13.代数2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 05:46:19

咳咳咳。呃，各位同学，大家下午好啊。啊，咱们课程好像就开始了。大家打个一进行签到啊。哼嗯嗯嗯。好，大家进行签到，打一进行签到。咳。嗯嗯。好，各位同学，

咱们开始上课啊。好，咱们开始上课了。下面咱们看一下例五这个题。好一项工程由甲乙两人合作三十天可完成。然后甲单独做二十四天后，乙加入两队合作，十天后甲又调走。乙队继续做了十七天才完成，若这项工程由甲单独做，则需要多少天？好，那接下来咱们来看一下。呃，第一个方法就列方程，

求解列方程，求解的话，大家在设备的数的时候，实际上问甲单独是多少天，但是不要设。甲单独的天数，因为这样列方程呢，就比较复杂，所以说我们呢，就可以设甲乙的效率。甲效率是a乙的效率为b。好，那么咱们列两个方程，第一个方程的话，两人合作三十天可完成。

啊，合作三天可完成就代表什么意思？代表两人合作的效率有a加b，然后乘以三十。完成就等于一。啊，完成了它就等于一啊，合作三十天可完成。然后第二个就是甲单位做二十四天乙队，加入两队合作十天好，那在这里面大家可以看到甲总共干了三十四天。所以三十四乘以a就代表是甲完成的工作量。然后乙总共做了二十七天。二十七天，相当于这十天的合作，

加上十七天单独，所以总共呢就是二十七天。所以这个前面三十四a代表甲。完成的工作量，这个二十七b代表已完成的工作量，然后两个完成工作量加在一起，正好等于一个一，所以这道题咱们找的是工作量作为等量。然后两个方程，两个未知数，把这个效率解出来，效率解出来以后就可以列出它答案了，好，这是它的这个方法。接下来，

方法二，方法二就采用咱们。讲的新方法，用这个等量转换的方法做，大家看能不能想到？就相当于是。第一句话，甲乙两人合作三天可完成，就相当于甲干了三天。乙干了三十天，他就做完了。所以大家呢，以后把这个合作一定要拆开，拆成每人都干了十二天，他就完成了。

然后呢，第二句话相当于甲干了三十四天。啊乙干的二十七天，他也完成了。好，那接下来上下两个相减，我们就可以得到这个结果。然后三十到三十四说明甲多干了四天，那么乙就可以少干三天。因为同样这么多活，一个人多干点，另外一个人就可以少干点。相当于甲四天。等于乙三天。这个呢，

等量也是工作量相等，就甲干四天的工作量，相当于乙三天的工作量。好，这样甲四等于乙三甲四等于乙三，接下来呃，他让求甲单独需要多少天，咱们让乙不干活了对呀。想想乙这个三十天不干活。三天不干活，乙的活让甲来做，大家想想甲需要做多少天，你们会不会思考？这个三十天呢，让乙就不干活了呀。

乙就不干了，乙不干了，然后三十。是吧，不不让他干活了，甚至不让他干活了，让甲来干，那甲是不是得需要四十天呀？你自己想想是不是这回事儿？相当于两边都给它乘以十倍。大家想想是不是这样，两边都给它乘以十倍十倍，那就相当于四十天。比如说乙三十天不让干了，让甲来干甲解这四十天。

啊甲得四十天好，那么甲单独完成一个人干，一个人干就得需要七十天，因为甲自己的活需要三十天。然后乙的活让甲干甲得需要四十天，所以甲单独就是七十天。好，这样做是不是比较快一点？这个答案就选择b选项。好，那这是他的做题的思路好吧，通过这个题，大家完成一个转化就可以得到答案了，看是不是听懂了？好，

那咱们这个技巧已经第二次使用了。然后这个技巧什么时候用呢？大家看一下关键词，不是每个题都能用关键词，关键词的话，主要出现完成方式。这样都可以用。好，把它放开完成。这个完成是吧？只要看到完成这个词出现都可以这样做啊，所以大家记住这个技巧，它使用。好，咱们把这技巧就可以简单的概括一下。

当出现多种完成方方式。多种。好多种完成方式的时候，我们就可以这样用，知道吧？多种完成方式。好动态完成方式，你就这样用就行了，动态完成方式，比如说甲A天。乙必填。他做完了。然后这个甲c天。以第一天他也做完了。这样的话，

我们通过这个就可以得到。注意，如果c要比a大。d一定比b要小好吧，如果这个数比上面的数大，这个后面这个呢？比它这个要小。好吧，有点小。反过来，如果下面这个数比上面要小，它的这个数要比上面要大。好，那么就可以得到。甲A减c这个绝对值天。

等于一，因为咱也不知道谁大谁小，所以加个绝对值算了。好，那把这个得到以后，然后接下来你就进行转化，比如它几天相当于它几天相一转化就可以得到答案。好吧，这是给大家总结的这个技巧，大家看是不？明白了。好，这是这个题，大家呢？思考一下。

好，接下来咱们看下个题就进水排水问题。这道题可以用效率正负做，你不用效率正负用，另外的等量做也行。啊，这是进进水排水。啊，进水排水进水排水，你不用效率正负做你那你就这样做了，就相当于是。呃，这个原有的水量。加上新路径的水量等于总的排水量。就总的排水量。

就等于原有漏井的六百桶。再加上。这个漏漏进的水量。这个船还在往里漏水是吧？咱们可以设每分钟漏水是s桶。每分钟漏进水s桶。那么，总的排水量是两部抽水机合作，两部抽水机的效率分别是二十和十六。这是两部处理器的效率之和，然后再乘以它的时间是五十分钟。这总排水量。等原有的水量是六百。啊，原有水量是六百。

对吧啊，六百，然后加上漏水量。啊，加上漏水量好，漏水量就是五十乘以x。好，这样就写出来了s就等于二十四。好，如果用效率正负，怎么做效率正负？你就把这个五十s给它移过来，移过来效率就变成负的了，比如说变成二十加十六减去。x就相当于它效率这块是负的。

然后再乘以五十，最后等于这个六百桶是吧？反正做的结果是一样的啊，所以说如果效率正负大家弄不明白。你就找这样的量。找这样等量也可以。好吧，这样也OK的。好看，这个题懂了没有？好，接下来咱们看这个题，这个题是考察晴天雨天。它的效率的问题啊，晴天雨天。

好那么，一队完成甲工程需要十二天，这是晴天的时候。哎呀，这道题跟之前的题不一样的点是它有两个工工程。各干各的一类呢，完成甲二类，完成乙。好一类完成甲需要十二天，二类完成乙需要十五天。雨天时，一队效率是晴天百分之六十，二队效率是晴天百分之八十。只有两地同时开工，并同时完成各自的工程，

那在这个工期内，雨天天数到底多少天？这道题咱们为了求解方便，咱们取下公倍数。好吧，企业公位数主要为了好算。就十二和十五的公倍数。是六十是吧？我设甲乙的工作量都是六十算了。甲乙的工量均为六十，这样为了好算。啊，公共量都为六十，接下来为了计算方便，咱们列个表格算了好吧，

列个表格。好，列个表格，一个是晴天的时候。一个是雨天的时候。然后这是一对。一类完成甲工程。二队完成乙工程可以吧？然后前天的效率，因为他工作量要是六十，工作量六十，他完成甲工程需要十二天，他效率就是五。这需要十五天，它需要的就是四。

这个五和四代表是效率啊，各位同学代表效率。因为在咱们工程问题里面效率是关键，所以为什么咱们一直盯着效率？是吧，盯着效率原因，效率是关键，养成习惯啊。然后这个雨天啊，雨天雨天效率是晴天百分之六十，原效率晴天百分之六十五，乘以百分之六十。就等于三。这个呢，它是百分之八十四乘以零点八就等于三点二。

好了，那接下来咱们列方程就可以了，那假如晴天是s天雨天呢？是y天。好那么，一队要完成自己的工程那？因为他在这段工期嘛，他们下雨都下雨，因为他们都是在同一个城市嘛，下雨都下雨。晴天都晴天。所以，一类完成工程就可以写成是五x，加上三y正好等于六十，这个工作量。

然后二队完成工程就相当于四x加三点二y。正好就等于个六十。最后解出来s等于三y等于十五。这样就写好这样答案选d。啊，正确答案选d这个写好了。好，这是他的做题的思路方法。这呢就求出来了。好，那在这面可能有同学有一个疑问，他说这个甲乙两个工程又没说什么东西，万一这两个工程一个大一个小呢？是不是大家可能有同学有这样疑问？万一个楼大点儿，

一个楼小点儿，它盖楼不一样呢，两工程类不一样不一样也没事，不一样我就给大家按照最繁琐的东西给你推荐。比如甲的工量为a。你的工量为b，你可以发现这个a和BA和b你设为一设为六十或都设为一都设为六十。根本不影响。那甲工作量就为a乙工作量为b总可以了吧？嗯，你觉得这俩工作量不一样，咱们就不一样呗。是不是好？那你看一对。它的晴天。

它的雨天，那晴天的效率就是什么？就是。十二分之一。是不是然后二对效率就是二十分之b？十五分之b，因为它一个十二天，一个十五天嘛，对不对？然后这样写出来了，然后这个呢，就十二分之a乘以个零点六。等于二十分之一。然后这个呢，是十五分之b乘以个零点八。

等于七十五分之四b。啊，七十五分之四b好，这写好了。这个能懂吧，七十五分之四b就写出来了。然后咱们假设这个晴天呢，是s天雨天呢，是y天。然后你就列呗那一队完成它自己的工程呀，就十二分之ax。加上二十分之a乘以个y等于个a行吗？你看这个a是不是就约掉了？然后十五分之b。乘以个x加上七十五分之四b乘以y。

等于个b，你看这个a，它根本没没啥影响啊a都约掉了b呢，也都可以约掉，约完后。得到结果，跟上一样。是不是你觉得呢？是不是这样的，所以大家它根本不影响呀，是吧？根本不影响。所以以后你记住咱们解数学题也好，或者考试的时候不要纠结那么多。你纠结的问题，

你赶紧拿分儿去上学，你不是纠结它这两两个楼到底大还小，这不是你纠结的事儿。知道吧，而且还要告诉大家，数学只要没给的量，一定不影响答案，既然不影响答案，一定要按照最有利于。自己的数。去进行考试。知道吧，这有利于那可是个六十，那肯定简单呀。是吧，

反正这个两个工程是什么？又不影响答案，这个结果嘛，你别纠结，记住啊，考场上只要数学，它没给你的数。它一定是不影响答案的，既然不影响答案，你就选一个最好算的。最快速找答案的。所以赶紧帮你上学的书。去赶紧拿好录取通知书就行了，因为你纠结半天，纠结半天，

你去晚了，录取通知书被人家抢跑了。啊，人家都领完了，你去了没了是吧？那就多麻烦，对不对？你别纠结，赶紧拿录取通知书啊，好吧，以后就别纠结了啊。好了，这是给大家讲的这个这个题好吧，所以以后不管是咱们应用题也好，还是其他题，

只要它没给你的数，一定是不影响。啊，一定比如三角形，它只告诉你另外一个角，另外两个角没告诉你，那说明另外两个角一定不影响你把那个三角形看那个等边三角形。就像咱们这次考试那个三角形都能等边三角形，一秒钟就得答案了是吧？你纠结那么多干嘛呢？对不对？你纠结半天，结果录取通知书被别人先领了。好，那这是给大家已经讲了这个问题。

好，接下来咱们看一下例八这个题。例八这个题大家发现表面上是工程问题。实际上，又是一个路程问题，你看他他他这个什么相遇？它汇合了。然后本质上呢，又是一个比例问题，你发现没有一波三折？那外表看起来像一个工程。所以大家一定要记住一句话，实质重于形式，知道吧？所以在这里面，

大家呢？要注意。啊，它实质是什么问题？实质本质上其实是一个比例问题，画个图。画画一个图，让他修一条公路啊，假如这条公路两队同时从两端开工。从两端开始就相当于合合作呗。是吧，合作。是不是然后从两端看，大家可以看甲干活慢乙干活快？是不是好那么甲甲从a开始施工，

乙从b开始施工？甲从a，乙从b，他开始施工。师傅，那甲干的慢呀，甲干的慢呀。那他们会会合点在哪呀？会合点假如在这这个地点位置，比如甲施工了这么多。啊，那甲施工那么多？然后乙施工了这么多。知道吧，甲施工这么多，

然后乙施工是这么多，这个能看懂吧，甲施工到这儿，乙施工到到这儿。这个能看懂吧啊，施工到这。存到这，然后接下来咱们看怎么弄啊？它们是同时施工的，对不对？是不是同时施工啊啊？同时施工是吧？那施工那咱们讲过。用比例法做。s甲比s乙是不是等于v甲比v乙？

是不是这样的？俺想想是不是这样的v甲比v乙？对不对v就代表效率啊？然后然后他们的效率比又等于时间的反比，因为都是都是单独完成工作量。当然，咱们又讲过嘛，就是说工作量一样。你也干这么多活。我也单独施工那么多活儿，工量一样，工量一样，咱们效率又等于时间的反比啊，效率又等于时间的反比，你说呢？

你说是不是这样的？知道吧，所以说这个比例能绕过来吧，就前面这个东西是时间一样，咱俩都同时干。到同时，相遇实验一样，实验一样。那咱们的路程比就等于它的速度比。这个能看懂吗？然后的话，我们再来看。好，如果。工作量一样，

你单独也施工这么多，我单独施工也这么咱俩干的工作量一样，工作量一样，那么效率比。又等于时间的反比。是不是所以说这个这个这个比例能能弄出来吧？然后就得到五分之三。也就说，甲和乙完成的工作量之比是。三比五。由甲完成了全程的八分之三。已完成全程的八分之五。然后他说他们相遇点，距这个终点距离是七点五。啊，

像一点像一点，距中点这个是七点五。既然这是七点五，然后在这里面，大家可以看到什么就七点五啊。JAVA大家可以看到什么？看到乙比甲多施工多少，你们告诉我，如果这个这段儿是七点五乙比甲施工多多少？多的不是七点五，那你就上当了。乙比甲多的是十五。不是七点五啊，是十五同学觉得这不是七点五吗？不是七点五？

是两个七点五一比较多，两个七点五为什么一比较多，两个七点五你看你兜里面。多一百块钱或你兜里面少一百块钱，你兜里面直接相差几百，相差两百的，你这个账算不明白，对不对？如果还没绕出来，你可以看看还没绕出来，你看这样以它完成的量是一半儿多，七点儿五。甲完成的是一半儿少七点儿五，你看这两人是不是相差十五，你再看看。

是不是很多同学在坑上绕不过来，你知道吗？就绕不过来，比如说你总分儿多考十分儿和你总分儿少考十分儿，其实你总分儿相差是二十分儿，这个你绕不过来的。是吧，现在你要绕过来啊。这懂了吧？这一个常识得绕过去十五。若乙施工的长度是八分之五。然后甲施工程是全程的八分之三，然后这个s就算出来s就等于六十。知道吧，选择a。

或者还有一个方法，还有大家知道AC占二分之一。是吧AC是占二分之一，你也可以看这个七点五占全程几分之之几？然后全程还可以这样算。七点五除以二分之一减八分之三，这样也行，这二分之一代表什么意思？这二分之一代表AC的长度。这二分之一啊，代表AC的长度。AC占全程的二分之一。然后呢AD占八分之三啊AD占八分之三。啊AD的长度占八分之三。啊AD占八分之三，

然后这样。就等于个七点五。除以个八分之一，这样也等于六十。好吧好，这个弯儿一定要绕过来啊，别弄错了。好，接下来咱们看一下例九这个题。咳。完成某项任务甲单独做，需要十二天，乙单独做，需要六天，丙单独做，

需要八天，现在甲乙丙三人一次，一日一轮的工作。大家注意这个题有考察轮流工作。人工的有点像周期循环。人的工作像周期循环。好，那接下来咱们来看一下。看看，然后这对轮流工作有两个问题，一个问题是周期一个周周期。看干多少活，最后一个看谁收尾。谁收尾啊？只要抓住两个就行。

好，那这道题咱们这个工程啊，这个任务是是一个抽象的，咱也不知道这个任务是什么东西，也不知道是盖楼还是修桥。啊，也不知道什么东西，所以说咱们呢，抽象了抽象，你可以设工量为一，设工量为一的时候，这时候它会出现很多很多倒数。我们呢？就可以。设一个最小公倍数好吧，

设总工量。设总功量为。十二六和八，它的最小公倍数应该是二十四，对不对啊？设总量为二十四就十二六和八，它最小公倍数给它求出来。得到二十四。啊求出来得到二十四以后，那接下来我们看应该怎么做？是吧，总共量就为二十四了，总共量为二十四，那接下来咱们看一下。那甲的效率。

就是二乙的效率。就是四。丙的效率是三。大家看一个周期完成多少？一个周期就是二加四加三，得到是九吧，这能看到吧？好一个周期它完成是九。好一个周期，百分之十九。好一个周期，它完成不就是九吗？好一个周期完成九，那总共不是二十四嘛，总共量二十四，

那说明两个周期再多一点儿就可以了是吧？两周期，你看一个周期完成九。再干一个周期又完成九。好，这是两个周期，弄完了两周期，弄完了又该甲弄一天，然后接着该乙弄一天，然后甲完成一天。然后乙完成一天正好就等于二十四。就完工了。你这个能看懂吧？好，那总共的天数我们就可以看出来这个天数。

现在说这是三天。啊，为什么这三天因为一个周期嘛？一个周期每人干一天嘛，甲一天乙一天丙一天，所以三天。然后右边那个周期又有三天。然后这时候又甲又轮到甲干一天，又轮到乙干一天。对吧，轮到乙干干一天，这总共是八天。这能看懂吧，总是八天正确答案就选择b选项。好，

这是八天，这就求出来了。啊，看这个懂了没有它的方法。看这个明白没有啊，它的思路。好，这轮流工作。看会不会分析啊，这个轮流周期循环。所以收尾，你要看谁收尾，收尾是最后乙把活干完了。但有时候呢，它是整数天收尾，

有时候呢，可能用不了一天，比如说半天或者三分之二天就收尾，这具体题你具体分析就可以了。啊，接下来咱们看一下例十这个题。一件工程要在规定时间内完成。让甲单独做，要比规定时间内推迟四天完成。推迟四天。好若乙单独做，要比规定时间内提前两天完成。好若甲乙合作三天，剩下的部分由甲单独做，恰好在规定时间内完成。

问，规定时间到底几天？这个题呢，我们给大家多讲几个方法。第一个方法就设未知数，假设规定时间内是s天。规定是s天归s天，因为甲单独它是推迟四天，那么甲单独。甲单独。单独完成，单独完成，大家可以看出它应该是s加四点。所以大家可以发现，数学题你每做一次，

或者每讲一次，都有一个新方法是吧？新的灵感，或者说对你来说有新的提高。所以大家呢，以后二刷或者三刷，咱们书的时候，然后这个都要有新的收获好吧。所以规定是s天甲单独呢，就s加四天好，那么乙单独我们看看乙单独。一般都是s减二t。对吧，当然考试的时候不用写那么啰嗦啊，考试时候。

不用写那么多嗦，而且这道题设总共量只能为一，为什么这道题不能用最小公倍数法，因为这道题它的这个时间x都不知道。不知道，没法用，最小公倍数，所以总工量就设为一算了好吧，设为一算了，接下来咱们找一个大等量大等量是是在哪你知道吧，前面都是小等量啊，前面每句话都是一个小等量。然后大等量大等量就是甲乙合作三天，甲乙合作三天就是甲乙的效率相加。甲的效率是s加四分之一，

乙的效率是s减二分之一，然后乘以个三。是吧啊，他的合作三天嘛，就甲的效率加乙的效率，然后乘以三。根三，然后剩下部分由甲单独做。剩下部分由甲来干活，大家告诉他甲干了多少天？想一想，虽然他没说甲干多少天，但是有句话恰好在规定时间内完成，你觉得甲干多少天？也就说，

在规定的时间内，就s天完成了。你觉得应该干多少天？也就说总共花了二十四天。总共花了x天，那么前面。合作了三天，你觉得剩下他得干多少天？啊，是不是剩下得干s减三天？因为因为总共是s天嘛，你前面用了三天，剩下就是s减三天。对不对？这样的这样的，

然后正好完成整个工量，工量就是一算了，设为一好，这个能懂吗？嗯，好，这个去解吧，解这个反正消耗点儿时间，因为这个分式方程咱们讲过要两边同乘以分母。反正解不好解，然后或者验证选项也行。好，那这是第一个方法，方法二。同学们，

看这出现那么多完成方式，难道无动于衷吗？啊，难道不能让你想起来点儿什么吗？啊，你想不起来点什么呀？咱们已经多少个题出现了？是吧，你看你都想不起来什么样，你看这个完成这完成这完成这完成。能不能让你联想起来点什么？啊，好，那接下来咱们看先看最后一句话。就是甲甲乙合作三天，

剩下的部分由甲单独做。恰好在规定时间内完成。大家说明什么问题啊？最后一句话说明什么问题？说明甲从头到尾都在干活吧？甲从头到尾都在干活。是不是只不过乙给他帮了三天忙，这样他恰好在规定时间内完成了？我再说一下，最后这句话相当于甲。从头到尾。一天都没休息，他都在干活。乙给他帮了三天忙，看到没？

乙在这给他帮了三三天忙，大家想想，如果乙不帮三天忙。它会产生什么结果？乙如果不给甲帮忙，那甲自己干得推迟四天得多四天。超期四天。那就别人不给你帮忙呀，你一个人干得超期四天。现在别人给你帮了三天忙，发现哎，你不用超期了，你在规定时间内就完成了，那说明什么问题？想想说明什么什么东西。

啊，别人不给你帮忙，你就超期四天，别人给你帮三天忙，你不用超期了。啊。你想想还没想清楚啊，就说明甲这个四天的工作量，你这么多活。乙呢，三天就给你改好了，你不用超期了。是不是所以说乙帮忙使得甲正好干完这些抄袭的活儿嘛，所以说这个甲四天抄袭的活儿让乙三天就帮帮忙干完了嘛。是吧，

这样就可以换算出来。是不是好换算出来换算出来以后，那么刚才咱们讲到哪了？甲一个人得s加四天。乙一个人s减二天上下，正好是成比例。上下成比例，这s也可以解出来，那刚才咱不写s加四和s减二吗？上下成比例啊。或者写成交叉相乘也也可以啊。加到相乘也行。对不对你交叉相乘也可以的？这个交叉相乘解要快啊。它还是等于二十。

那这样行吗？这样可以吧啊，你自己再琢磨几秒钟。嗯。另外，学霸的方法。是这样的，还是四？相当于乙三。甲四相当于乙三。甲四相当于乙三，那说明。甲干四天，乙干三天。两人相差就一天。

对不对？甲四天，乙三天，两人相差的是一天。是不是相差一天？那一个四天，一个三天嘛，这差一天嘛。现在实际要差几天，你谁能告诉我实际差几天，不知道实际差几天啊，我告诉你，你看甲一个人干，他得超期四天。你一个人干，

要提前两天，你觉得他应该差几天？你觉得两人。干活差几天，自己想想，你看干活是不是差六六天，所以实际差六天都给它扩大六倍就行了。快六倍，快六倍就加二十四。乙呢，就十万。扩大六倍啊，这个二十四怎么来的？乘以六啊。六会乘吗？

三乘以六你会乘吗？乘完后如果这道题要问甲单独是多少天直接？秒选答案，二十四。直接就得到二十四。很快，有同学还没反应过来吧。没反应过来，人家已经做完啦。人家已经拿到录取通知书了。那问乙单独需要多少天，乙就十八天。好，那这个做完了是吧？甲就二十四天。

也就十八天就做完了。那就做好了。对不对？就交卷了，做完了。那有那问那问他问这个规定时间多少天，规定时间也很好算呀，你讲二十四天。你超了四天，那规定时间不就二十天吗？或者用乙算也行。乙算乙，你这个十八天你不是超呃，提前了两天吗？你提前两天你加两天不就是规定时间吗？

你这样也也可以啊，这也不怕呀，对不对啊？有同学应该写的非常对，二十四减四得到二十。或者说十八加二等于二十，你看这这高手，你看人家现在有听懂了，悟性比较好。是吧，悟性比较高，所以这道题就把咱们讲的这个新方法升华到了一个。更高的高度。是吧，更高高度。

所以你看看。让你看看这个。学霸的方法和非学霸的方法，你看这样。你看看这样。是不是这样就OK了？是吧，咱们有这种思路是吧？没见过吧？叫叹为观止是吧？叹为观止啊，是吧？让你见见识一下这个数学的奇妙是吧啊？这样对啊，所以难怪人家洗的快，

到时候你看嘛算考场。啊，你还没怎么回事啊？你看这个做完了，还没怎么回事啊？你看下一个题又做完了是吧啊？这个是这样的。你看这道题又把。咱们这个方法。这这这几个例题里面出现了好多次，回头好好悟一悟。你还没练好啊，还没练好，再给你一次机会好吧，这个答案就选b再给你练一次机会啊，

再给你练一次。这个题例十一例十一，这个题咱们就不再采用列。列方程的方法好吧，咱就慢慢看，让自己变成学霸好吧啊例十一这个题。当然，如果你还绕不过来，你回头就设甲乙丙的效率分分别多少，然后列方程慢慢列，慢慢列也能解出来。好吧，慢慢列啊，这这这也能列列出来啊。是吧，

咱们现在就用新方法，咱们一起来读题好吧，再练一次，你不会再练一次反复练嘛，总能把你练会啊。好一项工程。甲丙三人合作需要十三天。如果丙休息两天，乙就要多做四天。或者由甲乙两人合作一天啊，你就看第二句话吧。丙如果少干两天，丙不干了。并不干，然后呢？

乙呢，你得多干四天，多干四天什么意思哎，我少干两天的活，你帮我干了。是吧啊，你帮我干吧。或者说你乙你不干也行，你们两个甲乙两人，你们两个合作一天把我休息的两天呢给我干了。好吧。好了，那么这句话会不会转化？你告诉我怎么转化？现在是不丙两天等于乙四天，

你这个能转化吗？嗯，这个能转化吗？是吧，那丙两天还等于什么？还等于甲一天？加上乙一天干的活。这个这个能看到吗？因为他合作一天嘛。好，这个都OK，对不对？然后把它约成一个最简比例吧，这个比例相当于丙一天等于乙两天是吧丙一天？相当于两两天，

有时候你把这个二跟四两边都。约掉一个二。约二知道吧？约二丙一天等于乙两天。这个能懂吗？丙一天等于一两天，丙一天等于一两天，然后把这个乙一天给它移过来，你可以移项啊，可可可以移项。可以可以，移过来。这个移移过来就行嘛嗯，移过来。啊，

移过来以后就相当于乙三天等于甲一天。好，这个能能能懂吧？我们把它移项嘛，这个三怎么来的？三不就四减一嘛？是吧，你看你看这个题就告诉你什么，咱们可以走一项，你发现没有，你这个从来没学过吧，都让你开阔一下眼界。所以咱们这几个例题就把这个。这个转化的这种思维发挥的淋漓尽致，让你彻底达到一个做工程问题的效率。

新高度。知道吧，俺们把它移过来啊，移过来移过来以后得到这个值。好了，得到这个，剩下咱们就可以干活了，剩下可以干活了，剩下的话第一句话现在就看第一句话，甲丙三人合作十三天，甲丙三人合作十三天，代表什么意思？代表甲十三天。乙十三天。丙十三天。

他就完成了。对不对？是不是这这句话就合作十三天完成吗？就相当于每人都干十三天这个活就干完了，接下来让甲单独做啊这里。甲单独做，需要多少人？甲单独做，需要多少人？别的其他人都别干活了，其他人别干活，咱俩看看会不会转化啊？这丙呢？你别干活了。啊，

挺辛苦的，你别干活了，大家一起来更好思路啊，丙的十三天转成乙乙得干多少天？丙的十三天，你别干了。你休息休息，让乙来干吧，乙得干多少天看看。你看这是一个一一个二。那丙十三。是不是相当于乙二六啊？你自己再想想，你觉得是不是这个意思啊？这个乙你干吗？

你得干二六天。对不对？好杠二零零杠二零，然后然后这个乙相当于总共把这个看成个大圈儿。这相当于乙总共得干三十九天，对不对？乙应该在十三加二六。是三十九吧，十三加二六是不是三十九啊？啊，十三加二六啊。十三加二十六是三十九是是不是这样的啊？三十九啊？三十九好，那这个乙你这个三十九天你也别干活了，

这个挺辛苦的，你别干了啊，十三和二六你就别干活了。就这这个乙的三十九天，你别干了，乙的三十九天你你别干了，让甲干。你告诉我甲得干多少天，你再看看。那乙的三十九天，你别干了，知道吧？这三十九天你不用干了。你不用干了是吧？你看有同学嗯，

这个这个。这个绕的很快是吧？那乙三十九天你别干了，让甲干甲得干十三天，所以这个圈儿甲得干十三天。好了，那么甲自己的活儿十三天，乙和丙的活儿让甲干甲得干十三天，所以甲自己完成所有的活儿就二十六天。是吧，是不是甲干所有的活儿，晚上二十六天，但你听起来感觉唉，怎么那么啰嗦是吧？是因为老师想给你讲详细点儿。

如果对高手而言，高手而言，这这这两行就解决事儿，你知道吧？对高手而言，这两行人家早就做完了，知道我不想弄那么快，知道吧？让你怕。怕你跟不上，知道吗？人家对高手直接在卷上一滑一滑，马上这个数。数弄弄，然后答案就出来了，

你可能还没明白怎么回事儿，你看答案就勾出来了，知道吧，因为咱们得给你讲明白嘛，讲明白每一步给你讲详细点儿嘛，所以说感觉这这这过程怎么那么啰嗦？怎么用那么长时间？其实呢，人家高手的话，人家如果懂的话，很快。弄不弄吧？然后这个答案就出来了，知道吧？好，

你自己再琢磨琢磨好吧。好，那这个这这几个相关的转化的题，你回头再看看好吧，看看啊，对，回头再练练好吧，回头做作业，按照这个思路练练，或者说以后。以后咱们高考指南上还有很多这样题好吧，你如果这个方法练练会的话，你做题就很快。当然，这个这个技巧不是每个题都能用，

再强调一下，它就是给了多少完成方式，或者互相可以转化，这样才能用，就像有的题它用不了。知道吧，你所以说要知道什么时候用，就是几个人，咱们之间可以等量转化，可以用完成方式时候都可以用。好吧好了，这个给大家讲到这好吧，大家看看啊。下面咱们看一下第五节交叉法。嗯。

下面咱们来学这个交叉法啊。第五节交叉法，交叉法什么时候用呢？将当一个整体按照某个标准分为两部分时，可以根据杠杆原理得到一个交叉法。快速求出两部分的数量比。啊，适用比啊交叉法，它应用不仅局限于平均值问题，只要涉及到一个大量一个小量，以及它们混合后的中间量都可以使用交叉法来算出它的比例。好吧，都可以算它比啊。那比如说甲的值是a，乙的值是b，

然后整体值是c，这样话那么大家就可以用这个交叉法来进行。求解好吧，交叉法来进行写。好，那接下来咱们看这个交叉法，它的一个写法需要一定大的减小的好吧，大的减小的，比如说c要减a。然后这就b减c，反正c一个是在前头，一个在后面好吧，就这个c是介于AB之间的。啊c是介于AB之间的。好，

这样这样话，然后接下来就可以得到甲乙的数量比。甲乙的数量比这样的。啊，甲乙数量比。涉密什么人数比啊，个数比啊，这样好吧，这是它的这个方法。好，那这交叉法怎么来的？为什么要给它交叉一下？一定要明白它原理，如果不明白原理，考试一出题，

你可能就错了。因为这两年他会逆向考，你知道吧？宁想考现在命题老师呢，他他命的题质量非常高。啊，特别能把滥用参数的。同学啊，然后筛选出来啊，滥竽充数，你像有同学只背一个公式叫滥竽充数是吧，然后一看啊，你可能没有真正的学明白。所以这杠原理怎么回事？咱们就看一下题。

好，那接下来咱们看例一这个题。啊例一。第六题我就把这个题的各类的原理。啊，开天辟地。他这个原理给大家先说清楚。好吧，从一开始这个原理给你说清楚，就人们拿到这个题，他怎么样发明了数学的这个规律是吧？是吧，让你说清楚，这样能了解数学思维。好那么一开始啊，

最初啊。人们就像大家基础差的同学一样，列方程那一开始啊。遇到这个问题就列方程。就是非优秀。是x优秀。是这个五十减s。知道吧，好，这是非优秀和优秀。然后呢，列一个什么方式呢？列一个总分儿相等就非优秀的分儿，加上优秀的分儿就等于全班的总分儿。那么，

非优秀分儿是七十五乘以x，因为非优秀的平均成绩是七十五分儿。然后再加上那优秀的优秀的分儿是九十分儿。乘以个五十减x。就等于等于全班的总分儿，全班总分儿就是拿只有五十乘以平均分儿。好，这样去解，这是一开始啊，人们遇到这种题都是解。最后呢，发现呢唉，杠杆原理。杠杠杆原理，大家学过杠杆原理没有？

好杠杆元，这是一个例，这个是一个例，这个物理学里面的，你有没有印象？啊，物理学里面的这个这个力力的大小啊，就这有个支点儿是吧？这杠杆要平衡。是吧，然后这个呢？就是呃七十五。这个是八十一，八十一就代表整个的评分儿，然后呢？

这个呢？就九十。就是然后这要用一个力啊，用用一个力，用一个力就是优秀和非优秀，这是非优秀。这是优秀好，大家知道这个力，大家学过杠杆，知道这个力乘以力力矩应该是平衡的。是吧，可能大家忘记了，忘记了，我简单写写好吧，假如这是f一，

这是力，这是l一。GL二这是f二大家物理学还有什么印象？早就忘记了吧，然后就是力乘以距离等于这个力乘以距离。可能有点印象，有同学有点印象是吧？就力乘以距离等于这个力乘以这个距离。是吧，这个杠杆平衡的要求，咱们怎么把这个写成一个比例关系f一比f二，这样等于l二比l一。知道吧，这是它的这个内容就反比啊，写成反比。

好，那么咱们这个力在咱们数学里面就代表数量。代表数量，然后这l一l二就代表七十五和八十一的差距。啊七十五和八十一的差距，你看这个差距就是六。对吧，这个差距呢？就是九。六九所以所以非优秀和优秀，它的人数比要反比要反过来的就六跟九，一定要反过来啊，六跟九反过来，所以说它的应该是九比六。啊九比六九比六就像三比二。

三比二的话，那总共是五十个人，五十个人按照三比二来分，所以优秀的占三十人啊，非优秀占三十人，优秀的占二十人，所以非优秀就三十人，正确答案选a。知道吧，就非优秀的是三十人，优秀的是二十人，这就写好了，这个能懂吗？啊，这是杠杆儿原理，

大家发现这个地方，这杠杆儿原理呢？唉，要简单很多。但是有个问题，什么问题啊？对一些粗心的错误，粗心同学总是忘记把六跟九还左右换一下。唉，写着写着考了一着急就忘换了是吧？这个是一个反反比啊，反过来呀。所以忘换了，忘换了以后看到这个就出错了，哎，

有同学想想啊，这个咱们就这样写上呢，就就就不用再往里交换了。这就形成一个交叉法。交了交的话就是非优秀。和优秀非优秀是七十五分，优秀是九十分，然后整个评分是八十一分，然后这样写。这个减完好处就不用再交换了，因为这个交叉的同时，它已经交换过了，知道吧？你交换过了，所以说这个就是六，

这是九，然后就三比二。啊九跟六上下约分约约成三比二约三比二，所以非优秀就占三份儿，优秀占两份儿。非优秀三份儿，优秀呢占两份儿，是不是这样的啊？这样情况看能懂吧啊？这样的是吧啊？优秀三份儿，非优秀两份儿。然后所以说他就三十。它是二十唉，这就是它的一个历史发展的一个演变啊，

让大家见识一下这个演变。好，你可以看到没有？是不是让你啊？彻底彻底懂了噢，原来是这么回事儿啊，为什么叫杠杆儿？是吧，跟咱们杠杆儿有什么关系？为什么又不用杠杆儿了？因为它怕有同学呢，这个总是容易忘记反。是吧，往一反，所以说这时候呢，

咱们呢，就用这个好，最终大家记这个图就可以了，好吧，记这个图。好，这个明白没有啊？这个你是不是彻底就明白了？噢，原来如此是吧？好，那接下来咱们看例二这个题。好某抽烟技术考核平均成绩八十分，男工是八十三分，女工是七十八分，

问女工占总人数多少？那这道题先找到比例呗。好男生是八十三，女生呢是七十八。然后这时候呢，整个是八十。然后呢？那个用一定要用大的减小的，各位同学啊，大的减小的八十三减八十得到三。这边儿呢，已经大大减小了，就八十减七十八得的是二。得到十二，然后这个正好是二比三，

然后二比三，那说明男生女生人数比是二比三。你比二比三，那女生就占了五分之三。是吧，女生就占了五分之三，这个答案选d是不是这样呢？就占了五分之三，这就写好了，这个答案就选d。好看，这个是不是是不是懂了啊？所以答案选d。好，接下来咱们看一下例三这个题。

你也得增加点难度，你看给了大家这个数很多。一大堆数，那到底怎么用啊？你看如果你没有真正理解。这个交叉法。那这个数你还真不好用，你看这这这给了那么多好，咱们一块看看。王大伯承包了二十五亩土地，这个要种茄子和西红柿，总共呢，用了四万四。请种茄子，每亩呢是一千七，

获利呢是两千四种，西红柿每亩一千八，获利呢是两千六。问，王大伯一共可获利多少钱？好，大家想想。好在这里面大家可以发现这个茄子。还有西红柿。好，我们看一下投资企业资产投资是一千七。西红柿投资是一千八。中间你会算吗？啊，中间中间你看中间有同学找半天没找到，

你告诉我中间这个数在哪啊？你找找这件事，找不到吧？应该是拿四万四。除以个二十五。你没发现吗？为什么呢？因为你不知道中间代表什么含义，你肯定找不到。你看这个是一千七是茄子的投资，这是西红柿投资，中间记住是平均投资。知道吧，懂了没有？那如果换一个呢？

如果换一个，如果这个西红柿的获利。这是不是这是茄子的获利假设啊？假设这是茄子的获利，这西红柿获利中间就换成了平均获利。知道吧，就平均某某，比如说这个是某某，这个是某某，中间就是平均某某。能懂吗？没懂看，比如说某某是投资，这是茄子投资西红柿投资，中间就是平均投资。

如果这个某某是获利，这是茄子获利，西红柿获利，中间这个某某就是获利，就做平均获利。这个能送过来吗？嗯。比如说再比如说某某是成绩，这是茄子的成绩，这西红柿的成绩中间就是平均成绩，平均某某。能能能懂吗？再把这口诀顺一遍啊，茄子，这是某某西红柿某某中间就是平均某某。

好，这样你你就你就掌握住了，懂了吧？那平均某某那就平均这道题这块儿你写的投资啊，叫平均投资，你换就换过来了。是吧，好了啊，这就44000，除以25就等于一七六零啊。这个数算出来是一七六零啊，一七六零这个大家大家这个这个这个写一写。然后呢？这个就相当于是就是60，这40对不对？

所以它应该是二比三。二比三得到什么结果？有同学光会写交叉法，不知道这个得到结果是什么，这个结果是。数量比在咱们这道题是亩数比亩数。也就说，茄子和西红柿在25亩里面分别对应是二比三。啊二比三就相当于是茄子种了十亩。这个是15亩，知道吧？好得到这个接下来共获利，咱们看看共获利。共获利那么，茄子每亩获利2400，

然后乘以十亩。加上这个西红柿每亩是2600。乘以15。再得到63000。知道吧，得到是63000啊，这个答案就选择b好吧，就63000这个写好了。好看，这懂了没？好得到这个63000啊。啊，看这个明白没有？接下来咱们看一下浓度问题。啊，

浓度问题。你把它看成一个比例问题就行了，你不要把它浓度看得太抽象。是吧啊，所以说这个浓度浓度问题。命题呢，灵活多样，它以公式呢使用为根基。是吧，在处理时往往以浓度计算公式为核心。同时，会涉及比例问题啊，你看又是比例问题，你发现没？又是比例，

你看咱们路程里没有比例，工程里没有比例。刚才咱们交叉法交叉还是比例法交叉，还得到比例。浓度又是比例，你发现没有？所以比例东西啊，得好好理解你，看还有用到交叉法。好，那接下来我们看一下基本公式，第一个溶液就等于溶质加溶剂啊。知道吧，溶液就等于溶质加上溶剂。溶质呢，

一般呢，就是盐或者酒精。用盐或者酒精好吧，这是它的方法，盐或者酒精。这个溶剂一般都是水。啊溶剂就是水。接下来咱们看一下它的浓度。浓度的定义是什么？溶质。占总溶液的100%。是吧，乘以百百分比好吧，就溶质就相当于盐占总共的占了百分之几叫浓度。好，

那也可以把显的溶质除以个溶质加溶剂。知道吧啊，溶质加溶剂啊，乘以100%好，这是浓度的定义。然后溶质溶质就等于溶液乘以它浓度。啊，因为因为这个。这个公式相当于是如果已知浓度。已知浓度要求里面溶质的含量。就拿溶液乘以它的浓度，就里面盐含了多少？知道吧，然后溶剂溶剂就是一点浓度，这个能懂吗？

比如说。它的浓度是40%。浓度40%就相当于盐占了40%，水又占了60%。知道吧，水占60%有一碱浓度就是水。所以说溶液乘以一减浓度就代表水的量，知道吧？代表水的含量，这个能懂吧？啊，代表水的量，这样就写好。好看，这个懂不懂？

好，然后接下来。咱们核心是这个浓度，所以关于关于这个浓度，咱们在。补充几句话好吧，它的核心。是浓度。啊，然后咱们关于这个浓度呢，然后再补几句话，第一个浓度的本质，你怎么去理解？本质上表示，溶质占总体的百分比。

好，它表示，溶质占整体的百分比。占了百分多少？是吧，这样的。第二个。第二，大家记住特殊的浓度。同等的，比如说他告诉纯水。用多少纯酒精？浓度多少？纯水的浓度把它看成0%，各位同学注意它里面它没有含酒精，

它浓度就是零。那纯酒精呢？纯酒精浓度把它看成100%。知道吧，测试一浓度，把它看成100%。好，这第二个特殊浓度啊，就两个极端，一个是零一个100%，懂了吧？然后这第二个。第三个。第二个那么有两类浓度。呃，

一类是这个体积浓度。t呢，它单位是升或者毫升。知道吧，体液浓度。懂了吧你，比如说大家喝酒，尤其啤酒，大家看它多少度，它就写一个v括号多少度，它是一种体积浓度。知道吧，体积浓度，比如说几升跟几升对在一起。对出来的体积浓度，

他用体积作为这个。作为这个量取的这个标准。知道吧，只有体能，还有一类是质量浓度。这样能有多少克？一般咱们固体都用质量浓度，比如说盐盐多少克？溶解在多少克水里头，对吧？叫质量浓度。一般对于这个液体液体的这种体积浓度，比如说咱们量多少酒精量多少水，然后呢，把它混在一起用多少升？

来表示是吧好，这是质量浓度和体液浓度好，那么这个体液浓度就是v比v。啊题跟题比。然后质量动作就是克比上克，或者说千克比上千克，反正用质量来作为这个。这个比例好，这是第三个。第四个。第四个，咱们。以前在中学的时候。有没有做过这样一个好玩的事？老师说。

你怎么给我举个例子？你给我说一+1不等于二。你给我举个例子啊，说一+1不不等于二。那有同学想半天想不出来例子，一+1不等，一+1不等于二吗？怎么会不等于二呢？他其实想半天。啊，这时候老师就说了，比如说我给你举个例子啊，这个一升水。加一升酒精。好，

你去量。啊，有你取一升水回升酒精给它兑在一起搅一搅，你去量这不是两升？啊播两声。是吧唉，那有同学说这这一+1怎怎么不等于二呢？它其实是比两天要少，因为什么？因为大家学过这个密度是不一样的。是吧，密度是不一样，跟有同学中学早学的忘记了是吧？你你忘了一干二净了？啊，

所以它的密度是不一样。密度它不一样，所以说它这个一+1它就不等于二啊，它密度它它是不一样的呀，这个能懂吗？密度它是不一样的。这个这个明白没有好，那这是给大家讲的，所以咱们只要这个不同溶液浓度，它的密度是不一样的，不一样它混合。它其实它这是有误差，只不过咱们忽略这种密度误差啊，忽略。忽略密度的差异。

这个提前给你讲清楚好吧，比如说有同学纠结唉，他说这个几升加几升不等于它是不等于它，只不过那个误差在千分。那个很小，咱们就算了好吧算了啊好，这是给大家讲的这个浓度，它的这个这个这个特征。好吧，大家在做的时候啊，要知道这四个要点。好，大家都记完没有好记完，然后咱们呢来看一下它的这个方法啊，看一下它的方法，

然后这块儿它的这个内容。好，第二个就就是。这是重量，重要的等量关系。好，这要等量关系好吧，然后这块它的这个方法。好重要的等量关关系，重要等量关系第一个就是浓度不变。那浓度不变。好浓度不愿意将溶液分成若干份儿，每份儿的浓度。相等都等于原来浓度，就大家喝酒一样，

大家想想喝酒。啊，喝酒。喝酒比如说把这个酒倒到每个人酒杯里面啊，每个人酒杯的浓度它一样。是不是另外这个酒倒掉一部分以后，剩余的浓度与原浓度呢？是相等，比如咱们的酒啊。喝了一半儿，剩下还有半瓶儿，这半瓶儿酒的浓度跟原来浓度是一样。是吧，一样的啊，这个明白没？

这个大家要要观察一下。理解不了你，下次你们同学聚会的时候，你你不喝酒，你喝饮料也行啊。是吧，喝豆浆呀，喝喝可乐啊，都是这样的，对不对？你你可乐，你倒一杯，以后剩下瓶子里面的可乐浓度跟原浓度它一样呀。对不对？和它一样，

是不是这样的？好，那第二个就是物质守恒。含物质守恒，为什么物质无论是溶质溶剂还是溶液不会增多，也不会减少前后都守恒的？是吧啊，前后都守恒，比如说这这个九一边九。唉，怎么变成半瓶了？那那跑哪去了哦？原来被大家喝掉了，跑到肚子里面去了。是不是唉，

这样它都守恒的呀，它不会突然呃。消失了是吧？你把它喝掉了是吧？对不对？好，所以这是都守恒好了，这是它的这个关系，看这个这个懂了没有？然后这块它的这个思路。好，那接下来咱们来看一下重要的命题。啊，重要的这个。你第一个就是稀释问题。

第一个就是稀释，稀释有特点加溶剂。啊，弄稀点特点就加加溶剂，它以溶质为基准进行求求解是吧？加上这个溶剂。就加点儿水。加点水是吧啊，兑上水弄稀点嘛，这样大家有时候这个吃东西感觉这个。太稠了。加点水，兑点水是吧？弄稀点。第二个浓缩，

浓缩就蒸发，蒸发就减少水。就蒸发水，然后这是以溶质作为基准来进行求求解是吧啊？这样的。好，第三个就是加能加能就增加溶质溶剂呢，不变以溶剂为基准进行求解。那增加浓度，比如说这个太稀了，往里面再再再加点东西好吧，然后这块它的这个方法。好，第四个就混合混合混合就用两种。或者多种混在一起，

混在一起，你可以采用质量守恒分析，也可以采用杠杆原理来进行分析，都可以好吧，用杠杆原理。来进行求解和思考。好，那接下来大家看一下题，都思考一下思考例一这个题。含盐15%的盐水40千克，蒸发掉部分水后变成了含盐24%的盐水。蒸发掉的水分质量到底是多少？大家想想。这道题应该多用点方法。一定要凭在学的时候发散思维，

你不要想着用自己一种方法做出答案来。就自己就满足了。这是不可以的，知道吧？这远远不够。然后这一块它的这个方法。啊，这样的情况。这个明白没有？这个属于正化，你这道题能想到几个方法？各位同学。所以说你想到几个方法呀啊。嗯，能想到几个方法。

想想好第一个方法就是列方程可以是不是？方法一，方法一，就是列方程啊，可以用比例法列方列方程就蒸发x千克水。蒸发s呃呃千克水。蒸发x千克水的话，那咱们看一下，这时候盐不变对不对？是不是盐不不变啊？大家告诉我，盐原来盐有多少盐原盐原盐是不是40乘以个15%？原来40乘以15%。是吧，40乘以百15%就原来减。

等于现在盐现在溶液还剩多少呢？溶液不蒸发走了x吗？40-x。这能懂吗？四十减x四减x，然后再乘以它浓度百分之二十四。这样就写好了，能能懂吗？这40-4乘以24%啊，这是盐盐的量跟原来呢，是不变的。好s又解出来了，好这方法一方法二呢？方法有时候用交叉法可以可以可以用交叉法。想想谁跟谁交啊啊，

想想这个交叉怎么交啊啊？好，这个我给你画个图吧。你看好了。啊，这个怎么教他呀？这里面是15%的。40千克。对吧，4000瓦现在它蒸发水了。蒸发水了，蒸发这一大块水。折水了，它变成了什么了？变成了24%的。

知道吧，变成百分之二二十四的。也就说这个40千克，15%的。变成了两部分。一部分是一部分是水，知道吧？一部分水还有一部分呢，就24%的溶液。对吧，是不是这样的？现在能不能想到把它还原回来？把它还原回来，这样呢，还原回回来。

是不是这样，这样还原回来是不是就行了？这样还原回来。是不是这样的？也就说这个水跟24的混合得到15%的能能想到不？你自己再想想。就原溶液把它分成了一部分水，大家告诉我，水的浓度是多少？水的浓度是不0%啊？是吧，分成一部分水和一部分24%，现在回来。现在反过来想啊，拿这个水和20%的把它混在一起，

混完一起又又回到原来的了，是不是是不是又混成原来的了？好，那接下来我们就可以用交叉比例法叫交叉法，就相当于水。占了0%水的浓度是零。然后和这个24%的。然后混完以后变成15%的。接下来，那这就15，这就十九百分号，咱不要了啊，同学们，百分号不要了，反正百分号最后也约掉。

这就是零跟15，减得到15，24跟15，减得到九，然后剩下月月月就得到三比五。剩下月月月就得到三比五。剩下约一下，约一下就得到三比五。好约要得到三比五，那接下来咱们看约要得到三比五。3 pu你你你告诉我。水占了几分之几啊？就这40千克。分成了三比五。40千克呀，

分成了三比五，40千克，分成三比五，那40那水就占多少40乘以个八分之。三再得到15千克。是不是所以答案就选了15选e？选一嗯，这个能想到。嗯，你自己再想想。方法三，比比比例法。方法三，比例法。a法怎么弄？

这个盐不是不变吗？15%可以可以写多少呀？15%啊？啊，15%。是不可以写成二十分之三呀。对不对？然后24%。百分之二十四可以写多少？二十五分之六是不是是二十五分之六吧？我问这个分子代表什么东西啊？分子代代表什么？又忘记了分子啊？分子代表什么？浓度的定义怎么又忘记了？

你看浓度定义分子代表溶质，分母代表总的溶液。是不是啊？分母代表总的溶液好这样的。好，那这个分子溶质溶质既然没变。这个分子又代表盐。这个盐它没变呀，没变化，你把它统一一下，变成个六除以个40。这六÷25。是吧，六÷46÷25。是不是这样的啊？

这样的这样大家可以发现，正好这40到二二十五。这样等于15，你看正好这个水就少了15千克，同学们看这个一减。是不是少了15？你看原来正好40千克嘛。现在变成了25千克嘛，所以就正好就少了15千克，你发现没有？你看这个，反正自己。想一想。好记完没有？啊，

都都记好了啊，就15回头再琢磨琢磨。交叉法不适合于什么情况呢？交叉法交叉法只要是混合都适合，交叉法不适合于三个混在一起。加断法只适合于两个混在一起。交叉法适合于两个混在一起都可以用好吧，三个呀多个啊，这个就不可以了。好，那接下来咱们看一下例二这个题。含盐8%的盐水40千克，要配成含盐20%盐水应该加多少千克盐？大家想想。加多少千克盐？

好，这个题你给我能想几个方法？相减号。想三个方法行吗？对要求不高吧，就上一个题的三个方法演练一遍。好方法一就是加s千克盐。方法，一+s千克盐。那在这里面这这道题是不是水不变啊？是不是水它没变啊？来告诉我原来含有多少水啊，原来含有多少水，原来是不是40乘以个92%？是吧，

40乘以92%。40乘以92%。好，原来含这么多水。这能看到吗？因为盐占8%嘛，水油占92%嘛。然后现在。现在现在还能使用啊，现在有40+x乘以个80%。因为这个20%的盐，80%有水，这个能懂吗？80%有水。好，

这个结节s等于到六。好，那这是第一个方法，第二个方法方法二。啊，你给我用一下交叉法。交叉法一定要知道看好手势，谁跟谁混合得到谁。知道吧，这两个。混合得到谁这个位置，别弄反了。好，那我给大家写个图吧。好，

原来是含盐8%的。啊，原来这个含盐8%。它总共40千克。现在往里面要加盐。往里面加盐，加盐以后就变成了20%的盐水了。咱告诉谁跟谁混合得到谁啊？看一下箭头。是不是这个盐盐的话，浓度把它看成100%各位同学？记得陈荣。陈荣志。啊，这个浓度把它看成100%。

好，这个盐把它看成100%。知道吧，所以说这个100%的跟这个8%的混合得到20%，能懂吧就100%的跟这个8%的，这两个混在一起得到它。这个明白，没有好就相当于是。100%的盐与8%的溶液混完后得到20%。你自己想想一想。你自己想一想。还不会写的同学教给你一个小小绝招。就中间这个数，一定介于这两个数之间，这样你永远不会写错。

啊，就中间这个数不能比两个数都大，也不能比两个数都小啊，它一定写在中间好，那接下来你剪下来。假如这个是八十百分号，咱不要了啊，反正百分号没啥用。这个是12。是吧，这是不是12嗯？这是不是12？20-8嘛，12上下约掉一个四好吧。三比20。

这个能看到吗？三比20，那接下来怎么求啊？接下来问这40千克代表着谁呀？这40千克代表谁啊？这40千克是不是代表8%呢？是不是你看4000个8%？好，如果这要40千克。那上面可能就六千克。因为这都乘以二倍嘛，这个能懂吗？都乘以二倍，你把这20×2，这也乘以二。

好，所以说它这个六千克，所以这个六千克的盐就行了，这六千克正好对应加的盐。你看这样做行不？啊，可以不？那方法三。好，那就是比例法。比例法比例法是什么情况呢？比例法大家可以看把盐跟水给它分开。大家告诉我，8%那么盐跟水的比到底是多少？8%。

盐跟水的比。就八比92。对不对？是八比九十九十二吧好啊，对于写二比二三也行。二比二三也可以，挺好。然后接下来我们看盐b水。接下来变成20%，变成20%的盐跟水是不是一比四？啊一比四怎么来的？一个是20%。盐占20%嘛，水不就占80%嘛。是不是这样的？

啊，就这样吧，然后大家知道这个水呢是不变的。水没变化嘛。水不变，水不变，把水给它统一了就行了。使谁统一了这个八比92，你不用动它，这个你都给它乘以23。23，23，比比比92，你看这样的水它它都是92，然后你看盐盐增加几份儿啊？

告诉我盐增加了多少份儿？盐原来是八份儿，现在变成23份儿，盐是不是增加了15份儿？那盐就增加15分儿。沿增加15份。延增加15份儿，一份儿多少呢？那再发现咱们把它总共分为100份儿嘛，100份儿，100份儿对应的40千克嘛，因为原来是40千克嘛。你把40千克，把它平均分成100份嘛，就40千克分成100份。

每份儿是零点四千克，知道吧？就每一份儿呢是零点四四千克，这就是六千克的盐。是吧，按一份呢，是零点四，你15份，比如是六千克嘛。是不是这样的，这样就写出来了好吧？即使这几个有的比较绕，也要给我想明白，因为你现在不想明白偷懒，考试上考场你会比较痛苦。

啊，把原理想清楚，就一劳永逸，一开始可能辛苦点，但后面你学的时候越学越轻轻松了啊。好，这是东西，把这个原理回头再琢磨琢磨，懂了吧？好，接下来咱们看一下例三这个题。用浓度为36%和26%的两种配成，30%的300克1b加少取多少克？那这个题很简单了，这里直接用交叉法做就行了。

用一个方法做就行。然后36%的。26%的。甲乙溶液。混成30%的。大家想想，那么这个用交叉法写下来，交叉法写下来，这个36跟31相减得到六。好，这两项减得到四是吧？这两项减就得到四，这能看到吗？百分号咱不要了。然后四比六是不变成二比三。

是吧，四比六变成二比三，那总共是300克300克，那说明甲就占了五分之。二得到120克。那么乙乙呢？就是180克了。对吧，乙又变成180克。乙变成180克甲呢，是120克，所以说它比它少取60克，这个答案就选择e选项。你看这个懂了没有？啊，

这道题直接用交叉法做就行了。好看这个这个明白没有它的方法。然后例四这个题。例例，这个题跟上题差不多好吧，然后咱们再看还有交叉法甲呢，是5%的盐水乙呢，是8%的盐水。然后整个变成6%了。好，然后用用这个减五跟六，减得到是一八跟六，减得到是二啊百分号不不要了就二比一。二比一那么这个甲应该占了三分之二，乘以个六百。

就得到400千克。那么乙就是200千克。也就200千克。这样子乙呢？就是200。然后这样就是二比一。是吧，然后这个正好比它少取200千克，这个答案选a。你看做这个题都很快。是不是然后接下来咱们看例五这个题？六点有多次蒸发。多次正方，多次正方，你觉得用哪个方法做多次正方？

这个蒸发那么前面咱们讲的单次蒸发蒸发一次，这是蒸发两次三次。是吧，这时候大家一定要用啊，这个分数的比例法。比如，大家知道10%。是不是可以把它写成十分之一呀？是不是一定要记住啊，这个分子就代表溶质分母代表总共的。然后再蒸发，同样都是c变成12%。百分之十二百分之12可以写成。写成什么二十五分之三是吧？写成二十五分之三，

大家知道这个蒸发蒸发它这个。溶质是不变的，溶液不变了，要把这个。一和这个三要变成相同的，把这一和三把它变成相同的，变相的就三。这是30，然后这是三，这是30。这个能看懂吗？这个三这30。然后这个是三呢，这是25这样的，这个能懂吗？

这个能看懂吗？把它变成一样的。把它变成一样的，以后大家看这个分母少了多少分，母是30-25少了五。分母少了五，其实这个五就是相当于谁少了五。为什么水少我一言没变嘛？言没变。你知道吧，盐它没变，它少的肯定就是就水嘛。是吧，虽然它的总共少了五啊，虽然它的总共少了五，

但是它里面盐它没动，我给你举个例子，比如说你逻辑写写作分儿。你没有动，你总分儿如果少了六分儿，一定是数学少了六分儿。就这个意思，虽然虽然你是总分少了六分，你总共少了是六分。但这六分可能是数学少的，因为你的逻辑写作分没没动啊，就这个意思知道吧，就虽然它这个30到25是。是总的量少的五。但是呢，

这个总量里头呢，盐它没动，那只能是水少好，大家告诉我第三次蒸发。第三段话，第三段话的话，那么这个盐还是三呀？它盐它还是三它水再少五嘛，你看蒸发同样的水再少五水再少五就变成20了嘛。他随他再少五嘛，他变20。得到15%。是吧，你看比例法是很好用吗？笔法很很好用。

知道吧，所以b法用好了，数学你就可以解决的，又快又准。好，通过最后一个题和刚才咱们讲的几几个比例法讲一讲，大家把浓度。如果化为一个分数。m分之n。如果把浓度化成一个分数m分之。把浓度化为分数m分之。要知道它的表达含义，分子这个n它表示。溶质。知道吧，

分子它表示溶质这样的方法好吧，然后这块它的这个内容。知道吧，表示容斥。啊溶质它占的份数。第二个分母。这个m。它表示。表示溶液的总分数。表示溶液的总份数。知道吧，比较容易的整总分数。第三个。第三个m减它表示。溶剂。

就水。他的分数。好了，就这么点事。不要把这个数学想的那么难，就这么点事。然后看能绕过来不？好，所以说我们把这个变成百分数，把它变成写成几分之几？这个分子表示，溶质占的份数是几份？分母就代表溶液的总分数。这个m减代表水，它占的多少份？

好这块它的这个方法。好吧，然后这块。然后第一次蒸发，第一次蒸发是。溶质比溶剂是一比九是的，是第一次蒸发是溶质比溶剂是一比九，这样做也行。就第一次蒸发溶质比溶剂是等于一比九可以，那都把它变成溶质比溶剂也可以。第二次蒸发还是溶质比溶剂？它占了是。12比88。是吧，12比88，

如果把它分开也行。我这个25没分开啊，你把它分开也行，分开就12比88。12米八八变成的是。这样做也可以都行。要么就把总共的。要么就把它分开，那溶质和溶剂12比八十八十二比88就三比上22。对吧，三比22，然后由于由于它这个溶质它不变，所以说这个一比九，我们把它变成三比27。这样也行，

327这样话你就可以看溶剂，它少了五份儿。因为它从27到22少了五分儿。找火喷那接下来溶质比溶剂。溶质还是三份儿溶剂呢，就17了17怎么来的？用22再减掉一个五。22再再简单，我们就17。好溶质比溶剂，它还是三比17。溶质比溶剂是三比17，它的浓度浓度要拿溶质除，以溶质加溶剂。还等于15%，

这样做也可以。好吧，这样做也行，你看看这明白，这也是一个方法。这个方法就是把溶质和溶剂分开了啊，分开了。好吧，这个呢？是这个分母，你要知道分母这个是总的，这个呢？是把盐跟水分开了，各算各的，盐是盐，

水是水。总共是总共的，把它全打散了。好这个呢，就是溶质是一溶剂就是九，这是三，这是22，反正把它统一，因为盐没变，把都把盐变成三。然后再看水少了几份儿，水少了五，水再少五，然后得到这个值。反正这也是个方法，

左边这个方法还有两个人自己选。好吧，自己选都OK。好，这是给大家讲的做题的思路和内容。好，下面咱们课间休息一会儿，歇会儿，然后再接着上课好吧？好，咱们准备开始上课啊。好，咱们准备开始上课啊。啧。咳咳。

接下来咱们学习第三章啊，代入适合函数。啊，从第三章起，那进入代数学习代数学习包含三章，第三章，第四章和第五章。那么代数。它的这个特征。是用符号代替数字的运算啊。用符号。然后代替数字。好，所以用符号代替数字运算啊，这叫代数。

有简称代数。好，那么用符号的运算，那么这也是数学发展史上的一个里程碑啊，大家知道以往都是数字运算，一+2=3，现在变成了a+b=c。是吧，现在变成了a+b，它等于c啊这样的。好，这是它的这个。特征啊，所以说本章。代数的特征就是符号比较多，

公式多。符号多，公式多。啊，要知道啊，它符号多，公式多。所以大家本章的公式要把它记好，好吧，这是咱们代数的学习特征。啊，代数呢？对咱们做题的技巧就是特值法使用，比如说咱们遇到a+b=CA+b=c，大家可以取零一二。

或者一二三是不是，然后这一块大家呢？就是可以取一些特值给它记下。就特值法的使用。嗯，其他章节特值法用的比较少，像咱们的几何呀？概率啊，特征法用的少啊，代数这块符号多，所以特征法用的多一些好，这是它的这个学习要求。接下来咱们看第一节有理式及运算。啊，有理式和它运算方法。

啊，有理式和相应的运算。首先咱们看一下里面基本定义。什么整式整式就单项式和多项式统称为整式。单项式就由一项构成的式子。多项式有。多项式是由多个单项式，然后组成的啊。然后分式AB表示两个整式。a除以b，就可以把它写成b分之一的这种形式。然后其中。b1定要含有字母，这个就把它称为分式分子。a不一定含有字母。

比如三÷2 x+5，这是一个分式是吧？分母一定要含有字母。啊，这是一个分式，其中a把它称为。分式的分子b呢，把它称为分式的分母，这样的情况。好，这是分式的分子，这是分式的分母啊，这样的一个情况。然后第三个就最简分式，最简分式就是分子分母，

它没有公因式，它已经约到不能再约了，叫最简分式。他约到无法再约分了啊，这叫最简分式。好一个分式的最后形式必须是最简分式啊，就约到不能再约了，我们采用约分的方法来进行化简，这都是非常。基本的概念。接下来咱们再学一下常见的公式啊，常见公式好，大家首先看一下，第一个就平方差公式。就a方减b方等a+b×a-b这个平方差公式，

它的一个使用方法。好，这个公式大家都知道好吧，咱们就看一下他这个平方差公式。好，大家一起看一下例一这个题。例一这个题就二+1×2^2加一二的，四方加一二的八次方加一，它的值到底等于几？各位同学都想想选什么答案？大家思考一下。好，那这道题我们在化简的时候，我们可以给它乘一个二减一，大家想一想。

你想到没有，给它乘以二减一。对不对？乘以个二减一，然后呢？这样就可以用平方差公式了。这个明白没有？给它乘以个二减一。因为二减一，它正好就唯一嘛，唯一所以说这时候就不用再除了，懂了吧？就不用再除了好，然后这个方法。啊乘以个这个二减一。

然后呢？乘完以后大家知道这个二减一乘以二加一，它正好就是二的平方减一是吧？所以它就可以写成二的平方减一。然后乘以二的平方加一，然后这是二的四方加一二的八次方加一。然后前面两个，然后再做一下乘法，再次乘法就变成二的四方减一乘以二的四方加一。然后二的八次方加一是不是？好，然后这个前面这两个呢再再。再继续用平方差公式。然后二的八次方减一乘，以二的八次方加一是吧？

然后再等于二的十六次方减一，这样就写好。这个答案就选e。选一知道吧。好，那在这里面啊，这个要用到一个公式啊，就a的m次方括号的N次方。等于a的N次方括号的m次方都等于a的。m乘N次方。好就a的m次方括号N次方等于a的N次方括号m次方就等于a的m乘次方。这样的形式知道吧？a的m乘什么？你比如说二的八次方减一乘，以二的八次方加一，

它应该是等于一个二的八次方的平方减去一的平方。知道吧，所以说这十六怎么来来的呢？就是二的八次方再平方。啊二的八次方再平方就相当于二的八乘以二次方，所以这个就二的十六次方是这样产生的，懂了吧？好，这是它的这个平方差公式，它的使用情况，所以以后遇到平方差出现形如。其中就a加BA的平方，加b的平方。a的四方加b的四方。这样的式子，

我们就可以用平方差，公式化简。用平方差化简用平方差化简就给它乘以个a减b乘a减b以后，然后再除一个a减b就行了是吧？是吧，乘以个a减b。然后再除一个a减b。啊，这样的一个方法，这样就可以得到它的结果。为什么刚才咱们这个没有除，因为二减一它就等于一除不除没关系，但是要乘了一个三减一。一定要除一个三减一，要不然它跟原来就不相等了啊。

好，接下来咱们看第二个题。第二题完全平方公式。百平方公式就是a加减b括号平方，就等于a方加减二AB，加上b方好，大家想想这道题应该选什么？看例二这个题。它是一个长方形，长方形就是一个矩形。一个矩形，这个长方形的周长为三十。啊，长方形这个周长三十对角线是十一，这个对角线是这块儿，

这叫对角线。好那么，周长为三，实际上呢？a加b正好等于十五。好a加b，它正好就十五。是吧，因为周长三十嘛，半周长就十五，然后对角线相当于是根号下a方加b方。啊，这个对角线。好，接下来要求长方形的面积。

大家注意，在代数并行的时候不要去解a和b，知道吧？不要想着啊，两个方程，两个未知数，我把a必须解出来。两方的两个未知数，去解一下AB。解AB，然后这样就比较麻烦，你不用去解，用整体的思想。然后这样就得到是。a加b的平方减去a方加b方。

然后除以二这样就可以了，是不是大家想想？就a加b的平方减去a方加b方减，然后除以二除二就得到a乘以b，你看是不是这样的？对吧，你看这样变形好，接下来它就可以把写成二分之十五的平方减十一的平方。因为a加b这样等于十五把它带过来。然后a方加b方，这个相当于十一的平方坐，这大家可以用平方差公式来进行分析，得到就是五十二。好，这一栏就选择e是吧？

选择e啊就得到结果了，看这块是不明白了。啊，这个呢，就选择e选项啊。好，接下来咱们看一下例三这个题，大家思考一下，看一下例三。好若x方加x方分之一，等于七则x加x分之一的值到底等于几？大家想想。若x方加x方分之一的，值等于七，则x加x分之一的，

值到底等于多少？那这道题呢？你把这个等式两边同时加上二。就变成九了是吧？七加二变成九这块，然后这边就可以把它配方知道吧？把它配方配成x加x分之一的平方。这个懂懂了没有？嗯，这个会做吧？然后这样就可以推出x加x分之一开根号。给你正负三。是不是这个答案就选择c选项？好，这里就写好了。

如果这道题要改成s减s分之一，你会不会做改成s减s分之一？如果改成s减。s分之一的话，你这个等式两边同时减掉一个二。减二得到是五。就七减二得到十五。是吧，七减二得到十五。然后然后呢？这个呢？就可以配方配成x减s分之一的平方，它等于五。因为我然后呢，开根号，

它有两种情况。正负根号五。这样写好了，好吧，反正就加呀减呀的都要会配方。好看，这个懂了没有？好，接下来看三个。三个数的平方公式。就a加b加c的平方就等于a方加b方加c方加上二倍的AB二AC二BC好吧，就加上两倍的交叉项。就可以了，好这三个数的平方公式。啊，

在三个数平方公式里面，如果遇到减怎么办？遇到减的话，你把它看成一个负b好吧，就把这个公式呢b都换成负b，所以大家一定要能够活学活用。你不要想着哎，咱们学的只是加考试，遇到减就不会了。要减的话，大家把它活学活用，知道吧，然后这样的话，我们就可以把它写成a减b加c的平方就等于。把这公式呢b都换成负BB，

都换成负b，就变成a方加b方加c方，减去二AB。加上二AC减去二BC，所以把b都换成负b。啊，都得到这个结果了，好吧，好看这个懂了没有？好，接下来咱们看例五这个题例五这个题一样，就相当于把b换成负BC，把它换成负c。好吧，一样的，

所以它套公式可以得到a方加b方加c方。然后减二AB减二AC，加上二BC。好吧，反正大家呢，就这样套公式就行了。把b换成负BC换成负c。这些题就告诉大家，要能够灵活套公式。好，接下来咱们来看一下立方公式好吧，立方公式立方公式就a的三次方加上b的三次方啊，立方公式。立项公式，如果要加的话，

就写a加b，这个a方减一b啊，这两就减了。啊，这地方有减。知道吧，前面加后面减。如果前面减，后面加。知道吧，所以说这个符号别给背错了。好，接下来大家看一下例六这个题都思考一下例六这个题等于多少？好它已知a减b等于二a的三次方减b，三次方等于二十八。

好，那接下来咱们看一下就a三次方减b，三次方就可以写成a减b。乘以个a方。加AB加上b方，它等于二十八。是不是这样的？大家看这个会分解吗？然后接下来大家把这个a减b等于二带到里面去啊a减b，它等于二带到里面去。这a减b，它题目不说等于二吗？把这个二带到里面去，在里面就可以得到。得到a方加AB，

加上b方正好等于个十四。知道吧，就得到这个是正好为十四。得到这个实质以后，那接下来我们看应该怎么弄呢？然后a减b等于二a减b等于二两边平方是吧？a减b等于二两边进行平方向。平方就变成了a方减二AB，加上b方，然后正好等于四。是吧，得到这个。不要想着AB两个未知数，两个方程去把AB解出来。AB解出来，

那就很复杂了。这时候怎么办呢？这时候可以把a乘以b给它消掉。现在的话，那这个一式就是二式。所以一四乘以二。加上二四。所以咱们代数这块儿符号比较多，算的时候一定要细心点儿啊，别算错了，而且代数这块儿也特别容易犯粗心错误。知道吧，所以大家呢，就是算的时候细心点。然后就相当于一四乘以二加上二四。

这样话就可以把AB给它消掉，就得到三倍的a方加b方。然后这个就得到三十二。然后a方加b方就得到三分之三十二。好这个呢，应该选择的是e选项，这样就写好了。懂了吧，好看这个公式会不会用？好，接下来咱们再看一下例七这个题。啊例七。x加y除以个x三次方加y三次方加上x加y就等于。s加y。除以个这个x三次方加y的三次方。

x三次方加y的三次方可以用立方公式给它进行分解。好立方公式进行分解，在x三次方加y三次方可以写x加y乘以一个x方减xy，加上y方。然后再加x再加y。这样的，这个能看懂吧？所以说把这个s三乘加y三乘给它进行分解。所以上下可以把s加y给它约一约。这个s加y这个s加y这个s加y都给它约掉。啊，余六。要不然这个就剩一个一了是吧，然后x方减xy加y方，然后再加一。

然后有同学犯初级错误啊，选了有同学选e选项，选e选项的错因就在于把这个减去。就相当于负的xy把它背成正的了，然后犯了出行错误，把这个减号。看成加号了，当成加号了，这个错了。应该是九减四加一，应该等于六分之一。应该选c啊，别给我记错了。所以别选e啊，别选错了。

好看，这个题懂了吗？立方公式使用。好，然后接下来咱们再看一下整式整式它的加减运算。总是要加减一下。加减运算简单。加减运算一般就合并同类项就行。合并同同类项。啊，咱们整式分为加减乘除啊，那除法是最难的好吧，咱们先说加减加减是简单的。大家一起来看看例八这个题已知y等于as七次方加BS五次方加CS三次方加ds加e方求abcde为常数。s等于二的时候y等于三十三。

当s等于负二时y，等于负十五问e的值，等于多少大家都思考这个题。好，都想想这个题。对根据已知条件可以看到s等于二把它带到里面去。x等于二的时候y就等于a乘以个二的七次方。b乘以二的五次方。c乘以二的三次方d乘以二再加上e的平方，它正好等于三十三。是吧，正好就是三十三。然后当s等于负二的时候。当然等于负二时候，当然等于负二时候，

把它带到里面去y又等于。啊x等于负二，这个都是变成负的了，负a乘以二的七次方，负b乘以二的五次方，负c乘以二的三次方。d乘以二加上e方等于个负的十五。啊，虽然abcd他们不知道多少，但是这两式一相加一相加的话，这个正负正好抵消掉。所以通过这道题告诉我们，如果s要奇数次方奇数次方的话，它要负的话，它还是负的。

知道吧，所以基数词嘛。所以这两个相加，大家就可以把abcd给它约掉分析。好，接下来咱们看一下乘法运算，乘法运算大家会搭配就行。啊，乘法运算就是主要是搭配。搭配也就谁跟谁搭配。好，这是一个重新判断题。同学们，他说他这个乘积不含s一次方向和三次方向。如果要不含一次方向和三次方向。

那说明一次方向系数为零，三次方向系数也为零。知道吧，如果不含就像一次方向，三次方向系数都为零。好，那接下来咱们一起来看看。啊，一起来想想。好，那么咱们学过重新判断题，同学们如果题干比较复杂的时候，可以把题干给它化简一下。化简完以后，然后咱们再判断对不对化简一下？

所以说题干就可以变成as方，加上BS加一。乘以个三s方减四s加五。加五然后它呢不含s一次方向，我们看一次方向应该怎么写一次方向，一次方向就是BS乘以五。和一乘以负四x这样的。那这样的，这样的话就是相当于是啊，一次方向。是吧，所以说x一次方项。而e次方向你相当于是五b减四。这能听懂吧，所以它要会搭配。

然后它的系数呢？它v零v零这个b又得到是五分之四。然后咱们再看x三次方向。x三次方向c乘以搭配，大家想想x三次方向x三次方向就是as方跟负四s搭配。然后BS跟三十平方搭配。这样就可以了是吧？把它搭配搭配完后就变成了什么变成负四a，加上三倍的b正好等于零。好，这个能看懂吧？然后b的值刚才已经解出来了，等于五分之四，那么a的值在这里面就可以求出来a的值上等于五分之三。好a的值正好是五分之三，

得到这个结果。好，那这个题干，咱们注意重新判断题，先化解题干的这个过程不是从上往下推啊，永远不能够。从上往下推，它只能是下推上。只能是从下往上推。好从下往上推的话，那么这时候看谁符合题目要求，正好条件跟题干的要求是符合的条件充分。条件一不行啊，因为条件一a比b等于三比四。满足三比四的a和b有很多无数多个，

它不一定能得到a就是五分之三b是五分之四得得不到。所以这道题条件成分还记不记得？答案选什么呀？都说一说。二，成分。选什么答案都忘记了。啊，选择b选项啊，别给忘记了，另外要知道这道题的充分必要的关系啊，就a比b等于三比四。推不出来a等于五分之三b等于五分之四。知道吧，所以说但这个这个它可以推出，

它知道吧，它可以推，它就a等于五十三b等于五十四可以推出a比b等于三比四。但a比b等于三比四得不到a等于五分之三b等于五分之四。好吧，这个要知道啊。好，这是例九这个题考察了，大家听完后的收获就考察了这个多项式，它乘法要找谁的系数，那谁跟谁搭配也会找。好吧啊，要会分析啊。好，接下来例十这个题，

咱们看看例十这个题。好一减ks的三次方等于a一加a二s加a三s平方加a四s三次方，对所有实数s都成立。若a二等于负九，则a一加a二加a三加a四到底等于几？好，那在这里面，咱们呢？要用到这个公式。这是a加b括号的三次方，可能大家忘记了，忘记咱们简单说一说好吧？a加b括号三次方就等于a的三次方，加上三a方b。加上三AB方，

再加上b的三次方。这样的啊，所以a加b的三次方，我们可以写成a的三次方加三a方b加三AB方，再加上b的三次方。好，这个看这个懂了没有？好在这道题里面这个a相当于取一。b相当于把它换成一个负kx好吧，就把a的值把它写成一b的值写成负kx。然后套下公式就可以得到一减kx的三次方就等于一一的三次方还是一啊，这个就不用管它，然后减去。三kx加上三k方x方减去k的三次方x三次方。然后就把这个b都换成负的ks带到里面去。

你看a都变成一好吧，得到这个值，但是它题目说它等于a一加a二x加a三x平方加a四x三次方。那接下来，它根据a二等于负九a二的值，正好在哪a二值正好等于负三k。知道吧，所以a二值就是负三k，负三k得到负九，这样就可以把k求出来，所以a二就等于负三k就等于个负九。这样得到k的值正好等于三。k的值为三好k的值为三，这个求出来以后那么a加a二加a三加a四，这样就可以写出来。

啊a一加a二加a三加a四的值，这样就求解出来了。知道吧，然后k的值等于三，这时候AA二a三a四怎么去求你知道吧？你不要把a一a二a三a四每个a求出来，每个a求出来，那这样算复杂，令s等于一你发现没有，所以令s等于一记住s等于一它的。特征就是把所有系数相加。找s等于一，s等于一时候就可以得到a一加a二加a三加a四。这样就等于一个一减k的三次方，这样等于负八。

是吧，这样等于负八这个答案就选c知道吧啊，如果这个题要求a一减a二加a三减a四，那就令s等于负一知道吧，如果考试反正就一和负一是常用的，我顺便给你写写。令s等于负一，而等于负一的话，就是a一减a二加a三减a四。令s等于负一，而等于负一，就相当于一加k。这样就写出来了。知道吧，这样就求解出来。

好看，这个懂了没有？啊，这样就得六十四这样写好了。自己再想一想。好，这个大家听完的收获就是三次方，它的立方公式，另外这个系数。还有求这个系数和还有系数正负正负这种。求解的方法一定要记住s等于一和s等于负一，它的含义是什么？接下来咱们看一下例十一这个题。它多样式x三次方加ax，方加bx加六的两个因式知道，

求另外一个因式。好，那么知道两因式求，另外因式我们看看x三次方，加上ax方。加上BS加六。它有两个因式，知道了，你可以写成s减一s减二是吧？s减一s减二，然后乘以第三个因式。大家注意。对于多项式。重点要看什么呢？重点看最高次方。

和最低的常数项抓住这两个啊，最高次方和最低的常数项抓这两个就行了。好，大家知道最高最高次方，这是x三次方x三次方系数正好为一x三次方代表什么意思呢？代表着最高的每个括号里面最高的相乘。知道吧，说明这个最高的也是x知道吧，就最高最高最高称完以后就得到最高的。这个能听懂吗？很简单，比如说你数学也是最高的逻辑，也是最高的。作文也是最高分，那就是咱们全班的最高分，

那有时候每个括号就每个每个学科你都是最高分。啊，这个是最高的，这个也最高，这也最高，那最后乘完后就最高了。这个能懂吧，比如说如果这里x三次方前面系数有个二，这地方有个二，这有二，那这地方也要写个二。知道吧，如果前面是三这地方三那这地方它也写个三。明白没有，所以说这道题它正好是一正好一比较简单就写个一。

然后最后咱们再看常数项。常数项，这个常数项这块儿是六。六常数怎么怎么回事？常数就拿常数乘以常数。就负一乘，以个负二。再乘以一个三是吧？是不是再乘以个三正好就等于六？是不是再乘以个三呀？负一乘以负二，然后再乘以个三得到是六？得到就六是吧？所以说这个就写一个三。好这个呢，

就选择e选项。所以说，在这多项式，大家要注意多项式。它的核心。啊，核心核心的话就相当于是最高。次方。和最低的常数项。就收尾收尾收尾，你找掌握住了，那这时间就省下来了，好吧，这样就可以了，好的，

这这个大家要知道它的做题方法。好乘法，咱们讲完了，接下来说一下除法。呃，多项式除法跟它数的除法有点像，比如说咱们数的除法是吧？就二十除以三。上一个六余个二。是吧，这二十咱把它称为被除数。三把称为除数，六把称为商，二把称为余数。那多样式一样，

只不过把它变成符号。被除式除以除式得到商。还有，于是。是吧，好就是被除式。除式商还有余式。是不是这样的啊？还有这些。然后这样话，它就可以得到这个fx就等于f乘以gx，然后再加上一个rx。是吧，然后咱把这除法变成一个乘法，知道吧，

就被除式等于除式乘以商再加余式就跟数。数的运算差不多，你看这个二十可以写成三乘以六，再加上二。是不是就跟这个运算差不多？在咱们数的除法在要求这个这个余数一定要小于这个除数。这个二一定要小于这个三。知道吧，小于这个三那咱们多项式的除法就是次方要求啊，就这一块儿。就是余式的次方要小于除式的次方，知道吧啊，余式的最高次方，它次方要比这个。fx次方要低。

好，这是它的一个基本要求。啊，咱们先说比较简单的整除好吧，想要整除就当那个余是为零时就把它为整除。整除法，然后就用一个竖线表整除咱们竖的除法也可以用竖线来表示，比如说六。这十八就表示，六整除十八或者读作十八能被六整除。十八能被六整除这样的。好，这是这个竖线，就记住就代表整除啊。然后接下来有个因式定理，

如果f还有s减a这个因式说明f还是能被s减一整除，可以得到fa正好为零，那这个怎么去理解呢？就f还有某个因式，就说明fs就等于s减a再乘以其他的因式。对吧，然后令s等于a。zi等于a左边就变成fa了，右边就变成零了是吧？因为x等于a的时候零零乘任何数都被零。这样写好好吧，这因式定理。好因利率跟整除是相关的，然后因利率的口诀，大家可以记一下口诀，

就因式为零。函数值也为零。因式为零时，这个fa函数值差也为零。好因式为定式函数值，它也为零，这样写好了，这个因式为零函数值，它也为零，这样的一个方法，这个写写出来了。好这因式定理它的一个要求。接下来咱们看一下例十二这个题例，十二它fs。这个表示能被s加一整，

除问实数a等于多少，大家想想这个题应该怎么做？能够给它整除。那么，要整除大家怎么去思考，来想想是不是让s加一正好为零啊？s加一为零的时候。正好就是令s等于负一。I等于负一f，负一f，负一等下带到里面去就负一，加上a方减三。减三a，它等于零。是不是这样的，

这样就得到a方减三a减四，它的v零这能看懂吗？然后这a的值就等于负一或者四。是吧a的值正好等于负一或者四。这个能明白吧？这个呢？就选择这个e选项。好看得懂了没有这个答案。就是负一或者四。好，接下来咱们看第六个就因式分解问题啊，因式分解。考纲没有直接说明这个因式分解，但是呢，它是咱们整个代数的基础。

是吧，因式分解你，包括咱们的变形呀，解方程呀，解不等式啊，化简呀，因式分解是一个基础基本功。所以说后面咱们学习这个方程不等式都要用好吧，所以咱们呢就？温习一下这个因式分解的一些基础东西，第一个提供因式提供因式很简单，就有共同的因式把它提出来就行了。是吧，比如说都有m把它这个提出来。好那么呃提出来，

然后这个一般使得。最高次方系数是正的好吧，这一般习惯啊。习惯就反正就提共同的因式嘛。然后有负号就把负号也提出来。好，那接下来咱们看例十三这个题，大家思考一下例十三。啊负的x三次方加x平方加二s等于零的售后十根之和到底多少？那这地方大家可以提出个x。你把这个负号给它两边先先先乘一个负号也行，乘一个负号就是s三次方减x平方减二x等于零。两边都变个号也行，变号这个主要变成正的，然后x提出x提出x以后里面设x方减x减二。

然后接下括号里面，大家用实质相乘，因式分解就可以了，实质相乘，因式分解咱们讲过分成一一一负二，这样就可以分出来。是吧，这样交叉相乘再相加，这等于中间的这个系数，所以大家可以选择s乘以个s加一。x减二，它正好等于零。好，这个能看懂吧，然后它方程有三个根零，

所以所以这个x值不要直接给它约掉，约掉话会漏掉一个根，虽然这道题不影响它的和因为这个数值为零，它不影响它和，但是有的时候会漏掉一个根啊。这条零是一个根负，一是一个根，二是一个根。所以说它输入十根之和，把这三个根加在一起就可以了，加在一起正好就是一。这个答案就选择a选项啊，答案就是a好，这是它的方法，看懂了没有？

好，这个答案就选择a选项，好，这个就写好了，好，这个它的这个思路。好，接下来第二个就运用公式法。啊，运用公式。公式化那么这个就是有a方减b方等于a加BA减b的平方差，还有完全平方，还有立方。还有a方加b方加c方加二AB二BC二二AC三个数的平方公式。另外，

还可以配成三组的平方好吧，三组平方最后一个，这改成减也行，加减都可以。这加减都OK的。好吧，加减这都是没问题的，都OK的。好，这是公式法，反正就记一些常用的公式平方呀，立方公式。好吧啊，接下来咱们简单温习一下这几个。第一个第一个可能用平方差知道吧，

第一个。第一个原式，你可以把它写成什么？写成五AB方c的八次方。是吧，然后这二十五写成五的平方。a方写成a的平方b的四次方写成b方的平方c的十六次方写成c的八次方的。平方，然后这时候用平方差公式就行了，平方公式就写成五AB方c的八次方加一。乘以五a方，五AB方。c的八次方减一好吧，所以第一个用平方差公式就OK了，这个能懂吧？

第二个原式。原始人可以把这个什么把这个四放在前头。啊，第二个你可以用提公因式也行，前面两个题，后面两题还可以把它用这样四减去括号a方。减二AB加上b方这样写也可以，是不是这样写？你把a方b方二AB放在一起，那你这正好可以写成四减去a减b的平方。是不是四减a减b平方，然后呢？大家呢？再用平方差公式二。加上a减b。

乘以个二减去a减b，或者把括号给它去掉也行，就二加a减b乘以个二减a加b。这样一些。是不是这样也可以完了，大家呢？就用这个平方差公式啊来进行写。好，这是第二个，第三个。第三个就是a加b的平方，减去四倍的a方减b方，加上四倍的。a减b的平方。啊，

这个你怎么弄？想想。这个呢，中间用一下平方差公式，你发现没有？当然有同学想不到的话，我们把这个所有的括号都打开，所有括号都打开，那比较麻烦一点儿。学生可以把a加b看成整体，这个呢，可以把它看成四倍的a加b乘以个a减b。是吧，然后再加上四倍的a减b的平方。然后把这a加b看成一个整体，

这a加b看成整体这个四倍的a减b的平方，把它看成二倍a减b整体的平方。是吧，它正好就是一个平方公式，这个能看懂吧，你就是把这个a加b看成整体。然后二倍的，你要看不懂，给你多写一个算了a加b的平方。二倍的AB。二a减b是不是二a减b？啊，这个明白吧，然后呢？这个呢？

变变成二倍的a减b。的平方啊，这样这样你总能看懂了是吧？你就把这个二倍的a减b看成一个整体。然后这样这样用用公式，用公式就可以写成。写成就是。a加b。减去二倍的a减b的平方是不是这样的啊？这样就消了行，然后接下来你把它稍微弄一弄。那么，这是a减二a就是负a？负a加上三b平方也可以选择a减三b的平方都可以，因为平方里面整体变个号，

这个是不影响的。好了，这是第三个。然后第四个，第四个那那更简单，第四个的话，这二b减三a，这是三a减二b，反正咱把它变个号。编号我们把它看成整体嘛，就是二b减三a，把它看成整体。我们写三a减二b也行。我们把它看三a，三a减二b吧。

咱姐妹就变成t方加二t，再加一。直接变成t加一的平方，就相当于三a减二b。再加一的平方，反正就是用整体思想把他。把它进行。配方就行了啊，配置完全平方就可以了，好吧，这是它的这个方法，看懂了没有？好，接下来咱们看分组分解法，分组分解法就是分完组以后，

然后一定要能提供因式再用公式法。是吧，所以要分组。把它分成几组。啊，一般比如两个分析组还三个分析组，分组做就行了。好，你比如说像例十五这个题。啊例十五这个题例十五这个题你看第一个原式。就等于啊，你前两个题也行，前两题是a减五，这个后面两题也行，或者说第一个跟最后一个题，

中间两个题也行，反正怎么着都可以做。前两题的a方。把它提出的a。a减五这个提出的b是五减a。对吧，提提出个b提个b变成五减a，然后这块儿呢，再提一个a减五。这个变成a减b了啊，这个写好了，对不对？要因为这块儿它有个负号，所以变成a减b啊。然后第二个。

接下来大家想想怎么弄？你想想怎么弄？那就是a方减四b方。画弄在一起。三a和六b弄在一起，这样就差不多，是不是这个a方减四b方弄在一起三a？和六b提出一个那个什么三吧，提出三提出三就是三。三倍的括号a加二b。是不是这样的，然后a方减四b方可以写成平方差公式a加二b？乘以个a减二b，然后减去三倍的a加二b。然后这是a加二b。

是a减二b再减三的这个结果。好吧a减二b再减三得到这个值，这样就写好了。好，这是它的这个方法。啊，看这个明白没有？好，接下来咱们看十日相乘。啊，十日相乘，这个也是非常普遍的，像一些数比较简单的时候，大家直接可以口算好吧，十日相乘，

实际上呢，就ax方加bx加c。然后呢？你把这个画一个时差，这a一乘以a二就等于x平方系数a。然后c一乘以c二就得到后面常数c。然后斜线相乘再相加，等于中间的b，然后这个都。嗯，符合的时候，然后横着写，横着写括号a一s加c一乘以括号a二s加c二就横着写就可以了。啊，就可以得到它的结果，

好吧。然后接下来像一数比较简单，大家直接就可以写，就不用画图了，你像这个x方加五x加六它就可以写成x加二。乘以x加三。是吧，这个六直接分成二乘以三。这样就可以了，是不是？所以说直接就给口算出来很简单。你看这个题，这个题中间负七负一就可以分成什么分成s减一s减六。是不是这正好能出现中间的负七？这都很很简单，

都可以口算。然后这个这个呢，稍微复杂点，你就画个图了，这个三三的话，分成一乘以三。十的话要出现中间的十一分成二和五，这差不多吧，负负看这样行吧，这两相乘是负六，这两相乘是负。所以得到负十一，得到x减二乘以个三x减五。好得到这个结果啊s减二乘以三s减五得到这个结果好看，这个懂了没有？

好，这是实质相乘，练习一下，接下来就拆项补项法，拆项补项一般呢，就给它补上一些，互为相反数的两项或者。几项补完以后呢，他就好提供因式是吧？适合提供因式，或者说在分组也行。啊，分组也可以。好吧，你比如说像这个第一个。

第一个一般就是弄动中间的啊，你记住啊，一般就动中中间的。因为中间什么中间它可以可以什么可以衔接高跟低，知道吧？可以衔接高跟低啊。就这样的一个东西。这个可以上下衔衔接啊，所以一般就动中间的。好，那么第一个大家看看第一个它的这个结果。第一个就把这个九，因为它这地方有个八，所以你自然而然想到猜出一个八来，所以x三次方减八x。

然后再。呃，这个减x再减八x。再加八这样就可以了，是不是？啊，就可以写它的结果了。好，这个能看懂吧？就相当于把这个九拆成一跟八，拆完后那接下来那么前面。两个可以提出x提供因式就前两个分组，后面分组这个s剩x方减一。这个提出一个负八剩x减一，是不是啊？

提出负八剩x减一，这写好了。需要然后呢？然后呢，我们再继续写。啊，再继续写。再去写，然后这个就提出一个gs方减一，大家还可以再写嘛，写写的s加一s减一，这个能懂吧？啊，这个用平方差公式嘛？然后减去八倍的x减一，

这个明白没有？然后这时候呢，就提出个x减一就行了是吧？提出x减一就可以了。你看这个明白没有，提出s减一。啊，提出s减一后，我们看剩什么东西？提到s减一后，前面剩的是s乘以x加一，再减八就相当于s方加八I。加x再减八。这后面这个这个十字相乘，分不开就不用再分了，

也不用求公式。啊，它求公式，再分就复杂了，这个就写到这吧。好吧，所以这个就把九给它拆开。啊，拆完以后呢？然后呢？前面呢？跟后面再提一个x减一提I减一后，那得到这个结果就可以了。好看懂了没有？然后第二个。

第二个，第二个，大家要想到怎么弄，你知道吧，把这个这个三给它拆开，三拆成三个，一正好一一个人分一个一。是吧，所以第二个原式就可以把它写成什么写s九次方减一s六次方减一。x三次方减一，这个能看懂吧？假设九次方减一x，六次方减一x，三次方减一，把这个三三三个一。

乘上一后，那接下来我们。这个做一下变换。做一下变换，这边大家知道s九次方可以把它看成s三次方再三次方。s六次方可以把它看成三次方的平方。这是x三次方减一，是不是就是这样的好这地方呢？用立方公式这地方用平方差公式。这地方后面的先不不动它是吧？先不要动好这个要用立方公式就变成x三次方减一。乘以个。乘以个s平方。它的平方那平方就像六次方是吧？呃，

六次方加上用咱们立方公式嘛，加上一个三次方再加一。然后中间这一项呢，用一下平方差公式l三次方减一l三次方加一。这后面这个x三次方减一得到这个结果，然后这个大家就可以提出x三次方减一。求x三次方减一，求x三次方减一，以后我们看剩下变成什么东西了，这个x三次方减一提就OK了。是吧，这个一提就可以提出它，它的这个结果。好看，这个是不懂了。

所以这道题就把九次方六次方，还有三次方分别呢，我们给它都把它看成三次方。这样的一个变换情况。好，那接下来咱们呢就来做一下变换。好都剔除一个x三次方减一。都提到x三次方减一，咱们看还剩什么东西啊？一块来看看。这个剩下一个x六次方加一个三次方加一，这个剩一个x三次方。加一后面又剩一个一。是吧，后面它又剩一个一。

好，这个题好了。听好，那接下来咱们再来看。x三次方减一乘，以个x六次方加上二倍x三次方，再加上一个三。是吧啊，再再加上一个三就行了。这后面这个就就没法再分了，没法再分就不用再分了，前面x三次方减一，要想分再分分就是分完了。分之s减一s，平方加x加一，

然后s六次方加二倍x三次方加三。好，这样就分好了，好看大家是不是明白了？看是不是都听懂了啊？好了，那么咱们今天就讲到这好吧啊，今天就讲到这，然后呃，剩下明天讲啊，明天。啊明，明天咱们把第三章的这个剩下一点，这个学完，然后再学下第四章。

好吧，然后呢？代数咱们就讲到第四章。然后接下来咱们就开始学那个排组合啊，后面内容因为几何这一块儿的话，相对来说它是更更。更成体系的一个板块儿，所以说咱几何呢，就放在年后来进行学了啊，排列组合大家比较薄弱，所以说咱们再讲讲排列组合啊。所以就是明天和后面的内容安排，所以年前呢，咱就把代数呢三十章写完，然后。

然后排列组合，咱们学学好吧，这是咱们。数学的一个课程安排啊，所以大家把这个内容呢，可以提前的再看一看好了，各位同学，咱们今天就讲到这好吧，各位同学。好好加油。好，各位同学，拜拜。

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13.代数2

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