35.课件35-数学强化班第十五讲 (2)

罗泽兵 · 发表于 2024-4-5 15:46:09

好同学们，那么下面我们进入到第15讲的第二小节，大家把讲义放到第70页，我们看到命题角度是工程问题。好，我们看到第283题这道题目呢，它说某项任务甲呢是四天。可以干完乙呢，是五天干完丙呢，是六天干完，现在呢，是甲乙丙三个人轮流工作，好注意了，它是轮流工作啊，也也就是甲干活的时候乙和丙是不干活的。

对吧，而一干活的时候，另外两个人也是不干活的，对吧？明白吗？这叫做轮流干活。那么像这样的题目呢？为了避免出现啊，这个都是分数对吧？都是分数，它会影响我们，干扰我们的这个直觉和分析，所以呢，我们是工作总量。我们是工作总量为四五六的公倍数，

也就是60。60我们说工作总量为60则。甲每天。的效率。甲每天的效率就是甲每天干多少活，应该是等于60÷4，它是等于15的。乙每天的效率呢是60÷5是等于12的。啊丙的效率呢是？啊60÷6是等于十的对吧？这样我们下面来轮流开始操作啊。甲乙丙甲乙丙对吧？那么甲呢嗯。干一天是15对吧？接着一干是12干一天是12，

那么丙接着再干一天是十，那么这样他们轮回了一次，总共干了多少活呢？是不是15+12？对吧，15+12，再加上十，它是等于37的。好，继续第二个轮回，这边是甲在干15对吧？甲在干15这边一加起来是等于多少呢？和对不对？35加上啊，37+15是等于52的。

那么，52注意了，总共工作总量是60。这地方很关键，对吧？这个工作总量是60，那么这个52跟60还相差多少呢？是不是60-52？还有等于八。对吧，也就说啊，还剩下八的工作，还剩下的工作量呢是八，但是呢乙接下来。唉，

该乙来干活了乙呢，他一天干的工作量是12，他已经超过八了，所以这边他要不了一天的时间应该是。对吧，这边还剩下工作量是八，那么应该是啊，这个八÷12要要。好八除以十二呢，我们约个分，它是等于三分之二的，对吧？它是等于三分之二天，你看这是一天两天三天四天。然后后面该乙工作的时候，

他只工作了三分之二天，所以应该是四加上三分之二等于四。四又三分之二天，所以这个题目正确答案选择c选项。下面我们再看到例284题。这一道题目呢？它说一个水池上部装有若干同样粗细的进水管，底部呢装有一个敞开的排水管。当打开四个进水管的时候，需要四个小时才能够注满水池。啊，当打开三个水管的时候，需要八小时注满水池，现在两小时内把这个水池注满，需要开几个水管？

好同学们注意了，我们设。排水管。啊，是排水管。每小时的。排水量为x。每根进水管。每根进水管的进水量啊为。啊为y对吧？每根进水管应该说每小时的进水量，所以我们。把它写的更严谨一点。每根进水管。它每小时的进水量为y2。

池子。的啊，池子的容积为v。我们要啊，两小时呢。啊，两小时。啊a根管。对吧，两小时a根进水管，我们设这也是设了一个，对吧，这两小时配的是a根进水管。那么这样的话。嗯，

两小时a根进水管就，或者说a根进水管啊，两小时啊。转码。对吧a根进水管两小时装满水。装满这个水池，那么下面我们列方程。你看，首先第一个条件呢，他说四根进水管呢，四个小时注满。好，也就是说四根进水管，它每小时的进水量是四×y，它每小时的排水量是x。

所以是四×y-x对吧？也就是每小时。进的水减去排的水，就等于它留存下来的，对吧？每个小时它留存这么多。是不是那现在呢？总共是有四个小时，对吧？每小时留存就是括号里面的这个内容，四个小时留存这么多。它是要等于池子的，这个装满对吧？装满这个池子就等于池子的容积，我们再看到第二个条件，

他说打开三根水管需要八小时装满水。好有三根水管，每根水管的进水，每小时的进水量是y，所以三根水管它的啊，每小时的进水量是3y。然后减去每小时的排水量，那么就应该变成了3 y-x对吧？3 y-x再乘以什么呢？啊3 y-x再乘以时间是八小时，对吧？它是要等于z的是吧？啊乘以八，它是要等于z的。然后我们再看后面第三个条件嗯，

他说两小时对吧？有两小时有a根进水管，所以呢？好注意了a跟进水管每小时进管进水的量是a×y每小时排水量，排水的量是x对是吧？所以我们就是ay-x对吧？ay-x再乘以二，它是要两个小时，它是要等于v的，这是我们啊，对吧？这是我们列方程。啊，我们列方程好，下面呢，

我们要去解方程，注意解方程的时候，我们要去求的是a对吧，我们并不需要去求v。我们要去注意啊，我们要去求的是啊a。所以要求的是a并不是去求v，也不是去求x，也不是去求y。那明白吧。好，那下面呢？我们设这是圈一，这是圈二，这个是圈三，

好有。由圈一和圈二我们可以得到，应该是4 y-x×4。四啊，它是等于3 y-x×8的对吧？那么我们这边呢？嗯，约个分啊，这边是约个约个四之后啊，再再展开这边就变成了4 y-x=3 y-x×2。就是等于6 y- 2x，所以这边呢啊，应该是等于x是等于2y，对吧？把这个减2x挪到左边来。

就负x+2 x是等于x的，把这个4y挪到右边来就变成6 y- 4 y=2 y，所以解这x是等于2y的。那么下面呢？我们再由。我们由圈一和圈三，我们就可以得到这边是4 y-x×4，它是等于ay-x。再乘以二对吧？我们把这边约个分，这个二跟这个四啊约掉二，这边就是二。好，这样的话，我们就可以得出来，

这是8 y- 2x对吧？8 y- 2x是要等于。等于ay-x，然后我们把x=2 y再带进来，注意把这个x=2 y把它带入进来。这边是8 y- 2×2y就是4y了，然后这边呢是等于ay。减去ay，减去2y对吧？所以呢，我们左右两边啊，这边我们提取个公因式，这边实际上这边一整整合，是不是就4y了？4y要等于a- 2×y左右两边，

同时约掉y对吧？同时约掉y。所以呢，我们得到一个关于a的方程，对吧？也就是四是等于a- 2，那么我们解得这个a是等于六的。对吧a是等于六的，因此本题正确答案选择c选项，那么这一道题目呢？我们发现有很多未知数，我们设，但是没有去求这种技巧叫做。设而不求对吧？设而不求啊，

那么为什么我们要去设这些未知数呢？主要是为了方便我们。好列方程对吧？好找到等量关系，方便我们把这个就就是这个等量关系，把它构建起来。构建起来之后，其实这个未知数，它只是起了一个中间的辅助作用，是不是啊？好，这是这一道题啊，这种是。净排水的问题好，下面呢，

我们看到命题角度平均值问题。好，这是第285题。若浓度30%和20%的甲乙两种实验溶液啊，混合成为浓度24%的啊，这个实验溶液500克，这甲乙两种溶液各取多少？这个地方我们是不是直接使用？嗯，我们可以直接使用十啊，这个十字交叉法对吧？把浓度写上来，这是甲。啊，这是一那么甲的浓度是30%，

乙的浓度是20%，混合之后是24%，对吧？好，这样我们。那么，在这条交叉对吧？在这个虚线上用大的减小的也就24%减20%，它是等于4%的。在实线上用30%减24%。那么，它是6%对吧？这样我们是不是得到一个比例4%比上6%？它是等于二比上三的。对吧，

它等于二比三，那么同学们注意这个二比三呢，实际上就是甲乙两种实验溶液的。它的质量之比或者说它的数量之比对吧？那么也就是说，甲实验它占了两分乙实验。占了三分那么？总共是五分对吧？甲呢？总共合起来是五百克甲呢？是五分钟占了两份，所以是五百乘以五分之二，它是等于。两百克对吧？那么乙呢？

是总共的五百克中，它占了五分之三份，对吧？所以是啊，它是等于三百克。因此，本题的正确答案选择e选项。选择一选项好，下面请同学们看到第286题。这道题啊，这道题呢，他说王女士以一笔资金呢，分别投入股市和基金。啊，但是因故需要抽出一部分资金，

若从股市中抽回10%，从基金中抽回5%，这几种投资者减少哎。减少8%，若从股市和基金的投资啊，若从股市和基金的投资额各抽回15%和10%，再去总投资额减少130。那么，其中总投资额为多少？同学们注意了，这个地方呢？我们可以这样来。我们设。啊，股票。

我们是股票的。投资额。是股票的投资额为x。啊基金的投资额为y。那么，我们可以列方程。首先，股市中抽回10%。那么抽回来多少钱呢？对吧？是不是x乘以10%？激进中抽回5%。出货了多少钱呢？是不是应该是y乘以5%？那总投资额减少了8%，

对吧？这个加起来的金额是不是应该等于8%乘以括号x+y？好同学们，我们再来看从啊，这个股市和经济金融各抽啊，分别抽回15%和10%，那就是x乘以。15%啊，加上y乘以10%，它是等于130的。对吧，那我们这个题目要求什么对应呢？它要去求的是x+y等于多少？对吧，那我就想办法把xy给解出来就可以了。

对吧，好同学们，这是圈一，这是圈二，下面我们来解方程第一步，实际上是列方程第二步才是解方程。对吧，由圈移，我们可以得出来啊，移项可得对吧，把这个8%乘过来，刚才我再重新写一遍嘛。这边是。百分之啊，8%×x啊百，

10%×x加上5%×y是等于8%×x。再加上8%×y，我们移项把这个移过来，把这一项移到这边来是不是？啊，这样的话，我们是不是就可以得到？这个百分之啊，10%减8%是等于2%×x的，对吧？8%减去5%是等于3%×y的。啊，这样的话，我们是不是就可以得到2x是等于3y的是吧？2x是等于3y。

那么，同学们注意了，我们我们也可以得到这个x比上y是等于三比上二，所以我们可以设x是等于3k。这个y呢是等于2k。对吧，好同学们，我们现在呢嗯，把它。代入到圈二或者这个圈二，我们稍作化简。这个圈二呢？它是我们首先乘以100对吧？就变成了15x，加上10y是等于幺三零，

后面再添两个零。对吧，然后把它代入进来，这边就变成了三×45啊，三乘对吧，三×45。是不是就啊三乘啊十十五乘以三十十五×3=45对吧，所以就变成45 k+10×2k是等于20k对吧，它是等于幺三零零。对吧啊，13后面加三个零，这边变成了65k，是等于注意了这个130是等于65×2的。对吧，65×2是130。

对不对？后面两个零啊，就乘以100了，现在我左右两边同时约分，这样是不是就可以解得k？是等于200啊，对吧？k=200，现在我们要去求的是x+yx+y是等于5k的。对吧x+y是等于5k，3 k+2 k=5 k，所以五啊，所以这个。这个五×200，它是等于1000的是吧？

等于1000，因此本题的正确答案选择a选项。啊，我们同学们注意了，我为什么要把这个x设为3 ky设为2k呢？是因为我们鉴别是可以防可以。尽量的减少我们在运算的过程中出现分数是吧啊，因为出现分数容易犯错，出现分数小数等等容易犯错，对吧，我们减少犯错误的机会。好，这是第286题，下面请同学们看到第287题不定方程的问题。在年底，

这些爱心的活动中，某单位共有100个人参加捐款。啊，总共是100个人对吧？总捐款金额是19000元，个人捐款的数额有100元，500元和2000元的三种。啊，该单位捐款500元的有多少个？好同学们注意了，我们这边写上这是100的，对吧？这是100元了。啊，这是捐款100元了，

有捐款500元了，还有捐款2000元了。那么，我们设这个捐款。啊，我们设捐款。我这个100元呢有。我们看一下啊，我们干脆这样设吧，我们设这个捐款嗯，500元的有x个人。对吧，是捐款500元的，有x个人捐款2000元的，有y个人，

然后由于总工是有由于总工是有100个人。对吧，所以呢，你说捐款100元的有多少个人呢？是不是应该是100-x-y这么多人？那么这样的话，我是不是就可以得到一个方程？对吧，我们可以得到一个方程，把它全部这边应该是100乘以括号100-x-y。加上500×x，加上2000×y，它是要等于总金额一万。9000元对吧？我们左右啊，

第一步实际上就是列方程，第二步就是解方程，左右两边同时除以100。这边就变成了100-x-y，加上5x，加上20y，对吧？它是要等于190的。好，我们再整理一下，这边是4 x+19 y是要等于90的，对吧？4 x+19 y是等于90的。那么，同学们注意了啊，

我们到这个地方呢，其实我们就可以分析什么呢啊，大家看到这边啊，这个19y它是等于90-4x的。而90是一个我们用奇偶分析，这是一个偶数。对吧，那么这个唉，注意x和y它是正整数，对吧？它是人的个数，它是正整数，所以呢，4x它也是一个。偶数。

是吧，4x它也是一个偶数。那么，90-4x啊，90-4x，它肯定是个偶数，这是我们等号的左边啊，等号的右边。二等号的左边这个19呢，同学们注意这个19是一个奇数对吧？19是一个奇数，所以我们是不是19×1个y要得到的结果是等于偶数？所以我们可以得到y为偶数。对吧y为偶数。那么y为偶数，

那也好办了嘛，对吧？也就是说我们来分类啊y=2第一种情况y=4。好，还有y=6对吧啊，一直往下来，但是我们发现这个19y，其实你看它也不能说取很大的数，因为。19y是要小于90的。对不对？好，这样的话，我们是不是推出来y要小于90呃？为什么我只补充说明一下为什么19y要小于90？

啊，为什么19y小于90？因为4 x+19 y是等于90，那这个19y肯定比90要小了，对不对？所以y要小于90÷19。90÷19，它是约等于四点几的。对吧，它等于约等于四点几，你上五的话，它就19×5=95了，对不对？那那超过90了，那不行，

所以它等于四点几。四年级的话，说明我们y实际上你看这个y=6都不行了y只能等于二四对吧？这两种可能那么接下来我们来去验证一下。但y等于。啊来当y=2的时候，我们代进来是4x，加上19×2是等于90，那么我们推出来看x等于多少啊？我在这地方打个草稿。19×2是等于38的90-38是等于五十二五十二再除以四一四得四一十二。一三唉，它是等于13的对吧？x是等于13的。啊，

你看这样解出来是不是都是正整数啊？对吧？它解出来都是正整数，所以这个是符合要求的。我们再看y=4的时候带进来，那么就是4 x+19×4要等于90对吧？我们再来计算一下。19×4是等于76对吧？90-76它是等于14的。那么，我们解的这个x等于十四除以四，它是等于二分之七的，那显然这是不符合要求啊，我们总共y总共只有两种情况，一代进去。

还有一种情况x不符合要求，所以既要x和y都是正整数，既要x既要y是正整数，对吧？这个x要是正整数，那是不是只能得出来？只有第一种情况对吧x=13 y=2啊x是等于13，那我们要去求的就是这个五捐款500元的人有多少个人有x个人是不是应该是？啊，应该是这个13人对吧？答案应该选择a选项。好，下面呢？我们看到第288题。我们看到第288题，

那某校呢？有若干女生在。女生住校若每间呢住四个人啊，每个房间住四个人，正好剩下20个人住不下，若每个房间住八个人，正好有一个房间没有住满。则该校女生宿舍有多少间？好同学们注意了，我们啊四。我们设女生。他是有x人的。这个宿舍呢，是有n间。对吧，

这样我们可以列个方程。我们列什么方程呢？你让每间住四个人，还有20个人没有住下，每间住四个人啊，有n间，所以是四×n。然后再加上没有注销的20个人，是不是就总共等于这个人数x啊？那么，他说每间住八个人好，总共呢是有一间没有住满，那说明n- 1间是住满了，对不对？所以是八×n- 1。

还有一件没有注满，我就设它为t对吧？八乘以就是还有一件没有注满的那个，那没有注满的那一件呢？我设它住了t个人那么八×n- 1×t。它是等于x的，这样我就列了一个方程，那么这个t是不是应该要小于八对吧？要小于八要大于。呃小于八要大于啊，要大于零是不是那嗯，就是这一间呢？有人住，但是没住满啊，住满是八个人，

所以他最多只能住七个人是不是？然后他得有人住。好同学们注意了，我们的目标是呃是什么呢？好，大家注意我们的目标呢是？我们的目标呢，是要去求这个竖式有多少间要去求n对吧？要去求n那怎么来呢？来大家看啊这是。既然我们刚才得到这两个方程，对吧？有圈一和圈二可以得到，你看左边它都等于x，所以右边肯定是相等的。

所以4 n+20。4 n+20。啊，它是要等于八倍的n- 1+t的。我们再来分析一下，你看这边呢，是四的倍数。对吧，这边是四的倍数，这边呢也是四的倍数。对不对？你看等号的右边这个方程，等号的右边是四的倍数，倍数等号的左边呢？肯定也是四的倍啊，

等号的左边是四的倍数，那等号的右边肯定也是四的倍数。然后呢？右边呢？有两个有两个部分相加，对吧？第一个部分呢？是四的倍数，那么第二个部分是不是肯定也是四的倍数了？所以我们给推出来t它是。四的倍数。对吧t是四的倍数，而t呢，它又有个取值范围呢，它是介于零到八之间的，

所以我们是不是可以得出来t，它只能等于四了。对吧，那因为一二三四五六七中只有四，它是四的倍数，所以我们把它。对吧，我们这边呢，我们设它为圈三，我们把它带入到圈三啊，就可以得到，应该是4n。加上20=8倍的n- 1，加上四对吧？左右两边先除个四了再说，

这边就是。n+5对吧？n+5要等于。n+5要等于两倍的n- 1，再加上一对吧？我们整理一下n+5是等于2 n- 1的，所以我们可以解得n是等于。等于六的，也就是说有六间房对吧？所以这个题目正确答案选择c选项，当然我们把n=6啊，带到圈一里面我就可以求出x是等于46，加上20=44。四个人也就说这个题目，如果改变一下，

要我们去求这个女生的人数有多少个，我们也是可以求出来的，对吧？这个女生的人数呢是44个人。好，下面请同学们看到第289题。我们看到第289题某年级呢，共有八个班啊，在一次年级考试中共21名学生是不及格的。有21名学生不及格，总共有八个班，他说每班不及格的学生最多有三个人好，这样呢我们。这是一个公共，这是个条件充分性啊，

判断题型中的公共已知条件，对吧？我们把它写下来，这是公共已知条件。注意了，我们设。这啊，我们设这八个班。啊，这八个班中。第I个班。啊第I个班的不及格的学生。啊，不及格的学生啊，人数。

为为xi。啊则。那么那么这个公共椅子条件呢？是什么呢？这公共椅子条件呢？就是x1就第一个颁布机构的人数x1，第二个颁布机构的人数是x2。第三个是x3，第四个x4好一直加。啊啊，它是等于多少呢？它是等于21的对吧？并且这个题目呢？同学们注意了，它的公共已知条件啊，

这是圈一。啊，它还有就是x1是小于等于三。对吧，它是大于等于零，那x2也是小于等于三，它大于等于零，这样我把它简写一下，同学们。把它简写成为叫xi小于等于三大于等于零，这个I呢是可以等于一二三一直到。一直到八的对吧？一二三四五六七八这是这实际上这都是咱们的公共已知条件。好这个呢，我把它设为圈二。

那么，它的结论是什么呢？它的结论是一般中至少有一个学生是不及格的，也就是说要我们得到一个结论是x1。对吧x1是大于等于一的。也就是说，我们的结论是x1大于等于一。那么下面呢？我们来分析啊。我们呢，首先看到条件，一条件一呢，他说二班不及格的学生啊，多于三班，二班不及格的人数是x2。

三班不及格的学生是x3，也就是x2是大于x3的，对吧？x2是大于x3的。那么，同学们注意了嗯，由于啊，大家看到这里啊，由于这个x2。是大于x3，那我们的这个结论呢？感觉到很奇怪，它是x1是大于等于一的。是吧x1是大于等于一的，我们这个时候啊，

我们用反证法啊，假设。假设x1大于等于一是不成啊，假设x=1是不成立的。对吧，假设它不成立。是吧，或者或者这样的假设x1。小于，你看x1大于等于一。它的对立面是不是x1要小于一啊？对吧？假设x1是小于一即。因为这个x1表示不及格的人数，你小于一就是等于零了嘛，

即x1=0，这样的话，我是不是就可以得出来？啊，我可以得出这个来了，你x1=0，那不是说明这后面的都等于。嗯，对吧？那后面呢？加起来是等于21了。对吧，好大家要注意这个，你看这有一个两个三个四个五个六个七个。七个数的和是等于21，

而每一个数对吧？而每一个数都是小于等于三的。是不是啊？都是小于等于三的，所以嗯。好又因为又因为x2啊，又因为x 2+x三一直加。干脆直接把它复制过来吧。又因为这个。又因为这个它是小于等于它是小于等于21的，为什么小于等于21呢？是因为啊，我们每一个对吧x2小于等于3x三小于等于3x四小于等于3x五小于等于3x六小于等于3x。七小于等于3x，八小于等于三，

那么你把它全部累加起来，是不是小于等于有七个三了，要小于等于21？可是你现在又是等于21，一方面你小于等于21，又另另外一方面也是等于21说明。这个小于等于号趋等号了，对不对？小于等于于号趋等号说明什么？说明我们是不是可以得出来这个x2要等于x 3=x四=x五=x六=x七=x。八它就等于七了啊，就等于三了啊，就等于三了，就它已经取到最大值了，对不对？

它每一个都要取得最大值。对吧，每一个都取了最大值。好好同学们注意了，我们重点来看哪呢？我们重点来看这个地方。对吧，来看这地方这。在于。啊，这与条件一是违背的，对吧？与条件一相违背。对吧，与条件一相违背。

啊，因为条件1x二是大于x3的，你现在x 2=x三了，这是不是产生了违背啊？因此假设不成立。对吧，因此。因此，假设不成立，假设的是什么？假设的是x1小于一啊，那假设不成立。对吧，从r是不是可以得到x1必须大于等于一啊？那是不是就可以推出结论了？

对吧，那就得推出结论来。也就说条件，一是可以推出结论来的。好，那么下面呢？我们看到条件二。好同学们，我们。第三步，写在这条件二呢，他说这个事班不及格的学生有两个。啊四班不及格的学生，也就是x4=2。对不对好？

大家有没有发现我们整个解题过程都是一模一样的？啊，我依然是。分析x分析条件二的时候，依然是假设x1小于一。啊，也就是这个结论的对立面对吧，依然是假设x1小于一，后面的是分析过程一模一样。对吧，那么我们最后推出什么来呢？我们最后推出这个x4，它要等于三，但是我们。嗯，

但是我们这个啊，我们这个x4是等于二的条件，二里面对不对，所以把这个把这个地方这与一相违背，把它改成。对吧，这与二啊相违背。对吧，这与括号二。啊，这与括号二是相违背的。对吧，所以呢，假设不成立，从而呢，

可以推出结论来，也就说条件一跟条件二。虽然说这条件差异很大，但实际上呢，我们整个证明过程整么整个解题过程，我们用到的是反证法，整个解题过程几乎是一样的。对吧，也就说条件一能够推结论条件，二也是能够推出结论来的啊，我们用到了反证法这道题目正确答案选择4d选项。这道题目呢啊，有很强烈的组合，数学的这个特点啊，也应该说它的思路呢。

呃，这跟我们数学系里面的这个思路呢，是相关度是非常高的，如果没有做过专业化的学习和备考，那这个题目你基本上想不到他怎么去思考？对吧，同时这道题目呢啊，有很浓烈的逻辑，综综合推理的这种色彩。好，这是第289题啊，答案选择4d选项，下面呢，请同学们看到第290题。好，

我们看到第290题甲班呢，共有30个学生。在一审满分为100分的试卷中啊，这个考试中全班的平均分是90分，则低于60分的学生最多有多少名？同学们注意了，我们想一想啊，低于60分的学生。就是说他们的分数比60分要小于等于60分，对吧？小于60分啊，它的分数要小于60分，那么同学们注意了，我们来思考一下这个问题啊。你低于60分的这个学生。

它跟平均分90分，是不是还隔得很远了？那么它们比平均分啊，低的这些分。是不是得用那些考高分的同学高于90分的同学来，他们的分数来去来去弥补。这个缺口啊，弥补这个啊，低分同学的分数缺口跟跟平均分之间的分数缺口是不是啊？所以呢，我们要弥补。尽可能多的啊，这个低分啊，这个不及格的学生的这种这种分数缺口，那么我们就要让这些不。

不，首先让这些不及格的学生，他们分数尽可能的高，你尽可能高，我才能够弥补更多的这样的学生是不是？啊，另外一方面，我得让考高分的人啊，这个分数尽可能的高，因为每一个考高分的高分的同学，他把他。超过90分的啊，超过平均分90分的，这个分数拿过来去啊，借给就弥补那些低分的学生的这个分数。

是不是因此我们通过分析呢啊？在什么情况下这个能够啊？这个成绩低于60分的学生是尽可是最多的。也就是说。好，我们是啊当啊。当高分考生。的分数。尽可能高。对吧，但高分考生的分数尽可能高。低分考生的分数。也是尽可能高。这样高分考生的。分数。

才能够去补贴。对吧，才能去补贴，尽可能多的。对吧，这样高分考生的分数才能去补贴，尽可能多的低分考生。那我们把这个原理搞清楚之后，那我就可以这样来，我就让这个高分的考生都考满分。对吧，尽可能高考满分，那么这个低分考生这个低分考生呢？我们让他的分数尽可能的。啊，

因为他说低于60分嘛，成绩低于60分，他最高就是注意了，这地方我们我们必须要假定一下没有。呃，这个比如说它是分数是整数对吧？它低于60分，那就是59分，明白吧？59分啊，当然你如果说这个分数有小数点，后面的话，英语60分可以考，那我可以从理论上可以是五十九点九九九，对吧？

啊，一直这样下去，当然了，我们这个把这个问题简化一点，就是说啊，低于60分呢，它最高是59分，对吧？低分考试呢，最高考了59分。这样的话，它的平均分对吧啊？平均分呢？注意了，它有一个总平均分。

啊，平均分为90，那么我们设啊，这个低分考生同学们注意了，我们设这个低分考生呢，这个人数有。有x个人那么这个高分的考生，是不是就应该是有30？30-x人了，对吧？这样的话，我们就可以列出一个方程来，这个方程呢？应该是100乘以括号。30-x。

然后再加上59×x，它是要等于啊，等于总分数总分数呢，总共是有30个人。对吧，总共有30个人，然后呢，每个人的平均分是90分，所以是30×90。这样的话，我们。啊，我们就得到一个方程，下面呢，我们来解这个方程。

解这个方程这边呢是展开是3000-100x，加上59x是等于2700的。我们一下项3000-2700是等于300啊，这边呢是等于41x好，我们解的x是等于。四十一分之三百，我们除一下啊，三百除以四十一呃，我们商七。一七得七四七二十八。好，这边是三，这边是一对吧？幺三零好，我们再呃删一个三啊，

这边是三。幺二好，后面我就不用多写了，也就是它是约等于约等于七点三，也就是说啊，我们在极端情况下。对吧，我们在最理想的状态下，我们最多只能够去弥补，我们只能够去补贴七点三个学生。由于这个学生的人数是正整数，我们最多最多呢，只能够只能够去补贴，弥补七点三个学生啊，这个低分的考生对吧？

那那我只能取整数的话，这个人数只能取整数的话，是不是就是最多只能够啊？只能是等于七呀？对吧，它不能等于八啊，不能等于八，因为七点它极端情况下极限极限，它的极限就是七点三个，对吧？你八个的话肯定够不着了，它补贴不了那么多学生。所以呢，我们最多只能够是有七个学生啊，有七个学生啊，

是成绩低于60分的，所以这道题目。正确答案选择b选项好，这是我们的第290题。下面呢，我们看到命题角度七最值型，我们看到最值型第291题。好，我们看到第291题。这一道题目呢，他说一个小服装厂呢，生产某种风衣月销量，这个x和售价p之间的关系是p=160-2x。那做生产成本呢啊，是r是等于500+3x当产量为多少时可以获得的利润是最大的？

同学们，注意了，这个利润呢？应该等于应该等于收入减去成本对吧啊，第一步。啊，这个利润。啊，利润是要等于收入。啊，减去成本的。等于收入减成本，而我们这道题目中，他的收入是不是应该要等于售价乘以销量啊？对吧，

等于售价乘以销量，对吧？这个成本呢？嗯，是r好，我们把数据带进来，它要等于。啊，它要等于160-2x，再乘以x减去括号。啊500+3x。好，这边我们计算一下，它是等于负的2x的平方。啊负的2x的平方+157乘以。

所以本来是160，160再减去3x是吧？所以是157，157x是吧？然后再减去。500。再减去500好同学们呃，我们得到了一个关于x的一元二次函数。对吧啊，那么什么时候它能够取到最大值呢？是不是大家复习一下啊？对于一元二次函数y=ax^2+bx，加上c它在。取对称轴的时候啊x取对称轴的时候y取最小值对吧？对称轴是x等于二a分之b，

是不是我们是不是直接利用这个结果x要等于？要等于二a负的二a分之b，把东西带进来，负的二乘以负二分之一百五十七，它是等于四分之一百五十七。啊，对吧？好来我们除一下157除以四三是12，这边是三十七四九啊36这边是一。唉，这边呢是好，这边是二五对不对？所以它是约等啊，它直接是等于啊，等于三十九点二五。

对吧，它是等于三十九点二五。那那同学们注意了，由于这个x表示的是件数，所以我应该取这个与x相近的，最近的那个整数对不对？所以x。啊x为正整数。对不对？取最近的整数，所以x是等于39跟对称轴隔得越近，那么跟对称轴隔得越近，那么它的y就越接近，最值是不是？所以x应该是等于39，

而不是40，所以当月产量为39件的时候，它的利润是最大的。好，这道题目呢？是应用题中考到了一元二次函数，求最值的问题，下面我们看到292题。那么这道题呢？嗯，他说某公司呢，一年购买某种货物呢，是400吨每吨。啊，每次购买呢x吨，

每次运费是四万元。啊，一年总的存储费用是4x万元，要使得一年的总运费和总存储费用之和是最小的好，那么同学们注意了。我们啊。第一步，我们列一个函数解析式啊，我们设这个是总的运费和总的乘除费用是y对吧？那么，总的运费是多少呢？他告诉我们了，总的运费是。啊诶，总总的运费没有说呀是吧？

他一年要购买400吨，每次购买x吨，所以应该是。400除以就，400÷x就是要买这么多次是吧？他要买是不是买这么多次啊？由于每次的运费是四万，所以要再乘一个四。对吧好，这是运费，那么它的总的乘组费用呢？是4x好，这样的话，我们就可以得出来，它是等于四。

乘以括号x加上x分之四百，那么这道题目呢？要我们去求啊，这个y最小的时候，这个x等于多少？那我由均值不等式可得x加上x分之四百，它是要大于等于两倍的根号下x乘以x分之四百，它是要等于二。乘以根号下400是等于20，它是等于40的，对吧？那么也就是说这个y要大于等于四×40=160y的最小值是160。对吧，当啊，当y=160的时候，

这个x什么时候取等号呢？对吧，也就是说这个地方什么时候取等号y？啊y取等号的时候对吧？那么这个这个地方取等号这个地方取等号是不是就是x要等于x分之？400从而我们是不是可以得到x的平方=400x就等于20了，也就是说当x=20的时候这个y。是取最小值的，所以这个题目正确答案选择a选项。对吧，用到了均值不等式，下面请同学们看到第293题。某公司呢，计划运送180台电视机和110台洗衣机下乡，现在呢，

有两种货车。甲种货车呢，每辆最多可以装40台电视机和十台洗衣机。乙种货车呢，每辆呢，最多可以装20台电视机和啊，20台洗衣机。那甲乙两种货车的租金呢？每辆分别是400到300元，最少运费是多少？那我这样呢，我们设呀。啊甲货车。有x量。啊一货车。

对吧啊，一或称呢是有外量。啊甲货车跟乙货车，我们都把它列出设出来，那么甲货车每辆最多可装好，我们来看一看啊甲货车，你看它有。x辆那么每辆呢？是装40台，40台电视机，所以就是40x一货车呢，有万辆每辆呢，是装20台。电视机对吧？所以40 x+20 y，

他是要。它是要大于等于180的，也就是说它的装载的容量必须要超过110，180台电视机，否则的话就装不下了，对不对？它宁可有空余的地方，它不能够装不下，明白吧？好，我们再来看洗衣剂。对吧，我们再来看洗衣机，那么每这个每一夹货车呢？是每每一辆能装十台洗衣机，

有x辆，所以是十×x。对吧，一货车呢啊是20台洗衣机对吧，所以呢，20×y它要大于等于110。对吧，等于110那么呃题目呢，还告诉我们说甲乙两种货车的租金分别是每辆400元和。360元，所以这个租金啊，这个租金呢，是我们设它为m嘛，这个租金是MM要等于。四啊，

等于这个400×x+360×y。对吧，我们实际上是要去求。求m的最小值，对吧？是不是求m的最小值？这就相当于是它的啊，相当于是它的约束条件。对吧，像这种题目呢，实际上我们也有办法，我们呃，这个常规的办法，普通的方法呢是？用线性规划在直角坐标系里面啊，

画出这个不等式所表示的区域，然后找它的角点角落的点。那么，我们在考试的过程中再去画图，显然它就不那么现实了，对吧？它花的时间就比较长，那我怎么办呢？我们把所有的不等号换成等号。啊，联立方程对吧？换等号啊？换等号。把这个不等号换成等号，这样的话，

我们就可以得到40x，加上20万是等于180的。好，这边呢是10 x+20 y是等于110的好，同学们注意了啊，我们。可以对这地方有个小问题啊，有没有啊？是我检查一下啊，40×x+20×y。这边是十×x+20啊好，这个是没有问题的啊，没有问题这样的话，我们直接相减这个地方是圈移对吧？这个地方是圈二上面减去下面对吧，

是不是就可以得到？好，我们就可以得到三十x是要等于七十的，所以解得x等于三十分之七。七十所以它是等于三分之七的。对吧x等于三分之七，这显然呃。这个不符合我们题目的要求，因为我们题目中这个x和y表示的是车的量数，货车的有多少量，它是正整数对不对？所以啊啊，我们三分之七肯定是取不到。但是这个三分之七呢，它告诉我们啊，

这个x的取值应该就在三分之七与三分之七靠近的正整数。是不是所以接下来我们就可以得出来这个x，你看三分之七十等于二点几，所以x等于二或者是三，也就说正确答案一定是在x等于二。或者是三这地方来取到好，这是圈一，这是圈二哎，我把这地方。干脆把它划一下简吧。嗯，我们把它这边化一下几啊，这边就变成了什么呢？这边变成了这个，同时除以20，

这是x+y是要大于等于。x啊2 x+y要大于等于九的，这边同时除以十就变成了x+2 y。啊x+2 y要大于等于11对吧？我们呢？分类讨论就可以了，对吧？这是圈一，这是圈二。好同学们注意了，当我们来探讨一下啊，当x=2的时候对吧，我们就可以代入。就是啊，代入圈一和圈二。

好代一代入圈一圈二，我们可以得到应该是二×2。加上y大于等于九对吧？这边呢是二+2y大于等于11。啊，这样的话，我们就可以得出来，一方面y要大于等于九点四大于。等于五另外一方面呢y要大于等于这个呃11-2等于九九÷2=4点五。对吧，所以我们同时要满足的话，这个y必须大于等于5y最小是五是不是这样的话，我们是不是可以得出来m是等于？400对吧m要大于等于400×2。啊，

再加上360×5是吧？呃，360×5是等于1800的1800再加上。啊800是等于啊是等于2600的，对吧？这个是等于2600。也就是说啊，当x=2的时候。这个呃，两种货车的这个租赁也就是运费对吧？这个运费呢？呃，至少要2600。好，我们再来看。

当x=3的时候。啊当x=3的时候，我们代入到圈一和圈二。我们带到了圈一和圈二，我们可以得到这个二×3，加上y是大于等于九的。啊，这边是三+2y大于等于11。好，这样我们就可以求得这个y是大于等于九减六是大于y大于等于三，对吧？这边呢是二y大于等于八，所以y是大于等于四。所以我们这个得到y是大于等于四的，从而我们可以得到这个m，

它应该要大于等于。400×3再加上。360×4是吧？360×4，360×4呢？我们运算一下啊，它是等于1440。然后400×30=1200。对吧，一加整起来是2640。所以这边哎，也就说我们这边有两种方案，对吧？第一种方案呢是有三辆甲货车，四辆乙货车。

它的这个运费的是2640第二种啊，就第第一种方案是x=2有甲货车有两种乙货车呢，有呃一甲货车有两辆乙货车有五辆。那么，它的运费是2600元，那么第二种方案呢？是甲货车有三有三辆乙货车呢？是有四辆，那么它的运费是2640，那当然这两种方案中我还要选择费用最少最少的那个方案。是不是应该是2600元对吧？2600元，所以这道题目正确答案选择的是b选项。选择b选项，也就说这种题目呢，

我们没有直接去啊，在草稿纸上去画直角坐标系画直线以及不等式所表示的区域，对吧？那样的话太费劲了。我们直接把不等号换成等号，年龄解方程，如果解出来了，就是一个正整数，那这个题目就变简单了，如果解出来不是个正整数，那我们就取这个啊，这个分数或者取这个小数的。最靠近的两个正整数带进去验证就行了，对吧？好，

这是第293题。下面呢，请同学们看到第294题。好，我们看到第294题某工厂呢，定期购买一种原料，已知该厂呢，每天需要用这种原料六吨，每吨的价格是1800元。原料保管费用呢，每吨每天三块钱，每天购买原料啊，每次购买原料支付费用是900元900元。它要使得该厂呢，平均每天支付的保管费用是最省的，

这应该每多少天购买一次？好同学们注意这道题目比较复杂。我们逐一来分析我们设。我们设每x天。我们设每x天呢啊，这个。购买一次原料。每x天购买一次原料，那么要购买多少呢？这里面注意这里面涉及到几个费用？一个是。购买费。购买原料的费用对吧？购买原料的费用，因为啊，

你每x天购买一次原料，你买一次得得把这x天的原料都把它买回来。对吧，他每天需要使用原料是六吨，那你x天是不是需要使用6x吨？对吧，你要买这么多吨回来，每一吨的价格呢？是1800元，所以是6x再乘以1800啊六乘以。啊18是等于幺零八的，这这边是幺零八零零×x，这是他的购买费用。那你买了之后还得运回来呀，对吧？

所以它还有一个运费，它的运费是900元，对吧？是定死了。你运回来了之后，你并不能直接呃马上就用了，对吧？他还得边边用边保管了，对吧？他他先放到仓库里面啊，再啊，再一点一点的使用啊。所以这地方是不是还有个保管费用啊？对不对？好，

我们把这个保管费用写下来。那么，这个保管费用啊，大家注意这个保管费用呢是？呃，首先呢？第一天呢，你运货呢？是有6x吨对吧啊？放在仓库里面保管一天等于6x×3。好，第二天呢，你你用了一天之后，它是不是它只有六×x- 1天的原料放在仓库里面，你再把我一天是不是再乘以一个三了？

好好到第二天的时候啊，到到啊，到第三天的时候，他用了两天了，那仓库里面还剩下x- 2。二天的原料放在那里放保管，也就是六×x- 2吨，对吧？它再长存放一天，那么它是不是又要乘一个三了？啊，对吧？这是第三天的保管费用好我们。我们发现呢，它是逐渐递减下来的，

它应该是六×2×3+6×1×3。是不是好同学们注意了啊？六×3=18，我们提取个公因式出来，它就变成了18乘以括号x，加上x- 1。加上x- 2一直加，加到二再加上一。实际上，这是一个等差数列，对吧？所以我马上用等差数列的求和公式，对吧？它应该是等于18乘以首项，加上尾项。

乘以项数，再除以二，它是等于9x的平方，再加上。9x的。对吧，它等于9x的平方，再加上9x。好同学们，那这三个费用写齐了，我们这样的话是不是就可以得出来它的平均？啊，每天的。啊，平均每天的总费用y，

它应该是等于总费用。对吧，所以这三个费用加起来。啊，然后。这就是总费用再除以天数对吧？除以天数，这就是平均每天的总费用好，我们把它整理一下。它应该是等于9x啊，加上唉。诶，注意这地方是。这个地方是900啊，没有x。

是吧，这地方是九百倍x好九九哎，九九倍的括号x加上x分之一百，然后再加上幺零八零九。对吧，这样的话，我们就把它的函数解析式求出来了。第二步注意了，他要我们去求平均每天支付的总费用，最省的时候也就求当y最小的时候x等于多少？对不对好？因为x加上x分之一百，它是大于等于两倍的根号下x乘以x分之一百。它是等于20的。对不对？

也就是说这个y取最小值的时候就是x加上x分之一百要取最小值，那么x加x分之一百它的最小值已经是二十。对吧，当。当y取。当y取最小值的时候。是吧，这个x加上x分之一百啊，它是取。取最小值。对吧，它的最小值是20。并且此时这个x是要等于x分之一百的，对吧？均值不等式里面是不是这两个相等的时候，

它取最小值啊？所以解的x是等于十，因此啊，这个题目正确答案选择b选项，你看这道题目呢？嗯，他要我们列一个函数解析式用到的君子，不懂四求锥子，同时它还融入到了。等差数列求和。是吧，所以它这个考点呢，隐蔽的比较深，它需要我们能够透过现象看本质。对吧，

要能够抓住要害，否则的话你抓不住，要害的话都不知道这个题目在考我们什么？好同学们，第291，292，293，294，请同学们把这四道题目重点研究，这代表着我们。考试中应用题求最值的几种典型的考法，下面请大家看到命题角度棒容斥问题，大家看到。啊例，295。

那么，这一道题目呢？他说，某年级60名学生中有30人参加合唱团，45个人参加。运动队。好那么像这种题目啊，是不很显然要用到啊？要用到欧拉图或者用韦恩图，对不对好？这个是。这边呢，我们写上合唱。啊，合唱这边呢是？

运动。题目告诉我们说，参加合唱团而未参加运动队的有八个人，这边是八个人，总共有30个人参加合唱团。所以这中间这一块既参加合唱又参加运动队了，对吧？这块区域就是也就这两个圆重叠的地方，是不是应该等于20=30-8呀？这边应该是等于30-8，它是等于22。而这个题目要我们去求参加运动队，而没有参加合唱团的有多少个人？那由于参加运动队的总共是有45个人。对吧，

那么重叠的部分有22个，所以这个不重叠的运动队这边不重叠的应该是45。减去22，它是等于23的。所以这个题目非常简单正确，答案选择c选项。好，下面呢？请同学们看到啊，第296题啊，大家把讲义翻到第72页。啊72页。例293题啊，296啊，296题全班同学有90个人，

现在呢，要选修课程。其中呢，选a课程的有多少人，选b的有多少，选c的有多少，同时选两门课的有多少个，没有选课的有多少个人。啊，这同时选三门课里有多少个了？像这种题目天生的对吧？就适合用欧拉图或者说韦恩图来去解决欧拉图和韦恩图都都是它。对吧，用画示意图就行了，像这种题目所见即所得画示意图这边呢是啊a课程。

这边呢是b课程，这边是c课程，好同学们注意了啊，我们设同时选三门课的人。啊，同时选三门科里有x个人可以吧？同时选三门科里有x个人啊，或者同时选三门科我com。设为m。然后呢？他说哟，还有没有选课的？没有选课的话，那我这边用一个框框把它框起来，就是外围有一个框框。

对吧，在外面啊，我用。我用这个。啊，这外面有六个人对吧？这中间呢是有m个人。嗯，选来我们来看一看啊，题目它说嗯，同时选两门课的人有15个人，我是。啊，我设这边为x啊xy啊z。xyz那么同学们注意了，

这个题目中同时选两门课。是吧，同时选两同时选两门，就是恰好选两门，课里有15个人，也就是x+y+z是等于15，所以不能把这个m算上去m是选三门课的。对不对？好同学们，我们在这后面写这边呢，我们再c一个啊。啊设这个是a这个是b这个是c。好同学们啊，那么这个题目呢？他说选a课程的有30个人，

那我是不是可以得到？应该是a+x+m+z。c要等于好把这个m放在最后写上，也就是a+x+z再加上m是等于。30。好等于30。嗯，同时这这这是选a科层的啊，选b科层里有45个人，那应该是b+x+y+m。啊，它应该是等于。等于45同时选c门c课程的是好，这边应该是c+y+z啊加上。m是等于40。

等于40同啊，同时选两门课呢，就x+y+z了，对不对？好同学们注意了，还有一个他总共有90个人，就是把这所有的地方全部加起来。对吧，应该是a+b+c+x+y+z再加上m，还要加上六是等于90的。对吧，这就是我们的已知条件，你看我们的已知条件看起来好像写的很复杂，但是啊，其实并不复杂我们。

同学们注意了，我们要去求的目标是什么呢？我们要去求的目标是去求这个，同时选三门课的要求m等于多少？对不对好？这是我们解题的第一步。那这样的题目看似复杂，实际上并不复杂，我们只需要整体考虑就可以了，对吧？我们把这边累加。好，我们把累加累加起来，这边是不是就有a+b+c了，然后这边一加起来是不是有两倍的x+y+z了？

那么这边加起来是不是就有三个m了？对吧？所以我们就可以得到a+b+c再加上两倍的x+y+z。然后再加上3m，它等于多少呢？它等于30+45+40对吧？它应该是等于幺幺五对吧？它是等于115的。由于我们同学们注意了啊，由于我们。我们也可以这样的，你看我们把这个x+y+z把x+y+z带进来，它等于15是带进来，对吧？所以呢，

我们可以得出来。啊好，我们可以得出来这个a+b+c这个当做一个整体，把x+y+z=15带进来，应该是二×15。啊，再加上加上3m是要等于幺幺五的，对吧？好，还有这一个，还有这个方程注意了，我们这样来写，这边是a+b+c。好加上什么呢？把这个a+b+c当做一个整体，

把这个x+y+z也当做一个整体x+y+z=15了，对吧？它是等于15的，所以这边加上15。再加上什么呢？再加上一个m对吧？加上一个m把这个六挪到右边去，90-6是等于84的。是吧，等于84好同学们注意了，这是圈一，这是圈二，我们再用圈一减去圈二整体相减。对吧，整体相减，

左边减左边等于右边减右边，左边一相减，这个a+b+c是不是就抵消了？对吧，这边是两。二×15，这边是减一个15，是不是就只有一个15了，它等于15，这边是3 m-m是等于2m，所以是15，加上2m要等于。幺啊，要等于幺幺五减去八十四，它是等于三十一的对吧？

等于三十一，所以我们就可以。解的这个2m啊。好，我们解的这个2m是等于31-15是等于16的，对吧？所以这个m是等于八的。m=8，因此这个题目正确答案选择c选项。选择c选项。这样的话，所见即所得对吧？当然这个题目呢，也可以使用一些公式，直接一步到位去解题，

但是呢啊，这个公式呢，在我们实际应用的过程中，可能会遇到一些。命令老师设置的陷阱很容易搞错，因为我们真题中考这种像例296题的这种题目考过很多次了啊，命令老师经常会设陷阱，所以呢，我们。啊，为了找到一种有效破解这种陷阱的方法，我们就用所见即所得，就眼睛所看到的东西，对吧？你就把它。

啊，对应的部分加重起来，这样的话，嗯就不会容易啊，就基本上没有被命令老师的陷阱所。所这个让你失分的这种可能性明白吧，好，所以我就直接跟大家讲这种方法，叫所见即所得就画图。296题呢，我就先给大家讲到这里，下面请同学们看到命题角度五净排水和流失草的问题。好同学们，那么下面我们看到第297题。第二，

297题呢，是一个典型的进排水问题，我们看一看题目中的已知条件。他说，一只船呢，发现漏水时已经进了一些水。水均匀的进入船体内，如果十个人排水，这三小时可以排完好，同学们注意了，第一个已知条件呢是。十人啊，十个人三小时。排完第二个条件呢，是上啊，

这个五个人八小时排完是吧？五人。啊八小时排完。第三个条件呢，是要两个小时排完，需要安排多少个人，那么就相当于是我们是a个人两小时。对吧，好同学们，我们可以啊，我们可以设。这个传中。已经漏水。的水量。为v。

每小时的。新进水量。每小时新进水量为y。每个人。每小时每个人每小时的排水量。为y只要我们可以。建立方程对吧？根据第一个条件，十个人三小时可以把这个水全部排干，对吧？因为每小时每人的排水量为y你十个人每小时排量是不是？排水量是十万啊，对吧？排水量是十万。那么减去。

每小时新进水的x。对吧，这就是它的净排水量，每小时的净排水量是吧？那么应该是10 y-x那？排了三小时，他把这个v的水量排光了，所以就10 y-x×3是要等于v的。我们再看呢，第二个条件是类似的五个人八小时，对吧？每个人每小时的排水量是万，那五个人每小时的排水量是五万。所以5 y-x再乘以八是要等于v的。那么，

第三个条件是a个人对吧？a个人排水，每个人的排水量，每个人每小时的排水量是ya个人每小时的排水量，是a×y。减去x再乘以二，它要等于v，这是第一个条件，这第二个条件，这是第三个条件。那么，同学们那么接下来啊，我们第二步就是解方程，注意了我们的目标是去求a等于多少？对吧，

要去求a等于多少？好同学们啊，我们有圈一和圈二，我们可以得到。10 y-x×3。它要等于。5 y-x×8，我们把它展开这边呢，是等于30y。减去3x要等于40y，减去8x对吧？这样的话，我们是不是可以得到5x是等于10y，也就是x是等于2y的？我们再由啊，

我们再由这个呃圈一和圈三。由圈一和圈三，我们是不是可以得到10y啊？10 y-x×3。啊，它是要等于ay-x×2。好，我们把它展开这边呢是呃，注意了，我们直接把这个x=2 y把它带进去。那这边就是10 y- 2y。啊乘以三。它要等于ay- 2y，再乘以二。对吧，

那这边就变成了10 y- 2 y=8 y8y×3=24y要等于a- 2。对吧，两倍的a- 2再乘以y左右两边，同时除以2y这边是十二十二啊，要等于a- 2。所以咱们是不是可以解得a是等于14的，因此本题的正确答案选择一选项。啊，本题的正确答案选择一选项。好，下面呢？请同学们看到第298题。这个是牛吃草问题。牛吃草问题呢，跟进排水问题本质上是相同的，

它的解题思路也是一样的。它说，牧草中呢，长满了草。草呢，每天均匀的生长着牧草上的草石头牛，好注意了啊。十头牛，它是20天吃完。这是第一个条件。第二个条件呢，是15头牛。啊，15头牛啊，十天能够吃完。

啊，那么25头牛多少天可以吃完？好注意啊，他说的是25头牛多少天吃完，我假设是a天吃完。那么这样呢，我们就可以。设未知数了啊设。这个牧场中。原有的。草的数量为啊，原有的草的数量啊为。啊为v对吧？完全可以缩大为v。啊，

每天。新生长的。草量，每天它新增长的草量为x。每头牛。每天。他所吃掉的草料。对吧，他每天所吃掉的草料为y。则我们可以列方程了。啊，同学们。首先呢，你看啊，十头牛20天。

它吃多少？它吃多少草啊？十头牛，因为它每头牛，对吧？它每头牛每天吃的草量是y，所以十头牛每天吃的草量是十×y。他吃了20天，是不是总共吃了这么多草？而原有的草量是v，它每天还生长x，它20天生长了多少I多少草呢？是不是应该是20×x？是不是啊？所以他每天生长这么多草。

好，我们再来看，也就是说牛吃的草。牛吃掉的草要等于原有的草，加上生长的草，对吧？好，我们再来看第二个条件。15头牛。啊，他每天吃草量为15万，吃了十天，所以是15万×10。啊，它吃的这个草量呢，

等于原有的草量加上啊，新长出来的草量对吧？是4x。好，第三个条件，25头牛a天啊，25头牛每天吃的草量是25×y。他吃了a天，所以是25×y，再乘以a。对吧，它要等于原有的草量，加上新长出来的草量，每天新长出来的草量是x，它长了a天，

所以是ax。对吧，是ax。好同学们，这是圈一，这是圈二，这是圈三，那么下面呢？我们来去解这个方程。我们用圈一减去圈二左边减左边等于右边减右边左边对吧？200 y- 1500000。是不是可以得到？应该是等于50y那右边减右边这个v就抵消了20x减十十个x，它是要等于4x。所以解的x是等于5y。

啊x是等于5y的。那下面呢？我们用圈三再减去圈三再减去啊，这个圈二对吧？我们用圈三。减去圈二左边减左边等于右边减右边，左边相减是25 a- 150啊。25 a- 150。对吧，再乘以y。25 a- 150再乘以y要等于啊，右边减右边是不是应该把a抵消应该变成了？a- 10，再乘以x。对吧，

我们再把这个啊。我们再把这个x=5 y把它带进来是吧？x=5 y把它带到这边来。所以就变成了25a啊，减去150×y要等于a。减去十对吧a- 10再乘以5y那么左右，两边同时约掉。同时约掉y啊，左右两边再同时约掉五，所以这边应该变成了5 a- 30，要等于a。减去11项，我们可以得到5 a-a，对吧？是等于4a把这个减30移到等号的右边就变成了加30，

它是要等于20的。所以解得这个a是等于五的，也就是说五天就生完了，所以这个题目正确答案选择c。c选项那么大家可以把298题297题以及。啊呃。这个我们前面还遇到一道题目，就是284题对吧？在讲义的第70页284题，这几道题目可以放在一块进行对比学习。好这道题呢啊，就给大家讲到这下面呢，请同学们看到命令角度时，其他的问题。好，

我们看到299题。在一条长3600米的公路的一边，从一端开始啊，等距离的树。树立这个电线杆，每隔40米呢。这个已经挖好了一个坑。现在改成每隔60米，再挖一个坑。那么，需要重新挖多少个坑？还需要填几个坑？我们这样来，我们把原来挖坑的位置把它确定下来，对吧？

好，原来。坑的位置。原来坑的位置呢是。这个40×0。40×1。40×2一直到啊啊，我再多写几个40×3啊，一直到40。乘以90。对吧，40×90注意，这边是从零打头的，因为它是一端嘛，对吧啊，

那么总共有多少个坑呢？总共有91个坑。注意啊，这是从40乘零零形象类，是数零一二三四五六七八九一直到90有多少个数？是不是有91个坑了91个数就有91个坑？好，现在。好，现在坑的位置。它是每格。它是每隔60米有一个坑，对吧？所以应该是60×0。60×1。

60×2。啊60×3一直到后面应该是60×60。对吧，也是注意，它也是从零打头的啊，这边啊，这边是零打头的啊，所以呢？啊，共有多少个坑呢？共有60啊，共有61个坑。对吧，共有61个坑。好同学们，

我们现在看重复的看。啊，重复的看。也就是重叠的坑。对吧啊，重复我们也可以认为是它的位置是一样就重叠的坑。啊，它的位置。是不是就找公倍数啊？对吧？40和60的公倍数是120。所以这边呢是120×0啊，120×1。啊，120×2。

120×3再到120乘以多少呢？120×30注意了，这里面。啊40×90是3600对吧？因为总长度是三千六六十×60也是三千六一百二十×30也是3600。对吧，所以要搞清楚这个30是从哪里来的，因为120×30=3600。那么，这总共有多少个坑呢？好，大家注意了，重叠的是吧啊？是不是总共是有？31个坑了。

对吧，那么同学们注意了，你看。我们现在呢呃，应该有61个坑。其中有31个坑呢，他已经有了，所以需要先挖的坑。啊，需要。啊，需要先挖的坑。的个数。等于总共需要的61个坑减去已经有的31个坑。是不是就是只需要新挖30个？

对吧，那么需要填的坑。啊，需要填的坑的个数呢？是你原来的坑有91个，有其中31个可以直接使用。还有剩下来的是不能用的，把它填上是不是91-61啊？91-31是等于60个对吧？所以呢？需要新挖的是30个，需要填的是60个，所以这道题目正确答案是4d选项。这个题目关键是要把这个坑的位置，把它定位清楚，

对吧？定位清楚之后，然后我们就知道哪些哪些哪些位置的。坑是要把它填上的哪些位置的坑呢？是可以留下来继续用的。对吧，所以这个题目它的窍门就在这，否则的话就容易搞得很混乱。下面我们看到最后一道应用题第300题。第300题呢，实际上跟我们上面的第296，290，295是同一类型。这道题目的综合性更强一些。哈哈哈。

好，这道题目呢？它说某专业有学生50个人。现开设了甲，乙，丙三门课程好，我们把这三门课程。把那个圈圈把它表示出来。好同学们，我们把它表示出来啊。好，这边呢是甲。啊，这边呢是甲啊，这个是乙下面呢是丙。

那你看啊，这个题目呢？嗯，他说40个人选秀甲五三十六个人选秀乙30个人选秀丙，同时选秀甲。甲乙两门课的有多少人同时选修？甲丙两两门课对吧？同时选修乙丙两门课的啊，三门课都选了有30个人，那说三门课都没有选的有多少个人？好同学们注意了，它已经告诉我们三门课都选了有。三门课都选了有20个人。对吧，三门课都选了有20个人。

我的外面还要画一个框框啊。好，这外面呢，咱们再画一个框框。那甲呢啊，注意啊，这个题目呢，它说同时选修甲乙两门课的有28个人。那我这样来，我设这地方为x这为啊，这地方为y这地方为z，然后呢，设这边为a这边为b这边为c。好，我就对照这个已知条件来逐步的去写啊，

同学们注意了，第一步它的已知是什么，我们列方程。对吧，他说40个人选是选修甲课程。那40个人选修甲课程，甲课程是不是应该是a+x+z？再加上20是要等于40了。36个人选修一课程。那就是b+x+y。加上20，它是要等于36个。30个人选修丙课程，那应该是c+y+z再加上20。对吧，

它是要等于30的。然后同时选修甲乙两课程的啊，同时选修甲乙两课程的是不是应该是x+20对吧？x+20。它是等于28同时选修甲丙课程的，那应该是z+20。啊z+20是等于26同时选修呃乙丙课程的啊，同时选修。乙丙课程的。哈，应该是y+20，它是等于24的，对吧？三门课都有那个都选了20个人，已经填在中间了。

好同学们注意了，它这个题目要我们去求没有没有选的三门课都没选的，我设为m个人。对吧，是不是还可以得一个方程叫做所有的全部加起来a+b+c+x+y+z？对吧，再加中间的20，再加上m是要等于总共的50个人，你看已知条件相当于是这么多。那我们的目标是什么呢？同学们注意了，我们的目标是要去求啊，是要去求这个m等于多少？对不对？去求m等于多少好？

下面我们也是用整体考虑的方法啊。我们整体考虑的方法呢，是先把这边加起来累，加我们把这边。应累加起来就可以得出来a+b+c再加上两倍的x+y+z。再加上60对吧？加上60是等于什么呢？它是要等于40+36+30，它是等于106的。对吧，等于106所以呢，我们稍作化简是不是就可以得到a+b+c？啊，然后再加上两倍的x+y+z，它是等于106-60是等于46的。

那么这边呢？我们也可以把它累加起来是吧？是不是也可以得到x+y+z啊？然后再加上60。三个二十点六十了，对不对？然后这边呢是二十八加二十六，加上二十四啊，它是等于七十四啊，它它它等于多少？等于呃78对吧？是等于78的，所以呢，我们可以得到x+y+z是等于78-60。是等于18的。

那么，由上面画波浪线的这两个，我们是不是又进一步的可以得出来？这个a+b+c的值啊。它是等于啊，46-2×18对吧？46-36是等于十的。是不是啊？好，这样的话，我们都把它带入到最后这个方程中，你看这一个a+b+c，我们已经知道是等于十。x+y+z是等于18对吧？十+18再加上20再加上m是等于50的。

对吧，这边的话是不是就可以得出来是40啊48对吧？48+m是等于50。所以解得m是不是就等于二，也就是说三门课都没有选的，有两个人因此得到什么正确答案就选择。b选项。是吧，这也就说大家大家可以，你看把我们这个呃这道题目呢是？我们刚才给大家讲的是。就是第300题对吧？你看第300题前面我们还有第296题，看起来一的方程好像很多，但实际上解题起来这种整体考虑的方法是非常非常快的。

对吧，还有前面的这个第。嗯，前面这个295题那更简单，对不对？这296题和300题建议同学们呢，重点来把握啊，这是针对我们应用题中考容斥原理对吧啊，比较难的题目，我们的应对方案。我们基本上一道题目下来呢，可以在三分钟以内啊，就是把它解决，如果你非常熟练这种思路的话，可能不到两分钟。

就可以结束战斗了。好同学们，这样的话，我们就把我们应试技巧强化班的这个数学和逻辑全部都讲解完毕了。希望同学们呢啊，这个学习的过程中啊，力求课堂上想就是注意力集中，对吧？做好笔记，听课的时候边听课边做笔记啊。这个这个眼脑手对吧？这个多种感官功能同时发挥出来，关键是要克动脑筋。把课堂上的讲的内容听懂，我们这一讲的内容呢，

基本上把我们考试过程中涉及到的这个技巧全部都涵盖到了，全部覆盖到了，所以大家听懂之后啊，一定要及时的复习，因为。熟练啊，就是你懂了之后熟练应用啊，才是落脚点，对吧？不能够满足于只是听懂。好吧，所以同学们一定要及时的做复习，因为我们后续啊，最后一个阶段的课程也就是啊，冲刺阶段啊，

很快就要开始了。好大家抓啊，大家这个一起加油。

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35.课件35-数学强化班第十五讲 (2)

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