09.课件9-数学基础班第6讲（中）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-5 09:38:49

好，各位同学，大家好，那么我们就进入到第六讲的下半部分的这个学习了，我们在第六讲的上部分呢，已经跟大家把一元二次函数的图像特征，包括我们在前面。啊，还跟大家讲解了一元二次函数的解析式，它有三种对吧？以及它的应用，那么我们从第六讲的这个下部分开始呢？呃，就给大家呃，进入到一元二次函数的，

它的一些在具体问题中的应用，比如说我们一道应用题，对吧？它根本就。呃，在这个文字描述中，根本就没有涉及到一元二次函数，但是呢，我们呃要把它通过建模建立直角坐标系。把它转化成为用一元二次函数，对吧？求解析式的方式啊，把这个问题把它给解决掉。啊，那么我们就进入到啊，

我们就进入到这个大家对考点三十二一元二次函数，在实际问题中的。呃，应用我们就结合具体的题目来给大家讲解，大家看到第45题。这道题目呢，他说啊，给了一个图形对吧啊，一个一个拱形桥，他说啊，如图有一座抛物线形的拱桥，一看到这个抛物线形。我们就知道啊，这是一个一元二次函数，开口向下的这么一种情况的图形。

他说，已知桥下呢，正常水位在AB。这个时候水面宽八米，水位上升到上升三米就达到了警戒水位CD，这时水面宽四米，若洪水到达时水温呢，以每小时零点二米的速度上升。则水过警戒水位之后，多少小时淹没到拱桥顶？好，大家注意了，这个紧接时候也就是说从CD到达这个抛物线的顶点需要多少时间？既然这个题目呢啊，好像根本就没有提到一元二次函数，

但是我们看到这个抛物线型的拱桥，这个抛物线三个字。我是不是就要想起这个题目，其实就是要。根据图形。特征图形中的参数对吧？来去求它对应着的一元二次函数的解析式。所以这道题目呢，我们首先嗯。这个把我画一个大概的示意图出来啊。这是一个拱形桥。这个拱形桥呢？我们建立直角坐标系。我们以AB所在的。这个折线建立啊，

横轴。以AB的中垂线。建立画出它的。这个y轴出来。好这个呢，我还稍微。调整一下啊。因为它必须是对称的。好，这是AB段，这是x轴。这边是y轴。坐标原点。这是c点和d点，我们设这个最上面这个点为m点。

啊，同学们，题目中呢？它说。啊AB，这个宽度是八米对吧？那么我们就可以知道这是四啊，这个a点的坐标是负四零。b点的坐标呢是四零。那么，题目中告诉我们CD段。这个宽度是四米，所以根据这个对称性，我们就可以知道这个，所以它的高度是水位从AB上升到CD是上升了。

萨米，所以呢？这个纵坐标是不是就是三了？那么c点的坐标是负二逗号，3d点的坐标是二？逗号三，然后这个m点呢？我们待会想办法去求对吧？m点的横坐标是零，待会这个纵坐标我要去求的横坐标是零。好同学们注意了呃，根据啊，根据a点b点c点d点的坐标，我们可以想办法把这个抛物线所对应着的。解析式把它求双根式，

还有顶点式，那咱们可以用双根式来去设对吧？啊，第一步。如图。好如图建立直角坐标系。其中的a点的坐标是负四零。b点的坐标是四零。c点的坐标是负二。啊，是负二三。啊d点的坐标呢是？二三。好，那么我们。

可以设。啊，抛物线。也就这个图形，它对应着的解析式。解析式为。y是等于a乘以括号x-- 4就是x+4，再乘以x- 4。对吧，这就是它的双根式啊。那么，又因为它过点。啊啊。因为。这个抛物线，

它是过。过点啊，过点d二三对吧？所以我们是不是就可以带进去把x=2 y=3带到带到这个解析式里面，三要等于。a乘以。二+4×2-4。对吧，是不是就可以得到三要等于这个二加四等于六二减四等于负二啊，也就是负十二a。是吧，三要等于负十二a，这样我们可以解得a等于负的十二分之三，也就是等于负的。四分之一这样的话，

这个解析式我们是不是就确定下来等于y要等于负的四分之一？乘以x+4，再乘以x- 4，对吧？这样的话，这个问题解析式一出来。啊，这个题目基本上啊。这个难点就把它攻克了。好，下面呢？我们看到第二步。这个题目呢，要我们说啊，要我们去求。

水通过警戒位之后，多少时间？要么它调到这个公里。那么，拱顶在m处对吧？这个水位呢？在在CD这个地方，也就是n点。那我现在是不是要把这个mn的？这个长度求出来呀。是不是啊？好那么同学们，我们求啊，我们去求这注意了，这个on是等于三对不对？

我们现在把om求出来。那么，在这个抛物线中，令x=0啊，代入抛物线对吧？代入啊，我把这个圈这个地方设为圈移啊，把这个地方设为圈移算出来的结果设为圈移带入圈移。我们可以得到y要等于负四分之一乘以四，再乘以负四。对吧，我们计算出来，它是等于四的。啊及。即om它是等于四的，

又因为on是等于三的啊，所以呢，我们是不是可以？我们是不是可以得到这个mn？它应该要等于四减三是等于一的。对吧，四减去三。所以我们可以得到mn是等于四减三等于一。由于这个水呢？它是每小时零点二米的速度上升。那么，现在mn=1，也就是表示从警戒水位c地段上升到拱底要上升水位，总共要上升一米。它每小时上升零点二米，

那么需要多少小时上升到拱顶呢？所以是一÷0点二。它是等于五小时对吧？需要五小时上升到这个拱底，因此这道题目。正确答案选择4d选项。那么，这道题目呢？是一道隐蔽比较好的。一到一元二次函数的图像对吧？根据一元二次函数的图像啊，求解。它的求出它的解析式，进而进而得到它的顶点坐标。这么一道题目，

这道题目呢啊，是一套是一道非常好的实际应用的题目。啊，如果。这个掌握好了，一元二次函数的解析式啊，有三种形式，对吧？在什么情况下使用怎么去求解析式掌握了这些基本功？那么这道题目。实际上并不难。啊比较啊切合我们现在这个考试的精神好，下面请同学们看到第46题。这道题目呢，它说现有200米长的竹篱笆围成了一个长方形的养鸡场。

养殖经验发啊，这个啊，发现了每只鸡的平均占地不少于一平方米的时候才能有效的避免疫情的发生。对吧，这啊，该养鸡场最多能养多少鸡？其实啊，这道题目我们首先是要求这个乙。养你看啊，它每只鸡呢呃，这个它占地面积要大于等于一平方米，为了养更多的鸡。对吧，那么是不是就相当于是这个养鸡场的面积要尽可能的大呀，要达到最大是不是啊，

所以这个题目可以转化成为一个周长为200米的。这个长方形啊，什么时候它的面积是最大的，并且最大是多少？是不是要求出这个问题呢？好，我们。按照这个思路来去解决它。所以这个是x，这个是y。四。设养鸡场的长为x。宽为y。这它的面积是等于x×y的。对吧，

它的周长。是等于两倍的x两个x加两个y等于两倍的x+y，它是要等于200的。好，那么现在我们的目标是要去求面积的最大值。是不是啊？面积要去求啊，这个面求面积的最大值，首先呢，我们把这个稍作化简，它可以得到x+y。是等于100的进一步的，我们可以得到这个x是等于负x啊，这个y是等于负x+100。把它代入。

所以呢，我们可以得到这个面积。s要等于x乘，y等于x乘以负x，加上一百。好稍作变形展开，是等于负括号x的平啊，负括号x的平方减去一百x。啊，再加上一个常数，这个常数呢？应该等于一次项系数一半的平方，一次项的系数负100，它的一半等于负50的平方是不是2500呀？然后再这边是再加上2500，

所以呢，这配成了一个完全平方，应该是等于负的括号x减去。50的平方，再加上2500。啊，那么我们是不是肯是不是可以得出来当？x=50的时候，这个s它的面积s取最大值。对吧？这个s取最大值是。2500当x=50的时候s取最大值2500。那这样的话，我们就可以得到啊啊。这样的话，

我们第一步的工作就做完了，第二步呢？我们还得写成养多少只鸡，因为每一只鸡它占的面积是啊，最少是一平方米我们。让啊，我们就考虑极端情况，让因为它是每只鸡占的面积啊，是大于等于一的，我就让它取最小值是吧，每一只鸡占的面积取最小值一平方米。那么最终我是不是就用这个呃2500的面积对不对？这是平方2500平方米。除以一得到的这个啊，是不是就是氧基的最多的质数啊？

它应该是等于2500注意了，这地方就是质。啊，所以这个题目正确答案选择e选项。好，这道题目呢？我们除了用这个方法，我们还有方法二。这是方法，一方法，二呢，是用均值不等式啊，它更快一些，因为x+y是等于100的，由均值不等式可得，

它要大于等于两倍的根号下x×y。两边同时除以二，所以是50大于等于根号下xy两边平方应该是2500大于等于xy。所以我们就可以得出来什么呢？得出来这个这个x×y实际上是不是就等于面积啊？对吧？也就是说它的面积最大是2500。对吧，它的面积最大是2500，从而用这个啊，最大的面积除以每只鸡所占地。面积的最小值是不是得到了，就是氧的基的这个最大的质数啊啊，剩下就是一样的。也就是说，

再去求最值的时候，我们有两种方法，第一种方法呢，是用一元二次函数来去做，对吧？第二种方法呢，是用。均值不等式来去做啊，一元二次方一元二次函数呢，和均值不等式是我们这个考试过程中求最值的啊，非常有效的。两种方法。和两种工具。好，下面我们看到第47题。

第47题，这种题目呢，也是我们考试过程中一种很很容易命题的啊，一个这个出题的模式啊，我们看到这个题，它说某旅行社呢？组团去外地旅游30，30个人啊，起团什么意思呢？就是说啊，你最少得有30个人。对吧啊，人家才开始呃这个。给你给你搞一个旅行团出来啊，人少了，

人家不干，就这个意思，30个人起团也就最少30个人，每人的单价是800元。旅行社呢，对超过30人的这个团呢，给予优惠，也就是旅行团每增加一个人，每个人的单价就可以降低十块钱。当旅行团的人数是多少的时候，这个旅行社可以获得最大的营业额。那么这个题目呢？好像跟一元二次函数也没什么关系，对吧？但是呢，

我们也可以把它转化成为一个啊，列出根据题目中的已知条件列出一个。一元二次函数，然后根据一元二次函数啊，相关知识去求它的最值。好，由于这个题目呢，它说每增加一个人，那么单价会降低十元，那到底增加了多少个人呢？我们不知道，我就设增加了x个人。我们设增加了x个人。那么，每个因为它增加一个人，

这个单价就加十块钱，那增加了x个人是不是要降低x个十元了？好则。则单价降低了。啊，降低了10x元。那么啊。单价为多少呢？这个单价为800。对吧，减去10x元。那么，人数为多少呢？这个原来他是最起点是30个人，对吧？

你增加了x个人是不是应该是30？加上x人。对吧，好，那么我们这样的话就可以写出它的营业额了。我们设它的营业额为y，它应该是等于啊。单价乘以人数对吧？所以要等于800-10x再乘以。30。加上x，我们提取一个公因式出来，我们提一个啊，提一个负十出来就变成了负十×x- 80。再乘以x+30这边应该是负十乘以好，

我把这边把它展开应该是x的平方。减去50×x，再减去2400。是吧，好，我们这边呢啊，准备继续变形，它应该等于负十×x^2-50x。好注意了，这后面呢，要减多少要加上一个常数加多少才能够配这个完全平方呢？应该是加上。长啊，加上一次项系数一半的平方，一次项的系数是负50x，

前面系数是负50负50的，一半是负25。负25的平方对吧？也就25的平方=625，所以这边应该加上625对吧？然后再减去625，再减去2400，好，这样的话是不是就可以还原回来？减六二五再减去2400好，那么这个地方它就可以配成一个完全平方。平方了啊，它应该是等于负十乘以啊，乘以括号x- 25^2。平方啊，

然后再减去啊，这边是呃三零二五。是吧，减去三点二五，所以它应该是等于负十×x- 25^2，再加上三。三零二五零。好同学们，那这样的话。好，这样的话，我们就呃把这个一元二次函数的解析式列出来，并且把它实现了配方。配方实际上就是为了去求最值了，对不对？

所以呢啊，那么下面我们看到第二步。好，我们看到第二步。当x=25的时候，这个y。是取。y是取最大值的，取最大值是啊，三零二五零对吧？最大值三零二五零。然后呃，他说这个旅行团的人数是多少啊？我们要去求人数对吧这个？人数为这个30，

加上x应该是等于30，加上25是等于。55人的对不对？所以这个题目正确答案选择a选项。选择a选项，好同学们，那么下面呢？我给一点时间，大家快速的理解和消化，我们刚才在啊这个。呃，考点三十二一元二次函数在实际问题中的应用，这三道例题大家消化一下，45，46，

47这三道题。其中40。五题对吧？是要根据图形列解析式那46题呢？是要自己画图列解析式？那么d。47题呢，是一个销售问题啊，对吧？旅行团的销售问题，然后自己理解，要要根据题目中的文字信息。列解析式，然后去求最值好，大家抓紧时间再快速的把它复习一下。

好同学们，那么我们继续接着往前讲解，请大家看到考点33指数的。运算性质。我们先把相关的。这个基础知识给大家复习一下。首先呢，关于这个指数啊，比如说a的m次方，它表示什么意思啊？a的m次方表示有m个a相乘。好，那么a的负m次方，它是等于a的m次方分之一啊。a的m次方分之一。

注意这个a的m次方是在分母中作为一个整体的。那么a的m分之一次方好，大家注意了，这个m分之一是一个。整体是一个分数，作为次方，作为这个指数，那么a的m分之一次方，它是等于。什么意思呢？它是表示m次根号下分之a。举个例子来说啊，注意我写在一块的都是呃，很容易混淆的啊，但是呢，

它意思是不一样，看起来很相似，但是它的意思是不一样的。比如说。我这边举例子啊。这个三的负二次方，它表示什么意思？它表示三的平方分之一。这个三的平方作为啊分母，它是等于九分之一的。那么这边呢？是这个三的二分之一次方，它表示什么意思呢？它表示二次根号下三。也就是根号三。

它的区别的。好，实际上这个地方呢，相当于是告诉它的意思是什么啊？容易混淆的这个表达，我们做了一个区分。好，下面我们看到。啊，它的一些运算性质a的m次方。啊乘以a的N次方。啊，它等于多少呢？它等于a的m+N次方就是说a的m次方。呃，

它表示MA相乘。呃a的N次方呢？它表示n个a相乘对吧？那么两个乘起来。合起来有多少个m加啊？有多少个a相乘呢？是不是应该前面有m个，后面有n个是不是合起来总共有m+n个a相乘了？那么，根据我们指数的定义对吧？应该是等于a的m+N次方，它表示m+n个a相乘。好，我们再来。看到它的除法啊，

大家可以做一个对照。a的m次方除以a的N次方注意这个点，就表示乘号啊，前面点表示乘号，后面这个。啊，这是除法对吧？它应该等于a的m-n次方。啊a的。啊a的m-n次方。同学们，注意了啊a的m次方表示m跟a相乘a的N次方表示n个a相乘两个一除。那最终结果是不是还？要抵消要抵消n个a啊，是不是还剩下n减啊？

还剩下n-i啊，还剩下m-n个a相乘对吧？所以呢，应该是。a的m-n次方。那么，这位这边呢？需要同学们做一个对比啊，就是说a的。啊，就是n分之m，它表示什么意思啊？n分之m次方，它表示n次根号下。a的m次方。

它表示n次根号下就是说这个分母这个指数中啊，有个是一个分数对吧？那么这个分数等于多少？同学们注意了这个分数。这个分数中的这个分子是多少？就表示开几次根号，我们上面呢？这个地方它也是个分数，对吧？这个指数也是个分数。那么这个诶，这个分母是m就表示km是根号。好，我们这边呢啊，为了方便大家理解我们举个例子，

比如说三的五次方乘以三的。呃四次方，它应该是等于三的五，加上四次方。啊三的五加上四次方这边呢，三的五次方除以三的四次方呢，它是等于三的五减四次方。那实际上就等于三的一次方，三的一次方是不是就直接写成三了，又比如说三的四分之五次方？它是等于四次根号下三的五次方是吧？那我这边颠倒一下啊，三的五分之四次方，它就等于五次根号下三的四次方。所以呢，

这个大家需要熟悉它一些重要的，我把它框起来啊，像这一个。还有这一个。啊，这一个。好像这些呃容易混淆的啊。我们尤其要放在一块进行比较学习。好，我们再看到a的m次方括号的N次方，它是等于什么呢？它是。等于a的m×N次方的。那么a的N次方的m次方。它等于a的nm次方也是也可以写成a的m次N次方，

所以上面两个是相等的，对吧？上面两个是相等的，好同学们还要注意a的零次方是等于一的，这个时候a注意a不能等于零。a的零次方。是等于一的。这就是我们指数的一些运算的这个定义和性质啊，下面呢，我们通过一道题目呢来给大家去做示范，请大家看到第48题。好，我们看到第48题。式子比较复杂啊。这边是四分之一的负二分之一次方。

乘以。嗯，好，把它往上一点写啊。分母呢是零点一的负二次方。乘以。a的三次方。再乘以。b的负三次方括号，还有个二分之一次方。这边的是四×AB的负一次方。好开根号，然后后面括起来的。三次方这看起来好像有一点复杂，对吧？

我们这个第48题呢，主要是帮助啊同学们去把刚才所。学的这些啊，公式把它熟悉起来好这边呢嗯。这两个公式呢，我也把它跟大家。框起来啊，是比较重要的，我们主要是用框起来这几个公式啊来解题，当然我们这个第48题呢？啊，主要是为了帮助同学们，对吧？通过这一道题目，把相关的公式熟悉起来。

只有在实战应用中啊，才能够让我们更加真真切切的去掌握相关的公式，而不是去死记硬背。好，大家跟着我一起来操作。这个四分之一的负二分之一次方注意了，注意了，这个四分之一啊，我写到这边来。四分之一，它是等于。二的平方分之一，它是等于二的啊，它是等于二的负二次方。我用到哪个公式呢？

我用到了这个公式。啊，我用到了，反过来用的是吧？我反过来用的a的负m次方，它是等于a的m次方。再分之一是不是把这个反过来用呢？对吧？四分之一是等于二的平方分之一，它是等于二的负二次方。它是可以反过来用的。所以呢，我们就可以得到它是的，这边是等于二的负二次方注意了哦啊，二的负二次方。

再来一个负的二分之一次方。是吧，那么我干脆这样吧，我就把它。我就把它分成。几块来做这个题啊？我们把每一个。我们把每一个部分呢，都跟大家运算一下，这样的话让大家。可以更加。更好的去把握它第一步，我先算第一个小部分，对吧？四分之一的负二分之一次方等于二的负二次方。

括起来的负二分之一次方，然后呢？我们前面还给大家复习这个公式，叫a的m次方的N次方是等于a的m乘N次方。那么，在这地方，我是不是可以用上来啊？它应该等于二的括号负二乘，以括号负二分之一次方。它是等于二的一次方，它就等于二了。是吧，这是我们的啊，同学们，这是咱们的第一步。

好，下面呢？我们看到第二步。第二步呢，我准备做哪一块呢？怎么把这边的这个分子啊？我们把它复制过来。好，我们计算这一块。首先呢，它这个根号大家注意了，这个根号表示二分之一次方是不是啊？大家还记得吧？我们说。这个啊根号下根号下a，

它是等于a的二分之一次方对吧？三次根号下a是等于a的三分之一次方。是不是啊？类似的这个类似于这个性质啊，所以呢，应该是它等于4 AB负一次方。然后这边先来一个二分之一次方，这个二分之一次方是由根号变来的，对吧？然后后面。我把它括起来，还有个三次方。对吧，有个三次方。好同学们啊，

我在这边呢，我还要跟大家做一个对比学习，我用红色的笔来写啊，就是说。啊a的。嗯。好，我看看啊，跟这边对应起来。就是这边，比如说a×b。啊，大家对比起来a×b括号的m次方，它是等于a的m次方。乘以b的m次方的。

啊a×b的m次方是等于a的m次方乘以b的m次方，它是个展开的。那么下面呢，我就要把它用过来，刚才我跟大家写的这一块对吧？我把它用起来。啊，这边是二的。平方乘以a对吧，再乘以b的负一次方。是不是好，然后我把它扩起来，这个我把它整体扩起来，我是不是？把这个地方做了一点变形，

后面这个二分之一次方再来一个三次方，那不就是用a的m次方再来个n次N次方是不是应该等于a的m？乘N次方，所以这边应该是二分之一乘以三，是不是就变成了二分之三次方？能理解吗？好，我这边多写一步，有些同学就这规则都已经忘了啊，好，那么我们继续写。我们继续写，它是等于啊，它是等于啊，我现在呢，

在准备使用哪个性质呢使用？使用这个限制啊，就刚才写的a乘b括号的m次方是等于a的m次方乘以b的m次方对吧？我们刚才写了这个二分之一乘以三。好，大家注意这个二分之一乘以三，我就直接把它写成二分之三了啊。写成二分之三，所以它应该等于二的平方括号的二分之三次方乘以a的二分之三次方。再乘以b的负一次，方括号的二分之三次方好，我们再进一步的化一下简a的二次，方括号的二分之三次方是不是应该等于？二的二乘以二分之三是不是就是三二乘以二分之三是不是就等于三了，对吧？

好再乘以。a的二分之三次方啊，再乘以b的负二分之三次方。好，这是第啊，这是第二步，我们下面来看到第三步。第三步。好，我们进进一步的来计算一下啊，这个零点一是等于十啊，等于十分之一等于十的负一次方，对吧？所以这边是十的负一次方括号的负二次方啊，再乘以啊，

再乘以。a的三次方括号的二分之一次方再乘以b的负三次方括号的二分之一次方。那么，第一项十的负一次方括号括起来，再负二次方那不那不就是直接把次方项乘了吗？所以是负一次方是负一乘负二。直接就等于二了，对不对？所以这边应该等于十的平方，对吧？十的平方再乘以。a的三乘以二分之一是二分之三啊b的呃，这个负三。这个负三乘以二分之一是负的，二分之三是吧？

啊，等于这个了。好同学们，那么。有了前面的第三啊，前面这三步的铺垫，每一个部分我都做了化简，那么接下来我们整合一下，所以原式。应该等于多少呢？我用蓝色的笔来写啊，第一小部分是等于二对吧？这一部分是等于二。乘以多少呢？好，

这一部分我把它搬出来，它应该是二的三次方乘以a的二分之三次方。乘以啊b的负二分之三次方。好比上好再看这个分母对吧？这个分母呢？应该是十的平方。乘以a的二分之三次方乘以b的负二分之三次方。好，大家注意了，这里面呢，分子分母有一些一样的，是不是可以约分约掉啊？剩下来的好就变成了这么一个。啊，它应该等于二×2的三次方除，

以十的平方，所以它应该等于二的四次方，对吧？或者直接把它乘出来也可以。能理解吧，直接把它写上二×8比上100，是不是等于零点一六对吧？所以它是等于零点一六的，明白吧？好那么那么同学们要注意这一点就是说呃。这个运算的时候啊呃，我们要对这个运算规则。啊，要非常的了解。这道题目呢？

我们考试的过程中啊，可能不会直接单独啊，命制一个说要我们应啊，要我们去。像这么化简求值的一个题目，但是呢，我们考试过程中会涉及到一些指数的运算啊，包括后面对数的运算，对吧？它都属于是很基础的工具，所以呢，在咱们基础阶段啊，在我们这个。备考的基础阶段啊，这个课程的基础阶段都必须要借助一个题目，

对吧？把相关的公式把它全部涵盖到。那么，这个考点33啊，希望大家呢呃，这个虽然有点琐脆啊，希望大家呢，能够熟练掌握下面呢。我给点时间，大家快速的消化一下。好同学们，刚才呢，给了一点时间，大家理解和消化考点33指数的运算性质这一块，那么下面呢我们？

继续接着往前讲解，请大家看到考点34对数的运算性质。这个对数呢，相对于指数来说，很多同学更加陌生一些，所以呢，我们先把这个对数啊，跟指数的这个关系啊。先跟大家梳理一下，这样的话，让大家对这个对数有一个基本的认知。我们首先。复习它的这个定义啊，前面刚才也讲过，说a的x次方是等于n的。

啊，这是个指数，可以运算对吧啊，那么我们只要啊，我们就可以。其中这个a是大于零。并且a是不等于一的。则我们规定什么呢？规定这个x啊，可以这样写，叫做log以a为底n的对数。就这么个写法log啊，下标的地方写上n后面啊写上n。啊读作log，以a为底n的对数。

啊，这个就是啊，这就是它的定义，也就是说这个对数啊，实际上是由指数得到的。好，下面呢，我们举例子说啊，比如说二的一次方，它是等于二的，那么我就可以写成，一是等于。log以二为底，二的对数。对吧，

还有比如说二的平方啊，或者说二的三次方是等于八的，我们就可以写出来。这个三啊，这个次方三是等于log以二为底八的对数。对吧，还有比如说二的这个五次方是等于32的，我们就可以得出来这个五。是等于log以二为底啊，32的对数。是吧，五=log以二为底啊。32的对数。那么，根据这个定义呢，

我们也可以那样，你看我们也可以这样写，叫做二的N次方啊，它等于二的N次方。所以我就可以得出来，把这边当做一个整体，所以呢，我们可以得到这个次方n是不是也可以写成啊log以？那个以二为底二的N次方对吧？更一般的，我们也可以写成a的x次方等于a的x次方，这个a的x次方我把它当做一个整体。那么，我们可以得出来这个次方x是等于log以a为底a的x次方。当然了，

我也可以这样写，叫做a的N次方等于a的N次方，把这个a的N次方当做个整体，所以我们可以得出来n。它是等于它是等于log以a为底。啊a的N次方。对吧log以a为底a的N次方，它就是等于n的，所以说啊，这个定义啊，很多同学啊。这个认为定义就是很基础的，很蔑视他，很蔑视他，很看不起他，

但是同学们注意了这个定义啊啊，它能帮助我们解决大问题很多。你认为是很技巧性的啊，一些公式或者是一些结论，实际上就是有定义得到的。对吧，尤其是我们刚才写的这一个，最后这一个。啊，我们刚才写的最后这个就是log以a为底a的N次方的对数，它是。直接是等于n的，对吧？我们可以把它当做一个结论来去使用，又比如说对吧？

log以log以a为底a的对数，它是等于一的。是吧，我们还可以这样写，比如说二的零次方是等于一的，我们是不是可以得出来？零是等于log以二为底。啊一的对数对吧？我们还可以写a的零次方是等于一的，注意了这个a是不等于零的对吧啊？那么我们是不是可以得出来这个零？等于log以a为底一的对数，所以我们也可以写到log以a为底一的对数，它是等于零的。那么我们刚才用红色的笔所写的这几个，

我用框框把它框起来，它也是我们这个考试中。啊，可能会涉及到的一些相对来说并不是很难，它其实很基础的一些一些要点，对吧？同学们要把它。复习到位好，这是跟大家讲解了这个指啊，这个指数与对数的关系，或者说这个对数实际上是由指数得到的，这对数跟指数之间可以互相转化。是吧，可以互相转化，怎么互相转化呢？

这前面是指数的问题，这后面是对数的问题，它是可以互相转化的。好，这是第一个要点，那么第二个要点呢？我们看到它的这个运算性质，同学们注意了。而log以a为底m的对数啊加上。log以a为底n的对数，它是。等于。log以a为底。m×n的对数。m×n的对数。

嗯，举个例子来说吧啊，比如说log以二为底。log以二为底。二的对数啊，加上。log以二为底。这个八的对数，它是等于。log以二为底，16的对数对吧？二×8是16，那我们可以经得起验证。log以二为底，二的对数。

啊，这个来我们验证一下log以二为底二的对数是等于一的log以二为底，这个八八可以写成二的三次方是等于三的对吧？log以二位底16的对数，这个16可以写成二的四次方，它是等于log以二位底二的四次方就等于四，因为我们前面刚刚讲过了。log以a为底a的N次方，它是等于n的。是不是这边？那这边我们我们多写一步好吧，在这个下面咱们多写一步。好，这边呢，是二的三次方对吧？

这边可以写成二的四次方，这边可以写成二的一次方，按照我们前面刚给大家讲的，若果以a为底a的N次方是等于n的，我是不是直接很快就可以？经得起验证呢，对吧？log以二五点二的一次方是等于一的log以二五点二的三次方是等于啊是等于。啊，这是等于三的，那么以二为底二的四次方是等于四的，一+3确实是等于四。那么下面呢？我再跟同学们啊，严谨的证明一下啊。

把这个。啊，对数的加法公式，我用框框把它框起来。这是同学们需要搞的滚瓜烂熟的。啊，它的严谨的证明如下。我们设。log以a为底m的对数等于x。啊log以a为底n的对数等于y。好则我们可以得到。我们可以得到这个按照指数和对数的关系，我们是不是可以得到a的x次方是要等于这个m的？a的y次方是要等于n的。是吧，

好，那么同学们。呃，这个m×n我就可以得到。啊，是不是直接相乘呢？m×n那么它应该等于a的x次方乘以a的y次方。我们根据指数的运算性质a的x次方乘以a的y次方应该是等于a的x+y次方。对吧，好朋友们。我把它再写成。a的x+y次方等于m×n，所以把m×n当做一个整体，那么我再由。指数和对数的这个呃对应关系，

我是不是可以得到这个次方x+y应该要等于log以a为底m×n的对数？是不是啊？那么好，最后一步，我把它写上来，这个x这个x是等于它的这个y是等于它的对吧？所以我把它带进来就可以得到。log以a为底m的对数。加上log以a为底n的对数，它是等于log以a为底m×n的对数的。是吧log以a为底m的对数，加上log以a为底n的对数是等于log以a为底m×n的对数。是不是就证明了我们上面这个公式啊？好希望同学们呢，这个熟练掌握这一块啊，

两个对数相加，两个对数相加啊，当然它的底是一样的，都是a对吧，两个同底的对数相加是等于。啊，这两个啊，注意啊，这里面有些名词呢，我还是跟大家提及一下啊，这个m。啊n，这块都叫做什么呢？叫做增数。这个a呢？

叫做这个a呢？叫做底数。就都叫做底数啊，这个两个同底的对数相加，那么等于只需要把它的真数相乘就可以了。对吧，底数不变。好，大家做一个对比啊。刚才呢，在左边，我们写到了对数的加法，下面呢，我们准备来研究一下这个对数的减法。log以a为底m的对数减去log以a为底n的对数，

它是等于。啊，等于log以a为底m，除以n的对数好，这边呢，对数相加的时候啊，那个真数是相乘。对数相减的时候呢，那个增数部分是相除，我们也来给大家做一个证明这个例子呢，我就不再去啊，通过具体的例子来去示范，我直接呢跟大家去证明。方法都是一样的设。log以a为底m的对数等于x。

log以a为底n的对数呢，是等于y的对吧则？我们可以得到这个a的x次方，根据指数和对数的这个啊，对应关系我们可以得到a的MA的x次方是等于m的。这个a的y次方是等于n的是吧？a的y次方等于n那么我们。我们来看m÷n，它应该是等于a的x次方除以a的y次方，它是等于a的x-y次方。对吧a的x次方除以a的y次方是等于a的x-y次方好，我把它反过来写a的x-y次方。我再写一遍，它要等于m比上n把m比上n当做一个整体，把它啊，

根据指数和对数的对应关系，我可以写出来x-y这个次方这个指数。它应该要等于log以a为底m，除以n的对数好由于。这个x对吧？把这个x。是那个a为底m的对数，把它带进来，这个y是那个以a为底n的对数，把它带进来，这样的话我们就可以得到。log以a为底m的对数。减去log以a为底n的对数，它是要等于log以oa为底m÷n的对数。对吧log以a为底m的对数减去log以a为底n的对数是要等于log以a为底m÷n的对数。

好，这样的话，是不是就证明了我们上面的这个？对吧，所以这个对数同学们注意了，对数跟指数这一块呢，有些同学感觉到很陌生啊。在很遥远的过去，学过可能学过那个时候还有一些印象啊，觉得可能还并不难，但是经过很长时间之后呢，忘了一干二净了，这个时候重新把它捡起来。不要觉得它是一个很高深莫测的东西，实际上。

对吧，看看它的定义，当你感觉到啊，都记不住这些公式的时候，把它的定义想一想，多复习复习一下，多俗化几遍。很快就掌握了。好，那么这是第二个要点，我们下面来看到第三个要点。我们看到第三个要点。这是log以a的m次方为底。a的m次方为底，然后b的N次方的对数对吧？

也就是b的N次方这个地方是真数a的m次方是它的底数。那么，它可以化简直接把这个呃真数的次方拿到前面来作为分子，把底数的次方拿到前面来作为分母。啊，也就是m分之n再乘以什么呢？再乘以那个以a为底b的对数。log以a为底b的对数。好同学们嗯，关于这呃这一块呢嗯。我们考试过程中呢，可能要求并不是那么高，但是呢，这个结论其实很简洁，大家可以把它记下来啊，

它的证明和推导呢，同学们，这也可以推导一下，就是用定义来去推导证明的。这边在上方，对吧？你就把它拿到这个上面，这边在下面，你就把它拿到，把它放在下面。是不是是不是可以这么去理解呀？啊，同学们，这个能理解吧好。下面呢呃。

我还想跟同学们呢，说明几个？这个我们数学中常见的情况啊，就是log以一为底。啊一，为底。这个n的对数，那么我们可以把它简写成为ln。啊，这个地方我写成写成m吧好吧，免得这个n重叠写成ln m的对数。它是简写，也就是说这个一是什么呢？这一是我们。啊，

这个。呃，同学们，这一呢是我们数学中的一个一个代表，一个无理数，对吧叫做。呃。那它是约等于二点七幺八二八在工程数学理论，数学数学的这个理论研究中经常会用到它。好，还有log以十为底，这个m的对数，我们可以简写成为lgm。那么这个那么这个底数呢？就是十也就是说我们这两个符号，

同学们要看得懂啊，一个呢是以十为底，它可以简写成为LG。一个人是以一为底，它是可以简写成为ln，对吧？所以同学们以后在考试试卷中看到了LG的时候，知道它表示。什么意思？看到了ln的时候，知道它表示什么意思，明白吧？好，那么基于我们上面第四点的讲解，这边呢，

有一个要点就是LG 2，加上LG 5。它是等于LG 10，它是等于log以十为底，十的对数，它是等于一的。及。LG 2。加上LG 5是等于一的。是吧LG 2+LG五，它是等于一的。啊log以十为底二的对数，加上log以十为底五的对数是等于一的。嗯，这个要点呢，

大家能够掌握啊，能够掌握熟记啊就可以了，下面呢，我们通过相关的例题来给大家讲解。加深对这一块的理解。好，我们看到。例49。这道题目呢，是复习基本概念的，对吧？那个以二为底根号二的对数，那这个我们怎么做呢？我们可以写成。log以二为底二的注意了根号，

二是等于二的二分之一次方对不对啊？所以呢，它是等于二分之一。就直接就等于二分之一，因为我们前面跟大家写了一个定义，一个一个重要的，这个结论叫做log以a为底a的N次方。对吧，它是直接是等于n的啊，在哪里呢？在这里。啊log以a为底a的N次方，它是直接等于n的。我们log 1。以二为底，

二二的二分之一次方是不是就直接等于二分之一啊？是不是所以这道题目正确答案选择a选项？好，这是第49题。好，我们下面看到第50题，第50题呢？这道题目看起来相当的复杂。我把这个题目写一下啊log，这个底数是n加根号下n+1加上根号下n这个真数呢？是根号下n+1减去根号下n。要去求它等于多少，我们发现呢啊，可以这样来操作啊，第一步。

换个圆太复杂了，对吧？它看起来太复杂了，我们设设这个根号下n+1，再加上根号下n。我们设它等于设它等于a。可不可以啊？是可以的，那根号下n+1减去根号下n乘以。根号下n+1减，加上根号下n同学们注意了，这个是一个平方差公式，我们在以前呢？再跟大家去讲解这个根式的列项，求和的时候啊，

对吧？根式的列项，求和就遇到过这种讲平方，讲这个平方差公式的时候，也讲过这个公式。根号下n+1减去根号下n乘以根号下n+1加上根号下n，这是个平方差公式，它应该是等于根号下n+1^2减去根号下n的平方。同学们注意了，它等于多少呢？它等于n+1-n，它等于n+1-n是等于一的。有的同学说，老师，你为什么要这么去做呀？

因为我想建立起它的联系来，对不对？从而我是不是就可以得出来根号下n+1减去根号下n？它是等于根号下n加一，加上根号下n分之一。是不是啊？它等于这个那那就那那就等于a分之一了，是不是啊？它要等于a的负一次方a分之一是等于a的负一次方。所以第一步啊，我们做了一个换元和变形，这样的话，原式一下子就可以变简单了。它就等于log以a为底a的负一次方。是不是啊？

log以a为底a的负一次方的对数，这个真数是a的负一次方，那么按照我们前面给大家讲的这个要点，log以a为底a的N次方。它是等于n的，所以我这地方如果以a为底a的负一次方，它是等于负一的，所以这个题目同学们注意了正确答案，选择4d选项。这也是为什么我们前面跟大家讲代数的恒等变形的部分，讲对完全平方公式，对平方差公式，对立方。和公对立方差公式，立方和公式我们都进行了，

对吧？重点讲解，并且呢，给大家呢啊？这个实战化的配备的一些例题，否则大家去理解啊，为什么这么做？是因为你看我们后面学对数的时候。也要用到平方差公式。是吧，所以说它是一个比较重要的。这个基础知识好，这是第50题，那么下面呢？我们看到第51题。

好，咱们看到第51题。首先我把这个题目呢来写下来弄个。这这个LG 2表示以十为底二的对数，对吧？LG 2的平方。加上lj 2。乘以LG 50。加上LG 25，他要我们化简它等于多少？好同学们注意了，我呀，这么来操作一下第一步。我们设。LG 2是等于a的。

设LG 5是等于b的，我们前面跟大家讲过，对吧？这个a+b我们就可以得到LG 2，加上LG 5。同学们注意了，它是等于。它是等于LG 10，也就是log以十为底，十的对数是等于一的，也就是我们得到了a+b=1。那么下面呢？我你想办法。就全部把这些同学们比较陌生的对数符号全部换成a和b的表达式。好则。

啊，这边出现了LG 50 LG 50，我们化简一下啊，同学们注意了，它是等于。啊，它等于多少呢？我们可以得出来，它是等于这个二分之一百。可是不是五十就是二分之一百嘛，所以我们可以得到它，应该是等于LG一百啊，减去LG二。唉，我们这个大家还记得吗？

我们这个对数的运算，那我用蓝色的笔写到这边啊，对数的这个运算是不是lgm-lgn是不是？是要等于lgm÷n的注意了，我们原来写的时候呢是log以a为底m的对数减去log以a为底n的对数。啊，等于log以a为底m，比上n的对数，我现在呢，把那个底数a全部都换成十，是不是就变成LG了？对不对？所以啊，那呃lg啊100÷2它是要等于lg100-lg二的。是不是那么这样的话，

我们继续往后来写啊，大家注意了，这边它应该是等于呃LG 100。好，大家注意LG把数字相当于是我把它复原复原起来就是等于log以十为底十的平方。减去对吧？减去LG二好，那么这个地方是不是应该等于二减去二减去a啊？对吧log以十物以十的平方。它就直接等于二等于这个次方了log 2也是位于二的对数呢，是等于a的是不是咱是不是就化简了？好，再来研究这个呃LG 25呢，同学们注意了LG 25呢，它是。

等于什么呢？那我可以这样写啊，我可以写成五的平方。可不可以啊？当然可以了，是不是啊？我可以写成这边是LG 5的平方。对吧，所以它是等于两倍的LG 5注意喽，这个次方可以提到前面来。是不是这个次方二是不是可以提到前面来提到前面来就是二倍了，是不是就二倍关系了？好，由于l。啊，

由于这个啊LG 5呢？是等于b的对吧？所以我们这边是不是得出来，它应该就等于2b了。是吧，好，这是我们的第一步的工作，做了一些铺垫工作，那么下面呢，我们来看原式等于多少？LG 2的平方，那就直接是a的平方了，对吧？LG 2啊，那就是a了，

那LG 50 LG 50是等于？是二减去a是吧LG二十五是二b是不是带进来那么这样的话，我们来化一下，减它应该等于a的平方，把这边乘进去，它应该是。2 a-a×a，减去a×a就是a的平方了，对吧？再加上2b，我们发现这边可以抵消a的平方跟a的平方是不是就抵消了？对吧，然后剩下的是2a和2b，所以呢，它应该等于两倍的括号a+b。

那么a+b呢？我们刚才这上面是不是已经得到是等于一的，所以它等于二×1是等于二的，因此这一道题目正确答案选择b选项。你看这道题目呢，我们是不是通过换元法，很巧妙的。把我们不熟悉的东西啊，我们很多同学对这个对手很害怕，不熟悉的内容，我们是把它转换成我们熟悉的横轴变形了。所以这个啊，换元法啊，是很重要的一种方法。好同学们啊，

下面呢，我们看到第52题，我首先呢，给大家先做一个基础复习。这个基础复习呢，叫做换底公式，叫做对数的换底公式。啊，所谓对数的换底公式呢？是这样的，就是log以a为底啊，log以a为底。这个b的对数。同学们注意了，它可以换把这个底换一下，

可以换成log 1x为底啊，这个x是。符合这个定义的任何一个实数都行，对吧？符合定义的实数就是只要它大于零，并且不等于一就行了。啊log以x为底b的对数比上。log以x为底a的对数，那么当x=1的时候等于。abcde的一一=2点七二八二八对吧？我们就可以写成lnb比上lna。当这个x=10的时候，那么就可以简写成为lgb比上lga。它都是相等的，对吧？

它都等于那个a或db的对数。那么，这个对数同学们注意了，这个对数的换底公式有什么作用呢？好，大家来研究一下啊，比如说log以a为底b的对数，我们可以得到。它是等于lgb比上lga的。那么，我们把它颠倒一下，对吧？把这个。把这个真数和底数对调一下，那个以b为底a的对数，

它又可以写成啊lga。比上lgb是吧？lga比上lgb诶，有的同学说老师怎么上面这个？啊，上面这个是分子跟分母好像对调了一下，就是下面的了，对不对啊？确实是如此。确实是这样的，所以呢，同学们注意了，我们就可以得出来，根据这个我们可以得出什么来呢？好，

根据这个我们就可以得出来。log以a为底b的对数。那乘以那个以b为底a的对数，它是等于啊lgb比上lga。乘以lga。比上lgb好约分约分约分约分，它是等于一的。也就是说，什么同学们注意了它是？就这两个数啊，同学们注意这两个数，它是互为。导数对吧？或者互为倒数，它是颠倒一下的。

颠倒一下奋斗中，我们颠倒一下，它们乘起来是等于一的。是吧，它们乘起来是等于一的。好，这是我要跟同学们讲解了基础知识，那么它的其实上面这个换底公式啊啊，它的证明过程呢？也是用定义对吧？也是用指数和对数的，这个定义它是可以啊，根据这个定义指数和对数，它是个互相转化的。对吧，

它是互为逆运算用这个定义去证明的，只是稍微啊复杂一下啊，我们嗯。这个如果感兴趣的话，同学们可以，如果你感兴趣的话，可以把这个证明过程自己推导一下啊呃。这个呃，因为我们。这个考试呢，主要是重心在哪个地方呢？主要是重心在前面给大家讲的这几个要点上啊，跟大家重点讲的这几个要点，那么这个换底公式呢？在我们考试过程中呢，

涉及的基本上这好多年都没有涉及了，但是呢呃，从我们学习的角度必须要做个预防，对吧？做一个预防，所以呢，我们通过。这个第52题呢例52题呢？给大家呢啊，做一个补充讲解啊，它的证明过程啊，感兴趣的同学啊，可以这个自己推导证明一下，也可以直接在。比如说老师，

我不会推到怎么怎么办呢？你可以在百度搜索里面一搜啊，对于说的换脸公式怎么证明啊？那那些都可以找到，你可以做一个拓展学习。对吧，我们呢，就是告诉大家怎么去用啊，作为因为它呃对数的换解公式呢，在我们这个考试过程中它。它是一个相对来说是边缘的考点，明白吧？就是说它不是那么重要，很有可能是不考的啊，但是呢，

它是。嗯，就是它是可以以超纲点来考我们的，所以呢，我就告诉大家怎么用，也就说我们学习的侧重点是不一样的，那些必考点，那我们必须要。跟大家把它的来龙去脉都要搞清楚，那些啊可能啊，这个五六年才有可能以超纲的形式啊这个。擦边考一考的，那我跟大家提示一下啊，这52题就属于这种类型。好同学们，

题目呢？我们把它抄写下来，再跟大家去逐一的去分析每一个部分，逐一分析。啊log以三为底二的对数。加上log，以九为底。二的对数。乘以。log以四为底。三的对数。加上log以八为底，三的对数啊，要进行化简。同学们，

我们可以这样呢，也是我们。是一个换元对吧？我们设。若个以三为底，二的对数是等于a的。则我们做一些啊，我们做一些这个变形。log以九为底，二的对数，它应该是等于。log把这个九换成三的平方，对吧？这个二呢？写成二的一次方，

按照我们前面对数的运算性质，是把这个次方往前拿。啊，这边应该等于二分之一三的平方，这个次方二次方拿到前面来作为分母，这个二的一次方这个次方一拿到前拿到前面来作为分子。啊，二分之一乘以log，以三为底，二的对数对吧？所以它是等于二分之一a的。它等于二分之一a。好，我们继续写。那个以四为底三的对数好同学们注意了，

它是等于。log一把这个四呢写成二的二次方，对吧？把这个三呢写成三的一次方。它应该是等于二分之一乘以啊log以二为底三的对数。而我们前面跟大家讲过这个log，以三为底。二的对数跟log以二为底，三的对数，它是互为倒数的，所以这边是不是应该是a分之一啊？是不是互为倒数，是乘起来要等于一的啊？明白吧？好，

那么这样的话，我是不是就可以得到这边是等于二分之一乘？乘以a分之一啊。好，我们继续写。那个以八为底三的对数，它是等于那个注意这个八呢，可以写成二的三次方。二的三次方好，我宽松一点写。好，这边是二的三次方，然后三呢写成二的三的一次方，这样的话，我们可以得出来，

它是等于三分之一。啊乘以log以二为底，三的对数，而log以二为底，三的对数是等于a分之一的，所以这边应该是三分之一。啊乘以a分之一。好，这是我们第一步准备工作就做好了。下面呢，我们第二步。这个原式啊，它是等于我们逐一的吧把它带进来，对吧？这个log以三为底，

二的对数是等于a的log以九为底，二的对数是等于二分之一a的。好，后面呢log以四为底，三的对数是等于二分之一乘以a分之一。log以八为底，三的对数是等于三分之一。乘以a分之一。好，那么同学们注意了呃。我们提取一个公因式啊，第一个提一个公因式是a，那么a乘以括号一加上二分之一。后面这个提取一个公因式是a分之一，对吧？

a分之一乘以二分之一加上三分之一，大家会发现呢？这个a跟a分之一是不是可以约分约掉？对吧，只剩下一加二分之一乘以二分之一加上三分之一，咱们再来进行计算。一加二分之一是等于二分之三的二分之一加三分之一是等于啊是等于。六分之五通分是不是六分之五？好，这样的话，咱们再约一下分啊，这个约掉这个约掉还剩下二。所以啊，最终的结果应该是等于四分之五是吧？等于四分之五，

所以这道题目正确答案选择。一，选项。选择一选项好，那么下面呢？我再给一点时间，大家快速的把我们考点34，从例49到例52，大家快速的复习一下，尤其是。将啊，前面的三道例题49，50，51对吧？像51的这种变化变形换元法的变形技巧，

实际上我们的。52题也用到了，这个换元法是吧？也用到了，换元法把我们啊，很多同学不熟悉的对数运算转化成我们所熟悉的代数。啊，代数式的对吧？这种化简求值。其中的52题呢，是预防呢，这个超纲考点也是对数的换底公式，这个要点那么前面的这个49，50，51呢，

这都是我们考试过程中必须要掌握的。啊，这些基础知识好，下面大家抓紧时间把它把这四道例题和对应的基础知识规则性质快速的熟化。消化一下。

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