28.课件28 数学强化班第十三讲（1）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-5 15:43:14

好，各位同学，大家好，那么今天呢？是我们二零二四金湖管中数学应试技巧强化班的第13讲。我们在第12讲的时候呢，已经给大家呢，把排列组合这一块讲到了。啊，命题角度三捆绑法与插空法，也就是第197题是吧？我们这一讲呢？啊，继续接着往前推进，大家把讲义翻到第51页。

看到命题角度是打包寄送法与挡板法。那么，首先呢，给大家做一个复习。我们有两啊，有两个非常相似的问题。但是呢，它的解题思路是。完全不一样的，第一个呢叫。啊，把相同啊，我把这个。写下来啊，把n个。

把n个不同的物品。把n个不同的物品分给m个人。好要求。每个人。要求每个人至少分得一个。啊，有多少种不同的方法？那么，由于由于每个人至少分得一个，所以这边很显然n是要大于等于m的。好，那么第二个问题呢是？我们把这上面的几乎是复制下来。那么，它的区别的地方是什么啊？

它的区别的地方是？这边啊，说的是啊n个不同的物品，然后呢，现在我们把它改成。n个。相同的物品，注意，这是不同的物品。对吧，你看这两个问题是不是非常的相似，表面上对吧，这有一字之差，一个是不同的物品，一个是相同的物品。

其他的要求都是其他的地方都是一模一样的。那么，这两类问题极其容易混淆，因为它的解题思路是完全不同。那么，对于第一类问题，把n个不同的物品分给m个人，每个人至少分得一个有多少种不同的分配方法？它的方法是这样的。啊，第一步。啊，解题思路第一步是打包。打包的意思是指？把n个不同的。

把n个不同的物品。分层。啊，分成m份。对吧，分成m份。每份至少是有一个物品的。分成m份有多少种不同的分法？好，我们举例子来说，比如说这个n=4对吧？然后这个m=2，我们要把这个四个物品分成两份。那大家来看一看，把四个物品分成两份啊，

第一类是这个四对吧？它是等于一+3的。是等于一+3，也就是这两份，一个是有一个物品，一一一份呢，是有三个物品。第二种情况呢，是四=2+2，也就是把它分成两份，一份是有两个物品，另外一份也是两个物品。对吧，那么针对圈一由于物品是不同的，所以呢啊，

首先从四个物品中选出一个物品来。啊，这放在座位第一份，然后再从剩下的三个物品里面选出三个来，作为一份对吧一层？啊，那应该是等于四乘以，一是等于四有四种不同的分法。那么，对于圈二来说啊，我们首先从四个物品中选出两份来，再从剩下的两个物品中选出两个来。由于这里方有两个二，这两个二，它是没有顺序的，

对不对？两份对吧？它是分成相啊，这个平均分成两份，它是。这个这这两份呢，因为它的数量是一样的，它但是它也没有顺序，所以我要消序啊，所以要除以一个a二二。一般来说，加法式子中有几个相同的数，我就要除以a几几。好，我们计算一下c四二是等于六的。

c二二是等于一的。对吧，好a二二是等于二的，所以呢，计算出来有三种。那么根据啊，同学们注意了，根据这个加法原理，可得那么打包的方法总共是有。四+3=7。对吧，四+3。等于七种。好，下面呢我们。

再看到它的第二步。它的第二步呢？叫寄送。我们刚才呢是。啊，我们刚才呢是把n个不同的物品分成了m份，也就是分成了m个包裹。对吧，那么现在呢？是把？m份。分给m个人。对吧，把m分分给m个人，每人一份。

啊，共有。共有多少种方法？那是不是就是一个很简单的啊，在我们这个题目中对吧啊，在我们这个题目中注意了啊n=4，我们以n=4 m=2为例。这边呢？是啊，这个是m=2，也就是说把m个把m分把m个包裹分到m个人对吧？每个人至少要分得一啊，至少分得一个，那因为总共。啊，

因为总共就是m分分给m个人，每个人至少分了一个，是不是每个人恰好分了一份呢？对不对？所以把两个包裹分给两个人啊，每个人恰好的一个。那应该是a二二是等于啊，是等于二的对不对？那么这个时候啊。由乘法原理可得。对吧？由乘法原理，可得七×2是等于14的，对吧？也就说总共是有14种。

不同的方法。这就是打包寄送法，对吧？把不同的物品分配下去，每个人至少分得一个使用的方法，是打包寄送法。那么下面呢？我们再看这个第二种类型，它是把n个相同的物品分给m个人，要求每个人至少分得一个。那么，这种题目的思路是什么呢？它的思路是把n个相同的物品对吧？比如说我这个让n=4对吧？让m=2对吧？

我要把四个物品分给两个人，每个人至少分得一个，那么我们的顺路是把这四个物品一直摆开。一直摆开之后，那么它形成了啊，是这个中间啊，形成了对吧？形成了。这个三个空格。这三个空格，我只需要从三个空格里面选出一个空格来，比如说在这地方，我选出一个空格来把它隔开。插入挡板隔开。那么他就把它分成了两段，

我把第一段分给第一个人，把第二段分给第二个人有多少种，这样的插入挡板的方法。是不是就有多少种不同的分法呀？对吧？因为我把第一段分给第一个人，把第二段分给第二个人，那这个工作就完成了，对不对？所以是c3幺。对吧c3幺是等于三，也就是说只有三种不同的分法。那么一般规律是啊，它的一般的。那么把n个。

把n个相同的物品，我们一字摆开。有。n- 1个空格。对吧，把n个相同的物品一直摆开，有n- 1个空格。那么从。n- 1个空格中。啊，从n- 1个空格中，我们选出注意啦，我们的目标是要把它分成m段。是吧，咱们的目标是分成m段。

要分成m段。我是不是要从中选出m- 1个空格？对吧，选出m- 1个空格。插入挡板。我们插入挡板。那把它分隔为。把它分割成为m段。注意选m- 1个空格插入，相当于是插入m- 1个挡板，把这个一字型对吧？把这个长条形把它分成了m段。把第一段分给第一个人，把第二段分给第二个人，对吧？

把第三段分给第三个人，把第m段最后一段分给第m个人。这样就完工了。注意了，由于物品是相同的，是不是啊？所以呢，我们的。第一类型和第二类型对吧？括号一跟括号二，它的解题方法是显著区别的。那么有多少种这种选法对吧？有从n- 1个空格里面选出m- 1个空格有多少种选法就有多少多少种分配的方法。所以应该是cn- 1啊m- 1有这么多种。对啊，

有这么多种不同的方法。好，这是括号一与括号二。那么，同学们，我们现在要解决的问题啊。啊，就是说。这个括号一啊，这个方法呢，叫做打包寄送法。啊，就像邮局里面要把很多物品对吧？要把它。分类。

把它分打包，然后呢寄送去出去这个原理对吧？就叫打包寄送法。那么这这是啊，这是这个括号一那么括号二呢？这个方法呢？叫做挡板法。那么，这两类题型，它的显著区别是。物品是相同还是不同？对吧，它们俩的显著的相同点是什么？是都要求每个人至少分得一个下面。我们结合讲义上的。

例题来给大家做具体示范。好，大家看到。第198题。啊，在讲义上的第51页。他说，三位教师分到六个班级，其中一个班要教一，其中一个人教一个班，一个人教两个班，一个人教三个班，这共有多少种不同的分配方法？其实这道题目是相当于是。把六个班要分给三个老师，

每个每个老师至少分对一个，是不是啊？并且呢，其中一个老师，一个老师要分一个，一个老师分两个，一个老师分三个。好，我们这样来做。第一步啊，这个问题是。第一步。展现打包。啊，把六个它实质上是要把六个半对吧？

把六个班级。分给三个老师。啊，其中。一个老一个老师分一个。好一个老师呢，分两个。还有一个老师呢，是分三个。对吧，有多少种不同的分配方法？所以我们看到这个六分解的时候，只能分解成为一+2+3，对着这式子写结果那c6幺。乘以c从剩下的五个中再选出两个来，

再从剩下的三个中选出三个来。由于这里面一二三都是不一样的数字，所以呢，不需要再除了对不对，不需要消去了，所以这边应该是六×10×1，它是等于60的。也就是说，打包总共使用60种不同的方法。好，下面我们看到第二个。第二步是计算，我们把这啊，因为你现在分成了把这六个班级分成了三份，对吧？

或者说分成了三个包裹。我们把这三份啊分给三个老师，每个老师恰好分在一份。是不是啊？这样的话，我们是不是直接计算直接就是a三三了？三个啊，三个包裹或者三份啊，三份把它。分给三个人，每个人恰好分了一份，那么这个时候啊，它是有排序的a三三=6。好根据乘法原理，可得应该是60×6，

它是等于360种的，对吧？因此这个题目。正确答案啊，正确答案选择b选项。那么，对于这一道题目，我们做一个举一反三。好，我们做一个举一举一反三。啊说。啊，三位教师。分配到。六个班级。

每个教室。至少叫一个班。则有多少种？有多少种不同的分法？对吧，那么这个问题同学们注意了，我们要做一个等价转化，它等价于。好同学们注意了。这个问题，它等价于。把六个班级。分给对吧？把六个班级分给三个教师。每个教师。

至少分得。对吧，每个教师至少分的一个班级。这样的话，是不是就分配？这样就是一个我们。模型上的典型的分配问题的表达方法啦。对不对？好，这样的话，每个教室至少分的一个班级有多少种不同的分法？那么这个时候我们就可以用打包计算法来去做了第二步。首先。我们打包对吧？打包呢是把？

把六个班级。分成三份。那么，它有这样的几种方法，第一六可以写成一+2啊，可以写成一+1+4。对吧，也就是说分成了三份啊，有两份是只有一个八了。对吧，还有一份呢，是有四个班了。好，第二种呢？是一+2+3。

注意了，我是往这后面往前再挪动的，对吧？四啊，往前挪一个给给这个一啊，我在挪的过程中。为了防止出现重复，对吧？所以呢，我要保证后面的数是大于等于前面的数的，比如说。啊，我这样挪了一个把从四挪了一个给一，那么这地方是不是就变成了一+2+3了？如果我再往前挪就变成了一+4加。

啊，一+3+2那么后面的比前面的数小了，那就不行了，对不对？说明这个时候啊，我们一打头的就结束了。好，我们接下来用二打头的二打头呢，就是二，因为后面的数要大于等于前面的数，所以呢，六是等于二+2+2。对吧，再往前挪是不是已经不行了？再往前挪就变成了二+3加一二+3+1的话啊，

后面的数比前面的数小。啊，为什么后面的数啊不能够比前面的数小，如果后面的数比前面的数小，它就跟我们的括号二，那么跟我们的圈二就重复了。对不对？所以大家注意了，这样的话，我们就把它分成了，对吧分？三类。好，这个打包呢，我们又把它分成三类了。

打包分为三类好，下面我们看每根据啊，这个每一类来去算它的结果，这边呢，从六个中选出一个来，从剩下的五个中选出一个来，再从剩下的四个中选出四个来。由于它有两个相同的一，所以我们要消去除以a二二，咱们计算一下，这边应该是六×5×1÷2是等于15的。对吧啊，第一类第一类分法有15种，我们看到第二类从六个中选出一个来，再从剩下的五个中选出两个来，

再从剩下的三个中选出三个来。它应该等于六×10×1是等于60左右。好，我们再看到啊，第三小类对吧？从六个中选出两个来，再从剩下的四个中选出两个来，再从剩下的两个中选出两个来。由于数字有三个相同的，所以我们要消去再除以a三三对吧？要把这个相同的数字。有一个消序的过程，要把它消掉好，这边呢，应该是等于15×6×1再除以六。

它是等于15的。那么，同学们注意了，这个啊，分三小类，咱们是不是应该使用加法呀？对吧？加法原理的应该是15+60。加上15是等于90了。对吧，也就说打包的方法总共是有。啊，90种。好，下面呢，

我们再看到。啊，这个寄送。这个计数呢是？啊，把这分成了三份啊，寄给三个老师，每个老师恰好分得一个，对吧？是不是就直接是a三三了？a三三=3×2×1它是等于六的。那么，同学们根据啊，根据这个乘法原理，我们是不是可以得到打包和计算相乘就可以了？

是不是啊？所以应该是等于90×6=540，也就是说把三个老师分到六个班级每个。老师至少分对一个班级，对吧？每个老师至少要教一个班啊，每个老师至少分对一个班级。啊，那么有多少种不同的分配方法？总共是有540种不同的分配方法。好，这个举一反三啊，同学们注意了，是对198题的一个扩展。好，

下面请同学们看到第199题。我们看到第199题有三辆不同的公交车，三名司机啊啊，六名售票员每车呢，配备一名司机。两名售票员，这所在的所有的工作安排有多少种？好同学们注意了呃。这个实际上这个题目啊。我们分两大部分来完成，第一大部分呢是？把啊，把三个司机分到三三个公交车。啊，把三个司机。

把三个司机呢分给三个公交车。把三个司机分给三个公交车。啊，每个公交车。啊，恰好分这一个。每个公交车恰好分得一个司机。有多少分法？其实这个地方呢，我们。因为三个司机嘛，你看我们三个这个对吧，我们把这三个司机分到三个公交车，那是不是就是一个全排列的问题啊，所以直接是a三三？

是等于直接是a三三，是等于等于六的，对吧？应该是有六种，当然你也可以按照我们刚才的那个方法，你从头到尾把这个打包寄送。对吧，详细展开写一下也可以，首先啊，我们先打包啊，把三个四一分成三份，那只能是一+1+1。对吧，对照式子写，结果应该是从三个中选一个，

再从剩下的两个中选一个，再从剩下的一个中选一个，对吧，然后有三个相同的一，所以就是除以a三三。那那计算出来是等于六÷6是等于一的，也就是说我们要把三个试剂把它分成三份。对吧啊，分成三份，那是不是只能是只有一种分法了？他也经得起验证，对吧？经得起直觉上的验证好，我们现在来寄送，把这三三份，

我把这三个包裹对吧？我们寄给三个公交车，每个公交车呢，恰好分得一份。那是不是就是直接是个a三三了？a三三是等于六的，那么根据乘法原理可得一×6这两步啊，一×6是等于六的，跟我们这上面是不是一模一样啊？对不对啊？所以它是经得起验证的，这是第一步啊，相当于是跟大家呢，用了两种思路来去理解。啊，

这是方法二对吧？这个是方法一啊，方法一呢，实际上就是直接用啊，用这个组啊，排列组合。排列数的定义来去做的好，下面呢，我们看到。第二步啊，把六名。售票员。把六名售票员。分给。三个公交车。

啊，每个公交车。恰好两个。对吧，恰好分两个。对吧，把六名售票员分给三个公交车，每个公交车呢，恰好分两个有多少种不同的方法？那么，我们在严格按照打包计计算法来去做，对吧？它可以防止我们犯错。我们首先打包。六，

它是等于二+2+2的。对吧，等于二+2+2。好好，这个六+2+6=2+2+2好，那么同学们注意了，我们对照这个加法式子写，结果应该是c六二。乘以c12。再乘以AR对吧啊？由于它有三个相同的数，所以我要除以a三三来消去。它应该等于15×6×1再除以六是等于15的。也就说打包总共有15种，我们再看寄送寄送呢，

那就是把三啊三个包裹三份对吧？也就三份。啊，寄给三个公交车，每个公交车恰好得一份，所以就是a三三，它是等于六的。那么，根据乘法原理，可得。对吧，所以应该是15×6，它是等于90了。同学们注意了，我们这个。

这一道题目呢，它有它分两步完成，第一大步呢是？把三个司机分配下去，第二大步呢是把六名售票员分配下去，这两步每一步都不能够独立的完成任务。需要团队合作，所以我们是不是应该是用乘法原理啊？这地方有。好又乘法原理，可得应该是六×90，是等于540的。对吧，等于540。所以这一道题目。

啊，同学们，这一道题目正确答案选择d选项。选择e选项。好，这是199题，那么下面我们看到200题。第200题呢，他说将四封信投入三个不同的邮筒，若四封信全部投完，且每个邮筒至少投入一封信，这有多少种不同的投法？那么，同学们注意了这道题目，我们把它做一个等价转换。

它等价于。把四封信分给这信，肯定是不同类信的，对吧啊？把四封信分给三个邮筒。每个油桶至少分得一份。把四中四封信分给三个邮筒，每个邮筒至少分得一封。啊，有多少种不同的分法？那么接下来。我们就按照我们的这个步骤来去解题，打包计算法，对吧？首先我们打包。

四分解啊，把四分解成为三个数相加，它等于一+1+2，往这边挪已经不可能了，对不对？是不是啊？只能是四=1+1，加上二没有别的分法了，好对照式子写，结果应该是从四个中选出一个来啊。啊c4幺再乘以乘以c3幺再乘以c二二啊，大家注意了，这个上标幺幺二就是我们这个加法式中的幺幺二，对吧？由于它有两个相同的数字，

一所以我们要消去除以a二二有几个相同的就除以a几几，咱们计算一下。四×3×1再除以二是等于六的。好，下面我们来看寄送寄送呢，就是把分成了三份，对吧寄啊，这个呃分这把三份三堆对吧，三堆三份三个包裹。分给三个油桶，每个油桶恰好分的一个，对吧？所以是a三三，它是等于六的三×2×1。是等于六的，

那么根据乘法原理可得，对吧？是不是六×6是等于36啊？所以。最终是有36种不同的分配方法，答案选择c选项。对吧，选择c选项。好，下面呢？我们看到第201题。嗯。某大学派出五名志愿者到西部四所中学去支教，若每一所中学都至少分得一个志愿者，这有多少种不同的分配方法？

所以第一步啊，我们。它已经是很明确的打包计算法了，对吧？我们先打包。打包把五分解成为四个数相加啊，一+1+1加上啊，加上二对吧，再往前匀的话已经匀不过来了，因为。二匀一个给一。那它就变成了二+1了，二+1的话，这后面的数比前面的数小了，那就不行了，

所以只有这么一种好，我们对照这个式子写，结果应该是c5幺。乘以c四一二，乘以c三一二，再乘以c二二，由于它已经它有三个相同的一，所以再除以a三三。对吧，这边应该是五×4×3除以乘以一再除以啊，这边是一×2×3。对吧，好约一下分。好，应该是十。

也就是说，打包的方法总共是有十种。好，下面我们来看计算。好，我们来看寄送，我们把四个包裹啊，四份对吧？寄到四个学校，这每个学校恰好分对一个。所以呢啊，分了一份或者分了一个包裹对吧？所以就是a四四。a是四=4×3×2×1是等于24的。那么，

根据乘法原理可得啊，这两步的结果相乘。十×24，它是等于240种，也就是说最终是有240种不同的分配方法。答案选择a选项。好，下面我们看到第202题。有红黄蓝色的球各五个，分别呢有abcde五个字母，现在从中取出五个。要求各字母均有，并且三色齐备啊，各字母均有。也就是五个字母都要有，

对吧？abcd五个字母都要有。啊，并且呢，要37倍，也就说五个字母啊，对应着有三种颜色。是吧啊，有多少种不同的取法，实际上这个题目呢，它等价于什么呢？等价于把等价于这五种这这这个五个字母跟这三种颜色如何去搭配？是不是啊？所以这个题目等价于把五个颜色分给三个啊，把五个字母分给三个颜色，

每个颜色至少要分的一个。所以原题等价于。啊把。把五个不同的字母。分分给三种颜色。它就是个搭配问题，对不对？每种颜色啊，每个颜色每种颜色。这颜色就相当于是人了，对不对？每一种颜色啊，至少分得。一个字母。对吧，

每一种颜色至少分得一个字母，有多少种不同的分法？把五个字母分给三种颜色，每个颜色呢啊，每种颜色呢，至少分给一个字母有多少种不同的分法那么？这道题目。这就好办了。那我是不是直接？对吧，直接用打包计算法来去做啊，好，我来用红色的笔来凸显这个。首先我们打包。打包呢，

就是把啊五个字母把它分成三份。是不是啊？把五个字母分成三份。咱们把五个字母分成三份。分成三份，那么同学们注意了，它又有具体的这个小分类，第一种情况呢，是五=1+1+3。对吧，好第二类呢，是往前匀，它也等于一+2+2好再往前匀不了了，对不对？所以它又分成了两小类。

那么，对于第一小类。好用组合书写c5幺乘以c4幺乘以c三三，由于它有两个相同的一，所以要除以AR，咱们计算一下五×4×1÷2是等于十的。对吧好，我们看到第二类应该是c5幺乘以c四二，再乘以c二二好，由于它有两个相同的二，再除以a二二。咱们计算一下，这边应该是等于五×6啊，乘一再除以二是等于15的，因此我们啊。

因此呢，这个打包是不是应该有加法原理啊？有加法原理可得。啊故打包应该是十+15是等于25种啊，有25种不同的打包方法。好，我们再来看计算。注意它的层次性啊，打包和寄送是两步啊，寄送呢就相当于是把三份对吧？要分给。三个字母呃呃，分给三个颜色对吧？把三份。啊，

把这分给三个颜色，每个颜色恰好分得一份，所以就是个a三三a三三是等于六的。对吧，那么同学们注意了，根据乘法原理可得那么这个25×6是等于150种的。啊，也就是说啊，这道题目。它是有150种不同的取法啊，答案选择a选项这道题目呢，如果啊。啊，不做等价转化，那么这道题目呢？

在执行起来，在解题的解题的过程中是非常复杂的，那么这道题目呢？如果我们做了等价转化。对吧，做了等价转换之后。它就非常简单了。对吧，它就变成我们可以直接套用的解题模型了。好，下面呢？请各位看到第。203题。好，大家翻到讲义的第52页。

好，我们看到讲义的第52页。有十只相同的球，随机的放入编号为一二三四的四个盒子中。每个盒子不空的投放方法有多少种？那么，同学们注意了，求是相同的是吧？求是相同的，也就是说n是等于四要放入四个盒子中。也就是m要等于四。对吧，我们可以这么理解啊，它等价于这个问题，等价于把十个相同的物品分给四个人，

每个人至少分得一个。有多少种不同的分配方法，直接按照我们前面讲的挡板法的原理，是不是cn- 1 m- 1，它要等于c九三。对吧，计算一下这个结果，九×8×7，这边是一×2×3。好，我们约个分。这边约是四啊，这边约一下是三，所以它是等于三×4×7。是等于84。

它等于84对吧？所以这道题目同学们注意了正确答案，选择b选项。正确答案选择b选项。好，下面呢？我们看到第204题。好，我们看到第204题。20个不加区别的小球放入一二三三个盒子中，那不加区别的小球呢？是不是就表示二个20个相同的球啊？它要求每个盒子内的小球不小于它的编号数。好同学们注意了。这是一号和。

好，这是二号和。这是三号和。对吧，由于球是一模一样的。那么，同学们注意了我呀，准备这样来。我呢，从20个球啊，注意了这地方呢，它是要啊，我从。这边呢，是一+2对吧？

一加二一+2呢，是等于三好我从。20个球中。先拿出。我先拿出三个球。放在一边。然后呢，把剩下来的。好第一步。我从20个球中啊，拿出三个球来放到一边，由于这球是一模一样的，所以是不是只有一种方法呀？对吧好，这是第一步。

第二步，把剩下的。17个球。啊，17个。把剩下的十记个相同的球。把剩下的17个相同的球分给三个盒子。每个盒子。每个盒子至少分得一个对吧？分得一个球。每个盒子至少分得一个球。好有多少种？有多少种方法？那咱是不是可以直接用公式来去算了，对吧？

那不这个地方是不是就相当于是n=17 m要等于三？对吧，所以应该是cn- 1 m- 1，它应该是等于c十六二那么计算一下，它等于16×15。再除以一×2对吧？15×8是等于120的。对吧，也就是说。他有120种方法。对吧，他有120种方法。好，我们看到第三种，那我们看到第三步。

啊，第二步呢？是把17个相同的球分给三个盒子，每个盒子至少分得一个球，对不对？好，那么同学们注意了，一号二号三号，现在每个盒子里面至少有一个球了。对吧，那同学们这个是啊，一号和它大于等于一个球。好，这是二号，和它也大于等于一个球。

好，这是三号和它也是大于等于一个球。那么这个时候，我们把最初取出的三个球把，对吧把？取出的。取出的三个球啊，或者说从取出的三个球中。从取出的三个球中。拿一个。啊，拿一个出来分给二号和。啊，哪两个？分给三号和。

由于这球是一模一样的，你怎么拿都是一样的，对不对？是不是啊？就相当于是。呃。同学们能理解吧，你看我取出一个球啊，我从这三个球中，这球是一模一样的，我取出一个球放在二号盒。那剩下的两个就是放在三行，只有一种方法，是不是啊？只有一种方法。

所以，根据乘法原理，可得啊，这三步我就把这个任务完成了，第一步呢啊，第一小步呢，有一种方法，第二小步呢，有120种方法，第三小步呢，也只有一种方法，对不对？所以，根据乘法原理，可得一×120，

再乘以一它是等于120的。也就说，总共有120种不同的取法。所以这道题目的正确答案是4d选项。好，这是第204题。下面我们看到第205题。我们看到第205题。方程x+y+z=10有多少种不同的正整数解？好有多少种不同的正整数解。那么，这个问题呢？我们怎么去解决？我们可以这样考虑它等价于啊AB。第一步做一个。

等价转换。原题等价于。这xyz我把它当做是三个人对吧？十我把它当做是十个相同的气球。对吧，等价于把十个。等于把十个相同的气球。分给三个人。每个人。每个人至少分得一个。啊，比如说。啊，这个x的这个人分掉了一个气球，那么x就等于一。

对吧y这个人呢？分得了三个气球，那y就等于三了，那这这个人呢？分了四个啊，分得了啊，剩下的六个气球，那说明这个这就等于六，这就形成了一组解对吧？有多少种不同的分法？是不是就意味着有多少组啊？不同的解，因为我们每个人至少分得一个，也就是说啊，这个xyz是不是都是？

他分得的积有都是大于等于一的说明啊，说明都是正整数解。对吧，看它有多少种？看了有多少种不同的分法。所以呢，有了这个等价，转化之后，这个题目就变得很简单了啊，这个n是等于十了，这个m是等于三了。所以呢，cn- 1 m- 1，它就变成了c九二，咱们计算一下九×8÷1×2。

它是等于36的。对吧，所以有36组不同的正整数集。那么，大家会发现了我们刚才从这个第198题到205题。这样的题目，实际上啊，看起来好像花样很多，实际上只有两种基本类型，第一种类型呢，是把相同的物品分配下去，对不对？每个人至少分得一个第二种类型呢，是把不同的物品分配下去，每个人至少分得一个。

有的题目呢？它一看就很明确的，就是要就是啊，使用打包计算法，或者是打包法，有的题目呢，需要你做一个等价转换。对吧，把它转化成为标准语言。然后再来去用对应的模型去解题。啊，这是需要我们。这个熟练掌握，那属于新的。好，

下面呢？请同学们看到这个呃讲义的第52页。我们看到命题角度。好命题角度五呢是。是染色问题。染色问题又主要是以环形染色为。难点好，那么同学们，我们首先呢，给大家。啊，复习一下。这个染色问题。啊，我主要是跟大家复习环形染色。

啊，什么叫环形染色？环形染色，它的要求啊，环形染色的识别。它的第一个要求是。啊，第一个要求是环环相扣。环环相扣，比如说啊。好，这是AA区啊，这是B区，这是C区，这是d区啊，

这是一区。你看a跟b挨着b跟c挨着c跟d挨着d跟e挨着e又回过来跟a挨着了，形成了一圈，是不是环环相扣形成？环环相扣，形成闭环。对吧？啊，环环相扣，形成闭环。第二，它要求。啊，他要求相邻的区域不同设。相邻区域是不同设的。

那么，像这种问题呢？同学们注意了，我们一般呢？我们一般呢？是啊设。这个。区域啊，环形的区域。啊，环形的区域的个数。我们设它为n。我们设。可供选择的颜色。啊，

可供选择的颜色数为m。那么，对这个问题呢？啊菲哥呢，是做过深入的研究，他可以归纳整理啊，通过比较复杂的这个推理递推啊递推公式推导，我们可以得出它一个。啊，结论这是。这个染色的情况啊，有多少种不同的染色情况呢？我们把它写给大家啊，就是m- 1的N次方。加上负一的N次方，

再乘以m- 1。啊，比如说。上面这个图形对吧？上面这个图形我们比如说这个。这个区域的个数是有五个。那么，这个颜色假设有三种颜色可供选择。那么这样的话，我们就可以得出来。这个m- 1的N次方。啊，加上负一的N次方乘以m减一，它应该要等于三减一，三减一是不啊二的五次方。

加上负一的五次方再乘以二，它是等于32减去，二是等于30种的。对吧，环形染色，我们可以这样来去做。那么下面呢？请大家看到这例206呢？我们先放在一边好，大家看到第。52页的。好，第52页的例207题。好，这道题目呢？

他说用三种颜色给图中的五个区域染色，要求相邻的区域是不同色的。是不是就是刚才这个结果啊？对吧？首先它是个环形的区域，有总共有五个区域，对吧？所以n=5，然后其实它是有三种颜色m要等于三。所以我们计算一下这公式，大家跟着我再写一遍啊，应该是m- 1的N次方，加上负一的N次方。乘以m- 1，咱们把它带进来，

应该是等于二的五次方，加上负一的五次方，再乘以二，对吧？它是等于。32-2是等于30的，所以这道题目这道题目。啊，正确答案选择4d选项。那么我们再看呢，下面的第208题。第208题呢？它是用五种颜色可用来给图中的五个区域来染色，一看就是典型的环形染色，是不是？

它是两两相连，环环相扣啊，首尾相连对不对啊？形成闭环，要求相邻的区域是不同色的，所以要问多少种不同的。这个方法那么n是等于五的m，也是等于五的，所以我们直接代入进来计算m- 1的。N次方加上负一的N次方乘以m- 1，咱们把它带进来，那么m- 1是四对吧？四的五次方。加上负一的五次方。加上负一的五次方。

啊乘以乘以这个四好，咱们把它带进来，这边应该是二的十次方减去四二的十次方是等于幺零二四幺零二四减去四是等于幺零二零。对吧，所以这道题目正确答案选择e选项。正确答案选择一选项。好把这两道题目解决完了，我们现在再回过来看例206题。例206。好，这道题目呢？它不是个环形染色啊，不是环形染色，那我们怎么办呢？我们直接使用。

对吧，我们直接使用这个呃。原始的方法就可以了，直接使用。乘法原理把图形示意图给大家画出来。好，这是abcd，它为什么不是环境呢？是吧？因为环形染色，每一个区域啊，只跟啊，对吧？每一个区域。左右两边是不是都有个？

别的区域跟它相邻了。对不对？每一个区域。都被另外恰好被另外两个区域给夹着，那么我们a区域显然它就没有被另外两个区域所夹着，是不是啊我们必须它被三个区域所夹着所以它就不是环形染色问题那么现在呢有五种颜色那给这那给这，呃图形中的四个区域来染色我们按照这样的啊先给a区域染色再给b区域染色再给c区域染色再给d区域染色，那么我们给a区域染色好大家注意了给a区域染色我可以从五种颜色中任意的选出一种颜色来有五种不同的选法，当给a染完色之后我再给b区染色那么b区啊因为它跟a区是相邻的所以a所染的那种，颜色必须是不能再使用了所以只有四种颜色可供b区选择对不对所以有四种不同的染色方法，好那么再接着给c区域染色的时候由于c区域既跟a相邻也跟b相邻所以ab两个区域，选用了两种颜色这个c区域都不能使用是不是要扣除啊总共有五种颜色要扣除两种不能使用的颜色还剩下三种颜色所以c区域有三种不同的选法，好最后给d区域来染色由于bc和d都是相邻的bc使用了两种不同的颜色所以这个d区域就不能够使用这两种颜色了对不对，所以地区要扣除这两种颜色总共五种颜色扣除两种颜色是不是还剩下三种颜色啊所以给地区染色的时候有三种不同的方法那么用乘法原理可得是不是一乘就可以了，这边是等于二十乘以九它是等于一百八十的所以这道题目啊正确答案选择四e选项，

一般来说非环形染色问题都比较简单环形染色问题本来是很复杂的但是按照我们，给大家归纳整理的这个秒杀方法其实它是非常简单的好下面呢我给大家做一个拓展，好这是abcdef，好同学们，现在呢我有，六个区域了对吧，有，有五种颜色，可供选择，给图中的，给图中的六个区域染色，啊要求，要求相应的区域部统设，而且相邻的区域是不同设的有多少种不同的方法，那么这个问题呢我们怎么解决我们第一步，

它最特殊的，是不是f区域啊，好我们先给，f区域，好先给f区域染色，那么给f区域染色有多少种方法呀是不直接从五种颜色，中任意的选出一种来有五种方法对不对好第二步，好我们再给，我们再给abc啊d，啊abcd，一啊这样，我们把它这样来写再给这么一种结构是吧abcde，你看它又是一个，啊它又是一个环环相扣，对吧形成闭环，

是不是给这个区域，给这个区域来染色，那同学们注意了啊给这个区域染色啊给这个区域来染色的时候，由于某一个区域对吧abcde每一个区域都跟f是相邻的，所以f区域所使用的这种颜色是不根本就不能使用了，对吧啊只有，只有四种颜色，只有四种颜色可供选择，对吧有多少种方法呢，只有四种区四种颜色来给这五个区域来染色这五个区域又形成了一个环形染色对不对好，这是一个，对吧环形染色问题，本来原题对吧不是个环形染色但是我们稍微转化一下就是个环形染色问题了我们直接用公式对不对这地方相当于是n是，是等于对吧n是等于五的对吧m是等于四的n表示区域的个数m表示颜色的总数所以呢我们应该是，啊应该是m减去一的n次方加上负一的n次方乘以m减一咱们把它带进来，

这个啊应该是四的五次方，啊应该是三的五次方啊四减一是等于三所以是三的五次方加上负一的五次方再乘以三咱们计算一下啊，三三得九九乘以九再乘以三对吧九九八十一八十一乘以三啊这边是二百四十三，所以二百四十三再减去三它是等于二百四十的，也就是说有二百四十种方法，对不对那么第一步是有五种方法啊第二步有二百四十种那么根据乘法原理可得，是不是最终的结果应该是啊，好由，对有乘以法原理可得应该是五乘以啊五乘以二百四十，是等于啊幺二，零零对吧有一千二百种，是不是那这个拓展同学们注意了它就比我们的第二百零八题和二百零七题，比较难一些，好那么下面呢我给点时间大家来快速的理解和消化我们这一小节所讲的内容，

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28.课件28 数学强化班第十三讲 （1）

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