11.08.曼昆-经济增长Ⅰ：资本积累与人口增长02

罗泽兵 · 发表于 2024-4-10 15:57:13

好，下面我们来看一下第四节啊，第四节我们在这个第三节我们已经讲了关于储蓄率的这个变化，对稳态的这个。影响以及它对稳态的人均资本水平和资本人均产出的这个影响，我们基本的索罗模型呢，也表明了那么基本。这个资本积累本身呢，它并不影响呢，也不能解释这个持续的一个经济增长，因为它到了一个从旧的稳态到新的稳态呢，那么这一段时间呢，那个经济人均产出是增长的啊，人均增长率是增长的。但是达到新的稳态之后呢，

人均这个人均产出增长率和人均资本呢，它也都达到了新的稳态之后呢，不再增长啊，这样一个情况。我们说高储蓄率呢，它只能带来呢，这个暂时的经济增长，但不能达到呢，这个有序的经济增长。那么，为了解释经济的持续增长呢？我们需要呢？放松一些假设条件，比如说我们来引入人口啊，人口这个变量我们看一下人口如何变动之后，

那么这个产出。增长率以及人均产出和资本存量，它会如何变化？或者是呢，我们在引入时间，等到了下一章呢，我们还要引进技术来分析这样的一个增长问题。好，现在看第一个就是存在人口增长的稳定状态，那么存在人口的这个稳定状态这一块呢，你可以结合这个前面我们讲的这个储蓄率的增长呢？一起来这个对比学习。那么，工人人数的增加呢？它一般会引起人均资本的下降，

你看，因为我们的人均资本等于k表，对吧？如果这个。总量资本不变l增加，那么分子不变，分母变大，我们自然知道这个分数的值，它是变小的，所以人均资本。以及包括我们这个。人均产出呢，它都会下降啊，都会下降。人均资本存量的变动呢？

我们就可以写成这个式子。啊，写成这个式子就是说德尔塔k=i-n加德尔塔k了，那这个时候呢，就是人均资本增量呢，就写成这个样子啊，人均资本存量的变动。是这样的，然后呢？我们知道我们可以用呢s fk呢来代替这一个投资，也就是说。经济达到稳态的时候，它一定有I=ssk啊，大家知道，也就是投资等于储蓄，

我们把呢这个代表储蓄率这个代表着人均。人均的这个产出，那么人均储蓄率乘以人均产出呢？就是人均储蓄，人均储蓄等于人均投资贷上去，那我们可以得到一个新的这样一个。基本方程啊，这个方程也很关键，那你看到没有，这是我开头给大家讲这个框架的时候呢，给大家说了，就是说在没有技术进步，在没有这个人口增长和技术进步，只有折旧率的时候呢那。它的这个基本方程是delta k呢，

等于s fk。是吧，减去德尔塔k啊，这是只有就只有折旧的情况啊，只有折旧。啊，只有折旧的情况，那我们现在这个地方，你看我们在考虑有人口增长和折旧的时候呢，那它就这个基本方程就变成这个样子，对吧？n+delta k。这是有折旧。以及。及这个人口增长。

大家要注意啊，这是这样的一个，那等到了下一章，我们讲到这个有技术进步的时候呢，这个式子呢，还会进一步拓展，那我们后面讲到再说，那这个式子呢，非常关键在我们做题的时候呢。在索洛模型这个地方，在计算题当中呢，基本上是直接拿来用的一个结论。当然，这个本身呢，再出的难一点的题呢，

那么它会让你呢？对这个基本公式进行推导，或者是抽象的推导，或者是这个具体的一个科布道格拉斯式的这个生产函数，让你来推导，那这种题呢，前面我们也见过。后面呢，我们还会再给大家呢，引入这样的一种考法，这样的题目来给大家看一下，那么看一下在引入这个人口增长之后呢，这个索洛模型当中呢，它的稳态会如何变化呢？我们来看一下，

我们说。引入人口，那人口增长，我们实际上这个持平投资呢，我们还需要除了什么？除了有一部分需要折旧之外，我们还有一部分要分摊到新增的人口当当中去。所以这个收支相抵的投资呢，现在就从德尔塔k呢，它就上升到什么呀，上升到这个n加德尔塔k了啊n加德尔塔k，但总体来说它还是一条斜率为正的，这样的一个。啊，一条直线，

那么它和呢？这个储蓄率曲线s fk呢？相交那达到一个新的稳态啊，这个依然是这个稳态，依然是这个什么？我们刚才说了它是。德尔塔k=0的时候达到了稳态，那此时呢？这个稳态的人均资本的这个水平是KC。在这个水平上呢，人均资本不再增长啊，增长率为零，那么由于我们说我们的人均产出呢，它又等于fk。对吧，

所以推出那么如果这个。k在此处达到稳态了，它不变了，那么这个fk星呢？它必然也是一个什么不变的啊。这是我们说的是。这个问题大家注意，下面我们来看一下，我们引入了这个之后，我们来看一下，如果这个人口增长n啊，现在呢？现在是n，如果这个人口增长率变大了，或者变小了。

反正它是变动了，比如说变为n撇，那么此时它对稳态有什么影响？这是我们比较感兴趣的，那么看一下。假如说这个n从n1增加到n2啊，像这里面呢？n1增加了n2，那现在我们看一下，其实呢，它的储蓄呢，是没有影响的，但是它对什么有影响呢？它对这个收支相抵的投资这条线呢，有影响那以前的斜率是多少呢？

是delta+n一对吧？德尔塔加n1那现在呢？这个人口增长率呢？从n1增加到n2，其他条件不变，那这条斜率呢？它就会变大。它就会变成什么德尔塔加上n2啊，就是这里面的第二条线。大家看一下，起初的时候人口增长率为a1的时候呢？那么稳态的人均资本水平是多少呢？是k1星啊，因为在这一点相交。在这类相交，

它对应的横坐标，横坐标当中的这个人均资本数量是k1星。然后到了这个。那随着这个人口增长率的增加呢？那么收支箱体的投资的它这条线呢？会绕着这个原点呢是吧？逆时针的旋转啊，从这个德尔塔。加nek呢，向左旋转到什么德尔塔加。n2k那这个时候你看这条收支相抵的投资。这条线呢，它和原来的这一条啊，储蓄曲线那么又会相交，那这时候呢，

达到新的稳态。那在这一点稳态，它所对应的人均资本水平是k2性。啊k2c那大家可以看出来。对吧，随着人口的增长呢，它会使人达到新的稳态之后呢，它会使人均资本呢会下降啊，是人均资本会下降。那这个大家应该可以好理解，对吧？你比如说我们就做了一个蛋糕是吧？本来以前是十个人吃啊，比如说这个蛋糕有十有十十。十千克那么十个人吃呢，

一个人可以吃什么一千克，但是现在呢？这还是这一个蛋糕是吧？十十。十千克，但是呢，20个人来吃，那每个人只能吃到零点五千克了嘛，对吧？这是我们能够啊直观的一个解释，这是人口增长的效应，会发现呢，人口增长呢，会降低人均资本，当我们知道人均产出会怎么变呢？

人均产出，它是人均资本的一个函数，而且呢，是人均资本的一个增函数，所以的当这个k从k1。下降的k2呢？那人均产出呢？也就会从y1。就sk 1星呢，下降到sk 2星啊，人均资本下降之后呢，导致人均产出呢，也是下降的。好，我们说由于稳态的人均资本不变，

所以呢，在有人口增长率的这个情况下呢，稳态的人均产出呢增长率啊。仍为零，为什么呢？因为达到稳态之后呢？由于人口在增长啊，但是你要注意啊，由于稳态的时候它是一个这个稳态的人均资本，它是一个。常数了，它就不再变化了，那它是一个常数，那它它的增长率也就是零了嘛，那么对应的，

我们说这个人均产出y呢等于fk。那么k是常数了，那么k心是常数了，那么y呢？它也是常数了，所以它的在稳态的时候呢，人均产出的增长率，它也是零啊，常数你对时间求导。它就是零对吧？因为它没有增长嘛，它的增长率为零。但是要注意的是，由于我们说人口在增长，所以呢，

它总产出是在增长的，就人均的是没有增长，但是总的呢，这个是在增长的啊，这个要注意啊总的。在增长，那么它总的这个人均这个总产出的增长率是多少呢？是人口增长率n啊，人口增长率n。好，下面我们再来看一下人口增长呢，它对我们的黄金率的资本存量的影响，我们来看一下。我们知道这个。人这个资本的黄金率水平，

我们前面给下的定义就是呢，使人均消费达到最大化的。稳态人均资本存量，所以说首先第一个它是要满足呢，稳态第二个呢是什么呢？第二个是在这个是达到人均消费达到最大化，我们先把。消费的这个一般是写出来消费等于什么？等于我们的这个人均产出就是人均消费，等于人均产出减去人均投资，而咱在稳态的时候呢？我们知道这个人均投资呢，等于什么就等于n加德尔塔k，因为I=ssk。对吧，

那这一步到这一步的替换呢，就是因为用了一个这个。条件就是说在稳态的时候呢，一定有什么德尔塔k=ssk。减去n加德尔塔k它等于零。等于零，所以说这意味着什么？这意味着s fk是等于n加德尔塔k。那在由于这个呢？人均资本呢？它是稳态的人均资本，我们稳态的人均资本一般用k新表示，所以它代换一下，那就是等于什么？因为y新等于fk新。

那就等于它。那等于它，这是我们说的这个是。有人口增长的这样一个稳态人均消费的这个表达式，下面我们关心的是在这个。就是这个资本，人均资本达到什么程度呢？是我们的人均消费能达到最大化，那由于我们知道这个人均消费，它是。人均资本的函数，所以我们拿人均消费函数呢，对k一次求一次导那个底c比底k新啊。等于多少呢？这是DC星对吧？

那等于多少呢？你看它就等于f1撇。k星刚好后面的就变成长了，减去什么n加德尔塔，然后呢，要它等于零，那实际上我们知道这个f1撇k星呢，实际上它就是等于人。资本的什么边际量啊？资本的边际产量。也就是说，在有人口增长的情况下呢，达到黄金率稳态的时候呢，那么资本编辑产量呢？只要是减去折旧，

那就等于什么人口增长率，因为这个你变形一下，那么就是mp k减德尔塔等于n。这是这样来的，这个非常关键，对吧？这个你要和我们前面没有人口增长的这个稳态的，这个资本存量呢？就是和我们前面没有这个人口增长的时候呢，要求这个资本黄金率的这个条件呢，要对比起来，前面如果没有这个人口增长率，那么mp k呢，它就等于多少？它就等于德尔塔，

这是我们说的这个稳态资本存量呢，要满足的条件，现在有人口增长率之后呢，那么这个地方的imp k呢，它就等于n加德尔塔二再次强调。很重要，下面呢，我们来接着呢，再做一个题。前面给大家讲了央财的一道题，现在我们再给大家讲一道中国人民大学。啊八零二经济学综合二零一二二零一六年的一道题，我们来看一下这个题。它说，假定总量生产函数是y等于k二分之一l二分之一，

其实这是一个什么典型的科布道格拉斯生产函数。它的这个里边你看，其实它这里边意味着什么，你和这个。一般性的科布道格拉斯生产函数的这一个对比，你会发现它这个里面呢？这里面意味着什么？a是等于一的。阿尔法等于什么二分之一啊？阿尔法等于二分之一。好，这是我们说的是。这是我们说的这个生产函数，然后呢，如果储蓄率为28%，

就是说这个小S呢，等于零点二八，然后呢，人口增长率，这就是n=0点零一。好，然后折旧率德尔塔来告诉你呢，等于多少呢？等于零点零六，然后呢？让你利用新古典增长模型呢来回答下面三个问题。第一问让你计算了稳态下的人均产出。啊，这是典型的考法，求稳态的这一个相关的计算，

第二个呢啊，与黄金率相比，28%的储蓄率是过高还是过低？其实这个题本质上还是考的是资本的黄金率，对吧？你要想知道这个28%就是零点二八的储蓄率是过高还是过低，你必须知道。我达到这个黄金率的这个。资本存量是多少，进而呢，知道这个时候的储蓄率是多少，对吧？所以说你必须还是要通过黄金率来计算这道题，第三问是。其实是顺承第二问了，

说在向黄金率水平调整的过程中，人均消费，人均投资和人均产出的这样的一个变化特征。啊，这个其实在前面我们已经给大家说过，就是那个图对吧？储蓄值的变化，你比如说在这个。这个人均资本偏于偏离了这个黄金率水平的人均资本的时候呢，那它一般会向黄金率水平靠拢，在这个靠拢的过程中呢？人均消费，人均投资，人均产出呢，都会发生相应的变化，

它是怎么一个走势？那一张图大家一定要记住，然后后面还会给大家讲。就在这道题里面，我们给大家来看一下，先看第一问。啊，计算稳态下的人均产出水平，那稳态下的人均产出水平，由于生产函数y呢等于k二分之一l二分之一。对吧，那么一般来说，我们要把总量的呢，我们换成人均的，所以呢，

小y呢，就等于大y比大l。啊，小I等于。大l比大l那么给它一比，那比下来呢，就等于根号k。啊，这个这就是我们的什么？这就是人均产出的表达式。把人均产出表示，人均资本那y=fk等于根号k，那经济达到稳态时的均衡条件呢？因为这个地方你注意啊。这道题里面它有了什么？

它有人口增长，所以呢，稳态的时候的稳态条件呢，应该是s fk=n加德尔塔k，也就是德尔塔k，也就是德尔塔这个。这个德尔塔k呢等于零的。当然，如果这个题目里面它是没有人口增长的话。这一项如果假如说没有的话，如果没有呢，那这个稳态条件应该怎么写呢？它应该就是ssk呢，等于德尔塔k了，因为对吧？

所以说一定要根据题目里面它给你的已知信息呢。来判断啊，来判断。那么，有了这个式子就非常关键，因为我们已经知道人均产出的这个表达式了是吧？等于根号k那，所以呢，这个储蓄率就知道是零点二八，所以呢，零点二八乘以根号k呢，等于后面这个。n加德尔塔呢也是知道的，然后k是不知道的，然后我们要求的是把这个人均资本呢求出来，

那最后呢得到你看这个零点二八根号k呢，等于零点零七。倍的k那其实算下来就等于多少？是不是我们你把这个根号k跟两边同时除以根号k那其实再除一个什么？零点零七那实际上是四等于根号k对吧？那自然呢？我们可以呢。最后算出来稳态的时候呢，人均资本存量是16。稳态人均资本水存量是16，那么这个人均产出呢？y等于根号k刚好等于四。好了，那现在它还问你。这个是人均产出，

我们已经算出来了，下面我们看一下此时的人均消费，也可以顺便算一下啊，人均消费是多少呢？消费等于什么？等于人均人均消费的人均产出减去。这个人均储蓄，而人均储蓄是s fk啊，这个人均产出数sk，所以c就等于一减s乘以外星。那就是一减s乘以fk。代进去这个是零点二八是吧？是零点七二啊，乘以这个乘以一个这个产出四=2点八八啊，就是这个地方。

这是我们可以看出来，这是起初的在储蓄率为零点二八的情况下呢，我们算出了人均稳态资本存量是16，人均产出是。这个四。啊，这个人均的消费是二点八八好，这是第一问，我们算是算出来了，下面我们来看一下第二问。它让你判断这个零点二八的储蓄率到底是过高了还是过低了，以谁比呢？以黄金率水平下的这个人均资本水平比，所以我们首先得算出。这个黄金率条件下的人均资本存量到底是多少？

对吧？我们知道。我们前面呢，其实给大家说了，对吧？在达到黄金率水平下呢？f1撇k的就是说f1撇k呢，应该等于什么等于n加德尔塔k这个式子呢，大家其实。可以记啊，但其实我觉得这个式子呢，不用记，你可以把它怎么？如果你记不住呢，你害怕记错了，

你可以推导，为什么因为我们说人均消费等于什么？人均出人，人均产出减去人均这个什么人均投资，而这个人均投资呢？这个y呢？也等于s fk啊，这个fk。fk然后呢？这个投资呢？等于多少呢？投资它就等于什么s fk嘛？对吧？好了，我们说了，

这个在达到稳态的时候呢，这个就可以代换了。稳态的时候，因为s fk呢，就等于多少等于n加德尔塔k好了，反复强调，那么把它带进去，那么就是c等于。这个fk。减去n加德尔塔k，你现在需要用的就是什么？黄金率的资本水平的含义就是说，黄金率资本水平是人均消费最大化是的稳态，人均资本，所以说我们拿DC比dk。

啊，自然可以推导出是f1撇k呢什么啊，减去n加德尔塔。等于零那其实呢，这个呢，就是我们这个啊，它只是我们这个地方直接用了结论对吧，直接用了，你可以直接用结论。但如果是呢，我建议同学们还是可以去把这个推导呢掌握一下啊，掌握一下，这比较简单，你不用去记它，你只要理解了这个。

资本的黄金率水平，这个含义你就可以呢，自然而然的推导出推导出来，然后这然后就是根据题目要求呢，去把这个带进去。是吧f一撇k呢等于二二倍的根号k分之一，那等于二分之一的k的负二分之一次方等于。零点零六加上零点零一就是零点零七，那最后呢？可以解出kk呢？等于七分之五十的平方。那七分之五十的平方，那这是我们说的这个黄金立下的这个什么？黄金粒的这个人均资本存量水平，那么我们可以顺顺理成章的呢？

散出黄金粒条件下的人均产出。它等于根号k等于七分之五十。好了，我们算它是干什么呢？因为我们知道啊，这个在黄距离条件下呢，一定有什么？它是一个稳态，所以一个稳态的时候呢，满足这个s fk对吧？它等于什么呢？s fk呢？等于n加德尔塔k。对吧，因为我们现在想要算出的是这个黄金率条件下的这一个储蓄率，

所以你要算这个储蓄率，我们关键是对它感兴趣，我们。并不是对它和什么k感兴趣，就是说不对这个。人均产出和人均资本感兴趣，但是呢，我们为了求出这个人均储蓄率呢，我们必须呢，要求出这两个变量。这样呢，才能算出来，所以这是我们为什么要求这个什么要求这个？k星够了，和这个y星够了，

这个就是我们这个。为我们最后一步做铺垫，对吧？你看根据这个我们就可以。变形一下就是ss就等于什么？这个n加德尔塔k呢？比上fk嘛，对吧？这就是我们做这个工作的目的，然后呢？带进去。啊，带进去那是n加德尔塔k呢，乘以分母是根号k分子是k，所以说是等于零点零七乘以根号k啊，

根号k刚好是七分之五十，那这个一算呢，刚好等于。零点五啊，零点五也就是说呢，这个。资本黄金这条件下的。是吧，人均。储蓄率呢，最佳应该达到50%，但是呢，我们现在只有28%，所以说我们这个。是吧，

我们这现有的储蓄率呢，是低于稳态的，这个人均消费达到最大化的，这个黄金率资本存量的水平的，所以呢？说明呢，零点二八是储蓄率过低了，对吧？这个零点五呢，可以告诉大家的是，它不是一个什么偶然现象，它是必然，你看我们前面其实也在算的时候。我们后面会给大家算一个题，我们也会发现，

其实啊，你看到没有，这个里面你看这个。在这个科布道格拉斯生产函数当中，这个k的这个层份额就是在总产出的贡献份额是多少呢？是二分之一阿尔法等于二分之一。啊，等于二分之一，我们前面算央财的时候呢，我们说在这个黄金率条件下的一个。资本存量啊，最佳也是什么？是等于阿尔法的，你看一下，我们可以把这个题呢啊。

我们可以把它翻出来啊，你可以我是想告诉大家一个什么告诉大家呢，一个这个。啊，一个规律，你看在这个地方，我们求出的是黄金率的资本存量，对应的储蓄率是阿尔法啊，阿尔法，而这个阿尔法呢，刚好是什么呢？是我们这个生产函数当中，资本在总产出中所占的份额的这个参数，阿尔法啊，你看一下我们这是一个抽象的，

就是说。从这个地方，其实我们就可以得到一个结论了，什么结论呢啊，得到的结论就是说。这个黄金率的资本存量呢？一定等于资本在总产出中的贡献率份额就是这个阿尔法，而只是说我们本题，比如说我们这个人民大学这道题呢？只是说呢，它变得更具体一点了，对吧啊？是变成了一个具体的数值啊，具体的数值是。变成了什么？

二分之一，二分之一。所以你知道这些都是题目当中有的这个发现的一个现象，对吧？但是一般教材里面呢，没有这么阐述的，所以说你做题的过程中，你要发现一些这个很有用的这些。这些小结论，这些小结论呢？虽然它不会说直接让你呢去把这个题呢，能得到分数，但是呢，它会让你判断你这个题算的对不对？对不对？

这些小技巧都是需要通过做题来啊，去总结的啊，总结的。好啦，那我们下面再来看第三问。其实我刚刚说了第三问是在第二问的基础上，它是顺承下来的，那么在第二问的时候呢，我们知道我们已经算出来了这个。黄金率的资本存量是。零点五啊，就是这个储蓄率是零点五，但是呢，我们目前呢只有零点二八，所以说要达到黄金率水平，

我们。意味着需要提高我们的人均资本存量，那怎么提高人均资本存量呢？是不是应该提高储蓄率对不对？所以呢，由于储蓄率过低。为了使这个经济状态能达到黄金率的稳定状态呢，就应该提高这个储蓄率。那提高储蓄的结果就是什么？这个人均储蓄呢？上升就是人均投资也会增加，人均投资增加呢？那最后的结果我们说这个必然意味着这个什么人均产出也会增加。啊，是这样的。

我们来看一下这个人均产出，人均消费，人均投资呢，它的动态变化过程呢，就如图所示，其实这道题第三题关键就是考你对这个图的画法啊。理解和画法就是你先把这个图呢画出来，对吧？画出来之后呢？你要对这个图呢进行一个阐释啊，阐释就可以了，那么开始我们说这个地方明显是。这个什么资本少于黄金率的这个水平了，所以呢，资本从少于黄金率状态呢出发向稳黄金率稳态过渡时候呢，

这个储蓄率提高的这样的一个。对人均投资，人均消费，人均产出的这个影响，我们就可以知道。那么说，储蓄率的提高呢？必然会导致呢？这一个什么？你看一下，我们现在要研究的是这个储蓄率的提高的影响，那么储蓄率我们说I=s fk对吧，所以你这个储蓄率一下子就提高了，其他条件不变，投资必然是有一个。

啊，在这个提高这个时刻t0的时候呢，一个骤然的上升，所以说它会从这个地方呢向上一下子跳跃起来。啊，跳跃起来，这是说这个人均投资会有一个跳跃，同时呢，我们知道我们的消费呢，等于一减sy对吧，所以你的储蓄率上升之后呢，消费呢，必然是什么，一下子就会下降一个。数啊，

这个地方这个图呢，画的有点不不太明显，我可以给补充一下，你看它实际上是这样的，前面是这个，然后在t0的时候呢？它的消费呢，突然下降了一下啊，因为是这个人均投资呢，在上升，那么它必然意味着下降。但是你知道。随着时间的推移，在t0之后，由于我们的投资啊，

等于储蓄，它是上升的，上升之后呢？投资上升之后，我们整个的，你看我们整个的y呢，等于c+I，那么这个什么投资上升会导致什么产出会采在t0之后呢？开始上升。呃，开始上升，但是我们知道这个储蓄率提高，它只有什么水平效应，没有增长效应，所以它会。

这个一次性提高之后呢，会达到新的稳态，那新的稳态呢？我们说到达新的稳态之后呢？这个人均产出的增长率又为零了，所以说。这个产出呢，从t0之后呢开始上升，但是上升到最后呢，它是趋近于一个什么水平线，也就是说它的增长率就。为为常数了就为零了，不是说是为常数了，就是不再增长了，对吧？

但是我们说随着这个什么？随着这个产出的不断增长，我们知道。产出增长为一部分，用来消费一部分，用来投资了那所以产出的增长必然也意味着什么？我们的投资也会跟着增长，所以在。这一点之后越深之后呢？这投资呢？它还会继续上上涨对吧？继续上升，但是达到稳态之后呢？它也不再增长了啊。同时呢，

我们要注意的是，对消费的影响也是一样，虽然开始的时候我们提高储蓄率，导致人均资本。增加人均投资增加啊，人均投资增加之后呢，那么导致呢，人均消费会下降，但是我们说随着产出的增长，一部分用来投资之后呢，剩下的一部分我们消费也会再增加，所以呢，消费呢？它又从这个地方呢开始上升，而且要注意的是。

这个时候的消费是最终会高于之前的消费水平，还是低于之前的消费水平呢？很显然。随着这个时间的推移呢，那么它的消费呢？一定是高于原来的这样一个什么？原来的这个消费水平呢，因为我们产出呢，是高于原来的了，对吧？产出是高于原来的水平，所以这个最后呢？人均消费呢，是有一个下跌之后呢，又会反弹，

而且超过原来的消费水平。啊，这个图呢？细节就在这里啊，大家注意啊，做图的做题的时候呢，一定要把这个。理解到位好，这个具体的这个答案我就不再读了是吧？所以整体上你看这道题呢？考察呢？也是比较常规的，只是说。第三问呢，一定要注意，

它是我们前面呢，在精讲这个内容的时候呢，已经提到过啊，那个地方只是。没有人口增长的情况下，但是这个地方根本就不影响，对吧？好，下面我们再看一个题啊，再看一个题。那刚才呢那个题呢？它是一个这个。比较这个具体的一个函数，那么下面再看一个就是稍微呢抽象一点的，但实其实这个题呢，

比上一个题呢，我认为呢，稍微难那么一点点，所以这是我这么安排呢，是有原因的，是让大家从。简单到难的这样一个过程啊，我这个第八章第九章呢，给大家举了几个例子，这几个例子我都觉得非常的典型，只要大家把。课程好好听，然后呢，把这几个例子掌握住了，关于索洛模型这一块的计算题，

我觉得就没有什么太大的问题啊，这理解到位了，所有的考点基本都囊括了。我们看一下这个题呢，是考的比较。进了，是复旦大学二零一九年的一道考题。我们来看一下。那它索索罗模型当中，已知生产函数是这一个，对吧？这是一个标准的。科布道格拉斯生产函数。那么，它代表的什么含义我就不说了，

大家应该也此时都比较熟悉了，但是注意啊，这个地方呢，你看这道题里面它是由什么？有人口增长率。但是也没有提到啊，这个a代表的是技术，技术参数，那说明有技术进步的啊。技术参数下面说让你推导该模型的人均资本积累的动态方程，我们在中央财经大学那道题里面已经让你推导过。那这个题呢？我们再来看，还是需要推导，所以说这道题呢？

很多同学呢，其实这个稳态的这个资本积累的动态方程实际上就是什么呀？我们如果没有推导，我们是直接拿来用的，但是它是让你推导的，你还必须会推导啊，一定要会。第二问说让你求出该模型中均衡状态下的人均资本存量水平。并画图证明这一状态是稳定的，其实呢，是在第一问，你知道了这个人均资本积累的动态方程之后呢，你自然就可以呢，根据这个动态方程呢。可以顺理成章的做第二问啊，

通过稳态的条件呢，就可以得到人均资本存量和人均产出了。第三个呢，考查的是实际上是黄金率规则啊，什么是黄金率规则？根据以上参数本模型，满足资本积累黄金率规则的资本存量是多少？啊，实际上就让你计算这个黄金率条件下的稳态资本存量水平啊，对应的最优储蓄率是多少？你看这道题。和上一道题以及我们央财那道题呢，其实它非常相似的这一问对吧，都是求这个什么储蓄率。但是从这个地方我们也知道啊，

我们前面已经给大家提了醒，在央财那道题里面那个参数，我们已经对比下来，它是这个。黄金率条件下的人均。这个什么储蓄率就是最优储蓄率应该是什么？等于资本的贡献额，阿尔法那其实这道题我们我们应该大胆的猜想，这个地方是吧？这个储蓄率呢s呢？应该就等于阿尔法。是不是这样，我们来算一下对吧？好，我们来看一下，

先看第一问，我们需要从总量生成函数呢来推导出人均资本的。动态方程。我们的这个生产函数y=AK阿尔法l的一减阿尔法，那我们可以得到人均生产函数，这个是y这个fk呢，等于AK阿尔法知道怎么来的吗？因为我们说这个y=fk是吧？等于大y比大l嗯。太好算了是吧，一下子就可以得到啊，把它记为新式，下面我们再来看。又有一个因为我们说在推导资本积累动态方程时候呢，有一个非常重要的一个。

一个公一个这个等式呢，就是资本积累的这个等式。k上面打一点呢，代表的是这个什么总资本的增量啊，这个大k代表总总资本的增量。社会的总的资本增量呢，就等于整个社会的总投资减去整个社会的折旧额那。刚好投资呢，又等于什么？小S乘以大y，那么后面代进去。带进去之后呢，我们对它呢，我们关心的不是总量的，我们关心的是人均的，

因为我们最后稳态的人均资本存量嘛，对吧？所以我们需要关注的是人均，所以要从总量呢转到人均。所以呢，对它呢，两边除以劳动力n啊，当这个n代表的是劳动力啊，有的地方用l表示，有的地方用n表示都是一样的啊，都是一样的含义是一样的。那么，这个地方除以n那左边呢？变成它右边的呢？这个地方就可以化简了，

你看到没有？y比n实际上就是人均的产出，这个大k比n呢？人均资本。那可以得到30。好了，这个式子呢，离我们要求的稳态人均资本的这个什么动态方程呢？就非常接近了，但是呢，它有一个地方，这一个。对吧，这个东西我们不知道。这个东西我们不知道，

我们需要把它呢替换掉，那怎么做？因为我们又知道对吧？我们的人均资本呢？等于大k bn啊，这个是给我们一个什么过渡的桥梁了，我们看一下，我们把这个式子呢？两边关于时间t求导，我们就可以得到呢，这个增量的一个表达式，那么人均资本增量就等于这个后面是什么？这是商的形式，运用商的求导公式，这个我们不再多说，

那最后呢？你看求出来呢？它刚好呢，就有一个这个东西，这是我们呢，未知的一个数，它可以呢。化为已知了，对吧？化为已知了，所以我们把这个什么？k点比n呢等于什么等于这个？人均资本增量加上啥什么？nk我们把这个呢给它带到这个里边，我们一换算对吧？

我们就可以得到呢，这样的一个式子。呃，这个式子，那实际上呢？它就等于什么？实际上就是k一点等于ssk。减去什么？n加德尔塔k啊，要注意啊，这个地方你要注意注意什么呢？这个地方要注意的是，这是我们说这个k点呢，代表的是人均资本的增量，其实这个呢，

它等价于什么呢？就是我们前面说的德尔塔k，它是同一个意思啊，同一个意思。所以呢，就可以得到它，然后呢，由于本题呢，它给的是一个具体的这个科布道格拉斯生产函数，所以呢，我们需要把它呢代换一下，化成最简的，因为fk等于多少？fk等于。AK阿尔法，

所以你要把这个呢？替换sk，那最后呢？等到等于这个式子，这就是我们所要求得的，这个人均资本积累的动态方程。啊，人均资本积累的动态方程，这是我们第一问。需要你做的工作。啊，我我建议同学们把这道题呢好好掌握一下，尤其是这个推导啊，一定要好好掌握。其实在这个。

漫空宏观经济学的这个教材里面关于这个。这个从总量生成函数推导出稳态的人均资本。积累的动态方程呢？这个地方呢？它讲的并并不是很很详细，那通过这个题呢？是可以补充你在这一块的知识点的一个遗憾的好吧？嗯，好，下面我们来看一下，紧接着看第二问。第二问啊，第一第二，我们来看一下题干，说让你求出稳态，

这个模型中均衡状态下的人均资本存量水平。那么，只稳态的时候，这个均衡实际上就是稳态了，对吧？那稳态的时候呢？那德尔塔k=0啊，或者k点等于零，所以呢，根据du的这个条件，我们令k点等于零，那实际上就有什么？就有s kr阿尔法。是吧，等于n+dot k，

然后从里面呢解出k对吧？解出k那得到的稳态人均资本呢？是这个式子啊，这个也比较好算，只要你。仔细呢，都算出来，不要算错了就行了，好吧？好了，现在呢？现在它让你画图来说明什么？这个题还没完，对吧？让你画图证明这个状态是稳定的啊，

让你。画图来说明，那我们来看一下，我们说只有在什么，只有在稳态的时候呢？是德尔塔k就是k点呢，刚好等于零的时候，对吧？k点等于零。如果这个k点不等于零，那么这个必然意味着什么？要么是这个人均储蓄呢，大于这个什么？这个折旧的这个。数量要么是什么？

人均储蓄等于人均投资呢，是小于的，那我们看一下，这是我们的稳态的时候了是吧？稳态啊，稳态的人均资本我们知道了是吧？稳态的人均资本是k星。啊，稳态的时候呢啊，这个I呢IC呢，等于德尔塔k星，那如果不是你，比如说这个，假如说这个折旧率呢？人均折旧呢是高于这个什么，

这个人均资本的时候，你比如说在k2的时候，那在k2的时候，这就意味着什么，这个时候呢，折旧率呢，它是超过了这个什么投资，那么资本存量呢？过多那在这个情况下呢，那会导致什么？这个资本呢？会减少啊，资本呢？会减少那么慢慢的呢？它会减少随着减少呢？

它会向这个稳态的。资本的存量过渡啊k型，当然如果相反的时候呢，比如说这个地方，那就是。人均这个资本水平呢？人均投资呢？它超过了这个人均的折旧了，那资本存量呢？就会开始呢？增加你看到没有？因为我们的德尔塔k呢？等于什么？等于。啊sf。

k减德尔塔k对吧？好了，如果是前面的，你看如果前面的大于后面，那德尔塔k的就会什么就会震荡，而且上升了，对吧？但是它可以上升，对吧？那么如果这个什么前面的小于后面呢？那么它就下降，那一直等到什么最后等到什么德尔塔k呢？等于零为止这两个呢？就达到了一个稳定状态，均衡了，

这是我们说的，这是第二问，下面我们看一下第三问。啊，第三问那第三问它让你干什么呢？我们来看一下。问你什么是黄金率规则，那所谓的黄金率规则，大家应该现在都能够说了，对吧？是使得是稳态条件下人均资本达到人均消费达到最大化的，人均资本存量，对吧？这是要注意的，对吧？

所以第三问你首先要把这个资本的黄金率规则给它说一下，是也称为什么资本的黄金率水平是指呢？稳定状态时，人均消费最大化时，所对应的人均资本水平啊，这个一定要理解。已经说了好多遍了，对吧？那此时呢？即这个时候的人均资本存量呢？为一般呢？是这一个。我们可以借到它是吧？然后呢，资本的黄金率水平呢，

描述了如何将产出在消费和投资之间分配啊，才能使得经济福利最大化，而我们这个经济福利呢，是用消费呢？能够达到多高，作为一个标准了，所以呢，使消费达到最大化，我们就认为是达到社会福利呢，最大化了啊，那么下面看一下，在本题中。稳态人均的这个消费水平，我们说还是这个样子。fk-sy，

我就不再多说了，因为是稳态，所以f sy呢，就是fk呢，它就等于n加德尔塔k。带进去好了，我们要使得人均消费达到最大化，我们要人均消费最大化的一些条件就是拿。人均消费的函数呢？对资人均资本可以求导，求一阶导，那我们可以得到资本的黄金率的这个对应的这个资本水平。啊，资本的黄金率水平，然后啊，

我们也知道黄金率条件下的这个人均资本。啊，这个人均产出是吧？所以我们又接着稳态的条件下一个s fk=n加德尔塔2k，然后呢？变形s呢就？就等于什么n加德尔塔k比fk就是这个地方是吧？好再换一下，那最后呢？最后最后化解下来就等于阿尔法。看一下这个结论，是不是我刚才给大家说的那个结论对吧？啊，就是说的那个结论。你只要什么？

这个什么，这个阿尔法呢？是这个。在这个。科布道格拉斯生产函数当中呢，它是这个资本在总产出中的贡献份额，而这个贡献份额刚好应该等于什么？等于社会最优的。这个黄金率的资本存量水平所对应的这个储蓄率啊，储蓄率。好，这是我们说的是整个的这个人口增长这一块呢，我们研究完了，下面我们再来看一下人口增长的其他观点啊，人口增长的其他观点也就说通过索罗模型，

我们可以发现呢？人口增长呢，它可以提高稳态的人均，这个降低人稳态的人均资本存量对吧？但是呢？达到稳态之后呢，人均资本存量呢？这个增长率为零啊，它的只有影响也是暂时的啊，影响也是暂时的，下面我们来看一下。这个人口增长的其他观点，这个了解一下啊，第一个就是关于马尔萨斯模型啊，马尔萨斯的人口论，

很多同学应该是有所耳闻，对吧？那么，早期的经济学家这个是法国经济学家，他在他的名为人口原理一书中呢提出了历史上最为令人战略的一个预测，就是说呢。他认为呢，不断增长的人口呢，将持续的限制社会持续供养自己的能力啊。他认为人类将永远生活在贫困中。其实就是说呢，他认为人人呢，是吧？啊，就是人性这个东西就是在那个时代，

它说因为人的这个繁殖能力是比较高的，而繁人的繁殖率呢是？是呢，是超过了当时呢，自然经济的增长率就是整个社会的财富的增长率，那他认为呢，在这种情况下。那越来发展呢，人口越多，而我们的这个什么，我们整个社会财富的增长呢，是赶不上人口增长的，那么人均的这个什么？人居的财富就会缩水啊，就会下降，

那人口呢人我们人类呢，将永远生活在贫困当中，但是在他这个他提出这个是吧他？他提出的这个结论呢，是有时代的背景的，也有它的局限性的，他没有想到的是我们现在的人呢，比如说我们节育措施的发展可以让人这个什么？让人的这个出生率啊，人口增长率下降，还有人的观念的变化呢，人们自己也不愿意多生孩子了是吧，整个社会呢，其实是这个人口增长没有像他说的那么增长那么。猛对吧？

没有，他说那么可怕，另一方面呢，我们说从财富社会财富的角度来看呢，我们说随着这个。技术的进步，我们生产力的提高，其实我们整个社会的财富的增长呢，已经发生了翻天覆地的变化啊，所以在这种情况下不会出现马尔萨斯所说的那种危言耸听的结论的啊。这是第一个，你了解一下，下面看一下，第二个就是叫克莱默模型。啊克莱默模型如果说马尔萨斯呢？

他认为人口增长呢？会使人类陷入贫困。但是克莱默呢？啊他认为呢？这个。这个人口增长呢，是对整个社会是有贡献的啊，是有好处的。那他提出了世界人口增长呢，是促进经济繁荣的这个关键驱动力，那为什么他提出他认为呢？有更多的人口，那我们整个社会呢？就有更多的科学家是吧？有更多的投资者啊，

有更多的投资者，有更多的工程师。啊，它的发明和技术呢，就能够使整个社会呢啊，进步更快，那么这样来说呢，就是人口增长呢？它是我们技术进步的先决条件，就是你技术要进步。首先要有人是吧？你人多了，自然呢，就是优秀的人才就多了，对吧？

那么自然会有着什么推动整个社会？历史进程的人就会多一些，那么人口更多的地区呢？经济增长呢更快啊，好像是听这个。说法呢，好像也有道理，对吧你比如说中国就是我们以前说中国高速增长的时候，就是由于中国有个什么人口红利。那么，这个人口红利就是我们有更廉价的劳动力，我们还有什么？我们有大量的工程师，科学家，那么在我们整个社会的这个产出当中扮演着非常。

非常重要的角色，但是我们现在经济的这个什么啊，减速换挡之后呢？由于是我们人口红利已经消失了，那也说明确实这个人人多力量大，有时候确实也是存在的，对吧？还有。还有一个例子，你比如说印度。啊，我们有时候啊，说印度，其实印度这个国家最近几前几年一直认为呢，它的这个经济增长呢，

这个增长率呢，还是很高的，很乐观的，是非常好的啊，在说在全世界来说是很可观的。因为印度的人口呢？因为印印度是一个宗教国家，它呢？没有什么这个什么啊，这个没有所所谓的计划生育，所以他们人口增长是很快的，但是呢？这个人口增长呢，也给他们带来了一些好处，就是整个经济的发展呢，

也确实是挺快的啊，挺快的，那说明呢，这个确实人口增长。增长了也是对整个社会是有好处的，所以现在很多你比如说一些发达国家，那么对于这个人口增长率的，面对这个人口。增长率的下降呢，也提出各种方式去什么去提振这个人口增长率，其实也认为整个如果人口的这个增长放缓，整个社会的这个经济发展呢，一定也是。跟着放缓的这样的一个趋势啊，这是这样的一个情况。

好，下面我们说一下，我们把索洛模型和这个马尔萨斯的这个理论和克莱默模型呢，我们放在一起来对比一下，看他们关于人口增长的一个。一些方面的一些比较，大家看一下，我们说索洛模型呢，它突出的是人口增长与资本积累之间的相互关系啊，我们刚才。通过图也可以发现。人口增长呃，人口增长率增加呢，会导致人均资本会下降，对吧？

这是说明这个人口增长与资本积累之间的一种关系。那么，人均资本。会下降，但是呢，总产出或者总产出呢，会按照人均人这个人口增长率呢增长，这是我们得到的一个结论，这是这个。索罗模型当中得到结论，第二个是马尔萨斯模型呢。矛盾对吧？那克莱默模型呢？它强调的是人口与技术之间的相互作用啊，那么是人口的。

增长决定了技术进步。而而不是相反对吧，这是这样的一个情况，这个呢，了解一下。好，这是关于第八章呢，我们就讲到这里好，谢谢大家。

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11.08.曼昆-经济增长Ⅰ：资本积累与人口增长02

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