03.真题-第1章-第1节-题型4

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 05:48:14

好，那接下来咱们看一下，它就是实物大小比较啊，实物大小比较情况，我们来看一下。好大小比较那这一块啊，尤其在出现一些这几个符号的时候，我们可以画上。出现平方。绝对值的根号，这时候大家容易出错，平方绝对值根号，大家要会分析和思考。首先，大家注意a大于b跟a方，

大于b方。这样谁也推不出谁啊。别给写错了好吧，就a大于b和a方大于b方，这点谁也推不出谁。好，一定要注意。就a大于BA的平方，不一定大于b的平方，知道吧？同样a方大于b方，不一定a大于b。因为他不知道正负。知道吧，他正负是不知道的啊，

不确定正负，所以他的平方大小呢是确定不了的。那么，此外，我们再看绝对值a的绝对值大于b的绝对值跟a方大于b方这两个，我们看它大小情况。好，大家思考一下，这样的a的绝值值。大于b绝对值和a方大于b方，这两个可以互相推。好，这两个可以互相推是吧？然后这是平方。嗯，

或者说第一个是第一个是a大于b，如果AB是正数，这样也行AB是正数，那也能推出来a方大于b方。b是正数，这样就可以是吧？如果要不是正数，那就不行好吧好，那接下来只要是AB是正数。好写下，如果AB要是正数的话，那这就可以了。AB正数的时候，那么a大于b和a方大于BB方。这样就可以互相推了。

这个是没问题，而且AB正数那么就是。根号a。大于根号b跟这个a大于b，这也可以互相推。啊，这也可以互相推。好，如果AB要正数的话，要取倒数。好，还有它跟这个局域值也可以互相推。这些所有的这些都要求是正数，它就可以了。如果不招正式化，

那这个没法退。然后最后一个叫倒数。a大于b。和这个a分之一小于b分之一，它倒数是大小相反的。就a大于b。和a分之一小于b分之一。好，这些都在正数的时候可以推。啊正数只要AB，它是都正数一个大前提。那到正数的时候，那这些呢，都可以推导过来好吧，这些推导都是没问题的，

大家呢都可以。啊，这个去推导，所以考试时候一定要看正数啊啊，陷阱陷阱呢，主要设置在正负问题，另外还有等号，还有零，所以常考的一些陷阱。要观察这几个细节。现你由正负。正负零还有等号。因为题目有等号，没有等号，它的差别很大，

好吧，就是正负情况。还有零还有等号，有没有等号，比如说大于号还是大于等于号，他题目他题干加一个等号，那这个差距。就非常大，所以考试时候注意这些细节好吧，就是看一下它的取值正负情况，还有没有零的情况，还有没有这个等号，它大于号还是大于等于？好掌握这些特征就行了。好，

接下来咱们做些题来练习一下。好看一下这个题，第一个题。第三说x要大于y。嗯，在实物大小比较这一块儿嗯，考试类型中主要以重新判断题这种。问法考的多好吧，所以大家在做重新判断题的时候，别给写错了。好，第一个大家做一下s大于y。来大于外啊。选项一若xy都是正整数，那xy它都是说了是正整数，

看清楚。且x方小于y。好条件xy也都正整数。且根号x小于y好，大家想这道题应该选什么答案？好，这个题。看谁能推出x大于y。大家都思考一下。哈哈哈。好想一想，这个题应该怎么选答案是吧啊？这个题。好，这个题别选错了，

这道题是选e就是都不充分是吧？然后选e。那我们举反例吧。啊，取反例。比如一条件一，我们可以取反例，取x=1。是吧啊I=1 y为二啊，这样可以，反正都正整数嘛。i=1，y=2啊，这是条件，一条件一，

什么叫反例呢？你满足条件，但推不出题干。就满足前提，但得不到后面的结果。是吧，所以这个大家可以看调样一，它这个不充分，退不出题干。我们再看条件。填写你用这个反例吧x=1 y=2。你看这个返利也能用。啊。I=1，y=2，

这个也能用。是吧x为1 y=2，它这个也能用。对不对？所以条件这也推不出题干。好，那这样的特征好吧。然后接下来我们看两条联合，联合也不行啊，联合还找这样的式子，联合还找这样式子。是吧，这样的情况也不行，联合联合这个也也推不出来，联合还取s=1 y=2。

这样就不行是吧？所以说这道题就选e。联合还找这样的反例就行了。好，这道题就选e。好，那这样把题干改改改，看大家选什么答案好吧，大家都都看一下啊，给大家。改一下。把题干改成。x小于y。把题干的s大于y，知道吧？

就这一块儿。大于外把它改成，而是小于外。然后两条件不变啊，提中一个条件不变好，你看看那这个题应该选什么？改成x小于y。就把题干改改明白，没有题干。改一下啊，就把s大于y改成s小于y，其中一个条件都不变啊，都不变。好，那有同学可能觉得选d啊选d。

好，那么你看看其他同学告诉我选什么答案呃，改完以后那么选什么答案？是吧，大家想一想。好，那都思考一下啊，思考这类题特别容易错啊，而且重新判断你对咱们的准确度要求比较高，什么叫准确度要求比较高，比如说题案一，你辛辛苦苦判断完了。嗯，做对了，没问题了，

但条件二你有一点点误差，那这个题就出错了。你看又有同学有不同的答案是吧？有同学又认为选a。是吧，你看看这个，这个到底选什么呢？我们看看啊。大家知道，如果x要是正整数。x要正整数。x要正整数。x肯定要小于x平方，你认可不？所以x平方又小于y是吧？

x平方又小于y。好x平方还有小于y，所以这样就可以推出x是小于y的。好，只要是注意啊，只要x是正整数x平方都比x要大。啊大或者说相等吧，充其量就相等，就x取一的时候，两者相等。是吧，所以在这里面大家要记住的东西是，只要是s是正整数啊，因为题目说了正整数，如果这道题要没说正整数，

这也没法推。因为是正整数，正整数的话x平方肯定要大于等于x，这就呢，不等式传递性知道吧，就是也就说x是比x平方要小的x平方，又比y要小。这样就可以传递得到s小于y是吧？这个传递得到s小于y，所以这样条件一是行的。然后条件条件这个就不行，条件条件大家可以找反例。反例就是根号s小于ys，不一定小于y，知道吧？

比如说反例，我们可以找一个。x=4。y为三，你想想是不是这样，是I=4 y为3 I=4 y为三，大家知道根号四可能是小于三。根号四是小于三的。啊，或有同学取x=16 y=5是吧啊，这样也行，这样取的数稍微大点也可以。好，那么就是根号四是小于三的对不对？根号四小于三。

既然根号四要小于三。根号四要小小于三，但是呢，这个四呢是大于三。这个四呢是是大于三的，所以说退不出s小于y成立是吧？退不出s小于成立，所以改完以后的答案应该选a啊，你不要别记错了，改完以后的答案。就选a。如果原来这个题的答案是选e啊，改完以后答案选a，大家可以发现稍微改一点点啊，那么这个。

啊，这个得到结果就不太一样是吧是吧？不太一样，所以这是它的这个内容分析方法是吧？好，这是他的做题点当然。有同学把条件两边平方把根号去掉，这样也行是吧？就根号x小于y也可以把平方去掉，因为它这个都是正整数，正整数的话，那个平方倒没事是吧？也可以把它写成x小于y方这样写，因为它都是正整数，你可以写成x小于y方。

这样也可以，就x小于y方x它不一定小于y。是吧，所以s有可能大于y好，这是它的支点，所以这道题大家别做错了啊，就考试这样题看着特别简单，知道吧，但稍不留神三分就丢掉了，所以一定要细心点。下面咱们看这个题x小于y，若xy都是正整数。且x方小于y。条件sy都是正整数。且根号s小于y，

我们看条件一。填上大家记住正整数。这时候那首先要大，肯定要大于等于一是吧？说说明这个x肯定要大于等于一。s或大于等于一，大家知道什么？大家知道这个s肯定要小于s平方。是吧，因为大于等于一的数x平方肯定要大啊，说说明这x平方肯定要大于等于x。对不对？好x平方，它是小于y的。好，

这样推出，根据这个不等式的传递性x小于等于x平方x平方又小于y就可以推出x肯定小于y。对它是充分的。好，第二个。sy都是正整数，且根号s小于y，那我们看能不能找到反例？看能不能找到返利，找到返利的话，大家可以看到这个x。和y我们找到反例。比如s=4。y=3。啊I=4 yv 3 I=4 yv 3，

那满足根号四小于三。但是。但四是大于三的，所以它不充分。所以这个呢，应该选择的是。a选项条一，它是可以的，好看这个是不是听懂了？好看一下，下一个题。好a呢，是小于负一，小于一，小于负a，

然后这是题干。他这一一串。好，这是一串。好，这个题大家思考一下，到底选哪个答案好吧？这个题大家做做选哪个答案？好想想选什么答案这道题。好a小于负一，小于一，小于负a好，那这个看看选什么答案？好，那接下来我们来看一下它的这个值好吧，

好指这个选什么答案好，那条件一我们看看。好题号一题号一是a+1要小于0 a+1小于零就可以得到a小于负一。是吧a+1要小于零，说明a应该小于负一好，这样的情况。是不是a是比负一小的？a要比负一小，那么两边同乘一个负号，我们的负a是大于一的。是吧，这个是不等式的性质，两边都乘一个负号。负二这个是负a是大于一的。是不是然后把这个连在一起啊？

连在一起还可以推出。a小于负一，负一又小于一。一又小于负a是吧？就可以推出a小于负一负一肯定比一小，然后负a又比一要大。好，所以这个条案一它是成立的是吧？条案一充分，这要写好了。好，这个支点就写好了，看这个懂了没有？好，这是条件一，

它是充分的。好，接下来看一下第二个第二行不行？第二，大家可以举一个反例，知道吧？条件条件你可以取一个反例。你比如取AV 0就不行。AV点AV点的话，你带到题干里面去，它明显就错了。是吧，所以说它这个肯定是错的，所以你可以取一个反例，反正a=0 a=0，

显然你看到里面它这个不充分。是吧，所以这道题条件一充分条件二是不充分的，这一答案选a。通过这道题，大家学到的收获就是等号两边同乘一个负号。它大小正好，反过来是吧？掌握这样的方法就行了，那正好相反，这就写出来答案了，是不是这样就比较简单？所以要掌握这样的变形思路。好，下面咱们看这个题a小于a的绝对值，

咱们先把题干给它，等价化简一下，像有的题。它题干中等价化简，然后咱们等价化简完再判断，如果a小于a的绝对值a小于a的绝对值，那说明a的值应该是负的。是吧a的值，它应该是负数，所以a应该小于零。这是它成立的条件是吧？根据根据a和a的绝对值，它的一个比较关系，我们首先判断出a呢肯定是小于零的。好a小于零得到这个值。

那我们看看一下条件，一条件一大家知道a+1小于零条件一可以得到a小于负1a小于负一可以推出a小于零。是要涉及到充分的。条件a的绝对值小于1a，绝对小于一，只能得到a小于一，大于负一。所以它这个不一定成立，因为因为a有可能大一点，或者找个反例也行。那么a=0，它这个就不充分了。是吧，它这个显然就不充分，所以条件二不可以，

条件一可以，这个呢，应该选择a选项好，这是它做题方法思路，看是不是懂了？好了，接下来咱们看一下下一个题。看下一个题。好AB方小于cb方，那这也重新判断题题号，一是a+b+c=0。这条件一条件二是a小于b小于c，然后看这道题到底选什么答案？那这个题到底怎么做？选什么答案都想一想。

那想想它的这个内容好吧，所以在这里面大家呢，要知道它的方法和思路，看这个是不是懂了？那有同学选c，有同学选e好，那到底选什么答案？看这个题。这个题你看就看着特别简单的题目，那大家特别容易出错。好有同学呢，把题干这个AB方小于cb方有同学直接把b方给他，给他约掉。它又变成a小于c了。他直接把b方呢给它给它去掉去掉，

变成a小于c，那这个就有问题。只有啊b方有同学说b方是正的，所以它两边约掉，但b有可能为零呀，所以这里陷阱你看就挖了一个坑。是吧，挖了一坑，那这道题。啊，这个b取零就破解了嘛，是吧？然后可以看这个就不满足是吧？所以这道题就大家很多同学。如果这里要必要不为零，

那么就可以推了，知道吧？那b要不为零就可以推了，所以b为零的时候，那这道题就不充分，所以条形一和条条件二可以看到当b为零的时候。因为条件一和条件二，它b都有可能为零嘛，所以当b为零时。他肯定是不充分的。是不是你看大家是不是特别容易出错啊？每次考试都有同学出错，当b为零时，它是不充分的。是吧，

所以这样一跟二它都不行，连起来也不行啊。李安，企业的b有可能为零呀是吧啊？李安，企业的b也有可能是为零的，所以联合他，他也不充分啊。联合完以后，它b取零那还是不充分，所以这道题就选e。你看这道题给大家挖了一个坑，是不是所以这道题能看懂吧？所以这个答案应该选e，但是很多同学考试这道题就丢分了。

那这道题我改成这么几个，大家看看那么？题干改啊，条件都不改啊，题干改。条案都不改啊那。敢这样的。改成b不为零。则让你推断是AB方小于cb方啊，就是就是改成b不为零。则让你推出的结论是AB方小于cb方。好题干改条件都不改啊，条件一和条条件二还是刚才那个？题目里面条件如果改成这样的，改成b为0b不为零。

所以重新判断题，重新判断，如果加逗号加折。则之前那么都是属于已知懂了吧？则之前都是已知条件啊。咱们再做重新判断题，因为有时候题干他写的比较多，那么前面都是已知条件。都是已知可以用的，就折之后的是让我们推导的，懂了吧？折之后是让我们推导的。则这是推导，则AB方就小于cb方是吧？然后这块儿。

好，那有同学说选c啊选c。那大家想想到底选什么答案是吧？就两条件不用改。好两两条件不改。嗯。两条线不要改啊。想想这个应该选什么？你认为单独是不充分是吗？那能不能说明大家能不能说明一下选c的同学啊？选c的同同学。选c同学那么条件二。条件你说明一下，为什么错好吧？为什么错？

为什么说条件上错，条件上有同学说AC可以为为0 AC为零，那只要能推出题干就行了嘛AC为零倒无所谓啊。呃呃a要为零的时候c就是正数啊。a要为零的时候c不就正数吗？你看a要为零是c肯定c肯定不可能也为零啊，因为条件儿必须是从条件儿。来推题干嘛？是吧，所以你看这个就有同学掉到陷阱里面去，对条件充分。应该选b。因为什么？因为条件只要是a小于c就行a小于c的话，因为b又不为零嘛b又不为零，

两边两边同乘一个正数嘛。两边通通成一个，正通成一个，正数肯定是AB方小于cb方，你咋知道对一个不等式两面通成一个正数？是吧啊，正数所以说在这里面考试那天千万要小心啊。就这样题。看着特别简单，你知道吧？特别简单，你要错几个，那丢分儿就特别可惜了，就稍微啊思维啊，你没注意点儿，

那这个分儿就没了。是吧，分儿就没有了，好这样你看看。所以说这个就选b是吧？这个就选b了啊，所以刚才选c选c注意像咱们做题，还有一个内容要给他强调，有时候单独是充分的。联合它也充分很多同学问，到底选哪个？比如说这道题单独条件上充分发现联合它也充分有同学问，到底是选单独还是选联合？记住啊。如果单独充分，

就不要再联合了。单独充分就不要再联合，知道吧？所以如果单独充分的话，就不用去联合好，这样对只有单独都不充分的时候再联合啊，联合好，那这个再改一下啊。再改成这样的啊，改成我加个等号。AB方小于等于cb方。就我只改这个题干啊，就AB方。小于等于cb方两条件不改。就加一个等号啊。

加一个等号。就是AB方小于等于cb方。就加一个等号，然后这时候要细心点好吧，这时候大家。先想一会儿，然后再回答，不要着急回答。啊召回回答可能一下子就做错了。啊，改成这个AB方小于等于cb方。哈哈哈。好，这个题改改，改完后我们看你选什么答案？

就是把题干改一改，知道吧？题干两条件不改。两条线不改。好，那这个想想选什么答案？那有同学就不敢选了是吧？就不敢选了，害怕了。心里有阴影了是吧？啊，不敢选了。咳咳咳。好都思考一下，你认为这个选什么答案？

写完，然后看自己是不是做对了？好对这道题还是选b？这道题还还是选b好，为什么这这这个时候条件上怎么证明它充分？你知道吧？条件上怎么证明它充分条件？一显然不用说了啊。条件一，因为a4的大小，你不知道是多少啊，还是条还是条件二？条件这个怎么证呢？又分为b为零和b不不为零的时候b要为零，那么显然是成立。

显然是充分。啊，必要部为零，我们再看看。b=0时候，显然它题干它两边儿相等嘛。相当最零小于等于零，这个是可以的啊，零小于等于零，这是对的啊，对的，比如三小于等于三，这也是对的啊，就零小于等于零，这是没问题的啊。

好等于零的时候，那就充分，然后必要不为零的时候。比较不一定是刚才也推导了他，也也也充分。对吧啊，也也也充分，所以在这里面好，那么如果一个条件有两种情况，每种情况都能推出题干充分，那只有它是充分的。好吧，因为有时候大家做重新判断是不是求出来某个条件，它有两个值或者多个值是吧，然后必须每个值都能推出题干成立，

它才叫充分。所以这样你可以看b=0，这种情况行b不为零，这种情况他也行，这两种情况都能推出提刊成立。追查这个就可以了。好，这是给大家强调的这个题，这个题别做错了，就考察平方，还有零的这个陷阱。注意，这道题主要是理别给漏掉了。好看这个题ABC为非零实数，这是已知条件，

则这个既然它在非零实数，那么两边。这个b方肯定是不为零，两边可以同乘一个非负数。非负数所以题干可以找一下，等价化简可以化简成a小于c。是吧，两边把这个b方给它去掉，得到a小于c。接下来条件一条件一，那肯定是不行，条件一。也有可能大大于c条件一呢，这个是不充分的，比如说你可以条件一找个反例。

返利，比如说a。取1b，取1c等于个负二，那这就不行了是吧？这是a大于c，它这是不充分的。我们看条件。条件a小于b小于c。可以推出a小于c成立，所以他这个充分。它条件是充分的。好这个呢，应该选择的是b选项，这样可以得到答案了，

好看是不明白了。好，下面咱们看这个题已知ABC中b为非零实数，因为它这个分母要保留意义b为非零实数。然后这个题干等价条件就是a小于c。两边可以把这个b方，因为b方它是非负的，两边把b方约一约得到a小于c。题案1 ABC大于零，那这个是不行的，应该找反例，反例a有可能大于c，比如说a。登一个一。BC都等于负负一，

那这个a有可能大于c。啊啊啊，因为它这个CC的话c你可以取零是吧b你取一个1c取个零吧。因为ABC要等于零。啊ABC向上要v0向上要v0，那得到这个结果a=1。b=1 c可以为0c，为0c，为零的话，那是a大大于c，那这个肯定是不可以的，对吧？找个反例。然后条件条件因为a小于b小于c。可以退出。

a小于c，所以它这个充分的。所以条件是充分的，这呢是选择b选项好，这是它做题方法思路。好，接下来咱们看这个题AB方小于等于cb方。填上1 ABC，满足a的绝对加b，绝对加c，绝对等于零，大家知道我们前面学过绝对值，非负性。非复性，如果几个非复性量之和，

要为零它之和为零，只要每一个数都为零，所以条件一可以得到ABC是相等，它都为零。ABC相等，它都为零。AB都为零，那这个是充分的。因ABC都为零，那左边是零，右边零零小于等于零是充分的啊，是成立的。这条一是可以的。条件a小于b小于c。我们来看一下，

如果b要为为零时，那肯定也充分。肯定充分b不一定是左边为零，右边它也为零，那这是充分，然后b不不为零时。啊，不为零时，那通过这个a消b消c可以得到a是小于c的a消c两边，再同乘一个。b方可以推出AB方小于。cb方。这样的注意，小于号可以推出，小于等于成成立。

可以推出AB方小于等于cb方，所以它是充分的。充分的。所以这个条件儿，它也可以这个呢，应该选择4d选项好吧，所以条件儿就说明b=0的时候充分b不等于零的时候，它也充分。那就说明任何情况都是充分的，如果在一个条件里面有两种情况，一种情况充分，一种情况不充分，那这种情况判断为是不充分的。那大家要知道它的方法。好吧，

要知道它的内容啊。好，接下来我们看下一个题。好，接下来看下一个题目。下个题目就是a大于b。好，这个题想一想。选项1 AB为实数a方大于b方。条件AB为实数二分之一a次方小于二分之一的b次方好，这个题大家都做做一做想一想。这个题好，这个题我们应该怎么思考？都琢磨琢磨。好，

这个题我们。讲过条文一。请问a方大于b方，跟a大于b这个没有关系啊，就a方大于b方。跟a大于b，这俩谁也推不出谁。因为他也不知道a是正的还是负的。啊，谁也推不出来谁啊，所以这个大家注意。谁也推不出来谁，所以条文一肯定是错了。条件儿根根据咱们指数单调性啊，指数单调性是吧？

条条件儿。调节它这个单调性，因为它底数是。大零小于一的时候要单调递减的一个是吧？是单调减。你想想是不这块儿，它是单调递减的一个指数。好单调递减的话，那么就说明它这个指数越小a反而越大是吧？所以说a反而越大a肯定是大于b的。是吧a，肯定是要大一些的。a是大于b的。对不对？所以这个条件是成立的。

这样呢，应该选择的是b。所以呢，选择b。下面咱们看这个题。a的绝对大于b的绝对值条件，1a方大于b方，其实大家知道这个a方大于b方跟a的绝对值大于b绝对值是互为充要的。是充要关系，所以它这个是充分，这是一个结论，对不对好？第二个AB为实数。这个是一个指数，根据指数单调性，

因为他是以二分之一为底的。以二二分之一为底下单调递减的。以二分之一为底，它单调递减。以二分之一为底，它单调递减的。得到递减，那么这个就说明a应该大于b。a大于b，但是a和a的绝对大于b的绝对值，这也这也谁也推不推不动谁。注意a大于b，因为它这个有没有说AB是正负？是吧，不知道ABC是正负。

万一都是负的呢，比如说负二大于负，负负三。这样就不行了，你看负二大于负三，负二大于负三，那么a的绝对值反而小于b的绝对值，所以它这个就不就不行。在这里，这个答案应该选择a选项，这得到它的结果。这个答案选择a。发觉他方法思路，看是不懂了。好，

那接下来咱们看这个a的绝对值减b就是小于零，所以题干大家可以做一个等价分析。a的绝对值小于b的绝对值。好吧，这个等价分析。然后题号1a的三次方减b商小于零。填a的值为a的三次方减b3小于零，可以得到a的三次小于b三次方。a三次方小于b三次方跟a小于b，这是等价的。好，这两个是等价，但是呢a小于b跟a的绝对值，小于b的绝对值，这谁也推不出谁。

这对因为a有可能是负的，比如说a是负二。啊，这样的是吧？比如负三小于负二。负担小于负二，在这里面大家可以看到。然后这时候a的绝值反而大。是吧a的就是反而大啊，这个是不可以的，所以题干一这个是。不充分。条件根号a小于根号b。那说明AB肯定是非负的是吧？AB肯非负的。

然后这个可以得到a小小于b。是吧，当然这个这个AB要是非负的。AB要非负的好，这AB非负的那这时候加绝对值就可以推了。所以只要是AB是非负的都都可以推的。所以条件这样是可以的。这呢，应该选择b选项b在非负的时候，那这个他是可以推的。这个是没问题的啊，可以退。好，再看下一个题。第五题，

这个题。好已知AB是实数AB，实数则a大于b。啊，对基本功不扎实，就是数学这块儿，数学这块儿，大家注意咱们的计算是没什么问题，就是大家对这个。不等式，这块儿比较欠缺，主要就不等式，尤其在重新判断题不等式啊，特别容易出错在几何里面弄个不等式，结果大家一下子就做错了，

好吧，就出错了。好，大家想想这个题。好已知a是b是实数。条件一，a方大于b方。条件二，a方大于b。好，这一块儿看看是选什么答案好不好？然后这一块儿。好，这个要减这个条件一肯定是不行的是吧？条件一这个咱们讲过a方大于b方跟a大于b两者谁也？

不能推脱谁它，它是没有什么必然关系的。是吧，所以想想a方大于b方，跟a大于b，这俩谁也推不出来谁。是吧，这两个他谁也推不出来谁。所以你可以看这个，它推不出来它，它也推不出来它，所以这两个谁也推不出来谁。那条件一不不行，条件a方大于b，那不一定a大于BA，

有可能是负的，所以大家一定要多想想负号是吧负的？是吧，所以这个比如说a。负二。b是等于一。那这个就不行是吧？你可以找反例嘛。找返返利嘛，是吧？找返利找返利那个可能就推不出来。所以都不行的时候，不要忘记联合啊，不要忘记联合那这道题联合的反例也要找找啊联合。很多同学就忘记联合，

当然这道题还好，你忘记联合可能还没啥问题。联合也可以取a=- 2b为一这个反例。这道题刚才是不是好多同学忘记联合了，忘记联合忘记联合，虽然你选对了，选了e选项，这个就很很很可怕啊。万一下次单独不充分，你没联合，万一联合也能推出来呢？那这就不太行了，是不是？他这是他的这个支点。看懂了没有？

是不是所以大家呢，又会分析和思考。好，那这道题我们把它改一改。改一改好吧，改一改看看你会不会分析？改成AB是正实数啊，如果改成这样的。好给大家改一下。AB实数改成AB是正实实数。操。AB正数则。a大于b好吧，写一下啊，如果AB。

它正实数。好则a大于b好这样的一个情况。条件不改啊，条件不动AB正实数则a大于b，大家看选什么答案？你比如正的。啊AB正的是吧？然后两条件不改。两条条件还是一样。好，大家都选a是吧哦，都选a。那条件你得给我举个反例说为啥错呀？你既然都选a的话，你条件你给我说一下呃，

错的原因是什么？对吧？对吧，你不能凭感感觉选呀。条件上错误原因是什么？我再把这题说一遍啊，就大家题都读读懂了吧，就改成AB正实数则a大于b两条件不变。两条件不变。这样的是吧？所以在这里面大家可以看到那么条件，你可以举个反例是吧？a=2。b为三是吧？这样就可以找到一个反例了是吧？

所以这道题答案就选出来了，就是a选项。是吧AB正式入，那就条件一是充分的。有条件，这个a方大于b，那么a不一定大于b，刚才咱们在前面做过一个题是吧？a有可能和b相等。是吧，这样的他的这个表达式。好了，那这个题看是不是明白了？下面咱们看这个题，以AB为实数则a的绝对大于b的绝对值题案一。

a分a方分之一小于b方分之一，好填完一填完一大家之后注意，这个是平方平方号，我们可以两边把分母平方乘过来，所以两边同乘以。a方b方。同乘a方方b方，因为a方b方它肯定是非负的，而且这个AB在分母上，它又不能为零，所以同乘以a方b方以后就得到b方。小于a方。好b方需要a方。跟这个b的绝对值小于a的绝对值，这是等价的。

所以题号一是成立的。调音成立。条件上咱们看条件上a方大于b方，我们给找个反例。啊，可以找个反例反例，比如说h1。b取负二。h1b是负二，大家知道a的平方可能是大于b。因为b是负的，但这时候a的绝对值是小于b的绝对值b的绝对值大，所以它不成立。它是不充分的，所以调价这个是不可以的。

这个呢，应该选择a选项条，一是成立的好看，这个是不懂了。好，那接下来我们来看一下。第六题，这个题。第第六题看一下这个题目。啊，第六题。s大于等于二零一四好，这是这道题主要考察大于。等于号。是吧，

然后条件一是x大于二零一四条件s等于二零一四好看这个题。对呀，认为选什么答案想一想。啊，对，这个就选d啊，在初学的时候容易选c，容易选c，他为什么容易选c啊？应当说，大于号跟等号。合在一起不就是可以推出体验大于等于吗？那这样就理解错了，所以这道题大家注意大于等于的含义，要知道。

带点点含义来表示。大于或等于啊，给大家写一下好吧？它表示。大于或者等于。这样的一个情况知道吧，表大于或等于。比方大于号或等号啊，这样的一个式子。懂了吧。所以说两条件单独都充分，或者说你看子集的关系也行，条件跟条件都提干了，子集是吧，所以就是咱们讲过子集这个关系。

或者说咱们讲的小肥大。选大所以条件一和条件二，它都能推出来，这个呢，应该选择d选项好吧，两条件它都是充分的。好注意，这个大于等于它表示是或啊，在咱们数学里面很多两个符号合在一起都代表或。啊，都代表或比如说x等于正负三，这个正负它合在一起。这也是表示或知道吧，就s=+3或者s=- 3就代表是或。所以一定要能分清楚哪些表示或哪些表示是且。

比如说考试出现过的等腰直角三角形，让你判断一个三角形是不是等腰直角三角形，这个是且。这个三角形既是等腰，而且又是直角，叫等腰直角三角形好吧，这个是七好看，这个是不是懂了？好，接下来咱们看下第七题，这个题看下第七题好，这个题目。好已知AB为实数，则a大于等于二，或者说b大于等于二，

条件1 a+b大于等于四，条件2a×b大于等于四，想想这个题。好，那么选c的同学。你告诉我条件一，你取的什么反例啊？就那你因为认为单独不充分嘛，那选的是条件一的反例是什么呀？题案一取的是一跟五是吧？一跟五。一跟五你这个不是反例吧，一跟五。他是或呀，还有同学选e是不是有同学又选e？

你看这道题，大家这个选项选什么都有，是不是？所以大家想想应该怎么做？你看这道题，大家这个争议还比较大，到底选什么答案都思考一下，想一想。你看到没有？这这大家的答案差别还是比较大，有选c的，有选a的，还有选e的。是不是好？那接下来我们看这个题，

那应该怎么思考啊？这个题这首先注意题干是或啊？题干的货，那回到咱们上一个题上来写吧，上一上一个题，先把这个逻辑关系咱们。咱是不是得上会逻逻辑课是吧？这个第六题，第六题这个题干咱们看一下上面这个题题干相当于是x大于二零一四或者是x等于二零一四。是吧，所以这个题干相当于是s大于二零一四。或者x等于二零一四。也就说讲这个题什么意思呢？如果题干是p为真。或者q为真。

条件一是脾为真。条件是q为真，就这样的答案模式应该怎么写？p为真或者q为真。如果条件一是给的是p为真。条件上给的是q为为真。好，大家想想，这样的应该怎么写是吧好？啊，条件一是p为真条件，2q为真，这样的情况是吧？就这样的答案模式。是吧，

然后这个在p为真或者q为真条件，一是p为真条件，二是q为真。那这样的重新判定，应该选择4d选项啊。应该选择4d选项要注意。选择4d选项，也就说大家学过逻辑里面增值表，增值表只要p。q，只要有一个为真那p后q，它这就为真是吧？p后q，它这就就为真。好，

如果要是p为真，且q为真啊，如果p为真。且q为真。就p为真，且q为真，这样的。啊p为真，且q为为真好，如果条件一是p为真条件，二是q为真。这大家学逻辑就知道。这时候就要选c了。好，这时候就要选c好吧，

就这样的。啊，小推大是充分的大推小是不不充分的啊，是这样子的好吧，就小范围和大范围的关系。所以想讲的意思是什么意思呢？在或的时候，只要有一个为真就行了，且的时候必须都为真。好吧，所以这是给大家进行强调的这个特征啊。好，那接下来咱们看。下一个题看下一个，这个这个题。

这就是或的问题，或的问题，刚才我让有同学找调音一的反例，他给我取一个一和五。取一个一和五，取一个一和五。那这一跟五好像不是反反例吧，这一跟五不是反例啊，一跟五的话，你看这个五正好满足b。大于等于二，是为真的。是吧，虽然这个a它它是不是小样a是假的，但是b是为为真的，

你发现没有这个a它大于等于二是为假。但是b大点二它为真。所以说条文一只要有一个为真，那么这个或就为真嘛？所以你这个好像不太行。是吧，所以说刚才那么选c的同学，你得告诉我为什么一不不行啊，很多同学做重新判断，就凭感觉选知道吧？感觉上这个两条件相联合，那就凭感觉选那这个就不行好，所以这道题这里要给大家讲一个结论好吧？讲一个结论。讲一个什么结论呢？

给大家说说一下吧，一个这样的结论，如果a+b要大于等于k。那就推出a大于等于二分之k。或者。或者b大于等于二分之k。啊，或者也可以把它理解成理解成。好理解成理解成AB，至少有一个要大于二分之k。AB至少有一个。大于等于二分之k。是吧，也就说如果a+b大于等于k，说明这两个至少有一个得过半，

知道吧，至少得有一个过半。当然，也包含都过半儿的情况，知道吧，反正就至少有一个是过半儿。也可以把它理解成。AB不可能。AB不可能。都。小于二分之k。a与不可能啊，不可能两个都小于二分之k，所以条件一它是充分的啊，条件一它充分的。

条件一，它是充分的啊。反正AB至少得有一个过半好，如果要三个数啊，如果要三个数，比如说条件一要条件一要改成a+b+c。大于等于ka+b+c，大于等于k。那这三个里面那应该是至少有一个要大于等于三分之k就大于等于三分之就有点像平均值一样。知道吧，这个懂了没有？如果要三个数，三数加在一起，要大于等于四，那至少有一个数列大于等于三分之四。

知道吧，所以这道题咱们这个k相当于取二啊，所以调一是成立的啊，调一成至少有一个大于二，不可能AB都小于二，你知道吧，不可能的。这绝对不可能，所以说它这a大于等于二或者b大于等于二，所以这题干就成立条件为什么不行？条件它可以为负的，知道吧？条件儿可以为负的啊，条件儿如果怎么改就对了，条件儿如果AB是正实数没问题AB正实数没问题啊，

所以条件儿这个不行，这个不行，比如说a=- 2。b等于负负三条件二这个它的反例。a=- 2，b=- 3，这个是不行的。是吧a=- 2 b=- 3，这个是不可以的。是吧，这这答案反例，所以这道题正确答案应该选择a啊。刚才不少同学做错是吧？选a那条件二再说一下条件二，如果改成正实数，

那他就得到这样一个结论啊b是正实数。正是说我们可以写到这样的一个情况啊，如果AB是正实数。再说那么a×b大于等于k。就可以推出。a大于等于根号k或者是b大于等于根号k。哎呦。所以说a大于等于根号k或者b大于等于根号k。好，这样的情况。好吧，所以这个特征或者说可以把它写成AB，至少有一个。大一点刚好k。就这两个，

至少得有一个大于等于根号k，你可以把它写成AB，不可能都小于根号k。啊，不可能。每个都小于根号k好吧，大家想想啊AB不可能。它都小于根号k是吧，然后不可能都比根号k小。好，这是他的这个知识点。噢，这个特征是什么？定理是吧啊？问的非常好，

这特征是什么？定理有点像平均定理一样。如果加法就取算术平均值，大家学过平均值有没有同学学过平均值算算平均值？那第一个它这个加法加法啊，是两个数三个数四个数五个数都行，比如说五个数相加。大于等于啊k那每个数。就至少有一个得大于等于五分之之k，就有点像平均值那乘法，有点像几何平均这两个相乘就开二次根号。三个三个数相当于就开三个根号，知道吧？三个根号，比如说a×b×c三个数相乘。

如果大于等于八三个数相乘，咱们写的大点大于等于27，假设啊a×b×c大于等于二二十七。a×b×c，大于等于27。当然ABC得正的啊ABC得正的。ABC得正的，那至少有一个得大于等于三次根号27。三的根号27就三，所以ABC至少得有一个大于等于三，也就说不可能都比三小。不可能比三小，知道吧？这是这是一个平均的定理。啊，

想想是不是这样的平均定理平均这个怎么样？就像大家考试成绩一样，你想你想想你考试成绩一样。如果比如说你这几科，比如说你的那个成绩加在一起大于等于多少分，那至少有一科得过这个评分。是吧，你想想咱们的假如这是一个平均线，平均线那加在一起要大一点的数，肯定得得，就像你手指头肯定得有一个就有有点像优势科目一样，你得带动一下，知道吧？那带动一下，不可能说都比平均分儿低，

结果加在一起还能大于等于这个平均分儿，那不可能。知道吧，这是不可能的啊。好，这是给大家进行强调的，当然有同学说这是这种感觉上从理论上这个是能不能严谨的证明，这是凭感觉是没啥问题的是吧？我给大家证明也行啊，证明要要想证，我也可以跟证证证就得用这个证啊，证就得用逆否命题证，我看大家能不能听懂，你要想证的话，我也可以跟证证用逆否命命题证啊。

逆否命题正，逆否命题大家学逻辑都知道，如果p能推q，则q飞可以推p飞。是吧，大家学过逻辑，咱们现在上会儿逻辑好吧，就p推q那肯定是q飞可以推p飞。是吧，这个大家都都知道的。这个明白吧？好，这个都逻辑上的东西啊，这个就不用说了，对吧？

p如果推QQ飞可以推p飞。好，那接下来我们再看，大家知道s小呃a小于2b小于二。就是a小于二且b小于二。是否一定可以推出a+b小于四？a+b小小于四，这个没啥问题嘛，这个左边加嘛，这个应该不用再证为什么了a小于2b也小于二，可以推出a+b肯定是小于小于四的，这个没啥问题。好，你把左边看成一个p。右边把它看成q。

那一般把它看成q好，这是p推q，肯定是没问题，现在告诉我q飞是什么q飞，只能告诉我q飞。q飞什么是q飞就a+b小于四叫q飞a+b小于四的q飞。就代表是a+b要大于等于四，这是q飞是吧？你看这个这个能看到吗？这个就q飞。就a+b大于等于四这个东西，其实就QQ。是是q飞吧，推p飞。pv pv大家注意且。

且变成什么了？一个非p飞，想想p飞大家学逻逻辑的p飞。p1飞，比如说a小于二且b小于二，它的一飞是什么？a1飞是什么？一飞是不是就是a大于等于二，且是不是变成或你你们再琢磨琢磨？是不a大于等于二或者。q大于等于二，你这个或者b大于等于二，你这个看这个懂了没有？是不是这就是飞对对全都变啊？全都变就是变成他飞。

且或者他非是吧，或或他非你看这个就跟严谨的证明了。那个乘法我就不用再也也证明了，跟这个一样，所以它要用到逻辑里面的逆否命题的关系。是吧，你有没有这这个能能看懂吗？这个不就是p飞嘛，是吧？这后面这一大堆就是p飞前面这一大堆是q飞嘛？这q飞，这就是p飞。好，懂了是吧？你看这个数学是不是奥妙无穷啊？

是不是？所以在这里面大家看这个明白没有？这个奥妙对对对，有点像咱们的这个逻辑里面的假言命题是吧？啊，逻辑点不学过联言假言嘛，是吧？然后这样的还有选言是不是？然后这样的。好了，大家把这道题的结论给记住就OK了啊啊，这个。结论啊，有点儿数学启蒙的感觉是吧？噢，

没事儿，老师就给大家进行启蒙一下。是吧啊，启蒙一下，看看把逻辑的知识也给你启蒙了，是不是？是吧，这个逻辑都给你启蒙了啊，好，那这是非常严谨的证明，这是滴水不漏的证明，好吧，然后呢，这一块发现大家大家发现没有数学跟逻辑相通的。如果数学好的人呀，

咱们班数学好的人逻辑不会太差的，听到逻逻辑应该也不错，同样逻辑好的人，那数学呢，应该也还可以。是吧，所以说他这个尤其在做逻辑的时候排列组合啊，排列组合不知道你们学到排列组合概率没有，那好多得用排列组合的知识做逻辑题，一些推理题综合推理是吧？好，那这个题咱们就做到这儿。把这个题好好记一记啊，所以一五年考题呢，是稍微难一点儿的题啊，

有一五年的考考试稍微难难一点儿。所以一五年的题啊，每个题呢都不太好做，或者都有点陷阱啊，而且这道题条件上如果如果AB要证实住这道题，就选条件上也充分，就选4d啊AB证实住，所以有同学可能没注意。这个陷阱啊，所以这个题好，大家要掌握它的方法。对数学是很有意思，很有趣的，对对对，你把数学学好了，

那么对很多问题呢都有。借鉴或者帮助。好，下面咱们看这个题。题目1 a+b+c大于等于6a大于等于二或者b大于等于二或者c大于等于二。所以题号一大家可以发现，根据咱们讲的结论。n个数的和如果大于等于某个值。大于等于某值每个数。至少大于等于它的算术平均值是吧？所以这个大家要知道，所以说这个题案一这是充分的，如果和。啊n个数的和。n个数和比如大于。

等于个t大于等于t则可以推出，至少有一个。大于等于n分之t。啊，只要等大于等于它算出平均值，所以调一这个是充分的。条件条件，这个乘法。乘法万一它这个都是负的就不行。得负的就不行，如果他这个这要改成正实数，那条件二就充分了，所以条件二可以找一个反反例。反正比如说a负3b也是负三。c为一。

是吧CV这个a×b×c，它是大于等于八的。但这个大家可以发现，它每个数都是比二小是吧？都是比二小，这个就不可以。如果大家说正数就可以了啊，正数如果ABC是正的正的话，那么就可以得到它的。是是，至少有个大于等于二好吧，这这些呢，应该选择a选项。要看它正负乘法，遇到乘法考试后，

一定要看一下正负的情况，要不然它容易出错。好，接下来咱们看这个题。看这个题。好sy是实数。且s小于等于6y，小于等于四牌组后面会讲的牌组，牌组会让大家上课更好玩，知道吧？排组啊，会让大家感觉更有意思。好，那我们来看一下这个题，这题注意大家注意这道题的题干逗号逗号是代表且知道吧？

这逗号是代表且啊，这个逗号。别理解错了啊，这逗号。是且的关系不是或啊，一定要看清楚，就这一个字之差，可能对你做题有很大影响好，这是且。好，这个题大家看选什么答案？好想想选什么答案？咳。好有同学选e啊，有同学选的是e。

好在这里面再强调一下，大家不要凭感觉选，你知道吗？很多冲突同学重新判断题错比较多，我问他怎么，他说感觉上像什么？你感觉如果那么准的话，那那这个考试人家命题就不用再命了，对吧？你都凭感觉选。你得说出道理，对吧？你比如说为什么不行，一为什么不行，原因什么？

二为什么不行，原因什么？连起来行还是不行？选e同学认为联合也不行。那你说说原因嘛，对不对？说说原因，不要凭感觉啊，考试一定要找到原因。你看有同学又选c，你看到没有？有同学又选c，那这一块到底选什么答案都思考一下。大家再做做，选什么答案都思考一下。

还有同学选d。还有同学选d，你看看。你看这个这个题，这个题还有同学想选d。大家不要乱选，你要说明原因知道吧？说明原因，那选d你认为一也充分，二也充分，能严谨的推导出来吗？请问1x小于等于y+2能推出x1定小于6y一定小于四吗？啊你你怎么推出来的？你推一下，我想看看看你怎么推的？

好，又有同学改了，刚才有同学选的e，现在有同学改成选c。是吧，也又又改答案了，你上考场一会儿改一个，一会儿改一个，这哪行啊，考试也没时间改啊。是吧，你不是说我过一会儿再改个答案是吧？那这也没时间改好，大家想想应该怎么做？调养一，

调养一，这很明显，找个反例呗。调音找个反反例。你找个比如说这个。x=8。y是六是吧？反正就是可以找很多返返利嘛。所以找反例。找反应什么推翻这个题干的反例是吧？推翻题干推翻题干的话就相当于是比如说x取一个。取一个八。y取个六。你看，显然这个题干，

他说s小于六那是错的，他说y小于四这个也错的是吧，所以这个地方一肯定就不行了，返利很明显的返利嘛。然后条件儿条件儿大家能不能找反例啊？条件儿的反例。条件反应找找个什么你也可以找找很多呀。啊y=6。x=10总总行不？当然，你法律找的可能跟我这个不一样，这个没事，只要能够说明，不能推出题干就可以，你看他说。

条件我只找的是x=10 y=6推不出来题干x小于6y小于小于四是吧？有同学找到20和十，这都可以，这都没没事儿啊，都可以的。好，那这个肯定都不行，一定要找反例，不要找正面例子啊，再强调一下，很多同学找正面例子，找正面例子不能证明充分啊。对返利有很多，随便挑一个就可以了。接下来联合。

选e的同学是不是犯了？刚才我讲前面某个题说了一个问题。单独都不充分，望你联合。单独从都不充分忘一点哦，有同学用几何的方法来分析，这也很好，几何方法就条形和条件可以把它看成直线，这样也可以的。条件一，条件二，把它看成直线，这样没问题。啊，你可以用几何来分析一些不等式嗯，

没问题，这个需要大家把它转换成几何坐标可以，这个是可以的。好，那接下来我们看一下联合联合化怎么推？联合化就把这个两个给它合在一起呗。合在一起就是x小于等于y+2。2y小于等于s+2是不是所以把它啊合在一起？合在一起，同向可以相加啊，各位同学注意同向可以相加，什么叫同向可以相加都是小于等于号。都小于等于号是吧？你可以相加，有同学说求的焦点也行，

求焦点也可以。你可以这样，这两个相加就行。相加相加，以后你看左边就变成x+2 y小于等于y+x再加四。对吧，然后这边两边给它移项，移项的话，这都没事一项。啊，一项一项这样就可以得到结果嘛，是不是啊？一项一项的话，那这个y就小于等于四。y小于等于四，

这就写好了好y小于等等于四求出来了，然后呢把y小于到等于四再结合到第一个第一个，然后再用不等式传递性。第一个就是条件x小于等于y+2是吧？小于等于y+2，然后y又小于等于四。y小于。等于四，所以这个就可以写作，那x就小于等于六，这个写好了好吧？x小于等于六。最后写出来了。啊，这是它的这个知识点是吧？

这又证出来s小于等于6y，小于等于四，所以这个结合了两个不等式，同样可以相加，然后再结合不等式传递性。就可以证明出来，然后这个c选项就写出来了。啊，或者说直接用不等式传递性也行，这个证明的方法有很多，直接看直接是条件1x小于等于y+2，然后直接啊用条件二的传递性另外一个方法做也行。裂缝裂缝直接用，不能是传递性就2y，不是小于等于s+2吗？

就2y小于等于s+2。这个x不就是小于等于一个y+2吗？是吧？小于等于y+2。然后这样也能证明y小于等于四。这也能证明y小于等于四啊，这样也写出来了，好吧，反正y小于等于四求出来了x就小于等于六。就写好了好，这是用代数不等式，它的方法来证明。

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