33.课件33 数学强化班第十四讲（3）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-5 15:45:14

好同学们，那么我们进入到第14讲的第三小节。我们前面呢，已经给大家呢，把强化攻略一和强化攻略二全部讲完了，强化攻略一呢是。抓大头啊，也就是平面几何啊，立体几何，立体几何，解析几何和代数式的恒等变形啊，一元二次方程函数不等式，绝对值均值不等式和数列，对吧？呃，

总总结来说呢，就是几何与代数。那么，我们啊，强化攻略二呢，是专难点啊，主要是指排列组合概率。那么，强化攻略三呢？是充满分啊，主要是抓一些次要点和易遗漏的点，那么主要包括整数对吧？整数的结果分析质数与合数分析最值分析啊，组合最值分析。还有整除分析。

啊运算，比如说列项求和的技巧，对吧？啊根式有理化的技巧等等，还有比例有间比CK同构机等和多比化联比。对吧，那么最后一个呢？就是数据分析，数据分析呢，一般来说就从代数的角度和结合的角度来切入了代数的角度，主要是去求均值和方差。啊，比较均值的大小方块的大小那么几何的角度切入呢啊，主要是图形和表格啊，比如说丙图啊，

直方图啊，对吧啊，这样的。呃，图形好，下面呢，我们逐一攻克，大家把讲义放到第61页。好，大家把讲义翻到第61页，我们看到命题角度一啊，就专题11，我们现在呢啊，讲的时候呢，就直接因为每一个小专题都特别少。

少对吧？不多，直接我们按照这个啊，这个攻略三作为一个整体来攻克它啊。好，我们看到第253题。这个题目的公共已知条件呢，是mn都为正整数m为好，把它写写清楚啊，这边是公共已知。也就是说，这个题目前面应该是少了两个字，要已知mn都为正整数，对吧？公公已知时。

mn为正整数。它的解呢？它的结论呢，是m为偶数。啊，大家的这个例253题的前面啊，最开始啊补上两个字叫已知mn都有正整数，后面这个中间这个逗号这个地方再补补一个字啊，则则m为偶数，这样的话，这个题目是完整的。好，下面呢？我们看到第一步。3 m+2 n，

它为偶数。对吧，它是等于偶数的，所以我们可以推出来3m，它是等于偶数。数减去2n对吧？也就是说它是等于偶数。减去偶数的，因为n是整数，所以2n也是一个偶数的，对不对？所以偶数减偶数，那么它得到的结果是偶数。所以我们注意了啊，看到最前面3m，

看到最后面偶数三×1个数m，一个整数m得到的是一个偶数，所以我是不是一定可以得到这个m，一定是一个。啊m1定是一个偶数啊，对吧？m1定为偶数，如果m为奇数的话，那么。三是一个基数奇数乘奇数对吧？三×m就奇数乘奇数一定是一个奇数，它不可能是个偶数，所以啊，同学们注意了，这样的话，

我们条件e是可以推出结论来的。好，我们看到第二步条件二。3m的平方+2n的平方等于偶数。好，这样的话，我们可以得出来。啊3m的平方。它是等于。等于偶数减去2n的平方，对吧？它是等于偶数。减去偶数，那么偶数减去偶数是不是就等于偶数了？对吧？

所以我们依然是只看头。那这样的话，3m的平方是等于偶数的，因为三是一个啊，因为三是一个奇数，对吧啊，一个奇数只有乘一个偶数，对吧？乘一个。啊奇数乘以一个。整数他要等于偶数，那么这个整数是不是只能是偶数啦？啊，所以我们可以得到。可以得到m的平方为偶数。

如果说m是一个奇数的话，那么m的平方就是奇数乘奇数，它不可能得偶数，这是不可能对不对？所以呢，我们进一步的可以得出来m不能为奇数，所以m。为偶数。那所以这个也能够推结论条件，一跟条件二都能够分别推出结论来，那么这个题目正确答案选择4d选项。选择4d选项。好同学们，这道题目呢？我做一个举一反三。

把已知啊mn都为正整数，把它删除啊，直接啊，它的结论是m为。m为偶数。啊，条件一呢是。3 m+2 n。为偶数条件二呢是。3m的平方+2n的平方为偶数。好就变成了这么一道题目，我们把这个题目把它框起来。那么，下面我们来解这道题。第一步条件一它说。

3 m+2 n为偶数。对吧，相当于是它等于偶数了嘛。啊s in m+2 n。它是等于偶数的。是吧，它等于偶数，那么能不能推出来m是一个偶数呢？注意了，这个时候它由于没有mn是正整数，对吧？没有a没有mn，这个正整数的要求，所以呢，它推不出结论来了，

因为m有可能是一个。m有可能是一个这个无理数连无理数都谈不上啊，连这个有理数都谈不上，那就不可能是一个偶数，对不对？所以啊，我们举一个反例。我们举一个反例，我们说让m是等于m=2乘以根号。对吧，二乘以根号六。我们让m=2乘以根号六让，这个n是等于负三乘以根号六那么？三m那么这个时候三m加上二n是等于六倍的根号六减去六倍的根号六，它是等于零的。

对吧，它也就是说3 m+2 n，它满足3 m+2 n是一个偶数，但是m它。是一个无理数，既然是一个无理数，那么它肯定不是个偶数了，对吧？偶数是在整数范围内考虑的。好，这是我们的第一步。好，我们看到第二步条件二呢，他说。3m的平方+2n的平方，

它是等于偶数这个呢，它也推不出结论来。啊，我们也可以举这个反例，这个反例呢？实际上啊，就是一样的反例，对吧？啊m等于两倍的根号六。这个n呢，等于三倍的根号下六，那么这个时候我们发现3m的平方，加上2n的平方，它是等于三乘以。两倍的根号六的平方啊，

再加上二乘以负三倍的根号六的平方。对吧，咱们把它带进来，这边应该是三×16是四+2乘以。啊九×6对吧？九×54对吧？你看我们这边是。这是一个偶数，对吧？这是一个偶数。所以不需要算出最终的结果来，偶数加上偶数，它是偶数，也就是说它满足已知条件，对吧？

满足条件二。的要求满足3 MM的平方，加上2n的平方等于偶数，但是m它不是一个偶数，对不对？好，这是第二步的分析好，那么下面我们看到第三步。条件一跟条件二都不能推结论，所以我们是不是得联合啊？一和二联合同学们注意了，它也是推不出结论来的。对吧，一和二联合也推不出结论来，那么我们要找反例，

我还是找它。我还是找这个法律对吧？嗯，这个法律呢？满足条件一也满足条件二，但是就推不出结论来。对吧，所以这个题目同学们注意了，正确答案选择e选项，我们把这个原题做了一点小小的改动，那么这个题目的答案就发生了变化，原题答案选择4d选项，我们这道改编之后举一反三的这个题目答案选。的一选项。好，

下面请同学们看到命题角度二质数与合数分析，我们看到第254题。首先要给大家做一个复习。啊，这个100以内的质数。好同学们，注意了100以内的质数，我们要做到耐数余心，分别是二三五七四。11，13，17，19，23，29。

好，31，37，43，47，53，59，61，67。好，71，73，79。好，83，

89，还有最后一个97。好，这是。这是100以内的质数好，我们再看看第二个复习要点。第二个复习要点一些容易啊，容易混淆成为质数的对吧啊，100以内的一些易混淆就是易容易错误的认为是。质数的一些合数对吧？如果能够分解出两个大于啊，两个大于一的正整数相乘，那么它一定不是一个质数，因为质数。是有，

且只有两个质因数啊，有且只有两个因数，有且只有两个因数，明白吗？有且只有两个因数，不是质因数啊，有且只有两个因数只能。啊，一个因素是一，第二个因素是它本身。那么，像我们51啊，51它是等于三×17的。对吧，它除了一和它本身还有三和17，

那么它肯定不是一个，对吧，它肯定不是一个质数。又比如说57，它是等于三×19的。对吧，是不是又比如说87，它等于三×29？又比如说91，它是等于七×13。那么，这些都是容易啊，都是容易容易搞错的是吧？啊51是等于三×17，那它有一三十七这四个因数，

所以它是一个合数好，这都是。所以呢，我们推出来51，57，87，91。它都是合数。啊，不是质数容易搞错的点啊。它不是质数。好，那么第三个要点呢？是这里面呢？有一些等差数列。

好，我们看到字数等差数列。这个质数等差数列呢？首先我们看到第一组公差是等于二的公差等于二的啊，质数等差数列就是说所谓质数等差数列就是说一个等差数列，它所有的。啊项全部都是质数对吧？比如说像三五七，这就是一个公差为二的质数等差数列。对吧，比如说公差为六的时候，公差为六的质数等差数列有好几组，对吧？第一组。第一组呢是五啊五+61啊，

再加67再加六二十三再加六二十九。对吧，这是第一组。好，第二组。它比较多啊，七七+63再加69对吧？再加六二十五就不行了。啊，还有。啊，还有比如说这个31是吧？30啊，31加上六三十七再加六四十三。对吧，

再加六四十九那就不行了。对吧，这里面都是有规律的。又比如说。啊啊，还比如说这个67。啊，67。啊67+6啊是73，再加上六是79对吧？这这个也是质数等差数列好，下面呢，我们看到这个公差等于十的质数等差数列。公差等于十的质数等差数列啊，它是有三啊13。

23。对吧，这是公差为十，比如说公差为20。公差为20的字数准差数列是三二十三啊43。啊，比如说公差为40，它的质数等差数列是三。43啊，83。对吧？啊，这是非常的。这个有规律的啊，这个字数看起来像杂乱无章，

实际上它是有规律的好，我们看到第254题这道题目。这道题目呢，它说三名小孩有一名学龄前儿童啊，学龄前的儿童是指他的年龄不足六岁。那他们的年龄都是质数，并且相差为六诶，我们马上想起我们刚才所复习到的质数等差数列中啊，质数等差数列中有一个啊公差为六的。对吧，那么是不是总共有这有这四组啊？然后还有一个年龄啊，还有一个年龄不足六岁，那是不是只有这个五啊？五十一十七对吧？

对吧，三个人的年龄，所以马上做了，有做了充分的备考之后，这样的题目是不是很快就可以得出来，所以应该是五十一十七。对吧，我们第一步是要锁定这三个数，第二步它要我们去求它们的年龄之和。五+11+17是等于33万，因此这道题目正确答案选择c选项。正确答案选择c选项好，下面呢，我们看到例255题。这道题目呢啊，

没有告诉一个数字对吧？好，我们看到条件一，它说m为正整数q为质数，然后呢？它的结论是p为质数。实际上，我们这地方呢？我们举一个例子，就举一个反例，它就不成立了，比如说啊，条件一注意啊，条件一它推不出结论。我们的反例。

我们的反例所谓反例就是满足已知条件，但是推不出结论来的例子，对吧？那么这个m=3，这个qu=5。m=3，q=5，这个时候同学们注意了，此时啊，这个p是等于mq+1是等于16的。这个16是合数对吧？16除了一和它本身，还有其他的，比如说二。对吧，

还有其他的约数，所以它是一个合数，它不是一个质数。啊，也就是说p。不是质数。对吧，那么这就是反例，反例就是指满足已知条件，但是推不出结论来的例子。好，下面呢？我们看到第二步。这个条件二，它也推不出结论。

那我们举的反例，实际上跟这上面是一样的。对吧，反例还是m=3 q=5 m=3 q=5都是质数m和q都是质数，这个时候p啊，它不是质数。对吧，那么接下来我们看到第三步条件，一跟条件二单独都不能推结论，这个时候我们必须要联合。我们一和二联合。一和二联合，它还是推不出结论来。对吧，还是推不出结论，

那我们要做的是举反例，举举反例还是m=3 q=5，所以这道题目啊。啊，条件一跟条件二单独不能推结论联合起来，也不能够推结论正确答案选择一选项。是吧，你看举的反例都是一样的，跟我们前面研究的这个例253题的举一反三的这个题目啊。啊，是不是这个有点相似啊？对吧？反例都是一样的啊，最终答案选的一选项。好，

下面的请同学们看到第256题，这个是组合最值。啊，我们首先呢，做一个复习。这个复习呢是嗯，大家看啊，这个你看这个12是等于12是等于一×12。对吧，它也等于二×6，它也等于三×4。对吧，也就是啊，两个数的乘积都是等于12，那么我们再看它的和。

啊一+12是等于13的。那二+6，它是等于八的。好三+4是等于七的。那么，我们可以得到一个结论是什么呢啊？我们可以说。两个。正整数。的层级。为定值。则它的结论是。这两个正整数。这两个正整数。越靠近就它们越相近，

对吧？则啊，越相近。它们的和就越小。对吧，这两个正整数越靠近他们的和就越小。这两个正整数越极端。这两个正整数越极端，他们的和。他们的和就越大啊，什么叫做极端呢啊，就是说一个数啊。和一接近另外一个数。啊，另外一个数。

就是很大，是不是啊？如果它能够等于一个一个一个很小的数啊，最小的正整数是一，就是说那个较小的数尽可能的与一靠近，如果它能够等于一，就直接让它等于一，对吧，如果它不能等于一，那就尽量让它靠近一。对吧，靠近一的正整数就是二了，如果它能够等于二，那就直接让它等于二，如果它等于二，

也不能够呃，题目已知条件不允许它等于一，也不允许它等于二，那我就让它等于三。对不对？所以说这里面它是这样一一步一步的去啊。去逼近的。好注意了啊，大家看到这是我们观察得到的。这是我们观察得到的规律，就是说两个正整数的乘积是定定值，它们的乘积是固定的，一个值是12，对吧？我们上面这个例子。

对吧，我们这边上面给的例子是啊。我们上面给的这个例子啊。是都等于12，那么它们这两个正整数啊，越接近的时候那么这两个正整数加起来的和。就越小，那么这两个正整数越极端啊，隔得越远一个数啊，与一靠近另外一个数变得很大，对吧？那么它们的和就越大。好，下面呢？我们看到第观察第二组例子，

比如说这12，我们比如说要分解成为三个数相乘，那一×1×12。对吧，这个12也可以分解成为一×2乘以啊六对吧，这个12也可以分解成为二×2×3。那么，同学们注意了，我们当然还有很多其他的分解方法，对吧？我只是写这三种情况，我们看分解成为三个数相加一+1+12是等于14的。这边呢，一+2+6，它是等于九的。

这边呢，是二+2+3是等于七的。所以它的规律是什么？它的规律是啊，我们这边是三个正整数。啊，三个正整数的乘积。啊，三个正整数的乘积为定值则。好，这三个正整数越靠近。好，这三个正整数越靠近。啊，它们的和。

就越小越靠近的时候啊，是二你比如说我们刚才分解出来的二二三对吧？二二三。这三个数是最靠近的，那么它的和就越小。如果这三个数越极端。对吧，这三个正整数。好，这三个正整数越极端。比如说这边什么叫极端，极端就是啊，有两个数都等于一对吧，还有另外一个数特别特别大。那么，

这就叫做极段。它们的和。就越大好，我再重申一下什么叫极端，极端是指这几个正整数中除了一个正整数特别特别大的之外，其他的正整数都。都往一靠近，如果能等于一，就直接让它等于一，如果不能等于一，就让它等于二，如果一和二都不能等于，那就让它等于三。是不是啊？以此这样进行放进行进行逼近。

好同学们，我们刚才呢复习的时候没有直接的跟大家上来，就把结论说啊，大家把这个结论背下来，没有必要背。啊，背着背着你就容易记混了，结论多了你自然就容易呃混淆，所以考场中如果你。啊朦胧中记得好像有这么回事，但是呢，你又记得不是很清楚，直接举个例子就搞清楚了，下面我们根据前面举的这两个例子总结出来的规律。我们写出它的一般规律。

啊。几个？几个正整数？的层级。为定值。则当它们。月平均。也就是越靠近了。对吧，越平均时。它们的和。就越小。当他们。啊越极端啊，什么叫做越极端呢？

就是。有一个数特别特别大，其他的数都往一靠近。那么，它们的和。好他们的和就越大。这就是它的一般规律，那么下面呢？我们准备用这个一般规律来去解题好，大家看到第一步。条件一呢，他说abcd都是大于一的自然数是吧？a×b×CD×a×b×c×d×e再等于2700的。它等于两千七百两千七百是等于27×10再乘以十，我们把它分解一下啊，

这十呢又可以分解成二×5对吧？所以是二×2。乘以三×3×3再乘以五再乘以五是吧？我们通过肉眼观察是不是就很快就把它。把它展开了，把它分解质因数了。那么现在呢？我们要使得a+b+c+d+1它的和最大，要使得它的和最大，咱们是不是按照上面总结的一般规定？要他们越极端的时候，它的和就越大呀，是不是啊啊？什么叫做越极端呢？极端就是让一个数特别大，

其他的数都往一靠近，如果它能够等于一，那么直接让它等于一，如果它不能等于一，让它等于二，对不对？我们这个题目都告诉我们abcde是大于一的自然数，说明它不能等于一，不能等于一，我就让它等于二，对不对？所以呢，我们令。我们令a=2好用掉了一个，我们让b=2用掉了两个，

二好让c等于多少呢？对应的没有二了，没有二了，我是不是只能？不能等于一，也不能等于二，我是只能等于三了，让c=3好用掉了，好让d=3，这个也用掉了，还有一个一。其他的全部都得一对不对，所以呢，一是等于三×5×5是等于75的。那么啊，

也就是说当啊，这个当abcde啊，是这么一种搭配的时候，我们可以得出来。这个a+b+c+d+1啊，它是等于等于多少呢？等于二+2+3+3，这就等于十十+75=85。啊，是吧？它等于85这个85就是为。最大值。对吧，它等于85最大值是85，最大值是85呢，

当然就啊，推不出结论来了，对不对？所以条件一。是推不出结论来的。那么下面我们看到。我们看到第二步条件二的分析。啊a×b乘。a×b×c×d×e是等于。2000。好，我们再分解一下，它要等于二×10再乘以十再乘以十，我们计算一下，每一个十都会分解成二×5。

所以应该是啊，有四个二对吧？还有三个五。好，我们依然是按照我们刚才的方法，要使得和是最大的，应该是让每让这四个按这五个数是。最极端了，所谓最极端就是有一个数特别大，其他的数都都往一靠近它，如果不能等于一，那我就让它等于二好，对吧？所以我们这个题目中让a=2用掉了一个。让b=2又用掉了一个二，

让c=2又用掉了一个二，让d=2。唉，又用掉了一个二好，这个时候让一剩下的全部都全部都给一对吧？一是等于五×5×5，它是等于125的。对吧，那么这样的话，我们就可以得到a+b+c+d+1。那么，这样的话a+b+c+d是四个二二十得八八，加上125是等于133对吧？所以133。它为最大值。

133是最大值，所以。这个条件二啊，它是能够推出结论来的，对吧？条件二可以推结论，条件一不能推结论，条件二可以推结论，所以这个题目正确答案选择b选项。其实呢，掌握了这个一般规律，这道题目还是蛮简单的，对吧？但是如果没有掌握这个规律，这道题目是比较难的。

好，这是第256题，下面呢，请同学们看到第257题整除分析。嗯，结论说m是一个整数。啊，同学们，这个题目的结论m为一个整数。我们看到条件一，他说m=p比上可以有，其中p可以为非零的整数，这实际上告诉我们m是一个有理数。对不对？条件一，

告诉我们m为一个。好告诉我们MV一个有理数。并且呢。这个m的平方为整数。对吧，并且m的平方为整数。那么，大家注意了，如果m它不是一个整数，大家想一想，如果m是一个。啊，我们这边假设一下啊。它是一个有理数，对吧？

它是一个有理数而有理数，可以分成分啊，可以写成分数和整数。对吧，如果m是一个整数的话，那是不是是不是就符合要求了？如果m我们假设m不是一个整数，假设m。不是一个整数。假设m不是一个整数。是分数对吧？而是。就是说它它是一个呃，它是一个不能够化为整数的分数，对吧？

那么则。我们m的平方也是一个分数。对吧，这个。这与。已知矛盾。所以假设不成立。啊，从而。这个m它为整数。所以这个条件一啊，它是能够推出结论来的。条件一，能够推解呢？好，

我们看到第二步。第二步呢，他说啊，同学们注意了，首先呢，它的公共已知条件，告诉我们说m=p比上可有其中p可以为非零整数，实际上这句话就是想告诉我们m为一个有理数。好，并且呢，后面他说2 m+4÷3啊为整数。好，大家注意了，这个是推不出结论来的，我们只需要举出一个反例来就可以了，

比如说这个m等于。m等于负的二分之一。m等于负的二分之一，那么咱们这个二m加上四除以三，它是不是等于一了？它满足这个，它是一个整数，它确实等于一四个整数，对吧？但是它推不出结论来，所以有当你举出一个反例就可以。说明这个条件，它不是充分条件了，因为咱们充分条件的定义是指满足这个条件的任何一种情况都能够推出结论来，那么就表明它是充分条件。

如果存在某一种情况，满足啊，满足这个已知条件，但是推不出结论来，那么就表明这个条件不是充分条件，那我现在举出一个满足已知条件的。这个情况它推不出结论来，那么说明它不是充分条件对不对？条件一能够推结论，条件二不能够推结论，所以这个题目正确答案选择a选项。是吧，选择a选项好，这是第257题，那么大家把讲义翻过来，

看到第62页。我们看到第62页专题12运算。好专利12运算。嗯，这一个。这个运算呢，同学们看到这个讲义上啊，有几个？呃，这个列项求和。首先呢，我给大家复习一下这个要点。这边呢，是x乘以x加上k分之一，我们可以把它写成k分之一乘以x乘以x加上k分之x加上k再减去x。

对吧，因为啊，这个分子啊，我们这么一变形之后，这个分子x加k减去x，它是等于k的，这个k跟我们这个啊，这个k分之一是不是可以一乘就等于一了？所以它是给还原回来的好，我们继续写，它要等于k分之一乘以这后面呢，大家注意这后面呢，我们可以列项啊。它写成x乘以x，加上k分之x，

加上k对吧好，然后呢再减去。x乘以x加上k分之x。好k分之一乘以x，加上x加k分之x加k对吧？也就说这地方我们用到了一个分式的运算。对吧，用到了分数的一个运算薪资分数的运算薪资就是啊a乘b分之a乘啊，就这么写吧。就是说a分之b减c，它是等于a分之b减去a分之c了。明白吧，这是分数啊，可以展开的理论依据。啊a分之b减c是等于a分之b减去a分之c的。

啊，非常简单，一个小学的内容。啊，有的同学说老师，我连小学的内容都已经忘了，一干二净了啊，忘了一干二净了，马上把它重新捡起来，对吧？没有什么了不起的。好，我们再来运算，我用红色的笔来去写这个啊。它是要等于k分之一啊，

乘以你看这地方一约分，这地方一约分，所以就变成了x分之一，减去x加上k分之一。对吧，也就是x乘以x，加上k分之一，对吧？这是我们要掌握的这个。一个重要的列项的公式x乘以x，加上k分之一是等于x。减x分之一减x加上k分之一，注意前面还要乘一个系数是k分之一。对吧，当k=1的时候。

那这个k分之一是实际上是可以不用写的好，这是第一个复习要点。那么，这个复习要点呢？我想跟大家举个例子，比如说一乘以二分之一，它就可以直接写成，因为一和二直接隔了一个一对不对？这k就等于一了k等于一的话k分之一就不用写了。所以它就直接是一分之一减去二分之一。对吧，又比如说这个一乘以三分之一，那一乘以三分之一，那一和三隔了两个，所以这边有一个系数是二分之一，

对吧？这边是一分之一，减去三分之一。又比如说一乘以十分之一，那我就可以一跟十改了九个，所以应该是九分之一。再乘以一分之一减去十分之一，对吧？又比如说三乘以二十七分之一，那我也可以分解成为三跟二十七隔了二十四，所以是等于二十四分之一。乘以三分之一减去二十七分之一。对吧，它可以列项了，对吧？

又比如说这个五乘以二十五分之一，对吧？我可以列项成为啊五跟二十五个了二十，所以二十分之一乘以。五分之一减去二十，五分之一，它的原理是不是都是上面这一个对吧？都是上面这个红色b所写的这一个好下面。我们看到第二个复习要点。第二个复习要点呢，是对于平方差公式的使用。我们平方差公式是x的平x的平方减去y的平方。x的平方减去y的平方，它是等于x加上y啊乘以x减去y的对吧？x的平方减去y的平方，

它是等于x加上y乘以x减去y。反过来当然也是成立的，对吧？x+y×x-y，它是等于x的平方啊，减去y的平方的。它等于x的平方减去y的平方。好，那么我们我们这样来看啊，你看这个一加上注意了啊，这个一加上啊诶，我这样写吧。就是根号下n加上根号下n+k。是吧，或者用大的减小的啊，

我把大的写在前面。就是这个n+k这边是加上n好乘以根号下n+k减去根号下n。那我是不是可以使用平方差公式啊？它等于根号下n+k^2，减去根号下n的平方。它是要等于n+k-n，它就直接等于k了。是不是啊？它直接等于k，所以呢，我们看这一边好，我们再看它是乘起来是等于k。我左右两边啊，我可以我可以呃，这样来写。

我可以怎么样来写呢？好，这是第一个要点，对吧？第二个要点我们写成根号下n。啊根号下n加上根号下n加上k分之一，那我的分子分母，我做一个分子分母，我同时乘以。啊，同时乘以括号根号下n+k减去根号下n对吧？那么大家看会出现一种什么样的情况？这边我们交换一下位置啊。根号下n+k加上根号下n乘以根号下n+k减去根号下n。对吧，

我们利用上面这个结果，它是不是应该等于k分之一乘以负的根号下n，再加上根号下n加上k呀？是不是啊啊？也就是根号下n就可以减去根号下n。所以即我们写成这个呢即。即根号下n加上根号下n加上k分之一，它是等于k分之一乘以。负的根号下n啊，加上根号下n+k。是吧，根号下n加上根号下n加上k分之一等于k分之一乘以负的根号下n加上根号下n加上k。好，这是。好，

这是呃，我们的第二个重要的公式。啊，它也是把一个根式把它裂开了，那么下面呢？我们举举个例子啊，比如说根号下一加上根号下二分之一。我们列项因为一和二隔的是一，所以这个k分之一就等于一分之一就不用写了，它是等于负的根号下一加上根号下二的。对吧，又比如说根号下一加上根号下三分之一啊，注意了这个一和三隔了是两个，所以这边应该是二分之一乘以。负的根号下一，

再加上根号下三。对吧，那我又又比如说根号下一加上根号下十分之一，注意了一和十隔了九个，所以这边应该是。九分之一乘以负的根号下一，再加上根号四，又比如说根号三啊，比如说根号三，加上根号下。啊，二十七啊，分之一啊，加上加上二十九分之一，那么我们列项的话，

三跟二十九隔了是二十六，所以是二十六分之一。乘以负的根号三加上根号下29。对吧，也就说这个列项公式，你一旦掌握之后，它是有啊很大的应用上是有很大的便利性的好，下面呢，我们看到。讲义61页。啊62页啊62页的第258题。那么，这道题目呢？呃，首先我们把它带进来，

这个sf 8。f8注意了，就是把x=8代进去，是不是啊？好，这个f8要等于。等于九乘以十分之一加上十乘以十一分之一加上十一乘以十二分之一。对吧，一直加加到17啊乘以。十八分之一。对吧，这是我们的第一步。好，第二步，我们列项九乘以十注意了，

九十啊九跟十隔了一个十跟十一隔了一个十一跟十二隔了一个十七跟十八隔了一个，既然隔了一个，我们列项的时候这个系数k分之一是不是就可以不用写了？所以它就直接是九分之一减去十分之一，加上十分之一减十一分之一，加上十一分之一减十二分之一。好，一直加加到十七分之一，减去十八分之一。对吧，所以减一个加一个，减一个加一个，减一个加一个，是不是全部抵消啊？那么这样的话，

我们得出来应该是九分之一。减去十八分之一，它是等于十八分之一的，对吧？因此这道题目正确答案选择一选项。是不是特别快啊？对吧？所以说这个备考一定要做充分性的备考，做有效的备考，做有针对性的备考，我们解题起来就特别快，如果做的都是无效备考，那就没用了，对吧？好，

下面我们看到。第一步啊，这边要去求f八f八呢，代进去是等于根号下九，加上根号下十分之一。加上根号十，加根号十一分之一好，加上我终于打省略号，加上根号十五。加根号十六分之一，那么我们第一步是把这个表达式写出来了，第二步我们直接列项。对吧，那由于九和十是隔一个十和十一是隔一个后面十五和十六也是隔一个隔一个，那么我们前面这个公式，

我们前面这个公式里面是不是有个系数k分之一，那就变成了一分之一，是不是写都不用写了？对吧，所以这边它应该是等于负的根号下九加根号十这边是啊，加上负的根号十再。啊呃，加上根号11对吧？所以我就我多写几项嘛，减去根号11，加上根号12对吧，减去根号12，加上根号13。减去根号13，加上根号14对吧？

减去根号14，加上根号15，减去根号15，加上根号16。但我把这个省略号的部分全部写出来了。然后我们发现它加一项减一项加一项减一项加一项减一项加一项减一项加一项减一项加减是不是全部抵消了，只剩下首尾两项。对吧，所以这边是负的根号九加上根号16啊，这边是负三+4是等于一的，因此本题正确答案选择a选项。好，第258题和第259题非常具有典型性，它代表着我们啊，这个列项求和的。

啊，典型表现形式好，下面请同学们把讲义翻到第63页。第63页呢啊，是比例问题啊，是比例问题。啊，同学们注意了这个比例呢是啊，每一个地方同时乘以一个啊相同的数，这个比值是不变的，对吧？我们同时除以一个相同的数，这个比值也是啊，同时乘以或者是除以一个不为零的。这个相同的数是不能为零的，

那么这个比值是不发生变化的。好，我们结合例题呢，给大家分析，我们看到第260题，他说将3700啊，将3700元按照二分之一三分之一五分之二的比例分给甲乙丙三个人，这乙应该得奖金。多少元？首先我们把这个比例做一个变化啊，二分之一比上三分之一。比上五分之二，我们每一个注意了二三五，它的公倍数是等于啊三十。对吧，

二三五它的公倍数等于三十，所以我二分之一我乘以三十。啊，比上三分之一，乘以三十。啊，再比上五分之二，乘以三十对吧？每一个部分啊，同时乘以一个不为零的数，它的比值是不发生变化的。好，我们乘积了二分之一，乘以三十是等于十五的三分之一，乘以三十是等于十的五分之二，

乘以三十是等于十二的，唉，我们发现前面这个比值变成了。15比十比12变成了一个啊，不含有分数的比例，对不对？也就是说啊。把这个钱3700元分给甲乙丙的时候，甲得15分，乙得十分啊，丙呢是得12分啊，总共有多少份呢？总共是15+10+12是等于37份。对吧，37分那么这个乙它是占了几分呢？

占了十分，所以应该是3700。乘以三十七分之十，对吧？这就是分数的定义嘛，所以它是等于一千元的，因此这道题目正确答案选择a选项。是不是特别快选择a选项？好同学们，下面呢？我们看到第260。261题，我们首先呢，给大家做一个复习，这个复习呢啊，

第一第一个要点呢是。啊若。a1比b 1=a二比b 2=a三比b3。基子等于它是等于an比上BN的。它都等于k。好且。啊，这个b 1+b二一直加加到BN，它是不等于零的。好，只要我们有一个结论，就是a 1+a二。好，一直加加到an比上啊b1，加上b2一直加到BN。

是等于还是等于k的？那么下面呢？我们来做一个证明。我们做一个证明，这个怎么去证明呢？是因为啊，由定义可得，你看这个AA 1比上b 1=k，我是不是可以得到a1是等于？b1×k的。对吧，那么a2比上b 2=k，那么我们可以得到a2是等于b2。乘以k好，中间我们打省略号，

也就是an比上BN=k，我们可以得出来。好，这个an是等于啊BN×k的。好，这样的话，同学们，我们把它累加起来。对吧，怎么怎么累加呢？就是把我这个红色的圈圈累加起来，左边加左边等于右边加右边。对吧，那么左边相加就是等于a 1+a二一直加到an对吧，一直加到an。

那么，它是要等于等于b1 k+b 2 k+b三一直加到BN k，这个k我可以提取公因式啊。对吧，所以它是k×b一，加上b2一直加加到BN。那么，我们两边对吧？因为b 1+b二+b三一直加到BN，它是不等于零的，所以我在等。等式两边同时除以一个不稳定的数，对吧？把这个同时除以b 1+b二一直加的边，那么我们就可以得到a1。

啊加a2一直加加到an啊，除以b1啊，加上b2。一直加加到BN，它是一除它直接是等于k的。对吧，这不就证明了我们这个结论吗？对吧，也就说啊，有很多个分数是相等的，我们把这所有的分子全部相加，作为新的分子，把这个所有的分母全部相加，作为新的分母。那么，

得到的这个新的分数还是等于原来那些分数的值？好有的同学感觉到这个很神奇，那我们举个例子，大家来啊，有个直观的认知，比如说二分之一是等于四分之二，对吧？它是等于八分之。啊，它等于八分之四对吧？它是等于十六分之八，它要等于三十二分之十六。对吧，那我把它所有的分子全部相加，就变成了一+2+4+8+16，

这边是二+4+8+16，加上32。对吧，我们下面啊，这边是一+2+4+8。加上16，这是它的分子分母呢，我们提取个二处呢，对吧？我们提取个二处呢，就变成了二×1+2+4。加八+16，那么这个分子啊，你看这个地方跟这个地方它是一样的，我是不是就可以约分约掉？

它是直接等于二分之一的。是不是它还是等于你把所有的分子全部相加啊？作为新的分子啊，把所有的分母全部相加，作为新的分母，这个新的分数还是等于原来那个？还是等于原来这一串的分数。是不是好下面呢？请大家看到啊，这个请大家看到这个复习的第一个要点中啊，注意这边有个b 1+b二加一直加到BN是不等于零的。如果没有这个已知条件，那我们就要分类讨论，对吧？就要讨论b 1+b二一直加到BN=0的时候是种什么情况不等于零的时候又是一种什么情况？

好，大家看到第261题。这道题目啊，它告诉我们a+b-c÷c是等于。a-b+c÷b。啊，它要等于负a。加上b，加上c。除以a是等于k的。这k的值等于多少？好，这k的值等于多少？好同学们，那么我们就可以分两类了，

因为这道题目并没有告诉我们说把所有的分分母全部相加。这个分母的相加之后，得到的这个这个和到底啊，到底等不等于零，对吧？他没有说。他没有说的话，我们是不是要分两类呀？第一类是a+b+c，它不等于零。啊，此时。对吧，此时我是不把所有的分子全部相加，作为新的分子，

把所有的分母全部相加，作为新的分母，对不对？这是可以的。那么a+b-c。好，再加上a-b，加上c，再加上这边是负a+b+c，对吧？这是分子新的分子，那么新的分母呢？是c+b+a。对吧，它是这个对应它还。

还是等于k的。好，那么我们看一看啊，整理一下这个分子呢，注意了我们这个新的分子里面它有些是可以抵消的，比如说这个减一个c，你跟加一个c就抵消了，对吧？减一个b跟这个加一个b就抵消了。对吧，你这个加一个a跟减一个a，是不是就抵消了？是不是只剩下？只剩下a+b+c这个分母呢，我们整理一下也是a+b+c是等于k的对吧？

那这地方是不是又可以进一步的约分呢？啊，就变成了什么呢？约分之后就变成了这个推出了这个k是等于一分之一，是不是就等于一了？对吧，就等于一。分子分母一样的时候对吧？它就直接等于一了好，这是第一第一类啊，我们看到第二类这个a+b+c它等于零的时候。它等于零的时候呢，我们可以得到a+b是等于负c的，对吧？这样的话，

我们可以得到，因为这个k。是等于a+b-c÷c，我们把a+b=- 4带进来，所以是负c-c÷c是等于。负的啊，2c÷c是等于负二的。对吧，所以同学们注意了，这个k它有两种情况k=1或者是负二。正确答案选择b选项，它有两种可能，如果这个题目明确的告诉我们a+b+c是不等于零的，那我就可以得出来k是等于一。是不是它没有明确的告诉我们a+b+c啊，

等不等于零，对吧？它没有明确的告诉，那么这个时候我们就得分类讨论。好，这道题目呢，我就给大家讲到这里，下面请大家把讲义翻到第64页，我们看到多笔画连笔。好，我们看到这个例262题，这道题目呢？是我们考试真题中考的一道超级难题。当然，搞懂之后，

它是非常简单的，对吧？搞懂原理会做这道题目之后啊啊，这个题目都是很简单的，如果不会的话，它就很难。啊，由于很多同学不会，所以他就被认为是个超级难题，当然有的同学说老师，我怎么认为它很简单呢？那非常好，说明你在这方面是有一定的优势的。那么不管啊，这个是什么情况？

大家跟着我一块来把这道题目啊，操作一下，我们彻底掌握它。某国参加北京奥运会的这个男女运动员之比是19比12。好同学们注意了，我色男。这边是女。好，这个是。这是最初的人数，设为xy，然后这个是后来男生增加了若干人就变成x撇。啊和y这个女生呢，就变成了yp。好，

我首先呢，把这个表格先给大家构建起来。好同学们注意了，你看我们刚才呢？已经啊，把这个人数对吧？跟大家只设了个未知数，他说最开始的男女运动员之比是19比12。也就是说x比上y它是等于19比上12的，后来增加了若干女运动员，实在男女运动员之比为20比13。增加了若干女运动员，这是不是男的男运动员人数没有没有发生变化，所以是x比上y撇，它要等于20比上13。

后来又增加了若干男运动员，这个男运动员的人数变成了x撇女运动员的人数变成了y撇，那么他们的比例就是x撇比上y撇。是等于30。啊，等于30比上19了。对吧，那么这是相当于是我们的啊，已知条件。诶，已知条件还没写完，他还有他还有什么呢啊？这是第一个啊，这是第一个已知条件，对吧？

第二个已知条件呢？他说。增加男运啊，后来增加的男运动员比先增加的女运动员多三个人，男运动员增加了x比减去x。女运动员增加的y撇减去y，那么男运动员增加的这个人数比女运动员增加的人数啊还要多三个，是不是这两个一减要等于三了？对吧，那么他要我们求的目标是什么呢？他要我们求的目标是最后总运动员的人数之比，也就是求x撇加y撇等于多少？顺便解决这个问题啊。对吧，好那么同学们写了这一步之后来我们进入第二步。

好，这边我们进入到第二步，好，大家注意了，这个x比上y是等于19比12的。xx比y撇是等于20比上13的，我们发现什么呢？我们发现这个x。好大家看啊，这个x你看它对应的是19，那么这个x它对应的是20。对吧，同一个未知数，我们要想办法把它变成对应的数字是一样的。所以我把第一个比例啊，

每一个地方同时扩大20倍，所以这边就变成了什么呢？它就变成了。啊，同时扩大20倍，这边就变成了19×20。啊，要比上12×20。对吧，它是等于多少的呢？它是等于380比上240。那么，第二个比例呢？我们把每个地方扩大19倍。它就变成了20×19。

好要比上13啊，乘以19。好，咱们计算一下，这边就变成了380比上247。对吧，380比上247。好同学们，我们再来研究一下，你看啊，这个地方同学们。呃，这个呢？是y撇对吧？y撇对应的是13。

我们这地方的这个外撇呢，对应的是19。诶，我是不是要想办法把y给对应的数字变成一样的？那么，我们把外撇对应的数字一样的，那我就把第二个比例中同时乘以19诶，我们这边是不是已经同时乘以了一个19啊？对吧，我们接下来是不是要把第啊第三个比例中每一个地方同时乘以13呢，所以这边就变成了。30×13啊，比上19×13，它等于多少的呢？它是等于。

390啊，390比上比上247。对不对？那么下面来，我把它写下来好。也就是说。我们刚才经过分析呢，我们得出来了x比上y是等于380比上247的。al 2比上240的。对吧，那么x比上y撇呢，它是等于380比上247的。那么x撇比上y撇呢？它是等于390比上247的。那么，

我们得到这么一个比例，大家会发现，每一个每就任意相同的这个符号，它对应的数字是一样的，对吧？x对应380。啊y对应的是啊y对应的是240x撇，对应的是3x撇，对应的是390y撇，对应的是247，也就是x对应着的是380。对吧y撇对应的是247，所以呢，我们实际上是可以啊，这么设的对吧？

我们可以建比CK对吧？下面我们进入第。三步我们如果说设x是等于380k的，对吧？只要我们可以求出来，这个y是等于240k。对吧，那么这个y撇是等于247k。对吧，这个x撇是等于390k。对吧，这样的话，我们就可以得出来x撇减去x是等于390k。减去380k是等于10k的。那么y撇减去y是等于247 k- 240k是等于7k的。

对吧，所以我们是不是可以得到10 k- 7k是等于三的解得k是等于一的？对吧k是等于一的，这样的话，我们用红笔来写，最后啊，这样的话，我们就可以得出来这个x撇。加上y撇对吧，它应该是等于。啊，它等于390k加上。247k对吧？也就是等于390+247是等于637的。对吧，

所以这道题目啊，正确答案选择b选项。好，这是我们的第262题，对吧？第262题答案选择631选择b选项，这道题目呢？掌握了方法之后非常简单，对吧？没有掌握方法的话会觉得很难啊，有的同学用列方程的思路去解得到了两个分式方程，怎么解都解不出来。实际上，我们不需要对吧？我们直接建比10k就可以了。

好，现在呢？我给一点时间，大家快速的把我们刚才所讲的啊，这这个专题这个强化攻略三中的专题11专题12专题13。啊，快速消化一下，然后我们接下来准备讲解的是专题14。好同学们，那么我们继续接着往前讲解，大家看到讲义的第65页，我们看到专题14。数据。描述和数据分析。首先呢，

我们把相关的公式给大家梳理一下。对于遗传数据啊，给定的遗传数据x1x2一直到xn，那么同学们注意了这一串数据，它的均值。也就是算术平均值，我们一般用x8来表示啊，也可以用1x来表示，对吧？一后面跟一个大写字母x。那么呃，它是把所有的全部相加。再除以它的个数n啊，这就是均值，也就是算术平均值。

那么，它的方差？方差呢，我们用德尔塔的平方来表示，有的时候也可以用s的平方来表示，还可以用dx来表示。那么，它的公式呢？是它表示的是什么呢？它表示的是差的平方的。啊，君子。差的。平方的。啊，

它表示差的平方的均值啊，方差其实它是个倒装句，对不对？差的平方的均值，同学们注意了。是和谁的差的平方的均值呢？和均值对吧？也就是x1-x八这个差的平方。的均值一平方对吧啊？然后它的平方的均值是不是就除以n了，对吧？这就是。这就是方差。那么我们再看它标准差。啊，

标准差呢，是用德尔塔来表示，也可以用s来表示，也可以用根号下dx的表示，它是等于。啊，它是等于根号下。啊，就是把我们刚才得到的这一个结果，把它搬到根号下面来。啊，把这个。啊，放到这好了。注意这个根号。

啊，刚好是覆盖了，覆盖了这个分母的。这是标准差。呃，这是我们从数量的角度来分析的，对吧？那么下面呢？我们啊还有一个优化公式。优化公式呢，是这个方差啊dx，它可以等于什么呢？它可以等于啊，等于EX的平方再减去EX括号的平方。也就是平方的均值减去均值的平方。

它等于注意啊，这边是。平方的。啊平方个均值。那么这个呢是？这个是均值的平方。好，下面呢？我们从啊，这是从定性的角度来分析的啊。而这是定量，对吧？定量的角度来分析。好，下面呢，

我们再看到。我们看到定性的角度。我们从定性的角度再来分析一下。均值。表示平均水平。好，第二个。方差。表示。离散程度。它表示，离散程度。方差越大。啊，数据越分散。

对吧，数据。略分散。方差越小。啊方差越小，数据越集中。方差越大，数据越分散。方差越小，数据越集中。啊，标准差呢，跟方差是类似的，好下面呢我们。来看相关的例题。

好，大家看到第263题。这道题目呢？这个分数我们把它写下来啊。这个分数。是六分。这是七分。这是八分诶。啊，这是八分。这是九分。然后呢？这个是？啊，这个是甲地区。

好ED。丙地好，甲地那我换一个颜色啊。甲d呢，它是有。六分的有十人，对吧？七分的是十人，八分的也是十人，九分的也是十个人，一例均呢是？啊15。15。十和20。那么丙地呢是？

虽然。十人好好15人。那么15人。下面呢，我们。啊，一起来分析一下它啊。大家看到这个甲d和我我这样作为一条分界线。对吧，我们把这个六分和七分的作为低分段，八分和九分的作为高分段，那么大家看一看这个甲地的低分段。和异地异地的高分段是一样多的人。是吧，是一样多的都都各占50%，

都占20个人。那么ED的呃，低分段呢是30个人。高分段是30个人，丙也是各占一半，对吧？那么这个丙地的低分段呢？同学们注意了。这个丙地的低分段。它是20日。对吧，他的高分段是30个人。那么也就是说，他超过50%，他超过一半的人都是高分的。

对吧，超过一半的人都是高分，所以最后是不是整体他就把这个把这个整体的平均分就给拉高了？大家想一想，就像我们一个班里面对吧，期末考试考完了，我们班里面。啊，就是甲班和乙班甲班啊，甲就甲班甲班乙班丙班丙班的。对吧，大部分人都是考的高分，那么这个丙班的平均分是不是就要拉高了？比如说甲班，甲班的大部分人都考的是那它的高分和低分各占一半，

那么相对来说丙班更有可能得高分，对吧？它的平均分要更高一些，所以我们马上通过，我们没有。我们没有计算，直接通过分析，我们可以得出来这个丙的平均分，对吧？丙的平均分。啊丙的平均分是不是要大于要大于甲和乙的平均分呐？对吧，丙的平均分是最大的。对吧，丙的平均分是最大的，

那么现在我是不是只需要比较甲和乙的平均分就行了？对不对？只需要比较甲和乙的平均分，那么怎么比较甲和乙的平均分呢？因为甲地的。同学们注意了，因为甲地的低分段啊，和甲地的高甲地的低分段和高分段各占50%，乙地的低分段和高分段也是各占50%。那么这个时候我们再来关注一下。甲地的高分段啊，甲地的高分段来同学们来研究一下甲地的高分段，我们再来把它做一个细分。我们再来做一个细分。对吧，

你看甲地的高分段，它有八分和九分，那么甲地的这个八分和九分各占一半。而一定呢？而一定呢？这个。它的这个高分当中，这个八分或八分或九分，这个九分占的比例是不是更大呀？所以从。啊，你高分所占的比例越大。那么，它的平均分就会被拉高，所以我们是不是可以得到这个啊？

一定的平均分，它是要大于。它是要大于甲底的平均分的。对吧，我们刚才说丙地的平均分是最大的，对吧啊，乙地的平均分又现在又比甲地的平均分要高。所以我们是不是马上可以得出来，应该是丙大于乙大于甲，对吧？这三个地方的平均分丙大于一大于甲，所以这个题目正确答案选一选项。我们根本就不需要去史上直接分析，这个分析出来从定性的角度来分析，对吧？

均值表示平均分表示平均水平。对吧，如果高分段占的比例啊。如果大部分人都是考高分的，对吧？那么这个平均分就不会拉高，如果大部分都是考低分的，对吧？这个平均分就不会拉低。好，这是。第250啊，第第263题啊。下面我们看到第264题。那么，

这道题目呢？它告诉我们平均数是零对吧？首先第一步把它全部加重起来啊。它是等于负二。加负一+0+x+1再除以五。是等于零的。咱们解掉x=2。好，第二步，我们去求它的方差，它的方差是等于每一个数。与均值做差对吧？负二减去零的平方加负一减零的平方加零减零的平方。加x减零的平方x减零的平方是不是二减零的平方？再加一减零的平方再除以五。

好，我们。好，我们计算一下，它应该是等于四+1+0+1+4再除以五。好，它是等于二的。所以这道题目，它的正确答案是c选项，它的方差为二，它的均值啊，它的它的方差为二，它的均值为零，这个x=2。对吧，

那么它的标准，它就是根号二对标准化标准，它是要看根号二的。好，下面请同学们看到第265题。这道题目呢？他说啊，这个这是个条件，充分性判断的题型啊，结论呢是这个样本的平均数的。样本的平均值的绝对值等于三，也就是x的八的绝对值是等于三的，这是结论，那么下面呢？我们看到条件一。

条件一呢，它说样本的标准差是根号二，标准差为根号二，说明它的对吧？它的我这样写啊。它的。它的标，它的标准差是根号二是不是可以得出来？它的方差是等于是等于二的标准差等于根号二方差就等于二了？那么我们由。这个呃方差的讲这个优化公式对吧？应该是等于。应该是等于对吧，这个方差呢，它是又等于1x的平方，

再减去1x括号的平方，对吧？当然，咱们把它带进来去计算就可以了，应该是。一的平方+3^2+2^2，再加上k的平方，再加上五的平方。好，这是EX。1x的平方对吧？就是就是平方的均值再减去均值的平方均值应该是一+3。啊，加上二+k+5÷5，这是均值括号的平方，

它是等于二的。对吧，咱们来计算一下。啊，这边看起来好像有点复杂，对吧？这边是一加上我们看一+9是等于十啊十十+4，再加上25那么。那应该是等于30呃九对吧？这边是k的平方，加上39再除以五。这边呢，是减去我们看啊啊，这是11 k+11就是k+11^2，再除以25是等于二的。

我们两边同时乘以25，两边同时乘以25，这边就是5k的平方，加上五×39，五九，45，稍微15。195对吧？再减去什么呢？减去k+11^2，也就是k的平方加上。22 k+121对吧？要等于二×25是等于50的。这样的话，我们就把这个呃分母都去掉了是吧？

好，我们呃展开这边应该是5k的平方，减去k的平方是等于。四k的平方减去二十二k啊，加上一百九十五减去呃一百二十一注意啊，一百二十一减去一百二十一再移项，把这个五十从等号的左边移啊，等号的右边移到左边来。是不是要减去50啊？减121再减50就减171，195啊？减去171它是等于20。四了对吧？这边就是减加上24=0左右，两边同时除以二。

所以这边是2k的平方，减去11k，加上12=0。我们看看这个能不能能不能够这个因式分解啊，我们这边是一这边是二用十字相乘法来试一试啊。嗯，这边我们用。呃，12我们把它分解成为三和四啊，这边是四，这边是三负，添个负号。啊，交叉相乘要相加对吧？正好是一乘以负三加上二乘以负四是等于负十一的，

正好是等于k的系数，所以呢，它能够。分解成功好，应该是k- 4×2 k- 3是等于零的，对吧？这样的话是不是可以解得k=4？啊k等于四或者是二分之三是吧？有两个结果k等于四或者是二分之三。那么，接下来好换成红色的边来写啊，我们把这边画一条虚线下来。好同学们，由于这道题目要我们去求这个平均数啊，对吧？

平均数好同学们注意了x8，它是要等于。一+3+2+k+5，再除以五对吧？它是等于啊k+11再除以五。所以呢，当k=4的时候，这个我们推算了x吧，它的平均值是等于五分之。啊十五它是等于三了，对吧？那么啊当k等于二分之三的时候，我们可以得出来x八是等于。二分之三加上十一除以五对吧？我们看看它是等于二分之呃三加上。

二十二对吧？二十二加上三等于二十五，也就是二分之二十五再除以五，它是等于二分之五的。也就说这个均值是等于二分之五的。均值等于二分之五，那么同学们注意了，我们就可以得出来它的均值的绝对值是等于三。啊，或者是二分之五的，那显然它就推不出结论来，对吧？我们的反例就是k等于二分之三的时候，它满足已知条件，一满足条件，

一但是推不出结论来。也就说条件，一是推不出结论来的，那么下面呢，我们看到第条件二的分析。条件二呢，它说负一负三负2k。和负五它的标准差是等于根号二的标准差等于根号二，我们是不是可以得到它的方差是等于二的？对吧，因为标准差啊。是等于方差开根号，那么方差就等于标准化的平方了，对不对？好，

那么同学们注意了，我们可以求出来这个二是等于。负一的平方+-3^2+-2^2，再加上k的平方。加上负五的平方，再除以五减去减去负一。加上负三，加上负二，加上k，加上负五，除以五这个整体括起来的平方。是吧，好，咱们来计算一下。也就是说啊，

这边是二要等于二要等于啊，这个分子呢是一+9+4+k^2加上。25，它是等于k的平方，加上39。啊除以五后面这个呢，应该是你看这个负一+-3+-2+-5，这边是等于负11对吧？k- 11。那么k- 11÷5^2。对吧，那么也就是说我们可以得到这边是二要等于k的平方，加上39÷5。减去二十五分之k减十一的平方，我们直接把它乘出来k的平方减去二十二k加上。

啊，121。好，我们两边同时乘以25，这边是50，要等于五倍的k方加39，也就是5k的平方。加上195。好，然后再减去k的平方，加上22 k- 121对吧？我们整理一下，这边应该是。4k的平方+22 k+24是等于零的。对吧，

好同时除以二这边是2k的平方，加上11k，再加上12=0我们。啊，十字相乘法，这边是一二，这个12呢，我们把它分解成为12，我们把它分解成为啊四和。这个这个啊，三×4这边是四，这边是三对吧？交叉相乘再相加一×3，加上二×4恰好是等于11的。说明我们可以分解成功。

对吧，也就说这边分解之后得到的是k+4×2k。啊乘以二k加上三是等于零的，所以我们解得k等于负四啊或者是负的二分之三。对吧，好这边呢，我们画一小块空格栏，那么做到这一步之后。我们要分类讨论，对吧？大家注意了它的均值。同学们注意了它的均值。也就是说，这x8。对吧x8它是要等于负一啊，

加上负三+- 2+k再加上负五再除以五的。对吧，它是等于k- 11÷5，那么当k=- 4的时候。这个x8是等于负15÷5是等于负三的。啊当k等于负的二分之三的时候，这它的均值是等于负的二分之三减去十一。除以五，它是等于负的二分之二十五。除以五，是等于负的二分之五的。所以我们可以得出来x八的绝对值，也就是它的均值的。啊，绝对值平均数的绝对值是等于三啊，

或者是二分之五的，因此它推不出结论了。对吧，这是我们的第二步，也就是条件二当然不能推结论条件一它也是当然不能推结论了，那么下面我们必须要一二联合。条件一和条件二。啊，条件一和条件二联合起来，我们发现一方面条件一对吧？条件一要推出来k是等于三。啊，或者是啊，我们看一看条件，一推出来k是等于四或者是二分之三的。

啊，它是等于四或者是二分之三啊，条件二呢，推出来k是等于负四。或者是负的二分之三，这是互相矛盾的，对不对？它不能够两者同时满足，所以条件一跟条件二单独联合起来，它推不出结论。啊故一二联合。它是推不出结论来的，对吧？你看他们单独推不出结论来，联合起来也推不出结论来，

所以这个正确答案就选择啊e选项了。选择e选项。好，下面请同学们看到考法二均值方差的性质。我们看到均值和方差的性质。啊，首先。我们把这个要点给大家做一个梳理。我们设。EX表示。EX表示x1x2一直到xn的均值。啊，这个dx呢？表示。表示x1x2一直到xn表示它的方差。

那么，同学们注意了这个。把每一个数啊，乘以a再扩大b倍，那么它的均值也就是也要乘以a再扩大啊，也要扩大a。啊，扩大a倍对吧？也要乘以a倍，然后再加上b，它是等于a×EX+b的。啊，那么这个d乘以也就是说把每一个数据x1x2一直到xn每一个数据扩大啊，就乘以a倍，然后再加上b。

那么，它得到的这个新的数一组数据，它的方差就是等于这个系数a的平方。啊乘以啊，原来这组数据的方差。能理解吧，好就主要就这两个核心性质。那么下面呢？我们看到第。266题。原来的这组数据呢，是它的均值是a方差是b标准差是c，那么下面我们看到第一个问题。它的每一组数呢？每一这一组数呢？

每一个数字都加上三，那么它的平均数也要加上三，所以就变成了a+3。那么，它的标准差是不发生变化的，对标准差它你同时加上一个数，不影响它的标准差。对吧，你同时乘一个数才会影响它的标准差，明白吧，所以它的所以所以所以它的标准差是不发生变化的，它的方差当然也不发生变化。对吧，它的方差为b，它的标准差为c，

是不发生变化的。好，那么下面呢？我们看到。好，下面呢？我们看到括号二，他说每一个数字呢，都减去三，那么它的均值也要减去三。那么，它的方差同学们注意了，它的方差是不发生变化的还是b对吧？那么，它的标准差。

啊，也不发生变化，依然是c。好，我们看到第条件三。啊，第三个问题，也就说每一个数据都同时扩呃，乘以k倍，那么它的均值也要乘以k倍。那么它的。方差就要乘以k的平方倍。那么，它的标准差啊，标准差啊，

注意了啊，标准差就是。乘以k的绝对值倍。对吧，乘以k的绝对值倍明白吧啊，乘以k的绝对值，因为这个c的平，因为c是等于根号下。注意啊，因为c是等于因为这个标准差啊，这个这个CC是等于根号下b的，对吧？c是等于根号下b的。所以你看我们这个地方，我们知道它的方差了，

对吧？是扩大k倍，所以呢，我们。它的标准上应该是根号下k的平方×b，它是等于k的绝对值乘以根号下b的是等于k的绝对值乘以c的。是不是啊？好，这是第三个要点，我们第四个要点。这组数据每一个数都扩大，都乘以kk倍，然后再加上三，那么它的平均值也要乘以k倍再加上。啊，

再加上三那么它的方差呢啊，直接是乘以k的平方倍k的平方倍乘以b是吧？乘以b。那么，它的这个标准差呢？是k的绝对值乘以c。好，那么同学们注意了这个要点呢，大家嗯，熟练掌握之后对于我们。解题的时候会有一些帮助好大家看到第267题。好，我们看到第267题在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得几次测量得到的。

啊a1a2一直到an共有几个数据，我们规定所测得的物理量的啊，这个最佳值a是这样一个量，也就是说它与近似值比较。a与各数据差的平方和最小好数据差的平方和。那我直接把它写下来啊，第一，这个a啊减去。a-a一。a-a一的平方，加上a-a二的平方。一直加加到a-an^2，对吧对吧？呃。呃a-a一的平方+a-a二的平方一直加到a-an^2啊。

那么他要说这个让这个值，我干脆设它为y了，要使得y最小。的时候a等于多少对吧？我们把它展开好，这是第一步啊。好，下面我们看到第二步，我们直接展开y应该是等于a的平方减去两倍的ae×a。再加上ae的平方。好加上啊a的平方减去第二个括号展开，就是a的平方减去两倍的a2×a。啊，然后再加上a2的平方。对吧，

一直加加到多少呢啊？加到a的平方啊减去。啊a的平方减去两倍的an×a，再加上啊。再加上an的平方，对吧？好同学们注意了，这样的话，我是不是就可以？把它整理一下啊，我们发现。有几个a方呢？有n个a方，所以是n倍的a方，然后再减去减去两倍的括号。

提取公因式啊，提取2a出来，所以应该是两倍的括号a 1+a二。一直加加到an对吧，再乘以a。然后再后面的这个是ae的平方。加上AR的平方。对吧，一直加加上an的平方，那么这是一个关于a的一元二次。多项式关于a的一院是多项式，我们要去求最值的时候是不是应该是大家还记得吗？我们这边。有个公式的啊。说y等于ax的平方，

加上bx加上c对吧？当当x等于负的二a分之b的时候。啊y取最值。对吧，这是我们右二次函数的要点，那么在这个题目中啊，当我们这个注意这个a就相当于x了，对吧？当a=2 n分之。负的两倍的括号a，注意啊。把它写宽松一点。啊当a等于负的二a分之b在我们这个题目中是不是就变成了这个二n分之？两倍的括号a 1+a二，两个负号是不是就抵消了？

对不对啊？当它等于这个的时候，也就是等于。等于n分之。a 1+a二。啊，一直加到an对吧即？即a等于等于。等于它的。平均值对不对？即对当a等于这个a1a2 an的平均值的时候。这个y。是取。对吧，这OS取最小值的。

对吧，所以这个题目正确答案选择a选项，这道题目的表面上是一个啊。表面上是一个有点类似于我们这个数据分析的这个类型的题，但实际上呢，它是一个关于a的一个函数，对吧？就考对称轴的问题。好，下面呢？请大家把讲义放到零六十七页。好，我们看到第67页67页呢，这边呢啊？是图形和图形以及表格对吧？

那么大家看到这个讲义上方，我跟大家呢？把这个相关的考点做了一些梳理。联考中考直方图丙图和数表三种图形，其中直方图直方图中它是有主距的，主距呢，表示宽。对吧，那主啊，这个嗯。大家看到下面这个，我干脆这样吧，我通过这个题目来给大家去示范什么叫主句呢？主句比如说大家看到第268题。第628题，

这里面有一个直方图，这个直方图大家看到横坐标有90到100。90到100那么90跟100之间的这个差距等于十十，就叫做主句，大家再看到。这个这个这个图形中100到110之间，这个是不是也是一个直方图啊？那么啊，100到110之间的差距。是十也就是距就是十，明白了吧？主距就是这个每一个细长的长方体的这个宽对吧？长方体的这个这个宽度。就叫做主句。明白吧好，

我们把这个地方呢，给大家顺一下啊，主句表示数据的分布区间高，表示这一区间内的频频。频数频数就有多少个数据有多少个呃，这个呃满足要求的这个数量。是不是啊啊？直方图呢？可以分为频率直频数直方图频率直方图。那么，频率直方图中，每一个小长方形的面积是等于这一，这一组的频率的。啊，大家啊，

这个对应的没有必要看，搞得理论上搞得那么复杂，我们直接通过题目来跟大家一解释就很清楚了。好，大家看到第268题这个图形中说，某校抽样进行一分钟跳绳。次数的测啊，这个测试将所得数据整理后画出了如下的直方图，图中从左到右各小长方形的面积之比是二比四比17比一。15比九比三对吧？第二小组的频数是12。好，大家注意了，我们的纵纵坐标。啊，

我们这个纵轴。这个纵轴呢是？注意了啊，它是平。频率。啊，除以。主句。它是频率除以组距，是不是啊？频率除以组距。那么这个横轴。好，它的横轴呢？是什么呢？

横轴呢？就是主句。是不是横轴阻距？阻距是等于多少啊？阻距是等于十对吧？一百减九十等于十一百一十减一百等于十一百二十减一百一十等于十一百三十减一百二十等于十对不对？主句都是十。那么那么这个呢？它的纵轴呢？是啊，十分之频率。是不是好？这样的话，我们就可以得出来每个。小长方形。

每个小长方形。它的面积。对吧，它的面积是等于这个小长方形所对应着的啊，频率你看。它的高度是十分之频率，对吧？频率除以十，它的宽度是11乘，是不是就等于频率了？是不是这样的话就很好理解了？也就说每个小长方形的面积是等于平。频率的。对不对？那么同学们注意了，

而这个频率又等于什么呢？又等于频数。对吧，它又等于频数除以总数总数呢，我们设设n对不对？总数我们设为n。的频数除以总数n这个n表示总共有多少次？是不是跳绳的次数好？这样的话，大家注意了，由于。由于我们这里面有几个长方形，对吧？我们设。啊设AI。

表示第。挨个长方形。的面积。则。则a1比上a2比上a3。好比上a4，同学们注意了，这总共是有六个对不对？比上a5，比上a6。它是等于二比四比17比上15比上。九比上三。对吧，那么同学们注意了，它又等于什么呢啊？

因为我们刚才已经分析过了，这个面积表示的是频数除以呃，表示的是频率。它也表示，频数除以n对吧？它是等于。我们设我们在设这个。好，这样来写。为了方便表达。我们在设。这个频数啊啊，同学们注意了啊，这个频数呢，它是我们是xi。

表示。第I组的。平数。那么，第I组的频数我们是不是就可以？这里面就有个关系了嘛，对吧？就是说这个AI他是要等于。xi除以总数n了，所以我们这边我们是不是就给截下来等了，它是等于x1÷n。比上x2÷n，比上x3÷n，比上x4÷n，比上x5÷n。

再比上x6÷n，而比例有一个性质，我们每一个部分同时乘以，或者是除一个相同的啊，一个部分里面的数。它还是相等，所以这边我们是不是可以计算出来，它就是x1比上x2比上x2，我每一个地方同时除以n了，对不对？比上x4再比上x5比上x6。也就是说，我们得到了什么？我们得到了这个频数，这六组的频数之比是二比四比17比15比比九比三。

对不对？那么总分数是多少分？总分数应该等于二+4+17+15。加上九+3，我们看等于多少？这边是六+32+12。对吧，好这边的话呃，这是44+6是等于50总共的分数有。对吧，总共的分数有50分。那么第二啊，总共的分数有50分。是吧，那么第第二小组的呃，

第二小组呢？他的他占了四分。是不是是不是占了四份呢？所以我们就可以得出来，总共有50份对吧？总共有50份。啊，就是总共有50份。啊，第二小组呢，占了四分，所以是n乘以五十分之四啊，它要等于第二组的频数是等于十二的。啊，等于12。

好，约个分，这边约掉一，这边是三，所以我们是不是可以求得n，它是等于150的，等于总共的样本容量是150。所以这道题目正确答案选择4d选项。那么，这道题目主要是要搞清楚。啊，这个每个小槽就是这个频率除以阻距是纵轴，那么这个次数这地方呢是？我们通过这个横坐标轴呢，可以找到它的阻值是多少？

每个小长方形的这个宽度是多少？对吧？这样的话，我们是不是可以求出？求出这个嗯，频率对吧频率啊，除以主距乘以主距是等于频率的，那么这个频率之比。啊，就是。啊，频率之比就是啊，二比12比四比17比15比九比三，而频率之比呢，又等于频数之比对吧？

我们刚才这个推导过程也给大家做了推导。同学们呢，需要的就是呃，把这些内容对吧？多琢磨搞熟练。好，下面的请同学们看到第269题。第269题呢？说在一次抽样调查中得到一些数据啊，形成了这么一个数表。啊，分数呢？在四十九点五到五十九点五的有九人对吧？五十九点五到六十九点五的时候有15人啊，所以这个频数就是指人数嘛。

然后呢，他说最后一组八十九点五到九十九点五的频率啊，是等于15%的。啊，第三小组啊，六十九点五到七十九点五，它的频它的频数为多少？好同学们注意了，我们首先来研究一下啊。我们首先研究一下这个频率。这边有一个公式啊。频率。它是等于。平数除以总数n的。对吧，

我们看到这个嗯。最后一组，最后一组呢？他是有有12个人对吧？有12个人，他所占的频率是15%。所以15%应该等于12个人，对吧？等于它的平数12除以总数n，这样的话我们可以解得这个n。是等于十二乘以十五分之一百的。是吧，十二呃乘以十五分之一吧，我们约个分吧，这边约个三，

这边是五的，约个三，这边是四的，对吧？所以它是等于八十的。啊400÷5=80。那么，现在要去求第三组的频啊，它的频数。也就有多少人对不对？所以第三组的这个频数也就它的人数应该等于总人数80，减去其他组的频数。是七八十减九减去十五。减16再减12对吧？咱们进咱们运算一下啊，

这边是24，这边是28。24，28合起来是52，所以80-52啊，它是等于等于28的。对吧，所以计算出来是等于28，所以这道题目正确答案选择e选项。其实呢，像这些图形的，像这种题目基本上就是一点小学小学的这个运算，对吧？一个比例的运算而已。下面呢，

我们看到第270题。那么，这道题目呢？他说，已知某家庭每月的消费结构如图所示。它的消费结构啊，如图所示。五项消费支出呢？按照教育衣物啊，教育衣物伙食啊，水电。啊，其他。以及其他呃排成一对构成的一个等差数列。好，

那我这样写下来哈，这边有。啊，他这是教育。啊，衣物。火石。水电。还有其他。它构成的是一个等差数列，那我就设分别为a1a2。a3，a4，a5注意了啊这是。这是一个等差数列。

好，这是第一个已知条件，第二个已知条件。好，第二个已知条件呢，他说伙食支出是1500元，那伙食就是a3了。a star是等于1500的。如果一个家庭的总收入的40%用于储蓄。啊，40%的用于储蓄。那我们现在是消费啊。对不对？好同学们注意了，好第三个要求呢是？

设啊，这个。设家庭的。所以家庭的收入为x元。则则消费是等于。啊一减去40%×x，对吧？是等于零点六x的。那么，它的储蓄是等于？40%x是等于零点四×x的。我们上面呢啊，这个消费金额零点六x，它又等于它又等于a 1+a二。加上a3，

加上a4，再加上a5a5。加上a5对吧？那不就是前五项之和吗？是不是啊？这道题目要我们去求这个储蓄金额零点四x是等于多少的？好，这是我们的已知条件和目标，做了一个梳理。那么下面我们看到第二步。这个s5就是a啊，这这么来说吧，这个就表示的是前五项之和是s5。对吧，而我们等差数列中，

它的求和公式s5，它是等于首项。加上尾项乘以项数，再除以二有等差数列的综项公式，可得a 1+a 50等于。两倍的a3×5再除以二，它是等于五倍的a3，而a3呢？又告诉我们是等于1500的。所以五×1500是等于7500的。对不对？而s5呢？同学们注意了，它是等于啊，这样的话是不是我们可以得到零点六x是等于7500的？

现在我们要去求的是零点四x对吧，所以我们可以解得啊，同学们，我们可以解得这个x是等于。7500啊，7500÷0点六的。那么这样的话，我们就可以得到零点四x是等于零点四乘以零点六分之七千五百。它是等于三分零点六分之零点四，是等于三分之二三分之二乘以七千五百，对吧？它是等于三分之一万五千的。它是等于啊，三五一十五。诶，

等一下啊。对等于15000，所以它这边是不是应该等于5000了？15÷3=5=5000，也就是说这个家庭每个月的储蓄金额是5000元。对吧，所以这个题目正确答案选择a选项。对吧，选择a选项。

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33.课件33 数学强化班第十四讲 （3）

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