05.课件5-数学基础班第4讲（下）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-5 09:36:36

好同学们，我们在第四讲的前半部分呢，已经给大家呢啊，讲到了考点20因式分解这一块儿。那么，还有一个考点21呢呃，我们现在呢，给大家再补充上来，好大家看到讲义上的考点21因式定理和。于式定理，首先呢，我们把基础知识给大家先做一个复习。在前面呢，我给大家呢啊，已经讲到了这个多项式的竖式除法，

它对应的一个横等式。它对应的是。被除式。等于。除四。乘以啊，除四乘以商四。再加上。于是。那么在这里面呢啊，这个式子呢，实际上对应的我们小学所学的被除数等于除式啊，除数乘以商加余数，对吧？啊，

我们现在呢，把它变成把它拓展到多项式的除法里面，得到这么一个横等式，下面呢，我再给大家呢，举一个例子，比如说这个被除数啊，这个被除式。啊，比如说啊，倍数式是等于x的三次方啊，减去3x的平方，再加上3x，再加上五。然后这个除式是多少呢？

这个除式是x- 1，那么现在我就可以想办法把这个商式求出来。把这个余式是不是在求出来，商式就填到这边，余式待会填到这，那么怎么去完成这个过程呢？我就可以用多项式的竖式除法。啊来，我们把它写下来啊，倍数式是x的平方啊，对x的三次方x的三次方。减去3x的平方，加上3 x+5，然后我们除以x- 1。大家注意了，

由于这个被除式啊啊，我们写的时候一定啊，一定要按照降幂排列，按照三次方二次方一次方和常数项。对吧，然后呢？这个除式呢啊，也是按降位排列除式有两项，我们在被除式啊，在商的时候要对应的被除式中也要数两项。对吧，也要数两项能明白吧，也要数两项出来啊，数两项，然后在这上面开始上商x的平方商多少呢？

啊，是有个依据的，要确保把我们的这个最高次项把它抵消，对不对？算x的平方，那么x的平方啊，乘以这个x- 1这个除式好得到的结果写在下面。应该是x的三次方减去x的平方。减去x的平方。好，我们用上面的减下面的，这边应该是负2x的平方，好把这个上面再调一下下来。把它掉下来就是写下来就是加上3x。然后我们现在呢在。

减去啊，再商负2x对吧？商负2x把它移项过来，那么这边呢？应该是。我们公式里边来写二。那么这边应该是呃负2x跟这个除式相乘啊，跟这个除式x- 1相乘得到的结果写在下面。那个负2x的平方，加上2x。好，我们用上面的减去下面的，这边应该是x好，把上面这个五把它调下来，好，

我们再来开始商商多少呢？应该上加上一对吧？加上一，所以这边呢？应该写上x- 1好，我们继续写。把这个上面的减下面的，它是等于它是等于六的，对吧？所以呢，我们就可以得到啊，这个这个就是商。是吧，这也就是商事。啊，

这个呢啊，这个呢，就叫做余式，因为它就是一个式啊，它因为它就是一个啊数啊，所以呢，你也可以把它叫做余数。如果它是个表达式，是个代数式，还有x的代数式，多项式对吧？那么我们就把它叫余式，如果它是个具体的数字，我们也可以把它称为余数。好，

那么这边呢？我们把它写过来，应该是x-1×x^2-2x+1。那么，加上了常数项，应该是加上六。应该是加上六好被除式等于除式乘以商式，加上余式好，这是它的恒等式好，下面呢，我们再看到。我们看到第二个啊，我们看到第二个。嗯，我们现在呢，

把它进一步的提炼，我们设备除是。啊，我们是被除式为fx。对吧，然后设除式。除四为x-m。啊，那么则恒等式就变成了什么呢？变成了fx要等于x-m。乘以乘以商四，再加上余四。对吧，乘以商四，再加上余四这个恒等式依然是成立的，

对不对？恒等式就是说不管你被除式是多少啊，除式是多少，我是不是都能够保证它是成立的这个恒等式，对吧？被除式等于除式乘以30加余四。这是永远成立的。所以你被除式，我们设为fx÷10设为x-m，那么我们这既然是一个恒等式，对吧？我们同学们注意了，我们就可以取特值。好，我们另。

令x=m，则我们可以得到什么呢？我们可以得到好，我用红色的笔来写这个。把x=m带进来，那么这个fx呢？呃，它就等于FM了，把x=m带到那个fx的表达式里面啊，就是FM。FM它要等于什么呢？它要等于m-m乘以商四。对吧m-m乘以商四，然后再加上余四。嗯FM=xm-m乘以商四加上余四，

而这一个同学们注意了啊，画波浪线的这个是零乘以商四，它是零了，对不对？它是零。对不对？它是等于零的，所以呢，我们就可以得到。我们可以得到叫做什么呢？FM是等于余式的。对吧，等于余式那么同学们注意了，这样的话我就可以提炼出一个定理叫做啊，叫做余式定理，

余式定理，也就是说多项式。好，那么我们提炼出来啊，叫做多项式fx。除以x-m。它的余式为。它的余式为FM对吧？它的余式就是FM。啊，那么第四个呢？是啊，这个就叫做啊余式定理好，那么这个我们进一步的考虑，这个余数为特殊的情况，

就是余数为零的时候。对吧，它除尽了。好，我们继续写，大家要啊，要学习呃，我是如何从最浅显的原理，对吧？被除式等于除式乘商四加余式，怎么一步一步的把这个？比较难的，这个点跟大家啊，引导出来的好，我们再来看啊啊，

多项式。fx.能够。能够被x-m所整除。那么，这句话啊，注意啊，能够被x-m整除这句话呢，也可以理解成为什么呢？及啊及有因式。有因式x-m。对吧，有因式fx，有因式x-m。好，

这这我们可以得到什么呢？那么也就是说，你能够被x-m整除，就说明它的余数为零。是不是是不是就是FM要等于零呐？对不对？好同学们注意了，这个蓝色笔写的内容和呃，这个红色笔所写的内容啊。啊，对吧？它是这四个复习要点中，它是比较重要的，其中落脚点。第三点和第四点，

其中第三点就叫做余式定理研究，余式的定理叫做余式定理研究，因式的定理叫因式定理，对吧？好，我再小结一下多项式fx÷x-m的余式为FM。啊，于是为FM。我我们再举个例子来说啊，刚才啊，同学们注意了，刚才我们是不是呃给大家研究了？呃。啊，刚才是不是给大家研究了这个啊？

多项式啊，多项式x的三次方啊，我们是fx是等于x的三次方。减去3x的平方，加上3 x+5，对吧？这个多项式除以。啊，它除以。它除以x- 1的，余是为多少呢？它余数为多少呢？那怎么去求呢？我们可以用多项式的竖式除法去做，对吧？

好，我们这边就有多种方法了，方法一。啊，我们可以用竖式除法去除。对吧，我们可以用竖式除法来求这个余式。对不对啊？这是方法一。方法二呢，我们可以用余式定理。对不对？我们可以用余式定理来去求。啊，余式定理怎么去求啊？

因为我们刚才已经跟大家讲过了，它的余式对吧？它的余式是不是应该要等于呃你除以x-m？就是它的余式就等于FM，你除以x- 1，它的余式就是f1对吧？能明白吧，是不是x- 1相当于是m=1了，对不对？所以就是f1了，把f1的意思是指把x=1。带到fx这个表达式里面，我们把它带进来，应该是一的三次方减去三×1^2，加上三×1，

再加上五。咱们计算一下，应该是一减去三加上三加上五是等于六的，你看够我们求出来这个结果六。对不对？求出来，这结果六是不是完全一样的？所以同学们注意了这个多项式的竖式除法呢？我们可以证明啊，可以推导证明出余斯定理来，而余斯定理呢？啊，它去求余数的时候啊，比这个多项式的竖式除法是不是来的更快呀？多项式的竖式除法你还得除一下。

这个余时定理呢，你直接把这个数字带进去计算就行了。明白吧好，这是。这是给大家讲的，这个复习要点下面呢，请同学们啊，看到我们讲义上的例题。我们通过这个例题啊，来给大家啊示范。它的应用。好，我们看到例21。这道题目呢？它说x的，

那我们这样吧设。fx是等于x的三次方，加上ax的平方。加上bx啊，加上八。它有因式是x- 1和x- 2，要我们去求3a啊，要我们去求。3 a+b。好第一步。第一步，同学们注意了，它有因式x- 1说明什么啊fx。有。有因式x- 1，

那么说明fx÷x- 1的余数为零。是不是啊？所以呢，就是就可以得出来f1就是f1是等于零的。好，那么我们进一步的来看fx呢？它有因式。它有因式x- 2说明fx÷x- 2的余式为零。对吧，有因式就表示能整除，能整除就是余数为零。那么，于是为零是不是就表示f2它要等于零呐？对吧？这个地方是不是就用到的？

我们刚刚给大家复习到的，最下面这个点呐。是吧，最下面这个点啊，第四点。好，那么下面呢啊，这个第一步的工作呢，实际上我们就已经做完了，对吧？就是一个因式定理的应用。那么，第二步我们来算一算这个f1，就是把x=1带到上面这个表达式里面，它应该等于一的三次方。

加上a×1^2，加上b×1，再加上八，它是等于a+b啊加上九。是等于零的。好，然后然后我们再看到f二把x=2代进去二的三次方好，这边是二的三次方。加上a×2^2，加上b×2好，再加上八这边呢，是等于4a。加上2 b+12是等于零的。好同学们，这是我们的圈一，

这是我们的圈二，我们两个未知数，两个方程，我们是可以求出a和b的值来的。由于这道题目中他要我们去求的是3 a+b等于多少诶，我发现了我们整体考虑。可以直接求出3 a+b，根本就不需要去求AB的值了，对吧？比如说我们直接用圈二减去圈一。左边减左边等于右边减右边，对吧？这两个方程，左边减左边等于右边减右边，左边相减对吧？

是不是应该是4 a-a四=3a？2b-b是等于b，所以3a+b，然后这边呢是12-9是等于三三a加上。哟呃，这地方我还有点小错误啊，同学们注意了啊，有点什么小错误呢？因为这个二的三次方啊，我刚才。看成是了，这是不对的，应该是八，也就是说我们这地方八+8应该等于16，是不是八+8=16，

所以这地方。啊，发现这个错误，马上把它改正过来，所以应该是16。减九是七=0，对吧？这样的话，我们继续往后，所以我们可以得出来，应该是3 a+b是等于。负七的，因此这个题目正确答案选择4d选项。好，这是方法一那么下面呢，

我们再给大家讲一个讲讲一个方法方法二啊。呃，我们刚才说过了啊，这个因式定理余式定理，它都是来自于竖式除法的。所以既然你都来自于竖式除法，那么你能用因式定理和余式定理做的题目，我也可以用竖式除法去做，像这个题目对不对？所以我们尝试一下啊。方法二，好方法二，那么我们用竖式除法，所以呢，我们先。

把它除一下啊。咱们先把它除一下，这边呢是x的三次方，加上ax的平方。加上bx。好，再加上八，然后这边呢啊，因为它有因式x- 1和因式x- 2，所以我把这个地方啊，我得先转换一下啊。啊，第一步。就是x的三次方，加上ax的平方。

加上bx。加上八。它有。他有因式x- 1。与x- 2。好它有因式x- 1和x- 2，那么说明什么说明啊啊？我还得运算一下啊，说明什么x的三次方？加上ax的平方，加上bx，加上八，它因式分解之后可以是写成x- 1乘，以x- 2再乘以一个，其他的一个表达式。

对吧，这个表达式是多少我不知道。那么这样的话，我就进一步的可以得出来，那它是注意我，我往下写一步，它是等于把它展开，就是x- 1×x二，我把它乘开。应该是x的平方减去三x，加上二再乘以一个。多项式。也就是说x的三次方加上ax的平方，加上bx加上八，它有因式x的平方减三x加二。

对吧，也就是说啊，他能够被。x的平方减去啊，减去3x，加上二所整除。对吧，能够被这个。对吧x的啊，三次方加上ax的平方+bx+8能够被它整除。好同学们，那么这是我们解题的第一步。好它能整除那么下面呢？我们看到第二步。既然你能够被整除啊，

所以我用多项式的竖式除法来除一下，对吧？这边呢，除以x的平方。减去3x，加上二好，大家注意了，除的时候啊，这边有除是有一项两项三项，所以我的这边数一项两项三项在这边开始商商多少呢商x？把这个x跟除式相乘，乘到了结果写在这三个勾的下面，对吧？也就这边是x的三次方。减去3x的平方，

加上2x。好，加上2x那么用上面的减去下面的啊x的三次方，它就抵消了，那么这边应该是。a+3×x^2。加上括号b- 2×x好，这已经有两只剩下两项对吧？然后把最后这个八把它。掉下来。好，这样的话构成了三项，这个时候我们再来上，由于它啊，同学们注意了，

由于它能够被整除，说明它的余是为零。啊，它的余数为零，这个时候大家发现x的平方前x的平方前面的系数a有个有个字母啊a+3。x的前面系数有个b- 2，那么这个常数项是不含有未知数的是八？而我们的这个除式里面这个二也是不含未知数的，所以呢，我们这个时候啊，由于它能够整除余数为零，所以我们应该以。这个常数之后，我们的啊，这个标准来去做商，

那商多少呢？显然我这地方要恰好整，恰好能够减掉，对吧？能整除没有？于是所以我是不是得商四啊？所以这边应该是4x的平方，减去12x，再加上八。那么，这样的话，用上面的减下面的时候是不是才能够把平方项一次项和常数项全部抵消掉为零？那么，由这个竖式除法。好同学们，

注意了啊。由由竖式除法，我们就可以得到。可以得到两个方程，对吧？也就是呃平方项和一次项的系数要相等，所以我们可以得到a+3。它要等于四，然后b- 2，它要等于负12，所以可以解得a是等于一的。啊b是等于负十的，这样的话，我们是不是就可以得到3a啊？3 a+b。

应该是等于三加上负，十是等于负七的，所以这个题目正确答案选择CD选项，你看这有两种方法对吧？第一种方法呢？第一种方法呢呃。这个是用于式定理，或者说叫因式定理来去做的，其实因式定理跟余式定理都是相通的，它都来自于我们这个竖式除法。对吧啊，方法二呢，就是用竖式除法列方程来去求解了。这两种方法呢，我希望同学们呢都能掌握啊，

有的同学说老师那因式定理和余式定理，为什么我以前学到的很复杂呀？实际上，任何一个东西啊，你会发现找到好的切入点之后，再难的问题都能很巧妙的去解决掉，很很很浅显的能够理解到。对吧嗯，那一个很简单的问题，你也可以把它搞得很复杂，那当然我们要画繁就简，而不是把简单的问题复杂化，明白吧？好，这是第21题。

下面请同学们看到第22题。好，我们看到第22题，这是一个条件充分性判断的题型，它说x- 2是多项式的一个因式。好同学们注意了，我首先呢，我要把这个题目啊，做一个等价转化。啊，把它写下来啊，结论这是结论。x- 2。是多项式fx=x的。三次方。

加上2x的平方。减去ax。加上b。啊x- 2是它的一个因式。那么，这个问题我们是不是可以把它做一个等价转化，也就也就是这句话，我们可以做一个等价转化，对吧？用因式定理它等价于什么呢啊？它等价于fx÷x- 2的余数为零。它等价于x- 2，是fx的因式，所以我们是不是可以得到f2，是要等于零的。

即把f二把x=2带到这个等式里面啊，应该是二的三次方加上二。乘以二的平方减去a再乘以二，再加上b是等于零的。好，我们再画一下碱基这边呢啊，应该是。啊，这个2 a-b是等于多少啊？2 a-b是等于16的。对吧，2 a-b是等于16的，大家看是不是这样的？把x=2带进去，把x=2带进去啊，

得到的是2a，减b是等于16的。好，下面呢？我们看到条件一条件一呢，它说a是等于一的。啊b是等于二的，那这样的话，我们是不是就可以得到2 a-b是等于一=2×1？是吧啊，它要等于二×1再减去二对吧，它是同学们。它是等于零的。是吧，2 a-b，

它是等于零的，我们说2 a-b应该等于16对吧？那它不等于16啊，所以它推不出结论来。它推不出结论来，好下面呢？我们看到。啊，第一条件二条件二呢是a=2，那b=3，所以呢，我们可以得到。2a-b是等于二×2-3，它是等于一的，它也不等于16，

所以它也。推不出结论来，对吧？那么条件一跟条件二单独都不能推结论，所以我们还必须要一二联合。对吧，我们一二联合，你会发现它这个条件，一个条件一要求a=1条件二要求a=2，这肯定是互相矛盾的，对不对？它是不能同时成立的。所以一二联合起来，它也推不出结论来，所以同学们注意啊，

按照我们的题型规则条件一和条件二，单独不能推结论联合起来，也不能够推结论那么正确答案。那么正确答案应该选择啊e选项。好，有的同学可能有疑问，说老师，你看您这道题目呢，用到了因式定理，对吧？那能不能够用多项式的竖式除法？也来做一下呢，用多项式的竖式除法来操作一下呢。好同学们，那么下面呢？

我们来尝试着操作一下啊。这个呢？是啊，这个是方法一。好，下面呢？我们看到方法二。好，我们看到方法啊。首先把结论摆在这啊，结论呢，它是x- 2。是嗯。是x的三次方。加上2x的平方，

减去ax+b。对吧，是它的因式，是它的因式，我们前面跟大家说过了，是不是表示这句话等价于x的三次方加？啊2x的平方+ax，加上b也就这一个。啊，它除啊它。除以。除以x- 2的。它的余是为零啊，对吧？既然余是为零，

所以我用多项式的竖式除法，咱们来除一下呗。好，把它写下来x的三次方加上2x的平方，减去ax+b。那我们来除以除以x- 2好，我们来商一下。这个除十有两项，所以呢，我们在被除十这地方数两项在上面开始商商多少呢？商x的平方好x的平方×x- 2。那么这边应该是x的三次方减去2x的平方，用上面的减去下面的，那么我们这边是。4x的平方再减去ax好，

那么我们这边再商多少呢？要把这个待会我们要把4x的平方要把它抵消掉了，对不对？所以我应该商4x这边应该写上加上4x这边就是4x的平方。减去8x对吧？减去8x好，我们再用上面的减下面的这个4x的平方就抵消了，那么这边就变成了。八减去a注意负a减去负八是等于八减a的八减ax加上b是不是带了这么一个？好，这个时候我商多少呢？我要商啊，我商这个八减a对吧？好，我们可以商。

八减去a。那么这边呢，就得到的是八减去a乘以x对吧？再减去。两倍的括号。两倍的括号八减a，由于它能够整除，所以我上面的减下面的是不是要等于零呢？那么x的一次项已经长得是一模一样了，是不是这个常数项是不是要能抵消啊？对不对？所以这个由竖式除法可得。嗯，好。由竖式除法。

我们可得。啊，可得这个原结论等价于。好语言结论等价于什么呢？等价于我用这个蓝色的笔把它圈下啊，等价于这个b跟这个负的二。负二倍的八减a是相等的，等价于b是啊，等于负二倍的八减。2a对吧？是等于零的，即我们稍作整理一下啊，就是b要等于负16。加上4a啊负16+4a。唉，

最最最这地方不是四a四二a啊，写的有一个地方抄错了嘛，我们把它纠正过来啊，这边应该是八减去a对吧，所以呢，负十六。加上2a即。即什么呢？即2 a-b是等于16的好，大家看看得到的这个东西，跟我们刚才得到的这个2 a-b=16是不是一样的？是不是啊？所以剩下的工作啊，就跟第一步是啊，跟我们的方法一是一样的了。

所以说多项式的竖式除法与因式定理和余式定理这个难点，它是啊。殊途同归的。对吧嗯，那么我们为什么要大家把这两种方法都掌握清楚呢？因为这两种方法掌握清楚了，考试的时候你真的左右逢源。遇到这种题目，你心里面有底气，再了不起，我用竖式除法就可以解决了，对不对？要快一点，我用因式定理和余式定理就OK了。好，

那么下面呢？我们简写了条件一啊，它是推不出结论来的条件二，它是推不出结论来的条件一和条件二联合。对吧，联合起来，它也是推不出结论来的，所以正确答案选择一选项。啊，方法二我们用的是竖式除法方法一我们用的是因式定理。对吧，好下面啊，这个第22题我就给大家讲到这里，下面请同学们看到第23题。好，

第23题首先呢啊，我们把这个题目给大家梳理一下，这个题目呢，它说x的平方+x-m，所以x- 5。除啊被x- 5除除后，余商意思就是x的平方啊x的平方。加上x-m，它被x-5除的意思是指x的平方+x-5-m。除以。是吧，除以x- 5。的余数。它的余数为三。是不是啊？

他的余数为三。那么，这个方法我们就就有对吧？又既可以用数学除法来去做，我们是不是也可以用因余式定理来去做我们设fx是等于它的？对吧，我们用余式定理。啊余式定理，我们用余式定理来去做，我们就可以得到啊，你除以x- 5，那我就是f5了，你除以x-m，我就是FM。明白吧，

所以f5是要等于余数三把东西带进去，哎x=5把x=5带到fx里面应该是。五的平方+5-m是要等于三的，对吧？咱们计算一下这边是不是应该得出来是等于？30-m=3，所以解得m是等于m是等于27的啊，注意这个题目中落入有错误的啊，那个b选项。b选项啊，同学们注意把b选项改成27把d选项改成负27。啊，改一下啊，我这另外一个红色的笔。嗯，

注意这地方有个修改啊。注意啊，讲义啊，讲义上有个修改啊，这个b选项改为。改为27啊d选项。改为负27啊，也修改完之后啊，正确答案是啊，正确答案是27。七是吧？好，那么下面这是方法一啊，我们把m给求出来了，下面呢，

我们看到方法二。方法二，我们可以用竖式除法呀。来我们竖式除法呢，写在这边。这边呢，是x的平方，加上x-m对吧？减去m这边呢，是x- 5。x- 5好，这是第一项，这是第二项，一二把它过来，这边是x，

这边是x的平方，减去5x。好，我们用上面的减下面的，这边是6 x-m 6 x-m好这边呢，我们再加上六对吧？加上六这边呢，应该是6 x- 30好，那么用上面的减下面的应该是。30-m对吧？那么它的余数是三，我们是不是求出来这个余数是30-m？所以我们可以得到30-m是等于三的，所以我们可以得到m是等于27。对吧m是等于27好，

这是方法二那么下面呢？我们还可以用方法三。啊，这样嘛嗯，方法也不是说越多越好，对吧？两条腿走路就很稳当了，我没有必要搞。在做的方法，当然这个题目有其他的方法，对吧？只是说我在这地方，我们掌握这两种方法就够了，大家有没有发现呢？咱们的第21题，

第22题，第23题，这三道题目我都是用的。两种方法来去做的，其中一种方法呢，叫因式定理或者余式定理，第二种方法呢，叫竖式除法，所以啊，这两种方法呀，对吧，你都掌握了，那你就相当于是。啊，这个这个就是说不管这种题目，

他出了命题这个啊，命题老师出的题目，他到底从哪个角度来去命题题目我反正都都没有问题，对吧？因为这两种方法我都掌握了。事实上，这两种方法呢？它是相通的。好，那么这样的话，我们这个呃，剩下的一点考点21啊，我就给大家呢，全部梳理清楚了。这样的话，

我们讲义中的第一节整式这一块啊，整式这一块啊，考点十六十啊，17，18，19，20，21。啊，这几个考点所出的细节比较多，我就跟大家呢，全部一一做了详细的讲解和示范，当然我们这种讲解呢，它是一种。啊，

立足于实战的角度，立足于就是把啊这个考点跟啊解题对接上来，因为我们过去啊，见过很多考生，对吧？呃菲格勒是从二零一啊，是从二零零八年开始辅导这个啊，这个啊，专硕考研的以前都不叫不叫管理类，联考以前最开始都叫MBA。啊MBA和mpa那现在呢？嗯，这这有这个十几年了，对吧？十几年的这个过程中见到了很多不同类型的考生，

我发现了。嗯，就是说呃，很多考生呢，尤其是文科性的考生喜欢从。背的角度从背诵的角度来去学数学，那肯定是这个方向有一点啊，有问题的啊。呃，背了很多东西，背了很多定理，背了很多公式，发现你不会用，所以呢，大家会发现我们这个课程基础阶段，

我们就。特别注重这个理论，结合实践理论，就是指那些基础知识，那些方法。实践就是指解题，那么你所学的基础知识和方法要跟解题挂钩，要能够在解题中。啊，付诸实践能够在解题这个时间中能用得上，能够做，能够帮你做对题，这才是好的。对吧，有很多同学背了很多东西，

就是一上一做题啊，一问三不知啊，这个呃，没有任何思路，这都是不行的。啊，所以要理论结合实践，我们非常强调实践性非常非常强调实战性啊，非常强调我们要能打胜仗。这个呃，希望大家注意，我们这个学习的思路和理念啊，那么我们这个第四节呢，第四讲呢，就跟大家全部讲完了，

大家呢啊，这个。呃，把我们上课所讲的那些不太多的理论要点对吧啊，跟结合例题来加以理解和消化，希望大家呢，把讲义上的题目能够做到啊，三到五遍的这个复习学习和复习。啊，考试的时候不仅要考我们懂不懂会不会的问题，还要考我们熟不熟巧不巧的问题啊，这个熟和巧大家知道有一句话叫熟能生巧。对吧，所以说一定要啊嗯，这个学习三到五遍，

其实第一遍呢，稍微慢一点，第二遍第三遍都很快，越来越快。好，那么叮嘱就这么多啊，我们今天就给大家讲到这里，谢谢大家。

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