14.课件14-数学基础班第8讲（中）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-5 09:47:01

好同学们，我们在第八讲呢，第一小节啊，已经给大家呢讲到了考点49。啊，下面呢？我们在第八讲的第二小节啊，进入到一元二次不等式的学习，我们看到考点50。一元二次不等式呢，是我们考试的核心内容。首先呢，我们做一个。复习。一般来说，

一元二次不等式呢，跟我们一元二次方程，它是有些关联的。对吧，也就是说一元二次不等式，你看啊，我们解的时候往往要先因式分解，我们解一元二次方程的时候也往往要因式分解，对吧？所以呢，我在这边呢，做一个对比。啊，我们做一个对照学习，我们怎么对照呢？

我们把这个嗯。我们把这个相关的啊，三个。内容把它放在一块进行对比学习。这边是。这边是一元二次函数，对吧？我们最早学的。然后呢？呃，一元二次。方程。这边呢是？一元二次不等式。那么，

一元二次函数啊，我们啊，它的表解析式啊，也就它的表达式是y=ax^2。啊加上bx+c啊，注意这地方a是不等于零的，对吧？它这叫它的一般式。啊，这个一般式呢，我们可以先啊，我们可以因式分解，对吧？对吧，如果能因式分解的话，

我们就先因式分解啊，这是它的解析式表达式啊，这是它的一般式，那么它的。呃，因式分解之后，如果它能够因式分解，对吧？给出一个一元二次函数，它能够因式分解的话，我们分解之后可以写成y等于。a乘以括号x-x一，再乘以x-x二。那么，它的呃图像。

同学们注意啊，它的图像呢？首先我们画一个坐标轴出来。然后我再用这个。啊，它的图像比如说啊。如果啊。这么画吧。嗯诶。好，那么它与x与x轴的交点。这是x1。啊，这个地方呢？是x2。

这是一元二次函数，那么大家会发现。当x。啊，我用红色的笔来写，这边当x小于x1的时候就是这一块。或者是x大于x2的时候就这一块，它的函数的图像是在x轴的上方的。那在x轴的上方。就等价于。对吧，等价于y是要大于零的。是不是y大于零啊？同学们注意，我的画的是个开口向上的啊，

我这举例举例呢，是a大于零的情况啊，我们举例是a大于零的情况。好，那当啊，同学们注意了啊，当x小于x1啊，或者是x大于x2的时候。我们可以得出来，这个是不是这个y要大于零了？对吧y是大于零的，那么当x小于x2啊，大于x1的时候。好这个y呢，它是小于零的。

对吧，好同学们注意了啊，这是其中的第一个，这是其中的第二个，那么下面呢，我们再看到其中的第三个就是当x=x一。啊，或者是x2的时候。这个y它是等于零的。这是一元二次函数，我们举a大于零的啊，这个例子当然我们也是专门考虑它可以因式分解的时候。是不是啊？可以因式分解，所以我再把这个把它补充上来。

复习我们设。a大于零。啊，是a大于零，这个y等于。a啊啊，可以写成双根式。即即ax的平方，加上bx+c这个表达式。可以因式分解。对吧，因式分解，我们可以用双十字相啊，用十字相乘法，对吧，

用十字相乘法就一个十字相乘就可以用十字相乘法来解决它。那么，对于一元二次方程啊，它的表达式是ax的平方，加上bx+c。等于零。对吧，它因式分解之后呢，变成了a×x-x一，再乘以x-x二=0。那么，它所解出来的根是x=x一啊，或者是x=x二。好，大家发现了没有？

这个一元二次方程，实际上啊，就是一元二次函数。啊一元二次函数，这个图像与x轴的交点的横坐标。知道焦点的横坐标。好，那么下面呢？我们再来看这个一元二次不等式。一元二次不等式呢，是ax的平方，加上bx，加上c，它大于零。对吧啊，

那么。好，还有另外一个是小于零，对吧？ax的平方+bx+c小于零。那么同学们啊，这边我们因式分解之后就变成了a×x-x一×x-x二，它是大于零的。对吧，当a大于零的时候，注意了，我们这边设的是a大于零，当a大于零的时候，它开口是向上的，我们借助这个一元二次函数的图像来看。

我是不是可以设啊？是不是就相当于是啊，相当于是我们这个一元二次函数y大于零的时候，这个x的取值范围？而根据图像来看，y大于零的时候就是x小于x1或者是x大于x2是不是啊？所以我们是不是可以得到解集是x要小于？x1啊，或者是x要大于啊，大于x2。对吧啊，这边我们实际上是不是人为规定的x1是小于x2的对吧？好，那么下面我们再看ax的平方+bx+c小于零，它当它的因式分解的时候，

对吧？就变成了a×x-x一，再乘以x-x二，它要小于零。它要小于零的时候，那就是甲中间，所以x要小于x2要大于x1，对吧？x要小于x2，大于x1，那么我们借助一元二次函数的图像来看，当a大于零的时候呢？是不是就两个人之间夹在中间就行了？对吧？夹在中间，

所以我们可以总结一个口诀，这个口诀是。开口向上。注意啊，开口向上的时候啊，大于零。取两边嗯，大于零指的是这个地方大于零啊，取两边取什么的，两边呢，取根的两边对吧，取x1和x2的两侧。明白吧，两侧呢，就是x小于x1或者是x大于x2。

对吧，那么这边的口诀呢？是注意了这边的口诀啊，是开依然是开口向上的时候啊。开口向上的时候叫小于零啊夹，中间夹在什么的中间呢？夹在两根的中间。是不是啊？夹在两根的中间。好，这就是我们啊。这个一元二次函数一元二次方程一元二次不等式的，它之间的关联其实一元二次方程和一元二次不等式，它都是依赖于一元二次函数的。对吧，

它都是我们一元二次函数的啊，这个图像的啊。细致的或者说啊，深入的探究它探究的都是一小部分，对不对？探究的是一个局部。那这个一元二次方程探究的是什么呢？探究的是这个一元二次函数的图像与x轴的交点问题。对吧，一元二次不等式呢，是探究的是一元二次函数有哪一部分是在x轴的上方，有哪一部分是在x轴的下方？是不是探究的是这一个？对吧好，那有的同学说老师如果啊，

如果在一元二次方程和一元二次不等式中遇到了。开口向下的情况，比如说a小于零怎么办呢？如果遇到了a小于零，比如说负x的平方，加上2x啊，加上2x，加上三，它大于零。这就是一个开口，对吧？对应的这个呃x的平方前x的平方项的系数a是小于零的。那么这个时候我是不是要想办法先把它转化成为开口向上的情况，我可以在不等式的两边同时。乘以负一。

那么就变成了什么呢啊？就变成了x的平方，减去2 x- 3，它的小于零，注意了不等号，两边同时乘以或者是除以一个负的。啊，一个负数那么这个不等号是要变相的，也就是说原不等式跟下面这个不等式是等价的诶，这就变成了开口向上。对吧啊，小于零的情况，我们的口诀是小于零夹中间，所以我稍微因式分解一下，应该是x+1。

乘以x- 3小于零，这样我是不是可以得到x是小于三对吧啊？小于三大于负一的。对吧，是不是就假中介呢？小于零就假中介。明白吧好，这是啊，这个要点那么下面呢？我想啊，通过这个咱们讲义上的啊，这个例题啊，两道例题呢？来跟大家来啊，熟悉一下啊，

来学习和熟化我们这个一元二次不等式去求解的这个过程。好，我们看到第77。例77呢，这道题目呢，它说负2x的平方。加上7x要小于六。所以呢，我们啊，我们首先移项。一项变成了负2x的平方，加上7 x- 6小于零。对吧，好两边同时乘以负一。我们两边同时乘以负一。

可得不等号，两边同时乘以负一不等号的方向是要发生变化的，对吧？左边乘以负一变成了2x的平方，减去7 x+6，它是大于零的。好，我们在怎么办呢？在因式分解。我们再因式分解，把这个二分解成为一和二相乘，把这个六分解成为啊二三得六，也可以分解成为啊一×6，对吧？我们要试验一下。

二和三那不行，因为我们交叉相乘，还必须要等于一次项的系数x，前面的系数是负七，所以我前面添个负号，把这个六变成负二。和负三那么这样交叉相乘再相加一乘以负三加上二乘以负二是等于负七的，说明我们分解成功，对吧？所以呢？分因式分解之后，得到的结果啊，因式分解之后，得到的结果是什么呢？我用红色的笔来写啊，

应该得到的是。x- 2注意这边的一代表是一个x啊，这边的这个二代表的是两二个x两个x对吧，所以变成x- 2。乘以2 x- 3，它是要大于零的。好，我们写了这一步之后，我们再用口诀。实际上，我们是不是就是基本上就是这样的几步啊？对吧？圈一圈二圈三圈四，那么我们的口诀是大于零取两边它的根。分别是二和二分之三取两边，

对吧？显然这个啊这个。二是大的，这个是小的，所以取两边是不是往这边跑和往这边跑，那么我们的口诀就是x要小于。二分之三啊，或者是x大于二。对吧，这就是我们的小于x小于。啊以x小于二分之三啊，或者是x要大于二。好，这就是啊，这道题目它所代表的啊，

代表着的。一元二次不等式的求解方法对吧？通过移项啊，移项之后呢，变成一个这种标准的格式对吧？变成ax的平方+bx+c等啊，小于零或者大于零的这种格式。然后第二个呢，两边同时乘以负一是为了把x的平方项x的平方项的前面的这个系数变成正的。因式分解呢，是为了找根是吧？好同学们。这是第77题，那么下面呢？我们看到第78题。

第78题呢？这是这是一道条件充分性判断的题型。我们看到第一个条件啊x的平方，加上3 x- 18小于零。啊，这已经写成标准格式了，所以接下来我们要因式分解对吧？所以我们。我们这边是因式分解啊。那么，因式分解呢？我们可以用十字交叉法，对吧？十字相乘法，十字相乘法，

这是一一这边呢？是三六一十八。啊，我们x前面的这个系数是三，所以我这边添个负号对吧？负三×6是等于负18的，然后再交叉相乘，再相加一×6。加上一乘负三是等于三的，恰好等于x前面这个系数，所以我们因式分解之后可以得到x。减去三×x，加上六是等于啊是小于零的，对吧？它是小于零。

同学们注意了，然后接下来我们是不是可以使用口诀？我们的口诀就是啊，小于零甲中间，它那两个根注意它那两个根。一个根是负六，一个根是三对吧？加中间是不是就是x要小于三要大于负六啊？对吧x要小于三大于负六注意了，我们的结论是什么呢？我把它摆在这上面啊，用红色的笔。我们的结论是x小于负一，大于负六，对吧？

这是我们的结论。那么，大家注意了x小于三大于负六，它不是我们结论的子集，所以呢，它是推不出结论来的啊，它推不出结论来。有的同学说，老师为什么呢？其实我们可以举一个反例，对吧？我们举一个反例，比如说x=2。对吧x=2，它是满足我们这个对吧？

它是满足我们这个条件一的。对吧，它它满足小于三大于负六，但是它是推不出结论来的，对不对？它不在我们结论的范围之内。所以啊，也就是说，当我们能够找到一个满足已知条件啊，一但是呢啊，它推不出结论来，这样的一个例子就表明这个条件是推不出结论来的。好，下面我们看到第二步，看到条件二的分析。

条件二呢，它说x的平方减去二x减去三，它大于零好，我们首先也是要先。啊，因式分解。啊，这个x呢？这个平方项x的平方项的系数我可以分解成为一乘一这个是啊，常数项呢负三我们可以分解成为啊，这个一乘负三对吧？一乘负三，那当然，我也可以分解成为负一乘三，但是我们对吧，

要有这种这个敏感度，要有经常练了之后会有这种直觉，你看交叉相乘，它要验证了交叉相乘再相加是等于一次项系数的。所以一乘负三加上一乘一，它是等于负二的，对不对？所以呢，我们这边可以因式分解，可以得出来，应该是x加上一。乘以x- 3，它是要大于零的，对吧？那么它的两个根是负一和三。

这样的话，我们是不是可以再次使用口诀？对吧，它的口诀是啊，小于零啊，甲中间大于零，取两边我们这地方是大于，所以要取两边，所以应该是x要小于。负一或者是x要大于三对吧？你看x大于三的，比如说x=4，它是满足条件二，但是显然它是推不出结论来的。对吧，

所以同学们注意了条件二，它推不出结论来，对吧？条件二，它推不出结论来，我们举一个反例，比如说x=4。它就满足条件二对吧？但是它就推不出结论来。那么，条件一和条件二，它单独都不能够推出结论来。那么，同学们注意了，这题目还没做完，

是不是我们还得进一步的往下？看粘合。第三步啊，条件一和条件二联合起来。那联合起来的意思就是，既要满足条件一，又要满足条件二，对吧？比如条件一可得，这个x是要小于三。大于负六的，由条件二可得x是要小于负一或者是x大于三的。因为条件一里面已经明确的要求，你要满足条件一，这个x必须小于小于三，

那你这个x大这个x大于三的这种可能性是根本就。没有啊，所以x不能不可能大于三，所以把这个条件二推出来的这个x大于三，我们就把它划掉。然后呢？再把x啊这个条件呃，我们条件二推出来的这个解集中有两部分，第一部分是x小于负一，第二部分是x大于三。x大于三啊，这一部分是啊跟啊是跟我们的条件一得到了这个解集是有。对吧，没有交集，或者说它是有矛盾的，

是有冲突的，所以就把它划掉，舍弃掉那么条件二推出来的这个解集。是不是只剩下x小于负一这一部分了，那么这一部分与条件一再啊进行。啊求交集，求共存的部分，所以就可以得出来x要小于负一要大于负六，那不就是我们的？啊，题目中的结论了吗？对不对？所以条件一跟条件二它联合起来啊，它单独不能推结论啊，联合起来是可以推出结论来的。

因此，这一道题目，它的正确答案选择c选项，对吧？按照我们的题型规则，两个条件。分别不能推出结论来，但是联合起来可以推结论那么正确。答案选择c选项。好，这是第78题啊，第78题下面呢，我们再看到第79题。好，我们看到第79题。

现在呢，我要给大家呢，做一个复习啊，我要给大家做一个复习，第一个复习呢啊，第一个复习呢是。我举个例子啊x的平方啊，减去2 x- 3，它大于零。我们再来求一下它的解集啊，我们求一下它的解集啊，首先因式分解，因式分解之后可以得出来是x+1。乘以x- 3，它是大于零的，

而我们的口诀。是啊，当这个呃。平方项的系数，你看它是大于零的时候啊，这个x的平方项的系数是一，它是大于零的，大于零平，也就是开口向上了嘛，对吧？对应的一元二次函数，它的图像是开口向上的一个抛物线，所以呢，我们马上用口诀这个口诀呢，是大于零取两边。

对吧，大于零取两边啊，所以应该是x要小于负一啊，或者是x要大于三。明白吧，这个我们可以这么说啊，开口向上啊，解一元二次不等式的时候，开口向上叫正常情况，叫正常情况下我们大于零时区两边的。什么叫正常情况啊，就是开口要向上。是不是能理解吧，所以呢，我们的口诀中。

我们的口诀是啊。开口向上的时候。啊，是大于零。对吧，大于零取两边。小于零加中间。大于零取两边，小于零加中间，这是我们的口诀。好，那么现在请同学们来看一看，我现在有这么一个题目。啊啊，我说负的括号x的平方啊，

我这么写吧。叫做。负的括号x+1×x- 3，它是大于零的。那么这种情况。同学们注意了，这前面的符号是一个负的。所以我是不是首先得变号啊？对不对？我们变号了之后你看啊，我们在补导号两边同时乘以负一啊，左边乘以负一就变成了x+1。乘以x- 3要小于零对吧？这样我是不是可以得到啊？这边按照我们的口诀是不是小于零加中间？

因为这个是我开口向上了，对不对？开口向上的情况下。注意这个是开口向上的，开口向上对吧x+1×x- 3小于零，这个是开口向上的，开口向上的话那么小于零加中间，所以我可以得出来x是小于三。啊小于三，大于负一的。是吧x是小于三大于负一的。那么，同学们注意了，如果啊，你看啊，

这个地方它是可以作为一个命题点来考我们的啊。我举个例子来说啊。说若。若a×x+1×x- 3，它大于零。啊，它的解集为。啊，解集为x小于负一或者是x大于三。同学们注意了，则我一定可以得出来，你看这个是大于零，它取两边，那说明这个a是不是一定是大于零的？对不对a1定是大于零的。

能理解吧，好，我们再来看。我把这地方呢稍微。负责一下，下面我们做一些改动。啊，我们把这边呢。啊，这个解集部分。重要的变化。解集部分呢，改成了什么呢？改成了x小于一大于大于负三，哎呦，

它的解集是夹中间了。我们正常的口诀，我们的口诀正常情况下是啊当啊，抛物线的开口向上的时候对不对？也就是a是大于零的时候，我们口诀是啊大于零取两边唉，我现在居然解就是加中间了。这是怎么回事呢？只能说明一点。是不是a啊？是小于零的a小于零，我在左右两边在不等号的啊，这个左右两边同时除以a。同时，除以a啊，

它不等号的方向要变号，是不是除的是个负数啊？不等号两边同时除一个负数，它的不等号是变相的。能明白吧啊，好那么这个第79题呢？我要给大家复习的就重点是这个第三点和第四点。好前下面呢，我再进一步的看第五点，我再往前推进一步啊，第五个要点呢是啊若。若ax的平方+bx+c，它大于零。它的解集为。x小于负一。

或者x大于三。好，这是它的解集是什么呢？它的解集是啊，你看这个时候它没有个因式分解的那个式子给我们，我们是不是依然是要用口诀口诀是？啊，开口向上的时候大于零取两边，唉，我现在是取两边说明什么呢？说明它开口是向上的，所以这个a是大于零的。是吧，好，我们再接下来。

好，我们继续写。我们现在来告诉它的解集。它的解集呢，是x小于三，大于负一。是吧x小于三大于负一，它是夹中间的，而我们的口诀是说在开口向上的情况下，我们是大于零取两边小于零夹中间，你现在小于零，你大于零，结果你夹中间了，只能说明一点，你的开口不是向上的。

说明开口对吧？它只能向下了，所以说a是不是要小于零的，对吧？a大于零的时候表示开口向上。a小于零的时候表示开口向下。是吧，好同学们注意了。其实啊，除了啊，除了可以得出来a大于零啊，这个判断这个根据解集的这个结构和形式，我们可以判断。呃，这个开口向上还是开口向下对吧？

我们还可以啊，得到一个结论，不仅能够得到a大于零，我们还可以得到什么呢？还可以得到。负一和三。他是。它是ax的平方，加bx+c=0的根。那下面这个也是一样的，且我们可以得出来负一和三啊，它是它是ax的平方。加bx+c=0的啊，等于零的根。对吧，

它是。啊好，这是第啊，这是第70。九题啊，要给大家做的这个复习要点，其实啊，虽然说我们这个考试它覆盖的嗯，广度非常大啊，它涉及到小学，初中，高中，甚至一点大学的内容对吧，但大学内容都是很基础的。啊啊，

应该做主体就是小初小学初中啊，高中的内容啊，高中也不是全涵盖全部啊，不是涵盖高中数学的全部，它是高中数学的一小部分。啊，就是设计的跨度比较大，但是呢啊，尽管在这些非常复杂的知识点面前，我们显然不能够把所有的知识点从头到尾去。学习也不应该从头到尾去学习，因为我们时间是有限的，应该集中在那些对吧啊，把那些必考点那些一定要掌握的。啊，

给大家那些基础知识也好，技巧也好，给大家疏通。所以大家发现你看这个79题，我跟大家去讲了六个要点，但这六个要点已经啊，对应我们这个考试是绰绰有余的了。好，下面呢？我们来看79题，这个题目本身的解析。好，我们看了解析。题目中给出来的，我们先把它的要点先提炼出来，

叫做ax的平方，加上bx，加上加上一。它大于零的解集。它大于零的解集为。啊x小于三分之一对吧？它大于负一，所以我是不是马上就可以得出来，你看本来我的口诀是大于零。取两边现在你的解集是假中间了，说明什么说明啊？这个x的平方前面这个系数a啊？他是不是得小于零了？对吧，这是其一其二，

我们说取两边也好，那大于零取两边小于零，加中间也，你看这口诀中的是不是取什么的两边呢？啊，你取什么夹在什么的中间呢？是不是夹在根的中间呢？所以这就回归到了什么呢？就回归到我们前面啊。这个给大家复习这个要点的时候，就是要把一元二次不等式跟一元二次方程和一元二次函数对比起来，学习这个x1x2。其实就是对应着一元二次方程的根，是不是啊？所以呢，

我们马上就可以得到。啊，在这个题目中，我们还可以得出来负一和三分之一啊，它是。ax的平方+bx+1=0的两根。是吧，等于零的两根好，这是我们的。第一步，下面我们看到第二步。我们现在呢，既然你告诉我一个一元二次方程的两根，我是不是可以用韦达定理来去做啊？对不对啊？

可不可以用韦达定理？当然可以了两根之和。要等于负的a分之b是吧？两根之积。要等于a分之c，是不是要等于a分之一啊？所以由下面这一个，你看我是不是就可以得到a等于多少a？是不是要等于负三呐？啊，对吧？a是等于负三的。那a等于负三，那确实满足我们a小于零这个要求了，对吧？

好，下面我们把它带上来，对不对？我们再把它带进来，把a等于负三带进来，注意了负一，加上三分之一是等于负的三分之二的。对吧嗯，然后这边呢是等于负的，这边是负三啊分之b。是不是负负得正？那这不就相当于是等于三分之b了吗？对不对？能理解吧，所以这样的话，

我就可以得到b是等于负二的，所以a=- 3 b=- 2，那么这样的话，我是不是就可以求出来AB的值啊？对吧，那么AB的值应该是等于负三乘以负二，这要等于六。对吧，负三乘以负二十等于六，所以这个题目正确答案选择a选项。你看这道题目，它是一个跟我们前面的两道题目是有区别的，我们前面的77题和78题呢，是给了一元二次不等式，要我们去求它的解集。

而第79题呢？它是反其道而行之，他给了解集，反过来要我们根据这个解集的。到底是取两边还是夹中间来倒推啊？来倒推啊，这个啊平方项的系数对吧x的平方项的系数到底正还是负？然后还要进一步的得出来，给出来的，这通过这个解集对吧啊？这两个边界值我们要得出，这两个边界值就恰好是。这个啊，一元二次不等式，把那个不等号换成等号之后所对应着的这个一元二次一元二次方程的根。

然后再考韦达定理对吧？你看很多同学可能根本就想不到这个题目，居然还能够考韦达定理。是吧，当然这个题目呢，我们除了用伟大定理的方法去做之外，我还可以直接把既然你负一是这个方程的根对吧，既然你负一是这个方程的根，那你把x=- 1带到这个方程里面得到一个关于AB的方程。对吧，然后既然你三分之一是这个方程的根，那我就把x等于三分之一带到这个方程里面，我是不是又得到一个关于AB的方程？这样联立两个方程去求解也是可以的。所以说条条道路通罗马，

关键是要掌握好方法。好，这是啊，考点51元二次不等式的，这个求解啊，对应着的正反两种类型，对吧？正就是啊，就是指告诉一元二次不等式。求解集反是指告诉一元二次不等式的解集，反过来去求参数的值。好，那么下面呢？我们就看到考点51啊，我们看到考点51。

考点51呢，我们在这个地方呢，要研究一种特殊的情况，叫做一元二次不等式的恒成立问题。所谓一元二次不等式恒成立啊，比如说它告诉我们什么ax的平方+bx+c，它大于零啊，它是恒成立的。好，大家注意了啊。我在这边呢，我还是想啊，跟大家用对比的方式来去啊，用对比的方式来研究啊。这边呢是？

一元二次函数。这面是。这边是一万，是不等式。那么，对于一元二次函数来我们研究几个问题啊？啊，这是这个x轴啊。啊，这是x轴，大家来研究一下那。这个。抛物线是在。是在x的上方。它与x轴是没有公共点的。

那么，这种情况啊，这个抛物线是不是判别式注意啊这是？y等于。ax的平方+bx+c。这是开口向上的，开口向上啊，这是它的图。对吧，那么它的啊特征。通过这个图形。我们来分析它的特征，它的特征是首先它的开口必须是向上的。对吧啊。这个是这个图形代表的是什么呢？

这个图形代表的是啊。这个好，它的图形特征是y大于零，是恒成立的。对吧，他y大于零是横成立的，因为他的图像是不是在x轴的上方啊？它横在x轴的上方，所以呢啊，代表着y大于零时分成立的。那么，它的图像特征我们可以看到，它的开口只能向上，它的开口绝对不能向下。如果你的开口是向下的，

那这个是不是就？不不满足y大于零恒成立啊，对于任所谓y大于零恒成立是指。任图形中的任何一个点都在x轴的上方，这叫y大于零横成立。你看你这样开口向下的话，是不是也？是不是也不满足图形的任何一个点都在x轴上方，所以它只能往上啊，就是x啊，就是y大于零横成立。他画图的时候只能是只能是y啊，只能是在x轴的上方。对吧，它的图形特征是这样的啊，

一个图形在x轴的上方表明y大于零，是很成立的，那么它的特征是a，那既然你开口向上说明a要大于零，既然与x轴没有交点。是不是表明它的判别是德尔塔等于b方减去4 AC？是不是得小于零呐？对不对b方减4 AC？b方减4 AC是要小于零的。好，下面呢？我们再来看。啊y等于。啊y=ax^2，加上bx+c。

它的图形啊，它的图形同学们注意了。是向下的时候，这是x轴。好，那么同学们注意了。它的代数特征就是y小于零，是恒成立的。对吧y小于零是很成立的，那么现在呢？我们抓住它的特征。它的特征是什么呢？首先，它的开口必须是向下的，如果你开口向上，

那么。对吧，不管你怎么画，你只要是画开口向上的。它就不可能，它总有一个你开口，你比如说你画开口向上对吧？画开口向上总有一个一些地方，它是在额轴的上方的。对吧，它的x轴的算法而y小于零横成立的话，它表示的意思是指它的图像全部都在x轴的下方。所以它的开口，它不能够朝上，它只能朝下，

对不对？又因为它与x轴没有公共点，对吧？所以呢，我们是不是可以得出来判别是德尔塔？等于b的平方减去四AC，减去四AC，它是得小于零的。对吧，它得小于零。能理解吧，好那么现在呢？我们根据啊，我们根据刚才分析的一元二次函数的这个图。无形其他对应的特征，

我们就可以得到一元二次不等式的两种特殊的情况，对吧？第一种情况是第一种情况是啊若。若ax的平方+b注意了bx+c，它大于零，所以这边呢a肯定是不等于零的，因为人家已经。啊，明确的指出来，这是一万是不等式，所以这a是不等于零的，对吧？若ax的平方+bx，加上c大于零。很惨烈。

则可以得到什么？它很成立好，这我们可以得出来它对应的啊，我们如果设如果我们设这个东西是y的话。啊，我们如果设这个等于等于y的话，是不是表示y大于零很成立对吧？我们表示y的话，是不是y=ax^2加bx+c那那这个y是不是表示y大于零很成立？那y大于零恒成立，我是不是马上可以得出来？我是不是马上可以得出来两点，第一点是a它的开口向上这个抛物线的开口是向上的，第二它的判别式德尔塔是不是得小于零呢？对吧？

a尔塔等于b方减4 AC，它是要小于零的。好，这是第一类，那么下面呢？我们看到第二类。第二类ax的平方，加上bx+c小于零恒成立。唉，小于零恒成立，那么同学们注意了它对应的图形。它对应的图形的话啊，我如果设这个表达式是y对吧啊y=ax^2加bx+c。那么那么这个不等式是不是就表示y小于零横成立那y小于零横成立？那我是不是马上想联想到一元二次函数？

那啊，你的y小于零横成立是不是只能是啊？说明它开口向下，并且判别是啊delta是小于零，也就是说这个抛物线与x是没有交点的。是吧，所以我们可以得出来，这个a是小于零的，并且这个德尔塔是小于零的好，大家会发现了啊，我们。啊，我们这个呃括号一啊，也是ax方加bx+c大于零横成立跟小于零横成立，它都有一个共同的要求，

是德尔塔必须小于零。也就是说，这个抛物线与x轴没有公共点，那么它的明显的区别是，如果你说大于零恒成立，那么就意味着开口要向上a要大于零。如果你小于零恒成立，那么就意味着开口向下a要小于零。是不是你这个地方是大于号，那我这就要得大于号，你这边是小于号，那我这地方。这个是要小于号。是不是啊？所以说这都是有对应关系的。

啊，这个对应的是小于号啊，那就这个地方。这个地方对应的是小于号。这个符号要对应上。好，下面呢？我跟大家呢？啊，通过一道例题来去理解和把握它，我们看到b。80。好，我们看到例80。第80呢，

他说不等式。好，大家注意了啊，这里面有一个小的陷阱，它说的是不等式，到底是一元二次不等式呢？还是其他的不等式呢？没说他，只是说一个不等式，对吧？不等式ax的平方。加上x。加上c大于零。它对于一切的x恒成立。对吧，

实数x。对于一切的实数x。很成立。是不是得到这么一个这么一个内容啊？好，大家注意了这个呢，我首先呢，这是它的结论，我想把这个结论做一个等价转换。首先我们做一个啊，分类。我们做一个分类讨论，对吧？第一种情况是什么呢？因为我现在啊，

我现在搞不清楚这个不等式。到底是是不是个一元二次不等式，有的同学说老师这看起来长得样子，像个一元二次不等式啊。啊，大家注意了，长的样子像个一元二次不等式。它是带有陷阱的。因为当a=0的时候，那你ax的平方就没了嘛？对吧，当a=0的时候，这个不等式，它就不是一个一元二次不等式了。是不是所以我们分析的时候，

我们要分类讨论，把这个问题啊，从严谨的角度来进行分析，第一种情况是。是当a=0的时候，当a=0的时候，那么原不等式为。原不等式为x，加上c大于零。对吧x+c大于零。它这个不等式，它不是很成立的。明白吗？它不是横成立的。因为结论中说的这个是对一切的实数x很成立嘛，

我要把这个结论想做一个等价转换了，你也就是说你x+c大于零，它不是很成立的，有的同学说老师为什么不是很成立呢？我举一个反例。那我举一个反例就行了，比如说x=-c，加上一。当x=-c唉唉唉，我这样吧写吧，我写成x=-c。不用加，一直接写上负c啊x=-c哇塞，还写个减一都行，把x=-c- 1，

你看它是个实数。对吧，我代进来之后，你看左这这个x+c大于零，它是不成立的。是不是你找出一个反例来了？明白吧，是不是？啊，所以啊，所以这个当a=0的时候。这个原不等式，它不是很成立的。好，第二，

当a不等于零的时候。当a不等于零的时候。原不等式。它就成了一个它就是一个。原不等式。是原不等式，是一个。一元二次不等式。原不等式是一个一元二次不等式。啊当a不等于零的时候，原不等式是一个一元二次不等式，那么一个一元二次不等式对一切的实数x很成立。那么袁杰呢？此时原结论它是等价于什么呢？等价于。

d你看大于零横成立是不是？就像我们前面跟大家讲的，大于零恒成立在这儿，大于零恒成立啊，是表示它开口要向上，并且德尔塔要小于零了。对不对？所以我们就可以得到这个a，它必须是大于零的，这个德尔塔必须是小于零的。即啊，即这个a是大于零的德尔塔等于多少呢？德尔塔等于b方减CC在我们这个题目中是不是应该等于一？啊一的平方啊，就是一一减去四AC。

它是不是要小于零呢即？啊，这个a要大于零，并且a乘c是要大于四分之一的。我们刚才通过啊，分类讨论分析，我们发现当a啊等于零的时候，唉。它不是恒成立说明这种情况是不是得舍掉？对吧，这种情况得舍掉，因为题目中它是要横成立的。啊，我们当a不等于零的时候诶，这种情况啊，

它是恒成立对吧？恒成立是等价于这一个。所以呢，我们马上可以得到一个结论，因此啊。原结论它是它要恒成立嘛，对吧？原结论它要恒成立，那肯定a不能等于零了，对吧？a不等于零，那么我们进一步的就可以得到。啊，它是等价于a大于零，并且AC是要小啊，

是要大于四分之一。是不是啊？AC是要大于四分之一。好，那么下面呢？我们看到啊，我们看到第二步。啊来看来条件啊条件呢，它说a是大于零的a大于零，那你没有告诉我AC大于四分之一啊，这个条件不知道对不对啊AC是否大于四分之一，我是不不得而知的。所以条件一，它是推不出结论来的。好，

下面呢？我们看到。我们看到第二步啊，我们看到第三步分析条件二对吧？我们的分析条件二。条件二呢，他说这个AC是大于四分之一的。a再大于四分之一的话，那显然是不是也是推不出结论来的？对吧，好，因为你没有告诉我a是不是大于零呢，所以下面我们看到第四步那么一二联合。一二联合就是既有a大于零，又有AC是大于四分之一的，

那不就是我们这个？那不就是我们这个等价结论吗？所以他是能够推出来的。对不对？那么条件一跟条件二单独不能够推结论联合起来，可以推结论。对吧，按照我们这个条件，充分性判断的题型规则正确，答案是不是应该选择c选项？对不对？正确答案选择c选项。好，下面呢？我们啊？

看到这个。嗯，考点52绝对值不等式求解的问题。考点52绝对值不能是求解问题。啊，关于绝对值呢？我们首先也是给大家先做一个复习。啊，这个复习要点呢，是这样的啊，比如说x的绝对值小于a啊，所以这边显然a是必须大于零的，对吧？考试的时候啊x的绝对值小于a，同学们注意了这个呢啊，

它等价于什么呢？等价于x是小于a。大于。大于负a的。是吧，等价于x是介于负a到a之间。啊，等价于x是小于a大于负a的。好，这是第一个要点。啊，第二个要点，大家可以对比一下，说x的绝对值是大于a的，同学们注意了，

我们也是a大于零啊，这个等价于什么呢？等价于x是。小于啊x是小于负a啊，或者是x要大于a的。啊，大于a的。有的同学说，老师这是为什么呢？好，我给大家做一个分析，实际上这跟我们的啊，这个跟我们的。啊，一元二次不等式是有关联的，

那x的绝对值小于a，所以这个a是大于零的，那么我两边平方。是不是它等价于x的绝对值的平方要小于a的平方？对不对？好那么这个进一步的等价于x注意x的绝对值，它的平方就是x的平方。对吧，就是x的平方要小于a的平方好，我们做变形是不是这边是不是进一步的可以增加于x的平方减去a的平方？它要小于零，好做因式分解，应该是x-a×x，加上a小于零，所以我们是不是可以得到x是小于a？

大于负a。是不是是不是就是我们x介于负a到a之间是不是就是我们这一个？好，这是我们的第一个分析，那么对于我们的第二个分析呢啊x的绝对值大于a好，我要跟同学们说明一下啊，这个上面有的同学说老师为什么你可以两边平方，大家想一想。这个是非负数，这个是啊，这个x的绝对值是个非负的a，也是一个非负的，并且a是大于零的，对吧？两个非负数啊，

这个。就是两个大于等于零的时候比大小，对吧？你大的时候一平方是不是还是要更大呀？能理解吧，好当然了，我们这边也是这样，也是如此啊x的绝对值大于a这两个，你看a是大于零的。那这不是，这是两个正数啊，对不对啊？两个正数比大小对吧？正数呃较大的那个正数，你平方之后是不是还是较大的？

能理解吧，所以说这里面它还是有很多规律性的东西的啊，好这边它就等价于什么呢？等价于x的绝对值的平方啊，要大于a的平方。啊，又因为x的绝对值的平方就等于x的平方，对吧？x的平方要大于a的平方，我们进一步的啊，一项x的平方减去a的平方是要大于等大于零的啊，因式分解可以得到x。减去a×x，加上a是大于零的。对吧，

这样的话，我们是不是就可以得到得到大于零取两边，所以应该是x要小于负a。啊，或者是x要大于a是不是你看我们这上面？啊，你看我们这个上面，我们这上面是不是小于零夹中间了？小于零夹中间，我们这边是。大于零取两边是不是啊？这边是。小于零。啊小于零加中间。对吧，

这边是大于零。大于零，取两边。所以大家会发现呢，我们这个绝对值啊。不等式，最简单的绝对是不等式，就是x的绝对值小于a啊，这个a是一个大于零的数，我们就可以得出来。x是夹在负a和a之间x的绝对值大于AA大于零，那我们可以得出来。它是取两边对吧x小于负a或者是x要大于a的，所以说呃，这个考点52我们发现绝对值的不等式，

本质上它其实要跟。啊，跟我们这个一元二次不等式，这个口诀大于零，你去两边小于零，加中间它也是有关系的。是吧，只是我希望同学们呢？那看到这个东西，我们直接能够背出啊，直接能够对应到它是夹在负a和a之间啊，看到这个呢，我们马上能够对应出来，它是小于负a或者是大于a的。是吧，

这个很重要，好下面呢，我们来看啊，结合例题呢，给大家分析。我们看例81。首先看到第一个啊，条件这边是2x减去。一的绝对值小于三好，我是不是把2 x- 1当做一个整体对吧？所以2 x- 1这个整体它是要小于三，它是要大于负三的。好每一个地方同时啊，同时加上一啊负三+1是负二小于这边2x要小于四。两边啊，

每一个地方同时除以二对吧？这个不等号是维持不变的，所以负二÷2是等于负一，这边是小于x要小于四÷2是等于二。对吧，所以我们得到的解集是x介于负一到二之间，那不就是我们的结论吗？对不对？所以。这个第一个条件。啊，它是能够推出结论来的。我们看到第二步。x的平方减去x减去二要小于零，我们因式分解对吧？

我们可以用十字相乘法因式分解，应该是这边是一一把x的平方项的系数，一把它分解成一乘一。把这个常数项负二分解成为一啊，应该是分解成为一和负二对吧，然后再交叉相乘，再相加一乘以负二加上一乘，一是等于负一的。所以我们可以得到应该是x+1×x- 2要小于零啊，小于零你夹中间，所以x是小于二大于负一的。也是我们的结论对不对？所以。这个条件二啊，它是能够推出结论来的。

条件一，能够推结论。条件二，也能够推结论。所以，正确答案要选择4d选项，对吧？正确答案选择4d选项。好，这是第81题。那么下面呢？我们看到第82题，这是我们考试中的一道真题。首先呢，我们。

啊，看到这个题目中它给的结论啊，是一个带绝对值号的不等式，对吧？它的结论。使x的平方减去五x的绝对值，它是要大于六的，那我做等价转化就行了呗，是不是？所以它等价于。啊，注意了，把x的平方减五x啊，当做一个整体，把x的平方减五x，

当做一个整体来看待，那不就是我们刚才给大家讲的？复习要点中的第二个吗？对吧？x的绝对值大于AA是大于零的对吧？我们可以得出来，它是等价于x小于负a或者x是大于a的，只有用这个结论。对吧，所以我们可以得出来，它等价于x的平方减去五x是大于六啊或。或者是x的平方减去五x小于负六。是不是是不是就这两种情况好，那么下面我们以我们把它进行分别的来？这个求出它的解集难，

这边应该是x的平方减去五x减去六大于零，我们因式分解应该是用x减去二。乘以x- 3是大于零的，那么大于零取两边，所以应该是x要小于二。啊，或者是x要大于三对吧？这是我们求出来的第一部分的解集。好，我们再来看啊x小，虽然我们解出来是x注意去去大于零取两边是吧？好，我们再看到x的平方。减5x小于啊。唉，

同学们有问题啊，我这么一写眼睛一撇，我发现这个因式分解有问题啊，因为你负二乘以负三等于等于六了，对不对？所以马上调整，注意啊，把这个地方。画一个叉叉。这个因式分解啊，这个因式分解是错误的。那么，因式分解是错误的，我就把这个错误的把它挪到一边啊。我们看一看正确的，

应该怎么来？这是错误的啊，正确的说明不能够轻易的去跳过，我们一直分解一下这个是一这边是一对吧，然后负六分解成为应该不是负二乘负三了，负二乘负三等于六了，不是等于负六了，要带符号来看啊。所以这边应该是一和负六对吧？一和负六这样来啊，交叉相乘再相加是等于负五这个负五呢，恰好等于。一次项系数的啊，一次项系数是不是x前面这个系数是负五啊？对吧？

所以我们因式分解好，我们继续来写。因式分解之后得到的结果是x+1×x- 6是大于零的，那么我们继续写它的解集是大于啊，这个这个。大于零取两边，所以应该是x小于负一啊，或者是x要大于六。是不是啊x小于负一或者是x大于六？那么下面我们再看到这边啊，这边是x的平方，减去5x，加上六要小于零。对吧好，我们十字相乘法x的平方项的系数是一啊，

只能分解成一乘一常数项是六，我们把它分解成为负二乘以负三，这个时候才是对的是吧？然后再相交叉相乘再相加啊，一乘负三加上一乘负二是等于负五，它确实是等于一四项系数。负五的对吧？这样的话，我们因式分解之后应该是x- 2×x- 3，它是要小于零的。那么，小于零加中间，所以应该是x小于三，要大于二好，也就是说这啊，

两种情况都可以。是吧，这中间是不是应该加一个大的或呀？所以呢，我啊，在这地方我再写一下啊，所以原结论。啊，经过刚才的分析，我们可得出来原结论，它的解集是不是求出来了？它等价于啊。它的解集啊，就是x要小于负一。啊，

写的时候我们这样呢x小于负一把，这中间插进来或者是x要小于三大于二啊，或者是x要大于六。对不对？这就是我们啊，原不等式的解集，它分成了好几块。那么呃，分成的这几块呢？我现在呢，还想通过啊，这个图形通过数轴来给大家呢，集中体现出来，让它看得更加明确一点。好，

这是x轴，我们看一下啊。这边是。负一这个是二啊，这个是三啊，这个是六啊，小于负一是这一块介于二到三之间是这一块。大于60这一块对吧？它有三块的内容。那么接下来呢？我们。就要进入第二步了。我们首先看到条件，一条件一呢，他说x是属于属于负无穷到三的，

也就是x要小于三，那么同学们注意了x小于三。啊x小于三，我用蓝，我用红色的笔来小于30这一块，这个红色的它是我们黑色部分的子集吗？显然不是的，红色部分。它还包含一块黑色部分，没有的是不是啊？所以它是推不出结论来。推不出结论来。对不对？我可以举一个反例。比如说返利是x=0，

你看x=0，它是满足条件一的。对吧，但是你把x等于零带到结论里面，它显然是不成立的，你把x等于零带到这个不等式里面，原结论原结论这个不等式里面啊，这个平方x的平方减五x的绝对值是等于零的零大于六，显然是不成立的。对吧，所以条件一是不成立的。对吧，条件一是不能推结论的。那么下面呢？我们看到。

啊，第三步这个条件二对吧？条件二呢？它说x属于二到正无穷，那是不是就是x要大于二呀？那么，同学们注意了，你x大于二好，我再来看我用这个蓝色的笔来看你x大于二的话，是不是应该是往这边跑啊？那么，这个蓝色部分，它是我们黑色部分的子集吗？它也不是的，因为这个蓝色部分，

同学们注意了。啊啊，因为这个蓝色部分同学们注意，因为这个蓝色部分它包含了一些啊。包含了一些值是黑色部分，不具备的是不是，所以呢，这个呃条件二也是不能推减的。那么我们也可以举一个反例，比如说x是等于四的。对吧，你x=4的话，你看我们蓝色部分对吧，它是满足x=4是满足x大于二，这个要条件二的。

但是你如果把x等于四带到这个原结论中啊，也就是原结论中这个x的平方减五x框个绝对值号。对吧，你把它带进去，那四的平方减去五乘四。它是等于16-20对吧？等于负四负四的绝对值，负四的绝对值显然等于四，它比六还小呢，所以这结论是就不成立了。对吧，好，这个时候题目还没有做完。啊，同学们注意了，

这个时候题目还没做完，还有最后一个是不是还得进行咱们的哎，我用用黑色的笔来写啊。咱是不是还得进行第四步啊？有的同学说老师怎么一个题目解题啊，分四步来去做啊，其实并不复杂，对吧？它是按部就班的来去操作的，当条件一和条件二。它单独不能推结论的时候，它必须联合条件一，你是要呃x要小于三的，对吧？条件二，

你x要大于二的。所以一同时要求满足的话，是不是只能是x介于二到三之间呢？那么x介于二到三之间，那是我们黑色部分的。这个是我们结论中的一部分呢，是我们结论的子集啊，那肯定能推出结论来了，对不对？所以条件一跟条件二联合起来，同学们注意了它是。能够推出结论来的，对吧？它能够推出结论来。条件一，

跟条件二，单独不能推结论联合起来，可推结论那正确答案是不是应该选择c选项对吧？好，这就是我们的第82题啊，这个题目呢？它的完整的解题思路就这样了，包括这个题目中容易犯的一些错误。对吧，容易犯的错误，因式分解这一块，不要看错了啊，很容易犯错，我建议同学们呢啊，不要完全在心里面去心算。

啊，包括这个因式分解，用十字相乘法，因式分解的这个过程，我建议大家呢，也在草稿纸上把它写下来，这样能保证我们。啊，尽最大的可能减少犯第一错误的这个这个机会。好那么50啊，考点52呢啊，这个绝对值相关的不等式呢，我就给大家呢啊，示范到这下面呢，我们看到考点53。

考点53呢，叫分式不等式。同学们，注意了，这个分式不等式跟我们一元二次不等式，比起来跟我们的绝对值不等式，比起来它的重要性呢？就要稍微低一点了。啊，我们一元二次不等式呢，它是核心，它是重点，那么这个绝对值不等式呢，也是核心是重点，分式不等式呢，

它就。啊，有一点就是它是一个次要的了。好，下面呢我们。啊，给大家呢，先把相关的原理做一个讲解。啊，第一个要点呢是a×b大于零，它等价于什么？它等价于a和BA与b是同号的。对吧，等价于AB是同化的，它同为正或者同为负。

好，我们再来看，这是第一个要点。那么，第二个要点是。a÷b。大于零，这是什么意思？a÷b啊，这个呃大于零，我是不是可以理解成为？我可以理解成为啊a与我可以理解成为a乘b分之一呀，对不对？a乘以。b分之一把这个b分之一当做一个整体来考虑，

它是大于零的，是不是它等价于a与b分之一是同号的？对吧，你a与b分之一同号，这个b分之一跟b又是同号的，对不对？所以是不是等价于a与b是同号的？对不对？所以有了上面的两个要点，我们下面看到第二个要点，也就是说a×b大于零。它是既然你都等价于那你都等价于AB同号a与b是同号的，所以说明什么说明这两个本身它也是同。等是不是也是等价的，所以a×b大于零跟a÷b大于零是一样的意思。

是一样的内涵a比上b大于零，等价于a×b大于零。对了吧，等价于a×b大于零。好，下面呢？我们看到第三点。啊，看到第三点。这个呃，如果说啊，大家注意做一个对比啊a×b大于等于零。它不能够，它不等价于。它不等价于a÷b，

大于等于零。为什么因为啊啊分析？因为a×b大于零，这边的b可以为零。是不是啊？而这边的这个b。它是不可以为零的。所以它两个是不等价的。对吧，它对取值范围都有差异的，那当然是不等价的。能理解吧。好，那有的同学说老师那为什么这边呢？没有这个没有没有啊，

这边没有这个啊，上面这个括号二没有这个问题啊，因为我们这边已经你a×b大于零，那显然这个b是不等于零的，因为你如果b=0，那AB。嗯，它就不满足大于零了，那么这边的话是不是也是得出来b不等于零了？能明白吧，所以说啊，大家要把括号二和括号三放在一起进行比对学习。能理解吗？啊，要把它放在一块进行笔录学习。

好，下面呢？我们看到第啊，结合这个例题来给大家啊，再做进一步的讲解，大家看到例83。好，我们看到第83题，他要解不等式啊？解不等式x比上2 x- 1，它是大于一的。好，那么同学们注意了这道题目呢？我们分两种方法来讲解，第一种方法呢是？

第一种方法呢，叫做分类讨论。呃，我们现在呢？想做什么呢？我们想把这个啊，这个分母啊，左边的这个分母2 x- 1啊，把它消掉。也就是我准备在不等号两边同时乘以2 x- 1。那能不能够轻易的去乘呢？不能轻易的去乘，因为在不等号的两边同时乘以一个正数，不等号是保持不变的。乘一个负数嗯，

不等号是在改变方向的，我们现在不明确2 x- 1到底是正还是负？所以我就不能随便乘。是不是啊？那下面呢？我们啊要分两种情况来讨论，第一种情况呢说。啊，当2 x- 1大于零的时候。当2 x- 1大于零的时候，那我是不是啊不等号两边同时乘以2 x- 1对吧？所以x是要大于二。x- 1是不是可以乘过去啊？对不对？好来我把这个。

多写一点啊。嗯。好，这我是可以直接乘过去的，对吧？这个分母啊，不等号里面同时乘以2 x- 1，这是可以的，然后再移项。在一项的话，我们就可以得到这个呃，这个负一挪过来，是不是就是一要大于2 x-x就是？x对吧啊，所以呢，

这边是不是就可以得到x是小于一了？那么，同学们还要注意一点，我们这个啊，我们这个2 x- 1大于零，我们解这个不等式啊，也就是2x大于一。对吧集。这边是x要大于二分之一，那两者同时要满足。我们是不是应该是x要小于一，要大于二分之一啊？是吧x要小于一要大于二分之一啊，这是第一种情况。那么下面呢？

我们看到第二种情况。好，也就是当2 x- 1小于零的时候。好当2 x- 1小于零的时候。好，也就是。这个x是要小于二分之一的，对吧？那么下面我们原不等式，这个x除以二x减一，它大于我两边，同时乘以二x减一。啊乘的是个负数对吧？所以不等号要变向，所以应该是x幺原来是大于号，

那现在我要把它变成小于号，这个很重要啊。变得小于号，小于2 x- 1好一项，可得把这个。那这个这个不等式，右边的负一移移到左边来就变成了一对吧，然后把这个不等式左边的x移到右边来就变成减x，所以2 x-x就变成了x。对吧，也就是说啊，也就是说这个x是要大于一的是吧？那么同学们注意了。那大家来看一看，一方面你x比二分之一要小，

另外一方面你x又比一要大。这不可能呐，对不对？你你x比一都要大呢，你怎么可能比二分之一小呢？对吧？所以所以这个时候是无解，对吧？这种情况下。故x为啊x无解。x为空集对吧？x的解集为空集，明白了是吧？这个不等式解集为空集。所以呢，

我们现在通过分析啊啊，通过上面的这个啊，两种情况的分类讨论，最终的结果。只有一个是不只有这个是可以的。对吧，所以啊，这是我们的第一步，叫做分类讨论，第二步的是。啊写总结故。圆。故原不等式的。解集为x小于一啊，大于二分之一。

是吧，如果用我们规范的格式写的话，就是写一个括号啊x加一撇，然后这边是二分之一小于x小于一。对吧，这样写就可以了。好，这是我们的第83题。嗯，方法一呢是分类讨论区分布的，对吧？那么我们下面呢？看到方法二。好，这个不等式呢，

是x÷2 x- 1要大于一，那我们可以这样来第一步。我们一项对吧x÷2 x- 1再减一，它是大于零的对吧？我们通分啊，这边应该是2 x- 1。分之x减去括号2 x- 1啊，它是大于零的啊，这样我们这边写上2 x- 1这个分子啊，变成了一减去。啊一减去x。是吧，一整理之后变成了一减x是大于零的好，我们进一步的啊，可以把它变形成为啊这个。

不等号两边同时乘以负一，是不是就变成了x- 1乘以比上啊？不比上2 x- 1，它是要小于零。不等号两边的形同时乘以负一，这个不等号是要变项的。对吧，这样的话，我是不是可以得出来它等价于？等价于我们前面跟大家讲过原理，原理就是a比上b小于零，它是等价于等价于啊，等价于a×b是小于零的。是不是这就它的原理，所以我们就可以得到啊，

这个第一步我们可以得到啊，原步呢是等价于x- 1。乘以2 x- 1，它是小于零的诶，这就好办了嘛，对吧？我们是不是就变成了把一个分式不等式变成了一个？一元二次不等式，然后我们用口诀小于零甲中间是吧？所以x是小于一大于二分之一的。是不是直接用口诀啊？小于零。小于零对吧？甲中间。对吧，

我直接用这个口诀小于零加中间，所以它的解集是x啊，介于二分之一到一之间，你看方法二跟方法一呢？这个思路不不太一样，但是呢，它的结果是唯一的，这就是我们数学对吧？带有这个科学一般是这样的，你用不同的方法去做啊。它的结果是唯一的。对吧，如果你嗯，从不同的角度来去分析同一个问题，得到的结果是不一样的话，

那它就那这叫伪科学。好，那么下面呢？我们看到啊，我们看到第。好，我们看到第84题。第84题呢，它会让我们解一个很复杂的不等式啊，不等式我们写上来x的平方，减去2 x+3。比上x的平方减去五x，加上六，它说它大于等于零。好，

下面呢，我们来分析一下，我们发现呢呃，这个分子先来研究它的分子。分子x的平方减去二x，加上三它等于我们配个方x的平方减二x，加上一，再加上二。它应该是等于x- 1^2，再加上二对吧，它显然是要大于等于二的，因为完全平方具有非负性，所以x- 1^2，它是要大于。大于等于零的对吧，

然后你再加上二，那肯定是大于等于二的了，所以啊，我们可以得出来这个分子啊。横为正。对吧，分子恒为正数。那既然恒为正数，那么原不等式是不是可以做一个等价转换？所以啊，原不等式。它等价于什么呢啊？它等价于原不等式，等价于我在不等式两边给同时出一个正数，它是那它是呃，

这个波等号是不变的对不对？所以呢，我把这个分子。左右两边同时除以x的平方减二x加三，我把它除掉，这边就变成了一除以x的平方减去五x，加上六是大于等于零的。对吧，又因为这个式子，大家想一想这个式子。它的分子是一了，而这个分母显然是不等于零的。是不是啊？这个分子显然是不等于零的，所以呢，

我们进一步的。可以得出来，它是等价于也就是这个地方大于等于零，这个等号是不可能成立的，对吧？所以它等价于x的平方。减去五x，加上六分之一啊，它是大于零的，这个等号它不成立，那只能是大于大于零的。对吧，那我们进一步的写，它有等价于对吧，一个分数啊，

它的分子是一，它的分母。对吧，你这个分数大于零，是不是等价于这个分母也要大于零呢？是不是啊？所以等价于x的平方减去五x，加上六大于零。好第一步的工作，我们就做完了。剩下来的。啊，是不是就变成了一个减一元二次不等式啊，所以因式分解对吧，所以我们可得出来这边是可以因式分解的啊x的平方项的系数是一，

它只能分解成一×1。常数项是六分解成为负二乘负三，然后再交叉相乘再相加，对吧？一乘负三加上一乘负二是等于负五的。所以我们就可以得到这里，应该是x- 2×x- 3，它要大于零，所以我们最后是不是得出来？啊，大于零取两边，所以我们得到它的解集是x要小于二啊，或者是x要大于三。对不对x小于二或者是x要大于三？明白了吧，

所以这个最终的啊，这个解集咱们就啊。咱们就把它给做完了，对吧？如果你要写成标准格式的话，那可以这样写x+1撇，然后x小于二。啊，或者是x大于三。对吧，因为我们这个考试呢，全部是选择题，它不要求你那么规范。啊。好，

这样的话，我们分式不等式呢，大家会发现是要想办法，要把它变成整式不等式，对吧？来去求解，我们很多时候呢，得到的是一个一元二次不等式，对吧？把它变成。把一个分式不等式变成一个一元不等式，一元二次不等式来去求解。啊，然后一样是不等式呢，就使用口诀对吧啊，

大于零取两遍，小于零加中间，但是它一定要注意这个口诀的使用是有个先决条件的，就是x的平方向的系数要大于零。对吧，如果x的平方向的系数不等于零，我是不是可以在不等式两边同时乘以一个负一是不是就可以？啊，可以把这个平分线的系数变成正了。好同学们，那么我们第八讲的第二小节呢？好，这个就先给大家讲这么多啊，我们是从。呃，

考点50给大家讲到了啊，这个五十五十一五十二五十三是吧？讲到了这四个考点。下面呢，我给一点时间呢，大家来理解和消化，我们刚才所讲的内容啊，大家我们是采取的策略是步步为营啊，也就一步一个脚印的往前推进。啊，大家理解消化了之后呢？再我再往前推进好，大家抓紧时间。

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