12.代数1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 05:46:06

好，各位同学，大家上午好啊。好，咱们课程很快就开始了。好，还没进直播间，同学抓紧进来。大家作业都做完没有？上次第一章留的作业都做完没有？好，各位同学，大家上午好。好，咱们课程好像就开始了。

好，还没进直播间的同学抓紧进来。好，已经进直播间，同学大家打个一进行签到啊。好，小戴同学已经到了啊。啊打一进行签到。嗯嗯。咳。好，大家听完课要及时的把作业做一做啊。这样才能巩固听课的效果。好，那咱们课程好像就开始了。

哈。好，还没进直播间的同学抓紧进来。好，各位同学，大家上午好啊啊，咱们现在开始上课啊。大家翻开书啊，接下来咱们学习第二章应用题。好，我们来看一下第二章应用题里面的内容。应用题呢，也是考试过程中占的。分值比较多的也是对大家做题时间消耗比较多的啊，题型因为应用题它要读题，

然后有的还要画图，还要列式子。还要再计算求解，所以它的过程呢，是要多一些的，所以考试用的时间也会多一点。那提到应用题，咱们先给大家进行说一下，应用题几个关键问题。好，大家看一下第一个，首先我们要知道应用题，它的核心是什么？啊，应用题的核心问题。

啊，应用题的核心也是咱们决定应用题能否把它解好的成败问题，就是要建立等量关系。因为应用题，它就是给了很多。零散的一些条件。要找到线索，把这个等量建立起来，我们应用题就解好了。有的同学应用题说不会做，其原因呢，就读完题以后不会找等量关系。好，那么等量关系呢？咱们又分为什么呢？

分为小等量和大等量。好，那么什么是小等量呢？咱们说一说小等量就是它的细微等量，像咱们身体里面的毛细血管儿一样，非常微小的等量。比如说。甲是乙的两倍，就是一个小等量。或者说甲乙丙三人成等差数列，这也是一个小等量，就是每一句话，这是一个等量啊，这叫做小等量。然后什么大等量大等量，

就是把这些小的汇聚在一起的。啊，一个主要的一个线索有点像咱们身体里面的大动脉一样啊，就是主干的啊，这个等量。能把各类小等量连在一起的大等量，或者说决定最后列式子。求未知数的关键等量叫做大等量好吧，所以这是小等量和大等量，然后大家应用题比较薄的同学先找小等量，每句话的小等量找到。然后比如说甲跟乙的关系，乙跟丙的关关系，丙跟丁的关系，把这小等量找到，

然后再根据他们四个人。再列个大等量是吧？这样就写好了，好，那这也是练习大家处理问题的一个宏观思维。就拿到一个题，我们应该怎么去想好吧，这是它决定大家的一个关键的啊，一个成败的问题，就思路你大方向，不能出问题。第二个，咱们要开始设问量了，设问量就决定做题的速度。就有同学说呢，

应用题呢，自己也能做，就做的比较慢啊，做的比较慢，原因是什么？咱们看一下啊，做题速度。第一个啊，关于未知数，一定要尽量少用或者不用未知量。啊，你一上来用了很多未知量，那这个肯定影响你的做题速度是吧？少用或者不用未知量啊，能少用尽尽量少用，

能不用尽量不用。第二个是最关键的。并非问什么设什么啊，如果问的量你设的不合适。那么一个是不好解，甚至有的时候呢，做不出来。知道吧，好，那么如何来设备量？你比如说像有的时候他问的是甲是多少，那要设甲的话，那可能就不好解了，你设设个乙可能就好算一点儿。所以设备量的原则，

咱们呢，并非为什么设什么呢，就相当于是。怎么样设未知数。那第一个要方便，咱们求解，第二个方便，咱们列。等量好吧，唉，一个是怎么设位数啊？一个方便啊，等量好找啊，你设的位置数啊，这个等量和。

很好找，第二个呢，就是好算啊，容易计算。好，那围绕这两个原则啊，来进行设备的数好吧，好，这是设备的数，它的一个基本的要求，大家记一下。好，那这是第二步，第三步就开始落地了是吧？然后呢？

就是我们的这个解题方法。是吧啊，如何去解？啊，解题思路，解题思路的话，那么总共有三步，第一步读题找等量啊，分为小等量和大等量，有时需要画图。好，那么画图有哪部分需要画图呢？一个是路程问题，需要画图。对吧，

论文里需要画一些图，还有咱们的交叉比例法交叉法。还有这个浓度问题，有时候需要画下图。还有呢，就是咱们的集合问题。还有至少至多问题。需要画一下图啊，这些都需要画图来分析。结合画图来进行求解好，这第一步第一步读题，稍等一下，一般呃在三十秒之内。啊，最长如果要画图的话，

就最长就不要超过一分钟了。好，这是第一步，第二步要确定方法啊，要确定方法，确定方法首先基本方法。进化就设备的数来列方程。啊，这是传统的方法。啊，它的优点就是好理解。缺点就计算复杂一点，知道吧，然后简便方法呢，就不设未知数或者少用未知数来求解。

不设未知数，就逆向求解。比如说，把乘法变成一个除法，我就不用再设未知数了。是不是所以逆向思考？就不设未知数的方法，不设未知数方法优点和缺点，跟上面正好反过来。它的优点是计算量小，缺点呢，就不好理解，绕不过来是吧？大家不好绕好，这是它的这个。

求解的一个。基本方法。那怎么样？采用咱们的简便方法啊，那么有这三块儿可以使用简便方法，第一个逆向法。啊，逆向思维。比如说刚才咱们讲的乘法，我把它变成除法。啊，这样就不用设未知数了。第二个比例。正比反比。啊，

正比反比用好比例，那么可以帮助咱们。节省很多时间。第三个就是特值法。呃，这个特征法一般适合于什么？它首先特征法它不影响答案。是吧，我设为一啊，设为一百啊，这个没关系。第二个呢？就是这个特值法呀。一般用在比例的时候或者利润的时候，那你就可以采用这个特值法处。

啊，比如说原来价格是一或者一百是不是？然后这样特殊法，然后优点啊，咱们简约化优点和缺点正好呢，就跟上面基本方法。反过来啊，反过来，所以它的优点就是计算简单，缺点呢，就是可能有同学绕不过来，不好想。然后第三步计算求解答案好，那主要做应用题，就这三步。

三步咱们一个题不能超过三分钟。啊，所以说主要是前两步很重要，前两步啊，没没问题啊，然后写的很快，那么后面计算咱们考试一般也不会太复杂。好了，那这是解应用题的，给大家说的这几个关键的环节，大家把它写在书上记好。下面咱们看一下第一节比例问题。再来看一下第一节比例。好比例问题呢，为应用题中的常考题型。

这也是一个每年都有的必考点。每年都有像二三年考试，那么这个考的比较简单。是吧，然后之前考的难一点。然后比例问题呢，还支撑着其他问题的一个技巧使用。所以咱们在后面学路程呀。工程呀，浓度啊，都可以用比例来进行求解。好吧，所以说这里面如果你把这个比例学好了，那做一些溶液浓度问题啊，然后呢，

路程问题都可以用比例。还要涉及到一些比例性质的应用，比如等比定理啊和分比定理啊啊等等的好，接下来咱们过一下公式。啊，公式呢？主要是是建立等量的基础啊，所以大家注意公式建立等量基础，所以我们要用公式。啊来进行求求等量好第一个变化率变化率，它包含增长和下降啊。它变化嘛，要么变多了，要么变少了，所以包括增长和下降。

编号率啊，那么它。公式就等于变化的量，改变的量。除以变前量就除，以原来基准量好吧，就是变化率，它的这个内容。它可以用现在值减，原来值为什么要加绝对值？因为它有可能是下降，有可能变少了。所以说这个差值，然后除以原来值。除以原来值，

然后这时候那乘以百分之百得到变化率。啊，也可以拿现值除以原值减一绝对值乘以百分之百啊，这是变化率，它的一个含义。和内容好吧，它变化率的概念，这要知道。好，那么这个公式要知道什么时候用？大家在旁边写上。这个公式就已知原值和现值求变化率。已知原则限制，求这个变化率。好已知原值和现值，

然后求这个变化率。啊，比如说啊，原来数值多少，现在数值多少，那问这个变化率变化了百分之多少啊，这样的一个情况。好，要知道每个公式什么时候用啊，你别说我背的公式就行，背的是不行的，就像咱们单词一样，你光把它背下来。但在句子里面，它怎么应用的啊？

这个呃还要掌握对不对？其实数学一样，你公式光背着那这个不知道怎么用？大家发现有时候呢，会出现一个可怕的现象，什么现象就在英语一个句子里面，没有任何生词，就是自己翻译不好。是不是就像数学一样是吧？然后题读的特别明白，就是不会做，这是很可怕的一个现象。那要怎么样来解决这个现象呢？就说明一定要真正理解理解它到底是表达什么意思是吧？英语那么要理解这句话表达什么意思？

你才能会去翻译。那数学一样，你知道这个公式表达什么意思，我们才能把它用好。然后第二个是什么呢？第二个如果要知道原值和变化率，求现在值这个要知道好吧好，那么如果要知道原值。所以第二个它应用。应用已知原子。其变化率。然后求现在值。好，那知道原值和变化率那么求现在值啊，这时候呢，

我们就用第二个公式，比如说原值是a增长百分之p。现在只有a乘一加百分之p，如果下降的话就改成减好吧，另外大家要注意，如果先提价再降或者先降再提价，回不到原价啊。这个得一定要知道，比原来要小，知道吧？它比原来呢？是要小的啊，这个这个作为基本常识，要知道。这个很好理解和计算。

你俩知道一加百分之p乘以一减百分之p，正好大家可以用平方差公式，可以看到它正好比原来要小是吧？平方差公式啊。就可以解出来，它正好比原来小。像咱们呃，做复杂题，还有一些连续变化率，知道吧，连续变化，比如说一月份产值为a。然后每月增长百分之p，每月都在增长啊，一月份二月份三月份四月份后面每月它都在增长。

啊，那么这时候呢，要出现一个次方多少次方啊，这到时候呢，大家写的时候别给写错了好吧，这就是它的增长率问题。然后第三个就是恢复原值啊，恢复原值啊，如果原来数值。先降百分之p，再增多少能回到原值？啊，这个式子要知道它怎么去进行分析，知道吧？好，

那么它等量怎么去表示？如果原值先降百分之p。比如原来数值是a先降百分之p，然后呢，再增多少，再增一个x。又回到原值js解算，就等于百分之p除以一减百分之p。好，这样的好吧，就拿百分之p除以一减百分之p。这样就写好了。好，这是它的这个式子，看懂了没有？

是吧，这就是它的求解情况。啊x这样写这个怎么解呢？两边把这个一除过来，然后再移项就解出来了啊，好第二句话，如果先增百分之p再降多少？能回到原值啊，就a乘以个一加百分之p。然后再乘一个一减x等于a这s解出来就等于百分之p除以一加百分之p。好，各位同学，大家看怎么去记怎么去记很好记，你可以发现这两个公式啊，它的分子都是百分之p。

是吧，这个就不用再记了，对不对？然后分母分母的话，如果。前面是降，那就是减。如果前面争。就加这也很好理解嘛，降降肯定有减嘛，增增的话就加嘛，是不是这样的啊？这样的一个方法。对不对好？这是它的这个式子好，

那这样的话，你就跟人家特征就很好记了，比如说给你举个例子。啊，如果。先增百分之二十五。再降。多少能回到原值？大家都加油。说一说好吧，如果要先增百分之二十五，再降多少能回到原值，大家想一想。啊，先增百分之二十五，

再降百分之几，能回到原来数值？大家思考一下。想一想是吧，这个公式就是首先公式怎么用呢？就拿百分之二十五照抄除以一个。说一个如果前面增增的话，就加。是吧，真的话就加。加然后呢？这个自己算完就得到百分之二十。对吧，你看这个公式，你记起来啊，

做题就快一些，当然记不住，你按照刚咱们讲的这个公式去推导，这样也行。好，这是给大家已经讲了它这个公式的啊，一个特征怎么去记对吧？你只要是争这地方就加。啊，如果前面写。这就这样，就改成减。好了，这是给大家讲的公式使用啊。好，

接下来第四个甲比乙大百分之p，甲比大百分之p，说明甲减乙除以乙等于百分之p。或者甲等于乙乘以一加百分之p。他说甲是乙的百分之p。对吧啊。甲等于乙乘以百分之p等等，反正这这些都比较简单好吧，就甲比乙大呀，甲比乙小呀。是吧，然后呢？就写成这样，甲就比乙多百分之p，这样写的是吧？

或者谁是谁的百分之p？那这块儿大家也要会分析和思考，懂了吧？然后这个注意甲比大百分之p不等于乙比甲小百分之p啊，为什么因为这基准量是不一样？各位同学啊。基准量是不一样的，懂了没有啊？这个千万别弄错了，因为这个它是比后面这个对象作为分母。知道吧，作为分母，作为这个基准的知道吧，它的基准量是不一样，虽然它都是百分数是一样的，

但是呢，它基准量是不同。比如说甲比乙大百分之p。等于什么等价乙比甲小百分之p除以一加百分之p。这跟刚才有点像，恢复原值那个公式差不多是吧？你可以按照那个来记，这样差不多，你发现没有？比如甲比大百分之二十，不等于乙比甲小百分之二十啊，这个一定要知道。甲比乙大百分之二十的话，就说明甲就等于乙乘以个一点儿二。对吧，

乙比甲小百分之二十四，乙就等于甲乘以个零点儿八，所以这两个是不一样的。知道吧，这两个是不太一样，别弄错了啊。那现在大家可以思考一下，比如说甲比乙。大百分之二十五。相当于乙比甲小多少？啊eb加小多少？知道吧，好这个公式记忆方法跟刚才的恢复原值是一样的。把百分之二十五照抄。是吧，

照抄，然后出一个，如果前面这要大。要大大的话就分母就加，知道吧？大你就写加。其实还是百分之二十。知道吧，还是百分之二十，所以这个这个公式跟刚才咱们讲的恢复原值，那个公式的记忆方法是一样的。好吧，一样的，这个大家要明白。好，

这是第一个内容。然后接下来咱们再看比例，这个比例性质，咱们第一章学过好吧，学过这个交叉相乘。是相等的，还有等比定理分子相加分，母相加相等。然后第七个就是总量，因为咱们经常会知道部分量，然后求总量，然后这个总量就等于部分量，除以对应占的比例。知道吧，用这个部分量除以对应占的比例，

用这个来进行计算就可以了。好，这是它的这个内容好看，这个懂了没有？好，接下来咱们做一些题目。好做一些题。好，大家看一下第一个题。都说做的答案好吧，大家都加油思考一下。好，第一个题，它是甲是三十吨，乙四十吨。

那甲和乙共运八十吨。使得甲是乙的一点五倍。那运进乙的粮食多少，大家都想想选什么答案？好，那这道题大家读完题以后啊，养成一个习惯。看看怎么样去找等量。想想找等量的方法，知道吧？想想怎么去找等量啊？想想找等量的方法，懂了没有？看这个等量应该怎么去找？好，

那接下来咱们来看这道题方法，一就是列方程做。就大家的传统方法。列方程。另外，假设运给乙是s吨好吧，咱们假设给乙。是s吨。那么给甲。就是八十减s吨。当然，考试不用写那么多汉字啊，考试写的越简单越好。好给乙是s吨，给甲就八十减s吨，

知道吧？好，这是列这个方程。大等量在哪？告诉我大等量在哪？大的呢，就这个一点儿五倍。谁是谁的一点五倍？这时候甲要是乙的一点儿五倍，甲的粮食多少吨呢？甲粮食就原来三十加上八十减x，这是甲。是吧，甲的粮食。这样等于乙粮是一点儿五倍，

乙粮是多少吨呢？乙粮是四十加x是吧？然后乘以个一点儿五。啊，这样就列一个等量，这个明白没有x得到是二十。好，这第一个方法就列方程，做大家看会不会思考。然后方法二方法二就是不列方程。不列方程，不列方程，咱们掌握一个什么样的规律啊？讲什么规律？大家想想，

最后是一点五倍。那最后共多少吨粮食？最后他总共多少吨粮食啊？总共是三十加四十，加上八十。就得到一百五十吨。是不是这样的？是不是三十加四十再加八十？是不是一百五十吨？就总共啊，咱也不知道甲和乙多少吨，但是咱们知道总共是这么多吨。那这个一点五倍，大家知道一点五正好就是。二分之三。

是不是这样的，一点儿五它正好就二分之三对不对？这样的一点儿五正好就二分之三。好一点五就是二分之三。就三比二嘛，是吧？就就就三比二，然后接下来我们就知道那么乙呢就占了。占到五分之二是吧一？最后这个是不是占了五分之二，知道五分之二怎么来的吧？它三比二嘛？上面呃不一个占五分之三，一个占五分之二嘛，你这个能懂吧？

对吧，所以说它在正好是正好这样就求出来嘛，这样算那就六十嘛。对不对啊？自己想想六十好，那么乙最后是六十吨。那么，乙原来是四吨，那乙乙不就增加了二吨吗？答案就写出来了，是不是啊？所以乙就增加了。二十帧。然后答案就写写出来了。好，

你看看是让大家体会一下呃列方程和不列方程它的区别。你看能不能找到这些等量，自己想一想，看是不是听懂了？接下来咱们看例二这个题。若某人以一千元购买ABC三种商品。且总金额之比是一比一点五比二点五。则他购买ABC三种商品的金额依次是多少钱？好，大家想想。他以一千元买三种商品，且所用金额之比是一比一点儿，五比二点儿五。在购买ABC三种商品的金额一次到底多少？好，

大家看这道题怎么思考？这道题就告诉我们什么是已知总量和它的比例来求部分量。所以要知道它的命题的框架和结构什么，这道题就已知总量。总共是一千元及比例。然后来求它各部分量。这能懂吗？求它各部分量。好，这样明白没有？好，那接下来咱们在这个里面，大家可以看出啊，你可以把它看成总共是五份儿。啊，

五份儿就一加一点儿五。加上一加。一点五加二点五。等于五啊，总共看成五份儿，当然也可以把它变成一个最简整数比都行，两种思路都可以。等于二比三比五，这样也可以。也可以，然后呢？这个二三五它正好是。这个总共是一千元，所以说正好给它扩大一百倍。所以就是二百，

三百和五百是吧？这一栏就选d。这样就写好了好，这是它的这个方法思路开始不懂了。好，这例二它的考试要点啊，很简单，用这个比例一换算就可以得到答案。接下来咱们看例三这个题，大家思考一下例三这个题。甲乙丙三名工人加工一批零件，甲工人完成总件数百分之三十四。然后一比两工程完成的介绍之比是六比五。好已知丙工人完成了四十五件。则甲工人完成多少件？

好，那接下来咱们来看一下它的这个方法。看看它的方法好吧，那这道题如何来找等量？他让求什么？求甲工人是吧？他说甲是不是应该等于总数？乘以个百分之三十四。它也等于总数。乘以个五十分之十七。对吧，百分之三十四。你可以化简成五十分之十七。对不对？好，

那接下来咱们来看一下。大家知道这个总数，它肯定是一个整数。所以说甲的答案一定是十七的倍数。是吧，所以这个做到这就告诉大家，咱们做一些比例问题，或做一些应用题的小技巧。小技巧就是什么？我们可以根据整除或者倍数来找答案，这样话就比较快是吧？我们可以看甲应该十七的倍数。是吧，实际备注那直接就选择b选项了。是吧，

因为它是十七的倍数。是吧，直接就可以选答案了。对不对？所以它的答案这个会了没有啊？这是它搭配的方法。看明白没有？好，这是它的这个考试要点啊。然后接下来要想求你知道怎么求吗？其实这道题要如果要问总的间数，总的间数应该是五十的倍数。你自己想想。是吧，如果要问总的间数说多少，

就是五十的倍数好，这两样解怎么解？解你，你会解不？前后台之后，甲占了百分之三十四。说明乙甲丙就占了百分之六十六，所以要把这些小等量一个个去转化，因为甲占了百分之三十四。那么，乙甲丙就占了百分之六十六。好吧，乙丙占了百分之六十六。这个能懂吧，乙跟丙总共加在一起，

占了百分之六十六。好乙甲丙占了百分之六十六，乙和丙他又是六比五。啊，你们说说。按照六比五来分，丙应该占多少？为什么要求丙？因为丙它完成四十五件知道。谁告诉我丙占多少？你们都说说丙占多少？啊丙再看它不是六比五来分这六十六嘛，六比五六比五的话，相当于占了十一分之五嘛。它等于百分之三十嘛。

是吧啊，百分之三十我我为什么要找丙呢？因为丙四十五届他知道嘛？对不对？四十五件他知道。所以拿部分量除以它的总量。所以它的比例可以得到总量好吧，就部分量除以它的百分之三十这个含义，这个分式的含义要知道是什么？这个代表是什么？代表是总连接数。知道吧，总的零件数这么多。啊，总人间数这么多。

总数知道了，然后再乘以百分之三十四就是假的。就是假的，这样算呢，就等于五十一件。这个能能懂吗？这是五十一件。看这个明白没有啊，它这就是五十一。好，这个大家要明白好吧，正好就是五十一件啊。好，这是这个题，大家看看每一步等量，

看会不会找？好吧，就有点像咱们顺藤摸瓜一样，通过百分之三十四，然后寻找到百分之六十六。通过百分之六十六又找到百分之三十，通过百分之三十找到这个总量。啊，通过总量。然后和百分之三十四又找到甲的值是吧？就是一步步。来进行求解。好，接下来咱们看例四这个题。菜园里白菜获得丰收，

收到八分之三十。这八分之三的白菜装满四筐，还多二十四斤。大家知道做到这，大家可以发现白菜的八分之三。马上知道百克能被八整除。知道吧，它能被八整除，所以要找到八的倍数，大家想想以前学的倍数特征。好找到八的倍数那么大家呢？可以看看。这d选项就是八的倍数。那e选项当然也是了是吧？反正这样八的倍数你就可以找到。

懂了吧，八的倍数找到找到，然后再根据。根据八分之三白菜。啊，这道题咱们也可以用汉字来进行设未知数好吧，用汉字来设未知数。就八分之三的白菜。等于四框。加上二十四键。懂了吧啊。只有八分之三的白菜。正好等于四框加二十四题好，这是它的这个式子。然后接下来咱们再来看。

其余部分啊，其余部分。啊，其余部分他收完后又装满了八筐。大家想想其他部分。起一部分，起一部分就是还有八分之五的白菜。刚好装满了八框。啊，如果设未知数就可以设两个未未知数。好吧，设两位数来进行表达。一个是白菜，一个是每筐，它装多少斤？

这样的话，大家可以解出就d选项。好，所以这是用列方程来求解就可以了啊，看这个懂了没有啊，列方程来进行求解。用列方程的方法来进行分析。好，所以大家呢，在做的时候啊，当然也可以设一个未知数。啊，设一个未知数的话，就相当于是你要设白菜数量，就根据框来列个等量。

这样也行，好吧，根据这个框来列个等列。啊，如果要设框的话，就找白菜等量一样的都差不多啊，要设两位的数就好理解一点。知道吧好，这是给大家讲了它的这个方法。好，这个解很好解，你把上面乘以二，然后两式一相减白菜就算出来了啊，这道答案选d。好，

那接下来咱们看一下例五这个题。想想啊，例五这个题。大家都思考一下。某工程人员由技术人员，行政人员和工人组成。好共有男职工四百二十人。然后他是女职工的一又三分之一倍。行行政人员占全体职工百分之二十。然后技术人员比工人要少二十五分之一，问工人有多少人？大家想想这道题。都思考一下，看看怎么做？好，

这里读完题后给的数倒挺多的，大家看这个等量关系应该怎么找呀？都思考一下等量关系应该怎么找？其实大家可以发现，这个工厂人员。啊，工作人员，他可以分为两类。一个是按照性别来分，分为男职工和女职工。另外，还可以按照他的这个。岗位分为技术。行政和工人。是不是好？

那接下来咱们看看。注意，男职工四百二是女职工一又三分之一倍。这个一又三分之一，其实就是三分之四。好一又三分之一积就三分之四啊。知道吧，三分之四也就说这就是一个小等量，男职工是女职工，三分之四。知道吧，男职工如果是女职工，三分之四反过来女职工就男职工的四分之三。知道吧，女职工就男职工的四分之三。

那这个明白没有？女职工是男职工的四分之三。就等于四百二乘以一个四分之三等于三百一十五。明白没有三百一十五。好，那接下来这道题它的。它的图大概这样的，就这个工厂。它分为男职工。和女职工，它要分为啊技术。行政和工人对不对？有这样的，那你说男职工呢？是四百二女职工三百一十五。

啊，那这样的话就可以求出总人数，对吧？求总人数。总人数，然后呢？这个行政人员又占了百分之二十。行政人员占百分之二十，行政人员占百分之二十，说明技术加工人就占八十了是吧？占百分之八十。接下来，一个很重要的东西，技术比工人少二十五分之一，谁比谁少百分之几或少几分之几，

这个怎么样？相当的要会写。知道吧，就技术比工人少多少，那这个要会写。好吧好，那记住。就等于工人。乘以个一减二十五分之一，这个能看懂吧啊，技术就等于工人乘一减二十五分之一。这样就写好了。这个明白没有就c比c少多少就等于它乘以一个括号一减去这个多少？看这个明白没有，所以等于工人乘以二十五分之二十四。

看这个懂了没有？啊，这是它的这个方法。对不对？好就等于工人啊，乘以二十五分之二十四。好，这是它写好了。需要那么技术等于功能乘以二十五分之四，二十五分之二十四，那也说明技术。比上工人就等于二十四比二十五。好了，那接下来咱们就可以求解了，最后咱们列个大等量工人就解出来了。

公应等于多少呢？就是七百三十五是代表是总的人数对不对？七百三十五代表总人数。乘以个。乘以个百分之八十。好乘以个百分之八十乘以百分之八十代表什么代表？技术加工人的。人数，技术加工人里面，然后工人又占了四十九分之二十五。好，那四十九怎么来的呢？第二十四加二十五加在一起，这两个数加在一起，这样就等于四十九。

这边你看加在一起，正好四十九。十九然后分子呢？正好就二十五。啊分子，那就是二十五，因为工人占了二十五分。然后再化解完就等于三百人。这个答案选c。好，你看这个这个题等量关系稍微复杂点，能不能绕清楚？是吧，拐弯抹角的，看能不能弄清楚，

总之呢，就每句话都是一个等量把这个。小等量。换算成一个大能量。啊，这样就写出来了。看还有没有什么疑问？嗯。好，下面咱们看第二节利润问题。大家一起思考一下利润问题。啊列问题整体命题难度不大，知道吧？这个命题呢不是很大，但公式呢比较多，

所以说大家呢？尤其在公式上，它使用比较灵活，因为它可以逆向使用。所以说观念遇遇到这些利润问题，要在于技能上的把握。尽量把握啊。好，咱们看一下公式。第一个，它的利润，利润要等于售价减进价。是吧，就拿售价减进价就得到利润，这进价也可以把它理解成成本。

第二个利润率，利润率就等于拿获得的利润，除以它的进价也可以。把它理解成除以它的成本。然后这个利润可以写售价减进价，除以进价。然后把这个分式裂开，就售价除以进价减去这个一这个一怎么来的呢？就拿这个进价除以进价。这两相除得到就是减一好，这样的好吧，这是利润率，它的一个计算方法，计算公式。好看，

这个懂了没有？咱们这个利润率就叫做成本利润率。是以成本作为。基准量来计算的利润，就它分母是成本或者分母呢，是进价，这叫做成本利润率啊。好，那接下来咱们来看售价。售价就相当于是上面反过来。嗯嗯。如果知道进价和利润率，大家会算售价，售价就等于进价乘以一，加上利润率。

知道吧，就拿这个来进行乘乘以加定律。也可以写成进价，加上利润都可以好吧，进价加上利润。都行，接下来首先要明确利润，售价，进价，销量之间的关系，像有时候还涉及到销量。有时候还涉及到打折。其实在一个题出现多个百分比时，一定要弄清楚每个百分比对应的基准量。他是以谁作为基准的？

然后在计算百分比时可讲的基准量为一百来减化运算。这就相当于取特值法。好吧好，这是它的这个思路啊，看看这个公式都懂了没有？好，大家做一下第一题都想想选什么答案？某投资者以两万元购买甲两种股票。甲股票价格为八元每股，乙股票价格为四元每股，他们投资额之比是四比一。这投资额四比。在甲乙股票分别为十元每股和三元每股时，该投资者全部抛出这两种股票。问他共获利多少？

好，大家想想。那首先给了这么多数，我们如何来找它等量？首先大家可以看这个两万元。两万元，他可以把它分。因为按照投资额比。投投笔这种四比一对不对？既然四比一的话，我们呢就可以。看出这个假股票。其他不需要，大家可以发现是不是用了一点六万？对不对？

大家想想是不是一点六万，然后乙股票正好零点四万。看这个是不懂了。这个甲股票就一点六万，乙股票就零点四万。看这个明白没有？啊甲股票一点六乙股票就零点四，因为按照四比一嘛。然后接下来甲的价格是八元每股就可以算出甲是两千股。然后乙乙的价格是四元每股，四元每股就是乙是一千股。好乙它正好是一千股。这能看懂吧？然后接下来这个甲乙股票，那再发现甲股票涨了，

每股涨了两块钱，乙呢是每股。赔了一块钱。所以说这个供货力我们就可以写出来。好，那甲呢？是赚每股呢？赚两块钱乙呢？是每股赔一块钱？所以最后的获利就三千元，大家看是不是这样的？是不是听懂了好？这是它的求解方法。好，这是它的做题思路，

看是否明白啊？好，接下来咱们看一下例二这个题。另且它打九折，使得销量增加百分之二十，这折扣使得销售额。这个销售额注意不是利润，销售额就代表总收入，它不用扣成本。销售额增加百分比到底多少？好在这边大家想一想。好，大家想想这道题。大家看给的数非常少，题也比较简短，

所以大家可以取一些特值法好吧，用特值法做。大家都思考一下特值法。你假设原来。它的这个什么就是一价格就是一原价，那是一销量。销量是一百。这种这种情况，这原来它的情况，然后现在。现在现在价格。现价格呢，就是打九折嘛，变零点九。然后消掉。

变成一百二。销量增加百分之二十嘛，销量增加百分之二十变成一百二。是不是变一百二，然后这样的话，我们就可以算它销售额？啊，销售额就拿这个。售价乘以它的销量，这还是一百了。那现在他销售额。现在销售额就是零点九乘一百二就一百零八。对吧，一百零八所以大家这个可以看到这个原来是一百，现在一百零八。

是吧，是不是增加了百百分之八呀？对吧，使它这个增加百分之八到这。增大百分之八，这答案选c好看，这个懂了没有？明白没有啊，就是。选择c选项。所以大家用一些特征法做，要快一点。好例三这个题。大家都思考例三这个题。呃，

这个题的话，大家呢？就是可以。设特值，另外还可以采用表格法。因为它首先涉及到两个月对比。只要是出现它一个对比，而且它的比较量比较多，这时候一定要用表格法。表法的话，大家比较清晰，也比较节省时间。而且也容易检查好吧啊，出现它对比的情况，比如有一月份啊，

有二月份啊，这个对比大家列个表格，这要简单一点儿。啊，一月份。还有二二月份。你看它涉及的量比较多。一月份每件产品销售的利润是出厂价的百分之二十五。啊，一月份它销售的利润是出厂价百分之二十五，咱们设个出厂价吧。然后这还有利润。好，它的利润是出厂价的百分之二十五。啊，

利润就等于出厂价减成本，这个出厂价对这个工厂而言啊，对这个工厂相当于一个售价。站在工厂的角度，它的出厂价就像对外卖的价格，相当于就售价，另外这里边还有成本。还有成本，然后这里面还涉及到销量。还涉及到总的利润。啊，总的利润，他二月份销售的利润，所以人家问的是利润，利润就得扣成本了。

好，那接下来咱们看一下啊，一个来咱们设这个出厂价是一百好吧，出厂价咱们就设为一百。出厂价这个就是一百，你看它出厂价百分之二十五嘛，咱假设这个出厂价就一百。出厂价一百，那利润是出厂价的百分之二十五，谁是谁的百分之二十五，这是一个小等量。对吧，一个小等量，然后最后利润就是二十五。然后利润又等于出厂价减成本，

出厂价减掉成本得到利润啊，通过这句话又得到一个小的等量，这个成本就是七十五。然后再看二月份。二月份出厂价降低百分之十，出厂价降低百分之十，这个降低百分之十，又是一个小等量。是吧，它下降百分之十嘛，又是个小等量。它成本不不变嘛，成本还是七十五，成本不变，这个不变，

它也是一个小等量。知道吧，不变。不变就数跟原来一样。他这也是个小等量。然后这时候你可以算利润算算利润，利润的话还是用括号里面人家说的利润等于出厂价减成本。所以算出来利润，利润就等于一个十五。是吧，六就等于十五。然后这是它销量，销量比一月份增加百分之八，十一月份咱们设销了一个好吧，或者销一百个也行。

这都都没关系啊，我就设销了一个。那这个二月份。就薄利多销嘛，就变成销量变一点八，那总利润我们就可以写出来，对不对？总内容就可以写出来了。总利润，大家想想应该多少总利就拿单个利润乘以销量吧，就25×1还是25？然后呢？这个呢，就15×1点儿，85×1点儿八就是27。

是吧，15×1点八得到27。27然后接下来问二月份的利润比一月份增长多少，二月份利润比一月份增长多少，就是27-25，再除以一月份的。是吧，因为它比比后面作为一个分母比，一月份嘛，这个一月份作为分母。然后这样的话就得到8%。这个答案就选择b好吧，看这个懂了没有？好，这是它的方法，

看是不是明白了？好，接下来咱们看一下例四这个题。某电子产品一月份按照原定价80%出售。能获利20%。好，二月份由于进价降低，按照同样原定价75%出售，却能获利25%。那么，二月份竞价是一月份的多少？这注意这谁是谁的，多少别看错了，谁是谁的，多少跟谁比谁多，

多少或者谁比谁少多少。它的表达式是不一样的，别混淆了啊，这是谁是谁的多少？那接下来咱们看一下。看一下这道题，咱们也用表格法吧，因为它也是到一月份二月份去。去求解，所以咱们用表格。列个表格对照就行了。好，这是一月份，这是二月份。然后一月份按照原定价80%出售，

涉及到一个原定价。然后还有实际的售价。谁设计啊？还有这个利润率。还有这个进价。好了，那就是涉及到这些数，我们就假设第一句话啊，一句一句的等量来找啊。按照原定价80%出售原定价，咱们就设为100算了。那它售价就相当打八折了。售价变成80，它的利润率有20%。对吧好，

大家注意会反用公式。这个进价。就等于售价。除以一加上利润率。这大家知道吧，所以进价就等于售价除以加利润率。这样的情况啊。进价就等于售价，除以加定率，所以这个进价就拿售价80。除以交易利率。这样的，然后接下来咱们再看二月份，二月份由进价降低，按照同样原定价就原定价呢，

还是100同样原定价的75%。出售就卖75块钱。却能获利25%。所以说进价呢，是降低了，降低多少咱不知道啊，那么我们现在算它进价，现就拿这个售价除以价利率。售价除以加上利润率。这样的啊，售价除以加利润率。好，这是现在的进价，他说二月份进价是一月份的多少？二月份进价，

二月份进价是一月份多少？就拿二月份的除以一月份就行了。就75除以个一加25%。除以个81加20%。啊80÷1加20%啊，这样就写好了，算出来就等于90这个数，大家知道怎么算吗？算不算因为大家知道除以一个分数相当于乘以它的倒数或者给它乘上去？就相当于什么就75×1点二。这个80乘以个一点二五。是吧，这样的话算出来等于90%。这样剩下一要快一点。好，

这是它的这个基本方法好吧，这个答案就选择b选项。好，这是它的做题点，看懂了没有？接下来咱们看例五这个题。六这个题就让大家记咱们讲过的恢复原值，那个公式各位同学想想。他如果提价25%。应该降百分之多少才能回到原价，那这个公式要降多少呢降？记住公式，这样拿直接拿这个数除以一个，如果前面提价就是一加。这呢，

应该选择a选项好看，这个懂了没有？如果实在忘记同学，也可以进行推导一下，也可以，对吧？比原来是a。提价，25%。这样x等于百等于原来的a一样去求解就可以了。咳咳。咳咳。顺。嗯。好，

这利润咱们讲完了，接下来咱们课间休息五分钟。啊，休息一会儿，一会儿咱们再接着讲好吧？好，各位同学，咱们开始上课啊。来应用题，大家提前都预习没有？嗯。大家提前要把应用题预习一下啊。好。啊，因为应用题你预习一下听课效果会好一点。

然后这样的话就知道。你做应用题的方法。有没有需要改进的？啊，小戴同学预习了啊啊，非常好。下面咱们来看一下路程问题。啊，路程问题是每年必考的。像咱们二三年考试。考了两道路程问题。啊，这个路程说明还比较重要。另外，路程问题的变化也是最多的。

好路程问题，你把它解决了，然后应用题的一小半儿就解决了，那可以看出路程问题，它占的。地位呢，是很高的。接下来我们看一下路程，问题是联考的常考题型啊。然后题型难度呢，是属于中等偏上。它是以直线型和圆心型两大类型为主线。啊，直线型和圆圈型。两大基本为主线。

就是要么就直线的，要么就跑圈儿的。以相遇和追击问题为模板。啊，咱们二三年考的是追击问题。其实这些路程问题，大家做题的时候一定要画图。知道吧，把这个图得画好，画图是关键。很多同学做题不会画图，不会画图的话，那这个。做题呢，就比较吃亏，

你图都画不好，那你肯定做题呢，解出来就容易出错啊，一定要把图画好。首先，咱们温习一下基本公式。这基本公式大家应该接触都很多了。速度，路程，时间之间的关系式。其实这个公式就一个，它显然不同的形式。s=vt。是吧s=vtt又等于s÷vv呢？等于s÷t是吧？

不同形形式啊，这大家都知道。另外，在这里面，大家呢，一定要结合比例法，把比例法用好，那么你这个做题啊，然后速度就会。提升的比较明显，比例法什么就是s如果固定。s固定的话，这个v与t是成反比的。这个咱们讲过，正比反比。

vt成反比就说明速度之比等于时间的反比。啊，这个得要结合生活常识来进行理解，不要死记硬背。那这个什么意思？比如说啊，你的速度越大，用的时间可能越短嘛。是吧，就像咱们为什么买火车票？你回家买票要买高铁快一点是吧？因为。距离都那么长，然后呢？这个火车的速度越快，

用的时间就越短，是不是？所以这个很好理解。第二个如果t要定。啊t，如果要定的啊t，如果要定。比如说都是三个小时，那s与v可能成正比。都三个小时，都三个小时的话，那这个速度越越大。走的路程越远。咳咳。所以s1比s2就等于v1比v2。

这样的好吧s1比s 2=v一比v2。啊，这个t要定。然后接下来咱们来看v要定。啊，这个v要定。好v要定的话，我们看一下这个s与t。应该是成正比。比如说大家背单词的速度是固定的。那么你这个词汇量背的越多，那么用的时间就越长是吧？s1比s2。等于t1比t2。好，

这个看懂了没有？好吧，所以这是它的比例关系。另外，那么这三个量之间谁是核心的？咳。好核心参数。核心参数呢，是这个速度。速度v是核心的啊，就这三个速度是核核心的。那咱们找等量应该怎么找？找等量那么就找路程或者找时间等量。找路程或找时间等量啊，速度不直接做大等量。

啊，速度作为中间的。等量小等量，知道吧？然后呢？比如说速度可以用于计算。路程速度也可以用于计算时间。知道吧，最终的大等量找路程或者时间等量啊，一定要把这句话弄清楚啊，这样的话，你做路程就不至于迷路了。不管会不会做，咱们大方向是正确的啊，找路程的时间等量什么叫找路程或者时间等量，

比如说甲路程。跟乙的路程，两者有什么等量关系啊，然后甲的路程跟乙的路程列个等等式，然后呢就找到了。或者找时间等量就甲的用的时间跟乙用的时间，两者有什么等量，然后列个等式，然后这样就写好了，懂了吧？这是它的这个方法啊。好，所以大家呢，要知道它的这个内容明白没有啊，这样好像就不至于做错了。

接下来咱们再看一下具体的这个。公式呃，首先咱们看一下直线型的公式。直线型嗯，先学简单的直线型，直线型学好了，然后再学复杂的跑圈儿问题。啊，因为这个跑圈儿问题，它也是一个特殊的直线问题，知道吧，所以大家不要害怕跑圈儿，为什么跑圈儿也是个特殊的？直线呢，您可以把这个给它剪断。

是吧，把这从中间一剪断一剪断，给它拽直了。最直的其实就是直线是吧，所以说这个大家呢，很好理解。首先咱们看一下相遇。相应的图，咱们画一下。画一下图。相遇它图，假如这是a，这是b。然后这是甲甲从这走。在c点相遇了。

好，这是乙。看到吧，乙所以甲走的就是AC，乙走的就是BC。甲走AC，乙走BC。好，这样的。嗯。好甲走AC乙走BC。然后呢，它的等量关系怎么找呢？就找路程等量就甲的路程，加乙的路程就等于总路程。

s就等于s甲加上s乙啊，这是路程等量，大家知道路程又等于速度乘以时间。对吧啊，咱们先假设它同时出发。他到相遇用的时间是一样的，时间是一样的，可以把这个时间呢？括号提出来，知道吧？啊，因为甲的时间和乙的时间它都是一样的。提出来啊，这就是它的等量。然后有时候也可以反求它这个时间t。

把它实验t，然后把这个v甲加v乙给它除过来，除过来就可以写成s甲，加上s乙除以v甲，加上v乙。是不是这样的？s甲加s乙除以v甲加v乙，这样就写好了。这样就写出来了，这个能懂吧？好，这他相遇第二个，咱们再看一下追击。第二，咱们看一下最低问题。

呃，这个写可以给他写个口诀。啊，这样是不是好记点写成口诀？可视化就可以显得路程和除，以它速度和。是不是路程和除以它的速度和？你看是不是这样的，就甲和乙它路程和除以它两者的速度和。那接下来咱们再看下追击问题。再看最低问题。这个问题图应该怎么画呀？最低问题啊。这个问题一定要看后面这个人出发的时候，两个人的差距是多少？

嗯。好，你说甲出发的时候。那么，乙在这个地方。知道吧，也这地方。然后这个c点就相当追上了。c点就相当于追上了，知道吧？这个图会画吧？它走到c。然后乙走到c的时候，因为甲跑得快嘛，甲跑跑得快，

唉，这样就。正好在c点就追上了。这个能懂吧？然后这时候那么他的这个。等量关系怎么找呢？假设AB之间的距离是s，这个很关键啊，就在后面这个人出发的时候。那么，两人的差距要弄弄弄清楚，两人的差距差距s要弄清楚。所以s就等于s加减s1。对吧，因为甲走的就是这个红色的。

这个路程。乙走的是蓝色的路程。所以减了路程，减乙的路程就等于一开始两人的差距。啊，由于两人是同时出发到相遇，用的时间是一样的。所以可以把这个时间t提出来。提出来，提出来后，那么这个t我们就可以解出来。就等于s甲减s乙除，以v甲减v乙。这样就写好了。好吧s加减四一÷v加减v1。

得到这个结果。好，那就是它的最低等量关系，就这样求啊，另外咱们也可以把写成口诀。可以，这可以把写的路程差。除以速度差。这样就可以算出它的时间好吧，路程差除以速度差就可以算它时间。好，这是第二个，它的最低情况。好，接下来咱们再来看。

不管是相遇还是追击。他有个什么样的关关系，你发现没有？要转化成比例关关系。是不是甲乙它的时间是一样的？对不对，甲乙的。时间是一样的哦t要相同。所以s甲比s乙应该等于v甲比v乙。是不是所以这个比例关系这样的t相同？比如都是两个小时。那么，甲乙他的路程比就是他的速度比。是不是这样的啊？t是相同的，

对不对？另外，那么还有就t既然一样，那么甲的t是什么？是等于s甲除以v甲，这不是甲的t吗？然后乙的t什么乙的t是不是s乙除以v乙啊？是不是乙乙的t？然后大家前面学过。等比定理还记不记得让它分子相加，除以分母相加？是不是分子相加，除以分母相加？是不是这样的分子加除以分母加？好，

这是等比定理。那咱们等比定理还学过什么分子相减。除以分母相减，这样也可以。是吧，也可以。好，这个能把它用好吧？好，那接下来那到底用加还是减？这要看具体题目，注意讲到这，大家一定要学的灵活一点。并不说相遇都用和都用加。相遇，

它也可能用减。知道吧，让让大家开阔一下眼界。为什么呢？比如说这样的。和甲乙相遇时。甲比乙多走了300米。就甲乙两人相遇的时候，甲比乙多走了300米。那这个不就是用差值吗？就相当于路程差，除以速度差。知道吧，所以说它相遇的时候也可以用路程差，除以速度差。

并不说相遇的时候一定是和。咱们来看最低的时候。那他说，当甲追上乙时，两人总共走了800米。啊甲追上乙的时候，两人总共走了800米，那这时候你就得两人总共走的路程和。要用这个和就路程和除以速度和。用这个来做，知道吧？就路程和除以速度和。这个能懂吧，所以这时候就要用和了，所以在不要想到最积都是差。

相遇都是和那不不是这样的，你要看它题目给什么？好了，那么把这块儿要给大家画上。把这块儿给大家画好。画上好吧。因为什么？因为这个公式它适用于所有的，只要时间相同的。都可以用。实验相同都可以用，就不管是。相遇追击直线还是跑圈儿？还在水里面，还在天上飞。

是吧，都可以用啊，所以它这个因为咱们很多情况下都是时间相同，时间相同，那都能用这个啊，这个把它记好，这个用好了。那你的路程问题就达到一个至高的境界。好，接下来咱们看一下顺水逆水问题。所以呢，就是v4就等于常数加水数。顺水行船嘛，这个水呢，正好是一个推动作用是吧？

然后逆水逆水就等于船速减水速好吧，然后这时候呢，如果要知道v顺和v逆大家会求。微水和微船。vc就等于v4-v逆。除以二。微传。就等于v4。加上威尼。好v乘就等于v4，加上v1÷2好吧好，这是这样的，就相当于反过来用啊，如果知道顺水。逆水它的速度要会求水速和船速，

这个要知道好吧，这个要会分析。好，接下来咱们再看相对速度。现在速度就相当转化，参照物知道吧？大家在物理学学过参照物没有？乘三五，因为大家知道咱们现在研究运动，它一定要相对谁的运动。比如说咱们现在开车的速度是把地球看成静止的，其实地球它还在运动，知道吧，地球在转动。咱说把地球看成静止的，

然后看看开车速度啊，咱们研究地球的时候又可以把太阳看成静止的。是吧，是不是把太阳看成静止的，然后再研究地球它的这个这个运动？所以说它这个参照物，它是不一样的。好，那么同向的时候，它参照物就同向就减同解，然后相向就加。啊，这个如果理解不了，可以画个图，比如说这一个车是v1，

这个车是v2。啊，这个同向同样，你要把一个看成静止的，另外一个相对于它的速度，这时候就不再以地面作为研究了。就是相对于它的速度，就是v1-v二好吧，就同向。啊，如果要相向，比如说一个物体朝这运动，一个物体朝这运动。相向运动，相向运动，

我们把一个看成静止的，它的相对速度就v 1+v二好吧，就v 1+v二两个相加。好，它的口诀就是同减反加。就同向运动是减。看这个地方。是减。然后反向运动或者相向运动就加。加如果两个方向要相反，它就是加这样写好。好，那接下来咱们看一下路程问题，给大家做一些小结，路程问题主要涉及到路程时间速度，

三者的关系。一般以时间或者路程为等量来列，方程路程又分为呢？呃，把这个等量给它画上，等量要么时间，等量要么路程为等量。路程又分为直线啊，圆圈呀，渗水逆水相对速度等等很多梯形。啊，原先问题，咱们放在呃后面会讲。然后路程问题还可以延伸至工程问题，知道吧？

所以路程问题。才能带动工程的学习，所以大家要重视路程的学习，懂了吧？然后因为路程呢，可以把它看成工作量。比如你干了多少工作量，接下来走了多少路程？然后时间可以把它看工作时间，然后速度v可以把它看到工作效率，因为工作效率越大。速度呢，就是越快是吧？就这样的好看，这个懂了没有？

好，接下来咱们看一下例一这个题。都思考一下例一这个题好做路程，第一步要画图，各位同学先在纸上画画图好吧，把图画出来。比如，这是甲乙两地，甲乙两汽车从AB两地出发。啊，这是甲。这个是以。好，这样出发。甲速度是55。

然后这个出发时间不一样，迟两个小时出发。好那么也说他们最后就相遇了。假如在这个点就相遇了。他说乙出发五小时，与甲汽车相遇，这是五小时相遇。乙出发五小时，与甲呢是相遇了。这时候呢，这时候呢，因为乙比甲迟两小时嘛。那说明甲就用了七小时能弄懂吧？甲就用了七小时。你自己想想。

所以第一步画图，第二步把这些给的数啊都在图上标注出来，知道吧？都这个时间呀，这个速度啊，都给标注出来。啊标出来以后最后问他问什么问乙汽车每小时行多少千米？每小时多少千米的话，你可以列等量就列一个什么列一个路程等量，这个甲走的路程。加上乙走的路程，就等于总路程。是不是甲走路程？嗯，加上已走路程，

就等于总路程一个等量好，这个呢就选出来了62是吧？这个求出来了。呃，然后呢？嗯，然后呢？如果要学会逆向思维的话，就可以不用设备的数也行，不用设备数，因为大家知道乙的速度。就等于路程除以时间路程就拿总路程减去甲走的路程。这是乙的路程。路程除以时间，时间它是五小时时间，

这样也可以。都可以好吧，算出来也是62。好吧，都是OK的。这呢都选择d好，这是第一个题，看是不是听懂了啊？第二题，从甲到乙地有两种路线，一种水路，一种公路。好，那咱们看一下从甲到乙。这个水路呢，

要近一点儿，因为水路它可以可以不用绕弯儿啊，这是水路。啊，这是水路。就过来，然后公路的话，它因为要要绕开这个水啊，所以这个公路。公路，然后呢？上午十点这个船在进水中，这个水呢？是是是安静的。那水没有流，

然后从甲驶往乙地，下午一点那出发时间又不一样，汽车从甲。开往乙结果，他同时到达。若汽车速度呢？是40汽车速度40，它走的是公路。对吧，提升速度40。这个船的速度是汽车的五分之三，这个是一个小等量。船的速度是汽车速度五分之三，就是一个小等量好，那么在这里面就拿这个船的速度。

乘以呃，这个轮船速度就等于汽车速度乘以五分之三。就等于二十四是吧？所以说根据这五分之三，这个小等量找到轮船的速度，轮船速度是汽车速度五分之三嘛，轮船速度就得找到二十四。好，那接下来呢？求甲乙两地的公路长到底多少？甲乙两地的公路长，我们设为x好吧？甲乙两地的公路长，就为x。若公路长为x，

它水路就是x- 40。水度呢，就是x- 40这样的。接接下来我们找什么能量？你记住，如果你设的是路程，一定要找时间能量。如果设的时间就找路程得到等量，知道吧，反正要么就找路程，要么找时间等量这道题。我们如果要设t设s就找t等量。设t就找s等量。这是找等量的方法。接下来我们设的是。

路程公路长为x。这时候我们要找时间能量，找时间能量，大家可以看，那么在汽车走的时间是x÷40。轮船走的时间是s÷40 s- 40，除以24。对吧，这个轮船走水路，它的时间。然后这两个时间正好相差了三小时，为什么呢？看啊，这个轮船的时点出发，轮船用的时间长。

是吧，所以汽车用的时间短。所以给它加三小时就得到这个值，如果不想解也可以验证选项x就可以求解出来，等于280。是吧s算就等于280。你带到里面去就可以求它的结果。这个答案就选择c选项好，这是它做题方法，看这懂了没有？这个答案选择c。好，接下来咱们看一下例三这个题，大家都画画图，想一想，

抓紧思考例三这个题AB两地相距。15千米。甲中午12点从a出发，步行前往b地，20分钟后乙从b出发，骑车前往a地。好，那咱们来看一下。这个a。b这个甲呢？因为甲他是。12点出发的，从a出发步行前往b地。啊，这是步行。

然后20分钟后，那么乙才出发，乙的是骑车。因为它两人路线比较复杂，遇到路线比较复杂题的时候，大家把它分开画，什么叫分开画呢？只有一个人。画在AB这条线的上方，还有一个人画在AB这条线的下方，这样话分开画呢更清晰一点儿。好吧，所以在这里面它呢，就画在这个线的下方。就乙呢，

他骑车前往a地到达以后又歇了一会儿又回来了。又回来了。结果他同时到达b地。好若乙骑车。比甲步行每小时快十千米啊，这是一个小等量。那两人同时到达b地的时间是下午几点钟？所以这道题还问时间是几点钟，大家不要。问什么设什么，咱们讲讲过好吧，讲过你要设下午几点？那就不好弄了。你想这道题怎么设未知数啊？你未知数设不好的话，

一个等量关系不好找，另外一个呢？方程也不好解。这道题是速度。为什么是速度？速度是核心参数。速度是关键。你速度都不知道啊，你怎么算时间怎么算路程呀？对不对？所以说这时候呢？若乙骑车比甲步行快十千米，一般咱们在设备的数时候设这个比后面这个对象为x。知道吧，你要设甲的速度是x乙的速度就x+10。

这个能懂吗？通过这个小等量啊，小等量啊，如果啊甲的速度是x乙的速度x+10，这个能懂吗？接下来咱们找什么能量告诉我，这个路程已知了嘛，路程都知道了，路程知道那只能找时间等量了，那这个路程15嘛，他已经知道了。那找实验等量算了好吧。那时间等于它甲从a走到b用的时间的话，时间是不是15除以个x？是不15÷x这个能看懂吧？

然后接下来那乙乙的时间在路上实验的话，路上实验是不是用了30啊？啊，漏网时间就30。啊，路上路上走路路程是30，为什么三他走了一个往返去15回来15是吧？去15回来15。它路程呢，就走了30千米三千米，然后除以s+10。所以它速度除以s+10。好，那接下来呢？他们两个路上时间相差一小时，

为什么呢？因为乙他晚出发了。晚出发，20分钟到达这地方，又停了40分钟，那又歇了40分钟。随着时间正好相差一小时。这样相差一小时，这样就可以了，这样就可以把s解出来，这个s在分母上解是不太好解的。常规解怎么解？知道吧？常解两边同乘以分母，同乘以分母就相当于15×x+10。

就两边同乘以x。x+10。同乘以这个同乘以这个就15倍x+10就等于30倍的x，加上x×1个x+10。这样的好吧，就这样的一个结果，看懂了没有？所以两边同乘以x和x+10这样的一个关系。然后这个x呢，反正把它移项，然后用咱们前面学过的呃十相乘因式分解去解啊，这是一种解法。另外，在考场上，大家一定要会找点儿窍门儿，

什么窍门儿，因为咱们考试一般都是整数。整数这个这个分子分母能够满足整除的这种特征。也就是说，这个分母应该是分子的约数，大家想想15的约数是多少？约数啊，要么有三，要么是五嘛。三三的话不太行，三的话呢，这要是三的话，三+10。跟这个30不能整除。所以说你尝试约束法好吧，

遇到分式这个方程。分法能可以尝试它的约束。这叫这叫做四根法。试根法，看能不能试出来。尝试一下。是吧，尝试尝试，能试出来就更更好。好，那试出来呢？这个x试出来正好等于五你现在你口算一下，看五五是不行，15÷5得到三。然后30÷15得到二。

二+1正好也是三，那就行了，那说明甲的速度就是五。甲的速度是五，那说明甲。路上用的时间t甲就可以算出来。t甲就等于15，除以五就等于三小时，三小时，那说明甲是12点出发，到达b点就下午三点。对吧，下午三点这个答案就选择c是吧？选择c下午三点啊，这到了。

好看，这个懂了没有？好，这它做题方法，看是不是明白啊？好，接下来咱们看一下第四题，这个题。这里很多同学图不会画，画不好。你们会画图不？把图画一画。甲两人同时从同一地点出发啊，同时出发。从同一地点出发，

相背而行，一而后，他们到达各的终点a和b。得一小时后到达。自从原地出发，互换目的地好，咱们看一下。看一下它的这个式式子好吧。然后他假设。假设他们点在这儿。噢，这是c点好吧c点，然后他们从同一地点嘛，同一地点检查就是c点c点出发。然后呢甲呢？

是往左走乙呢？是往右走好吧，这样可以吧？然后一个小时啊，经过了一个小时。他到甲到达自己终点a乙到自己终点b好吧，这走了一个小时。就一个小时，他到达自己终点a，这个到达自己终点b啊，这一个小时。好若从原地出发，互换彼此的目的地。好原理，出发互换彼此的目的地。

啊，互相交换目的地。则甲在乙到达a之后35分钟。到达这个b。好，那这是它的这个方法是吧？它这个。则甲乙的速度之比到底多少？他求的是什么？求的是v甲和v乙的比值。他这道题是求v甲比v乙。关键是他要从原地出发，还要换下目的地，什么叫换目的地啊？想想。

这个很多同学读不懂，换目的地就是交换方向是吧？在乙朝这边走，甲朝这这边走呗。好，这能都能读懂吧？另外，这里有个小技巧，你知道什么小技巧不？求比值，咱们取特值做。我就可以设分母为一，分母为一的话，这不就好解吗？是吧，

你可以列v乙的速度就等于一，这一就好解啊，你要只要把v甲求出来，答案就写出来了嘛。这个能懂吗？这个v1设为一好解一点。这不是好求解吗？接下来找什么能量，我问问。就找这个时间能量这道题，就找时间能量。你会找吗？这个三十五分钟就是一个大等量，这个三十五分钟就等于十二分之七小时啊。这大家会单位换算啊。

啊，三十五分钟就等于十二分之七小时，这三十五分钟懂懂了吧？三十五分钟就等于十二分之七小时。好，这样的内容，接下来咱们看一下。甲在乙到达a之后，甲啊，在乙到达a之后，那么乙用的时间多少告诉我，乙用的时间是不是AC的路程？出一个它的速度。这能看懂吧？就是路程除以它的速度得到乙用的时间。

那么，甲从c走到b，用的时间就是BC除以个v甲。知道吧，所以我没讲。这个能看懂吧？这个他正好呢，他多了35分钟，就是甲走的慢嘛，走的慢，人家乙都到了。又过了35分钟，他才走到是吧？所以甲就多用了，多用于给他减。

好了，那么这个一定要把30分钟化成小时啊，要不然列出来你解不解的会出错的啊？换算一下单位。好，这个等着就找好了。这个大等量找好了，然后还有几个小等量再说一说这个AC的长度怎么找？AC的长度再看第一句话，正好是他走一小时的路程，走一小时路程，所以甲走了一小时路程，所以AC。长度就等于时间乘以它的速度。乙的速度设为一了啊，

乙的速度设为一。这样的好吧，乙的速度设为一好，这是它的这个式子，它的方法看这个懂了没有？好，这乙的速度设为一。呃，因为这个是甲用的时间多。是吧，甲用时间多。你用的时间少。所以多的减掉35分钟就等于少的。或者说或者说你把这十二分之七放在左边就加。知道吧，

放左边就有加，一定要看好你再再读一下甲在乙到达a之后。到达a之后，然后。再加35分钟才到达b好吧。啊，刚刚咱们讲到了这个乙的速度，就把它看成一啊乙的速度看成一。然后这个AC路程就等于甲走一小时路程。然后BC路程BC路程是乙走一小时路程。乙走一小时，因为乙的速度就一嘛，乙的速度就一乙走一个小时。就一×1。然后除以v减减十二分之七。

我看大家这个分式不太会解，我再多写一两步好吧？遇到分式方程，两边同乘以分母要同乘以12。还有微讲。当然不会解，也可以验证选项。然后两边同乘，以12和v甲，这样就变成v甲的平方。v甲平方。然后是。加上七倍的v甲。减去12。啊，

这是12就两边同乘以12和v甲。撑完后这边呢？12v甲的平方减去，把这边儿都移过来。都给大家移过来。一个加上七倍加减12，它为零。然后这个十字相乘因子分解不会解的同学简单说说。那简单说一说好吧，所以在这里面大家呢，要知道它的这个方法。这个懂了没有？把它这个分解一下。分析一下，这是负的是吧？

因为这是负12负的，然后中间是七，然后这样的话就可以得到v减。v甲就等于一个四分之三，还有一个根就舍掉啊，还有一个根负的根就舍舍掉v甲就等于四分之三v甲等于四分之三v乙是一。所以v甲比v乙就等于三比四三比四，这个答案就选择d选项。好，这个答案选d好，这是它的做题方法。看懂了没有？就这个题呢，就是稍微难一点。思维上难一点，

要学会步步转化，把这个小等量一小时转化成它的走的路程。路程，然后路程知道了，然后再求是时间时间知道了，他们时间相差35分钟，然后列一个大等量。大家在解的时候，记住以后在求比比例的时候，掌握一个处理技巧，让v1=1让分母为一，这样话好解一点点。好吧，好算一点啊好，这是给大家讲这个题，

这个题稍微难一点。好，接下来咱们看一下例五这个题。一批救灾物资分别c16列货车从甲站紧急调到600千米外的乙站。每列车的平均速度是125。若两列相邻的货车在运行间隔不得小于25。然后这批货物全部到达乙站，最少需要的时间。最少需要时间是什么？就按照最小。间隔来运行是吧？就最快的间隔。这样来运行就行了，好，咱们画个示意图。

甲这是甲，这是乙，这是600千米。600千米。然后这时候呢，他的这个车啊那么。开始进行走了啊，第一辆车开始发车，看好第一辆车就开走。走当他当他离开甲站，距离25千米的时候，我们第二列车就可以往外发了。这个能懂吧，第二列词就开始往外发。然后当这两车都往前走走走。

走，然后呢？这列车第二列车又离开甲25千米，第三列车就可以往外发。好点儿点儿，后面这个这个车都往外发。好，他要说物资要全部到达，全部到达时间t，我们看应该等于几？大家告诉我。16个车之间有几个间隔？别写错了，大家都说一说16列车。之间应该有几个间隔。

是不是15个间隔，大家把手伸出来可以发现？五根手手指头之间有四个缝隙。对不对啊？有四个缝。所以16列车之间有15个间隔啊，那别给数错了，所以它600+15个，这个间隔知道吧？因为它车的间隔是25。间隔是25嘛，所以说加上这个，然后除以它的车速度125就等于七点儿八。啊，这个答案选c。

好吧，所以答案选c这就写好了，看这个懂了没有？我来说一下分子代表什么意思？分子有600除以幺二五就代表第一列车走到乙的时时间。加上最后一列车，它要还要再走15个间隔。就最后一辆车啊，它中间还要再走15个间隔的时间。知道吧，就这个意思。好，这个大家不要选错了，有同学在考场当成16个间隔，当成16个间隔就选成d了，

这样就。思考错了。好吧，不要选d啊好，这是它的这个方法。看明白没有？好，接下来咱们看一下例六这个题例六这个题主要考察相对速度。主要考了相对速度，有上下行的轨道上两列火车相向开来。这是甲，这个是乙。然后这个长度是187，这长度是173，它速度是25，

它速度是20。啊，从两列。车头相遇开始到车尾离开这个题，大家都说说选什么答案，都想想想做到没有？这时候两个车，它都在运动，知道吧？两车它它它都在运动。这样的两个车，它这个这样这样都在运动，但是你们可以呢，假设一辆车静止了。知道吧，

一辆车静止了，另外一辆车以向来速度在在运动，这样的从那个车头相遇开始到车尾离开，知道吧，这样一个过程。大家会不会列式子没有这个t啊啊？想想怎么列？是不等于187+173呀。所以因为刚才讲了反向就相加，反向就相加是吧？对，所以长度就他们的。两列车的总长。知道吧，它走的是总长。

然后呢，除以它的速度和知道吧，分母是速度和为什么速度和因为它反向？反向就加，如果这要改成同向，知道吧？两个车它它都都同向走，同向走，比如一个车快一点，一个车慢一点，它这个慢慢就超过它。那超过它的话，这个分母就改成减就行了。你知道这个能懂吗？就这样的啊，

所以这它的方法看大家，大家是不是都明白了啊？懂了吧，就你听的是这个。思路你知道吧，听的听的是这个这个思路啊。好，那这是八秒。好答案就写好了，这答案选e啊，好这道题是考察相向，如果改成同向，你看懂不懂？赶同向，如果赶同向，

你懂了，那就可以了，赶同向。啊，那就是甲要完整的超过乙车。这是甲车，跑得快。甲车跑得快，乙车跑得慢。啊，如果还听不懂的同学，你下次坐火车的时候你自己观察一下嘛。观察一下。就是前面那个火车呢，它也在跑，

跑得慢一点，后面这个火车呢，跑得快一点。它的速度是25，它跑得快，然后这个火车呢，它慢慢慢啊，这个这个就会逐个慢，慢慢就要超过这个乙了。知道吧，那这样超过了。虽然乙他也在运动呀，但是他这个跑的慢呀，甲跑的快呀，这样慢慢超过了，

所以说从甲车头碰到乙车尾开始计时。然后慢慢慢这个这个这个从旁边就超过了。是不是就超过这个这个明白没有啊？明白明白怎样的就可以写出它的这个值啊？你们说说这个t应该等于几啊就甲。车要完全超过乙车用时间，注意它路程还是187，173啊。知道吧，这样除以25-20，这样就等于72秒是吧？72秒。对，所以大家呢，就知道了，

就72秒。好了，那这是火车相对速度，它的这个内容看懂了没有？好，接下来咱们再做一下顺水逆水，因为咱们路程每年考试。非常重要，所以咱们的例题也会多一点。知道吧，路程一定要重视起来，尤其比较害怕应用题同学，你把路程啃下来了，一小半儿内容就解决了。知道吧，

学习要抓重点，所以很多同学说老师这个路程，这个应用题啊。太多了自己。感觉自己呢，不会都不会，那你就做路程把路程。做好了那么应用题就有希望了，知道吧？就就是路测能力决定应用题的成败。啊，路程问题，为什么还可以带动工程的学习好，我们看这个题。好船在静止中的速度是25，

水流速度15，使船在相距80千米，两地往返一次的时间好，大家想想。这个往返是时间，比如说重启啊。到到乙这中间的这这这个都都是水。中间都是水，好往返一次的时间，大家知道去的时候如果顺流回来时候又逆流，你知道吧？反正谁谁顺谁逆无所谓了，就等于80，如果顺溜的话就25+15。啊，

逆流就是25-15，这个能懂吧？我假设去的时候是顺流参数加岁数。回来的时候是逆流传数减水数，这个能懂吗？嗯，想想一想。你自己想想是不是这样的？那这个答案选b好吧，很简单。所以如果这道题要反过来考就比较难了。知道怎么反过来考吧，比如说往返一次的时间是十小时。让求水速。知道这个时间。

要求水速。或知道这个时间和水数，让求这个传数。知道吧，反正呢，反过来反过来就得解方程，知道吧，你得设个x。去解好了，那这是给大家讲的这个方法。然后咱们再看一下火车过建筑物好吧，火车一般过桥或者过隧道。火车过桥，它的时间要注意，它时间就等于呃，

那么这个车厂l车加上l桥。除以火车的速度v，这个能懂吗？比如说这是一个桥。然后这个火车。他从这个上桥开始计时，知道吧？从那个车头上桥开始。计时，然后开走走走在墙上走。等这个车尾离开，停止计时。所以大家可以发现，火车走着的。路程就是车长加上一个桥长。

对不对？车长加一个桥长嘛？是不是这样的车长加一个桥长？好，那这是它的这个方法。对不对？射程加一个桥程。好若以同一道速度穿过300米的隧道。啊，问多长时间好？大家一个求第一个火车速度是75，隧道长是五二五二五。他走的需要40秒，知道这个t先把火车的速度v求出来算了。v呢，

就求出来就等于五二五+75再除以40。是不是这是不是600÷40啊？得到15。好火车速等于15，他要过隧道了。过隧道的话，隧道是多少？告诉我隧道是不是300米啊？300+75。然后再除以速度15。这个得到是25秒，这能看懂吧？就c选项就25秒，这样就写好。好，

那有同学做完了就选c，是不是你看这个懂了没有？你自己再想想。下次坐火车时候观察观察呀，同学们。或者你开车的时候观察观察呀。知道吧，你生你要热爱生活啊，你才能考好呀，对不对？你得多观察。你再看下一个。这个有个技巧。除了用用刚才咱们讲的笨办法之外，还有个技巧。

一列火车匀速行驶时，通过长为250米的桥梁，需要十秒钟。通过长度为450米的桥梁需要15秒钟。其实这道题你可以通过前两句话解出两个未知数。啊，一个未知数是火车车长，一个未知数是火车的速度，知道吧？就十秒就等于250。加上火车车长除以火车速度。然后这个15秒就等于450，加上车长除以速度v两方程两未知数。两个方程，两个未知数，

把它解出，解完后然后再算这个t。然后再再算这个t。t等于一四五零，加上l再除以v。我们把l和v给它求出来LV求出来，然后呢，带到里面求出一个t。是吧，这是常规方法，但这常规方法我觉得比较慢，你觉得呢？咱们看有没有快点儿的，快点儿就按照比例法。笔法要用好啊，

你看到没有？这个他走250米的桥梁，其实他走的是250，加上一个车程用了十秒钟。这个是450，加上一个车长用的是15秒钟是吧？大家可以发现这两个。他比他多用了几秒钟，多走了多远，看到没？你看多200米。多五秒钟，你能能听懂吗？你看它这个总长比较多，走了200米，

这个多用了五秒钟，你能听懂吗？那现在现在要走什么走幺四五零+l？那么要要用多少秒好？那么幺四五零+l那幺四五零比这个450+l是不是多了？600米是不是多600米？你看有多600米的时候？大家按照这个比例来，每多200米。多五秒钟，那么要多600米，应该多走几秒钟啊，告诉我。这个比例问题不会算吗？啊，

600米你不会算了，600米。比我多15秒，你算对了没有？是不是多15秒？好都15秒，所以幺四五零+l就在原来15秒基础之上。再多一个15秒，所以说它这个就对应15秒，再多15秒等于30秒。是吧，等于下面，所以说这个答案应该30。是吧，所以说在这里面。

啊，就这个求解出来了好吧，所以它比它比它多用的时间嘛，给它加上就行。好吧噢噢噢，这是这是多一千米噢，这这地方噢，我看错了。他他多一千米。好，那多一千米。好，那多一千米，那就多几秒钟，看多一千米。

好吧，大家想一想，想一想。好，那么这个多200米，它又多五秒钟。现在呢？他要走。幺四五零+l。是吧，幺四五零+l，大家可以看幺四五零+l比这个450它多了。一千米。好多一千米，大家想想。

这是200米对应是五秒钟。那么多一千米，它应该多多少秒啊？大家想多多少秒？多25秒对不对？扩大五倍嘛？是不是多25秒？是不是扩大五倍？括了没啊？那么它这个时间就求出来，时间就15。加上25就等于40秒。是吧，就等于40秒，因为它在它基础之上，

这个15秒基础之上，我再额外走25秒就行。40秒是不是这样的？啊，这样就写出来了，这个答案选d。好吧，这答案选d啊，看这个懂了没有？好，这是它的基本方法，等于要弄明白。好，那接下来咱们看一下例十这个题。某人以六千米每小时的速度上山。

上传后利益为十二千每小时平均速度原路返回。原路返回。往返过程中，平均每小时走的千米数，平均每小时走的千米数，相当于求平均速度。啊，注意这个平均速度，它不能够这样写啊，不能写成二分之v一加v二，这个是错的啊，这错的不能写成二分之v一加v二。知道吧，它不能写成二分之v加v二。这个能懂吧？

好，那频数应该怎么写？告告诉我频数。人员为总路程，除以总时间。好总路程除以总时间这样的。拿总路程除以总时间。明白没有平均速度，因为总路程除以总时间。知道吧，他这样算，就咱们在经常用导航嘛，导航到达目的地以后，他会告诉你的平均速度，平均速度，

它是拿总路程，比如总共走了多少路程，总共用了多长时间，算出你的平速度。知道吧，好，那接下来咱们这道题。这道题给大家推导一下公式，因为它往返它的它的这个路程一样往返，如果一样的时候。往往如果相同的频数就等于一个。s+s，因为去是s，回来也是s。去的时候时间是s÷v一，

这是回来时候时间是s÷v二，知道吧？s÷v二。所以说上下把s约掉就得2v1v二÷v一+v二。啊，如果往返它的路程要相同的时候，它的平均速度就可以用这个来进行表示。好，这个来表示中间的过程可以给大家先写一下。中间约完后应该是二除以个v一分之一加v二分之一，知道吧，所以说这样的。如果往返的路程要相同，往返路程要相同，它的平均速度。

就等于二除以v一分之一加v二分之一得到二v一v二除以v一加v二，这是它的平均速度。只要把这条平均速度的一个概念。明白没有？啊，如果他往返路程要不一样，不能这样做啊，不能比如说他上山的时候，他的是走了一一条路，他下山又走另外一条路。比如另外一条的呃路要近一点儿，要近一点儿。他回来时候路程啊要近一些，那这时候你就不能套这个公式了啊，你只能是去的时候路程多少，

回来时候路程多少，然后再除以它的这种时间。懂了没有，然后这样，所以这道题咱们算完就等于。二倍的六×12÷6+12。这样就可以算出来结果。好吧，这个能明白不？这样就得到的是八。知道吧，得到是八这个答案选b。这个都懂了吧，得到答案是八。啊，

为什么不能用二分之v一加v二求你知道吗？二分之v一加v二它代表着什么？代表着速度的平均值。这个不能用这个求啊。然后这个公式，大家以后学，这也是一个平均值，这叫做调和平均，你先记下来。后面咱们还要再学。调和平均值。什么叫调平均值呢？能拿它的个数除以每个数的倒数。如果要两个数，就是二除以每个数的倒数，

如果要三个数，三除以每个数的倒数。知道吧，这些。啊，这叫调和频率。这个能懂吧？如果如果听懂的同学，然后这一块儿啊，如果往返的路程要不一样，往返路程要不一样，那就是就是你只能是。分别算呗，比如说比如说这道题改成这样的好吧？刚才比如说返回的路程。

返回时路程为去的路程的一半。为原一半。为元一半儿，那这时候你怎么写呢？这这样写了。你这样写好去的时候是s回来时候就是二分之s。知道吧，比如说我，我去的时候呢，走了一条路是s回来时候呢，走了一条小路，一条近路，一条近路，近路呢，就是二分之s。

然后去的时候时间呢，就s÷v一。回来时候时时间呢。就是二分之x除以v二。这个能懂吧，就这样的。啊，这样，然后你把s给它约掉约掉，上面就变成二分之三了，然后这是v一分之一加上。这个是吧？像这个，然后呢？你把这个上下都乘以个二倍的v1v2。

啊，都乘以个二倍的v1v2。就这样就写好了。啊，然后呢？你把v1=6v2=12带到里面去，就算它的平均速度了，好吧，就给你举个这个例子，剩下数我就不不往里带了，你都会了。好吧，如果他说返回路程是原路路路程一半儿，反正就是直记住这个公式就行了，这个是。

最本质的公式，不管它路程。是一半儿也好，是多少也好，那么呢，要记住这个公式分子就代表整个走的路程，去的时候路程加回的时候路程。分母就代表总时间去的时候用的时间加回来时候用的时间。然后你再把它化简一下就可以了。还有没有什么疑问？好，接下来咱们看一下例11这个题。有客车，货车，卡车共三辆车。

客车每小时60千米，货车每小时40千米。卡车每小时50千米。啊，这三辆车他在走。好，大家画个图。画一个图啊，他三辆车。嗯，然后呢？这个是假如这是东正吧？这是西正好吧？反正这个无所谓了。然后这个东边西边画在哪都没关系。

然后呢？就是。客车货车从东站出发啊，这有客车。这是货车。然后卡车从西站出发。它的速度都标一下吧，客车速度是60，这个货车速度是40，卡车速度是50。然后呢？这个客车货车从这边出发，卡车从这边出发。然后呢，卡车遇上客车后。

那因为客车跑得快嘛啊，遇到客车后两小时后遇上了货车好这个道题就找时间能量。找时间等量。知道吧，所以这道题啊，就找时间能量。大等量是一个两小时啊，各位同学，大等量是两小时。然后假设相距是s千米。这个路程就是s。啊，路程是s接下来咱们看应该怎么写？好路程是s的话，那大家客车跟卡车相遇的时间的话。

是不s除以个60+50，咱们讲过就是总路程除以它速度和就代表相遇时间t。这个公式要记住。这就s÷60+50，它表达的就代表是。客车和卡车相遇时间是需要多长时间？然后呢？s÷40+50是代表货车跟卡车相遇的时间。这两个时间相差两小时，我们看谁谁多谁少。这个是先相遇是吧，然后加两小时等于这边。对不对？不相解也可以验证选项s=990。好，

990选择c选项。好看，这个懂了没有？好，这是给大家讲的这个方法，看这个明白没有？下面咱们看第四节工程问题。啊，公程问题呢？跟路程问题呢？它有很多东西是相通的，我们首先看一下公式。嗯，工程问题基本上也是每年都考的啊，就是二三年它没考，

因为二三年它考了两个路程问题，唉，工程就没考。像以往每年是一个路程，一个工程，这是每年都有的。好，那第一个就是工作量，工作效率，工作时间，三者关系式，咱们看看。其实这个跟svt的公式是类似的，大家不用额外的去记忆了，知道吧，

比如工作量把它看成走了多少路程看成s。然后在效率把它看成v时间，把它看成t，然后s=vt，然后这个呢vt呢等于s÷v。这个呢，就相当于v=x÷t，反正都是差不多的，然后比例关系也是同路程问题好吧，比例比例关关系也是同路程，咱就不再一起了。公式啊，比例关系啊。都是同路程。好吧啊，

然后接下来呢？咱们呢啊？要说一下什么呢？说一下这个。工作量啊，说一下这个工作量。工量咱们说说。攻略呢，咱们分为两类。啊，分为两类啊，工作量分为两类。呃，第一类呢？是具体量。

第一类聚聚量是什么东西啊？工作量分为两类，第一类是聚集量，这个聚集量就相当于是。具体值呗，比如说完成1000个零件。或完成2000个零件。是吧，1000个零件或者2000个零件。啊，那这是具体量或者背5000个单词，这都具体量好吧，这不用多说了，还有一类抽象量。啊，

抽样量什么呢？抽样量就相当于是某项工程。比如，他说，完成某项工程，你也不知道这个工程是。是盖楼还是修桥还是还是什么东西？就某项工程。这个你也不知道是什么东西，这是抽象的。啊，抽象量那遇到抽象量，咱们说说好不好？因为抽象量难一点，抽象量来说一下。

它有两个，一个是设一法，因为咱也不知道这些工程什么东西啊，咱可以设总工量为一好吧，就可以采用设一法。就把这个工程呢，就看成个一。啊，完成整个工程就完成一完成一半儿就是二分之一好吧，就采用设一法。第二个呢，就设最小公倍数法。因为大家复习过，同学知道，如果设一法的话，

它会出现很多倒数。知道吧，所以第二个呢，可以用最小公倍数法。知道吧，就最小公倍数法。这个公分数，它的好处呢，你不用出现倒数，它方便计算。知道吧，它又好计算。这最小公倍数，但最小公倍数啊，不是每个题都能用。

它必须是知道什么呢？嗯，知道每人的时间的时候可以用最小公倍数啊，知道如果要知。它单独的时间。这可以用最小公倍数法啊，知道比如说甲单独是六天，乙单独是八天啊，这时候呢啊，你可以用最小公倍数啊，要简单点儿。好，这是第一个，第二个呢，咱们再说一下效率，

效率呢肯定就是核心呐，跟咱们路程里面速度是核心是类似的是吧？核心核心就是效率。v好吧啊，效率v。啊，这个要注意。然后是工作时间倒无所谓了，好吧，工作时间这个都比较简单好，这是给大家进行强调的这个问题。效率v优先设效率啊，优先设效率知道吧，这样解起来方便点儿。好，

接下来咱们看一下第二个重要说明。这种说明工作量对一个题工作量往往是确定的，它工作量它不会变。好吧，你可以将总共量看成一。第二个合作时，总的效率就等于各项的代数和这个代数和什么意思呢？听不懂这个代数和和普通的和什么关系呢？这个代数和。他就是有这个正负。什么正负啊，你要听不懂，比如说咱们进水排水。现在比如说大家知道一个水池，一个水池，

哎，这有几个进水管儿？是吧，有几个进水管，然后下面呢？它还有这个排水管，就大家像洗手池一样嘛，是吧？它有有进水的，有排水的。是吧，那这时候呢，就效率增幅，还有类似于牛吃草。啊，

大家在在那个奥数题，你们小时候上过奥数没有啊，你们小时候啊，还记得小时候这个家里面给你报的奥数啊，有那个牛吃草呀，还有什么几个进水管，几个排水管啊？就这块儿，可能你忘记了是吧？然后呢？反正就效率正负。后面咱们遇到了再说好吧？第三个重要结论。看一下中小结论，中小结论的话就相当于是如果中小结论，

咱们以两个人为例啊，如果甲单独完成m天乙单独完成n天。达到完成时间则甲的效率可以，当然咱们这个一呢就设为总工量为一了。甲效率有m分之一，乙的效率有n分之一，好吧？n分之一，甲乙合作效率有m分之一，加n分之一，再加以合作的效率。知道吧m分之一加n分之一。在他合作的效率吗？合效就两个相加嘛啊，这是合作。

然后甲乙合作完成时间，甲乙合作完成时间就是用总的工作量除以两人的效率和。啊，两人的效率和就行了。是吧，就相当于mgn分之mn啊，这样就写好了。好，这就是它这个情况，比如说甲单独。是六天乙单独是十天问合作多少天？合合作需要多少天？这时候你不能写成六+10啊，这是错的，不能说甲一个人干六天，

乙一个人干十天。两人一块儿干。是16天那那这个这个就不行了，两人一块儿干，应该干的越来越快呀，人多力量大呀，那怎么六六+10呢？那这个不对是吧？所以它应该怎么做呢？应该这样做。这样做就对了，那应该是六×10÷6+10唉，这样做是对的是吧？就这样做。是OK的，

就六×10÷6+10，记住这个公式。好吧，这样的。好，这个是是对的啊，如果甲乙两人合作应该这么多天啊，上市公司可以推广多个，咱就不再一一说了好吧，比如三个人，甲乙丙三个人或者甲乙丙丁。四个人啊，以此类推好吧好，那工程问题的公式呢，它就少一点，

因为工程啊。它没有什么啊，什么追击问题是吧？它只有相应就公问，就类似于相遇问题，因为咱们两人一块干活，一块把这个路程走完。知道吧，好工作问题，咱们概括一下，主要加入抓住工作量，工作效率，工作时间，三者关系式在求解时可以将总工量看成一来分析。好，

接下来有三个比例，咱们画上第一个时间相同时，工作量相同时。公转向量是效率与时间成反比。比如说呢，都背6000个单词。你们的工作量一样。那你工作效率，工作时间就成反比谁背的快，谁用的时间就短啊第二个。工作效率如果固定，比如大家背单词，效率都是每天背多少个单词是吧？效率都固定，那工作量与工作时间成正比，

你工作量越大，你用的时间越长。是不是第三个工作时间要相同的时候，比如说大家都是三个小时工作时间一样，那工作量与工作效率要成正比。你的效率越高，那完成的活儿就越多，是不是这都很好理解啊？这跟咱路上面也类似，所以大家一定要结合生活常识。来进行。学习这些公式，而不是死死死记硬背。咱们多次讲过，数学不是从天上下雨掉下来的啊啊，

人在种地。不可能突然下雨，也捡了一个数学，大家在那学它不是这样的，都是人改造生活和自然界发现的一些规律的总结，所以数学来源于生活。还要还原于生活，所以说在学，所以说把它还原成生活数学，它从生活里面提炼出来的是吧？再把它还原回去。结合生活常识，来学就可以了啊。好，接下来咱们看一下。

例例题，大家加油思考。啊某厂生产流水线15秒可生产四件产品，问一小时可以生产多少件产品，大家想想。啊，这个就相当于是效率是固定的，就像你背单词一样是吧？你再想想你背单词嘛。一提到工程，我就经常拿大家背单词这件事儿，因为背单词这件事儿是伤害大家心里最最深的。啊，每学期背每年背天天背，发现单词还背不完。

是不是好，那接下来。另外，提到背单词还讲一个很好玩儿的事儿，什么很好玩儿的事儿，你发现你大一的时候从a字母开始背。大二的时候又从a字母开始背。每每学期开学，我总要力争把这个词汇手册背完啊，从a开始背。然后大三又从a字母开始背到大四毕业了，还是ABC开始背是吧？发现后面就不行，所以教给大家一个方法。你们回去开始从s开头往两边背。

知道吧，因为s开头的单词词汇量是最多的，你发现没有？在在词典字典里面，它的词汇量是最多的。对吧，就像咱们数学一样，你看先抓大头是吧s开头往两边背啊背，背到uvw的时候唉，发现。大学好几年都没背完单词，终于见底了，终于看到了最后一页，很高兴的看到了最后一页。是吧，

然后s往前背，背到mn k的时候，唉，发现跟前面单词就串在一起了，懂了吧，所以这是给大家强调的。另外，单词呢？大家要注意这个集中，就像咱们数学一样，集中它几个字母词汇量比较多的一个集中在s开头的。就是prs。这三个还有bcd，这三个叫六字母法是吧？六字母法你把六个字母解决掉，

你再做题就可以发现有明显的改善。是吧，所以说总之学习啊，都是有规律的好吧，所以具体大家按照咱们啊老师这个讲的这个方法做对，每次都被。a字母abandon abandon abandon每每学期开始abandon开始被abandon abandon抛弃放弃抛弃放弃发现最后自己都被抛弃了被放弃了。是不是所以这样的好，所以大家呢啊，从这个假期开始啊，拿起词语手册，从s开头往后面背。然后再往前面背啊，如果感觉除去掉还不行的同学先背这六个字母，把它背下来。

好，那接下来咱们数学一样，数学大家这个假期也是不要每次都从第一章开始学，每次都从第一章开始学。那学到学了好几个月，数学还是停留在ABC上是吧？所以大家啊，这这学期你就可以从应用题开始往后学。或从代数开始，往两边学是吧？这样的啊，这样的。对啊，你要感觉c是最难背，那你说明你没背过s的啊，

没背过s嗯，你背s可以发现c字母。相对s而言，那就不是什么难的了啊啊s是最多最多的啊s背好，然后也就说你把这个。这个反正就是单词量都集中在s附近的字母和c附近的字母好吧，大家好好加油，你们都能够成功。好，接下来咱们看这个题，这里有15秒可以生产四件产品，按照这样的效率一小时，大家知道一小时就是3600秒。对吧，3600秒我们看生产多少件就15秒。

生产四件。然后一小时就3600秒。这道题就考察比例分散散多少件？好，那你就直接拿3600÷15×4就行是吧？就拿3600。除以15，然后乘以四。这样就可以了，好吧，所以大家呢，就这样简单算等于960。最难就选择d好，就按照这个比例啊啊照这样的进度来照这样的速度好吧，大家按照这个比例法，

所以这道题用比例法做。好用比例法做就OK了啊，好这例一大家看还有没有什么疑问例一比较简单？好，我们来看例二这个题。好一批货物要运进仓库，由甲乙两队合运九小时，可运进全部货物的50%。好合运九小时可以运进50%，然后那么乙队单独呢？需要30小时完成，又已知甲每小时运行三吨。这题是考察工作量是具体量啊，看到没有看这道题。工作量具体是多少吨？

它是一个具体量。啊，首先定位这道题，它问的问题就是求功能量。这道题咱们可以用两种方法来解。第一种方法就是设备的数的方法来做好吧，方法一。放一咱们设未知数。设位数设什么位置数啊？优先设效率，你看甲的效率，知道设一下乙的效率好吧，设乙的效率。是x吨每小时。啊乙的效率s吨每小时。

好，那接下来咱们来看看。嗯，就是你的效率是s吨每小时那么列一个什么能量列一个工作量？等量吧，列工量等量，大家知道两队合作九小时完成一半儿，那说明18小时就完成整个的。是吧，就甲的效率加乙的效率，这三+s代表合作啊，合作的效率知道吧，就甲和乙两人合作效率。这里乘以一个18。小时因为九小时运一半儿嘛，

只要运一半儿18小时可以运完嘛，是吧？运完然后等于。等于等于那么乙队单独则要三小时完成啊，乙队单独则三小时。你单独三小时，单独三小时的话，那要30×x，这能看懂吧就是。以一个人运的工作量就30×x，这也代表总量，总量是相等的，列一个等式。知道这个等量怎么找的吧？等量这样找的，

然后x解一解，然后这样等于十点五。啊I=4 I=4点五，那就OK I=4点五，把四点五带到里面去啊，带到里面去，然后这块儿就得到135，所以答案选择a。好，这里大家体会了，并非问什么设什么。也体会了如何来找等量。找一个总的货物量相等。好方法二。方法二的话，

就相当于什么情况呀？方法二方法二就相当于。是。嗯，咱们这样想，你看能能想到不？甲乙合运九小时，完成50%。那说明甲乙合运18小时就干完了，18小时干完合运，18小时就相当于甲18小时，乙18小时。他做完了。是不是这样的，就甲18小，

乙18小才做完了嘛？是不是就完成了？对不对？完了，然后接下来我们来看一下。第二句话，乙单独三小时完成，乙单独三小时完成，就相当于甲不干活。甲零小时，乙三小时。他也做完了，是不是？对不对？它也做完了。

记住啊，把合作的要拆拆开啊，合作18小时，代表每人都干了18小时。好，接下来大家看一下。通过这个可以转化一下，转化成什么，大家发现，如果甲少干18小时，乙是不是得多做12小时啊看看？是吧，甲如果不干活，甲少干18小时。甲18小时，

那乙得多干12小时。是吧，你得多干12小时嘛。是不是你要多干12小时？这样的方法对不对？这样的内容。这个能听懂吧？这个明白没有啊，乙的多做12小时好，这时候呢，我们就可以两边画成一个最简整数比。这样这样怎么比就相当于都除以个六都除以个六都除以六以后就变成三和二，这样就相当于什么相当？乙的效率是甲效率一点儿五倍，你把这二再除过来，

除过来就乙就是乙是甲的一点儿五倍啊，所以乙的效率是等于一点儿五倍的甲，那么甲的效率是每小时三吨。所以乙的效率就每小时四点儿五。乙的效率每小时四点五，那这道题就做完了，这道题就30×4点五就代表总的货物量嘛。就等于135这样就写好了，你看这块是不是这样做又比较简单呀？是不是这个方法能弄好吧？可能你用的不太好是吧？不太会用，因为这个方法大家呢？之前接触比较少。或者没有怎么用过。

所以可能。一开始不太会用，没事儿，练练就会用了啊，练练就会用。你要把这两个人给它进行转化，转化完以后呢，你看这个倍数。乙是甲的一点五倍。乙呢？这个等量代表什么代表甲三小时的工作量相当于乙小乙两小时就能干完，反过来乙的效率。就甲效率一点五倍，咱们平时在生活中怎么形容一个人比较能干呀？就说一个人等于。

相当于两啊，他一个人顶两是吧？咱经常夸一个人说他，他这个能力很强，他一个顶两。啊，一个顶点，一个顶点就相当于是。它效率高，咱们这个题你看一个乙相当于一一点儿五个甲啊，一个人顶一个半人。是不是啊？一个半人这样的，咱这个再琢磨琢磨琢磨，然后这样就弄好了好吧，

反正传统的方法，还有咱们这个。等量转化的方法，这个技巧都给大家讲到了，看是不懂了。会不会分析和思考？好，咱们看一下例三这个题。职业场本月计划旅游鞋是5000双。结果12天就完成了45%，照这样的进度。照这样进度话，大家想想照这样的进度。大家想想，照这样进度。

那么，这就是相当于效率是固定的。好问30天他旅游鞋产量将是多少？好，大家想想12天完成45%，12天就完成。完成呃，这个是5000双的45%。这个数大家先不要算出来啊，先不要算出来。然后照这样进度，那么12天会完成多少？那你就这样看一天完完多少呗是吧？就是5000乘以个45%。除以个12是不是除以12？

然后再乘以个30。对不对？乘以30天，你看按照30天算吧。二到30天，所以前面代表每天完成多少双？对不对？每天完成多少双？然后再按照30这样写。就可以了，这个能懂吗？这算完后等于五六二五考试，如果遇到数比较大的时候，咱们讲过按照数的特征，比如说按照这道题的个位。

按照这道题的个位个位个位个位呢，它肯定不不会是零我们上下约我们看把这个百分号跟这个约掉，然后这个30跟12约掉一个二。剩下50跟这个12约掉它个位一定是五。所以考试时候呢，你可以按照它的素质特征，按照个位。各位来进行求解，这样的话就更加简单一点。看明白没有？这要照这样进度来进行进行怎么怎么样？好例四这个题。采矿场有数千吨矿料，运走运矿时七天可运进35%。照这样进度，

余下框的运作需要多少天？那这也很简单，你看七天。35%。那余下的余下的还余余下65%。是吧，余下65%问多少天？就这个题跟上一题，它的相同点是照这样的进度，效率都是按照这样的比例来。不同点什么不同点不同点上一个题是给了这个天数多少天，求这个产量。到底是多少？这道题是反过来给我们这个量问多少天，求时间。

求时间大家知道这个七天是35%，那么相当一天。就是5%。对吧，你看七天。完成35%一天就完成5%。一天完成5%，那么用65。除以个五，得到13。得到13天这样的答案，就选择a选项答案就写好了好吧，直接用这种比例法做就可以得到它答案。看各位同学是不是听懂了？好了，

那咱们上午就讲到这好吧？上了，咱们就写到这儿。呃，剩下内容咱们留到下午讲。嗯，下午呢？这个应用题讲完以后还要再讲第三章，大家呢？提前可以预习一下。好吧，所以说这个这个下午呢，大家把这个应用题啊，其实路程工程这个讲完，剩下应用题就没多少了。

好吧，大家中午呢，好好休息一下啊，下午见各位同学，好好加油啊，拜拜。

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12.代数1

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