25.课件25 数学强化班第十一讲（3）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-5 15:40:21

好同学们，那么下面呢？我们看到第11讲啊，数学应试技巧强化班的第11讲的第三小节啊，我们在第二小节呢，已经讲到了。这个第啊，讲义的第44页的第78题，我们第三小节呢啊，继续接着往前讲解，大家看到讲义的第44页。命题角度，二数列的三大基本性质。我们前面呢啊，跟大家呢讲的基本上是呃，

就是数列的公式求和公式通项公式和。综项公式，那么我们把这个数列的。性质啊，在这一小节呢，给大家呢，做一个讲解。我们首先呢，来看等差数列的性质。等差数列的第一个性质啊，第一个性质呢是若。m+n。它要等于啊k+l，你也可以写成p+q对吧？好在等差数列中，

我们可以得出来。那么，这个am+an它是要等于AK+al。这个可以用，等差数列的通项公式啊，代入进行啊，证明非常简单，好第二个。第二个性质呢是？啊，第二个性质是在等差数列中，它的公差d是等于an-am。除以n-m就是两项之差，比上它的下标之差。第三个性质呢？

是啊，这个数列啊，若an是一个等差数列。对吧，那么它的SN逗号s2 n-sn好，这边呢是s3 n-s 2n。好，一直下去啊，什么意思呢？就是前n项的和作为第一项，然后再紧接着的n项和作为第二项，对吧？再紧接着。的n项和作为第三项啊，这样的话嗯。

形成的这个数列依然是一个等差数列。这个s啊，表示求和啊。啊，第四个限制呢是？两个等差数列啊。啊an。好若an BN为等差数列。则an比上BN是等于an的前2 n- 1项的和。比上啊BN的前2 n- 1项的和。那么下面呢？我给大家呢？把最后这个性质啊，做一个证明。在我们等差数列中啊a2n啊，

这样我我我在这个翻页那写好吧，然后这一。啊，这个空白的这一半。PPT呢，我们准备待会呢，做一个对比来写等比数列的性质。好，我到这边来写啊，在等差数列中a2 n- 1，我们有求和公式可以得到，应该是它的首项。加上啊，尾项乘以项数。再除以二。

好那么。b2 n- 1呢，我们也用等差数列的求和公式，应该是b 1+b 2 n- 1。再乘以括号2 n- 1，再除以二。那么好，由这两项啊。呃，我们还可以啊，我们还可以用一次中项公式，中项公式呢就是。在等差数列中a 1+a 2 n- 1对吧？是等于它中间项的两倍，它的中间项呢？

是an。乘以二两倍的an对吧，然后这个be呢呃，加上b2 n- 1是等于二×BN。所以我们把它带进来，这边是二倍的an。乘以括号。2 n- 1÷2它实际上是等于啊，等于an×2 n- 1的。那么同样的道理，那b 1+b 2 n- 1呢，它是等于两倍的小BN对吧？然后再乘以2 n- 1÷2。它是要等于BN×2 n- 1。那么，

我们把这两个相除。对吧，我们把这两个相除用一圈一除，以圈二，我们可以得出来大a2 n- 1比上大b2 n- 1，也就是。这个两个等差数列的前2 n- 1项的和做商，它是等于。啊，它是直接等于an比上BN的对吧？因为这个呃2 n- 1是不是就约分约掉了？对吧，这样就证明了对吧，反过来写就是小an比上小BN是等于大a2大a2 n- 1比上大b2 n- 1。对吧，

就是说呃，两个等差数列的前2 n- 1项和做商啊，这个比值是等于啊这两个。数列的中间项之比对吧，就是小an比上小BN。啊，那我们还可以进一步的举例子来说，比如说大a这边是29比上大b29。对吧嗯，那么就相当于是2 n- 1是等于29，所以这个n是等于15的对吧？就是20前29项的和这两个数列的前29项的和之。之商之比，它是等于它们的第15项啊，第15项之比。

能理解吧，好下面呢，我们再回过过来看，等比数列。这个等比数列呢呃，跟等差数列呢？它是对照的，若m+n=k+l。则这个am×an是等于AK×al的。这个都可以用，等差数列与等比数列的通项公式，对吧？左边等差数列，我就用通项公式代进去啊，证明啊，

右边的等比数列，我也用同等比数列的通项公式代入进行验证就可以了。那么，第二个性质呢啊，同学们，第二个性质呢，是加了一个对数符号啊，就是。LG表示，以十为底的对数对吧啊log啊，以十为底q的对数，它是等于。log.啊an啊log以十为底an的对数减去log以十为底am的对数比上n-m。啊比上n-m。

好，这是呃等比数列啊，那么等差数列的第二个性质呢？我们用的比较多，等比数列的第二个性质呢？我们在考试过程中呢？用的比较少啊，因为等比数列在考试过程中考第一个性质考的比较多，考第三个性质考的比较多。对吧，第三个新增的是SN逗号啊，如果一个数列是一个等比数列，那么它的前一项和它的。前紧接着的啊，就是从第n+1项到第2n项的和对吧，

我们把它写成as 2 n-sn。然后再接着的n项和就是s3 n-s 2n。它是。啊，它是等比数列。那么第四个呢？这个性质呢？我们就啊忽略了，因为考试中考等比数列的类啊，对应着的第四个性质，它带有对数符号，我们就不管它了。对吧，也就是说等差数列同学们注意了这四个性质呢，咱们都得熟悉啊，

纳属于新，那么等比数列呢，就是第一个性质和第三个性质。啊，我们要要掌握第二个性质呢，有所了解即可啊。下面我们结合讲义上的例题。来啊，辅助大家来呃，加深对这一块的理解和把握，大家看到第79题。已知an为等差数列a2和a10是方程的两个根。好好同学们注意了，首先这道题目呢，它告诉我们。

a2和a10。四。方程x的平方减去十x减啊减九。等于零的两根，所以我首先用韦达定理，对吧？我们有韦达定理，我们就可以得到两根之和，对吧？a二加上a十是等于负的a分之b，在咱们这个题目中是等于十。两根之积啊，它是等于a分之c，在咱们这个题目中是负九好，这是我们第一步的工作。

好，第二步题目要我们去求a5，加上a7等于多少？因为五+7是等于二+10。所以有等差数列的性质，我们可以得到a 5+a七，它是等于a 2+a 10a二+a十，我们的第一步有伟大定理，是不是得到就等于四？十啊，对吧？所以a 5+a七最终的结果就等于十，那么这道题目正确答案选择4d选项，你看这一道真题。啊，

这是我们考试过中的原题，这道真题呢？呃，应该说它就考到了一个韦达定理，考到了一个啊，等差数列的性质。呃，两个性质呢，基本上直接使用，没有什么太多的难点，但是如果你不知道呃，这两个要点对吧？你不了解等差数列。啊，这个性质以及一元二次方程的韦达定理，

那这个题目你做起来就比较困难一些。啊，注意了啊，这道题目并没有并没有要我们去求这个等差数列的首项和公差啊，如果你要去求它的首项和公差，那这个题目就会搞得比较复杂。好，下面我们看到第80题。diversity若等比数列an好，同学们注意了。首先，我们把这个要点要提炼一下啊，这个an。an为等比数列。a2。

乘以a4。加上。两倍的a3。乘以a5。加上a2。乘以a8啊，它是等于25的。那么，还有一个已知条件是a1是大于零的，对吧？要我们去求a3啊，加上a5。首先，同学们注意了，有等差，

有等注意，这是等比的，等比数列的性质，你看二+4，它是等于三+3了。那由等比数列的性质，我们是不是可以得到a2啊乘以a4，它是要等于a3×a三。对吧？a3×a三，那就等于a3的平方了。是吧，好，我们再来看这个二+8，它是等于五+5的。

我们马上就可以得到这个a2×a八，它是等于a5×a五，它是等于a5的平方。对吧，那么这样的话，我们。原来的这个原来的这个已知条件中给的这个等式啊，我用红b画个波浪线啊，也就这一个。我们是不是就可以把它做变形了，所以它就可以变形成为a3的好？我把这地方把它标为啊标为圈移，对吧？这个圈移可以变形为。好，

这个圈一可以变形成为a3的平方，加上两倍的a3，再乘以a5。再加上a5的平方，它是等于25的，而左边就是一个完全平方，所以我们可以得到a3，加上a5的平方，注意这样能看得清楚啊。就是x+y^2，它是等于x的平方，加上2 xy，再加上y的平方，对吧？所以a 3+a五的平方，

它要等于25，也就是五的平方，从而我们就可以得到a 3+a五，它是等于五。啊，或者是负。是吧，五或者是负五一般情况下，我们得到了两个结果的时候，我们就要想到有没有可能中间有一个结果是要排除掉的，是要舍弃掉的。我们再一看这个题目中，那它还有一个已知条件，我没用了a1是大于零的，那么a1大于零，

它很有可能就是用来。啊，给一个限定条件，让我们把得到的几个结果中要排除其中一个结果的，对不对？所以接下来我们进入到第二步，注意第二步，我用红色的笔写是因为这个地方很容易犯错啊。因为a1啊大于零，所以同学们注意了，我们可以得到a3，它是等于通项公式等比数列通项公式a3是等于a1。乘以q的平方，大家注意了，这个ae啊，

是一个正数，是不是啊？ae是一个正数，那么qu的平方，它也是个正数，正数乘以正数，是不是还是正数啊？也就是说啊，这个a3同学们注意了，它是大于零的。对吧，同样的道理，这个a5它是等于有通项公式啊，有等比数列的通项公式a5，它是等于a1。

乘以q的四次方，所以a1是一个正的q的四次方，也是一个正数，所以正数，乘以正数等于正数，因此我们可以得到a5，它也是大于零的。那么这样的话啊，从而我们这个a 3+a五啊，那a 3+a五，它是它是。它是不是就得大于零了？两个正数相加，两个大于零的数相加，它的和是大于零的，

所以呢？啊，所以这个a3同学们注意了，加上a5，它就只能等于五了，对吧？那么负五是不是就要舍掉？这个负五它就死掉了。所以说这个题目正确答案，咱们选择b选项。选择b选项。这一道题目呢？我做一个啊。举一反三。咱们做一个举一反三的训练，

我把题型稍微做一点变化，这个题目的啊，就有陷阱了啊，这个题目的结论是a 3+a五。是等于五的条件一呢啊，它说an。啊是等比数列。an是等比数列条件二呢？它说这个a2×a四加上。两倍的a3×a五，再加上a2×a八，它等于25。好同学们注意了，这是一个条件充分性判断的题型，那么下面呢？

我们来怎么去做这个题目呢？首先第一步。条件一，它告诉我an是一个等比数列什么数据都没告诉我们，那显然是推不出结论来的，对吧？那我们看到第二步。第二步呢啊，条件二条件二呢。他没有告诉我an到底是等差数列还是等比数列对吧，所以条件二他也是推不出结论来的。那么，当条件一跟条件二单独都不能推结论，它必须联合对吧？所以我们的第三步是条件一跟条件二联合。

条件一，跟条件二联合起来，对吧？有我们刚才的分析，对吧？首先an是个等比数列，我们可以用啊，等比数列的这个性质，我们最终可以得出来是什么呢？得到a 3+a五的平方。是等于25的，我们得出来a3，加上a5，它是等于五或者是负五。哎五或者是负五，

那显然它就推不出结论来了，因为结论中只有一个是五对吧啊，那么什么叫推出，什么叫推啊，不能推出这个要搞清楚啊？就是说啊，只要满足条就是满足条件一和满足这个条件的任何一种情况都能推出结论来，那么就表示它能够推结论，如果存在某一种情况，某一种特殊的情况。它推不出结论来，就表明这个条件不能推出结论来，明白吧？我们现在存在一种情况。a 3+a五是等于负五的，

那么这种情况它推不出结论来，那么就表明一二年和它也推不出结论来。所以这道题目正确答案选择的是一选项。对吧，选择e选项，那么这道题同学们，我们如果稍作变化，它就它就可以变成一个啊，稍作变化，它可以变成一个新的题目。它可编成个什么新的题目呢？好同学们，我把这边。那我把这边变化一下啊。对于不同的题型啊，

对于这个同一个。呃，题目我们同一个这个考考法啊，这个这个这个考试要点对吧？我们要从不同的角度来去。呃，研究它。好同学们，我们把左边这个蓝色的框框里面这个题目我稍作变化，我们把它说啊an是。正向。an是正项等比数列，如果我加了正项两个字，也就相当于是a3大于0a五大于零。对不对？

那么这个时候这个题目正确答案就要选择c选项了啊，这个题目的正确答案选择的是e选项。因为你一旦告诉我是个正项，等比数列，那么这个题目就可以，对吧？它就可以锁定每一项都是大于零的。当然，你这个正向等比数列，你也可以写成，你也可以，你也可以把它变成说a1是大于零的，对不对？所以同学们能理解吧啊，这是啊，

这个呃第一。80题的啊，这个题目的举一反三。好，下面呢？请同学们看到第81题。第81题呢？说等差数列啊，它首先呢？我们把要点梳理一下啊，第一个它是等差。好，这个an呢？是等差数列第二个已知条件呢，还告诉我们五倍的a7。

减去a3，减去12=0。对吧，然后我们的目标是什么？我们的目标是要去求sigma AK。对吧，求CK mak那么这个啊，这是一这个是15对吧啊，这个到底是个什么意思对吧，所以我首先要把它解读一下。啊，这个表示的是当k=1 k=2 k=3一直到k=15带进去，带到这个AK里面啊，把它相加，因为sigma表示求和。

所以当k=1代进去，那就是a1。当a=2代，k=2代进去，就是a2。当k=3代进去，就是a3。把它全部加整起来，对不对？然后当k=15代进去啊，那就是a15对吧？也就是k从k=1到k=15啊，一二三四五一一直到15。对吧，把这些项全部加起来，

那么求这个的和那实际上就是去求s15了。是不是啊？也就是求前15项之和，所以说啊，它给了一个啊，很多同学比较陌生的符号，这个符号呢，表示前15项之和。那明白了，这一点之后我们再来去做题，它就有目标，有方向了，对吧？既然你是一个等差数列。既然是等差数列，

所以我们就可以使用通项公式，在等差数列中对不对等？差数列中a7。是要等于a1+6d的，那么a3它是要等于a1。加上啊，等于a1+2d对吧？那么我们啊代入。好，我们把它代入到括号二中。这个呢，是由括号一可得。对吧，有括号一字对吧，有等差数列的通项公式，

我们可以得到把它代入到括号二中，我们可以得到什么呢？啊，我们可以得到，应该是五×a一+6d减去括号。ae+2 d，再减去12=0好，这样我们把它展开，这边是五倍的ae。加上30 d-ae，减去2 d=12好，我们稍作整理。四倍的ae+28 d是等于12对吧？我们同时除以四就变成了ae。加上7d是等于三了，

这是我们解题的第一步。好，我们看到第二步s15，我们再用等差数列的求和公式。对吧，等差数列的求和公式，有的同学说那用哪一个呢？等差数列的求和公式有两个啊，一个是SN=ae。加上an×n÷2，对吧？首先叫五项乘项数除以二，第二个等差数列的，这个求和公式，这两个求和公式根据需要选用，

对吧？根据已知条件和目标，对吧？这个它给的已知条件来选择啊，选择合适的，那第二个。求和公式SN等于n倍啊，应该是等于n倍的ae加上二分之n乘以n减一乘以d。对吧，我们把它带到这边来s15同学们s15应该等于15倍的a1。加上二分之十五乘以十四对吧？再乘以d。那么，同学们注意了，这边我们约一个分儿，

这是七，所以我提出15来，它就变成了15倍的ae。加上7d对吧？好，我们的第一步得到的结果，大家注意了吗？我们第一步得出来的结果。是不是a+TD=3了，我们直接把它带进来，它是要等于15×3，它是要等于45的。15×3=45，所以这道题目正确答案选择4d选项。对吧，

第81题选择4d选项好，这是啊，这一道题它考的就是等差数列的通项公式。以及它的求和公式。是吧，没有考什么太高深莫测的啊，这个内容好，下面请同学们看到第63题。诶，这个编号没有编对是吧？这中间插入了一个63好，这样吧，我就直接按照这个讲义上的这个啊，这个编号过来啊。这我标标一下页码，

就是第81题和82题之间啊，插入了一个一个。呃，编号错乱的这个题目，我们把它啊。我也跟他把这个页码标出来，第44页。啊，第44页了，第63题就是最下面这个题目，他说等比数列an中a3和a8是。方程的两个根则a4和a4×a七等于多少？同学们注意了这个第这个所谓的第63题，跟上面的第79题可以。放在一起进行对比学习啊，

都在44页。那么，同学们，由于啊，我把它写一下，要点是a3和a8。啊，它是。3x的平方+2 x- 18=0的两根。所以同学们自己的第一步，我们是不是还是用韦达定理啊？所以我们有伟大定理，可得两根之和啊a三加上a八是等于负的三分之二的。对吧，两根之积a三乘以a八是要等于呃a分之c，

在咱们这个题目中等于三分之负十八是不是等于负六啊？对吧，它是等于负六的好，这是第一步，那么下面我们看到第二步。啊，这里面用等差数列的性质，因为三+8是等于四+7的。所以呢，我们就可以得到在等比数列中a3×a八是等于a4×a七的。而a3×a八是等于负六的，对吧？乘以负六，所以呢？a4×a七，

它就等于负六，那么这个题目正确答案选择c选项。啊，注意这道题目跟我们上面的第79题啊是。同一种命题思路，只不过是上面的第79题。它是以等差数列为啊为命题范围的，而这道题目呢，是以等比数列为命题范围的。那么这两个一个考等差一个考等比都是我们真题中出现的，所以我们说等差数列和等比数列，其实就像两兄弟一样的。对吧，我们考试的时候两道数列题目啊，一般来说啊，

就是一个等差一个等比，当然了，有的时候呢，它也会夹着的考一些，既不是等差数列，也不是等比数列的，对吧？比如说考梯队公式啊，比如说考周期循环的这种规律啊啊，这都是啊，我们需要注意到的好，下面呢，请同学们翻啊翻到第45页。好同学们翻到第45页，我们看到第82题。

那么，这道题目呢？四个条件，充分性判断了题型。它说，一元二次方程，它的它是无，它是无实数根的。好，首先呢，这道题目它的结论是什么？就是它的公共已知条件是什么？啊，它的公共已知条件，它是个一元二次方程，

所以这a是不等于零的。对吧，那么它的结论。它的结论，它说没有实数根，说明它的判别是德尔塔是小于零的，对吧？所以它的判别是德尔塔应该是等于b方减4 AC，它要小于零。就这个是它的结论了。对吧，好那么下面呢？我们看到第二步条件一的分析，它说ABC。乘啊，

是等比数列。好ABC是等比数列，并且呢，还告诉我们b是不等于零的，其实这句话是个多余的，对吧？因为等比数列中的项都是不等于零的。所以ABC啊，你只要告诉我ABC是一个等比数列就行了，这个b啊不等于零这句话啊，这个已知条件可以省略。完全可以省略。好，那么下面我们来做一个推理，因为ABC是个等比数列，

所以b的平方，它要等于a×c。这是咱们等比数列的中项公式啊，把它带入到判别式调查中，那么这个b的平方减四AC，注意把这个。啊，这个AC替换掉啊，它就应该是等于b的平方减去四乘以b的平方，它是等于负三b的平方。负3b的平方，因为b是不等于零的，所以呢b负3b的平方，那肯定得小于零了，所以条件一啊，

它能够推出结论来。啊，条件一是可以推出结论来的。好，那么下面呢？我们再来。嗯，我们看到第。我们看到第三步条件二，他说ABC是等差数列。它是等差数列，同学们能不能够推出这个b方减cac小于零呢？这个时候它就。不一定能推出来了，因为好，

我们上面等比数列能推出来，你下面等差数列跟等比数列是有区别的，一般也就推不出来了。对吧，所以呢，我在这边写一个它推不出结论，那你写推不出结论来的话，一定要别忘了举一个反例。所谓反例，是指满足已知条件二但是推不出结论来的啊，反例就是b的平方减四AC。它要大于零，对吧？我们可以举这个例子啊，对吧？

唉，我让AC是负的就行了。所以我怎么来呢？我让AC是负的，那这是a这是b这是c我让AC让a=- 1。让b等于啊，让b=2诶，我要构成一个等差数列公差，是不是就删了？这边就是五。对吧，负一二五对吧，我其实我可以举好多这样的例子呢，你看负一二五，它是一个等差数列，

那么b方减4 AC。因为b的平方是大于零的，你你AC小于零的话，那一减四AC是不是加上一个大于零的数了，那肯定大于零的。那我还可以这样来，比如说啊，比如说啊，我这个b啊，我我就让b=0了，对吧？a=- 1啊，这c=1那。那这个ABC举的这个反例对吧？我我我举的这个反例，

你看看这个反例ABC也是个等差数列。那么b方减去4 AC，那显然是大于零的。所以大于零，大于零，是不是表明它有实数根了，而我们的结论说是没有实数根，对吧？这就说这，这就说明什么条件，二不能推结论，我都能举出反例来了，对不对？啊，所以条件一能推结论条件二不能够推结论那么正确，

答案选择a选项。选择a选项。好，下面呢？请同学们看到这个第83题。好，我们看到第83题这道题目呢，四个条件充分性判断的题型啊。条件一呢，他说an和BN是等差数列，你只是告诉我是一个等差数列，没有告诉我任何数据，那显然是推不出啊。啊，这个结论来的对吧？

好第二个条件呢？它又告诉我们说a10比上b10=3比二，你连。啊，你连这个这个an是什么数列BN是什么数列都没告诉我，那显然它也推不出结论来。对吧，所以条件一跟条件二，它单独都不能推结论，那么这个时候那么一和二，它就必须要联合起来。对吧，一和二要联合起来an和BN是等差数列，并且a10比上b10啊是等于三比二的联合起来的话，我是不是就可以得到？

用我们的等差数列的最后一个性质，性质四对吧？在哪在这等差数列的性质的最后一个性质？我们在这地方是用大a和大b来表示的，咱们这个题目中呢？用的是大S和大t表示的。对吧，本质上是一样的，所以呢？我们这边应该是推出了s2 n- 1比上t2 n- 1，它是要等于小an比上小BN的。对吧，我们令这个n是等于我们令n=10对吧？令n=10的话，我们是不是进一步的得出来2n-1就是二×10-1就是19了？

所以就是s19比上t19对吧？它应该要等于a10。比上b时。对吧，它要等于a10比上b10，而a10比上b10已知条件告诉我们是三比二，所以我们。这样就得到s19比t19是等于三比二了，因此它是能够推结论，对吧？条件一跟条件二，单独不能推出结论来联合起来，可以推出结论。所以这个正确答案应该选择c选项，对吧？

正确答案选择c选项好，这是第83题。那么下面呢？我给一点时间，大家消化一下，我们刚才所讲的命题角度，二数列的三大。基本性质，然后呢啊，等大家消化一下之后呢，我们再给大家讲解命题角度上数列的其他问题。好同学们，刚才呢，给了一点时间，大家理解和消化，

我们前面讲的这个啊，命题角度二下面呢，我们看到命题角度三。好，大家看到讲义的第45页。我们在讲义上呢，已经给大家呢归纳出了等差数列的三个结论，我们把这三个结论呢给大家做一个梳理，首先看了第一个结论。对于一个等差数列，它的奇数项之和与偶数项之和啊，它实际上。我们可以把它的规律把它整理出来啊，我们首先来看一看假设啊，这个等差数列总公式有偶数项。

比如说a1。a2a3。a4好到后面是a。2 k- 1。a2k。总共是啊，2k项。当然，这是等差数列。那么，它的奇数同学们注意啊，它的奇数项。是指。下标为奇数的这些对吧？这些项相加啊a 1+a三+a五。

好，再加一直加到a2 k- 1注意了，总共呢，因为总共有2k项奇数项和偶数项。是一样多对不对啊？所以呢，这个奇数项是有k项。然后我们再来看。这个s5。s偶呢是等于a2。加上a4。加上a6。一直加加到a2k。同学们，那么我们现在再来看一看。

我们用等差数列的求和公式，对吧？这个sg它是等于首项。加上尾项。乘以项数。再除以二。对吧，这个除以二呢？我这样来写。用这个分数来写。由于啊a 1+a 2 k- 1。我们有中项公式，它是等于啊，中间项的两倍，中间项是谁呢？

中间项同学们。啊，中间项是谁啊？啊，中间项。啊，大家来研究一下，看这中间项谁啊？中间项是不是AK呀？是不是？所以它是等于两倍的AK。再乘以k，再除以二，它是等于啊，它是等于什么呢？

它是等于AK。再乘以k的。也就是说，奇数项的和是等于中间项AK×k。那我们现在再看到这个。偶数项的和好，我们继续来看它也是啊，注意了啊a2a4a6一直到a2k，它也构成了一个等差数列，对不对？它应该等于首项加上尾项。乘以项数，项数是k，再除以二。我们再次使用等差数列的中项公式a2和a2k，

它的中间项。是AK+1。所以呢，有中线公式，它等于两倍的AK+1。啊，然后再乘以k再除以二，所以它是等于AK+1。再乘以k的。那么，同学们，这两者啊，那由这一个和这一个，我们马上就可以得出来。啊奇数项的和。

啊比上偶数项的和它是等于AK比上AK+1。是吧，把这个k就给约分约掉了。这是等差数列，如果它的项数为奇数，是这么一个规律，那么下面我们看到，如果它是偶数啊，这个项数是偶数的时候。啊，就是a1。a2。a3。a4。啊，

这边呢是a2 k- 1。a2k。好r2 k+1。啊，这个啊，或者我们。好，我们写到这边呢，总共是写了，总共写了2 k+1项。是吧，总共写了2 k+1项，当然我也可以写成2 k- 1项。是吧，2 k- 1项的话，

就这样写了。啊，这边是ra。啊，这边是a2 k- 1好前面一项呢，是a2 k- 2。这是2 k- 3对吧？那么这个呢共？共有2 k- 1项。那么sg。好，大家注意了sg应该是等于a 1+a三啊，一直加加了多少呢？加上a2 k- 1。同学们注意了。

这边呢？你看，这是一对儿对吧？这是一对儿。对吧好，这是一对二。那也就是说我前面每两个作为一组。这样的话，在前面2 k- 2项奇数项和偶数项是对半分了。那么这后面呢？你看这个a2 k- 1，这是个奇数项，对吧？它它多给我多了一项，所以呢，

这个2 k- 1。同学们，这个2 k- 1啊，它的奇数项总共它比偶数项多一项。所以奇数项呢，是供k项，那么偶数项呢是？共k- 1项。好，我们把它写下来。so应该是等于a2。加上a4一直加加到a2 k- 2。那么下面呢？我们来做一个。求和啊，

它应该是等于首项加上尾项。乘以项数。再除以二对吧？那么由中项公式，我们可以得到a 1+a 2 k- 1，它的中项是AK，所以应该是等于。两倍的AK。再乘以k，除以二，所以它是等于AK×k的。我们再来看偶数项的和它注意，这也是等差数列对吧？所以它的和应该等于首项。加上尾项乘以项数，

注意项数只有k- 1了，乘以项数再除以二。它应该等于对吧，我们利用中项公式可以得到a2，加上a2 k- 2，它应该等于两倍的AK，对吧？再乘以k- 1，再除以二嗯，所以它是要等于AK。乘以k- 1的。那么这样的话，我们就可以得到啊，有这两个啊，我们就可以得到sg。

比上s5对吧？sg比上s5。sg比上so它要等于注意了，这AK它就可以约分了，对吧？这个AK跟AK可以约分了，所以。所以它是等于k比上k- 1的。是吧，它等于k比上k- 1，也就是说如果一个等差数列的项数是奇啊，总共有奇数项。对吧，总共有奇数项，那么我们它的奇数项之和比偶数项之和是等于k比上k- 1的。

啊，如果一个等差数列，它总共有总共有偶数项，是不是啊？那么它的奇数项与偶数项之比啊，是等于中间项跟中间项有关，都可以约约分约约不了了。好，这是我们的结论，一给大家做的一个说明，当然这些结论呢，我建议同学们啊，建立在理解的基础上去记，没有必要去死记硬背，现场一推就出来了，

对吧？好，下面呢？我们看到。这个刚才说的是结论一啊。啊，这是结论一那么下面呢？我们看到结论二。结论二呢。呃，这几个重要的结论呢？希望同学们呢？把它啊耐熟于心。第一个结论呢？是啊，

注意这所有的都是在等差数列中啊。这都是等差数列中。若。an是等于m的。am是等于n的。则am+n是等于零的好，我们给大家呢做一个推导和证明。好同学们注意了，由通项公式，我们可以得到，an是等于a 1+n- 1×d是等于m的。am呢，是要等于a 1+m- 1×d是要等于n了。好两式相减由。啊，

这个上面的减下面的对吧？左边就是从这个地方开始减啊。啊，上面减下面把这个a1给抵消，所以呢，可以得到是n-m×d是要等于。负的n-m对吧？m-n等于负的n-m由于mn是不同的，对吧？n跟m是不一样的。啊，这个呃是两个不同的数据，所以左右两边同时除以n-m，所以我们可以得到这个d是等于负一的。那么下面我们再来求继续用，

等差数列的通项公式，我们可以得到am+n是等于。啊，是等于a1啊，加上括号m，加上n- 1×d。是吧，等于这么一个表达式了，那我们上面你看我求到了d=- 1，我们是这地方是圈一。在这地方是圈二，我们把它代入，把它把这个d=- 1啊，代这个草稿写在这边啊。我们把这个d=- 1带到圈一。

把d=- 1啊代入。d=- 1代入圈一，我们就可以得到a1，加上n- 1乘以括号负一是等于m的。是吧，把d=- 1带进来，这样的话我们就可以得到ae那同学们注意了ae是等于多少啊？ae是等于。n啊，等于m+n- 1。对吧，也就是说这个等差数列的首项和公差，我们都求出来了啊。那么带进来好同学们这边呢，就等于m+n- 1。

再加上m加上n减一乘以负一。啊乘以负一，这是不是结果就是等于零了？对吧，所以呢，这个结论咱们可以直接使用啊，在考试中。因为它非常简洁。是吧，这个结论非常简洁啊，等差数列中啊，第n项等于MDM项等于n，那么我们可以得出来dm+n项是等于零的。那么唉，我们进一步的还实际上还可以得出来，

这个这个等差数列的，它的公差是等于负一的。它的首项是等于MM+n- 1。好，下面呢，我们再看到第结论二结论二中的第二个。也是在等差数列中啊，若SN是等于m的SM呢？是等于n的。啊则。这个SM+n同学们注意了，它是等于负的m+n的。它等于负的m+3。那么这个咱们怎么去证明呢？好，

大家注意了啊SN，我们有这么一个公式啊，它是等于等差数列的前一项和是等于n倍的a一，加上二分之n乘以n减一乘以b。好，我们把它稍微做一下变形，它是等于二分之d乘以n的平方，加上a一。减去二分之d乘以n，对吧？这是一个关于n的一元二次多项式。啊，并且它的常数项为零。对吧，我们。

我们为了方便表达，我们直接设这个东西为大写字母a啊，这个东西为大写字母b。可不可以啊？那么这样的话，这个注意了二分之d是这个，这个d是这个等差数列的公差，这个ae是这个等差数列的。首项对吧？那么实际上这个大写字母a和大写字母b，它已经被这个等差数列的公差和首项已经定死了，是一个确定的不变的数字。是不是啊？不管你n等于多少sn sn中的这个a啊？合并是不变的，

对不对？所以呢，我们就可以设。SN=a×n^2，加上b×n，对吧？那我同样的道理，我是不是可以得到SM？它应该等于a×m^2，加上b×m。可不可以啊？那完全是可以的，也就是说啊，也就是说这个等差数列的前一项和是一个关于n的一啊是多项式，并且。

这个啊，这个常数项为零对吧？好，那这样的话，我是不是就可以得到SM+n，它就等于a乘以？a×m+n^2，加上b×m+n。对吧，这个完全可以这么设，是不是好？由于已知条件呢，它也告诉我们这个东西是等于m的。这个东西是等于n的。这是圈一，

这是圈二，我们如果用圈一减去圈二，会得到一个什么样的表达式呢？注意了啊，重点来研究这一块啊。我们用圈一减去圈二左边减左边等于右边减右边，对吧？左边相减应该是a乘以括号n的平方减去m的平方。加上b乘以括号n-m，那么右边相减对吧？右边相减是m-nm-n，我们把它写成负的。呃，负的括号n-m对吧？这个题目中同样是n跟m是不相等的，

对吧？啊，这个mn是不相等的好，那么同学们呃，这个呃，我在刚才得到或波浪线的这个等式左右两边，同时除以n-m。同时，除以n-m，那么就变成了这边注意了n的平方，减m的m的平方，它是等于n-m×n+m的，这是个平方差公式，对吧？那么，

同时除以n-m这边还剩下啊n+m这边呢b×n-m呢，这n-m就除掉了是不是啊？啊b×1是不是啊？然后要等于负一。好，我在这边呢，哎，在这两边呢，在同时乘以注意啊，我在同时乘以。呃l这个m+n，所以就变成了a×n+m^2，加上b×n+m是等于。负的n+m。而这个表达式是不是就是它呀？

是不是就是这个所以？所以我们是不是就可以得出来啊及？SN+m，它就等于负的m+n或者是负的n+m。是不是所以这个结论也是非常简洁漂亮的一个结论，咱们可以把它。咱们给它把它。实际下呢？好同学们，我们再看到第三点。咱们看到第三个要点。在等差数列中，若SM。是等于SN的若SM=SN那只要。则SM+n等于多少？

咱们刚才不是研究了这么一个问题吗？对吧？咱们刚是刚刚才。啊，同学们，我们刚才是不是研究了这个sn sm的这个表达式对不对？那我就这样来。它的证明过程啊，注意它，它是等于零的。好证明如下。啊SM是等于a啊。好，我说它是等于a×m^2，加上b×m它等于多少呢？

我也不知道是它等于x。对吧，所以这个SN呢是等于a×n^2，加上b×n。它还是x。对吧，然后呢？这个SM+n呢？它是等于a×m+n^2。啊，加上。b×m+n好，我们一起来分析一下好这个做个圈一这个做个圈二好，大家注意了。我们准备用圈一啊，

或者用圈二啊，用圈用圈一减圈二也可以，对吧？好同学们。我们用圈移。我们用圈一减去圈二。就可以得到这个a×m^2，减去n的平方，加上b×m-n是等于零的。左右两边同时除以m减n，所以就可以得到啊，可以得到a乘以m，加上n所以m的平方减n的平方是等于m减n乘以m加n的，对吧？好，

这边是b×1是等于零的左右两边，同时乘以m+n，所以就变成了a×m+n^2。啊，加上b再乘以m+n是等于零的，那这个表达式就是这个表达式对吧？所以我们就可以得到。是吧，及。这个SM+n是不是就等于零了？对吧，所以这个大家也可以。其实掌握了这个方法，掌握了合适的方法，这些结论证明都推的都是非常非常快的。

好，下面呢？我们看到结论三。好，我们看到结论三结论三呢呃，第一个呢是ABC成等差数列a方b方c方乘等差数列啊。若。ABC.乘等差数列。对吧a方b方c方是成等差数列好则。我们有一个结论是a=b=c的。那么这个我们怎么去证明呢？好，我先把这个框起来。我们来做一个证明。

注意了啊ABC成等差。就是ABC层等差数列，我们可以有中项公式可以得到2b。是等于a+c的。对吧，那么a方b方c方成等差数列。来。你看这边又是一个等差数列，我们也可以得到一个。对吧，我们也可以得到一个性质，对吧，也是中向公式来，我们写稍微写紧凑一点啊。好，

这样的话，我们可以得到2b的平方是等于a的平方，加上c的平方了。对吧，那这样的话，我们进一步的是不是就可以得出来？那一方面我们把2 b=a+c两边平方，左边平方等于右边平方，对吧？左边平方是等于4b的平方，右边平方呢是等于a+c^2。啊，这边呢呃，第二个等式2b的平方=a^2加c方左右两边乘以二，所以这边应该是。

4b的平方是等于2a的平方，加上2c的平方，对吧？这两个是相等的，所以呢，我们就可以得出来。a+c^2，它是等于两倍的a方加两倍的c方，我们展开这边就变成了a的平方。加上c的平方，加上2 AC是要等于2a的平方+2c的平方。好，我们把所有的项全部移到等号的右边，等号左边为零，等号的右边就变成了a方加c方减2 AC。

对吧，我们得到一个完全平方，是a-c^2。a-c^2=0，是不是马上就可以得到？a要等于c啊。我们把a=c代入2 b=a+c对吧？代入到这地方，我们马上是不是就进一步的可以得出来？这个b也是等于c的是吧？所以呢，我们可以得到a=b=c这三个数是相等的。也就告诉我们三个数成等差数列啊，并且它们的平方也是成等差数列。哎，

这样我们就给它推出一个结论来，这三个数ABC是全部相等的。好，下面的请同学们看到结论，三中的第二个要点。第二个要点呢是。这个ABC。好ABC是成等差数列。则a的平方减BC。b的平方减CA。c的平方减AB。它也成等差数列。对吧，这是一个。看起来好像比较复杂的一个结论，

咱们也来做一个推导证明。我们现在做推导证明，就是为了在考试过程中，咱们直接使用对吧？相当于是把这个提前做好相应的准备，直接拿来用就可以了。那么，已知条件是什么？好同学们注意了，已知条件ABC成等差数列是不是就相当于是2b是等于a+c了，对吧？我们要求证的对吧？我们要求证的是什么呢？要求证的是啊，这下面也是等差等差数列，

这等价于什么？是不是等价于啊？同学们是不是等价于二×b^2？减CA要等于括号a的平方减BC，再加上c的平方。减AB对不对？是不是也是这个等差数列的中项？是不是也是等差数列的中项公式？它等价于这一个。好，我们现在想做什么呢？要证明下面这个表达式。我们可以把这个b消元把它消掉，是不是啊？可不可以啊？

那是可以的。所以呢，我们来看一个rg这边。啊，即要证明二b的平方减二CA啊，减去a的平方。减去c的平方，加上BC，加上AB=0，也就是咱们要证明这个等于零。是吧，要证明这一个，那么同学们注意了啊，我们啊，我们知道呢。

这个a+c是等于2b。是吧，好，这个时候这边有a方。那大家看到这一个。大家看到这个地方啊。啊，这个地方呢？我们来做一个变形。因为已知条件告诉我们a+c是等于那这边我们把它写下来即正。2b的平方减去括号最这边这个红色的比圈子的这一块是减去括号a方加c方，加上2 AC，这是个完全平方公式，对不对？就相当于是减去括号a+c^2。

对吧啊，是这个是这个意思吧？好，然后再加上啊，再加上这边提取公因式提一个b。在后面提一个公因式啊，提一个BB乘以括号a+c是等于零的。对吧，好继续写啊，急着。那么，这边2b的平方。由于a+c是等于2b的，对吧？2b的平方就是4b的平方好，

再加上。啊b乘以由于a+c是等于2b的，是不是这边乘以2 b=0了？好，大家来看一看，这就是2b的平方，减去4b的平方。加上2b的平方=0成不成立，它确实是成立的。对吧，这确实成立的，所以a方减BC啊b方减AC啊，这个c方减AB。它就也是一个等差数列。它也是个等差数列啊，

好下面呢我们。结合讲义上的例题啊，来给大家呢。做进一步的讲解，大家看到讲义的第45页，我们看到。啊，第84题。这也是一个条件充分性判断的题型啊，题目中的这个已知条件说ABC是三角形ABC的三边，那说明ABC是大于零的，对吧？并且并且两边之和大于第三边，它结论的是三角形ABC是一个等边三角形好我们。看到条件一条件一呢，

他说ABC成等差数列a方b方c方成等差数列，根据我们上面的结论，三中的第一个要点是不是直接就可以推出来？a=b=c，那当然可以推出这个结论，它是个等边三角形对不对？所以有了这个结论之后，我们做题目基本上可以实现秒杀。好，我们看到第二个。第二个呢，他说a的平方+b^2+c^2=AB+BC+CA，我们在前面给大家讲平面几何？啊，以及恒等变形的时候就跟大家说过a方加b方加c方等于AB+BC+CA直接可以得出来a是等于b是等于c的，

所以它是。可以推出结论来的好，我在这地方呢，给同学们做一个补充讲解啊，注意这个题目正确答案，选择4d选项啊。好，我们做一个补充讲解。把这个公式我们回顾一下啊，第一个公式是a的平方+b^2+c^2。减去AB减去BC减去CA，它是等于二分之一乘以a减b的平方。加b-c^2。加上c-a^2。它是哎，

它是对吧？它是等于这么一个可能边形，如果告诉我a方加b方加c方等于AB+BC+c，那就相当于这三个完全平方数的和为零那。那它就分别为零了，对不对？那就a-b=0 b，减c=0 c，减a=0，那就是a=b=c了。好，那么下面呢？我们看到第二个公式，需要大家啊。需要大家掌握的啊，

是a+b+c^2是等于a的平方，加b的平方。加上c的平方，所以这边是加上两倍的AB啊，加上两倍的BC，加上两倍的CA。同时，大家还要注意一点，我们在讲在前面给大家讲，因斯伊尔强化班的时候给大家提到一个非常复杂的公式，看起来很复杂，但是在考试过程中，它已经考到了一个公式。就是a-b^2啊，加上b-c^2，

加上c-a^2。加上括号a+b+c^2，所以我们注意了啊，你看这里面全部都是完全平方啊，它是要等于三倍的a方，加上b方加上c方这公式呢，可以用来去考最值。考求最大值和最小值的问题。好，这是第84题，下面请同学们看到第85题。我们看到这道题目，它首先呢，有个公共已知条件，它说SN是一啊，

这个an啊，是一个等差数列，它的前一项和为SN，它的结论。好，我们把这个结论摆出来啊，结论呢，是它的前29项的和是等于零的，对吧？我们看到条件一。条件一呢，他说a6是等于九的啊a9呢是等于六的啊，由于这是一个等差数列对吧？我们还记得这个原理呢。说an是等于m的啊am呢是等于n的对吧？

那么我们一定可得出来am+n是等于零的。是不是是不是用到了这个原理啊？好，我们直接用上来，那a6=9a9=6，所以我们可以得到六+9=15a15，它是等于零的。是吧啊，另一方面啊，它的前15项的和啊，前29项的和。前29项的和它等于首项，加上尾项乘以项数。除以二我，再由中项公式给得到a1和a29的中间项，

是a15，所以它是等于两倍的a15。乘以29再除以二，是不是直接就是啊？这个等于29倍的a十五把a15=0带进来。对吧，它是29×0，它是等于零的，也就是说条件，一是可以推出结论来的，对吧？那么下面我们看到。第二步条件二条件二呢，他说s 14=s 15好，同学们注意了，

我们曾经给大家讲过一个就刚讲的结论，叫做SN=SM，我一定可以得到SN，加m是等于零的在。等差数列中，对吧？有这么一个结论，那现在呢？他告诉我s 14=s 15是直接可推出来14+15=29 as 29是等于零的。也就说条件二啊，咱们直接使用结论秒杀可以推出结论来，条件一和条件二都能推结论，那正确答案选择4d选项。所以说有结论跟没有结论，它的区别是很大的好，

下面呢，我们啊，看到第86题，它是一个等差数列。啊，共有共有2n项对吧？共有2n项好同学们注意了，那这是奇数项和偶数小和的问题，那我就这样来写。那我把这个从头到尾跟大家再推一遍啊a1a2a3a4。好，这边是a2 n- 1a2n注意了，总共有。2n项对吧？总共有2n项。

那么，它的奇数项的和应该是等于a 1+a三。啊，一直加加了多少呢？加到a2 n- 1这边共有多少项呢？由于奇数项和偶数项它是一样多的看。对吧，它是成堆出现的，所以呢啊，总共是2n项，那么奇数项有有n项，那偶数项也有n项。好，我们用等差数列的求和公式，它应该是等于首项加上尾项。

啊乘以项，乘以项数，项数是注意项数，不是2n了啊，项数是n对不对？乘以项数再除以二，由中项公式可以得到a1和a2 n- 1，它的中间项是an。对不对？所以应该是两倍的an×n再除以二，它是等于n乘以。an的而这道题目又告诉我们说奇数项的和是24。是吧，奇数项的和是24，那我就用起来了嘛。

好，这边是等于24了。好偶数项的和。这边呢，是a 2+a四一直加加到a2n注意了，它总共也是n项。对吧，总共也是n项，所以呢，它应该是等于首项。加上尾项。是吧，首项加上尾项乘以项数再除以二好由中项公式，我们可以得到a2和a2n它的中间项数an+1是不是啊？所以它应该是等于两倍的an+1再乘以n再除以二，

它是要等于n×an+1。对吧，它是等于多少呢？题目告诉我们，它是等于30的，这样的话，我们就得到了两个两个关系式，对吧？这是第一个关系式。这是第二个关系式，同时这道题目告诉我们，它的末项比首项要大十点五。啊，它的末项是谁呀？同学们呢？

我们看一看它的末项啊，末项减去首项。对吧，是等于十点五的，所以呢，我们可以得到末项是arn，对吧？首我们知道这个a2 n-a一来我们来计算一下啊，它是要等于由。通项公式对吧？a2n是等于a1+2 n- 1×d。这是不是啊？通项公式啊？好，这个得到的是arn。

啊，得到的是a2n，然后再减去这个a1，我们计算一下，它是等于2 n- 1×d。对吧，它等于多少？它是等于十点五好同学们，这就是我们得到一个第三个关系式。对吧，第三个关系是。那么现在要我们去求的是项数n等于多少？对吧，要我们去求项数n等于多少？那像这个式子，

我们怎么去做来？大家看到这是我设这是圈一啊，这个是圈二，这个是圈三。啊，第一步的工作，实际上我们已经做完了，把已知条件都已经啊用上了，我们用圈二减去圈一左边减左边等于右边减右边，左边相减应该是。n倍的an+1-n倍的an是要等于六的，对吧？好，那我们。把它提取公因式n，

那么就是n×an+1-an是要等于六的诶，后一项减前一项是不是就等于公差d了？是不是啊？所以呢，我们可以得出来n×d是等于六的好同学们这个地方呢？这个地方我把它标为圈四，下面我用圈三除以圈四，那左边除左边等于右边除以右边。那么就变成了2 n- 1×d比上n×d是要等于十点五比上六。对吧，这d跟d约分就约掉了。是吧，约分就约掉了，好这样的话，我们就可以得到这边是十点五×n要等于六×2 n- 1。

对吧，这样的话可以得到十点五×n是等于12 n- 6，因此我们可以啊，整理之后啊，六是等于一点五n的，所以这个n是等于四。是的，对吧？n是等于四，所以这个题目呢？要我们去求这个数列总共有多少项啊？这个数列。注意啊，我们前面还专门给大家写了这个数列，是不是总共有2n项啊？

对吧？共2n项。及。2n是等于。二×4，它是等于八项的，所以这道题目正确答案选择c选项。你看这道题目呢？呃，它涉及到了奇数项的和与偶数项的和涉及到了等差数列的中项公式，涉及到了等差数列的求求和公式，涉及到了等差数列的同项公式以及。解方程的消元思维对吧？所以它是一道综合题啊，第86题呢，

还是有一定的难度的。好，这道题目呢，我就给大家啊，讲到这里下面请同学们把讲义翻到第46页，我们看到考法二应用题中的等差数列与等比数列。好，大家看到第40。六第46页。其实，应用题，中考等差数列和等比数列呢？呃，无非就是把用文字表达的啊，关于数列的问题。

对吧，用通项公式，中项公式，求和公式把它转化成数学模型好，我们通过题目来给大家分析，大家看到第87题。某人在保险柜中存放了m元的现金啊，第一次取出它的三分之二以后，每一次呢，取出前一天所取的三分之一啊，共取了七天来，同学们注意了。我们设。啊第。我们设第I天。

取出的。现金。啊，为AI元。则我们就可以得到a1，它是等于。三分之二乘以m的。a二是等于三分之一乘以a一的对吧？a三是等于。三分之一乘以a二的一折下去，那么an是等于三分之一乘以an减一的，其实有这一个我们是不是已经能够锁定出来？an为。首项。为a一等于三分之二m。

啊公比。为q等于三分之一的一个等比数列。对吧，他是一个等比数列。这样的话，第一步是不是就把这个问题转化成转化成为数学模型了？对吧，他说共取了七天。啊，然后呢？保险柜中剩下多少钱？那么我是不是先求出七天取了多少钱？对吧？这个七天。共取现金。

多少呢？是不是应该是s七对吧？s七那我用等比数列的求和公式那等比数列的求和公式还记得吗？SN是等于一减q。分之啊a啊，这个a1×1-q的n次方好，我把它代进来s7。啊，应该是等于一减去三分之一分之。啊，这个三分之二m乘以一减去三分之一的。一减去三分之一的N次方。对吧，好那么同学们注意了，这个分子分母是一减三分之一啊，

跟这个三分之二这地方是不是可以约分约掉了？好，我们它等于它等于什么呢？它等于m- 3的N次方分之m。对吧，这是七天所取的现金。那么还剩下多少呢？好，剩下的。啊，剩下的现金是等于总共的m-s七，所以它应该等于m。减去括号m，再减去注意了啊，这个N次方同学们注意了，

要把它用七代进来，是不是这边应该是三的七次方对吧？因为他说是七天嘛。所以这边是三的七次方分之m好，我们化一下减它是等于三的七次方分之m。m所以这个题目正确答案选择a选项。这道题目呢，不要被不要被那个b选项所迷惑了啊，同学们注意了啊b选项中是三的六次方，很容易搞错的。好，这是其实这道题目难度并不大啊，这是第87题，那么下面的请同学们看到第88题。好，

我们看到第88题在一次数学考试中啊，某班的前六名的同学恰成等差数列。啊，前六名同学的平均成绩是95分，前四名同学的平均成绩是388分。在第六名同学的成绩是多少？好同学们注意了，既然是一个等差数列，那我们设。啊，这六名同学。好，这样。这六名对吧？这六名同学。

我们剩六名同学的成绩。为a1。a2。a3a4。a5和a6对吧？那么这它是一个等差数列，所以呢，有等差数列的求和公式来。前六名同学的平均成绩是不是应该是s6÷6是等于95的对吧？那前四名同学的总成绩。唉，是不是直接是s4是等于388呀？对吧，这是我们得到一个方程组，那么下面我们有等差数列的这个呃求和公式。

等差数列的求和公式有两个，我们用哪一个呢？用这一个啊，我把它写在这边SN是等于n倍的ae加上二分之n乘以n减一乘d。对吧，把这个公式我们待会用进来。你看这个s六是等于六倍的a一，加上二分之六乘五再乘以d。对吧，好，它是等于注意把这个六乘过来了啊，六乘过来它是等于95×6。那我们这个s四来这个s四呢，应该是等于四倍的啊a一加上二分之四乘以三再乘以d。是等于三百八十八好左右，

两边约个分，那同学们注意了，这边约掉六啊，就变成了a一，加上二分之五d是等于六的。诶，那等于95的。啊，这边是等于九十五的，这边左右两边约掉四，这边就是a一加上二分之三d。好注意约掉四啊四九三十六四七二十八对吧？好，这是我们的第一步，工作就做完了，

那么下面我们进入到第二步。我们用圈一减去圈二左边减左边等于右边减右边左边相减，把a一个抵消了对吧？剩下的就是二分之二d对吧？所以就是一个d一个d是等于负二的。对吧，然后把它代入，把它代入圈移，我们就可以得到a1。加上二分之五乘以负二要等于九十五，所以呢，我们可以得到a一。是等于100的a1=100的话，那么同学们注意了，他要我去求a6，

所以有等差数列的通项公式a6是等于a1。加上六减一乘以d把数据带进来，它应该是等于一百加上五乘以负二是等于九十的。所以这个题目正确答案选择c选项。对吧，大家通过第87题和88题，我们就知道在应用题，中考等差数列和等比数列，其实用到的都是最基本的公式啊，比如说像求和公式啊。对吧，比如说像通项公式啊，比如说像中项公式，对吧？它其实考的都不难。

好，这是第88题。那么下面呢？请同学们看到第89题。好，我们看到第89题。一般四年级大学每年的毕业生七月份离校啊，新生的九月份入学。好在二零二一年招生2000名，那这肯定是九月份招生2000名了，对不对？好，这是二零。好，这是二零二一年啊，

九月。我看看啊，这么来写吧。啊，这是九月份。嗯，九月份。这边是二零。零一年。九月份招生的是2000人，对吧？他说，之后每年都比前一年多招200人来。这道题目涉及到二零零七年，所以我多写几个，

不要怕，不要怕，麻烦一定多写几个。二零零二，二零零三。二零零四。二零零五。二零零六。好，二零零七。那么，同学们注意了，这个九月份你看啊，它是二零零一年是2000，因为它说每年要多招收两两百名，

所以二零零二就是。啊，就是二二零零这边是二四零零好二六零零。二八零零。好，3000和三二零零。对吧嗯，那他要我们去求二零零七年九月底的学生。那么，九月底的学生，你看这是新招收的大一对吧？好新大一新大一的新招收新进来的大一的学生。那么，二零零六年的这3000个人对吧？他是二零零六年九月份进来的，

到了二零零七年的九月份，他是不是变成了新大二呀？这是新大二的学生。好，这2800我们就可以倒推过来，这是新大三的学生好这个呢是啊，新进入到啊，刚刚开始大四的学生。对吧，那么这上面的这个2400呢？是什么呢？是刚毕业了？对吧，七月份刚毕业。刚毕业的话，

他就已经啊，不是在校生了，是不是那前面的更是毕业了，所以这个地方我是不是不用看了？呃，我因此我要求它的在校生是不是只需啊？呃，我们我们假设这个一般的大学是四年制的大学啊，这题目也说了是四年制大学，因为有些。有些学校啊，比如说医学专业，它的本科可能是五年的，对吧啊，有些特殊的，

它是本。硕博是八年连读的，所以我们按照这个题目中给的交代的信息来去做就可以了。所以这道题目同学们注意了，所以它应该是等于2600，加上2800。加上3000，然后再加上。啊，再加上3200对吧？咱们运算一下，这是一组，这是一组，所以呢是？5800×2它等于幺幺六零零对吧？

11600人，所以这个题目正确答案选择的是b选项。那么，像第89题呢？这个题目只是简单的考到了在应用题中考到了简单的考到了等差数列的啊定义。那这样的题目，有的同学说老师听您这么一讲很简单，但是我做的时候为什么做错了？其实这道题目呢，最主要的就是你要搞清楚大一大二大三大四对吧？这四年到底是哪几年？对吧，到底是哪一些数字相加要搞清楚啊，要搞清楚这个问题对吧，所以说。

应用题啊。不要把它想的太复杂了，就老老实实的把它罗列出来，不要在大脑中一想啊，很容易想错。对吧，罗列出来，眼见为实，看得很清楚，很明白。好，这是第89题，那么下面呢？请同学们看到第90题。第90题呢啊，

它的题干是这样的，它说一个球从100米高处自由落下。每次着地后又落回潜意识高度的一半再落下。好同学们，我们把这个题目画个示意图，我们可以看的很清楚。好，这是地面。然后好，这是从100米的高度落下。然后它反弹反弹到多少了呢？它反弹到一半的高度。好从一般的高度，它再落下来。好，

它再落下来。落下来之后，它再次反弹。反弹到。在一半的高度。好，再从这一半的高度，再从这个高度落下来，然后继续反弹。啊，继续反弹一半的高度。好，它再落下来。好同学们注意了，这是第一次啊。

这是第一次找d。好，这是第二次找d。这个地方是第一次找的。这是反弹上来的，对吧？这是第二次找d好，这是第一次找d，这是第二次找d。好，这是第三次着地，这是第四次着地。他说，当他第十次着地的时候，经过了多少。

好同学们，这边是100米，这边是50米。同学们第一次着地是100，第二次着地是50+50，对吧？第三次着地。啊，是25+25。对吧，前面这个啊，这前面这个啊，注意啊，这个50是表示反弹，这个50表示着地落下来，

落下来着地，对吧？这个是反弹，这个第一个25是反弹啊，第二个25呢是表示。落回来着地。是不是啊？好来同学们，我们再往后这边是应该是第这是第啊，这是第一次对吧？这是第二次，这是第三次着地。好，这边呢，是第四次着力啊，

这边呢是六点二五，再加上六点二五，这是第五次着力，那后面呢，越来越小了，我们把这前面几个大头加起来。对吧，这是第一次着地，第二次着地，第三次着地，第四次着地，第五次着地，人家这道题目要我们去求到，第十次着地，对吧？

好，我们来加一下。这边是啊，100这个是50，这个是25，这个是十二点五，咱们加一下啊。啊，这是100+100，200，200+50，250啊，250，275，200。

啊，200注意啊，这边前面是200。75再加上十二点五啊，再加上那些比较小的数据，这边加总起来是等于两百八十七点五，再加上一些比较小的数据。也就是说，我们算到第五次着地的时候，它已经走了两百八十七点五米。那么后面还有第六次着地，七次着地，八次着地，九次着地，十十次着地，

对吧？所以这个走的路肯定是要大于两百八十七点五。而我们这道题目中，五个选项中只有a选项是大于两百八十七点五的，所以这道题目正确答案选择a选项。是不是啊？选择a选项好，这是第90题。实际上，这道题目呢，是等比数列画个示意图，对吧？举几个呃，前面写几项就可以把这个题目解决了。好，

下面请大家看到第91题。这是一个条件充分性判断的题型。好，我们注意了这个结论。这个结论呢，是总产值。是等于a÷p。它乘以括号，一+p的12次方，再减去一。对吧，这是结论。那么我们看到。条件一啊，他说甲企业的一月份的产值为a以后每月的增长率为p，

对不对？好同学们注意了。啊，因为每月的增啊，增长率为p那么大家注意了啊第。后面一个月比上前面一个月啊，它是等于一加上。等于一+p。是不是啊？等于一+p。啊，注意啊，不是啊，不是p啊，是一+p。

那么这样的话，我们就可以得出来，这是一个。啊，这是一个首项。首项为a啊公比为。公比为一，加上p的。等比数列。对吧，这个an是一个。这个an是一个首项为a公比为一+p的等比数列，那么它一年总共是有12个月，所以呢，这个12个月的总产值。

应该是前12个月就前12项的和对吧？求和，所以它应该是一减公比一减去括号，一+p分之。分之首项，乘以括号，一减去一加上p的。十二次方对吧？我们计算一下，它应该是等于p分之a再乘以再乘以。一+p的12次方再减去一，那就是我们的结论对不对？所以条件一它是可以推出结论来的。好，下面呢？

我们看到。条件二，它的一月份的产值是二分之a，以后每个月的增长率为二p，也就是说an比上。an减，一是等于一+2p的，所以我们可以得出来。这个an是。它的首项为2a。公比为。一+2p的。对吧，公比为一+2p的等比数列，这样的话我们可以得出来它的前12项的和。

应该是等于首项啊，注意分母是一减去括号啊，一减去公比也就一减去括号一+2p。那么，它的首项是啊，它注意它首项是二分之a啊，不是二a。纠正过来用红笔写啊，这边应该首项是二分之a对吧，所以这边应该是二分之a。乘以括号，一减去公比的N次方就12次方，咱们化一下减。换一下减呢，它应该是等于呃。

等于四p分之a。乘以啊，四平分之a乘以括号一+2p的12次方再减去一这个。跟我们的结论长得是不一样的，所以它推不出结论来，那么条件一可以推结论条件二不可以推结论正确答案选择a选项。像这些啊，应用题中的数列问题相对来说其实都是比较简单，用一下公式就可以了，对吧？好，下面呢？我们看到靠法三数列的循环递推。循环数列呢，就是要通过找规律啊，

大家看到92题。它首先呢，有一个公共的已知条件，给的是一个递推公式。啊，他说。an加上，一是等于an+2。比上an+1。n等于一二三。然后它的结论。它的结论呢，是a 2=a三啊，等于a4对吧？那么下面呢？

我们来看一看啊。我们来看一看这个条件一。条件一呢是a1是等于根号二好同学们注意了，我们把它带入我们带入这个递推公式里面。啊a二，它是等于a一加上一分之a一加上二把根号二代入根号二加上一分之。根号二+2，我们把这个分子啊，我们把这个分子提取一个根号二，它就变成了一，加上根号二，对吧？这边是根号二，加上一，这个分子分母。

啊一约掉对吧？所以它就是等于根号二啊根a2是等于根号二，那么下面我们再看到a3。a三是等于由地推公式，我们可以得到a三是等于a二加上一分之a二加上二，好把这个数据带进来，它应该是等于。根号二，加上一分之根号二，加上二，我们再提取一个根号二出来分子中啊，根号二×1，加上根号二。比上根号二+1好，我们这地方又有个约分，

对吧？它一约分我们就可以得到这边，它就是等于根号二的。同样的道理，我们把地图，公式，中n=3代进去，那么就可以得到a4是等于a3+1分之。a3+2啊，把a3等于根号二带进来，根号二+1分之根号二+2分子中提取一个根号二，那么就变成了根号二×1加上根号二，这是分子。分母呢，是根号二+1，

那么分子跟分母中都有这么一个对吧？可以约分约掉，所以呢，最后得到是根号二，你看a2a3a4都等于根号二。所以是不是就可以推出结论来，对吧？可以推出结论来，事实上我们可以得到a1a2a3a4，一直到an。它都等于根号二。是不是啊？它都等于根号二。好，下面呢？

我们看到。第三步，对条件二的分析啊a1是等于负的根号2a一等于负的根号二，那么同学们注意了，我们在d6公式中啊，可以得到a2是等于a1+1分之。a1+2把数据带进来，它就变成了负的根号，二+1分之负的根号，二+2我们把分子中提取一个。啊分子中提取一个根号二出来啊，提取一个负的根号二出来，那么这边就变成了一减去根号二。对吧，那么后面呢？

下面这个呃，下面的这个分母呢是一减去根号二对吧？交换一下位置，交换一下位置啊，这样的话。分子分母又可以约分了，一约分之后，这个是不是就是等于负的根号二对吧？那么我们由d的公式可以得到a三是等于a二加上一分之a二加上二。把a2等于负的根号二带进来，那是不是跟我们上面那个运算过程是一模一样的，所以它还是等于负的根号二？那么，由d这个公式，我们可以得到a4是等于a3。

加上一分之啊a3，加上二把a3等于负根号，二把它带进来。对吧，好，这样的话，我们是不是就也是得出来等于负的根号二，因此我们可以得到a2a3a4。都等于负的根号二，它是可以推出结论来的。事实上，这个数列。你看，不管是条件一和条件二，不管是条件一还是条件二，

我们都可以推出来an啊a 1=a二=a三=a四=a五=a六，也就是这个数列是一个。常数数列对吧？每一项都是相等的，所以条件一跟条件二都能够推结论那么正确，答案选择4d选项。好，这是第92题，那么下面呢？我们看到这个考法四考法四。例93题。例93题呢？在这地方，我要给大家做一个复习啊和梳理，首先第一个复习要点呢，

是在等差数列中。在等差数列an中，我们知道通项公式an是等于a 1+n- 1成立。我们进一步的可以把它写成啊，可以把它写成d×n，加上括号ae-d。一个等差数列，它的公差和首项给定之后，实际上这个数列就啊就锁定出来了，我们可以把它写成，实际上它是。a×n+b，它是关于它，是啊，它是这个关于n的一个一次多项式，

对吧？好，我们可以得到一个结论。好等差数列的。同向。通项an，它是关于。它是关于n的。一元。啊，它是关于n的一元啊，一元多项式。对吧，一元一次啊，一般来说是一个一元一次多项式，

当然这个呃。啊，当然了，这个呢，它也可以是一个零次的，比如说跟这个n这个a前n前面的系数等于零，它的公差为零，对不对？那是个常数项了。啊，它有它也有可能是一个一次啊啊，也有可能是个零次明白吧，所以我写的是个一一次一元多项式。好，那么下面呢？

我们再来看一看啊，对于一个对于一个一次，我们知道一个一元啊。这个一元函数一元一次，多项式或者是一个常数数列啊，它是来我们看一看啊，这是n。这边是an那么它的图像，同学们注意啊，它可以是如果公差d是等于零的对吧？如果公差d=0，那么它是一个水平线。明白吧，这边。如果公差d=0的时候，

对吧？它就是一条水平线，它所有的项都是一样的，是不是？如果公差啊，这个d同学，如果公差d是大于零的，那么它就是往上的一条线。对吧，它就往上了一条倾斜线，如果公差同学们注意，如果公差小于啊，比如说。啊，如果公差是小于零的。

那么，它就是一个往右下方倾斜的直线啊！总而言之呢，这个等差数列的通项啊！通项公式啊，根据通项公式，我们可以得到对吧？等差数列的通项an，它是关于n的一个一元一次多项式或者是一元零次多项式。啊，它是一元一次。或者是。啊，一元零次多项式，那么它的图形。

它的图形是一条。直线上的。散点。对吧，它是图形，是一个一条直线上的散点图，因为同学们注意了，因为n只能等于一二三四五。等于这些正整数对吧？所以呢，它对应着的an它并不是这个直线上的所有的点，它只是这条直线上的一些。啊，散点。好，

下面呢？我们再来看，在等比数列中。啊，在等比数列an中。这个an是等于a1×q的n- 1次方，我们可以把它写成，它应该是等于a1啊，比上q。再乘以q的N次方对吧？那么同学们注意了，我们可以看作它是一个关于q。q的啊，关于q的一个。指数函数。

对吧，好它的图形。它的图形是一个啊，是一条这样的曲线。或者是。是这样的曲线。曲线上的一些散点啊，对吧？因为qu当qu是，所以我们只研究k大于零啊，大于零的情况，如果qu啊是大于一的。那么，它是一个递增的函数，如果q是介于零的一之间的，

它是一个递减的函数，对吧？所以指数函数的特点就是它是往下凹的啊，它是往这个下面凹的，明白吧，它是个下凹。它是一个下二的函数。那么，这个到底有什么作用呢？我们来看到复习的第三个要点。啊，已知。啊，已知等差数列。an与。

与等比数列。BN.对吧，等差数列a与等差数列b也满足满足什么呢啊？满足da 1是等于b1的。啊，这个呃an是等于BN的注意了，这边都写上大于零，也就是说它都是啊。啊正向数列对吧？它是啊，它是正向的，等差数列和正向的等比数列。那么，我们可以画示意图。

好，我们可以画出示意图来。对于等差数列来说。它是。它是一条线，对吧？要么就往上倾斜，要么就往下倾斜。总而言之，它是一条直线，那么对于。好，那么对于这个等比数列啊他。对于这个等比数列。它有可能是往右上方倾斜的，

有可能是往右下方倾斜的，不管是哪一种情况，它都是往下凹的。好，那么我们是。所以这是一。我们设置的地方是n对吧？那么同学们这边呢？是a1，它是等于b1的。好，这边呢是。an是等于BN的。那么，大家有没有发现呢啊？

你看我们这个直线对吧？这条虚线啊，所画的这条直线，这条蓝色的虚线，那我干脆这样吧，把这条线我们。换一个颜色。就这条红色的线啊，在AB两点之间啊，就是在AB段这条红色的直线是。是在这条黑色的曲线的上方，那有的同学说，哎，那如果这个直线是往右下方倾斜曲线，也是往右下方倾斜，

它会不会发生变化呢？不会好，我们给大家呢，也把它画一下啊。比如说这个直线是往右下方倾斜的。那现在呢？我再画一个。曲线。好，这边呢？好，这是一，这是a 1=b一，这是n，这个是an=BN，

这是。AB段那么同学们注意了，我们不管是。啊，就是这个等差数列，如果是递增的情况下。那么就左边这个图等差数列是一个递减的情况下，那么就右边这个图，不管是左边还是右边，它都有个特点在AB段上。对吧，在AB段上这个直线一定是在曲线的上方，并且在AB两点。啊，这两个点处等差数列啊和等比数列，

它的第一项和第a点就是第一项对吧啊，等差数列的第一项和等比数列的第一项是相等的，在b点这个地方。啊，就是等差数列的n项和等比数列的第n项是相等的。那么，我们现在重点研究的是，大家看这个地方。嗯，好，这个点。你看这个点对应的是啊，这是a2这个点对应的是啊a2这个点对应的是。是b2，我们发现了这个a2，

这个a2是大于等于b2的，对不对？我为什么要加上一个大于等于呢？这个等号呢？是因为一个等差数列和一个等比数列，它可以是一模一样的。对吧，比如说一个等差数列和一个等比数列，所有的项都等于一，对吧？它既是个等差，也是个等比。对吧，那么这个时候等比数列当等比数列的啊，公比等于一的时候当等比数列的公比等于一的时候，

它所有的项全部都是相等的，那么这个等差数列的。啊，所有的其实这个这个数列既是个等差数列，也是个等比数列，对吧？这个时候这个an就跟BN就相等了，这个a2就跟b2就相等了，对吧？好同样同样的道理，我们还可以得到这个a3，它是要大于等于b3的，一直到什么呢？一直到an- 1，它是要大于等于bn- 1的。

所以这实际上是我们的一个结论，这个结论呢啊，同学们注意这个结论呢，不仅适用于左边这个图，而且适用于右边这个图，所以不管是左边这个图还是右边这个图，我们最终都可以得到。啊，这个夹在a夹在第一项和第n项之间的那些项全部都是等差数列，要大于等于等比数列所对应着的项。那么下面呢？我们把这个结论呢啊，这个结论呢，从图形的角度来说是非常容易理解的，但是从代数的角度来说是很难搞清楚的。

所以呢，这个题目啊，我们这种要点这个这个命题点，我们应该从几何的角度来切入。大家看到第93题，这是我们考试真题中出现的一道题目，它说a又是等比数列注意了啊，它跟我们刚才所讲的。啊，这个呃，这个标识有点区别，他说。他说an为。an为等比。那BN。

为等差，然后呢？公共已这是公共已知条件，对吧？好公共已知条件呢，第一个告诉我们数列的性质，第二个它也告诉我们ae是等于be是等于一的。好同学们，它的结论。它的结论呢，是b2要大于等于a2，那么下面我们来分析。条件一条件一呢，告诉我们a2是大于零的，那a2大于零说明什么来我们一起来分析一下。

说明啊，说明什么？说明这个公比q啊，这个等比数列的公比q啊，应该是等于a2比上a1啊，把数据带进来。a2是一个正的，一个正数a1呢？是等于一的对吧？所以它是大于零的，我们只能得到公比是大于零的。那公比大于零，推不出结论来，对吧？没有办法比较a2和b2的大小，

因为你没有告诉我。这个等差数列的情况是不是啊？所以条件一单独是推不出结论的结论来的，我们看到。第二步条件二条件二呢，告诉我们说a10是等于b10的。对吧，它告诉我们a10。等于b10那同学们这个时候呢，你没有告诉我们这啊这个。等比数列啊，同学们，这个等比数列到底是正向等比数列呢？还是有正向也有负向的，对吧？

都不清楚。所以呢，它是推不出结论来的。那么下面呢？我们看到第四步一和二联合。好一和二联合，那么我们首先可以得到这个公共已知条件是a1是等于b，一是等于一=1的，对吧？然后呢？这个a2a2呢？大a2是大于零的，我们可以推出来这个公比q是大于零的，前面刚才跟大家已经分析过了，对吧？

公比q是大于零的，所以我们就可以得到这个。数列啊，这个等比数列是个正正等比数列，然后还有个条件是a 10=b十。这样就好办了，这样的话，我们就画图，我们就可以啊，画个示意图出来。其实我们刚才跟大家分析了，不管这个数列啊，不管这个等差数列是个递增的，是等差数列还是个递减的，等差数列对吧？

我就画一个啊这个。假设是递增的嘛好吧，假设是递增的，然后。那么，画一个示意图来。好，这是一啊，这是十。那么，这是a1要等于b1。好，这边呢是a10是等于b10的。好a 10=b十，那么同学们在这个中间这一段的时候。

啊，在这个中间这一段的时候。啊，比如说我这边标为二吧，对吧？那么我们发现这个等差对应的项啊，对应的这个函数值。对吧，它是在等比对吧，上面这个点是对应的，等差等差呢，我们用b来表示这是b2，那下面这个点是对应的是等比我们用AA 2来表示对吧？所以我们可以得出来这个b2，它是要大于等于a2的b2，

是要大于等于二，一定要注意把等号带上，因为等差数列和等比数列可能所有的项都是相等的。是吧，它是可以的，所以呢，我们根据这个示意图可以得出来，也就是说条件一跟条件二联合起来是个推结论了，它单独把它推结论联合起来，可以推结论正确答案选择c选项。这道题目呢，从几何的角度对吧？从数形结合的角度来去解题，它是非常简洁明了的。如果从代数的角度要用到。

啊，要用到均值不等式会非常的复杂。好，那么这个数列的部分呢？我就给大家呢，就进行了系统的全面的讲解，那么。希望大家呢？这个课堂上要力求听懂啊，有些地方理解起来难度较大的地方，大家自己一定要动笔去写。写然后呢？可以反复多听几遍，把它啊，不看讲义，

不看笔记，能够尽量的把它复原出来，对吧？这样的话，经过多次的。反复的思考和俗化，那么我们才能够啊做到在理解的基础上，把这个熟练度做到位。考试的时候才能够不慌，才能够有条不紊。好，我们这一次课呢，就给大家先讲到这里。

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25.课件25 数学强化班第十一讲 （3）

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