16.排列组合2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 05:47:01

好，各位同学，大家上午好啊。好，还没进直播间的同学抓紧进来。好，那么您进直播间的同学啊，打个一进签到啊。大家进行签到。大家开始进行签到啊。嗯。咳咳。好，咱们课程很快就开始了。嗯。

咳。好，那接下来咱们学习第十章概率初步。大家翻开书啊，咱们看一下第十章。概率啊，首先咱们看一下第一节古典概率。啊，古典概念呢，也是最难。考试最容易错的。好，咱们看看什么是古典概率啊，看一下。啊，

第一个咱们首先学一下基本定义。第一个啊，随机事件。还有随机试验它们之间的关系。好若一个实验满足以下条件，这三个条件啊，就把它称为随机实验。好，第一个条件是可重复，在相同条件下可重复进行。比如说咱们支硬币，支硬币就可以重复，可以重复制，可以重复进行。第二个就实验的结果，

它有多种可能性。它不是只只有一种结果，它有好多种结果。比方咱制硬币，它有正面有反面。对吧，还有。嗯，打篮球投篮儿，他有可能投中，有可能没有投中啊，所以他有很多种可能性，第三个就是未知。就是实验前不能够确切知道什么结果。只知道所有可能出现的结果。

啊，就像咱们考试一样啊，你考前并不知道自己能考多少分。但是呢，你知道所有可能成绩的结果，比如数学，它每个题三分啊，你就知道这一所有可能出现的结果。是吧，好，这是随机试验它的三个条件。好，第一个条件可以把它概括为可重复。第二个是多多可能。它的可能性很多。

第三个就相当于是它未知性。啊，它这个试验前没有做试验，就不知道它出现什么结果，它是未知的。好，那这是它的这个随机实验啊，它的一个。特征和条件。接下来咱们看一下随机事件。实际事件是在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件。它可能发生，也可能不发生。好，

那么咱们用大写的ABC来表示。现在的能不能区分？事件跟试验它的区别。好，这个要知道它两者区别啊，别弄晕了。好，这地方的区别是什么呢？注意这个试验，它只是一个过程，比如咱们制硬币。这样一个投掷的过程。叫做试验。所以说简单的说一下，它这个实验它是看重的是过程。

好，这个事件它看到的是结果。就像大家备考一样啊，备考这个学习是一个过程。然后这个最后的结果，大家都录取了是吧？都考上了，这次的结果。好，那么接下来。两者的关系就事件。就等于一个试验。加上一个。呃，预期的结果。

啊，预期的结果。什么叫预期结果？比如说咱们制硬币是一个试验，对吧啊？制硬币它是过程啊，抛掷一个硬币。那我们想指出，正面向上就预期啊，预计。期望想制出一个正面向上。好，那这是事件。那这个事件呢，有可能发生，

有可能不发生。什么叫做发生呢？什么叫做发生呢？这个预期的结果跟实际结果吻合，就叫做发生。这个预期。啊，如果等于实际的。这叫做发生了。比如说咱们掷硬币。希望出现正面向上。然后治完以后真的出现了正面向上啊，那就叫发生了，发生也叫做成功。然后预期的不等于实际的结果。

这叫做不发生。也叫做失败。也叫失败。比如说咱们打篮球，投篮儿，这是一个实验，因为投篮儿，这是一个过程，拿到篮球再投篮儿，这是一个过程。然后咱们预习结果肯定要头重啊。投中如果投完以后发现。没投中啊，这个实际的跟预想的不一样。那就叫做不发生，

也就是失败。好吧，这是它的这个比如再比如给你举个例子，就像咱们考试。有同学只要预期。考220就行了，我的预期就是220。如果。你刚好考完以后成绩查完分就是220啊，那说明成功了啊，也就也就说刚好就成功了。那如果考完以后，实际你的成绩没有达到220。这叫不发生，也叫做失败注意。

咱们概率里面失败。不是贬义词，我给你举个例子，比如说你的预期，自己想考220。结果实际考完以后考了240。实际啊，你考240，这220呢，就是不等于240，这也叫失败，这种失败是一个。是一个好的失败是吧？我我还多考了20分儿呢是吧？但是它也叫失败。

所以说失败它不一定是贬义的。懂了吧？简言之，这个不等号，它包含大于号和小于号，大于号和小于号，有个实际的要大于预期的。叫超预期是吧？像有同学呢啊，对自己要求不高，我只要考220就行了。结果考完后考了一个240，唉，发现自己很很高兴是吧？叫超预期。

可以有同学呢，想考220，结果考试那天可能没发挥好，只考了210，这要低于预预期，所以不管大雨还是小雨，都叫做不发生。懂了吧好，这个明白没有，所以说就给你彻底讲明白事件跟试验两者的区别。啊，这是这个情况好吧，考试如果要做题问啊，下列哪个是试验哪个是事件？大家要会区分。

就试验它只看过程，没有结果。只看过程，比如说。啊，听课这个过程就实验。是吧，或者说打篮球投篮儿。或者说掷硬币。啊掷色子好，这都是试验。啊，一旦它加上一个期望，结果啊，就是事件了，

好吧，好这个这是它们之间的关系，看懂了没有？接下来，事件有几个特殊情况，第一个基本事件。好，基本时间是由什么？是由一个样本点组成的单点集。一个样本点组成单连级就是基本事件，基本事件把它称为样本点。好，这是它的这个。情况，比如说咱们掷硬币，

它的基本事件就正面，还有反面。然后样本空间包含所有的样本点。知道吧，就样本框架把所有的样本点包含了，然后什么是必然事件，必然事件就是在每次事件中总要发生的。事件必然发生，事件就必然事件。然后不可能事件就是不可能发生的，就称为不可能事件。啊，用这个空集的符号phi来表示好吧。啊，其中咱们概率里面必然事件。

慢慢慢。就演变成了各学科的规律。各学科规律，比如说。这个水在一个大气压下烧到100度，它就沸腾烧开了，唉，发现。嗯，当然，人一开始以为这是一个偶然的，不是必然的，知道吧？唉，发现每次在一个大气压下，

然后100度就能烧开，唉，慢慢发现这是个必然的，必然的就演变成。各学科的规律了，比如物理的规律，化学的规律等等的，各学科还有经济学的规律等等的是吧？所以这这个你们学的其他学科。这些都是由必然事件演变成了各学科的分支。另外，就不可能事件就不可能发生的啊，这个也很好理解。好，那其他的都是在一定条件下可能发生的，

知道吧啊，可能发生的，但是这些必然事件不可能事件。它们都是要一定条件，刚刚咱们讲过必须一个大气压下100度，它就沸腾了，大家知道在高原在高原那么大气压比较低。比较低，水水烧不开是吧？烧到70度，它就沸腾了，所以那时候做饭呢啊，这个就做不熟，为什么呢？它烧不到100度。

是吧，所以只能带一个高压锅啊，这样它才能解决问题，懂了吧？所以说它这个条件改变的时候，它的事物性质。也会发生变化，知道吧？好，这是给大家讲的这个。基本的定义。好，那接下来大家呢啊，思考一下例一这个题好都选选例一这个题都思考一下。好，

都加油回答啊，好那么下列事件，它的必然事件呢？到底是什么？有有有几个想一想啊，第一个。如果AB属于实数，则a+b就等于b+a，这个是成立。第二个地球在转动，第三个明天泰安会下雨。第四个没有水黄豆能发芽啊，你看看哪些是必然事件？那第一个第一个就必然的，只要AB是实数a+b就等于b+a是吧？

这就成为咱们数学的一个规律。规律就是交换律是吧？这个是一个交换律。这是可以的，它是交换律。对不对？这是OK的。然后呢，第二个地球在转动啊，那这个也是必然的，那有同学说若若干一年之后，那地球有可能就。就就不再转了，就像流浪地球一样，地球在这就不动了，

那是很长很长时间以后在咱们人类的有生之年，地球还在转的，所以说你不要考虑无限远。知道吧，所以说大家也不要啊，钻牛角尖儿就在咱们的有生之之年，地球肯定还要再转的好吧，所以说这个。呃，纠结同学，我给你解释一下，第三个，第三个，它是一个随机的，有可能下雨，

有可能不下雨，它不是必然的。好吧，它这个是随随机的，有可能下了，有可能不下雨。第四个没有水黄豆能发芽，这是不可能的。引导的种子发芽需要有水，阳光，空气。是不是它没有水，它不可能发芽啊？所以说这个所以前面两个是可以的，选c选项好吧，

这个明白没有，这是它的这个方法。好，接下来例二这个题我们看看下列事件是不可能事件的，有什么啊，不可能发生的，大家想一想。都说一说好第一个。AB属于r且a小于b。则a-b。也是属于实数的啊，你觉得这个有没有可能？第二个小华将一块儿石头抛出地球。第三个，他掷一枚硬币，

正面向上。第四个，掷一颗色子，出现点数是八点。好，你想想这有几个大家都思考一下，加油，想一想。好，大家看看第一个。第一个如果AB实数a要小于b，则a-b。它肯定也是实数，这是一个必然的。这是一个数学，

它数的一个特征。就两个实数相加相减，它还是实数。知道吧，加减仍然是实数，这必然的。第二，小华将一块石头抛出地地球，那这是不可能的是吧？这是不可能，因为大家知道要逃离地球，要达到宇宙速度。啊，咱们学过第一宇宙速度，第二宇宙速度是吧？

然后呢？它要达到这个一定的速度才行，那人的力量是不行的。啊，像火箭它这种它要逃脱引力啊，它它才行是吧？人是不可以，所以这是不可能的。然后呢，第三个就置一枚硬币正面向上。那这是有可能啊，有可能它它不是不可能，它也有可能它是随机的。随机事件有可能发生，有可能不发生。

第四个就掷色子得到点数八点，那不可能。给他打牌。打开啊，这个字它的拼音是头字。知道吧，拼音嗯，是是这个咱一般口语化是吧？打麻将就掷色子，一般的都是。口语化好吧，就是掷一颗色子了，然后出现点上八，那这是不可能的，所以说它有两个是不可能二跟四是不可能选c。

好，那第四个讲完后之前有同学说老师这这我看电影啊，看那个赌神，你们你们看那个赌神了没有？你像有的他摇色子很厉害。摇色子啊，很厉害，他能摇出八点来，我问他怎么能摇出八点，他说摇完后啊，这个六点。他把色子摇成两半儿了，知道吧？那个色子摇成两半儿啊，一个六点。

然后这个是一个两点，你看他说这个加载技术八点。是吧，他说那个赌神很厉害，我能把色子摇成两半儿是吧？一个六点，一个两点加在一起就是八点，他说这个也有可能。所以这个就不是事件，因为刚才咱们讲过的，要可重复它，并不是说随便给一个色子都能摇成两半儿。是吧，刚才咱们讲过，它必须要可重复。

啊可从进，所以说这个就不满足咱们这个前提，所以说不考虑这种情况好吧，所以说咱们做概率题就有时候呢，就不要找这些。它千载难逢的一次出现的它不是什么？不是可重复出现的，那这个就咱就不考虑了好吧？好，这是给大家讲做题呢，不要太纠结。好，那接下来咱们看例三这个题下列是随机事件的，有几个大家想一想随机事件。第一个口袋里有五毛一毛一元的硬币，

若干枚。随机的摸出一枚是一毛。好，我们看第一个，第二个在标准大气压就标准大气压就一个大气压是在90度沸腾。第三个是运动员，他打一次正好打中了十环。他很厉害，他打中正好打到了十环这样的。第四个同时掷两个色子出来的点数之和不超过12好，大家想想它这个情况。想想随机事件呢，有有几个都思考一下。好，那咱们应该看看第一个。

大家思考第一个。第一个它有那么多硬币，随机摸出是一毛，它这有可能发生，有可能不发生，有可能摸出是一毛，有可能摸出是一块钱。所以它就是随机的。第二个在标准大气压下水来，酒都沸腾，这是不可能的。因为它大气压是一个大气压，它是不可能。它是它是不可能。第三个射击运动员射击一次，

他的死缓。试一试一次，它是十环。那你觉得第呃第三个是什么情况？第三个既然是涉及十环，它有可能发生，有可能射中十环，有可能射中19环。所以它这个是是。是随机的。然后同时掷两个色子，出现点数之和不超过12。点说资格不超过12，这是必然的。它不是随机的它，

它是必然的。啊，给你两个色子，你怎么治它加在一起，它不超过12，因为色子最多就六个点。对吧，最多就六个点，所以在这里面好那么随机事件就一跟三是随机的，二是不可能的，四是必然的。好吧，就这个别给写错了好了，那么以上让大家温习一下基本的概念，看弄清楚没有？

好，那接下来咱们看是一事件的概率，它的定义。好概率定义，它是发生可能性大小的一个度量值，就把称为它的概率。这个可能性有多多大？咱们经常说了啊，这个同学学习那么刻苦，他大概率能考上。就是相当于考上的可能性比较大是吧？有大概率什么小概率是不是咱咱们经常说的啊？说你有多大把握？是吧，就是这样的情况。

好，这就是概率，它发生可能性大，小度量值。第二，概率的性质。概念性，概念，性质就是如果两两互斥，它的加法，这是这是加法。加法可以把它分成每个概率相加。知道吧，然后这个也把它称为一个分类。啊，

分类，比如说咱们做一些复杂概率题也要分类。啊，分类来进行求解。然后接下来咱们看一下第二个，第二个就是反面。反面好，如果要求反面，它的概率那就一减去。这个PA就行了好吧，从反面来思考，用一解啊。好，咱们概率是在零到一啊，概率的取值范围是是零到一这个范围啊啊，

不能超出这个范围。好，这是事件，它概的一个基本定义。接下来看一下古典概型啊，什么是古典概型，大家想想。好古典概型，它满足两个特征。叫古典个性第一个样本空间是有限的。页面空间有限，也说是可计算的。其实你数稍微大点，它也是可计算的，比如说。

买买彩票。在这彩票的可能性有很多种。是吧，因为全国那么多人买他的，他的他他的情况数应该弄很多是吧啊，要不然就弄几种情况，你一买就买中了。是吧，它的情况数非常庞大，但它再庞大，它还是可以计算出来的，只要我们可以可以计算出来的。啊，比如说几百亿种。是吧，

然后这样。第二个它是等可等可能等可能就什么就公平的。你想想为什么有同学买彩票，他没中啊，他下次还买。是吧，因为他认为这是公平的啊，我没中，可能是我运气不好。是不是然后他下次他再买，他万一中了呢？他他这个呢就公平的知道吧？啊，所以说唉，符合这样的要求，

把它称为古典概率。好，那接下来咱们来看一下它的计算公式，这个在古典概念情况下实验a它概率计算，就拿a包含的情况数，除以总情况数。它用个比值来计算这个古典概率。知道吧，好这个所以用比值为什么把它称之为古典概率，你知道吧？它很古老的概率。其实大家从这个概率，这门学科的诞生，它的出身呢，并不是很光彩，

知道吧，来讲讲它的历史起源。大家知道这个欧洲啊，就16世纪欧洲啊，那时候也没有什么手机，没有什么电脑是吧？娱乐设施呢？也比较少，但大家知道这个英国那会儿啊，他们这个时候赌赌博很流行是吧？赌博啊，赌场大家知道这个赌场。很多啊，尤其这个赛马知道吧，赛马那贵族啊，

整天没啥事，他就在那赌博赛马。唉，这个这个贵族比较有钱，他就从大学里面找些老师。啊，把老师再叫过来，你给我算算，我下次我买几号码，我赢的概率高。知道吧啊，然后呢那个？那个大学老师啊，他有统计，比如说以往100次赛马中。

比如说六号码诶，它已经在次数是最多的，是次数次数最多的。然后其次，比如说三号码啊，赢的次数第二多好，他他也算算算啊，好他统计一个这个比值，用这个比值就是总共比如说统计了100次赛马。然后呢？看看啊，那么谁赢的次数多啊？按照这个比值来代表它概率，所以他要跟那个啊贵族说他下次啊，你再买要买那个。

赢得比较多的六号码啊，就这个意思。唉，所以说慢慢慢啊，就发明了这个概率知道吧？然后呢？这个学科就产生了，知道吧？唉，这个发现呢？这个概率呢？唉，应用到其他这个场场所和学科，唉，发现呢，

非常有用啊，慢慢儿就形成了一个非常有用的啊，这门学科了好，这是它的一个起源。知道吧，它是为了满足人们的这个赌博的要求，产生这门学科，所以它的产生的历史不是很光彩，但是呢，现在呢？它这个学科呢，使用呢是非常广泛的，在各个学科啊，使用都非常广泛，都用这个概率。

是吧，所以这是它的一个，其实大家这个考完以后，你们最有用的学科，其实就概率，比如在生活里面处处是概率，就像你们选院校。院校那么多，所以有同学老师我我报哪个院校，我考上概率高啊，是不是所以说任何时候那么都是要概率，因为为什么呢？因为人未来都是与未知打交道，谁也不知道明天后天会怎么样？是不是明年后年会怎么样？

所以在这里面也都读一个概率，所以说都要算我选哪条路，我成功的概率高。是不是所以概率这是很重要的啊，所以大家要学好，所以在。数学的最后，你们剩的就是概率了好吧。好，那这是给大家强调重视概率的这个学习。然后第三个就是这个理解啊，这个理解这个概率怎么去理解它，其实就是用一个比值用排列组合计算分子和分母的情况数。然后再用一个比值来表示发生的概率，所以它是很古老，

很朴实的一种计算概率的方法，就用一个比值。啊，算算它的比例占占的多少啊？来表示概率好吧好，这是它的这个情况，所以说通过这个理解可以发现必须要把排列组合学好。你排组合，如果学好了，概率学起来就很轻松了，知道吧啊，这是它的这个方法啊。好，那接下来咱们就学习三类基本的古典概率。啊，

三类基本的古典概率。第一个取求或者取样。第一个取求或者取样。好，我们来看一下。这个取又或者取样，这是考试频率最高的是吧？其实在学概率，你看考试也相关，还有那个知识点，考试的概率高是吧你比如说在英语里面，大家学高频词汇，其实就是概率大的词汇。是不是这样的啊？这个概率能看学习是非常有用吧？

啊，取求或者取样选取。选一般呢，他会把这个球分成。颜色是吧？分颜色好，大家一起来看一下例四这个题都想一想，都思考一下。好没做的同学都想想。看一下例四这个题。好，那么盒中有四只球，其中红黑白各一只，另有一只红黑白三色球。上去我把它起做彩球。

好就叫做彩球。现场中任取两球，恰好一这个球有红色的概率是多少啊？恰好一个球要有红色。想想到底多少？恰好一个球是有红色。当然，这里大家可以分类了，分类分类取到这个彩球。和没取到彩球。是吧，你可以分类做。分母很简单啊，所以讲到这，大家注意咱们这个。

古典概率这个分母是比较容易的。大家不会写错是吧？分母都很好算。就分子它比较难。啊分子它比较难知道吧，它这个难度稍微大一点。大家错，一般错在分子。你看分母，分母是什么？四个球随便取两个球c四二。就四个球，取两个球就c12。这个明白，没有四个球，

它取两个球就c四二啊，这是分母。然后分子分子恰好一个球是红色，要么就分类。分类就是取到一个彩球。和非彩球，非彩球就黑跟白。黑白取一个。加上。加上没取到彩球，没取到彩球就取到一个红球。啊，然后呢？红红球取一个黑跟白，再取一个。

好，这样就做好了，好看这个懂了没有？所以算出来正好就等于一个三分之二。这呢就选d。看这个明白没有？好，或者说这样做也行。以后大家遇到彩球。他问如果要是红色的，你就把彩球当做红色的就行，知道吧，把彩球当做红球。并不说以后咱们遇到彩球都把它当做红球，它是把彩球当做你所问的颜色的那个球。

知道吧，所问的颜色这个九。比如说啊，这个问的是红色，你把彩油当做红色，如果问的是黑色，就把彩油当做黑色，所以这道题你就相当于是什么？相当于是把它看成。两个红球。一个黑球，一个白球，就这个懂了吧？这样做要简单分母还是c四二？分子的话就有两个红球。

选一个。黑跟白这两个选一个。这样得到也三分之二。是吧，一样的好看，这个懂了没有啊？一样的情况。好自己再想想看是不是明白了。比如说如果这道题要有两个彩球或者三个彩彩彩球，你用第二方法要简单，你用第一个方法要分类，那就麻烦了。是吧，所以彩球要多。明白没有，

就把彩球当做它所问的颜色的那个球。他问的是红色，又把彩球当成红的，问的是白的，又把彩球当成白的啊，所以他以后要掌握这样的方法。接下来咱们看一下例五这个题，大家思考一下例五。啊，一只口袋造五只同样大小球，编号分别为一二三四五。这有编号。好，那么是让你们取三个球出来。则取到求最大号四的概率是多少？

好，大家想想这段话要四。好，这段话要四到底应该怎么写？这段话要四说明什么问题？说明四号一定要一定要取到手里头。是吧，四号是不是一定要取到手里面？对不对？四号球它一定要取到手里头。然后因为他总共需要三个球。大家想想应该选什么答案，他需要三个球。需要三号球，四号球必须要取到手里头。

剩下的是不是一二三再取两个球就行了，因为手里面有已经有四号球了，四号球已经在手里了，对不对？再收敛，然后呢？我们。直接。再从一二三再取两个就行了，这个能看到吧？先写分母吧，分母是c五三c五三呢，一定要把它背下来啊，常用组合数要把它背下来，别考试时候再算了。

好c五三c五三，它正好就十。对吧，四口算那正好就为十。co 3嘛，它就等于十。然后分子分子的话，设就已经取了，然后再从一二三取两个c三二。c三二=3啊。然后这样答案就写出来了，这个呢，就选择a选项啊，你看懂了没有？所以以后遇到这个编号最大号。

最大是k。它有两层含义。第一层含义就k号必须要取。知道吧k号必须要取到手里头。k号必须要取。另外什么来想想另外。啊，另外是不是其他都要小于k啊？其其余要小于k是不是是不是要小于k啊？这最大号为k啊，如果改成最小号要k。比如说这的最小号码是多少？啊，最小号码是是几好，如果最小号要为k说明k号呢，

它仍然是必须要取的，其他呢都要大于k。其他都要大于k比k要大，懂了吧？这个大家会思考吧？你自己想想是不是明白了？比如说它从一到十号求。取三个。行了，那最小号。要为四的概率是多少？求最小为四的概率是多少？你会不会做？都加油，想一想你会不会思考？

就一到十号，求取三个求最小号为四的概率是多少？那这时候应该怎么写？都加油，做一做。想想应该怎么写？都思考一下。好，那这个应该怎么写？分母应该都会写吧？就一到十号球取三个分母就c13。这个都会写吧？这个会不会写c13？然后。然后分子最小号要为四。

最小号为四四号球肯定要选。然后剩下因为他需要三个球，剩下有四套球还需要再选两个。这两个球应该成大于四的选大于四的选就是五六七八九十。从六个球。再选两个球，看跟你写的是不一样。是不是然后这样？这样你自己就可以算出来它的这个结果。好吧，然后答案就求解出来了，好c六二让大家背的啊c六二。CD 2我再强调一下CD 2就相当于是五六。七八。九九十是吧？

五六七八九十。啊五六七八九十，所以不是c五二啊，别写错了。知道吧，不是c五二，是c六二啊，是不是有同学当成了c五二算是不是？你看看你这个数考试时候。啊，这个球都数错了。是吧，有时候从这个五六七八九十。这里面来进行挑，所以c六二应该是15。

好c13大家呢？简单的计算一下是120。120。然后这样就得到是八分之一。八分之一。好了，你看这个概率，大家会不会计算了？想一想好这个明白没有，以后再考最小号最小号，看是不是懂了？你思考一下，是不是明白了？好，那接下来咱们再说一下，

取样一个关键问题。取样的关键问题，取样关键问题是什么？就是取样方式。再说一下，这个取样方式。选项方式分为两大类和三小类，两大类，一个是有放回的，一个是无放回的。有话放回，又把分为这个逐次的。这逐次和一次取。知道吧，逐次它分为有放回和无放回。

所以取样方式。一定要看清楚。别写错了。所以说取样方式分为逐次取样和一次性取样，那逐次取样分为有放回的和无放回的。知道吧，有范围和无范围。有放回的话，什么叫有放，就每次取出来，我观察完后再放回去。这样的话，它样本是不变的。比如原来十个球，你取完后又放回去，

它还十个球。无外乎外乎就样本的逐一减少。要么呢，足以减少。知道吧，无放回来样本再逐一减少。然后还有一次性取呃，一次性取和逐次取最大的区别就是。主次需要注意顺序。一次取它不排序。比如说一次取。两个白，一个黑，那这时候就不用再排序了，但逐次不管有放回还是无放回，

逐次呢，要注意顺序一次呢，它是无顺序。上面它是有有顺序的。什么是有顺序啊？比如第一次取白，第二次取黑跟第一次取黑，第二次取白是属于不一样的。知道吧，然后一次性取，那就无顺序。这也不用考虑顺序了。第二个，大家注意一次性取样的概率等于无返回取样的概率。这两个概率是相等的。

等于逐次无返回的概率。它俩概率是一样啊，概率是一样，但是呢，它的情况数肯定是不一样的。为什么它概率一样？因为它分子分母，咱们学过一个分数，分子分母扩大或者缩小相同的倍数。它的概率呢，是不变的是吧？好，那接下来咱们做一下题。好一个口袋内有七个白，三个黑，

求下列事件的概率。第一个啊，从中摸出一个范围后，再摸出一个两次摸出的白球是一白一黑好，这是第一问，大家想想。看会不会做第一问。第二问，从袋中摸出一个黑球，放回后再摸出一个白球。第三个是从袋中摸出两个球，一个黑球，一个白球。第四个。从袋中摸出两个球。

先摸出来是黑球，后摸出来是白球。好，大家想想这几个应该怎么思考？好，那我们一个个做。第一个概率PA。p那首先确定它是它是什么取向？它这个是逐次有放回，看到没有？它放回考试时候把这个关键词画出来。放回放回，那咱们先说一下分母分母的话就c11。再乘以c11，我先讲一下分母，

分母的话就是这个c11就第一次，你取的时候有十种情况。总情况数。好，取完后放回去，第二次再取，它又失重情况。是吧，它又有十种情况。所以分母就是c11×c11这个写好了。好，这也能看懂吧？好，那接下来咱们再来看分子。分子的话，

他两次摸出是一白一黑，那有可能是第一次是白球，第二次是黑球。那第一次要摸白球就c七一c三一。这个分类用加法加上有可能第一次是黑球。第二次白球。或者说，干脆乘以个二也行。干脆乘以二也行，反正这两个数它是一样的，乘以二也可以，就算那个零点四二。零点12好，这是这是第一问。第二问，

从袋中摸出一个黑球，放回后再摸出一个白球。这还是有范围。还还有范围，知道吧？啊，这些分母。还有c11×c11。因为它还是有放回的需求。分子不一样的什么，他从袋中摸出一个黑球，就第一次必须是黑的。黑的，所以第一次必须是c三一黑的。第二次放回后再摸出白球的概率。

那就c7得到是零点二一。也就说第二个第二问跟第一问区别什么，就第一问它的一白一黑，并没有说白和黑是谁在前谁在后。是吧，并没有说先后。然后第二个它这个是先取黑的，再取白的是吧？这样的情况。然后接下来我们看第三问。从袋中摸出两个球，一个黑球，一个白球。能带动摸出两个球，第三问是一次性取样。

知道吧，它的一次性。取样一次性取两球。就一把抓住两个球，抓两个球，分母分母啊，就是c12。十个球取两个球。分子呢？分子什么呢？分子就一个黑球，一个白球。是吧，然后呢？这时候呢？

他一次性抓两个球，这两个球就不用再排序了，一个黑球，一个白球c三一c7。这样就写好了。然后这个c十二得到是四四十五，四十五跟上面约掉得到十五分之七。好，这是它的这个方法。然后第四问。从袋中摸出两球，它有个先有个后。那说明这是。主次需要。你先摸出一个黑球，

再摸出一个白球，它逐次取样。啊，这是逐次。所以大家一定要根据题目来判断。而且他总共呢，摸出来两个球可能没放回去。知道吧，他属于逐次，而且没有放回，虽然他没说，但是你想想最后两个球在手里面，说明他没有放回去。所以说分母就可以写成c11×c九一。好c11×c九一这样的。

然后先摸测是黑球，后摸测是白球。好先摸出来黑球，我们看黑黑球，黑球是什么？黑球是c三一。骑摩托的黑球。然后后模特是白球，白球就是c气。然后又得到三十分之七。好，这样的情况。接下来咱们再增加一个。增加一个，比如说逐数放回。

取球取了两个球。是一白一黑，我们看看好吧，如果再再增加一个。就逐次。无放回。啊去啊，然后一白一黑。的概率。取100以后的概率，我们来看看。这时候呢，它的分母。就是c。11c九一。

对吧，因为它它逐次返回的，第一次取的时候十个球。取完后不放回去，不放回去，那么还剩下九个球。是不是这样的？是不是还剩下九个九？然后分子。分子的话，那么有可能第一次是白球，第二次是黑球，所以第一次是白球，第二次黑球c七一。c三一加上有可能第一次是黑球。

第二次是白球。知道吧，好这样的情况，这个算法也等于十五分之七。这样就给它进行证明一下，这两个概率它是一样的。这两个它一样是吧？是不是证明了逐数无范围，它的概率跟一次性取样的概率，它是一样的。它不是偶然，它是一个必然。你看是不是一样？对不对？好了，

这是给大家进行讲的，这个题的结论看弄清楚没有？好，接下来咱们再看一下例七这个题。某国际科研合作项目由11个美国人，四个法国人，五个中国人构成。现从中随机的选两位作为成果发布人。使两人不属于同一国家的概率是多少？两人不属于同一国家概率，大家思考一下。两人不能属于同一国家。想一想。看看概率p。这里大家可以从正面做，

也可以从反面做。从正面做，可以从反面做，也可以。从正面做，大家可以发现，总共是20个人。就11+4+5就20个人。大家先写分母啊，分母简单点。c22。就20个人选两人，这是总的选法。分子类不属于同一国家，不属于同一国家，

可以分类。有可能是。一个。美国人。一个法国人，一个美国人，一个中国人。一个法国人，一个中国人。这样的是不是啊？这样的一个内容看懂了没？然后这个大家把它加在一起。这个数呃也很好算。好吧。得到190分之幺幺九。

好反面也行。反面pu=1减去两个人都属于同一国家。分母还是2c22。就减去两人都是同一国国家人，两人都是同一国家人，就c十一二。c四二c五二。就两人都同一国家。知道吧，就c十一二c四二c五二。这明白没有两人，他的国家是一样的。然后减完后答案。跟它是一样好吧，好看这个明白没有？

看还有没有什么疑问？好，接下来例八这个题例八这个题就要一些数值运算，就要列举法。啊，数值运算就要用列举法来来做。某剧院正在上演一部新歌剧，前座票价是50，中座票价35，后座票价是20。如果购到任何一种票是等可能的。现任意购买到两张票，则其值不超过70的概率是多少？啊，其值不超过70就这个票的价格不超过70。

好，那接下来咱们看它的这个方法。都想想。嗯，做这道题要给大家强调的是。概率的分子分母一定要匹配起来，什么叫匹配起来？啊，如果这个前座中座中座前座。如要当做两种不同的情况。有时候如果把它当做有序的。分子分母都当做有序的。知道吧，这个明白，没有就有点像咱们穿衣服一样。

上衣跟裤子，它俩能配套。对吧，你不能说上衣穿一个西服，下午呃，下面裤子穿一个啊，牛仔裤啊，这个可能就不匹配。是吧啊，不能穿一个休闲的，就它呢，就是上下得匹配，就这个意思，要搭配起来要成套了。知道吧，

所以说在这里面大家呢，就是分子分母一定要匹配。啊，你要如果前座中座中座前座这两张票，如果要交换顺序，那么都交换顺序，懂了吧？如果。没有没有，顺序都没有顺序。知道吧，一定要保持一致啊，像有同学他又不知道自己错在哪，我一看到它的分母它它有顺序，它考虑的顺序分子呢，

它又没考虑顺序。结果上下呢。没有对应好。知道吧，没没对应好，那这个答案就错了。好，那这道题如果不考虑顺序的话，就简单点，咱们可以看一下，不考顺序，比如说五十五十。然后呢？五十三十五。然后呢？

就是五十二十，你把所有情况都列出来算了。然后呢，就列举法35。35，35，20。20和20是吧？反正总共列出来有六种情况。你看到没？列出来有六种情况。这个我就不不考虑顺序了。知道吧，前中中前这个不考试，这两张票就不用排序了。

然后它总列车有六种票价。是不是因为啊，它不超过70。不超过70，我们看有多少种情况？不超过70。好不超过70的话。这个可以，这个可以，这个可以，这个可以，这四个它不超过70。不超过70就小于等于70啊。小于等于七七十。那就相对其他有四种情况。

总情况数是六种，这里用列举法。知道吧，然后三角形等于三分之二。这个答案选d。懂了吧，三乘以等于三分之二。看这个明白没有？那如果考虑顺序，那列车会有多少种呢？嗯，考考虑顺序考虑顺序的话就50跟50，肯定不能再排序了，咱们讲过相同元素的排序只有一种。50跟50是一样的，

他就不用排了，但是呢，看下这个50跟35。这要排一下。50跟20要排一下。35跟35不用排了，35跟20要排一下，所以说它它得排排成35，50排一下序。20，50排下序，然后这35。20。啊，这个排一下序。

这排出来有多少种就有九种。是吧，就九九种，或者这样写，如果把分母看成九种。分母看，分子分子的话，它要不超过70，不超过70，看有几种不超过七，不超过七十一二。三四啊，这也都不超过70。都不超过70，所以说这六个勾，

你看这有四个勾。那么，这还有两个勾这六。算出来也等于三分之二，那答案是一样的，所以你分母要当做九分母，要用九写分子就得写六。知道吧，得写六，所以说这个就告诉大家写概率分子分母一定要保持一致。知道吧，要知道这样一个一个关系啊。好，这个题题不重要，关键是通过这道题要明白什么？

分子分母一定要保持一致。要排序都排序，要不排序都不排序，知道吧？好，接下来咱们看第二个就分行问题。啊，想想正常。family就求放在和。学问和这里面先看总情况数。将四个编号的球。有四个球，放了三个核。对于每个核来说，他放球数可以是零到四，

也就说每个盒子。可以放零个球就空的。知道吧，可以可以，是空的也可以，也可以把四个球。都放在啊一个盒子里。好吧，都放到一个盒子。所以说这个四个球。可以放到一个盒盒子里面，也可以像有的盒子可以空，就相当于任意放，但想它的总的放法有多少种？都思考一下。

总的方法。都回答一下总的方法，大家都互动一下好吧，都积极的回答。你看有四个球，这有三个核。三和。大家知道第一个球。第一个球是不是有三种选法是吧？第一个球有三种选法。好，第一个球有三种选法，好，第一个球放好了，放好接下来第二个球。

第二球，他又有三种选法。第三个球又有三种选法，最后一个球还有三种选法，就三的四次方。所以大家可以发现，如果咱们在写概率的时候，它出现相同的数乘在一起，它就会产生这个方幂。次方知道吧？次方所以大家注意这个可以动的球是放在纸物上面。知道吧，这个和字是放在底数上面，别写反了。就求它可以动。

盒子放那儿就不要动。很多同学把它写反了，写成四的三次方写反了，知道吧，所以这个次方比写反了。自己再琢磨琢磨，或者说这个容器放在底数。物品放在纸处。知道吧，所以说这个特征要把记住这个容器。然后这个是物品。知道吧，或者说你这样记。不能动了。放在底数可动的。

放在指数上的。可以动的，比如说。几个人去几个房间？这个房间他是不能动了，房间盖好了房子。他不能随便动是吧？然后人比如说四个人。去三个房间。四个人去三个房间，他三的四次方知道吧，跟这个一样，明白没有记住这些规律。就不会写反。好，

这个给大家讲了。好，接下来咱们来看一下它概率这个三的四次方就总情况数啊，不管这几问。它的分母都是三的，四次方都等于81种。好，那接下来咱就思考第一问，看选什么答案，大家都积极的互动一下，好吧，都想一想。都思考一下。好，第一问第一问，

咱们用p1来表示概率好吧，第一问的概率是p1。好，第一个和没有求。你想想画图嘛，如果听不懂同学画过图，这是第一个和儿，这是第二和儿，第三和儿，第四个和儿。它分母就是81啊，分母就是三的四次方。分子就第一个和没有求。没有，大家想想这时候还剩下几几个球啊？

三个球。那四个球放在这些盒，是不是大家想想？想想是不是这样的，所以它这个你把这图画就三个编号和咱们分别编成一二三。这边这三个和把它变成一二三。并且他说第一个第一个和没有求。没有球，它是空的，这时候呢，还剩下四个球。还有四个球好，四个球要放在两个核。射球放两盒，射球放两盒，

大家告诉我应该几的几次方是不二的四次方？是不是就等于八十一分之十六选a？看这懂了没有？然后选择a。看看有没有印象，然后看第二问。点它说，第一个和恰好一个球，第二问你画个图。啊，它这个是放一个球。剩下两盒再放三个球。好，大家想想。都说说分母还是三的四四次方。

父母还三四吗？好，大家想想分子，分子应该怎么写都思考一下，分子应该怎么写都想想。看一下分子应该怎么写？分子那么第一个和要有一个球，是不是要选一个球啊？啊，选一个球。是不是要选一个球？总有几个球选一个。有几个球选一个。有同学说了，三×2的三次方。

到底是几？等于几所以说一号盒子先选一个球c四一，总共四个球，不要看错了。奢求啊，选一个。放在这个就代表放在一号盒。然后这个试题没做完，要写乘号，还有三个球放入两盒好，三个球放两盒就二的三次方。好，这样写好了。然后这样算算就等于32。八十一分之三十二这个呢，

应该选择c。好看，这个懂了没有？接下来看一下第三问。看下第三问。第一个和恰好两个球。现在应该怎么写？第一个和现在有两个球。好，第三问的图。第一个和要放入第一个和才有两个球。好，这个。第一个和先有两个球。好，

那这时候还剩下几个呢？还剩下几个？是不是还剩下两个球啊？好，那应该怎么写？自己想想分母是不是还三的四次方？分子分子是不是一号核要选两个方案，所以c四二。乘以乘以剩下还有两个球放两盒就可以用方幂法。好放密法。好吧，这个大家上下阅阅。哎，月月，然后c12正好等于六嘛，

六六上月月又变成27。然后这个呢，就相当于三×4。啊，然后呢？这个约掉二×2×2就八是吧？乘以八。你把这约完以后，上面就剩一个八。好这里呢，应该选择d。好看，这个懂了没有？好，第四问。

大家看一下第四问。第四个，什么叫第一个核敲一个球，第二核敲两个球，我们画个图。好，第一个和恰好一个球。第二盒下有两个球。这时候还剩下几个球，还剩下一个球。好都想想应该怎么写？分母呢，还是三的四次方分子分子来想应该怎么写？就一号和要有一个球，一号和要有一个球，

是不是c四一？是不是就一号盒要选一个球c四一？然后呢？二号盒要选两个球，二号盒剩下还有三个球，选两个球。再给二号盒最后一个球，就放在三号盒最后一个球，放在三号盒就一种方法，可以省略。好吧，一种方法可以不用写。好，这样就得到。二十七分之四。

二进制四这个呢选e。好，这样写出来好吧，所以这样我们就把每一问的图画好，然后呢，再写它表达式就OK了，好看这个是不是懂了？看是否明白。好，这是给大家讲的这个方法。然后这个分房问题，它的应用应用就相当于是这个过生日这个题啊，过生日你看看。在房间里有四个人。这至少有两个生日，

在同一个月份，它的概率是多少？大家想一想。就思考这个题，过生日这个题。好，那么他这个房间有四个人。四个人至少有两个生日，在同一个月这种可能性有多大好？大家想一想。好，那么这12个月份。把它看成12个房间。比如说你的生日，几月份就去几个房间。

这明白没有？比如说一月份。二月份。11月份12月份是不是？然后就这样。从12房间，比如说你去了二号房间，你的生日就在二月份。好吧啊，这个明白没有？好，他这个至少有两人。是不是在同一个月份？就相当于什么在四个人，至少有两个人在同一个房间。

至少有两人在同一个房间，我觉得正面做。要复杂，因为至少有两个在同一个房间，有可能是两在同一个房间，有可能三人在同一个房间，有可能四个人在同一个房间。是不正面做太复杂。你想想呢，我觉得从反面做。是吧，咱们从反面做。反面求概率用一减啊，各位同学，反面求概率用一减。

好，大家想想，分母应该怎么写？分母集合当中，这12个房间有四个人，四个人去12个房间，到底是几的几次方要弄清楚。你们都说说几的几次方就四个人去12个房间有多少种方法？是不12的四次方别给弄错了？人是可以活动的，可以活动的就放在指数上面。房间是不能动的。好吧，这个能看懂吧？好，

这个分母总情况是分子分子，它的反面是什么？需要大家用逻辑分析。大家告诉我，从逻辑的角度，至少有两个人生日在同一月份。它的反面是什么含义？要弄清楚说一下反面是什么含义？都想一想。都想想反面是什么含义啊，都琢磨琢磨。都思考思考。反面。不太清楚啊。反面就代表是一人一个月份都没有，

在一个月份对对对，所以大家知道就每个人的生日都不在一个月份。有没有人在同一个月份过生日，就大家每人一个月，每个月，所以四个人就先学。四个月份。从12月份选四个月份。然后这个。大家排个序。排个序就相当于相当于从12个房间选四个房间出来。选四个房间出来，这四个人在去这四个房间时候，他排个序。知道吧它。

排个序。讲到这，大家一定要会区分这个阶层跟方蜜的区别。阶层记住就是一个萝卜一个坑，要一一对应啊，一个萝卜一个坑就四个。四个坑，四个萝卜，每个坑一个萝卜。这个方幂代表什么意思？蜂蜜就代表多个萝卜可以放一个坑。知道吧，多个萝卜可以放一个坑，别再写到最后了，混淆了，

弄晕了，知道吧？在这么大家要要会分析啊，就就做的时候一定要小心点好吧，要把这概念弄清楚。懂了吧好，这个数大家自己化简吧，剩下约约好吧，约约约上就等于96。41。选择e。好吧，这个大家呢，就化简一下。好，

那讲到这要给大家讲讲阶层。和方米区别阶层呢，就相当于是一个萝卜一个坑。就相当于每个坑。放一个萝卜。每个坑放一个萝卜。好吧，这样的，然后分子我们再说一说它的含义，分子c十二四经常从12个房间里面选出四个房间来。从12个房间选成四个房间。选完四个房间以后。这四个人。来进这四个房间，它要排个序。

比如说咱们选的是。一号房间，二号房间，11号，12号。这选了四个房间。这四个房间，这四个人，比如说甲乙丙丁这四个人。这四个人谁是一月份，谁是二月份？他们要排个序。好，这是分子，所以说阶层就代表一个萝卜一个坑，

每个坑放一个萝卜。看明白没有？然后咱们再说一下方蜜。呃，方便什么呢？方便，就是多个楼包放一个坑。好多个萝卜，一个坑。啊，多个楼，比如说。好几个人都挤在一个房间。而且房间也可以坑，也可以空的。

知道吧，这个这个里面房间也可以，也可以空，所以这个方秘方秘，你知道什么意思，这四个人。都挤在一个房间，可以。其他都是空的也行，或者四个人挤到两个房间也行。或四个人在三个房间也行，反正就这个方面。它的这个内容。知道吧，那要看自己是不是区分清楚？

这个坑它可以空。好想想。看这明白没有它的这个方法。好，那接下来咱们来看一下数字问题。那数数字问题。啊，数字问题的话，那主要是看它的数字有什么要求，有时候结合一些列举法。好一种编码由六位数字组成。就编码。每位数字可以是零到九，做任何一个。所以它这个首位也可以为为零啊，

首位它也可以。为零了它，因为它不是组成六位数，它就是一个编码。就像咱的密码一样，密码的话，你六个零也行零。开头也行好吧，他说编码前两个数字都不超过五。的概率，接下来看一下。它的总条数有多少种？这种情况数。那总结上每位数都可以是零到九。就每个它它都可以是是零到九，

知道吧？每个都可以领到钱，我们可以发现。总的情况数第一位有十种情况，第二位有十种情况有十。乘以十。乘以十就十的六次方。这也会产生方密。所以说，如果数字可重用的时候，它也要会产生方便。知道吧，所以有十的六次方。啊，因为十×10×10×10这样十的六次方，

然后分子。分子的话，要不超过五，想想有多少种情况不超过五？他说前两位不超过五，前两位不超过五，就相当于是就是零到五。零到五不超，五不超五就小于等于五。知道没有，有小于等于五就是六×6，因为它零到五有六种，它零到五有六种，后面的话。后面它仍然是零到九零到九，

仍然是十×10×10。知道吧，所以剩下约掉，约掉以后就等于零点三六。啊，剩下把这个粤语就零点三六。好在这里面大家记住，当数字可重复使用时，它也会产生这个方面。数字可重复使用时。它也会产生这个方幂。产这个方蜜。知道吧，好，那么它的方面是什么数字？

在底数。数位在次方上。数位在次方上好，这个别记反了数字。在底数。比如说咱们是零到九这十个数字，所谓数字有十种情况。数位呢？有六位，它是六位密码。六位是吧？所以它有六位就这个意思。那数字呢？有十个零到九有十个。好，

不要写反了。好吧，这是这个情况。因为数字它是可以重复用的。知道吧，它是可以重复用的。所以就放在下头。好看，这个明白没有？所以以后要看清楚它这个题目，它这个数字是不是能不能重复使用？知道吧，一定要看清楚。看还有没有什么疑问？好，

接下来咱们看一下。第12题。好从零一二三这四个数字中任取三个进行排列。组成无穷数字的三位数。则排成三位数是偶数的概率是多少？偶数大家先求总情况数。总情况，大家想想这三位数，它有几种情况？这三位数。它有几种啊？像这三位数，它有几几种？大家都说说，大家知道三个数最高位，

它不能为零，所以先所以说以后遇到速度问题先首位。知道吧，最高位。最高最高位不能为零吗？最高位也只能取一到三。因为它这是三位数百位，它不能为零，大家想想是不这回事。是不是百位啊？百位就是c三一，你自己再想想。百位就是c三一一二三，它不能为零，得到这个结果。

然后大家再想剩下的。十位有几种情况，大家想想十位。十位有同学说c二一。你认为是c而已吗？因为十位虽然百位它用了一个用了一个，还剩下两个，但是还要再加上零啊。所以c三一所以说这是百位。这是十位，这个位是c二一。个位c而已啊，所以有同学打错了。好，那接下来三×3再乘以二。

得到是。18个，这个能看到吧啊？18个。好，接下来咱们看偶数有多少个？再看偶数。偶数。偶数的话就个位为零或者二。这时候要分个位为零的。和个位为二的，这是要分一下。要分类啊，为什么要分？因为这个零个位用的话，

这个百位。就不会出现零了。如果在个位要位二位二的时候，它百位那有可能就出现零。对吧，有可能它出现零。好，那接下来咱们来看一下好，如果个位要为零的时候，个位要为零的时候，这时候百位呢，就c三一了。对吧，因为个位要是零的时候百位可以是一二三。然后十位就c二一。

这百位。这十位。加上如果个位要为二。个位要为二的时候，那这百位只是一跟三选一个。知道吧，百位指的是一跟三选一个，这个能懂吗？因为个位要为二嘛，个位要为200位，它只能是一跟三挑一个。那十位呢？还c二一。那十一十位，它可以用零呢还是要？

好，大家想一想，它这个情况。好都思考一下。好，把它加在一起。把它加在一起。这是十种。好概率p又写出来了。p就等于十÷18。等于九分之五。好这个呢，就选择d选项。所以偶数一定要分为零。和其他的对吧？

零如果这里要有四或者六零单独分，然后二四六可以不用分。知道吧，26它它这个都是可以一样写。好看这个题还有没有什么疑问，大家想一想。思考一下，想想看是不懂了。好，接下来咱们来看一下例13这个题。从零一呃没有零，从一到100，这100个数随机取两个数。它乘积的三的倍数概率是多少？大家想乘积要三的倍数，

应该怎么表示乘积三的倍数？这两个数要乘积。要等于三的倍数。想想应该怎么写？都思考一下，它乘积要三的倍数。应该怎么写乘积啊？是三的倍数。乘以三的倍数，那这两个是不是至少有一个三的倍数就行？是不是至少有一个三的标准就可以了？你想想是不是这样的？你自己再琢磨琢磨。我问一到100里面有几个是三的倍数的？呃，

遇到知道有一个大家从反面做比较简单，我觉得。是不是反面做啊？要简单一些。好，这一到100。100里面有几个三的倍数啊？是不是33个三的倍数的数啊？啊，33个吧，你看三六。九到99，所以33个。是三的倍倍数。你自己想想是不是这样的？

在琢磨琢磨。是不是这样的啊？至少有一个三的倍数，你可以从正面分类做一些。从这边做分母呢，是c120。100个里面取两个数。分子呢，要么就是什么，要么就是两个数都是三的倍数c三三二。两个数都是三的倍数。要么是一个是三的倍数，还有一个。不是三的倍数。这个能懂吗？

你自己再想想。这有点琢磨琢磨。啊，或者从反面做也行。要知道，一个从反面做，反面做一减去，它都不是三的倍数，它乘积不是三的倍数，乘积不是三的倍数，就相当这两个都不是三的倍数。都不是三的倍数，就相当于c六七二，这样也可以。你想想是不是这样，

这样也也行。上的答案都都一样，都等于一百五十分之八十三。啊，这33怎么算出来那么啊三的倍数怎么找是吧？三倍数怎么找三倍数？你看100÷3。得到33。所以应该有33个。也就说，从一到100里头。有几个是三的倍数的数。对吧？你像三六九十二一到九九。九九那不就33个吗？

你看看这个三就是三×1，这个六三×2。三乘以三一到三×33，你看是不是这样的？你看它从一二。到33。是不是33个？也就说，在100里头。有33个，刚好是三的倍数。其他67个不是三的倍数。就这样的，你想一想。好看，

这个明白没有？好了，那这个它的这个方法。然后在这里面遇到至少至多问题，千万不要去犯重复取样的错误。至少至多至少至多为什么会有时候要先取一个，剩下再取一个，这样会重复了。不要犯重复的错误。好重复错误，重复错误是是什么？我们在这里面给大家讲讲重复的错误。比如说他知道有个三的倍数，有同学这样想的。我先取一个三的倍数。

剩下还有99个，我再取一个。我先取一个，再取一个，那就那就出错了。比如说我先取的六。再取一个18。跟先取18再取六，这个重复了。好吧，这又重复了。这个明白没有？这个方法。就是。就是比如说你先取了六，

再取18跟先取18，再取六对咱们这道题而言，它又重复了。知道吧，重复在这，比如先取甲再取乙。和先取乙，再取甲就重复了。重复的原因，它从同一个样本取样，它会产重复。都从同类的样本取样。那怎么避免重复？不要从同一个样本取样。或说每个样本只取一次，

比如说。这32数我一把抓到两个数，我就取一次，手不要伸到里面去，第二次再取。或者说我从33个数里面取一个，剩下的就不再从这个里面取了。这每个样本只取一次，你就记住。知道吧。如果还弄不清楚的同同学。还弄不清楚的同学，我给大家再写写一下这些答案，咱们就做完了答案就选e先把答案给它勾上。好吧，

然后呢？这块。比如说咱们再看。abcd四个。让取两个。你看这两种写法有什么区别？第一种写法写c四二。第二种写法写c四一c三一。你看这两个区号有什么区别？那从四个里面取两个，取两个出来，那我们可以写c四二c四二，其实就是AB。ac ad BC BD CD.那要写c四一c三一，

你可以看，有可能先取a再取b先取b。再取a，先取a，再取c，先取c，再再取，后面就不再一一列了，你会发现它正好多了一个排序。所以取法上就称之重复了。知道吧，这是它的这个区别啊，你看看这一块。对吧，就它会取重复啊，

就会取重复。所以说这个下面就会出现重复。这样写就重复。你比如说这abcd取三个。取三个取三个，你写c四三。和c四二。c二一。和c四一c三一c二一你可以发现它，它这后面都都重复了。就如果abcd让你取三个。取三个出来，其实正确写法应该写c四三。如果你要理解三先取两个，我再从剩下的再取一个。

虽然实物里面也是三个。但这三个就重复了。你自己可以列一下，太重复了。而且这个重复有时候是可以消去，有时候消不了，你像这种写法，你消就消不了。这种情况还可以消。啊，这种写法是什么？先取一个，我再取一个，我再取一个，反正取出来也是三个以上，

那这这这个都重复了。这个成分了。你自己可以列一下，也没多少种，练习一下列举法列一列。是吧，列列这都重复。好，那大家都明白了，非常棒。好，所以说这个错误，其实这种错误很好很好，规避每个样本只能取一次。知道吧，

每个样本只能取一次，你就记住这个，比如说咱们分为男生女生，男生取完后不要再从男生样本取了。再从女生样本取这个没没事儿。知道吧，比如说几个男生，几个女生让你取，你从男生里面抓住两个人。然后剩下别再从男生样本抓了，男生样本一抓放在一起，它又重重复了。你就从女生样本里面抓。这样就不会重重复，你记住这样一个原理。

好看，这个懂了没有？这种呢，刚才我们讲例13，它乘积是三的倍数。如果改成和要三的倍数，我们会不会做？要改成和是三的倍数，你会不会做？都思考一下，我看会不会做，如果这道题改成和是三的倍数。还是从一到100啊，改成取两个数，两个数之和为三的倍数。

那你打算怎么做？两数之和为三的倍数。取两个数出来，这两个数和正好加在一起是三的倍数，这种可能性有多大？这种发生的概率有多高？都想想这时候呢，你要把一到100。这个按照余数的分类，按照除以三的余数分类。按照余数来进行分类。好，按照余数来进行分类，我们看怎么分？按照余数来来进行分类。

大家告诉我与。一的有多少个？余一的有几个，余二的有几个，余零的有几个？就一个数除以三它的余数。有余一的有余二的，有余零的记住余数，不能够超过三。咱们讲余数不能超过除数。谁告诉我一到100里面余一的有几个？那不会啊，余一的余音看一。四七。一到100，

这总总有多少个？你自己写写。余二的有几个余二的就二五八。啊，一到98。是吧，这有几个我们数数好玉林的，刚才上了玉林有三六九一到九九。这有几个，我看大家最害怕数有几个。数不清楚。都说了数不清楚啊，不会数啊？想一想，你认为有几个？

啊啊，有同学写的是33。三十二三十三。那加在一起总共是100个数啊，那加在一起是100个数啊。啊，总共100个数，你得咋分呢？总共加在一起得100个呀。你看看，只是分不清楚了，看看。再给大家一次机会。再有一次摆机会，摆在你面前，

不要错过了。你说有几个，谁说一说？你看这个这都不清楚。分不清楚原因，可能大家这个等差数列可能有同学没学，或者忘了是吧？等差数列就是an就等于一个a1，加上n- 1倍的d，这等差数列通项啊，这个n就等于an-a一÷d再加一。所以这个呢，就拿100-1除以。三再加一再等于34个。知道吧，

记住最后一个减掉第一个除以它的公差。然后再加上一就得到多少个？这样算好吧，教给大家一个公式。这个都都懂了吧，同学相当于这个呢，也是98减掉二÷3再加一。知道吧，这33个。好，这个刚才咱们算好也33个。好看，这个懂了没有？啊按按照余数分完类，那大家想想两个数相加要等于三的倍数。

那这两个数应该什么特征？都说说这样说什么特特征，是不是一个余一的，一个余二的，这两个加在一起肯定能被三整除，你认可不？它的和一定是三的倍数。你想想。是不是一个余一的，一个余二的，记住，只要余数相加。能够整除。那它的和。就能整除。

这个原理能能懂不？你自己再想一想。一定要把原理听清楚。所以说它一个余一一个余二型。或者说两个数都是被三整除的也行，是吧？两数都被三整除也行，所以它有两种情况。分母是c120。分母就c120总的选法100个数，随便选两个总的选法c120。分子分子，要么就是一个余一的。知道吧，要么就一个余一的，

一个余一的。一个鱼儿的。加上两个都余零的，就两种情况。是吧，就有两种情况，分成两类。这个就代表从余一的34个数里面随便选一个。这个样本就取完了，我就不再从这个样本取了，从另外一个余二的这33个数里面取一个。这样的两个数相加，就是能被三整除。或者说从这个鱼鳞的这树里面取两个。相加它也能被三整除。

这个数咱们课堂就不算了，你自己去算。好吧，看这个是不是听懂了以后余数，不管是除以三还除以四还除以五考试都按照余数分类。然后只要余数相加，是整除那么这个数相加就是能够整除。接下来咱们看一下例14这个题。啊若以连续质量，每色子得到点数作为一个坐标。那这跟几何图形相关联？几何相关联？则这个点坐标落入圆内，它怕大家引起歧义，内都不含边界。

不含圆周的概率是多少？好，大家都想想一个点它这个圆。大家想想。好，接下来咱们思考一下好吧，接下来咱们思考一下。看一看大家学过几何，同学应该知道。这个点的坐标AB是m的坐标，若落在圆内，落在圆内，是不是要满足a方加b方要小于18？你自己想想是不是这样？落在圆内，

就相当于小于。落在圆外就大于。知道吧，那就小于二。大于是落在原外啊，自己想想。好，那接下来谁列举一下，有多少种情况，这要用列举法。另外要有多少种情况，列举法都思考一下列举法。好，另一块来看a=1的时候b可以取多少？告诉我b是不是可以取一二三四？

是不是这样的？a取二的时候b可以取多少？是不是b可以取一二三呀？是不是？a=3的时候b可以取多少？想想a=3的时候。a3时候b是不是可以取一二？a=4的时候呢。b是不是可以取一？是不是这样的想想？对不对？大家输出中有几种情况？是不是十种情况？好概率p我们写写。分子就十。

分母呢？分母大家知道掷色子每次都是六个点嘛，六个点是六个点，第二次掷又是六个点。六种情况，这能看懂吧？就第一次次有六种，第二次又有六种。所以总共六×6。然后大家呢？剩下约约一下。得到十八分之五。这答案选d选项就十八分之五就写好了。好看，这个明白没有？

看还有没有什么疑问？所以考这个图形，比如说呃三角形呀，圆呀，或者什么图形？这时候又列举。列出来看有几种情况。列举出来以后，然后再写概率就行了。好看，大家是不是明白了？好，那接下来咱们课间休息一会儿好吧，大家休息一下啊。休息一会儿，

咱们再接着上课啊。考试的时候都是可以进行列清楚的，是的，考试我们肯定都得列清楚啊，你列不清楚，那就没法做。考试肯定可以列清楚，没有列不清楚的。列不清楚，可能自己呢？没有弄明白。嗯。嗯。好，咱们准备上课啊。

考试的时候都要把列举法学好啊，每年都有列举法的题，一定要重视列举法。嘘。好，咱们开始上课啊。好，那接下来咱们看一下第二节啊，独立事件。啊，读立事件题要简单。独立事件主要是要分析他们的成败图，谁成功谁失败再写概率。好吧，而且独立事件，

它的已知概率求概率，所以要简单的多。好，大家看一下第一个独立事件的概念。如果两个事件中任何一个事件的发生不影响，另外一个事件。它都不影响。好，那这时候就是独立的。啊，就互相不影响。谁也不影响谁。然后这是他的概念，那么怎么样转换成数学定义？就是如果发现pab=PA×PB，

就称为两个事件是独立的。那这个定义怎么去理解呢？他理解怎么理解？如果就相互独立，它同时发生的概率，这个a交b就代表AB同时发生啊。就它的含义，要知道代表是AB同时发生。好AB同时发生的概率。这得每个事件发生的概率相乘。知道吧，每个事件发生的概率相乘。就是a的概率和b的概率相乘。这个弄不懂，我给你举个例子，

比如说甲。成功的概率是零点八。已成功概率是零点九。问，甲乙同时都成功的概率。啊，甲乙两人都成功，如果要求都成功的概率。得出来的概率就零点八×0点九。就等于零点七二，就这个意思好吧，就这个明白没有，就两人都成功的概率，就等于每个。成功概率相乘好，

这是。独立事件，它的情况。那如果两人都失败呢？如果两人要都失败呢？都失败就拿甲失败，乘以乙失败，甲失败有零点二，乙失败有零点一。就这样的好吧，就甲失败乙失败的概率。好，这是独立事件，有所了解没有？是不是感觉独立世界要简单多了？

是不是就乘一乘就得到答案了？是不是很好学，所以独立事件一般大家都能拿拿满分儿啊，也很简单嘛。好，那接下来咱们说一下常用结论。第一个，如果事件a1a2 an相互独立，刚刚咱们讲了定义是两个事件独立，咱们有时候呢，三个人或者多个人。嗯嗯。他多个人要独立。对吧，那么他同时发生的概率。

就等于每个发生的概率相乘。啊，同时发生的概率就等于每个发生概率相乘。啊，这个能懂吗？就是n个人，就是他每个人概率相乘。第二个都不发生，就像都失败的概率就等于每个失败概率相乘。就a1，a2 an都失败的概率乘在一起。第三个就至少有一个发生。好，至少有一个发生，就用一减去就用反面做啊，

正面不好做，用一减去都不成功。知道吧，用一减一它都不成功的概率，这样就可以了。好看，明白没有？好，这是它的概率的式子。那接下来咱们看一下做题的核心，做题核心作为核心呢，其实就一个点要分析，每次或者每个人他的成败情况。就每次他的成败情况，或者每个人他的成败情况，

然后再对应写概率就可以了。好吧，就是每次或者每个人他成败情况，然后再写上概率。这样就OK了。好，这是它的这个做题的核心，你只要把每人或者每次谁成功谁失败，把这个有时候还要画图啊，有时候要比较复杂的，要画成败图。啊画成败图，成败图画完后啊，谁成功谁失败，一写写完就OK OK了，

很简单的啊。好，大家思考一下例一这个题。其独立事件这个题目很好区分，也说它都是已知概率求概率，你看到没概率都跟写现成的。然后让求概率。所以大家一定要有信心，这块呢，很好学的。好，他说甲乙两名射手独立的射击同一目标，他们击中概率分别是零点九和零点八。然后第一问目标，恰好被只被甲击中的概率目标。

恰好只被甲击中的概率。好，那么第一问。第一问应该怎么写？恰好只被甲击中，说明什么意思？说明乙是不是没打中啊？你自己想一想。是不是所以第一问的概率p1，大家会写不？所以一定要把这个事件的关系弄清楚。就只这个只被甲，这个只怎么理理解就只甲中了。乙呢？他没中，

那应该怎么写？是不是零点九×0点二啊？这相当于是甲中了。这相当于乙不重。你知道不？好，这样就写上看是不是？找到自信心了，很简单吧。对不对？第二问。目标被击中的概率是什么？这什么叫做目标被击中，大家学逻辑的同学。想想什么样的目标被集成都说说。

目标被踢中代表什么意思啊？这句话怎么理解都想一想嘛。好目标被击中，那这句话应该怎么去理理解它？目标被击中，代表是至少有一个击中就行是吧？所以第二步就相当于至少有一个人击中就行。是不是这样的？这种记录下来是不是可以从反面做，你想想。是不是用一减去？遇见什么？是不是一减去甲乙两人都不重啊？你自己想想是不是甲乙甲甲乙两人都不重，自己再琢磨琢磨。

是不是一减去甲乙他都没中？是不是是不是就等于零点九八？对不对？就一减甲乙他都没做。得到就零点九八。这里呢，就选择a。啊，这个答案就选择a想想是不是这样？好，接下来咱们看一下例二这个题。看第二甲丙三台机床各自独立的加工同一种零件，它独立。甲机工呃机床加工的零件是一等品，而乙机床加工的不是一等品概率，

这件事儿呢，是四分之一。乙加工的是一等品，而丙加工的不是一等品，概率是十二分之一。甲丙两台加加工的都是一等品，是九分之二。好，第一问。丙基层加工的实际样品概率是几？第二问，从甲乙丙加工的零件各取一个来检验。至少有一个一等品，概率是多少？大家想想，

至少有一个一等品的概率。都想想。好都思考一下，看看这个应该怎么写？好，那这道题告诉我们什么要反解概率方程？那咱们甲用a来表示乙呢？用b来表示丙呢？用c来表示可以不？那第一句话应该怎么表示啊？甲加工的是一等品，而乙加工的不是一等品，应该怎么写好第一句话？大家想想。一句一来。

不会的，同学慢慢写。甲加工的是一等品，乙加工的不是一等品，应该怎么写？甲是一等品就PA，乙不是一等品就一减PB。等于个四分之一，这个能懂吗？其实甲加工的是一等品，乙加工的不是一等品。这是四分之一，这看这个是不懂了。乙加工的是一等品。品加工的不是一等品。

这是十二分之一。看这懂了没？就乙加工的是一等品，丙加工的不是一等品，这十二分之一。甲丙加工的都是一等品，甲丙都是一等品，甲也是一等品，丙也是一等品。等于个九分之二。好，这些式子你再想想是不是听懂了，会不会列这个方程要解当咱们概率方程，大家不要硬解。并且你加减上下变化呀，

乘开呀，比较麻烦。教给大家一个方法，大家知道咱们概率都是有理数。不会含有根号。它有理数。另外，咱们概率都是零到一的。所以说你可以尝试。知道吧，就可以尝试啊，什么叫尝试，你不懂，我给你举个例子，比如说这个九分之二有人可以写三分之一乘以三分之二。

因为概率都在零到一。知道吧，这个能懂吗？所以说p和PC。一个三分之一个三分之二，但是但是谁是三分之一，谁三分之二，咱们得判断一下，有可能前面是三分之一。有可能前面的三分之二。知道吧，它有可能三分之一，有可能三分之二咱们。得观察一下。那接下来咱们再看这个。

这个十二分之一。十二分之一可以写成三分之一乘以四分之一。也可以写成二分之一乘以六分之一。对吧，但是它只能是取三分之一和四分之一，为什么呢？为什么想想？因为它这个有一减PC，这有PC。大家知道PC和一减PC。这两个数正好是相差一。是吧，所以说在这里面，你要找这两个分解完相差一相差一，我觉得三分之一跟三分之二。

唉，这两个就可以找出来。这个能懂吧，你自己再想想。是不是这样的，你看如果PC是三分之二。一，减PC。这样就三分之一。是不是正好能对上能对上，那这就解出来了，其他人再验证一下，不放心再验证一下。所以这个就得到PA的值。正好是三分之一。

啊PA的值正好三分之一，所以PA正好等于三分之一。然后p的值要三分之一。呃，那么带入第一个就可以算出PB的值？知道吧PB值正好是四分之一，这个明白没有PB值有四分之一自己去解。或者或者带第二个也行，第二个PB在这PB是四分之一。PC呢，有三分之二。对吧PC就三分之二。啊，这个明白，没有PC有三分之二。

所以丙的概率就三分之二，这个答案选a你自己再想几秒钟想一想。所以大家遇到这种概率方程的时候，就这样去解。要不然你把成态硬解也能解，但是特别麻烦。看还有没有什么疑问？没有疑问，咱们看第二问。他说，各取一个检验，就这甲丙各取一个，至少有一个一等品，肯定要从反面法。所以第二问的概率，

咱们用p2来表示好吧，第二问概率用p2。至少有个一等品，就一减去三个都没有一等品，三个都不是一等品，走一减去。摄像头不是一等品。好，那么甲不是一等品就三分之二？四分之三。三分之一，这个能懂吗？这个算出来就等于六分之五。这个答案选c。就六分之五好看，

这个明白没有？所以第二问。就是用反面来做，所以第一问要把甲乙丙它的概率给解出来。所以大家要简单的练习一下解概率方程的方法，叫尝试分解法。所以要会解这个概率方程。好吧，大家要会写，看懂了没有？好，接下来咱们看一下例三这个题。想想例三这个题。某项考的科目。某项考试按照科目a。

坑b依次进行。依次进行什么不能够换顺序。只有当科目a合格时，才可以继续参加科目b的考试。是吧，就第一科你过关了，合格了。可以参加科目b的考试。每个科目只允许有一次补考机会。两个科目均合格，可以发给你证书。好，现在我们参加这项考试。科a每次合格概率三分之二。就它考过的概率，

三分之二。科比每次合格概率二分之一甲各自考成绩。互不影响。好第一问，此人不需要补考就可以获得证书。大家想想第二问，此人可获得证书。想想都思考一下。对咱们这个概率方程。啊，所有都能够尝试分解啊，都能分出来。啊，硬解不好解。并且带一堆小数。

知道吧，约来约去不好解。所以以后给的这个概率啊，所以大家考试出现这种概率方程，反正概率一般就是三分之一啊，三分之二啊，四分之一啊。四分之三呀，反正就这些常用的数也不会给你出一个很大的一个分数，你分解不不出来。所以一定尝试，所以大家就凭你的经验，凭你对数字的感觉。你试一试就试出来了。好，

那接下来咱们看这个题，想一想第一问。它不需要补考就可以获得证书，不用补考就可以获得证书，想想应该怎么写？不用补考货物证书什么意思？科儿a一次过，科儿b也一次过。就有点像什么大家。笔试初试一次过线。复试也一次过线，给你发录取通知书。知道吧，就这个意思啊，就就都是一战成数。

一次性都考过了，对不对？好，第一问的概率p1p代表是科儿a，那么一次过。科币啊，一一次性过。好看，这个懂了没有？正确答案选b。第一问都会吧，那第二问呢？第二个稍微复杂点儿，大家能不能画一下图，如果稍微复杂点儿，

绕不过来，同学你画一下图知道吧？把图画画。把图画就可以了。它图什么？这是a，这是b。是a1a1就代表第一次考a2就代表二战。好吧a1代表一战a2代表二战。然后这个b1b2。b1的代表一战b2代表二战。好吧，那我们来看他要能获得证书。或者咱们看他他的机会是怎么样获得证书，有可能a是一一战通过。

b呢，也是一战通过注意，如果第一次就考过，就不用去参加补考。在我就像大家在学校里面，如果那个没挂科儿，没挂科儿，那这个科儿就过了，如果挂科儿的话就得补考。是吧，好这个并不说补考都要参加，就要看第一次过没过。有可能什么有可能a呢是？一次性过的b呢，它是二战过的。

是吧，第一次他挂科了。然后第二次它补考的时候考过了，这也算也也给它发证书。你自己想想是不是这样？一定要把这个成败图画清楚。同样能画清楚，那就好写表达式了，你自己再想想。那有可能a什么a呢？是补考过的。b呢是一战就过了。好有可能AB呢，都是补考过。所以它将有四种情况。

概率会不会写？好想想概率大家会不会写？好那么a过的概率是三分之二。b过了概率是二分之一。好，那接下来咱们看啊a过了三分之二b过了是二分之一，接下来看一下概率p第二问的概率用p二来表示。好，它总共有四类相加分类，用加法做啊，分类用加法。好，就是a1。b一就三分之二乘以二分之一加上。a呢，

是一占过的三分之二b呢，是补考过第一次没过好b，它过的概率是二分之一，不过概率也是二分之一啊。加上a呢，是补考过第一次不过的概率是三分之一，过的概率三分之二b呢，是一次性过。加上a呢，是补考过的a呢，第一次没过，第二次过了。b呢，是第一次，不过第二次过了。

这样的好，这个写好。这个能懂吧，就写出来了。然后这个通分的时候一定要细心点啊，别算错了啊，就怕有同学好不容易把是列错了。一犯粗心错误哪一块儿。写好了，然后这块它的这个方法。好，那直接就可以得到。三分之二就行了。好，这是它的这个思路。

方法好，这里有可能。有同学想从反面做。反面是这样情况啊，反面反面呢，比如说a。他第一次没过，第二次他也没过。那就a就相当于他没过了。或者说反面是有有可能什么反面就a过了，当然b他没过也发不了证证书。知道吧，虽然这道题的数碰巧是巧合，正好有同学说这个a过的概率三分之二。a不过盖三分之一。

那a不过概率只是a一次，不过的概概率三分之一，所以有同学说这一减三分之一行不行？正好得到三分之二就不用那麻烦算了。这个数刚好是巧合。刚刚好，所以说他要没获得证书，他的情况不是一减三分之一那么简单。知道吧，你不应把这道题这个三分之二。换成其他数，换成五分之二。好，那这个数可能呢就就不太行了好吧，所以在这里面。

好，所以有同学列了40。一减三分之一再减去三分之二乘以二分之一。那么这时候你还要考虑什么呢？考虑他补考了没有？考了，不过所以说如果要没获得证书的图，应该这样涂，没获得证书图啊，应该这样涂。就是不获得证书。不过这张图他应该这样涂。这又是用了大家逻辑推理。是吧，比如说咱们考试出一个逻辑题逻辑呢，

它只是偏这个文字描述咱们数学是偏。数字答案知道吧？比如说逻辑这样说说，如果他这个人没获得证书。则可以推出一下什么可能性。知道吧，则有以下什么可能性，它逻辑会这样出，它要不获得证书图这样的。有可能a。全挂了，那这个b的机会都不给了。知道吧，就有点像什么？啊，

初试他都没过线，那复试呢，就不用参加了。是不是这样的？啊，这样的情况是不是好按照这个a？啊，就是第一次考挂了。补考也挂了啊，那那就挂了是吧？那b就不让参加了。还有可能什么还有可能。可能a第一次过了，但b呢，第一次挂了，

第二次他他他也挂了。是不是a好不容易过了？还有可能是什么呢？还有可能a过了。然后b挂了。这样，所以这是没获得证书，它的这个情况。好吧，没获证书啥情况？就这样的一个数值，它要带有一定的偶然性。知道吧啊，带有带有偶然性代表什么呀，用错误的方法，

有时候呢，也能得到正确的结果，这个带就带有一定偶然性。你比如说把这个三分之二改成一个其他数，那你你又又试一下你的企业表示不行，这个企业表示行。就一减去它不获得证书的概率，这样也行。啊，这样写，这样写是可以的。就一减去。好a呢，是过的概率三分之二，它是二分之一，

所以说a第一次挂了三分之一，第二次挂了三分之一，应该一减去三分之一乘以三分之一。再减去三分之二。乘以二分之一二分之一再减去。三分之一三分之二。二分之一二分之一啊，这样这样就行了，它挂了好吧，它不会了这么多图，其实大家发现没有？是不是对逻辑的呀？要求分分析能力非常高是吧？一定要非常严谨。好吧，

而不是说我a直接写一个三分之一，直接写一个三分之一，只代表a第一次。他挂了那第二次，人家有可能过了，知道吧？好，这是给大家这个讲的这个结果。你自己再琢磨琢磨，看还有没有什么疑问？好想一想好吧，你看看这个是不是很好玩儿？是不是然后逻辑要能逻辑它就偏推理？知道吧，就数学题可以改成逻辑题，

逻辑题也改成也可以改成数学题，逻辑题要改成数学题，就加上一个数字答案。就是数学题，那数学题怎么改成逻辑题，把它变成一个语言的描述，比如说某人要没获得证书，他会有以下哪哪哪几种情况，它总共有三种情况。它不获得正数。知道吧，它不获得证书，有三种情况。好，那这个大家自己去写一写。

还有什么疑问没有？咳咳。啊对，别弄漏了啊，漏了就不行，漏了那逻辑题那那你弄漏了这这也不行啊？是吧啊，逻辑题你漏了这个也不行。好，大家写的时候细心点啊。好，这些情况如果能记住这个不用记，因为它每个题它不一样嘛，你数学有时候把它背着背着人家下次。下次人家换一个人家，

比如说b呢，给你三次考试机机会a呢，给你两次是吧，你记住没没用。你要记住这个分析思维。是吧，把思路记清楚。刚死记硬背是不行的。好，那接下来咱们看例四这个题。某人将五个花一投向一个木桩。每次套中的概率。都是零点一。则至少剩下一个环未投的概率到底多少？什么叫至少要剩下一个环没投？

这句话怎么理解？至少要剩一个环没有投。想想至少要剩一个环没投，应该怎么弄？这道题又有终止条件。好，至少有个套中位是吧？至少要有一个环眉头就40之内以内要套中对对对。是一定要套用，所以这道题可以从正面做，也可以从反面做画图。像后面这几个。比较复杂的独立试验与学会画图。好，这五个环。

就把它分为五次。大家想想，如果第一次。我中了第一次是套圈嘛。比如拿一个圈往外一扔，套中了。套上这个就不用再套了。是吧，不用再套好，这时候还剩下四个活。是不是剩四个环，这四个你就不用投了，手里还剩下四个。啊，

如果第一次没中，第二次还要接接着套第二套，第二次如果套中了，这时手续还剩下三个活儿。好，如果第一次没中，第二次没中，第三次中了。这时候收敛，剩下两个环。对吧，手里剩两个环儿。好，如果第一次没中，第二次没中，

第三次没中，第四次中了，就是剩一个环儿。是不是这样？是不是剩一个环？好，这样就行了，所以至少要剩下一个环，就这几个。然后把这四类相加，把四类相加，这是正面做，当然一会儿给你讲讲，从反面做。好概率p好第一个重重的概率是零点一对不对？

重概零点一就零点一分类用加法啊。这样第一次没中，第二次中。啊，有可能是第一次，第二次都不中。第三个中。也有可能是前三的都不中。第四种。这个能看懂吗？自己想想。那有同学可能会问，这是怎么求？这个怎么求？等比数列求和公式，

谁来记得？大家搜索等比数列求和公式谁还记得？等比数列求和。又忘记了德梅特求和公式。啊一减公比分之首项，乘一减公比的N次方就是四四项四次方。知道吧啊，这样所以有同学忘了，然后一减零点九跟零点一这样约掉。啊约掉，所以就可以得到这个结果。好，那我把这个等比数列求和公式给大家写一下，等比求和。s就等于一减q分之首项，

乘一减q的N次方。在咱们这个题q相当于是零点九就公比是零点九。这个a1代表首项是零点一。这个n相当于是四四次方好吧，这个n相当于四只有四次方，这个能懂吧？好，这个写好了啊，好，这是一种方法。那另外一个，还有一个反面反面法反面图应该怎么怎么画？大家知道，至少有一个的反面，就一个都没有，

所以从反面做。好，这第一次，第二次，第三次，第四次，第五次。大家反面想想是什么？看大家逻辑学的怎么样？至少有一个的反面，咱们讲了就一个都没有。就手里边没有花。书里也没有花，代表什么意思？是不是也没没法了？

手里面环儿都没了，环儿没了是什么意思？像第一次。不中第二次，不中第三次，不中第四也不中。那这时候就没法儿了，那有同学问第五次什么第五次重和不重都没都没事儿。是吧，第五次中和不中都没事。也说你前四不中，前四不中，最后手里那环往外一扔。至于最后一次扔出来以后，他重不重没关系。

知道吧，如果你比较纠结，那也有可能中。有可能呢。它不重。其实有的最后一次呢，无所谓。无无所谓，知道吧？好，那要写的话，你可以把两个相加，或者说以后如果某一次它无所谓，这一次可以不用考虑。知道吧，

更简单一点，如果要写的话，就这样写，就零点儿九的四方乘以零点儿一啊，这是前四次不中。第五次中。加上零点九四方再乘以个零点九最后一次，它也不重。然后把这个零点九四次方提出来，提出来以后零点一+0点九正好是一正好一，所以干脆。啊，这是用反面反面要加上一个一减。反面知道吧，我想讲义是什么，

以后大家就不用多此一举了，反正就这一次重和不重。无所谓，无所谓的话，直接把最后一次不考虑，直接考虑前四次的情况。直接就一减零点九四次方，这样更简单一点，知道吧？这样做的更简单一些。啊，直接答案就选择的是a选项。好吧，看这个懂了没有？看还有没有什么疑问，

所以说正面的图。反面图都给大家画了，而且是要等比数列求和公式也给大家讲了。此外，如果某一次重和不重。不影响不影响的话，你可以把它去掉，因为这个零点一和零点九相加。就等于一。所以他这个数也没啥意义。不影响结果，你可以不用管它。懂了吧，直接画前四不中就行了。好自己再想一想。

好，下面咱们看一下例五这个题。好，例如这这道题，大家怎么去理解？从原点出发的质点m向x轴的正方向移动，一个和两单位概率分别是三分之二和三分之一。该质点移动三个坐标单位到达s=3的概率是多少？dot I=3好，大家画个图，这道题能读懂吧？好假设它是从原点出发的。一个质点m向x轴正向只能正向移动啊。好，这是零。

这一这二这三。它可以移动一个单位，也可以移动两个单位，分别三分之二到三分之一。它要移动三个单位到达x=3。大家想它可以怎么移动啊？可以怎么移动？是不是可以一次移动一格儿移动一格儿移动一格儿？就每次走一格。你自己再想想。还可以，怎么移动啊？你们说说。它可以移动一个单位，一个单位也可以，

什么也可以先移动一个单位，再移动两单位行吗？这样可可以吧？你自己再想想。那还可以，怎么弄啊？还可以先移动两个，再移动一个行不？你再想想。但它不能后退啊，不能够退。啊，如果听懂的同学概率，想想怎么写？你概率怎么写？

想想。啊，思考一下概率应该怎么写？好，那么咱们来写，如果要移动一个一个一个移动就三分之二嘛，就三分之二。它的三次方能看懂吧？这样如果先移动一格，再移动两格。还有可能是先移动两格，再移动一格。是不是这样呢？这样大家自己化简一下，等于二十七分之二十。

你自己再想一想。所以说，独立事业一定要把过程弄清楚，过程弄清楚，这就好办了。看这个明白没有？接下来咱们看例六打比赛题。第六，这个打比赛。甲，丙三人进行某项比赛，每局有两人参加，没有平局。不能打平，在一局比赛中，

甲胜乙是五分之三。甲剩丙是五分之四，乙剩丙也是五分之三。看好了比赛的规则。比较规则先。是甲和乙打丙先不打啊，丙理解错了。很多同学看题呢，都没看清楚笔呢，一开始没打。现在甲乙党。以后呢，每局的获胜者跟未参加此局的人进行下局的比赛。在比赛中，有人获胜两局，

就算取得胜利。这个获胜两局不是连胜，是累计胜两局，这样比赛就结束了，就不打了。第一问只进行两局比赛甲就取胜的概率是多少？大家想想第一问画一下图。只打两局甲就胜了。大家想一想。他的比赛图应该什么就甲乙先打。就第一局，甲乙先打，你告诉我谁胜啊？甲乙打是不是甲要胜？是不是加一打？

是不是甲要胜？你自己再想想。然后这时候盖伦的甲跟丙打。谁胜啊？想想是不是甲又胜了？这样话，第一局甲乙打甲获胜，第二局甲跟丙打甲又胜了，所以说。进行完两局比赛，甲就胜了两局就取胜了，比赛就结束了，不打了。你自己再想想。是不是甲乙打甲要胜的话是五分之三？

然后是。甲丙打甲胜的话是五分之四。所以算出来等于二十五分之十二选择d看，这个是不懂是不是选择d？想一想，大家思考一下，想想是不是这样的？啊，都想想啊，看是不是明白了，然后咱们看一下第二问。第二问，直接两局比赛，比赛就结束的概率。只进行两局比赛，

比赛就结束了。直接两局比赛比就结束，这个结束怎么个结束法想想？第二问怎么解释法？想想它的图。第二问有两类。知道吧，有一类是第一问的，结果就相当于是甲胜，知道吧，有一类是甲乙打甲胜甲丙打甲又胜。或者说第二种情况。第二天就甲乙打乙胜宜宾，打乙又胜了。知道吧，

乙又胜了。这个明白没有？好做到这有同学可能会问。你有没有在讨论丙胜的情况，不可能因为丙第一局没打，这是这个细节，有同学。没注意到丙第一局是没打，所以要只只进行两局比赛就结束，只有这两种情况。因为第一局比没打。第一句指甲乙的。所以说两种情况，第一种情况就是甲获胜了。比赛结束或者已获胜，

比赛结束只有两种情况知道吧，所以第二个呢概率p我们就可以写写出来。一个是第一问的，结果再加上乙胜的结果，乙胜结果就是五分之二就是甲一打乙胜，乙胜就是五分之二。乙剩五分之二呃，乙剩丙是五分之三。就等于二十五分之十八好吧，第二问算出来就二十五分之十八。这个答案选a。好看，这个懂了没有？这个答案选a。好，

接下来咱们看第三问甲取得比赛胜利的概率第三问。假如是。甲要胜的话。那这时候要讨论打几局？知道吧，他能打几局？有可能是两两局，就是第一问的结果就是甲乙打甲胜甲丙打甲又胜了啊两局。很有可能打打打几局打四局。好，那有同学说这个4g怎么推出来的？设计怎么推测？因为大家想想。甲得胜两局是吧？因为人家说了。

谁胜两极，谁有取胜。夹庭里剩两句。乙和丙肯定不能胜两局，乙和丙要胜两局，有乙就胜了，所以乙。和丙只能胜一局啊，乙和丙只能胜一局，所以四个人是这样呃，三个人是这样的。就甲胜两局，乙胜一局，丙胜一局，所以说就四局，

就这样懂了吧？好，你这个所以这需要大家很好的分析能力，逻辑分析能力。知道吧，所以这块儿学不好，同学你就好好学逻辑就行了。知道吧，你看就是a的。甲胜甲丙打丙丙丙胜丙只能胜一局啊，各位同学丙乙打。然后呢？又是乙上。乙也只能胜一局，然后乙跟甲打甲又胜。

所以在这在这甲胜一局，在这甲胜一局。这样就行了。好吧啊，四局还有一个图，还有一个图就是这样的，甲乙两。以上。乙跟丙打乙跟丙打乙不能再升了，乙只能升一局。好一个面答丙上。丙跟甲打丙跟甲打丙不能再胜了，丙要再胜丙要胜两局，那丙就取胜了。然后这时候甲胜甲跟乙打甲又胜了。

知道吧，所以甲在这儿上，句在这儿上，一句这样就可以了。所以它三种加在一起。这个式子看这个懂了没有？看还有没有什么疑问？接下来写概率，写概率大家都会写好吧，第三问的概率用p3来表示。好，这个会写吧，就甲乙打甲胜就是五分之。甲胜乙的概率是五分之三。是吧，

然后甲剩丙的概率是五分之四。加上甲胜乙的概率是五分之三。甲剩乙的概率啊，十五分之三。甲跟丙打丙要胜，丙要胜的概率是五分之一。然后兵一打，乙要胜兵一打，乙要胜就五分之三。然后乙甲打甲要上甲胜乙十五分之三。加上最后这个图。甲一打乙剩十五分之二。然后宜宾达是炳胜还是五分之二？然后兵家打是甲胜，甲胜丙是五分之四。

然后甲乙打又甲胜。甲剩乙是五分之三。好，那算到这这个数呢？大家呢？要上手，要细心点好吧，就别给别给写错了。啊，算的时候细心点，最后算完后。就等于五分之三好吧啊，这个。考试时候千万别给看错了，那数比较多。

好，这是它的这个式子。好这个呢，就选择五分之三选择d。好，这是它的这个方法。啊，是获胜的，跟未参加此局的人来打，比如说甲乙打。甲胜。甲呢，跟未参加这一局的丙来打。知道吧，就这个一定要看清楚。

就是这一局的获胜的人跟没参加，没有参加此局的人打。你看，比如说甲乙打甲胜了唉，甲他获胜了赢了。那甲呢，就跟没有参加这一局的人，没有参加这一局的人是谁呀？就是丙。好甲跟丙打丙胜了。丙胜了以后，丙跟谁打？丙跟没有参加这一局的，没有参加这一局就是乙来打。以此类推。

好吧，看这个明白没有？好，那么这三问分别代表比赛的三类。参加比赛第一问是代表定局数定人。什么叫定局数定人啊，第一问就是比赛两局。指定取数就比赛两局人必须是甲取胜。啊，定人。第二问是定局数不定人就定局数，现在你们只打两局。谁胜我不管。啊不定人谁胜我不管。第二问是定局数。

不定人，你们谁想上我不管他。第三问。第三问是不定局数，你们想打几局随便打。想怎么打都行，打多少局随便打，但是我要指定人必须甲胜。一般考试都考第三问。这时候你要讨论打几局，知道吧，所以说这个就不定局数，你们想怎么打都行。这是我定人。定必须是假设。

啊，最终是假胜，想打几局这都可以。好，那这最后两个你就得讨论讨论人。啊，如果不定人讨论人，比如说他到底是甲胜还是乙胜，讨论一下分类讨论这个不定局数，要讨论打几局？那看哪几句考试不要漏掉，不要打两局行不行？打三局行不行？打四局行不行？那就讨论一下。

好，这是比赛三类，一定要抓住啊，考试比较难的就第。第三个。好比较难用第三个。把它弄清楚。好，最后咱们的一个表格，那就。这个这章就讲完了，那个表格这个表格主要是把这个独立事件和古典概念做一下区别就行了好吧，简单的一个表格。古典概率和独立事件的区别。第一个题目特征。

第一个就题目特特征，即使你数学再怎么不会题目特征，古典概率是已知个数求概率。你的个数，比如说。四个白球，三个红球或者几个球，几个和反正都可以个数来求什么什么概率？独立事件是什么？独立事件是已知概率，求概率。比如，已知甲的概率是几啊？乙的概率是几啊？已知概率求概率。

好，这是第一个，它的题目特征，你要会判断。第二个就是方法思路。方法用什么方法求？方法思路好，那么这个古典概率化，咱们用除法来除，用两个排列组合相除计算概率。用两个排列组合相除。来求概率，他用除法。主要体现在，本质是相除用一个比值来求概率。

然后独立事件，什么独立事件是用乘法或者加法来求概率。你看刚才咱们写的。那谁跟谁乘加谁跟谁乘加谁跟谁乘，是不是你是是不是这样能看看用乘法或者加法，它没有什么除法。用乘法或者加法来求概率。所以它体现了。是乘法或者加法。然后最后它的难点。难难点好，那古典概率上难点就取样方式和列举法。比如说什么有放回啊，无放回把一些同学折腾晕了。还有什么？

还有些。这个列举法有同学最害怕列举。而每年就考这个列举，列举法列不明白，有同学。然后独立事件，它的难点什么难点就分析它的成败的过程。分析成败的过程，比如谁成功呀？谁失败呀？因为刚才有同学就折腾不清楚，比如甲跟乙打。谁谁谁赢了谁成功了，甲跟丙打谁成功了，丙跟乙打谁成功了。

乙跟甲打c成功了，唉，分分析不清楚是吧？就分析成败的过程，只要把过程分析好了，对应的这个图写概率就行了。好吧，还有刚才咱们讲过的这个套套圈，还有走这个内容就过程。是吧，还有这个刚才套套圈，第一是成功没有成功了，还是失败了，第二成功还是失败了，反正就这个这个弄不清楚。

这个如果能弄弄清楚就可以了，这是它的核心难点。好，把这个记下来啊，记下来大家看看。是不是都明白了？好，那咱们的课就讲到这好吧？好，各位同学好，加油。啊，咱们晚上。呃，班费呃呃。

给大家开个班会啊，班会，然后咱们再进行交流，后面的规划好吧，然后给大家再聊聊。这个假期的规划啊。大家都过来开班会啊啊，杰杰克的班会。好吧，对听老师上课就有无穷的信心，然后把无穷信心转化成自己的学习的，这个效果好吧？然后你就加油啊，你就可以考一个很好的成绩。是吧，

就能够一次上岸。好，加油好吧，好了，咱们晚上班会见，上午就讲到这啊，下午就没课了啊。啊，咱们课就上完了，下午大家就可以好看啊，你二战呀。好状态很好，康复了，很有信心了。啊，

现在康复了，反正这个。这个前几天确实难受的要命。啊，反正现在这个基本就康复了，大家好好加油好吧啊，你就不用担心。咱们都能够考出好成绩的。好了，各位同学拜拜啊，大家加油。啊。

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