02.真题-第1章-第1节-题型3

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 05:48:02

好，接下来咱们再说一下实数概念和性质。说概念性质，这里面主要让大家掌握什么掌握奇数，偶数，质数合数一些概念。啊奇数偶数质数合数，它一些性质这些概念要知道好吧，由于将这些性质要综合运用到其他题目，就质数合数啊，它常见的质数，常见的合数要知道。还有还有跟奇数偶数的关系，别给写错了啊，这些考试知识点要弄明白。

下面咱们看一下这个题，就是数它之间的运算的概念性质，看会不会懂？好，大家读一下题，勾一下答案。咳。好，如果两个数合为正数，这则这两个数都是正数，你想想。第二个，如果两个数差为负数，则这两个数都是负数。c两个数较大的。

一个其绝值也较大，就是两个数比较大的那个数绝值也比较大。d+1个负等于减去这个数的绝对值，这个d就对了是吧dd是对的一一个数的两倍不一定大于这个本身有可能是负的。负的，所以第一个第一个和要为正啊，第一个第一个再记一个结论和要为正，只能推出至少一一个证至少一证。只能得到这个，不能得到两都证啊，所以这个咱们在做题中讲过，如果和要为正，至少一个为正。然后BC很容易看它错的好吧，这里就选d啊，

主要是记住和为正的时候至少有一个为正。好，这个让大家判断一下数的概念。好，再让他判断一个容易错的什么倒数啊，还有奇数次方偶数次方呀，看看这个会不会懂啊？假设AB之和的倒数的二零零七次方等于一啊，就一会儿咱讲讲奇数次方偶数次方。a的相反数这个概念会不会和b之和的倒数的二零一九次方也为一啊？这样的情况。则a的二零零七+b的二零零九，那么到底是什么样子？像这个题。好，

就这个题，主要考的那么奇，数次方还有偶数次方，大家想一想看这个题。选选什么答案都思考一下。好，有没有做出来？然后咱们去写写。好AB之和的倒数啊，就a与b之和它的倒数。的二零零七次方这个别别看错了啊，考的细一点就AB先求和求和以后它的倒数倒数，然后取二零零七次方它等等于一。然后第二个a的相反数和b之和的倒数a的相反数是负a和b之和它的倒数。的二零零九次方，

它也为一。啊，也为一这样，大家知道那么基础磁场为一，说明它本身就为一。所以说a+b它本身也为一它倒数还还为一是吧，所以说负a+b它也为一是吧，也为一。好，这样的话就可以得到a是等于0 b=1的，这样答案就选择c选项。就选c。好，这就要注意，那么它基础磁场唯一，

它本身唯一，本身唯一，它倒数，它还是唯一，好吧，所以这个大家要掌握它的方法啊。然后负一的奇数次方为负一负一的偶数次方为一好吧，反正就是要掌握就一的任何次幂，它都为一了。就负一的奇数次幂，它还是为负一。负一的偶数次幂。它为正义。好吧，就这样的一个方法啊。

好若几个质数的乘积为770，求它们的和到底是多少？好考到一个字数概念，大家想想啊。若几个质数乘积是770，求它们的和到底是等于几都思考一下。你想想这个字数，它怎么样去写？770那怎么写质数？大家都思考一下。它字数应该怎么写？好，那接下来咱们看770，我们可以把它写成。这个。

二五七十一是不是？所以这770可以写成这样的啊，二五七十一可以写成四个质数。注意一，既不是质数，也不是合数啊，一是既不是质数，也不是合数，所以就得到二+5。加七+11。就得到25这个答案选e。好吧，选一好，它称分为二五七和11。你看这样的数。

好看，是不是懂了？好，咱们再看这个。770的正约数到底有几个？它的约数。认为它的约束到底有几个？想想770，它可以分成几个约束。啊，700阶段约束到底有几个？你认为有几个约束？你认为它有多少个约束啊？它的约束到底会有几个？好，

这个有同学选完了，那怎么做啊？这道题。好，可以从两个角度来做。大家知道，一是任何数的约数啊啊一你比如说一也是770的约数。一也是，然后二二也是五也是七也是11它它它也是。是吧，都它约束，然后二×5它也是二×7它也是点儿点儿。是吧，第二点，然后这然后二×5×7也也也是二×7×11也，

它的约束第二点。还有它本身也是它的约束。本身它也是它的它的约束。本身也它的约束是不是这样的，所以这样推的话，大家可以发现这个一可以把它写成c四零，就相当于二五七十一。一个都不选，就c四零是吧？所以说这个就二五七十一四个四个都一个都不选，就c四零。加上这四个，这四个是我选一个作为它约束。就二五七十一。我选一个作为它约束c四一。

选一个做一下约束。我还可以选其中两个做一下约束，比如说选二五选二七或者选五七等等的点儿点儿，这选两个做一下约束。我还可以选三个，做一下约束。三个做一下约束。比如说四个里面，我选二五七或者二七十一或者五七十一是吧？选三个做一下约束。还有770，770呢，这四个都都选啊，四个都选了它本身了，本身也它本身约束，

所以这个就等于二的四次方。就等于16。九=16，因为咱们做学过一个组合公式啊，就CN 0+CN一一直加到CNN，它这样等于二的N次方。是吧啊，二的N次方好，这是一个推导方法。例外推导方法。你想推导方法是怎么推呢？从它的所有约束里面，我们观察一个规律，什么规律啊？它的约束里面要么有二，

要么没有二，所以二有两种可能性。它约束你们看有的有二，有的没有二。啊，有的有五，有的没有五五，也有两种可能性。七呢，有可能有七，你看有的有七，有的没有七。有的有11，有的没有11，所以说在这里面也可以写成二×2×2×2也等于二的四次方，

二次方我再强调一下啊，就二它有可能有二有可能没有二。五的话，有可能有五有可能没有五七的话，有可能有七有可能没有71有可能有11有可能没有11，所以它都有两种。情况吧啊，两两种选法，两种情况有跟没有是两种情况，所以说就二的四次方就得16啊，这样答案都可以啊。好吧，再给大家强调它的这个方法。看这个。公式懂了没有？

它的约数也会长。好比如说给大家再换一个题，360的正约数有多少个？那360正约数这个，想想360正约数到底多少个？呃，以后求正约数第一步干什么？第一步先把它分成质数。先把分成质数。好质数分完以后，我们再来看它有几个约束。大家都加油，做看答案是多是多少？啊，谁做出来了？

想想。好，大家想想啊，这个应该怎么写？好，360正约束。第一步，360大家分不会分的话，慢慢分。是吧，不会分，慢慢分。你可以写成40。乘以乘以九，慢慢分呗，

好40可以写成。现在五五×8是吧？不会分就慢慢分吧。好，所以它就有五×2的三次方，再乘以三的平方。对吧，就可以显示这样的。现在接下来怎么写它约束呢？因为它它有三个三有两二。这时候大家就不再适合用组合写了，为什么不太适合组合写？因为它有相同的二，也就说二它有三个二，知道吧？

它二它有三个二。这样的话，那这个选就不好选了是吧？因为相同元素就不好选，那接下来咱们给大家写一个公式，大家知道五。五的话有两种可能性，要么有五，要么没有五，所以五的话是两种可能性。因为它约束有可能有五，有可能没五，就两种可能性。然后二二的话，有四种可能性啊二为什么有四种可可能性？

为什么有四种可能性无二？它约束里面无二啊，约束里面一个二，比如说它它的那么多约束里面。还有一个二啊，要么那个约束里面还有两个二。任务约束里面含有三个二。所以它有四种。情况，然后三三的话有三种情况，三种情况就是比如说没有三一个三两个三三种情况。也等于24。好这一呢，就选择c选项。啊选c选项好，

所以它约束的公式和技巧就给大家写出来了，只要把它次方加上一就行了，你看这四怎么来的呢？四又把二的次方加一。二二不是三次方吗？三次方给它加一又变成四次方。然后三的平方，三的平方，这个二次方，二次方加一又变成三。这儿就这样的啊，这样的内容这样写好了。是不是这样就写出来了？看这个懂了没有？所以说它的约数就是次方。

加一，然后再相乘。啊，再相乘啊，这个约束它的个数，我们把第一步首先把它分成分分解知道吧？分解分解，然后每个数的次方给它加上一，比如五的次方五是一一次方。啊，一次方一次方加一就变成二。然后三三变成三三加又变成四啊四。然后这个二二+1变成三就得到24好，这个约束就写出来了好吧，看是不懂了。

接下来我们看这个题。用210个相同的正方形拼接成一个长方形，可以拼成几个不同的长方形。想想啊，用210个相同的正方形拼成一个长方形。可以拼成几个不同的长方形想一想。这个考察约束的应用。有210啊，这个正方形，大家都想想。这个正方形给它拼。拼成一个长方形。啊偏，这个长方形。好，

那它可以拼成几个不同的长方形。大家想想拼成几个不同长方形。好，如果不太懂同学，咱们列出一种情况，首先大家知道这210，你可以把它分成都分成质数啊，都分成质数。就二三五七。是吧，都分成质数。分成次数以后，大家可以发现我给写一一种情况好吧，你看比如说一个边长是三。啊，

一个边三，一个边三七十，这个可以作为一个长方形。所以说它这个长方形就等于长乘以宽。长乘以宽。对不对？长乘以宽。这个懂了没有？长乘以宽，大家可以发现什么问题？我只要把a的值定定了a的值定了b的值也也就定了，所以我只要确定a看a有有几种情况。AA定了b，又定了。你不用讨论AB两个讨论一个，

因为a比如a的数值等于3b肯定就定了a的数值要求，5b的值也定了。是吧a的值要等于10b的值，它也定了。是吧，它值也就定了，所以只要确定一个就行，确定一个好，那么AA有几种情况a正好是210的约束。210约束在这210的约束。它有16个就二的四次方等于16个，刚才咱们讲过公式。所以210它的约数就16个。有时候说a有16，16种情况。

a有16种情况，但不能选e，不能选e，为什么？为什么不能选e？a是有16种情况，一个都不多，一个都不少，确实a有16种可能性。那有生存可能性，为什么不能选e呢？原因是什么？你知道吧？它长方形，它有重复的，

有全等的啊，对倒过来是一样的，比如三×70。跟这70。倒过来70乘乘以三。这两个这两个长方形，它是全等的，有一个这样放一个这样放。他问问的是几个不同的长方形，这两个长方形是全等的，是一模一样的，所以说有一半儿是一样的，比如说a和b。啊a它可以交换，相当于多排了一个序，

知道吧，要像咱们多排一个序，要消个序，你比如a=3 b=70跟a=70 b=3，它是一样的。所以每一个长方形，它都会有两个一样的。你比如a=5。a=5 b=42。跟a=42 b=5，它又是一样，所以倒过来一样，所以说这个长方形要除以二消个序。长方形。长方形有16除，

以二得到八个。你不用列，只有八个，你要列出来超过八个，肯定有正长方形是一样的。他一模一样长方形是一样。所以说这个就不行好吧，人家问是不同的长方形，所以长方形一样的，那就不能选。啊，这里呢，应该选择b，它应该是八个。好看，

这个是不是听懂这道题就考的约束的使用约束的应用情况？看会不会用了。把约束给他用好。好吧，而且这道题要要考长方形，它是倒过来，它是一样的，一样的话，然后要给它除以二，知道吧？要掌握它的方法好看，各位同学是不是懂了？好，我们来看一下啊，这些题不是很难，

这个题两个相邻的正整数一定要相邻正整数都要是合数。相邻的。那这时候是合数。好则这两个数乘积的最小到底是多少啊？乘积的最小。这两臂都得是合数。而且他成绩要最小值最小是几？好，大家想想他的做题的方法。两个相邻的，那么你认为这个相邻的整数？这个时候它要是合数，那么最小的相邻的是几啊？最最小想想。好，

最小。好，最小化，大家想想应该变成什么样？最小最小，那就这两个合数，一个是八一个九对不对？只能是一个八一个九了。没有比他还小的了吧，就八根球。九跟十不行，九跟十又有点大啊，八跟九是最小的对吧？所以八×9=72。八×9=72，

这样就写好了。是吧，这个答案就选择e选项啊，这样答案就写好了。好，这是他的做题方法思路。啊，这道题没什么难的，就是列举一下就行了是吧？然后在某个范围里面找到都是合数的情况。下面我们来看这个题。两个相邻的正整数都是质数，直接两数乘积到底是多少？好，关键词就是相邻的正整数都是质数。

好，那我们列举可以发现。二三五七点点点那只有二跟三是相邻的，其他都不满足，所以说这两个质数。只能是二和三。就二×3就等于六，所以这道题正确答案就选择a选项，那就按照它要求。找到相邻的，而且都是质数，然后这样就可以得到答案了，不是很难。下面我们来看这个题。假设pq是小于十的质数。

满足条件一。p分之q小于二的pq有几组？这道题也采用列举方法就可以了。首先，我们第一步找到小于十的质数。就二三五七啊，找到小于十质数。总共有四个，然后满足条件p分之q大于一小于二，我们也可以把p给它乘过来，所以就可以得到q是大于p小于二p。好，那在这里面，大家可以发现。发现如果p的值要等于二。

q值就在二到四二到4q就等于三。对吧，然后p5p的值如果等于三=3，那么q值应该在三到六。36q值它就等于五。就需要了。啊p值要等于五。q值。这是五到十。q就等于七。然后其他的就没有了，所以这种大家就可以找到他的这个方法。好，所以我们就可以写出来这几个数，一个是二跟三，

一个是三跟五。一个是五跟七的，这个结果。其他是不满足的，所以正确答案应该有三组。这呢，又选择b选项就可以得到它的结果，好看这块是不是听懂了？所以这道题主要考点就考察啊，它的一个列举法来进行分析，或者说你不变形也能列。就是二跟三就二分之三。然后三跟五就三分之五。还有五分之七这样的啊，五分之七就五分之七这样的值好，

这样就写出它的数值和答案了。下面咱们来思考一下这个题，假设pq是小于二十的质数，满足条件q分之p大于二小于四的pq有几组？好，这道题就要用列举法。第一步，首先求出pq小于20的质数。其实20字数有二。三五七十一。13，17，19。这样的好，那么大家知道。

二是小于q分之p小于四。我们可以把它通称于q，因为q是质数是正的，所以可以把它直接乘过来。2q小于p小于4q。好，那接下来咱们看在讨论列举的时候啊，列举的时候大家一定要固定一个讨论，另外一个这样就不入。容易出错。啊，不会出错，所以要固定一个标准。然后呢，固定q来写这个p的值，

所以我们看q=2的时候。q=2时候p不就大于。四小于啊，一个八吗啊，这个p的值就可以得到是五和七。啊q=3的时候，你看它p呢，相当于是六到12。六点12那p就等于七和11。然后q=5的时候q=5的时候p呢是大于。十小于20。然后这个p的值就可以写出来就11。13还有17，19。好，

这个p的值就可以写出来。当q=7的时候。q=7的时候p是大于14，小于21。大于14啊，小于28。好p的值就可以写出来。好p的值就可以求出来，大于14，小于28，那么就有17。和19。然后咱们再来看q的值。如果等于11=11的话，它就超过了这个。

范围了超过20这个范围了，所以这一块儿我们就可以写出来，所以总共列出来一二三四五六七八九十，总共有十组情况。好吧，所以这样，这是它的列举的方法和思路，所以我们在列举的时候一定要固定一个，然后来讨论另外一个，这样就不容易出错。然后根据p的取值和q取值的关系，我们发现先固定q的取值情况。你要再讨论p的数值，这样要简单一些好，这是它的做题的方法和思路，

看是不是听懂了？好，下一题目主要考点是考察奇数偶数，它的一些特性啊，奇数偶数我们来看一下这个题。好这个题，所以他这个偶数位来宾就是总人数表示偶数。好，那我们来看题案一，他聚会时所有来宾都安排在坐在一张圆桌，周围都坐在圆桌。啊，这个周围。然后每位来宾与其邻座的性别是不同的啊，跟他啊邻座。

这性别是不一样的。好，这是他的这个特征。好，第二个。聚会时，男宾人数是女宾人数的两倍，男人数是女生人数的两倍。好，大家看这个。谁充分两条线？谁充分大家都思考一下。好，那这个题我们来看条件一。看条件一好，

条件一的话，他所有来宾都安排在同一圆桌，我们画一个简单图好吧，都坐在这个圆桌周围。而且每位来宾与其邻座性别不同，邻座都代表左右都是相邻的啊，邻座代表这个是。给大家强调一下，邻座它左右。就一个人跟他左边右边性别都是不一样的，都不一样，那这个题如果读不懂，咱们可以简单的演示一下，如果这地方做的是一个男士。好，

如果甲这地方做的是一个男士，那么两边他做的都是女士。是吧，两边必须做的都是女士，这样才行是吧？所以如果中间坐的是一个男士走，两边的坐都是女士。这样，他邻桌性别不同嘛。然后这个如果要是女士的话啊，女士的话，那这边肯定就得做男士。是吧，所以这一块就得做这个男士。所以它正好。

就是一男一女，一男一女这样做。有点像男女交错啊，间隔做是吧？这样的一个方法是吧？所以这边都在做男士。然后这个在做女士。啊，这在做男士。大概就这样的一个情况是吧？好，就这样，男女男女交错站，男男女交错站，大家知道，

如果要交错站的话，那有条件一可以得到什么，得到男生人数。就得女生人数是吧，这样他才能交错站嘛。这样大家做一圈，还有教授做法，必须男生人数。等于女生人数是不是这样才能够交错，做男人数和女人数相等。像甲都是n个人。对吧，都是n。好，那总人数。

总数就等于2n。只能说n2n是吧，男人和女人相等吧，相等都是n个，那只能说n2n2n它肯定就是个偶数。对吧，它这个就是一个偶数。好，这个写好了，所以题案一它是充分的。大家看条件，这行不行啊？都思考条件。想想调价这个行不行？啊，

条件他告诉我们那个男人是女人身人数的两倍啊，就只能知道男生得女生人数两倍。好男人数等于女生人数，人数两倍好，那么如果女生要是n的话，男生就是2n。那总人数就是3n3n，它不一定是偶数，因为n有可能是奇数，对吧？所以在这里面你可以设女生人数是n个人。男生人数就2n是吧，然后这个总人数就可以写出来。啊总，人数人数就是三人是吧？

所以得到总人数。大家看这个是不听懂了，总数有点3n好，总人数这一块要3n的话，那在这里面呢？可以发现这个n，因为咱不知道是奇偶。所以他这个确定不了，所以条件二就不行是吧？这个呢？应该选择的是a选项条件一充分。好，那通过这道题，大家要注意一个表达式，它奇偶性它的分析，

看它是偶数还是奇数，然后看它是2n还是3n，这样的形式。来求解的好，这些题都不是特别难。下面咱们看这个题由偶数位来宾。聚会时，男宾人数减女宾人数是偶数。聚会时，男宾人数是女生人数的3倍，我们看条一条一可以得到男减女，得到偶数。那这个总来宾人数就是男加女。男加女可以把它写成男减女。加上二倍的女生。

大家知道男减女，它是偶数。然后这个也是偶数。所以加在一起，它就得到是偶数。得到几得到是偶数，所以条件一是充分的。条件二，男兵人数是女兵人数的3倍。好男病人中是女病人中的3倍。好男病人容是女病人容三倍，那接下来我们可以看男加女。就等于四倍的女生，所以它这个也是偶数。所以条件二也成了这样答案就选择d。

好通过这道题告诉大家一个小窍门儿，由于条案一告诉你小窍门儿就两数的差跟两数的和它的奇偶性是一样的啊。所以在这里面，大家要注意好有个结论。这AB只要为整数。AB为整数则。则a+b。与a-b。它的奇偶性是相同的。奇偶性相同，如果这两个。有一个是奇数，另外一个也是奇数，有一个是偶数，另外一个也是偶数。

原因是因为它们两者的。这个关系是相差一个偶数，相差偶数，如果这个数要奇数，那这个数肯定也是奇数，这个数如果是偶数，这个数肯定也是偶数。答案就求解出来了，好，这是它的方法思路，看是不懂了。接下来咱们看这个题。好已知mn是正整数，则m是偶数。它这样推推导m，

是不是偶数大家想一想？已知mn是它的正整数。折推m是不是偶数？那接下来咱们来看一下条件，一条件3 m+n是偶数，能不能推出m是偶数，大家看这道题都做做。好条件3m方加2n方是偶数。其实大家知道这个次方平方，或者说几次方它的基础性是不受影响的，对吧？基础性它不受影响。好，那这样我们就可以写它的结果。好，

那咱们看一下条件一。大家都思考一下题案一。等于它说3 m+n，它是等于偶数。哈哈哈。那我们知道这个2n它一定是偶数是吧？因为这个2n它一定是偶数。好2n，它是偶数，你不管n是什么数了啊？n的就不用管它了，2n肯定是偶数。好2n是偶偶数。然后这样的情况。对吧，

2n它是偶数。好2n是偶数的话，那接下来我们可以看一下3m。好，根据咱们奇偶性，它的特征是吧？奇偶性，它的特征。奇偶性特征呢，可以推出3m为偶数。对吧，3m肯定为。偶数当然考试不用像咱们这个写那么详细考试，你就看一眼就可以了。那3m为偶，

数3m为偶数，那说明m肯定要为偶数，因为三是奇数。所以条一它是充分的，对吧？条一这看一眼就可以看出来。然后条件儿。条件下，3m方加二二n方是偶数。其实大家知道这个平方，他奇偶性呢，是不受影响的。对吧，它的平方呢，基础性不受影响，

然后这样接下来我们就可以看到三方加二人方，它为偶数。它的平方不受影响。那就可以推出。退出这个，因为这个2n方肯定为偶数嘛，是吧？这个2n方它肯定是偶数。所以给推出这个3m方为偶数。好三魔方为偶数，因为这个三它是奇数。三，它为为奇数，所以说这个只能推出m方为偶数。m方要为偶数的话m又不可能为根号是吧？

因为它说m为整数。所以m平方为偶数，那m也为偶数，对不管几次方，它都不受影响。他记住，不管几次方，不管三次方，四次方，五次方，六六次方，不管是奇数次方还是偶数次方，它都不受影响。好吧，所以这样就可以推出m就为偶数。

好，那条件二它也充分，所以这道题两条件都充分，就选择4d选项。这样写好了好吧，然后答案就选择4d好，这是他做题方法思路，看懂了没有，所以通过这道题，大家要知道它基础性的一个概念。是吧，掌握这个奇偶性的一个特征就几个数相加，不管是两个数还是三个数，它相加奇偶性，大家要会分析和推导。

好吧，然后还有一些乘法呀，这奇偶性都要会分析这道题，大家注意这些次方不影响它奇偶性。啊，这是考试它的一个考试知识点，咱在做一些不定方程的时候也要用基础性来分析好吧，看这个题。大家是不是都明白了？哈哈哈。下面看这个题。已知mn是正整数m，是奇数。那么，推m是奇数？

接下来我们看条文一。等于3 m+2 n，它为奇数。由于这个2n它是偶数。n为偶数。那通过这个，我们就可以推出cm为基数。3m，它是为基数了。好3m要为基数。那因为三是奇数，那可以得到m为奇数。m为基数，所以题号一是充分的。条件条件二，

大家注意这个次方不影响奇偶性，知道吧，所以同样3m方加人方为基数。好，我们可以推出。好那3m，方为基数。好，那可以推出m方肯定为奇数。对吧，因为它这个3m方为基数三是基数，说明m方为基数m方为基数，那就可以推出m肯定为基数。好，这个咱们学过。

次方不影响奇偶性，不管是几次方，只要只能说次方，它都不影响奇偶性。所以正确答案应该选d两个条件都是充分的好，这是它做题方法，看是不明白了。好，那接下来咱们再看下一个题。那看一下这个题。好p=mq+1为质数啊，它这个是质数啊，这个想想这个也是一个重新判断题。要判断这个数是质数。条件1m是正整数q为质数，

能不能推出它为质数条件mq均为质数好，大家想这道题应该选什么答案？好，这道题大家想想应该怎么做？选什么答案？啊p=mq+1，它要为质数。啊，条件一他是m为正整数q为质数，条件mq均为质数啊，想一想。那这个应该怎么做？好这道题这道题的话，它能不能是质数，咱们看能不能找到反例是吧？

再强调一下，大家在做这个题的时候。啊，不要找正面例子啊，你要找反例好吧，然后找一下反例看一下。啊题案一，大家想想可以取什么反例？条件一可以取一个反例。能取一个三，一个五就可以了是吧？一个三，一个五。三跟七也行，三跟五也行。

好，然后一个是三，一个是五是吧m=3 q=5。这样写好了是吧？m=3 q=5这样写好了。好m=3 q=5好，这个写出来了是吧？所以这个肯定是不太行的，所以题完一就不太行。条件一错，然后条件儿。条件也找反例，条件也找m=3 q=5。是吧，一样也找m=3 q=5，

它这个也不太行。那联合联合的话，那也不行啊，联联合还找这个返利是吧？联合他也也不行。联合他，他也不对啊，联合联合什么是联合呢？联要同时满足两个条件，同时满足两个条件，还找三跟五是吧？也不对，就是这个。就选e是吧？两条。

联合也不充分，就选e啊对，只有一个返利，一直到底是吧？所以说不管单独条件一单独条件二。然后两联合那都推不出来，都推不出来，然后这道题就选一个e选项就可以了好吧，这是他的这个支点。和方法好，那这道题那主要考察质数合数，它的一些概念。好，接下来咱们看这个题。p=mq+1为合数，

要证明它的合数题二一m为正整数。q为合合数。好，那在这里面，咱们看能不能找到返利？调一我们看找个反例。咳咳咳。好，接下来咱们看条一，我们找个反例。返利呢，就相当于是。比如m它取。2m，它为二。

是吧，然后找反例找反例，比如说q=8。q=8，然后此时那么这个p的值就等于二×8，加上一就等于17。实际它不是合数，它是质数。所以它这个就不充分。这条一就错了。条件mq。均为合数mq，你看条条件。好mq均为合数。那在这里面，

咱们看看。能不能推出mq+1？它为合数。好，那接下来我们看能不能找到一个反例，我们逆向找m+1 mq+1，让它为合合数。比如，大家知道二三。或者说。这个二二九。或者再找大一点的。找41找大家知道41，所以说我们就可以看41那四×10是吧？所以条件二返利。

返利，比如说m=4 q=10，这时候p的值就等于四×10再加一。这是41，41它的质数。这是不充分。然后联合联合联合的话，那你也可以用这个返利，而且大家注意。条件儿。是属于条件一的一个子集是吧？你看因为m为合数合数属于正整数范围内对不对？然后为合数跟这个条件一的q为合数，它是一样的。是吧，

一样的，所以说这个条件如果不行，那这个肯定条件一它联系也不行是吧，就不用联合，所以正确答案就选择e选项。好，这是它做题方法思路，看似不懂了。好，那接下来咱们看这个题。p点mq+1为合数条，1m为正奇，数q为正偶。数啊，一个奇数，

一个偶数。好，那提问一，我们可以找反例。比如m=3 q=2。这是p就等于三×2再加一就等于七。啊，就等于七，就等于七，它是质数。所以它这个是不充分的。然后2 mq均为正奇数mq，它都是正奇数。好mq，它均为正奇数。

好，那接下来我们看两个是奇数，能不能推出它一定是合合数？基数记住，大家一定要找反例，知道吧？找这个反例。好，大家知道。呃，我们看能不能找到返利，因为它是正基数，对吧？正奇数。正极的话，

那它万1 mq它都是一看这行不行mq它都为一。mq它都为一。都一的时候，大家可以发现这个p的值就等于一×1再加一就等于二二，它是质数。所以它这个不充分。是吧啊，这个是不充分的。而且两条线是矛盾的，不能联合了，因为这个条件1q为偶数条件，2q为正奇数，它这个。是矛盾的，就不能联合就选一。

啊，其实其实这个条件再加上一个，它单独就可以充分了，再加一点点，就只要m和q是不相等的正奇数。这样就OK了。不相等正正奇数，为什么就OK了呢？因为大家知道p=mq+1，如果mq为不相等的正奇数。那说明mq它肯定是奇数。是吧，因为mq它都是正奇数m×q两奇数相乘，它还是奇数。对不对？

两个基数相乘，它还为奇数。好两基础相乘，它还为奇数的话，那奇数加上一个一一肯定是奇数。它就得到是一个偶数。而且这个。这个偶数啊，肯定是大于二的偶数了。因为它是如果改成要不相等的正正奇数。不相等的不相等，正奇数，那不可能出现一跟一这样情况啊，那不相等只能一跟三。或者一跟五是吧，

反正只要是它对它肯定是大于二的，偶数大于二的，偶数它必然就是合数了。好吧好，所以在这里面好给大家标注上，如果条件改成。改成mq为不相等的正奇数。它则它又充分了。这样就可以了，所以通过这道题，大家要知道那么奇数跟质数的关系。就质数跟奇数。合数跟偶数关系。好，大家知道质数，

它不一定是奇数。奇数也不一定是质数，但是如果质数要改成大于二。或除以二外，除了二外。啊除以二除了二之外的质数，它都是奇数，比如三呀五呀七呀，它都是奇数。对不对？这样就OK了。然后再看合数，合数它不一定是。偶数，比如说九。

但偶数呢，也不一定是合数，偶数改成大于二的偶数，这样就可以了，大于二的偶数，它一定是合数。对吧好，这是给大家强调的，它的关系和结论看各位同学是不懂了。好，下一个题，咱们看一下下一个题。他说m方n方减一能被二整除，大家想想它是能被二整除。好思考一下，

还有能被二能被二整除，也可以把它理解成什么呢？理解成一个偶数。啊，只要能被二整除，就说明是一个偶数。好，大家看这个题，我们选什么答案这个题？好这个题啊，大家可以看m方n方减一，那可以用平方差是的，可以用平方差处理是吧？好想一想。那到底是选d还是选c啊？

都思考一下。别给看错了好吧。好，到底是选d还是选c都看一看？那接下来我们来看一下他的知识点。到底选d还是选c？我们来看它的方法。好，那这道题可以用平方差做，也可以不用平方差做，这个都没什么关系，大家大家看单独条件一。单调1m是奇数。单独调1m是奇数的话，然后这块儿他的这个特征。

那这块。噢，它不是相邻两个整数啊，不是相邻两个整数，那这个可能看错了，因为这个m方。n方减1m方n方减，它是mn+1乘以个mn- 1。这里mn+1跟mn- 1，它不是相邻的整数。就mn+1跟mn，它才是相邻的是吧啊？它正好中间中间。隔了一个数，知道吧？

中间隔了一个数，所以它不是相邻的，别看错了啊，如果相邻两个整数相乘，它一定是二的倍数。跟mn它基础性没有关系是吧？跟mn它基础性没有关系啊，所以这道题这里单独挑1m是奇数那。不行m是奇数，万1n是偶数就不行了。是吧，所以单独调整一，我们可以看。单调n1那如果n。要为偶偶数，

它是不充分的。是吧n要为偶偶数它，这就不重分了。好n要为偶数，它是不充分。所以单独条件它也不行，单独条件它不知道m万1m要是偶数也不充分。你想想是不是这个事儿是吧m，如果要是偶数，你自己判断一下它这个两个。都是奇数，奇数乘以奇奇数，那就不行。所以m为偶数时候，它的不充分，

接下来我们就要联合起来。啊零呃零对零也是偶数，啊零也是偶数，可以取去零啊零的偶数应该取。返利也行啊，其实返利也可以。好，那这个零÷2还为零啊，然后这样好联合。联合大家可以看到，联合mn都是奇数mn，都是奇数，那m乘就有奇数对吧？所以联合就可以得到m。n它为奇数。

m×n为奇数。好m×n为奇数，那mn方nm方n方，它也为奇数也为奇数的话，它减一肯定就是偶数了。是吧，所以说这个你就可以推出这个m方n方，它减一它肯定也为偶数了。因为两个奇数相乘是奇数一呢，也是一个奇数是吧？那么奇数。跟奇数相减，它就变成偶数。对吧，所以这样就可以推出来，

它这个是偶数，所以联合成分啊，这个正确答案应该选c选项啊。所以选择c。理要充分好吧，这道题答案别选错了，应该选择c选项。好，这是他的做题的方法，奇偶性奇偶性，它给一些表达式啊啊，然后来分析它的奇数偶数啊，这块儿一定要知道它怎么会分析。下面咱们看这个题。m方n方减一能被四整除。

题号1m是奇数n是偶数。条件m和n都是奇数。好能被四整除我们看。这个怎么去分析？好，我们看条案一。条件一，它m是奇数，n是偶数。那如果m是奇数化，说明m平方，它也是个奇数。n方它也为偶数。对吧m平方为奇数n平方，它也为偶数。

好，接下来咱们来看看。就可以推出m方。乘以n方，那肯定为偶数。对吧，因为一个奇数乘以偶数为偶数，然后再往下推m方n方减一。它为奇数。m方n方减一它为奇数。因为这个是偶数。偶数减掉一个奇数，它为奇数。是吧，这样就写好了，

偶数减奇数，它为奇数。所以说它这个为基数为基数，那不可能。能被四整除它奇数。零二整除都不行，所以它这个肯定是不充分的。所以题完一，这是不可以。条件m和n都是奇数，我们看一下。m方都是奇数，那说明m方n方它也为奇数。好奇数乘以奇数，还为奇数。

奇数减一为偶数，但是偶数它能不能被四整除啊？这个不好判断我，所以我们要用一下平方差。这样就好弄了，你得知道mn它都为奇数。可以推出m乘，以n它为奇数。m乘以没记住好，那我们就可以得到m方n方减一，我们就可以把它写成mn+1乘，以个mn- 1。好因为mn为奇数mn+1，它变成偶数了。m- 1，

它也为偶数。所以大家知道，两偶数相乘，因为每个偶数都能被二整除，它能被二整除，它也能被二整除，是吧？所以两个它都能被二整除，两个都能被二整除。它这个就能被四四整除是吧？两偶数它能被四整除。好，这样求出来了是吧？它只要偶数偶数，它最起码最差最差是二的倍数，

这个偶数也是二的倍数，两个乘在一起肯定被四整除。所以条件是可以的。这个答案应该选择b条件二充分。所以它是充分的。好看，这块儿是不是听懂了？好，那接下来咱们看下一个题。下一个它说m方检验方式四的倍数。它四的倍数。这一块。条件1 mn都是偶数，条件2 mn都是奇数，好看看这个题。

这他说mn都是偶数条件mn都是奇数，想一想那应该怎么做？那这个题你想想到底谁是充分的？好，我们来看一下它做题方法。好，这个m方减n方是不是可以写成m+n？乘以m减是不是？然后这样的。对这样的题不能选c啊，这样题不能选c。知道吧，这样题他不能选c，因为两条是矛盾的，知道吗？

矛盾是不能选c的，两条是矛盾关系，矛盾关系不能选c。好有同学选e，有同学选b，还有同学选d，你看就这个大家差异呢，又差别比较大。看到没？到底选什么？想一想。看选什么答案？好，大家想想，如果mn都是偶数条件一，

我们看看好吧，条件一，大家都思考一下，这m方检验方可以写成m加乘以m减。好，那我们来看条件一。条件一，它说m都是偶数。mn，如果都是偶数，那说明m+n肯定是偶偶数是吧？m+n是偶数。那说明m减它也为偶数。m+n为偶数m-n，它也为偶数，

看这个懂了没有？就m+n肯定是偶数m-n也是偶数。大家想，如果两个偶数相乘。你要偶数啊，不管是正偶数还是负偶数零也没事啊，所以有同学可能会担心，如果m和n。那为零怎么办？零也没事，零它也是四的倍数，知道吧？零它除以四四也能整除。可是这样就可以推出。推出那么这两个相乘。

它为四的倍数。就推出m加。乘以m-n，它为四的倍数。是不是这样的啊？q4的倍数这样也可以。那两偶数相乘嘛，肯定为四的倍数，所以条一次充分。其实大家想想，如果mn都是奇数。咱们都都奇数。如果mn都奇数的话，两奇数相加，你认为是什么数啊？

两奇数相加是不是为偶数啊？想想是不是这样的，所以说条件可以得到m加为偶数。m-n，它也为偶数。是不是m减它也为偶数？所以剩下的同理可以跟上面一样，后面就不用再写了啊，同理，它也为四的倍数，所以这两个条件它都充分，这个答案应该选d。是吧，刚才有同学选e的呀，还有选b的，

然后看看你做的答案到底是是什么样子的？对不对？这呢应该选择b啊，别给选错了。好，下面咱们看这个题，这里有考点是考察不定方程，还有质数的概念。啊，质数还有不定方程。它的三个不同的质数。只能确定他的成绩，一般咱们考试啊，都在20以内的质数，所以说咱们先写出20以内的质数。

那这个就是二三五七十一十三十七和19把把这个先写出来。接下来我们看题问1 m+n+p正好等于16。大家知道，如果三个数和要等于16，16，大家知道是个偶数。16，它是一个偶数。三个数的和要等于偶数，要么三个都为偶数，要么就是两极一偶，这道题不可能三个都为偶数，因为三个都要为偶数的话。质数要为偶数，只能为二三个，

不可能都为二。所以这道题只能是两级业务。啊，如果要两奇一偶的话，那就假设m是偶数。那m就等于二，因为咱们讲过质数，里面只有一个偶数二是吧，所以不妨列m就等于2 m=2，就像n+p就等于14。n+p=14的话，因为他不可能是七+7。因为它是不同的质数。只能是三跟11。只能三个11，

所以这时候它三个数，它是确定下来了，二三和11它的乘积。是能确定的，所以调一是可以的，因为它只有这一种情况，就二三十一。然后条件条件就m+n+p，这样等于20。二是那他只能也是两gu。啊，两极有两极，有的话，那假设m=2 m=2 n+p。它等于18好18的话，

大家在这里面要注意，可以是五+13，还有七+11，那有两种情况不要漏掉了。它有两种情况啊，有两种情况，那它的乘积就有两种，所以它确定不了，咱们的确定是唯一确定，所以它这个无法确定。有条件的不行，所以这个答案应该选择的是a选项好，这是它的做题方法思路，看是不懂的。所以这道题考的质数和不定方程的讨论，

就结合奇偶性和质数特征来进行分析和求解。好，那接下来咱们看这个题已知mnp是三个质数，只能确定mnp它的和到底多少？好，那在这里面主要考点考察常用的质数，咱们考试质数一般都在20以内，知道吧？所以要知道20以内的质数。啊，20年的质数就是二三五七十一十三十七十九。好吧，就这20年的质数就二三五七十一十三十七十九。好，那这是这个题，

而且在这里面还考虑到不定方程什么是不定方程呢，当未知数的个数。比较多方程比较少，你看在这里面这个等式里面有三个未知数mnp。啊，但是只有一个方程，这叫不定方程。知道吧，然后第二个mn+p=21对吧？大家不要着急联合，这是一个重新判断题啊，先单独看条一看行不行？乘以m+np要等于18。好mg mp=18，那接下来咱们看一下。

我们在讨论不定方程的时候，大家要注意要用奇偶性来分析，大家知道18我们学过是一个偶数。这不是18为偶数。好18要为偶数，大家知道两个数加在一起等于偶数，要么两个都是奇数，要么两个都是偶数。是不是所以在这里面大家呢？就可以讨论一下啊，要么两个都是奇数。好，要么两个都是偶数。它的这个概念要弄清楚。好吧，

所以说接下来我们呢，就通过这个假设m。还有np，它都是奇数是吧？所以说第一种情况就mnp它为奇数。而我们知道两个奇数相加，就得到是偶数是吧？好记住，这时候大家就列举一下好吧啊，列举一下。比如说m取三的时候，我们看行不行啊？I im取3m取三，我们看这样啊。假设m=3的时候。

m=3的时候，这时候n×p就等于15。np=15那n和p指的是三跟五。啊三和五因为它都要质数。好在这里面它并没有说是三个不同的次数，比如说它可以一样，比如m和n都取三，这个也没事儿。是吧啊，这是它的这个情况。好，如果m要等于五这个不太行m=5 m=5的话，那m要等于五为什么不行呢？那n×p。就等于13那13它就没法分了。

是吧，没法儿分成两个质数n和p，这个没法儿分三不行，然后m等等于七=7的话也不行。等于11也不行，等于13啊17这后面都不行了好吧，这个都不行，所以说这个。im你从三五七十一快速讨论一下，然后呢？然后这个n×p啊都不满足。啊，只有第一个是OK的，对不对？好，

如果它要是偶数，我们看一下啊，如果m和n×p为偶数mn×p为偶数，那m肯定为二。因大至少在质数里面只有一个偶数二是吧？所以m。m是偶数n×p啊，这个整体为偶数。为偶数好，接下来咱们来看一下，那说明m它只能等于二。啊n×p为偶，偶数要么？n为偶数要么？p为偶数，

这个不影响它不考虑顺序，知道吧？因为它是三个数的，和它不考虑顺序。好，我们看一下n。要等于二。啊n要等于二，好n要等于二的话，那我们看这个行不行啊？这个p的值。只能等于八，那这个肯定是不行，因为八它是合数，它不是质数是吧？

八是不符合的。所以t二一那只能得到m=3。n和p一个三一个五，所以它的情况只有唯一的，唯一的话，它就能确定是吧，所以条一它是OK的。啊，是能确定。好，那接下来咱们再看条件二。条件mn+p=21。好，大家知道21它是一个奇数，对吧？

二二二一那这个是奇数。二一，它正好为奇数。好二一为奇数，那接下来我们知道那么要奇数的话，可能是一奇又。是吧啊啊。肯定是易西柚。那ego这样的。啊，它应该是e奇又。这样的概念是吧？一个奇数，一个偶数。啊，

这样的方法。对不对？好以及有。好，那接下来咱们来看一下啊，如果p要为奇数。m乘要为偶数。看这种情况啊，这种情况啊，若p为奇数m×n要为偶数，大家知道m×n要为偶数，那么说明mn里面至少有一个为偶数。是吧，但有可能两个都为偶数也行。好，

那接下来比如说m和n，它都等于偶数都这个数，然后这个二×2得到四四的话p的值就等于17。啊，这样可以对吧？可以。然后接下来我们看m=2。啊m=2，其实m和n有一个等于2 c=2，倒不影响是吧？所以如果m要等于二，这相当于是2 n+p。等于21。那这个p你可以讨论一下。啊认为p为奇数p为奇数的话p=3，

看看行不行啊？三三的话不行p要等于3n就等于九。九它不是质数。是吧，然后p=7。n也为七这样可以。它等于七型啊p=5，它也不行。啊p=11，啊p=11。按它取五是OK的，所以大家可以发现它这情况有好多种，有好多做到这儿，大家可以发现它已经确定不了了。因为咱们讲的确定是唯一的确定是吧，

然后比如说啊p要等于十。13 n=4不行。啊，所以说在这里面，所以大家可以发现就mn都等于2 p=17型m=2 p=11 n=5，这也可以。是吧，也可以好另外一种情况p要为偶数。m×n为奇数。好p要被偶数，只能是p=2是吧？p要正好等于偶偶数，那只能p=2，因为质数里面只有一个。p=2好p要等于二的话，

那说明什么？说明m×n就等于19。m×nm×n=19，19这个不太行是吧啊？这个找不到。这个mn次数找不到，这个是不太行，所以最后算出来，它有两种情况啊啊这。这这这三种情况。是吧，有三种情况就mn=2 p=17 m=2 n和p=7 m=2 p=11 n=5。三种情况，三种情况，它m+n+p的值，

它就确定不了，所以条件儿呢，这是不充分的，所以条件一一成立，推荐大家有选择a。好，这是它的做题方法，思路，看是不是准了啊，掌握它的考试要点。

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02.真题-第1章-第1节-题型3

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