11.课件11-数学基础班第7讲（上）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-5 09:45:40

好，各位同学，大家好，那么今天呢？是我们二零二四金湖管中数学基础班的第七讲。我们在前面呢，已经给大家讲到了考点37啊，今天呢，我们是从考点38给大家啊，接着往下讲解。啊，从考点38开始呢，就要进入到方程这一块了，我们在管理类联考中呢，方程主要是考应用题中啊，

要考一元一次方程。二元一次方程啊，对吧？一个应用题让你去列一元一次方程，求解列二元一次方程，求解列一元二次方程，求解。对吧，所以呢，它涉及到一元一次方程啊，还有一元二次方程，对吧？那么其中一元二次方程呢？是一个重点，它要考到。

像韦达定理啊，像判别式啊啊，以及与韦达定理相关的恒等变形，包括一元二次方程根的分布。啊，我们的基础阶段呢，主要是给大家呢啊落讲解这个判别式韦达定理以及啊一些简单的恒等变形。那么，我们在应试技巧强化阶段呢？要给大家呢重点讲解啊，比较高端的考法就是。这个一元二次方程根的分布，那么我们在啊方程这一块儿呢啊，还有像分式方程。对吧，

相带绝对值符号的这个叫绝对值方程以及指数方程，对数方程根式方程。啊，当然后面这些呢啊，它是一个边缘考点，比如说像根式方程啊，像这个啊。对数方程，这都属于是相对边缘一点的核心，还是在一元二次方程这一块好，这是做的一个。呃，宏观上的。讲解下面呢，我们结合具体的内容来给大家详细展开，

我们看到考点38。考点38呢，是一元一次方程，首先给大家做一些基础知识的复习。任何一个一元一次方程啊，我们最终可以化简成为ax=b的形式。对吧，其中啊a是不等于零的啊，大家注意了啊，就是形如ax=b的啊。叫一元一次方程。当然，这是需要我们化简之后，对吧啊，一个啊，

看起来比较复杂的方程，我们可以化简成为ax=b。其中a是不等于零的，那么这个方程就是个一元一次方程。那么这个时候，它的解。它的解为多少呢？是x等于a分之b。是吧x等于a分之b好，那么下面我们再看一看，如果题目都告诉我们说ax等于b它没有明确的指出来a等不等于零？那么，这个方程它还叫不叫一元一次方程呢？a啊，这个时候我们得分类讨论明白吧，

如果a=0了，那么它就不叫一元一次方程了，因为你连x都没有了。如果你a不等于零，它才叫一元一次方程，明白吧？我们上面啊，复习的第一个要点就跟大家说了，在a不等于零的情况下，它才叫做一元一次方程。好，然后我们这地方呢，有三种情况啊若。若该方程。有。

若该方程有唯一的实数根。则如果它有唯一的实数根。则a是不等于零的。所以a是不等于零的，我们可以得到a不等于零。啊，并且。实数根。这个这个唯一的实数跟为。a分之b。这个唯一的实数根，我们还能够确定下来，就是a分之b。好，我们再来看。

若该方程。有无穷多个实数根。则我们可以得到什么？它有无穷多个实数根？意思就是说任何一个实数x代进去这个方程都是成立的。这我们可以得到a是等于零的，并且并且b也是零。对吧，那a=0 b=0，大家想一想，左边不管你x取什么值零×x，永远都等于零。那么，右边这个b就等于零，所以左边是等于右边的，

所以说有无穷多个实数啊啊这个x？有无穷多个值，就把任意一个实数代进去，它都是成立的，所以它有无穷多个实数根，对吧？无穷多个实数根，就意味着a=0 b=0。好，我们再看到第三种。若该方程没有实数根。则它没有实数根啊，则a=0。且b！不等于零，

什么意思呢啊？就是说。呃，大家想一想，你看这个a=0 b不等于零的时候，那左边是等于零的，右边是不等于零的，对吧？不管你x等于什么什么什么实数，对吧？左边零×x对吧？ax就变成了零×x，它永远都等于零。那等号的右边的这个b是不等于零的，那么左边永远都不能等于右边，

说明这个方程就没有实数根了，所以说呃，这个呃。ax=b那这个。形式上呃，对吧？长得这个样子的这么一个方程。你看还有很多很多考点呐，明白吗？上面这个括号一，它是有个要求的啊，有个要求我用。这个红色的笔啊，就是说啊ax=b。当a不等于零的时候，

它才叫才是一个一元一次方程。如果a=0的时候，那就不是个一元一次方程，那么考试的时候。它直接上来说ax=b，它根本就没有告诉你a等不等于零，这个时候我们就得分类讨论了。是不是我们就得分着讨论，所以说我们这个考试啊，它在知识点上，在理解的难度上，它并不大。但是呢，它有很多细枝末节的那种啊，细节点也很容易忽视，

一忽视呢就容易犯错。好，下面呢？我们啊，下面呢？我们。看到这个题目啊，例58题，我们通过具体的例题来给大家加深对它的理解。我们看到58解方程。3x加上，一÷2。减二。是等于3 x- 2÷10。减去2 x+3。

除以五那么。这个方程你看它含有这个呃，这个一些呃分分数对吧呃，分母有二有五有十。我们解方程的时候当然是。没有分数是最好的，是不是啊？所以呢，我现在第一步，我准备啊，把这些分数都全部去掉。啊，等式两方程两边或者说等号两边同时乘以十。这都是很基础的啊。啊，

等号两边。等号两边同时乘以十。那么我们这边对吧？乘以十啊，我再写下来啊，把这个括起来。那这边乘以十对吧？把这边呢括起来再乘以十。好同时乘以十之后呢，就可以得到什么呢？这边应该是五倍的括号三x，加上一减去十乘以二就是二十这边呢啊，应该是三x减去二对吧，再减去两倍的括号。2 x+3。

我们把它乘开啊，这边就变成了十五x，加上五减去二十这边是。啊3x-2-4x-6这边呢是？15 x- 15要等于啊，负x减去八一项可得，这边是16x。是等于负15对吧？这边移项过来，这边移项过来是啊，15-8是等于七的。好，这样的话是不是得到了一个啊？一元一次方程，所以一元一次方程解出来x是等于十六分之七的。

对吧，像这些其实大家看一遍你这种类型的问题，基本上就没啥问题了。对吧，保证计算不出错，那就没什么问题了。啊，现在都是非常基础的，那么像这种题目呢，一般来说它在应用题中来考，我们就用文字表述啊，表述一个题目出来，让我们设未知数。对吧，然后列一个方程，

可能列出来就是啊，就是这么一个方程，然后让我们去解方程就可以了，所以说这个管理类联考的数学中啊，并不是说每一道题目都是很难的，还有。还有不少的题目是基础题，那么这些基础题就是相当于是送分的了，那么这种送分题不要小看它，不要鄙视它，不要轻视它，我们要牢牢的拿满分。明白吧，我们面对的是考试啊，而不是去啊，

嘲笑啊，这个试卷怎么这么简单呢？这个题目怎么出的这么没水平呢？啊，越是简单的题目，越是啊，你认为没水平的题目，我们要牢牢的得满分，明白吧？好，这是考点38下面我们看到考点三十九一元二次方程。一元二次方程的判别式。好，同学们。我们首先呢，

给大家做一个要点的复习，注意了我们这个要点的复习呢啊，采取的策略都是啊。就是说因为我们这个考试基础知识点特别特别多，就是说这些所测的点很多同学呢，如果说那我说我把初中小学啊，小学初中高中的这些教科书拿过来重新再。看一遍学一遍行不行呢？当然你时间如果充足的情况下是可以的，但是呢，自然你抓不住重点。所以呢，我们复习的时候采取的策略啊，就是呃，跟大家抓住核心要点。

把那些啊，考试过程中啊，可能根本就不会涉及到那些基础知识，那些琐碎的点，跟大家先。把它放在一边。那你比如说这个一元二次方程，那么你看我们怎么来去复习它啊？第一，什么样的样子是个一元二次方程，对吧？ax的平方+bx+c=0，其中a不等于零。这样的方程叫一元二次方程。啊，

这样的方程叫做一元二次方程，其中这个a是不等于零的，大家可以把这个考点39啊，跟我们前面这个考点38。它的啊，一元一次方程，这个定义可以放在一块进行比对学习。对吧，这叫做一元啊，二次方程，当然这个ABC呢是具体的参数，考试的时候他会啊呃。比如说经常遇到的x的平方，对吧？x的平方+2 x- 8=0，

这就是个一元二次方程。是不是好，那我们下面我们再来看。因为a是不等于零的，所以啊，大家来看啊，所以呢，我们可以等式的两边，同时除以a。对吧，也就是ax的平方，加上bx+c等于零两边。啊，等号的两边。同时。

除以a。我们可以得到什么呢？我们就可以得到x的平方啊，可以得到x的平方，加上a分之bx。加上a分之c是等于零的。好，我们接下来再来看我们这个时候啊，可以。配完全平方对吧？在等号啊，就是哎，你看这边啊x的平方加上a分之b啊，乘以x我加上一次项系数一半的平方。是不是就构成一个完全平方了？

一次项系数是a分之b，它的一半是二a分之b，那它的一半的平方，所以应该是二a分之b括号的平方。你加这么多，我是不是还得减这么多呀？所以应该是减去二a分之b的平方，再加上a分之c是等于零的。好，那么同学们注意了，这个地方我们就配成了一个完全平方，这边我们应该可以得出来是括号x加上。二，a分之b括号的平方，它要等于等于什么呢？

等于啊二a分之b括号的平方减。减去a分之c好即。我们可以得到x加上二a分之b括号的平方啊，它要等于四a的平方。分之啊b的平方减去四AC。对吧，等于这一个，那么我们又知道啊，完全平方是具有非负性的好，第二个要点呢是？啊，第二个要点呢？我们把配方得到的这个结果，用方框把它框起来。啊，

这是我们配方之后的结果。好，我们再。啊，其实我们前面跟大家讲过，对吧？完全平方完全平方式。啊，完全平方式呢？它是具有恢复性的。是吧，完全平方式，它具有恢复性。啊，也就是说这个上面x加上二a分之b的平方，

它是要大于等于零的。是吧，它具有非负性。那么这个上面这个框框框啊，这个呃长方形的方框框起来的，这个关于x的一元二次方程，这个方程对吧？啊，它有没有实数根呢？我们就可以通过啊，等号右边的这个表达式呢，去判断好大家跟着我一起来。嗯，那么下面呢？我们看到第四个要点，

第四个要点呢是分成三句话，对吧若？若b的平方。减去四AC，它是大于零的啊，则我们就可以得到x加上二a分之b。啊x加上二a分之b，它是要等于注意了啊，我左右两边同时看根号，它要等于正负，对吧？正负2a分之根号下。b的平方减去四AC。啊b的平方减四AC，这样的话我就可以得到x是等于什么呢？

x是等于二a分之负b。加减根号下b的平方。减去4 AC。对吧，好若b的平方啊b的平方减去四AC是等于零的。好这这是什么呢？所以这个呃b方b方减4 AC=0对吧？那那4a的平方分之b方减4 AC就等于零了，所以。所以这个时候x加上二a分之b的平方就等于零，这个红色的圈起来地方就等于零了，对吧？所以就可以得到x加上二a分之b，它就等于零。所以我们就可以得到x是等于啊，

等于2a分之负b的对吧，等于2a分之负b。那若b的平方减去四AC是小于零的则啊左边啊，它是大于等于零。那右边啊，它是小于零的对吧？就是这个等这个这个框框里面左边对吧？这是左边啊，这是右边。对吧，左边它是大于等于零，右边是小于零，那根本就不可能左边等于右边呐，所以这个方程它是。无解的。

对吧，所以呢？方程。所以这个方程是。无解的对吧？无解是指无实数根。对吧，无实数根。它没有实数根。好，我们下面呢，再来给大家分析我们刚才呢发现了。这个一元二次方程，它有实数根啊，有没有实数根实际上是可以根据b方减4 AC的正负来进行判断的？

既然它能够判断一个一元二次方程的根的情况，对吧？它有它有没有实数根？它有几个不同的实数根啊？对吧？它有两个不同的实数根，它是有两个相同的实数根。啊，它有这个判断的作用，所以呢，我们这个表达式，我们就给它起了个专有名称，叫做一元二次方程的。判别式，它判别什么呢？

这个式子是判别什么样的式子来判别一个一元二次方程有。它的实数跟的个数的情况。所以呢，接下来我们看到第四个要点就是结论。啊，叫做结论啊ax的平方，加上bx+c=0，其中a是不等于零的。那么有三句话啊，这个。啊，这个判别式德尔塔是等于b方减去4 AC的。弱啊，第一种情况呢是？若啊，

或者说它是等价的啊，就是说这个德尔塔等于b方减去4 AC，它是大于零的，那么这个。可以等价于什么呢？等价于啊，这个一元二次方程。啊，这个一元二次方程有。两个。它有两个不相等的实数根。它有两个不相等的实数根，对吧？其中啊，一个实数根是等于2a分之。

负b加上根号下b方。减去4 AC。这是第一个实数根，第二个实数根呢是？啊，第二个实数根呢是2a分之负b减去根号下。b方减去4 AC。b方减4 AC有两个不相等的实数根，对吧？我们前面都跟大家分析过了，对吧？这边写的是2a分之负b加减根号下b方减4 AC。对吧，加的时候加根号，加上后面这个根号和减去后面这个根号，

对吧？我们把它分开写，是不是就写成了这两个？好，这是。第一种情况，第二种情况呢啊，是德ta=b^2减4 AC，它等于零好，这个等价于什么呢？这个等价于一元二次方程，有两个注意了，我们依然说它有两个实数根。但是呢，我们说它有两个相等的实数根啊，

我们会说它有两个相等的实数根。明白吧嗯。那红色的圈起来啊，这是。以两个不相等的实数根，这边是两个相等的实数根是吧？两个相等的实数根。好，我们下面看到第三个德尔塔等于b方减去CC小于零啊，那么这个呢？它是等价于等价于啊，上面的一元二次方程。一元二次方程。它没有实数根。他没有实数根。

好，我们把这边呢也框起来。对吧，注意了，这是等价于什么叫等价于呢？就是说如果德尔塔大于零，那么我就可以得出来啊，它有两个不等的实数根，如果它有两个不等的实数根，那么我就可以得到德尔塔是。大于零，它正过来，反过来都是可以推理的，所以呢，知道其一啊，

就等价于告诉另外一个了是吧，知道其一啊，就知道其二了。所以这是啊，关于判别式，它的来龙去脉以及它的实证要点。下面呢，我们啊，结合例59题来给大家去讲解。我们看到第59题关于x的方程有实数根，那同学们注意了，首先我是不是可以把这个结论做一个等价转换结论是x的平方？加上ax，加上括号b- 1=0有十根。实根就是有实数根对不对？

所以呢，我们先做一个等价转化啊原。结论原结论，它等价于德尔塔，要等于a的平方。减去四×1再乘以b- 1，它要大于等于零是吧？它是大于等于零即。好，这边呢是a的平方好减去4b，再加上四是大于等于零的。也就说我只要看这个等价结论就行了。好，下面呢？我们看到第二步。

我们看到条件一条件一呢，它说a+b是等于零的，所以我们。可以得到这个b是啊，或者说我可以得到a吧，用a来写吧，我们可以得到这个a是等于。啊，这个。我们可以得到，这a是等于负b的，这样的话，我代入判别式，对吧？我们代入判别式。

好，我们代入。我们代入判别式。可以得到这个德尔塔是等于啊，等于负b的平方对吧？减去4 b+4。好同学们注意了，它是等于b的平方减四b，加上四，它是等于括号b减去二的平方，它是要大于等于零的。b- 2^2要大于等于零诶，这是不是就是可以推出结论了？对不对？它是可以推结论的。

好，下面呢？我们看到条件二条件二呢，它说a-b要等于零好，我们可以得到a是等于b的。我们依然把a=b。好代入到判别式。我们可以得到啊。德尔塔应该是等于啊b的平方减去四b，加上四就是带到这个对吧？带到这个式子里面。好同学们注意了，它是要等于括号b- 2^2，要大于等于零，所以呢，

它也是能够推出结论来的。那么，条件一能够推结论，条件二也可以推结论，那么正确答案应该选择4d选项。选择4d选项。好，我现在呢，给一点时间，同学们把我们刚才所讲的啊，这个。考点38和考点39，大家快速的消化一下。好同学们，那么下面我们继续接着讲解，

大家看到考点40韦达定理。啊，首先呢，这个韦达定理啊嗯，我给大家呢做一个循序渐进的这个引导。我们前面呢，给大家呢啊，配过方说ax的平方啊，加上bx+c=0，其中呢a是不等于零的。对吧，我们可以得出来，它配方之后呢？是x加上二a分之b。括号的平方是等于4a的平方，

分之啊b方减去4 AC的。我们啊。若。b的平方减去四AC，它是大于等于零的情况下。这个时候是不是可以得到x加的，加上二a分之b，它是要等于两边开根号对吧？它要等于二a分之。啊正负根号下啊b的平方。减去4 AC。啊，进一步呢，我们就可以得出来，这个x是等于2a分之。

负b加减啊。就加加上或者是减上减去，对吧？根号下b方减4 AC啊，这样的话。实际上就是我们前面考点39里面讲到的一元二次方程的这个根对吧，我们再分开来写。及。一元二次方程。它的。一元二次方程的两个实数根。为x1是等于。二，a分之。负b。

加上根号下b方。减4 AC。第二个呢是x2。要等于。二，a分之负b。减去。根号下b方减4 AC。对吧，也就是说啊啊，同学们也就是说有。两个实数根，这两个实数根。我们再把它相加。啊，

两根相加x 1+x二。那么你看这个根号是不是就抵消了，所以它要等于二a分之负二b，所以呢，是等于。负的a分之b的。然后在两两个两个根相乘，对吧？x1×x二，这就变成了一个平方差公式，你看分母是2a×2a就等于4a的平方。是吧，然后呢分子呃负b加上这个根号，然后再乘以负b减去这个根号，那不就是平方差公式了吗？

对吧，所以应该是等于负b的平方减去这个根号的平方，也就是减去啊。这个根号一平方，那不就等于就等于b方减4 AC了，对吧？所以说等于b方减4 AC。所以这边应该是等于四AC除以四a的平方，它是等于a分之c的。它是等于a分之c的。好，那么我们得到的这个表达式啊，这两个表达式就叫做韦达定理。好，这个就叫做韦达定理。

两根之和等于负的a分之b，两根之积是等于a分之c的。两根之和等于负的a分之b啊，两根之积等于a分之c，那么希望同学们呢？嗯。希望同学们能够熟练掌握它好，我从第二个角度再来给大家研究一下。啊，我们说过ax的平方，加上bx+c。啊，它等于零，我们可以啊，注意这个a是不等于零的，

我们可以左右两边，同时除以a就变成了x的平方。加上a分之bx，再加上a分之c是等于零的，我们设。啊，它的两根。我们说它的两根。分别为x1。和x2。则那一个一元二次方程对吧？呃，它有两个根，那我是不是可以说明它可以因式分解啊？也就是x-x一×x-x二对吧？

它是等于这个的。也就是说这个一元二次方程呐啊，它因式分解之后可以。写成这个样子。那么，由于这是做的恒等变形，所以呢，我就可以得到什么呢？我把它我把这边展开，这边展开之后就变成了x的平方，减去括号x1，加上x2，再乘以x。再加上x1×x二。对吧，

这是这个展开得到的。那这应该跟我们原来这个x的平方，加上a分之bx，加上a分之c。它是恒等变形得到的是吧？既然是恒等变形得到的，所以它对应项是要相等的，比如说这个平方项。它是对应相等的，这个一次项，它是对应相等的，还有还有还有什么呢？还有这边的这个啊，这个常数项，它是不是也要对应相等啊？

所以我们就可以利用恒等式对应系数要相等，所以我们就可以得出来这个负的括号x 1+x二。它是要等于a分之b的，这个x一乘以x二，它是要等于a分之c的。即啊，即x一加上x二是等于负的a分之bx一乘以x二是等于a分之c。好，那么我从另外一个角度跟大家把这个韦达定理又做了一个推导证明。对吧，这是一个什么样的角度？是不是从恒等变形的角度来给大家做了一个分析？那么，我们的复习的第一个角度呢？是从啊，

这个我把这两个根给求出来，求出来之后把这两个根相加，再把这两个实数根再相乘，对吧？化简得出来，韦达定理那么第二个复习要点呢？我们是从啊，因式分解恒等变形的这个角度啊，恒等式对啊，这个恒等变形对应系数要相等这个角度来去得到了伟大的引力。所以说啊，韦达定理呢，其实它是来源于我们以前所学的一些基本的变形。下面我们结合相关的例题来给大家理解和消化啊，进一步的理解和消化这个韦达定理。

我们看到第60题。已知关于x的一元二次方程，好把这个方程咱们写下来，那是x的平方。加上4m，加上一×x，再加上2 m- 1=0。它的两个根是x1和x2对吧？好，那么同学们注意了，首先我们写韦达定理。啊由韦达定理可得，我们可以得到两根之和，是要等于负的a分之b的，在咱们这个题目中是不是应该是负一分之四m加一啊？

所以是负的。四m加上一两根之积啊，是要等于a分之c在咱们这个题目中是等于二m减去一的。好，这是第一步，那么第二步题目中的已知条件呢啊？我们要做一个恒等变形。那题目中，它说x一分之一加上x二分之一是要等于负的二分之一好，我们把它通一下分。对吧，左边拖一下分就变成了x一乘以x二分之x一，加上x二本来是x二加x一，但是我们可以交换位置对吧？所以呢啊，

这个是要等于负的二分之一的把数据带进来，它应该是等于负的括号。四m加上一比上二m减去，一是要等于负的二分之一的，所以呢，进一步的可以得出来。这应该是4 m+1比上2 m- 1是等于。等于二分之一的。好，我们解一下，这边是8 m+2是要等于2 m- 1。啊六m是要等于三的，所以可以解的m等于六分之三是等于二分之一的。所以这道题目正确答案选择c选项。通过60题啊，

这道例题大家可以发现，我们韦达定理一般啊，和恒等变形会结合起来考我们，对吧？这是呃，这个60题下面我们看到第61题。这道题目呢，告诉我们这个一元二次方程式x的平方。加上px+2是等于零的，它的两个实数根是x1和x2，所以我是不是首先由韦达定理可得？我们可以做一个恒等变形了。我们由韦达定理，可以得到x1，加上x2是要等于负p的。

x1×x二是要等于二的。好，这是第一步，我们再看到第二步啊，再做横等变形。x1-x二的绝对值是等于两倍的根号二。那么，同学们注意了这个呢？我们有一个呃，这个基本的要点是x的绝对值。啊，它的平方是等于a的平方的，这样的话，我是不是就可以把这个绝对值号把它消掉？一个是一个一个数的绝对值的平方，

就等于它本身的平方，所以我两边平方。怎么去恒等变形呢？就两边平方，那么就可以得到x1-x二绝对值的平方，它是要等于两倍的根号二的平方。绝对值的平方就是等于它本身的平方，也就是x1-x二括号的平方要等于八。是吧，好，我们再做变形好，这个时候我们又可以把相关的基本公式再给大家复习一下，我们前面给大家讲。这个恒等变形的时候，曾经给大家讲过，

说x1-x二啊。啊，我们用a和b来表示吧。啊，叫做a-b^2，它是要等于a的平方+b^2-2ab。对吧，这就完全平方啊啊a+b^2，它是要等于a的平方+b^2。加上。2 AB好，那么同学们注意了啊a-b^2呢？我们大家发现啊，它跟a+b^2它是有关联的。a-b^2=a+b^2。

要减去四倍的AB，对吧？这个公式呢啊，是需要我们纳税于心的。所以啊，我们进一步的往下来。做变形，所以它应该是等于x1，加上x2括号的平方减去四倍的x1×x二。是等于八的，我们把数据带进来，这边应该是负p括号的平方，减去四乘以。二=8，所以我们可以得到p的平方是等于八+8=16啊，

所以解得p是等于。正负四等于正负四。所以这个题目正确答案选择c选项，注意这个p有两个子啊。还有两个不同的字。好，那么下面呢？我再给一点时间，大家来理解和消化，我们刚才考点40所讲的韦达定理它的来龙去脉以及。两个例题中的实战应用。好同学们，刚才呢，给了一点时间，大家的理解和消化，

我们考点40啊，所讲的内容，下面我们继续接着往前推进，大家看到考点41。考点41呢啊，是二元一次方程以及啊，这个不定方程求正整数解的问题。那么像这样的题目呢？嗯。一般这个未知数啊，都是正整数啊，它有两个未知数，甚至有可能有三个未知数，对吧？包括一般都是两个未知数，

只有一个方程。像这样的题目呢嗯。它有无就是说呃，我举个例子来说吧，这个x+y啊等于。x+y=0，只有两个未知数，只有一个方程，你看这个xy是不是有无穷多组解，比如说我x=1，那y=- 1。对吧，这是一组解我x=2，那y=- 2，它也是一组解，

对吧？我们还可以，比如说x=1点一啊y等于负的一点一对吧？是不是有无穷多组解呀？那么，像这种二元有两个未知数，叫二元一次，它最高次方是一次方，对不对？所以叫二元一次方程组，它有无穷多组解？那么我们要满足。题目中，特定要求，比如说这个xy满足一定的取值范围，

那么它的结果往往是唯一的。像这种题目呢啊，它经常是在文字表达的应用题中出现，要我们自己设未知数列出方程，然后。再去求正整数解好下面呢，我们结合讲义上的这个题目来给大家做示范。好，我们看到第。62题在一次捐赠活动中，某市呢？捐赠的物品打包成件，其中帐篷和食品有320件。好同学们注意了。我们设。

我们是帐篷，有x键。食品有外件。则我们可以列方程，它说总共有320件，所以x+y是等于320。这就是得到一个二元一次方程诶，请问这还有另外一个条件，他说帐篷比食品要啊，帐篷比食品呢，它要多两啊，多80件。所以我是不是可以得到x-y是等于80的？对吧，好那么同学们注意这样的话，

第一步咱们方程就列出来了。是吧，第二步解方程啊，两式相加啊，这是圈一这是圈二两式相加，这左边加左边等于右边加右边。这个y是不是就抵消了，所以应该是2x要等于400。解的x是等于200的，然后我用圈一减去圈二左边减左边等于右边减右边，所以呢，这边是2y要等于240。所以我们可以得到y是要等于120。而这个题目要我们求的是帐篷的件数，有多少件？

是不是就是要去求这个x等于多少？所以x=200？同学们注意了，你看这个题目，这是我们考试真题中出现的原题。像这种题目，我们应该把它归为送分题，对吧？也就是说我们这个真题中啊，在考试的时候是有一些题目，其实很简单的。对吧，即使你基础非常薄弱，你都是可以做对的。那一般来说呢，

我们25道数学题目中差不多啊啊有这个十道。有十个题目左右。啊，有十个题目到12个题目左右是比较基础的题，那么还有啊，十个左右的题目呢是？呃，中等难度的题目还有大概三到五个题目呢，是难度较高的题目，所以说大家把基础题目做对，把中考题目抓住，难题目对吧？你即便是全部把它扔掉，你随便蒙一个对吧？你即使全部都蒙错了，

实际上把基础题跟重大题做对，我们依然是可以有20有对吧？有20道。题目啊，甚至到22个题目，也就是有60分到66分这个啊，我们是给抓得住的。对吧，你运气稍微好一点，你那啊三到五个难题，你蒙蒙对一两个对吧，这不就有60多分了吗？所以对于很多基础比较薄弱的同学，实际上数学啊，它是可以考出一个不错的分数来，

那么对于基础中等偏上的同学，我们数学。基本上就是奔着满分去的，要考满分，明白吧？好，这是第62题，下面呢，我们看到63题。第63题呢，他说某人的生日月份乘以31好，同学们注意我们设。这个生日的。我们是生日的月份为x啊，注意了这个x，

它只能等于一二三四五六七八九一直到十十一十二。是不是只有这啊？因因为一年12个月嘛，是不是只有这几个整数正整数可以取啊？然后呢？呃，然后呢？它说日期数。啊，它的日期为y大家注意了，这个y呢啊，因为一个月最多是有31天对不对？所以它是等于一二三一直到。啊，一直到31了，

它可以取对吧？可以取这么多？30。31对吧？嗯，这个题目又告诉我们说月份数乘以31，所以是。31×x。加上嗯，这个日期数乘以12是加上12×y是要等于。347了，这此人是几月份出生的？好，第一步呢。实际上就是列方程第二步呢，

咱们解方程解方程的时候呢，我们啊可以做一个这个。奇偶分析，同学们看一看。你看，这是一个。啊，这是偶数12×y是一个偶数。对吧，12×y是个偶数347是一个奇数。啊，所以我们是不是马上可以推出来31×x它必须是一个奇数啊，因为只有奇数，加上这个偶数才能等于奇数啊。对不对？

所以我们是不是可以得出来31，它也是个奇数，31×x是一个奇数，所以我们可以得出来x，它必须要是等于个。等于一个奇数是不是？所以我们是不是可以得出来x可以等于一三五七九啊十一十二。13对不对？可以等于一三五七九十一十三。那么接下来呃，我们该怎么办呢？我们可以进行验证啊，因为y还是一个。对吧y还是个正整数呢，所以我们进行检验啊，

检验当x=1的时候。这样的话，我们可以得到31+12 y=347，所以我们可以解得。12y=347-31，所以它要等于316，316，同学们注意了，我们来除一下啊。316÷12，三二这边是24，这边是76，二六，12这边是72对吧？这边呢，

是余四，所以呢，我们可以得出来y不是整数。对吧y不是整数。所以呢，这个是不是就要舍舍掉？对吧，所以这个x。所以这个x=1是不行的。那么下面我们再看x=3的时候。啊x=3，所以这边就31×3是93，93+12y啊是等于347的。所以我们可以得到12y=347-93，对吧？

这边应该是等于。这个254。对吧，254。好，我们再除一下这个y呢，同学们注意了，它也不是个整数，所以要设有有的同学说老师，你怎么一下子就能看出来这个y不是个整数呢？实际上，大家想一想。这边左边是三的倍数，右边的不是三的倍数，二百五十四二+5+4，

它不是三的倍数，对吧？啊，所以呢，所以这个注意了，判断一个数是不是三的倍数，只需要把这个数的每一个数字加起来，看它它的和是不是三的倍数，你看二+5+4。啊，它是11，它不是三的倍数，所以254它不是三的倍数，你看等号的右边是三的倍数啊，不是三的倍数等号的左边12y是三的倍数，

那肯定说明左边不能等于右边了嘛，这y就不相等了，因为y是整数，对不对？啊y必须要求是个整数，所以你左边不可能等于右边了。好，这是啊，验证到第三个，我们看x=5的时候带进来31×5是等于155。对吧，155+120000。加等于347，所以我们可以得到。12万啊，

347-155啊，应该等于100。92。是吧，192。好，那么这样的话，我们可以解得192÷12应该等于16对吧？y=16这是符合要求的。对吧，由于这个题目中的答案具有唯一性是吧啊，我们当我们验证出这个x=5的时候对吧？当x=5的时候y是等于16。是吧，当x=5的时候y=16，

所以说啊，这个人他是五月。16号出生的是吧？所以这个题目正确答案选择4d选项，后面的还有x等于七九十一十三就可以不用验证了。啊，不用验证了，当然大家验证呢，也可以很快的就可以把它排除掉。好，这是第63题，那么像这种题目，第63题代表的是？二元一次方程。求它的正整数解。

二元是两个未知数，一次是最高次方是一啊，要求正整数解对吧？那么像第62题这道题目呢？它代表的是二元。一次方程组，它有两个二元，一次方程合在一起，叫二元，一次方程组啊，直接去求解就行了。那么，第63题呢？它只有一个二元一次方程，所以呢，

它必须要额外的加正整数，然后我们也可以通过结果分析啊，通过代入检验的方法得出它的。解了正整数，解了好下面我们看到第。64题。在年底的献爱心的活动中，某单位呢，共有100个人参加捐献。经统计。啊，捐献的总额是19000元，那么个人捐款额呢？有一百五百两千元三种，该单位的捐款500人呢？

有多少个？好同学们，这边呢？有。100元的。有500元了，还有。2000元。题目要我们去求捐款500元的人有多少人？我们可以设他为x个人。对吧，有x人那么是捐款2000元的，有y个人由于总共是有100个人，所以捐款100元呢，应该是100个人减去x人，

再减去y人。是不是总共有这么多人？对吧，这是我们设。那么这样的话，我很快是不是就可以？列出一个方程来啊，总金额应该等于100乘以括号。100-x-y，再加上500×x，再加上2000×y。是要等于啊，是要等于一九零对吧？19000。那第一步呢？

列方程列完了之后注意了，下面我们第二步是解方程，解方程的时候首先得化简，你看。左右两边，我们是不是可以同时除以啊？除以100再除100再除100是五再除100是20再除100是幺九零。好，我们再来化简，那么这边呢是？这边呢，是100-x-y啊，加上5x啊，加上20y是等于190的。那么这边我们再进一步的化简，

这边是4x+19y是等于190-100是等于90的。对吧，好同学们注意了，我们这个时候呢，可以再做一个奇偶分析啊，再做一个奇偶分析，大家看这是一个。偶数4x注意xy是正整数对吧？所以这个4x它是偶数那么90呢？它是一个偶数。所以我们这个时候可以得出来这个19y，它就必须是。是吧，这个19y它必须是偶数。是吧，

19I19y必须是偶数，那么由于这个y是这个19是一个奇数，所以我们是不是可以得出来y它必须是一个？偶数啊，必须是一个偶数，明白吧y必须是一个偶数，由于我们这边呢？啊，这个xy都是正整数，所以呢，我们可以得出来，这个y可以等于二四六八。啊，这样一直下去，那么接下来呢，

我们再去检验。因为y。它可以我们圈点的一个大概的范围是偶数26，80这样带进去对吧？我们还得检验一下呃，这个这个x。对应的能不能够取到这个正整数呢？如果x取不到正整数，那就表明这个y是不是就要舍掉？好，我们下面来去验证当y=1的时候。好当y=1的时候，咱们把它带进来啊，这边应该是。4x啊，

加上19×2是38是等于90的，所以我们可以得到4x=90-38。啊，它是等于52的，所以我们可以得到这个x是等于13的诶，这个就是符合要求的。对吧，所以这个题目他要我们去求捐款500元的人是多少个人？是不是就直接是30呃13了？对吧，所以这个题目正确答案选。选择a选项，那么有的同学说老师，我还想多算几步。对吧我还想后面多检验几个啊好我们带着大家一起来验证一下比如说y等于y等于，

诶诶刚才是y等于二啊写这个写错了啊有个，比如哦，啊y等于二的时候这边啊上后面是没有问题的啊就这个y等于二写成y等于一了但y等于四的时候对吧但y等于四的时候我们再代入验证一下，那么就变成了这个四x加上十九乘以四啊十九乘以四是等于七十六的对吧，四x加七十六等于九十所以我们可以得到四x等于九十减七十六是等于十四的我们发现这个x是等于啊四分之十是二分之七十等于三点五的那它就不行了对不对，所以这边是不是要舍掉你大家再看我再多带几个比如说y等于六的时候你把它带进去了啊，可以得到四x加上十九乘以六六九啊六九五十四啊一啊这就幺幺四了对不对，四x加上四x加上幺幺四是等于九十的那么这个时候四x它居然小于零了那是不是肯定要舍掉啊，是不是啊肯定要舍掉，所以呢我们一般来说在做应用题的时候啊带入验证的时候算出一个正确的结果之后我们马上就，啊只要算出一个正确的结果之后我们马上就可以停止了这个题目就做完了选出对吧在选项中找到，这个啊找到这个啊这个数据的选项就可以了呃我们通过多带几个数进行验证也发现了，对吧它啊要么就是比如说像y等于四代进去你x它不是个整数了所以要排除当y等于六代进去你x连正数都谈不上了所以也要排除，所以这就是我们啊这就是我们这个呃二元一次方程以及啊二元一次方程啊一个二元一次方程组的，啊这个命题情况有两种方式对吧一种方式呢就是呃设两未知数列出两个方程来然后联立起来求解，

第二种情况呢是测量未知数只能列出一个方程来但是这个啊方程里面的未知数呢也就是这个x和y呢都必须是正整数有特定的取值范围有特定的取值要求了，那么我们通过奇偶分析对吧列方程之后通过奇偶分析啊然后框定一个大概的范围啊然后再，带进去逐一验证就可以了有的同学说老师那验证的情况会不会很多呢一般来说验证个两三次结果就出来了啊多多验如果出现极端情况验证个五，五次左右基本上也不会有什么太大的问题对吧也就是二三十秒钟的时间就验证完毕了，所以大家在心理上呢不要害怕它好这是咱们考点四十一啊以及相应的三道例题，大家抓紧时间消化一下，好同学们那么我们继续接着讲解大家看到考点四十二，我们在呃前面呢给大家讲过分式方程对吧做恒等变形，化简求值解方程啊这个前面也跟大家讲过一些题目在恒等变形那一块在讲分式那一块那么我们在应用题中呢有的时候啊，设未知数之后列出来的一个方程呢是分母中含有未知数那么这样的方程就叫做分式方程，我们要去解出来好下面呢我结合一道结合一道具体的例子呢来给大家去讲解啊大家看到例六十五题，某施工队呢承担了开着一条长两千四百米隧道的工程在决定了四百米后，由于改进了施工工艺每天比原计划多掘进两米最后呢提前五十天完成了施工的任务，这原计划施工工期是多少，好同学们注意了啊你看啊它是决定了四百米之后才改进工艺所以真正产生差异的，

那个呃，产生差异的地方是剩下来的两千米的这个这个啊嗯这个任务在这两剩下的两千米的任务的地方呢产生了，跟之前的跟原计划不同的，对吧不同的这个地方，所以呢我们设，我们设原计划，每天，原计划每天掘进，x米，我们是原计划每天决定x米那么？改进工艺之后，每天掘进多少呢每天掘进x加上二，原计划每天掘进x米改进工艺之后呢每天掘进是x加二米好那么在产生差异的地方原计划呢注意了两千米，它要多少天时间呢嗯这个完成这个任务呢是不是应该是两千除以x对吧所以这是原计划，啊在两千米啊掘进两千米需要花这么多时间，

啊原计划，绝境，两千米，续续这么多天，然后现在，现在掘进两千米，需要多少天呢需要两千除以x加上二天，那么这个题前五十天完成，对吧它是在最后这两千米的时候产生了时间上的差异所以呢我们是不可以得出来啊两千比上x，减去两千比上x加二它要等于五十对吧用大的减小的，好这是我们的第一步，啊由于这个分母中含有未知数，对吧所以呢它是一个分式方程分式方程就是分母中含有未知数那么下面我们进入第二步之后啊第二步就是解这个方程，怎么去解这个方程呢我们是不是可以先化个减等号两边同时除以五十是吧等号两边同时除以五十这边是一，这边除以五十变成四十这边再除以五十对吧是四十，

所以呢我们可以得到应该是x分之四十减去x加上二分之四十是等于一的，那么下面我们再去分母啊等号两边同时乘以x再乘以x加二所以就变成了四十乘以括号x加上二，减去四十乘以x它要等于x乘以x加上二，对吧好那么下面呢我们再来它应该是这边是四十乘以二是等于八十的四十x已经抵消了这边是等于x的平方，加上二x好同学们注意了一项可得x的平方加上二x，减去八十是吧减去八十是要等于零的我们因式分解这边是一一这边是八这边是十，负八好这边呢是不是十加上负八是要等于二的对吧所以我们可以得到x减去八，乘以x加上十要等于零解得x等于八，是吧解的x等于八那负十是不是要舍掉因为x它必须是正正，对吧x每天决定x零的x大于零的，然后他要我们去求原计划的施工工期所以啊题目还没做完还得写一步，原计划的，这个施工工期，它应该是等于，啊总公司两千四百米除以八对吧除以x对吧是不是除以除以八是不是要等于三百天了，

也就是说需要三百天完成，是不是需要三百天完成千万不要用两千除以八了啊两千除以八的话，是最后两千五两千米的时候对吧后来产生差异的两千米所需对吧原计划所需要花的时间，那我们题目要求的是原计划总共对吧把这个整个工程完成需要多少时间呢所以应该是两千四百米除以，除以八是等于三百天所以这个题目正确答案应该选择四d选项千万不要选c的啊啊c是错误的啊，d是正确的，好那么呃我们第七讲的第一小节呢就给大家讲这么多啊我们简单的回顾一下这一节的内容，我们在这一节呢啊给大家呢从考点三十八讲到了考点四十二那么呃我们的讲解呢是，就是只记要害式的讲解没有跟大家讲漫无边际的一些理论因为这样的话会让同学们抓不住重点了，好同学们考点三十八呢嗯，讲的是一元一次方程首先要搞清搞清楚什么叫一元一次方程一元一次方程是指ax加上就是ax的，等于b这种形式ax等于b这是它的最基本的形式其中a是不等于零的，既然a不等于零所以我两边同时除以a是不是可以得到它的解集是它的解是x等于a分之b啊，那么有的时候考试的时候给出一个说ax等于b的这样的方程它并没有告诉我a等不等于零呢所以我就不能贸然的，说它是个一元一次方程那我得分类讨论对吧如果a如果a这个呃它等于零，

对吧那它就那我们就得再进一步的讨论如果a它不等于零它就是个一元一次方程对吧x就等于a分之b有的时候像啊题目它会告诉我们说ax加b啊不ax等于b这是一个方程然后呢，这是一个关于x的方程他说这个方程有无穷多组解那肯定就是对应的是不是考点就出来了考点就出来了那就a等于零b等于零如果他说这个方程有，呃有呃这个商城没有实数根那我是不是表明a等于零b不等于零了如果这个方程它说有唯一的实数根那么就是a不等于零并且啊这个实数根我还可以求出来是等于a分之b的，那么考点五十啊这个这个考点三十九呢是啊一元二次方程的这个判别式问题对吧，我们就直接啊看到这个结论如果如果呃题目告诉我们说一个一元二次方程它有两个不等的实数根它等价于delta是大于零的，如果他说这个一元二次方程有两个相等的实数根它等价于德尔塔为零对吧如果他说一元二次方程没有实数根，等价于delta小于零，啊如果题目它这么说它说一个一元二次方程有实数根它没有说是有两个相等的实数根也没有说是两个不相等的实数根它只是说有实数根那么？我是不是要把这两种情况都包含进去啊那么它就等价于德尔塔大于等于零大于等于零的意思是指它大于零或者是等于零明白吧，呃那么考点四十呢讲的是韦达定理啊韦达定理是怎么来的我用了两种方法做推导第一种是配方对吧，求出这两个啊根来然后呢再利用两根之和进行运算两根之积进行运算其中两根之积我们用到了平方差公式，那么第二种推导的方法呢是利用因式分解之后做恒等变形对吧啊两个做恒等变形那么它对应项的系数是要相等的，啊两个恒等式是不是啊恒等式恒等式左右两边啊对应着等号左右两边对应项的系数是要啊相等的，啊这个伟大定理呢经常跟恒等变形结合在一块儿来考那恒等变形中呢最重要的就是啊这个平方完全平方公式对吧，啊我们这边是不是就用到了完全平方公式啊，

好那么考点四十一呢是二元一次方程组以及二元一次方程求不定啊就是它作为一个，嗯不定方程去求正整数解对吧我们跟大家讲过了要做经常伴随着奇偶分析伴随着代入检验对吧，然后考点四十二呢就是呃，考点四十二呢就是在应用题中所谓的所列出一个啊分式方程然后去解方程一般来说分式方程我们是要去验根的对吧你解出这个方程之后，啊要带进去检验看它的分母等不等于零但是呢比如说像我们这个题目解出来x等于八啊你要带进去看，那个啊方程中的分母有没有出现等于零的情况啊但是呢这种往往都是啊不等于零的对不对所以呢，我们这个题目没有专门的说啊带你去验根的这个过程啊跟大家去说了啊这是也是我们应用题中啊涉及到分式方程的时候一般它的结果如果说是唯一的话啊它解出来这个根是唯一的，的话那么就这个验更的过程是可以省略的但是呢啊严格意义上说我们应该啊，你用眼睛一戴进去看看一看看把x等于八带到带到这个form里面看它到底等不等于零它如果不等于零对吧心中算一下就可以了，好我们这第一小节呢就先给大家讲到这里那么现在给点时间呢大家从头到尾把这几个考点都搂一遍过一遍然后我们再接着往前推进，

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