07.课件7-数学基础班第5讲（下）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-5 09:37:26

好同学们，我们在上一节呢，给大家呢，已经讲到了考点27，下面呢，我们继续接着讲解，我们看到讲义上的第三节函数。考点28集合与元素。集合与元素这一块呢呃。包括我们集合之间的关系，对吧？它都是我们后面学习函数的一个基础。首先呢，给大家把基础知识做一个复习。第一个，

我们举例子来说，比如说有一个集合啊，有一个集合，它里面有三个元素，有一二三四啊，有一二三对吧？三个元素。那么。我们用这么一个符号啊，用这么一个括号，大家看到我红色b括起来了，对吧？这个括号括起来的啊，这个整体啊。这个整体就叫做集合。

啊，那么这里面呢？这个一和二三，这都叫做它的元素。也就是说，集合里面一个一个的小个体就叫做元素，那么这些元素。和啊，它所构成的整体叫做集合。好，这是第一啊，这个概念呢，同学们注意了啊嗯，不需要去死记硬背就知道什么叫做元素，什么叫做集合就行了。

元素呢啊，是指集合里面一个一个的小个体对吧？那么这个集合呢？是啊，这所有的元素构成的一个整体就叫做集合。好，下面呢？我们看集合的三个性质。集合的性质呢，有三个，第一个呢叫确定性。什么叫确定性啊？比如说啊诶，这个。有个人说了这么一句话，

说呃，我们这个集合里面啊，这个集合里面的元素啊，是高个子男生。那这就叫做不满足确定性。因为高个子男生。啊，那么什么叫做高个子呢？是超过一米九的，叫高个子呢？还是说超米超过一米八的，叫高个子还是超过一米六的，叫高个子？没有一个明确的啊，这个标准。

对不对？所以高个子男生啊，他不满足确定性，那么这就不能够描述这个集合了。又比如说。一个呃，这个很瘦的人。那么，什么叫做很瘦呢？是指体重。啊，低于啊，体重低于70公啊，70斤的人叫做很瘦吗？很瘦呢，

还是说体重除以身高这个比值？啊，比较比较小的。啊，小于多少呢？对吧？它都没有明确的说出来，所以这都不满足确定性。我们可以说。超过一米八的高个子男生构成力，它可以构成一个集合超过一米八的高个子男生。他有明确的。概念确定的概念确定的标准超过一米八。男生是不是？啊，

所以这这是啊，第一个特点，不过呢，这个确定性呢，在我们这个管理类联考中呢，一般不考它。它主要是考后面的第二个和第三个，第二个呢叫做啊，第二个叫做互异性。互异性是指什么呢？是指比如说我这个集合里面有一个元素，一还有另外一个元素a，这有两个元素，那我一定可以得到a是不等于一的。是吧，

一定可以得到a不等于一就是说啊，一个集合里面的元素都是互不相互不相同的，互不相等的。啊，第三个呢？叫做嗯，无序性。什么叫做无序性呢？无序性是指啊。交换序数，交这个元素啊，交换一下位置，是是是，不影响它，还是同一个元素，

比如说你a写成一二。跟a写成二一对吧？它都是同一个元素，它不讲顺序。明白吧，它的顺序是嗯，这个不做区分的。好，那么下面我们看到第三个。啊，一些常见的符号。好，我们一些常见的符号。啊，有这样一些常见的符号，

比如说这个r。表示什么？这个r表示。实数。对吧，然后这个这个z是吧？这个n呢表示。这个n呢，表示的是自然数。啊n表示，自然数大家注意啊，自然数最小的自然数是零啊零一二三四五等等，这都是自然数。那么这个整数呢啊，除了包括自然数之外，

它还有负整数。自然数就是非负整数，对吧？这个整数呢？包括负整数零和正整数。其中，零和正整数又叫做自然数，统称为自然数。是不是好同学们注意了，这边呢，还有q这个字母q呢是表示。表示。有理数。表示有理数。这个符号表示什么呢？

这个符号表示属于。表示属于。比如说x属于r。x表示属于r表示什么呢？表示x属于实数。啊，表示x属于实数，也就是x是一个实数。对吧x是实数里面的一个元素，所以x是实数表示这个意思明白明白吧。啊，然后呢嗯？这里面。同学们啊，我们再看到第四个要点。

比如说这集合这么写说。啊x。啊，这边x属于是啊，属于是整数，这是什么意思呢？就是说呃，这个集合a是。啊，关于它的元素是x。对吧，这个集它这个这个符号的意思表示集合a里面的元素是x。而x呢？是整数。而x是整数，

实际上这个集合a是就表示整数啊。对吧，又比如说。这个写这么一个集合x，然后呢？说x加上一分之一属于整数。啊，这个表示什么意思呢？表示集合a是它的元素是x，而这个x要求满足x加上一分之一属于整数。那又比如说。啊写说x属于整数，啊x属于属于整数，然后一斜杠。x属于整数一斜杠，

然后x加上一分之十，它属于整数，这表示什么意思呢？这表示的是这个集合a，它的元素是x，并且x是整数好，它这个x还要额外满足什么要求呢？还要额外满足x加上一分之十这个分式啊，看起来像分式的这个表达式也是整数。所以我们要理解这个意思，好接下来请同学们啊，跟着我一起看到考点28下面的两道例题我们。通过例题来给大家示范啊，这些知识要点的应用，大家注意了嗯。

我们呃，前面跟大家已经讲过，我们基本上不会跟大家只是讲空洞的理论，掌握很多理论，掌握很多。知识，但是你不会去用它，那是等于零的，我们这个考试是专业硕士里面管理的，联考的数学，它是强调知识的应用，而不是知识本身。所以呢，我们通过例题来给大家示范它的应用。题目中的集题目中的已知条件呢，

它说集合a。它做集合a。有三个元素a的平方，加上一逗号。啊a+3逗号。四，减去a。那么他说啊呃五呢是a的一个元素，且满足条件的实数啊，这这满足条件的实数a有多少个？50a中的一个元素，那么这个五到底是？是哪个元素呢？我是不知道的，对不对？

那么同学们注意了，考试过程中，我刚才跟大家说过了啊，这个考试过程中重点是考察互异性。和无序性。啊，互异性和无序性重点是其中最核心的是互异性元素是不一样的。那么我们这里面呢，有一个元素就就五是属于集合a的，对吧？五是a中的一个元素，所以呢，我们分类讨论。好，我们分类讨论。

第一种情况是。a的平方加上，一是等于五的，这样我们可以解得a的平方=4。所以我们可以得到a=2啊，或者是负二，那么进一步的再细分。当当a=2时。当a=2的时候，这个集合a中那么a的平方啊，那么a的平方按照我把它写过来。干脆我就直接把它复制过来。好，那么这个a的平方同学们注意了，这个a的平方+1。

它就是五了，那么a加上三它也是五四减去a对吧？四减二是等于二。这样的话，是不是不满足互异性呢？它不满足集合的互异性。对吧，所以他要舍掉不满足集合的互异性，要舍掉对吧，也就a方加上一。a+3它不满足互异性，它是两相等的，所以要排除对吧？这地方要排除。好，

我们再来看到圈二。当a等于。负二的时候。那么这个a。好，大家注意了。我们一样的。好，我们把a=- 2带进来。a的平方加上，一是等于五的a加上，三是等于一的四减去。a，也就是四减负，二是等于六的，

它满足了互异性，所以是符合要求的。好，这是我们的第一类a的平方，加一=5啊，因为五属于是集合a中的一个元素，我现在集合a中有三个元素，到底哪一个元素等于五呢？我是不是要分类讨论？啊，第一种情况呢，是第一个元素是五对吧？就a的平方+1=5，第二种情况呢，是a+3=5。

好，这样的话，我们可以解得a=2我们上面呢，都已经跟大家分析过了，当a=2的时候要舍掉，所以我们。是不是这个也得舍掉，对吧？a=2的时候也要舍掉，原因是什么呢？原因是不是跟这上面是一样的了？对吧好，我们看到第三类情况。四，减去a。

等于五是吧？四减a等于五，我们解得a是等于负一的。那么这个时候我们来看一看这个集合a好，我把它的元素都写过来，由a的平方+1。有a加上三有四减去a。好，那么我们。大家看a等于负一代进来a方加上，一是等于二的a加上，三是等于二的对吧？那么四减去a是等于五的，那显然这个地方。是不是又要？

排除啊，因为它也是不满足互异性，对吧？要舍掉的不满足互异性要舍掉。所以那么这样一看啊，是不是只有一个满足要求啊？对吧？好，那么第二步，所以呢，满足条这个a啊，只能等于负二满足要求的只有一个，是不是所以这个题目？正确答案应该是选择b选项。好，

这是第35题。要分类讨论。这道题目，它的命题点。叫做互异性。互异性好，那么下面呢？我们看到第36题。第36题呢？我把这个题目先给大家写下来。好，它说集合a的元素啊，集合a的元素个数有多少个？我们首先要读懂这个题目，这个符号是什么意思？

首先这个题目这个地方啊，就是这个斜杠前面的这个东西表示什么意思呢？啊，这个表示这个集合是关于m的。对吧，这和这个集合m它的原这个集合的元素是小m。那么这个后这个小m呢？是一个整数。那么后面这个斜杠后面的。表示m还必须要额外的满足什么条件呢？必须要额外的满足m加一分之十。是整数。对吧诶，那m加上一分之十是整数说明什么呢说明？这个m+1这个分母是十的约数。

对吧，所以呢，同学们注意了，这样的话，我们就可以得到。因为十的啊十的。啊十的因数。十的因数呢是有一。二五。十对吧？我们算上这个，它还有负的，对吧？所以呢？还有负一。

负二，负五，负十。这样的话，我们就可以得到。这个m+1，它必须要是十的因数，它可以等于一。二五。十负一负二负五负十。这样的话，我们就可以求出m的值，对吧？m是等于零一。四九负二负三负六和负11。

这样的话m是有。八个数。对吧m是有八个数，你看我们再求出来，由于我们这个题目中这个集合是关于m，它的元素是m。所以呢，我们可以得出来这个集合呢，应该是。把上面的。对吧，这些求出来的数把它放进来就是它的，就这个结合了。对吧，也就是说这个集合有多少个元素呢？

我们数一数是不是有是是不是有八个啊？共有八个元素。共有八个元素，所以这道题目啊，正确答案选择c选项。其实啊，这道题目呢，表面上看起来是一个。集合的问题，但是呢，本质上考的是我们算术里面的。啊，这个约束也就是因素，对吧？这个这个数啊，

应该使的因素应该这么写，写了个错别字，把它改过来。十的因数。对吧，死的因素有这么多。好，那么下面呢？我给一点时间呢，大家把考点28嗯，跟大家所讲解的复习的这些知识要点。以及啊，以及这两道例题，大家快速的复习一下。好同学们，

那么下面呢？我们啊，继续接着往前讲解，大家看到考点29集合之间的关系。首先呢，给大家做一个。要点复习，我们这个要点复习呢呃，依然是呃，以我们联考中的这个考试大纲和真题的命题方。命题这个呃着眼点跟大家来去讲解，强调它的实战性。第一个要点呢是。呃，两个我先举例子吧啊，

集合a，比如说它是等于。一二三四五。对吧，它有五个元素。呃，集合b呢是等于。三四五六七。也是有五个元素。那么啊，我们这个有几个？这个运算，比如说啊a。我看啊，再写一个集合CC呢，

是等于四五。好同学们注意了，我们发现呢，集合a和集合b。啊，集合a和集合b，大家看这么一个。啊，像一个倒过来的磁铁，或者说一个倒u形。啊，这个表示什么意思呢？好同学们注意了，它表示。集合a和集合b的交集。

表示集合a和集合b的交集。交集就是公共的啊，公共的元素要找公共的元素是35对吧？所以呢，我们可以得到a交b。a交b是等于。三四。五的那么反过来这个符号，如果这么写。这个表是什么意思呢？它表示，集合a与集合b的啊并集。它表示，集合a与集合b的并集。那么，

并集呢？是指把它们所有的不同的元素啊，就是所有的元素把它合并在一起。啊，重复的只计算一次啊。那么，比如说一二三a并b是一二三四五三十五是公共的，我只写一个啊六七注意啊，这个并集呢是指？是指把两个集合中所有的元素合在一起，其中重复的只算一次啊，不重复计算。对吧，比如说集合a和集合b中三四五是公共的，是共同的，

是重复的，我们只能算一次。对吧，所以a并BA集合和b集合的并集啊，它是等于一二三四五六七的。好，那么同学们再来看，这里面还存在包含关系和子集关系。啊，比如说这个。c啊，大家看这样这样写。它表示什么呢？它表示，集合c。

是集合c是集合b的。这个子集。就是说集合c是集合b的一个局部对吧？当然集合c呢？也是集合a的一个子集。好，下面呢？同学们注意了。若集合a是集合b的子集。则啊则。a啊，怎么去表达呢？我再跟大家这样来写啊，这个集合a呢？它表示。

x.小于等于a，大于等于负a。结合b呢。它表示x小于等于b，大于等于负b，那么我们。怎么去理解这个子集呢？好，我们通过数轴来表示。同学们注意了，这是原点，这个呢是？负a这个呢，是a那么集合a是集合b的子集说明集合a是集合b的一个部分，

或者说是两者完全相等。所以呢，大家注意了这个。啊，这个集合这个b负b啊，你看这个负b呢？可以到这地方。那么，这b就在这了，负b呢？也可以在这边一点那么对应的b就在这边了，所以呢，这个啊，大家注意啊，那个b的取值范围啊。

实际上，是不是只能往这边来了？对吧b的取值范围，大家能看到吗？所以我们可以得到b啊，大家注意啊，也就是我们可以得到。我们可以得到负b，它要小于等于负a。然后呢？这个b呢？要大于等于a。对吧，实际上就是一个集。啊即a要小于等于b，

就是我们可以得出这个呢。啊，这是啊，这是子，这是包含关系。好，我们看到第三个。若集合a是等于集合b的。则AB中的。元素啊，是对应相等的。对吧，这个集合a和集合b中的元素，它要对应相等。好，

这是嗯，我们这是要点的学习，那么下面呢，我们通过例题呢，给大家去示范它的应用。好，大家看到第37题。设a啊，集合a是等于。这是x-a的绝对值，它要小于一，其中x是属于r的。集合b呢？啊是x-b的绝对值小于二。这个x呢，

也是属于r的好，那么下面呢，我们把这个集合a做一个化简。注意了x-a的绝对值小于一，那么我们可以得出来，它是注意，它是等价于对吧？它等价于x-a。是小于一，大于负一的，那么可以得到x是小于a+1，大于a- 1。对不对？这是集合a的啊，这个我们化简之后的，

那么我们看集合b呢，它说x-b的绝对值。小于二，那么它等价于x-b是小于二，是要大于负二的，所以这个x是要小于b+2。它是要大于b- 2对吧？x要介于b啊b- 2和b+2之间的。那么下面呢？我们。啊，这是我们第一步，实际上是做了一个化简，对吧？下面我们看到第二步。

我们在数轴上啊。我们在数轴上把它表示出来。那所以嘛。我们假设这个是a- 1啊，这个是a+1对吧呃。它是不不带等号的，这边是大于和小于不挂等号的，所以呢，我们用空心点表示。这是集合对吧？这是集合。这是集合a。那么SB的子集它等价于什么呢？等价于啊，我们看看这个b- 2大家来研究一下啊。

也就是说，这个b- 2顶多顶多这个b- 2可以在这个地方是不是也可以在这地方也可以在这地方？所以呢，它是一种这样的结果，你可以这样来。这是集合b，你也可以是啊，这样对吧？这样来对吧？这样来是不是都是？这种这个b这么来表示的时候，是不是SB的子集啊？所以呢，这边是b- 2，这边是b+2，

因此呢，我们可以得出来。a是b的。SB的子集，它等价于。它等价于什么呢？等价于两点第1 b- 2要小于等于a- 1。那a+e要小于等于b+2，是不是通过这个示意图？是不是等价于这个？好，我们进一步的来算一算这边呢，我们可以得到这个a-b好把它移向过来。a-b是要大于等于负一的，那么把这个移项过来啊，

把这个一呢移到这边来，所以呢a-b是要小于等于一的。啊及啊，它等价于a-b的绝对值是小于等于一的a-b的绝对值是。小于等于一的，而这个等价于的意思就是互为充分，必要条件，也就是说啊。啊a是b的子集啊，它等价于这个意思就是它的充分且必要条件。啊，简称为充要条件，对吧？简称为充要条件。为a-b的子集。

啊，是小于等于一的。a-b的绝对值是小于等于一的。好，所以呢，这道题目正确答案选择a选项。正确答案选择a选项好，这是第37题。下面我们看到第38题。第38题呢？题目我们简略的把它写一下，集合a呢是一。a.b啊，集合b呢是？

AA的平方。和a×b。我们发现了。这里面。因为我们前面跟大家讲过，说这个集合是满足互异性的，所以根据这一个，我们是不是可以得出来？我们可以得出来，由互异性可得啊，由元素的互异性。由于元素的互异性，我们可以得到a是不等于一的。好，下面呢，

也是由元素的互异性来把这个话呢，我们重新写一下啊，让同学们呢，加深对它的印象啊。有几何元素的？互异性可知。啊，这个a啊，这a是不能等于零的，如果你a=0的话，那那这个是零。对吧a=0的话a的平方也是零，那AB也是零，对吧？那是不是就是三个元素都是一样的？

那是不是就？那是不是就矛盾了，对吧？所以a肯定是不等于零的。对吧，我们不仅可以得出来上面啊，集合a三个元素是互异的，我们不仅可以得出来a是不等于一的，我们还可以得出来b也不等于一啊。我们还可以得出来a是不等于b的了，对不对？能理解吧？能理解吧，好同学们注意了，我们由集合b里面得出来啊，

得出来什么呢？得出来a不等于零，我们还可以得出来b也是不等于一的，因为如果b=1，你代进来的话。对吧，你如果b=1代进来的话，那那这个AB它就等于a了，它就跟这个元素是一样的，对不对？好，那下面呢？这相当于是我们解题的第一步，用元素的互异性做了一个初步的分析，那么下面我们看到第二步。

有题目告诉我们说集合a跟集合b是相等的。a=b，那说明什么呢？说明集合a和集合b中的三个元素分别对应相等。啊，说明。集合a。与集合b。集合a与结合b中的。三个元素。是分别。要对应相等的。那既然三个元素对应相等，那么它们的乘积是不是也要相等？他们三个元素的。

层级。是也相等的。所以我们把它们的乘积乘起来，那么集合a也就是一×a×b，它要等于。a×a^2，再乘以AB。对吧，由于a是不等于零的，我们在哪？我们这地方是不是说过a不等于零了，所以这个a可以约分约掉。啊，在等号两边同时除以一个不为零的数是可以的。是吧，

那么能不能把这个b也约掉呢啊？约不掉，因为b它有可能等于零是不是，所以我们进一步的。我们可以得出来，也就是b是要等于a的三次方乘以b好一项可得，我们可以得出来b乘以。a的三次方减去，一是要等于零的。对吧，又因为啊，又因为a它不等于一，所以呢，我们可以得出来a的三次方是不等于一的。所以我们可以得出来a的三次方减，

一是不等于零的。对吧，所以我们把它带到，就是把这个地方往这带，它不等于零了a的三次方减一不等于零了。所以我的等式两边同时除以一个不为零的数a的三次方减，一是不是可以约掉了，所以我可以得出来b啊，它必须要等于零。是吧b是等于零的。能理解吧啊，我们可以得出来b是等于零的。好，这样的话，我们可以得出来，

从而。从而集合a啊，它要等于1a零。啊，集合b呢，它要等于啊，调整一下位置a的平方啊a。和多少啊？AB是不是a×b？是不是要等于零啊？那么，因为a和b这两个结合是相等的，所以它对应相等，你看零跟零已经对上号了。a跟a对上号了，

所以。a的平方跟一对上号对吧？所以啊。所以这个a的平方是等于一的，所以我们可以得出来啊，又因为这个a呢，是不等于一的，对不对？所以我们是不是可以得出来a=- 1啊？a是不等于一的。所以得出来a=- 1，那么a=- 1，这样的话，我是不是就可以得出来a的绝对值，加上b的绝对值等于一，

加上零是等于一的。等于一的，所以这个题目正确答案选a选项。所以这个题正确答案要选择a选项，这是第38题，那么这道题目同学们注意了38题呢，用到了元素的。互异性。对吧，集合的元素是满足互异性的，同时如果两个集合是相等的，说明它们的。这两个集合，每一个元素，每一个集合的元素的乘积是不是啊？

一个集合的乘积啊？一个集合。所有元素的乘积等于另外一个机构，所有元素的乘积，这样的话，我们是不是可以快速的去求解？当然，大家也可以进行分类讨论。对吧，分类讨论也是可以去啊，也是可以去解题的。好，现在呢？我给点时间呢，大家把我们的嗯，

这个考点29啊，这个要点复习以及两道例题，大家快速的。这个复习一下。好同学们，刚才呢，给了一点时间呢，大家来理解和消化，我们考点29的这个复习要点以及两道例题，那么下面我们继续往前讲解，大家看到考点30。考点30呢，是一元二次函数的解析式，首先呢呃，这个地方的复习要点稍微多一点啊啊，

我跟大家一一来。进行梳理，首先看到第一个我们知道一元二次函数指的是这么一个东西啊y=ax^2。加上bx+c，这是一个关于x的一元二次多项式，对吧？这个其中x的平方项的系数a是不等于零的，为什么呢？因为如果a=0的话。那这个xa x的平方就等于零了，那这个呃ax方加bx+c。它顶多就是一个啊，一元一次多项式，它就不可能是一个一元二次多项式了，对吧？

而我们现在研究的是这个所谓的抛物线，所谓的一元二次函数啊。一元二次函数啊，它必须要有x的平方项的，所以a是不等于零的。那么，我们从这样的几个角度来分析啊y=ax^2加bx+c，这是最常见的，这叫做什么呢？这是这是一元二次函数的一般式。那它是一元二次函数的。这个叫做一元二次函数的一般式。那么，我们把这个做一个因式分解啊y=ax^2+bx+c。我举个例子来说啊，

我举个例子来说，比如说y=x^2，加上2 x- 3，我们可以用十字相乘法。对吧，十字相乘法进行因式分解，这边呢是负一，这边是三交叉相乘再相加，得到的结果是二对吧，就是一×3。加上一乘负，一是等于二的，正好是x前面的系数二，这不就表明我们分解是成功了，应该是可以分解成为x- 1，

再乘以x+3。是不是写成两个一次多项式的，这个乘积的形式也就是做了一个因式分解。对吧，也就是做了一个因式分解。那么，对于含有参数的这个呃解析式，也就是y=ax^2+bx+c。如果它能够分解成为，也能够因式分解的话，我们假设提取a之后，它能分解成为x-x一再。再乘以x-x二，这是用十字啊，这个相乘法对吧？

十字相乘法因式分解，那么这个。如果能够分解成为这种样子，这叫做什么呢啊？这是一元二次函数的。双根式啊。这是一元二次函数的双根式啊，或者说。它也叫做零点四啊，也叫做零点四一元二次函数的双根式，也叫做零点四，为什么叫做一元二次函数的双根式？啊，是因为啊，是因为我们，

你看因为我们令我们令y等于。ax的平方+bx+c，如果令它等于零，那么就相当于是这个因式分解之后的结果，对吧？a×x-x一，再乘以x-x二，它要等于零，最后我们可以得出来x1是等于零的。啊，或者是x2对吧？呃，这个x=x一啊？可以得出来x=x一。在x要等于x1或者是x要等于x2，

对吧？也就是说让y=0的时候，我们可以得出来a×x-x一×x-x二=0，我就可以得出来x=x一或者是x=x二。那得出来的是这个一个一元二次方程的根，对吧？所以呢，它的两个根，所以我们就把它称为双根式。为什么也把它叫做零点式呢？因为啊，当x=x 1x或者是x=x二的时候。我们可以得出来那个y是等于零的，让y=0的点，对吧？

就叫零点四，明白吧，这是它的一个来历。好，下面呢？我们看到第三个。啊，我们再举个例子，比如说上面举的这个例子啊y=x^2，加上2 x- 3。其实呢，我们可以配方它等于x的平方，加上2 x+1再减去四。它是要等于括号x+1^2，再减去四的，

那么我们就可以得到啊，把它配成了一个完全平方。再加上一个常数或者减去一个常数的，这种结构就叫做顶点式啊，我们把它写成。也就是说y=ax^2+bx+c，我们配方之后，它是等于a乘以括号x啊，我把它写下来x加上。二，a分之b的平方，再加上四a分之四AC。减去b方对吧？写成一个完全平方，加上一个常数的，

这种形式叫做什么呢？这就是它的叫做它的。顶点四。叫做它的顶点式，它为什么叫做顶点式呢？同学们注意了，是因为啊，我们还是以这个为例，还是以这边这个为例，我们画它的函数图像的时候啊。啊，我们画它的函数图像的时候。它是一个这样的图形，一个开口向上的。那这边呢？

我们刚才已经知道了，它的双根是负三和一对吧啊？一个一元二次函数，它既有你看它既可以化成双根式，对吧？我们刚才举的这个例子啊，这个一元二次函数，它既可以化成双根式。啊，又可以画成顶点式，它的双根式，我们马上就可以得到它与x轴的交点，是横交点的横坐标，是负三和一。那么，

它的顶点是什么意思呢？好同学们注意了，我们根据这个配方，我先把这个对称轴把它画出来。那我们刚才呢，根据这边的这个配方可以得出来当x=- 1的时候，这个y呢是取最小值是等于负四的。在我们这个图形中啊，在我们这个图形中，它的对称轴是负一对吧？当x=- 1的时候，那么这个y取最小值。是负四对吧？y的最小值也就是它的最低点啊，最低点啊是等于负四。

所以呢，根据这个根据这个顶点式，这个顶点式就是说我看到这个表达式，我就知道它顶点的坐标。啊，对吧？它的顶点的坐标是负的二a分之b逗号。四，a分之四AC减去b方，如果a大于零的时候，那么这个顶点啊。啊，就是这个顶点呢，就是它的最低点对吧？如果a小于零的时候，

那么这个顶点呢，注意这个图形就得这样这样画了，那么这个顶点就是它的。最高点了。明白吧，所以一元二次函数，它的解析式有三种情况，第一种情况呢？就直接是y=ax^2加bx+c，这个叫做一元二次函数的一般式。那么第二个呢，是y=ax^2+bx+c，它可以因式分解，因式分解之后呢，分解成为a×x-x一×x-x二。

它叫做双根式啊，双根式。啊，第三个呢？是啊，第三个呢？是啊，它可以配方啊，可以配成完全平方，加上一个常数，对吧？y等于a乘x加上二a分之b括号的平方，再加上四a分之四AC减b方。这就是它的顶点式当x等于负的二a分之b的时候，那个完全平方是不是就等于零的这个时候y就取最值它的最值是等于四a分之CC减b方？

如果你a是大于零的，那么这个最值就是最小值，如果你a是小于零的，那么这个最值就是最大值。好，这是啊，咱们的考点啊，这是咱们的考点30。嗯，下面呢，我们通过这个讲义上的两道例题呢，给大家示范。我们在解题的时候到底。如何根据已知条件选择合适的解析式来去解题好，大家看到例39。

好，我们看到第39。这道题目呢，它告诉我们二次函数，二次函数fx就是实际上就是y了，对吧啊y=ax^2。加上bx+c。它说它的顶点坐标。它的顶点坐标是负二。三它还过点。它过点一零，所以我看到这个顶点的坐标，我很自然，是不是应该想到把它设成？啊，

这个零点四啊，对吧？我们设这个y是等于a乘以括号x-- 2就变成了x+2对吧？的平方，再加上三是不是？我们设它的顶点式。设一元二次函数的顶点式为这个注意了，这个前面这个系数是a啊，跟我这边一样的设成a，他告诉我顶点是负二和三对吧？那我就直接用x减去横坐标括号的平方是吧？a乘括号x减啊横坐标的平方，再加上纵坐标就行了。啊，这是第一步。

好第二步。因为它这个抛物线啊过。啊，它过点。一零我们把我们把这个x=0 y=1。代入代入哪呢？代入这个地方。啊，代入这个地方，我们就可以得出来，这边是。诶，同学们注意了，这地方我刚才写的啊，有点小问题啊。

这个地方不要颠倒了啊，是x=1 y=0。对吧，是x=1 y=0，我刚才写成x=0 y=1啊，这是不对的，要马上把它纠正过来，把它代入，所以就得到零。是要等于a乘以括号一+2^2，再加上三，所以我们可以解得a是等于。负的三分之一。对吧，我们可以得出来a等于负的三分之一。

a等于负的三分之一。好得出来之后啊，也就是说。这个解析式咱们就得到了y要等于负的三分之一括号x加上二的平方。再加上三是吧？那么题目要我们去求注意了，它没有没有要我们去求a等于多少b等于多少啊c等于多少，那我就不用去求了，我只要把。只要把a求出来a等于负的三分之一，然后把这个解析式求出来就可以了，那么如果他要我去求b，我就把这个解析式展开。对比系数就可以了，对吧？

不仅可以求出b了，而而且可就是求出c了，但是他没有要我求。b等于多少？c等于多少？它要它要我们去求的是f4。啊，求的是f4对吧？当x=4的时候，这个y。要等于负的三分之一乘以四加上二的平方，加上三，它要等于负的三分之一。乘以六的平方就是36，再加上三=-12，

加上三是等于负九的。对吧，等于负九，所以这个题目正确答案选择b选项。是吧，正确答案选择b选项。好同学们，如果他要我去好，我们做一个拓展啊。啊，我们做一个拓展。就是啊，我我我在这地方稍微补充说明一下啊，就是说这个f。这个f4表示什么意思啊？

表示当x等于。四的时候啊y啊y等于多少？f4就是当x=4的时候看求出来y等于多少，明白吧？好，下面我们来看到拓展。我们要去求b等于多少要去求c等于多少，对吧？那我是不是借助于这个地方把它展开呀？把它展开，它应该是等于负的三分之一括号x的平方。加上四x加上四，再加上三，它应该是等于负的三分之一x的平方，对吧？

x的负三分之一。乘以x的平方减去三分之四x，减去三分之四，再加上三。是吧，所以呢，我们可以得到这个b是等于负的三分之四的b等于负的三分之四，那咱们这个c等于多少呢？这c是不是要等于负的三分之四，再加上三呢？所以它是等于三分之这个。呃，等于三分之九减四就三分之五了是吧？它等于三分之五。好，

这是第39题的这个解析，那么同学们如果这道题目我们啊设其他的这个解析式，比如说设。选用如果我们选择一元二次函数的一般式，那这个题目就搞可能会复杂一些了，对吧？或者说你设它的双根式，它也会复杂一些，我所以我们要根据题目中的已知条件。选择合适的解析式，我们这个题目中告诉了顶点的坐标，那我是不是就设顶点式更好一点了？是吧，好，这是。

咱们第39题下面请同学们看到第40题。好，我们看到第40题。已知抛物线fx=ax^2+bx+c的图像经过零零。12，零两点。诶，那不就是当x=0的时候y=0吗？x=12的时候y也等于零吗？显然这道题目。是不是可以选用双根四更好一些啊？对不对？选用双根四。好同学们，注意了第一步。

因为它经过啊，经过零零点和十二零点啊。它经过。所以呢，我们就可以得出来啊，得出来它的双根是啊y=a×x-x一。乘以x-x二，这里面就相当于是x1=0x2是等于12。对不对？所以呢，我们经过这么一分析，我是不是就可以得出来？这就是a乘以括号x- 0。乘以x- 12对吧？即这个计算出来应该是ax×x- 12。

对吧，好那么同学们注意了，我就可以啊设。我直接这样设这个啊。这边呢，我就可以得到。啊，可得。可得y的解析式是ax。乘以x- 12对吧y=ax×x- 12。而这个题目呢，它又告诉我们顶点的纵坐标是等于36。对吧，那么下面要求顶点的纵坐标，我们是不是配一下方就可以了？

好，大家注意了y等于a乘以括号x的平方减去十二x，我们再配方。它要等于a×x^2-12x，加上啊，加上一个常数项，这个常数项等于是一次项系数一半的平方，一次项系数等于负12，它的一半等于负六的平方是三。36所以这边是加上升36，然后为了还原，我再减去36。对吧，所以它是等于a乘以括号，注意这个地方可以配成一个完全平方，

它是等于a乘以括号x- 6^2。减去36a对吧？a×x- 6^2，再减去36a。由于它的纵坐标是36那。它的顶点注意了，同学们注意了，它的顶点坐标。啊，它的顶点坐标是x=6的时候y是等于负的36a，那么这个负的36a就是它的顶点的纵坐标。那六就是顶点的横坐标，对吧？嗯。好这意思啊，

负36位就是它顶点的纵坐标。这样的话啊，我们就可以得出来，应该是负的36a要等于36。解得a是等于负一的是吧？解得a=- 1。那么，题目要我们去求的是a+b+c等于多少？对吧？好，那我进一步的就可以得出来y是等于负啊等于啊，它是要等于a×x^2-12x等于。负x的平方+12x。那么，大家对比一下啊，

好同学们注意了，我们做一个对比。对比呢y是等于ax的平方+bx+c，然后这边呢是y=-x^2。加上12x，所以我们一对比出来，我们就可以得到a是等于负一的b是等于12的。c是等于零的，因此我们可以得到a+b+c是等于负一，加上12，再加上零是等于。11的，所以这个题目正确答案选e选项。你看第40题呢，它告诉我们啊。

告诉我们的双根，我就可以选择啊，抛物线或者说叫做一元二次函数的双根式做我们的。这个分析的起点和突破口，那么第39题呢？它告诉我们顶点的坐标，那我们就可以选择。顶点式对吧？选择顶点式来做我们啊，一元二次函，选择一元二次函数的顶点式做我们分析的突破口和起点。好，那么我们。啊，这个呃30题啊，

这个考点30啊，它的知识点的讲解以及两道例题。啊，我就讲完了，现在呢，给点时间，大家快速的理解和消化，然后我再跟大家呢补充讲解一道较高难度的题目啊，也是一道真题。好同学们，刚才呢，给了一点时间，大家来理解和消化，那么下面呢，我就继续接着给大家啊讲一道拓展题。

啊，这个拓展题呢，难度稍微大一点了啊，也是我们考试真题中啊，出了一道啊，难倒很多同学的一道题目，尽管咱们现在是基础阶段。那但是我们实际上是具备这个能力啊，去去这个啊，试一试这个真题到底是长什么样子我们？看一看到底有没有能力去把它攻克。题目呢，是这样的设。这个fx。等于x的平方加上。

bx+c。则f1的绝对值是小于等于一的。第一个条件呢是。fx=0。的两个实实数根。介于啊，零到一。介于零到一之间。这是条件一。条件二呢，跟这上面非常相似，但是它做了一点变化，它说fx的两个实数根啊，是介于什么呢？是介于一到二之间。

是介于一到二之间好，你看这道题目。它给了一个函数解析式，然后又跟这个一元二次方程又挂钩了，对吧？那么怎么去做它呢？好，大家先操作一下，摸索一下，然后我再给大家。这个嗯，讲解啊，我大约给个一分钟左右的时间好吧，大家尝试一下摸索一下嗯，我们说过啊，

一元二次函数的解析式有。嗯，一般式有顶点式，有双根式，我们一定要选择合适的解题式解题。好，这就是我的提示啊，现在呢，大家可以按照我这个提示摸索一下。好同学们，那么现在呢？呃，我就带着大家一块来分析一下这道题。首先呢，我们这道题目中呢，

说fx等于的两个实数根，一看到实数根，那我就可以设它的实数根为x1x2。并且呢，它的两个实数根都是介于零到一之间的说明x1是介于零到一对吧？x2也是介于零到一之间的，看到两根，那我自然是不是应该要想到？是一元二次函数的解析式为双根式啊，对吧？尽管你这个题目中给了它的一半是我们，但是一般是对于我们解题不是很。这这不是很有利，所以呢，我们啊，

还是要按照自己的思路去设未知数啊，不是这个选择合适的，这个解析式。第一步，我们设。啊fx是等于等于x-x一注意了，那个a呢是等于一的，因为原题中fx是等于x的平方。啊，对吧？加bx+c这个x的平方项的系数是一，所以呢，这个a就是等于一了啊fx=x-x一×x-x二。那么，我们这么设了之后啊，

这个题目呢？这个结论我们要得做一个变形，这个f一就变成了一减去x一。对吧，一减去x一乘以括号，一减去x二。对吧，一减x一乘以一减去x二那么这个嗯题目呢？这个结论呢，就变成了这么一个，所以结论等价于什么呢？啊，结论等价于一减去x一乘以括号一减去x二再添个绝对值号，它是小于等于一的。这就是我们的结论了。

对吧，好下面呢，我们看到。我们看到条件一条件二条件一呢，它告诉我们说x1小于一大于0x二小于一大于零。好同学们注意了，我们做变形，因为x一是介于零到一之间的，所以一减去x一，很显然它也是介于零到一之间的。一减去x二，它也是介于零到一之间的，对吧？那么这个时候我们直接相乘。对吧，

两个介于零到一之间的数相乘得到的结果是不是也是介于零到一之间了，所以我们是不是就可以得出来？这个嗯，我再框个绝对值号对吧？括号一减去x一乘以一减去x二的添个绝对值号，它也是介于零到一之间的。那当然是小于等于一是成立的了，对不对啊？所以呢，它是能够推出结论来的好。好，大家注意了啊，结论中说的是小于等于一，我们现在这地方推算的是小于一，那么小于等于一这个范围，

它已经。啊，就是根据你来根据一个一个数小于一啊，我们是给得出来得出来，它小于一，或者是等于一也是成立的，对不对？因为小，于是小于等于一的小于号是小于等于号的子集，明白吧？啊，所以这个。条件，一是能够推结论的。那么，

下面呢？我们再来看到条件。我们再来看到条件二啊，我们看到条件二。嗯，好同学们。条件二呢，是它啊，它告诉的是介于一到二之间，也就是x1是介于一到二。x2呢，也是介于一到二之间，那么这个时候我们啊啊这个。每一个这两个不等式都减去一，我们就可以得到x1减去，

一是小于一，它是要大于零的x2-1。它是小于一，它是大于零的，对吧？这个时候我们相乘，对吧？我们乘一下，对吧？就变成了x1-1。乘以x2-1是不是也是介于零到一之间的？那么这样的话啊。那么，我们添一个绝对值号，也就是啊，

也就是x1-1乘，以x2-1。整体框个绝对值号，它是不是也是介于零到一之间？那当然是小于一的了，又因为绝对值号里面。对吧，你这个符号是可以变化的，况且我们从而我们这样来写啊，我们就可以得到这个一减去x一的。啊乘以一减去x二的绝对值，大家注意了，就是说我用红色的笔啊，框起来的这个。啊红色比框起来这个啊，

这两个它是相等的。x一减一乘x二减一。的绝对值跟一减x一乘一减x二的绝对值是一样的，对吧？所以呢，它也是小于一的。所以呢，我们这样的话就可以得出来这个条件，二它单独也是能够推出结论来的。你看条件，一单独能够推结论条件，二单独也能够推结论，对吧？那么。按照我们的题型规则，

那么正确答案就选择4d选项。那么下面呢？我跟大家呢啊，结合这个拓展所涉及到的知识要点呢，跟大家做一个小结。我们做一个小结。好，第一个小节呢，是这个a的绝对值和负a的绝对值，它是相等的。啊a的绝对值和负a的绝对值是相等的。第二个呢？是啊，第二个呢？是这个。

啊一减去x一乘，以一减去x二，它跟x一减去一。和x二乘以x二减一，它也是相等的。对吧嗯，这个相当于是把等号左边，你看这个地方。这个地方提了一个负一出来，是不是变成它了？这个地方又提了一个负一出来，所以变成它了，两个负一相乘，是不是就等于正一了？所以这个是要能够理解到的。

好，那么同学们注意了第三个要点是，比如说a小于零，我是可以推出来a是小于等于零，它也是成立的。反过来啊a小于等于零，它是推不出a小于零的，因为a小于等于零，它的含义是指a小于零或者是a=0。万一我a=0呢？我如果a=0的话，呃，那这个a小于零就它这个这个就不成立了，是不是啊？所以说要做一个对比。

大家注意这个地方，这两个地方要做一个对比，根据a小于零，我们可以得出来a小于等于零，根据a小于等于零呢，我们推不出来a小于零。这个是有区别的啊，这个同学们注意是有区别的。好，我在这地方呢嗯，我再给同学们呢做一点啊，为我们这个下一次课啊做一点铺垫啊。做一点铺垫，关于啊函数的图像。关于函数的图像，

第一呢是一次函数。比如说y=y=kx+b，这叫一次函数，其中这个k是不等于零的。啊，第二个呢？是二次函数。第二个叫二次函数。那么一次函数呢？嗯，它是一条直线。嗯，同学们注意了，这里面呢，有几个概念呢，

要跟大家先引出来，其中这个k叫做它的。斜率也就是说，这条直线倾斜的方向以及倾斜的这个堵翘程度是由k来决定的。这个b呢？叫做什么呢？叫做纵截距。也就是说，这条直线与纵坐标轴啊的交点。的坐的纵坐标。啊，那么我们再来看二次函数。二次函数呢，是y=ax^2，加上bx+c好同学们注意了。

这个a呢，是决定它的开口方向的。一个抛物线是开口啊，向啊开口方向对吧？是开口向上呢，还是开口向下？明白吧，然后呢这个？那一个抛物线，它有可能是开口向上的，也有可能是开口向下的。好，这个开口的方向是由a来决定的。然后这边呢，还有个对称轴。

是由啊，这个对称轴呢？这个对称轴的这个方程呢？是x等于负的二a分之b啊，这个也是x等于负的二a分之b，也就说这个对称轴。是由负的二a分之b来决定的。好，这个顶点的坐标呢？是通过啊，我们说过啊，顶点的坐标呢，前面跟大家啊，实际上在前面跟大家已经讲过了，顶点的坐标是由这个顶点式来决定的，

对吧？负的二a分之b啊，四a分之四AC减b方，所以这个顶点的坐标啊，由什么来决定这个顶点的坐标？是由啊，我把这个坐标写下来啊，是负的二a分之b逗号。四，a分之四AC减去b的平方。是吧，这个顶点的坐标是由这个来决定的。好，那么下面呢？呃，

因为我们只是为下一次课开个头，所以呢，下面呢，我想把这个一次函数呢给大家呢。这个再做一点说明。我们来举一个例子，最简单的例子y=x我画这条直直线对吧？就相当于是k=1 b=0。我们现在画这条直线的这个图像，我们怎么去画呢？换一些这样的。好同学们，我先画一些这样的格子啊，方便我们待会描点。好，

我们现在来描一些呃，这个图怎么把这个代数的问题转化成为？可视化的图形呢？我们去啊，同学们注意了，我们去呃画它的图形呢，实际上是有个最基本的原理。所谓最基本的原理，就是通过描一些点。找一些对应的。那我就是啊，当x=1的时候y是等于一，当x=2的时候y=2，当x=3的时候y是等于三，当x等于。

呃，等于零的时候y=0，当x=- 1的时候y=- 1，当x=- 2的时候y=- 2，当x=- 3的时候y=- 3。对吧，这样的话，我通过第一步呢，就是作图就是说这个我们去画一个函数的图像啊，它的最一般的方法就是先列表。把这个对应的点找到，然后第二步呢是描点。啊，通过描点在直角坐标系里面描点好，这是y轴，

这是x轴，这是坐标原点。好把一点找到啊，这是一二三四，这是一二。三四好，这边是负一负二负三负四，这是负一，这是负二，这是负三。这个地方是负四。好，然后呢？我们描点啊，同学们，

我用这个黑色的点来描吧，一一点在这个地方。对不对？二二点当x=1的时候y=1当x=2的时候y=2当x=3的时候y=3当x=4的时候y=4当x=0的时候y=0。当x=- 1的时候y是等于负一的，当x=- 2的时候y=- 2，当x=- 3的时候y=- 3，我们是不是描了一些？一些点就是黑点点，实际上我们还可以让x等于一点一点一一点二一点3 y=1啊y对应的值找到啊一点四一点5 x=1点一一点二一点三一点四一点五一点六一点七一点八。是不是可以描更多的点，当我们描了更多的点之后，把这些点我们用平滑的曲线把它连接起来。我们会发现呢，发现什么呢？

它实际上是一条直线。明白吧啊，它是一条它实际上是一条直线，这条直线呢，我用红色的笔描出来，对吧？一连起来之后，它是一条直线。啊，那么这条直线呢？呃，它的。这条直线呢，这边有一个角从x轴的正半轴啊，我们逆时针旋转过来，

这个角叫做什么呢？这个角同学们注意了，叫做它的倾斜角。我们一般用阿尔法来表示。那么这个啊，我们y=kx+b这个k呢啊，注意了k呢是等于。倾斜角的正切倾斜角的正切值。倾斜角的正切。好，那么我们刚才举的这个例子呢？是y=x这个比较啊，最简单的例子，对吧？我们也可以，

大家可以尝试着画。尝试着画一个，比如说呃y=y=x+1，或者说写y=2 x+1，对吧？用同样的方法先列表。啊，然后再描点啊，然后第三步呢，再连线。再连线这样的话就可以得出来，它的图形是一条直线，一次函数的图像是一条直线。那么，二次函数的图像呢？

它就是一个抛物线了啊，也是用类似的方法啊，描列表描点连线。那么大家呢，可以画一个图形啊，用我刚才所讲的方法，把y=x^2的图形啊，用列表第一步列表第二步描点第三步连线的方法。把它画出来，它是一个抛物线，那么留着咱们今天这个一个作业啊，大家呢？自己下来之后呢，操作一下好不好？看看它的图像到底是一个什么样的形状，

它是不是个抛物线，它的顶点在哪里？对吧，它的对称轴在哪里啊啊？看看这个图形有什么样的特点，那么我们下次课的时候呢，再给大家啊，把这些规律把它总结出来。好，我们这个第五次课呢，就给大家讲到这里，我们分了上下两部分，大家学习的时候呢，就是啊，一个一个的考点考点把它攻下来。

好不好？我们一起加油。

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