09.曼昆《宏观经济学》课后重点题选讲第九章

罗泽兵 · 发表于 2024-4-10 16:57:13

好，我们看一下第九章经济增长，技术经验和政策这一章。这章我们选几个题来看一下啊，首先来看一下这个应用的问题，应用的第三题。看一下，他说在美国GDP中资本的份额大约占30%啊，资本的。份额呢，大约占30%，然后呢，那剩下的是不是就是劳动的份额了啊？劳动的份额。资本份额是30%，

那么劳动份额呢？占到70%产出的平均增长率为每年呢？3%也就是人均产出增长率，也可以看人均产出增长率，也就是每年的啊，产出的增长率是3%。它这个应该指的是什么？指的是总产出的增长量3%，然后呢，折旧率是每年4%。折旧率是4%，资本产出比例是二点五啊，资本产出比等于二点五。比如说我们的资本存量呢，是我们的人均是我们总产量的什么二点五倍？

假定呢，生产函数是科布道格拉斯生产函数，并且呢，美国已经处于稳定状态。好了，现在他问你第一问说在这个。初始状态那么储蓄率必须是多少啊？储蓄率是多少？其实使用稳定的条件啊。人均储蓄达到稳定状态，人均储蓄呢？等于什么？等于资本的广化，这个是有技术进步的情况，那么b是说在初始状态下，

资本的边际产量是多少啊？要算资本的边际产量。第三问是说假定公共政策改变了储蓄率，那就是储蓄的变化了，从而使得经济达到一个资本的黄金率水平。注意这里面提到一个概念，叫黄金率水平。什么是黄金率？资本的黄金率是指这样的一个状态。首先，它是一个稳定状态，那么资本的黄金率水平就是使得人均消费达到最大的。稳态人均资本存量水平。啊，首先我们说它是一个稳定状态，

并且呢，在这个稳定状态下呢，它可以使我们的人均消费呢，那达到是最大的一个情况。在黄金率稳态资本的边际产量将是多少？然后让你比较黄金率，稳态资本的边际产量和初始的稳态资本产量水平，并做解释。第四问是说，在黄金率稳定状态下，资本产出比例是多少？提示啊，是对科布道格拉斯生产函数来说，资本产出比例与资本的边际产量呢？是相关的。

最后一问是说要达到黄金率的稳定状态，储蓄率必须是多少啊？储蓄率。那我们来看一下啊。这里面。首先第一个你看它给没有给你这个具体的科布道格拉斯生产函数，实际上我们可以写出来y等于什么啊？f kl它实际上是资本的产量是百分之。30%呢，就是k的零点三l的零点七。可以写成这个样子了。对吧，所以呢，你看我们说你看呢这个。首先我们刚才说了啊y呢，

等于什么k的零点儿三l的零点儿七，这是显然呢，这个总量生产函数满足什么满足规模报酬不变。所以我们把总量呢化成人均的，你看两边同时除一个大l，那除完之后呢？其实我们就可以画出什么啊，画成下面这个了啊，画到这个地方。就我们可以得到呢，人均的这个形式y等于呢k的零点三次方。然后在稳定状态下，我们知道经济增长率是3%，那就意味着什么稳定状态？注意啊，

这个信息量呢，你要怎么处理经济增长率总量经济增长率等于什么等于3%，那就意味着什么，我们知道经济达到稳定状态的时候，总量增长率呢，就等于什么？人口增长率加上技术进步率，所以呢，这个地方这一句话呢，隐含的信息就是说我们的人口增长率加上技术进步率等于零点零三。啊，明白吗？好，这是这样的。而且呢，

我们又知道呢，题干中给了资本产出比例是二点五总量的资本产出比例是二点五，所以我们得到人均那人均的形式是怎样的呢？人均的资本产出比值。它实际上等于什么？它等于我们的总总的这个。总总资本和总产出的比值也是等于二点五的，注意这个地方有技术进步，所以这个地方要用什么有效劳动啊，有效劳动和。有效劳动。啊除以有效劳动，这样可以得到什么有效的？人均资本和有效人均产出的这个比值，它也等于二点五，

这是我们呢题干当中的信息，可以让我们挖掘出来的信息。啊y是不是有价值的信息，下面来看一下它，第一问是让你求什么呢？第一问让我们求那稳态的初始，稳态的储蓄率是多少？稳定状态，我们知道它已经给了你稳态的条件了，对吧？我们通过这个，我们可以得到储蓄率是多少呢？储蓄率就等于什么？n加德尔塔加gk的比上什么y？a看一下资本产出比例等于二点五，

我们刚才也算了，已经知道了r德尔塔NG呢，都是知道了。代入进去就行了，因为这里面呢，我们说它已经告诉你了，人口增长率。技术进步率。有没有折旧率呢？看一下题干里面。啊，折旧率是4%。啊，然后呢？折旧率得4%，

然后呢n+g呢这一项等于多少？我们刚才算出来等于多少啊？它就等于呢？我们说呢？这个年。平均年增长率等于多少？3%，所以3%，再加上什么？4%，这是什么零点七了，对吧？零点七。零点七再乘以二点五等于呢？零点一七五所以我们的储蓄率是百分之十七点五。

这是初始稳定状态的储蓄率等于多少？等于百分之十七点五。好了，你先放到这个地方，我们后面还会用到的。第二问呢，他让你求的什么？第二个是什么让我们求呢？在初始状态下，资本的边际产量，那你看我们总量生产函数，我们知道了。我们不可以直接求，但是我们可以知道呢。有一个公式啊，

有一个式子，这是规模报酬不变的，那么有一个结果就是什么？那个阿尔法就是我们的这个阿尔法呢，它实际上就等于什么？这个资本的边际产量。对不对？乘以呢k比y。k比y那么这个地方就得到了这个km PK就是资本的边际产量，就等于阿尔法乘阿尔法呢，比上了k比y，而k比y我们知道等于多少是二点五，所以等于什么这个阿尔法等于零点三，所以零点三比上二点五。那这个地方我们走到资本边际，

生产力是多少呢？等于零点一二。好，这是第二问了。第三问是说假定公共政策改变的储蓄率。从而使经济达到了资本的黄金率水平，那么他问你黄金率资本产资本的边际产量是多少？那这个地方我们首先看一下资本的黄金率水平的资本量是多少啊？这个地方注意在。达到了黄金率稳态的条件下呢，应该有呢资本的边际产量呢，等于n+g加德尔塔为什么这个地方怎么来的，有的同学呢，看书看的仔细就知道怎么来的。但是呢，

这个地方呢，我们也可以给大家呢啊，推导一下，因为这个地方你关键是先要明白呢，什么是资本的黄金率水平啊，资本的黄金率。它是指我们说，首先它是一个稳定状态的资本存量。是呢，使得人均消费达到最大化的稳态，人均资本存量好，我们来推导一下。我们说消费人均消费是什么？等于人均收入减去人均储蓄。这个储蓄啊，

这是总的储蓄啊，不是什么储蓄率啊，它等于什么，它就等于我们的啊，这个什么等于fk。减去什么？减去s fk这里面这个小这个这个是什么啊？啊，这个我给它写个大S了哈。是吧，减去s fk这个地方呢，你不要合并同类项了，你不要写成一减s倍的fk了，为什么？因为这个地方我们要用到一个式子，

就是说。它首先它是一个，它是一个什么？它是一个稳定状态，那么这是有技术进步的稳定状态，应该满足什么呢？它有一个条件就是说呢，我们这里面。稳定，那就是s fk=n加德尔塔加gk，所以我们直接把这个什么？s fk用什么替换呢？用这个n+j加德尔塔k呢？给它替换掉，那它就等于什么？

是不是等于is？它等于fk。减去n加。德尔塔加g。k看到没有？好了，我们说显然呢，可以看出来，人均消费是人均资本的函数，我们看一下要使得人均消费达到最大化，我们就看一下我们对它求一次导。DC比dk等于多少呢？看一下DC比dk啊，看一下啊。DC比dk那就是右边这个地方就是什么f1撇k？

减去什么？n加德尔塔加g，然后等于多少等于零？那实际上这个地方是不是就推导出了我们说的这个？啊f1撇儿k就等于什么等于呢？n+j加德尔塔啊加德尔塔实际上呢？这个f1撇儿k就是什么？我们资本的边际产量。啊，就是我们资本的边际产量啊，我这个写在下面呢，可能又盖住了啊，那么这个地方呢，这个f1撇k呢，就是我们的什么mp k啊mp k。

在这个地方有这个式子，看到没有？嗯，好了，那么知道它之后，你看呃NG德尔塔，我们是不是都知道了n+d，我们通过呃这个题目给出的信息，我们知道这两个呢和是多少呢？4%。4%德尔塔是多少折旧率啊？折旧率是4%啊？n加德尔塔是什么3%？所以总共是什么7%就是零点零七啊？资本的。

编辑生产率是什么？零点零七。那你看我们初始状态的资本，存资本的人均资本的边际生产率是多少呢？边际生产率是零点一二这个地方呢？是什么零点一七啊？零点零七。说明了我们黄金率稳定状态与资本边际产量小于呢？初始的稳定状态的。啊，这个资本的边际生产力。那我们可以推出什么信息呢？现在的资本的边际生产率低于之前的，那说明什么我们现在的资本的？数量应该比之前的要高才对是吧？

因为我们的这个资本的边际生产力是递减的，它递减的，所以只有说你资本的使用量呢，变多的时候呢。它的边际生产力才会下降，所以在这个地方意味着我们黄金率稳态的人均资本存量呢，要高于我们初始稳定状态的人均资本存量，对不对？是不是所以呢？说初始稳定状态的资本存量小于了黄金的水平的资本水平。这是我们第三问可以得到的信息，然后再看一下第。第四问说。现在在黄金率稳定状态下，资本产出比例是多少？

然后他给你提示了，说对科布道格拉斯生产函数来说，资本产出比例以资本的边际。产量是相关的啊，产量编际生产力的产量相关，我们来看怎么个相关法？你看我们前面已经得到了，是不是我们说呢？这个阿尔法呢？等于什么等于？我们的mp k资本的边际生产力乘以什么啊？这个是乘以呢k比y啊k比y的对不对？所以我们立马可以得到呢，我们要算的是现在我们要得到什么，我们现在我们得到k比y的值k比y，

我们知道现在之前的k比y，我们知道是二点五，我们算现在的啊，算现在的。现在怎么算呢？现在呢？我们说k比y那你说它就等于什么？它就能阿尔法比上mp k嘛，对吧？是不是啊？啊阿尔法等于多少啊？我们说这个阿尔法等于多少？阿尔法等于零点三，然后呢？然后mp k呢，

等于零点零七，所以零点三比上零点零七等于多少，算下来等于约等于四点三啊，约等于四点三或者是四点二九。那也要比之前的资本产出比例要高，是不是？好了，这是第四问，那下面再看一下最后一问，说要达到黄金率稳定状态，我们储蓄率应该是多少？我们的黄金率稳定状态，我们的人这个这个地方呢，你看我们怎么算呢？因为首先黄金粒状态，

它首先是一种稳定状态，因为稳定状态要满足什么s fk等于。n加。g加德尔塔k好了，它现在让我们求储蓄率，所以我们知道储蓄率s就等于什么。等于。比上什么比上fk。也上fk看到没有啊，也上fk。商就等于什么等于呢？n加德尔塔加g乘以什么？k比y诶k比y这个地方，你看一下我们刚才说了k比y是多少呢？总量呢，

和人均呢，都一样的k比二资本产出比例是二点四点四点二九把，四点二九带进去，四点二九前面是到是零点七就是零点七×4点二九。等于零点三啊，就是说我们要达到稳定黄金率稳定状态呢，我们的储蓄率应该达到百分之十百分之30啊，我们之前呢，算出来多少呢？是百分之十七点五是吧？百分之十七点五。呃，远远低于呢，我们的30%的储蓄率的要求。啊，

其实从这里面呢？要想到啊，之前中央财经大学考过一道题，实际上呢，我觉得那个它本身就是个结论，你一说。如果说资本总比如说我们这样的啊。我在这个地方写，如果一个总量式量函数是y是等于k的阿尔法次方乘以l的一减，阿尔法次方。那么，达到稳定状态就是达到啊，不是达到稳定状态，达到黄金率稳定状态呢？我们是人均资本。

啊达到黄金的稳定状态下呢，这个储蓄率应该是多少呢？储蓄率就等于阿尔法啊，所以呢，它这黄金的稳定状态的储蓄率就等于阿尔法，你看我们这个地方呢？确实也算出来，这个是30%，这个30%是不是就是我们资本所占的份额是不是30%，这个题目里面告诉你了。啊，这个不是偶然的因素啊，它是一种必然，你可以呢，当做一个很小的结论呢，

了解一下就行了。好，这是我们第三题，这道题呢，我觉得还是挺好的，下面我们来看一下。啊，这个第五题。第五题，实际上这个地方呢，也是两个国家的一个比较，是一个穷国，一个富国，两个国家的比较，说这两个国家呢，

都有索洛增长模型来描述。它们有相同的可导函数，都是这样子，你看这个，但凡我们说呢，我们在。经济增长这块讲的索洛模型一定给出的都是规模报酬不变的这种形式，但是资本量和劳动量呢？是不同的。啊，资本量和劳动量不同，然后呢？这个。这个富国呢？它的这个储蓄呢是？

储蓄的是零点三二，就它储蓄率是零点三二，穷国的储蓄率只有10%，而富国的这个什么人口增长率呢？每年是1%。啊，它的人口增长率呢？每年是1%，而全国呢？它的人口增长率是3%。而且他啊，这个作者还明确告诉你了本问题的数字呢，选取近似为对富国和穷国的现实性描述，其实这个地方他就想用。索洛模型来对比分析。

穷国和富国的经济增长问题，两国的技术进步率均为每年2%。是吧，然后呢？折旧率呢？都为每年的5%，你看这个题题呢？它主要是分析其他条件都一样的情况下来分析呢？一个穷国和富国，仅仅是由于什么？啊，穷国的。储蓄率比较低，当然人口增长率又比较高的情况下，那么和一个富国呢？

是呃，储蓄率比较高，然后收视率人口增长率比较低的国家，相比他们经济增长有什么差异？啊，只是想离想呢，来研究这一个问题，我们来看一下啊。第一问让你看一下人均生产函数是什么？这个哪怕它是你不问的，你都要把它什么总量的化成人均的，这是我们做题的一个。直接思维是吧？这个好画啊，这个第一问呢，

基本上没问题，第二问说让你解出呢。啊，这个富国的稳态人均收入与穷国的稳态人均收入的一个比率。你要求他们收入的比率，你是不是得知道他们什么啊？提示呢参数呢？在你这个参数阿尔法呢？在这个答案中扮演的一个角色好，这是我们第二问，然后第三问说如果。这个函数当中参数为常用的值就是三分之一。那富国的人均收入与穷国相比呢？应当高多少？应该当高多少啊？

然后呢？第四问说这个富国的人均收入是穷国的人均收入的16倍啊，这个收入是它的16倍。你通过改变参数值来解释这一事实吗？它必须等于多少？你可以想象出任何方式来解释这一参数。啊，该参数这一取值的适当性，你也可以用呢，什么其他办法来解释，这两个国家巨大的收入差距。啊，这个地方呢，就是来通过一些参数的不同来对比分析两个国家为什么一个国家富有一个国家贫穷了是吧？好，

我们看第一问呢，就是将这个总量生产函数化成人均的，这个好好画对吧？画出来呢，这个地方应该是什么？这个地方写错，这个地方应该是什么？这个地方写错了，它是什么大a乘以什么小k的阿尔法次方啊？大于乘以小k的阿尔法次方，这是第一问，对吧？然后第二问是说让我们。算了，两个国家的。

啊，稳态的收入的比例，那么就要把两个国家的稳态的收入都给它算出来啊，那你看一下那么稳态的时候。稳态条件啊。人均储蓄等于什么资本的广化？我们将产人均产量还是带入到这个当中，那就什么fk呢？就等于什么AK阿尔法。就是sak阿尔法呢，等于它我们可以把什么把k解出来。啊，人均资本呢？写出来人均资本。的一减阿尔法次方呢，

等于后面这个，所以我们呢最后呢解出来了人均资本呢，等于后面这一串儿哈。可以看到，人均资本是技术进步率和储蓄率的增函数，但是呢，是。人口增长率折旧率和。啊，这个d的什么减函数，然后呢？我们说将上上市呢，带入人均产量函数，你像这个人均资本知道了，我们人均产出呢，

是不是就知道了，带入AK阿尔法当中，我们可以得到了。人均产出是这个啊，你先把这个一般的先放在这儿，然后呢，我们再来看我们把呢两个国家呢，它们不同的参数呢带进去。两个国家一比。对吧，所以他们稳态的收入，人均收入比例呢？是多少呢？你看啊，前面这个a呢，

都一样的，都已经。划掉了，那就只剩下后面这个我们画出来是这个样子。那这就完了嘛，没有那么这些参数呢，我们把它带进去才行啊，参数因为两国技术进步率都是2%，所以说呢g gr和gp呢，这两个呢，都是什么都是2%。然后折旧率呢？都是什么？折旧的都是5%。然后呢，

富国的储蓄率是32%，然后人口增长率1%，穷国的储蓄率10%，人口增长率3%，把它都通通带进去。带进去之后呢，我们得到了富国和穷国的人均产出比例是多少呢？是四的一减r分之r次方。啊一减阿尔法分之。阿尔法次方。那显然，这个值是什么？大于一的肯定是大于一的啊，大于一。那所以说穷富国的人均收入呢？

要比穷国的人均收入呢？要要高。然后呢？第三问是说什么呢？如果。这里面的这个参数呢用？参数为常用值三分之一，那我们把这个值带进去，我们给它带进去嘛，对吧？带进去那就等于什么？那就是四的三分之一比上。三分之二最后是什么？四的二分之一次方等于二，也就是说呢，

如果啊，这个资本。份额资本在总产出所占的份额，贡献的份额是三分之一的话呢，那么这两个国家的人均产出将会差距是两倍。对不对？第四问说这个富国的人均收入呢？是实际上是穷国人均收入的这个16倍。让你能通过改变参数值来解释这一式是什么？它们俩是相差是16倍啊，16倍是不是这个地方呢？等于16倍，那么我们看一下。那就是什么？它等于16。

等于十六的话，你可以看一下，带一下，我们可以得到阿尔法等于什么三分之二？你看，如果阿尔法等于什么，我们刚才算出来，阿尔法如果等于三分之一的话，两个国家的什么这个？这两个国家的这个收入比呢是两两倍啊，差距是两倍，但是呢，如果说阿尔法呢从。三分之一增加到三分之二的时候呢，这一个？

就扩大到16倍。啊，扩大到16倍。说明这个资本呢在。资本是不是在？资本所所占的份额在总产出份额的越大，那么两个国家的差距呢？就会越大了啊，就会越大。那么，为什么会如此？我们要做一个解释，一个合理的解释就是什么？我们将资本呢考虑为广泛的人力资本，它随着投资的增加，

它不断的积累。并且呢，比物质资本积累呢，还要快。当然了，两国要素的贬赋啊，还有包括制度环境等等差异，也可能会导致两国呢收入悬殊。好，这是我们说的是这是第五题。好，下面看一下第七题这道题呢，这是考的是我们这一章呢，其实这一章说讲了这个有技术进步的索洛模型，而且呢，

还考虑到我们的内生增长理论和。两部门模型啊，这个地方呢，就是涉及到两部门啊，两部门的内生增长模型的问题，这个问题要求你呢用更更详细的分析。正文当中就是我们教材里面介绍了两部门内生增长模型。这里面有三问啊啊，一共有有六问。那么，第一问说用有效工人的人均产出和有效工人的人均资本来重新写出制造业的生产函数。第二个是说在这个经济当中呢，收支相抵的投资就是保持有效工人人均资本存量不变时候的投资量应该是多少，第三个让我们写出呢？人均资本变动的一个方程。

要把该方程呢，就是该方程要把人均资本的增加量表示成储蓄，减去收支相抵的投资。啊，收支箱体的投资就是什么？我们的资本广化嘛，对吧？用这个方程画出表示稳态的人力资本，如何决定的图形？然后还提示你了这个图形呢，看起来很像我们用来分析索洛模型的图。那说明它们很很类似，然后。第四问说，在这个经济当中，

人均产出的稳态增长率是多少？储蓄率和在大学中的劳动力比例优，如何影响这一个稳态增长率？然后呢？第五问是说用你的图呢来表示，当表示出呢，这个失业率提高的影响，其实啊，这一变动呢，对两条曲线呢，都产生了影响，也就是描述既刻效应和稳态效应，看一下这个题呢，有点像我们之前呢。上一章讲过的一个题，

对吧？要分析即刻的影响和长远影响，然后最后一问是根据你的分析。优的提高对经济肯定是一件好事嘛，请解释好了这个题，我觉得还是很有价值的啊，大家来看一下啊。我们怎么做？因为这个呢？在教材里面有个两部门的生产函数是这个样子的。那显然啊，看一下他说我们呢，必须要假设它是什么规模报酬不变的，只有这样的假设呢才能。让我们把这个总量的生产函数化成人均的形式。

是吧？因为这里面涉及的技术进步，我们要用有效劳动来表示我们两边呢，同时乘以el分之一，这个el分之一，那就等于什么这个令这个z呢，等于el分之一。我们把这个总量的生产函数呢？我们化成了人均的生产函数。已经看到这个人均的形式，对吧？啊，这是我们第一问就解决了，然后第二问呢，你看。

它要求我们什么呢？在这个经济当中收支相抵的投资是多少？啊，收支相比的投资。我们说收支相抵的投资主要体现在三个方面，一个是要补偿什么折旧，第二是什么人口增长，第三个呢？是这个技术的进步，这三块儿。对不对？所以我们有三个方面，第一个是对折旧的补偿。第二块呢，是为新增工人配置相应的一个资本量。

人口增长率是n人均资本，是k那么所以这一块呢，需要的资本量是nk，然后呢，为劳动效率的提高而配置的资本。那么是需要呢JK的，其中呢，这个技术进步呢，它又是失业率的函数。啊，是这个u的函数，这个是在校大学生的，这个是吧？在读人数，它是劳动型啊，

劳动效率型，技术性顾虑。现所以呢，现在呢，收支相抵的这个投资就是这个呢，德尔塔加n+gk当然这个g呢，又是什么又是u的函数？这是第二问啊，第二问，然后第三问，我们看一下，让我们写出了k的动态方程啊，变动方程。就是呢，要把德尔塔k呢表成储蓄呢，

减去收支箱底的投资，这个好弄是吧？我们说呢，第二问收支箱底的投资，我们已经知道了，那么第三问呢，就是呢，德尔塔k=s fk呢，减去。德尔塔加n+JK。那而且呢，在稳态的时候有什么在稳态的时候呢？德尔塔k呢等于零。德尔塔k=0，所以呢，

这两个呢，是什么相等的？但是你注意那么这个，这是我们的这个收支相抵的，这一个投资。它的斜率是不变的啊，收支相抵的投资。这是收支相抵的投资，下面这个是什么呢？啊，下面这个呢？它是我们的这人均储蓄函数，因为呢，储这个人均生产函数，它是什么？

它满足边际生产率递减，所以呢，它也是图像原理，这个地方是不是像我们前面讲的索洛模型里面的这个稳态？稳定状态的图形呢，算是一样的，它们两个的交点呢，就决定一个稳定状态的人啊，有效工人呢的人均资本量。和有效供应的人均产出。第四问是说，在这个经济当中，人均产出的稳态增长是多少啊？人均产出。储蓄率在和大学当中的劳动力比例如何影响这一个产出的？

你看啊，这个地方我们通过这里面，我们可以看一下。通过这个里面c，我们可以看出来。要得到的是什么？ybl对吧ybl那么来看一下，因为由c呢可以看出来了，当达到稳定状态时候呢，单位效率过程的资本存量为常数了是吧？它已经不再变动了，为什么因为它的这些其他的参数决定的这些参数都是什么常数不变，所以呢？我们导致了我们说资本量呢，也是不变的。

而此时呢，我们的u呢，也必定是一个常数。如果它不是常数的话，那就不能够达到稳定状态，也就是用于研发的时间呢，是一个确定值，因此呢，此时单位效率工人的产出呢。为常数啊，单位效率工程注意单位效率工程的产出为常数，那么实际的人均产出就是什么？就是y1。为什么呀？因为y等于什么？

因为等于大y比上什么？el是不是？所以我们可以得到什么呢？实际的人均产出。实际的产人均产出呢，实际上是什么？它等于呢？这个e。y啊ey。以y就等于大y比量，这就代表是实际的人均产出啊，实际人均产出这个叫什么有效人均产出啊，有效人均产出。这是有效人均产出。这个什么，

这是实际人均产出。啊，实际人均产出。而呢这个。e的增长率呢，就是我们效率。工人的增长率是什么？就等于g，所以呢，在稳定状态下，人均产出的增长率呢，它和什么有有关？是和u有关，但是和储蓄率是没有关系的。对吧，

与u有关，而且呢，和u呢是正相关的u越大呢，也就是用研发的时间越多，我们稳定状态的技术进步率也就越高。那技术进步率也高，那进而呢，稳定状态，人均产出呢，也就越高。这是我们第四问，然后看一下。第五问让你用你的图示来表示呢，这个优的提高的影响，那么说优的提高呢，

会提高技术进步率，技术进步率的发。这个增长呢，会导致什么我们的？啊，这个生产函数呢？会发生一个变化，你看呢？这就是技术进步的一个变化。唉，你看其他一方面它会导致什么，它会导致我们这个。sf呢，会从什么我们的sf啊，你看这里面的sf呢，

它会向上移动。是不是同时呢？它会使得什么？它会使得我们的持平投资曲线呢？也会发生一个移动是吧？它会向左移动，因为它变大了嘛，对吧？所以呢，开始你看呢？开始的时候呢，我们的这个经济呢？那开始的时候，我们假如说呢，我们的经济呢，

在a点这个地方啊a点这块人均资本是k1对吧，但是呢，由于呢呃u的上升u的上升，一方面它使得我们说。使得我们的s fk呢，是向外移动了。啊向下了啊向下了它这个地方，这个地方是向下了这一条线向下，然后呢这个？收支相抵的投资呢，是向外是吧？翘起了，所以最后的它们的均衡点呢，跑到b点。有效工人的人均资本呢？

会下降，注意这只是有效，每个有效工人所拥有的资本在下降，但是呢，我们说人均资本呢？会会怎样？实际人均资本呢，其实是在以技术进步力的速度呢，它还是在什么什么y就等于什么这个什么有效的。实际的人均产出人均资本啊，实际的人均资本。就是大k比大l呢，它等于什么？它实际上是在上升的，它是以什么e乘以？

ek的啊ek的形式。就它有可能还是在上升的啊，有可能是上升的。所以呢，我们可以看到u的增加呢，它可以使两条线都会发生移动是吧？就我们刚才这个图里面看到的啊，这是这一道题。好，后面呢，还有关于更多问题和应用这里面呢，我们还讲到了一个问题。就是关于这个。经济增长率的问题啊。这里面看他说把劳动生产率定义为ybl，

也就是产出除以劳动投入量，然后呢呃，从增长核算方程开始来让你证明劳动生产率的增长率呢，取决于。全要素生产率的增长率和资本与劳动之比的增长率简单的特别的呢，让你来证明。这个式子呢？这代表什么？人均的这个什么增长率等于什么技术进步率？加上什么人均的资本增长率乘以阿尔法？这里面要用到一定的数学技巧，这里面就是呢，如果我们说这样的一个函数关系z等于欧米伽x，那么z的增长率呢接近。近似的等于什么？

欧米伽的增长率加上什么x增长率？也就是呢z的增长率呢？约等于呢？如果说一个形式是这个样子，一个一个关系式是这个样子，那么我们算它的增长率呢？就是说。它的增长率等于。这个其实我们前面都用到过，为什么你看我们前面我们讲到什么？大家想想，我们讲到数量方程式的时候，你看我们讲的数量方程式啊MV等于什么MV=py的时候，我们是不是讲到了，是不是德尔塔m比m？

加上德尔塔v唉。德尔塔v比v等于什么？德尔塔p比p加上什么？德尔塔y。by是不是啊？其实我们当时我们没有明说，其实这个东西就用了这个技巧，看到没有？好这个题，然后呢？我们来看一下。证明啊，根据定义，我们说了产出y它等于什么劳动生产率，以劳动力的成绩是吧？

所以我们y等于什么？人均产出乘以劳动的数量。其中你看别看这个东西写在这个地方是有用的。根据我们前面提到的技巧，我们知道德尔塔y比y就等于什么。是吧，德尔塔外边，你看这个地方。这是不是两个相乘的形式y比I，你看一个整体。y比l×l，所以呢，这个地方德尔塔y比y，它的增长率总产出的增长率是不是就等于什么德尔塔y比l比上y比l加上什么德尔塔l比l？是不是啊？

这个这个。这是个技巧。然后呢？把它呢，这个表示出来之后，我们看一下，你看。让你证明嘛，那么看一下这个是不是我们刚才已经表示出来了，我们直接把它代进去，代进去我们看看一下会出现什么情况，所以呢，代入了这个delta y比y等于什么？阿尔法乘以德尔塔k比k+1减阿尔法为德尔塔l比I加上什么？这个这就是我们什么？

这个实际上就是我们前面讲的国民数核算方程啊。经济增长率的一个核算的一个情况，我们把它带进去，把这个地方呢用。代换一下，我们可以得到什么呢？得到的结果就是呢。德尔塔y比二比上呢y比二呢等于什么？这后面这一串啊。看一下最后呢，化简下来是等于这个式子。然后我们呢再利用呢这个式子。带进去那么就可以得到呢，人均产出的这个人均产出的一个变动率，那就等于技术进步率加上什么？

这一项，然后我们呢呃，这个给它呢，离这个分分离一下，那就等于什么这个里面你看。德尔塔k比k减去德尔塔l比l呢，实际上就等于什么德尔塔k比l比上什么k比l这个地方还是用到了我们前面这个什么这个。用到了这样一个。这个技巧对不对？这个括号里面呢？做了一个技巧变形，那就最后变成这个样子了，也就是我们的劳动生产率。的增长率呢，取决于全要素生产率，

所以这个全要素生产率就是我们什么技术进步率。劳动生产率的增长率呢，取决于全要素生产率增长率，加上资本与劳动的比啊。它的比值的增长率好了。这是这道题，其实这道题呢，关键是一些数学的技巧好了，那么关于这个佐罗模型这一块儿呢，我们也就讲到这里了。

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