26.课件26 数学强化班第十二讲（1）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-5 15:40:42

好，各位同学，大家好，那么今天呢？是我们二零二四金湖管中数学应试技巧强化班的第12讲。我们从这一讲呢，开始要进入到强化攻略二抓难点。啊，这些难点呢，是我们考试试卷中必考的点，也是有一定难度的题目，主要是在理解上有一定的难度，当然了。啊，这个像排列组合对吧？

这个很多同学呢，在过去学习的过程中啊，就对它没有把握，感觉到理解上很难。啊，这个很难得分对吧？很难做对题，所以呢，我们呃在啊这一讲呢，要给大家呢。啊，把我们讲义上的专题九排列组合给大家呢啊，分门别类让大家呢掌握好命题的这种题型和对应着的解题思路，大家看到讲义的第47页。我们首先呢，

通过两道热身题来帮助大家啊，回这个回顾一下我们在基础阶段所学到的知识要点的应用。我们看到热身题一。铁路上有n个车站，现在呢？增加m个车站造啊，这个造成了车票要增加62种，要去求mn的值，大家注意了。比如说铁路上有AB两个车站，那么要多少种车票呢？显然从a到b是一种车票，从b到a也是一种车票，这两种车票是不同的，因为它的。

啊，目的地是不一样的，对吧？所以它是有方向的，明白吧那？我们现在呢，原来就是我们原来是有n个车车长。好，原来原来有n个车道。啊，共需啊，共有多少种车票呢？实际上是从n个车站中任意的选出啊，从n个车站中任意的选出两个车站来。这两个车站门啊，

这个你每选出来两个车站，它还有一个往返的区别，对不对？所以还要乘以二，明白吧？啊一去啊去和回是不同的车票，也就说CN 2要乘以一个a二二对吧？a二二就是等于二啊，或者直接乘以二就可以了。啊，它是等于它是等于n×n- 1对吧？它有这么多种车票？那么现在呢？它增加了m个车站，也就是n+m个车站。

对吧，现在有n+m个车站共有多少种车票呢？共有CN+m从这么多啊，从这么多个车站中选出两个来。对吧，每每选出的两个车站之间有往和返，有去和回，这是两种车票，所以要乘以二。它应该是等于n+m。啊，再乘以括号。n+m- 1。有这么多种车票。好，

这是我们的第一步，先把这个题目呢，先做了一个分析对吧？那他说增加了62种，那我是不是应该？用现在的车票总数。减去原来的车票总数要等于62，对吧？这是我们的第一步的工作，就做完了。好第一步，实际上就是把这个应用题转化成为了数学的模型，得到了一个方程，这个方程有两个未知数，但是我们只有一个方程，

一般情况下我们是没办法求出mn的。但是由于这道题目比较特殊，因为它的mn都是正整数，对吧？它有些特定的要求是正整数，并且m是大于一的。所以我们啊，就这个方程就变成一个叫不定方程，求正则数集。是吧，不定方程求正整数解来，我们把它展开来，同学们，我们把上面这个方程把它展开。上面这个方程，

我把它框起来，咱们把它展开，那这边是n+m^2。减去括号n+m再减去啊，再减去n的平方啊，加上n。是等于62的，我们再进一步的展开，这边是n的平方，加上m的平方。加上二倍的mn好，这边是减去n再减去m再减去n的平方，再加上n是等于62的。有一些地方我们是可以抵消的，比如说这个n的平方跟n的平方，

当然就抵消了，对吧？比如说这边减一个n+1个n，咱们就抵消了。这样的话，只剩下来m的平方2 mn还有一个减m诶，我发现剩下来的这三项它都含有m。所以我们可以提取公因式m对不对？所以我们提取一个公因式m出来，这边就变成了这个m。加上2n，再减去一对吧？左边我们分解因数了，所以右边我们想把这个62分解质因数。62它是等于二×31的。

它又等于一×62只有这两种分解了，对吧？三注意31是个质数，没有办法再分了。那么又因为这道题目，它告诉我们说m是大于一的，且注意了m为。对吧m为正整数。m大于一，且m为正整数。那同学们来，我们来研究一下，看看啊m是大于一的，并且呢，m为正整数。

那么说明什么来？我们再来研究一下这个m是大于一的m，又是一个正整数，你看这个m，我们研究这个m- 1，那肯定大于零了。那这个2n那最起码对吧？最起码是二嘛，对吧？最起码是二，因为你看原来有两个车站。对吧，原来有两个车站啊，我们应该这么说，这个车站最少只有两个，

所以二×n，那最起码是四了，对不对？所以说啊，所以说这个呃m+2 n- 1啊，我再分析一下啊m加上。2 n- 1这个表达式啊，是要大于等于四的啊，我刚才跟大家已经分析了，为什么是大于等于四的？因为m- 1它是大于零的，而这个原来的这个n的最少是一个火火车线上最少是有两个车的起点和终点，对不对？最少是有两个车站，所以呢，

这n大于大于等于二，那2n就大于等于四了，对不对？所以我们就发现了啊。这么一分析的话，我们就发现这个呃m+2 n- 1，它等于31对吧？它大于等于四嘛，它等于31啊，那么这个m它就等于二，如果啊，如果这边呃，还有另外一种是如果m等于。等于m=1，那么这个m+2 n- 1就等于62，

由于我们说过了，这个m是要大于一的，它不可能等于一啊。所以这种情况是排除的，对吧？这样的话，我们把原来的关于mn的这个方程诶裂变成为了。两个方程对吧m=2啊，我们进一步的在这边写，所以呢m是等于二的。对吧m是等于二的。好，这个n呢是等于15的。是吧m=2 n=15，那我们就把它求出来了，

你看这道题目呢？表面上是一个排列组合的题目，但本质上啊，通过排列组合列出这个方程之后，本质上变成了一个解。解方程叫叫解不定方程的正整数，解了一道题目，涉及到因式分解。质因数分解是吧？它涉及到这些要点好，这是咱们的热身题，一下面请同学们看到热身题二。好，我们看到热身体啊，有两排座位，

前排有六个座位，后排呢有七个座位。好来同学们，我们把这个示意图把它画出来。好，前排有六个座位啊，后排有七个座位啊，这个是。这是前排。好，这个是后排。他说说安排了两个人就做规定，中间两个啊，这个前排的中间两个座位是不能坐的好，这个不能坐。

我们把它擦掉啊，这个是不能做的。规定中间两排啊，不能坐。然后呢？这两个人，并且这两个人始终不能相邻就坐啊，不能相邻就坐这有多少种不同的做法？好同学们，注意了这道题目呢，我们讲两种方法啊。第一种方法呢是。咳。第一种方法呢是。对。

是分类讨论啊。好方法一。好分类讨论。第一类是。一前。以后。对吧，一个在前面，一个在后面。第二类。两个在前。对吧，两个在前排。好第三类。两个字，

后排。那么下面呢？也就是说啊，这这三种情况呢？它把所有的情况都全部包括了，对不对？第一类呢？是啊，前排一个人，后排一个人，第二类呢是两个都在前排，第三类呢是两个都在后排。那么，当两个人都在前排的时候啊，那当两啊，

当这两个人一个前排一个后排的时候，我就可以这样的去求他的这个总数了。首先，我从前排的四个座位中选出一个来，有四种选法。然后再从后排的七个座位中选出一个来，有七种选法，对吧？c七一二然后呢？这两个人啊，我现在已经有两个座位了，对不对？然后再把这两个人安排在。选出来了，两个座位上，

它是有区别的，对不对？所以它乘以一个a二二那么计算一下，它是等于四×7×2是等于56的。啊，也就是说第一类是有56种做法，我们看到第二类啊，他说两个都在前排。好同学们，注意了，两个都在前排。它只能够是从左端啊，两个作文中选一个，然后再从右端两个作文中再选一个。然后再把这两个人安排在选出的两个座位上，

对不对？只有这样的话，他才能够啊。这两个人不相邻，所以呢，我从左端的两个座位中选一个出来，然后再从右端的两个座位中选出一个来。分别是c2幺种，然后再。把这两个人安排进入所选的座位上是AR 2，咱们计算一下是等于二×2×2。啊，它是等于八种。对吧好，我们看到第三类两个人都在后排啊，

当两个人都在后排的时候，这个时候啊，我们从另外一个角度来考虑，有七个座位对吧，我从七个座位中。啊，同学们注意了，我从七个座位中任意的选出两个座位来。然后呢，有一些座位是不符合要求的。有一些座位是不符合要求的，比如说这两个是不符合要求的，它相邻了，这两个是不符合要求的，它也相邻了。

这两个作为也是不符合要求的相邻了，对吧？这也是相邻的不符合要求，这也是相邻的不符合要求，这也是相邻的不符合要求，对不对？总共有六种情况，这个座位是不符合要求的，是有六种对吧？所以应该是c七二减去。啊c七二表示，我任意想选两个座位错了，对吧？这个减六表示选出来的座位啊，有不符合要求的有六种，

对吧？一扣除。然后再把这两个人啊填入座位，填入座位的时候，他啊这个啊。这个有AR 2种做法，是不是乘以AR 2咱们计算一下啊？啊c七二是等于。啊，等于二十一六七四十二÷20=21对吧？21-6等于十五十五×2。啊a2=30好，所以这边是等于30。那么，我们根据加法原理可得。

因为咱们是用的是分类，是不是啊？所以呢？我们要把这些全部相加。应该是。56+8+30，它是等于94的。也就是说，最终有94种不同的做法，所以这个题目正确答案选择c选项。好，这是我们的第一种方法啊，是分类讨论的，那么下面呢？我们看到第二种方法。

第二种方法呢？是啊，直接整体扣除对吧？我先从啊，咱们这边有几个座位啊，前面有四个。位置可以选择后面后排呢是有啊，七个座位可以选择对吧？四+7=11个座位对吧？有11个座位我们从。11个座位中，任意的选出两个座位。从11个座位中任意的选出两个座位，其中有一些座位是不符合要求的，对吧？

比如说。这两个座位是不符合要求的，对吧？相连的这两个座位也不符合要求，是不是那这两个座位不符合要求？啊，这两个也是不符合要求的，这两个座位是相邻的，这两个座位是相邻的，这两个座位是相邻的，对吧？这两个座位是相邻的。总共有八个座位，总共有八种情况，它的座位是相邻的是吧？

扣除这八种情况。对吧，扣除这八种情况。啊，得到了这个结果，表示选出来的座位是符合要求的，它是不相邻的，然后选出来两个座位之后，我是不是还得把这两个人安排进去座位啊啊坐进去啊，所以它乘以一个AR 2。好，咱们计算一下啊，这个c幺幺啊c啊c幺幺二是等于11×10÷2再减去八。再乘以二对吧？一乘进来是等于110-16=94度。

对吧，所以这个题目你看有方法二正确答案也是c选项，那么这个热身题二。实际上，我们可以进行啊，举一反三，拓展训练好，我给大家做一个举一反三。好，这道题目呢？我们在做举一反三的时候啊，有啊，有两种方向啊，这个。方向一啊，

研究方这个修改的方向一。方向一呢，就是把这个两排的座椅啊，我们把这个个数增加方向二呢，是我们你说有两排，我可以把它改成三排。嘿，是不是啊？好来我们来看看方向，一是由。那有两排座位。原题呢，它说前排。啊，他说前排有六个座位，

我改成前排有八个座位。啊，他的后排有七个座位，我把这孩子后面有九个座位。对吧，我这扩大了。好，其他呢？我可以保持不变若。若安排两个人就座。啊，规定前排。啊，规定前排中间两个座位不能坐。啊，

且此两人呢？始终不能向你而坐。啊，有多少种？做法对吧？好，这是。命题的方向一。我们看到方向二，我们把它稍微修改一下啊，同学们。他原来说的是有两排，咱们把它说成三排。我们说有三排座位。对吧，

然后呢？这个前排有八个座位，我们把它在这边再加上一个中间。啊，中间排。啊，有八个座位。对吧，加一排。啊，前排中间有两个做过不做不能做这此啊，这这且此两人始终不能相离而足，这有多少种不同的做法？好，这是给大家呢？

这个告诉大家，这个题目啊。怎么修改？它就衍生出来了两个不同的题目。那咱们怎么去做来？咱们一块来看一看。先画个示意图。好，这是八个作文。好，前排有八个座位，然后呢？前排的中间有两个座位是不能啊，是不能坐的。好，

这中间那两个座位不能坐，对吧？然后呢？方向二呢？也是前排的中间两位座位不能坐。好那。我们来先来看方向一啊，举一反三的方向一这个问题咱们怎么解决？其实我们用前面给大家讲的热身体二的方法二啊，用这个方法二这个方法可以很快就可以把这个问题给解决了。对吧，我们不用分类了，分类的话，这个比较复杂，好我们来怎么做呢？

首先大家看前排，剩下六个座位。对吧，前排剩下六个座位踢出来了，两个不能坐的座位还剩下六个座位，后排有九个座位，六+9=15，是不是有15个座位啊？能理解吧啊六+9=15个做。对吧，所以我从15个座位中任意的选出两个座位来。然后再减去那些不符合要求的座位，对吧？减去不符合要求的座位，那不符合要求的座位，

哪些是不符合要求的呢？啊，这是不符合销要求的，相邻的座位都不符合要求，对吧？一一种两种啊三种。四种好，五种。六种啊，七种。八种，九种。十种，11种。12种是吧？

它要减去12种。12种相邻的对吧？作为两个作物是相邻的，减去12种，然后呢？用c十五二减去十二得到的是。从15个座位中选出来两个座位，它是不相邻的。啊，对吧，然后再作为选数呢，还得把人安排进去啊，这两个人安排进去是不是要乘一个AR 2对吧？咱们计算一下啊，应该是。

15×14÷2-12啊，再乘以二。对吧，它应该是等于。15乘以啊，15×14-24，咱们计算一下，把这个二分到这边30乘以七二百一对吧？所以它应该是等于二百等于三十乘以七二百一十减去二十四是等于一百。86。对吧，有186种做法。有186种做法好，我们看到方法二，方法二。

方法二啊，不这个方向二同学们注意了，这个方向二呢，它有三排座位了。啊70。是类似的，对不对？总共我们看总共这边有六个座位，对吧？这边是有八个座位，这边是有九个座位。啊六+8等于十四十四啊六+8+9，它是等于14+9=23对吧？有23个座位。对吧，

有23个座，那我首先呢是从23个座中任意的选出两个座位来，然后再减去相邻的这个座位，你看。这边是一种。两种。三种四种对吧？然后我们框起来，这是五种。扭转。七种，八种。九种，十种。11种。

好，这边我再十诶，刚才数的是11段了，对吧？一二三四五六七八九十十一十二。13。14，15。16，17。18，19。是吧，减去19，然后再乘以一个a二二就行了，

来咱们计算一下，它应该是等于23×22。再除以二减去十九啊，再乘以二，所以它是等于二十三乘以。22再减去38。我们乘一下23×22，这边是46，46，所以是五零六对吧啊等于？五百零六减去三十八，这是八啊九减三等于六对吧？四百六十八。对吧，用这种扣整体扣除的方法解题的话是。

啊，更快了。实际上，这个方向二呢，我们还可以进一步的延伸出方向三，比如说第一排有两个座位，中间两个座位是不能坐的。对吧，我还可以进一步的说，第一排的中间两个座位和第二排的中间两个座位都不能坐。对吧，第一排和第二排的中间两个座位都不能坐，我还可说啊，第三排的哪两个座位也不能坐，对不对？

这这其实无关紧要。我们都用这个方法去做，对不对？好，我这样写吧。我们看到方法方向上。我就直接画示意图好吧，同学们。我就直接画这个示意图了。好，那我们刚才说了啊，第一排中间两个座位不能坐，比如说第二排我不设，中间两个座位不能坐了，我说这两个座位不能坐。

对吧，然后第三排这两个座位不能坐。对吧，那那那我们说啊，要从要从这个啊，这三排座位中啊，任意的我对吧，我们要任意的挑出两个座位来。然后把甲乙两个人安排就座，有多少种不同的做法啊，我就直接用语言表达这个呃题目了，对吧？然后我们来分析一下。怎么去做？首先这一排是不是有六个座啊？

这一排是不是这一排同学们是不是也有六个座啊？这一排总共有。是不是有七个座呀？对不对？这边有七个，我们合计合计有几个座啊啊？六+6+7=10啊？12+7=19个做。对吧，所以呢，我们这问题就变成了我首先从19个座中任意的选出两个座位来，然后再扣除那些。相邻的这个相邻的座位对吧？可以坐的相邻的座位，这是第一个相连的，

这是第二种相连的。这是第三种，这是第四种。这第五种，这第六种好，这是第七种，这是第八种。好，这边没有了。这第九种，这第十种，这第11种啊，这第12种，这第13种。是不是要扣除13对吧？

扣除13，也就是说有13个座位是相邻的，然后再乘以。再乘以AR 2。啊，它是等于19×18÷2-13啊，再乘以二它是等于。19啊，19×18。再减去26。对吧，我们计算一下啊，这边19啊，可以写成20-1×18对吧，它是等于三六零。

减去18，它等于342。342呢，再减去26，这边是六幺是三幺六。是吧，有316种。有316种做法是不相邻的。对吧，也就是说啊，我们这个热身题二呢，是考试中的一道原题啊，我们给大家呢示范了，它有三种啊。啊，

这种改变的方向可以变复杂，第一种改变的方向呢？是啊，第一种第一种重新啊，这个在命题的方向呢，就是把两排座位的数量。这个座位的数量增加啊，第二种方向呢，是把这个两排变成三排座位是吧？第三种方向呢，是把两排座位变成三排座位，并且这个。啊，这个每一排都会告诉我们说有哪些座位不能坐？能理解吧。

啊，同时大家注意了，你如果说这个方向三要再往下延伸的话，它还有进一步的延伸。它可以进一步的延伸什么呢？进一步的延伸，这不能坐的座位，它也并不是说一定要是一定是两个叉叉是在一起的。好，我们看方向四了。这个改变的方向是。好比如说第一排。啊，第一排，比如说这两个座位不能够相邻啊，

不不能够坐人啊，不能坐人了，我就打个叉叉说这个不能坐这个不能坐。啊，然后我说啊，然后是这个不能做，这个不能做，这个不能做，对吧？然后我们这边的是这个不能做，这个不能做，这个不能做。对吧，我这个不能坐的座位啊，我这个变得复杂一些。

对吧，还是从这三排中啊，选出两个座位来安排两人就座，要求这两个人始终不能相邻。对吧，变成这么一个题目。那那我们怎么去应对？啊，那我们首先看一看这边有一二三四五六，这边是有六个座对吧？一二三四五这边是有五个座位。这边一二三四五六，这边是有六个座位。对吧，那合计有多少个作文呢？

合计六+6等于十二十二+5=17对吧？合合计是有17个座对吧？有17个座，所以呢，我们首先是从。17个座位中，任意的选出两个座位来，然后再减去相邻的这个情况，对吧？我们这边这是相邻的。第一种，两种。三种，四种。五种，

六种。七种八种对吧？直接减个八。其实啊，你这个座位不能坐的座位越多的话，实际上我们这个题目反而变得越简单了，有的人可能会觉得变复杂了，实际上是变简单了，对吧？然后再乘以一个AR 2。对吧，咱计算一下的话是等于17×16÷2-8再乘以二，同学们注意了，它是等于17×16-16。对吧，

它是等于16啊，等于16×17-1，它是等于16的平方=256。对吧，有256种不同的做法。好，那么同学们这个热身题二啊，我跟同学们呢，已经这个做了举一反三啊，从四个方向给大家做了举一反三啊，我就。啊，这已经讲的比较彻底了啊，当然啊，题目是没有穷尽的啊，

这四个方向呢，给大家提供了，就是告诉大家如何去思考，如何去把所学到的方法学会去做举一反三的实战应用。对吧，大家把这种方法把它学会那么做不完的题目，无穷无尽的题目，实际上对我们来说是有穷有尽的，对吧，实际上是有限的，因为。这个方向就这几种，我们基本上都能掌握这数字，你不管怎么变，我都能做对对吧，

我都能做出来就行了，好这个热身题，我就给大家讲这么多，大家把讲义翻到第48页。好，大家看到第48页，看到第48页，我们啊把这个排列组合呢，给大家总结归纳出来了有。八个命题角度分别是啊，我这在讲义的48页的上面都给大家已经写了，那么大家看到命题角度一排列组合的概念与计算公式。这个公式呢，我就不再去多说了，我主要是跟大家说一说，

后面这个组合恒等式组合恒等式里面呢？有这么一个啊，就cnm是等于cnn-m的，这个比较重要。明白吧，我举个例子来说，比如说c五二，它是等于c五三的，它的特点是什么呢？它的特点是这个上上标，两个上标之和等于下标，对吧？m+n-m是等于这个下标n的。所以呢，c五二是等于c五三，

就比如说c啊，这个c8对吧？c8幺是等于c八七的。是吧啊c八二是等于c八六的。c8啊三呢是等于c八五的，这个能理解吧？好，下面呢，我就跟大家通过这个例题来给大家示范啊，这些要点啊，我们看到第48页的第177题。我们看到第177题。177题呢？显然，这道题目是要去计算的，

对吧？好，我们看到第一步。第一个条件呢，它说啊n是等于十的，对吧？n=10好，我们来计算一下啊c14。和c16啊c14和c16我们刚才说过四+6=10，所以c14是等于c16的。对吧，这俩是相等，所以它推不出结论来。好第，这是咱们的解题的第一步，

我们看到第二步条件二。他说n是要等于九的来，咱们来研究一下这个c九四，它是等于九×8×7×6。除以一×2×3×4好这边呢是啊c九六同学们注意了c九六呢，它也等于c九三对吧？它是等于九×8×7比上一×2乘三一×2×3来，我们把一些可以约分约掉，比如说二三得六跟这个约掉了。对吧，这个四呢？跟八约掉之后，剩下二我们再看到这边，这跟一约掉的话，剩下四。

对吧，这边约掉还剩下三，我就把这上面写一下，这边是等于等于九×7×2是不是啊？这边呢是等于什么？这边是等于这个12×7是吧？我们这边呢，可以写成18×7，那显然18×7比12×7要大了。对不对？所以呢，我们就可以得到c九四。对吧，它是要大于c九六的c九四是要大于c九六的，所以呢，

它能够推出结论来。条件一，不能推结论。条件二，可以推结论。那么正确答案选择b选项好，这是我们的方法一。那么下面呢？我给大家呢看到方法二，我们在上面呢，给大家归纳总结了一个结论，大家看到那个考法一的下面写的括号四。这边啊，有个规律啊。来大家先看啊，

观察一下。比如说啊，比如说像这个c五零啊c五零c五一。c五二。c五三。c五四。c五五同学们注意了，以正中间这个为标准啊，这是正中间了，对不对？啊越靠近这条虚线的那么啊，注意了啊，以正中间的这条虚线为标准。左右两边，它是对称的啊，

这个是等于它的，这个是等于它的，这个是等于它的。啊，并且越往中间靠啊，它的值越大。嗯，那这是这是我们，你看你看我们把它计算一下c五零，大家来看一看c五零是等于我用蓝色的笔来写啊。c五零是等于1c五幺是等于5c五二是10c五三是10c五四是5c五五是一对吧？你看左右两边它是对称的。以这条红色的虚线为对称轴，对吧？左右两边它的值是对称性的安排的，

并且呢，越与和中间这条虚线越远离它的值就越小。和中间的这条曲线，越靠近它的值就越大，是不是啊？所以它是对称性的，我们把握了这个规律。其实这个题目啊，我们不需要去计算，是不是我们不需要去计算了，你看我们这个这个n=9的时候啊。我们看啊，这边。c九零啊c9幺c九二。c九三c九四c九五c九六c九七。

啊c九八。c九九那么我们找正中间那个。注意了，我总共啊写了几个数呢，同学们，我总共写了十个数。是不是啊？我总共写了十个数。那么，左右两边画一条虚线下来，左右两边各五个，是不是啊？那么，它是对称性的相等的，对吧？

这边它是对称性的。注意啊，它是对称性的啊，相等的，并且越靠近中间这条虚线，对吧啊，它的值就越大，并且左右两边是对等性的对称性的。那么，我们来看一看，越靠近中间的它的值越大。那c九四在哪？在这地方。c九六在哪？c九六在这儿对不对？

所以显然c九四更靠近中间这个，所以应该是c九四要大于c九六。是不是这样很快就不需要去计算，就直接锁定出来条件，2 n=9的时候，它是能够推出结论来的。是不是啊？这是第100啊，177题的啊，第177题的这个。思路好，那我们下面呢？请同学们看到嗯，请同学们看到第178题。好，

我们看到178题某商店经营15种商品，每次在橱窗内陈列五种。啊每。嗯，若每两次成立的商品不完全相同，这最多可成立多少次？我们想一想，这个排列组合组合数的定义是什么？组合数的定义是指从n个不同的物品中任意的选出m个物品。要求每次选出的m个物品不完全相同，对吧？有多少种不同的取法，那就是cnm。那么这个题目呢？是从15种商品中任意的选出五种商品，

要求要求啊，每次选出的五种商品不完全相同，有多少种不同的取法呢？是不是应该是？c十五五啊，就是考了一个基本的组合数的定义，对不对？有这么多种不同的取法。有这么多种的不同的取法，就意味着有这么多种不同的陈列方案，对吧？咱们计算一下，它是等于15×14。乘以13×12×11，再除以啊一×2×3×4再乘以五。

咱们做一个约分三五一十五，这个就约掉了，对吧？好这边呢？这个二。啊，跟这边呢，约一个还剩下一个七这个四跟这边约一下，剩下一个三好整理一下，它应该是等于三×7。再乘以11，再乘以13，我们最常见的是七×11×13，是等于幺零零幺的，对吧？

所以它是等于三乘以幺零零幺。它是等于三零零三，那这个题目正确答案选择b选项。选择b选项，这是第178题，考了一个定义，虽然说是我们历年真题中啊一道题目，但是这道题目有很多同学因为基础掌握的不牢固啊，连组合数的定义都搞不清楚，所以呢。把它当做是一个很难的题目啊啊，实际上这个题目是个很简单的题好，下面请同学们看到第179题。那么，这道题目呢？

这四个条件充分性判断了题型。他说，12支篮球队进行单循环比赛，好同学们注意了，我首先跟大家跟大家讲解一下什么叫做单循环比赛啊。跟大家梳理一下思路啊。单循环比赛。是指。任意两个球队之间。进行。一场比赛。啊，单循环比赛是指任意两个球队之间进行一场比赛，那么若有n个球队。好若有n个球队，

则有多少，则有多少场比赛呢？则有CN 2。等于二分之n乘以n减一。对吧，这有这么多场比赛。好，这是啊，这个题目的意思，那么咱们这个题目中的公共已知条件是什么呢？咱们这个公共椅子条件是有12支球队进行单循环比赛，对吧？12支球队。啊12支球队进行。单循环，

单循环比赛。啊，要比赛共比赛多少场呢？共比赛c12选二=12×11÷2对吧？它是等于66场。啊，共要比上66次。那么，它的结论是什么呢？这道题目的结论是完成全部的比赛，共要11天。啊。啊，需要11天好，这是这个题目啊，

我们把这个题目呢，相当于是给大家做了一个解剖。我们看到条件一，他说每天每队比赛一场，好同学们注意了每天。每对。比赛一场。好，大家注意了，每天每对比上一场。有n个球队对吧？有n个球队。那么，大家注意了我，我举个例子来说啊，

比如说甲和啊这个啊，这个这个甲队和乙队之间啊，比赛了一场。那甲队是我们在统计的时候，甲队比赛了一场，那乙队也比赛了一场，实际上。你就不能说啊，甲比赛了一场乙比赛了一场，然后一加起来等于两场。说总共比赛了两场，那是不对的，因为每一场比赛对应着甲统计了啊，统计了一次，一场一次比赛，

对吧？甲队比赛了一场，乙队也比赛了一场，所以同学们注意了，你说每天每队比赛一场的话，总共有n个球队n×1。对吧，是不是啊？你总共有12个球队，是不是总共我们这个题目是不是有12个球队，12个球队乘以啊一一定要注意啊？要除以二对吧？因为一场比赛对应的两个球队各计算了一次，我们现在有12个球队。12个球队，

每个球队都比赛一场，实际上他举行了几场比赛呀，对不对？他每天。对吧，他每天是12×1除，以二=6场，对吧？他每天有六场。啊，每天举行六场。也就是说，每天。每天实际举行六场比赛。对吧，

因为总共有66场嘛，总共有66场，每天举行六场，合起来66÷6，是不是等于11要11天完成了？对吧，所以。这个条件一它是。能够推出结论来的。对吧，条件一是能够推结论的。好，下面我们看到啊，第三步条件二。他说每天每对。

每天每队比赛两场。那么，这个每天实际。每天实际举行几场呢？应该是啊，12×2÷2对吧？每天实际举行的是。12场比赛。那66场比赛啊。需要几天比完呢？是66÷12是等于五点五天对吧？需要十五点五天。因此呢，这个条件二它是推不出结论来的，那条件一能够推结论啊，

条件二。才不能推解呢，所以这个题目正确答案选择a选项。啊，选择a选项。好，这是。第179题。好，那么下面呢？我们看到第180题。啊，某次乒乓球单打比赛啊。啊，注意看到题啊，

这道题目是在第49页了啊，咱们讲义的第49页。他说。单打比赛啊，注意这又是单打比赛，然后呢，先将八名选手等分成两组进行小组单选网比赛。好，这是第一种。第一组有四个人。啊，第二组呢？也是有四个人，他们进行小组单循环比赛。是吧，

那么同学们注意了，正常情况下啊，我们自己来分析正常情况下，这四个人进行单循环比赛，是不是应该是进行c12场比赛啊？啊，应该是四×3÷2=6差。那么这边呢，也是c四二？啊，它是要等于。啊，等于六场比赛了，也就是说单循环比赛每一个小组都要比赛六场。他说，

若一个选手只打了一场比赛之后，英啊英英国人退赛了，这小组实际的比赛场数。那我们来研究一下。那原计划。原计划要要比赛应比赛多少场呢？原计划应比赛场次。这个常数应该等于六+6=12常。对吧，原计划是不是应该是等于12长啊？好，那现在呢？那现在的情况呢？是有一位选手，他只打了一场比赛啊，

假设这是四个人。这四个人那么这一个人好，这一个人。啊，你看它本来应该是。你看啊，它本来应该是跟跟这。他本来呢，应该是跟着其他的三个人都要比赛一场的，也就说他应该比赛三场。对吧，他本来应该比赛三场，但实际上呢，他只比赛了一场之后呢，另外的两场他没比了。

是不是这个人少比赛了两场啊？对吧，现在他比现在这个人。啊，现在这个人呢？这个英国退赛的这个人，他本来应该是比赛三场，但是他实现在实际只比赛了一场。对吧，说说明他少比赛了两场，那么我们用总共的原计划的12场减去这个人少比赛的两场。是不是就等于这个小组赛实际比赛的场数啊？是不是12-12=10场？对吧，等于时长，

所以这个题目正确答案选择e选项。啊，正确答案选择e选项。

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26.课件26 数学强化班第十二讲 （1）

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