31.课件31 数学强化班第十四讲（1）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-5 15:44:26

哈哈哈。同学们，大家好，那么今天呢？是我们二零二四年金虎教育啊，这个广中数学应试技巧强化班的第14讲。我们在前面的第13讲呢，已经把排列组合讲完了，把概率的。事件与运算以及古典概型开了个头。那么我们今天呢，继续接着往前讲解，大家把讲义呢翻到第57页，我们看到考法二使用排列组合。求概率。

啊，讲义的第57页。我们。我们这一块的这个题目呢，基本上这个概率和排列组合，它是分不开的。对吧，而排列组合呢，又跟我们的乘法原理和加法原理密不可分，所以呢，它带有一定的综合性。那么，我们结合具体题目来给大家分析，看到第229题。某商店进行店庆活动，

顾客呢，消费达到一定数量后，可以在四种赠品中。随机的选出两件不同的赠品，那么任意两位顾客所选的赠品中。恰有一个品种相同的概率是多少？好同学们注意了，总共是有四件正品。好，四件正品呢，是他要任选两件对吧？有两个人。那么像这种题目啊，我们首先把公式摆出来，这个概率p是等于m比上n了。

那么这个n呢？表示。啊，表示。这两个人。任选每一个人都任选两件商品，两件正品有多少种不同的搭配？是不是啊啊表示？啊，两个人。分别从。四件不同的正品中。啊，选出。两件。

有多少种？啊，有多少种不同的，这种搭配方法对吧？那么我们根据。这个排列组合来首先研究第一个人，第一个人从四件正品中选出两件正品来，是不是直接是c四二啊？对吧？c四二这是个组合数。然后我们再看到第二个人，第二个人从四件正品中再选出，也是选出两件正品出来，他也有c12种不同的方法。那么这两个人啊，

每一个人选正品，他都不能够独立的完成任务，他们合起来才能把这个啊选正品的事完成，所以呢，由乘法原理是不是应该相乘呢？c是二×c是二。我们c12呢，是等于六对吧？六×6是等于36的对吧？也就是说n是等于36种不同的方法。那么刚才呢，把我们这个概率公式中的m比上n的mn求出来了，那么接下来我们来去求m。那要去求m，首先是不是得搞明白这个m表示什么意思呢？

对不对m表示满足特定要求？好，它是满足。满足特定要求的情况有多少种？那我们现在就要问了。什么叫做特定要求呢？对吧，要把这个特定要求要搞清楚。这个特定要求是指。两个人恰好有一件赠品是相同的。是不是两个人？恰有。一件。啊，恰有一件赠品是相同的。

那么，我们依然是用排列组合的方法，首先从四件正品中选出一件正品来，作为两个人相同的那个正品。对不对？然后再从剩下的三个赠品中选出啊，选出两件来。啊，选出两件来，然后这两件呢？分给这两个人对吧？分给这两个人，这两个人恰好啊，一人分一件是不是还有个排序的问题啊？有个c三二是选错了l2是排序。

所以呢，根据乘法原理，可得m是等于c4要乘以c三二再乘以a二二，它是要等于四×3。再乘以二对吧？它是等于24。也就是说，满足特定要求的情况是有24种，那么代入我们的古典概念公式p=m比上n，它应该是等于24。比上三十六分子分母，同时除以十二应该是等于三分之二，因此这类题目正确答案选择一选项。好，这是第229题。

下面我们看到这个题啊，我们做一个举一反三的训练啊。好举一反三如下。我们把这个赠品的件数啊，变多一点，把这个人也变多一点，对吧？所以它有。啊，方向一。啊，方向一。把正品。对吧，把赠品变多。

好方向二。把人数。啊，变多。好方向三。把正品。把赠品和人数。啊，都变多。对吧，也就是说咱们要去做举一反三的话，是不是就主要就这三种方向，对吧把？来，我把它框起来吧。

第一种改变的方向啊，第一种举一反三的方向呢，是把正品咱们把它变多啊，我待会来跟大家来改数字。我用红笔来写啊。原来他说有四件正品，对不对？啊，这个赠品为。好正品呢，他说有四件，那我把它改成改成六件好吧？把这个赠品改成有六件，然后其他的不变，然后从六件赠品中随机的选出两件赠品来，

那么也是有两位顾客。是不是啊？也是有啊，正品有六件啊，选两件。啊，选两件有两人啊，有有有人是两个对不对？好有两个人。这是它的核心要件啊，正品有六件啊，任意选两件，有两个人每人对吧每人？啊，每个人。

对吧，每人选两件，有两个人那么求概率，对吧啊，恰有意见相同。啊求。恰有。一键。求恰有一件相同的概率。对吧，来咱们一块儿来写啊，用蓝笔来啊，咱们用蓝笔来去写这个那首先啊，这个p是要等于m比上n的。对吧，

这是我们的第一个要领啊，第二个要领呢是这个n表示从啊表示这两个人从六件正品中啊，分别选出两件来。对吧，分别选出两家来，有多少多少种不同的搭配，那是不是应该是c六二×c六二对吧？c六二是等于。15的15×15=225唉，我们注意了，这地方它后面还可能要约分的，所以我就直接写成15×15就不写成225了。明白吧好，我们下面来看到圈三。哎，

我们现在求这个MM表示什么意思呢？m表示满足特定要求的情况有多少种？那么什么叫特定要求呢？特定要求就是。这两个人选出来的啊，这赠品两每个人这两个人每个人分别选出两件赠品，恰有一件事，赠品是相同的。对吧，所以我是先从六件正品中啊，选出一件正品来，作为两人相同的正品，然后再从剩下的五件正品中选出两件来。对吧，选出两件来，

然后啊，一人分一个对吧，在所以在分的过程中还有一个排序a二二。啊，咱们计算一下啊，它应该是等于。这应该是等于六×10再乘以二对吧？六×10×2是等于等于120。它等于120好，这个运算的过程，所以草稿纸我把它擦掉，所以呢，我们啊，我们求出来的这个。求出来这个概率p是等于一百二十，

这边是十五乘以十五注意了啊，十五乘以八是等于一百二十的，所以约个分，它是等于十五分之八。对吧，我们把正品变多啊，把原来的四件正品变成了六件正品，那么这个题目它的概率就变成了十五分之八。那么，这道题目啊，还可以有第二种改变的方法方法，对吧？就是把这个人数变多。那正品呢？还是那么多正品，

对吧？而这这个正品。那这个啊，正品有四件。啊，还是每人。啊，每人选两件好，这个时候有几个人来呢？我们改成有三个人对吧啊？依然是求。求恰有。一件正品。啊求恰有一件赠品相同的概率啊，这三个人只有一件赠品相同的概率好我们。

一起来分析一下，首先啊，第一个啊公式摆出来p要等于m比上n第二步来去求n，这个n表示表示三个人分别从四件正品中选出两件正品来，有多少种不同的搭配？对不对？首先啊，我们分成三小步，第一小步从四件啊，第一个人从四件正品中选出两件正品来是c12啊，第二小步。啊，就是第二个人从事件对比中选出两件呢，也是c12第三小步，第三个人从事件对比中选出两件也是c12对不对？

所以它是等于六×6×6。对吧好，我们看到圈三再去求m这个m表示什么意思呢？表示满足特定要求的情况有多少种？什么特定要求呢？就是三个人。选出啊，每个人选出两件正品来，恰有一件正品是相同的，那么我们可以从四件正品中先选出一件正品来，我们从四件正品中选出一件正品来作为他们。相同的正品对吧？然后再从啊三剩下的三件正品中任意的选啊，选出三件来就是c三三了，对不对？

其实就只有一种了。然后这三件正品呢，分给这三个人，每个分这一个是不是有个排序的问题啊，所以是a三三，它应该等于四×1再乘以六对吧，它是等于24的。它是等于24的，那这样的话，我们求出来它的概率p=m比上n，它是要等于24比上六×6×6好，我们在这边呢。约一个分。我们约个分，这边一约掉啊，

约掉六这边是四啊，约掉六这边是一再约掉一个。你看这个三呃六六三十六对吧？你约这边就是九四九三十六，所以它应该是等于九分之一。对吧，只把人数只把人数增加，赠品不增加，那么这个就变成了九分之一好，我们现在把这个题目呢？再变更复杂一点，这个正品。那好，我们看一个啊。我们把这个。

都变多了。好算了，直接用手写吧。好，我们现在呢是？啊，正品。有六件。每人。选两件。好，现在是。有三个人。求恰有意见。啊，

求下有意见相同的。啊，这个概率。我们把核心步骤呢，给大家写一下。首先第一步把公式摆出来p是等于m比上n的好，第二步求nn表示这三个人分别从六件赠品中取出两件来，有多少种不同的取法应该是。c六二×c六二×c六二是等于15×15再乘以15的。对吧好，然后我们再看到圈三。选三呢是啊，是求MM呢表示恰啊，满足特定要求的情况对吧？满足特定要求的情况有多少种？

是不是啊？好那么这个那么这个m呢？它表示满足特定要求的情况有多少种？这种特定要求是指恰有一这三个人恰有一件赠品是相同的，对吧？所以我首先从六件赠品中选出一件来。作为他们相同的赠品，然后再从剩下的五个赠品中选出三件赠品来，对吧？剩下的五。五件赠品中选出三件赠品来啊，先选选了之后再把这三件赠品分配给这三个人，每个人恰好分的一件。是不是就是有个a三三了，然后我们计算一下，

这边是等于六×10再乘以六？对吧，好，不要把它乘出来了，那么下面呢，我们记约一下分就可以了p=m比上n应该等于六×10再乘以六。这边是15×15，再乘以15好，我们约分。呃，这边呢？这个60对吧？六×10是60，60是15的4倍好，这边就是一了好，

这边再约一下分。啊，这个约掉一个三对吧？这边剩下二约掉一个三，这边剩下五，所以分母呢是等于五×15是75。而这个分子呢，是二乘四等于八，它是等于七十五分之八。好，这个问题呢，咱们就解决了。好同学们，下面呢？我们看到第。

230题。这一道题目呢，他说公啊，公司呢，有九名工程师张三呢，是其中之一，从中任意的抽调四个人。组成公关小组包括张三的概率是多少？首先第一步。啊，概率公式摆出来p是等于m比上n的。我们看n表示什么意思？n表示，从九名工程师中任意的选出四个人来，有多少种不同的选法，

对吧？从九人中。啊，任意的选出四个人。有多少种？有多少种不同的选法？那这很简单，就是一个组合公式，对吧？c九四它是等于九×8×7×6。除以一乘，以二乘，以三乘，以四。呃，

其中二三得六。啊，跟这个六约分约掉四跟这个约掉还乘以二对吧？所以我们写出来注意啊，不要把它乘出来了，它是等于九×7×2。啊，方便我们待会约分。好，下面我们看到第二步。啊求m。那这个m表示满足特定要求的情况有多少种对吧？呃，这个m表示什么呢？表示从。

啊，表示。选出。啊，选出张三。对吧，先选出张三来。啊在。再从。再从剩下的。八个人中。选出三个人。有多少种不同的选法？好，那么我们再用啊，

这个排列组合的相关知识来去求解这个m，首先选出张三来是c幺幺，这有一种方法。再从剩下的八个中选出三个来，对吧？是c八三，它应该是等于一乘以，这边是八×7×6，这边是一×2×3。对吧，这个二三得六，这个分母是不是就跟这个六个约分约掉了？那么剩下来的应该是等于。八×7。啊，

所以呢，我们就可以得到这个概率p是等于八×7比上九×7×2。对吧，这七一约分对吧，这个二跟八约分是四，所以它是等于九分之四，因此本题正确答案。选择4d选项。那么像这样的题目呢，我们还可以做一个啊，这个举一反三。我们说。啊，有九名。好有九名工程师。

啊，这九名工程师呢？包括甲乙丙。然后现在是从中。任选。对吧，从中任取四人。则则至少。啊，这至少包含甲乙丙。中的。两个人的。概率。为多少？对吧，

也就是至少要包含甲乙丙都那两个了。那么同学们。我用蓝色的笔来写这个过程啊。第一步。p是要等于m比上n呢，我们求出这个n对吧？这n表示。从。九个人中。啊，表示从九个人中呃任选四人。有多少种？对吧，表示从九个人中任意的选出四个人来，有多少种不同的方法？

那么，我们用组合公式n应该是等于c九四，它是等于九×8×7×6。比上一×2×3×4，我们刚才已经约过分了，它是等于九×7×2的。第二步。求m。那么，这个m表示什么意思呢？这个m表示满足特定要求。对吧，表示满足特定要求的情况有多少种？那么，这个特定要求好同学们，

这个特定要求咱们怎么去啊？咱们怎么去？求这个问题对吧？这个特定要求是。啊，是至少包含甲乙丙中的三个人。是吧，这是它的特定要求。那么，我们把这个特定要求呢？可以考虑先考虑它的对立面。它的对立面是什么？它的对立面是啊。你说至少包含至少包含两个人对吧？至少包含甲乙丙中的啊，

这个两个人。至少包含甲乙丙中的两个人，我们看看它的对立面是。啊，它包至少包含两个，就是两个或者三个，它的对立面是零个啊，不包含啊零个一或一个或者是两个。是不是诶？零个或者是一个。这样的话，好像考虑对立面，也并不是说嗯，很很快是不是比如说他说至少包含甲乙丙中的一个人？那我考虑它的对立面就很快了，

那就它的对立面就是一个都不包含，所以说同学们注意了，这里面呢？我如果考虑它的对立面的话啊，就是。有两种情况对吧？它的对立面第一种情况呢是？啊，不包含甲乙丙。对吧，选错的人不包含甲乙丙。啊，选错的人不包含甲乙丙。这是。第一种情况，

第二种情况呢是？选错的人。恰好恰好包含。甲乙丙。中的一个人恰好包含他的一个人。是吧，就包括这两种情况。那么，下面我们来看，如果选出的人啊，我把这边稍微往这边挪一下啊。那如果选出的啊，这个。它不好，不包含。

是吧，它不包含甲乙丙，那么说明什么呢啊？它不包含甲乙丙，说明选出的四个人只能从甲乙丙以外的六个人中选出四个人来，是不是直接是c六四啊？对吧，总共九个人对吧？把甲乙丙三个人排除掉，是不是有六个人了？从六个人中任意取四个人了c6呃四是要等于c六二的c六二呢？是等于六×5除以。一×2=15。对吧，有15种方法。

那我们下面呢？我们看到第二种选出的这个选出的这个。这个四个人中恰好包含甲乙丙中的一个人。那么，到底是哪一个人呢？我不知道，对吧？所以呢，首先我们得从甲乙丙中啊，从甲乙丙三个人中选出一个人来，恰好选出一个人来。选出一个人来之后，我还我总共要选四个人呢，我是不是还得额外的再选出三个人来，那么那三个人只能是从。

甲乙丙之外的六个人中，选出三个人来，所以是c3幺乘以c六三。是吧c3幺呢？是等于三的c六三呢？是等于20的对吧？六×5×4÷1×2×3=20。那么，这边计算出来是等于60。啊，所以它的对立面的情况有多少种呢？它的对立面的情况啊，这个对立面的情况是15+60。是等于75的。那么，

咱们再还原回来对吧？还原回来的话，这个m。是不是应该是啊？注意这个m应该等于啊，我在这下面来写啊。还原回来。这个m是不是应该等于总共的情况啊？看来这地方呢呃。我们把这边的得。求一下啊，这边是七九六十三乘以，二是等于126的，总共是有126种，对吧？

总共126种，减去它的对立面60种是等于66种。所以呢，这样的话，我们求啊，概率p的时候啊p=m比上n，它是等于66。除以100。26对吧？我们约个分。哦，这应该是一百二十二三都有126对吧？约个分，这边约掉六是11，这边是21，

所以呢，它是等于21分之。11对吧？好，这个运算呢，大家可以自己算一下，我主要是跟大家把这个思路疏疏通一下啊。这是第230题，以及它所对应着的举一反三，下面呢，我们看到第231题。第231题呢，他说在十道备选试题中甲能够答对其中的八道题目啊，注意啊甲呢是。啊，

十个题目。啊，十个题目呢，是它能答对啊，它能答对八个题。对吧，还有两个题目，他是答不对的。那乙呢？是十个题目中呢，它能答对六个题。啊，他答不对呢是。四个题嗯，若某次考试呢，

是从这十个备选题目中随机的选出三个题目来。啊，做过考题啊，至少要答对两题才算合格，在甲乙两人都及格的概率，首先同学们注意了我们。啊，这道题目啊。啊，它应该是等于。甲啊，及格的概率啊，乘以。比一。及格的概率对吧？

甲及格的概率乘以乙及格的概率。是不是要求这个对吧？我们先把目标先锁定出来，好下面呢？我们看一下。那么，这个甲几个的概率？好，我们看一看啊，甲及格的概率。那我们应该甲及格的概率的话，是不是应该等于对应的m比上n对不对？是不是啊？那么，这个n表示从十个题目中。

啊，任意的选出三个题目来。是吧，任意的选择三个题目来看，它有多少种不同的区法，所以应该是c13。那么，它至少要答对两个题目，那那这个这就是我们求的这个分母啊，它的分子呢，是符合要求的情况，有多少种符合要求的情况啊？啊，是什么意思呢？是至至少要答对两个题目。

它又包括两种情况，第一种情况呢，是恰好答对两题。对吧，第二种情况呢，是恰好达到三题，如果是恰好达到两题。对吧，恰好到那两题应该从八个题目中选出两个题目来，然后从剩下的两个题目中选出一个题目来，对吧？啊好，第二种情况呢，是恰好答对三个题目，应该是从八个会做的题目中会答对的题目中选出三个题目来。

对不对？好，那么咱们运算一下，这边应该是。c八二啊c八二是等于56的五啊c八二乘以啊c八二×c二幺。56啊，我刚才把这个运算过程写下来啊，它应该是等于八×7÷1×2再乘以二加上啊，八×7×6比上一×2×3。是吧，好，然后我们看这个cycc 13是等于十×9×8比上一×2×3，咱们运算一下。这边一约分是八×7，这个一约分是八×7，

对吧？所以它是八×7再乘以二。好，我们看这边呢，我们约一下啊，这个二跟这边约掉，还剩下一个五，这边一约还剩下一个三。所以它是等于五乘以啊，五乘以啊，三×8对吧，这个八又可以约分约掉，所以的分子是五×3分母是七×4，所以应该是。十五分之十四对吧？

也就是说甲及格的概率还是蛮高的，是十五分之十四。那么下面呢？我们再来看这个一及格的概率，一及格的概率也是m比上n对吧？分子比上分母，那么这个分母。表示从十个题目中任意的选出三个，三个题目来，对不对？所以是c10选三。啊c10选上。好，然后呢？我们再看到这个分子啊，

这个分子呢？是啊，表示满足特定要求的情况有多少种啊？什么特定要求呢？就是一至少要达到两个题目。对吧，一至少要答对两个题目，它包括两种情况，第一种情况呢啊，一恰好答对两个题目啊，一个题目答错，所以呢，应该是。c6从会从能答对的六个题目中选出两个题目来，然后从剩从剩下的四个答不对的题目中选出一个题目来，

这是第一种情况。第二种情况呢，是乙啊，恰好能够答对三个题目，也就是说从六个人做对的题目中选出三个来，对不对？这样的话，一加总起来就可以了。啊，其实这个分子我们是不是既用到了乘法原理，也用到了加法原理，对不对啊？整体上是一个加法原理啊，在局部我们用用到了乘法原理。好，

我们把这个运算过程写一下c六二是等于六×5÷1×2c4，要是等于四的对吧？然后这个c6。啊c六三啊，它是等于六×5×4÷1×2×3，那么这个c13我们前面跟大家说过了啊，还是把它写一下啊？十×9×8÷1×2×3来，咱们运算一下这边呢是？约个分，这边是二对吧？这个约一个分啊，跟这个六约个分啊，所以呢，这个我们这边也可以约一下啊，

这个约一下是五。这分子这边约下是三。好同学们，我们继续往后算这个分子啊，注意这个分子呢是六×5×2。六×5×2是等于六十六十，加上五×4等于二十六十，加上也就是60，加上20是等于80的，对吧？这是分子，那么分母呢是？哦，五×3再乘以八诶，我又可以约分了。

你看五八四十四十啊，跟这个八十的一约分是不是还剩下一个二，它是等于三分之二的？也就是说，一它及格的概率是三分之二，那么这样的话，我们是不是就可以得出来啊？这个假设我们的目标是x这个x是不是这两个概率相乘就可以了？它等于十五分之十四再乘以三分之二，对吧？它是等于四十五分之二十八。45分之。28所以这个题目啊，正确答案选择a选项。这一道题目呢？

大家把它搞懂就啊，搞懂就好了啊，这种结构呢，像这种题目它要去改变的话，也就是把这个题目的数量做一些变化而已了，对吧？它的这个整个解题的框架应该是不会发生什么变化的，下面呢，我们看到例232题。好，我们看到例232题。将两个红球和一个白球随机的放入甲乙丙三个盒子中。啊，注意了，他没有说这两个红球到底是不是相同的球，

他没有说同还是不同，我们一般都默认为它是不同的球，除非他指出来明确的指出，除非他明确的指出来是相同的球。明白吧啊，除非他明确的指出呢，是相同的球，如果他什么都不说，那么我们就把它默认为不同。好，下面呢我们。看来这道题。第一步，这个p呢是要等于。p是要等于m比上n了。

对吧，首先我们研究这个n表示什么？这个n表示把三个球放入甲乙丙三个盒子中，有多少种不同的方法？啊，把三个不同的球。啊，放入。三个盒子中对吧？放入甲乙丙三个盒子中。好有多少种？多有多少种方法，那么这就是个简单的乘法原理，对吧？第一第一小步，

我把第一个球往甲乙丙三个盒子中放，所以有三种方法。第二步，把第二个球放进去，是不是也是有三个方法对吧？第三，第三，小步把第三个球往甲丙三个盒子中放，也是有三种方法，所以是三×3。乘以三对吧？我们这个它是等于27的。好，下面呢我们。求这个分子m。

那么，这个m它表示满足特定要求的情况有多少种？对吧啊，它的特定要求是什么呢？它的特定要求是一盒中至少有一个红球。是吧，一盒子中对吧？一盒子中至少有一个。啊，至少有一个红球。的方法。有多少种？那么，同学们注意了，这个我完全可以考虑它的对立面，

因为它说啊，一河中至少有一个红球，那么我们考虑它的对立面。它的对立面是。一盒子中。没有红球。对吧，一盒子中没有红球，那我就先来放红球对吧啊，第一个红球我们放下去对不对，第一个红球放下去。有多少种啊？是不是可以从甲和丙中选一个盒子啊？有两种方法，第二个红球放进去，

我是不是也只能从我也只能从甲和丙中？任意的选一个盒子放进去，有两种方法，对吧？这是第二小步，第三小步是把这个白球放进去，白球放进去的时候，因为它没有任何限制，是不是甲乙丙？三个盒子中任意选一个，所以是22×3对吧？二×2×3啊是等于呃，当然这地方呢，我们也可以，其实可以不算，

对吧？我们这地方这个27也可以不算出来。明白吧，这样的话，我是不是就可以得出来？啊，你要算的话也行，对吧？你像上面三×3这数字不大，一眼就能看出来对不对？这边是三十一十二对吧？那么这个我们求这个m这个m是不是应该等于总共有27种？减去对立面12种是等于15种，那么我们这个概率p要等于m比上n是要等于15比上27分子分母，同时约掉三应该是。

啊，同时约掉三。啊啊，应该是等于九分之五对吧？九分之五，所以这个题目正确答案选择四d选项。我们一般呢，看到至少的时候啊，有一种直觉可以是否从它的对立面的角度来考虑这个问题。对吧，好那么这是第232题，下面请同学们看到第233题。这道题目呢，他说从五名管理专业，四名经济专业和一名财管专业中啊，

这个学生中呢，随机的选出。啊，一个三人小组，这三人小组中各个专业有一名的学生的概率为多少p？首先第一步把。这个古古典概率公式摆出来，它是要等于m比上n的，那么这个n表示什么意思？好来看一看总共有多少人，五个管理专业。四个啊，经济专业一个，财管专业一加总起来是不是有十个人呐？对吧？

有十个人，所以这个n表示什么呢？表示。嗯，表示从十个人中选出，表示从十个人中选出三个人来，有多少种不同的选法？好从十个人中。选出三个人。有多少种？从十个人中选出三个人来，有多少呢？不同的选法对吧？那么我们计算一下这个n是不是应该是等于c13它计算它是等于？十。

乘以。九×8比上一×2×3。好，我们看一看啊，这边约还剩下三，这边约还剩下四，所以它是等于三×4×10。好，我们下面呢去求m。好，这个m表示什么意思呢？这个m表示的是满足特定要求的情况有多少种？什么特定要求呢？就是三个专业各选一人。对不对好？

从三个中专业中。各选一人。有多少种不同的选法？啊，从三个专业中各选一人，有多少种不同的选法？好，那么首先从五个从从这个呃五个管理专业中选出一个人，有五种方法从。这个经济专业中选出一个人有四种方法，从一名财管专业中选出一个人有一种方法，对吧？所以有乘法原理可得应该是五×4乘，一是等于啊，直接写成五×4×1也可以。

对吧，我们待会约分了。这样的话，这个概率p=m比上n，它要等于五×4×1比上三×4×10。对吧，好那么同学们这边四。啊，跟这个四约分约掉五跟这边约掉还剩下二，它是等于。六分之一对吧？所以这个题目正确答案选择一选项，那这。你看这样的题目是不是其实挺简单的？好，

下面请同学们看到第234题。好，我们看到第234题。这边有。有十名网球选手对吧？在十名网球选手中呢，是分为啊。十名网球选手中啊，有八个普通的成员，对吧？有有两个种子选手。然后呢？现在呢？要把它分成两组，每组五个人，

则两名种子选手不在同一组的概率为多少？对吧好，我们首先把框架写出来，第一步p是要等于m比上n的，那么这个n表示什么意思？n表示。把十人分成。啊，平均分成两种是不是啊？啊，十个人。啊，平均分成。两组。有多少种不同的？

把十个人平均分成两组，有多少种不同的方法？那这就是我们。打包寄送法里面只需要用打包了，对不对？所以这地方我们直接使用打包。那么，十要等于五+5对吧？那么这样的话，我们对照式子写，结果c15×c五五。由于它有两个相同的五，所以要除以AR进行消去，这边c15是等于十×9×8×7×6。再除以一乘，

二乘，三乘，四乘，五，对吧c五五是一好，这个分母里面a2是二，我们再来约个分。这边是二三得六。好跟这个六九约分约掉了好四，跟这边约掉，还剩下一个二对吧？五跟这边约掉，还剩下一个二啊。啊，咱们计算继续计算啊，

它是等于它是等于二×9×2×7。对吧，乘以一就没有了，再除以一个二啊，再约个分，它是等于啊，它是等于二×9再乘以七的。对吧集。即n啊，它要等于二次啊，我们从小到大写啊，也就说这n是等于。等于九×7×2。啊n是等于这一个。好，

这是我们的第一步。好，那么下面呢？我们看到第二步。第二步呢，是去求m，那么这个m表示什么意思呢？表示满足特定要求的情况有多少种？它的特征要求是什么？表示啊，表示这个两名种子选手不在同一种。是吧，表示啊两名。啊我我也可以这么理解两名种子选手啊，不在同一组那那那就是一人一组了，

对不对？说说明那我是不是可以这样理解啊，表示把把八个普通的人对吧？把八个人。平均。平均分给。两个。啊，平均分给。啊，平均分给。两名。啊，平均分给两名中子选手。有多少种？

不同的。方法，那我们前面在去学排列组合的时候可能也讲过，对吧？把n个不同的物品分给m个人，每个人至少分得一个。是不是用打包计算法，所以这个题目同学们注意了啊，写了这一步，它既有打包也有寄送打包。啊，就是八=4+4对吧？四+4好对照式子写，结果这边应该是。啊c八四×c四四再除以a二二，

然后我们计算结果应该是等于八。八×7×6×5。除以一乘，以二乘，以三再乘，以四啊c4设是一好注意了，这个AR是二。对吧，咱们计算一下。这边呢，是二三得六跟这个六约分约掉了，好这个四跟这个约掉，还剩下一个二。对吧，所以是二×7×5啊，

再除以一个二，那不就是七×5了吗？所以这边是七×5是不是？这是打包。那么下面呢？我们再看到啊，我们再看到这个啊计算。这个寄送呢，就是把两名啊，就是把这两个选手啊，把这两个就是我们分成的两个包裹寄给这两个种子选手，是不是？就是AR 2一个排列，一个排队的问题了，对吧？

也是二那么根据乘法原理，可得根据乘法原理，可得。对吧，所以呢，打包的总数乘以计数的总数，所以这个m对吧，这个m应该是等于啊，应该是等于七×5。七×5啊，再乘以二。七×5再乘以二，这样的话，我们是不是就可以得出来？我们就可以得出来这个p。

是等于m比上n对吧？m比上nm是等于七×5×2，这个n呢？是等于等于九×7再乘以二。我们约个分，你看这里面好多东西可以约掉了，对不对？七跟七约分约掉，二跟二约分约掉了，所以剩下的就是九分之五。对吧，九分之五，所以这个题目正确答案选择c选项。啊，选择c选项。

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31.课件31 数学强化班第十四讲 （1）

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