08.课件8-数学基础班第6讲（上）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-5 09:38:17

好，各位同学，大家好，那么今天呢？是我们二零二四金湖管仲数学基础班的第六讲。我们在前面呢，第五讲已经给大家呢，讲到了啊，这个考点30对吧？一元二次的函数，它的解析式已经讲完了，下面呢？我们啊，从考点31开始往后讲解。考点31啊，

它的内容是一元二次函数的图形特征，首先给大家做一个复习。y=ax^2+bx+c。它的图形。我们这个图形呢？分层啊，我们分层。两种情况。第一种情况呢，是a大于零的时候。第二种情况呢是？a小于零的时候，那么a大于零的时候，注意了它的图像是开口向上的一个抛物线。啊a小于零的时候，

它是开口向下的一个抛物线。好，这个抛物线呢？是有对称轴的。也就是说a大于零，它是开口向上。a小于零。它是开口向下。那么，它的对称轴好，大家注意了啊，它的对称轴是？是x等于负的二a分之b。那么，下面这个对称轴也是一样，

也就是说，不管你的开口是向上还是向下啊，它的对称轴。同学们注意了它的对称轴都是这个方程，对吧？都是x等于负的二a分之b。好，这是我们只是看了它的开口和它的大概的图形。那么下面呢？我们把它放在坐标系里面来去看。我们举例子来说啊，比如说好下面是举例。比如说y=x^2-2x啊，减去2x+2。对吧，

这是我们的第一个例子，那么我们的第二个例子呢？是y=x^2。减去2x，减去三。好，我们把坐标系画出来，通过把图形放在坐标系里面，看它的到底是个什么样子？好，我们把坐标系。画出来了，那么呃，我们在第五讲的方法把y=x^2的图像画出来，那么下面呢？

我们给大家呢？呃，再把这个过程再操作一下啊。好，这是x这是y那当x=0的时候啊，注意看到这个图形啊，我们画y=x^2-2x+2。当x=0的时候，把它带进去y是等于二的，当x=1的时候，咱们把它带进去啊y是等于一的，对吧？当x=2的时候。把它带进去，这边应该是等于二对吧二的平方减二乘二，

加上二就等于二当x等于三的时候，我们带进去，这边应该是三的平方九。减去二三得六，再加上二就是这个五，这个11-6=11-6=5了是吧？好，我们再来看一看，当x=-1的时候。把它带进去x=- 1，那这边就变成了一+2+2是等于五的，那x=- 2的时候。对吧，当x=- 2的时候把它带进去那边，这应该是很大的一个数了，

对吧？负二的话应该是等于四+4再加上二。这是等于十了。好，我们把这几个。把它带进来x等于把它把这个点描出来x=0的时候y是等于二的。这是对吧？这个点我们把它描出来加粗。描点描出来，当x=1的时候y=1。当x=2的时候y=2。当x=3的时候啊y等于五一二三四五到这地方来了，当x=- 1的时候。啊y是等于五当x=- 2的时候y=10，这已经很高了，

对吧？我就不画那么高了，那么下面呢？我们再用一个平滑的曲线。把它唉连贯起来，把它连起来，用平滑的曲线把这些点。对吧，把它连接起来。对吧，就这么一个图形。好，这样的话，这是这个图形，就是y=x^2-2x+2。

那么我们还可以通过配方，我们可以得到y是等于括号x- 1^2，再加上一的，实际上通过这个图形，我们也可以判断出来这个地方它的顶点。它的顶点坐标是不是就是一一啊？对吧？然后我们还可以得出来它的对称轴就这条线。这条虚线对吧？这就是它的对称轴。那对称轴是x=1对吧？x=1。好下面呢呃，大家可以用类似的方法把举例把举例中的第二个y=x^2-2x-3。也可以把它画出来。

好，那么我把这个。我把这个表格呢画在这边来。这个表格我把它画在这。那这边是x这边是y。我们现在研究的是y=x^2，减去2 x- 3把x=0代进去y是等于负三的。把x等于一代进去对吧？x等于一代进去那y是等于这个一减二。再减三就等于一减去五了，所以是等于负四的把。x等于二代进去啊，它是等于负三的把x等于三代进去，那应该是三的平方减去二乘三对吧？再减三它是等于零的。

好，我们再来写把x=- 1代进去，把x=- 1代进去，它也是等于零是吧？x等于把，x=- 2代进去，那应该是呃，这个负二的平方是等于四的。减去二乘以负二就四加四等于八八减三啊八减三是等于五的。对吧，很好啊x=2代进去二的平方减去这个。再简算把x=2。负二代进去对好，下面呢，我们把这个。

我们把这些点呢，把它描出来。好，我们现在呢，把点描出来。啊x=0的时候y是等于负三的。这一个点对吧x=1的时候y是等于负四的。啊，这边x=2的时候y是等于负三的。x=3的时候啊y是等于零的对吧？x=- 1的时候y是等于零的。x=- 2的时候y是等于五的一下子跑了一二三四五对到这上面来了。对吧，这样的话，我们就实际上它对称的这边也有一个点的是吧？

也有一个点，只是我们这个表格都没列出来而已。那么下面呢？我们用一个平滑的曲线，把这些点全部连接起来。所以啊，它是一个抛物线啊。好，这是一个它是一个抛物线。那个这个抛物线的对称轴。啊，这个对称轴呢？是x是等于一的对吧？这是对称轴。那么，

它的顶点这是最低点，是它的顶点，它的顶点坐标呢？是啊，顶点坐标呢？是一。逗号负四。是吧嗯，好，这是我们通过这个示意图来给大家分析的。那么这边呢？它与x有两个交点，这边呢是负一零这边呢是啊三。零对吧？这个也叫做零点，

我分别设为a点和b点a点和b点呢，是它的与x轴的两个交点。那么，通过这个图形，通过举的这两个例子，所画的这个图形，大家会发现了在开口向上的情况下啊。这个对称轴的左边，它是一个减区间，也就是x越大y就越小。在对称轴的右边啊。注意在开口向上的情况下，对称轴的右边啊，它是一个真区间，也就是x越大，

那y就越大。同学们，我们现在呢，在刚才所画的这几个图形的基础上，这两个图形的基础上，我们再来看一个，比如说我画了这么一条线，对吧？这么这么一条线，那这个点。呐设它的横坐标为m。那么这边有一个点。它的横坐标为n。那么由啊，这个点呢，

为m点和n点，由于啊，这个抛物线是关于对称轴是对称的。所以呢，我们这两个点啊，这个m点和n点，它也是关于对称轴是对称的。那么，它的中间点由于m点的横坐标是m，对吧？n点的横坐标是n，所以呢？那么mn的中间啊MA的mn的中点就是对吧？这个x轴上的这个。小m和小n的中间点是不是应该是m+n÷2，

那么这个中间点是不是就是正好是对称轴与x轴的交点？啊的横坐标啊，是不是啊？所以同学们注意了。第三个要点是关于对称轴啊。啊，关于对称轴。啊，有两个要点，第一个要点呢是x是等于负的二a分之b的，第二个要点呢是。呃，若一个一元二次函数中，它告诉我们FM是等于fn的。则我们可以得到它的对称轴。

这样我们可以得到它的对称轴为啊为x=m，加上n再除以二。m加上n再除以二当然当然m加上n除以二它也应该等于负的二a分之b。是不是啊？它也要等于负的二a分之b。呃，那么。这个对称轴的这个x等于负的二负负的二分之b跟我们的顶点坐标中的。那个横坐标是一样的，对吧啊？那么它的纵坐标就是啊，就是把这个把这个对称轴带到函数解析式里面求。求到的那个值就是他的纵坐标。好同学们，那么下面呢？

我们看到第四点。我们现在呢，只画一个呃横轴。那然后呢，再画一个抛物线？好，这是。哈哈哈。好同学们啊。对于第一个图形啊。我们稍作变化一下，他是相切的，再往上挪一下。它跟x轴是不相交的，对吧？

那么同学们注意了。对于y=ax^2，加上bx+c当a是大于零的时候，它是开口向上的。那么下面呢？我们啊举了三种情况，第一种情况情况呢是这个抛物线与x轴有两个不同的交点。对吧，它有两个不同的焦点，那么这实际上啊，等价于什么呢？好，这个图形是等价于等价于ax的平方，加上bx+c=0。它是由。

两个不相等的实根。啊，有两个不相等的实根，所以呢，它进一步的，它又等价于。判别是德尔塔等于b方减去4 AC，它要大于零。那么，对于第二种情况。好同学们，对于第二种情况，它等价于什么呢？我把这边。拿过来。

对于第二种情况，它等价于这个ax方加bx+c=0，这个方程有两个相。相等的实数根。注意啊。有两个相等的实数根。啊，也就是等价于它的判别是德尔塔是等于零的。p别是delta=0。那么，那么对于第三种情况。啊，对于第三种情况。它等价于。等价于这个一元二次方程，

也就是ax方加bx+c。没有实数根。它没有实数根。那么对应着的啊，对应着的这个判别式delta就是小于零的。小于零的。当啊，这个开口向下的时候也是完全类似的啊，完全类似的。好，那么下面呢？我们看到第五点。若y=ax^2+bx+c。所以这边呢a是不等于零的。他说啊。

与。x轴。至少。有一个公共点。它说，至少有一个公共点，则我们可以得到什么呢？我们可以得到它的判别式delta。等于b方，等于b方减去4 AC，它要大于等于零，它大于零也可以它。等于零也可以。对不对好？这是我们的第。

这是我们的第五点。好，下面呢？我们来看到相关的例题，大家看到第40啊，大家看到第41题。好，我们看到第41题这四个条件，充分性判断的题型，它的公共已知条件。我们把它罗列一下啊，把它写下来。好，它的公共已知条件是。fx是等于ax- 1再乘以x- 4。

那么它的结论。他的结论是。在x=4。左侧的。附近啊，左侧的附近。有fx。是小于零的。好，我这个地方做一个补充，说明什么叫做左侧附近呢？这实际上是我们数学中的一个啊，专门的术语啊，大家千万不要，不要用日常生活中的。

这个想法来去理解它，那是错误的啊啊，他这个在左侧附近是指啊。就是指左侧嘛，就是比这个四要小一点，对吧？就是意思就是说它可以等于三点九九九。啊，就是说它跟四无穷靠近，但是呢啊，比四要小一点是这个意思。你要想它多靠近四就多靠近四，明白吧，你不能说哦，我让x=3点五，

然后它也是在x4的附近。啊，这个理解是错误的啊啊，我们数学中说在说在什么什么的附近，它是一个带有极限的这个。含义在里面，就是说你想让它有多靠近就有多靠近。明白吧，你不能说x=2 x=2，它也是在x=4的左侧附近，这是不对的啊。啊，在左侧的附近是指无穷接近于四啊，是无穷接近于四啊，但是呢，

它又在四的啊，它又比四要小一点，是指这个意思。好，下面呢？我们看到第一步。条件一呢，他说a是大于四分之一的，那么a大于四分之一，显然a就大于零了。对不对啊？a大于零的话，那a大于啊？这个这个地方肯定可以推出a大于零，所以它开口向上。

所以推出来a大于零啊，这样的话，我们就可以得出来fx要等于a×x减去。x减去a分之一对吧，然后再乘以x减去四，它是开口向上。开口向上的抛物线。它和开口向上的一个抛物线，那么下面呢啊，我们还需要搞清楚它的双根，对吧？这个a分之一。与四到底谁大谁小，那我当然可以进行比大小了。两边同时乘以四对吧，

所以呢，我们可以得到4a是大于一的两边，同时除以。两边同时除以AA是一个正数，两边同时不等式，两边同时除以一个大于零的数，除以一个正数，这个不等号是保持不变的，所以呢，我们就可以得到，对吧？我们就可以得到。这个呃四是要大于a分之一的，那a分之一肯定是大于零的，所以我们就可以画出一个示意图出来。

那咱们在这边可以画出一个示意图啊，它开口向上对吧？然后呢？这个a分之一是较小的，这个四呢是较大的，这是x轴。那么题干中啊，它的结论说的是x=4的附近在哪里呢？x=4在这地方啊，在它的附近。在它的左侧附近，是不是就这一块？你要多小有多是吧？有在它的左侧啊？是在x轴的下方的，

并且它是无穷接近于四的，对吧？对吧，无穷接近于四的这这一块附近是不是都是啊fx小于零的对不对？所以作图。做出示意图。如右所示。那么，我们是不是可以得出来在x啊等于四的附近？我已经反复跟大家强调了，这个附近的含义是指无穷接近于四，但是比四要小，对吧啊附近？啊，这个fx它确实是小于零的，

所以呢，条件一它是能够推出结论来的。条件，一是能够推出结论来的。好，下面我们看到第二步条件二，他说a是小于四的，那么大家注意了a小于四。呃，它不一定能够推出结论来啊。对吧，它推不出结论来，我们可以举一个反例。我们举一个反例，比如说a等于五分之一，

a等于五分之一的时候，这个fx就等于。啊，等于五分之一x减一再乘以x减去四，我们提取一个五分之一呢，应该是五分之一乘。乘以x- 4，再乘以x- 5。对吧，这样的话，我们它的示意图，我是不是又可以画出来了，我们在在旁边再画一个示意图出来。啊，这是x轴，

那么它的两个根啊，分别是四和五，这是与x轴的交点对不对？那么根据这个示意图，我们就可以得到。这个fx在x=4的左侧，这4 x=4在这它的左侧啊，很靠近。啊，靠近四的这个地方对吧？它是在x轴的上方，它是大于零的。是不是然后作图？作图如右所示。在x=4的。

在x=4的附近，这个fx是大于零的，所以它是推不出结论来的。由于条件一可以推结论，条件二不能够推结论，所以正确答案选择的是a选项。这道题目呢啊，它的难点是呃，对这个在x=4的左侧附近要有准确的理解，它是跟我们日常生活中。啊，这个在什么什么附近是有区别的，明白吧，它是强调的是啊，你比四要小，

并且呢，跟四是无穷靠近的。好，下面呢？请同学们看到第42题。好，咱们看到第42题。这道题目呢，它说fx=ax^2加bx+c，并且呢，FM是等于fn，对吧？好同学们注意了第一步。啊，首先呢，

这个题目呢，如果a=0的话，那它不是一个一元二次函数了，对吧？它不是一个一元二次函数的话，那么后面的。这个当mn mn不相等的情况下，就不可能FM=fn是不是啊？所以呢，大家注意了，所以这个。这个地方我们应该呃明确的加一个已知条件，就说a不等于零，这样的话我们就可以锁定它是一个一元二次函数就不用，对吧？

对吧，就不用到这边判的多了，好同学们注意在这地方补充一个条件。好吧，把它把这个让大家分析的变简单一点，补充一个条件是a不等于零啊a不等于0a不等于零，我们才能够得到它是一个一元二次函数啊。好同学们，注意了啊，一元二次函数，这样补充了，补充了a不等于零之后呢，我们再解这道题目的时候呢，就更加顺畅一些啊，一元二次函数。

啊y=ax^2，加上bx+c。它的对称轴。它的对称轴为多少呢？同学们注意了，由于这个FM，它是等于fn的。对吧，我们前面讲基础知识的时候给大家讲过这个基础知识呢，给大家讲过说若FM等于。fn对吧？我们是可以得出来它的对称轴是等于二分之m加n的。所以呢，我们可以推出来它的对称轴啊，是x是等于等于m，

加上n÷2。对吧，这是我们得到的第一步，另外一步我们又知道它的顶点的坐标。啊，它的顶点坐标为。啊为负的二a分之b逗号，四a分之四AC减去b方。对吧，这就是我们在前面给大家讲过的基础知识是吧？给大家前面讲过了的啊，它的对称轴，它的顶点坐标，我们在。这个第五堂课的最后一小节的地方是吧？

给大家讲到过啊，对称这个顶点的坐标是负的二a分之b，四a分之四AC，减去b方啊。而我们对称轴呢啊，是等于二分之a二分之m加n，也就说二分之m加上n是等于负的二a分之b的。那我当然是不是把这边带过来，也就是说当x等于啊，等于当x等于。负的二a分之b等于二分之m，加上n的时候这个y的值是不是就顶点的纵坐标？它是等于四a分之四AC减去b方，所以啊，这个题目啊。

也就是说，当x等于m加n除以二分之m加n的时候，也就是f括号二分之m加上n。它是要等于四a分之四AC减去b方，对吧f？二分之m加n是等于四a分之四AC减去b方。所以这道题目呢，正确答案选择的是4d选项，这道题目呢，主要是要搞清楚啊，搞清楚这个。嗯FM=fn。是可以得到它的对称轴的，它的对称轴是x等于二分之m，加上n这个非常关键。

好，下面呢？我们看到第43题。第43题呢？它说抛物线啊。它的图像如图所示啊，我们现在呢，把这个图像给大家先画出来。嗯，画的太窄了。这边是。负一。好，这边是。负一。

这个是一。好，这个是二。三个四一。这个是二。它要经过的点呢，是首先零一之间啊，它有一个点要经过。然后呢呃零负一这个点它要经过。啊，一到二之间呢，它要经过一个点。好，这样的话，我们用一条线把它画出来。

好，这样的话。啊，这是x轴。这个是y轴。那么，同学们，同学们来看到这个点啊，这个设为x1啊，这个设为x2很明显。这个呃图像的顶点啊，它的顶点是在靠根据这个示意图来看的话，它是在。在y轴的。啊，

这个右边对吧？它的对称。对称轴。同学们，它的对称轴是在y轴的右边，所以我们是不是可以得到它的对称轴是大于零的，对吧？注意了啊y=ax^2，加上bx+c，我们这地方呢，做一个初步的分析。那我们做几个初步的分析，第一，他的开口是向上的。是吧，

它开口向上，所以这个a是大于零的，因为开口方向是由a的正负来决定的，如果a是大于零的，开口方向是朝上的，如果a是小于零的。开口方向是朝下的。对吧好，这是第一个要点，第二个要点呢，我们研究一下它的对称轴。这个对称轴呢？应该是x要等于负的二a分之b对吧？x等于负的二a分之b，它是得大于零的。

又因为a是啊，这个。你看啊，这a是大于零的对吧？a是大于零的，说明这个负b，它肯定必须大于零，对吧？这样呢，才能够保证负的二分之b大于零嘛？所以负b大于零，说明这个b它的小于零是不是啊？好，那么另外一方面我们再来看当x我们另。我们令x=0的时候，

我们是不是可以得到这个y就等于c了？这个c是不是就等于负一啊？所以c就等于负一，它是小于零的，那么另外一方面我们来看它与x轴有两个不同的交点，对吧？有两个不同的焦点，所以我们研究它的判别式。所以它的判别是德尔塔等于b方减去4 AC，对吧？b方减4 AC它是大于零的。它是大于零的好，这是我们做了一个初步的分析，那么接下来呢，我们再做一些精细化的分析，

就是结合圈一圈二圈三圈四。这四个要判断的来进行分析，首先圈一，他说c是大于零的，好同学们注意了，这c大于零呢，我们刚才已经。给大家分析了这个c是等于负，一是要小于零的，所以这个啊圈一是要打叉叉的。我们再看到圈二圈二呢，他说噢a+b+c是小于零，那我得分析呀。好，我们。

来，我们来分析一下。好，由于呃，同学们注意了，这个我们也可以令子，是不是令令什么呢？令这个函数解析式里面令这个x是等于一的。好当x=1的时候，在这当x=1的时候来，大家看到这啊。当x=1的时候呐，当x=1的时候，这个y的值是不是要小于零呐？是吧，

当x=1的时候啊，这个。这个y要等于a×1^2+b×1，也就是a+b+c，它是要小于零的啊，因为它对应的这个点就是a点，对吧？这个a点是在x轴的下方。啊x=1的时候，它对应的是a点，这个a点在x的下方，所以呢，这个呃当x=1的时候y的值是小于零，也就是我们可以推出呢a+b+c是。小于零的，

所以呢，这个啊，这个圈二他最后是画勾的，对吧？它是正确的，下面我们再来看圈三。来分析圈三圈三呢，它说2 a-b是小于零的。好同学们，我们分析如下。我们根据第一步的初步分析，这个a呢是大于零的，这个b呢是小于零的，所以我们可以得到你a都大于零了，那显然2a它是不是得大于零了？

所以我们就可以得到2 a-b，我们一个正数对吧？减去一个负数，那它肯定是大于零的。对不对？所以你2 a-b这个是不是就得画一个叉叉了？好，下面呢，我们再看到我们再看到圈四。圈四呢是。这个b的平方加上啊b的平方，加上8a要大于4 AC。好同学们，我们一起来分析一下。因为啊，

这个同学们注意了，这个b的平方+8a，你看这个b方是一个正数。对吧啊，因为b小于零，所以b的平方是大于零的是吧，又因为8a是a是大于零的，开口向上a大于零，所以呢？这是正的，那么两个正数相加，是不是肯定大于零呢？对吧啊？那么又因为这个4 AC大家来研究一下啊。这个a呢，

是一个正数，这个c呢，是一个负数，一个正数乘一个负数，是不是小于零了，所以4 AC是小于零的。对吧，因此我们是不是可以得出来b的平方+8a啊，它是要大于4 AC的，因为。啊，这边是负的对吧？这边是正的，所以呢，正大于负对吧？

因此我们是不是就就可以得出来圈四？它是要画勾的。对吧，那么这个题目要我们判断正确的个数有几个？是不是啊？正确的个数是有两个圈二和圈四。所以这个题目正确答案选择c选项，那么这道题目呢？实际上就是考察我们。啊，如何从一个一元二次函数的图像中提取有效信息？对吧，无非就是考察开口向上啊，还开口的方向啊，对称轴啊，

还有判别式啊，对吧，还有取几个特殊值啊，是不是就考察考察这样的？啊，这个技能了，所以说像这样的题目其实都并不难，只是说我们需要掌握合适的方法。对吧，需要敢于去解决它。好，下面呢？我们看到第44题。我们看到第44题，这个题目呢？

它是一个条件充分性判断的题型，它的结论呢？说这个y=ax^2。加上bx+c，它说与x轴。至少有。一个焦点。那至少有一个焦点。同学们注意了，与x轴至少有一个交点，意思就是说把x=0带到啊，把x等于某一个值。是吧，把x等于等于某一个值，这个值可能是我设为x0带到那个函数解析式里面，

然后得到了y是等于零的。是不是所以这个它等价于什么呢？等价于。啊，函数。就是它的图形。是吧，它的图形是过x零零点的。对吧，它的图形要过这个点。他的图形要过与x轴对吧？x0是一个实数。好，这是我们的第一步。那么下面呢？

我们看到第二步分析条件，一条件一呢，他说a+b+c=0。实际上，我是不是可以令x=1对吧？代入y=ax^2。加bx+c对吧？所以我是不是可以得到这个y是等于a+b+c诶，它正好等于零。所以我是不是就可以得到啊，它的图形，所以要经过当x=1的时候y是等于是要经过一零点了，经过一零点说明它与x有交点。对吧x轴有交点，那当然是我们就可以得到这个图形，

跟x轴至少有一个交点，只要有一个交点，我就可以说是我就可以得到它，至少有一个交点。所以条件一它是可以得出结论来的。好，下面呢？我们看到。条件二的分析，他说a-b+c=0，我们依然是取特殊值，我令x=- 1。对吧，代入y=ax^2+bx+c，那么我们就可以得到这个y是等于a乘。

一的平方就是a了，加上b乘负一啊，对a乘负一的平方就是AB乘负一啊b乘负一就是减b了，对吧？a减b加c。啊，它等于零对吧？因为已知条件二条件二告诉我们a-b+c=0对吧？所以我们可以得出来这个。啊，这个图形过啊，过点负一零，所以呢，它也能够推出结论来，就表明它与x有交点了，

对吧？那么条件一跟条件二，他都能够推解呢，所以这个题目正确答案选择的是4d选项啊，选择4d选项。好那么呃，我现在呢，给一点时间，大家快速的啊，把咱们。这个嗯，第一小节也就是。嗯，考点30啊，应该这是应该是考点31了是吧？

啊，应该看到考点31，大家看到考点31，也就把这个考点三十一一元二次函数的图像特征啊，我们复习到的这几个要点。啊，以及对应的这几道例题，大家快速理解和消化一下。

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