以另外一个边又推出就三四五，所以这一答案应该选择b选项。好吧，所以这道题就背一下勾股定理也很简单，

所以考试三四五啊，六八十啊，然后这个常用的勾股数啊背住。好吧，还有五十二十三等等的，这购物车备注这些题都很好做。啊，这个题主要让大家对着勾股数和直角三角形三边的关系，要会分析和思考。好，咱们看这个题在直角三角形中，三边长为整数，若最短边长为11，则最长边到底是多少？好，

这道题咱们给大家进行，写完以后。啊，然后呢？咱们总结个结论。好吧，咱们写个结论。那大家想想它的结论。啊，三边长都是整数，且最短边长为。11啊，这两边长，咱们用a来表示a又等于11，这是b，

这是c。好，大家想想啊，到底选什么答案好吧，然后都做做。好在这里面大家可以看到它的这个这个思路和方法是吧？思路和方法，然后接下来我们可以看。呃，根据咱们购物定理可以得到什么情况啊？根据购物定理购物定理，要知道这个a方就等于一个a方。加上b方等于c方。好吧a方。好，

大家知道啊，那么这个a呢？就等于十一十一的平方就等于。c方减b方。那也可以把写成c+b乘以个c-b。啊c+BC+b×c-b。啊c+b×c-b这样当一个。11的平方。所以11平方只能分成幺二幺乘以一啊。因为这个三边长的位置。整数数。所以它只能分成幺二幺乘以一。那也没有其他分法了，也不能分成11×11，为什么呢？

因为c+b的值肯定要大于c-b的值。它不能分成11×11。啊，所以在这边大家可以发现。这c+b正好等于幺二幺c-b正好为一是吧，所以就可以得到c+b。这等于幺二幺c-b，那正好等于一。好，大家想想是不是这样的？然后它让求c当然是最长边了，最长边就是c啊CC就是斜边，所以c就等于61这两个方程很好解。两个一相加就可以得到c的值等于61。然后b的值就等于60。

是吧，所以这条边就选择的是e选项好看，大家是不听懂了。所以通过这道题，可以给大家总结一个结论。总结什么结论呢？就在这里面，大家呢就知道。如果三边长为整数，如果最短边长是质数。这两边长是质数，那我们就可以写一个结论。也呢，就是如果直角三角形。中三边为整数。

三边它长度为为整数。然后最短边。为质数。假如这两边咱们用a来表示它要为质数。则有以下结论。第一个阶段。这个b+c应该等于a的平方。你看呃b+c就是直接可以也可以选c+b，这样等于最短边的平方。就除了它满足固定理之外啊，除了它满足固定理之外，那这个就可以得到b+c，正好等于这个a的平方就写出来了。是吧，就写出来第二个。

第二个，第二个就相当于是。c-b为1 c-b为一也可以写成c=b+1。c又等于b+1这样的c的纸张等于b+1。对不对c就等于b+1第三个。呃第第三个。啊，第三个话，那在这里面大家呢，就可以看到。这个c的值正好等于一个二分之a方加一。b的值等于二分之a方减一啊，得到这个结果。所以这里直接可以口算它的答案好吧，这是给大家总结的方法思路，

看大家是不是听懂了？好，这是它考试要点方法啊，看是不是明白了啊？好，这是这道题，大家听完了收获。看还还有没有什么疑问？好，那么在直角三角形里面还有一个重要的关系，我们来看这个题。好如图所示，在直角三角形这个内部有一座山，先计划从BC的某点d呢，开着一条隧道到达a。

要隧道长度最短，大家想想要怎么样最短，这最短肯定是垂线段是最短的。是吧，只有垂线的，这个是最短的，这个垂直的，这是这是最最最短的。啊，这个垂直肯定是这样，如果斜着的话，它就比较长是吧？比较长，然后在直角三角形里面，它有这样一个关系啊。

直角三角形，直角三角形里面就是斜边上的高，这这是条斜边上的高，斜边上高就等于两个直角边相乘。再除以斜边好吧。斜面上高，斜面上高，就等于两个直角边相乘。好再除以斜边就行了啊，两直角边相乘，再除以斜边好这个公式怎么来的呢？这个公式呢是用。咱们的那个面积相相等啊，知道吧，如果不懂这个公式的话，

面积大家知道直角三角形面积啊，这个公式只适合直角三角形。直角三角形面积可以写成二分之一AB，也可以写成二分之一底乘以高。是吧，所以它可以写成二分之一AB，也可以写成二分之一底乘以高，这样的方法，这样的情况。好，那接下来咱们来看一下这道题，它告诉你AB长为5 AC长为12啊，这个一个边为五，一个边为12，另外一条边长。

它要为13。是吧，这样五十二十三这样写好了啊，写好了，所以这个h就等于五×12再除以13。这样就可以得到它的答案了，好吧，就那十三分之六十，十三分之六十约等于四点六二。好这个呢，就选择d。好，这道题大家要注意，在直角三角形里面，那么这个斜边上高跟它们之间的关系要弄清楚好吧，

这个知识点要会分析和思考啊。别给写错了。好，下面咱们看这个题好如图三角形。这个AB和AC=5啊AB的长度和AC长度等于五。所以我说明什么意思呢？说明它正好是一个等腰三角形是吧？等腰三角形，然后BC长度正好为六。b长度，它正好为六。e呢，是BC中点。啊e正好BC中点，然后ef垂直AC啊ef跟AC是垂直的。

这垂直折gf长到底多少？这里大家一定要连接ae。你看ae注意它这个是一个等腰三角形，这个等腰三角形等腰三角形，那么这条线是四线合一。知道吧，这个ae它的视线。合一的。因为它等腰三角形嘛，因为它这个AB和AC是相等。它是什么四线合一呢？它这条线既是角a的角平行线。啊角一的角平线，因为它左右AB和AC相等，左右相等，

首先它正好是对称的，知道吧，所以它左是对对称的左边儿。跟右边儿对称，所以说ae既是条角平线。右手它的高。好，又是它的高，又是中垂线是吧？又是它的中垂线。还是还是它的什么中线这些四线四四线是哪四线呢？就是角a的角平分线。然后它的中线。它的高。还有底边的中垂线。

它四线是合一的啊，这个等腰三角形只有顶角顶角这条线是四线合合一啊，底角的这个线它就不是四线合一了啊。只有a因为它左右对称，所以它这个视线正好是合一的。好，那就可以证明这个ae跟ce是垂直的，垂直的话，那说明在这里面，这ef又跟AC垂直，所以又用到咱们这个讲的这个长度是吧？而且大家知道知道这个ce的长度正好是等于一个三，因为它底边总长总长是为六。BC总长为六，它是中点站在这块儿为三。

这样算，然后AC长为五为五的话，那中间ae的长就为四。ae长就为4a长为四呢ef，再次用一下，咱们讲了直角三角形，它的这个内容。直角三角形，直角三角形，它这个高正好等于两个直角边相乘，再除以斜边，所以ef就等于ae×ce。然后再除以AC。啊，所以ef×ef乘就等于ae×ce啊，

ae×ce，然后再除以AC就可以了。然后AC的长正好是五。然后ae的长是四。这是三所以五分之十二五分之12就等于二点四。正确答案就选d好吧，正确答案就选d，所以说这个这道题用了三四五，又用了直角三角形这个高，它的一些特征来分析啊。大家要掌握它这样方法，所以直角三角形啊，这个高呢，经常考，大家要记住这样的。

知识点和内容。好，接下来咱们看这个题。如图AB=AC=10。BC=12。然后AB=AC=10说明什么？说明它是一个等腰三角形。然后e呢，又是BC的中点。然后ef呢，又垂直AC。求CF的长度到底等于几？好，各位同学想一想。好，

各位同学都做做这个题。好没做完的同学抓紧做。然后大家知道，首先它是一个等腰三角形啊，等腰三角形AB=AC，而且e呢，又为BC中点。呃，终点好，我们就知道这个ae呢就是。四线合一就a这条线既是角a的角平行线，又是这个高是吧？又得高，所以推出。这个ae它一定垂直BC。

因为垂直BC。好，那是，而且大家知道c的常数是等于五。c长度，它正好就是五。啊，这样六啊，这样六是是它的一半儿。呃六所以ce长度。正好等于二分之BC，正好等于六。好，这个求解好了。好这一层呢，

写出来了。c长为六，它要求什么？CF的长长度。CF上的，我们用摄影定理做要简单是吧？摄影定理做。摄影地理，所以摄影地理就可以得到什么？因为它这是一个直角三角形。这又是垂直的，所以什么时候用摄影定理，大家要想到啊，在一个直角三角形里面又做一条高。这时候要产生摄影定理。

好吧，直角三角形，然后再做一条高就变成顺。定理了，知道吧？摄影定义它的这个基本形式。好摄影定义，摄影定义的话，然后就可以得到那么ce的平方，属于摄影定理。那就叫ce的平方。这样呢CF×AC。是吧，等于CF×AC啊，这个写好了，

这是它的方法，看是不是懂了？啊a1为什么角平线啊？因为等腰三角形的四线合一啊。为什么角平行？因为它左右两个三角形，刚才有同学说左右两个三角形，它全等嘛全等，所以说这个就是角平行线嘛。因为它等腰的，对吧？首先等等腰两边肯定是一样的，而且它又共用一条边嘛，共用一条边。所以左右两个三角形，

它的圈的就像一张纸一样，大家左右呢，这样一折叠能能。叠上它能重合，知道吧？就关于e，它正好左右是对称的啊，左右是对称的啊，这样的。好吧，大家看看它的方法。好，那接下来咱们就可以写出它的答案好不好？它要求CF的长度。啊CF长度。

就等于ce的平方。除以一个十就等于三点六。正确答案应该选择e选项。啊，他做题内容看是不是懂了？当然，这个题还可以让大家求什么，求af的长度，大家会做好吧？af长度你们会不会求？如果要求af长度。就af长度，那应该怎么写呢？就af长度就是a。ae的平方。

等于af乘以个。AC是吧？就是这个啊，如果要求af这一段啊，也会用射线定理，就用ae的平方。啊ae的平方就等于af×AC。好，那ae又等于又等于多少呢？ae它正好等于六八十嘛，只要背着勾股数，所以ae它正好等于八。是吧，因为一个边是六，一个边是八六八十这样的好吧，

所以a1长就等于八带到里面就可以把af给它求解出来。是吧，当然这里还可以让你求ef的长度等等，大家都可以用咱们直角三角形的一些定理去做。好吧，这个看看还有没有什么疑问？啊，接下来咱们看这个题，这个题考点是考察平面几何求角度问题，其实这道题大家可以采用不讲武德的做题方法上课呢，如果有量角器直接量一量。啊，有同学可能考场就带量角器了，当然啊，有的考点儿他不让带文具，

那就没有量角器，没有量角器，你只能训练你的眼睛观察能力。是吧，你的眼睛就是尺子啊，观察比较准，一看就是60度，这就选出来了是吧？如果有量角器能。可以带文具有的地区可以带文具啊，可以带尺子啊，量角器都可以有的，有的地区呢，不让带文具，它考场上发文具知道吧，

所以每个。考点呢，它是不一样的，你要看你所在的考区，它的要求啊。啊，所以这道题它的考试要点就是相当于是平面几何啊。然后求角度。当然，如果没有联想器这道题呢，也可以把它特殊化，把这三角形看成一个等边三角形，只要不影响答案，这个题都可以取一个特殊情况，有点像咱们取特值来选答案一样。

是吧，好，那咱们说一下这道题啊。第一个方法就是量角器。咳。好，第二方法就是相当于是把图形特殊化。如特殊层等边三角形。好图形特征等边三角形来分析。啊，如果是等边三角形，那这个就简单了，知道吧？你看等边三角每个角都是6度，这个角平线啊，

这个分的都是30度。啊，都是30度，然后这也是角平线，这都是30度。啊，这个是呃呃六六度，它所角它这个啊都是一样的，就可以得到啊，这个e。e FB啊，那这个也是6度是吧？因为它它所有的它这个都一样，然后这个这个点。啊啊，

这个点这个点就很很简单，如果要等边三角形等边三角形，它的角平线正好是垂直的是吧？正好是垂直的。啊，然后垂直垂直的话，然后这个这个角30度，那这个角有6度嘛啊，这个角就六六度。是吧，所以e FB有6度，有一下就求解出来了好吧，这个很简单。好，咱们再说一下，

一般解法。一般计划一般计划，大家知道这个角bac=60度。就这个角是6度6度就说明什么？说明角ABC。加上角a cb。并三角形的内角和等于180得到这个就是120度是吧？就这个底角。加这个底底角，这样是120。是吧，120度好，这就写好了。好，那接下来那我们再根据这个角平线，

根据角平线。因为它给了啊，这个角平线有两条角平线，一个BD是角平线，还有一个ce，它也是角角平线。好那角平线正好是分它，它一半也就是说二分之一角ABC。加二分之一角a cb。这样等于6度是吧？比如说下面这两个小角。啊，接下来起就是6度。有太阳求谁啊？求角e FB啊？

求这个角。啊e FB啊，这个角好，那这个角我们看它应该用什么方法来进行求解？是不是好？那要求这个角大家知道，我们可以用。啊，用这个三角形它的一个特征来分析是吧？因为大家知道整个角这个是6度。好，这两个小角加在一起，比如说这个是x，这也是x，这是y，

这个也是y。所以x+y它正好啊，就等于6度，因为因为刚才讲了2 x+2 y。啊，正好等于120嘛，它这个角平线角平线这个x这个y啊，加在一起有6度好6度6度，那说明这个角。啊，就是b。CF.就等于120度是吧？因为根据这个bcf，这个三角形的内角和啊，

这个角就是。120度。它就可以得到bfb就是60度。啊，就可以退出。啊e FB得到是6度。啊，就可以得到它结果了啊，答案就算出来了，好吧，就得到这个角是120，那这个角就60度。好，这个答案选c，所以这道题有这么几个方法都可以好吧，

任何方法都可以做出来。好，下面咱们看这个题。这个题就考察直角三角形，它里面一条高是吧？一条高好如图所示。这个如图所示的意思是什么？如图这个意思就是相当于它这都是直角，所以有同学说这个题干，他没说这是直角呀什么的。这个图图呢，就相当于是咱们经常说嘛，有图有真相嘛，是吧？图就是一个已知信息嘛，

人家给你画了这个直角，这个符号就代表直角，这也是直角是吧？所以根据这个图啊，我们就可以得到什么问题啊啊，得到什么问题，得到两个直角边相乘，应该等于这个高乘以这个斜边。是吧，斜面这样就可以写出来，也就说呃qr。乘以个PR。就是qr值乘以PR的值，这样就等于pq。乘以个rs是吧？

所以题干一它这个值等于12题干一它这个值等于12那么题干上求的这个值它也等于12。是不是它也为12，你想想是不是这样的，它当然也是12。也满足这个要求，它也是。对不对？所以它这个条一是成立的。条件就不行啊，条件你知道有同学，他认为他也充分，条件也充分，他错在哪，我来说说他怎么想的呢？这样想的，

他说pq。这样等于五它的pq的值，这样为5 pq的值为五，那他背过勾股数啊，他说一个三一个四。他说呢，这个这个值是三，这个值为四。这这值为三，这个值为四，所以说它这个三×4正好等于12。啊，所以这两边相当等于12=12也能得到这两个相乘也等于12，所以要认为条件也充分，所以他把条件呢，

也判断是对的。然后这样就错了，这个咱们讲过。人家又没说上面是整数，对吧？所以人家没说三边整数，如果三边要有整数的话，你可能想到三四五，人家就没说这个，这个边都为整数嘛，所以说要注意这个斜边为五的三角形，它有很多个知道吧？有很多个，它的一个可以是小数啊，或者是根号呀，

对吧？根号那这个都可以啊，是不是所以在这里面比如说？它的平方加它平方等于25的数，那有很多呀，比如说根号，这是二这根号二二二一，你看它的平方四它。它的平方是21加在一起，四+21=5^2，那这也是一个直角三角形啊，对不对？所以它这个满足这个斜边V5的，它有很多很多个。注意不要人为的去加条件好吧，

所以在这道题里面大家就注意，所以说这个。就qr还有PR它呢，是未知的，所以它呢是是不充分的。懂了吗？不要想着光想着三四五啊，这样考试很多同学当时呢就选错了，光想着三四五那就错了。对吧，人家啊，有可能是其他值呢，对不对？所以这一块儿其实不难，就考试时候。

下面咱们来看一下，全等和相似，它的考试内容全等相似，要掌握全等相似的判别方法及相关的应用。由于对于相似三角形啊，现在面比这样的相似比的平方，这大家要注意，如果两三角相似。面比正好等于相似比的平方。好，如果出现折叠对称，旋转平移时用全等分析。用圈子来分析就就行了好吧啊，如果平行时呢，用相似。

就什么时候用全等呢？出现这种对称呀或者折叠呀，两边一样呀，就可以用全等。然后如果有平行线的时候，用相似相似的话，咱们可以记这几个。特征相似。你看一个像这个。沙漏一样是吧？这样的这样就相相似。比如说abcde好，上下两三个相似相似对应边成比例啊，对应边是由AB比上de。就那AC比上ce。

就等于BC比上CD好吧，就上下两三个相似相差对应边是成比例的啊，就AB比上de。AB比上d这样等于AC比上ce也等于BC比上CD。BC比上CD这样就写好。好看，这个是不懂了好吧，这相似相似的话，那这个相似用在什么场合？用在这个梯形里面，比如说这一加。两条线就变成一个梯形，对吧？梯形的话，它就产生一个相似了啊，

上下两三个相似，要知道好吧。然后接下来还有一个相似的相似，就像一个金字塔形一样。啊金字塔型这样的懂了吧啊，这样的一个类内容。啊，像一个金字塔。你看像一个尖塔，然后这个三角形，它也相似是吧？就相似上面这个三角形跟下面这个三角形相似。加上有比上的长度等于比上长度等于比上的长度跟这个。是写出来是一样的好吧，就相似。

将来记住，平行就要用到相似啊。所以，这些各类相似的考法要知道。下面咱们看这个题。筛选ABC，它是一个直角三角形。s1，s2，s3是正方形。而且ABC呢，是它的边长。ABC是它的边长。则下列哪个是正确的？好，

那这个题大家在做的时候。我们要观察。这个怎么样？找它之间的边长的关系。是不是大家可以发现里面出现了很多三角形，而且这三角形它里面出现了很多平行。所以说平行要找相似，所以这道题告诉大家做的技巧方法，一定要想到相似，所以平行。要找相似。来求解好吧，如果出现平行就找相似就可以了。好，那接下来咱们来看一下，

到底谁跟谁相似，这相似的太多了，你看一二三四这四个小的都相似。这小的跟大的也都相似，跟最大的。它们之间都相似，那我们到底找谁跟谁相似？那大家发现一跟四不要找，因为一跟四它的位置量太多。啊，这个边上都不知道啊，一跟四它这个边上它它它都不知道，所以在这里面我们呢就找。中间这两个。找中间这两这两个相似啊，

这两个的话，它正好相。呃，这个相似的话，它的边长这都知道这个可以检查结果。好吧，所以大家要定位它相似三角形有很多，我们要定位找哪些三角形相似就找这两三角形相似。这大家可以看到，那接下来我们可以看到好，那这一段。数值s3这段数值正好就c这段长度正好c。然后这个长度正好是a，这个长度正好是BB，那接下来我们对应编程比例就可以了好吧，

对应编程比例，然后这个就是c。然后这段长度就是a-b。好吧，所以c。除以一个，然后这是a-b这样的值。啊c好c的值除以a-b。啊，所以aa-b就这一段儿，大家知道相似的话，它对应边应该成比例嘛，分别在横着这个边，横着这个边正好是。这样是a的值减c。

用a的值检查这个c。然后这样，然后比上这个横着这个边，横着这个边，正好是b。乘上b，然后利用交叉相乘相等，然后化简一下就可以了啊，这个很简单，就得到BC就等于a方减ac-bc。减去。AB.加上BC是吧？然后这一块儿BC BC两边约掉，约掉的话，

然后再除以个a就得到的是a=b+c。好，这样就写好了好吧，这个答案就选择a选项好，大家只要找到相似这样的题就好做了，所以这道题做题的技巧方法就利用相似来转化为程度。之间的关系来分析，可能有同学没做好的原因呢，就没有想到相似结果呢，做的时候呢这个。就做错了。好，大家做这个题。在直角三角形ABC中。AC它等于四。

并且它正好为三。好AC它为4 BC它为三。然后d和BC是平行的啊d和BC，它正好平行的。好，已知这个梯形BC ED的面为三啊BC ED的面上正好为三。好求这个d的长到底多少？啊，只有第一的长度到底为几？好，大家想想这个题。好，这个梯形的面积为三，它有什么用？梯形面积是三。

所以大家可以发现，这有个平行关系。de平行BC各位同学能看到吗？啊d这样平行BC。好d，如果平行BC的话，我们就可以得到这个三角形相似是吧？相似相似的话，它大家要注意什么问题呢？就面积比正好等于相似比的平方。啊面比状的相似比的平方，这样就写好了啊面比状的相似比的平方。啊，这样写好了啊，这样的方法。

好，那接下来咱们来看一下这个面积到底多少？首先大家知道这个大三角形的面积。大三维面积应该都会求对不对？大三维面积大家还记得怎么求吗？因为它大三角正好是一个直角三角形嘛，人家说了是直角三角形。直角三角形就等于二分之一，两个直角边相乘。是吧，所以说这个大三角形就等于二分之一两直角边相乘得到这个三角形的面积。然后接下来咱们再看一下这个梯形的面积，梯面只要上面这个三角形就可以算出来。把梯面这上面这个三角形，它就可以求叶层。

那么上面这个三角形，大家可以算好。啊，上面这个三角形它的值。看吧，上面这个三角形，它又可以求解出来嘛。好，那这个上面三角形。有没有同学算出来就三角形ade的面积？AD面正好等于六减掉三就等于三。因为整个面积正好为三嘛，这面积为三，下面梯形为三，说明上面这个直角三角形面积，

它也为三。啊，以为三好，那接下来大家知道这个两个三角形，如果相似的话，大家知道面积比啊，对大家中学学过面积比就等于相似比的平方。这地方不要忘记加平方好吧，不要忘记加平方好，这个正好是三比六就一比二。那三比六又可以写成一比二这样的。那一比二这样的情况是吧？对一比二这样的一个特征。好看，这个懂了没有是吧？

就一比二。一比二的话，然后就可以得到什么得到de比上BC BC乘上三嘛，开根号就等于二分之根号二。是吧，这二分之根号怎么来的呢？就开根号把这平方去掉，开根号看样就可以得到，然后把三乘过来。这个的de的长就等于二分之三倍根号二。这样呢，直接拿去选择d。那方法这个答案选d。啊，它的内容这个写好了好吧，

它的考试要点。好，这道题就是考察了三角形面积，然后通过梯形面积转换成这个三角形的面积，转换完后用三角形相似相似的结论就是。面比就等于箱似比的平方，用这个方法来进行求解和思考，看各位同学是不懂了。下面咱们看这个题。好在三角形ABC中，已知ef平行BC。则这个三角形的面积。等于这个梯形的面积，大家注意这道题呢，大家不要直接求这个梯形。

不要直接求这个提醒。啊，这个三角形aef的面积跟这个梯形下面这个梯形面积相等。咱们还是用相似，因为为什么相似看它这个ef跟它平行，所以只要是平行。大家都要找到相似。懂了吧，所以咱们做重新判断，先把题干给它化简一下，化简完后，然后再再来做这个题就可以了，化简一下。那那接下来看一下ef跟它是平行的啊，所以说ef跟它平行。

好ef平行BC好ef平行BC就可以得到三角形aef。相似于三角形ABC。好吧，就aef这个三角形啊aef这个三角形跟这个ABC是相似的。相似的，大家注意题干说了它这个面积跟这个梯形面积相等面相等，那就说明什么，说明这个三角形的面积。应该占整个大三角形面积的一半儿是吧？这些小三角形面积占整个大三角面积一半儿啊，这样话就等于一个。因为大家知道面比就等于相似比的平方，相似比平方，所以面比我们再看条件一和条件条件一是ag和gd。那我们可以可以用ag比上AD，

注意这两个三角形。这样三角形如果相似的话啊，相似的话，它的高的比也等于相似比，知道吧？就是aef的高。aef的高是ag。然后ABC大三角形的高是AD大三角高AD好，当然还可以等于边长比边长比拿。拿这个ef比上BC。平方都行啊，所以大家注意，如果两三个相似，它面积比就等于相似比的平方，那这相似比也等于它高的比也等于它的中线的比。

也等于它角平线的比，也等于它周长的比，周长的比，也等于它相似比。知道吧，就面积比是加平方的。然后得到这，然后因为它这个面积正好是一比二是吧？就三角形aef的面积占ABC面积的一半。是吧，一半儿，因为它这个三角形跟这个梯形面积相等，它要占整个一半儿就写好了，这样呢，接下来我们把二分之一开一下根号就可以了，

好吧，开根号那就可以得到ag。比上AD。就等于ef比上BC应该等于。根号，二分之一。根号二分之一，所以条件二是可以的条件二，大家发现这个BC正好等于根号二倍的ef，这个是可可以的条件二是吻合的。条件二，吻合。条件一，条件1 at=2倍的gd那那这个是不对的啊，这个是不对，

这个是错的。然后因为ag=2分之根号二倍的AD。对吧，那么gd的长度应该用ad-ag，所以说这个就就这个就就更复杂了，肯定不是条一写的那个东西是吧，所以就相当于是。这个gd的长度。好gd的长度就等于ad-ag。就等于一减二分之根号二倍的AD是吧？所以这样的好，把这ag给它带过来，反正它的比值肯定是不不不行的，你不用再算了。这个答案就选择b选项。

好，所以大家注意啊，平行的时候用相似相似的话，它的面积比等于相似比平方相似比就等于边长比相似比还等于它的对应的高的比。都可以好，这是它的方法，大家呢，要会转化就可以得到答案了，好看这一块儿是不是明白了？所以只要出现平行大家考试的时候，用相似做这样话就是比较简单一点。下面咱们看这个题。好如图所示o是半圆的圆心啊o是圆心。然后od垂直于AC，这是垂直的，

这都是已知条件，垂直的只能确定od的长。好，这里面有个隐含条件，在后面做题中也要用到，就大家可以发现角c是9度，为什么角c是9度？大家知道直径。所对的圆周角为9度。直径所对的圆周角。为9度是吧？直径所对原角正好9度啊，所以说就可以推出角c=9度。前面这个角度又因为od垂直AC是吧？题目说了od垂直AC。

od跟它垂直，我们就可以证明什么证明这个od跟这个BC是平行的。好，既然平行，我们就可以用相似做了是吧？这个相似。好相似，它对应边成比例，而且大家知道这个o正好圆心o圆心的话，其实。它是相似的特殊情况，特殊情况正好是中位线是吧？正好是od的中位线。是吧，因为它又经过终点，

又跟它平行那中心线，中心线的话，那说明这个od长正好等于二分之一BC。咱们知道中位线的概念就是中位线平行，且等于底边长的一半儿是吧？这样写好了，所以这道题条一就可以。相信它只要知道bz长度，那这样我们就可以求解出来。好，只要毕业成了就可以求助。它的数值。咳咳咳。条件ao没用ao是圆的半径。啊，

知道ao它是没有用的，所以这一呢应该选择的是a选项。好在这做题方法思路，看是不懂了。下面咱们看这个题。好如图所示，在矩形abcd中，然后ae跟FC相等啊ae的长度。跟CF这两个长度呢，是相等的。则三角形与这个四边形啊，就是三角形ade，这个三角形大家观察一下，它是一个直角三角形。对吧，

这是一个直角三角，因为角一是90度。好与这个四边形，四边形就是这，这是一个直角梯形，这四边形大家可以看一下，它正好是一个直角梯形。直角梯形，然后跟这四边形能拼接成一个直角三角形，能把它拼成一个直角三角形。好，那么条件1 eb=2倍FC条件2 ED=ef。啊，条件就异地的值。啊ED的值正好等于ef。

好，那注意大家做题的时候要知道什么叫能拼接成一个直角三角形，这句话怎么去理解要弄清楚。那这句话怎么理解？那首先要知道这个三角形它怎么拼？它这个三角形怎么拼呢？你得知道。拼哪拼其他地方，这个出现不了三角形，你看如果拼在这个的位置或拼在这个位置出现不了三角形，只能拼在这儿。拼这的话，那只能ae拼到这，而且呢，这个这个边呢，

要调过来要调过来，这样拼是吧？所以首先呢，要观察它怎么拼。它要这样拼。是吧，这样拼也就说它的三角形，你想想它要拼的话，只能拼在这个地方，没有其他位置可以拼了，你想想它怎么拼？他只能拼在这个位置，好能拼成一个直角三角形。好，那说明只要是这个三角形跟这个三角形全等就行，

所以说根据题干，我们只要证明什么证明三角形ade。全等于三角形。cfg.是吧，所以在这里面大家呢，就可以呃cgf。是吧，所以有时候我们只要能够证明啊AA de这个三角形。只要证明ade这个三角形。跟cgf这个三角形全等就可以了，只要证明这两三项全等全等的说明可以拼接出来是吧？所以说你把这个。直角梯形给它连接两个腰，连接两个腰，

以后把它变成这样一个大的直角三角形。啊，那接下来我们只要证明这两个全等就行好，那要证明全等。全等证明。宣传证明应该应该怎么证呢？全宣传证明。全证明大家想想怎么证好，要么就是什么咱们学过边边。边角，边角，边角。角角边。对吧，这全转正面。

好，如果要直角三角形，那更简单，直角三角形，因为这这个三角形是直角。直角三角形角a是垂直的，这个三角形它也是直角，也知道就角c它是垂直的，它也是直角。对吧，这两个都是直角，三角形都直角，三角证明全等呢，更简单，因为它都是9度都9度，

所以你只要找。找两个边。或者说一边一角一边一角的话，那个角一定是除了直角之外的角好吧，所以直角三角形它全等的证明。旋转面就是找两边。任意两边都行，因为直角三角形，只要有两边对应相等，另外一边根据勾股定理，它也是唯一的，也是相等的。对吧，所以两边另外就相当于什么一边一角。啊，

一边角啊，一个边一个角啊，一边角。啊，一边当然这个角要是那个锐角啊，就是除了90度之外的，另外两个小的锐角里面的一个角啊，知道就可以了啊，好这个只要三方全证证明。那接下来咱们来看一下这里面的题，看一下条案一。它告诉我af跟CF相等了，这个边已经相等了。af跟CF相等这两边已经相等。我们看一下条案一。

现在告诉我们eb的值等于二倍的fceb的值等于二倍的FC啊。啊eb跟FC有个二倍关系，大家知道这个CF肯定是平行。be的。为什么？因为它是矩形，这是一个矩形，矩形的话，两边肯定是平行的。对吧，矩形它两边肯定是平行关系嘛，肯定是平行的。对吧，两边并行，所以呢，

如果CF是b的两倍。CF如果要是be的两倍。CF要的be的两倍。那说明CF正好它中位线是吧？CF它正好为中位线，你看又平行啊，又是底边的两倍，所以可以得到CF为中位线。对吧，所以CF正好为中位线CF要为中位线，那说明c点肯定是这个边的中点边中点就可以证明说CG。跟BC的长度是一样的。对吧，它一样。因为又平行又又又它的一半啊，

所以说证明了中位线中位线的话，那这个交点都是终点终点的话CG的长度跟b的长度一样。但而且大家知道BC又跟AD的长度一样。是吧BC跟AD的长度，它是一样的呀。啊，它一样，那接下来我们填完一就可以写了，填完一就可以得到什么呢？因为题干告诉我们了ae。跟这个CF是相等的，另外我们刚才又证了CG跟AD是相等的，在这地方已经证证出来CD跟。CG跟AD相等，所以直角三角形，

因为这两有直角三角形，那直角直角三角形只要两边相等，那就可以证明。这个ade全等于。cgf.全等于cgf。那这个就充分了，所以条件一它是充分的，所以这道题不要不要一上就联合，所以条件一单独充分，然后再看条件二。条件告诉我们ED的长度等于ef。啊，就ED的长度啊ED的长度跟ef长度这两个相等。单独看条件，

这两项的话，那说明这两个边相等，这两边相等，大家知道它就是一个等腰三角形等腰三角形，这两个角就相等，所以一个角一跟角二是一样的。对吧，角跟角二可能一样。但注意角一跟角三加上面这个角是角三角一跟角三也一样，因为角一跟角三是平行直线产生的内错角。啊，这个角一跟角三一样，那角二角二跟角四它也一样。啊角二角二跟角四它也一样，这角二跟角四它也是一样的。

是吧，它也一样，所以角一跟角三一样，角一跟角二一样，角二又跟角四一样，可以证明角三跟角四一样。角三跟角四一样，加上ae和CF一样，所以这两个直角三角形，它有全等的，对吧？这两个直角三角形，它有全等。因为它有个锐角，一边一角了，

它就全等是吧，所以这样就写好了啊，所以条件。条件可以得到角一跟角二是相等的，而角一跟角三相等，角二又跟角四是相等的。是吧，所以就可以推出角三跟角四相等。角一跟角相等，你就可以证明它这是全等的，因为它有个边是一样的。所以说AD和cgf是全等全等话，那它也充分是吧？也能充分，所以条件上它也充分。

所以呢，应该选择4d选项好，这是它的做题方法，思路看是不是懂了，所以这类题大家呢，一定要读题，把它进行转化，表面上是能拼接成一个直角三角形。实质上，它会考察这个全等它的一个分析和思考。那么，对于全等证明方法，这个大家要知道好吧，对全等它的证明。分析方法，

这要掌握住一般三用权权证怎么证明，然后执要三用权证怎么证明啊？证明的方法要掌握住就可以得到答案了。好，这是它的考试要点和内容。接下来咱们来看一下啊，这个题给你两直角三角形，只要这两直角三角形相似。好，这里考点主要考察。相似的问题。好那么相似，到底怎么样去理解这个相似？相似怎么去理解它？这相似怎么去呃理理解，

大家想想相似啊。相似法，只要是形状相同，大小成比例。什么叫形状相同呢？形状相形状相同，形状就是唯一的。不能说你是这个形状，它那个形状那两个呢？就是不一样形状是不一样形状为一好，什么叫形状知道吧？这个形状可能有点这个抽象。形状期就行了，就三边比。三边比例，

比如说第一个三角形呢，它自己的三边比例，第一个直角三角形和第二个直角三角形，一个小点儿，一个大一点儿，对吧？但它三边比例是一样的，比如说这个ABC。这也是呃ABC，它这个ABC的比例跟它ABC的比例是一样，这两三角形形状就一样。好它比例，比如说它比例是三四五，它比例这个六八十，它这两个比例一样，

三四五比例跟六八十比例一样，那这个是代表是。形状呢，就一样了，它俩形状是一样好吧，所以这给大家讲什么叫形状一样。银行银行只要确定ABC，它的比例关系是唯一的就OK了好，那接下来咱们看题目一。条件一呢，这样推要简单的三个边上要成等比数列，我们看成等比数列，它的形状是不是唯一的？我们假如这个边是a，这个边是aq，

这个边是aq方好吧，也说我们设这个b，这个边就aq。c这个边呢，就是aq方好吧，好，它这是三边，它要成等比数列。那是等等，比数列在这里面，根据咱们直角三角形购物定理购物定理就可以知道最短边加上。这就就定了嘛，这两边的平方和。这样等于斜边的平方。是不是啊？

这样就它两个平方相加等于斜边平方，然后在这里面大家可以把这个a方呢都给它消掉，好把a方消掉a方消掉以后就变成一+q^2。等于q的四方。这是高次方程。高次方程，大家可以通过这个换元，然后降次，所以令t=q^2注意t大于零的变t方减t- 1，它正好为零。好变成t方减t- 1，它正好为零，这回呢？这个t求出来一定要大一点，所以说就用咱们的穷公式2a分之负b。

加减根号德尔塔只能取加号啊，只能取加号，因为这个减号的话，它这个负的就不满足，所以它只能取加号。对不对？争取加，所以取这个t大于零就行了。t大于0e大于零，而且大家发现t是唯一的啊t，要是唯一，那说明q它也唯一q就等于根号t。因为这个q为什么取正呢？知道吧，因为它这个边长都是正数，

所以公比q也为正的，所以要等一个根号下。二分之一加根号五。是吧，根号下二门，所以它是唯一的，唯一的q要唯一说明三边的比例关系就是唯一的。三，比例关系为一，那说明两直角三角形，它的形状一样，只不过一个大一点儿，一个小一点儿的问题是吧，然后这样就写好了啊。这样就求出来了，

所以条件一呢，它充分条件，它每个三角形要成等差。正常，你可以设一个是a一个a+d，一个是a+2 d成成等差好，这是。边上正的，但是等它我们就可以写成这个直角边的平方a方，加上a+d^2。这样的斜边a+2 d，它的平方是吧？然后接下来我们呢就可以看看，然后这个a方。加上a方加上2 AD，

再加上d方。这样等于a方加上4 AD，再加上4d方。然后这个a方跟这个a方这两个就抵消掉了是吧？然后呢？这个这个这个这左边还剩一个a方知道吧？左边还剩一个，这个a方。然后这一块大家呢，可以把这个4d。四四AD给它移过来，移过来，移过来话，然后就变成a方减2 AD，减3d方。

等于零这个呢，十字相乘，因式分解十字相乘，因式分解就可以了。然后这样就得到a+d乘以个a- 3d，它正好为零，因为a和d它只能都为正数了，因为这个三角形它都边长都为正的，所以只能得到a=3 d。好a=3 d的话，那么就相当于这是3d，这是4d，这是5d，这样求出来了好吧，所以它是35，

它形状是唯一的。形状为一啊，不管第一个三角形，第二个三角形都是三三四五乘以个倍数啊35，比如d取一啊，取二呀，取三呀，它的只有大小成比例就行了。好，这个答案条件二，它也充分。这个答案就选择d选项。好，当然这道题有同学没用，公比和公差去表示另外一种形形式也行，

另外一种形式就设这个ABC。啊，如果条件一成等比的话，就是设AC=BB^2 b方又等于c方减a方，你这样去推也行。这也是个推导方法好吧，两边可以同时除以个a方，然后再来分析，这样可以的。条件要成等差数列，就相当于a+c=2倍的b。然后再结合a方加b方等于c方，然后去解解出ABC，它的比值也是三比四比五一样的好吧，一样的。

啊，都可以啊，所以大家呢，用这两个方法都行，一般呢，咱们成等比成等差设公比和公差，这个要好做点儿。啊，不设呢，也可以写好，这是它的做题的方法，大家看。这个题它要考察这个圆的相关结论和定理，知道吧？大家要知道圆的相关结论和相关的定理。

好，那咱们来看一下这个题。AD与圆相切于点d啊，这是一条切线。然后AC呢？与圆又相交于这个b点和c点，只能确定abd。和bcd这两个三角形面积比，求这两个三角形的面积比例关系。好，那先把这个题干做一下，等价化简，然后呢，再看条件一和条件二。好，

这个切线。好，这是它切线，那接下来我们看这个切线，我们应该怎么去寻找和分析是吧？找这个切线。好，那在这里面大家用一个公式啊，就弦切角等于圆周角。啊，衔接角等于圆周角，因为这个角，它又把它称为衔接角。啊，这个角它有衔接角。

啊，什么叫衔接角呢？你看名字就可以看出来，这是圆里面它一个弦，你看bd是不是就弦长b就弦是吧？圆里面一个弦。然后呢？在我们在。看一下它的这个方法啊，这是一个弦跟这个切线构成的角度啊，这个弦跟这个切线。它构成的角度叫衔切角。知道吧，就弦跟切线就是圆里面一条弦跟过这个这个同一个点的切线。这个角叫衔接角。

斜角等于什么？等于这个弦。BD这个弦所对的圆周角角c正好是它的圆圆周角。所以通过斜角和圆的角相等，就可以得到角这个a db。这等于角c好吧，这两个角一样啊。角a db这样等于角c这两角它一样的。是不是这张角？它是不是一样啊？就这样的，所以要注意这样，所以这道题考点呢，主要考察相似来求面积好吧，所以这道题可能有同学呢，

就没有没有掌握好它的考点。三角形的相似。相似那啊，谁跟谁相似呢？咱们看看，因为这两角一样，这两角一样，大家可以发现啊，这个角又是共用的，对吧？角a等于角a。所以说就可以，只要有两个角相等就可以证明出abd这个角三角形abd这个三角形。啊abd，这个三角形和a cd这个三角形就相似是吧？

这样的话就可以得到它相似。啊，所以就可以推出这个三角形abd。相似于三角形。然后这a。然后呢？这个b这个这个角跟这个d是是对应的对吧？然后c。好，这样的好吧，这样的，所以说就相当于这个小三角abd，这个小三角形跟整个大三角形是相似的，就这个小三角形。啊，

这个蓝的三角形跟整个大三角形是相似的啊，相似的相似的话，大家知道它的面比就等于相似比的平方是吧，就可以得到三角形abd。比上三角形a dc的面积。在写相似的时候，大家有个小窍门儿，就是把这个对应的角这个点给它写在一起，比如角a跟角a一样，所以角AA字母写成一样。这样写的好处什么呢？好处我们在写，它最后比例关系的时候直接按照这个这个字母的啊位置来写就行了，比如说AB。和这个AD是吧？

这样就写就等于AB比上AD，然后的平方，然后要等于。等于什么？等于AD比上AC的平方。应该知道面比就等于相似比平方啊，面比就等于相似比平方，然后等于还等于什么等于这个这个BD比上CD的平方。啊BD比CD平方就等于BD比上CD平方好，这样写好了好吧，这是它的写法就写出来了。行，那接下来咱们来看一下它的这个呃面积，我只要知道这个蓝色的占整体的面积的比例。然后这两个小的小的就是相当于蓝色跟绿绿色。

这两三角形比例就可以算出来，对吧？蓝色跟这个绿色那这两个比例我就可以可以算出来。对吧，你比如说蓝色占。总体的啊，四比九假设啊，假设是四比九。这就那说明这是四份儿，这是五份儿，然后整个就是九份儿是吧？也就说我只要知道蓝色的。占整个面积的一个比例数值。那就说明男士的分数知道了，总分数也知道，

那这个绿色的分数就可以算出来，对吧？绿色分数就能算出来算出来，然后这个答案就可以写出来。是不是所以大家呢？就是掌握这样方法，接下来我们看题选1 AD比上CD。条件BD比上CD那BD比CD，这里面有反正，所以在条件找的时候，你看这括号里面。三个里面它给了哪个？所以BD比CD它有了BD比CD有了，所以条件上就行了，然后这里也不用联合条件，

一不行条件一给的是AD比CD。就是AD。比上CD那这时候其他的长度也是多少也不知道，因为它这个b点，它这个线它可以动是吧？这个线这个aac这个线它可以动。啊，所以它这个呢，就不可以好吧，在这里面大家要知道它的方法啊，知道它的思路。好吧，所以这是给大家强调条件，二正好BD比CD这个是知道的，这个知道，

那这个就充分了，所以条件二是充分的，这一栏就选择b选项。好，这个懂了吧？只要知道这个蓝色小的占整个大三角形的面积比例，那这个绿色占的比例就求出来了，绿色占的比例求出来，那这两个面积比就可以算出来。好吧，就可以算出来就可以得到它结果啊，好，这是它的这个值。好，另外咱们借助这个题，

把原里面几个几个结论说一说，这这一个呢，就是额，这也叫做。写一个切线和割线，它的这个。这个内容叫做叫什么叫做切割线定理？所以说第一个就是切割线。定理好切割线，定理它是什么情况？给大家写写切割线，定理。切线定理，比如说这是啊，过圆外点做一条切线。

这条斜线，然后再画任意一条弦。那条线。然后这时候呢，这是a这是d这是b这是c是吧这是c它都有什么都有AD的平方切线的平方就等于AB。乘以AC。所以AD的平方就等于AB×AC。好吧，就是AB呃AD的平方就等于AB乘以呃AC这样的啊AB×AC。这样的好，这怎么来的呢？这其实就是就是把这个上面。把上面这这两个比例写出来，因为这两个三角形相似，对不对？

这两个三角形相似，它对应边不是成比例吗？成比就AB比上AD。等于AD比上aaac是吧？对面成比对面成比大家写成交叉相乘就行了。接下来，我们可以看正好是AD×AD得到AD的平方，所以AD平方就等于AB×AC好吧，如果考试要求这个切线的长度。这个切线的平方。正好等于AB的长度乘以AC的长度好，这切割线定理要知道。好，另外还有割线定理啊，然后在这里面还有割线。

割线定理是怎么回事啊？割线定理是这样的。两条割线。比如这个，这个点是a点。a点，然后随便做一条割线，这是BC。然后这样再写d跟e啊d跟e，所以它就有什么有AB×AC。这样的AD×ae好就是AB×AC，这样等于AD×ae。这样的好吧，就这样AD乘以嗯ae这样写好了，这是割线定理好割线定理，

这个怎么去证呢？其实很好证。你做一个共同的切线。共同的切线。共同期限啊，期限这个是f好吧，共同期限，因为它都等于af的平方。都等于af平方，所以AB×AC=af平方AD×ae，它也等于af平方，是不是它这个都是相等的，所以它这个呢？就证出来了，很好证啊，

所以割线定理也是切割线定理的一个推论啊，用上面往下推。好，那接下来咱们再看。好圆里面的啊，圆里面的相交弦。定理。象限定理是这样的。啊，如果圆里面有两条相交的弦。随缘化两条相相交，线相交角这个a点。啊，这是b点，这是c点，

这是d，这个是e，这是e好，那么这个相交弦定理。两条弦一定要相交，它不一定是垂直啊，两条弦只要相交弦就行了，相交弦定理相定理就是说这个啊AB×AC。这样等于AD×ae。就是AB的长度乘以AC的长度正好等于AD×ae懂了吧？好，它这个怎么证？这个怎么这样证？你把它一连。一连一连的话，

用三角形的相似来进行证好吧，这这两个做辅助线连连上，这两个三角形是相似的，这两个三角形为什么相似呢？大家知道这两个。对角是相等是吧？这个角a跟这个角a它一样，这两个相相等的，另外角c跟角e它也一样，为什么角c跟角e它一样呢？就这样，因为它都是db这段儿弧长。啊db这段弧长，那db这段弧。这弧长跟这个弧长，

它这个是一样的是吧？这个弧跟这个弧它一样一样话对应的圆周角也一样。同弧儿对同角儿嘛，相同的角儿啊，所以说这个弧儿是一样的，所以角角c跟角e一样，那角a又是一样的，所以说剩下这角都一样角一样的话就可以推出这个三角形。那三三角形a cd。相似于三角形啊aeb。是吧，这三个相似相似不对应边成比例吗？对应边成比就AC比上ae。正好就等于啊，这个就呃。

因为这个这个正好对应编程比例AC比上ae正好等于AD。比上AB，这样等于CD比上be。是吧，这样就可以写出来。所以就CD比上be的值啊，正好等于正好等于这个AD。啊，它对应的边成比例是吧？所以在这里面大家呢，就可以写出它的这个结果，所以这个就用相似来进行证就可以了。好吧，相似嗯嗯，来验证这，

然后我们把它写成交叉相乘就行了，好吧，交叉这个相相乘。好形成这个交叉层。好交叉，一相乘，我们就可以推出这个结果了是吧？交叉乘，所以就得到AB×AC就等于AD×AA ae。好，这样就求出它的数值了。好，这是相交弦定义。相交弦定义怎么用呢？它也都用相似来证的，

知道吧？用相似来证，比如说考试告诉你这个AD的这段儿长度。或者说AB的长度还有什么长度，到时候通过这个比例呢，就可以求出其他长度来。噢，这是圆里面非常重要的三个定理啊，大家呢，要把它弄清楚，要知道它的考试方法和内容啊。好，接下来咱们看一下这个题，在三项ABC中d为BC边上点，且这三个边成等比数列。

则这个角等于90度，这里又考察到了考点是三角形的相似。三角形相似好，那三角形相似的时候，大家呢，要注意它相似的一些方法好吧，相似的一些基本方法要弄清楚。好，那相似的方法，我们再给大家进行强调一下。相似，大家注意相似，有有几个证明方法？就怎么去证相似。证明相似。

这么相似，咱们可以找这个角相等是吧？角相等。那除了找角之外，这道题还要找这个边好吧，还要找这个边好，那接下来咱们来看一下它的这个。啊，这个题给大家画一个图。啊d为BC边上点啊d呢，就随便画画一个点好吧d呢，是BC边边上点。d是BC边上点，然后它告诉BD AB和BC好正好成等比数列。好，

那这样乘等比数列的话，那我们就可以得到一个什么情况注意，则之前都是已知条件啊。这时候先不看条一和条件，知道吧？先把题干都弄清楚了，然后再往下做。然后bda BBC这样成等比数列。好，真正没出来，那就可以得到一个什么情况，得到这个AB的平方。等于BD×1个BC是不是这样的，也有AB的平方，这样等于BD×BC。

这样的情况啊，就AB的平方=BD×BC。好，那接下来咱们再来看一下它的这个方法啊AB的平方。等于BD×BC。好，这个地方把这个这个这是根据三个成等比数列推出来的，然后接下来呢，我们要把它变成什么，变成一个比例，知道吧？变成个比例就好做了，可以变成AB比上个BD。可以把它推出这样的。等于BC比上AB啊，

这样可以吧？对吧？然后这样就行了啊，所以AB比上BD。正好等于BC÷AB。啊BC÷AB。好，这个懂了吧啊，懂了，然后接下来咱们再来看这AB比上BD AB比上BD。这样等于BC比上AB，大家可以发现这个角b是共用的，对不对？小b是共用的。小学顾问呢，

大家知道，所以证明相似的方法就有了，如果两边对应成比例，加上它们的夹角是相等的。夹角相等，所以也可以证明相似，所以相似的证明啊，讲到这我们就可以给大家进行写了。所以相等第一个就就两两个角，两个角就是就AA就两个角，因为两个角相等第三个角肯定也相等。因为三角形内角和是180，知道吧，如果两角相等，那第三个角它一定也相等。

对吧，一定也是相等的。这样就写好了，对不对？它一定是一样的，所以说两角相等就可以了，然后另外什么另外就是边角边有点像咱们那个什么。呃，这个全等一样啊，边角边边角边什么呀，如果有两个边对应成比例，加上这两个边它的夹角是一样的，这也能证明是相似的。好吧，也可以证明是相似的，

或者边缘边边缘边的话，就三个边都对应成比例，比如这个边比这个边等于这个边比这个边还等于另外一个边比上另外一个边。它也可以证明是相似的，知道吧？相似的当然还可以边边角。好边边角啊，这样的。就如果有两边对应成比例，加上另外一个角相等啊相等好，它都可以证明相似好吧，所以在这里面大家要注意证明相似的一些方法。啊，所以这道题除了咱们平时掌握的通过角相等证明相之外，还可以找这些证明相似，

所以这道题就用到了，你看边这两边对应。比例啊，这个边对应也比例，然后这个夹角也相等，所以就可以证明是相似的。好，可以证明哪个三角形呢？这个小三角形和大三角形就相似。对吧，然后它这个啊，就证明它它有它就相似了。相似，所以就可以证明三角形abd。啊，

相似于三角形。啊三角形，然后这是小三角形嘛？然后跟大三角形相似是吧？所以大大三角形，所以这是abd，这是一个小的。对吧，小的小的，然后呢？我们呢？就可以看它跟这个大的就就就相似嘛，整个大的大的就是a abc嘛。这个大三角形就相似。是不是所以在这里面大家呢？

只要找到它的这个方法，那就好办了。好看，这个是不是懂了？好，那这是它的这个内容好吧，然后这个就写好写好，大家注意，如果两三项相似，它角应该相等，对吧？角向它正的是哪个角bac？那说明啊，如果两者三角形相似，这个bac这个角。

跟这个角应该是相等，所以又退出了。这是角bac。叫bac。啊，正好就等于角。叫bda。叫bda。是吧，然后这样这两角是相等的好，这个题干都弄完了，题干都弄完了，我们只要把这个角bda求出来。bda求出来那么这个就OK了，好bda求出来，

我们看条形一条形一光知道BD=CD BD=CD，那这个角到底是8度还是90度还是多少度？咱也不知道。是吧，这小孩子不不知道，然后条件一这是不行，条件条件AD跟它垂直。AD跟它垂直AD跟它垂直，那这个角就直角直角化，那这个角是90度，那这个角它也90度。是吧，所以这个条件是充分的条件，可以推出，它正好是90度，

所以这道题正确答案就选择b选项。好，这道题难度稍微大一点，首先要转化成相似，然后来进行分析。啊，此外，大家还要注意这道题跟咱们的这个射影定理直角三角形啊，射影定理之后在直角三角形用啊。就直角三角形里面有个摄影定理。这大家要知道它的等价关系好吧，直角三角形设定定理直角三角形设定定理是这样的，这首先必须是直角三角形才能用。然后斜边上做一个高。这个高好，

那么这时候设定的是什么？就AD的平方。在BD×CD。啊，就是AD的平方=BD×CD啊，这AD的平方啊b×CD就行了。然后另外就AB的平方AB平方就等于BD乘以个BC。就AB的平方，这个边的平方就等于BD×BC，然后AC的平方。呃aac的平方AC的平方就等于CD。乘以个BC。这a4的平方。就等于CD乘以个BC是吧？就拿CD乘以个BC，

这样就写好了。好，那这是它的方法，那这些这三个就是摄影定理，摄影定理，它怎么证的呢？就用相似证的知道吧？第一个AD的平方。等于BD×CD是左边这个小直角三角形和右边这个小直角三角形两直角三角形相似，大家自己去证明和写一下就行了啊。它相似，然后第二个是第二是左边这个小直角三角形跟整个大直角三角形是相似的。第三个相似呢，是用右边这个小直角三角形和整个大直角三角形相似，用这个来进行证明的好吧，

这它证明的方法和思路啊，所以大家要知道跟设定定理的关联是什么啊？胜利呢，通过相似就可以得到这个值。得到这个值。好通过每一个平方呀，可以可以证明相似，知道吧？可以可以证明相似，所以这道题呢就挑了。挑了一个来进行考察，比如挑了这个第二个来进行考察是吧？反正它考试时候要挑其中来进行考察，大家要找到它相似的概念。相似的方法来进行分析和思考，

所以这道题出题还是比较巧妙的，知道吧，所以要把这个三边成等比数列转化成对应边的比对应边的比找到以后，然后再结合一个角。然后呢，证明它相似，你看相似这个呢，唉，还是比较灵活的，好多同学在考场上没有把它想出来，没有把它做好。这样话答案就选错了，而且这道题大家不要联合很多同学呢啊，就容易把它联合选c，其实这道题单独条件上就充分的就在做的时候。

不要给写错了好吧？好，这是这个题，它的考试内容和方法，大家呢，要好好再思考一下。接下来咱们看这个题，这个题正好是前一年真题，它的改编是吧？所以大家可以发现直角三角形称等比数列能确定公比的值，所以它每年都有前面真题的改编。啊能成等比数列成等比数列，大家注意。因为它既然是直角三角形。直角三角形的话，

它三边长肯定有长有短，有长有短，而且这个b它不可能是最长边，也不可能最短边，所以这个题要么就是a小于b，小于c要么a就斜边a，大于b大，大于c。就这样的情况呗，是吧？就是所以你只要确定那么到底谁是最短边，谁是斜边形，这道题也不用去联合，知道吧？不用联合单独条件就就OK了。

那题目1a要是直角边啊，首先大家注意这个题目，通过这个题可以推出什么推出b方正好等于AC。这是一个要知，而且还要知道什么知道b肯定为值要变。b肯定为直角边，所以通过这已知条件啊，则之前的都属于已知条件，通过这个已知条件可以得到b方，正好等于a×c。好b方就等于a×c啊b的平方，那这样就a×c。而且呢，b还为直角边是吧？好，

那题目1a要是直角边a要直角边呢？肯定是a小于b小小小于c的。是吧a因为b可能是直角边b不可能是斜边b必然是直角边直角边呢a要直角边说明c有斜边好c有斜边的话，那就这个公比咱们就可以写出来了。对吧，这个公比可以写出来，你可以设这个b呢，正好等于a qc呢，就等于aq方，然后这样就解出来解出来这个q方。然后用勾股定理嘛，勾股定理a方加b方等于c方嘛a方加b方等于c方。然后把q4方看q的平方看成整体，这个咱们前面给大家做过，就q平方就解出来。

二分之一加根号五。二分之一加根号五，然后这个公比是能定下来的是吧？因为q它是能定下来q的平方，它也能定。是吧，因为q平方它这个q肯定是正数嘛，所以q肯定是能定下来的。好条件一单独充分条件儿条件儿，如果c要是斜边c要是斜边，因为b它肯定是直要边了。b可能是直角边那c要是斜边的话，那a肯定是另外一个直角边。啊a肯是另外一个直直角边是吧？这样写好了，

所以同理它也也充分啊，同理它也充分。啊，跟上面是一样的，所以这道正确答案选d大家不要选c，不要去联合，知道吧，单独条件就可以推出来。所以这道题就大家呢，要注意它的方法。当然，这里还可以改成什么等差数列啊，等差数列能不能确定公差的值等等的是吧，这大家也会分析和思考啊。所以大家注意啊，

把数列跟咱们的几何图形相关联思考，要会分析和求解啊。下面咱们看这个题。直角三角形ABC呈等差数列则能确定公差的值。啊，直角三角形，它要成等差数列。他要确定公差的值。好，大家知道，对于等差数列啊，对于等差数列。它要么d大于零，要么d小于零，而d=0，

在咱们这道题不可能因为它直角三角形ABC不可能相等，所以它的公差d可能是不能为零的。对吧d可能是不等于零，这个大家都知道d可能不能为零。d不为零那么d要么大于零要么小小于零，而且大家注意。这个中间这个数b，它一定是直角边。中间这个它一定是直角边。这个边它一定是直角边。也就是说，你为什么是直角边？因为它如果d要大一点，咱先把题干分析完，然后再看小条件，

要如果公差d要大一点。关d大于零，那么就相当于a小于b小小于c。那说明这个b它不可能为斜边。啊，不可能为为斜变，所以b它肯定为直要变，如果公差d要小于零，公差d小于零就是a大于b，大大于c。那说明AA就是斜边b还是直角边？知道吧，注意它a它也没说的话a有可能当斜边啊，它人家没说嘛，反正ABC反正不管是a也好c也好。

谁为直角边，谁为斜边无所谓，关键是b1定是直角边，这要判断清楚好，接下来咱们看条案一。条件一，如果a要是直角边a要直角边只能是第一种情况a是直角边，因为b肯定是直角边了a要是直角边那说明c1定是斜边。c1定是斜边，所以a要直角边就可以推出，说明c1定斜边c1定斜边，那说明一定是这种情况，因为ABC是是这样的。对吧c1定是斜边，所以调成一样，

如果杠a是直角边的同时。c1定为斜边，因为b它必然是直角边。那c就斜斜边c斜边那要确定公差值，我们可以设定一下这个b呢，就等于a+d。c呢，就等于一个。等于一个a+2 d是吧，公差就为d接下来我们根据购物定理可以得到结果，根据购物定理购物定理就得到a方，加上一个a+d^2。这样等于a+2 d的平方。是吧，这样的话，

我们就可以得到a方加a方加2 AD。加上d方，这样就等于一个a方，加上4 AD，再加上4d方。是吧啊，这样的把它都给展开。展开展开，然后把它移项，月月又得到a=3 d。好a=3 d，但它d等于几，这个是不知道的，也说它这个三角形就3d，4d和5d，

比如d可以取一就三四，5d取二就六八十。是吧，比如三四五啊，六八十啊，90啊，15啊，所以它这个公差肯定是确定不了，确定不了。条件上设置斜边，设置斜边可以得到a1定是直角边，所以说同理，所以条件上是同理。啊，同理同理，

它这个也也确定不了啊，也确定不了，因为它有可能是三四五，有可能六八十，有可能九十二十五，它这也确定不了，这公差到底是一还二还三。你也不知道是吧，这个也确定不了。啊，李阳企业李阳企业，它也确认不了李阳企业它的三角形三四五还是六八十，这个也不行，所以这道题就选择e选项。它这个等差数列，

它有好多个公差可以为一啊，可以为二啊，可以为三呀，对不对？所以说它这个有很多很多，所以它这都是定不了的。而这给给大家强调了它的方法和思路，看是不懂了，要掌握它的考试要点和内容。

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02.讲真题-第6章第1节-题型2～3

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