08.曼昆《宏观经济学》课后重点题选讲第八章

罗泽兵 · 发表于 2024-4-10 16:56:57

好，下面我们看一下第八章。在第八章和第九章这两章就都讲的是经济增长超长期的问题，超长期我们讲了三个问题，第一个是。关于。经济的增长核算问题，第二个是什么呢？第二个就是我们最核心的就是索罗模型就是新古典增长模型，然后第三个我们讲到内生增长理论。这里边考的最多的呢，就是这个。新古典啊，新古典增长模型，那就是什么？

就是我们的这个索洛模型，当然了，这个地方大家是要注意啊，这是。考试的重点，但凡你的学校指定的是以曼昆的宏观经济学作为教师的学校，他大部分时候呢，他在宏观经济学这一块呢，都喜欢在。这个地方呢，来命制一个题。而且呢，有些学校呢，可能命的题呢，你在。

啊，它的这个难度呢？实际上超过了曼昆的难度，但是呢，学好曼昆呢，依然是我们学更高阶难度的这一个。起点，比如说你看像人大或者是北大软微啊，北大包括呢，我们说北大汇丰等等这样一些。啊，包括啊，这个上财这个他们有时候考的题呢，都还是有啊，这个难度呢，

其实说实话啊都。超过了我们这个教材的难度，但是呢，你先把这个学好了之后你再去呃，攻克更高的阶难度的才有意义，不然的话呢。啊，是没有意义的，对吧？大部分题目其实考的时候呢，也还没有那么那么复杂的个别年份呢，会考一些。啊，这里面呢，这个课后习题也相对来说呢，

比较多，我们选择几道来讲一下啊，几道具有代表性的题目来给大家讲一下。一般我们说呢，在索洛模型这一块儿呢，用的最多的一个总量生成函数就是科道函数，就是我们的科布道格拉斯生成函数，一般都围绕它。我们来看啊呃，这个地方呢，在计算的时候已经主要有几点，第一个你要知道。第一个点啊，给大家说一下。就是呢，

你要会推导。平时学习的要推导推导什么呢？这个稳态的条件。稳态基本方程就是稳态方程。都会推导这个啊，推导但是呢，我觉得曼昆的教材的这个推导太简单了，对吧？第二个是什么？就是说呢，关于通过稳态基本方程啊，稳态求稳态的这个什么？稳态的人均资本人均产出求稳态，第二个是第三个是什么？关于什么？

关于黄金率的问题啊，黄金率的资本水平的计算。第四个呢？就是说比如说一些变量的变化，比如说折旧率，人口增长率，储蓄率。技术进步率等等，这些因素的变化呢？它对。经济的这个对稳态的增长率的影响。这些啊，基本上呢，就是围绕着这些来展开的，当然还有其他的啊，

但是主主体上呢，那出题呢，大部分呢，都会围绕这个地方来出。我们来看一下这道题问题，应用的第一题。说a国和b国的生产函数是这个样子，这是一个典型的科布道格拉斯总量生产函数，然后呢，下面问了啊。提问第一问是说这个生产函数是规模报酬不变的嘛，请解释啊，这个题呢，它让你呢，其实判断了这个生产函数的性质是属于规模报酬不变，

递增还是递减？那这个呢，其实我们的微观经济学大家都学过，对吧？关于在生产论这个地方，我们都会讲到规模报酬的问题，你按照规模报酬的定义，我们来判断一下。就可以了，第二个是什么人均生产函数那么一般来说？涉及到这个索罗模型的计算的时候，一般来说呢，往往呢，需要做的一个工作就是将总量生产函数呢，把它转化成人均的形式啊，

人均的形式。第三问是说，假设这两个国家呢？假设两个国家它都没有人口增长和技术进步。资本折旧率是每年。20%，那每个国家的这个资本折旧呢？就德尔塔呢？都等于什么？20%。进一步假设呢，a国年储蓄率10%的产出啊，每年储蓄10%的产出，那储蓄率是多少啊？储蓄率是零点一。

这是a国啊，这b国呢，储蓄率是什么？是零点三用你得到的问题。b的答案。啊，就是这个什么？人均产出是人均资本函数，这个什么这个结果了，来这个答案呢，和投资等于折旧这一稳态条件。找出你注意这个地方呢，它是由于没有人口增长和技术进步，所以呢，稳态的时候应该是什么s fk？

应该等于什么？因为它没有什么，它没有这个折呃，没有这个人口增长，所以呢，它就应该等于德尔塔k了，这是最简单的一种形式是吧？你计算人均资本。找出了每个国家的稳态人均资本水平，然后找出稳态人均收入水平，稳态人均资本水平出来之后，带入到人均生产函数当中，就可以得到什么，就可以得到稳态人均。产出或者是人均收入相应的呢，

我们人均消费知不知道？知道因为什么a国的储蓄率是10%，那么它的消费率是90%。而b国的储蓄率是30%，那所以它消费率70%是不是？好了，第四问是说假定呢，两国开始人均资本存量都为一啊，资本存量开始为一。人均收入水平和人均消费水平那会是多少？第第五问，最后一问说，记住资本存量的变动是折旧投资，减去折旧啊，这是资本存量的增量。

用一个计算器啊，当然这个地方呢，你看一下啊，这个第五问呢，那我们说考试不会这么考，那平时的时候你可以。你可以呢，做一下第五问我可以就我们就可以略过了，你做的时候你就可以不用考虑，我们只看前四问了好吧好，我们首先看第一问啊，我们先来判断它的规模报酬性。我们说一个生产函数，它是属于规模报酬递增递减还是不变，那就是我们可以设一个任意的一个正数z啊正数z。

有z大于零，然后我们再看一下，我们也主要来比较一下z倍的。是吧zb的。这个kl和什么和z的这个比如说z的theta次方倍的什么f kl的关系？对吧啊，那么这个立方呢？你看。啊，不是这个啊。实际上是比较什么比较他俩的关系比较他俩的关系zk和zl的关系，如果它俩相等，那就是规模，我们能验证，如果它俩相等，

它就规模高出不变的，如果呢是什么？这是不变的，对吧？规模报酬不变的，如果呢，它大于零，那说明什么呀？那它是规模报酬递增的啊，递增的，如果呢，它小于呢？后面呢，那是规模报酬。递减的好，

我们来判断一下。啊，根据定义。我们看一下，因为a国和b国的生产函数都相同，都是这个样子是吧？我们把它带进去，大家一看呢，实际上呢，这个变完之后，你看啊，它确实就等于什么？所以f倍的zk z啊就等于什么z倍的fk啊，它确实是什么规模报酬不变的，所以这就第一问呢，

也就解决了。好了，这个规模报酬不变的性质呢，是非常有用的，你看我们在。对这个总量生产函数进行化成人均的时候呢，如果说它这个生产函数总量生产函数满足规模，报酬不变，它就有利于呢，我们将总量生产函数呢？化成人均的形式。我们可以呢，令这个z呢等于多少呢？就等于l。对吧啊，

命令z呢等于l，所以呢，我们这两边呢，同时除以一个l或者乘以l分之一。啊，不是z啊z应该等于什么l分之一啊？这个z等于l分之一那么带进去呢就可以呢？得到什么呀？化成了这个地方就可以化成了这个y呢等于？k的三分之一次方，这就是我们的啊，人均的生产函数。啊，平均生长函数好了，这是第二问，

我们知道了，那么看一下，第三问是说。这个地方分开算啊，有两个国家不一样，两个国家呢，虽然他们都没有人口增长和技术进步，但他们折旧率呢，相同是20%，但是储蓄率不一样啊，储蓄率是一个10%，一个30%，我们一个一个的算啊。这两个国家也分开算。当这个折旧率为零点二a国的储蓄率为零点一b国的储蓄率为什么这个零点三？

但它们人均产出函数都是y等于k的三分之一次方。其实这个题呢，它是相当于一个啊，定量分析来看一下这两个国家折旧率相同人口。增长和。技术进步呢，都相同，因为他们说不变，那相当于我们说的认为它是默认相同，他们唯一的区别是什么呢？唯一区别储蓄率不同。a国有零点一的比例的储蓄率，然后呢？b国有零点三比例的储蓄率，那么在这样的一个差异情况下，

我们看一下这两个国家人均资本和人均产出会出现什么样的不同？那么知道在稳定状态的时候呢？资本的存量不变折，也就是呢，这时候呢，投资就等于折旧了，那就是s fk=n等于。等于德尔塔k注意啊，如果这个地方有记有有这个人口增长的话呢，那么这个地方应该写成什么s fk？等于什么n加德尔塔k了对吧？但是而且呢，还要再想一下，如果说有技术进步的话呢，我们还写成什么？

s fk应该等于什么？n加德尔塔加gk。对吧，我们将人均生产函数呢带入到啊。代入这个式子当中，可以推导出呢，这个k呢，就等于什么？代进去啊，这个k呢就等于s比德尔塔的。三分之二次方，那你看这个地方，我们是显然可以看出来，人均人均资本和储蓄率是正相关的，和折旧率是反相关的是吧？

那么，储蓄率越高，我们的人均资本就越多，这个是很很直觉的东西，我们是能感受到的啊，我们大家的储蓄越多，人均资本呢？肯定越高嘛，然后呢，折旧率越高的话，那它对我们资本的消耗就越大，对吧？损耗就越大，那么相应的，我们人均资本增量就比较低，

那最后的人均资。资本呢，就会比较少。那下面我来看一下a国的稳定状态，人均资本水平是多少呢？a国的我们代入这个式子里面，因为它们是吧折旧率相同，但是唯一不同的是储蓄率。a国的这个什么人均资本量是多少呢？是零点三五，但b国的呢？达到多少呢？b国。啊，这个地方写错了啊，

这个地方是二分之三，不是三三分之二，对吧？好了，那么我们最后呢？等于多少呢？等于这个。下面这个等于一点八四一点八四，你看你看他们其他条件都相同，唯一的不同是什么呢？唯一的不同就是他们的这个储蓄率不同，那导致他们最后的这个。结果是a国的人均资本呢？比b国的人均资本少太多了。然后呢，

将他们各自的人均资本带入到他们的人均生产函数当中，我们自然就可以算出来，但如果上上考场了之后。写成这个样子呢，你就可以了，比如说零点三五的三分之一次方，你写成这个样子就可以了，因为呢，你用手算你这个地方大概率，你是算不出来的，算不出来你就别。别算了是吧？那平时呢？我们说你在私下里面，我们说我们可以有手机或者有其他的工具，

计算机，计算器，我们可以摁一下，但平时。上考场的话，你写成这个样子就是标准答案啊，包括后面这个也是一样的。好，这是第三问，然后我们来看一下，第四问是说甲说两国开始的时候呢，人均资本存量都是一。啊，人均资本存量都是一人均收入水平和人均消费水平又是多少？人均的资本存量是以。

看由于呢，收入中用于储蓄的比例是也就是说我们说人均收入是一，那么储蓄率呢，是s那么说我们的消消费是多少呢？是不是一减s啊？对不对？也就是我们有什么因为c+s=1了嘛，因为我们的什么人均收入是一嘛，单位化了对吧？那么，用于消费的比例是一减s，因此两国的人均消费水平我们知道CA都等于什么？一减s乘以ya。就是呢，它的消费率乘以呢，

它的人均。产出那么a国的是多少？是零点六三b国的是零点八六。啊，零点八六。那通过这个这个量化分析，其实我们也得到一个结果，就是说啊，这是什么？这是第三问啊。第四问说开始时，两国的人均资本存量都是一，那你看开始的时候为一，那么人均产出y等于。k的三分之一次方可以得到两国此时的人均收入都是什么人均收入呢？

都是一人均消费水平呢？分别是多少呢？一个是零点九啊，第二个是呢，零点七带进去算就可以了啊。好，这是这一道题。最后一问就不讲了。啊，这是一般的计算啊，下面看一下第五题，这种作图分析题也是我们考试可能会考的。说画一幅图来说明有人口增长的索洛模型的稳态，清楚的标注横轴纵轴各条曲线和直线，利用该图形找出。

以下各种外生变量变动引起稳态人均资本和人均收入发生什么变动？稳态人均资本和人均收入会发生什么变动？好看一下。这里面有四问，第一问是说消费者偏好的某种变化，增加了储蓄率，储蓄率增加了，那么储蓄率上升是吧？储蓄率上升，这影响的是储蓄率。先看着第二个是天气模式的变化，提高了折旧率，那就是什么德尔塔上升了啊，德尔塔上升了。第三问是更好的生育控制手段，

降低了人口增长率。比如说，计划生育是吧？降低了人口增长率。第四问是说技术的一次性永久进步。啊，技术的一次性永久进步。技术的一次性永久进步，增加了任何给定数量的资本和劳动能力生产的产出量。那要看技术的进步啊，技术进步，这是这个上升了是吧？好了，那么来看一下。技术进步呢，

实际上呢，它代表的是我们的生产函数呢，有一个什么有一个一个增加，那么这几种情况我们来看一下，首先你看我们说。经济开始的时候达到稳定状态是这个样子。这是资本的。这是资本广化的一条线啊，这是什么？这是我们的储蓄曲线。对吧，然后呢？我们知道呢，经济在这个地方一点达到了稳态，稳态人均资本和人均产出呢，

我们就可以呢得到了。对不对？咳咳。好了，我们下面看一下，第一问是说折旧储蓄率的上升，那么首先开始的时候呢，稳经济稳定状态是这个样子，对吧？那我们看一下。储蓄率上升呢，是这个储蓄率上升啊，储蓄率上升会使得什么？储蓄曲线是不是会向向上凸起了啊？向上的这个移动了，

那最终的结果是什么呢？你看它会从这个啊，这个s1。s1 fk呢，上升到s2 fk，那么这个变动会出现什么情况？你看开始的均衡点。焦点与a点那对应的稳态人均资本是k1星。现在呢，经济达到了什么？达到b点了，对不对？那么从k1星呢向右移动到k2星？好了，那你看呢？

我们可以看到人均什么人均资本是不是有一个上升，那么人均资本上升实际上也意味着我们人均产出也上也上升了啊，也上升了。那么这个地方呢？我们看。我们可以看出来，稳态的人均资本和人均产出呢，都会上升是吧？这是第一种情况，第二个说这个什么影响的是什么折旧率吧啊，第二个。你看呢，这个折旧率上升，实际上影响的是资本广泛曲线，它会使得这条曲线的斜率呢，

是不是发生了一个变化，变得更陡峭了，对不对？那么就是说，它会向上翘起来。翘起来啊，你看一下，那就从什么德尔塔1n呢向上移动到什么德尔塔2n，它的斜率变大。那但是呢，它的什么稳态的均衡点呢？就从a点移动到b点人均资本呢？会下降人均资本下降之后会导致什么？人均资本下降之后，会导致我们人均的产出呢？

也跟着什么？人均资本下降之后，导致人均产出也跟着下降了，对不对？啊，这是第二问的影响，第四第三问是呢，这个。人口增长率的下降，计划生育，比如说这种控制人口的手段，导致了人口增长下降n下降了啊，这个n下降的话呢，我们看一下，如果n下降呢，

会导致什么？我们的资本广化曲线的斜率呢，会变小，实际上它会是什么？向右移动了。是不是啊？向右移动。那么，它这个移动呢？刚好和我们上面折旧率的上升呢？是相反的。那折旧率上升呢，是导致呢？会导致什么？会导致人均资本会下降，

但是呢，人口减少呢，人口增长率下降呢，会导致人均资本呢，会上升，所以人均资本呢，会从什么？从k1星呢，上升到kk 2星，然后呢，人均产出肯定也会随着人均资本的上升而上升的是吧？好了，最后再看第四问技术的一次永久性进步，改变了生产这个什么这个进步呢？会导致什么生产函数的一个变化？

啊，生产函数的变化，使得呢任意给定数量的资本和劳动下的产出量呢都增加了，这会使得稳定状态的人均资本和人均产出呢都会得到提升。啊，都会得到提升，所以最终的结果，因为呢，这个影响了什么技术的进步，它影响的不是储蓄率，它影响的什么？它影响的人均产出。所以呢，这个人均产出的上升，它会导致什么？

这个向上移动。啊，人均产出增加啊，人均资本和人均产出都会增加好，这是这一道题。其实这道题呢，本身就是什么？它考察我们再回来说一下啊，它考察就是大家呢，要会分析。哪些因素会影响到？啊，这个n加德尔塔k这一项的移动哪些会影响到什么s fk的？这一项的移动而且是往哪个方向移动的？那只要找准了，

那你就可以呢，分析出来它的最后的结果，这道题啊，相对是比较基础的。好，下面我们来看一个。啊，看一个计算题啊，第八题这道题呢，具有代表性哦。看一下我们说呢，这个地方呢，是对索洛模型的一个呃，一个变形，他说我们考虑失业会如何影响索洛增长模型失业。

假定呢，生产函数是这个样子啊，我们的生产函数是。是这个，那么就是说这个劳动力人数呢？是l但是呢，我们失业率是u，所以我们什么我们的实际上就业人数只有什么一减u倍的l了。然后呢？这个经济当中呢u呢？为自然失业率，国民储蓄为s，劳动力增长率为n。资本的折旧率为德尔塔。就是这样的一个情况，

然后呢，下面有几问，第一问是说。让我们把人均产出表示为人均资本和自然。失业率的函数，其实这个工作就是要暗示你要把什么要把我们总量生产函数化成什么化成人均的生产函数啊，人均的形式。啊，人均的形式，其实这个这个是可以画的，为什么可以画呢？而且好画，为什么呢？其实呢？这个函数呢？

你可以你可以验证一下这个函数呢，它也满足什么？它一定是规模报酬不变的。啊，规模报酬不变，你可以用定义我八眼一看也能看出来它是规模报酬不变的，只有它规模报酬不变，我们才可以呢，顺利的把它从总量的化成人均的，所以你看你在总的模型的做题当中。你遇到所有的它，让你从总量的化成人均的，都是因为呢？这个函数能满足这样的一个性质，所以我们平时呢，

我们就一股脑的做，我们不去思考这个问题，对吧？好了，那第一问呢？比较好做，第二问是说让你写出描述该经济的稳态方程。啊，稳态方程那么这里面呢就是什么？s fk.等于n加德尔塔k啊稳态方程。用图形来表示稳态，就像我们在本章对标准的索罗模型呢，做的一样啊，用图形来表示这个稳态，

第三问是说假定政府政策。变化呢，降低的自然失业率是这个u下降了啊，这个u下降，然后运用你在b当中所画的这个图形。然后描述呢，这一变化对产出的即刻影响注意是就是呢，在这个政策变化，这个即刻产生的影响，以及随后随着时间推移，对产出的一种。长期影响对产出的稳态的影响大于还是小于呢？对产出的即刻影响，并且呢，要做解释这个题啊。

要注意这种呢，类似的呢，都学校考过。我们看一下。首先，因为这个函数满足规模，报酬不变，它是可以化的啊，你可以呢，两边同时除以什么，两边同时给它除以l或者乘以l分之一，那么最后呢？代进去，我们画出来是这个样子。k的阿尔法次方乘以一减u的一减阿尔法次方。

所以我们可以看出来，人均人均产出是什么？它是人均资本和失自然失业率的函数，而且我们可以看出来。那么，人群资这个。人均产出呢，是人均资本的增函数。但是失业率的减函数失业率越大，我们说人均产出就越小。有失业率呢，它降低了任何一个人均资本水平上所对应的人均产出水平，为什么？因为失业使得呢，参加生产的劳动力数量减少了。

而人均产出呢，是按照劳动力总数来相除的，对吧？这是。第一问，第二问，让我们找到稳态的方程，并且呢，要什么要画出用图形来说明这个稳态，我们看什么是稳态，稳态就是人均资本存量的不再发生变化的一个状态，就是人均资本增量为零的时候。因为我们说人均资本的增量delta k等于什么s fk减去什么，就是储蓄呢？人均储蓄呢？

减去什么？资本的广化，那么一旦它为零了啊，它为零的话呢，那么意味着后面这两个呢，就它就等于零了，它等于零就意味着什么s fk=n加德尔塔k是不是？因此，稳态的人均资本成长可以用这个式子来解出来，你就是什么？对于本题来说，那就是什么s fk就是fy星，那就等于什么n加德尔塔k。代进去y等于多少？y是不是等于k的阿尔法次方乘以一减u的一减阿尔法次方代进去嘛？

后面的这个地方，我们把k解出来就可以了啊，把k解出来。这个k呢，解出来注意啊，这个是相乘的关系s×k新的阿尔法次方注意啊，这个地方是相乘的关系，不是函数关系啊。然后呢，我们把这个k系呢，给它解出来解出来呢，这个式子呢，看一下。嗯，那从这里面我们可以看出来人均资本。

它是是这个稳态的人均资本，依然还是什么失业率的一个减函数？对吧？所以我们可以看出来呢，这个失业呢，它降低了资本的。边际产量，所以呢，它如同一种不利的技术冲击一样，降低了稳态的。资本存量。我们把呢这个稳态的人均资本存量带入到人均产出当中，我们可以得到人均产出，人均产出带进去，对吧？

得到的是这个式子，那从这里面也是可以看出来，那我们可以看出来呢，人均产出是自然失业率的减函数，这个是毫无疑问的，因为它这个优越大呢，这个。值就越小，然后呢？是储蓄率的增还是储蓄率越高？我们的人均产出就越高，然后折旧率的减函数折旧率越高，我们的什么人均产出就越低？对吧，然后人口增长率越高呢，

那么我们的人均产出也越低。好了，所以呢，我们说失业呢，它主要是你看失业对我们的这个稳态的影响，那么你看失业如果是提高的话，你看啊。失业提高的话，它会产生什么影响呢？一方面，我们前面已经分析可以发现，失业如果u上升的话啊，我们可以看出来u如果上升的话呢，它会导致我们的人均资本会怎样下降啊，对吧？

人均资本下降，然后我们知道这个人均产出呢，是人均资本的函数，而且是人均资本的什么增函数，所以呢，你看我们人均资本都下降了，我们人均产出是不是也会下降？肯定会下降的，对不对？好，我们来看一下失业呢，它为什么会降低稳态的产出水平？是通过哪些途径？第一个就是呢，对任意给定的。

稳态资本水平来说，那么失业率呢？它实际上降低了产出。你看为什么这一句话怎么理解？你看这个地方，一方面这个影响是吧？它影响到这，即使后面这个地方不变是吧？后面这一块不变，但是前面你看到没有？这个失业率的降低，直接就影响了什么人均产出的下降，第二个你看人均资本的变化呢，它还会影响到什么呀？它还会影响到我们后面这些参数，

比如说我们的这个什么储蓄率为什么呢？失业率还降低了，稳态的人均资本水平吧，稳态资本水平的降低呢，又降低了我们的。人均产出水平。对不对？这个能理解吧，所以呢，该进阶的一个稳定状态呢，就是这个样子的，所以呢，我们说呢，失业率的上升，它会导致呢，

我们的这个。储蓄曲线啊，这个储蓄曲线呢，就会什么向下？啊，向下发生的一个运动。最终的结果呢？那么，稳态的人均资本就会从什么k1c呢？向左移动到k2c。第三问是说假定政府的这个某些行为降低了自然失业率，那你运用我们b中所画的这个图形来描述这一变化。对。产出的即刻和啊之后的影响啊，这个地方你看你要你要分析它对当前的影响和对以后的影响。

那么看，因为初始开始的时候经济假如说我们说处于稳定状态。除以五定差我们，而且我们通过第二问，我们也可以算出来了，这个人均产出呢，确实是什么失业率的一个函数是吧？它是失业率的一个函数。然后这个地方看一下。啊，确切说是后面这个样子是吧？所以我们会知道当自然失业率呢？如果从一个较高的水平下降的话，那会导致什么人均产出会怎样？首先看这个即刻的变化，

失业率的即刻变化，其实人均资本此时会不会变化呢？因为人均资本此时呢？它不会发生变化。啊，人均资本不变化，但是你看，虽然我们这个人均资本不变化，你看这一个人均资本不变化，前面这一项不变，但是呢，由于我们说呢，这个失业率呢，即刻的一个下降。那会导致什么？

我们的人均产出一个即刻的上升，是不是首先第一个它是什么？它影响了我们的这个。人均产出。从而呢，人均产出呢，它会增加。也就是这一变化呢，对人均产出的既可影响是使人均产出增加。而且我们通过上一问，我们也算出来了，我们把这个式子进一步化简之后呢，得到这个式子了，这个地方我们可以看出来。u就失业率的一个下降对吧？

明显的呢，它会。使得我们人均资本呢会。增加对不对？因为呢，这个失业率的是人均资本的减函数，所以失业率如果下降了，就是人均资本在增加。对不对？所以呢，这个u的降低呢，会使该经济的稳定，人均资本增加，从而呢，使它的稳态的人均产出呢，

也增加。因而呢，随着时间的推移呢，人均产出会不断的增加，直到达到新的一个稳定状态。那么，人均资本再增加，那我们产出呢？也就会增加对不对？所以呢，这种情况你看呢？我们就是通过这个图呢，你就可以分析一下。它其实是一样的，对吧？

往上移动，那么人均产出呢？会向右移动啊？人均产出呢？也会增加。那么，看一下人均产出的一个增长路径。啊，人均产出的一个增长率，假如说我们在这个这一刻啊，在t这一刻呢，我们呢，实行了这样一个。人口政策降低了人口。呃，

人口增长率，那就是从u1。是吧，降低到u2那么一开始呢，我们说人均产出会有一个什么，它会有一个一下子就一个上升，这个上升主要是什么？由于这个失业率的一个即刻的一个下降，导致人人均产出的一个即刻上升，然后随后呢，随着失业率的下降呢，它导致人均资本的一个增加。而人均资本的不断增加呢？又会导致什么人均产出进一步的增加？但是它会达到一个新的稳定状态，

达到新的稳定状态之后呢？那么说呢，稳态的。人均增长率呢，又和之前的呢，又一样了啊，又和之前一样。好了，这是我们说的，这是第八章啊，当然第八章呢，其实和第九章联系起来，第八章它实际上我们只是讲的是呃，这个没有技术进步的一个情况，第九章呢，

我们。考虑了有技术进步的情况的一个索洛模型，并在此基础上引申出了内生增长理论。

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