10.08.曼昆-经济增长Ⅰ：资本积累与人口增长01

罗泽兵 · 发表于 2024-4-10 15:56:58

好，各位同学，大家好，欢迎大家来到我们的课堂，我们今天来继续来学习漫空宏观经济学的教材精讲，那么这个地方大家要注意啊，我们从第八章第九章这两章呢？专门来研究长期的就是超长期的经济增长问题，就是经济增长理论，尤其是关于索洛模型这一块呢，是我们整个。学习漫空宏观经济学呢，必须要掌握的重点，基本上使用这个教材的学校呢，都特别喜欢考经济增长，

就是索洛模型这一块的计算证明。或者是相关的论述题，所以这一块呢，大家一定要好好的去学习，那第八章经济增长，资本积累与人口增长这个地方。它的这个核心的，或者是。考点呢，我基本上给大家列出来了啊，看下第一个就是这里面要注意是人均生产函数y=fk。这里面注意啊，我们人均产出，我在这地方统一，总体上说一下人均产出呢，

等于人均消费加人均投资用。小y呢，代表人均产出用c呢，代表人小c代表人均消费那么小I代表投资那么就可以得到这一个。我们这个模型当中呢，其实是呢，假设了是这个。只有两只有这个消消费者和企业没有政府啊，没有政府这样的一个情况，第二个呢，要注意这个人均消费，我们可以写成c等于。一，减。s fk为什么呢？

因为这个fk呢？就是我们的这个产出y人均产出y，如果储蓄率为s，那么我们的。人均储蓄是s fk，那么把拿我们整个的这个人均的产出减去我们的人均储蓄，就是我们的人均消费。然后呢，整个社会的人均投资呢，就等于实际投资s fk好了，收支相抵的投资。啊，收支相抵的投资是。在有技术进步的情况下，对吧？

收支相抵的投资是德尔塔加n+gk，这是这样的，下面我们看一下人均资本存量变动的方程。这个是非常重要的，如果只存在折旧，就说没有人口增长，也没有技术进步的情况下，那么这时候呢，这个人均资本积累动态方程式，德尔塔k=s fk减德尔塔k。这是这个情况，你比如说有的时候呢，有出题出的比较简单一点，他就给你说这个经济体这个折旧率是多少，它没有告诉你人口增长率是多少，

没有告诉你技术进步是多少。那在这个情况下呢，你不要人为的把它一个因素考虑进去，因为没有的那代表了这个模型中中不考虑了，那你就不用管，你直接用这个公式就可以。当然，在存在着折旧和人口增长的时候呢，那么这时候的人均资本变动方程呢，就变成delta k呢，等于。s fk-n加德尔塔k，这是有这个人口增长的。这个人群资本变动方程。存在折旧人口增长和技术进步的人均资本变动方程式。

德尔塔k=s fk-n+g加德尔塔k。啊，这是我们说的是这个人均资本变动方程的。三个这个情况啊，三种情况，那你要根据要如果做题的时候呢，要根据它题目中给你的已知信息呢去选取。稳态条件要注意啊，这个地方呢，在我们这个索洛模型的计算中呢，几乎是绕不开的一个问题，稳态。就是当实际投资等于持平投资的时候，也就是德尔塔k=0的时候，因为这个条件呢，

就可以帮助我们呢，把这个题目当中相应的信息量呢，把它连接起来。那当德尔塔k=0的时候，你比如说是两部门经济，那这个地方它就等于零，那自然的就有均衡就说。经济达到稳态的时候呢，一个s fk呢就等于。delta k.当三部门经济数达到稳态两部分啊，这个再有折旧和人口增长的情况下，达到均衡的时候呢，是ssk呢。等于n加德尔塔k啊n加德尔塔kn加德尔塔k。

当有技术进步，还有技术进步的时候呢，那么稳态的条件就是变成了s fk呢，等于什么呢？等于n+g加德尔塔k。那在做题的时候呢，要根据题目的已知条件选取这三个条件中的一个去带进去解题就可以了。下面看一下，还有一个非常重要的考点，叫资本的黄金率。那么，资本黄金的稳态条件呢？就是使得在稳态条件下，使得人均消费达到最大化的这样的一个条件叫稳态。所对应的人均资本存量，

我们叫做这个资本的黄金率或者是黄金率规则。这个地方也是一样啊，要分三种情况，如果题目中只告诉你，只告诉折旧率，那么这时候呢，我们说达到。资本的黄金列的条件是f1撇k呢，要等于德尔塔。如果存在折旧和人口增长呢？那么就是f1撇k呢？等于n加德尔塔。当有还存在技术进步的时候呢，那么这个资本的黄金里的条件是f1撇k呢，等于德尔塔加n+j。

好，这是我们说的这个。资本的黄金率的条件，那下面看一下，如果资本呢没有达到黄金率条件，那么如果向黄金率过渡的时候，人均资本人均消费和。和人均这个产出会如何变化？这个图呢？也要会画，而且呢？是怎么去调整？对吧，如果这个资本呢，没有达到黄金率水平，

那往外是两种情况，第一种情况就是初始资本呢。存量过小。那么，这种情况下呢？应该怎么样？应该提高储蓄率，第二个资本存量过大啊，降低储蓄，这是我们本章的这个。核心的这个内容啊，就在这张表里面列出来了，我们后面所有的这个学习都是围绕着这张框架图来展开。好，我们下面看一下。

就是本章呢，主要是运用索洛增长模型呢，来描述经济如何随时间推移而演化。本章呢，就是说主要强调了资本积累和人口增长对经济增长的作用，那在下一章，那就是这个我们说了这个经济增长二这个地方呢，我们在。开头的时候呢，先引入技术进步。啊，来研究这个经济增长的问题，那后面我们再抛弃这个新国内增长模型，我们引入一个新的理论，叫内生增长理论。

再来研究一下关于经济增长的问题。最后呢，我们要把它们进行对比好，下面我们看一下第一个问题就是关于资本积累，第一节资本积累。那索洛增长模型呢？它是为了说明在一个经济中资本存量的增长，劳动力的增长和技术进步如何？在一个经济中相互作用。以及他们如何影响一国的。产品和服务的总产出的，这是我们索洛模型，需要研究和他关心的问题。下面看一下第一个问题就是产品的供给和需求。这里面啊，

索罗模型中的产品的供给呢，是基于生产函数的啊，产出呢，取决于资本存量和劳动力啊，这个我们在第三章已经给大家说了，但是我们在第三章呢，我们做了严格的假设，就是说呢。我们第三层假设呢，资本的数量，固定劳动的数量固定。那么，这种情况下呢？在生产函数的作用下呢？我们得到了。

总产出呢。它也是固定的。它也是固定的，那在本章呢？我们实际上是放松了一个假设，就是说我们假设的要素是可变的，我们来研究要素的投入是可变的情况下。它必然会导致产出的变动，我们来看一下，在要素可变的情况下，长期的经济增长或者产出，它会如何变化的问题。那么这个时候我们可以看出这个总量生产函数y=f kl，也就说我们的产出呢，有两种要素决定劳动和资本。

那么，在索罗模型中呢？它假设呢？这个生产函数具有规模报酬不变的性质。啊，规模报酬不变，我们前面已经说过，但是这个地方呢，为了说明这个问题呢，我们就要细化的来说一下这个规模报酬不变，其实在我们微观经济学讲到生产论的地方，我们已经说了，对吧？啊，已经说了啊，

如果对于规模报酬不变，那就意味着如果要素增加相同这个。数倍，那么这个产出呢？也相应的增加数倍啊，这个增量呢？是相同的，那比如说我们对于任意的z大于零。那么都有zf呢？等于f zk zl就说我要素同时增加z倍。那么我们产出呢，也增加z倍好，这是这样的下面呢，我们用一个小技巧。我们这里面我们设这个z呢，

等于l分之一啊，这个这个设计比较巧妙。那么，当z等于l分之一，那么这个地方zl呢？就变成大y比大l，那么这个大y比大l呢？就是整个的产出比上劳动力，那实际上就是人均产出了，对吧？人均产出同时右边的，你看这个，我们如果令z等于l分之一，所以zl就等于一。啊，

是个常数了，那么左边的zk呢？就变成了大k比大l这里面的大k比大l就是总资本量呢比上。总的劳动力，那么它就变成人均资本存量，那这个地方呢？右边这个又是一，所以我们知道从总量生产函数，我们可以推导出呢。人均的这样一种表达形式，就是人均产出是人均资本的这样的一个函数。啊，这是我们通过规模报酬不变呢，通过变形呢，可以得到的这样的一个式子。

人均产出是人均资本的这一个函数。这是我们看一下纵轴表示人均产出横轴表示人均资本，这个人均产出函数呢？是这个样子，那从这个生产函数可以看出来，它满足几个性质啊，就是边际生产力递减，你比如说。这里面代表的是资本，那劳动也是一样，如果这个地方劳动，这个地方就是劳动的边际产量，那它满足呢递减，对吧？啊，

边际生产力递减第二个呢？我们可以知道那么产出呢？它是要素投入的增函数啊。啊，只是它递减的速度上升，这是我们说的这一个下面看第二个问题就是产品的需求和消费函数。在索洛模型中，产品的需求来自消费和投资。也就是将呢，人均产出关呢，划分为人均消费和人均投资，那么这地方实际上它是不是已经？抽象掉了这个政府作作用，对吧？假设这个经济社会呢？

不存在政府。干预第二个呢，这个社会呢，也没有，就是一个什么封闭的经济，没有对外开放的情况啊，我们研究的一种。啊比较啊，简单的这样一个情况，但是这个简单的情况呢，它又不使我们研究呢，失去一般性，因为越简单又能说明问题的理论呢，才是我们所追求的这一个。目标我们看一下这个索罗模型呢，

它是假设。每年呢，人们储蓄s比例的收入，那么储蓄s比例的收入，那么所以储蓄就是多少啊？是小sy对吧？那么，消费了多少了？就是一减s，那么所以呢，消费了就是一减sy。对吧，所以我们消费就等于一减sy。而且储蓄率呢，一般是大于零小于一的啊，

大于零小于一。那在这种情况下，我们就有什么因为y等于消费加投资，所以呢，把c呢用？这个一表示那么可以得到y等于一减sy加I啊，一减y sy加I那么两边的整理一下，我们可以得到呢？这个I呢？就等于sy啊，等于r这个y呢，就等于sk，所以I=sy=fk，那这个方程表明呢？投资等于储蓄啊，

投资等于储蓄。就是说这个小I呢，实际上可以代代表人均投资，那么人均投资呢，等于人均储蓄。这样的一个情况下面，我们看一下第二节是资本存量的增长和稳定状态。资本存量。那么，资本存量呢？它不是一直不变的啊，它是受多种因素的影响，其中最主要的因素是两个，第一个是投资，第二是折旧啊。

存量这就相当于是什么？我们可以打个比方，这这一这是一个水缸，这个里面有水对吧？这个地方是进水口啊，水往从从这地方进，这地方还有一个出水口。这个地方假如说之前呢，他有就有水，这个存量已经有的。这个投资呢，就相当于一个进水口啊，它可以使得这个存量增加。但是呢，这个折旧呢，

就相当于这么出水口。出水口，它又会使这个什么存量减少，对吧？所以说呢，这个地方呢，一个是进水口，一个出水口，最终呢这个。存量到底变动了多少？或者是啊，增加了还是减少了，取决于这两个要素。那么，首先投资呢？

它是指用于新工厂和设备的支出，它会引起我们资本存量的增加，就相当于这里面的什么这个。水缸的进水口。那么折旧呢？就是我们原有资本的磨损啊，它会引起资本存量的减少，你比如说机器设备对吧？你比如说我们买一辆车。我们用它两年对吧？它肯定是有折旧的，对吧？买的时候花了十万块钱，可能用了两年之后呢，它可能由于机器零部件的磨损，

它的寿命的这个。减短那可能它的价值呢？只有五万块钱了，对吧？这就是我们说的折旧呢，它会使资本存量呢减少。下面我们首先看一下第一个问题投资，我们说投资的前面已经推导出了人均投资I呢，它等于人均储蓄sy。啊，所以我们可以将呢y呢代替为生产函数的形式，就是y=s fk啊啊y=fk那么代进去就可以得到呢？这样的一个把人均投资呢，表示成为人均资本存量的函数，就I=s fk。

这样呢，我们把这个纵轴表示产出横轴表示资本。这样的一个人均生产函数的这个图这个。图形当中呢，我们可以把人均投资也表示出来啊，人均投资因为实际上我们说哎。y=fk呢，它是这一条线对吧？以递减的速度上升，那么s fk呢？我们知道。这个s呢，是大于零小于一的，所以呢，它只是说在这个人均投资的这个函数呢，

它是在什么？它是在人均产出函数的下边。那下边那你看，如果我们这个地方假如说资本存量是k0啊，我们的产出呢是y0，人均产出y0，那么在这样的一个。人均产出的情况下呢，我们一部分呢，你看下面这一部分啊。这一部分呢，就是我们的人均投资I那剩下的上面那一部分呢，就是说就是我们的人均消费，所以我们的人均。产出呢，

就可以分为两部分，一部分未来消费了，另一部分储蓄，那储蓄呢，又刚好等于投资啊，所以呢，下面这个部分呢，代表的是人均投资。这我们在一个图里面呢，把人均。产出和人均这个投资呢，也都表示出来了，下面我们看一下折旧。为了能够把折旧呢纳入到模型中，我们来看一下假定呢资本每年的折旧的比例，

也就是折旧率呢，我们记为德尔塔。那每年的折旧量就为德尔塔k了你，比如说你人均资本为k，那你的折旧率是德尔塔，那所以呢，你的年折旧量呢？就是德尔塔k。对吧，而且我们在纵轴表示。折旧率横轴表示，人均资本的情况下，我们看出来这个折旧人均折旧的。资本量呢，它是和人均资本是正相关的，

你比如说这个德尔塔的一般是什么？这个折旧率是吧？它是个正数，它是大于零的正数。对吧，所以说这个。折旧量呢，它就和什么有是正相关呢？它就和这个。是正相关，也就是说这个如果资本的人均资本存量上上升呢，也会导致人均的这个折旧量也是上升的，所以。它的这个是线性的啊，线性的。

这是我们资本折旧曲线。下面我们来看一下啊，稳态就是人均资本存量的这个变动，我们看一下。人均资本存量变动呢？就是说增量呢？它就等于投资减折旧啊？我们如果用增量用德尔塔k表示代表它的增量，那它就等于I减德尔塔k。然后呢，我又又把这个人均投资呢，用人均资本的这个。函数式呢，表示出来，那就是I=s fk。

所以德尔塔k呢就等于s fk减去德尔塔k那从这个地方大家可以看出来。如果这个人均。投资大于人均的折旧量，那么这个德尔塔k是上升的，如果这个人均的。投资量呢，它小于人均资本的折旧量，那么这个德尔塔k就是小于零的，就是资本的变动呢，是为负。如果这个人均资本存量这个储蓄啊，这个人均的这个投资量呢，它刚好和这个折旧量是相等的时候呢，那么刚好呢，这个资本的变动量就为零了。

啊，资本变动，人均资本变动量为零，这是一种特殊情况。啊，但是呢，大家注意，无论起初的资本水平如何，那最终呢，它都会向稳态的水平发展啊，稳态我们所谓稳态就是说呢。德尔塔k=0的时候，哈德尔塔k=0的时候。因此，我们说稳定状态呢，

它代表了经济的一个长期均衡，那处于非稳定状态的经济呢，将在投资。与折旧的相互作用上是走向均衡的，那怎么来看呢？我们来看我们纵轴来表示，这个投资与资本的折旧。横轴表示，资本存量我们来看一下。我们把这个人均。投资函数呢，把它画在这个上面，然后呢，折旧函数呢，也放在一起，

它们两个交点，你看到没有？在这个交点处意味着什么？这个德尔塔k本来是等于s fk。减去delta k。啊s fk等于。德尔塔k=s fk减，德尔塔k在这一点刚好两条曲线相交意味着。人均资本的变动量为零，那就是稳定状态，就是这个人均资本呢，不增加也不减少了，一种稳定状态啊，平衡状态。如果偏离了这一点会怎样呢？

你比如说我们现在的人均资本为k1。人均资本为k1，在这个时候呢，那么它的折旧量呢，就是德尔塔k1。啊德尔塔k1。但是此时的人均投资是什么？是IE。那么，此时是投资呢？IE是大于什么？德尔塔k1的那会导致呢？德尔塔k怎么样？它是大于零的，它会上升是吧？

k上升啊，是k上升。k是上升的。那一直上升到什么为止呢？它一直往上走啊是吧？这个k1呢？向右移动到k心。相反的，如果这个是右边的，这个人均资本呢？是k2，它是大于稳态的人均资本k。k星的时候我们看这个时候它会怎么变动？那你看在k2的时候呢？它对应的这个人均投资是。

I2啊I2，在这个地方I2。I2这个地方，大家看一下，在这个情况下呢，对应的I2，它对应的这个折旧率是折旧量是多少呢是？这个德尔塔k2，显然呢，德尔塔k2是大于这个。I2了，那这个时候呢，折旧量就是大于这个投资量，人均投资量，那么这个时候呢，

德尔塔k呢是小于零的，它会。是吗？它会减少呢k会使k呢下降啊，导致k呢下降那一直呢从k2呢减少了k薪。所以说，不管起初的人均资本存量在哪个地方，它最后呢，都会在折旧和。这个投资的双双重作用下呢，走向这一个稳定状态，最终呢，要使得德尔塔k呢等于零。啊，但是它可以等于零。

那这个图呢，就说明了投资折旧和稳定状态的投资量的这个关系，下面我们看一下。这个是我们已经得到了这一个稳定状态的这一个啊。情况下面我们来看一下啊。我们来看一下一些外生变量的变化，对这个稳定状态有什么影响？我们首先看一下储蓄率的变化。啊，对储蓄率的变化，比如我们开始的时候，我们这个储蓄率为s1啊s1。那么，储蓄率为s1的时候，我们说它和。

折旧曲线呢，相交的时候呢，得到了一个，这个是k1啊k1型。这是k2性。那大家可以看出来。开始的时候在储蓄率比较小的时候是比s1小于s2，那么得到s1 sk，它和德尔塔K线相交的一点得到了一个稳定状态。那么，稳定状态，人均资本存量是k1星，那这是k1星好k1星对应的产出是多少呢？是yk 1心啊k1心。这是我们可以得到的。

这是储蓄率为s1所对应的这样的一个产人均产出水平，现在我们看储蓄率上升了，从s1上升到s2。那这个时候呢？它会和新的这个什么新的这个人均投资函数呢？会和德尔塔k呢相交得了一个新的稳态，那新的稳态呢？在这一点。它对应的这个人均资本存量是k2性啊，那么这时候人均产出水平是k2性。啊care性。那可以看出来在。储蓄率的提高过程中呢？那新旧稳态有什么变化呢？就是在。

储蓄率从s1上升到s2呢，会使稳态呢？从k1星上升到k2星，从而使得人均产出从y1呢？yk 1星呢，上升到yk 2星，因为我们的产出呢，是我们的人均资本的增函数，所以说yk 2星一定是大于yk 1星的。啊，这是我们可以通过模型和这个说明能够得到的，就说在索洛明模型当中，我们可以知道那么提高储蓄率呢？将会导致呢，经济有个较快的增长，

但是注意啊，这个增长它到了达到了稳态之后呢，它又稳定不变了。啊，又达到了稳定不变的一个状态了啊，所以说储蓄的提高呢，它对经济增长只是暂时的。啊，只是呢，在达到新的稳态稳定状态之前呢，它能够引起产出的增加，如果经济保持高储蓄呢，它会保持较大的资本存量和较高的产出水平。但是呢，一旦达到新的稳态呢，

那么这个时候呢，经济增长呢，又会。不变了啊，保持了原来的一个增长水平，就是说它不会永远保持了较高的经济增长率。这是我们说的是第一个提高储蓄率呢，它对经济增长的影响。我们改变人均收入的稳态增长率的政策呢？我们把它称之为增长效应啊，称之为增长效应。相反的呢，这个地方要注意啊，我们改变人均收入的稳态增长率的政策称为增长效应，那么。

能够改变高储蓄率呢？被说成是水平效应。水平效应因为只有人均收入水平，而不是人均收入的这个增长率呢？才会受到储蓄率的影响。这是我们从这个地方可以看出呢，储蓄率对经济增长的影响啊，它只有什么，只有水平效应，没有增长效应。高储蓄率只有是水平效应，没有增长效应，这个地方要注意，它可以作为结论啊，有时候呢，

在考试当中呢，它让你判断的第三节我们来看一下黄金资本的黄金率水平。那么，本节呢？我们主要从经济福利的角度呢？来研究最优的资本存量。首先看一下第一个问题，就是资本的黄金率水平，这个问题是非常重要的，几乎呢，在所有的索洛模型的命题当中呢，十个题里面可能有五六个题呢，都会涉及到。黄金率的计算。那么，

首先知道什么是资本的黄金率水平，那么资本的黄金率水平呢？它呢？就是指呢？稳定状态时，人均消费最大化，所对应的人均资本水平。首先，你要知道这个个定义呢，下起来呢，听起来有点拗口啊，但是你要注意这里面几个。关键的地方第一个，它首先这个资本的黄金率水平，它首先对应的是什么样的状态呢？

是稳定状态啊，稳定状态那么稳定状态也就德尔塔k=0的时候。啊，当它可以等于零的时候。而且呢，这个时候是人使得人均消费呢，达到最大化时，所对应的人均资本水平啊，就是这个资本的黄金率水平呢，就是。使得在稳态条件下，使得人均消费达到最大化的人均资本量，我们就称为资本的黄金率水平。我们用k。这个时候呢，

把k星呢记作k星gold啊，这个gold就是黄金的意思，它就形象的代表了，叫资本的黄金率。资本的黄金率水平呢？它描述了如何将产出呢？在消费和投资之间进行分配，那使整个社会的经济福利达到最大化。那整个社会的经济福利怎么来衡量呢？就是通过人均消费的数量来衡量那人均消费呢越高，那说明整个整个社会的经济福利呢？越高啊，那你看我们从这个地方，我们来看我们整个的产出是fk那么。达到稳态的时候呢，

那么我们说了这个一定有s fk呢，它就等于德尔塔k了，所以这个德尔塔k呢，代表代表了就刚好等于人均投资。德尔塔啊，这个这个是吧？这个德尔塔k啊，还有这个用这个德尔塔k呢，它就此时呢等于零了。那你看一下我们人均的这个产出，假如说在达到黄金率的条件下呢，这个地方是黄金率的资本存量，你看。它呢，满足什么条件呢？

这个时候你看图，你可以发现。这个人均产出减去人均折旧之后的，剩下的这个地方就是人均消费嘛，只有在黄金率水平下呢，它才能够给。使得每个消费者的消费呢，达到最大化，那么这个时候呢，应该满足什么条件呢？满足的就是说刚好呢，在这一点。人均产出函数上这一点的斜率呢，刚好是和这个资本折旧曲线的斜率是平行的关系啊，平行的就是这条线。

要和上面这条线是平行的。啊平行的，这是我们从图上可以看出来的，这个达到。人均资本达到黄金的水平的时候呢，就是人均资本达到使消费达到最大化的时候呢，它应该满足的条件。当然，如果这一个资本的低于或者高于这一个黄金率水平呢，都不会使人均消费达到最大化，从而也不是这个黄金率水平。下面我们看一下。怎么去表示我们设k星good呢为？资本的黄金率水平，那首先我们看一下这个c星，

我们就表示了为k星的式子，这个c星就代表为什么？人均消费最大化的时候，应该满足的条件，它就等于呢，外心减I心啊，达到稳态的时候呢，那么这个地方。啊，这个IC呢？就等于德尔塔k那你把它代换一下，就是fkc减德尔塔k。这是我们推导出了这个什么？这是我们达到的这个。人均消费的这个函数，

而且你要注意啊，之所以从这个地方能换到这个地方来。这里面就是因为用到了一个什么，这是一种稳态条件。那在稳态的条件下呢，我们说一定有什么有这个。I呢，就是在这个。德尔塔s fk呢啊s fk呢？它就等于德尔塔k啊？等于德尔塔k？要满足这个条件。那我们知道这个时候呢，是不是可以看出来这个消费人均消费是人均资本的函数，我们现在要使得人均消费达到最大化，

那很好，我们拿抵税。比dk呢就可以了DC比dk就等于f1撇k心。是吧，减去德尔塔，它刚好等于零，那么就可以得到呢，达到这个。对吧，达到人均消费最大化之后，满足f1撇儿k星呢等于多少呢？它等于德尔塔，而这个呢，刚好就等于我们可以认为是mp k。所以呢，

这个地方就有ipk等于德尔塔是这样由来的。这是我们说的啊，这个条件当然啊，这是只有折旧的情况，如果整个社会还有什么呢？如果整个社会还有这个人口进步的时候呢，那么这个地方呢，后面我们会分析这个时候呢这个。人均消费达到最大化的时候呢，这个人均资本呢？条件呢？应该等于什么？我们前面给大家总结的框架里面说过是f1撇k呢？应该等于德尔塔加n。如果还有技术进步呢，

它又等于德尔塔加n+g啊，这个要根据实际的题目，当中的要求呢进行。实际的操作。好，那么对于这个问题，我们就讲到这里，我们下面来做一道题来。熟悉一下这样的一个。啊，计算那么看一下，这是中央财经大学二零一四年的一道题。在这个题当中看一下，在不包含技术进步的索洛模型当中，我们说生产函数是这个样子，

这是个科布道格拉斯生产函数典型的对吧？而且呢，假设呢，人口增长率为n，储蓄率为s。这个资本折旧率为德尔塔定义人均资本等于大k比大l，它代表人均资本小y就人均产出是大y比大l。然后下面有三问啊，这个题呢，其实考的还是比较这个经典的啊，典型的我们来看一下，第一问说让你推导出人均资本积累的动态方程。啊，这个问题啊，是非常重要的，

现在很多学校呢，考索罗模型的时候呢，它都会。经常涉及到这个。资本积累的动态方程的推导，有的同学开始的时候呢，学这个知识点呢，因为教材里面推导出了现成的，而且很多题呢，直接问。啊，这个稳态的条件，那大家只会带这个公式去这个稳态的条件去用它，那么现在呢？它让你推导本身有的同学平时不注意这个推导上了考场呢，

这一问反而是丢分的。啊，这是啊，非常遗憾的。第二个。问题说让你计算出黄金率的资本存量以及对应的储蓄率水平。第三问说，在上述索罗模型中，如果引入税收政策，那在引入税收政策之后。啊，假设政府对收入征税税率为t为套啊为套为简化起见，这里不考虑税收的具体用途，让你来重新来计算黄金率的资本水平。以及相应的储蓄率。

这是这三问好，我们现在我们先来看一下啊，第一问。它已经给出了你的总总量生产函数。科布道格拉斯的这个总量生产函数f kl呢，等于akr法l的一减r法。那可以得到的人均生产函数多少呢？是我们把总量呢化成人均的了嘛，对吧？小y等于大y比大l。代进去就可以得到呢，人均生产函数呢，是AK阿尔法。啊AK阿尔法。人均资本积累的动态方程呢？

我们可以这样写，那资本存量这个增量呢？大k上面打一点呢，它代表的是这个增量啊，它等于我们人均投总投资呢，减去什么总的折旧量，那么折旧率是德尔塔，那么总的折旧量是德尔塔k。而刚好呢，我们说这个。投资呢，它刚好也等于储蓄，所以把这个I呢用s去代替，然后呢这个。s呢，

用储蓄率和总产出代替，那就是小sy乘以减去德尔塔k，那么这一个式子很关键。啊，有了这个式子之后呢，我们再做一定的变形。我们两边呢，对这个式子呢，两边给它除以l啊是k一点比上大l呢，等于后边这个式子。那这个式子呢，慢慢就靠近我们想要得到的式子了，对吧？那又由于呢？我们小k呢？

等于大k比大l我们对这个东西呢？进行一个什么？进行一个变求导呢，我们可以把它给换掉啊，那么德尔塔k呢，这两边的求导那么这个商的求导公式啊在数。数学里面啊，微积分里面都学过，这里面应该是大家都比较熟悉了，对吧？商的求导公式呢，最后画出来呢，它是得到这样一个式子。啊，得到这个式子，

那么这个呢？我们从这里边，我们就可以得到了这一个了，刚好这个是不是就我们想要代换掉了，我们把它。替换一下那么大k一点比大l呢，它就等于德尔塔小k呢，加nk，然后呢，把这一个呢？代入到这个式子当中。然后代换之后，那么可以得到德尔塔k呢？等于啊，代换之后呢？

得到这个德尔塔k呢？等于s kak阿尔法呢？加减去呢n加德尔塔k，这就是我们所要的这个第一问。推导出的人均资本的。积累的动态方程，这是我们的这一个。这是第一问啊，我觉得这个题里面呢，其实相对来说呢，大家比较陌生的是第一问，如果第一问呢，算出来之后呢，后面呢，我觉得都是比较好算的。

那第二问让你求的是什么呢？第二问是让你计算黄金的资本水平，那么刚才说过黄金的资本水平怎么算？那么，首先它是它是一个稳态，所以c啊等于什么人均消费等于人均产出减去人均储蓄啊？那么等于多少呢？人均。投资它，就等于因为是稳态的时候，所以这个是s fk减去德尔塔k啊，这里面是有人口增长的，所以它应该还包括人口增长率。好了，你把它带进去，

然后呢？就可以呢？根据这个因为在本题当中呢？啊，这个不是sk啊，是fk那么这个fk呢？等于AK阿尔法那代进去。啊，带进去。就得到这个式子，那么下面我们就来求一下黄金率水平，那只要对这个式子呢？我们知道这个人均消费呢？它是人均资本的函数，那么求一阶导。

直接求一阶导。求一解导之后呢，得到这个式子，那你把这里面的这个k呢给它解出来就行了。对吧，可以解出来，可以解出来就可以得到了黄金率的人均资本存量。人力资本水平就等于它。阿尔法减一倍的根号下n加德尔塔比上阿尔法乘以a啊，这是这样的，那么我们现在呢？让你还要求一下什么？就是说这个黄金率规则下呢，它对应的储蓄率是多少？啊，

储蓄率多少？那么知道啊，我们在黄金率的条件下，我们说它满足的s fk。等于德尔塔k啊n加德尔塔k。n加德尔塔k所以我们要求的是这个什么s，我们就s就等于什么，就等于n加德尔塔k。比上了fk。对吧，把它带进去嘛，这个n加德尔塔k在分子上就不动了，那么fk呢，就是AK阿尔法。啊akr法。

那最后呢？算下来呢？刚好呢？它等于阿尔法啊，等于阿尔法为什么你要你在这个地方，为什么其实中间我省略的一步啊，你要把这个什么？这个k用这一个式子呢，来代换掉啊，代换掉下面这一个那么代换完之后呢？刚好呢？分子分母一约呢，还剩一个阿尔法，所以呢，在黄金率的资本存量的水平条件下呢，

那么这个。储蓄率啊，黄金率所对应的储蓄率水平呢，刚好就等于阿尔法。啊阿尔法。它就等于什么？刚好是这个，什么是这个？科布道格拉斯生产函数当中这个。阿尔法就是说，资本在总产出中的贡献份额啊，这是我们资本的黄金率水平。下面我们再来看一下。第三问啊，第三问是求的是什么呢？

他说在这个上述的索罗模型中，我们如果引入税收政策，并且假设呢？政府对收入征税税率为套啊，税率为套，我们来看一下。为简化起见呢，这里不考虑税收的具体用途，那重新让你计算黄金率的资本存量，那这个呢，主要是还是什么？你要是能够表示出这个时候的。这个稳态的人均消费。那么，征税后呢？

稳态的消费水平呢？就是变成了这个时候你比如说人均以前的这个消，这个人均产出是fk。现在呢，你对他征收税收之后呢？比如说征收套套的税率，那么这个时候呢，这个人均的产出呢？或者人均收入呢，就变成一减套fk rfk=akr法带进去，后面的这个路径没有变化。啊，没有变化，其他的下面的解题步骤呢，跟第二问呢完全一样啊，

完全一样，那么你看一下这个地方，然后呢，对底c比底k。求一阶偏导嘛啊，一阶导。然后呢，解出这个。人均资本存量，那么这时候呢，就是在征税情况下的这个。黄金率的这个资本存量，那大家要注意啊，这个题呢，其实本身不难，

重要的是呢，你看着这个式子看上去有点复杂，就说你在。解题的过程中呢，一定要仔细把它解出来，那么这个时候呢，看一下这个KC够的就等于。阿尔法减一次位的根号下n加德尔塔比上一减套乘以阿尔法a好，下面对于储蓄率就是。黄黄金率水平调节的这个储蓄率的计算呢，也是一样对吧？还是根据这个n加德尔塔k呢比上？fk因为这个是又在资本黄金率条件下的，所以呢，你把这个k呢用上面这个。

代替一下，最后呢，进行一个计算，刚好呢，画出来也是非常这个整齐的一个数字。阿尔法乘以一减top。好了，那从这个地方我们看一下这个题呢，是三问我们就。嗯，结束了啊，所以这个题还是考察的非常好的，大家回头呢，应该把这个题呢再反复的去看一下，体会一下。

好，我们上面说了是这个啊，资本的黄金率，下面我们看一下，如果资本没有达到黄金率。就是就是说没有达到黄金率呢，又意味着呢，整个社会呢，没有达到这个整体福利达到最大化，我们想要追求这个福利最大化，我们就要把这个人均资本的。往这个。黄金类的水平过渡。那怎么办？那我们需要看一下这个资本往向黄金率水平过渡的过程中会有哪一些变化？

这是我们感兴趣的，我们来研究一下。那么，如果这个资本，人均资本存量不是黄金率水平所对应的，人均资本存量无外乎两种情况，一个是这个初始的资本呢？比黄金率水平过多。要么就是说呢，初始的人均资本存量呢，比黄金类人均资本存量呢，要过少，那么我们都来分析一下，我们首先分析一下，如果初始的。

这个资本呢，比黄金率水平要多的话，我们看一下此时的会怎么样？假设一开始所处的这个稳定状态，所用的资本存量多于呢？黄金率稳态水平，那在这种情况下呢？我们说。是需要减少资本存量的，然后让它呢回归到均衡，对吧？那么政策制定的呢？应该追求旨在降低储蓄率的这样一个政策啊，降低储蓄率呢，这样你就可以降低呢？

整个的这个对吧？投资率那么储蓄率的下降，造成消费的即刻增加和投资的即可减少。啊，我们来看一下啊，你看。我们这个地方，我们来看一下，就是说起初的时候人均资本多于黄金率的人均资本的时候，我们。是需要就说明呢，这个人均资本存量过高，我们这时候呢，降低这个人均资本存量，我们需要什么降低储蓄率，

我们来看一下。这个降低储蓄率的这个变化，说它对产人均产出人均消费和人均投资会怎么影响？那这个图呢？大家一定要注意啊。一定要掌握，因为有些学校已经在这个地方出过题，就是关于资本向黄金水平过渡的这个图形分析。啊和说明我们看一下。当资本呢，大于黄金率的时时候是吧？我们需要是给它降低这个储蓄率，那么降低储蓄率。那在降低的你，比如说我在t0时候，

我储蓄率下降，那这时候它有什么影响呢？我们首先看一下它对投资的影响。啊，投资的影响我们说投资呢，等于s fk假如说开始的时候sef k，那么现在呢？你降低储蓄率，我们比如说把储蓄率呢，从s1什么？下降到s2，那这个时候呢？我们看一下这个时候呢，就变成sf。k啊，

这个地方是。l2那显然呢，那一你即使的降低这个储蓄率呢，会使得这个人均投资呢，会有一个断崖式的先下跌啊，断崖式的下跌从这个地方先下降。啊，下降，然后呢？这个随着时间的推移呢？那么这个投资呢？它会慢慢的会趋向一个新的，一个均衡的状态。啊，出现一个新的均衡状态。

同时我们说你降低了储蓄率，意味着你的消费水平变高了，所以你呢，即可降低储蓄率呢，会立马提高呢，这个。即刻的消费水平啊，消费呢，会从这个地方有一个跃升啊，跃升到这个地方，但是呢，之后呢，它开始慢慢的下降啊，慢慢下降。但是大家注意啊。

注意，由于这个时候我们向黄金率水平过渡的过程中，那么这个消费呢？它其实是呢，一直是下降到这个什么，它达到一个新的稳态为止。啊，趋向于稳态。当然，这个这个图呢，我个人觉得呢，它还是有一点点这个问题的，因为你这个时候是什么？啊，当然啊，

在这个地方呢，我们说它有点问题，是因为这个地方呢，你需要注意啊。这个我们说这个时候我们是降低人均这个资本了，同时提高储蓄率对吧啊，降低储蓄率。降低储蓄率之后，人均消费会增加，那即使它最后的这一个达到了这个最后达到新的稳态的时候呢？这个消费水平一定还是要比以前的高，对吧？因为我们说开始的时候，我们这个资本呢，存量呢，

是大于黄金率资本存量，那就说明人均消费没有达到最大化。我们说只有在黄金率水平条件下呢，人均消费才达到最大化，所以说这个地方你看一下这个消费呢，在这个地方它一定是高于之前的这个水平的。啊，如果你画的时候，你看你要画图的时候，你从这个地方你看。你如果从这个地方，你给画到这个虚线下面了，那你这个图就错了啊，人家一定会给你判错了。啊，

因为这个已经是在向黄金率水平过渡了，那么人均消费一定是在向最大化的过程中过渡，所以它一定是比之前的起初的消费水平要高的。所以你不能画到下面来啊，不能画到下面来。但是呢，产出会怎么变化呢？人均产出由于我们的这个资本的水平呢？要比黄金类水平要什么？由高于黄金的水平呢？向黄金类水平过渡，其实人均资本存量呢？是在下降的。所以呢，你总产出呢，

应该也是下降的啊，应该也是下降的，所以这个图呢，要注意。第二种情况，我们来分析一下，如果初始的资本过少的时候，那就是说人均资本存量呢，是低于呢黄金率的资本存量，那么在这种情况下怎么调整呢？我们来看一下。啊，那么如果开始的这个。稳态呢，资本水平，

它是小于这一个。黄金率的稳态条件，人均资本的情况，那在这个情况你会看出来，那么是不是意味着我们要增加什么？我们要增加人均资本。那增加人均资本的最有效方程，比如说提高储蓄率对吧？那么提高储蓄率，那么提高储蓄率之后呢？人均投资I=s fk，那么这个s的这个一次性上升呢？会导致呢，投资有一个继续的向上跃升，那就是说开始从这个地方从t0的地方，

它会有一个跃升，对吧？然后呢？这个投资呢？在极客呢？它会有一个啊，投资会有一个升上升，但是它以递减的速度上升，达到新的稳态之后呢，它也保持不变了。这是这样的一个情况。啊，再来看一下消费会如何变化？那么消费会怎么变化呢？那么我们说你这个地方你提高了储蓄率。

那就意味着你你的人均产出当中呢，你用于储蓄的地方，用于储蓄的增多了，那用于消费的必然减少了，所以在t0时刻你提高储蓄量了。这即刻呢，它会使得这个消费的一个断崖式的，这一个什么下跌啊下跌。但是呢，我们说随着人均资本的这个什么向黄金率稳态资本的过渡，那这个。人均产出会变大，人均产出变大之后呢？相应的，你用于消费的，

也必然是会上升的，所以呢，最后呢，你的这个什么消费呢？一定是上升的，而且要注意啊。而且一般情况下，因为产出呢是吧？产出已经是在上升了，所以你用于消费呢，一定会比什么因为长期来看呢，由于整个社会的总产出是增加的。所以用于这个人均消费的这个。份额呢，也是增加的，

所以它会一直上升，而且它要上升超过了之前的这个水平啊，超过之前的水平。啊，这些都是要需要讲究的啊，这个地方画图，然后呢，再看一下人均产出对吧？我们其实刚才已经说过了，由于人均资本呢？向黄金率水平过渡，而且开始的时候的稳态的这个人均资本呢，它是低于黄金率水平的，所以它向黄金率过渡的时候呢，那么人均资本呢，

是增加的。那这个增加它会导致呢？我们的fk呢？也会是上升的，也就是人均产出呢？会上升啊，也会上升，但是呢，它有一个极限达到新的稳态的时候呢，它也会什么？增长率为零，这是这样的一个过程，这是我们分析了啊，就是向黄金率稳态过渡的两种情况。当人均资本低于黄金率水平的时候啊，

就是资本过少的时候，第二个是投资就是第一种是投资过多的时候，第二种投资过少的时候，那么两种情况都分析了这两张图呢，大家一定要什么？要明白其中的逻辑，自己会呢。

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10.08.曼昆-经济增长Ⅰ：资本积累与人口增长01

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