30.课件30 数学强化班第十三讲（3）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-5 15:44:08

好同学们，那么下面呢？我们看到第13讲的第三小节，大家把讲义呢翻到第55页啊，看到专题十。概率概率呢，主要是有三个命题角度啊，命题角度一呢是事件及其运算命题角度二呢是古典概型命题角度三呢是完整的概型。那么如果我们啊这个专门从这个理论的角度呢去学习这一块呢，你会发现啊，大家会发现这个很难找到。这个合适的切入点，所以呢，我们不能够啊，被这些理论的呃一些细小的概念。

和这些公式对吧？很抽象的公式所束缚，我们要把它放在真题中，放在这个可以感知的题目中，对吧？能够形成直觉的这种题目中。啊来去理解和消化，所以呢，我们通过啊这个讲义上给大家呢，已经做好归类了啊，我们看到命题角度一事件及其运算的考法啊，大家看到例。啊例，218题。哈哈哈。

在一次商品促销活动中，主持人出示了一个九位数，让顾客呢，猜测商品的价格，商品的价格呢，是该九位数中从左到右相邻的三个数字所组成的三位数。嗯，那么主持人出示的数字呢是？啊，它初始的数字呢是？五幺三五三五三幺九对吧？我们核对一下啊，这数字是不是这样的五幺三？五三五五幺三五三五三幺九好，那么它说是连续的三个数，

对吧？从左往右连续的三个数，我们看看。总共啊有。有几种不同的情况。对吧，总公司有几种不同的情况呢？好，我们来看一看啊，有五幺三。啊幺三五。三五三。啊，五三五。三五三已经有了，

所以这个要排除，对不对啊？还有五三幺。三幺九。好同学们，我们看一看这个是可以，这是可以，这是可以，这是可以，这是可以，这也是可以，对不对？总共是有。有六种。对吧，

有六种不同的情况。而我们。这个古典概型的公式p是等于m比上n的，这个n表示总共有多少种不同的情况？咱们这个题目中总共有多少种不同的价格呢？总共有六种不同的价格。那么，这个m表示什么意思呢？这个m表示符合特定要求的情况有多少种？什么叫做符合特定要求呢？就是啊，这个数字是商品的价格，因为商品的价格是一个给定的值，对不对啊？所以这个m是不是只有一种情况啊？

对吧，因此这个p啊，这个概率p是等于一除以六等于六分之一，这个题目正确答案选择b选项。那么，这个d选项有一些同学啊，会错误的选择它啊，如果错误的选择它的话。是没啊，没有注意到这个n表示有多少种不同的情况，对吧？你只是把这个这一串数字，然后你看它有多少种不同的啊，多少种价格，你把它全部罗列出来了，

实际上这里面有重复的，你把这个重复的算上去。之后是不是就导致了这个n=7啊？这是不对的，因为啊，因为咱们这个n表示的是有多少种不同的情况，如果是相同的，对吧？有两种情况是相一样的。那我就只能算一种了，明白吧？好，这是第218题，这道题目呢，实际上是一个非常简单的题目，

但是它有一定的陷阱啊，这种陷阱呢，主要源自于很多同学没有准确的把握排列组合概率。啊，它的一些定义和要求好，下面呢，我们看到d。啊，我们看到例219题。某产品呢，需要经过两道工序才能够加工完成，每道工序呢，合格的概率是相等的，则产品合格的概率p是大于零点八的。那么，

什么叫做啊？产品合格呢？产品合格的意思是指第一道工序是合格的，并且第二道工序也是合格的，对吧？我们同学们注意了。啊，我们设。我们设第一道工序。啊，第一道工序。第一道工序合格的概率为p1。啊，第二道工序合格的概率，我们说过p2。

好第二道工序啊，合格的概率为p2。对吧则。该产品。啊，其实这道题目呢，有个暗含的，有个隐含的，这个假定对吧啊，这个隐含的假定就是这两道工序是必须独立的。两个工序合格啊，合格与否是相互独立的。则该产品。啊，这个产品。

啊，它合格的概率为。p是等于p1×p二。对吧，那么同学们注意了这道题目呢？所以呢，这个结论。那原结论等价于原结论说的是p要大于零点八，它等价于p1×p二是要大于零点八的。是吧，是要大于零点八的好，那么下面呢？我们看到。啊，我们看到第二步条件一，

它说每道工序合格的概率均为零的零点八一，也就是p 1=p二是等于零点八一的，这样的话我们可以得出来。p1×p二是等于零点八一的平方，零点八一的平方是约等于零点六四几对不对？零点六四几远远小于零点八对不对？它是小于零点八的，所以它是推不出结论了。这是第一步。啊，这是条件一的分析好，我们看到条件二的分析。他说，每一道工序合格的概率均为零点九，也就是p 1=p二是等于零点九的，

因此我们可以推出来p1×p二是等于零点九的平方。它是等于零点八一对吧？它是要大于零点八的，所以啊，条件二它能够推出结论来，条件一不能够推结论，条件二可以推结论那么正确，答案选择b选项。好，下面请着我们看到第220题。若王先生驾车从家到单位，必须要经过三个有红绿灯的红这个十字路口。则他没有遇到红绿灯的概率为零点一二五。首先，同学们注意了，

我们看到条件一。条件e呢，他说每一个路口遇到红灯的概率是零点五，第二个条件呢，他说每一个路口遇到红灯的。是相互独立的，既然条件二明确的指出来了，是相互独立对吧？那么说明我们在分析这道题目的时候，就不能够默认为。不能够默认为每个路口的红绿灯是啊，相互独立的对吧，因为条件中给啊，有专门有个条件去给出来，那我就不能默认它，

默认为它是独立的，明白吧？所以条件一，他告诉我们说每一个路口是红灯的概率都是零点五，由于我搞不清楚这红几个路口的红绿灯之间有没有联动关系，有没有互相影响的这种。情况，所以呢，条件一它是推不出结论来的。好，下面呢？我们看到第二步条件二，它只告诉我们三个路口的这个红灯是相互独立的，没有告诉我们。啊，

每一个路口是红灯的概率为多少？对不对？所以它也不能够推出结论来，条件二也不能够单独推出结论来。下面我们看到第三步条件一和条件二联合起来，联合起来就是说啊，这个三个红绿灯。啊，三个路口的红绿灯啊，出现红灯的概率，遇到红灯的概率是零点都是零点五，并且是相互独立的，对不对？一有独立，第二就告诉我每个路口遇到红灯的概率是多少？

他告诉我们了，那么没有遇到红灯的概率是吧？遇到红灯的概率是零点五，那没有遇到红灯的概率是不是一减去零点五啊？对吧啊，第一个路口没有遇到红灯的概率是一点零点五，第二个路口没有遇到红灯的概率也是一减去零点五。啊，第三个路口也没有遇到红红灯的概率是又是一减零点五，所以它应该是等于零点五的三次方是等于零点一二五的。那么条件一跟条件二联合起来，对吧？它是可以归出结论来的，正确答案选择c选项。好，

下面请同学们看到第221题。好，我们看到第二百二十一题从原点出发的，这点m向x轴的正方向移动，一个和两个坐标单位的概率是三分之二。和三分之一。那么这个点呢，移动三个坐标单位到达x=3的概率啊为多少？好同学们注意了它，往它它移动啊，它移动。啊，这个他一次移动两个单位，两个坐标单位对吧？他这样来的概率。

是等于三分之。它是等于三分之一的，对吧啊？它移动一次，它移动一个，这样的概率呢啊是等于三分之二的。那么，同学们注意了，我们现在呢啊，这一道题目呢？他说要到达，对吧？到达x=3的概率为多少？是吧，那么同学们，

我们这个它一到三啊，它到三对吧？它是可以这样来的，它可以是第一种情况。啊，第一种情况。它是这样的。啊，走一步。对吧，然后。再走一步对吧？然后再走一步。对吧，那这是第一类。

第二类呢是？啊，这样这样。是吧，然后再这样。对不对？好第三类呢是？这样嗯，然后这样。是吧，总共只有这三种情况。那么，对于第一种情况啊，同学们注意啊，对于第一种情况。

是不是走了三步啊？对吧？每一步呢？只走一个单位，所以它概率应该是等于三分之二。乘以三分之二，再乘以三分之二，它是等于二十七分之八的。那么，对于第二种情况，它先走了啊，两两格对吧？它的概率是三分之一，然后又走了一格，它的概率是三分之二。

咱们计算一下，是等于九分之二九分之二是等于二十七分之六的。啊，有的同学说老师，你为什么要变成二十七分之六啊？因为我要保持分母是一样的，待会我方便加减对吧？那么，第三种情况呢？它先走一步，再走两步对吧？先走一步的概率是三分之二，再走两步的概率是三分之一，所以呢，它是等于也是等于几呃等于九分之二是等于二十七分之六的。

那么，这三种情况。对吧，它是呃，互相没有重叠的，然后呢，合起来又把所有的情况都囊括进来了。所以我们要去求最终的概率等于多少？是不是应该把它相加就行了？二十七分之八加上二十七分之六。加二十七分之六是等于二十七分之二十，所以这道题目正确答案选择b选项。其实这道题目呢，就是要分好类，对吧啊，

看它要到达x=3啊，这个点位啊，有几种走法？把这个分清楚之后呢，这个计算都是非常简单的。下面请同学们看到例222题。好，我们看到例222题。题目中的结论是p啊b的b事件发生的概率是介于零点三和零点五之间的。那么，我要把这个相关的公式呢，给大家复习一下。第一个公式啊是。a×b对吧？如果AB是独立的对吧？

如果AB是独立的。那么，这个我们可以得到pab，是等于PA×PB，对吧？也就是说AB独立。那a与b独立，我是给推出来pab就是AB同时发生的概率等于a发生的概率乘以b发生的概率。反过来，如果AB同时发生的概率等于a发生的概率乘以b发生的概率，那么说明它俩是独立的。对吧好，这是第一个公式，第二个公式。是如果AB是互斥的，

同学们注意了a×b。那么，它是等于零的啊，就是说如果a×b啊，它的发生的就是AB同时发生的概率为零，说明a与b。它是互斥的，反过来a与b啊，反过来如果a与b是互斥的。那么我们就可以得到这个AB同时发生的概率是零。好，大家要把这个关系搞清楚，那么第三个公式。好，第三个公式呢是AB，

同时啊AB至少有一件啊，发生的概率它是等于a发生的概率。加上b发生的概率减去AB同时发生的概率。好，这是啊，这个基本公式啊，那么下面呢？我们看这个题。好，大家看到条件一。首先，这道题目呢，告诉我们a发生的概率是等于零点四的对吧？然后a并b也就是a+b。a+b的概率呢是等于零点七好，

它也告诉我们AB是互斥的AB互斥的意思就是说。AB，同时。发生的概率为零。对吧好，这是它给条件一，实际上给了三个小细小小小的条件好，那么第二个条件呢，我们把它展开。AB至少有一个发生的概率等于a发生的概率，加上b发生的概率减去AB同时发生的概率。啊，要等于零点七。咱们把第一个对吧？把第一个这个a发生的概率等于零点四，

把它带到这地方来。把AB同时发生的概率把它带到这地方来，这样的话我们就得到了零点四+PB。再减去零是等于零点七的，这样我们可以得到啊PB是等于零点三的。那么零点三它也是介于啊，我也是我们这个阶段的一个子集是不是啊？所以呢，它是。能够推出结论来的。条件一是能够归结论的。好，下面呢？我们看到。我们看到条件二。

那么。事件a发生的概率是零点四。啊AB，至少有一个发生的概率是零点七诶，这跟我们条件一是一模一样的，那么条件二里面的差别啊在于AB是相互独立的。啊，也就是说。啊AB。是相互独立的，那么相互独立的意思是指AB同时发生的概率是要等于a发生的概率。乘以b发生的概率。对吧好，我们把这个公式啊，用加法公式把它展开啊a和b至少有一个发生的概率，

也就a+b的概率，对吧？是等于a发生的概率，加上b发生的概率。减去a乘啊AB同时发生的概率对吧？它是要等于零点七的。那么，我们条件一呢？那条件一。啊PA=0点四直接带到这边来。是不是啊？然后呢？pab同学们注意这地方实际上还可以继续往后写啊PA是等于零点四对吧？零点四乘以。啊PB，

那么我们把这一个啊AB同时发生的概率把它带到这边来，这样就可以得到，应该是零点四。啊，加上PB。减去零点四×PB，它是要等于零点七的，那么pb- 0点4 PB是等于零点六。零点六PB要等于零点七减零点四是等于零点三的，对吧？这样的话，我们就可以求出来。PB是等于零点三÷0点六等于啊，它是等于零点五的，那么零点五对吧？

它也是我们。啊，结论的一个部分，它的子集对吧？所以它是能够推出结论来的，条件一和条件二都能够推结论，那正确答案选择4d选项。像例222题还是有一定的含金量的，对吧？它把我们这个相应的公式。包括我们解方程等等，对吧？都融入进来了，下面大家把讲义翻到第56页，我们看到第。

223题。好，这道题目呢？它说下列。下列框图中的字母呢，代表了代表元啊元件的种类字母相同，但是下标不同的为同一个元件。好，我把这个图形先给大家画出来。啊，这是ABC，这是第一第二。那么，题目呢？告诉我们说abcd各类元器件正常工作的概率分别为pqrs啊。

a正常工作的概率为p啊b是qc是r，这边是正常工作的概率是s。然后呢？这道题目还告诉我们各元器件，它们工作是彼此独立的。互不影响，对不对？这次系统能够正常工作的概率为多少？同学们注意了，我们把这个图形呢？我们把它分成三个部分，我圈起来这第一个圈圈是第一部分。好，这个圈起来第二个部分，这是第二部分。

好，这是第三个部分。好同学们，第一个圈圈，它正常工作的概率是s对吧？第三个圈圈正常工作的概率也是s，那么我们重点来研究啊，我们重点来研究中间这个圈圈。他正常工作。啊，它正常工作表示什么意思？这是一个并联的结构。好，他正常工作的意思。四四a。

BC中。对吧，至少。对吧，这个部分中间啊。啊，这个中间正常工作啊，注意中间部分正常工作的意思是指ABC中至少。有一个正常。对吧，至少有一个正常工作。那么，它的对立面是什么？它的对立面是你至少有一个正常工作，它的对立面是。

全部都没有正常工作，对吧？也就是说ABC都不正常工作。也就是ABC都不正常工作。那么ABC都不正常工作，对吧？它的概率啊，也就是说p。诶，我这地方就不用p了，因为已经有p了，它的概率为多少？啊，这个对立面，他的概率为。

它的概率为啊a不正常啊，就ABC都不正常工作了啊，都不正常工作等价于a不正常工作，并且b不正常工作，并且c不正常工作，对不对a不正常工作的概率是一减p。b不正常工作的概率是一减qc不正常工作的概率是一减去r。对不对？那么我们再把它还原回来。它正常工作的概率。啊，这个地方正常工作的概率啊，它是不是应该用一减去括号？一减p乘以一减q啊，一减q再乘以一减去r。

对不对？好那么现在我们第一个部分，它正常工作的概率是s对吧？第二个部分，它正常工作的概率。对吧，它正常工作的概率是这一个对吧，第三个部分它正常工作的概率又是s是不把它全部乘起来就可以了？对不对？把它全部乘起来就可以了。好同学们，那么我们写一下，它应该是等于s的平方乘以括号一减去一减去p乘以。呃一减去q乘，以一减去r对不对？

所以这个题目正确答案选择e选项。啊，选择e选项考试的时候，他还有可能把这个pqrs用具体的数据给我们。啊，这个第226题。啊第223题，这道题目涉及到了并联和串联。所谓并联就是啊，至少有一个正常工作，那么这个并联的整体就能够正常工作。所谓串联正常工作，是指每一个串起来的，每一个部分都要正常工作，那么这个整体。

才能够正常工作。好，大家看到第224题。好，我们看到224题这一道题目呢，它说有三个独立事件。有三个独立事件，这个pak=PK等于一二三什么意思？就是说。事件a1发生的概率等于事件a2发生的概率，也等于事件a发生的概率。它都等于p对吧？并且它们是相互独立的。那么，这三件事情不全发生的概率为多少？

好同学们注意了，什么叫做不全发生？不全发生。啊，不全发生的对立面是什么？不全发生的对立面。它的对立面是全发生。对吧，它的对立面是全发生。好其概率为。好，它的概率为全发生的概率为对吧？a1发生的概率为PA 2发生的概率也是p。对吧a3发生的概率也是p，那么它全部发生的概率是啊，

也就是p的三次方。再把还原回回来，对吧？还原回来。啊，那么不全发生。对吧，这样我是不是就给推出来不全发生的概率？是等于一减去它的对立面的概率了，对吧？是等于一减去p的三次方了。它等于一减去p的三次方。啊，它等于一减p的三次方。好同学们，

我们发现这个选项中呢呃，并没有并没有一减p的三次方。是吧，并没有一减p的三次方，这一个选项。你看这个a选项，这个b选项，这个一选项，这明显不是一减去p的三次方。是吧，明显不是一点p的三次方，那么下面我们再来看一看c选项。那么，这个c选项呢？它是什么呢？

它是一减去p的。三次方。啊，加上3p。啊乘以一减去p。我们在这个地方呢嗯，看一看这c选项。跟我们啊，也就是红色笔圈的这一块，它是不是一样的？它经过恒等边形之后，到底是不是一样的？是吧，来我们一起来看。这边啊，

要么我就直接把它展开吧。对吧，可不可以我们直接把它展开，看能不能合并同类项？来，我们把这个直接展开合并同类项，看看这边计算一下，它是等于啊，它是等于一。二一。啊一的三次方。是吧，一的三次方加上负p的三次方。然后再加上三乘以一乘以负p再乘以啊，再乘以这两个相加就是一减一，

加上负p就一减p了，对吧？好，然后再加上。再加上三p乘以一减p，咱们计算一下，这边是等于一减去p的三次方。好，这后面呢是减去三p呃，乘以括号一减p，再加上三p乘以括号一减p。我们发现了什么呢？这个你减一个加一个，那不就抵消了吗？对吧？

所以它最终呢？呃，它其实就是等于一减p的三次方。对吧，所以c选项它就是正确答案。是吧c选项就是正确答案。那有的同学说老师呢？那这个呃d选项呢？好，我们把这个d选项呢？也给大家呢？把这个。啊恒等变形给大家操作一下，注意这个题目正确答案就选c了啊。好，

我们再来研究一下啊，研究一下这个d选项。d选项呢？它说。3p×1-p^2。啊，加上。加上三p的平方啊，乘以一减p。嗯。我们这边呢，可以得到这边是三p啊，乘以括号一减去二p，加上p的平方。啊，

加上3p的平方啊，乘以呃。括号一减p，我们再把它展开，这边是三p减去六p的平方。加上3p的三次方，加上3p的平方，减去3p的三次方。好，我们来划一下讲。这个啊，加一个3p的三次方跟减一个3p的三次方，是不是就抵消了？对吧？好，

我们看看啊，这边减个6p的平方，加上一个3p的平方。那么就变成了减去合并同类项，变成了减3p的平方，所以最后的结果就是3p啊，减去3p的平方。对吧，化简之后是三p减去三p的平方啊，它不等于它不等于一减去p的三次方，对吧？我们的。呃，我们的正确答案应该是一减去p的三次方，对吧？

它是一个p的，它有p的三次方，你看这地方连p的三次方都没了。是不是所以这个这个d选项肯定是要排除的？其他的像这个ABC啊啊，像这个a be啊，就很容易排除了。你看这道题目呢，它悄悄的考了一个恒等变形。好，这是第224题，下面请同学们看到第225题。好，我们看到第225题进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p。

这在成功两次之前已经失败三次的概率。好同学们，注意了，成功两次，之前已经失败三次，总共做了几次实验了。是不是总共？对吧，总共。啊，总共做了五次试验了。对不对？好，我们框起来，我们画五个格子。

好，我们把它。好，我们这边有五个格子。对吧，他说在成功两次之前已经失败了三次，那么最后一次肯定得成功了。是吧，最后一次是得成功了。那么前面。这四次。啊，前面这四次是不是恰有一次是成功了啊？这个前四次。啊，

前四是恰有。一次成功。对吧啊，并且第五次是成功了。看这是它的结果。对吧，那么我们来看一看啊，首先它的第前40中啊，恰有意思的成功从40中选出一出来，让它成功。那么，成功意识的概率是p。对吧，那么失败意思的概率就是一减p，总共要失败三次，

所以是啊，乘以一减p的三次方。好，这是对应的。那这个前四次对应的，它那么第五次啊，同学们注意了，这个对应的是多少呢？啊，他还成功是吧？乘一个p啊，对吧？所以我们y一下减。由于啊，由于这个c4要是等于四的对吧，

所以呢，它应该是等于四×p^2。再乘以一减p括号的三次方。因此，这个题目正确答案选择a选项，选择a选项。好，这是我们这个事件及其运算啊，那么结合一些对应的例题呢，大家可能更好去理解一些。其中，第225题其实这道题目呢，它有啊，它用到的这个。被努力概型对吧？

这都是我们在技术阶段的讲义上可能要做了啊，课程上给大家做了非常详细的讲解了，那么下面呢？我给点时间大家消化一下啊。大家消化一下之后，然后我再跟大家讲解古典概型啊，命题角度二古典概型。好同学们，下面呢？我们看到命题角度二古典概型，大家把讲义翻到第56页。我们这个古典概型呢，有一些常见的命题语言和素材啊，考这个我们都跟大家做了归纳，大家看到考法一投掷投掷求概率的问题。

我们通过例题来分析啊，大家看到例226题，若以连续投掷两枚投掷。分别得到的点数。a和b周围点m的横纵坐标。那么点m落在圆内的概率为多少？同学们注意了，首先我们看到第一步这个概率p是要等于m比上n了。对吧，那么这个n表示什么意思呢？这个n表示啊，总共有多少种情况？对吧，总共有多少种情况？啊，

也就是说n我们具体来说就是。n表示。这个mab。有多少这个坐标，有多少种情况？因为我们投资一个投资得到的点数，这个a是可以等于一二三四五六。对吧，它共有六种情况。而这个b呢，同学们注意了，它也是可以等于一二三四五六，也是共六种情况。那么我们。这个根据乘法原理，

对吧？它是可以搭配出来这个AB对吧？这个AB。共有多少种情况呢？是不是应该是六×6啊？对吧它是？六×6啊等于36。对吧，这个n是等于六×6×3=36的。好，也就是说啊，这个分母我们求出来了，那么下面呢？我们看到第二步。第二步求m，

那么这个m表示什么意思呢？这个m满足表示它要满足特定要求的情况有多少种？啊，表示满足特定要求的情况有多少种？我们现在来看一看这个特定要求到底是什么要求？这个特定要求是指。点m。点mab。它在圆。x的平方。加上y的平方=18内。对吧，它是不含边界的。实际上，这就是一个点跟圆的位置关系的问题。

好即。啊点在圆内，说明a的平方+b^2要小于18。对吧，这就是它的意思，当我们把这个意思搞清楚之后，我们来逐一的进行啊分类。考虑好我们第一种情况是当a=1的时候，我们带进去b的平方要小于17。对吧，所以这个b呢，可以等于一二三四。那当a=2的时候。那b的平方是要小于18-4，要小于14，

所以呢，我们这个b可以是等于一二三。啊，当a=3的时候，那么b的平方是要小于九的，我们可以得出来b是等于一二。好，第四种情况当a=4的时候，那么b的平方是要小于二的，所以我们可以得到b是等于一的。那么，当a=5的时候啊，那a的平方+b^2都已经大于18了，对吧？那就没有满足要求的，

没有满足情况的，这个b存在了。所以呢，我们看。这边呢？分了四类对吧？第一类有四种方法，第二类有三种方法对吧？第啊第第三类呢是有两种情况，第四类呢是有一种情况，一加重起来。它是等于啊，等于十种的。那么，根据我们古典概型公公式啊p=m比上n，

它是要等于十比上36分子分母，同时除以二。是十八分之五。对吧，也就是说这个题目啊，正确答案选择4d选项。这是第226题。那么下面呢？请同学们看到第227题。第227题呢？和第226题是同一类型的题目啊，只是它的题型发生了变化。啊，它的题目呢？结论是点m落在圆内啊，

包含边界啊，包含它的圆周，它的概率是四分之一。下面呢，我们看到第一个条件。第一个条件呢？它告诉我们a是等于三的。对吧a=3那么概率呢？同学们注意了，概率p是要等于m比上n，那这个n呢？表示的是。啊，这个n呢，表示的是mst这个解释点m的坐标有多少种不同的情况，

因为点m的横坐标s。是等于一二三四五六有六种情况，点m的纵坐标t，它也可以等于一二三四五六有六种情况。那么，我们根据乘法原理，可得这个n是等于六×6=36的，对吧？六×6。等于36。好，我们现在呢呃。同学们，这个题目的结论是什么？这个题目的结论呢，

它是等价于啊p是等于三十六分之m。是等于四分之一的即。这个m是等于九的，也就是说符合要求的情况有九种，那么什么叫做符合要求的情况呢？对吧啊，来我们一起来看啊，条件一它说a=3，那么这个圆的方程就变成了x- 3^2。加上y- 3^2，它是等于三的平方了，对吧？等于九。那么那么这个特定满足特定要求的情况是指对吧？满足特定的要求的情况是指把这个s把x=s。

把y=t，也就是把m的横纵坐标带到这个方程里面，它是要带到方程的左边，它是要小于右边的，对吧？所以s。减去三的平方，加上t- 3^2，它是要小于九的。对吧，我们进行分类讨论，那么第一种情况。当s等于一的时候，我们可以得出来这边。是啊，

应该是对吧？一减三的平方是四。四+t- 3^2是要小于九的，所以呢t- 3^2是要小于五的。这样我们可以得到t=1可以二可以三可以四可以五也可。五也可以。对吧啊，这就有五种情况了。好，我们看到圈二这个s=2的时候带进来，这个t- 3^2要小于要小于八。那么这样的话，我们可以解得t等于一二三四五。啊六就不行了，对不对？

那大家来看一看我们这个就有五种情况。对吧，我们这就有五种情况，我们不看其他的情况，就说这前面的啊，两类是不是一加起来是不是已经？是有十种了，这十种是不是已经大于九了？对吧，已经大于九种了，因为我们的等价结论是啊，等价结论是满足特定要求的情况有九种。对吧，那现在呢？我只约了对吧？

我们在条件一的情况下，我们只聚了两种情况，我们就发现它已经有十种，包括了十种情况了，对不对？那么说明什么？说明条件一肯定推不出结论来。是不是啊？所以条件一它是推不出结论来的。好同学们，那么下面呢？我们看到。那我们看到第二步。条件二，他说a是等于二的，

那么我们这个圆的方程就变成了x- 2^2。啊，加上啊y- 2^2是等于二的平方就是四对吧？那因为这个点m的。这个这个点m呢啊，它是在圆内对吧？所以呢，我们把点m的横纵坐标带到圆的方程的左边，就是s- 2^2。加上t- 2^2，它是要小于四的。那么，我们再分类讨论就可以了，是不是那么？第一种情况是当s=1的时候带进来。

啊一减去二括号的平方是等于一的，对吧啊？所以呢，我们可以得到t减去二的平方要小于四减一就是小于三。是吧，这样计算出来，这个t可以是等于一=2=3=4都不行了，对吧啊这？共三种情况。好，我们再看，当s=2的时候，我们带到这个，我们带到这个。好，

我们带到这个不等式里面。可以得到t- 2。t- 2^2是要小于四的，因此我们可以解得t=1=2=3。对吧，四都不行了，所以这边也是共有三种情况。好当s等于三的时候，我们把它带带进来，对吧？三减二的平方，加上t减二的平方小于四。对吧，是不是我们又可以得到t- 2^2是小于三了啊？这样的话，

我们可以解得t=1 t=2 t=3。啊啊，也是共有三种情况。对吧，好，我们再来看一看s等于四的时候带进去啊，四减二的平方啊，已经等于四了，对吧，所以？解它得到t- 2^2小于零，这是不是已经没有啊？满足要求的t了。对吧，当你s=5=6代进去都是没有满足的，

所以呢，我们实际上是不是只需要分三三种情况啊？对吧，那么这个时候我们可以推出来，这个m是等于三+3+3是等于九的。它是可以推出我们的等价结论的，对吧？我们的等价结论就是m=9，就是满足特定要求的情况就有九种，也就说条件。一不能推结论条件。二可以推结论，那这道题目对吧？按照我们的题型规则，正确答案选择b选项。

啊，正确答案选择b选项。好，下面呢？请同学们看到啊，这个第228题。哈哈哈。我们看到第228题对于连续投资两枚投资分别得到的点数a和b作为点p的横纵坐标。这点pab落在直线x+y=6啊和两坐标轴所围成的。啊，这个区域内的。概率为多少？我们把示意图先画出来。好，这是x轴，

这是y轴。这个呢，是y等于。负x+6。那么，同学们注意，首先我们看到第一步这个概率p呢，是要等于m比上n的，这个n表示什么意思呢？好同学们，注意了，这个n表示点p有多少种情况？好点p有多少种情况？那么我们前面讲过，对吧？

是不是直接使用乘法原理就可以得了？应该是a有六种情况b也有六种情况，那么一搭配起来是不是六×6=36啊？对吧n是等于36的。好，那么下面我们看到第二步求m。那么m表示什么呢？m表示，要满足特定要求。对吧，满足特定的要求啊，特定要求的情况。m表示，满足特定要求的情况有多少种？对吧，

那么有什么特定要求呢啊，这个特定要求到底是什么啊？这个特定要求到底是什么？这个特定的要求呢，是首先啊，这个a同学们注意了，首先呢，这个a啊，它只能属于是。啊，一二三四五六。对吧，这个b呢，它也属于是。啊，

一二三四五六中的某一个数。啊，并且呢，还要求。啊，还要求这个点p呢，是落在这个三角形的区域内，对不对？落在这个阴影区域内。所以呢，我们就可以得到这个b啊，同学们注意，它是要小于b，要小于负a。对吧，

把这个点p的横坐标带到这个方程里面，应该是b要小于负a，加上六。对吧b要小于负a，加上六满足这个特定要求，那么下面呢？我们可以分类计数。第一种情况是当a=1的时候，我们可以得出来b是要小于五的，所以我们可以得到b是等于一二三。三四。好，我们再来看。当a=2的时候，我们可以推出来b是要小于四的，

所以我们可以得到b是等于一二三。当a=3的时候，我们可以推出来b是要小于三了，对吧？这样的话，我们可以得到b是等于一和二。第四种情况呢，是a=4的时候，我们可以得出来b是要小于二的，所以得到b是等于一，对吧？当a=5的时候，当a=6的时候，就没有符合要求的情况了。所以我们。

啊，根据加法原理，这四类它的结果一加起来对吧？第一类有四种不同的方法，第二类有三种对吧？有三种方法。有三种不同的情况，第三类啊，第三小类有两种不同的情况，第四小类有一种不同的情况，一加起来是等于十。那么，根据我们的概率公式，这个p是要等于m比上nm算出来，等于10n算出来是等于。

啊，等于36，所以它是等于18分之。五的对吧？所以这个题目啊，正确答案选择e选项。那么，大家注意，第226题，227题，228题都是投资投资的啊，这种情这种题目啊，这种语言素材跟概率相结合的考题。啊，希望大家呢，

把这三道题目放在一块进行比较学习。好，那么我们现在再给点时间，大家消化啊，我们刚才所讲的这三道题目。

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30.课件30 数学强化班第十三讲 （3）

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