06.课件6-数学基础班第5讲（上）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-5 09:36:58

好，各位同学，大家好，那么今天呢？是我们二零二四金湖广中数学基础班的第五讲。我们在第四讲呢啊，给大家呢，已经把讲义上的这个代数部分的第一节整式给大家讲完了。啊，整式里面呢，主要涉及到了这个单项式，多项式的定义以及啊乘法公式和恒等变形。多项式的竖式除法与恒等边形还有配方法，因式分解和因式定理，余式定理。

那么，我们在这一讲呢？给大家讲的分式这一块呢？也要啊，其核心呢？也是分式的，这个恒等变形化简求值。这一块好，我们啊这个。进入到这个具体内容的学习。好，大家把讲义翻开，我们看到。这个考点22。分式有意义，

首先呢，给大家做一个要点的复习。这个要点的复习呢，同学们注意了啊，这个a÷b那么这个b叫做分母是不是啊？这个分母同学们注意了，它是不等于零的。啊，这个是同学们小学就学过了的。那么现在呢？我们把这个要点呢，用来去解题，大家看到第24题。这道题目是一个条件充分性判断的题型，它的结论是分式有意义。

好同学们，分式有意义，那说明它的分母不为零呐。是不是好？第一步，原结论等价于。好原结论的等价于分母不为零，也就是x- 1×x二×x- 3。乘以x- 1，它是不等于零的。好，这是我们的第一步。啊，我特别叮嘱一下，有的同学说老师这个分式可以化简了，

这个分子分母同时可以约掉x- 1。但是大家注意。谈一个分式有没有意义？我们一定是谈原来这个分式本身有没有意义？对不对？所以呢，先不要化简。好我们啊，这是这个补充说明下面我们看到条件一啊条件一呢，它说x小于三。同学们注意了，它是推不出结论来的，那么下面我们可以举一个反例，所谓反例是指满足已知条件的，推不出结论来，

对不对？结论不成立，对不对？也就是说，我看可以让x=1啊x=1的时候，它是满足条件一的，但是这个结论。啊，这个结论它就不成立了，因为你把x=1代进去那个分式，其实没有意义的，因为那个分母为零了，对吧？好，下面呢？

我们看到。我们看到条件2x是大于一的，大家注意了x大于一呢，它也是推不出结论来的。啊，它也推不出结论来，那么下面呢？我们举一个反例对吧？比如说x是等于三的，它满足条件二，但是。啊把x=3带到这个分式里面，那个分母是等于零的好，下面呢，我们看到条件一和条件二，

它单独不能够推结论。这个时候我们必须一二联合。好，一二联合的话，我们可以得到x是小于三是大于一的，对吧？x要小于三大于一，那显然我们是不是就可以得出来？这个x它既不能等于一，也不能等于三，所以x- 3啊，乘以x- 1，它是不等于零的。它是可以推出结论来的，对吧？

它单独不能推结论联合起来，可以推结论，所以啊，来我用公式这笔圈出来啊，条件一单独不能推结论。条件二也当然不能推结论，条件一跟条件二联合起来，可以推结论，按照我们的条件充分性判断的题型规则，正确答案应该选择c选项。对吧，选择c选项。好，这是第啊24题，那么24题呢？

我们在这地方呢，做一个小结。啊，第一个小节呢是。啊x的三次方啊，减去一它是给因式分解成为x- 1。x- 1×x^2，加上x再加上一。对吧x- 1×x^2，加上x再加上一，这是第一个，第二个呢是？啊，是指。是指原分式的。

分母不为零。而不。而不是化简之后。而不是化简之后的分母。啊，不是化简之后的分母，是原分式的分母。这是大家注意的。好，下面呢？我们看到考点23。嗯，分式的化简求值，那么我们首先呢，给大家呢，

把相关的公式呢，做一个复习。第一个复习的公式呢是？平方差公式也就是啊，我用x和y来啊，或用AB来表示吧a的平方减去b的平方。它可以因式分解成为a-b×a+b啊，所有的因式分解它都是。呃恒等边形对吧好，这是第一个，第二个呢是立方公式a的三次方减去b的三次方。它要等于a-b×a^2，加上AB。再加上b的平方。大家可以做一个对比啊，

第三个公式呢，是a的三次方加上b的三次方，它应该要等于。a+b乘以。a的平方。减去AB+b^2。好，我们再看到第四个。啊，同学们注意了啊，有一些它是可以啊，做变形的对吧，比如说这个涉及到六次方的时候。那a的六次方。减去b的六次方，

你看这个我们可以既可以使用平方公式，也可以使用立方公式，对吧？你看我如果使用平方公式的话，我们就得到的是a的三次方的平方。是吧，减去b的三次方的平方。是不是变成了平方差公式啊？对吧？好，这样的话，我们就可以得到它，应该等于a的三次方减去b的三次方。乘以a的三次方。加上b的三次方，

那我们是不是可以？进一步的往后进行运算了，对吧？其中a的三次方减b的三次方，它应该等于a-b。乘以。a的平方。加上AB啊，加上b的平方。a的三次方加上b的三次方呢？它是等于a+b呃乘以a的平方。减去AB，再加上b的平方。对吧，这是呃。

你看，也就是说a的六次方减b的六次方，我们先使用平方差公式，然后再使用立方差公式和立方和的一，这个公式是不是就可以把它分解完了？啊，当然呢，我们也可以这样来啊，我们也可以用立方公式啊a的六次方减去b的六次方，我们可以把它写成a的平方括号的三次方。啊，减去b的平方括号的三次方啊，它是要等于啊a的平方减去b的平方。呃乘以括号a的平方的平方就是a的四次方对吧，然后再加上a的平方b的平方，

再加上b的平方的平方就是b的四次方。这个时候它就变得稍微复杂一点了，对吧？那下面的话，我们要去变形的话，我们得写成它要等于a的平方减去。b的平方啊呃，我这样写吧。先我们先用啊，我们先用平方差公式，你看a的a方减b方，它是等于a-b。乘以a+b再乘以a的四次方加上a的平方b的平方。再加上b的四次方。对吧，

大家注意了啊，很多同学呢，以为分解到这一步之后呢，就结束了，实际上并没有结束a的四次方，加上a方b方加上b的四次方，这个其实还可以进一步的分解。好就有了，下面这一个啊a的四次方加上a的平方b的平方，再加上b的四次方。我们可以配成完全平方那a的四次方，加上2a的平方b的平方，再加上b的四次方。好把这个作为一组再还原，回来就减一个a方b方。

那么，同学们注意了，它就可以得到啊，注意哦，这得到的是是等于a的平方，加上b的平方。括号的平方再减去AB括号的平方是不是又可以使用平方差公式啊？所以它应该等于a的平方+b^2。减去AB，然后再乘以括号。a的平方+b^2。加上AB。所以呢，这一个啊，还可以进一步的把它分解成为它两个相乘。

好，大家发现你看我们考点23是分式的化简求值，那为什么我们复习的都是整式的？呃横等变形呢，是因为啊分式的化简求值，其实很多都是依赖于啊我们整式中的分解，因式的一些公式。对吧，好，下面我们看到第20。五题。我们看到第25题。第25题呢？这个呃，表达式很复杂啊，

这表达式很复杂，首先呢，我们分步来去做啊，第一步。这个分子它是等于我们把它抄下来啊啊，或者说写上被除数吧。对吧，它是这个。这个被除式是等于啊a的平方减去a加上一。分子一。啊，然后减去。a的三次方减去一分之一减去a对吧，然后我们来做一个这个恒等变形。那么，

做恒等变形的时候呢？大家注意了。那这边是a的平方减去a加上一分之一，这边呢，我们可以把它写成。加上好加上AA的注意了，我把这个分子啊变成a- 1，是不是前面这个减号是不是变成加号了？对吧，我们把这个分母呢，因式分解它就变成了a- 1乘以括号a的平方，加上a+1。好，那么这样一来的话，这个分子跟分母是不是可以约分呢？

对吧？是不是这个a- 1这个分子约了就变成一了？所以呢，我们下面继续来啊，往这边挪过来写一点啊，那么这个时候我准备通分啊，这边就变成了a的平方减去a加上一。乘以括号a的平方啊a的平方，加上a+1分之。好，我们把它加起来，应该是a的平方，加上a+1。再加上。a的平方减去a加上一。

好，我们这地方呢，又有一些可以抵消的，对吧？比如说加一个a跟减一个a，是不是可以抵消了？对吧，所以最终得到的是什么呢？最终得到的是。啊，把它写过来，它应该是等于两倍的括号a的平方，加上一除以。啊除以这个a的平方减去a加上一乘以a的平方，加上a加上一。

好，这是被除式下面呢，我们再来把这个除式做一个化简。好，大家注意了呃，这道题目呢？有多种方法啊，我现在跟大家讲的是方法一，主要是为了跟大家复习这个。啊，主要是为了跟大家复习这个公式啊。好，下面呢？我们看到第二步。要不到这来写吧。

第二步，除式。在咱们这个地方，它的除式呢是等于。好，这边呢是a的六次方减去一。啊，减去括号a的四次方，加上a的平方，再加上一。好，这是分母分子呢，是a的四次方减去a的平方。再减去二，我们发现啊这个呃。

就是把分子啊，这个a的平方看作一个整体，我们可以用十字相乘法进行因式分解。因式分解之后，它的分子是多少呢？分子应该是a的平方。加上一。乘以。a的平方减去二。啊a的平方+1。乘以a的平方减去二。好再除以。然后下面这个呢，这个a的六次方减一啊，同学们注意了a的六次方减一，

它是可以因式分解的。啊，我们分解一下啊，先用平方差啊，我我我这样吧，我就专门把它用蓝色的笔在这边写一下啊。a的六次方减一，它是等于a的三次方括号的平方再减一的。这个能看懂吗？能不能看懂？好，或者说有的同学说老师，那我可不可以把它当做是这个平方的三次方呢？那当然也是可以的。对吧，

来我把它写上了啊，这边它是等于a的三次方减去一。对吧，再乘以a的三次方加上一，它是等于。啊，它是等于a。啊，它是等于a的。呃，这样写的话，其实我还要考虑一个问题，就是呃，我的分子分母能不能够约分的问题？所以大家注意了，

我稍作调整一下啊，我稍作调整一下，把它写成。这样呢，因为因为我们的分子啊，同学们注意我们的分子是平方项。是不是是a的平方项，所以我得想办法呀，尽量的把这个分母中啊，产生平方项出来，产生平方项的话，那我就把a的三次方得看成a的平方。对吧，在三次方这样的话，是不是可以产生平方项出来啊？

对不对好嗯，你看为什么我刚才那个我要把它我我要把它废除呢？就是因为刚才我产生出来的分解，虽然我也能分解因式，但是分解因式出来之后没有平方项了。对吧，平方项嗯，被我分解掉了，所以呢，我现在要把a的平方当做当做一个整体来考虑，所以这边应该是。a的平方减去一。乘以括号a的平方的平方就是a的四次方，再加上a的平方再加啊再再加上一。这样分解它就比较好，

对不对？所以呢，我就这是我们刚才分解的这个结果啊，把它拿过来这边。用黑色的笔写。所以这边应该是a的平方减去一乘，以括号。a的四次方加上a的平方，再加上一减去括号a的四次方。加上a的平方，再加上一这个时候我发现就可以提取公因式的分母中，对吧？这个分子我先照抄a的平方+1。乘以括号。a的平方减去二。

这个分母呢，应该是a的四次方啊，这是公因式提取公因式对吧？a的四次方加上a的平方+1。再乘以再乘以括号a的平方减一，再减一是不是a的平方减二？那么这样的话，我分子分母又可以约分了。那这个地方一约分是吧？啊，一月份那么得到的是什么呢？得到的是a的平方，加上1a的平方，加上一。啊，

这是分子分母呢，是a的四次方加上a的平方，再加上一。好这个呢呃分子呢，它又可以因式分解，我们再来写一下啊a的四次方加上a的平方+1。我们可以把它写成a的四次方，加上2a的平方，加上一再减去a的平方。那么，前面这个括号里面是个完全平方公式，对吧？所以是a的平方+1^2，再减去a的平方。这个时候我们就可以再次使用平方差公式，

它应该等于a的平方啊，加上一。减去a×a^2，加上一再加上a，所以呢？所以呢，我们这个最终得到的是什么呢？得到是a的平方啊，稍作整理a的平方减a加上一。乘以a的平方，加上a+1，这是分母分子呢，是a的平方+1。对吧好，大家注意了，

这个除式啊。除式啊，被除式呢是这个。啊，除式呢啊，是这一个，所以呢，我们最后来完成第。来完成第三步啊。好，下面呢？我们进入到第三步。原原式。它是等于。被除式。

除以除四。对吧，被除式除以除式，大家有没有发现呢？被除式是除式的两倍。是吧，是不是它的两倍啊？如果我设这个地方是等于呃是等于m的。那么，这个地方它是等于多少等于二倍的m对吧？我简写了，所以它要等于二倍的m÷m是不是等于二呀？对吧，二倍的m÷m是等于二的啊，因为这么大一串写起来很麻烦，

所以我直接设它为m了。所以同学们注意了这道题目啊，正确答案选择a选项。正确答案选。哪一选项？这道题目大家就会发现了，它基本上把我们前面讲的这个第四讲所讲到的平方差公式。完全平方公式。立方差公式。立方和公式。对吧啊，以及因式分解的一些技巧，它都用到了，所以所以这道题目啊，这是这这是我们现在讲的方法，

一它是一道非常好的题目。它帮助它，可以帮助我们有效的把这些公式迅速的熟悉起来，在实战的过程中啊，把它都用上去。好，这是方法一。好，我再次强调一下方法，一主要是帮帮助同学们在一道题目中把相关的公式跟大家都整合进来。啊，就是帮助大家熟悉公式起这个作用。公式熟了对吧？你熟练掌握了，实际上那就考试的时候就会游刃有余。

对吧，游刃有余好，下面我们看到方法二方法二呢，是教大家一种更快的解题方法啊，我们看到。这道题目，这道题目中呢？我把这个题目抄写下来啊。a的平方。减去a加上一分之一。减去。a的三次方减一分之一减去a。好除以。这边呢，是a的六次方减去一。

减去a的四次方。加上a的平方，加上一这边呢是a的四次方。减去a的平方再减二要求，这个值等于多少？那么选项中的告诉我a=2。a项是a不a，选项是二b，选项是四c，选项是一减AD，选项是五。好d选项呢是？负a对吧？一选项是负a。那么，

我们可以举特殊值。对吧，我们的方法是取特值。有的同学说这种题目呢，还能举特值啊，可以我们举特值。啊取特值呃，怎样才能够让这个问题变简单呢？好同学们。取一个什么样的特殊值呢？我们可以考虑啊，比如说让a=0试试看。令a=0。好，把它带进来。

那么，这个变成了什么呢？变成了啊，这个就是变成零减零，加上一就变成了一分之一。啊是吧除呃减去这边呢是呃零减去一就是负一对吧，一减去零就是一了，所以就。这边是负一分之一，然后再除以除以这边是呃零减去。一一就是负一了，再减去零加零加一就是减去一啊，这是分母那分子呢，变成了零减零减去负二对吧？所以我们画一下，

减它应该是等于一加上一等于二二，除以负二除以负二是等于一的二除以二是等于。二二，除以一是等于二的。对吧，我们发现这a选项是等于二的，所以答案就选a了，对吧？这b选项是要排除的，你看c选项里面。把a=0带进来，它是等于一的，所以要排除这d选项，要排除这e选项，把a=0带进去，

它是零的，是不是也要排除啊？所以只能选a了。你看这样的话，可以快刀斩乱麻，如果你公式在考试的时候都不会对吧？或者记不清楚了，那么用这种方法啊，能够救大家一命。但是我想跟同学们说的是，我希望大家两条腿走路，它是最稳妥的方法，一虽然繁琐，但是呢。它是我们的呃，

就像就像我们一个国家，它是基础学科，明白吧，就像你没有基础学科。虽然说你用一些技巧的方法能解题，但是呢，涉及到人家考脖子的题目，你就没办法做了，比如说啊。你没有基础学科，你芯片就造不出来，你高端芯片就造不出来。是吧，万一人家卡你脖子呢，万一命题老师哪一天呢？

出了题目。你没办法用任何技巧的方法去做题呢，那不傻眼了，对吧？所以说同学们方法一跟方法二两种方法二。大家都要掌握方法，一是基本方法方法，二是技巧方法，对吧？两种结合是最稳妥的。啊，只掌握方法，二是很容易被命令老师卡脖子的。好，这是。

第25题答案选a。那么下面我们看到第26题。第二十六题呢？这道题目它的已知条件是a分之一减去b分之一。它要等于a减去b分之四。对吧，那么这个时候呢，我们可以这样来。那我们可以得出来a分之一减去b分之一，我等号两边同时乘以a减b。啊，可不可以啊？同时乘以a-b对吧？它等于四好，我把它展开。

我们现在把它展开，就变成了a分之一乘以a。加上啊，注意了a分之一乘以a这个地方就接下来，因为人家后面是减了，应该是a分之一乘以a减去a分之一乘以b。减去b分之一乘以a对吧？乘以a，然后再减减减为正负，负得正是不是应该是加上b分之一乘以b？是等于四的，所以我们可以得到，你看这个是一这个是一，所以应该是二。减去a分之b，

再加上b分之a，它是等于四的。所以我们是不是很快就可以得到a分之b，加上b分之a是等于负二，这就是我们要求的嘛。所以这个题目正确答案选择d选项。好同学们，注意了，那么刚才给大家讲了两个考点啊，考点22分式有意义，就是分母不为零啊，考点23分式的化简求值。啊，总共三道两个考点三道题，大家先啊，

抓紧时间呢消化一下，然后我再接着往前推进。好同学们，那么我们继续往前推进啊，我们看到考点24。分式的列项以及求和技巧这一块呢，实际上我们在第一讲的时候啊。跟大家讲这个实数的运算性质，这一块就讲到了分式的这个列项，对吧？那么只是我们现在呢？这个呃难度相对来说更高一点了。我们第一堂课里面给大家讲的是分数的列项，我们这地方呢，讲的是分式的列项好。

大家啊，跟着飞哥一块，然后呢，把这两个放在一起进行对比学习，大家看到一乘以二分之一。它是等于一分之一减去二分之一的。二乘以三分之一，它是等于二分之一减去三分之一的，这是我们过去讲过的。那么下面呢？我们稍作变形。比如说我们把它变成x，加上一乘以x，加上二分之一。啊，

它是等于。啊，它是等于x加上一分之一减去x加上二分之一。对吧，然后这边呢是x加上二乘以x加上三分之一。那么这边啊，应该是x加上二分之一减去x加上三分之一。好，大家可以把这左右两边进行对比，一个是左边呢，是含有啊，是不含有未知数的，所以它是分数对吧，然后右边的是含有未知数的，它是分四。

那么呃，我们再写一个嗯，这个一般规律啊，一般的。那如果这边写上x+a。乘以x加上b分之一，我们啊，我们可以这样来列项啊，它应该是等于等于什么呢？它等于x加上。啊，等于x加上a分之一减去x加上b分之一，然后它要。有一个系数叫b减a分之一，叫b减a分之一，

大家可以这个通过啊，可以进行通分，通分之后化简，这是个恒等式。是吧，这是个恒等式，完全是啊，这个完全是模仿。啊，完全是模仿我们这个呃过去所学的这个内容啊，也就是。我们曾经给大家讲过，比如说啊，这个n乘以n加上k分之一对吧？它是等于k分之一乘以n分之一。

减去n加上k分之一，对吧？这都是恒等式，可以进行啊，进行验证的好，我这边呢，我简单的给大家呢，做一个啊，做一个说明。比如说这个。比如说这个啊，它是等于它它是经得起验证的啊，它是等于b减a分之一乘以。这边呢是x+a×x+b这边呢是x+b。啊，

减去括号x+a这边一抵消对吧？所以b-ab-a跟这边再一抵消是不是变成了一啊？所以它是等于x加a乘，以x加b分之一的。是吧，等于x加a乘以x加b分之一。它是等于左边的，所以呢，这个呃x加a乘以x加b分之一是等于b减去a分之一。乘以x加一分之一减去x加上b分之一的。好，这是关于分式列项的技巧，那么下面呢？我们啊，我们再来看到这个例27。

通过例题来给大家啊，加深对它的理解。首先呢？这个x的平方加上x分之一，它要等于分解因式啊，把这个分母分解因式。它等于x乘以x，加上一分之一。对吧，然后第二个x的平方+3 x+2。分之一，它要等于咱们因式分解啊，这个分母进行因式分解，它要等于x加上一啊，乘以x加上二分之一。

对吧x加一乘以x加上二分之一，然后这边是x的平方，加上五x加上。六分之一，咱们因式分解之后啊，应该是x加上二乘以x加上三分之一。好，这边呢是x的平方，加上七x加上十二分之一啊，它应该是等于x加上三。乘以x加上四分之一。好，这样的话，我把每一个分式啊，我都进行了练习啊，

就进行了因式分解，而因式分解之后，我们就可以开始。列项了好，这个列项之后，它是等于x分之一减去x，加上一分之一，对吧？用到的原理是哪一个呢？用到的原理就是这个原理。是吧，用到的就这个原理，就是我们上面跟大家啊讲过的这几个好，下面呢，我们再来看它。

这个可以列项成为x加上一分之一减去x加上二分之一，这个呢是等于x加上二分之一。减去x加上三分之一，这边呢是x加上三分之一，减去x加上四分之一。对吧，好，那这样的话，我们把这个全部把把它啊，第一步我们实行了列项好，第二步我们把它累加起来。我们把它累加起来，也就是啊，左边加左边等于右边加右边。那大家看一看啊。

啊，这边加起来。它是要等于这边全部加起来。是吧，等于这边加起来，所以呢？呃，我们这样的话，呃，这个原方程的左边啊，因为他写的太多了，所以我就用几个汉字写下来啊，原方程。它的左边它是要等于什么呢？是不是要等于这一块，

等于这个椭圆，这个椭圆圈起来全部相加，而椭圆圈起来的这个相加？它又等于什么呢？又等于x分之一减去x，加上一分之一对吧？然后加上x，加上一分之一。减去x加上二分之一。加上x加上二分之一减去x加上三分之一再加。啊，这边呢是x加上三分之一减去x加上四分之一对吧？然后我们这么一加之后。发现减一个加一个，减一个加一个，

减一个加一个，是不是可以抵消啊？对吧？它抵消之后。那么，它是要等于x分之一减去x，加上四分之一。对吧，相当于是咱们把原方程的一个比较复杂的，这个表达式左边对吧，原方程的左边是个比较复杂的，这个分式呃。相加我们通过化简之后呢，变成了比较简单的呃一个分式对吧啊，这是第二步，

那么下面呢，我们看到第三步注意了。而这个左边呢，它要等于右边，右边是等于二十一分之四是吧？它是等于二十一分之四，因此呢，我们得到了一个分式方程。我们得到一个相对简单的分式方程，下面呢，我们准备区分某。好，我们区分某。啊，我们去分母，

去分母之后呢？呃，这边啊，就变成了啊，左右两边同时。或者这样吧，我先把左边通过分嘛，好吧，左边通过分就变成了x乘以x，加上四分之x加上四。再减去x对吧，它要等于二十一分之四。啊即x乘以x，加上四分之四左右两边，你看这个是四。

这边是四左右，两边约分约掉对吧？所以就变成了x乘以x加四分之一要等于二十一分之一。这样的话，我们就可以得出来x×x，加上四是等于21的把分式方程转化成为了一个整式方程，得到一个。一元二次方程对吧？那么进一步的我们。整理一下x的平方，加上4 x- 21=0，咱们因式分解应该是x- 3。乘以x+7是等于零的，所以我们可以解得x=3。或者是负7 x=3，

或者是负七。那么，因为这是分式方程，所以我们最后要验一下根啊，看它的分母是否啊不为零，对吧？验更。分式方程都要检验的啊，把x=3带到原方程里面分母里面诶，发现每一个分母它都不为零，所以这三是可以要的。把x=- 7，把x=- 7，带到原方程里面啊，每一个分母它确实都不为零，

所以这个负七也是可以要的，因此这道题目。应该是有两个结果啊，有两个结果是三或者是负七。啊三或者是负七对吧？所以这个题目正确答案选择c选项。好，第27题呢？它的应该说它的综合性是非常强的，对吧？因为它要列项，列项之后还要呃得到了一个分式方程。然后咱们要把这个分式方程转化成为整式方程去求解，然后呢，最后一步啊。

别忘了要验根是吧？好，那么第27题呢？我就给大家讲到这里，下面我们看到第28题。好，我们看到第28题。那第28题呢？它给的一个像一个横轴是一样的，对吧？它的左边呢？是不含有未知数的？它的右边呢？这个方程的右边呢？这个等式的右边呢？

含有未知数，那我们再一看它是把。好，我把这个这个方程，我把这个等式或者说叫做方程，我把它写下来啊x- 1乘以。x- 2^2分之一，它要等于。x减一分之a。加上x减二分之b。加上x- 2^2分之c。那么这个题目呢啊？他是把左边的这个比较复杂的分式进行了列项，列成了三项。对吧呃，

然后呢？要我们去求这个ABC，我们我们的方法呢？大概有两种，第一种呢是我们。自己我们不看这个题目中右边的这个等式，右边的这个对吧？这个表达式我们直接自己去列项。列完项之后，然后我们再进行对比系数就可以了。是吧，这是第一种思路。那么，第二种思路呢？同学们，

第二种思路呢，是我们把它当做一个横等式来对待。是吧，好来我们来看一看啊，方法一。我们把它当做恒等式来对待，首先既然是恒等式，那我就可以这个去分母了，对不对？好，我们区分某。我们去分母之后啊，可以得到左边就等于一了，对吧？也就是左右两边同时乘以x- 1×x- 2^2，

左边就等于一，右边是等于a。乘以括号x- 2^2，加上b×x- 1再乘以x- 2。加上c×x。减去一。是吧c×x- 1好同学们，我们再把它做一个整理，那可不可以啊？我们再整理一下。注意了，这个题目要我们去求a方加b方加c方的，我们再做我们再做整理，怎么去整理呢？或者说啊，

这样来理解那个大家看啊，我们去了分母之后。得啊，去了分母之后得到的这个等式，它是不是也是个恒等式啊？是吧，这也是一个恒等式。啊，这是一个恒等式。就是我不再看原题了，因为原题它有分母，我现在只看这个红色的框框里面，它也是个恒等式。那么，既然是一个恒等式，

我是不是可以任意的取值啊？让x等于随便一个数，我代进去，它都是恒等的，左右两边都要相等。是吧，这样的话，我就可以求出啊，用恒等式的方法来求出ABC的值，那恒等式取特值。啊，这个啊，恒等式。取特值。比如说我们令。

我们的x等于一，我们代进去左边是等于一，右边是等于a乘，以啊，一减去二的平方。啊加上b×0+c×0。是吧，这样的话，我是不是可以得出来a是等于一的？对不对？好，我们再来看，我们再来列，我们列x=2，我们代入之后啊，

把x=2代进去左边还是一？那右边呢，是变成了a×0对吧？加上BA×0+b×0+c乘以。二减一，所以我就可以得到这个c是等于一的。好，我们继续令，比如说我令啊，我令这个x等于要不要我就就令x=0嘛，或者x=3也行。是吧，我令x=3，我们把它带进去，左边是等于一的，

右边呢是等于a×3-2^2。就是一了对吧，然后加上b乘以啊，这个x- 1就等于二了x- 2就等于一了，然后再加上c乘以。啊x- 1是二对不对？那我们把这个东西带进来啊a是等于一的，所以这边一要等于一。对吧，注意注意，这个a我们一求出来是等于一的啊，然后呢，把这个c=e呢，把它带进来，这边是加上2b，

再加上2c。是吧呃，2c呢？同学们注意了啊，这c呢是等于一的，所以2c就等于二了。2c就等于二了，这样的话我就可以解得啊，我可以解得b是等于负一的。是吧b是等于负一的。好，那这样的话，那ABC我的。是吧，我ABC的值，

我是不是都求出来了，所以题目要我去求a的平方啊，加上b的平方。啊，加上c的平方，它也等于一+1+1是等于三的。是吧，一+1+1=3，所以这个题目正确答案选择c选项。对吧，正确答案选择c选项好，这是第28题。那么，这道题目呢？呃。

这个方法一呢，是我们利用了这个恒等式的这个特点来去解题的。那当然，可能有的同学说老师啊，你这个我有个问题，那你这边列x=1。那原式中啊，原来这个等式中，你如果列x=1的话，这分母为零了，分母为零的话，那没有意义了。好，有的同学可能会有这个疑问。好，

这个以这个问题问的特别好啊，同学们，这个啊，这是一个呃。让很多同学有困惑的地方，大家注意了，我们把原来的啊，我们把原来的那个分式。去分母之后，变成了一个整式，这个整式本身也是一个恒等式。那么，通过这个整式，这个恒等式求出来的ABC，与我们原来那个分式里面那个那个那个分式等式对吧啊？

啊，得到了ABC那里面ABC是一样的，那个那个值是一样的，所以呢，我通过这个红色的框框，这个整式很等式。啊，我求出ABC的值，实际上就是我们啊，这个分式恒等式里面求出来的ABC的值，它俩是一样的，既然。ABC是一样的，所以我再去求ABC的值的时候啊，我就不会再去用原题中的分式的恒等式来去做题了。

我直接用这个红色的框框里面的这个整式的，这个恒等式啊，这个恒等式去求ABC的值，我通过这个，那么我就可以任意的取值。能明白吧。我再重申一下。因为啊，这个。来我看到。这边再用一个，大家看到这边有一个椭圆啊，椭圆的框框里面和这个啊椭圆圈起来的这个。呃。这这个表达式里面的ABC和这个红色的框框里面的啊，

这个长方形的框框里面的这个ABC的值是一样的。那么，我如果能够把这个红色的框框里面的这个ABC的值求出来，那么这个椭圆形的ABC里面是不是这值也就确定了？所以我们考虑的着眼点就变成了什么呢？就变成了这个红色的长方形的这个呃框框里面的ABC的求值了。而这个红色的框框里面的这个呃很等式呢，它没有分母，它可以任意的取值x想取什么值就取什么值。对吧，反正你求出来的ABC的值就是我们啊，就是我们的结果，对吧？所以呢，我就可以令x=1，

我令x=2，令x=3。明白吧，也就是说令x=1=2=3是啊，是让这个红色的方框框里面的。对吧啊，红色的这个长方形的框框里面的这个啊，这个等式中让它等于等于一=2=3，而不是让原题中的那个分式。让它啊，让它等于x=1=2=3，明白吧好，这是啊，这个疑问的解答。好，

这是第28题。那么下面呢？我们看到第29啊，那看到第28题的方法二。首先呢，把题目抄写一下啊x- 1。乘以x- 2^2。分之一。还要等于x减去一分之a。加上x减去二分之b。加上x- 2的。平方分之c。好同学们注意了啊，我们刚才的方法一呢，是从恒等式的角度来进行分析的，

下面我们看这个方法二呢，我呀，直接从左边出发。那我直接把左边的这个做做啊，我们做列项的变形好，同学们看到第一步。那x- 1啊，乘以x- 2^2分之一，我们可以把这个。分子啊。我们把它编一下啊。我们把它的分子变成x- 1，再减去x- 2，因为x- 1，比x- 2要大一。

所以呢，我把这个啊，把这个一啊，把它变成x- 1再减x- 2，然后这样的话，我就可以列项了。我就可以把它列成x- 1。乘以x- 2^2，分之x- 1再减去。x- 1×x- 2^2。分之x- 2。好，我们嗯。这边是一啊，这边是一，

这边是一好，这边一呃一约分之后就变成x，还剩下一个x- 2。对吧好，我们继续写，它应该是等于。它应该是等于x- 2^2分之一，然后再减去x- 1。乘以x减去二分之一。好，大家注意了，由于啊呃，我们x减一乘以x减二分之一，它又可以列项。对吧，

它又可以列项，它是怎么列项呢？我在这地方呢，跟大家写一下，它是等于x- 1。乘以x减二分之x减。啊x- 1减去括号x- 2，那么继续写它应该等于x- 1。乘以x减去二分之x减一，再减去x减去一，乘以x减去二。分之x减去二好，这边约分约分约分，它就变成了x减二分之一。减去x减一分之一，

对吧？所以呢，我们把这个结果啊，同学们。就把刚才这个列项的结果，我们再把它代入进来，它就变成了啊，它是等于x- 2^2分之一。减去括号x减二分之一，减去x减一分之一。好同学们注意了，我呢，用男士的笔把它重新整理一下，它应该是等于去括号啊，它应该等于x减一分之一。

减去x减去二分之一，再加上x减去二的平方分之一。是吧，那么这我们的第一步的工作就做完了，下面我们进入第二步。我们进入第二步，那刚才我们得到的这个结果是啊，原题中的等式的左边得到了。而原题中的等式的右边是哪一个呢？它的右边。它的右边是这一个。是吧，它的右边是这个，所以我是不是很自然的，我就可以得出来啊，

这个a是不是要跟这个一对上号了？对吧，这个c是不是要跟这边的这个一对上号了，还有这边这个b啊，注意了，要把这个负号连起来，是不是要跟这个负一？啊负一对上号了，是不是？所以那这个。去除这样的话，我们就可以得出来a是等于一的b是等于负一的c是等于一的，这样我们就可以得到a的平方+b^2。加c的平方是等于一+1+1对吧？它是要等于三的。

对不对？它要等于三，所以这个题目啊，正确答案选择c选项，那么第28题。啊，这两种方法都是我们在过去给大家讲过的，它是我们过去所讲的这个恒等式取特值以及列项。对吧，分式列项的技巧的一个实际应用啊，所以两种方法大家都掌握呃，我一般呢给同学们去讲解的时候啊。就是说啊，除了给一种常见的讲这个解题方法，给大家讲解之外，

可能我还会给大家呢，有些题目会讲两种方法对不对？啊，希望大家呢，讲了两种方法的题目，我们一定要两条腿走路，这样是最安全的，是最平稳的。好，下面呢？我们看到第29题。好，我们看到第29题。第29题呢？实际上，

跟第28题呢？它是非常相似的是吧？它是非常相似的呃。我呢，用方法一啊，先跟大家用恒等式的角度来解决它，我把题目先抄写下来。x减去五乘以x的平方减去十x加二十一十，大家注意了x的平方减去十x加二十一，我们是可以。因式分解的，它可以因式分解成为x- 3再乘以x- 7。是吧？分之这边呢，是8 x- 120。

它要等于x减去三分之a。加上x减去五分之b。再加上x减去七分之c。所以呢，他要我去求a+b+c的值，那么下面我们怎么做呢？我们先去分母啊，第一步。我们去form。去分母之后呢？这个呃等式的左边等号的左边呢？就变成了8 x- 120也就是。都乘以这个分母对吧？乘以x- 5×x- 3×x- 7对吧？啊，

那么左边就变成了8 x- 120，那么右边呢？就变成了a乘以括号。x- 5×x- 7啊，第二项呢？是b×x- 3再乘以x减去减去七。那么最后一项呢？是c×x- 3×x- 5。然后呢？我们啊这个时候啊，我想把它稍微你看呃上一道题目呢，我们是直接是。啊横等式取特值，当然我们这地方也可以横等式取特值啊。啊，

是不是啊？我们也可以用恒等式取特征，把ABC给求出来。对吧，那我们啊，有两下面又有两种方法了啊啊方法一。思路，一是恒等式取特值。啊，这是思路一。思路二。啊，就对比系数法。对比系数法，实际上我们已经用到了，

比如说像上面这个地方，我们要对比这个系数对不对？是不是要把这个系数对比上来？就是对比系数也是也也其实也讲到那么下面呢，我把这两种思路都给大家做一个示范，那么横等式取特值，我们可以另。比如说令x=5注意了，我们这个恒等式主要是看的哪个恒等式呢？不是看的原分式。含有分式那个横等式，而是看这个整式的恒等式，对吧？我用红笔写下来，这是一个恒等式。

对吧，这是一个横等式，那既然是横等式，那我就可以取特值了。所以令x等于五，我们可以得到左边应该是五八四十四十减去一百二十是等于。负80那么右边呢a×0对吧？是a×0+b乘以这个五减。三十等于二对吧？然后呢？五减七十等于负二，然后再加上c乘以零。对吧，再加上c×0，所以呢，

我们可以解得负80=-4b，对吧？负80=-4b，所以可以得到这个b是等于20。然后我们再来逆再来逆x等于多少呢？x=3那么左边呢？就变成了三八二十四对吧？我们看120-24。是要等于负的负的90啊，等等于等于96，也就是我们呃，这个24减去。啊24-120等于负的96是吧？等于负的96。负的九十六啊，

它要等于什么呢？它要等于a乘以啊三减去五是等于负二三减去七。是等于负四，然后再加上b×0，再加上c×0，所以我们可以得到。负96要等于负负8a。所以我们可以得到a是等于12的。好，我们再来令令x=7。啊，看起来很复杂，实际上没那么复杂，对吧？好多都消掉了啊，

那么我们看看120减去。这个呃五十五十六对吧？七八五十六这边是四啊？很六是不是64啊？是不是64啊？所以这边是负的64要等于负的64。要等于a×0+b×0，再加上c×7。七减三十四七减五。七减五十二，对吧？啊，这样的话，我们就可以得到负的64，它是要等于负的六负的64是等于。

啊，看一下啊，是等于8c的。是吧，等于8c那么这样的话，我们是不是可以得到这个c是等于负八呀？呃，这边呢，计算的时候啊，有个小问题，同学们有没有发现呢？就是说我们这个地方要把它纠正过来啊。负二乘以负四，这地方应该是正八，所以呢，

我们求出来的这个a同学们注意，它是等于负十二的。它要等于负12，我刚才写的这个时候，同学们有没有发现这个问题？像这个问题呢，就是说计算的这一块啊，同学们写的时候啊。比如说要养成习惯，要养成好习惯，像这种负二乘负四，也就是眼睛撇，就容易把这个符号搞错。但是呢，你搞错了并不可怕，

关键是你要能够就是说你在做的时候你眼睛在漂的过程中啊，对吧？扫描的过程中。对吧，把这个东西扫，你要能够意识到能够能够察觉到这个错误。然后再及时把它修正过来，那这样的话，我们就可以得到什么呢？是不是就可以得到这个a+b+c？它是要等于20加。加上负12，再加上负八，它是等于零的。对吧，

它是等于零的好，这样的话，这个题目呢，正确答案应该选择的是e选项。这是思路一啊，通过恒等式取特值，然后思路二呢，是对比系数。那么，这个对比系数呢？我们可以这样来。呃，我把上面这个。看一下啊。我把这个横等式呢，

我把它复制下来。复制下来之后呢，同学们注意了哦，这边呢，我把它展开，这边呢，应该是等于a的平方，加上b的平方。呃诶，我看一下啊。应该是a+b+c啊。它应该是等于a+b，加上c×x^2。是吧，然后这边是嗯，

减去括号。12a。呃，加上10b，加上8c×x。然后再加上。35 a+21 b+15 c。对吧，我们这边是8 x- 128 x- 120。那么这样的话，我们是不是就可以得出来啊？用红色的笔来写啊，我们可以得出来a+b+c。嗯，它是等于因为这边呢，

实际上相当于是零×x^2，加上这个。对吧，它没有平方项，左边没有平方项，说明什么？说明右边这个a+b+c要等于零。是吧，右边这个a+b+c是要等于零的。诶，可是这个题目大家注意了，它只要我去求a+b+c的值，那我是不是呃这个题目就做完了？如果说这个题目要我去求a，等于多少b等于多少c等于多少，

显然这个思路一它就更快捷一些。是吧，思路二那你得到了关于ABC的这个方程组，你还去解这个方程，它是比较耗时间的。所以说这两种方法，同学们注意了啊，这个方法一啊，方法一用恒等式的角度啊，那么我就跟大家讲完了，这个恒等式大家注意啊，这个恒等式呢，去求系数的时候呢？我又给大家讲了啊，两种思路对吧？

一种是恒等式取特值，第二种是待定系数法好方法一呢，我又把它。跟大家细讲了两种思路，那么下面我们看到方法二直接列项。我把这个题目先抄写一下啊x- 5×x- 3。乘以x- 7。分之8 x- 120。啊，它要等于x减去三分之a。加上x减去。五分之b加上x减去七分之c，好目标是要去求a加b，加c等于多少？对吧，

好同学们注意了，那咱们的第一步，我们准备列项啊，这个列项怎么去列呢？第一步呢，我们是要把这个分子啊8 x- 120，把它拆解成为啊。这个x- 5 x- 3和x- 1的啊，这种啊，相加或者相减的形式，这样的话，我们就可以列项。对吧，好那么怎么去拆呢？实际上这又是一个技术活，

所以这个方法二啊啊在解这道题目上可能难度，它就比方法一要。难一些它的技巧性比方法一也要多一些好，我们是这么来思考的，把它写成啊x- 5×x- 3×x- 7。我们要把这个8 x- 120呢，把它拆成什么样的格式呢？好，我这里写成这样x- 3×x- 5×x- 7。我们要把它拆成。啊拆拆成若干个x- 3啊若干个x- 5。和若干个啊，若干个x- 7就这个意思，那么这样拆解之后呢，我们就可以进行列项了。

对吧，应列项的话来大家看它的，我把这个思路跟大家说一下啊呃，它就可以列项成为。啊，可以把它列项成为我把这个复制过来啊。嗯。好，我们就可以把它逆向成为m这个三项，第一项是分子是m×x- 3第。二项是分子为n×x- 5第三项的分子为p×x- 7。这是不是就实现了列项啊？对吧？列项之后呢？又可以进行约分呐，

这个跟这个一约掉，这个跟这个一约掉，这个跟这个一约掉，然后再进一步的。列项下去。那么呃，进一步的列项下去的这个过程，我先暂时不写，我跟大家把这个mnp呢，把它求出来。啊，怎么去求呢？好，大家注意了，因为我们做的是恒等变形，

对吧？我们既然做的是恒等变形。说明这个啊，它是可以还原成为8 x- 120的，我们稍作整理一下，应该是m+n+p。啊乘以x减去括号3m，加上5n。加上tp。对吧，所以呢？我们对比系数。我们对比系数呢，可以得到。可以得到什么呢？

可以得到m+n+p，它是等于八的。那么，这个3 m+5 n+7 p啊，它是等于120的。对吧，等于120我们现在呢，把这个p把它给消元啊，把它消元消掉，所以呢，我这个。第一个式子呢，我都乘以七这边就是7m，加上7n，加上7p。

是等于56的用上面这个啊用。呃，我看一个啊，咱们用呃。用下面啊，用上面这个减去下面的啊，就可以得到。这边应该是4m，加上2n等于负的64。是吧，也就是2m。加上n是等于啊2m，加上n是等于负的32。对吧，那我这地方我就可以取值了嘛，

比如说我让m啊，我让m等于。嗯，比如说等于负看看我让m等于负负十吧。啊，可不可以负十应该可以对吧？或者说我让m等于负呃，比如说m等于负。这个15。对吧m=- 15n等于。n代进去是不是就等于负二了？对吧，然后把这个再带到第一个m+n+p=8是不是带到再带到这里面呢？我就进一步的可以求出。p了呀，

对吧？这是负17+p=8。负17+p是等于八的，所以p就等于25。p=25那这样我是不是就求出一组结果来了？对吧，注意了，这个mnp有无穷多种情况啊？有有很多种不同的结果啊，我们就把这个。把它带进来。注意了m是负15，就这个m是负15。这个n呢？是负二这个p呢？

是25。对吧，那这样的话，我们经过这个。这个求出来的，这个过程我就把它擦掉了啊。求这个mnp的过程就把它擦掉，这样的话我们就得到了一个什么表达式呢啊，它是等于x- 5。乘以x- 7分之这个负15对吧？这边呢是加上x- 3×x- 7。七分之负二，然后再加上x减三乘以x减五分之二十五。这是可以进一步的列项的，对吧？

这一步的列项我就不往后写了，我只是告诉大家这个思路。是怎样把这个分母中有三个一次多项式相乘的？这种分式把它列项的我们列成两个之后两个。对吧，它是可以，比如说这个又怎么去列项呢？这个怎么列项呢？这个是不是应该等于负十五乘以啊？这x减五和x减七隔两个隔几个就乘以几分之一乘以二分之一，对吧？乘二分之一，再乘以多少呢？再乘以x减七分之一，减去x减五分之一，

再加上这后面的是类似的啊，是类似的。这样的话，是不是就把它列成了列成了若干项啊？对吧？列成了这个分母为x- 3，分母为x- 5，分母为x- 7的分式，再合并同类项。对比系数就可以求出ABC的值来了，但是这个呢，它会它的技巧性很强啊啊，它要去。通过方程的思维求出mn求出m的值n的值和p的值。所以方法二呢，

我只是把这个思路给大家做一个提示，同学们呢，自己下来执行操作一下啊，重点是掌握这个方法一。好，这个方法二我再说明一下啊，我主要是把这个思路跟大家提示一下，你显然在考试的过程中，这个方法的话。技巧性太强，运算量它就上来了是吧？这个在考试过程中可能就不适用于这种方法了，那为什么我要跟大家把这种方法提示一下呢？是因为对吧，我们只有对比啊，

我们只有你看上面的第28题，我们用这种方法。好像很快，但是这道题目我们用这个方法好像又呃，虽然说能走通，但是呢啊，能够做题对吧，但是呢？它的复杂程度就高一些了，所以为什么我们要掌握两种方法呢？是因为考试的时候可能一种方法呢？对有的题目，它特别快啊，有的题目它就不那么快了，所以呢，

我们要掌握两种方法啊。啊，选择在考试的时候，并且我们要熟练掌握它，这样的话，在考试的时候我们选择合适的方法来去解题。好第这个考点24这三道题目呢，我就给大家呢，讲到这里啊，下面呢，我给一点时间，大家快速的消化啊。快速啊，消化一下我们这三道题目。好同学们，

那么下面我们继续接着讲解，大家看到考点25。首先呢，给大家复习一个这个啊技巧啊，比如说我们如果看到了a加b分之AB。比如说它等于三分之一，像这种呢，我们不好去操作，对吧？我们可以有两种变形。啊，有两种变形的思路和技巧。技巧一。把它倒处画。倒着画，

那这边应该是AB分之a加上b是等于三的。对吧，我们在列项就变成了AB分之a。加上AB分之b是等于三的，这样我们就可以得出来b分之一加a分之一，也就是a分之一加上b分之一，它就等于三了。对吧，这是第一种。啊，这是技巧一。那么下面呢？我们看到技巧二。呃，我们可以把它整式化。

整式化的意思呢，是指那我们交叉相乘就可以得到得到这个3 AB是等于a+b的一项可得。这边就变成了3 AB。是吧，3 ab-a再减去b啊，3 ab-a-b是等于零的。就变成了这么一个呃，这个表达式嗯，同学们有些式子啊。啊，我们这么变了之后，它是可以进一步的，就是抽象进行因式分解的，我跟大家举个例子。啊，

比如说出现了。比如说出现了这个9 AB减去啊，9 ab- 3 a- 3 b=0的，这种情况的话。啊，我们就可以进一步的左右两边都加上一，那么就可以得到什么9 ab- 3a？减去3b加上，一是等于一的。对吧，这是。我们做一个示范，那么我们可以。分解因式这边写上3a，这边写上3b，

这边写上负一负一对吧？交叉相乘正好是等于这个一次项。所以呢，最终可以得出来3a，减去一×3b减去，一是等于零的。这是整式化的技巧。当然，我们这边呢，它是三，它不是九，对吧？这个系数也不一样，那我只是要主要是通过我们额外举的这个例子，这个示范告诉大家，

它是可以这么去操作的。好，那下面呢？我们看到这个。例30。题目呢，告诉我们。题目告诉我们AB除以a加上b是等于三分之一的，我们倒数化。啊，可以得到，应该是AB分之a加上b等于三好，我们列项可以得到。AB分之a。加上AB分之b是等于三的好，

那么这样的话，我们约分之后可以得到a分之一加b分之一，本来是b分之一加a分之一，对吧？对吧，加法满足交换律啊，也就是a分之一加b分之一了，它是等于三了。同样的道理，这边呢是BC分啊BC比上b加c是等于四分之一的。那么，我们可以得到BC分之b加c是等于四的，所以我们可以得到BC分之b。啊，加上BC分之c等于四，

所以可以得到b分之一加c分之一是等于四的。第三个已知条件。c加上a分之CA，它等于五。五分之一对吧？这样的话，我们可以得到CA分之c，加上a等于五，所以可以得到。CA分之c加上CA分之a是等于五的，这样我们是不是可以得到c分之一啊？加上a分之一是等于五的。好，这是我们的第一步。那么下面我们看到第二步。

第二步呢，他要我们去求ABC比上AB+BC，加上CA等于多少呢？我设它为x。那么，我们也把它倒数化，是不是就可以得到这个x分之一？它就要等于AB分ABC分之。AB+BC。加上CA对吧？那么这样的话，是不是就可以得到啊？我们稍微化一下减对吧？把它列项这边就变成了。啊，

这边就变成了ABC分之AB。ABC分之AB加上ABC分之BC加上ABC分之CA。对吧，我们一化简啊，调整一下顺序就可以得到它是等于a分之一，加上b分之一，加上c分之一。是吧a分之一加b分之一，加上c分之一。那么一看到这个，我很自然的，是不是要把这个上面这一步得到的这三个进行累加呀？对吧，我们圈一加上圈二。加上圈三，

我们就可以得到，应该是两倍的a分之一加b分之一加c分之一。是等于三+4+5的。对吧，所以我们就可以得到啊，三加四加五等于十二十二除以二等于六，所以a分之一加b分之一加c分之一，它是等于六的，那也就是说这个是六了。对吧，所以我们就可以进一步的得到这个x分之一，它是等于六的。所以x是等于六分之一，对吧？所以这个题目正确答案是一选项。

那么，这道题目呢？呃，表面上看起来实际上是个呃，它的考点呢？非常的简单，就是倒数法。对吧，就是这样，用这种倒数化的这种技巧来去解题。但实际上呢，我们这个题目。你不用这种方法去做呢，可能还会有一点难度，或或者说你很难找到突破口。

对吧，这个题目也是一个难题。所以说有的时候啊，这个数学中的难和易，它是相对的。你看起来很简单的东西，它隐蔽起来，编个题目，如果你这个没有做好相应的啊，这种。这种学习对吧？这种预备那么你可能根本连突破口都找不到。好，这是第三啊，第30题好，

下面呢，请同学们看到第考点26。我们看到考点26，首先呢，我给大家呢复习一下基本公式。第一个公式呢，是平方公式。我们知道，完全平方公式呢，是a+b括号的平方，它是要等于a的平方。加b的平方，再加上2 AB的，我们稍作变形，它就变成了a的平方。

加b的平方，它要等于a+b括号的平方减去2 AB。然后我们再让令a等于x对吧？令b等于x分之一，所以x的平方加x的平方分之一。那么，它是要等于x加上x分之一的平方减去二AB对吧？二乘以x乘以x分之一就是二了。所以呢，同学们注意了啊，这个。这个公式呢，比较重要，我用这个红色的框框给大家把它框起来。好，

这是平方公式。那么下面呢？我们看到立方公式。啊立方公式呢是a+b括号的三次方，它要等于a的三次方。加上b的三次方，加上3 AB括号a+b。好，我们一项可得。a的三次方加b的三次方啊，它是等于a+b括号的三次方减去。三AB乘以a加b，然后我们现在再让a等于x让b等于x分之一。所以a的三次方就是x的三次方b的三次方就是x的三次方分之一，它应该要等于x加上x分之一的三次方。

减去三乘以x乘，以x分之一就是三了，对吧？然后a加b呢？就是x加x分之一。对吧，这样的话，我们就得到了一个。好，这样的话，我们就得到了两个公式，一个是平方公式，一个是立方公式。好，接下来请同学们跟着我一块把这两个公式再重复一下。

我们换一页。好，大家跟着我一块把这两个公式再。再熟悉一下。我们加粗。x的平方+x^2分之一，它是等于x加上。x分之一括号的平方再减去二的，这是第一个。第二个是x的三次方，加上x的三次方分之一，它是等于x加上x分之一。括号的三次方减去三倍x，加上x分之一。对吧，

那么这两个公式，你看它起什么作用呢？如果要我们去求x的平方，加x的平方分之一的话，我只需要知道x加x分之一就行了。如果要去求x的三次方加x的三次方分之一，我其实也只需要知道x加上x分之一等于多少就行了。对吧，那么考试的时候有可能呐，它会告诉x的平方+x^2分之一的值，要我反过来去求x的三次方加x的三次方分之一的值等于多少？那我是不是还是要通过？平方的值求出这个x加x分之一的值，然后然后再来去对吧？再来去求三次方加三次方分之一的值啊。

下面请同学们看到例31这道题。好，我们看到例31。第31呢，这道题呢，你看它就是呃，有平方加平方对吧x的平方+x^2分之一。再减去三x，减去x分之三，再加上二等于零，那么首先呢？我们做一个简单的变化x的平方，加x的平方分之一。我把它括起来。然后呢，

再减去三倍的括号x，加上x分之一，再加上二是等于零的。我们知道对吧？这个x我干脆这样吧，换元嘛，因为x的平方加x的平方分之一，它是等于x加上x分之一的平方再减去二的。对吧，我如果是设。这个x加上x分之一等于a。那么，同学们则。这个x的平方加x的平方分之一就等于x加x分之一的平方减二，所以要等于a的平方减去二。

对吧，那么代入到这个我方程里面对吧，从而我们可以得到a的平方减去二。再减去3a，加上二是等于零的。对吧，这样的话，我们是不是可以得出来a的平方减去三a是等于零的好我们？得到啊a×a- 3=0，所以我们可以得到a=0或者是三。对吧，那么下面呢？我们来验证一下。啊，我们来验验证一下啊啊。

就是检验啊，这叫做检验。那这个a=0或者是三对吧？哪一个能要哪个不能要，还是让两个都能要呢？那我们来看一看啊，当a等于。当a=0的时候。我们可以得出来x加x分之一等于零，两边同时乘以xx的平方加一等于零。这显然是不是要舍掉，因为x的平方是非负数，它是大于等于零的，那么x的平方+1。那它大于等于一，

它不可能等于零，是不是对吧？所以呢？所以呢，这a它只能等于三了，对不对？所以a它只能等于三，明白吧？a=3，好，那么接下来。啊及x加上x分之一是等于三了。那么下面呢？我们进入到第二步x的三次方加x的三次方分之一。我们把公式写出来，

它是等于x加x分之一的三次方减去三倍的x加xx分之一。把数据带进来，它是三的三次方减去三×3，它应该是等于27-9是等于18。对吧，所以这个题目啊，正确答案选择的是c选项。选择c选项。对吧，你看这道题目中它是不是一下子把平方公式和立方公式是不是全部都考到了？对不对？它全考到了好，接下来我们再看一看它的其他变形，我们看到第32题。已知条件告诉我们x的平方减去三x，

加上一等于零。我们的目标是要去求x的平方，比上x的四次方加x的平方+1的值。我们怎么办？我们把分子分母同时除以x的平方。是吧，把分子分母同时除以x的平方，分子除以x的平方就变成一了，分母除以x的平方就是x的平方，加上一再加上x的平方分之一。好，我们知道看到这个啊，这是我们的，这实际上是我们的一个分析了，对吧啊啊？

上面的是已知条件，下面的是我们要求的，我们做了一个很多变形，我们继续写，那么这边可以写成x的平方，加x的平方分之一，再加上一分之一。好，我们再做变形，它应该是等于x加上x分之一的平方减去二对吧？再加上一。分之一，所以我现在是不是要想办法求出x，加上x分之一的值等于多少啊？对吧，

好下面呢我们。我们把它变一下形。那我们把它变一下形。那一项可得x的平方，加上一它是等于3x的，显然x对吧？肯定是不等于零。对吧，因为把x=0带到这个等式两边，它左右两边是不相等的，所以在两边同时。啊，同时。除以。两边同时除以x，

对吧可得？x的平方加上一除以x，它是等于三的，我们列项可得x加上x分之一是等于三的。那么这样的话，我是不是把这个再带到这里面来呀？对吧？我就把这个带到这里面来，它应该是等于三的平方减二加上一。分之一啊，应该是等于九减二加一对吧？九减二加一是不是等于八了？所以这边应该是等于。八分之一啊，等于八分之一，

所以这道题目啊，正确答案选择a选项。正确答案选择a选项。好同学们，我们在这地方呢，给大家做一个小结。已知啊，已知x的x加上x分之一是等于等于三的。则同学们注意了。第一个呢是x的平方。嗯x的平方+x^2分之一等于多少？第二个是x的三次方，加上x的三次方分之一等于多少？第三个是x的四次方加x的四次方分之一等于多少？第四个是x的五次方加x的五次方分之一等于多少？

对吧好，那这个我们。我们怎么来？好，大家来看一看啊，那么这边呢？我们给大家呢，重新再分析一下啊。首先x的平方加x的平方分之一，它是等于x加上x分之一的平方，再减去二的。所以代进来是三的平方减二，应该是等于九减二四等于七，所以第一个是等于七。对吧，

我们再看到立方x的三次方加上x的三次方分之一，它是等于x加上x分之一的三次方。减去三倍的x加x分之一，它是等于三的三次方减去三乘以三。它是等于27-9，是等于18的，所以第二个是等于18。那么第三个呢？是四次方对吧？x的四次方加x的四次方分之一，我们可以把它写成x的平方，加x的平方分之一。啊，括号的平方再减去二。对吧，

这个公式大家要注意把它带进来，应该是七的平方再减二=49-2是等于47的。好，我们再看到最后一个。所以这边是47。我们再看到x的五次方，加上x的五次方分之一，它是等于x的平方。加x的平方分之一×x的三次方啊，加上x的三次方分之一。这个展开之后呢，有些多余的项对吧？它出现了x的五次方加x的五次方分之一，但是它有些多余的，我们把这个多余的项把它减掉。

多余的应该是减去括号x，加上x分之一，大家可以实际操作一下啊。所以呢，我们把数据带进来啊，应该是等于七。乘以18。七×18再减去三。对吧，七八五十六一七得七啊，126-3，所以等于123。对吧，这边是123啊，思路是这样的，

大家看看验算一下，看有没有计算错误的，大家自己可以从头到尾再操作一遍。好，下面呢？我给点时间，大家呢？把我们刚才所讲的刚才所讲的考点26和考点啊，考点25和考点26的这几道题目快速的。复习消化一下，包括这个小结的内容，大家自己时间操作一下。好同学们，刚才呢，给了一点时间啊，

大家来理解和消化考点25和考点26的内容，那么下面我们继续接着往前讲解，大家看到考点27。首先呢，给大家把相关的基础知识做一个复习。啊，第一个复习要点呢是。这个。分数啊。就是一个资源分数，它的分子分母都是。啊，都是大于零的啊，正分数啊，或者这么写吧。

一个正分数a分之一。那显然，这个s大于零的，它才是个正分数，对吧？这个分母。分母越大。这个分数值a分之一就越小。就是这个分母a越大，那么这个分数a分之一就越小。相反。这个分母a越小。这个分数。a分之一就越大。对吧好，

这是。正分数啊，特别强调一下，我们一定要指出来，这是个正分数。如果是符号是负的，是个负分数，那这就不对了。所以一定在正分数内范围内考虑才是这样的。好，第二个要点是。第二个要点是我们在一元二次方程中。啊若。关于x的。啊，

关于x的一元二次方程。ax的平方+bx+c=0。它有实数根。它有实数根。那么，这个一定可以推出来，它的判别是德尔塔等于b方减4 AC是大于等于零的。啊，这叫判别式啊。啊，判别式大于等于零，对吧？也就是判别式啊b方减4 AC是要大于等于零的。那么下面呢？我们。

通过例题来给大家示范，我们看到第33题。这是一个条件充分性判断的题型，它的结论说，分式的最大值是一。那么条件一。啊，条件一呢？这个分数的值是x的平方减去四x，加上五分之一。好，我们做恒等变形，首先啊，这个分母呢，我们先配成一个完全平方，

应该是x的平方减四x，加上四。对吧，然后再加上一它是等于x减去二的平方，加上一分之一。好，大家注意了，因为x- 2^2+1啊，注意了完全平方是具有非负性的，所以它是要大于等于零，加上一。也就大于等于一。既然你分母是大于零的，所以这个分数啊啊，同学们注意，

所以这个分数的值肯定是。啊，对吧？这个分数的你分母都大于等于零了，你分分子又是一，那么这个分数肯定是一个正数，一个正分数。而这些分数跟大家讲过了，它的分子是一分母越大，那么它的分数值就越小，分母越小，它的分数值就越大。而这个分母的最小值是一，最小值是一，说明这个分数的最大值是一，

对吧？所以它要小于等于一分之一等于一。及啊，故x的平方减四x，加上五分之一。它的。它的最大值。它的最大值为一，所以这个是能够推出结论来的。对吧，它能够推结论。好，下面我们看到第二步。第二个条件。x的平方+6 x+10。

加上十分之一。这个呢，应该是x的平方，加上6 x+9这个配成一个完全平方。再加上一对吧，作为分母分子是一，那么我们把配方之后的结果写出来是x加上三的平方，再加上一分之一。好，由于x+3^2，这是个非负数，它是大于等于零的，那我加上一之后是不是得大于等于一啊？对不对？所以同学们注意了，

我们说啊，一个正余分数，它的分子是一，它的分母越小，它的分数的值就越大，它的分母最小为一，说明它的分数的值。最大为一分之一，所以它也小于等于一分之一等于一，对吧？所以故这个x的平方。加上六x，加上十分之一，它的。最大值为一，

他也是能够推出结论来的。好，那么这边的这个配方啊，以及非负数的啊，这个最小值，我就把它框起来啊。那么大家看你看两个条件，它单独都能够推结论，按照我们条件充分性判断的题型规则。那么正确答案是不是应该是选择4d选项，对吧？选择4d选项。好，这是第33题，下面我们看到第34题。

我们看到第34题。这个他要我们去求分式的最大值。首先，我们看到第一步。我们设我们设a等于。四x加上三分之二十，四x加上三除以x的平方减去二x加上三。那么，这个题目是不是目标是去求a的取值范围？求a的最大值？对吧，目标是去求。啊求a的最大值。对吧，我们要去求a的最大值。

那么这个我们怎么去呃？这个问题我们怎么去处理呢？好，所以我们注意了我们的思路是这样的。那我们相当于是做了一个转化，对吧？我们把它乘过去。那么a乘以括号x的平方减二x加上三，它是等于四x加上三的。我们整理一下，那就可以得到a×x^2减去括号2a。加上四×x啊，加上3 a- 3=0，对吧？a×x^2减去两倍的嗯a+4×x+3 a- 3=0。

那么，这是一个啊，我们这个时候我们分分类讨论啊。我们分着讨论第一种情况呢，是a=0的时候对吧？a=0的时候，那这个时候x是等于？负的四分之三对吧？也就四x加三等于零x是等于负的四分之三对吧？这有个对应关系，也就是说当x等于负的四分之三的时候a是等于零的。对吧，第二种情况a不等于零的时候。对吧a不等于零的时候。那由于x它是实数嘛，

对吧？那么说明什么呢？说明这是一个一元二次方程。对吧a不等于零的时候，这是。一元。二次方程，因为x的平方项系数不等于零了，并且。x为实数。对吧，我们反过来来考虑这个问题x是实数，那说明它的判别是德尔塔是不是得大于等于零了，它的德尔塔应该是等于。啊，

在这边应该是等于这个啊，负括号2 a+4啊负的括号。2a+4^2-4a4×a再乘以。啊，再乘以3 a- 3，它得大于等于零。好，这样的话就得到一个关于a的不等式，我们解这个不等式，那我用蓝色的笔啊，在这边。啊，进行计算一下，也就是得到了这边是四倍的括号a+2^2。啊，

要大于等于要大于等于12倍的a×a- 1，咱们约个分。这个约掉之后，这就是三对吧？两边这个都把它展开，这边是a的平方加上。四a加上四啊，加上四要大于等于a的平方减去a。a的平方减去a。好，我们进一步的是不就给大家说呢呃。注意啊，这边是三a的平方，因为我们约掉了四之后应该是三a的平方减三a了。对吧，

三a的平方减三a，这个三不要漏掉了，好基因一步的移向应该是全部都移到把左边的都移到右边来，应该是。零要大于等于零，要大于等于二a的平方减去七a减去四。好这样写呢，不方便我们看啊。啊，也就是得出来二a的平方减七a减四，它得小于等于零，我们因式分解啊，因式分解这边一二。这边是四一负，所以我们分解出来的结果是a- 4×2a，

加上一小于等于零。所以我们可以得到这个a小于等于四，对吧？小于等于四，大于等于负的二分之一。a小于等于四，大于等于负的二分之一。那么，这个a的最大值是不是就是四了？并且我们还可以求出a的最小值，对吧？a的最小值是负的二分之一。是吧，所以这道题目正确答案选择b选项。选择b选项，

他的最大家注意啊a的最大值a的最大值。啊，对a的最大值是四。你看这道题目，它的思路是不是非常的巧妙啊？对吧？他把一个分式求最值的问题转化成为了。一个一元二次方程有实数根，然后利用判别式德尔塔大于等于零得了一个关于a的。不等式，这个不等式呢？这个一元二次不等式对吧？按照一元二次不等式的求解方法，解出它的解集呢？我们就可以得到a的取值范围最大是四，

最小是负的二分之一。也就说，它的最大值和最小值，咱们是不是都能解决啊？都能用这种方法都能去解决它。好，那么下面呢？我给点时间，大家把考点27啊，涉及到的这个分式的最值问题啊，两道例题，大家快速的理解和消化一下。

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