定积分的性质（下）

罗泽兵 · 发表于 2024-3-30 15:46:35

然后下面是定积分的分布，积分法定积分的分布，积分跟不定积分的分布，积分的区别不太大，只是在分布积分的时候呢，你要带着商业线就行了。嗯，那么像这种从a到bud v的形式，那依然还是这个uv代入a到b。减去它俩交换过来vdu代入a到b就可以了。好，我看一下有同学说什么有点绕哪个地方有点绕这个地方带入有点绕是吧？那带入有点绕的话，你就一点一点的带入就好了，这个从上面往下面这个积分的问题吧来，

我来确认一下啊。从上面这个往下面这个积分就是不定积分问题呃，明白的同学打一不明白的同学打二，我看一下啊，从上面这个不定积分往下算啊。或者这一步啊，这一步的话是需要用到一个固定的化解方法，就正弦加余弦的时候。那不同这个上面这个从上面往下这一步不明的同学打个二我看一下。啊，应该还是明白的，对吧？因为这个地方它只有是一个second t- 4分之派，那你把它看成second use condu的基本。second u的积分啊，

关键是这个不定积分，你是不是熟悉，如果说不熟悉的话，那你就应该得把那几个常用的不定积分公式，但是又不太容易记的。啊，我在不定积分里面给大家总结的那几个要单独的写在一张纸上，你经常得看一眼它的积分，结果是等于ln。second u+tangent u让它加c的。对不对？嗯，好了，等于它等于它的话，那这个地方只不过是抽微分嗯dt可以写成dt- 4分之派。

那也就是du啊cos u对吧？只不过这个u呢，我们没有给它换元啊。好，就到了这一步，到了这一步，然后再带入的时候，你慢慢算就行了，这个东西你自己光看，可能不是很清楚，但如果说你可以要算一遍，就比较简单了啊。你比如把四分之派带进去，这地方是second零啊，是cos零分之一是一啊，

然后呢加上？呃，这个是零呃tan的零对吧？四分之派带进去，那就是这个绝对值，里边就是一。绝对值里面是1 ln 1不就是零嘛，对吧？所以上限带进去是零减去下限零带进去零带进去second负四分之派。就是cosine负四分之派分之1 cosine负四分之派就是cosine 4分之派，那就是根二。对吧，这个地方就是根二，然后这个地方tan的负四分之派是负一根二减一，整体再取对数，

那就是ln根二减一下限带进去是它。拿零减去它不就是负的了吗？再乘上前面的二分之根二对吧？就得到前面这个负的了，对不对？这样能看懂了吧？又给你算一遍，这回应该是懂了，对吧？好，那你复制它啊，复制它的话呢，你就直接作为答案就行了啊，可以不用化简啊，可以不用化简，

要想化简的话，其实还有一步化简就是这个地方可以有理化。把它有理化之后就可以得到，这个是结果。好自己算一遍就好了啊，这个所有的例题还是必须自己课下要动手算一遍，听懂是归听懂你自己的计算是不是能过关？啊，还是必须得课下。算一遍的啊好嗯。那下面我们来看一下这个分布积分啊，分布积分就是带着上下限进行分布积分就行了，所以那就跟不定积分的分布积分一样了。对吧，好来看一下，

第八对方都说计算定积分啊，那个定积分的话呢，它是从零到二分之派上这个x倍的sin x的绝对值。哎，这边又有了一个绝对值呃，首先第一步，这道题应该怎么去思考啊？是不是应该得想办法把绝对值去掉不去掉？我不会算呀。对吧，所以去绝对值的话呢，那你看一下，从零到二派上这个正弦是不是得分成从零到派，再加上派到二派呀？对吧，

所以这地方呢，可以把它写这个原式。那就应该等于先从零到派上x倍的，这个sin x绝对值是不是可以直接去掉？正弦大于零。然后这个从派到二派上把绝对值去掉的时候，这个sin x是不是也得加一个负号对吧？因为它是负的啊，所以就是这个样子的。好，然后再往下前面这个积分，那是不是就可以使用分母积分对不对对？反幂三指幂函数留下。好，这个三角函数抽到后面去零到派，

然后呢是xd是不是应该得是负的cos x？好对吧，然后呢，再减去后面这个呢，那后面这个可以选择加上了啊，加上从派到二派x第一。cosine x把这个负号呢，再还给负的，还给那个sin EX还给他，那么就是d cosine x好，两边都给它分布积分，第一个是负的x cosine x。代入零到派啊，只不过代入上下限就行了，减去就变成了加上，

对吧？它俩交换过来，那就是从零到派cosine xd x。然后再加上后面这一项呢，是x倍的cosine x代入派到二派，然后再减去它俩交换过来，是派到二派。然后呢？是cosine xd x。对吧好，然后分别给它计算就行了，前面这个把派带进去是负派乘上cosine派cosine派是负一，所以把派带进去，那就是派了。啊，

你自己慢慢算啊，那就是派派把下限零带进去是零，所以前面这个算出来就是派，然后呢，加上这个零到派上的余弦的积分啊。啊，那就应该等于sin x带入零到派哎对啊，sin x带入零到派没没错啊。或者我们画图也行，这个零到派上的余弦的积分，根据它的几何意义，也可以直接一下得出答案。对吧，零到派的图像是这样，这地方是二分之派，

所以你看一下，虽然说它不是一个对称区间，但是它的图形。关于二分之派，这个点是不是对称的？那这时候余弦在零到派上的积分可不可以直接写零啊？可以啊，根据集合几何意义，可以直接等于零这个东西，那你给它积分出来，把派带进去是零把零带进去也是零。啊好，这两种方法都可以啊，这个地方直接写那个也行好，然后再算后面这个。

后面这个的话呢，是把二派带进去，是二派乘上cos 2派cos 2派是一对吧？呃，减去把下限带进去的派cosine派cosine派是负一，所以这块就是加那这样的话呢，这一项就是三派。好，然后再减去后面这个派到二派上的余弦，那我们把这个图像给它画完整了，派到二派上的余弦。是不是也可以直接写零能听懂吗？看看啊，这是二派派到二派上的图形，这个图像啊，

它也是上下正好抵消的。啊，当然，你给它算出来也是一样啊，算出来它就减去sin x带入派到二派啊，因为带入3a线都是s in整数派都是零对吧，所以这个结果就等于四派。好，那就是这个题考察到了它的分布积分，同时要注意这个绝对值啊，要给它分开。然后下面第九题是一个非常典型的一道题目啊，这个题目的话呢是呃，这个含有抽象函数啊。它有点像抽象函数的这样的一个积分，

怎么叫抽象函数呢？你看这个被积函数里面这个y，你知道它具体表达式吗？现在不知道啊，那已知条件给了什么呢？给了它的导数，那给了它的导数，我能不能先把它积分出来？再积分的可以，但是思路上可以，但是。不好算啊，你先把这个积分它给你的这个函数，万一它不能积分呢，你看这个的平方。

它还是不能积分的。所以这种题目为什么给你一个抽象函数让你积分呢？一定是不会给你它的直接信息，要么给你它的导函数，要么给你它的原函数，比如是大yx。那这种时候我们必须得把它的导函数带到积分里面去，或者把它的原函数带到积分里面去，怎么办呢？这地方就得用分部积分。因为分布积分就会出现它的导数，出现它的原函数，对吧？都行，你想要原函数也能分出来，

要想要导数也能分的出来。啊，那就是这样的两个形式，比如从a到b，它是x倍的小fx dx，我如果说需要导数怎么分呢？好，那我们就这样从a到b把小fx留下d把剩下的都给它凑到后面去。然后呢，给它分布积分二分之一x平方，然后呢，小fx。二分之一x平方啊，然后小fx代入a到b。a到b减去它俩交换过来，

那就是从a到b二分之一x平方d小f。d小f的话，是不是就出现了小fx的导数dx这个地方肯定会有已知条件进行化简，这个地方导数就可以代入了。这就是第一个啊，需要导数的话，我们可以进行分步积分，那如果说我们需要原函数啊。那这个地方也是分布积分，那么从a到bx倍的小fx dx啊，这种形式的类似的积，这种积分体。我们可以把这个小直接给它凑到后面去，就变成了了，然后呢，

再给它分布积分倍的大带入到。减去它俩交换过来大fx dx哎，你把大fx就可以直接带入了，所以这个分部积分既可以出现。嗯，它的原函数也可以出现，它的导函数啊，所以大家把这个呢，作为一个重点的题型，那它考察的叫含抽象函数的积分。含抽象函数。的积分，不管是定积分还是不定积分啊，我们这地方都可可以用分部积分。用分步积分啊就行了，

你记住这样一句话，通用的思路啊，好那么所以这个题目的话呢，应该就应该往导数上分往导数上分零到1y xd x，我们应该怎么分啊？是不是应该直接分布两项相乘x倍的yx，然后呢，代入零到一啊，我们来看一下，这样的话啊，有什么？这个不太好的地方，这个这这直接这么做还不太好，还得需要再化简一下啊，那么两呃两项相乘啊。

呃，减去两项交换过来，那就是零到1 xyx 1撇dx。好直接分母积分就这样，那这样的话呢，行不行呢？其实也行啊，但是不是特别好，我们可以把这个先算完，一会儿给你说一下，怎么能变得更好一点啊？然后我们带进去看一下，把一带进去的时候，这地方是不是出现了y1？啊，

出现了外衣。对吧，然后呢这个？把零带进去的话呢，就当然是零了，这个y1是多少啊？y1是多少不知道对吧啊，只得到这个y0啊y0是零。嗯，但是万一是多少不知道嗯，对吧？好，那只能先写到这要，如果说不不对它进行改变的话啊那。那后面这个积分呢？

后面这个积分我们就可以把这个外皮也给它带进去了，对吧？带进去的话，那它就变成了是从零到1x倍的。y撇的话呢，就变成了x- 1^2，然后呢dx。那么，这个积分应该又怎么算比较好算呢啊？当不定积分来思考啊，那这个地方有一个x- 1^2。这个地方是x，如果说这个地方是x- 1就好了。如果说是x- 1，那这个地方不就直接可以给它凑微分了吗？

对吧？凑成这个dx- 1^2，然后你给它换原换掉。换掉的话呢，只变成了的这个积分了，是不是就变简单了？但这个地方现在是x，它就不太好，所以它最好是x- 1啊，那怎么办呢？那你就只能给它减一+1。啊，减一+1啊，没问题，那减一+1那就变成了从零到1 x- 1倍的，

这个arctangent x- 1^2 dx再加一。那加上从零到一这个arctan x- 1^2 dx。对吧，减一+1啊，这个地方是为了抽一分。啊，这个加一怎么又处理呢？这个直接积分是积分不了的，但是你不要害怕，为什么呢？因为这个东西实际上就是外撇。对吧，不要担心它这个怎么不好算，因为这个地方它就是y撇啊y撇的话呢，积分不就是yx代入零到一吗？

加上零到一的话，把一代进去诶，这个地方就等于y1-y0y一是多少不用管，跟这个减掉了。这是什么巧合，对吧？这种抽象函数的积分，它一定得得有得得有点巧合，这俩就能减掉了。减掉了之后，这y0y0是零，所以这这一项跟这项就减掉了，只要算这个就行了。对吧好，这是这个题目，

如果说我们这么做的话啊，就应该只能是这么去往下算完它，回头你自己可以把它算完，是这么算。就是直接分布积分的话，这地方呢，它其实并不是太好啊，因为这地方只是个x，我们给它硬凑了一个减一。那能不能让这个地方一上来就是减一呢？如果说一上来减一就会简单，为什么那这个x哪来的这个x的话呢？是这个地方分母积分得来的吧？是不是它俩交换啊？它俩交换过来xd yx得到的这个x。

那我能不能把这个x1上来就给它改成x- 1呢？好，那这道题的话呢？这样做就会变得非常的简洁了。看上去也非常的巧妙，那就是先把这个地方抽一分。dx给它写成dx- 1。dx- 1是等于dx的对吧？这俩是相等的啊好，然后再给它分布几分。这时候就变成了x- 1倍的yx。x- 1倍的这个yx，它的代入零到一减去它俩交换过来零到1 x- 1倍的。y1撇，然后呢dx这样的话呢，

一下子两个问题都解决了，把一代进去的时候它是零倍的y1哎，不用管y1了，看到了吧？然后把零带进去的时候呢，是负的y0负的y0y0题目又告诉我们等于零啊，那所以你看这样的话，一下子前面这个地方直接就写成零了。啊，这是这道题的话呢，一个比较巧妙的点，而且它比较通用呃，考到别的其他这种类似的题目有可能也得这么去做。就是后面这个积分，为了好算，

你希望这个地方x带个常数的话，那么你一开始凑微分，先凑好了再分布积分。挺好的啊。好，然后下面那就减去这地方是不是可以抽微分了？那就是零到一，然后呢y撇那就是。x减一的平方，然后呢？这个和它凑起来叫dx减一的平方，前面呢？我们给它留一个负的二分之一。对吧，零减二分之一啊。

好，然后呢？再给它做个变量替换啊，我们另。这个x减一的平方等于t，对吧？它就变成了是负的二分之一代入上下呃换元换线。来换一下，当这个呃x取零的时候t取负一的平方，那就是一。当x取一的时候t取零啊，所以是变成了这样子的啊，一到零一到零，待会和这个负号啊。你可以给它交换一下啊，

就给它吸收掉对吧，然后它这个地方就变成了arctangent。t然后呢dt那现在我们把它上下线给他交换回来，那这个负号就没有了。啊，一定注意这个商业线是跟前面的商业线是换过了换过了，但是呢，跟前面的负号抵消了啊，所以呢，又给它。变成这个样子了，好，那这个地方再往下，是不是还是分布积分对吧？那就是二分之一放到外面，

不用管反三角函数的积分，直接分布积分，那就t二克。这个tant代入零到一减去它俩交换过来，它俩交换过来的话呢，那就是t第二个tan呢，是一+t^2啊t。他的鼻涕。对吧？好，那再往下就好说了，那就等于把一代进去是arctan ENT 1 arctan 1是tan多少等于一啊？t尼的四分之派等于一对不对啊？所以这地方呢，就应该是四分之派，

塔尼的四分之派等于一啊。然后减去后面的话呢是呃，这个下限零带进去的，那就是零不用管了，然后呢算后面这个呢，又是二分之一ln一加t方。代入零到一。好它呢，就应该等于后面这一项算式是多少把一带进去是ln二二分之一，ln二二分之一，ln二把零带进去是零，那就不用管了，所以它就等于八分之派乘开。减去四分之一ln二，当然你可以提个。

八分之一出来也行啊，提个八分之一出来的话，它就变成了八分之一倍的派减两倍的ln二。对吧啊，化简一下啊，好这道题的话呢，是一道考研真题级别的难度，现在的话呢，你慢慢的把这个题能理解清楚，其中的两个。需要注意的点就行，第一个的话呢是含有抽象函数的积分，一定要用分布积分，第二个的话呢就是这一步的抽一分。啊，

非常的重要。当然不凑也行，也能算，但是往下呢，刚才第一个方法呢，不是特别舒服啊，不是特别好算，对吧？好，这是这个分母积分啊，定积分的分母积分要注意的。然后下面还有一个公式叫区间在线公式啊，也是一个重要换元，这个区间换这个区间在线就是一个换元法啊，那这个换元是怎么换的呢？

就是令x等于上限加下限减t固定的换元啊。上限加下限减t。那什么时候用这个重要的换元呢？这个区间在线呢，就是当常规的方法不好算的时候啊，就是前面那些方法都不好算。那么，我们再用考虑这个区间在线，如果说前面的方法正常的，不定积分的方法或者是定积分的几何意义，那种能算的啊？啊，那就不要用这个区间在线，区间在线一定是最后才用到的，才想到的一个换元啊。

好，那么这个换元的话，你看咱们来算一算啊，当这个呃x我们自己换一下，当x取a的时候t应该取几看这个地方。当x取a的时候t是不是应该取b对吧？啊，这张t=b的话，你看正好是x=a的时候对吧？然后呢？当这个x取b的时候呢？t是不是应该取a？所以应该是b到a。然后呢？小fx呢？

就变成了a+b-t，但是要注意dx是不是应该等于负的dt？负的dt这个负号和上下限又可以交换一次，所以就变成了这个样子了，好那所以看上去啊，你看从前面这个积分。变到这个积分，是不是感觉只有形式上啊？从形式上来看，上下限是没有变化的，这叫区间在线啊。对吧，又出来了，这个区间啊，但是实际上是经过了中间的跳步，

对吧？才得到了这个结果啊，不是说上下限没有换换了，但是呢，被这个微分里面的负号。又给它换回来了，对不对啊？好，一定要记住它是从形式上区间不用管，然后呢把换掉。换成a+b-t啊，然后呢？这个dx换成dt啊，这就是这个结论啊，可以直接跳步，

这样去使用好吧？用完了之后，这个积分呃，如果说这个积分不好算，这个积分也不好算。那么，这个积分也不好，那那怎么办呢？我们把这个积分里面的t可以再给它改回x哎，那这个地方一个定积分里面用两次换元，不同的换元行不行可以？啊，因为咱们说定积分，它的换元的作用只起在这一步上，换完之后得到了这样的一个积分，

这是一个数。那么，这个数跟下面这个数显然相等，积分与参量无关，所以呢，你可以从上面这一步再给它换回来，那么这个积分不好算，这个积分也不好算。那怎么办？我们把这两个积分相加除以二。是不是还还是和原来相等能听懂吧，因为定积分的话呢，是一个数这个地方，如果说给它看成I的话，它等于I，

它等于I，把它俩相加是2I。2I÷2是不是应该还是I，所以把这两个相加除以二啊，被积函数相加，整体再除个二。依然和原来相等好，那这样的话呢，咱们这个被积函数往往就起到化简作用了，这一套是固定的。就是从这一步画圆开始，到这个位置都是固定的。啊，等你熟练了，那你就可以直接从这直接到这也行。

好吧啊，直接就就相当于把这儿从这儿到这儿直接就是一个公式了啊，那为什么它俩相等就是做了一个变量替换？嗯，好，那刚开始的话，我们可以不要跳步那么大，你就会觉得不太好理解啊，那么我们就一步一步写。来看一下下面这个第十题。这个题目的话呢，就是常规方法不好算，你看抽一分也不好抽，然后呢这个？呃，

我看一下有什么问题，有的人说呃，这两x都不一样，对两x不一样，没关系啊，这两呃哪个地方不一样呢？两x实际上是一样的，没有说不一样。嗯，咱们先从这一步到这一步来，有没有不懂的同学打个二我看一下。从这一步到这一步，两个绿绿色的这两步，这两步相等没问题吧？好，

这个地方呢，我们给它记住哎，这个应该没问题，这就是个换元，对不对啊？好换完了之后呢，我们把这个t再给它换回来，这个t让t=x。好，那你不要觉得这个x跟这个x哎，这不就冲突了吗？矛盾了吗？啊，这个x=t上面那x=a+b-t，这不就不相等了，

不对。我们说了这个定积分的换元，只有在换元的这一步起作用，再往下就没作用了。这不是换回去了啊，不是换跟这个就没有了，就消失了，就是定积分，它是一个数，这个常数我问你跟这个常数相等吗？相等吧好，这两个常数相等，我问你这个常数跟这个常数相等吗？相等对不对？这两个常数是相等的吧？

那你跟这个你看跟这个换元是没关系的啊，这个换元只在这一步起作用后，到了下一步就就把它忘掉了，就跟没发生一样。因为这个积分，它就定积分就是一个数，你换到下一步的话，你就看它变成一个新的，这个表达式了，还是这个数，这个数和这个数相等。那你说这两个数相等吗？也相等啊，那这两个x不一样啊嗯，没有涉及到一样不一样的问题啊。

它俩就只要是长得一样，它就是一样的啊，千万不要把它这个跟这个x=t哎，这俩就混了，这俩没关系。你再体会一下啊，这里这个还原跟这个关系，它俩是没有联系的，就像刚开始给大家解释那个可击，还有可导，那是两条线。对吧，可击是一回事，可导是一条线，它俩不要混到一起去，

它俩没关系啊，这两个换元没关系啊，好，所以说在这个定积分里面是允许出现这种换元的。定积分的换元只在那换元的等号那一步起作用，往后就跟没发生一样了啊，所以这个t可以随便的给它换回x啊。好换回来之后的话呢，那现在就是说我们得到了两个积分相等，反正就是这个积分和a到b上的这个小fa+b-xd x这两个积分是相等的。反正是这两个数是相等，这是一个数，这是一个数啊，定积分的话，原只起一步作用，

你就记住这句话，我觉得可能会更好理解。定积分的换员只起一步作用，用完了之后就扔了一次性的啊，不定积分的话呢，是整个积分过程中都要有用啊，要给他换回去的，而定积分是不需要换回去的。好，那这两个数相等，那这两个数相等你给它相加除以二是不是依然还是跟原来相等相加除以二没问题吧？好，那这就是一个固定的套路了啊，那我们来看一下这道题，这个题目的话呢，

直接算它就是不好算，直接算不好算，那我们接下来呢，直接这样去写解。我们这个原式。那么等于给它做一个变量替换，我们令这个x等于上限加下限减t，那就是二分之派减t。好令x等，于是二分之派减t，那么如果说你正常的换元的话，那显然当x取零的时候，这个t应该取二分之派。当x取二分之派的时候，这个t应该取零对吧？

但是不要忘了后面dx，它是等于负的dt是不是这个地方有负号嘛？复制机器，所以这时候上下线呢，又给它换回来，所以以后熟练了就不要经过中间这个步骤了，我们直接还是写零到二分之派，这叫区间在线。只不过要把这里面的x换成二分之派，减t sin 2分之派，减t是等于什么？所以二分之派减t跟t之间是不是互为余角，对吧？互为余角正弦的这个角度值跟它的余角的余弦是不是应该是相等的？或者是根据诱导公式，

即便我不变符号看象限，它是不是应该等于对吧？你就直接记这个余角应该会比较好，这个角度的正弦跟这个角度的余弦是相等的，对不对？好，所以呢，这个s in 2分之派减t都可以给它写成叫cosine t啊，三次方下面的话呢是cosine t的三次方，然后呢加上。sint的三次方，然后呢dx呢？直接写成dt。看到了吗？这一步还原，

这是跳步了啊，是从这儿直接跳到这儿了，中间的一步省省略了，你要不熟悉的话呢，你就先把中间的步写出来。好，那这个积分啊，还是不好算。对吧，对负号和上下限这个顺序抵消了是对的啊，没问题啊，你正常换元的话，它本身应该是二分之派到零的，会多一个负号的dt啊，本身换元应该是这样。

啊，那所以我们把这个符号跟上下限交换回来啊，就变成这个样子了，对吧？好这个点呢，还是很多同学容易就是忽略啊，我已经有时候讲过好多遍，还是忘了。那为什么说这个不是应该有个负号吗？啊，这个dt不应该有负号吗？负号被上下线给吸收了对吧？就没有负号了啊？好，然后现在这个积分不好算，

这个积分也不好算，但这两个积分相加就好算了，你看这俩相加是等于多少它呢？就应该等于二分之一。从零到二，二分之派原来的积分是sin EX三次方除，以sin EX三次方加上cosine x的三次方。加上后面这个积分，后面这个积分的话呢，我们直接给它换成cosine三次方除，以cosine三次方加上。sin x三次方，然后呢dx。看懂了吗？这两个相加是不是直接背景函数就变成一了？

好啊，你看这就是它的这个巧妙之处啊，直接就变成一了，变成一的话呢，积分就是二分之派，二分之派乘了前面二分之一口算四分之派。好，非常的巧妙，对吧？这就是这个基呃区间在线啊，公式也叫中央换元啊，反正就是在常规方案不好算的时候。再用这个换元，那么如果说常规方法好算呢，你这么换它是没有意义的啊，

常规方法好算，你换了之后还是好算。你还干嘛还要非得把它俩相加除以二呢？你不是给自己找麻烦吗？听明白了吗？常规方案不好算的才能这么算啊。好，这是第十题呃，然后下面这个11题。11题啊，11题这个地方呢，它是让我们计算这样的一个积分。啊，计算这样的一个积分，这个积分的话呢，

是从零到派上呃，这个看一下是什么？从零到派。这个地方是反正不好算啊，而且这地方还带还带了绝对值。对吧，还带了绝对值，这个绝对值的话看看啊。绝对值，我这个地方能不能考虑给它这样子？好，那这个题呢？我给大家先讲一个结论吧，还是区间在线的话，还有一个非常重要的结论嗯。

讲一个结论，我们再回过来看这道题会变得更简单啊。好，那就是对于这样的一个积分，这个I如果说等于从零到派呃x倍的小fs in x，然后呢dx。我们来看一下这个积分，这个积分的话呢，就是属于常规方法不好算的那种积分，那么我们应该怎么办呢？使用重要还原。我们令x等于上限加下限减t。好，那就是派加零减t派减t好，那这时候呢，

就变成什么了，当x取零的时候t取派当x取派的时候t取零，然后呢dx呢，就变成了负的dt。好，我又给你算了一遍，好这个负号的话呢，给它再交换过来好吧，所以以后就跳这一步啊，然后里边的这个x是不是就变成了派减t？然后这个小fs in x小fs in x是不是就变成了s in派减t？s in派减t，那就应该等于s in二分之派乘二减t。然后呢？就往下就是奇变偶不变符号看象限啊，

这个地方是偶数偶数的话呢，是不变那就是sint。原来是锐角啊，那么拿派减去锐角派，减去锐角时候变成这样一个钝角。依然正弦在第二象限，第二象限依然是正的，所以说这地方还是小fs int。好，然后呢dt。那这个地方要注意这个从前面这个sin x变到sint不是不是说直接把x换成t了啊？我这地方还得写一波，我就担心回头大家看笔记的时候呢，你又看不懂了啊，它实际上是派减t。

是吧，然后呢dt，然后我们再等一步啊，那这个地方那既然等一步的话，我把这个地方也给它还原一下啊。好，然后呢？它就变成了从零到派，然后呢？派减t。派减t小f，然后呢？sint，然后呢？dt。

就变这样子了，对吧？那这样的话，这个积分也不好算，这个积分也不好算，但是把它俩相加除以二就好算了，它俩相加除以二是多少？你看这个都给它换成x啊，换成x相加，那这样的话呢，是不是可以提出小fs in x来，那就是派减x+x就是派除以二，那就是二分之派。从零到派小fs in xd x看到了吧，所以这样的话呢，

它就没有x了啊。画到这一步，跟前面这一步相比，它就是没有x的啊，没有x，它就变得相对就简单了许多。好，那下面像下面这道题就是。这道题的话呢，就是常规方法不好算啊，那么我就使用这种重要换元重要换元，如果说你把这个步骤写一遍的话呢也行啊，直接就是这个原式，那就应该等于。派x等于派减t，

然后代入这样子。如果说我们把上面这一步啊。这个作为结论来用的话，它就直接可以写成从零到派上的x乘上，这个东西就叫小fs in x。那有同学这地方有cosine啊，cosine也可以写成看成小fs in啊，就是关于s in的函数啊，它可以写成这个根号下一。一减这个s in方，反正这地方有绝对值，对吧？你看啊，这个sin x呃，也就是我们这个可以把它看成小fs in就行啊。

那对方能不能看到小fs in呢？可以啊，因为这个式子是x嗯，后面这个是sin x cos x。除以一+sin x的四次方，上面这个绝对值，这个绝对值的话呢，可以把它写成是sin x提出来。cosine绝对值是不是这样子？因为零到派上的正弦是大于零的，所以可以直接提到绝对值外面来，而这个式子是是不是可以把它写成叫sin x？乘上根号下一减去sin x方除，以它们一加上sin x次方，这个东西就是一个小fs in x。

只要能把它看成写f3x的，就可以用这个公式啊，如果说不能把它看成写f3x的什么样什么样的不能呢？如果说没有绝对值就不行。如果说没有绝对值就不行啊，没有绝对值的话，这个cos在零到派上它是有正有负的。到底是正还是负啊？那你得给它分区间，你得分成零到二分之派上二分之派到派零到二分之派二分之派到派。这样的话呢，你才能把这个cos x看成x函数，否则的话呢，它不是因为这个cos x不能直接在零到派上，等于根号下一减s in。

得等于正负，到底是正的还是负的？那你还得分区间，所以这道题呢，当只有cos x的时候，你不要用。这个直接用这个结论啊，那你还不如怎么办呢？其实这种题目呢，其实也可以直接就是把这个换元写一遍。啊，你把这个换元是永远可以用的，但是这个结论能不能用取决于这项，你得能不能把它看成sin x的函数，那咱们这道题可以啊。

可以的话呢，所以我们这个地方直接原式直接等于二分之派从零到派，然后呢是这个sin x。然后呢？cosine绝对值，然后呢？一+sin x的四次方啊dx。就是可以直接用这个结论啊。直接一步的就到这儿了，到这儿的话呢，剩下的问题来看一下这个cos x，那当然还是要考虑这个绝对值，要给它去掉。对吧，给它去掉啊，

给它去掉的话，这个地方我们看看怎么给它去掉呢？这个去掉啊。其实我还看还想考虑一下。不是给它去掉了，我想给它做一个变量替换行不行啊？呃，如果说去掉的话，当然是可以把它写成从零到二分之派上是sin x cos x比上一+sin x四次方。这是一种方法，对吧？分开区间讨论，那么dx再加上从二分之派到派没问题，对不对？那么，

在去掉之前，我想。先给它做个变量替换，因为去掉之后这样也不是特别啊，也还行啊，还挺简单的，还挺简单的，因为正好可以抽微分了，对吧？因为cos x。凑成d sin x sin xd si nx，又可以凑成ds in x的方，再乘个二分之一，在这时候它就可以直接。积分了对吧？

可以啊，所以分区间没问题。然后我还想了一个什么方法呢，就是还想可以给它，能不能？给它做个变量替换啊，只不过变量替换呢，可能大家想起来不太容易，就是把它换成这个对称区间上。我们拿这个x给它减去高尔分之派，我想做这样的一个变量替换。把x- 2分之派等于t，这时候上下限就变成了当x取零的时候t取负的二分之派，当x取派的时候呢t就取二分之派换成对称区间。好，

然后呢？再给它换进x呢？就应该等于二分之派加t来，我换一下，看看是不是比刚才拆分更简单啊？好，那这时候x呢，就等于二分之派加t代进去，sin x就是s in 2分之派加t是多少？叫奇变偶不变，符号看象限对吧？那么，首先呢，畸变变成了cosin t啊。这个s in带到这个位置上去啊，

就变成畸变呃符号看象限锐角加90度钝角钝角的话，第二第二象限依然正弦是正的，所以说它这个符号是正的啊。然后后面这个cosine x的绝对值呢？那肯定就变成了si nine t的绝对值了，下面的话呢，一+si nine呢，就变成了cosine t的四次方了。然后呢？这个d。这个dx呢？就是dt哎画圆之后的话呢，可以使用欧贝这个去这个区间的去这个绝对值的话呢。会相对更容易一点，你只需要算一个积分就行了，

就不用算这个派到从就不需要算二分之派到派了。啊，当然，你直接算应该也不是特别复杂，所以这地方呢，我们还是使用一次这个换元。就是化成对称区间会更简单啊。呃。大家能觉得这个化成对称区间能比较容易想吗？如果说不容易想的话，我觉得还是按照常规方法去做，如果说觉得还行啊，也许能想到，或者说之前想不到，现在听了以后也许能想到。

那你就可以考虑使用这个方法啊，这个方法往下会更简单，等于两倍的从零到二分之派cosine t，然后呢si nine t÷1+cosine t。对吧，还还行吗啊？如果说不还行，你你自己咱们这个作为选用选做的方法，你课下去做吧好吧，那么我们还是用常规方法。常规方法可能会在基础阶段，会更容易接受啊，那就直接给它分区间就行了，从零到二分之派。然后呢？

sin EX cos in EX÷1+sin EX的四次方dx加上从二分之派到派。然后呢？sin x然后呢？cos x这时候去掉是不是应该得加一个负号？那就是减去然后呢？除以一+sin x四次方，那么dx。就是这样子，这样子的话呢，它就应该等于二分之派，这个其实是可以直接积分出来的，它的积分呢，是一步一步进行的啊。首先先把它化成这个ds in x的平方。d三x平方的话呢，

是多了个二，前面得有一个二分之一，所以我们把这二分之一呢给它提到外面来就变成了四分之派。啊，你要看好这个和这个相乘，是不是这俩相乘？对吧嗯，再或者我总是还是担心大家将来看笔记的话有问题，我还是写到这儿吧，还是。老老实实的不要跳步了啊，好，然后下面的是一+sin x的四次方对吧？抽一分一次啊。然后呢？

减去后面呢？是二分之派到派啊，也是同样道理啊，还是前面得有一个二分之一？然后呢？是ds in的平方除以一加上s in的四次方对吧好，然后再往下，这时候二分之一可以提到外面来了。四分四分之派呃，第一项的话，这个是不直接写成arc？tangent.sin x的平方。对吧，它呢，

代入零到二分之派呃，减去这个是arctangent一样啊，还是sin x的平方代入是二分之派？倒派对吧好，然后呢，再给大家带入计算一下啊，那把二分之派带进去是s in 2分之派是一二个tan 1呢是四分之派。把零带进去是零，所以说呢，就是四分之派，那么减去后面这个把派带进去是零啊零呃，那就是零。呃，然后呢？把三二分之派带进去是一二三减四负的四分之派对吧？

应该是零减四分之派就是负的四分之派减去负的四分之派，加上四分之派。能能绕的过来吗？自己绕一绕啊，把这个商业线带入啊好，所以这个结果你看后面的话呢，就是二分之派。二分之派乘上前面，四分之派等于八分之派方。这就是这种这个题目啊，还是常规方法不好算使用这个中腰换圆，只不过这个地方我们用了结论，如果说你不用这个结论，不记这个结论行不行可以？不记这个结论的话呢，

那你这个地方就是正常的，给它换元就行了，令x等于派减t，你给它带进去，然后两式相加除以二。就可以得到这个结果了，但是如果说你记住这个结论呢呃，这个步骤书写起来会更简洁，那上面这个结论你自己多推导两遍把它。记得记得，特别熟练才好啊。好了，这就是中央换圆区间在线啊，然后最后一个就是华丽士公式，华丽士公式的话呢，

咱们刚才已经说了，最基本的形式了啊，就是你直接套这个公式就可以了。这个公式的话呢，还有一个稍微简单一点的啊，不是不是稍微简单一点，是这个稍微拓展一点的。啊，它的一个应用。就是如果说我给你是零到派上sin x的四次方dx，这个积分怎么算？来看一下，那这个积分的话，零到派上正弦要画图，想想图像sin x次方的图像是不是应该是跟正弦sin x这个图像是一样的？

这地方是二分之派，这地方是派，它能不能直接写成两倍的，从零到二分之派sin x四次方dx？可以吧，写成这样子的话，那下面直接零到二分之派上就可以使用花力士公式了，不要直接在这个地方使用花力士公式。要注意华丽士公式的话呢，是上限是二分之派，不要弄错了啊，所以它应该是二倍的，然后呢，四三二一×2分之派。好，

这个结果把它化解一下，那就是八分之三派。那如果说让你算零到派上sin x的三次方。或者五次方吧。然后呢dx。那五次方的图像是不是应该还是可以写成两倍的，从零到二分之派？sin x的五次方dx没问题吧？所以它呢，就应该等于两倍的五四三二。没有一了呃，数不到后面就没有二分之派，所以这个地方就是十五分之十六。好，那如果说让你算零到派上的这个cosine x四次方dx呢？

cosine 0到四分零到派上的图像是这样子的，那你cosine的四次方的图像是什么？cosine的四次方的图像是这样子。当然，跟原来的余弦不重合啊，但基本上它是这个比较接近的啊，它会变得小一点。这是cosine是什么？对吧好，那这时候你看它是不是还是可以写成两倍的，从零到二分之派，然后呢cos x四次方？然后呢dx，所以这个结果依然还是八分之三排。同学们，

然后再往下呢，如果说这个地方给你写成是零到派上cos x的五次方dx呢？这个结果是什么？cosine五次方能不能写成两倍的从零到二分之派？cosine x五次方呢？这个地方就不行了，对吧？你一定要考虑它的这个图形啊，余弦它的图形是这个绿色的。它的五次方跟它应该长得是差不多的啊，所以呢，它会上面和下面进行抵消，这个结果应该是零能听懂吗？啊，就是华丽士公式在拓展的时候，

使用的时候不在零到二分之派上的时候，你可以给它想办法画到零到二分之派上，一定要结合图形。啊，结合这个正弦余弦的图形嗯，好吧。好，然后呢？我们看最后一道题目啊，第12题。对吧，那这个地方会不会考？会不会考tan的不会啊tan的高次的话呢？就不是华丽士公式问题了啊，它一定是普通的积分问题了，

华丽士公式只有正弦余弦。好吧，所以你不用担心考其他的tan的那种啊，来我们看一下最后一个12题，这题目它说计算这个积分。啊，那这个积分的话呢？显然我们得去根号对吧？所以我们令x呢等于sinn t。按照则这个原式，那就应该等于从当x取零的时候t取零，当x取一的时候t取二分之派。x四次方就变成了sint的四次方，然后呢，这个根号就变成了cosine t的绝对值还是cosine t0到二分之派上？

dx呢就变成了cost dt，所以就变成这样子。变成这样，这个再往下看一下怎么做啊？再往下的话，这个地方是不是可以把这个平方？啊cosine t的平方给它写成什么？是不是可以把它写成这样，那就是一减去sint的平方dt对吧？写成这样的话呢，你可以给它拆开一个四次方，减去一个六次方都可以使用花离式公式，这个在咱们考研的。呃，尤其像数一的同学呃，

在三重积分啊，线面积分经常会计算算着算着算着，就算到这一步去了。啊，非常高频的出现啊，这个这个东西三重积分里面，尤其是球面坐标，有时候算着算着就这样，或者二重积分里面。那有时候也可能，那就是数数学二三的同学啊啊，像这种小的积分啊，就是将来在大题中，其实可能它就计算。计算了一步啊，

那么这个计算的话呢？就是这个四次方啊，直接口算四次方呢，就是四三二一×2分之派。减去六次方，六次方，那就是六五四三二一对吧？四三二一×2分之派。好，然后下面这个计算计算怎么算呢？你看啊，提公因子啊，提完公因子的话呢，还剩几啊？一减六分之五就是六分之一。

然后呢，乘上四三二一×2分之派，那就把它化简一下啊，当然这个过程不需要写在这个试卷上，写在草稿纸上就行了啊。它呢，是六分之一乘上四三二一乘二分之派对吧？那这个三和六约掉是二啊，这样的话呢，这个是？四十一十六十六的话呢，就是32对吧？32分之派。四三二一对吧就可以了啊？好，

这是这种啊，华丽士公式的一个应用啊，华丽士公式。呃，在定积分计算里面比较重要，然后呢，这个区间在线啊，或者叫重要换元这个呢，用的相对少一点。在考验真题里面，但是你得会就是常规方法，你发现不好算的时候，你要想到这个常规方法能算的，你就不要用它。一般来说呢，

都是不好用的啊，等常规方法不好用了，它就起到作用了啊，那所以那考题的话呢，常规方法考的多。啊，非常规方法的考的少啊，所以这个区间在线呢，你得知道，但用的不多啊，那华理师公式用的很多。剩下的就是常规方法了，往回看一下这些分部积分呀，什么换元呀啊，都是咱们不定积分里面的一些基础。

所以回头大家把定积分这些题目呢，也是跟不定积分放在一起呃，每天做两道不定积分或者定积分都行。啊，这种基础题一定要算的特别熟练，就得把大学教材上那些例题做的特别熟练，就足以应对考研的计算。啊，虽然说不是考试的原题，但是咱们将来考的那些综合题稍微一两步的转换就是这种简单的计算。啊，将来我们做真题的时候，你就会感受到这个了啊，现在的话，咱们就是打基础的，

你先不用做真题对吧啊，听按我跟你说的去做就可以了啊。好吧。

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