14.宏观题库第二章（2）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-11 08:44:17

好，各位同学，下面我们来看一下第六题。这个是人大二零一九年的一道。考题啊。看一下考虑包含技术进步的新古典经济增长模型，模型的总量生产函数是这个样子。其实这个也是我们说是劳动增强型的总量生产函数。然后呢，给出了资本和知识累计方程啊。这个是资本的累积方程，这个是技术的这个知识的累积方程，这个知识累积呢，其实也可以。看作就是我们通常所说的啊，

这个技术进步。啊，技术的积累。技术进步。其中s为储蓄率，人口增长率为n，然后回答下列问题，这个题呢，一共有四问，一共20分，这个题还是？啊，分值很大啊，然后就是说呢，这个题整体上来说呢。

它属于可以说是属于高危的内，高红的内容啊，高级宏观经济学里面的。大家可以看一下戴维罗默的高级宏观经济学。在经济增长索洛模型这一块儿呢，有类似的题目。这里面有四问，第一问让我们看一下，请给出知识积累方程的经济学解释，就是它的经济学含义是什么啊？然后第二问是将资本和知识积累的增长率，这是。资本的增长率，知识的增长率，要把它呢表示成为。

知识资本和劳动的函数。第三问是。要求我们回答经济存在资本和知识积累增长率为常数的稳定状态吗？问这个经济是否存在稳定状态？如果存在，让我们算出资本和知识积累的稳态增长率。第四问是说储蓄率如何影响这个稳态的人均产出增长率？好，我们看du啊。让你解释这个知识积累方程的。经济学的含义，你看这个知识积累，它是它什么？它是产出的。函数啊，

产出的函数。那么，知识积累的它的含义是什么？那么，企业在生产过程当中逐步积累起生产经验和。更有效的生产知识，而这些知识能够提高企业的生产效率。对吧，也可以呢，被整个社会的其他企业所利用，也就是说知识的创造是投资生产的。副产品而知识的溢出呢，也导致了整个经济生产率的提高，所以。这个知识积累它是。

产出的函数，而且是产出的增函数，所以这个地方也就说明了知识积累具有什么知识积累，具有外部性，而且具有具有。很强的正外部性。知识的累积。具有是吧，具有正的外部性。这个我们应该能理解哈，其实你像我们改革开放的时候，我们经常说我们用市场换技术，对吧？就是我们会让一些外资企业。当然是有些门槛的啊，

像一些有技术和管理。优势的外资企业呢，来中国投资建厂，那么我们为什么让他们而且还有税收优惠呢？因为让他们来了之后，他们虽然也赚到钱了，但是呢，他们会给我们培养我们的。工人传输给我们呢，先进的管理经验和技术，所以这块儿就是什么，它不会直接的给，但是呢，它间接的会培养我们的工人，而我们工人呢，

熟练起来之后呢，就可以扩散到其他的，我们的。国内的一些企业的这个工厂中去，或者企业当中去，对吧？这就真的外部性。好，这是第一问，第二问我们来看一下，将资本和知识积累的增长率表示成这三个变量的函数，怎么表示呢？那你看，总之啊，先开始要从这个总量生产函数。

着手我们知道这个资本的增长率呢，它是等于syt的啊，syt那么把yt呢用？它的表达式呢，代替一下就可以得到呢啊，资本的积累呢，就等于s乘以。k阿尔法al的一减，阿尔法好了，有了它之后，我们两边呢，同时给它除以一个TT。因为我们得到增长率嘛，所以除一个kt，除一个kt。

那变成了这个式子了，同时呢，我们将呢yt呢等于这个呢，代入了，这就是我们什么，这就是我们的资本的。增长率的表达式。同样的呢，我们可以把。总量生长函数呢？带入到知识累积的增长方程当中，那这样可以得到呢？at这两边呢？我们暂时同除一个at，那就可以得到我们这个式子了。

你看第二问，其实看上去呢，也还是看上去很复杂，其实很简单。好，我们看第三问啊，经济存在资本和知识累积增长率为常态的常数的稳定状态吗？我们来看一下，因为通过第二，我们知道呢这个。资本的增长率。这个式子我们知道是吧？然后我们看一下，我们看一下呢，这个两边呢，

给它取。取对数化简啊，取对数化简化简之后呢？变成了下面这个，因为取对数之后，然后再求导求导常数的导数s是常数求导之后呢，它为零了。对吧，然后呢？后面剩下这两项。其实你看呢，这个这就是我们的资本的增长率啊gk t，然后呢，这个是知识累积增长率。加上劳动的增长率n。

这里面我们就要看一下。如果资本增长率为常数。资本的增长率常数就是什么？那一定有这个东西为零。那化简可以得到gk t就等于什么gk t，左边的等于零，那右边的呢？一减阿尔法不等于零。阿尔法减一也不等于零，那只能而且是gat+n呢，肯定是不等于零的，所以这个gk t呢，等于零或者是呢是呢。是gk t=gat+n。我们舍去第一个解就是gk t=0的情况，

我们来看第二种情况。我们来看一下知识经知识积累的稳态增长率，因为我们第二问我们也知道呢，知识增长率呢，也是这个式子，两边我们一样的，我们给它取对数。然后呢，再求导关于时间求导，那最后呢，变成这个式子。那也就是呢，我们知识累积增长率呢，就等于这个是kt at和n的函数。同样的，

如果说知识累积的增长，稳态增长率为常数，那就是jat的。增长率为零，那么一定有什么我们这个等于零了，然后我们把呢上面这个带进去啊，这个这个得到了JK t=jat+n呢，我们带到这个式子带到二式当中。代进去JK t用后面这个式子给它代换一下，然后化简化简之后得到的jat呢等于零。或者是呢是吧jat等于后面这个式子，显然jat=0，这个也我们可以舍弃，因为知识累积增长率不可能为零。资本的增长率为零也不现实，

所以我们把这个设计后面这个更符合实际，然后把这个jat呢，等于这个式子呢，带入了JK t当中。然后得到JK t呢诶，发现没有JK t等于一减phi分之n，这个都是参数nn和phi都是参数都是常数，所以。它是不是一个稳定状态呢？是的啊，这就是我们所求的资本和知识累积的增长率，你看jat和JK t都等于。都是常数的函数，所以呢，它们俩都是常数，

所以呢，它是一个什么稳定状态？好，下面看一下第四问。储蓄率如何影响这个稳态的人均产出增长率？那么，储蓄率如何影响稳态的产出增长率呢？看一下我们还是一样，从总量，生产函数着手两边呢关于。时间呢，给它求导啊。画成这个样子，然后我们这这就是我们说的总量增长。方程增长核算方程对吧？

这是我们大家熟悉的增长核算方程，然后我们稳态式呢？根据第三问的。计算我们知道呢gk t=gat+n，然后代入上式当中，我们得到gy t呢等于gk t等于。一减f分之n。然后我们说人均产出呢，等于总产出比上l，所以我们得到总产出增长率呢，人均产出增长率呢，等于一减三分之三。我们发现呢，这个式子当中增长率的表达式是不含储蓄率的，也就是说人均产出增长率。

是吧，不受储蓄率的影响。人均产出的增长呢？它不受储蓄率的影响，因此储蓄率和文态。跟进程度是无关的。好，这是我们的，是人大的这道题。呃，人大这个呢，实际上呢，它考的是那个，我们说了可以找出处的话呢，那主要就是说我们可以从。

戴维罗默的高级宏观经济学佐罗增长模型这一块儿，能找到类似的题来练一练。啊，当然呢，也可以在像北大张岩老师的中级宏观经济学教程里面啊，关于索洛模型这一块。经济增长这一块呢，它也有这个类似的情况可以去列。啊，下面这道题呢？这道题也是比较新的，二三年北大软微子的这一道题啊，这个呢，其实难度呢，相对来说呢，

又大了一些，我们来看一下。其实，索洛模型这一块儿，你像这些名校考的呢？其实对数学要求都蛮高的，对吧？要求你的数学的处理能力很强。我们来看一下那索罗模型当中生产函数是这个样子，这也是劳动增强型的，而且呢，它这个是一个抽象的。啊，函数。该生产函数呢？

满足规模报酬不变啊，规模报酬不变，这一点要注意。我们说规模报酬不变，如果说这个我们的微观经济学学过，假如说一个函数是FL。y=FL k对吧？如果说存在着这样一个情况，拉姆达l拉姆达k。等于拉姆达倍的f。lk的话，那它就是规模报酬不变的，这就是规模报酬不变的总量，生产函数的一个特征。定义啊，

定义。而且这个函数满足什么呢？人均产出一阶导。大于零二阶导，小于零说明什么？这个生产函数满足什么？满足编辑生产力递减。或者编辑报酬地址。编辑报酬递减。而且呢，资本的动态方程，资本的积累方程是sy减去德尔塔ks为储蓄率，德尔塔为折旧率。并且呢，技术进步率为g。

人口增长率为n为n。这个小点儿表示对时间t的求导，有效劳动的人均产出是。大y比a啊，这大家都熟悉有效劳动的人均资本是小k等于大KB。大l有效劳动的人均产出对有效劳动的人均资本的弹性啊。有效劳动的人均产出。对有效劳动的人均资本的弹性阿尔法等于这个式子。下面有两问。第一问，让我们求平衡增长路径上的有效劳动的人均产出，对技术进步率的弹性。啊，这个技术进步率的弹对技术进步率的弹性呢？要用ns。

阿尔法呢表示出来。第二问是说如假如呢？阿尔法等于三分之二n。等于3%n等于百分之一点五，这由于1%上升了2%，问均衡的人均产出将会是多少？你看啊，这个题。第一，问求平衡增长路径就是稳态的时候啊，经济达到稳定状态的时候的有效劳动的人均产出，对技术进步率的弹性。这个我们题干中已知的是有效劳动的人均产出，对有效劳动的人均资本的弹性。下面要求的是有效劳动的人均产出对技术进步率的弹性。

怎么整呢？那么这个你看还是在总总量生产函数着手？由于生产函数我们是知道是这个样子，而且呢，这个函数呢题目告诉你了，它是满足规模报酬不变的。这就规模报酬不变。这就有助于我们什么？我们把总量生产函数呢化成人均的。换成有效劳动的这个人均产出水平，那就是对总量，生产函数两边同时给它乘以什么？乘以aaal分之一，那就这个样子，因为它是规模报酬不变的最后呢，

我们画出来就什么等于fkt。并且呢，我们知道有效资本，有效人均资本的一个大k比al两边给它，同时取对数啊，取对数化成它。然后我们呢，在它呢两边给它什么，我们取对数之后，我们再给它求导。啊，关于时间t求导，求导之后是这个样子，那是我们知道呢。有效人力资本比上人力资本，

它实际上就等于什么？它等于左边的，就等于什么？这一个式子等于多少？等于sy减德尔塔k比k。再减这个是什么技术进步率？这个是人口增长率。而我们左边的这个式子呢，我们也可以通过这样一个变形。啊，这个不对啊，不这个是不是这个啊？是这个这一项这一项我们又可以呢，再进行一个变形。最后呢，

化成什么？化成这个式子，也就是小S乘以大y比小y比小k-n+j加德尔塔。从而我们可以得到什么？我们可以得到呢？有效人均资本的。这个增加量呢，就等于s fk-n+g加德尔塔k，这就是我们的稳态基本方程。那当我们设呢k=k新的时候，经济达到稳定增长，那么经济达到稳态，这个时候呢，有这个式子成立。所以我们得到呢，

经济平衡增长路径的基本方程就是我们可以得到索罗模型的基本方程啊，就这个s fk=n+g加德尔塔k。那么，根据题干，我们知道有效劳动的人均产出对技术进步率的弹性，我们可以表示成theta啊，表示是theta。有效人均产出对技术进步的弹性。好做一个，再做一个，这个变化啊，数学上的一个技巧，然后为了算出这个这个式子啊。我们需要呢，由一式呢，

对j就是这个式子呢，对j来求导。一是就这个式子，两边同时关于这求导的话，那就s乘以。f对k的偏导数再乘以k的j的偏导数等于。等于k加上后面这一个，然后我们可以呢整理一下把。k对j的偏导呢？表示出来是三式啊，这个在考场上可考察你的计算能力，还要考察你的计算准确性。而且我们根据题干中的定义，题干中的定义呢，我们知道呢。

有效劳动的人均产出，人均产出对有效劳动的人均资本的弹性呢？是知道的啊，是这个。那从而可知呢，平衡增长路径当中f对k的偏导就等于什么f对k的偏导就等于。做一个变形，那就是什么？阿尔法乘以fk比上k啊比上k，然后我们把这个式子。f对k的偏导呢，这个四式呢，带入到我们的三式当中，我们化简一下就得到这个式子了，注意啊，

这个都是需要。认真一点儿。带进去。然后得到k对j的的偏导的表达式，我们把这个呢，再把它带入到我们二式当中，带入这个式子当中。啊，代入这个式子当中，把f对k的偏导呢代换一下k对g的偏导，我们也求求出来了是吧？都带进去。带进去之后，这个地方呢，注意要化简的时候可要小心啊，

化简之后我们最后呢，化简出来是这个样子。那你看呢，这些式子。可以看出来，这就是我们平衡增长路径当中的有效劳动的人均产出，对技术进步率的弹性。啊，对技术进步力的弹性，我们算出来了。这是第一问啊，下面我们来看第二问，假如阿尔法n。这有1%上升到2%。然后问人均产出变化率将是多少？

啊，这里面应该有一个是折旧率啊，这里面有一个是折旧率啊，有一个是折旧率。啊，这个德尔塔就等于一点五百分之一点五，我们把这个呢带进去。啊当阿尔法等于三分之二n等于三百分之三，德尔塔等于百分之一点五g等于百分之一的时候，我们知道了这是。的有效人均产出呢是多少呢？等于后面这一串儿啊。这个c为任意长数啊。等一下，这个式子。

我们先走慢一点啊，我们还是按照上面来，根据一的结果，我们可以知道在平衡增长路径当中，在平衡增长路径当中呢，这个theta。有效人均产出对技术的产出弹性是多少呢？对技术的弹性呢，是这个式子是吧？我们第二问算出来的，第一问算出来的就是它。也就是说呢。这个式子等于什么？等于dlnf比上d lng。等于后面这个式子。

那我们可以得到dlnffk呢，就等于后面这个式子啊，画出来等于阿尔法减一分之，阿尔法乘以lnn加。最佳德尔塔。那么，这个式子两端呢？我们我们要把fk给它算出来，我们把fk呢算出来啊fk等于多少fk=c×n+j加德尔塔？的阿尔法减一分之一次方，你看这个地方就是又考察了什么微分方程的问题。我们找到它的语言函数，这一个得到它是很关键的，关键就是得到它。这个可能很多同学如果。

啊，这个数学不是很好，或者是说咱们呢，第一次考见的题不够多的情况下呢，那这个题可能会难倒一部分学员。好了，这里面我们把阿尔法等于三分之二n等于百分之三，德尔塔等于百分之一点五和g等于百分之一呢，我们把它带进去。你不管这个c是多少，放在这个地方就行了c乘以五百分之五点五的负二次方，然后再把呢这个前面都是一样的，把这等等于百分之二的代进去，得到c等于是吧？百分之六点五的负二次方，

因此呢，我们可以得到呢f1k比f2k呢等于多少呢？算一下啊。这个地方呢，我们化成整数等于169，比上121，这个肯定大于一的。对吧，然后我们再看一下人均产出的变化率。人均产出的变化率。结果就是什么人均产出下降约等于负的百分之二十八点四。也就是在提示的条件下呢，有效人均产出是下降了百分之二十八点四的。也是技术进步里呢，是有效人均产出下降。

好，这是我们说的是。啊，这个。软微的这一道题。人大的这道题和软卧这道题的难度相对来说都会有点大啊，这个地方大家回头自己再好好的去做一下，尤其是你要考人大考北大。这个学校呢，他们的题呢，尤其是北大这两年题出的也比较难了，荣威这一块啊，包括我们说的汇丰呢，也是一样，可能小汇丰呢，

选择题会比较简单一点，但是呢。大的计算题会比较难。所以大家还是要注意啊，引起重视。多做一下这些题目。那关于增长理论方面的经济增长理论这一块的内容呢？我们就讲到这里。

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