03.微观题库第二章

罗泽兵 · 发表于 2024-4-11 08:31:56

各位同学大家好，下面我们来看一下第二章消费者行为理论，其实主要就是效用论这一块儿。效率这一块是我们考试的重点。而且尤其是。呃，这个。考的是名校的同学。那几乎每一年都会在这个地方出一道题，而且。题目呢，难度会比较大呃，我们这里面呢，主要就是在考察的题型，主要就是。

简答计算证明和论述其实呢呃。在这一块呢。我重点给大家呢，可能会多挑几道证明和计算题啊，计算证明。就是把典型的啊，从我们从初级中级到。更高阶级的这个级别的这个考察考察的这个情况给大家说一下。好，我们先先看简答题。啊，初级篇的简答题的第四题。这道题呢是？考察了一个比较核心的问题，就是价格效应的分解，

替代效应和收入效能问题。好看一下啊。这是西南财经大学二零二零年的考题第一小问，问什么是替代效应？替代效应以什么不变为前提？第二，什么是收入效益？收入效益是以什么不变为前提？第三问是什么是价格效应？为什么价格效应可以分解为替代效应和收入效应？第四小问是用替代效应和收入效应分析正常品的。价格效应并推导需求曲线，你看这道题呢，给的分值比较大啊，一共20分，

其实四小问应该是呢，每一问呢是五分啊，这个分值其实是不低的。而且这个基本上呢是把。呃，这个叙述效叙述效率里面呢？这个价格变动的效应这一块儿呢？考察的已经很全面了。好，首先第一个什么是替代效应，那你要把替代效应的概念说出来啊。这里面我们说的啊，这个要注意的是这个替代效应主要是什么？我们因为西南财经大学考的它的这个学金，其实考的比较简单，

属于高红业的。难度范畴所以在高行业的教材，大家想我们初级的学的其实主要是以高行业的这个。定义来的对吧？那就按照这个来。所谓替代效应，是一种商品价格变动而引起的商品的相对价格发生变化，从而导致消费者在。保持效用不变的情况下，对商品需求量的改变。啊，也就是说，由于某一种商品价格发生了变化，导致了。这种商品和其他商品的相对价格发生了变化，

从而引起了在保持效应不变的情况下呢？对。价格变动的商品需求量呢？做了改变，那么把这个改变所带来的这个效应啊，称之为叫价格变动的替代效应。那从这里面要注意我们说呢，替代效应的定义可以知道呢，它是以什么不变为前提呢？它是以效用水平不变为前提的。你比如说我们下面这个图里面，你比如说假如说开始的时候啊，这个效应最大化的点在a点啊a点。对吧，那那开始的时候呢，

商品x1的需求量呢，为x一一现在比如说。啊，第一种商品的价格px 1呢？下降了，下降之后呢？使得预算线绕着a点呢？逆时针旋转。比如说旋转到AB撇儿，那此时效应最大化的点呢？跑到什么b这个地方来了？但是我们找替代效应是什么呢？是在保持效用水平不变，原来的u1上，但是由于相对价格发生变化x1的价格下发生变化之后，

那么做一条补偿预算线fg。这个fg和。无差异曲线u1相切的点c，它所对应的x1商品的消费量是多少呢？是x一二啊，我们从x一一增加到x一二。那这个增加量就是x1。二减去x一一的量，我们称之为什么替代效应啊？这个称之为替代效应。明白吗？这是属于替代效应。好，下面看第二问什么是收入效应，收入效应又是以什么不变为前提的？

收入效应是指由于一种商品价格变化而引起的。消费者的实际收入发生变动，注意这里面说的实际收入。啊，实际收入发生变动，从而导致消费者对商品需求量的改变，我们称之为价格改变的收入效应。这是收入效应啊。那么，下面看第三问什么是价格效应啊？价格效应为什么要价格效应可以分解为替代效应和收入效应？那么，其实价格效应呢？它就等于什么？价格效应，

我们说是整总效应，所谓的价格效应呢，是指价格变化对消费者购买消费者商品购买量的全部影响。那实际上呢，价格效应呢，它就等于什么？它就等于。收入效应与替代效应的和。那为什么说？这个价格效应可以分解为替代效应和收入效应，因为价格效应总效应就是商品价格，比如说x1商品的价格下降。那就是说使得x1商品的消费量从x一一对吧？从x一一然后增加到x一三那整个的这个增加量，这是x一三。

减去x一一，这是什么？这是总效应。这个总效应价格变化的总效应呢？可以，我们可以给它分解为替代效应和收益效应。啊，收入效益。好，这是第三问，第四问是说用替代效应和收入效应分析正常品的价格效应，并推导它的需求。曲线啊，这里面看一下。正常品正常品呢，

它的什么对于正常品来说，它有一个非常重要的特点就是什么，如果收入，比如说我们用I来代表收入啊，这个。对I代表数。比如说x1商品是正常商品，那么如果收入增加的时候。x1的需求量也增加，这就是正常品啊，我们这样定义的就是说呢，收入增加，它的需求量也会增加。那我们在这个地方正常品为例，大家看一下，

这就是我们高空教材里面的一个图，我们把它拿过来直接用，对吧？那你看一下这里面，这就是我们的总效应。替代效应总是和价格是反向关系的，那么x1商品的价格下降，所以呢，导致x1商品的这个需求量是增加的。而由于x1商品又是正常商品，所以随着x1商品价格下降，它的实际购买力增加就是实际收入增加，那么它对x1商品的需求量还有一个增加量，那么这个增加量就是我们说的x一三到x一二这个距离。那就是我们的收入效应。

所以两个你看两个都为正，所以导致的结果就是什么XP x1的价格下降导致的是。x1的需求量上升，所以我们最后得到的结果就是呢，正常物品的需求曲线是什么？它是向右下方倾斜的，就是我们说的。纵轴表示价格横轴表示的是x1上面的需求量的话，那么它的需求曲线是这样的啊dx 1是这个样子。好了，这道题是说完了，但是我们说呢，这个地方是以正常品做着分析的，那么你还可以，人家可以考你什么低档品？

对吧，可以看一下低档品的图会怎样啊？低档品的图大家也会画，还有一个什么啊劣等品。啊劣等品，这里面要区分一下，其实低档品呢，我们说如果是一般的低档品，它的需求曲线还是向下倾斜的。啊，它的需求曲线也是向下倾斜的，向下倾斜的啊，向下倾斜的。但是对于劣等品呢，它是怎样呢？

它是。很反常的，它是向上倾斜的。好了，这是这一道题。下面我们来看一下计算题啊，计算计算与证明题这一块呢，会讲的比较多一点啊，我们来看一下第一个啊这是。初级层面的计算题比较有典型代表的一道题，我们来看这是中南财经政法大学二零二一年的一道考题。它说已知有x和y两种商品效用函数是这个样子啊，看别看它很复杂，其实求导之后呢，就很简单。

然后收入是672。x商品的价格给你呢，是px=4，其他信息没有，然后里面有两问，第一问让你求y的需求函数。第二问，如果py=16，让我们求均衡时候x的需求量。好了，那首先你看第一问求。y的需求函数，我们说消费者对于某种商品的需求量多少，取决于什么，他要追求希望最大化为目标的啊，

得到的，所以我们这个地方要什么，要从希望最大化的角度来。求解是吧？消费者达到效应最大化的时候呢，应该是满足什么无差异曲线和预算线是相切的。就这个来说，它一般来说给的是良性的，你看这个地方，它相切的时候应该是什么？无差异曲线和预算约束线相切。那么相切的时候，我们消费者达到均衡，那应该用什么编辑技术替代率等于商品价格比应该有它，我们直接用它，

但这个题我们除了用这个之外，我们还可以用什么？拉格朗日乘数法啊，拉格朗日乘数那么这个我们就直接用什么用，我们的项目最大化的均衡条件直接来。mux比muf=px比py。mux.等于多少呢？等于50-2x是吧？mux=50-2y，然后这里面我们知道px=4py是多少不知道。我们就把它设出来，就是py就行了。这是第一个式子，然后我们还可以呢，

由预算约束线这第二个两个方程，两个未知数，我们可以把y呢给它解出来。是这个样子，当然这个你还可以再进一步化简一下啊，这个也可以再化简一下。啊，这是第一问。写成这个样子就可以了。当然，这个地方我们还可以给它化简化简一下是什么？上面是py分之五百七十二倍的py，加上四百，下面是什么？给它乘以这个。

py减去十六分之py。像这两个一约，那就等于什么？py- 16分之。572倍的py+400，一般情况下呢？这个y底y比上底py是小一点的啊，你可以验验证一下啊，它确实是这样的啊。肯定是可以验证的。这第一问，第二问是说如果py=16，让我们求x的均衡数量。这里边有两种方式来算啊，第一个我们直接把什么py=16带到，

这么带到这个式子里面啊，记为记为三式啊。代入到这个30里面，把py=16可以把x把y解出来啊y等于什么y等于？十七分之五百九十七。那得到这个之后呢？有的同学说，那我如果py知道的话，我直接带到六点零，我可以把x解出来可以，但是这样我觉得有点麻烦，那实际上我们直接什么把py知道？py知道y也知道px知道等于四，那么要求x我们可以直接带到二里面，就是这个二里面直接带到运算约束线当中可以解的x，

这样会更方便一点。x等于十七分之四百六十八啊，这个地方呢，就是你计算的时候小心一点，别算错。计算量不大，这个题还是比较中规中矩的。好，下面我们来看一下中级篇的这个计算题啊，中级篇这一块儿靠谱。看一下，这是上财二零一二年的题啊，十几年前的题，但这个题呢，我觉得是非常好的，

它考了一个是跨期消费的一个模型。就是这里面呢，提到的几种思路，其实我们在教材里面还有包括很多你做题的时候呢，我们有些是直接默认了。啊，只是说这道题呢，考的很细致，让我们把这个东西呢理解的更具体一点看一下啊。说考虑废血两栖消费模型。其实这个废学两期消费模型在我们微观里面和宏观里面都讲，因为宏观里面比如说大家学的高红学的教材，还有包括曼昆的教材啊，宏观经济学，曼昆的宏观经济学学的宏观经济学的微观基础那一块儿。

其实里面就讲到了废学的两期消费模型，或者叫跨期消费模型。说如果消费者可以用rb大于零的利率储蓄，以rs大于零的利率来借贷，并且呢，rs大于rb。这个也能理解啊，利率一般呢，为正而且呢，一般是贷款利率要大于存款利率。这个你看我们都在银行存过钱，可能是我们也有人，你父母或者你自己在银行贷过款，对吧？那你可以感受到你贷款的利率肯定高于你存款利率了。

不然银行呢，不可能做亏本生意的，对吧？好，下面看一下第四这四问啊，第一问说在消费的第一期收入大于第一期消费的情况下，预算约束是多少？第一期收入大于第一期的。消费你看第一期的消费，那假如说我们说第一期的。啊，第一期的收入是y1。第二期的收入是y2，第一期的消费是c1，第二期的消费是c2，

那么第一题第一期收入大于消费是什么？是不是y1大于什么？c1啊好了，那y1大于c1，所以它第一期的储蓄s应该是大于零的是吧？所以它问我们预算约束是多少，那我们来看一下。因为这是两期消费，所以两期的收入应该刚好分摊于两期的消费，所以应该有什么有这个，你看我们说刚说了s应该等于什么s等于？它第一期有储蓄等于y1-c一，是不是啊？这是第一期的，这是第一期的呃，

这个情况，然后我们知道了第一期消费是c1，那第二期的消费是多少呢？第二期他要把他的储蓄和他第二期的收入是不是都花完了？是为外。二加上什么？y 2+s啊，对吧？12等于多少？等于。这个地方写错了啊。它第一期的s源的。啊，本金储蓄，然后呢？

利率是多少啊？储蓄利率是rb，所以呢，它到了第二年末呢，它可以消费的数量是多少呢？一+rb×s对吧？商就等于多少啊？是不是等于y2加上？一+rb×s多少s等于它乘以什么y1-c一。好给它移项一下，是不是有呃有一+rb倍的c 1+c二等于？呃，这个一+rb倍的y 1+y二对吧？然后我们可以把这个一+rb两边同时给它乘。是吧，

给它乘一个什么呃，乘一个一加rb分之一，那就是c一加上c二比上一加rb。等于y 1+y二比上一+rb，看到没有？好写在放在上面啊，放上面。就这样了，对吧？这就是最终的这这这两个啊，你写上面这个也行，写下面这个也行，一般我们写成下面这个这个。这个啊。也就是两期的消费的现值等于两期收入的现值，

明白了吧？好，这是第一个。第二问说，此时消费者需要借呃，就是说第二期说看第二个问题，消费者第一期收入小于他第一期的消费，那也就是说呢，他的外衣。小于c1那它第一期。输入不付出，他肯定要借款，但他借的钱是不是第二期得还款呐？对不对？好了，

那你看这个怎么表示呢？那么，这个地方是什么？那么，它c1等于多少c1？是不是等于啊这个？假如说他有借款借贷，我们假如说借贷，我们记为m。啊记，为m。那么，借贷那就是m等于多少呢？是不是等于c1-y一啊？是不是因为它第一期消费大于它的收入了？

说他必须要什么借贷。好，那么第二期的消费是多少呢？第二期消费c2等于多少c2是不是等于y2减去？因为他第一第一期借了。m所以呢，它第二期呢，要从它的收入当中什么？一加注意，这是借款利率是rs对吧？看到没有？继续等等于多少呢？是不是等于y2-1+rs乘以什么？m等于多少啊？m刚才说了是c1-y一看到没有？

c1-y一我们还是给它什么？给它移项，那就是什么？c2。啊行c1×1。一+rrs啊，不是rb了啊一。一+rs倍的。多少c 1+c二等于多少？是不是等于呃这个一+rs倍的y 1+y二是吧？好了，那实际上呢？两边给它同时乘以r。rs分之一，那这是rs啊，

那就是c一加上c二比上一加rs。等于y 1+y二比上一+rs好，这个样子，这就是这个啊。那我们这个直接给了答案，你看都不知道这个怎么来的，你这从这个地方推理推导出来的。好，前两问我们知道了。再看咱们的第三问啊，第三问是说。怎么呢？让咱们画出消费者可以选择的第一期和第二期消费的组合。好了，第一期和第二期消费的组合这一个呢？

其实你要注意，它是一个分段函数的，首先你要看一下。就是说它第一期的消费可可能会小于它的。第一期的收入也可能大于第一期的收入，对吧？所以可以看出来，如果说。如果说那个第一期消费小于第一期收入的话，那么应该就是这种形式，就第一种形式，它此时有储蓄，它的预算月收现是这个样子。看到没有？是这个样子。

啊，是这个样子。如果说呢？他第一期的消费。不小于它第一期的输入的时候呢，那应该是吧，就是我们第二种情况，还有借贷啊，有借贷情况是这个样子。那么第一期你看，如果我们纵轴表示c2横轴表示c1的话，在这个地方，如果是。如果是这种情况的话呢，其实我们画一下就知道它的斜率多少呢，

它预算线的斜率是负的一+rb啊。负的一+rb，如果说它是第二种情况，它是有借代的情况呢？它的斜率是负的一+rs，而我们知道rb是小。呃，这个rs是大大于什么？大于rb大于零的，所以这个形谁更陡峭呢？显然呢，是这个更陡峭一些，所以前面是什么？这是它有。它有这个。

啊，就是前面这个什么，这是它什么，这是它有这个。有储蓄的情况下，那么第二种情况呢？这一段呢？更陡的这一段呢？是什么？是它有在第一期有？是吧，它第一期有借贷的情况，所以呢，它的折现在的而在这个地方呢，刚好在这个折点呢，

代表什么是c 1=y一。啊c 1=y一。所以这是一条折线啊，折点就为。就在这一点。这是第三问，第四问说。让你加上消费者的无差异曲线，说明三种可能的情况，三种可能情况，一是消费者有储蓄。那么，消费者邮储蓄就是第一种情况，就是说消费者呢？它第一期的收入是大于它第一期的消费的，

那它有储蓄，二是呢，消费者有借贷，那就是什么？它第一期的收入呢？小于它第一期的花费。有借贷第三种是既无储蓄也有借贷，就是第一期的消费呢，等于第一期的收入，第二期的消费等于第二期的收入是吧？好了，那我们的消费者总是理性的，所以呢，在这时候呢，要分三种情况，

第一种情况有储蓄的情况，那就是什么他第一期的消费。小于它第一期的储蓄，那这个时候呢，无差异曲线应该在。和预算约束线的第一段这个地方呢，相切。啊相切那相切这个地方呢？这个地方就是我们的c1。这是我们的c2，对吧？这是我们的c1，这是我们的c2。好吧对吧，这是c1，

这是c2。而c2是多少呢？c2是不是我们刚所说的？嗯c2实际上是等于什么？等于y2加上什么？加上一+rs倍的什么？y1-c一啊y1-c一。第二种有借代呢，就是刚好它的这一段。相切对吧？这个地方相切那这时候呢？它的c1是这个。c2所以我们可以看出来这个时候是不是c1大于y1c2小于y2了是吧啊？c2小于y2。因为刚好在折点处是什么折点处，

这是y2看到没有这个地方折点处是y2。那么，第三种情况既无既无借贷也无储蓄，那就是刚好在这一点，那就是什么？y2c 2=y 2c一=y一。好，明白了吧？好，下面我们再来看一下。这个啊，你看其实这个题呢，主要是什么这个第一道题呢，主要是考察跨区消费的关于预算线的表示啊，预算线的表示这一点。

这个知识点下面几个题呢？我主要讲的就是关于各种的计算题的考法。好，下面我们看一下第四题啊，这是中山大学二零零八年的一道考题，我们来看。说在一个竞争性的市场上，一个消费者消费两种商品，它的效用函数和面临的预算约束线。看一下啊，它的这个效应函数是这个样子。其实这个向量函数，它的等价形式是什么呢？你看一下。它的等价形式是这个样子，

是ln x1的。二分之三x二，对吧？好了，你看这个地方，我们来看一下啊，其实这个地方它等价于什么，它等价于我们的效用函数是这个样子的。它等价于我们效应函数是这个样子啊，是等于x一的二分之三次方x二的一次方对吧？祝我们的顾客圆满成功，下午好。你看一下啊，这个地方可以看出来。可以看出来啊，

这个地方它其实就是我们的什么，就是我们的CD函数，就是我们科布道格拉斯向量函数，看到没有？对吧，所以我说到这里面，你就可以看出来，我们实际上可以用可导函数的性质呢来求它的需求函数的。对吧，好了，当然你也可以，你看不出来这一点没有关系，我们直接用什么，我们可以用什么用，我们效用最大化的均衡条件。

mux比上muy=px比py来做，也可以用什么拉格朗日乘数。来做，但是人家说这个地方有两问，第一问是让我们求消费者的最优需求假定他是一个效应最大化的消费者，然后第二问让你解释。第一题中用到了拉格朗日层次，所以这个地方呢，其实它要求我们用的什么？要求我们用这个拉格朗日乘数法来求解的，因为这个要解释拉姆达的经济学含义好看一下啊。这个目标函数我们写出来是这个最大化它，然后约束条件就是预算约束啊，这里面我们其实这个预算约束已经给你了，这个地方其实我们可以看出来px 1就等于三。

tx 2就等于四是吧？对不对好？然后我们看构造拉格朗日乘数这个，这个就没有什么可说的了，然后最大化的一些条件，然后求解求解得出这个样子。x一等于二十，x二等于十，拉布达等于四十分之一，其实呢，如果说你可以验算一下，因为我们说我们。我们说呢，这个函数呢？向量函数呢？

它是等价于这个可导函数，然后呢？这里面相当于阿尔法等于多少啊？阿尔法等于阿尔法就说就说我们说。可导函数的一般形式是什么呢？我们来看一下。u.x1。x 2=x一的阿尔法次方乘以x2的贝塔次方，我们知道它向最大化的时候，我们可以得到x1就是个。通过构造拉格朗日乘数呢？求解可以得到x1等于什么？等于阿尔法加贝塔分之阿尔法乘以。I比px 1。

x2等于什么？贝塔比上阿尔法加贝塔乘以I比上px 2。看到没有？那我们可以看一下，带带进去啊，这里面的阿尔法等于多少阿尔法就等于二分之三，贝塔就等于一，所以阿尔法加贝塔等于多少阿尔法加贝塔就等于二分之五。对吧，二分之五，所以这个地方是什么？二分之三分之二分之二分之三比上二分之五乘以？100比上px等于多少？那px=3等于多少呢？这个。

就等于五分之三乘以三分之一百等于多少等于二十。然后下面这个等于多少呢？是不是贝塔等于一比上二分之五乘以一百比上四？上去等于什么？等于五分之二乘以四分之一百。等于多少等于十啊，等于十看跟这个是不是一样的，我们是不是可以？验证一下，对吧？好了，下面我们看第二问说让我们。解释这个拉莫拉的经济学含义。这个拉姆达呢，实际上就是叫做影子价格啊，

影子价格它的值等于什么？它等于拉姆达等于什么MU比p？就拉姆达呢，它在这个例题里面就是mux 1比上px 1=MU。x2比上px 2，实际上它就是什么？也就是说这个lamer它等它是什么？它是我们把拉姆达呢定义为什么叫货币的边际效用啊，货币的边际效用。货币的边际效应是个常数，其实这个地方呢，达到效应最大化来均衡的时候应该有这个式子成立，就是等边际法则，我们也把它叫做什么，这个地方也叫做等边际法则。

就是说你达到效应最大化的时候，应该是满足什么条件呢？就是说要满足这样的一个条件，就是你购买两种商品或者多种商品。直到你最后一块钱，无论是用来购买哪种商品，它给你带来的边际效用的都相等的，这一点为止。而这个拉姆朗就是什么？就是你增加一单位的货币所增加的效用。啊，就这样解释就行了。好，这是我们说的第四题。这个题还是比较简单的啊好，

下面我们来看一下。上财的啊啊，说到这里面呢。呃，说这里啊，我要讲第八题的时候，这是第八题啊，讲第八题的，我说一下啊，就咱们的向海人数，你看高宏业的教材还是包括你说尼克尔森的教材？啊，当然。呃，这个范里安的教材介绍的效用函数更多，

其实我们更多的是主要是几种形式的效用函数的。包括我们后面讲的生产函数这一块儿，其中有三种，第一种我们常见的是CD函数，对吧？CD函数这是第一个就是客套函数。第二种是什么完全？互补的效用函数。完全互补的就是这个效用函数是这样的ux y等于。max和by是这个样子是吧？第三个是什么？完全替代的。ux y.等于什么？ax+by的形式，

这个地方可导函数就是ux y。等于什么x的阿尔法次方乘以y的贝塔次方这个样子看到没有？就主要就这三种可能，大家遇到更多的是。第一种这种比较简单。但是呢，但是我告诉你，有时候呢，考试呢，尤其是一些像央财。包括人大。啊，北大软微啊，包括还有上财，特别喜欢考的是什么呢？

杂揉到一起来考啊，这几年要明显的有这种趋势，就是它给的效用函数呢。它既是完全替代的，里面也有包括了互补性的，就是一个复合，它是这里面的什么，它喜欢把一个效用函数呢复合起来。然后看上去很复杂，对吧？其实更多的是考察你的分析能力，你比如这个我们。二零一七年上才考的这个题，你看这个。我们一般向往函数是两个商品，

这个地方的三种商品，其实最后画出来还是两种商品，明白吗？这是他让你多思考一下。看一下这道题。但是呢，很多同学你要想做这类似的题，哪一个？你们讲的多呢，一般来说呃，有一本儿习题册叫中根源的中级微观经济学习题指南啊，这里面有很多这种题，这种题呢，像上财呀，央财呀。

哎，包括我说的这个北大软微啊，人大呀，这几年经常考的上考的题呢，其实你们可以找到影子的。我们来看一下啊，你看它这个效应函数是这个样子，然后呢，它说该消费者收入是200。收入知道的，然后呢三种商品的价格p1=1p2=2p3=3。好了，下面有三问，我们先别看这个，我们先看回来看这个效应函数，

你看一下啊，你看这里面根号下这两个商品x2和x3它。他们俩是什么？它们俩是不是互？完全期待的呀。啊，他们俩就是完全替代了。他们俩是完全期待的，所以x2和x3既然是完全期待的，那就哪一种商品便宜我们用哪种商品，我们买哪种商品。哪种商品贵，我们就不消费哪种商品对不对好了，所以这个时候。你想到这一点，

你就可以把这个式子给简化起来，因为这个里面p2=2p3=3，所以第三种商品价格比第二种商品的价格呢要贵，而且这两种商品是完全替代的，所以理性的消费者。应该不会消费x3，而是消费x2，所以x3=0，明白了吗？好了，有了这样的一个分析，我们可以知道呢，其实效应函数就大大的简化了，它就变成什么x1，加上两倍的根号x2了。

那你看，虽然是三种商品，其实最后我们画出来它是什么？只在两种商品进行生产，这个选择，那么这个时候呢，我们再根据效用最大化的。情况来求解就行了，好后面看第一问。因为我刚才分析了，由于x2x3是相互替代的产品，由于第三种商品的价格呢，第三种商品的价格呢大于。第二种商品价格，所以呢，

第三种商品的需求量为零，此时呢，目标函数就大大的简化了，就画成这个样子了看。所以呢，我们可以得到消费者的目标函数是怎样的呢？消费者的目标函数这个看到没有？是这个。约束条件就是x1加上。px 1，pex 1，那就是。还是x 1+t 2x2t二=2，所以呢，这个地方等于它在构造拉格朗日乘数啊，

但是你可以实际上呢，可以判断这个效用函数是不是良态偏好的，我们可以用什么？这个这是判断呢，这个函数是否具有拟凹性的一个什么式子啊？这个呢？在在哪讲的呢？这个式子呢？是在尼克尔森的教材里面讲到了。对吧，然后我们构造拉格朗日乘数求解出来，得到x1等于。一百九十九点五x二等于四分之一。好了x1x2知道了，然后我们可以呢得到消费者达到自由选择的时候呢，

它的效用是多少呢？它的效用是二百零二百点五啊，二百点五。好，下面我们来看一下。第二位，然后我们固定价格p1=1p2=2p3=3，对于任意收入y求出商品二和商品三的最优需求量啊，最优需求。对任意收入，上面是y是等于200，现在的y是什么任意的？其实这个跟第一问有什么区别吗？本质上没有区别。就是呢，

任意的y这个地方只是说预算约束线呢，这个地方y就不是200了，是任意的，而这个地方依然还是它，为什么呢？因为给了它之后。你看xx 3的价格依然还是比x2的价格高，所以一定不会消费x3还是一样的，目标函数还是这个啊，目标函数还是它？那构造拉格朗日乘数最后算出来x一等于y减二分之一x二等于什么四分之一，这里面要注意了，这地方要分情况。讨论一下，如果y一小于二分之一的话y一小于二分之一的话呢？

此时因为我们说x。I一定是大于等于零的，不可能小于零，所以如果y小于二分之一的时候呢，那么消费者不会消费x一商品x一商品消费量为零。x二商品消费量就等于什么二分之y？啊，二分之y。这怎么来的通它来的对吧？但是如果当y大于等于二分之一的时候呢？x一就等于y减二分之一？x二就等于什么四分之一？其实这就是我们所说的什么叫拟线性偏好，对吧？这是拟线性商品。

好，再看第三问说，我们再固定y=200 p2=2p3=3，并且假设呢？p1小于二时。将商品一的最优需求写成关于商品一的价格的函数啊，这个地方就是说我们假设什么p1的价格不知道，只知道什么？p2和p3的价格，你看p2和p3，因为x2和x3依然是完全替代的，而且p3还是大于p2，所以呢，最后的。这个效用函数还是一样可以化简为这个样子。

是吧，化简成常。然后预算约束线呢，是它对吧？好了，还是构造拉格朗日乘数，我们算出来x1是它x2是后面这个。现在我们要讨论了，由于p1是小于20的p1，小于20那p1，小于20，其实这个地方。这个地方一定是大于零的，所以x1的消费量一定是什么为正的，对吧？

为正的，所以x1就等于什么这个x2呢？就等于。它那么最后呢？x3你可以写一下啊，其实x3要写一下x3=0啊。这个地方也是一样啊，这个dn比如说这个这个地方也是一样x3=0。这个地方也是x3=0。好这个题呢，希望引起大家的注意啊。这三种函数呢？其实都是。都是什么呢？它都要满足。

边际替代力，它是递减的，至少是不变的，但是呢，还有一些反常现象，我们有些学校呢，也喜欢考这种。你像人大二零一一零年就考过，而且其他学校也考过类似的，看一下啊。这个也是尼克尔森课后习题的一个改编题，咱们看一下。嗯。市场上黄瓜的价格是px=3元，西红柿的价格是py=4元。

然后张三的收入是50元，而它的效用函数是这个样子。你看我们说一般向量函数是凸向原点的，这个向量函数等于什么呢？这个是相当于ux y等于什么？等于根号下x平方，加上y平方，其实它等价于什么呢？等价于vx y等。等于x平方加上y平方。那你看一下它这个是什么样子啊？我们我可以画一下，其实下面有啊，这边画一下，你看它是不是半圆呐？

这个地方大于等于零，实际上就是。它就是圆，你看它是它是什么？它是它不是凸向圆点了，它是凹向圆点了，看到没有这个。这个无差异曲线，它是凹向原点的。啊凹向原点。呃，反常了啊，反常。所以这个时候我们能不能用？用这个编辑器mux比muy=PS比py来求解呢，

不能的为什么呢？你看它预算延伸线是这个样子，然后目标函数是它。然后mux等于它，muy等于它。编辑替代率，你看这个编辑替代率x对y的编辑替代率是iy分之x，你会发现呢？x随着x增加呢，它的编辑替代力是？上升的它不满足编辑技术替代，编辑替代率是吗？递减。所以呢？在不满足编辑替代率递减的时候，

就不能够根据这个均衡条件来去求解信用最大化的组合了。对吧，所以呢，此时呢，它必然存在角，点解就是它的它的这个效应最大化点，不是在这个什么无差曲线的内部曲。就是什么无差曲线的端点，中间的这一块取的，而是在什么端点处取的，你看。你看它的端点有两个，你看我们通过运算约束线，我们可以知道。当x等于零的时候y等于二分之二十五。

当y等于零时x等于三分之五时，就这两个。对吧，只从它端点处，但是这两个端点明显的三分之五时是大于二分之二十五的。所以呢，他一定是在哪一点消费啊？应该是在。在三分之五十的地方消费，也就是说y为零x等于多少呢？x等于。三分之五十。它的最大效率也是三分之五十。好，下面我们来看一下第二问说。

让我们做出张三的无差异曲线和预算线的图，无差异曲线预算线分析张三的最优消费组合，与一相比，说明有何区别，并说明理由，你看啊。张三的无差异曲线是怎样的？无差异曲线是这样的，一圈圈的这个。半圆对吧？这样的样子，然后预算页数线呢，要和它相切，注意这个相切这个b点不是效果最大化的点，而且恰恰是什么？

在现有的在它现有的这个预算约束条件下呢，它的消费的最小点啊，不是最大点。它最大点是什么？一定是在端点处取的，就是在要么在。啊，横轴上取得，要么在什么预算线的纵轴上取得，显然这个地方呢？主要是什么？横轴上的这个这个这个什么截距呢？要大一些，所以呢，它应该在这个地方。

所以张三呢，他的向量最大化的点一定是在什么横轴上，这个点就是。由于算约束线所限制的这个地方表示的什么三分之五十这个点啊，三分之五十零就是a点呢取得。这是它相似的话的点。那我们这个分析呢，和我们前面的这个第一问的分析呢是一样的。好，下面我们再来看一个。看啊，人大一三年的一道题，这个题呢，实际上它也是尼克尔森课后习题的一个改编题，这个题呢，

它的。呃，特点在于什么呢？就是第一个啊，让我们这是中规中矩的一个。甚至可以说是呢，这个高级宏观经济学里面的高级微观经济学里面的一题目了啊，你要第一个判断，你要第二个是什么？求马歇尔需求函数，我们平时所求的这个根据效用最大化呢？所求得的这个效用这个需求函数呢？就是我们的马歇尔需求函数啊，马歇尔需求函数。第三个呢？

我们计算。间接效用函数和支出函数。间接效用函数和支出函数呢？它们是互为。啊，互为反函数的啊，互为反函数，所以你知道其中一个就可以算出另一个。看一下它给的效用函数是这个样子。然后第一问问此效应函数是不是你要的，所谓你要的就是呢，它是不是一个良态偏好的效用函数是否满足编辑替代率递减？好看一下。我们来看一下啊，这个地方呢，

其实要用到这个式子啊，这个式子判断尼欧的式，只要这个式子小于零，那么它就是什么？它就是尼欧的。那我们看一下这个uxyuxy=u=xy+y那么fxfxx=0 fx y=fy。等于x+1 fyy=0，那么把它带到这个式子里面验证一下，这个可能当年的一三年考的时候呢，因为人大是从一三年呢，一三年和一三年之前它是一道分水岭。从一三年的时候呢，微观的整体难度加大了。啊，整体难度加大。

而且呢，这个地方这个知识点呢，目前来说在考研的用的教材里面只有尼克尔森的教材呢，讲到了这个知识点，所以当时如果复习的扎实同学呢，肯定是这个题呢，做的很好。复习的不扎实的同学，这个地方呢就嗯，就比较这个了啊，这是我们要注意的。而是第一问，第二问要求马歇尔需求函数，那就是什么？就是根据希望最大化。

对吧，然后构造可以构造拉格朗日乘数也可以用什么，因为它是一个良性偏好的效用函数，所以我们直接什么用效用最大化的均衡条件就可以求解。那代入呢？可以得到。这就是马歇尔需求函数。好了，那么什么是间接向量函数呢？其实我们这里面的这个函数呢？就是什么？这就是直接向量函数，我们可以称为直接向量函数。它是什么效应？表示成消费的商品的函数，

如果把效应表示成商品的价格和消费者的收入的一个情况下，就是间接效应函数，就我们直接把马歇尔需求函数带到。原来的效用函数当中就可以得到呢，这个地方的间接效用函数。而间接效应函数呢？和支出函数呢？又是互为反函数的，所以我们从中把这个I呢解出来这个I。这是收入，也是支出，所以呢，得到这一个支出函数就等于它。啊，就可以了。

好，下面我们来看一下第15题。你看这个地方，这就考察的是完全互补的效用函数，给了这样的一个效用函数是这个样子，那么知道它效用最大化的时候呢，应该满足什么ax 1等于什么？EX 2的对吧？其中m为收入商品一和商品二的价格分别是p1和p2，这里面有三问，第一问求出该消费者的最优选择，那第一问根据这个就可以求解啊，结合什么？结合预算约束线。第二问说，

如果对商品一征收存量税。注意征收存量税，那么商品一的价格就变成什么由p1加变成什么p 1+t了啊，让我们用图分析，由此产生的替代效应和收入效应是多少？注意，这是一个非常特殊的一个函数，它的替代效应和输入效应。第三问，如果政府采用收入所得税的形式，不是采用从量税，而是收入所得税的方式得到上面的税收收入。那么，以征收重量税相比，该消费者的境况是变好了，

变差了还是没有变化？请给出理由。啊，有的同学呢呃，可能是比如说在心态良好的效用函数的情况下，那么一般来说征收所得税呢，对消费者是有利的，因为他没有进行税收扭曲。对吧，但是这个地方给出的是什么完全互补的向量函数，有的同学如果不注意也认为呢是改善了，那你就错了，因为。你要注意这个效用函数，它是完全互补的，

它不存在税收扭曲的问题。明白吗？所以呢，无论是征收存量税额还是所得税，但是只要税收收入是相同的情况下呢？它并不会对消费者产生不利影响。就这个题呢，这样考的，你看这个我觉得呢，尤其是这种。特殊的特例的情况。大家呢也？大家应该注意，这个是现在很多学校喜欢考的，因为呢，

常规的情况，教材里面都给你讲了，明明白白的，那再考你呢，挖掘不出你的这个思维。所以考一些你平时呢没有注意到的教材，没有认真讲过的。啊，这种情况呢，才能反映啊，才能够体现了你们的思维差异啊，这是很多学校喜欢这么考，你像人大呢？一一零年啊，零八年那道题啊。

是一零年吧啊，一零年这道题呢，也就是这样子。好了，我们看第一问啊。利润效用最大化的时候应该有ax 1=bx二目，这个预算约束线呢？是它，然后我们去可以把它解出来。截出来就行了。第二问，对商品一征收从量税，那么征收从量税以后，大家看一下那么商品一的价格就从p变为什么p 1+t了？对吧，

那这时候预算线会发会发生变化呢？预算线肯定会发生变化，因为假如说。假如说啊，这是原来的预算约束线。那这原来的预算约束线。那么x2商品的价格p2是没有变的，对吧？p1呢？变成了p 1+t，那它购买的商品一的数量减少了，所以它的预算线变成什么？变成下面这一个，它的无差异曲线都是怎样的呢？它的无差异曲线呢？

都是这个样子。对吧，而且呢。都这个样子。它的顶点呢？都在这个地方。对吧，所以呢，它的最优消费点就会从什么假如说这个地方我们记为e点，它就变到了ee撇儿点啊e1撇儿点就变成这个顶点了。看到没有，是这样的。其实你会发现呢，新的预算线上注意啊，在新的预算线上，

在这条预算线上看，我用蓝色的这个深蓝色的标出来了。新预算线上的最优选择与原预算线上最优选择两种商品的消费比例，它是完全没有。变化了，因为我们这叫什么固定投入固定替代啊，这个完全互补的啊，完全互补的，所以它的什么它的比例完全是什么样的，因为它都在这个什么，它都在这条线上，那个纵轴跟横轴的。比例都是什么常数？看到没有都常数，所以它只要在这个顶点上，

它比例没有变，比例完全相同，这就意味着什么？没有扭曲，所以替代效应为零。那么，替代效率零，所有的都是什么价格的总效？你就等于什么？就是总的价格效应，总价格效应。就等于什么？就等于收入效应。啊。总价格效应就等于收入效应好，

明白了吧？再看第三问说，如果政府采用收入所得税看采用收入所得税，要得到二中所说的什么税收收入，就说我们不再采用存量税，我们采用收入所得税。那么说，以征收从量税相比，该消费的境况是变好变坏还是没有变化？注意啊，它跟谁比啊？以征收从量税，你看征收从量税之后呢？和我们来看一下啊，这个地方你看，

如果我们让你对比，你得把两种情况都要放在一个地方。一起看。所以我们首先看一下，如果政府采用收入税的情况，它所得得到上面所说的税收收入，那么以比例。第一，同样数据相比呢，没有变化，为啥呢？因为我们来看一下，假如说啊。征收存量税后，消费者的最优消费是什么？

a1 xa 1，ax 1=bx二是吧？而且呢，是p 1+t×x一+p 2x二=m，那么这时候。我们把它解出来x1和x2，我们看解出来是这个，那我们来看一下，我们这时候呃，这个收入税之后。这两种商品的消费有没有变化？如果没有变化，它就是没有影响，如果有变化，那就是有影响，

对吧？假如说政府的税收收入呢？是t。税率是t小t，然后啊，这不是税率啊，是比例税，然后呢x1。tx 1等于多少呢？就拿这个相乘等，这是我们的税收。好了，你看如果政府采取所征收所得税的方式，那么消费者的收入就会减少t，那么。

这时候呢，它原来的收入是m，它现在的收入就变成了m-t。m-tm减去上面这个东西就变成下面这一个。啊，然后我们把x一一撇儿和x二一撇儿算出来，那这个算算出来，你会发现呢？这个还是等于x1这个还是等于x2也就是说呢？就没有没有没有变化，两个都一样的是吧？可以看出来，由于完全互补品来说呢，不论政府采取什么样的，这样的一个。

征税方式对消费者的影响都是一样的。你看这些题考的都是吧？都有自己的特点啊，这些具有代表性的，这些啊考察。特例的题目，大家一定要注意。好，下面我们看一下人大一八年考了这个这个题呢，其实呢？第一问呢？其实这个效用最大化的求解马歇尔需求函数的求解都是处于常规的，但是这个地方考察了香蕉和苹果的总替代还是总互补这个知识点是在。尼克尔森的教材里面啊，总期待和总互补。

考察这个知识点，那么以它相对应的，还有一个近替代和近互补，对吧？你考人大考北大软微等等，这些学校的。同学，你得注意这个知识点啊，第二问计算间接效用函数和支出函数，你看这个第二问呢也比较。常规了，那么上面一道人大的题，它已经考察了间接效用函数和支出函数就是这个，你只要知道了什么，你把马歇尔需求函数求解出来，

那你可以得到间接效用函数，然后呢，从间接效用函数反解出支出。I就可以得到支出函数，因为间接效用函数和支出函数是互为反函数的，这也比较简单，第三问是。这个比较新一点就是什么？它让我们验证四的四级方程。好，我们看第一问这个要求需要最大化，那就是目标函数。对吧，你看这个地方和xy+y好像跟上面那一道题，你看。

人到一三年，这个完全是一样的啊，算了，函数给了一样，只是说人考的什么知识点呢，有了翻新啊，翻新了。格子拉格朗日乘数，然后向最大化的一阶条件得到马歇尔需求函数是这个样子啊，马歇尔需求函数知道了，我们把马歇尔需求函数呢带入到。效用函数当中可以得到间接效用函数是这个样子，这个你看人大这个题呢，其实有时候啊，它考的好像是。

知识点大家都知道，但是它计算量是有点大的啊，这个地方呢，你要注意计算量，它是抽象计算。计算啊，其实计算呢，也是一种能力啊，有人说这个数学嘛。只要我懂了就行了，其实你懂了，你要会算出来，你算不出来，那也是你说一个积分，你知道你怎么算，

但是你就算不出来，那也是你数学能力不行的体现了啊，不要说嗯，这个考计算没有意义。不是这样的，好看一下，根据项之间的关系，我们可以得到这个间接效偶函数和支出函数是互为反函数的，我们可以把它。我们可以把这个支出函数给它算出来，等于下面这个。然后然后让我们计算香蕉和苹果是总替代还是总互补啊？香蕉，苹果，香蕉和苹果，

香蕉和苹果是总替代还是总互补嘛？我们说。如果一种商品的价格。与另一种商品的需求量之间是正相关的，那么这就是什么？它们就是总替代的关系。如果相反的呢，就是总互补的关系。那我们来看一下香蕉和苹果。那就什么y？y是香蕉嘛？x是苹果。香蕉是苹果的总替代还是总互补呢？那就是拿什么苹果对香蕉的价格啊？苹果的需求量对香蕉的价格呢？

求偏导最后发现等于二py分之一，它肯定是大于零的，所以呢？它俩是什么？它们是总替代的关系啊，总替代。第三个让我们是吧？这个地方让我们验证斯勒斯基方程，那么所谓验证斯勒斯基方程呢？斯勒斯基方程就是这个式子啊。就是这个式子。哪个式子呢？就是我们要验证它是否成立。啊，然后这里面第二项也就是等式，

后面的第一项呢？它是指的是x的西格斯。需求对py求偏导。我们由二可以得到呢x的希克斯需求函数啊，有第二问这个地方我们可以得到x的希克斯需求函数，希克斯需求函数可以从支出函数当中得到得到呢x呢等于i-px。比上2 px。所以这个地方拿x对py求导，它跟y没有关系，所以呢，这一项为零。对象为零。所以一定有什么。一定有它成立啊，有它成立。

因此，我们可以看出来，总替代或者总互补呢，它不具有对称性。就是说x=y可能是总替代的关系，但是y对x呢？不一定是总替代的关系，明白吧啊，这是这一道题。常规的情况下呢，也就是这些啊，你看这计算量有点儿大啊，其他的都还好，然后我们再来看一个题，这个是什么？

我选的是零八年央财的一道，这个考的是显示性偏好强，公理其实关于显示性偏好公理啊。这个地方有有些学校还非常喜欢考，比如说像。啊，我们说的。上海财经大学。中央财经大学。他特别喜欢考这种。看一下这个地方呢，是一道显示性偏好强公理的题目的验证，看一下。这里面给了三组商品，三组价格让我们看一下消费者这三种购买行为是否。

显示的显示性偏好强度的一致的一个结论啊，看一下当价格为p1p2等于三三的时候，消费者的需求是。x1x2等于七四，当价格为p1p2等于四二的时候，消费者的消费量是六六。当价格是p1p2=500000000的时候呢，消费者需求是七三。好了啊，我们看。那我们可以呢，这个地方首先要说一下什么是显示性偏好强公理，根据你这个。嗯，泛联的教材定义所谓的显示性偏好，

强公理指的是如果x1x2被直接或间接显示偏好于y1y2。并且呢，x1x2与y1y2是不同的，两个商品组合，那么反过来呢，就y1y2就不可能是。被直接或间接显示性偏好于x1x2，也就是说说白了，比如说两两组商品A组商品b组商品。如果在消费者都能买得起的情况下，消费者呢，选择了a商品。那说明消费者呢？就是什么？偏好a商品组合，

但在。你如果这种条件成立的话，那就是在任何情况下都不可能会出现呢。b商品组合呢要。偏好于a商品组合，如果在某些情况下，它确实选择了b商品组合，那一定不是说他喜欢更喜欢b商品组合，而是因为他什么？它一定是支付不起a商品组合才会无奈的去选择b商品组合了。在如果说他已经能够买得起a商品组合的情况下，他还选择b，那就是他是违背了以前的选择，那就是什么？违背了显示性偏好公理。

啊，就这意思。好，下面我们来看一下这个一般来说呢，可以采用列表法呢来解这种题，你看。这里面有三组价格。p1p2=33。p1片儿等于四二和p1片儿等于五一有三组商商品数三三七四和七三好，我们左这一个。这边呢，左边我们是什么？我们说价格数上面是消费数。这个第一组价格就是什么？就是三三的价格情况下，

那么第一组商品数是多少呢？来看一下。在价格为p1p2等于三三的时候，消费者消费的是呃需求是什么？x1x2那么它的什么整个的支出是多少呢？是不是三×7+3乘以？四是吧，21+12等于多少等于33啊33？如果在这样的价格下，他购买第二组商品数，他花费多少呢？第二组商品数是六六三六十八三六十八等于多少等于36啊？是这个。然后呢？如果用三三的价格购买第三组商品呢？

它的消费数是多少呢？是说三七二十一加上三三得九等于多少？等于30。哎，同样的啊，第二组第三组是一样的啊，算出来你看我们这地方，我们可以看出来你看。消费者在价格x1x2的价格分别为p1p2的时候呢？等于三三的时候呢，他购买第一组商品组合，他需要花33块钱购买第二组商品组合，花36块钱。花呃，如果买第三组商品呢？

只需要花30块钱，但是消费者看到没有？消费者在能够也就说，如果他只有33块钱，他是不是可以购买得起？第一个商品组合也购买了起，第三个商品组合对吧？但是此时你看到没有？看到此时消费者呢？他却是选择了花费更多的第一种商品主。而没有购买呢，更便宜的第三组商品组合说明呢，在这个价格条件下。消费者更偏好谁啊？更偏好。

商品一就是商品一组合，偏好于商品三组合，对吧？我们把这个星号呢代表的是呢，在当前价格下，消费者所选择的消费数。而这个三角形呢，表示消费者在当前的收入条件下呢，可以选择的消费数，但是他没有选择的消费数，也就说呢，是这个商品组合呢，偏好于这个商品组合。下面也一样，你看在第二组价格条件下呢，

消费者选择是第二组商品，他的花费是36，但是呢，第三组商品呢？是34。花费只要34，说明呢，消费者呢，对第二种商品的消费数就第二个消费数呢，要偏好于第三个消费数。但是在第三组价格下。在第三组商品价格下呢，他购买第一个商品数呢，花费39购买第二个商品数呢，花费36花费嗯，

如果购买第三个商品数呢，花费38。而实际上呢，他确实花了38买了第三个商品数，也就是说他能够消费得起商品数二，但是他没有选择商品数二，他选择商品数二，就他能买得起商品数二的时候呢，此时他。并没有买商品二。而是买了什么消费数三。那你看这个什么二和三是不是就？就违背了，因为根据第二个是这个情况，我们看到消消费者的。

是更偏好于消费数二的，但是在第三组价格条件下，消费者呢，能够买得起商品二却没有选择商品二，而选择商品三就说明什么？在第三种架构下，他又喜欢什么更偏好商品三那你就和这个什么显示性偏好呢？违背了啊，违背了就是违背了显示性偏好强功率。其实这里面说白了，就是你要判断，如果消费者是一个理性的，他确实偏好某种商品，那么他在任何可以。选择的情况下。

它都应该有选择上的一个什么前后的一致性。对吧，但是你看这个地方的二和三呢，就显然呢，它没有。没有满足这个什么选择的前后一致性。啊，就这样了。好，这是我们说的，这是显示性偏好，强功率其实显示性偏好，弱功呢，判断跟这个类似啊，大家要注意啊。

这个我就讲这么一道题。下面我们再来看啊。啊，我们再我们再讲一道题啊，最后一道题这道题呢，难度有点儿大啊，其实也还好啊，其实这个题呢，和我们上面讲的。上海财经大学有一道题呢，其实很类似，只是说呢，上海财经大学那个地方完全考的是互补的这个题呢，它把。啊CD函数是科布道格拉斯向望函数呢和什么？

和这个。啊，我们说的这个完全互补的效果呢？又和。混合在一起来考，这还是个函数的一个复合啊，函数的复合。这种题呢，应该说还是比较新的，一般我们平时呢见的比较少，这里面计算量稍微有点儿大啊。他说给定这个向量函数和xyz的价格分别是px pipz，让我们求间接向量函数，那你看我们要求间接向量函数，首先我们要求马歇尔需求函数。

由马歇尔屈曲函数代入到原向函数当中，就可以得到间接向函数。这个我又没记错，应该是二三年北大转会的第一道。计算题啊，第一道计算题。看一下啊。那么看看一下它的效应函数是这个样子。因此，我们可以知道呢y和z是什么两种商品的消费，是按照什么，你看他们按照一比一的比例来，什么搭配使用的，他们是完全互补的y和z什么。yz是完全。

互补的。商品啊，完全互补的商品。那我们可以呢？它完全互补的，我们可以设呢，这个搭配消费的yz呢，构成一种复合商品，我们用用w来omega来表示。也就说，它的数量上在数量上呢，应该有什么关系呢？就说欧米伽呢，应该等于什么等于y=z。但在价格上要表示什么？

因为欧米伽是一个复合商品，它是两种商品组合形成的，所以呢，一单位的欧米伽呢，就等于什么？它呢的价格呢？单价就等于py+pz，这一点很重要。好了，做了这样的一个。代换之后，我们实际上呢，原向量函数你看到它就变成一个什么？科布道格拉斯向量函数了，看到没有？

其实你看这里面呢，更多的体现的是什么思想啊，你的处理问题的能力。那这就是。呃，名校和一般院校的考察的一个差别，一般院校其实说实话，就说你把很多常规性的题目做做到位了，然后你计算不出错。那你就可以呢，考个非常不错的成绩，对吧？但是像名校的话呢，它确实是考上你的思维。啊，

他的思维的考察呢，就比较深入一点，这个地方呢，平时你都没见过的，叫你自己在考场上能去挖掘这个东西。而且它这道题呢，是软位的第一道题，那就后面还有比这些思维要求更高的题目在里面啊。看一下，从而消费者的最优化问题是什么呢？就变成这个样子了，然后呢？假如说他的收入是I。啊，这个就是科布道格拉斯效用函数嘛，

然后我们得到呢。这个其实这一步呢，你看呢？我们说呢，就可以用什么就可以用CD函数的性质来得到了啊性质。可以得到，那么因此呢？算了，最后得到什么呢？得到的是欧米伽等于y，等于z就等于多少啊？等于一减阿尔法乘以I比p欧米伽。也等于一减阿尔法乘以什么I比py+pz。对吧，原因什么？

这是因为呢？欧米伽等于什么？xy当于最小值，希望最大化有什么？欧米伽等于y=z。并且呢，预算约束要满足这个事情。所以将上述结果x等于阿尔法乘以I比px y=z等于它呢？把它带入了原来的这个向函数当中。那我们可以得到间接性函数，你看这是最后一步啊，这个地方呢，算要注意了啊，你看有有点复杂了，有时候考场上大家一紧张时间上的原因，

所以大家可能会出现各种各样的错误。你把它带进去。啊，带进去。然后呢后算出结果是后面这个。好了，那么这是？这是我们说的，这是软微的二二三年这道题啊。大家回头呢，就说尤其是像人大呀，还有包括其他的学校的同学呢，人大或者是。比如说上财的同学，你也可以做一下对吧？

尤其考软微啊，或者考汇丰的同学，你也可以好好把这个题呢，也可以做一下这个，其实对你们来说都是属于。可能会遇到的题目。类似的难度。好了，那我们第二章的内容呢？我们就讲到这里。

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