32.课件32 数学强化班第十四讲（2）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-5 15:44:44

好同学们，那么下面我们进入到第14讲的第二小节，大家把讲义翻到第57页，我们看第235题。这一道题目呢？他说的36个人中血型情况如下。好，这36个人。A型血有12个人。B型血有十个人。AB型的学。有八个人。O型血。有六个人。对吧，

合计是36人。那么，要从中选出两个人，这两人血型相同的概率为多少？那么，对于这样的题目，我们第一步把公式摆出来。p是要等于m比上n了，那我首先研究一下n表示多表示什么意思？n表示从36个人中选出两个人有多少种不同的选法？对吧，从36个人中。任意选。两个人。有多少种不同的选法？

那这就是一个。组合数公式对吧？所以是c36，咱们计算一下，它是等于36×35再除以一×2。是等于18×35的。啊，不要把它乘出来，待会方便我们约分。好，下面我们看到第二步求m。那这个m表示什么呢？这个m表示。选出来的两个人血型要相同，有多少种不同的情况，

对吧？好从。36人中。选出两人。选出血型相同的两个人。对吧，选出。血型相同的两个人有多少种方法？那么我们看一看，实际上我们可以分类第一类选出来两个人，他的血型都是A型血，是不是就是从12中选出两个？对吧，第二种，第二类，

第二类是从选出的啊，这两个人血型都是B型血，就是从十个人中选出两个，对吧，这是第二小类，第三小类。选出的两个人都是AB型的血，那就是c八二第四小种情况选出的啊，这两个人血型都是O型血，那就是c六二，咱们计算一下这边是。啊12×11再除，以20×9再除，以二啊八×7再除，以二。

啊六×5再除以二计算一下啊，这边是66+45+28再加上。15好，我们再算一下这边呢呃，45+15是等于60对吧？啊60啊66+60=126，100啊26还要加上28。所以它是等于154的。这边是等于154。那么，这样最后一步就是一个啊，代入数据的问题了，对吧？p要等于154。除以18×35，

我们来约个分啊，首先呢呃，154。啊，154来，我们先约个二吧，对吧？这边就是77。对吧，这边约个二，这边是九。大家看是不是这样的？啊77好，我们还实际上还可以再进一步的约分，但是我们发现这个题目中的这个a选项中已经有个分子是77了，

所以我只需要验证这个35×9等于多少，对吧？三十五乘以九五九四十五三九二十七啊二十七三幺五，所以它是等于三幺五分之七十七。对吧，这个题目正确答案选择a选项，但是大家注意了，这实际上还是可以进一步的再约分的啊，为什么呢？因为这个77还可以跟呃35约掉一个七是不是啊？这边是11，这边是五，所以呢，同学们注意了，它也可以写成。

四五九四十五对吧？四十五分之十一。但是我们这个选项中呢，没有四十五分之十一对吧？所以呢，正确答案选择a选项。这是第235题。那么，这道题目我们还可以做一个举一反三，我们的举一反三呢？我直接用啊，我是这样这么这么来说吧，这个举一反三呢？我把这边呢都。这个概率啊，

推出来概率p是等于154比上啊18×35。它等于三百一十五分之七十七啊，正确答案选择a选项。选择a选项，那么下面呢？我们。在这边来给大家做举一反三。好举一反三。那我这个问题问改变一下，我说嗯，两个人血型不同的概率是多少啊？改为。啊则。两个人。血型不同。

它的概率对吧？两个人血型不同的概率为多少？那么，这个问题的话，我是不是要从它的对立面的角度考虑它的对立面的角度就是两个人的血型是相同的？我们刚才已经求出来了，对不对？我们刚才已经求出来是。啊，血型相对，它的对立面。对吧，它的对立面的概率是三百一十五分之七十七，我们同时约掉七之后啊，它是等于。

呃，四十五分之十一的。那么，还原回来那么这个应该是等于一减去它的对立面的概率对吧？减去四十五分之十一是等于四十五分之三。34了。四十五分之三十四。对吧，好这道题目呢，我就给大家讲到这里，下面请同学们把讲义放到第58页。我们看到例。236。从含有两件制品n- 2件正品中任意的抽出两件商品来，首先我们看一看。

第一步，总共是有n件商品，其中啊，其中。次品是有两件。正品呢，是有。有n- 2减。嗯，其中呢？他说啊，这个其中恰有一件事，注意要抽两件，恰有一件事次品的概率是零点六。是不是啊？

好同学们注意了。啊，从n键中。抽出两件。抽出两件。恰有。一键为。次品对吧？恰有意见，我次品的概率。是等于首先它是要等于分子比上分母的，对吧？它的分母是直接是从它的分母表示的是从n减。啊，这个啊，

商品中抽出两件呢，有多少种不同的抽法，所以是CN 2对吧？那么呃，它的分子呢？是从n件？这个嗯，产品中呢，抽出两件来，恰有一件是次品，也就是说啊，有一件次品，一件正品有多少种不同的情况？那么有一件正品，那么应该是从n- 2件正品中选出一件正品来对吧？

然后有一件次品是从两件次品中选出一件次品出来对吧？咱们计算一下。这不应该是n- 2再乘以二对吧？这是呃。嗯，这是我们的分子，我们的分母呢，应该是n×n- 1再除以二。对吧，我们画一下减它应该是等于n。乘以n减一分之四倍的n减二，那么原结论？原结论呢，说这个概率呢呃。注意啊，

原结论呢，它说的是这个概率啊，是等于零点六的，也就是说四×n- 2比上n×n- 1是等于零点六的。对吧，得到这么一个表达式。好，那么下面呢？我们。第二步条件一，它说了n等于五好，我们代入n乘，以n减一分之四倍的n减二，它应该等于四乘以三。除以五×4，

它是等于五分之三五分之三就是等于零点六的，所以条件一它能够推解论。好，我们看到第三步条件二的分析，那么n=6我们可推出来。四×n减，二比上n×n减，一是等于四×4÷6×5。那同学们这边。我们约掉一个这个二啊，这边是十五分之八十五分之八，同学们注意了，这都除不尽了，对不对？所以呢，

它不等于零点六，因此它是推不出结论来的条件，一能推结论条件，二不能推结论，那正确答案选择a选项。像这样的题目呢，都是比较基本的题目，对吧？没有同学啊，都要掌握的。好，下面呢？我们看到第237题。啊，他说从六双不同的鞋子中任意的举出四只来，

这其中没有成双的概率为多少？好，六双。取四字。啊，不成双。没有成双的对吧？好，那么同学们注意了第一步。啊p是要等于m比上n的，首先来研究一下这n表示什么意思，注意了它是六双六双就意味着有12只鞋子，从12只鞋子中取出四只呢，随便取。对不对啊从？

12字。鞋子状。呃，任意的取出。四字。好有多少种不同的？啊，有多少种不同的取法？对吧，从12字写子中任意的取出四字。从12只鞋子中任意的取出四只有多少种不同的取法？好，那么我们。直接用总合数应该是c12选四对吧？它是等于12×11×10再乘以九÷1×2×3×4。

我们约个分三十一十二对吧？这个。好，这边呢，三四一十二跟这个12就约掉了，对吧？这个二跟这个11约15，所以它应该是等于11。乘以九，再乘以五。注意了，不要把它乘出来，待会方便我们进行约分。好第二步。求m。

那么，这个m表示什么意思呢？m表示没有取出来的这四只鞋子没有成双。的概率是多少？好，大家想一想，我们把这个问题做一个等价转化。我先从六双鞋子中，我取出四双来。那我取出四算来。然后再从每一双鞋子中各取一字，这样是不是能保证这四字？这是不是就是完全是不成双的，并且跟我原原命题是等价的，对吧？

表示从。表示先从六双。写子中。任取试算。再从。每双鞋子中，再从这四双对吧？再从。四双鞋子中。歌曲，益智。有多少种不同的区法？对吧好，我们一起来看啊，这个m应该是首先从六双鞋子中取出四双来好，

再从这四双中第一双取出一只鞋子，有两种取法。第二双取出来是不是也有两种取法呀？第三双取出来取一支也有两种取法，第四双取一支也有两种取法，好，我们继续计算一下c4c六四是等于c六二的。啊，等于六×5再除以一乘以乘以二对吧？然后再乘以八好这边呢，是六×5×4。那么，咱们计算一下对吧？再计算一下这个p呢，是等于m比上n它要等于六×5×4这边呢是？

11×9，再乘以五。是吧，好，那么我们约分五跟五约分约掉六跟啊，这个九约掉还剩下一个三，这边约还剩下一个二。所以它是等于三十三分之八。唉，看一看。是什么情况我们？我们这个啊，这边应该是乘以16少乘了一个，对不对？这边是八，

所以这边应该是八，应该是16修正过来。是不是啊？要及时的修正过来，因为我们发现这个选项中没有三十三分之八，所以马上看问题在哪里？啊，问题在于二×2×2×2是等于16的啊，不要至于约分的时候，不要把它约错了啊，所以这边正确答案选择c选项。选择c选项。那么，像这一道题目呢？咱们也可以做很多举一反三，

对吧？比如说我们把这个六双鞋子，我们改成七双鞋子，从七双不同的鞋子中任意的取出啊，任意的取出四字来。啊，这其中没有成双的概率为多少？啊，我们可以把它改成，比如说啊，从五双不同的鞋子中任意的取出三字来，只要其中没有成双的概率为多少？再照着葫芦画瓢啊，我就不再具体跟大家去写了，大家可以自己按这个方法啊，

去做一做对吧？思路是非常统一的。好，下面请同学们看到第238题。啊，袋子中有。六只红球，四只黑球。那么进呢？从袋子中呢？取出四只球来好这边。有六红。六红四黑，现在取四支球来，这取到一支球呢，

是乘以啊，这边呢，一支球是乘以。乘以两分了，一一只红球是两分，一只黑球呢？是一分对吧？好那么。他说啊嗯，要取四字球得分不大于六的概率为多少？那我们来研究一下啊，我们分这样的几种情况，第一种情况呢是？四个啊，四个红球。

零个黑球。对吧，第二种情况呢是？三个红球。啊啊，一个黑球。第三种情况呢是？两个红球。两个黑球第四种情况是。一个红球。对吧，三个黑球，第五种情况呢是零个红球啊，四个黑球。对吧，

那么这些情况呢？是我们把这个四个球啊，把它做了分解，但是呢，并不是每一种情况都是符合要求的。它的要求就是得分不能够呃大于六，对吧？得分不大于六就是小于等于六呗，来我们来计算一下它的得分。我们一起来计算一下它得分啊，它的。啊，它的得分是这边是四×2加上啊，零×1是等于八分的。那这个就不符合要求。

对吧，三红一黑呢，是三×2啊，加上一×1是等于七的，这个也不符合要求。对吧，第三种情况呢，我们来看一个啊，这边呢是二×2加上啊，加上二×1。它是等于啊，它是等于六位，它不大于六分，对吧？那这个是符合要求的。

好，我们再来看到这边。那一红三黑。同学们，一红三黑，那这边是不是应该是？啊一×2对吧？加上三×1，它是等于五的，这也是符合要求的。零红那么零×2+4×1，它是等于四四分，这也是可以的。所以啊，前面的啊。

那前面的这两种列出来的，它是不符合要求的，是不是要舍掉？对吧，所以它只能研究在后面了，那么下面我们来看一看啊，我们来研究这个概率，注意啊，概率p是等于m比上n的。这个n呢啊，表示从十个球中十个球中任意的取出四个球，有多少个不同的取法？是不是c？14对吧？那么这个m的话是不是又分为三小类啊？

好第一小类。第一小类是就我们这个括号三对吧？从六个红球里面啊，从六啊，那我用这个。呃，蓝色的边来写啊？那这边呢是？从六个红球中选出两个红球，乘以从四个红球中选出两个黑球，咱们计算一下，它是等于。15×6是等于90的好，我们看到这这一小类。从六个红球中选出一个红球，

再乘以四个红黑球中取出三个黑球来啊，对吧？那应该是六×4是等于24的。好，这边括号六这个这小种情况，那么是从四个黑球中取出四个来，对吧？那应该我也我们也可以从c六零。乘以c四四，它是等于一×1是等于一的。那么，我们把它加总一下啊，合计。是不是应该是90+25加上啊？90+24+1。

啊，应该是等于115。也就是说，这个m。及m是等于115的。对不对？所以呢，我们把它带进来，这边是幺幺五是吧？我们还得计算一下c14等于多少？来，我们在这个地方计算c14啊c14，它是等于十×9×8×7。比上一×2×3×4。来，

我们来进行约分二四得八，这约掉了，然后这边约掉，还剩下三对吧？所以它是等于。三×7，乘以十的。对吧，三×7×10。啊，我们把它带进来。啊，我们把它带进来，这边是三×7×10，这边是幺幺五，

那我就约分。啊，这边约掉一个五是。23约掉一个五，这边是二，所以呢，它是等于最后等于这个六七四十二四十二分之二十三。对吧，它的概率是等于四十二分之二十三啊，正确答案选择a选项。对吧，这道题目啊，我我们如果按照分步骤来去做的话，第一步是不是首先要研究清楚这个分啊，这个得分。

到底是怎么回事？对吧啊，好同学们。好，这边呢，是第二步。对吧，第一步就是研究得分，满足要求的情况有多少种，有115种，第二步啊，第二步。是用古典概性公式p=m比上n，那么m是满足要求的情况，有多少种是115种？

这个n表示总共有多少种情况？是不是直接从四十种情况中取出四种来，是c十四计算一下就可以了，对吧？答案是四十二分之二十三。下面请同学们看到第239题。好，我们看到第二百三十九九题峡中有四只球，其中红黑白各一只，而另有一只红红白黑的三色球。好，这边。宏有一字。黑有一字。白有一字。

红黑白有一只对吧？合起来是四只球，现在从中任意取两只球。其中恰有一个球上有红色的概率为多少？啊，恰有一个球有红色。那么，同学们注意了，首先我把公式摆出来对吧？第一步。p是等于m比上n了，研究一下n表示什么意思？n表示，从四个球中。啊，

任意的取两个。对吧，任意的取两个。有多少种取法？从四个球中任意的取出两个有多少种取法？咱们计算一下n应该是等于c四二。它等于四×3÷1×2，对吧？它是等于六。它等于六，然后下面呢，我们再来去求m这个分母对吧？这个分子对吧？啊求m。那么，

我们来研究一下m表示什么呢？m表示，满足特定要求，特定要求是什么？对吧？m表示，满足特定要求的情况有多少种？这个特定要求是取出来两个球都恰好只有一个球上。有红色。对吧，恰好一个球有红色。那么啊，表示去从啊表示。取出的两个球中。恰有一个球。

有红色。啊，有这满足，有满足这种特定要求的情况有多少种？对吧，好那么同学们注意了，有红色的呐，有红色的是这个球和这个球。对吧，所以呢，我从有红色的球中取出一个来。对吧，然后从没有红色的球，两个球中再取出一个来，这样的话是不是？

就是取出来两个球，并且呢，恰好只有恰好只有一个球是有红色的，对吧？咱们计算一下是不是二×2=4啊？那么，根据啊，固定概型的公式p等于m比上n，它应该等于四除以六是等于三分之二的。因此，这道题目正确答案选择d选项。是吧，选择d选项好，这是第239题。那么下面呢？

我们看到第240题。将三个人以相同的概率分配到四个房间中，恰好三个房间中各有一人的概率为多少？首先注意啊，是三个人。到四个房间中，对吧？然后恰好三个房间中各有一人，那下面我们首先来研究一下。概率公式p=m比上n，这n表示什么意思？n表示。三个人。分到四间房。对吧，

有多少种不同的分法？好有多少种不同的分法呢？我们直接用乘法原理，可得把第一个人分到四个房间，可以从四个房间中任选。一个房间对吧？所以是有四种方法。那么，第二，第二，小步，我把第二个人分下去，也是从四个房间中任选一个，对吧？有四种分法，

第三，小步把第三个人分配下去，也是从四个房间中任选一个。啊四对吧？四×4×4，好同学们注意了，它是等于64，当然我们也不用把这个64写出来，我们待会还约分的。对吧好，这是第一步，那么下面我们看到第二步。求m首先要搞清楚这个m表示什么。m表示，满足特定要求的情况有多少种，

这个特定要求是什么呢？这个特定要求是恰好有三间房，各有一人。对吧，那么我们把这个问题做一个等价转化，首先啊，从四间房。中。从四间房中任意选择三间。对吧，再把这三个人。再把这三个人分到这三间房。啊，每每间。防一个人。

啊，有多少种方法？对吧，有多少种分法好，那么同学们注意了，首先从四间房中选出三间来，然后再。把这三个人分到这三间房间里面，是不是a三三了？对吧？先选房还有一个分配的过程，所以这边应该也可以直接写成a四三对吧？它是等于四×3再乘以二的。那么，我们按照古典概型的公式把它带进来计算p，

要等于m比上n，它是等于四×3×2。这边是四×4×4啊，有一些地方，咱们是给约分约掉了四跟四约分约掉。对吧，这个二跟这个四约掉四二，所以它是等于八分之三。等于它是等于八分之三八分之三呢？是等于零点三七五的，所以这道题目正确答案选择b选项。这是第240题。那么这道题目。其实是不是就用到了惩罚原理？对吧，

用到了这个分法的问题是吧？好，下面请同学们看到第241题。第241题，将三个人每个人以相同的概率分配到四个房间中的每一间中。则一二三号房各有一个人干了我多少好注意了，240题和241题啊，这两道题目比较相似，不要搞混淆了，首先第一步。我们把公式写出来p要等于m比上n，那么这个n表示什么意思？n表示。从啊n表示，把这三个人分到四个房间，

里面有多少种不同的分法，对吧？表示把三个人。分到。四个房间。有多少种不同的？啊，把三个人分到四个房间，有多少种不同的分法？好同学们，是不是用乘法原理啊？第一步啊。啊，把第一个人分到啊，分下去可以从四个房间里面任选一任选一个对吧？

第二小步把第二个人分下去啊，从四个房间任选一种对吧？第三小步把第三个人分下去。从四个房间中任选一种是四×4×4。好，下面呢？我们看到第二步求m。那这个m表示什么呢？这个m表示说。啊，满足特定要求的情况有多少种？那么特定要求到底是什么呢？他说的是一二三号房间各有一人。那也就是说要把这。要把这三个人。

分到一二三号。这三个法。对吧，这已经指定了三个房间。啊，对吧每？每间房。一个人。对吧，有多少种方法？也就是说啊，我们把这个第我们把这个第240题和241题比较240题，他没有说把这三个人分到哪三个房间。对吧，而241题明确的指出来，

要把这三个人分到一二三三号房间，每个房间是啊，恰好分了一个，那么这样的话，是不是就没有选房的问题了，直接直接把这三个人分到三个房间，对吧？a三三。a三三是等于三×2×1对吧？好，那么下面呢？我们一个古典概型公式带进来。p=m比上n，它是等于三×2×1对吧？这边是四×4×4来，

我们约个分。我们约个分，这边二跟这边约是二对不对？好，它是等于三十二分之三了。所以这道题目啊，正确答案选择4d选项。好同学们，我们刚才呢一气呵成呢，给大家呢，从235题讲到了241题，现在我给点时间，大家快速的把这几道题目消化一下啊。好同学们，那么我们看到讲义的第59页242题。

好，这道题目呢？他说某装置的启动密码是零到九的，三个不同的数字所组成，连续三次输入错误的密码呢，就会导致该装置永久的关闭。一个紧急的密码是由三个不同数字所组成的人能够启动该装置的概率是多少？首先我们看一看啊。这个密码总共有多少种不同的可能？啊从。零到二从零。到九。这十个数字中。啊，任意选出。

三个不同的。数字。可以组成。多少个不同的？三位数。对吧啊。这不能说叫三位数。可以组成多少个不同的？这个排列。那么，这个我们是不是直接用乘法原理就可以对吧？我们首先看到这个这个地方呢啊，从零一二三四五六七八九从这里面选出一个来，总共有十种不同的选法。这边呢啊，

因为每一个格子里面填的数字是不同的，你前面填了一个数字，那我是不是只能从剩下的？九个数里面选出一个填到这个格子里面好，那么再填第三个格子，第三个格子呢？是前面已经填了两个不同的数字，我总共有十个数字，前面填了两个数字呢，已经不能用了，是不是？还只能从剩下的八个数啊诶。这地方写错了啊，这地方应该是啊九对不对？然后对吧？

因为第总共是有十个数字。第一个格子里面已经填了一个数字，所以第二个格子还有九九种可以选择，对吧？九个数字可以选择，那么第三个格子是不是还剩下？八个选择呀，对吧？所以应该是八乘啊，十九十×9×8是等于720对吧有？720种。720种不同的排列，也就是有720种可能的密码，对不对？好，

这是我们的第一步，第二步。那么一个人，他去试这个装置。他说是啊，要带三次对吧？第一次可以试看，或者第二次试看，或者第三次试看，那么同学们注意了，第一次试看。它的概率是多少，对吧？第一次试看它的概率是七百二十分之一好。那么第一次没有撕开，

第二次撕开的时候，它的概率是多少呢？首先第一次没有撕开，应该是七百二十分之七百一十九没有撕开的概率，第一次没有打开的概率。是七百二十分之七百一十九。对吧，那么第二次它撕开了，第一次没有撕开的情况下，第二次给撕开了，第二次撕开的时候注意了，总共就只有719种可能了。对吧，因为有一种它是打不开的，对吧？

有一个有一个数字，它是不是这个装置的正确密码？那我待会试的时候。是不是就不会去试它了，所以总共有七百一十九种选择，那么试开的概率是七百一十九分之一。对吧，七百二十分之七百一十九乘以七百一十九分之一好，这是啊，注意了这个表示第一次没有没有打开，第二次打开了，对吧？那么，还有第三种情况就是第一次和第二次都没有打开的情况下，第三次给打开了，

第一次没有打开的概率是七百二十分之七百一十九。第二次右面打开的概率是七百一十九分之七百一十八，第三次打开的概率是七百一十八分之一。对吧好，这是这个表示第一次和第二次都没有打开，第三次给打开了。那么，我们计算一下，这边是七百二十分之一，好约个分，这是七百二十分之一，这地方我们再约个分对吧？是七百二十分之一，所以咱们计算一下是七百二十分之一乘以三是等于二百四十分之一的。所以这个题目正确答案选择c选项。

好，这是这一道题。当然了，这一道题目呢，我们也可以使用啊，抓角原理，所谓抓角原理就是说。呃。我们要从。啊，这么多，就像有720串钥匙，对吧？有720个钥匙，我要从中选一个钥匙，

把这门打开。对吧，我第一次啊，打开跟第二次打开跟你三次打开的概率都是一样的，对吧？第一把第一次打开的概率是七百二十分之一，第二次打开，第三次打开的概率都是一样的。所以呢啊，乘以三就可以了，等于二百四十分之一，这是抓接原理，对吧？抓接原理实际上就是我们刚才整个。详细解题过程的一个提炼，

一个抽象，一个提取而已。好，下面请同学们看到命令角度三文本的概型，我们看到第243题。人群中的血型有O型A型B型AB型的概率分别为好，注意了啊，这个O型血。它的概率是。零点四六。A型血的概率是零点四。B型血的概念是零点一一。c型血的概率是零点零三，那么通过任选五人至多有一个O型血的概率为多少？好，

大家注意了，至多啊，至多有一个O型血，那么首先呢，我要把这个地方呢，跟大家把。把咱们完整的概型给大家复习一下啊。伯伦的概型是指。在独立重复试验中。每一次试验。每一次试验成功的概率为p。啊，进行。n次试验。对吧，

独立重复时延n次。则啊，则恰有m次试验。成功的概率有多少？啊恰有m做试验成功的概率为多少？首先呢，从n次试验中选出m次试验，让他是成功的，对吧？成功一次的概率是p。那么有m次成功对吧？所以就有m个p相乘，也就是p的m次方。那么，还有n-m这试验是失败的。

失败一次对吧？它的概率是一减p，那么总共有n减m次失败，所以呢，应该有n减m个一减p相乘。所以呢，也就是一减p括号n减一减p的n减m次方，那么把它乘起来就乘法原理可得，一乘起来就可以。啊，得到它的概率了，是cnm乘以p的m次方乘以一减p的n减m次方。啊，这是n次试验中恰好有m次成功的概率。好，

这是要给大家复习的第一个要点。那么，我们复习的第二个要点呢是？如果他说。啊，如果泰国人说。至少。啊，至少有一次试验成功。如果他说至少有一次试验成功的概率有多少？同学们，至少有一次成功。说明啊，我们一看到这个，至少我是不是要想到它的对立面了，

它的对立面是全部都失败。对吧，对立面是全部都失败，失败一次的概率是一减p，这n次全部失败是不是应该是一减p的N次方，然后用一减它就行了？就是至少有一次试验成功。好，那么下面我们再考虑还有第三种情况。说这个则。字多。如果他问说至多有一次试验。对吧，至多有一次啊，试验成功的概率为多少？

那么同学们，你至多有一次这个至多呢？它表示至多有一次。是吧，它可以表示有零次成功，或者是有一次成功，我直接从正面入手，零次成功就是全部都失败了，应该是一减p的N次方。那么，第二种情况是，恰好有一次成功，所以是CN一乘以p再乘以一减p的n减一次方。对吧，这是比较常见的啊。

一些要点。那么下面呢？我们回顾到这个题目本身。你看这道题目呢，它说啊，至多有一个O型血，对吧？我们看看O型血的概率是零点四六。那么，我从中任取五个人啊。就是每取一个人，那从我们这边啊，从中任取五个人，这相当于是独立重复试验了，对不对？

是不是啊？啊，也就相当于是从啊从这个我们从这些人中任意取出一个人来。啊，他成功的啊，他是O型血的概率是吧好？从人群中。任取一人。是是O型血的。概率为。p等于。零点四六。对吧，不是O型血的概率啊，是零点一减零点四六等于零点五三。

那等于零点五四，对吧？然后呢？这道题目呢？他说任取五个人，这至多有一个呢是O型血。我们考虑一下它的，它至多啊，至多有一个O型血，我们是不是可以这样来？思考啊，那么原题。可以等价于等价的，那我们做一个等价思维啊。啊，

十元一次对吧？好叫做每一次。什么叫做试验呢？就是从人群中取出一个人呢？是O型血的概率。啊是O型血，这是一次试验，对不对？然后呢，每一次试验。啊，如果从人群中取出来，这个人是O型血，就表示这个试验成功了，对吧？

每一次试验成功的概率。概率为p对吧？这已经上面跟大家说了，这个p是等于零点四六的。然后。独立的。重复试验。独立的重复试验五次。对吧，然后呢，它说至多有一个就是至多。至多有一次。至多有一次成功的概率等于多少？是不是等价转换成这么一个问题的，对吧？

那这样就好办了，那么下面我们看到第二步。那至多有一次成功的概率应该是一首先，它分为两种情况，第一种情况是全部都失败了，所以应该是一减p的N次方。啊，对吧？第二次呃，第二种情况呢，是恰好有一次成功，是不是应该是cne×p乘？乘以啊，乘以。啊一减p的n减一次方在咱们这个题目中，

同学们注意了，这个n是等于五的。是吧，这个p呢是等于零点四六的，所以我们继续往后写，应该是一减去零点四。四六。的五次方。一减零点四六的五次方加上c五幺乘以零点四六。好再乘以一减去零点四六的四次方。对吧，我们把这个表达式写出来。用红笔来写它。好，这边呢，

是等于零点五四的五次方。加上五×0点四六，再乘以你以零点五四的四次方。好，那么这个运算呢？有一定的运算量啊，零点五四的五次方呢，是约等于零点零四五九的。啊，这个五×0点四六再乘以零点50的四次方是约等于零点幺九五六啊，两个相加呢是？啊，等于约等于零点二四幺五，所以这道题目正确答案呢，选择4d选项。

好，下面请同学们看到考法二投资投资的问题和投资硬币的问题相结合的啊，我们看到第244题。这四个条件充分性判断了题型。他说，在一个不透明的布袋子中，装有两个白球。m个黄球和若干个黑球，只是它们的颜色不同，对吧？这个白球。是有两个。黄球。有m个。黑球有x个。

那咱们这个题目呢？它说啊，这个m=3对吧？结论是m=3，我们看到第一个条件。他说，从布袋中随机摸出一个球，摸到的球是白球的概率是零点二，那么总共是有这个二+m，加上x个球对吧？现在摸出的是白球，白球的概率对吧？这是不是就最简单的，最原始的一个最简单的一个古典概型了？对吧，

总共有多少个球呢？是二+m+x放在分母中，白球有几个呢？有两个放在分子中，那么一除，这就是它的概率。它是等于零点二的，那显然这个是推不出m的值来，对不对？因为有两个未知数，只有一个方程，我们推不出这个m的值来。好，下面呢？我们看到第二个条件，

他说从布袋中随机的摸出一个球，摸到黄球的概率是零点三，那么总共有二+m+x黄球有m个，所以呢用。黄球的个数除以总共球的个数，那么就等于摸到黄球的概率是零点三好，这个也推不出结论了。对吧，那么这个时候我们必须要。一二联合。好一二联合大家注意了，我把这两个方程把它框起来。好，这个方程。以及下面这个方程。

啊，我用。啊，同学们注意了，我用括号二除以括号一对吧？左边除以左边等于右边除以右边左边相除。应该是m比上二，这分母就约掉了，对不对？它要等于零点三。除以零点二所以解得这个m是等于三了，那说明它可以推出结论来，对不对？我们分别推不出结论来，联合可以推出结论来，

那么正确答案应该选择c选项。好，这是第244题，下面我们看到第245题。抛掷一枚均匀的均匀的硬币，那正面朝上的概率呢，是三分之二。啊，抛掷四次，在正面朝上三次的概率是多少？好同学们注意了，我们把正面朝上叫做试验成功，也就试验成功的概率是三分之二。对吧，重复实验四次对吧，

重复试验四次，恰有三次成功，对吧？那么这个题目就是一个典型的伯伦的概型，从四次中选出三次来，让他成功。成功的概率是三分之二，有三次成功，所以是三分之二的三次方对吧，然后再乘以啊，失败意思的概率是。啊一减去三分之二，它有一次是失败，对不对？所以是乘以一减三分之二的一次方，

咱们运算一下，这边是四乘。乘以二十七分之八对吧？再乘以三分之一啊，我们这边呢，约个分二十七乘以三十等于八十一的对吧？八十一然后四乘以。八是三十二，所以这边啊，是等于八十一分之三十二，这道题目正确答案选择c选项。好，我们看到第246题。啊，一个射手呢，

对同一个目标进行四次独立的射击啊，若至少命中一次的概率为八十一分之八十，则该射手。的命中率我多少？那么，同学们注意了，我们设这个射手的命中率。我们设这个设置的命中率为p。那么，这个题目就变成了在四次。啊，在四次。独立。重复设计中对吧？在四次独立重复试验中。

那至少成功一次。对吧？至少成功一次的概率是八十一分之八十。那么，同学们注意了，我们考虑它的对立面，它的对立面至少成功一次的对立面是全部都失败，对吧？一次失败。它的概率是一减p四次失败的概率是一减p的四次方然后用一减它是不是就还原回来至少一次成功了这个概率是一减去括号一减p的四次方等于八十一分之八十，对吧好这是我们的第一步第二步那一减p的四次方是等于一减八十一分之八十等于八十一分之一，它是等于三分之一的四次方这样我们可以得到一减p是等于三分之一的解得p，t是等于三分之二三分之二是等于零点六七啊因此这道题目正确答案选择b选项，好下面呢我们看到例二百四十七题，啊这一道题呢他说在一次竞猜活动中啊设有五关如果连续通过两关就算闯关成功小王通过每关，

啊这个通过美观的概率是二分之一则它闯关成功的概率是多少同学们注意了，嗯我们看一下啊，总共是有五关是吧，好这是一关这是两关这是第三关这是第四关第五关，实际上这里面呢它是分很多情况的，所以我们要分类，好同学们我们看到底音第一种情况，我们看到第一类第一类呢我们第一关闯关成功第二关马上紧接着就闯关成功了那么是不是这个游戏就结束了，是不是啊这游戏就结束了第一关成功第二关成功游戏结束那么它的啊这个它已经就是整个，游戏就结束了对吧那么应该是二分之一乘以二分之一，好我们看到第二类，第二大类，第二大类呢是到第三关的时候闯关成功对吧到第三关的时候闯关成功那么是不是第二关必须是闯关成功呢，因为它要连续嘛对吧说明啊这个第一关绝对不能成功对不对第一关绝对不能成功因为如果第一关成功的话那么到第二关就截止了所以第一关只能是画叉叉，对吧所以我们这边应该是，

二分之一乘以二分之一乘以二分之一，好下面呢我们看到第三类，第三类呢是到第四关的时候闯关成功对吧到第四关的时候闯关成功，由于这道题目要求连续通过两关是啊才能算闯关成功所以我们的第三关一定是闯关成功的，那么第二关啊一定是闯关没有成功的如果第二关闯关成功那么啊那么到三关的时候这个比赛就结束了对不对所以它是倒推的倒过来推的，对吧那么第一关呢可以画勾也可以画叉对不对可以画勾也可以画叉如果是画这边画叉，对吧那这这边这两种情况都是符合要求的，是不是啊所以同学们注意了第三第三种第三类里面它又分为了啊对吧第三类又分成了两种情况，明白吧好这是第一类这是第二类好我们把它由于每一个勾，啊或者是差它的概率都是二分之一所以这边应该是二分之一乘以二分之一乘以二分之一乘以二分之一，对吧应该是，好相当于是有，啊两个这样的我们把它全部都罗列在这地方，下面呢我们看到第四大类，啊第四大类呢是到第五关的时候他才闯关成功那么说明什么说明的第四关一定是画勾的第三关一定是画叉叉的，

对不对啊只有这样的话才能够到你无关的时候闯关成功那么前面的第一关和第二关啊最多只能有一个勾是不是啊可以是这个画勾这个画叉也可以是这个画叉这个画勾还有两个都画叉叉，对吧后面是照抄，是不是由于啊同学们注意了也就是说它分为第四大类里面又分为三小类，好由于每一个啊勾或者是叉它对应的都是二分之一的概率，所以这三小类它的概率啊都是一样的那下面呢我们来计算一下啊，这边是等于十啊二的五次方是三十二分之一，好二的四次方啊这边是十六十六分之一，好这边呢是八分之一这边是四分之一我们把它通分都把把它分母都变成三十二这边是三十二分之，八这个是三十二分之四这个是三十二分之，二这个是三十二分之二所以我们把它全部加重起来对吧，全部合计，合计起来应该是等于三十二分之八加上四加上啊加上二加上二加上一加上一加上一，对吧它是等于三十二分之，八加四等于十二十二加上四对吧加两个二就加四等于十六十六加上三等于十九所以是等于三十二分之，十九所以这道题目正确答案选择一选项，

好下面的请同学们看到第二百四十八题，我们看到第二百四十八题某乒乓球男子单打比赛在甲乙两选手之间进行比赛呢采取的是七局四胜制，好规则是，七局，四胜制好什么叫七局四胜制，七局四胜制是指最多比赛七局看谁先赢得四局这个比赛就该谁赢了就结束了，对吧好我们画七个重来，好同学们我这边呢总共是嗯画了这个七关啊我们说过五局四啊这个七局四胜制呢是指啊，谁先获胜四局谁就赢了，对吧然后这个题目呢它说甲选手以四比一战胜战胜乙选手好大家注意了这个四比一战胜他总总共是比赛了几局呢应该是四加一等于五，对不对也就是说啊到这个地方这个比赛就截止了这后面这两局都不需要比了，对吧那么四比一战胜乙选手甲四比一战胜乙选手说明啊这个啊说明第五局必须是甲乙，对吧第五句必须是甲乙，然后前面的四句，啊前面的四句对吧甲，

要胜几局呢，甲要胜三局，对吧前面的四句假设三句然后呢第五句假设合起来假使胜了，四局对吧那么甲先胜四局那么甲就赢了到第五局的时候这比赛就结束了，好这是我们的第一步的分析，好第二步我们来计算首先从四句中选出三句来让甲乙，在甲乙每局获胜的概率是p那么c十三乘以p的三次方再乘以一减去p的一次方，好那么第，五局甲要赢是不是还要乘一个p啊，对吧那么这边应该是等于四乘以p的四次方再乘以一减p咱们把这个p等于零点七带进来，对吧题目中告诉我们p是等于零点七的应该是四乘以零点七的，诶注意哦这个，应该是零点二五的写上了啊零点七的四次方要乘以一减去零点七，好那么这边四乘以四乘以零点三啊是一点二对吧一点二乘以零点七的四次方，我们一看选项都是零点七的三次方对不对所以呢我们要把它分离一下一点二乘以零点七，

再乘以零点七的三次方好把这两个整合在一起对吧一点二乘以零点七是等于零点八四再乘以，零点七的三次方所以这道题目正确答案选择a选项，好这道题目呢呃表面上是一个比赛的问题对吧但本质上还是一个伯罗里盖形的问题，好下面请同学们看到第二百四十九题，好我们看到第二百四十九题，在某种流行的啊某种流感啊这个人群中的任意找出三个人其中至少有一个人患这种流感的概率是零点二七幺，好同学们注意了我们看到第一步，嗯从这个呃这就是这相当于是我们这个题目啊可以这么理解就是这个人群中一个人患流感的概率我们把它设为p，对吧在人群中，任意一个人，患流感的概率，我们设为p，对吧我们随便选一个我们这这边呢啊选出，三个人呢就相当于是在三次独立重复试验中对吧则，在三次，

独立重复，试验中也就是说一个人他患流感了我们就表示这个试验成功了我们在三次独立重复试验中，至少，有一次，至少有一次成功的概率为多少呢是不是要考虑它的对立面它的对立面是三次都没成功这不应该是一减去p的，三次方对吧然后用一减它是不是就还原回来了至少有一次成功的概率是一减去括号一减p的三次方，而这个题目呢它说那为零点二七幺也就是说这个是等于零点二七幺对吧从而我们可以得到一减去p的，三次方是等于一减零点二七幺是等于零点七二九的而零点七二九呢是等于零点九括号的三次方，对吧这个是不是就可以得出来啊等价于一减p是等于零点九的，对吧这等价于p就是等于零点一了，是不是p等于零点一啊因此，啊因此，啊原结论它是等价于p是等于零点一的，好这是呃咱们的第一步我们看到第二步条件一呢他说该流流感的发病率是零点三那p等于零点三他推不出结论来，好条件二呢是p等于零点一零点一它是可以推出这个等价结论的对吧所以条件一不能推结论条件二可以推结论那么正确答案选择b选项，

啊选择b选项，好下面呢请同学们看到第二百五十题，这一道题目呢他说在某次考试中三道题目答对两题啊这算及格那你三个题目全部答对是不是也算及格啊，也就是说什么叫及格及格的意思是答对两题或者答对三题都叫及格，是吧然后呢这个题目呢他说假设某人答对个体的概率是相等的这齿轮及格的概率是二十七分之二十，好同学们注意了我们看到，第一个条件它告诉我们答对个题的概率是等于三分之二的那么同学们注意了啊它及格包括两种情况第一种情况呢是三个题目中啊恰好答对，呃在这次考试过程中对吧呃三道题目答对两题也就是三个题目中啊它恰好答对两题所以是c三二，乘以p的平方再乘以一减p好那么接下来呢第二种情况呢是啊三个题目全部答对三个题目全部答对是不是应该就是p的三次方啊，咱们把数据带进来它也要等于三乘以三分之二的平方乘以一减去三分之二，加上三分之二的三次方咱们计算一下应该是三乘以九分之四再乘以三分之一加上二十七分之八对吧，它是等于二十七分之二十的所以它是可以啊它可以推出结论来，好下面呢我们看到第二步，三道题目全部做错的概率是等于二十七分之一一个题目做错的概率是一减p对吧三道题目全部做错是不是应该一减p的三次方它要等于二十七分之一，所以我们可以解得一减p是等于三分之一的解得p等于三分之二而我们上面的条件一已经分析过了p等于三分之二是可以推出结论来了现在我已经推出了p等于三分之二，

所以是不是啊跟上面的条件一的推导方法一模一样可以得出来啊它是能推出结论来的对吧条件一跟条件二都能够推结论那么正确答案选择四d选项，选择四d选项，好这是二百五十题，那么下面请同学们看到第二百五十一题，好我们看到第二百五十一题，经过统计某机场的一个安检口每天中午办理安检手续的乘客人数及相应的，这个呃概率呢如下图，啊这边零到五人概率零点一五到十人概率是零点二十一到十五人概率是零点二对吧啊这后面呢我就不说了他说该安检口两天中至少有一天中，啊一天的中午办理安检人数的乘客超过十五人好同学们注意了，我们设，一天中，一天中这个安检，啊一天中午啊，我这样写啊，是把它写详细啊任意一天的中午，

办理安检手续，啊办理安检手续的这个乘客，啊人数，超过，超过十五，啊超过十五是试验成功，是一次试验成功，好则，则一次试验成功的概率，好这一次试验成功的概率p要等于多少呢，好一次试验成功的概率p它要等于啊大家注意超过十五个人是不是应该是十六到二十人二十一人到二十二人二十五人以上这都符合要求看到这个表格最后三列，把它加总起来是等于零点二五加上零点二加上零点零五，它是要等于零点五的对吧也就是说一次试验成功的概率是零点五，那么现在呢我们啊，在两天的时间里面那不就相当于是两次试验吗对吧在两次试验中至少有一次试验成功的概率是多少对吧所以原题等价于，

在两次，啊在两次，独立重复试验中，在两次独立重复试验中，至少，至少有一次成功的，概率为多少，是不就变成了这么一个问题啊，那么看到至少有一次那我当然要考虑它的对立面了对吧至少有一次成功那我看到它的对立面，啊它的对立面是两次都失败，对吧两次都失败那么它的概率为，这个对立面对吧它的对立面的概率应该是等于两次都失败应该是等于一减去p的，平方对吧所以所以是等于一减去零点五括号的平方是等于零点二五的，那么我们再还原回来，对吧你的对立面是概率是零点二五那么还原回来应该是一减零点二五是等于零点七五的，

对吧所以两次试验中至少有一次成功的概率是零点七五那么这个题目正确答案选择e选项，其实像第二百五十一题这道题目最核心的这个技能就是要把这个题目做一个等价转化转化成我们所熟悉的标准语言，对吧你得用伯伦的概型表达有的同学可能这个弯转不过来那么你就不好去做所以要啊我们其实前面有好几个题目也是做了这个等价转化所以呢我建议大家把，某种的概型的题目啊把它放在一块进行比对学习，他怎样把这个题干啊转化成为body的概型，对吧这个转化很重要好下面请同学们看到第二百五十二题，好我们看到第二百五十二题，这个题目呢这四个条件充分性判断了题型他说档案馆中有一个啊库房中安装了n个烟火反应报警器，每个报警器遇到烟火成功报警的概率是p，对吧每一那我们这就有n个烟火报警器对吧每一个报警去呃遇到烟火成功报警那我就相当于是这个试验成功了对吧，对吧每一次试验成功的概率为p有n个试验有n次独立重复试验是不是啊所以这道题目同学们注意了，我们啊就是在，就是每次试验成功的概率，这个啊题目等价于，啊这个公共已知条件是，

啊公共已知条件是，好在n次独立重复试验中，在n次独立重复试验中，每次试验，每次重复试验的概率为，每次试验成功的概率为p，对吧这个该库房遇到烟火能够报警的概率能够报警就至少有一个，是能够响应的对不对也就说至少有一次成功的概率，好它的结论是，它的结论是，至少，有一次成功的，的概率为，啊他说达到了零点九九九，是不是要大于w就是大于对吧大于等于零点零点九九九，

对不对那么同学们我们现在来分析一下啊在n次独立重复试验中啊至少有一次成功的概率我是不是要先考虑它的对立面它的对立面是什么？啊对吧它的对立面是什么它的对立面是全部都失败失败一次的概率是一减p有n次试验全部失败是不是应该一减p的n次方，再用一减去这个对立面的概率就还原回来了它要大于等于零点九九九好即，一减去p的n次方它得小于等于一点零点九九九对吧小于零点零零一，这就是它的等价结论，好好这是，等价结论，那么下面呢我们看到第二步，条件一啊他说这个n是要等于三的啊p是要等于零点九的这样的话我们可以推出来一减去p的n次方是，是等于一减去零点九的三次方它是等于零点一的三次方是等于零点零零一，零点零零一的话它也满足小于等于零点零零一啊对不对啊因为人家这个结论中小于等于它是包括两种情况第一种情况是小于第二种情况是等于是不是啊，你等于零点零零一也是符合要求的所以条件一能够推结论，好我们看到第三步条件二的分析n是等于二的啊p呢是等于零点九七对吧零点九七这样的话我们就可以得出来一减去p的n次方，是等于一减去零点九七的平方它等于零点零三的平方哎同学们注意了，啊它是要等于零点零零零九对吧零点零零九显然它是要小于零点零零幺的对吧所以它也是能够推出结论来，

条件一跟条件二都能够推结论所以这道题目正确答案选择四d选项啊选择四d选项，那么下面呢我们把这个嗯那么概率的问题我们就跟大家讲完了下面呢我想呢把我们上面的，例二百四十七题啊给大家呢做一个举一反三，做一个补充讲解，我们的第二百四十七题呢它说的是连续两连续通过两关就算闯关成功对不对我把这个连续啊把它改掉，啊再一次来我把题目写一下啊，在一次竞猜活动中，在一次竞赛活动中，啊设有五官，如果，如果累计，如果累计通过两关，如果累计通过两关就算场关成功，那么小王，通过镁光的概率，

啊小王呢通过美观的概率是二分之一，则，他闯关成功的概率为多少，好那么这道题目呢，我们也是把示意图先给大家把它画出来，好这是第一关这第二关第三关第四关第五关，好我们可以分这样的几类是吧，看我们分这样的几类第一大类呢是，到第二关的时候闯关就成功了，第二大类呢是到第三关的时候闯关成功啊到第四第三大类呢是到第四关的时候闯关成功，啊第四大类呢是到第五关的时候闯关成功，那么第一啊就是说啊对于第一大类到第二关的时候闯关成功说明第一关啊一定是闯关成功的对不对它所对应的概率是，二分之一乘以二分之一，啊是等于四分之一的，那么对于第二大类啊到第三关的时候闯关成功我们啊定义闯关成功啊是指那个你累计通过两关，

对吧说明什么呢说明前面的咱们的第一步和第二步至少啊是恰有一个，是不是恰有一个勾啊，对吧所以呢我们由伯伦的概性可得前面两个中恰有一个是成成功的是恰有一个功所以说c二幺，乘以二分之一对吧二分之一的一次方再乘以啊再乘以一减二分之一，的一次方，对吧然后这是前两关那么第三关呢是画勾是不是对应的就是二分之一啊咱们计算一下应该是等于，二乘以呃二乘以八分之一对吧它也是等于四分之一了，那么下面我们看到第三大类第三大类呢它说到第四关的时候你闯关成功也就是前面三关恰有一个勾，是不是啊前面三关，啊要恰有一个勾所以呢我们对啊应用伯伦的概性可得c三幺乘以二分之一的一次方再乘以一减去二分之一的平方，再乘以二分之一最后这个二分之一对应的是第四关闯关成功对吧好我们计算一下应该是三乘以十，十六分之一它是等于十六分之三了，十六分之三好我们最后呢看到第四章内到第五关的时候这个闯关成功说明前面四关恰有一个勾，对吧恰有一个勾所以这样的话我们就可以得到应该是c四幺乘以二分之一的一次方再乘以一减去二分之一的三次方，再乘以二分之一对吧所以它应该是等于四乘以啊三十二分之一是等于八分之一的，

那么接下来我们是不是要把它全部累加起来呀好它合计应该是注意了啊这边呢是，我们，前面两个相加就是四分之一加上四分之一加上十六分之三，然后再加上八分之一，好这个四分之一加四分之一是等于二分之一的对吧二分之一的话它是等于呃十六分之，啊十六分之八，十六分之八加上十六分之三再加上十六分之二对吧所以呢二加三等于五加八等于十三所以它是等于十六分之十三的，也就是说这个小王呢他闯关成功的概率是十六分之十三，那么我们把这个补充的举一反三的题目跟例二百四十七题比较一下，啊第二百四十七题他说的是连续通过两关，是吧要连续通过两关而我们这个地方呢只要累积通过两关就可以了，是吧所以啊第二百四十七题那个题目本身它不是个保暖的概型对吧我们改改编我们举一反三的这个题目它才是个保暖的概型，并且呢分了好好几种情况分了四种情况，是不是啊好这道题目呢嗯，我就给大家呢讲到这下面呢啊给点时间大家快速消化我们啊所讲的这个概率的问题啊这一节所讲的概率问题然后呢我们再接着往前，

啊解决强化攻略三充满分也就是一些次要的点容易遗漏的点但是考试过程中呢可能会考到的一些要点，好大家抓紧时间消化，

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32.课件32 数学强化班第十四讲 （2）

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