01.讲真题-第6章第1节-题型1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 05:55:45

唉。好，各位同学，大家晚上好啊。好，各位同学，大家晚上好。好，咱们课程很快就开始了啊。还没进直播间的同学抓紧进来。好，各位同学，大家晚上好。啊，您进直播间同学打个一来进行签到啊，

进直播间同学打个一来进行签到。好，各位同学，大家晚上好啊。好，咱们课程很快就开始了，还没进直播间的同学抓紧进来。好，各位同学，大家晚上好啊。好已进直播间，同学抓紧进来进行签到。好，那小学同学到了啊，还有牛牛同学到了好，

那么其他同学呢？啊，进进直播间，同学抓紧进行签到啊啊，德辉同学也到了。是吧？好，那接下来咱们来看一下平面几何啊？接下来咱们学习平面几何。好来看平面几何的一些主要的考试内容和方法。啊，接下来平面几何，里面比较重要的就三角形。啊三角形是考试重点。啊三角形也是其他图形学习的基础。

比如说咱们学的四边形呀，或者圆呀。里面都要涉及到三角形。啊，所以三角形呢是非常重要的，三角形内容也比较多，大家一定要掌握住三角形的基本方法和思路。首先咱们一起来温习一下知识点结构。看下知识点结构。一个是内角和内角和三角形，内角和等于一百八三角形，内角和。啊，这内容和公式大家都知道。在于外角等于不相邻，

两内角之和啊，外角等于不相邻，两内角之和，这是内角和外角。啊，什么是三角形的外角？简单说说啊。就把一个边给它进行延长。好在三角形外部这个角吧，称为三角形的外角。好，各位同学，可以看看这个是三角形的外角。好，这个外角角度正好等于不相邻，

两内角之和等于不相邻，这两个内角它的和。好，这是它的外角的特征。然后接下来边的关系边的关系就是两边之和大于第三边，两边之差小于第三边这样的。啊，两门之和，大于第三遍。两门之差，小于第三遍。啊，这样的方法好吧，在这里面它的方法。然后接下来咱们看一下它面积公式。

给它面面积公式。啊三角形的面积啊，这个大家一定要会算第一个面积可以写成二分之一底乘以高。是吧，这个大家见识的比较多啊，另外还可以写成根号下p×p-ap-bp-c。啊，这一把称为海伦公式。好吧，这个p代表什么意思呢？p代表二分之一a加b加c是周长的一半儿啊，这p的值代表周长的一半儿。然后这ABC就代表三个边啊，三角形三条边的长度。啊，

这样尤其呢，咱们学的还有一些特殊的三角形。而且特殊的三角形，它这样一个等腰三角形。等腰三三角形等腰三角形的话，咱们给大家画一个示意图，如果a是底边b是腰长。啊，这个等腰三角形。等腰三角形特征是有两条边长，它一样的是吧？嗯，这两个边长它一样的啊，这等腰三角形。好，

那等腰三角形面积，它怎么算呢？我们可以做一个高。这个高。好，大家注意，这等腰三角形这条线。它是四线合一啊，这条线既是高，也是它这个上面这个顶角的角平行线。也是呢啊，这个底边的中线。也是这个中垂线。什么叫中垂线呢？跟那个底边垂直，

而且过中点的这条线啊，称为中垂线啊，这样的。好吧，这个中水线还有这个内容。啊，这是它的这个基本方法。好，那接下来咱们看等腰直角三角形。啊等腰直角三角形，其实刚才在根号里面其实有点高啊，高简单给它写一写好吧，这后面高。高华大洋呢，就可以看到这下面正好是二分之a。

啊，下面这一半儿正好是二分之一，所以用勾股定理就可以算出来啊，算出来算出来高高求出来用二分之一底乘以高来算这个面积。另外，等腰，直角，三角形等腰，直角，三角形可以写成二分之一直角边的平方，这个等腰，直角，三角形，大家知道两直角边长是一样的。c正方等于斜边。

所以列成直角边长它这个一样的。啊，两条直角边长这一样的。然后这个就二分之一方，然后等于四分之一c方等于四分之一c方。你看这里写好了。好吧，所以这c就代表斜边啊，这等腰直角三角形那可以写成四分之一斜边的平方，这样就写就写出来了。然后接下来我们来看一下就是。等边三角形一定要记住，等边三角形等边三角形么？等边三角形还记不记得？等边三角形三条边长，

它都一样。三个角度，它也一样叫等边三三角形是吧？三个边长，它还是一样的。啊，三条边长。它是一样的。啊，三个角它也一样，所以等边三角形它也比较特殊，等边三角形大家一定要知道四心合一啊。四心合意。是什么四心呢？就内心外心重心，

还有垂心啊，这几个四心是合一的。好，那么它的高大家会写啊，这等边三角形要知道它的高。它高h就等于二分之根号三倍的a。啊高。然后面积s就等于四分之根号三倍的a方。啊，这面积怎么算的呢？就用二分之一底乘以高来计算的啊，这样面积公式，然后接下来咱们再来看。啊，再看它的这个方法。

啊，注意这个点，它也是三角形的重心啊，重心它又分了2b的两段儿。是吧，是分成二比一的两段儿。二比一两段儿，其中这个短的这一块儿占整个长度的三分之一。三分之一，所以它这个就是这个短的，是这个等边三角形内切圆的半径知道吧？是它的内切圆半径啊。所以内圈半径。就占高的三分之一，一定要记住。

其实小的这一段是占这个三分之一的。然后大的这一段是代表三角形的外接圆半径。三角形的外接圆半径ry。减三分之二倍的AH。减三分之根，号三倍的a。就ry啊就y截然半径啊，就在三的根号三倍a好，这样的方法啊y截然半径。好，这是它的方法。好，这几个公式，大家把它记住啊，等边三角形，

然后背的这几个公式。接下来咱们看三角形的四心。好，咱们简单说一下，三角形四心啊，第一个是内心内心内切圆的圆心三角形，它都有个内切圆内切圆的圆心。内向原因是什么呢？是三条角平线的交点。而且内心到三边的距离相等，这个距离正好等于什么？等于它这个半径知道吧？等于它半径，比如说这个三角形。它里面有个内切人。

三角形，它有个内切。啊，那这个内圈圆心就是三角形的内心知道吧？内圈来想一想。啊，内心的三条边的距离是相等的。另一道三条边的距离，它是相等的。啊，这三条边它距离是相等。啊，这样的一个方法。然后咱们再看外形，外因是外接的圆心是三条边的垂直平行线。

垂直平行线也把简称为中垂线。啊，什么是垂直平行线呢？就跟这个底边垂直，而且平分的这条线啊，称为垂直平行线好吧，它垂直平行线。这样的内容。然后接下来咱们看重心，重心是三条中线的交点就是重心。这条中线的交点。就重心重心将中线分成二比一的两段儿啊，重心将中线分成二比一的两段儿。好，这是它的这个重心的这个特征，

然后咱们看垂心垂线三条高的交交点。啊垂心是三条高，它的交点三条高，交点就是垂心。好垂心呢，没有什么重要结论啊，接下来咱们看直角三角形啊，特殊三角形里面直角三角形，这个是很关键的。因为直角三角形不仅在咱们平面几何，要用在咱们解析几何，还有立体几何里面都要用啊，所以直角三角形它都要使用。第一个就是勾股定理，勾股定理就是a方加b方，

等于c方就勾股定理a方，加b方等于c方，而且记住常用勾股数，比如三四五六八十。50，23再乘上勾股数。那购物车要把备注啊。然后另外那么特殊的直角三角形，特殊直角三角形一个等腰，直角三角形。这个大家知道比较简单的一个直角，三角三边之比是一比一比根号二好吧，这是等腰直角三角形。另外，内角为30度69度，

它的三角形三倍之比是一比根号三比二。啊，3度6度9度，它的直角三角形。啊，这样的一比根号三比二，还有这样的方法。啊，看懂了没有？然后接下来第三个就是斜边上的高h，斜边上高h就等于c分之AB。那么，高ig等于c分之AB？这样的内容。好斜边上高h等于c分之AB，

这个写好了。好，这是它的方法好吧，斜面上高。然后第四个。啊，这斜边的高怎么推的？知道吧？怎么推的？它用面积推的啊？面推的就是大家知道这个二分之一乘以。底乘以高就等于二分之一，两个直角边相乘。所以这个推导过程，它是用这个面积相等推导的啊，

面相等。然后接下来还有摄影定理，摄影定理，它是用相似来推导的啊，摄影定理，它是用相似来进行推推导的。相似好四点，定理怎么记呢？咱们在做题中给大家进行强调一下。比如这直角三角形啊，望记同学简单给大家说说啊，直角三三角形，直角三角形假设。这个角c是9度，这是a，

这是b。设定它这样特征。它过这个直角顶点做一条高。做一个高。最高做一个CD垂直AB。然后写完后，接下来跟三角形相似，我们就可以得到这个CD的平方。c平方这样等于AD×BD啊CD平方这样等于AD×BD。啊，这CD它的平方，它的计算方法等于AD×BD。然后接下来咱们看AC的平方啊，就AC的平方好AC的平方这块儿就等于它的AD这个。aad相当于是AC的影子，

知道吧？什么叫影？为什么要四点定理？知道我们看它从。从这个上面投影下来，从上面这个投影下来。啊通影通影下来这个这个AD就是AC的影子知道吧，所以AC的平方。这样的AD×AB。好吧，就AD×AB啊，这样的方法。然后接下来咱们再看这个BC的平方，这个BC平方一样BC平方，它这个边它投影投下来投下来就BD。

就BD×AB就行了好吧，所以BC的平方就等于BD×AB，这样就ook了。好，这样的方法。接下来看，两个三角形，它的关系好吧，两个三角形，它的关系。两个重要的关系，第一个就是。同底同底，如果两上与底要一样，它面积之比等于高之比啊同底。

因为大家知道三角形面积不等于二分之一底乘以高嘛，如果底一样的话，底相同，咱俩底相同面积之比就等于高之比。是吧，这样就可以写出来。好，咱们来看一下它的这个方法。好比如说这两个三角形。啊，我们画一个桶桶底的吧，桶底的就这样的。换一种颜色好吧，这样大家看得清楚一点。我们看这两个三角形，

它都共用底。啊，这个红色的给它们两个共用的底能看懂吧啊？共用体啊，它这个适应力，它推导过程呢，都用相似来推导的，然后第一个。CD方等于AD×BD是用左边这个小三角形。a cd这个直角三角形跟bcd的直角三角形相似，如果相似的话，它对应边是成比例的，用这个推导的。也说这个。里面三个直角三角形，

任何两个都相似，就左右两个小的和这个原来大的。这三个三角形任何两度相似，所以只有两个相似就可以得到第一个。第二个是左边这个小的，跟整个大三角形是相似的。啊，最后一个是什么？右边这个三角形跟整个大三角形是相似的，用这样来推导过程。好吧，这是它推导的方法，看懂了没有？然后接下来咱们来看一下啊，刚才讲的第一个就是通底通底的话，

如果两三文鱼底要一样底要一样的话，它面积之比就那高之比。高的话，大家做一个垂线，要会找它高。而且呢，还要注意，如果这个角叫做钝角，这个角超过90度，它的高要把它延长，要在三角形外部啊。然后会做它高，做个垂线做它高，所以它面积比你看高之比这两个高的比例就等于它的面积比。然后这是它的方法啊，

等于它高之比就行了。那如果等高等高两个三角形面积之比等于底之比啊，如果等高的话，它两个三角形的面积比等于底。之比啊，要等高。等高的话，给大家画一个等高的好吧，就两个高度一样，那什么情况下大家想想高度是一样的呢？大家思考一下什么情况高度一样，比如两人身高要一样。应该什么情况？身高要一样。好身高要一样，

你看左边和右边这两三个人身高一样，因为它共用顶点啊，相当头儿一样。头一样，然后它底边又在一条线上，这样两个同学要比较比较身高的时候，两个人都站站在同一条线上。站在同一条线上，两人的头儿又是一样的，所以这样它是等高的啊，就是等高。它这个就等高的啊，这样放，所以它这个三角形就等高。好，

等高的话，它面积之比等于底之比，知道吧？你看这块儿底跟这块儿底之比就行了啊。还有同底等高，同底等高面积相等，比如底又一样高一样，那面积就相等好吧。然后这个很好理解，然后共缴啊，共缴的话。共角化，因为它的这个角度一样，角度一样，它的就等于两边乘积比这个呢，

就了解一下就不用。呃，去过多掌握了。然后还有相似，这是重要的相似相似，大家知道，如果两侧相似，什么叫相似呢？就是形状一样，大小成比例叫相似。比如一个大一点，一个小一点啊，是吧？有点像咱们经常看到这个服装里面情侣装一样。亲情侣装一个大一点，

一个小一点，你看外观差不多。只不过大小成比例是吧？这要相似。相似法，它面积比就等于相似比的平方啊，面积比就等于相似比的平方这样的。面比就等于相似比的平方。然后第六个就是全等全等全等三角形的面积呢，是相等的。啊全等全等三角形的面积，它它是相等的。两三样，如果一模一样，要全的全的话，

面也就香的。然后这样的方法。好，这是给大家强调的它的思路啊。好，接下来咱们看一下里面的题目，那第一个考试里面出现过的判断三角形的形状。比如说，根据三角形满足的条件问，三角形是什么形状？各位同学，思考一下啊。就一般来说，通过三个边或三个内角。它满足的一个等式问，

判断三角形是什么形状？啊，通过这个恒等变形找到ABC的关系，就可以判断了。如果你发现如果两边要相等，它要等腰的。如果三边相等，就等边的啊，或者说满足勾股定理，它就直角啊，满足勾股定理，就是它直角三角形。然后介绍的方法好吧。好，下面我们看这个题。

已知ABC是三角形的三边长，且a和c=1。若这个方程有相同实根，则三角形ABC到底是什么？三角形我们来看看。啊，它告诉我们的是a和c，它都等于一。啊，通过这个，它要放掉相同时根相同时根那么一般方法，我们应该用判别式德尔塔来做，对吧？所以在这里面用判别式德尔塔等于零来进行分析。好，

那么在用判别德尔塔等于零的时候，那么先把AC=1带到里面去。所以AC它等于一带到这里面来。a和c都等于一的时候好，那么这个式子就变成了b-x^2，减去四倍的。啊，那么因为a和c它都等于一，所以这两个是一样的，变成一减x平方，它等于零。好，那么常规方法是把这个重新整理，重新整理呢？把它用这个。

德尔塔等于零来写啊，一般方法就是b方减去2 bx，加上x方再把第一个给它展开。第二，展开减掉四+1个8x。减去4x方。啊等等，等于零。然后再这样把它合并一下，这x方就是负的4x方变成负3x方。这样的s方减去4x方变成负3x方，然后这个又变成。八减二bx加上b方减四，它为零。好，

这样的。现在呢，让它德尔塔等于零就行了好吧，德尔塔为零。啊德尔塔为零，德尔塔为零，就是b方减CC它为零。好b方减CC，减CC就变成加上。12倍的b方减四才为零。好，然后再解这个关于b的一个方程去求解，但这样做呢，大家可以发现这是比较麻烦一点的。是吧，

所以这是一个方法往下呢，把b的值给它求出来b的值它正好。解为一好吧b的值，它正好就求解出来了。就是说b的值为一。好b是唯一，那这样就可以得到，是等边三角形。好，这个根据方程有相同实根，然后用判别式德尔塔等于零来进行分析。当然，这是一般方法，还有一个方法是什么？大家可以发现，

这个正好可以用平方差公式，因为这个平方和这个平方我们可以用平方差公式，如果能想到平方差公式这道题就会简单一些。所以这个b-s平方，我们可以把它写成s-b^2，对吧？咱们把这个s可以换到前面去。啊，所以b-s括号的平方跟s-b括号平方是一样的。后面这个也可以把写成二倍的x- 1。它平方，它为零。是吧，所以在这里面这个一减x，我们把它写成二倍的x减一。

好二倍的，这个x- 1这样就写好了。好，这是乘以二，然后这边变成s- 1。好了，那接下来我们就可以用平方差公式，平方差公式，大家学过了，就两个相加乘以两个相相减。啊，两个相加乘以两个相减就行了好，那在这里面大家呢，就把这两个式相加。好，

这是它相加的结果是吧？这是相加，然后再相减。相减好，要让这两个根要一模一样是吧？根要模一样一模一样，这个就可以前面就可以写3x。减b- 2。那后面这个可以写成写成负x+2-b。好，那这两根要一模一样嘛啊，这两根因为它要有相同的实根嘛。相同时根。啊，相同实根的话，

那在这里面大家就可以很容易看看出来，那这里这个b的值正好就为一，为什么b的值为一呢？因为这个方程前面这个方程的根。大家可以发现x等于三分之b加二。啊让让这个前面括号v零，前面括号v零s就等于三分之b加二，这样写好了，好让后面这个v零，后面这个v零第二个方程跟。就可以得到x=b- 2。是吧，所以在这里面大家呢，就可以s正好等于二减b，这样就写好了。

是吧，就写出来了，好让这个括号为零，让这个括号为零解的方程的两根好，那么两根解出来后，因为两根是相等的，两根相等的话，让这两个相等两个相等得到b的值就等于一好吧？那这两个是相等就退出。b的值等于一，这样就写好了，所以得到也是等边三角形，所以如果它要不能用平方差公式。啊，那么常规的题，

那么应该用德尔塔来做好吧，正常用德尔塔做，如果它这个可以用平方差公式用平方差公式化简会更简单一点。好看，各位同学，是不是掌握住了掌握它的做题方法和思路？啊，下面咱们看这个题，如果三角形ABC，它这个三边满足a方加b方加c方等于AB+AC+BC。这三个ABC到底什么三角形？那么这道题大家也可以看到啊，给大家一项配方，不过这个一眼就可以看出来ABC的相等，就选择c选项是吧？

是吧，如果基础比较好，比较熟悉的同学直接可以看了，它就选择等边三三角形。然后这个怎么去证明呢？大家可以把这个移项。把它移过来，变成a方加b方加c方。减AB，减AC，减BC，它正好为零。是吧，你要把它进行移项，移项过来，

它变成零变零后，那这个大家知道可以通过咱们两边给它进行配方，两边都乘以二。然后再进行配方通乘以二就可以把它配成a-b的方。加上a-c的方，加上b-c的方。它正好等于零是吧？所以两边通乘以个二倍啊，通乘以二倍可以配成三组的平方，好配成三组平方。然后这三个平方，那根据咱们学过的平方的非负性，我们知道啊，这个平方都大于等于零平方的非负性，如果这个非负性相加等于零。

则每个式它应该为零，最后得到是ABC，它是相等的。啊ABC相等好ABC相等就等边三角形好吧，所以在这面呢，大家要要记住公式啊a方加b方加c方。加减2 AB，加减2 AC，加减2 BC。它可以写成二分之一，给它乘以二再除以二就a加减b的平方。然后a加减c的平方。啊b加减c的平方。这样写好了好吧，就a加减b的平方a加减c的平方b加减c的平方好，

这样的一个方法。这样的一个思路好，那这是学会配方啊，配方以后就可以得到它，这个结果好吧，大家呢，要注意它的。思路别给写错了，所以这个是跟这个是有呃，特别像别混了啊，另外就是二就是咱们学过的。学过的啊，这个是。就这个就AB。这个a cbc对吧？

它跟这个式就是刚才咱们写的是别混淆了a方加b方加c方。加上2 AB，加上2 AC，加上二倍的BC好，这个式是等于a+b+c括号的平方。好吧，所以在这里面大家不要混淆了，如果这个有二倍，这有二倍，然后再变成a+b+c括号的平方好吧？这个如果没有二倍就加减AB，加减AC加减BC，就像咱们这个题考察的，然后都给它乘以二再除以二然后。然后写成三个平方，

而且这三个平方大家注意它大于等于零的。它都具备非负性。所以这一块儿平方呢，都具备非负性，都大于等于零的，所以它具备非负性，要掌握这样的性质和方法啊。好看，是不是懂了啊？好，下面咱们看这个题方程三次方加上2 b- 4倍的a+c。然后这个x+4 ac-b^2等于零有两个相等实根。有两个相等实根，然后条形一和条件好，在这里面大家呢？

嗯，当然可以由下往上来进推啊，由上往上，比如ABC要等边三角形三条边，那说明ABC是相等。先能给带到里面去来进行分析。啊，所以条件一呢可以，所以这道题可以，如果条件发现好，带你可以有条件来带，比如条件一。条件ABC要相等的时候ABC相等的时候，那这个方程你都可以把b和c都换成a换成a，这个加上这个2a。

把b换成AC，也换成a啊c，换成a就变成8a，这个x加上。四，a方减a方，它正好v0。啊，这样为零得到这个结果，然后这个正好就是3a方是吧？3a方，所以就变成3x方。减去6 ax+3 a方，它正好等于零，然后两边都约掉一个三，

约掉三就x方减。都除以个三。都除以个三就变成了。x方，然后减去里面都除以个三，这个三也除了这个三除以个三除以个三就变成2 ax除以个三就变成a方。它v0这样写好了，好这个两边都除以个三变成x方减2 ax+a^2等于v0。这样写出来就，然后咱们看一下德尔塔，德尔塔正好等于b方减cac。是吧，等于零或者说呢，你可以把它配方做一些，你看这个正好可以配成s- 1^2。

是吧，正好可以配成s- 1^2。是不是它这样可以配成x- 1平方，这样配成x- 1平方，那这样也就写出来了，所以条文一它可以推出有相等实根条文一呢，是充分的。条件和等腰三角形三条边等腰三角三条边，这个就不行了，因为它等腰三角形到底哪两边相等，咱不确定。有可能a和b相等，有可能a和c相等，有可能b和c相等，所以它这个呢是不确定的，

对吧？a和b可能相等。a和cb和c，所以它这个就推导不了这个呢，就选择。a选项，一是充分的。当然，这道题咱们还可以把题干呢做一下，等价化简题干作为等价化简的话，当然它这个式子比较长，就不好画。对吧，所以题干。啊，

也可以等价化简等价化简有两相等，实根有两相等实根，它德尔塔应该为零。德尔塔为零，德尔塔就等于b方减CC。啊b方b方就可以写成2 b- 4倍的a+c。平方b方减4 AC 12倍的4 ac-b^2。是吧，然后来化简这个那让德尔塔等于零，德尔塔等于零，然后再来看一下ABC到底有什么要求。好吧，这样做那肯定是比较麻烦了是吧？你看这里面括号里面有很复杂的项是吧？让它。

v0v0的话，那这个两边，然后再化简化简，这样就复杂一些好吧，这样就不好做。好，所以说咱们有时候条件如果带到里面化，简简单。把条件往里面带，有时候题干它好化简题干，如果化简简单，可以把题干的等价条件找到，等价条件找到只要。那么，它给的这个条件符合题干的要求，

它就充分。好，这是它做题的方法思路好吧，所以大家在考试中一定要看它的化简到底什么样。做法要简单，我们又采用什么样做法来分析就可以得到答案了？好，这是它的这个呃思路和方法啊。好三角形ABC是等边三角形。它等边三角形。题案一。啊，条形一它满足a方加b方加c方等于AB+BC+AC。啊，这调成一调成一，

大家把一项一项就变成a方加b方加c方减AB。减bc-ac，它v0v0这个两边都乘以个二，跟咱们之前做的是一样的。可以把它变成三组的平方。它为零，这样很快就可以推出ABC是相等，所以条件一呢，它是可以的。条件一，可以接下来我们看条件二。填上三角形ABC的三边，满足a的三次方减a方b，加上AB方加上AC方。然后再减b的三次方，

再减BC的平方。是不是然后这样的，接下来我们看看能不能？啊两两给它分组是吧？比如说前两个给它进行分组。好吧，前两个进分一下组。然后这两个进行分一下组。然后剩下两个，然后再进行给大家分一下组好吧，然后前两个大家是不是可以提出一个a方是吧？提出a方。啊，咱们怎么样看出这种分组怎么去分呢？怎么去观察呢？

有时候分完以后啊，它们一定要有共同的因式就可以了，好吧，分完以后它一定要有共同的因式啊。分完后，它这个能找到共同因式，比如前两项，大家可以提出个a方。右边剩下就a-b。这样a-b，然后AB方减去b的三次方提出一个b的平方。提出一个b的平方提公因式。TB的平方还剩的是a-b。然后最后这个AC方跟BC方那么大家就提出一个c方，提出c方还是a-b。

是吧，所以他要提出个c方，提出c方，那剩下的还是a-b是不是这样的得到的结果还是这个a-b？好，那这个地方大家可以把a-b呢，给它这个提出来。好提出来提出来，然后就相当于是剩的是a方加b方加c方。是不是好大家知道两个相乘为零，两个相乘为零的话，那么后面这个括号a方加b方加c方，它不能为零，因为什么？因为三边三边ABC。

它的长度啊，肯定是不为零的。所以它是这后面这个括号是不为零的。对吧，因为这个三边长度嘛，三边长度不可能为零好，不可能为零，那接下来我们呢就可以看出那只能是。a=b了。所以只能推出AA=b，所以条件儿呢，整得到a和b是相等。啊a和b相等，那么它就不一定是等边，它只能得到是等腰，

因为咱们c到底等于多少是不知道。所以c呢，它是未知的，它确定不了，确定不了，所以它这个条件二呢，它这个是不可以的，所以正确答案就选择a。好，这是它的做题方法和思路好吧，大家会分析和思考啊，还要掌握它的考试要点。好，各位同学都看这个题，那三角形ABC是等腰三角形。

大家做一下这个题啊，三角形ABC是等腰三角形。选项一，它的三角形ABC的三边满足这个式子。条件儿三角形三边满足这个式子，在这里面大家注意什么问题呢啊，注意特值法，它不能证明充分啊，要当然有时候运气比较好，有的人说。我让ABC正好都相等，都等于一或者什么的。正好能推出来。有特殊法证明充分。它有风险的，

知道吧？有风险，所以咱们反复强调过，在重新判断题里面特殊法，不要证明充分特殊法可以证明它不充分。懂了吧，可以证明它是不充分的。好看它的思路和方法。好，第一个ABC的三边满足a方加b方加上等于AB+b+AC，然后第二个它满足a三次方减a方b。加上AB方，加上AC方减b三次方减BC方。等于零。好，

大家想想这个题啊，这个题看看大家都做会没有啊？好，接下来条件一。题二一，题二一，大家知道，其实如果记住公式的话，很简单，知道吧？你把这个给大家移过来，移过来，大家知道一个公式是吧？就a方加b方加c方减ab-bc-ac，它为零好这个公式。

啊，公式什么呢？就是两边同乘以二，然后再除以二，然后可以把它配成三个平方是吧？所以说在这么可以配成就乘以二，再除以二。其实这个二的话，你可以不用写，因为它这是零。可以配成三组的平方。它等于零是吧？可配成三种平方的为零好，三种平方它要为零的话，三种平方它要为零。

三的平方要为零，大家知道这是非负性吗？是吧，这是恢复性。啊，非负的非负的话，那在这里面大家可以发现这个非负性，那么我们学过非负性要v0，只要每个都v0是吧？就可以退出。可以说ABC是相等的。AB项呢？注意这个等边是等腰三角形的一种特殊情况啊，所以等边呢也属于等腰，所以条件一呢充分。

这条一大家一定要记一个公式啊，公式给大家已经写到这儿好吧，有a方加b方加c方。加减AB加减BC加减AC。它可以写成二分之一括号a加减b的平方。b加减c的平方。a加减c的平方，这样的是不是？这样的啊，就a加减b的平方b加减c的平方a加减c的平方啊，这样的一个内容好吧，这是第一个啊，它的方法。第二个，大家想想怎么做？

第2a的三次方减a方b+AB^2加AC方减b三次方减BC方。啊，那这个方法。这个方法大家想想谁搜索怎么做都思考一下。好，这个大家可以看到一个什么情况呢？我们提供一式好吧，看前两个如果提。前两题前两题大家发现可以提出个a方，提出a方以后正好剩下一个a-b。是吧，剩下一个a-b。然后这两个给它进行提，提完后也剩下a-b是吧？后面后面这两个这两个给它提。

其实上它也剩一个a-b是吧？这样话就是提取公因式要分组，知道吧？有分组提公因式。所以前两个一组啊，前两前两个一组，大家可以提出，当然可能有有同学呃提的方法不一样是吧做的？顺序不一样，这个没事儿，反正你怎么搭配都行，搭配都搭配完提供一次。所以第二个大家可以提出一个。a方变成a-b。是吧，

所以这个提一个a方提a方变成a-b。加上然后这块就提一个b方，提一个b方也变成一个这个这个呃a-b。提个b方，提个b方也变成a-b。好，这提一个c方c方，它也变成一个a-b。好，这样的好吧，所以看这个还有没有疑问大家看？都听懂没有听懂，然后接下来我们呢就可以再提一个a-b。剩下a方加b方加c方。大家知道，

因为这个。三边啊ABC是三角形，三边啊三边的话，它a方加b方加c方不可能为零，因为假设a方加b方加c方不可能为零。a方加b方加c方为0a方加b方加c方为零。a方加b方加c上为零的话，那这个ABC都为零，那不可能是三角形了，对不对？所以这个不能为零，那只能退出。a-b为零，a-b为零，就说明a=b。

是吧，只能得到a=BA=b，它就是一个等腰三角形等腰三角形，所以条件这样是可以的。这个答案选d啊，这个答案选d就是等腰三角形把这个写好啊，这是它的方法思路。看是不是懂了啊，它在考要点这个明白了。好，下面咱们看这个题，你的三角形ABC的三边长，它为ABC则三角形，它是等腰直角三角形。所以它在题干上判断什么等腰，

直角，三角形，它是等腰且啊且直角。既满了等腰，而且又直角，这样才行啊，就同时满足两个才可以。好看条件一。条件一，大家可以发现这两个相乘为零，两个相乘为零，就是得到前面为零或者后面为零，所以它是或的关系对不对？所以前面为零或者后面为零，所以条件可以得到a=b。

或者或者后面这个括号为零，后面的括号为零，可以写成a方加b方等于c方。好，所以说啊a=b或者说a方加b方等于c方，这样就可以推出它是三角形是等腰。或者直角。好等腰或者直角好吧，等腰三角形或者直角三角形这样的方法啊，等腰或者直角。所以它推不出来这个等腰且直角啊，推不出来，所以条件一呢，它是不充分的。好条件儿c等于根号二倍的BC要等于根号二倍b，

它这个条件儿。那肯定不充分，因为什么？因为这个a它是未知的。a倍之所以它这个是不充分。对吧，因为条件你也不知道a到底取几a，到底取三还是取四？a到底跟b是不是相等？这个也不知道，所以这个确定不了，所以条件呢？这个是没法确定，接下来我们要联合起来。联系大家知道注意啊，

如果条件一它有两种情况，条件一要有两种情况。而题干呢？啊，而两条要联合联合的话，在这里面必须跟每种情况都联合能推出来才叫充分。比如说它有多种情况，必须每种情况都要。充分才叫充分啊，所以在这里面大家注意那么条件，一里面有两种情况，两种情况都要联合知道吧，都要联合啊，所以大家注意。如果有个条件是多种情况，

跟另外一个条件联合，就每种情况都要联合，联合完以后它充分才可以。所以联想以后大家可以看看出它有两种情况，一种情况是a=b。c等于根号二倍的b，也就说a=b的时候跟c等于根号二倍的b来进行联合好吧，进行联合或者说这样的情况。或者说这个。a方加b方等于c方，跟c等于根号二倍的b来进行联合。对吧，就是a方加b方等于c方跟c等于根号二倍的b来进行联合，这样就可以了好吧啊，来来进行联合。

好南京联合，然后接下来我们来看一下a和b是相等的，对吧？c等于根号二倍b，这个就可以得到，它是等腰直角的，因为a和b两边相等。c又是它们的根号二倍，这样是相等的，或者说a方加b方等于c方a方加b方，它等于c方。啊，它的直角直角c又等于根号二倍的b，你把c等于根号二倍的b带到里面去啊，啊c等于根号b把这个c换成。

根号二倍的b就变成二倍的b方了，好二倍b方的话，那这个说明a和b肯定也相等。a和b肯定也相等，它就等腰，又是直角好吧，所以条件一它有两种情况，两种情况跟它联合都可以得到，因为有两个边相等。c边又是它们的根号二倍，所以可以得到等腰直角这个呢，也可以得到等腰直角，所以它都可以推出。是等腰直角三三角形。可能要知道它，

所以联想企业成本这些答案就选择c选项好给它做题方法，所以这道题不是很难，关键点大家注意一个思路是什么？如果条件有两种情况，跟另外条件联合的时候，比每种情况都要联合，都让我们推出题干，这个才叫充分好吧，这个充分。它的一个要求和方法啊，看各位同学是不是懂了？好，接下来咱们再看这个题。乙的三角形ABC的三条边长分别为ABC则三角形ABC，是等腰直角三角形。

好注意这个等腰直角三角形是等腰且直角啊。等腰且直角。好吧，大家想想等腰且不是或各位同学都思考一下。大家想想他的方法。好条件一。天天在想局域值，这个局域值是非负的根号下，它这个也非负是吧？局域值非负根号下，它这个也非负。都思考一下，想想。大家都做做这个题。好，

大家知道这个绝对值非负的根号，它也非负。两非负性的相加为零，就可以得到什么？得到根据非负性啊。我们可以得到什么？得到是a=b，比如第一个绝值，要不一定。是吧，这个不一定，而且这个也不一定好，这个不一定的话就是且啊且。这个a方加b方，让它等于c方。

啊且正好a方加b方等于c方，它满足既等腰又直角，因为它有两边相等又满足勾股定理。这勾股定理的话，就说明它直角啊，因为它这正好是咱们学过勾股定理，所以它正好是满足的好吧，所以条一它是充分的。好看懂了吧，接下来我们看条件条件，三边长度之比是一比一比根号二。好三边长的之比是一比一比根号二，这样的内容。好三边长度的比是一比一比根号二。好一比一比根号二，

那这个肯定也是等腰直角三角形，这是咱背的是吧？背的三边长度。啊，那这个很快就写出来啊，这个大家都懂好吧，只要一比一比根号二，说明它有两边相等，而且满足。啊，这个勾股定理，所以它是一个直角三角形。好，下面咱们看这个题。好三角形ABC，

它的边长为ABC，则三角形为直角三角形。它要推出直角三三角形条件一，咱们看一下。条件差，说这两个相乘要v0，这两个相乘要v0，咱们学过两个相乘v0得到前面v0或者后面v0。是吧，前面等于零，所以条件一可以得到，得到是a方加b方，然后正好等于c方。或者说后面这个为零，后面a方减b方为零，

就说明a和b是相等的，因为a和b它都是正数啊。有正数的话a平方和b平方相等，可以得到a和b是相等的好吧，所以这是可以的，所以条件一它可以只能得到。直角或者等等腰，所以说它就推不出来这个直角三角形，它是或的关系知道吧，它或来得到是。直角或者说等腰。直角三角形或者等腰三角形，这样就OK了好吧好，这是条件一给大家强调的方法。填上一所以填上一呢，

它这个是不充分的。条件上它的面积。面积啊，面积写成二分之AB，大家知道咱们三角形的公式啊，公式面积公式s应该等于二分之AB。乘以它夹角的正弦值是吧？它夹角正弦值，这是咱们学过的公式啊，算下面积，如果知道两边和它的夹角。我们算它面积的时候可以写成二分之一，两边再乘以它夹角正弦值就可以了。好，那在这里面大家呢，

就可以看到它，正好等于二分之一AB。那就推出sinc应该为一，唯一的话就说明c就等于90度。对吧，那只有90度三硬值它为一，所以条件二充分建议大家就选择b选项。所以大家记几个常。常见的角度的三音值就可以了好吧，记几个常见的三音值。比如说啊，那么30度60度三一零还为零啊30度。6度3度45度60度。隔九入三零，它还为零，

这是二分之一二分之根号二二分之根号三。这是一好吧，这是它的方法，所以c和sinc它的值，而且大家注意两角要互补它的s in值是一样的好吧，两角相加等于180。它的三音值一样，比如说60度和120度，它的三音值一样，所以两角要互补，它正弦值一样。好两角互补，它正弦值呢，是相同的好吧，两角如果互补，

它正弦值呢，是一样的，是相同的好，这是它的方法思路，看是不是懂了啊？它的考试要点。好，下面咱们看这个题。三角形的边长为ABC，则三角形ABC为直角三角形。它要为直角三角形。好，那么条件，一是外心在某个边上。好，

咱们学过三角形的四心外心，如果在某条边上。外心是什么？外心呢？就是相当于是。外接圆的圆心是不是好？这是外心，咱们看条形一能不能推出是直角三角形？其实大家知道这道题主要考察逆向思维，我们知道直角三角形可以推出它的外心，正好在斜面的中点。现在相当于是反推知道吧，反反推如果外心在三角形的某条边上，那么能不能推出它的直角三角形？首先，

我们知道外心。它为外接圆圆心。外接圆的圆心。对吧，好外接圆的圆心的话，如果外心在某条边上，那可以推出这个这个这个所在边正好为直径。既然外心在某条边上。外心如果在这个边上，那说明它这个所在的这个边一定是外接圆的直径。啊，一定是直径，而我们知道直径，它所对的这个角一定是90度的。是吧，

所以这个考试要注意啊，直径所对的圆周角是9度好吧，所以说外心如果在某条边上。就可以推出这个边直径而直径呢，所对的圆周角为9度。直径所对的圆周角正好是9度。所以条件一，它是可以推出它的直角三角形的，它不可能是其他三角形。好，另外，这是一种阵法啊，用直径所对的原子角为90度来阵，还有一种呢，用这个。

反证法也行，反反证法假设不是直角三角形。假设不是直角三角，如果外心在某条边上，假设不是直角三角形好，那么不是直角三角形，大家知道一个三角形。啊，它的外心。外心啊，外心如果要锐角三角形，它在三角形内部如果锐角。额锐角三角形。什么是锐角三角形呢？就是每个角都小于90度，

每个角都比较尖尖锐嘛。啊锐角三角形，每个角都小于90度是吧？所以外心它在三角形内啊，如果锐角三角形的话。啊，如果要在三角形外。它一定是钝角三角形。因为钝角三角形什么钝角三角形呢？就有一个角超过9度，有一个角超过9度就钝角三角形。是吧，钝角三角钝角三角形呢？外心正好在这个三角形外部。好，

那么只有直角三三角形，它在这个边上是吧？所以只有直角三角形，所以说咱们这样可以用排除法，因为三角形。它要么是锐角，要么钝角，要么直角，那不可能锐角，如果是锐角的话，外形不可能在这个边上是吧？也不可能钝钝角。所以它只能是直角直角，它正好在斜边的中点。直角三角形，

它的外心正好在斜边的中点。啊，所以直角三三角形外心这样在斜边中点好，这给大家强调方法啊，这个条件一它是成立的条件二垂心。垂心是什么？垂心是高的焦点。高的交点，如果垂心在某个顶点，那说明这个顶点它一定是它的高。那顶点它，它一定它高，你定要高的话，它一定是垂直的，所以给大家画一个图，

我们可以看到。啊，如果一个直角三角形。啊，直角三角只有直角三角形，它的垂心正好在直角顶点啊，因为这两个边本身就可以作为它的高。好，本身做一下高，所以高的交点，那第三条高是在这儿。好吧，这个本身这两直角边就作为两条高两条高，那么还有一条高，所以三条高的交点就是垂心。

所以它这个一定是垂直的，所以条件可以推出它的直角三角形，所以这里建议大家就选择d选项好，这是给大家强调的方法啊。所以垂心。和外心，它有一定的关联，垂心和外心。垂心的话，如果锐角三角形，它的垂心在三角形内部。啊，如果要钝角三角形，它的垂心在三角形外部，如果要是直角三角形，

直角三角形，它正好在直角顶点。好，这是这是垂心。这个直角三角形。啊，所以垂心它它前面两句话是一样的啊啊，如果。垂心它要在三角形内部，它一定是锐角三角形，如果在三角形外部，它一定是钝角三角形。啊，如果它要在呃这个直角顶点上，它一定直角三角形，

有时候在它边界上好，这是给大家讲的外心。和垂心那么注意，不管任何三角形内心和重心，它一定在三角形内部好吧，就内心。还有重心。它都在。三角形内部。啊，不管什么三角形，不管锐角，钝角还是直角啊，它的内心还有重心都在三角形内部。好内心呢，

是三条角平线的交点，所以它的角平线交点都交于三角形内部。然后呢，重心重心是三条中线的交点，中线交点，所以它也在三角形内部，我们画中线，然后外心呢是。啊，外心是中垂线的交交点，外中垂线，中垂线的话就什么叫中垂线，跟这个边垂直，而且过它中点的线叫中垂线。所以三条边的中垂线的交点啊，

就是外心。啊，垂心呢，就三条高的交点好吧，要知道它们的交点的这个含义，要知道这几个心它的定义。好看是否明白了啊，要掌握它的做题方法和思路。啊，下面咱们来看这个题。三角形ABC的边长为ABC则三角形ABC为直角三角形。它为直角三角形。好条一它三个内角成等差数列，大家知道它三个内角，那么角a角b角c。

它的内角和正好等于180。啊，内角和等于180。是不是然后而且它角a如果ABC要成等差，就说明角a加角c=2倍的角b。是吧，所以通过这个可以推出角b，正好等于60度。但是角a。和角c到底多少度咱不知道，只知道角a加角c=120，所以说它跟这个只能解出这样一个值。所以它又得不到它直角三角形，所以条件一呢，它是不充分的，

当然还可以采用特值法，比如说你等差数列，咱们学过，甚至呢，再找一个。最特殊的等差数列就公差d为零，如果公差d为零的时候。公差d要为零。那这个它就是一个。等边三角形，所以它条件一是不充分条件二你可以找个反例，当它的这个等差数列公差为零，公差为零的话，那么三个边一样，它等边三角形，

所以它这个是也不充分。也不能或者条件你写三个变量成等差等等差，你只知道只知道a+c=2倍的b。所以它单独它这个都不行是吧？都不行李阳写，李阳写也不行，李阳写你可以找公差d为零。公差d为零的时候，它这个也得不到是直角三角形是吧？公差d为零有三个角，它都一模一样，都是60度。三个边长也一样，说明它正好是一个等边三角形等边三角形，那这个就不行。

啊，所以在这里面只有选择e选项联合它也不不充分。所以联合。你可以找一个反例。把那个等边三角形。等边三角形，你找一个反例，这样它这个也不充分。啊，也是不充分的，又让公差d是为零。好，那d为零。啊，这个都一样啊，

三个边三个角都一样，所以它这个都不充分。现在如果这个题要改成啊，则三角形为等边三角形，这时候呢，要选c知道吧，为等边三角形，但是你要证你不能说唉，我正好找一个。找一个特殊的情况，能推出题干就认为那就认为它选c了，比如说把这个直角。这叫改成一个等边，那我们不能去蒙猜对吧？不能说哎，

正好联合联合他怎么去严谨的去推和证明，要知道好吧，比如说改那个等边。可能等边的话，那你怎么去证？大家都知道联合对吧？联合可能有同学蒙猜能蒙对蒙一个c，但他可能不知道怎么证。是吧，你不能说我正好取一个d为零，你不能用特质证明它充分，万1d有没有其他情况呢？就两条联合以后那d有没有其他情况呢？是不是所以说我们不能光找d=0呀，而且不能用特值来证明充分呀，

你d=0的充分，那万1d要其他值呢？有没有呢？啊，有没有其他的三角形呢？对不对？就这道题，大家呢？一定要会证，那怎么证？在这里面大家呢，要学会一个这个啊。余弦定理好吧，余弦定理。啊，

要学会一个余弦定理。余弦定理那刚刚咱们讲过两条线联合以后联合以后就可以得到啊，这个。角b=60度对吧？角的b呢？是它等差中项啊b，这个边也是等差中项好吧啊，就角的b就等差中项了。好，那接下来得到这个角b肯定是6度。好6度6度，那在这里面，我们可以把a看成一个b-d就是d就代表公差。是吧，然后c呢就可以代表b+d啊b加这个d，

接下来余弦定理是什么样的情况，我们写写原来那些cos角b可能有同学忘记了。扩展角b就等于什么呢？等于这个两边的这个角两边的平方和平方和就是a方加c方。减掉这个角对边的平方啊，角这个对边的平方，减掉这个对边的平方。然后再除以2 AC。除以二二AC好吧，这样的啊，好那那这是余弦定理，大家知道cos六十度cos六十度正好等于二分之一。是吧，扩散6度嘛，你角b=6度好，

那接下来我们就来往下来进行写好，那知道这个AA方a呢，可以选择b-d就b- 1个公差。c方呢？我们可以把它写成一个b+d^2，然后再减b方，所以二倍的a呢a呢？可以写成b-d。c呢，可以选择b加d，这样就等于个二分之一，因为cos六十度就等于s in三十度，这样就等于二分之一。只要大家学一点点三角函数啊，就cos六十度和s in三十度是一样的好吧，

这个得到是二分之一。二分之一，然后接下来我们就可以把这二跟这个二呢，先先抵消约掉。先约掉约掉了，然后这个b-d×b+d移过来，正好就是一个平方差公式。然后左边这个展开这样的b方减d方这个b方。b+d^2，所以它展开展开正好就是这个二倍的b方，加上二倍的d方。然后再减b方正好等于一个好，这个分子化简完了啊，分子因为这个展开有个负的2 BD，这个展开有个正的2 BD，

所以它这个。就抵消了。比较以后，然后分子，然后再把分母乘过来，分母正好用平方差公式就可以得到b方减。d方，然后大家把这个b方跟b方约掉，说明这个d正好就为零。就公差正好为零，公差为零，就推出了公差，如果为零，就推出了是等边三三角形，所以可以推出是等边三角形。

对吧，如果两条线联合起来就可以证明它的等边三角形，这是咱们严谨的正，你不能说凭感觉，我感觉像等边三角形。是吧，那万一它这个公差还有其他情况呢？是不是你有没有其他值呢？我们怎么放心的严谨给它震一震是大家呢？要掌握它的方法和思路。所以这个余弦定理这个知识点，大家会分析余弦定理就是怎么去记呢？就三角形里面一个角的余弦cosine值。就等于这个角的两边平方和减去这个角对边的平方，然后再除以二倍的这两个边相乘就可以得到它结果。

好，这是它的做题的方法和思路，看各位同学是不是听懂了？好，那接下来咱们看这个题。三角形ABC的边长为ABC则三角形ABC为直角三角形。好，它要是直角三角形好条件一条件，它说a=2 n+1 b=n×a+1。然后c又等于b+1。是吧，所以这看起来这个眼花缭乱的，我们要证明它是不是直角三角形，我们要满足勾股定理就行了是吧，直角三角形。

这道题要么就证明有个角是90度是吧？看能不能证明角度90度，那这道题不好证明这个角。那我们呢？就可以。可以，要么就就找这个九九度的角。或者说找边是吧，要找角的话，看有没有90度的，要找边的话，你看它有没有勾股定理？啊，有没有这个勾股定理？好吧，

用勾股定理，这样也可以。好，那接下来我们看这里面它它怎么去去分，因为因为在这个题里面，大家呢，要确定到底这个边到底谁大谁小？是吧，我们要看这个边到底谁大谁小。所以说这个a=2 n+1是吧b呢？就等于n倍的a+1。n倍的这个a加加一。那显然，这个这个n得是正数吧是吧n肯定肯定得为正数。因为这个边它三边长嘛，

这个题目给的这个边长为ABC，它肯定都是正数边，不可能为负的。是吧，好，那通过这个大家可以发现这个c肯定要大于b，因为c=b+ec肯定是大于b的。对不对c可能是大于b的？c大于b，那说明c值比b要要大。那a和b到底谁大谁小就无所谓了是吧？反正在这里面大家呢，就找一个最大边就行了好吧，找一个最大的边。找最大变化，

那这个b呢？就等于n倍的a+1啊，那这个b呢？肯定是比a要大一点儿。是吧，所以在这里面大家呢，就可以写出它的这个数值了。啊，那n比如说那n要是分数呢？n要三分之一四分之一呢？啊n要分数的话n要分数的话b就比a要要小一点儿呗。是吧b就比a小呗。是吧b它它比a小b比a小的话，然后呢？就这样的啊，

数值是吧这个？这个大家就可以，主要是找到什么找到三边的大小关系，因为咱们要看什么看两个较小的平方，正好等于。较大的平方就行了，是不是？所以在这里面我们呢，就看出来，所以这个n。n不管是大啊大大于一还是小于一，反正n肯定是正数，另外呢，这个c呢，肯定是比b要大的。

好，这样的方法好吧，注意判断一下。判断一下这个，这个边判断这个边那接下来我们要看证一下它的这个数值，所以说我们调一这样写a=2 n+1。b呢，正好等于n×a+1。把a带到里面来算了，把a带到里面来a正好等于2 n+1，所以变成n×2 n+2。也就说把这个a的值a的值换成2 n+1就行了啊，这a的值给它做一下替换换成2 n+1，所以里面又变成2 n+2了。是吧，

所以说b就变成二倍的。啊，这个n方加n。是不是这样的，这个n方加n好，这是b，它就写成这样的一个式子。好显然这个是c呢，又等于b+1 c呢，又等于b+1。接下来呢，咱们这样证好，本来要证a方加b方要等于c方的，本来要证这个就看这个是不是成立？是吧，

这个成立，但是呢，大家用平方差要简单是吧，所以我们把它移项用平方差。然后我们又转成什么？转成这个c方减b方是不是又等于a方？是吧c方减b方，我们算一算好吧c方减b方是不是等于a方？好那么c的平方c正好等于b+1。b+1平方。啊c是不是等于b+1？然后减去b方。你用平方差公式也行，或者说把这个展开也行，展开也很好展，

展开的话啊，很好展，或用平方差公式得到2 b+1。都行，这个很容易啊，化简化简完后得到是2b加一二b+1，然后在c方减去二，然后2 b+1 b是等于什么b？正好等于二倍的。n方加n是吧？所以说这个就可以接着写。接着写这个2 b+1，那就再乘以个就相当于四倍的n方加n。再加一这样的一个式子，这个式子，

然后这样它正好可以配成什么配成2 n+1^2。你看这个把这个配正好配成2 n+1平方，这样就等于a方。这样等于a方啊，说明它正好是等于a方，如果你最后发现它要不等于a方，不等于a方，那这个就不是直角三角形了，所以它正好是勾股定理。这样就写出来了，好吧，这是它的方法和思路。所以条件一呢，是充分的啊，这是它的推导，

看它是否满足勾股定理来进行分析。和求解，然后条件条件某条边上中线正好是这个边长的一半儿。好，那在这里面，我们假设是一般三角形，一般三角形，比如说它这个边有个中线。啊，这个边是是中线。这个中线长度假如是假如是x这个中线长度正好是这个编成了一半儿编成一半儿，这个也是x这个也是x是吧？就这个是x，这个是x，这个它也是x。

是吧，就这个是x，这个是x，这个也是x嘛，因为它说这个中线造成这个边长的一半儿嘛。变成一半儿好，通过这个大家可以发现推出一个什么东西呢？那什么东西大家知道，如果三角形有一个点到三个顶点，距离相等，那这个。这个点到三个顶点的距离正好相等，正好相等的话，那说明这个正好这个点呢，正好是。

外心是吧？正好这个点就是外外心。外心外心特征是什么？外心到三个顶点，距离相等到各顶点。它距离是相等的。知道吧，好外心，它到每个顶点去相等，所以这个点是外心，这点外心的话，那就说明这条边就是外接圆的直径直径的话。直径所对的圆的角是9度，咱们讲过是吧？直径所对的圆的角是9度，

所谓直径。它所对的圆周角为9度。啊，直径所对的圆角为9度好，这样就写好了好吧，直径所以说这个就9度正确答案就条件，二是也充分正确答案选d。好吧，所以说只要是中线是这个底边长的一半儿，底边长一半儿，那这个三条。边长相等相等的话，它一定是这个外心，因为距离相等的点一定是外心好，外心外心的话，

它这个写好。好，这是它的方法思路，看懂了没有？下面咱们看这个题，三角形ABC的边长为ABC则三角形正好为等边三角形。为等边三角形条件，一它四心合一，四心合一，就是等边三角形的既充分也必要，就等边三角形可以推出四心合一。c和也可以推出等边三角形好吧，所以条件一它是成立的好吧，条件一它是成立，那这个怎么去证像有的时候咱们在做逻辑也一样。

没法去证明这个承兑方可以用反证法，假设它四行合一，如果要不是等边三角形，不是等边三角形，不可能四行合一，那这个前提就错了。它一定是等边三角形，所以它这个是充分必要的。是吧，你可以用反证法是吧？如果不是是是三不是等边三角形，那不可能四四心合一。是吧，它一定是矛盾的，所以它只能是等边三角形，

所以用这个条件不要上当条件，有同学说这四分之根号3a方。那有同学以为呢，是等边三角形不是啊，它面积为四分之根号3a方，它有无数多个啊，无数多个三角形啊。无数多个都可以这样写，懂了吧？都都可以这样写，所以说这个是不行的，比如说我随便给你，给你找两个，一个是等边的。这个可以写成四分之根号，

三倍a方。还有一个就是120种。啊，120度的等腰三角形，这个也是让大家背的一个非常重要的一个特殊的三角形，它的一个等腰三角形。那它两腰长都为a，两腰长都为a的话，大家知道它底边长底边长正好等于腰长的根号三倍。为什么刚诉咱们做一个垂线，可以把这个三角形分成两个直角，三角形每个直角三角形都是30度，60度，9度。所以根据这个，

我们就可以判断出来好它的面积也等于。也等于四分之根号三倍a方。为什么呢？因为大家知道这个三一六路。跟三一百二是一样的，对吧？因为咱知道三角形面积三面可以写成二分之一两边。再乘以这个夹角正弦值，所以说三元6度和三元120它一样，你看我已经找到两个，它还有无数个，不仅仅是这两个，知道吧？还有无数的，比如说。

哎，我把这个边弄成其他多少倍的a这个角呢？换成其他的三音值是吧？所以它又有很多很多个啊，所以它得不到是等边三角形，所以条件这不充分，这道题正确答案就选a。好吧，选所以大家要要注意制造面积确定不了形状，因为大家知道这个三角形面积可以选择二分之一。AB×sinc。那这个b呢？我可以呃，等一个啊，等一个二分之三a啊，

或者几a啊都行，然后把这三AC啊再做一下调整调整一下角。是吧，调整一下角，所以它等于四分之三a方的话，这个b和sinc它可以做调整，调整它可以调整成五十多个三三三角形。是吧，所以在这里面大家呢，就是它不一定是等边的啊，大家会分析和思考，所以这些知识点都要非常的熟练。好，下面咱们看这个题。三条长度为ABC的线段能构成一个三角形。

好，这个题的主要考点是考察。三角形三边的要求，所以三角形咱们回顾一下三角形三边的要求。好三角形，三角形的话，它要要求什么？要求任两边之和。啊，大于第三边。好任两边之差，小于de 3边。好任两边之和，大于第三边。任两边之差，

小于第三边。好要注意两个问题，第一个就是任意不是存在。第二个，这两句话是等价的。也就说，只要满足一句话就行了啊，就可以构成三角形，不是说两句话全满足就构成三角形，它只要满足一句话。比如说任意两边的和大于第三边，它可以构成三角形，如果满足这两边直差小于第三边，它也可以构成三角形。啊，

这个都行啊，只要满足一句话就可以，这两句话可以互推。好，这是两个注意的细节，另外这个任意那怎么去表示任意的话应该可以写出三个式子，知道吧，比如说a+b大于c。a+c大于BB+c要大于a，知道吧？所以它就可以写成三个式子。张氏就a+b大于CA，加c大于BB+c大于a，他就写的这三个。好，

那么接下来这两面之差，这两面之差，因为咱不知道这个这个大小，所以要加一个绝对值就a-b大于c。a-c呃a-b小于c。啊，这小于bb-c小于a。小于a就这样的好吧。好，这样，这两可以互推啊，互推怎么推呢？你把这个移项a移移过来，或者b移过来就推导出来了，好吧，

把这个移过来，或者把这个移到一边儿。移到一边儿就可以推出，比如这两个，它是等价的。啊，等价也就说二可以推一啊，这个三个可以推上面。上面也可以推下面，反正都移一项移过来就行了。好，这是它的这个概念好，那所以题目一它不充分，题目一它要任意，所以它少了两个，

你看a+b大于大于CA+b大于c，它少两个。少了后面两个，所以填空一呢，是不充分的。条件条件，大家把它移项移过来，知道吧？条件可以把它等价变形。条件可以把c给它移过来c移过来就变成了a+c，它大于b。是吧，你把这个c给它移项移过来，移过来就可以得到a+c的值大于b的值啊AA+c的值。是大于b，

大于b，那这个两条所以条件上肯定单独也不充分，条件上它也少了，也少了。所以，两条联合起来，联合起来只能知道a+b大于c和a+c大于b，少了一个b+c大于a是吧？少一个b+c它大于a。是吧，它少一个值少一个b+c，它大于a的值。啊bsc，它大于少一个这个值，所以它这个联合也不充分是吧？

联合它也是不可以的，它少一个啊。所以这道题那联合联合也可以找反例，所以这道题大家不要选c啊，不要选c联合，我可以找一个反例。比如，既满足一也满足二，但它少一个就不行，少一个。比如a取五啊。b起于一。c取二你可以看到这个a+b肯定是大于c的，对吧？a+b肯定是是是大于c的。

然后b-c，它也小于a，你看b-c，它也小于a。啊b-c，它也是小小于a的。对吧，所以当然这个三角形它构成不了，因为b+c。啊，这个这个满满足不了三角形是吧？所以这个它少一个就不行了啊，所以它这个就不可以。好吧，要知道它的方法，

所以这道题就选择e选项啊，这道题不要做错了，所以答案就选择e选项。好，这道题联合起来也得不到这个结果啊，在这边大家注意它考试时候，这三边它的一个变化情况。如果这里面要知道最大边和最小边，它就可以就可以了，知道吧啊，所以要知道最大边最小边，那这可以减减。简单的来进行呃，省掉好吧，省掉一些纸。

好，这是它的做题方法啊，要会分析。好，下面大家看这个题，三条长度为ABC的线段能构成一个三角形。能构成一个三角形好条件，1 a+b大于c，且c为最长边。好，那这个它给了最长边条件儿b-c消a，且a为最小边啊a呢，是最小边，大家想想这个题。这个大家发现条件一看，

先不要着急，联合条件一看单独行不行啊？因为这个c要是最长边。c要最最长边那代表什么意思呢？那a+b是大于CC，又最长边c之间最长的，那说明a+c肯定是大于b的。为什么？因为c要是最长边说明什么意思？什么叫最长边最长边就说明c要大于等于AC要大于？等于b是吧？这个是最长边的含义嘛，它是它是最长的嘛，最长它的长度要大于等于其他的。对不对？

所以它的长度，所以说既然c是大于等于a。c是大于等于b那c大于等于b那两边给它这边给它加一个a那c+a肯定是大于b的。是吧，因为c本身就大于等于b，然后再加上一个a，肯定是肯定是更大于b了是吧，然后c大于等于AC大于等于a，那说明这个c加上。c+1个b肯定要肯定要大于a了。是吧，因为c本身都大于等于a的c本身都大于等于a那两边，这边给它加一个b，那更比a要大了。是吧，

更么一搭，所以说那么通过c为最长边，后面两个就可以。隐含了是吧？隐含了隐含了，所以它隐含了任意两边的和大于第三边，你隐含了里头那里要注意条件，一是充分的。像一成分好吧，这是它的方法。好，那条件咱们看条件，条件a是最小边a呢？是是最小的。a为最小边。

好a为最小边这道题条件儿条件儿，你知道错在哪不条件儿不要上当条件儿，它这要加上一个b-c的绝对值，它就充分了。b-c的绝对值，因为它不加b-c的绝对值就会出现什么问题啊，满足b-c小于a万1 b-c是负的呢？对吧b-c它它是负的呢？它负的那又不行了。是吧，你比如说a是最小边a为一，你看条件二可以找一个反例条件二。反例，比如说。比如说a要呃为一。

a要为b为二。CV 5 CV 5你看这个b-c它是负的，看bb-c它是负的。b减c你看二减五，它得到负三负三，肯定小于a啊，小于小于a啊a，这值为一a，也是最小边，但这时候呢，又无法构成三角形。是吧，它构成不了三角形。是吧，然后这个它的它就构成不了。

没法构成三角形，所以条件儿呢就是。不充分的条件二改成这样，才有充分的知道吧，所以这道题答案应该选择a选项条件二，如果加绝对值有成分，如果改成b-c的，绝对小于a。这样且a为最小边，这样就OK了。啊且a为最小边。解为AV直角边，这样就OK了。好吧b-c的绝对值小于且a是最小变啊，这样就得到它结果是没问题的是吧？

它只是。没没问题。因为什么？因为加绝对值以后啊，那么你要讨论你要讨论讨论，比如b大于c的时候，那么它这个绝对值直接去掉可以。证明出它这个是成立的。是吧，然后b要小于c的时候啊，那么就变成c-b变成c-b，它这个也成立好吧，也成立这样，你就讨论一下就行了好吧，如有觉知。

那要讨论讨论b大于c的时候，那b小于c的时候，又因为a是最小边AA最小边，那其他边的差值。肯定也满足，所以它要满足任意两边的差啊，那么小于第三边。好，这是它的这个方法好吧，所以大家呢，到时候比如我给以就以一种情况来给你写吧，一种情况假设如果b要大于c。好，如果用这个绝值给它写写好吧，不懂的同学给它写写好，

那么如果假设b大于c假设b大于c的话。那么，这些绝对值去掉就变成b-c是小于a的。对吧，是不是变成b-c的绝对值小小于a啊，小于零把这个a给它挪过来a挪过来c移到右边来是不是可以变成b-a是小于c啊？是吧b- 1又小于c。对不对？然后大家再看这个c- 1，肯定是小于b的，为什么呢？因为c它本本身是小于b。c刚才咱们不讨论c是小于b吗？c小于b对不对？c小于b的话c又比b小，

那它减掉一个a，它更比b小。所以就可以证明任意两边的差小于第三边。任意两边差小于第三边，而且这个都是正数，你看b-c是正的b-a，它也正c-a，它也为正的。是吧，以为正的，因为a是最小边嘛，这样就满足了，是不是这样就写好了啊，所以大家以后遇到这三角形，如果要看和的话。

指它的口诀，什么最两个最短的边相加大于最长边，那这个可以构成三角形。或者两个角长边差值小于最短边，那么这个也能构成三角形好吧，所以这样大家呢，要会分析和思考。好吧好，所以在这里面可以给大家进行总结一下，两个角小边。之和大于。最大边。这个可以，可构成三角形。啊，

如果要是两个角大边之差，当然这个差值一定要加绝对值。两个较大。边之差。小于最小边。啊，也能可以构成三角形。可构成三角形。好吧，这样的情况。可以构成三角形，这是它的方法。好看是不明白了。接下来咱们看这个题在三角形ABC中角b=60度，则c比a大于二，

这里其实就考察什么三角形里面边和角的对应关系。好，主要考边和角的对应关系就行了啊，边和角的对应关系。好，那边角对应关系，大家知道边角对应关系有个定性和定量的。定性的话，将大小一致。前面带有字，就是边大角大。边小角小角大边大是吧？咱们学过的大角对大边。小角对小边等等角对等边。对不对？

所以这个咱们学过定性的，然后定量的。定量呢，那边的大小跟这个每个角的正弦值成正比，比如a比s in a。等于b比sinb。跟c比sinc。知道吧好，这是正弦定理等于二倍的ry接圆好，这是正弦定理。啊，这正弦定理好吧，叫它正弦定理就这样的。好，这是它的这个边角对应关系定性的话，

就是角大边大注意它的角跟边，它不是成正不是成正比啊，它只是一个大小，是对应的就是这个角。角a大。啊，那边它它也大。是吧，但是呢，它具体定量它一个等式定量定量就是正弦定理，这是它的一个值a比s in a=b比sinb=c比sinc。好吧，那当然这道题呢，它考的比较简单了，这大家先看角b，

它已经固定是60度了。然后假设角c刚好等于9度的时候，我们先看等号。先看等号。然后这是b，这是c，这是a。然后这是9度那角b是固定是6度，它已定好了，这个不能动。角b呢，是6度。如果刚好是9度的时候，刚好9度的时候，那就是30度啊，

如果当角c=9度的时候。我们就可以得到什么问题呢？得到这个边这个a这个边正好是斜边长的。一半儿对吧？咱们讲过三鹿角所对的直角边是斜边的一半儿，这个大家要知道好吧，所以这时候呢c是a的两倍。是吧c是c的长度是a长的两倍，现在咱们看如果角c越大。角c要大于90度。角c大于90度，那角角c大这个边也大，因为角b是固定的，那如果角c大于90度的时候又隐含的角a肯定要小。角a肯定要小，

对不对？因为它角b是固定不变，是60度，所以没有变化，所以这个角c越大，那角a肯定就越小，因为内角和是180。三角形内角和180，所以这个角大，这个角就小就小，所以角c要大于90度，那说明。角a就小，角a就小的话，那c可能越大c越大，

那么这个a就越小，所以说这个c比a。就给这个c比a就大于二好吧，大家所以条件二是充分的。正确答案就选b。如果改成叫小眼儿啊，改成叫小小眼儿，小眼儿的话，那那c角小一点儿c角小一点儿，那么这个c的边长就变小，然后a的边长就变大。好吧，就这样的，所以这大小一致，它的一个关系。

		自动登录	找回密码
密码			立即注册

01.讲真题-第6章第1节-题型1

浏览过的版块