07.真题-第1章-第3节-题型3～5

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 05:49:32

好，接下来咱们来学习绝对值的等价性。看绝对等价线，绝对等价线体现在什么地方呢？就根号a的方就等于a的绝对值，遇到根号我们可以。进行转换成绝对值来分析好吧，用绝对值来进行分析和思考。好，接下来咱们看这个题，这个题主要考的根号根号这两年在咱们考真题里面出现的频率呢，也慢慢在增加。是吧，由于在呃二零二零年出现了三个根号啊，所以二零二零年的考考题出现了三个根号。

啊，那个提纲难一点啊，就根号a加上根号d小于等于根号下二倍的b+c。啊，这个就是二零二二零年出现的啊，后面大家在做的时候，我们呢就可以看到就根号a加根号d小于等于根号下二倍的b+c。它出现了三个根号，所以这两年根号出现的问题呢，再多了一些好吧，二一年也出现了根号，所以希望大家呢，要注重根号的一个化简。当咱们考虑根号，然后都考到二次根号，

三次根号基本上不用呃过多的去掌握好吧，就开二次根号掌握住就行了。然后在根号里面要给大家强调几个概念东西，大家要知道，首先根号在咱们实物范围内，要保证有意义，知道吧？啊，实物范围，它要注意，它要有意义，所以一个数要有意义的话就根号x给它写一下。好，他要要求SB要大于等于零是吧？好，

这是一个啊，这一个大家要注意的知识点根号里面要有意义，而且这根号本身也要大于。等等于零，你知道吧，就一个数的根号，它要大于。等于零也就说它要有非负性。啊，非复性这样的好吧，要注意它的这个非复性给大家就写一下。好恢复期。然后此外大家还要记记住一个呃，它的等价性好吧，等价性等价性就是平方开根号。

就给它举一值好吧，这个大家学过的就是平方开根号。请它的绝对值好，绝对值大家前面学过，绝对值同学应该知道，当x大于等于零的时候，它的本身x小于零的时候，它是负的是吧？所以在这里面，大家可以看到x大于等于零的时候，是它本身x小于零的时候，它是负的。是吧，所以在这里面大家呢，就可以看看出这些三个要点，

要掌握住好吧，所以这一二三这三个要点，要把它掌握住三个要点，掌握住以后，那这个我们就可以做这个题了。好吧，做这个题，所以他说要让这两个相等，那么x应该满足什么范围？那这道题也不是很难啊，大家首先呃，当然遇到选择题的范围题目还有一个技巧也可以取特值排除。是吧，可以取特值排除，大家看看这个题答案呃，

你们都做完没有好这个题你可以取，比如说s取一个取一个负一啊。或者是说多少呀，排除一下嘛啊，或者取个零呀什么的，排除一下是吧，所以大家呢，也可以用特值排除法都行。当然当然，咱们平时在练习的时候呢啊，要注重这个支点的一个培养是吧？特殊判断法只是做选择题，可以把答案挑出来，但对咱们平时做题呢？这个知识点训练没有太多的帮助，

所以说我们简单说一下特值排除法是吧，然后在这里面大家呢，就可以看成那么，比如可以取sv 0就可以用特值。呃，排除法。我们比比如取s为零或者s=- 2呀，或者是负一呀，等这个自己去排除选项，那么就可以得到它的答案好吧，所以这是给大家讲的这个内容。然后接下来我们来看一下，那这道题正确方法啊，一般方法应该怎么解？因为方法首先呢，

就注意根号x三次方加上2x平方，我们先把。这个左边的这个根号x三次方加r的平方啊，先给它进行。啊，进行一个有同学说除过来，那我们看怎么提供因式对吧？提供因式对对这道题，它的负x1定要大于等于等于零，所以这道题可以观察两边的表达式，对吧？观两边表达式可以看。右边还有个负s嘛，负s它一定要大于等于零是不是？所以这样大家可以观察出来，

负s它取值一定大于等于零的，对吧？就负s这一块儿它取值。一定大于呃等于零，大于等等于零，这样我们就可以看出来选项了。负x大于等于零，说明x1定要小于等于零嘛，好，那接下来我们就写一下好吧，接下来一起写一下啊，就根号下。好根号下x三次方加上2x平方，我们里面呢可以提出一个x平方来，大家看还剩什么是吧，

都可以琢磨琢磨。好提出s平方以后里面就剩一个s+2，看这一步是不是听懂了？好剩s+2以后，大家注意这个s平方可以把它开到外面来，开到外面来，这个应该是把它啊变成一个绝对值是吧？开到外面来要变成一个绝对值。对，所以说它本来应该写成一个绝对值，然后再乘以根号s+2的。是吧，乘以根号ii+2好，那么根据咱们观察等号右边那么当这个绝对值，要是负的时候那么去掉绝对值，

应该加一个负号是不是？所以说这个绝对值把它去掉，然后这样块儿，所以说在这里面大家要注意保证这个x1定得是负的呀是吧啊x它一定得是负负值。所以必须是负的，它才能满足这个结果是吧？所以x1定得小于等于零。SB是负的，而且还保证s+2这个整体这个根号里面这项应该为正的，对不对？s+2所以说s还要大于等于负二是吧？它b大于等于负二，这样才行。它必须是负的啊s小于等于零，大于等于负二，

所以这个呢，应该选择的是c选项啊，这样就写好了好吧，这道题答案给它。写下这个答案就c选项。好，另外这道题就考察两根号，它的断开，那接下来还是要给它进行总结，知识点就题不重要是吧？这道题啊，听完后收获，要知道这个根号的，它这几个要点好吧？这个前面写的这几个要点，

大家都要知道啊，这几个公式基本的这个结论要知道，然后这里考试时候可以用特值排除法，这样也可以做，或者说自己化简也可以这样去思考。化简也行。呃，这道题我要给大家进行讲一个什么问题呢？就是大家注意根号a。b.好，这个这个内容大家要知道好吧，这个题都听懂了吧？听懂了q rep q rep，大家在考场的时候。

它可以写成根号a乘，以根号b还可以写成根号负a乘，以根号负b，所以它有两种啊，后面咱们再做一些比较复杂的啊，代数的化简变形的时候。啊，那这两种情况你看，不要只想到第一种情况，很多同学只想到第一种情况，第一种情况那那就漏掉了好吧啊，漏掉对对对，要分为AB它的符号。AB都正号或者是都是负号AB要同号是不是？所以说在这里面就是AB要同号。

如果AB它都是大于等于零的，这时候可以写成就根号AB，可以写成根号a乘以根号b啊，如果这个AB它是负的。哎。应该这样写啊AB都是负的，所以第二种情况是AB都是负的，这样就写好了。然后接下来我们再看一下这个根号，如果a÷b其实跟它一样。后面咱们做啊，在做有一个题的时候啊，有同学说算根号a除以根号b，然后这个很多同学就给我写错了是吧？知道吧，

很多同学就就写错了，他直接把它写成根号a除，以根号b了。啊，就是后面在做代数化简的时候，那这个啊就就就写错了，它应该是有两种情况，而那个考虑正好是写成根号负a。前面有个负号，除以个根号负b知道吧，所以它它是第二种情况，别给漏了啊，所以这种情况它成立条件是a大于等于0b，就只能是大于零了b，因为在分母上。

它取不到等号，知道吧b它只能是大一点，它取不到等号。它取不到等号b，它在分母，分母不能为零嘛，所以第二种情况，第二种情况就是b只能是小于0a，是小于等于零。b是小于零的好，这大家听完这道题的收获是吧？收获就是后面咱们再做一些含有根号化简，为什么要把根号强调一下，这几年可以看考试，在根号这一块。

啊，那么考的还是慢慢在增多是吧？所以在这里面大家呢，要能够把根号的一些运算性质，还有一些它容易设置陷阱的地方都要掌握住，好吧，这是大家听完这道题的收获是什么？再把笔记都记好，这样回去每个题你会做，那么这个题它未来延伸到什么面儿上也都知道了，这样话才能够达到以档时的效果，一个题来解决一类题。啊，这样的效果。好，

那接下来我们看一下第一个重新判断题。啊，拿到题目以后重新判断，先把题干给化简啊，咱们都是下推上知道吧，下下推上都有条件往题干推，但有时候我们可以用推导的传递性，这咱们做重新判断题，经常用的一个手法。是吧，推导的传递性推导推导传递性是什么意思啊？比如这是题干，它跟这个是等等等价的，比如这个题干是吧，跟这个都是等价的。

你把等价结果写出来，等价结果写出来以后，然后接下来看条件一和条条件二。谁能推出这个成立？那谁能推出等价结果成成立？那么，根据咱们推导传递性，它就可以传过来，知道吧？它可以通过推导传递性，它可以这样传回来，知道吧？就这样。这样慢慢传过来，所以咱们重新判断都是下推上啊，

不能从上往下推上往下推，那就推错了，所以它这个咱们经常用这个重新判断推导的传递性，就像咱们在逻辑推理一样。是吧，命题它推导传递，比如a能推出b成立b又能推出c成立就可以得到a可以推c成立是吧，所以这个跟逻辑是一样，它推导有传递性。好，那所以说在这里面，咱们就注意推导的传递性。对，所以大家首先可以看啊，这个b小小于零，

那一肯定是不行的是吧，因为根号里面要保留意义是吧，根号里面有一个意义肯定b呢，不能小于零。是吧，所以在这里面看它的根号有意义好，另外这个负a1定要大于零是吧？负a1定要大大一点，那么根号下跟咱们前面做的一个题呢？是类似的是吧？所以在这里面大家可以发现就是根号a。方b，这个根号a方b。它其实应该写成这个a的绝对值。乘以根号b是吧？

它可以写成a的绝对值，乘以根号b就是根号下a方b可以写成a的绝对值，乘以根号b。所以大家想等于想等于负a乘以根号b的话，那么一定得a是负的。是吧，一定得是a小于等于0b，大于等于零就行了是吧？所以只要a小于等于零和b大于等于零，这样就行了。好，这是题干成立的要求，只要条件落在题干成立范围之内，它都充分啊，只要条件落在这个范围之内。

就是只要是它成立的子集都算充分，知道吧，所以条件上其实是它的子集，知道吧，落在它这个范围之内。他都算充分的啊，都算充分，所以这道题条件上充分答案就选择的是b选项。就这道题告诉我们，就什么叫做重新判断，重新判断题一个要用的，刚才咱们讲的就推导的传递性。哈哈哈。这个要要知道，另外就条件是题干的子集就行了，

是一个子集。关系是吧，是一个子集。这样的一个一个特征好吧。子集，它就具备充分性好，这是它的这个知识点。对，就是记住下，推上小推大是吧？所以所以简单给大家总结一下，就是下推上小推大。啊，就是给大家写一下吧，就下推上。

小推大。好，那这是给大家强调的这个内容好吧？好，那再重新判断题，它的概念别做错了。好，大家看这个题。给大家提示一下。这个根号里面s方减8 s+16，应该怎么写？s方减80+16应该怎么写？呃，咱们做重新判断题的时候是这样啊，如果题干能化简先把题干化简完，

然后再来判断两条件谁充分？咱们先化简题干的这种过程，不是说从上往下推啊，永远都是下推上啊。都是下推上咱们先化简题，干的过程是什么？是用等价传递法，这是非常普遍的一种使用方法。把题干要等价。分析分析完后，然后再看条件，再学过逻辑的推导传递性，那如果这个条件能推出它成成立，然后这个按照箭头能传过来。知道吧，

让他介绍他就能传过来，能传过来就可以，所以说这个是充分的，懂了吧，才能传过来。所以要知道咱们推导传递性啊，这个非常普遍，因为后面题越来越复杂的时候，这个题干一定要先简化。简化完以后，然后再判断呃，谁能推出它成立？好，这题也给它简化一下。大家知道s一减s的绝对值，

一减s绝对值是不是可以写成s减一的绝对值？对不对？刚才咱们讲过绝对值，里面整体变个号，这是不影响的。是吧，所以一减s绝对值可以写成s减一绝对值。然后这个根号下s呃，这个s平方减8s。加16，它可以写成s- 4^2是不是？是不可以写s- 4平方。s减的平方k根号是不是可以写成s- 4的绝对值？是吧，是不是变成这样了？

对不对？想想是不是这样的？所以以后遇到平方开括号写它的绝对值。看是不懂了。好，那接下来咱们看单独条件，一单独条件1s大于二的时候不太行，你s大于二的时候。第一个绝对值里面是正数。但第二个绝值s- 4到底是正还是负？咱确定不了。对吧，所以它有可能正的，有可能负的，所以它的结果有可能是2 x- 5，

有可能不是对吧，所以条件一是不可以的。条件s小于三也不行，因为s小于三的时候。s- 4它是负的，这个绝对值里面是负的。在x小于三的时候。哎，小于三的时候。那第一个绝对值里面是正还是负你都有可能是吧，它结果呢？也确定不了，是不是二二二之间有可能是有可能不是是吧，所以这个都不充分，所以这时候要联合。

大家想联合。好，联合以后大家发现联合就找两条线交集啊，就s大于二小于三就两条线交集，就共同的部分叫联合。然后你看s大于二小于三的时候s-1-s-4，我们可以把第一个绝对值去掉，第一个绝对值里面呢是正数。是吧，第一个绝对里面是正的，这样直接把它去掉好，第二个绝对里面是负的负的去掉绝对值是不是要添一个负号呀？天赋啊，就变成加上x- 4就等于2 x- 5。对吧，

就等于二二减五好，这样就行了。所以联合充分这道题答案就选c。好，这等价性看是不是听懂了？看是不明白了啊。接下来咱们看绝对值第四个性质就是复性。分品常见非负性量，要掌握住就绝对值，偶次方，偶次根号以及非负性，它的考点要知道。就若干个分数线之和为零，使这每个必须都为零，比如根号。

加上绝对值，再加平方，它要v0这个每每一部分都是v0，就这个根号v0绝对值v0平方也要v0。而且非负性的和仍然是非负的啊，非负性的和相加仍然是非负的。好看这些懂了没有？我们来看这个题，我们可以观察这个根号，这个绝对值，还有这个偶次方，它都具备非负性，所以我们学过非负性。所以呢，和要规定，

只要每个都都未定是吧？只要每个值它都未定，那它都未定，那就可以得到a的值就等于60。是吧，就a- 60为0a的值就等于60，然后b+90为0b正好等于负的90。然后c呢，就等于130是吧，然后就a+b+c。这样等于100就可以推出来。这样答案就选择c选项，所以大家只要观察非附近的和为零，只要每个都为零，每个都为零，

那么就可以得到它的数值。把ABC解出来。ABC解出来，那答案就求解出来了。好，这是它的方法思路，看是不懂了。好，大家思考这个题。好用非负性，要为求它最值想想。设15 sy设这个等式则s+y的最大值到底是多少？9s加上这俩值这道题，大家思考一下。好不会做的同学给大家提示一下，

你看前面三项是不是可以配方？配方目的要产生一个非复性，看是不是懂了啊，大家每个同学写想一想。s方减4 sy+4 y方可以把它配成什么？ds方减4 sy+4 y方可以把它写成什么样想想。9s方减4 sy+4 y方。看可以写成什么样的，想想。前面的三项是不是可以配成x- 2y括号的平方？是不是可以把配方？也配呢s- 2y括号平方。对不对？然后接下来接下来根号3s根号3y。是不可以把它写成根号三括号s+y它减六它？

等于零对不对？是不是这样的？啊，看是不明白了。然后接下来它要求谁啊？求这个x加y那就可以根号三x加y就等于六减去x减二y的平方。大家知道六减了一个平方数，肯定是小于等于六，这个这个琢磨琢磨。因为这个平方是大于等于零的，对不对？平方是大于等于零的。是不是肯定小于等于六，小于等于六，然后s+y？

小于等于六，除以根号三就等于二倍根号三，建议大家选c。好看，这懂了没有？这答案是选c的，大家做题方法看是否明白了？所以做到这，大家注意，如果一个常数减去一个非负性的量，一定小于等于这个常数。是吧，所以在这里面大家注意它的命题的方法，跟咱们二年考试类类似啊，就一个表达式。

如果等于一个常数。减一个恢复性的。这个数一定小于等于这个常数。所以可以求最大值。呃，同样道理，如果一个表达式。写成一个常数。加上一个恢复性的。它应该大于等于这个常数。它可以求这个最小值。啊，可以求到最小值好，这是它的方法，看懂了没有？

好，接下来咱们看这个题。已知ABC是不完全相等的任意实数。s等于这个，y等于这个，z等于这个zxyz到底是满了什么情况？大家想想syz应该满足什么情况？当然，这个人也可以取特值，知道吧？这ABC是不完全相等任意实数，你可以取零一二。是不是或者说这个你可以取特值也行，所以技巧也能取特值。啊，

记下来就取特值来分析就行了。好，那么一般方法应该怎么解呃？自己取特值，自己去选就行了。注意特质不能证明选项正确啊。有有同学，比如取了一个值，发现xyz都是正的，都是正的，他选了一个a，那这就错了，知道吧，特质不能证明谁正确，只能证明谁错误啊。

所以如果取完之后发现syz它都是正的。呃xyz都正都正的话。那不能选a，因为至少有一个大于零，它也也包含了xyz都正的，懂了吧？然后这里怎么办？你把它s加点加z给它加在一起。把相加。就行了，好有同学可能会问为什么相加，因为它这个判断要么相加，要么相乘，只有两种。那这里相乘的话，

肯定是不太行。对吧，反正要么加要么乘，所以sy只能加。把加在一起，这就得到是a方。加b方，加c方，减AB，减BC，减AC。好，谁告诉我这个怎么怎么变形？仔细想一想，看徐哥同学有没有印象？

这个应该怎么写？老师也是幼儿园。好，这个应该怎么这个时候可以给它乘以二再除以二配成三组平方？是吧，乘以二再除以二配成三组平方。嗯，配置a-b^2 b-c^2 a-c^2是吧？因为ABC是不完全相等的任意实数，说明它这个数应该大于零。因为这个平方它取不到零，它只能是大于零，因为ABC它不能完全相等吧。对不对？好，

那得到s+2+1大于零。咱们前面学过，如果s+2+1大于零，说明syz是什么情况s+2+1大于零都回答一下。都想想s+2+z是大于零的，那说明syz应该什么情况都想想。是不是所以应该是推出syz至少？一个大于零。这个答案选b。是吧，这是不是很熟悉的一个公式啊？咱们前面学过了嘛，给它乘以二再除以二嘛，然后配雅芳是不是这样的？看是不懂了。

好，下面咱们看这个题3 x+2的绝对值，2x方减12 xy+18 y方等于零。然后在这边大家后面这个配方就行了，配方然后用非负性，所以这个就可以得到3 s+2。加上这个可以提出个二，提出二变成2x方。提出二以后变s方减6 xy+9 y的平方=0，然后这块大家。变成30+2绝子，加上二倍的x- 3y的平方，它v0。然后就x减三y平方v零，然后通过这个大家就可以根据咱非负性可以得到三x加二v零，

三x加二v零说明x应该等于负的三分之二。三分之二为零s一等于负的三分之二，然后s减三二为零s减三二为零，说明y就等于三分之ix。y要等于三分之x。好，它让求这个2 y- 3x。好二y就等于负的九分之四是吧？这二y的值，然后负三x其实就是二。是吧，就得到九分之十四。这样写好了。好在这边大家就可以算出答案，这个答案选择e选项好，

这是他做题方法思路，看是不是懂了，所以这道题大家要学会配方配方，然后利用非负性。然后呢，让每个都为零，每个都为零，然后把sy解出来解出来，然后再算它的值就可以得到答案。那么，接下来咱们看这个题。好已知实数ab sy满足这个式子，则三的s+y+3的a+b次方等于几？好，大家思考一下这个题。

给它给的是y加上。根号x减根号二。等于一减a方。和x-2等于个y-1-b^2。大家发现这两个式啊，看起来好像恢复性都不都不那么明显。动不了明显原因是什么，知道吧？这个y你不知道是正还是负对吧y不知道是正还是负？y的正负还确定不了。啊y的正负这个还确定不了。y正好还确定不了，那这时候怎么办？把这两个相加相加看，发现这个这个东西就好好弄一点。

现在就把这个y能抵消掉，好给大家点时间思考一下，看看你们选什么答案。啊，想想啊，应该选什么答案思考一下。现在的话，大家发现左边的y跟右边的y又抵消掉了吧，然后左边就变成x- 2绝对值，加上根号x减根号二。右边这个一和负一也抵消掉了，就变成负a方减b方。你如果实在看不出来，其实做到这能看出来了，这应该都为零，

实在看不出来，再给你写一步。好写一步，大家可以看到我们看这都具备恢复性的，这个绝对值，还有这个平方都具备恢复性的。好非无性的要v0，这个每个是不是都v0想想？大家思考一下，每个是不是都等于零？等等，那可以得到什么情况？得s=2 a和b它v0，这s=2 a和b它正好v0，看这个是不是懂了？

s=2 a和b，它正好是等于零的。那做到这这个y的值就可以看出来，对吧？y的值其实带到里面去，你带第一个也好，带第二也好，把y的值也求出来。y值是不是就等于一？好y=1，那这样就写好了，它让求三的x+y。加三的a+b。它这样等于三的三次方加三的零次方。大家注意三二零次方就为一啊，

三二零零次方就为一。所以得到是28。二八这个答案就选d选项。好，这个题是不是巧妙用了？恢复性让它等于零来进行做题和求解是吧？你可以看设计的比较巧妙。是不是啊？这样就可以写出它的数值。所以考试一定要想到把这两个合在一起，你要不合在一起的话，每一个到底它正的负的呢，不好判断。好看，这个是不懂了。

好，然后咱们再看这个题。若使ABC满足a方加b方加c方等于九则代数式的最大值到底是多少，认为它最大的到底是等于几？这里跟刚才前面讲的题，利用非复性求最值是一样的思路，大家想想啊，非复性求最值是一样的思路。好都想想啊。看一看好这个平方公式，大家还有没有印象？这个平方公式。那在这里面，大家可以有同学平平方公式忘记了是吧？就a加减b的平方给大家问一下公式啊a加减b平方还记不记得等于几啊？

是不是等于a方加减2 AB？加上b方是不是这样的？对不对？可能公式忘记了是吧？还有公式也给大家分析一下好吧？a+b+c^2。谁还记得这个功能等于几啊，大家都回想一下a+b+c^2应该等于几？很都忘记了哈，这a方加b方加c方。加二倍的AB。BC AC.然后这个公式忘记了，我把这两个公式给它温习一下啊。好，

接下来咱们再做这个题好吧，接下来做这个题a-b^2。b-c^2 c-a^2。就a-b^2 b-c^2，加上c-a^2。大家想想。好，这个是不是把它展开呀？这每个都套着公式展开，展开后大家发现是不是有两个a方？b方和c方。是不是减去一个？2 AB 2 BC 2 AC。是不这样的，想想。

自己写一写。好，大家注意，已知条件是a方加b方加c方等于九。啊a方加b方加c方等于九，这个式是不是可以带到里面去？是不是a方加b方加c方等于九？是不可以把这个带到里面去想想？好代到里面去，以后这个就变成18了，对不对？18了，那后面这块打算怎么弄？后面这块儿打算怎么弄？因为后面这块它不具备恢复性，

要用这个上面这个替换。知道吧，也就说2 AB 2 BC 2 AC。可以用前面两个来进行表示。啊，注意这地方是负的，知道吧？负的我们把它代换过来。参数过来，所以说代换过来以后就变成又变成a方加b方加c方。减去a+b+c^2。大家发现a方加b方加c方是不是又是九？啊又九所以得到的是27-a+b+c^2。刚才咱讲过了，如果一个常数27减掉一个非负性的数，

它应该小于等于这个常数。所以这俩值大家说说啊，这俩值你们说选什么？所以当这个a+b+c。等于零的时候。它最大值就为27。好，如果要问什么时候取最值，就当a+b+c=0的时候，它取最值是吧？这样就可以了。那这样呢，应该选择b选项。好看，这个是不是懂了？

所以以后在求。涉及到非复性的最值的时候，一定要用这个方法来做啊，这考试考了好多次。知道吧，刚才咱们已经做过一次了。下面我们看这个题。a- 3的绝对值加上根号下3 b+5+5 c- 4平方等于零则ABC等于等于几，好在这地方大家可以发现。这个平方绝对值，还有根号都具有非负性，所以根据非负性，我们直接可以得到ABC的值。就a的值上等于三b的值上等于负三分之五。这个值等于五分之四。

然后这样就可以算作a×b×c的值。就三乘以负的三分之五。再乘以五分之四这样的。好，这样算就等于负四。这样就写好了。这样呢，应该选择a选项。好给它方法思路，看是不懂了。你做这个题，你看到没有？用非负性求最值。设sy为实数。它给了一个f sy的表达式。

其他最小值到底是多少？想想。那这道题在初中数学里面，那你怎么求最值只能配方非负性啊？看谁会配。给大家提示一下。这s方加4 sy+5 y方，这是二二年考题。你会不会配？怎么配？大家想想配成什么平方思考一下。好，那都做完没有啊？那么大家怎么配呢？是不是把这个五外方给它拆开？

对不对？拆开给它s平方。把它配成这样啊，配成s平方加4 sy，加上y方4y方。然后这三个一个平方，然后加上y方减2y，给它配一个一，后面还多一个一。好，大家可以配成x+2 y的平方。加上y- 1^2，再加一它是不是大于等于一，因为这都是非负性的。是吧，

非非负性的，它大于等于一。等等一，然后这样就写好了是吧？这个呢，就选择a选项。好看，这个是不懂。好，这是恢复性的一个使用，比如说求最值啊，还有恢复这样的一些。呃，特征呀，要知道看这个考试，

你看考了好多次，就是一个非复性量，加上一个常数，它的这个情况。是吧，就这样的，什么时候取最值呢？就当s+y=0。和y=1的时候，它这时候它取最值就像括号等于零，非负性等于零的时候，它取最值答案就写出来了。看这块儿是不是懂了？好，下面咱们看这个题设sy为实数，

则它的最小值到底是多少？好，那接下来咱们这道题要给它配方，利用非负性来做好f sy。就等于x方加4x就变成x+2^2。这个y方减。一就y- 1^2。就y- 1^2。然后这时候我们看后面要给它配一个几。是吧，因为这个展开有个四这展开有个一是五五的话，要给它减个三就行了。我又减一个三，所以把它配成非物性，非物性以后，

然后前面都大于等于零的，所以说它这个数值最小值就是负三。当前面这个平方，这两个平方为零的时候。好，它的最小值就取最小值，所以它最小值。就是负三这样就写好了，所以呢，应该选择e选项好，这是他的考试要点和思路，看是不懂了。下面我们看这个题。好条件1 ab sy满足这个式子条件2 ab sy满足这个式子，所以大家发现条件一它这个。

有四个未知数ab sy。设备时候这个不定方程又解不出来是吧？因为他又没告诉我y是正的还是负的？是吧，所以这个非负性，用不了条件，同样道理y也不知道它的正负情况，这个b它的正负情况也不知道，所以。那么，观察一下，让它取值要联合起来。好，零二零二六把这个不具备废物性的y给它进行消掉。然后根号三根号三给它进行消掉，

所以把这个相加。把相加加的话，左边y这个消掉根号3b跟那个根号3b给它消消掉，消掉以后得到根号x减根号三。加上x- 3。好把这个根号三根号三消掉y跟y消掉，然后这个一跟这负一也消掉，这样等于负a方减b方。其实做到这，大家发现让这个指针都为零了，因为左边是大于等于零的，右边是小于等于零的，如果左右两个要相等指针都取零。如果有同学看不出来，看不出来，

可以把它写成根号4s减根号三。加x- 3正好加上a方，加上b方，它正好等于一个。零这样的话，看的比较明显，这都具备非物性的，非物性的和要为零，只要每个它都为零，每个都为零，就可以得到它的结果。这个x正好等于3a和b，它为零。好x=3 a和b都为零了，你把这个a和b为0 x=3带到第一个也好带到第二号，

可以得到y的值y值正好为一。完了，唯一这时候我们就可以算作二的x+y。加二的a+b。正好是二的四次方加上二的零次方正好等于17，这要充分。所以零要充分，这里呢，应该选择c选项好，这样写好在哪里选择c好，这是它做题方法思路，看是不是懂了。接下来咱们来看绝对值和不定方程。解不定方程，这时候什么叫不定方程，

你知道吧？不定方程就未知数，多方程比较少，就不定方程。咱们要结合它一般要列举讨论，知道吧？列举讨论取值，比如结合非复性还有数的奇偶性，还有质数合数等性质来进行讨论。知道吧，就不定方程就未知数很多，它取值呢，那你也讨论讨论，结合一些特征是吧，有非负性啊，

或者奇数偶数啊。或者质数合数啊，咱们前面讲过的来进行讨论。好，大家看这个题甲ABC为整数。这两个绝对值相加等于一求，后面这个值等于几大家想想看这个题。那ABC为整数。其实这个加这个等于一则它值到底是等于多少想一想。给大家提示一下ABC都是整数，ABC都是整数，那这个绝对值也是整数，这个绝对也是整数，而且都是非负整数。你自己想想。

大家想想，如果两个非负整数相加，等于一两个非负整数相加，等于一应该什么情况？两非负整数相加，要为一啊。两非负相加，要为一应该什么情况？是不是要么就是一个一一个零，要么一个零一个一，你自己想想是不是这样的？对不对？因为它又不能取负的嘛。当这里让谁为一谁为零，对吧？

没有没有影响，所以我们就可以列。可以不乏。列a-b这个v0反正这20次方，它也v0。是吧，所以c-a它为一。这种也可以，技巧也可以取特值。就这个技巧。用特值法。是吧，比如说a和b都为零。c为一来做这个题是吧？a为都为0c和VC为一做这个题。

好，接下来看谁做完这个答案了，都选选答案，谁说这个答案到底等于几都想想？啊，有没有同学做完了？好，那这个就可以算出它的这个值。a-b+a-c+b-c。是不是大家知道a和b都为零嘛？c值为一嘛？a和b都为零，那这就是零了。然后这是一，这是一。

呃，谁告诉选什么答案？是不是这个答案应该选择a选项对吧？这个答案应该选择a。好，这是它的会会讨论吗？谈谈数字，看是不是听懂了。看这个题是不明白了啊。下面咱们看这个题设ABC为整数，且这两个绝对相加等于二，则它有几种取值情况。要讨论它的取值，唐曲在特别容易出错，先观察一下，

因为ABC为整数这个相减的绝对值肯定是非负整数。两非负整数相加等于二。要么都为一。要么一个零二或一个二一个零，但是在这里面大家发现它有个次方。不可能一个零二二。因为一个整数的。41次方不可能为二一个整除，20次方也不可能为二是吧？所以它只能是啊，通过分析发现。啊，由题可以得到，只能是这个绝值的唯一。a-b就等于一。

c-a的值也为一是不是这样的，这样的情况。接下来，我们可以看到a-b，那么这个则这个a-b的绝对值，加上a-c的绝对值，加上b-c的绝对值。就等于好a-b均为一。c-n绝对值，它也为一啊，也为一，然后b-c的绝对值，b-c的绝对值是不确定的。好b-c的值，他这个是不确定的。

啊b-c的绝对值。啊，这个是不确定是吧？这个是一这个是1 b-c的绝子，这个是定不了。那接下来我们看讨论这个b-c就行了，这道题咱们还是啊，利用距离来分析，要直观一点。要不然这绝对值啊，当然也可以讨论a-b是正还负c-a到底正还是负也行是吧也行，所以有同学呢呃，如果不善于画绝对值的话就减b。就等于正负一。然后c-a就等于。

正负一，然后让这俩是。相加相加的话，这时候呢，你还要讨论是吧？你要讨论，然后这是相加相加，主要是找到b-c的数值嘛。bnc的数值。是不是然后这样的？好，所以说这两个相加相加的话，那么如果都取一的话，加在一起为二都取负一的话，加在一起是负二。

一个正一，一个负一，或者一个负一个正一加在一起就为零是吧？通过这个啊，通过这让这两个相加相加，你得到b-c的值。或者c-b的值c-b的值等于。负二零二好，那说明b-c的绝对值要么就是零，要么就是二是吧，要么零，要么二，要么零，要么二，然后它取值有两种情况，

这样也行。但是我觉得画数轴更直观一点。话说那a-b绝对值，那么先写个a点a点，不管在哪b跟a的距离就为一是吧b，要么在a左边，要么在a右边，反正这个。BB跟a的距离就为一。好，这个b的值，要么在这，要么在这。然后c-a的绝对值为1 c-a，绝对值为一，

那说明c到a的距离也为一是吧c，要么到这个位置，要么在这个位置，反正这个长度，这个长度，它都为一了。等于一所以通过这个，我们就可以得到b-c的值。变成要么为零为零，什么为零，就是b和c都在同一点，比如都在左边bc，都在左边或者bc都在右边同一点，或者说一个在左，一个在右，

或者一个在右，一个在左都行。那或者为二。或为二这个长度为二，所以他这个算出来，他也有两种情况都是可以的好吧b-c的绝对值有两种。这样都是没问题的，这个答案选c选b选项好，这是他的做题要点，看是不是听懂了？然后做这个题。将ABC为整数。ABC是整数。且这个数等于二，则它最大值到底是多少？

好，那这个题跟上一题的区别在哪？知道吧？跟上一题的区别。它有这个20次方和四一次方，它的区别。有没有它的区别？在这里面，大家要知道。因为这道题，它两个非负整数相加等于二。它有可能什么有可能零+2。等于二。有可能二+0=2，还有可能一+1。

等于二，但如果这里要写成写成这样的。写a-b 20次方加上c-a 41次方等于二，这样写它只能只能写成一+1，它等于二。只能写一+1=2，因为它不可能说a-b 20次方，它等于二了。因为这个这一个整数的20次方，它不可能等于二。所以说要对比它的区别啊，各位同学要听懂。那指的是一+1=2，它不可能出现零+2，因为一个数的41次方一个整数的41次方，

它不可能等于二。整数啊，它四的一次方，它不可能被二对不对？然后一个整数的二次方，它也不可能等于二。这个要如果要改成这样的话，它要要注意它两者区别啊。好，接下来咱们看这个题。所以接下来要讨论它的最大值是多少，讨论最大值这样子的话，那我们看零+2和二+0，其实对这个值来说。没啥影响，

您可以看看好吧，假设第一种情况，我们要分类讨论了，你只要求最大值跟上一题不一样。你不能说我随便取个特值，我算出一个值就行，这不行还要在它要在你在算的值里面要取个最大的。比如算出来有几个值，到底谁最大，你得挑最大的，不是说我算出来一个就可以的，你算出来一个有可能那个不是最大。知道吧，大家各位同学，想想谁是最大的？

其他专业都思考一下，这谁谁最大？好，那接下来你看第一种情况，零和二。第一种情况就是a-b的绝对值等于0 c-a的绝对值等于二，看看这个行不行？那a-b直接等于零，说明a和b是相等的。AB相等最求最值的时候，大家切大家最好。建议啊，最好不要去取特值，因为你取特值算出来那个值不一定是最最大的，知道吧？

不一定是最大的，你取的那个值可能算出来是中间某一个值，有可能不是最大值，所以这时候尽量不要取特值，所以这时候呢？a-b绝对等于零，说明a又等于b。a大于b那么原式，我们可以看什么情况啊？好AA和b要相等a和b要相等，那第一个绝对值就为零了。这个绝对值变成a-c，这个变成也是a-c，它等于四。是吧，

这个就为四这能看到吗？就是当这个。a-b绝对等于零的时候，说明a和b相等a和b相等的时候，那么这个c-a的绝对值就等于二=2的话，那这时候呢？a-b正好为零，然后a-c跟c-a的绝值是一样啊，是吧？a-c的绝值和c-a绝值它是一样的。这个能听懂吗？它正好一样，所以这个算四，但这四是不是最大，咱们还不知道啊，

咱们算的有一个四，有可能四是中间的，有可能四是最大的。你比如说我算一个数，我就选。你还要看你算的这个数里头是不是最大的？那接下来咱们看第二种情况，其实第二种情况跟第一种情况是。是差不多的a-b=2。c-a它为零。cdm命令大家知道这个c跟a就相等。声音下，那原始人就可以写出来。原来这个a-b绝对是二是吧？aa-b绝对是二。

然后这个a-c的绝对值。因为a和c相等嘛a-c就为零了b-c。因为c就等于a嘛。所以它算呢，也为四。好，那前两种情况算都是四。那看这种情况。像这种情况。这项有没有同学算出来？那这种情况，第三种情况，第三种情况就是a-b=1 c-a也为一。a-b为1c，减a也为一，

对吧？这俩都为一都为一，那看一下原式。原来写写。那有没有说这种情况，有没有同学算出来，它算的是是等于几？好a-b绝对值。a-b值就为一了。a-c绝对也为一是吧？a-b绝对也为1 a-c绝对也为一是不是这样的？这能看到吗？a-b绝对为一。a-c绝对值，它也为一。

这前两都为一，再加上一个bb-c。好，再加上一个b-c。好，大家可以发现b-c。你画数轴看几个亿也能看出来。因为a跟b的距离是1c跟a的距离是一那b跟c距离最远最远也就是二了，假如这是a。加这个a。a-b的绝对值代表AB的距离。AB距离它为一。然后CA它距离为一。那BC的距离BC距离最远，这件事儿我当时画的是最远啊，

画画的是最远的，最远最远就是v2。是吧，最远它是vr。因为这个a跟b的距离为一嘛。c跟a的距离它它也为一嘛。那我看b跟c它最远，咱们学过绝对值几何意义？看距离对不对？看距离就是b-c。b-c最大最大，它就v2v2，所以它小于等于。四是吧，小于等于四好，

这是一个。分析方法也可以用咱们讲过的三角不等式啊，三角不等式，后面咱们会没接触的同学后面。会学bnc，bnc可以写成。可以写写写的什么呀？可以写成。这是c-a。还用这两拼凑嘛？是吧啊，可以可以选这样吧。现在a-b。减去个a-c，这样写算了。

或者选择a-c，减去a-b也行啊，这个都可以对吧？都可以，这个就是b-c的值嘛？变现值，所以它小于等于小于等于a-c，加上a-b，所以小于等于一+1。等于二是吧，这样。用c样不等式也能证，所以你把b-b-c拆成拆成这两个。嗯，参加这样参加这样，

然后套三项不等式，这样你能证它小于等于二。好，那通过以上可以发现它最大的值就是四是吧？最大值四就算出来b选项最大值是四。然后这个求出来了，它也不会不会取五啊六之类的好吧，看这懂了没有？当然，这里还可以求最小值，知道吧？还可以求最小，如果要求最小值，你知道怎么求吧？要求最小值。

最小值最小值就是二，最小值就b和c正好呢，在一个点就b和c正好在一个点，在一个点就b-c正好为零，问它最小值就为二。知道吧，就这个数值正好正好为零。因为它这个就b和c相等，就是它最小值就为二啊。好看，这个懂了没有？好，接下来咱们再看这个题。ABC小于12的三个不同的质数。啊，

字数也叫素数啊。对啊，都说了小于12的质数有哪些都想想。小于12的质数都说说啊，都回答一下有哪些？好a-b绝对值b-c绝对值c-a绝对值，它正好等于八求a+b+c的值到底等于几？好，大家都说一下，每个同学都回答一下小于12的质数。先说这个之前学的二三五七十一。那也三个数是不同的质数。好且满足这个式子，那问a+b+c等于几？大家想想a abc怎么求？

好，这个ABC应该怎么求？想想。就a-b就是加b，减c就是加c，减a就是等于八那么。求这个值怎么求？那咱不可能拿这个质数一个四吧？是吧，一个试的话，好像反正也能试出来，但是。但是不是麻烦呀。那大大家打算怎么弄？你要是的话，

可能。要麻烦点，是不是？好教给大家一个方法吧。如果考试出现不同，如果不同的话，大家把它给它排个序就行了。给不同，你给它排个序。排序的目的是什么啊？排序的目的就是为了把绝知去掉。所以不妨的。a大于b，大于c是吧？不绑定a大于b，

大于c。这样绝对不就可以去去掉了嘛，是吧？这个为了把绝对去掉嘛，就像a-b+b-c。这加上a-c了啊。这个其实就可以去掉，对吧？a大于b又大于ca-b是正的，b-c也是正的。然后这时候c-a就变成a-c了。是不这样就变成二倍的a-c=8，就说明a-c就等于四。a呀a呀，这等于四，

那就好好办了，那就质数嘛，是要么就11-7。等于四是吧？十一减七可以，要么就七减三。但11-7的话是不行。为什么11跟七不行呢？如果a要等于11b要等于呃c要等于七，中间的b是不存在的。是不是先看a要等于11b要c要等于七这个b这个b的值它不存在？这没有啊，11跟七呀。它至于它没有质数了。对吧，

字数上没有。它不不存在。好，那这时候只能是什么？只能就是a=7 c为3b呢？是等于五这个是b的值是存在的。只有三五期。啊三五七划那就推出了a+b+c的值，这样等于15。是吧，这样求出来，这样呢，就选择d选项。好看懂了吧。好，

如果把数要改改改的也会讨论。看还有没有什么疑问？所以以后遇到不同的考试。出现过好几次不同不同的话，也要给它排序，咱在逻辑推理题的时候也一样，知道吧，逻辑推理时候一样，它不同的时候给它排个序。排了序以后，那就好做了。是吧，给它排个序排序，那就好办了。然后这个绝对值可以去掉去掉答案就可以写出来了，

然后看各位同学是不是听懂了？好，最后这个三角不等式，咱们后面再讲好吧，三角不等式稍微难点，回头大家后面咱们再说。好，后面咱们再再再强强调再讲啊，然后前面大家看看还有没有什么疑问好，今天咱们就讲到这好吧。啊，就是绝对值的呃，定义概念，还有绝对值的自比性是关关键啊，绝对值自比性尤其出重新判断题。

还有职性质里面的非复性。是吧，还有等等价性，那这些点把它掌握住，绝对值啊，这样的题目就可以把它做好了。下面咱们看这个题，假如ABC是小于23个不同的质数。好，那我们首先要看一下消于20的次数有哪些？加二质数有八个，就二三五七。11，13，17，

19，就这八个是吧？二三五，71，13，17，19，这么八个，所以小于23个不同的质数。就这样的。然后且。a-b，加b，减c，加c，

减a=12。等于12那在这里咱就不妨假设a大于b大于c，为了把这个绝值去掉是吧，就不妨例，反正这个ABC它又没有什么。先后顺序。有不妨列这个，不妨列这个，那就可以得到a-b，加上b-c，加上c-a。那这样其实就可以去掉了啊a-b那变成正的了，因为a大于b嘛，然后b-c它也是正的。然后c减就是负的是吧？

因为c是小于a。是吧，就变成a-c。好，他这个这个把这个b跟b约掉就等于二倍的a-c正好等于12。二倍a-b，然后二倍a-c=12，12呢？可以得到a-c正好等于一个六。好，接下来我们看它相差为六的情况，而且因为要找ABC最大最大最大化，那肯定要找大一点儿，大一点儿，那相差为六，

相差为63跟19。这样可以是吧，一个19，一个13，这是等于六的。好，那b的值就取一个中间的，因为a和c定了b的值就17就行了，所以我们就可以得到。这个三个数就分别是13，17和19。把他加在一起就可以得到他的数值等于49。啊，这是最大的数啊，这个呢，

应该选择e选项。懂了吧，所以要找最大就往大了找，要找最小就往小小了找就行了，好吧，所以在这么大家呢，看它的这个数值。相差为六的嗯，就相差为六有哪些？你看13跟19相差为61跟17相差也为六。13跟七相差也为六是吧？反正相差为六的那可以找，如果要找最小值的话，那找相差为六，相差为六，

你看五跟11相差也为六。是吧，反正这找这个相差为六的值，相差为六的值，那如果找最小就五七十一了，这是比较小的。是不是所以大家要会分析和思考？所以结合咱们的大小情况，把绝对值去掉，然后再讨论不定方程取值，在这个方程里面再找一个最大数就可以得到答案，看是不是听懂了？我们来看这个题设mn是小于20的质数。则满足m-n其实等于二这样的mn到底有几组？那接下来首先我们找找小于20的质数。

总共八个二三五七十一十三十七十九这样的总共是八个。还有呢，这时候列一下m-n，绝对值等于二。等下等下二的话，那大家可以发现这一个是三跟五，一个是五跟七，一个11跟13，17跟十十九。总共四组是吧？正确答案就选择c选项。就四组答案就求解出来。这个答案选c另外，这时候不用考虑顺序啊，有同学说这个三跟五五跟三，

因为我们考虑顺序，因为它这个大括号是代表集合。代表集合集合呢，是无序性。集合的特征就是无序性。无序他不讲究顺序啊，无序性他没有顺序。比如说三跟五，也就说这个意思，就三跟五这个集合。与五和三这个集合，这两集合是相等的，这两集合呢是相等的，所以它是无序性是相等的。这俩是一模一样的是吧？

所以它这个就是不用考考虑它的顺序。懂了吧，比如说要让你算其他值上算m减n的值，而m减n值，那肯定有顺序m减n值，比如三减五。和五五减三啊，那这肯定有顺序，或者说m除以n问，比如问这道题m除以n到底有几种情况？m除以n三除以五跟五除以三。它也是不一样的，不一样的，那这时候。要讲要顺序的。

如果他这个换完顺序，对他没有影响，这是不讲顺序，所以考的时候选的时候别给选错了，好一定要看它数值交换完以后是否产生新的情况。用这个标准来进行判断，就可以达到。是否排序的一个？区分的一个标志。好掌握这样一个特征就可以了，好看各位同学是不听懂了。

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07.真题-第1章-第3节-题型3～5

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