10.课件10-数学基础班第6讲（下）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-5 09:45:23

好同学们，那么下面呢？我们继续接着往前讲解，大家看到考点35指数函数。那么，指数函数呢？呃，这块呢？有一些补充要点，先要给大家做一个梳理和。啊，这个呃复习。我们在前面学习一元二次函数的时候呢。给大家讲过这个函数啊，作图的时候是先列表再描点再连线对吧？

我们现在呢？也给大家呢。做个图啊，这个图呢是对比性的一个图呢是啊，一个函数呢是y=2的x次方。嗯，第二个图呢是？好，第二个图呢是y等于二分之一的x次方。对吧，我们这两个呢，都要作图。好，我们举这两个例子来作图呢，是为了让同学们掌握它的。

图形特征。好要作图，我们首先。列表。好，这是x这个是YY呢，是等于二的x次方对吧？啊，好当x等于同学们注意了，当x=0的时候y=2的零次方是一，当x=1的时候y=2的一次方，它是等于二。它x=2的时候y是等于二的二次，方是等于四当x=3的时候y=2的三次，方是等于八好，

我们再举几个。这个呃等于数当x等于负一的时候y等于二的负一次方是等于二分之一的当x等于负二的时候y等于二的负二次方是等于四分之一。当x等于负三的时候y等于二的负三次方，它是等于八分之一的。对吧好，那我们下面呢？我们把这个图形。啊，我们现在呢，准备来去呃画这个图形，那么画图的时候呢？先把直角坐标系，咱们把它画出来。为了方便我们对吧？为了方便我们描点，

我们画一些这个。好。好，我们画一些这个。格子线啊，方便我们去定位找点。当然了，大家自己在画草图的时候对吧啊？不需要画的那么精确的时候啊，直接自己标刻度。然后看出它的大概的位置就行了。好，我们画了一些这样的格子线。这边是坐标原点，这是x轴，

这边是y轴，把这个刻度标上来，对吧一二？三四五六七。八这边是负一负二。负三等于一二三对吧？我们再把这些点描出来，当x=0的时候y是等于一的。好x=0 y=1好，这是第一个点，当x=1的时候y是等于二的啊，当x=- 1的时候。啊，这个y呢是等于二分之一在大概在这一半对吧？但x等于负二的时候y是等于四分之一啊，

又取一半。当x等于三的时候y等于八分之一，大概在这个地方。好，我们其实呢啊，还可以描更多的点，把这些点描的更加密集一点，这样的话。对吧，这个呃越密描的越密集，那么这个图形画的就越加啊，越准确啊，然后呢，我们用平滑的曲线。我们用平滑的曲线把它连接起来。

用平滑的曲线将这些点。连接起来就形成了它的这个图形。啊，这是它的图形，所以呢，我们发现了y=2的x次方，它的图形呢？是啊，是这个紫色的对吧？这个紫色的曲线。它是一个往右上方倾斜的。这么一条啊，曲线。好，我们再来。

画y等于二分之一的x次方，它的图形。它的图形呢？好同学们，注意了，这边呢？这是。这地方它要发生变化了，对吧？y等于二分之一的x次方，它要等于这个。那么这里面呢？好，我们发现呢，当x=0的时候y是等于啊等于一的当x=- 1的时候y是等于。

二分之一的负负一次方就等于二的一次方是等于二对吧啊，所以呢，当x等于负一的时候y是等于二的当x等于负二的时候y是等于。是的，当x等于负三的时候y等于八，当x等于啊，当x等于一的时候呢，它是等于y是等于二分之一的，当x等于二的时候y是等于四分之一。当x等于三的时候y是等于八分之一的，对吧？这样的话，我们发现了啊，把这个点再描上来。现在呢？

我用黑色的点。当x=0的时候啊y=1，它也经过这个点，当x=- 1的时候，这个y是等于二的是在这个点。当x=2的时，等于负二的时候。y=4是这个点。当x=- 3的时候。y=8是这个点。大家有没有发现这个黑色的点跟这个红色的点，它是左右对称的，关于y轴对称的对吧？当x等于一的时候y等于二分之一在这边。嗯，

当x等于二的时候y等于四分之一，当x等于三的时候y等于八分之一。好，我们有一条黑色的曲线。把它啊，平滑的曲线把它连接起来，其实我们发现它是一个对吧？它是左右对称的，这个黑色的线。跟紫色的线，它是左右对称的，这是y等于二分之一的x次方，这个是y等于二的x次方。好，这是我们通过嗯列表瞄点连线啊，

这三步来去作图的。好，下面呢我们。看到第二，我们看到第二个要点。啊，应该是第三个要点了啊。好，我们看到第三个要点。第三个要点呢是。形如。y=a的x次方，其中a是大于零，并且a是不等于一的。形容这个样子的函数。

它就叫做指数函数。它叫做指数函数，其中a是参数，对吧？其中呢？这个a是一个。我们给它起个名称，这个a叫做叫做底数。对吧a就叫做底数，然后呢呃，这个x呢叫做。就是我们这个函数中的自变量。那么这个y呢？啊，这个y呢，

叫做因变量，也叫做函数，对吧？或者说叫做。叫做因变量。那么，它们的图形特征呢？好，它们的图形特征如下，它分两种情况，第一种情况呢，是a介于零到一之间。第二种情况呢，是a要大于一。好，

我们把直角坐标系给大家画出来。好，这边是x这边是y轴这边是。啊，这边是。原点画一条这样的虚线。啊，这边标为一。好，同学们。我们现在呢，要画的是y=a的x次方的图形，注意了a呢是介于零到一之间的。a介于零到一之间。对应着我们上面讲的这个画的这个图形中y等于二分之一的x次方，

这个a就等于二分之一了，它是一个。黑色的线对吧？这个黑的往右下方倾斜，它是一条这样的曲线，那么。我在这边呢，用红色来凸显它，它是一条往右下方倾斜的曲线。啊，并且是往下啊，是一个往下凹下凹的，对不对？它是一个往右下方倾斜，一个下凹的曲线。

并且它要经过零一点，也就是说它要经过零一点，这是它要经过的一个固定的点叫定点。那么，当a大于一的a大于一的时候，这个底数大于一的时候，那么y=a的x次方，它的图形呢？它的图形同学们注意了，它是一个往右上方倾斜的曲线，往右上方倾斜的这个曲线，它也是往下凹的。好，这就是它的图形特征，它要经过的一个定点是零一点啊，

就是说不管你h什么值，它都要经过这一点。那么，这个图形特征啊，实际上。嗯。它就蕴含着不等关系，对吧？它就有一个，你看它是一个减函数。这边是一个减函数。啊，这边呢，就是一个真函数。那么，

这个增减性呢？在考试过程中就有可能用来去考我们，对吧？不等关系，比如说二的x啊，比如说二的。来大家看二的m次方要大于二的N次方，那我们一定可以得出来m是大于n的。为什么呢？因为啊y=2的x次方，它是一个。啊2 y=2的x次方，它是一个真函数，所谓真函数的意思就是说二的x次方这个值越大，它就对应的x的值就越大。

对吧，这个次方就越大，那么现在我们二的m次方越大，是不是对应着它这个次方这个m次方就越大呀，所以m是大于n的？那么，我们再做一个对比。啊，比如说二分之一的m次方要大于二分之一的N次方，那么我们就可以得出来m，它是要小于n的。因为y等于啊，因为y等于二分之一的x次方，它是一个减函数，对吧？

是个减函数，它是往右下方倾斜的图形。什么叫减函数呢？就是说啊，这一个的值二分之一的x次方对吧？y等于二分之一的x次方，这是个减函数二分之一的x次方的值越小。越大，那么它对应着的x就越小，是不是啊？好，这是它的图形特征。好，那么下面呢？嗯。

我们。好，我们来看相关的例题，通过例题来辅助大家理解和消化，大家看到第53题。我们看到第53题。这个这个题目呢，是个条件充分性判断的题型结论呢，是a大于b，我们首先看到条件一。条件1a的平方大于b的平方啊，这个能不能够推出a大于b呢？同学们注意了，推不出啊，推不出结论了。

它推不出a大于b啊，注意我把这个结论写在这方啊，写在上方做一个比较，它的结论是a大于b对吧？好同学们注意了，我们只需要举一个反例。所谓反例，就是满足已知条件，但是推不出结论来的例子，对吧？也就是a=- 3啊b=0。你看a的平方，它确实是满足大于b的平方了，但是这个a比b它就小了，是不是啊？

好，这是啊d。一步那么下面呢？我们看到第二步条件二的分析条件二呢？它说二分之一的a次方小于二分之一的b次方。好同学们注意了，由于啊，这个y等于二分之一的x次方，它是一个减函数，对不对？因为啊，因为它的底数是二分之一，它是介于零到一之间的，所以它是一个减函数。那么，

它是个减函数是什么意思呢？就是说呀，二分之一的x次方，这个值越大，那么它对应着的x就越小。那么，这个二分之一的x次方，这个值它越小，它对应着的那个次方x就越大，你看我们这个地方呢？这个二分之一的a次方。它这个值越小，那么它对应的那个啊次方a就越大，所以a是要大于b的a，这就可以推出结论了。

因此啊，条件一它不能推结论条件二它是可以推出结论来的，因此本题的正确答案选择b选项。本题的正确答案选择b选项。好同学们，这道题目呢？其实我们还可以做一个举一反三。我们把这边擦掉。好把这一半留下来，我们编一个现场给大家编一道题目，做一个举一反三啊。举一反三的练习。这个题目呢啊，是这样的，这个题目呢，

是a的平方。啊，或者这样写。这个题目呢，是二分之一括号的a次方小于二分之一括号b次方，这是结论。那么条件一呢，是a大于b条件二呢，是a的平方大于b的平方。好，也就是把已知条件跟这个条件跟结论稍微调换了一下，那么这个举一反三的题目，我们怎么去做呢？好，我们分析如下，

第一步首先看到条件一。条件一呢好，大家注意了呃，你看我们这个。这个条件一啊，跟这个结论这个结论呢，它是一个刚才我们分析过，是一个指数函数对不对啊？是个比大小的问题，所以这个地方呢，我可以稍微做一点。那我可以呢，稍微把这个结论做一个变化啊，在分析条件一之前我们可以做一点变化，就是原结论。

原结论它等价于。对吧，因为y等于二分之一的x次方是一个减函数，减函数的意思是指二分之一的。x次方这个值越小，那么它对应的x值对应的这个次方就越大。那么，我们二分之一的a次方小于二分之一的b次方，那么显然这个a是不是就要大于b了？是不是？所以它是等价于a大于b的。它等价于a，大于b好，这是我们的第一步啊，第二步分析条件，

一条件一呢，它说a大于b，那它可以推出咱们的。结论了好，下面呢，我们看到呃，这个条件二啊条件二呢，它说。a的平方大于b的平方，同学们注意了，它就推不出咱们的结论了，为什么呢？我们啊，可以举一个反例。实际上，

跟我们的第53题是不是非常类似啊？我们可以举一个反例，比如说a是等于负三的啊b是等于零的。a=- 3，b=0，它满足条件二，但是它推不出结论来，对不对？我们的结论是a要比b大，那你现在举的这个例子是a比b要小了。对吧，但是他确实是满足条件二的，所以呢，条件一啊，能够推结论条件二，

不能够推结论，那正确答案是不是应该选择a选项呢？是不是啊？好同学们还可以自己再做举一反三，对吧？把这个结论跟条件啊，看哪个地方再做一个对调。是不是那所以他可以这样的话，有利于我们去把一个问题把它分析透彻好，这是第53题，下面请同学们看到第。54题。第54题呢？这一道题目。嗯，

他说这个函数的图像经过哪里？实际上呢？我们啊，有一个我们我们前面跟大家讲过，说y=a的x次方。它说它的图像一定经过哪一个点呢？啊y=a的x次方是最基本的，它一定过点。对吧，它是一定过点p零一，也就是当x=0的时候代进去，我可以得到y。一定是等于一的y=1呢呃。同学们y等于啊y=1呢，就是说x=0 y=1，

你把它带进去啊，带到这个函数解析式里面，它是一定成立的。把把x=0 y=1代进去，它一定成立，不管你这个h何值，它都是成立的，这就叫做过定点。是不是啊？同学们，这个要啊，要能理解啊。好，这是我们的嗯。好，

这是我们的这个基础知识，那么下面呢？我们看到第二步，你看他说y=a的x- 2。再加上一它的图像经过哪一个点呢？实际上它的图像一定经过的点也就叫做定点。也就是说，要使得跟使得这个点呢，使得那个点的横纵坐标带到这个解析式里面，带到这个解析式里面。跟a的取值无关，要使得它跟a的取值无关，我们是不是注意到一个点a的零次方是等于一跟a？没有关系对吧啊AA只要是不等于零的，其他的任何有意义的，

这个这个实数带进来a的零次方都是等于一的，所以我们是不是只需要让？x- 2=0，就像我们上面一样，只要让这个次方等于零，是不是就可以了？所以呢，我们它的方法是令令什么呢？令x- 2=0。解得x是等于二的，然后呢？这个y是等于a的零次方加上一，它是等于一，加上一，注意a的零次方是等于一的，

一+1=2。那么也就是说啊，我们把啊，我们把刚才解出来的这个啊，解出来这个点也就是x等于个二。啊y=2对不对？把x=2 y=2带到原解析式里面，把x=2。y=2代入，y=a的x- 2次方加上一，你会发现。它是恒成立的，对吧？它是恒成立的，因为二等于呃a的零次方加上一，

它是恒成立的。对吧，注意了，我们这里面已经明确的指出了a是大于零，并且a是不等于一的，对吧？满足这个要求的任何一个a代进来，它都是缓存率的。那么，恒成立的意思是指啊，就是不管你h怎么指我这个等式都是成立的就表明。啊，就表明什么？就表明这个函数的图像一定要经过x=2 y=2，因为你把x=2 y=2。

啊，带到这个解析式里面，它是一定成立的，所以它的图像就一定经过啊，一定经过这个点。好，那么下面呢？请同学们啊，看到这个选项正确答案是不是应该是选择4d选项好第54题呢？这个解析呢？我首先是跟大家复习了这个最基本的原理。最基本的原理是y=a的x次方，一定是经过零一点的，因为我把x=0 y=1带到y=a的x次方里面，我发现。

它左右两边就变成了一=a的零次方，它是恒成立的对吧？它是恒成立的，不管你a取什么值对吧啊，只要满足a大于零，并且a不等于一，这个题目中的这个约束范围。啊，在这个题目中呢？这个约束范围之内，任意一个值都是可以的。对吧，任意一个a代进去，它都是很它都是成立的，就是跟你a的取值是无关的，

对吧？所以这就叫做定点。好，这是第54题，那么这道题目呢？实际上我们还可以做一个举一反三。好，咱们还可以做一个举一反三嗯，就是啊，这个y=a的x的平方减去。2x啊，再减去二，再加上啊，再我看看啊嗯。减去三嘛，

好加上一啊，它过定点。或定点什么？我们要把它这个定点给求出来，那么我们诶前面刚刚给大家讲了这个。54题的这个解题思路，那么现在我是不是可以直接拿过来借鉴使用啊？我们直接让什么呢？是不是让这个a的这个次方等于？零就可以了，是不是我们令x的平方减去二x减去三等于零明白了吧？就像我们前面一样，让这个次方等于零好令x的平方减二x减三等于零，这样的话我就可以得出来x。加上一×x- 3=0，

可以得到x=- 1。或者是三。对吧x=- 1或者是三。然后呢，我们再把这个y给解一下y，它就等于a的零次方加上一，它是等于一+1，是等于二的。所以呢，我们就可以得到有两个点，对吧？第一个点呢是p1是负一。二第二个点呢，是p二三二，那么我们把p1啊带进去，

对吧？p1的横纵坐标带进去。啊，检验代进去的话，你看我们代入解析式代入y等于a的x的平方减去二x。再减去三。再加上一，你会发现代入进来之后，左边是二，那二等于a的，那x等于负一代进来，负一的平方减去二乘，负一减去三是等于零的。对吧，这是一个恒成立的式子，

对吧？左右两边是恒成立a的零次方是等于一的，一+1=2对不对？所以它是恒成立的，与a的取值无关。明白吧，与a的取值是无关的，当然我们说与a的取值无关。是啊，这边是要规定a要大于零，并且对吧？并且a是不等于一的，一般解一般这个题目给的时候它就会。告诉我们，就像我们的54题，

它就明确的告诉我们a是大于零，并且a是不等于一的，对不对？这样的话，我们发现它是很成立的。对不对？它是横成立的一样的，这个把p啊，把这个啊呃p二三二横坐标带到这里面来，它也是横成立的。所以说它有两个定点，也就是不管你a取何值，因为你a取一个值就代表着有一个函数解析式了。就代表着它有一个图形，不管你h什么值它对应啊，

你得到的那个函数，它它对应的图像一定要经过p一点和p二点，所以它经过两个定点。p1呢是负一二啊p2呢是三二，它有两个定点就永远都要经过这两个点。好，那么下面呢？我给一点时间，大家理解和消化我们所讲的考点35啊，以及对应着的啊两道例题。好同学们，刚才呢，给了一点时间，大家理解和消化考点35的内容，下面我们继续啊讲解，

大家看到考点36。指数函数与递推思想数形结合法的这个综合应用，我们看到d。啊，因为这地方呢，相对来说比较抽象一点，所以我结合相关的例题来给大家讲解，大家看到例55题。好，大家看到第55题函数fx等于啊，这个它的要求写下来，它是要等于。f括号x+2这边呢是二的负x这边呢是x小于二。啊，这个是x大于等于二。

啊，然后呢？我们要去求的是f负三。对吧，要求的是f负三，那么这个问题呢？我们嗯，怎么怎么来做呢？首先题目中告诉我们当x当这个自变量小于。小于二的时候，我们是不是应该得使用第一个解析式啊？对不对？使用第一个解析式，所以啊f负三，因为这个啊，

注意啊，因为负三它是小于二的。所以呢，我应该用到第一个，它应该等于f括号负三+2对吧？我们我们计算一下负三+2是等于负一。那么，又因为负一，它是小于二的，那所以呢，我们使用哪一个函数解析式，它是要看自变量的。这个大小的对吧？x小于二自变量小于二的时候啊，我就用上面这个解析式啊，

对吧？当x大于等于二的时候，我就用下面这个，我们现在呢是f负一负一呢，是小于二的。所以我们应该用上面那个对吧？我们应该用上面这个呃，这个上面这个这个这个解析式应该是等于负一+2。好，我们继续写啊，画一下减出来负一+2是等于一的要，因为一是小于二的对吧？一小于二，我是不是继续使用上面这个解析式啊，它等于f1+2。

对吧，它是等于f3的好，这个三同学们注意了，这个三它是满足大于等于二的，对不对？它满足大于等于二了，所以这个时候继续往后写的时候。它应该等于多少呢？它应该是等于二的负三次方用下面这个解析式来。对吧，二的负三次方是等于二的三次方分之一，它是等于八分之一的，所以啊，第一步的工作咱们就做完了，对吧？

第二步，那么找八分之一是不是正确答案？选择一选项。对吧，选b选项那么这个呢，是体现了递推的啊，这个思维啊，用的是递推的方法来去。来去分析的那么，这个第55题呢？我们还可以做一个举一反三。我们可以做一个举一反三的，这个练习已知条件呢，依然是设。fx是等于。

f括号x+2这个x是小于二的，这边呢是等于二的负x次方。这边的x是大于等于二，然后要我们去求多少呢？比如说今年是啊，今年是二零二三年，所以我写上负的二零二三。等于多少对吧f负的二零二三等于多少？好同学们注意了嗯，这里面呢？这个举一反三的这道题目呢？其实啊，就是把我们的第啊，就是把我们上面的这个。呃，

55题啊，把我们上面这个55题相当于是这个呃。就是变得复杂一点了，但是本质没有发生变化，你看啊，同学们，大家看到我这一块嗯，因为。负的二零二三，大家来看啊，因为f负的二零二三这个负的二零二三，它是比二要小的，所以我是不是应该选择第一个？解析式啊，所以它要等于f括号。

负的二零二三+2对吧？它要等于f，它要等于f。负的二零二。一对吧，同学们能理解吧，我们再来操作一遍ff负的二零二一，你看这个负的二零二一，它又是比这个自变量又比二要小，所以我应该选择上面这个解析式。它应该等于呃f负的二零二一，加上二，它要等于f括号负的二零一九。好，我们再来写f负的二零一九，

同学们注意了，你看这个自变量负的二零一九，它又比二要小。所以呢，我们是不是再使用上面这个解析式，应该等于f负的二零一九啊，再加上二。它是要等于f负的，二零一七好，那么同学们，其实大家已经能够发现这中间是有一些规律的。它的规律是什么呢？大家看我们最开始是负的，二零一三要等于负的f，负的f，

负的二零一三要等于f，负的二零。r1要等于f负的二零一九，它是不是逐渐的增大呀？它形成了一个等差数列。是不是啊？形成一个等差数列，它的公差为二，所以呢，我们甚至往后一直可以写。也就说啊，好，我把它写下来f负的二零。二三要等于f负的，二零二一要等于f负的，

二零一九要等于f负的，二零一七。我们中间到省略号，它最终可以写到f负的多少呢？写到f负一。对吧f负一啊，这个负一还是比二要小的，明白吧，这个我们中间的好多过程可以省略下面呢，我们进一步的。来往后来操作啊，因为f负一呢啊，同学们注意了，这个负一比二要小，所以呢，

我们继续操作啊，我们继续操作，它应该等于f负一+2。它是等于f1的，是不是啊？这个过程我们在反复的操作f1呢？这个一呢？又比二要小，所以继续使用上面那个解析式对吧？递推公式，它应该等于f括号。啊一+2是等于f3的对吧？等于f3好接下来啊，我们再来操作最下面这一啊，最下面这个呢？

好，我用蓝色的笔来写，这个不一样的地方。那么这个f3啊，它要等于什么呢？因为啊，因为三是大于等于二的，对吧？也就是说自变量是。是大于等于二的，那么这个时候我们要使用下面这个解析式，也就是f3要等于二的负三次方，它是等于二的三次方分之一。它是要等于八分之一啊，所以。

最终的结果就等于八分之一。是不是这一串全部要相等的，因为f负一是等于f一是等于f三f三呢是等于八分之一的？所以同学们注意，表面上看起来这个举一反三的题目，我这个自变量的数字改变了一下啊，对吧？跟我们的第55题比起来，它的数字发生了一点改变，自变量的数字发生了改变。但实际上，它的结果也没发生变化。那么，像这道题目呢啊，这个举一反三的题目，

我强烈建议大家呢，跟第55题比对起来，学习这样的话，效果是最好的。好，下面请同学们看到第56题，咱们看到第56题。第56题呢，它说函数fx是定义在实数集上，它的图像呢？关于啊，直线x=1是对称的，并且当x大于等于一的时候fx=3的x次方。减一好，大家注意了。

这个fx=3的x次方再减一，同学们注意了，这里面有个心理条件自变量。x是大于等于一的。那么下面呢？我带着同学们来画一下这个图形啊，带着大家来画一下这个图形。就是啊，大家注意这边呢，我们可以用列表。对吧，实际上大家熟了之后，这个列表根本就不用去做了。能理解我说的意思吗？啊，

实际上这样吧，我就直接跟大家用这种相对来说，我们不需要把这图画的那么精确。同学们注意了y=3的x次方，它的图形我们前面跟大家在哪地方讲过呢啊？在这地方给大家。讲过对吧y=3的x次方，这个三是不是就相当于咱们这个a是大于一的？这a大于一的话，它是一个往右上方倾斜的图形，它要经过y=3的x次方。它要经过零一点的。是不是啊？所以呢，我们。

那我们就可以得到首先y=3的x次方，他的图形。它的图形啊，图形如右。我们把它的图形画出来，我们只需要画它的示意图，不一定要画的那么精确，是吧？这是x轴坐标原点，这是y轴这个地方呢，是零一点对吧x=0 y=1。那么y=3的x次方，它的图形注意了，是往右上方倾斜的，我就用这个黑色的线来画啊。

它是一个往右上方倾斜的一条曲线。啊，往右上方倾斜的一条曲线。好，这个是y=3的x次方。那么下面我们再来看看y=3的x次方再减一，这个图形是不是整体？啊，在x取相同的值的时候，这y是不是整体往下要少一啊？就相当于是啊，这个y=3的x次方减一。它的图形是。啊，把它写全。

啊，它的图形。是油。y=3的x次方。它的图形。向下。向下平移一个单位。得到对吧？我们往下平移。一个单位就可以得到它。那这边呢？啊，它是由y=xy=3的x次方，它的图形向下平移，一个单位所得到的。

那么，这个零一点向下平移一个单位就变成零零点了。是不是啊？所以我现在用红色的笔来画它这个点。平一个单位就到这了。是不是那么这条虚线？好，大家注意了，那么这条虚线往下平移一个单位。就到这了啊，往平移一个单位是不是到这了？能明能明白吧，那么这个x轴平移向下平移一个单位是不是就到这了，所以呢，我们。

把它的示意图就可以画出来，上面这个黑色的线往下平移，一个单位对吧？往下平移个单位。就变成这个红色的这条线了。是吧，变成红色的这条曲线了。好，这是啊，这是y=3的x次方再减去一。那么，当x等于同学们注意了，当x=1的时候。当x=1的时候代进去啊，这个y是等于二的是不是y是等于二的？

所以这是一。这是二，也就是说这个点。啊，这个点呢，是a点一二当x=1的时候y是等于二的。那么我们。这样的话，我们是不是就可以得出这个y等于？好，我们是不是可以得出来y=3的x次方减一当x大于等于一的时候？它就只能够取到。哪个地方呢？它是不是只能取到？我用蓝色的笔描的这一块加粗，

它只能取到这一块。那是不是啊？它只能取到这一块。他剩下的这一部分红色的，他就不能取到了。啊，因为我只能要x大于等于一的部分。又因为啊，这个题目告诉我们说嗯fx的图像是关于直线x=1对称的。那咱们把这个直线x=1把它画出来。这是x=1这条直线。是吧，这这是x=1这条直线，那么既然它的图像是关于x=1啊对称的。那么，

我把x大于等于一的这部分已经画出来，是这个加粗的蓝色的线，那么我再把它对称过来。是不是就可以了，把它对称过来。所以呢，那么这a。好，这样的话，我们发现。这个fx它的图形呢？它是一个v字形。是吧，它的图形是一个v字形。好，

这是第一步啊，这样的话。我们可以得出呢fx的图像。fx的图像是一个这样的形状。是一个这样的形状。对吧，好那么下面呢？我们进一步的。来看这个题目中的要求，他们这个题目呢，要我们去比较大小，就是当x等于三分之一二分之三和三分之二的时候。这个图像对吧？这个函数值谁大谁小？我们发现当x=1的时候，

它的图像。啊，这个a点是它的最低点，所以呢，我们知道f这个f1是最小的。对吧好，我现在呢，把这个这个第二步啊。因为我们刚才已经知道它的函数的这个图像是一个啊，是一个这样的像v字型的，这样的图形，我现在把它放大起来看。对吧，我把它放大来看。好来，

我们来对照起来看。我们把它放大来研究啊，放大来研究题目中这个自变量涉及到三分之二。对吧，涉及到二分之三是不是涉及到三分之一啊？首先呢？这条线。是x是等于一的对吧？嗯，这个三分之一呢是零点三啊。零点三到这了。啊，这边呢是这个是x是等于三分之一的时候x等于三分之二的时候呢？大概是零点六零点六六对吧？零点六七的样子。

嗯，跟这个一呢根跟这个x=1呢根零点三三。所以这边是x是等于三分之二的。看一下啊，要重新。就正好在他们俩的中间。然后呢？还有一个是x是等于二分之三等于一点五。这个是x是等于二分之三好，大家注意了呃，我们实际上画这个图形的时候呢，也不是随便去画的，比如说这个x等于。三分之二跟x等于一之间，它隔了多少呢？

这个距离是三分之一，那么这个x等于一跟x等于二分之三之间，它的距离是多少呢？它的距离是二分之一二分之一，肯定比三分之一要大嘛，对不对？所以这边要隔得稍微远一点。但是同学们还要注意一点，这个x等于三分之一，它跟x等于一之间，它隔了多远呢？它隔了三分之二，它隔得更远，注意啊，三分之二是等于零点六七的，

约等于零点六七。这个二分之一呢，是等于零点五，这个三分之一呢，是等于零点三三左右，是不是？所以呢，我们根据这个示意图啊。我们就可以判断与中间x=1这条对称轴，这条对称轴呢？我干脆把它调一下啊。啊，这条。嗯，好，

我用黑色线画的，这个黑色虚线画的这个对称轴。就是x=1与这个对称轴隔得越远。那个自变量与对称轴隔得越远。对吧，那么它对应的函数值。就越大，因为它就越高了，与这个对称轴靠的越近。啊，那么它的这这样的点呢？它对应着的。这个函数值就越小，显然这个隔的是最最远的，所以它是最大的。

对吧，它最高点那么这个点呢是最低的是最低的，所以这边呢是最小的。然后这个点呢，是居中的啊，所以我们就可以得出它的大小关系，应该是啊，应该是f。是哎，这个f三分之二要小于f二分之三要小于f三分之一。对吧，所以啊，这个题目正确答案是不是很自然就显示出来了，答案应该选择b选项。那么，

这道题目呢？实际上，它也包含了一些解题的技巧，比如说我们在做第一步的时候，对吧？第一步我把这个图画出来了。图形画出来，其实我并没有在这个图形中再往下来分析第二步，因为啊，尽管我也可以在这个图形中分析，但这个图形分析不利于我们看清楚。所以我们只需要搞清楚它的图形是一个这种v字形的结果，对吧？像一个v字形啊，像一个这个原理。

对吧，一个CV 0啊，这么一个呃，一个v字型，然后呢，我们就把这个这个呃，把它拿出来，专门把这个图形啊放大。放大了之后呢，我们再来去分析啊，这个三分之二x等于三分之二x等于二分之三x等于三分之一，它跟x等于一之间的距离。啊，隔得越远的，那么它对应的函数值就越大，

隔得越近的，它对应的函数值就越小。所以说这道题目呢嗯，第56题呢，应该说难度还是比较大的，当然呢，你明白了它的命题，点了你也知道它的解题的思路和方法，这个题目就很简单了。所以说难和易，它是相对的，你知道如何去求解对吧？那么并且你很熟悉很熟练，那么对你来说就是。简单题你不知道它。

怎么啊？它的解题思路和突破口在哪里啊？你对这个问题很陌生。对吧，感觉到呃陌生到让你感觉到恐惧，那么这个题目对你来说就是可能是很难的。好，这是第啊55题和56题，那么现在呢？我再给一点时间呢啊，大家结合啊。啊，我讲的这个55题和56题，以及啊55题的举一反三，大家来理解和消化我们考点36的内容，

我现在呢，再给点时间，大家快速消化。啊，同学们，可能如果如果听的是这个呃网课的话，这中间休息的给大家消化的部分就剪切掉了。啊就呃，这样的话，保证课堂上大家呃，这个时间呢是？啊，是充分利用的嗯，那么如果你要消化的话，可以按暂停按暂停来消化啊，

我做一个说明。好同学们，那么我们继续接着往前讲解，大家看到考点37。啊，考点36呢，是指数函数啊，考点35，36是指数函数考点37呢，是对数对数函数，我们一般来说呢。呃考对数函数呢，实际上是一个比较边缘化的考点，它一般不怎么出现，因为命令老师也知道大家对对数这一块是相当相对来说很陌生的。

啊，它要考也是考指数，但是呢，对数函数呢，是有可能啊，就是说题目中包含了一些对数的符号。对吧，那包括我们对对数的增减增减情况也要有所了解，定义域也要了解这些最基本的问题是要了解的，所以呢，我跟大家呢，把对数函数这一块。也给大家复习一下。我们这一块呢，跟指数那一块的学习是非常类似的，

首先第一个是画图啊y等于啊log以二为底x的。这个对数要作图。啊，第二个呢是？y等于log以二分之一为底x的对数，它的作图。我们首先呢，要作图，他得描点。好，这个是x这个是y那么这个y呢？它是注意了，它是等于啊log以二五底x的对数。这边呢，我们准备啊，

注意这个x啊，必须是大于零的，对吧？这个x也是要求是。大于零的。那么这边呢？我们呃。写一些啊，举一些例子，比如说当x=1的时候。啊当x=2的时候，当x=3的时候，当x啊，这个我们要以三呢，不好写log，

以二为底三的对数。它等于多少我们不知道，对吧？但是呢，我们可以写二的平方就是四了，对吧？嗯，当x=2的三次方是八了。它比如说当x等于啊x等于二的二分之一，次啊等于x等于二的负一次方就是二分之一，对吧x等于二的负二次方就是四分之一。它x=2的呃，这个。负三次方就是八分之一，对吧？

我们要选择那些。有利于我们去。有利于我们去。这个求值的那些。那些点。这边呢，是等于log 1。二分之一为底x的对数好，那么下面呢？我们把这几个数啊把它。啊，这个代进去求你看当x=0的时候啊，当x=1的时候这个y呢等于log以二为底一的对数是等于零的。对吧，当x=2的时候啊y=log以二为底二的对数啊，

它是等于一的，当x=4的时候啊，这个算出来。y是等于二，它x等于八的时候y是等于三，它x等于二分之一的时候，这个y是等于负一的，它x等于四分之一的时候y等于负二，它x等于八分之一的时候。y是等于负三的。对吧，这样的话，我们画纸要做的比较细。呃。为了让同学们看的更清楚一点，

所以呢，我打算呢，还是画一些这样的格子线。好，我们把这个。点标一下啊。这是x轴。这是y轴坐标原点，这是一二三四五。六七。这是负一负负二负三负四，这边是一二三。四好同学们，我们首先看到呃，这个第一个图形中啊，

我们首先看到啊，第一个函数y=log以二五点x的对数的描点对吧？它对应的几个点的坐标是一零点来找到用红色的笔一零点。好，这是一零点二一点在这。啊，四二点在这。啊，八三点。在这上面。然后呢，二分之一负一点好，二分之一负一点。它又跑这来了，当x等于二分之一的二分之一的时候y等于负一，

当x等于四分之一的时候y等于负二，当x等于八分之一的时候它等于负三啊y等于负三。对吧，好，这样的话，我们把这个唉。红色的几个红色的点对吧？用平滑的曲线把它连接起来。好，我们连接起来了，至于它的这个图形，这个呢，解析式是y等于。log以二为底x的对数。对吧y等于log以二为底x的对数，

那么下面我们再来看y等于log以二分之一底二二分之一为底x的对数好，我们把相关的值带进来，当x等于一的时候。这个y是等于零的x等于二的时候，那个以二分之一为底x的注意了，那个以二分之一为底x的对数，我是不是也可以？我们做一些变形了。它是等于。它是等于log 2的负一次方，对吧？二的负一次方x的对数，它是直接是等于什么呢？等于把这个负一提到前面来，这个次方负一提到前面。

它就直接等于负一×log一啊log一二位的x的对数。对吧，所以啊，这个y呢，它它相当于是等于负的log以二五点x的对数，对吧？前面添个负号就行了，所以呢，我们可以得到这边是这边是负一对吧？把这个圈移对应的这个值添个负号就行。所以这边呢是负三，这边是一，这边是二，这边是三。那么下面呢？

我们再用蓝色的笔对吧？我们用蓝色的笔啊，注意啊，这边是诶，我看看。我用黑色的笔吧，这边是零负一负二负三一二三。三对吧？我们把它找到。把一零点找到，在这把二负一点二负一点，在这对吧？一零点在这三呃，这个这个呃。是负二点。

四负二点在这八负三点。好，它在这地方。二分之一一对吧？二分之一。一，在这。四分之一二啊，四分之一是二。还有八分之一三对吧？在这个地方，我们再用平滑的曲线对吧？把这些点连接起来。对吧啊。我们用平滑的曲线把它连接起来。

那么，这条黑色的曲线就是y等于log以二分之一为底x的对数。好，这边有一个定点，有一个定点p是一零点。大家会发现啊，这个底数是二的时候，这条红色的曲线对吧？它要经过。底数是二分之一的时候啊，那么这个黑色的曲线，它也要经过这个点，那么这个点实际上叫做什么点呢？叫做定点。好，

那么我通过具体的例子，通过具体的两个例子呢啊，给大家呢，把这两个对数函数的图像给大家画出来了。那么下面呢？呃，我给大家呢？进入到第三点，写它的一般规律就是。形如。y=log以a为底x的。这个表达式对吧？那么这个a是大于零的，并且呢a不等于一。这样的函数。

叫做。啊，叫做对数函数。其中a叫做底数x叫做自变量y呢？叫做啊因变量。那么它的图形。它的图形特征。我们一般来说呢，研究的时候它的图形特征对吧？也就是说不需要准确的去画图，当然你准确的画图就要用我们刚才所说的。这个呃列表表点连线这种思路呢，去做了。所以我们只需要画出它的一个大概的示意图。这是x轴，

这是。好同学们嗯，我把这个。这边也复制一格吧。我们对比起来学习，我们分两种情况，第一种情况呢，是a小于一大于零的时候，那么第二种情况呢，是a大于一的时候。当a介于零到一之间的时候，大家注意了，它的图形是这样往右下方倾斜的，它要经过零一点。当a大于一的时候呢，

它的图形呢？是啊，它的图形是往右上方倾斜的，它的图形是往右上方倾斜的。啊，这是y=log以a为x的对数，这个是也是y=log以a为x的对数。那么，同学们注意了，这个呢，可以参考什么呢？这个可以参考y等于log以二分之一为底x的对数，那么这个图形呢？可以参考。这个y=log以二为底x的对数，

知道吧？不管是哪一种情况，它都要经过零一点，也就是说当。x啊，等于。诶，这个地方写错了啊。这边是一零点啊，这地方有个小问题，一零点就是说当当这个x=1的时候啊，当x=1的时候y是等于零的。好同学们，注意了，做一个对比啊。

做一个对比啊，我们对数函数里面的定点。它经过的定点为啊一零点，那么我们前面的指数函数呢？它的定点呢？啊指数函数它的定点是当x=0的时候y=1对吧？这是它的定点。那么，指数函数跟对数函数一定要对比起来学习。那我们这地方呢，是当x=1的时候是y=0的。对吧好，这是嗯。这是它的图形，那么它的图形呢？

我们发现了当a。介于零到一之间的时候，它是一个。减函数。对吧，当a大于一的时候呢，它是一个真函数。它是一个真函数。同学们注意了，其实啊嗯。这个我还可以跟大家呢，画另外一条曲线，我们把这个对数跟指数放在一起来看。好，大家形成一个对比啊。

好，大家看到。对比学习。啊，这个是一，这也是一。同学们，我画一个指数函数，我也画一个对数函数y=a的x次方，首先我画y=a的x次方。然后呢，我再画一个嗯，这个y等于啊，我再画一个。啊y=log以a为底x的对数，

一个指数函数，一个对数函数，那么这个时候呢？画出来的a是介于零到一之间的时候，当a介于零到一之间的时候，同学们注意了好，我用红色的笔来画。这个指数函数y=a的x次方，它是一个减函数，对吧？它是往这边。他是往这边倾斜下来的，他也经过啊零一点。就是说它要经过。当x=0的时候y是要等于啊y是要等于一的。

好，这是这个图，这这个图。然后我再用黑色的笔再画一条线。嗯y=log以a为底x的对数。好，这个图呢？我画的时候啊，还要注意一点。还要画的更加准确一点的话。那么，在这个地方，我就必须要画一条这样的45度线。这样的话，借助这些必须要经过的点，

然后我们可以辅助。诶，画的太陡峭了。我再用一条黑色的线来画。对电子笔不是很好控制啊。好是黑色的曲线。好，这个黑色的曲线呢？是是这个对数函数。y=log以a为底x的对数，那么大家注意了啊，这两个函数呢，它是关于y=x这条直线对称的，并且它们俩的交点也是在y=x这条直线上。好，

我们再来。我们再来看。当a大于一的时候，注意了a介于零到一之间的时候，这个指数函数和对数函数它都是它都是。不管是子。还是对对吧，不管是指数函数还是对数函数，它都是。它都是减函数，也就是说啊x越大，它的函数值反而越小，那么当a大于一的时候。下面我们再把这个图形再画一下。这是x轴坐标原点，

这是y这个是一这个是一这边是y=x那么我们把y=a的x方的图像，首先用红色的笔把它画出来。y=a的x次方的图像，它是要经过啊零一点的当x=0的时候y是要等于一的。对不对？当这个x=1的时候呢？y是要等于a的，因为x大于一的肯定是要在这上面一个点。所以呢，我们可以画出来，它是一个大概的示意图，是这样来画的。然后我们再来画用黑色笔来画。再来画这个啊y=log以a为底x的对数，当x=1的时候y是要等于零的，

所以它要经过这个点。对吧啊当啊，实际上呢，我们画的时候啊啊，比如说我们再取个特殊值当x等于a分之一的时候。x等于a分之一。同学们x等于a分之一的话，这y是不是要等于log以a五点a的负一次方是等于负一的是不是啊？所以呢？它是一个。a分之一肯定是要小于一的，它是个这样的，实际上呢，这个黑色的图形呢啊，跟这个红色的图形呢，

它是关于。哈，它是关于这个y=x次方啊y=x是对称的。好，那么这两个图形呢？大家注意了，不管是指数函数还是对数函数啊，它都有个特点，它都是真函数。是不是啊？当然这一块呢？属于是给大家补充讲解的，我们考试的时候这个第四个要点啊，就是对比就是我们这张PPT上所讲的这个内容呢。他是一个啊，

学有余力的同学啊，可以学啊，可以学习一下，然后呃。这个如果学习起来有一点难度，或者说对这一块感觉到嗯。这个都忘了，一个r进来了，都不知道如何捡起来的，那么这一块可以跳过去，那么但是前面的啊，同学们，但是前面呢，给大家讲的。啊，

第一点，第二点对吧？画图的这个一二三啊，这个是第一点，第二点啊就是。复习一复习二复习三，这个是需要掌握的，后面呢，把几个图形放在一个一个坐标系里面的，这种对比的学语理的同学可以掌握。可以学习。好，下面呢？我们这个啊，结合我们讲义上的例题，

给大家进行讲解。我们看到这个第57题啊。第57题呢？这地方呢？我有一个基本的复习要点，就是说啊，第一个复习要点呢是。根号下fx，我们看到这个二次根号，我们必须要知道啊，这意味着什么？这意味着fx。它必须是要大于等于零的。第二个，我们如果看到了那个以a为底fx对吧？

这意味着什么呢？啊，这里面它是暗含着一些考点的，这意味着fx必须是大于零的。是不是啊？因为对数符号里面这个正数部分，它必须是大于零的。如果这两个他把它综合在一起了，他说log以a为底fx还开个根号。那么，这意味着什么呢？这里面包含的信息点呢？我们要逐一的去解构它，意味着有两点。第一点，

这个对数符号里面的增数fx必须要大于零。第二点，根号下面这个表达式，它必须是大于等于零的，也就是log以a物体fx的对数，它要大于。等于零。那么这个呢？我们就进一步的可以得出来啊。log以a为底fx的对数，它要大于等于。log以a为底一的对数。因为log以a为底一的对数是等于零的，那么接下来啊，解这个不等式，

我们就要分类讨论了，第一种情况。啊，这个是要分类的，对不对？第一种情况。第一种情况a大于一的啊a大于一的时候a大于一的时候呢，就是个y=log以a为底x的对数是个真函数对吧？那么，这样的话就是函数值越大，对应的这个自变量的位置也就是这个fx是不是要大于等于一呀？对吧，这是第一种情况，第二种情况呢a是介于零到一之间的时候，那么这就是一个减函数，

如果以a为0x的就是是个减函数，函数值越大，那么它对应的自变量就越小。也就是这个fx，它就得小于等于一。对不对？能理解吧，所以呢，它包含了信息点啊，这是第一个对吧？这边啊，是不是又得到一个不等式啊？所以解不等式就可以了好，这是第57题，要给大家补充的知识要点，

那么下面呢？我们。看看例57题，这个题目本身的解析。我们把这个表达式写下来y等于根号下。那个以二分之一为底x减去一的对数，这里面呢，我们发现它有。啊，它有这样的几个问题对吧？首先呢，这个x- 1是增数，它必须大于零。对吧，其次它有个二次根式，

所以呢，那个根号下面这个整体那个以二分之一为底x减一的对数，它必须大于等于零。首先由这个我们可以得出来x是大于一的。那么由这个呢？同学们，我们进一步的变化，它要它是log以二分之一为底x减去一的对数，它要大于。等于log以二分之一为底一的对数，对吧？log以二分之一为底一的对数是等于零的。注意了啊，当底数是二分之一的时候，它就是一个减函数，

减函数的意思就是说你的。函数值越大，它对应着这变量反而越小了，对吧？所以我们这边应该是x- 1要小于等于一。是不是啊？这样的话，我是不是可以得到x是小于等于二的，那么同时要满足这两个要求。对吧，同时要满足这两个要求，也就是x要大于一，并且x要小于等于二，所以我们是不是可以得到x应该是？啊小于等于二啊小于等于二啊大于一。

小于等于二啊，大于一。是吧，所以这个题目正确答案选择d选项，这就是它的定义域啊，所谓定义域呢，就是有意义，使得这个函数解析式里面的这个构成每一个部分的构成是有意义的。好，这是第50，第57题，那么下下面呢？我们给点时间，大家来消化啊，这个啊，

刚才所讲的考点37，那么我们这一块的。也就是关于一元二次函数的解析式图形的特征，以及一元二次函数的应用指数。啊指数的运算性质对数对数的运算性质以及指数函数的图像对数函数的图像特征对吧啊？啊，这个包括定义域这一块，我就跟大家全部梳理完毕了，这一块的知识要点呢，相对来说比较琐脆啊。啊，细节点特别多，所以呢，我跟大家去讲解的时候啊，都是从实战的角度啊，

跟大家啊。嗯，来去梳理和小结的，然后呢，梳理小结的这些内容，马上我们又放在这个题目的解题应用上，通过解题通过实际应用来加深大家。大家对它的理解和把握好我们这个第六啊，第六节课啊，就分成了这个三小节，给大家全部讲解完毕了。好，谢谢大家。

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