04.课件4-数学基础班第4讲（上）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-5 09:35:39

好，各位同学，大家好，那么今天呢？是我们啊，这个金湖广中数学基础班的第四讲。我们在前面呢，通过第一讲，第二讲，第三讲的学习呢，已经把算术这个模块呢学完了。那么，我们从这一讲，也就是第四讲开始就要进入到代数部分的学习，那么代数呢？

啊，大家看到讲义啊，它的内容是比较多的啊，它包括整式对吧啊分式。函数以及方程不等式和数列。啊，应用题等方面的内容。啊，总共呢？我们把它一直把它细分成为从考点16一直到考点63。对吧，有几十个考点。我们准备呢，逐一来带着大家去攻克，当然因为考点繁多，

很多同学呢，总是抓不住重点，或者说啊，迷失方向。所以我在给大家去讲解的时候呢，会把这些大纲考点的内容与我们考试真题中命题老师的出题方向。和这个命题点结合起来，讲解这样的话，可以啊，帮助大家呢，在繁多的考点中。嗯，寻找到聚焦点。因为有一些要点呢，它是在我们真题啊，

在我们这个考试过程中基本上是补考的，对吧啊？呃，但是呢呃，我们需要有所了解就可以好大家呢？看到啊，第一节看到我们讲义上的啊，第三讲代啊，第这个第二讲代数。啊，这个嗯，第一节这个整式部分我们看到考点16。好，大家看到考点16。考点16呢，

是单项式与多项式。好同学们注意了。首先我们做一个基础复习。什么叫做单项式？啊，比如说啊，我们不需要呃，掌握很严谨的定义，但是我们需要能识别它，比如说x的平方。这是个单项式。明白吗？x的平方是一个单项式，又比如说x×y，这也是一个单项式。

啊，又比如说x注意了啊啊，我们这个呃单项式啊。它只有乘啊，只有乘法对吧，因为我们这只能是范围来考虑的。对吧，主要是。啊，整式范围来考虑的话。那么我们就这个乘法明白吧，好那么什么叫做多项式呢？就是有多个项，它涉及到加减运算了，比如说x的平方。

加上x×y，这就变成这就叫做多项式了。又比如说x的平方，加上一等等，这都叫做啊，多项式有多个项的，那还可以写。呃，三个项，四个项，五个项下加减对不对？好比如说这个x的平方减去四x，加上九，这就是。多项式。

对吧好，然后我们再看到同类项。比如说x的平方与。啊，与二分之一x的平方，它是同类项。就是说啊，这个字母部分它是一样的。啊，又比如说x×y加上啊，加上这个。4x×y是吧？这也是同类项。好同同学们注意了，同类项呢，

是可以合并的。它合并为。它合并后就变成了x的平方，加二分之一x的平方啊，就直接把系数相加对吧？相相当于是提取了一个公因式。合并同类项为就是x的平方，加上二分之一x的平方是等于一，加上二分之一乘以x的平方。是等于二分之三x的平方。这边呢是xy+4 xy，它是要等于一+4×xy，它是等于五。xy它是可以合并的。好同学们注意了，

好这里面呢，我们复习一下几个恒等式。b1×x+c一=a二×x^2，加上b2×x+c二。如果啊，人家说这是一个恒等式。啊，如果说这是一个恒等式。恒等是指不管x取什么值。左右两边都是一模一样的，都是相等的，所以恒等啊，同学们是同学们，注意是指合并同类项化简之后它是。啊，

左右里面是一模一样的，所以呢，我们可以得到什么呢？既然是一模一样，所以x的平方向的系数它是相等的。那x前面的系数是相等的，这个常数项也是相等的，也就是我们可以得到a1是等于a2。b1是等于b2好，c1是等于c2对吧？a 1=a 2b一=B 2C一是等于c2的。好，这是我们考点16的。这个呃，基本要点那么下面呢，

我们把两个公式呢，再给大家把它复习起来。哪两个公式呢？好，我们用蓝色的笔来写。啊，第五个。重要公式。啊，第一个重要的公式呢，是完全平方公式。啊，算完全平方公式。a+b^2。它非要等于。

a的平方+b^2+2 AB。好，第二个是。完全立方公式。完全立方公式呢，是a+b括号的三次方，它要等于a的三次方。加上b的三次方，加上三啊。a的啊，加上3a的平方b，再加上3a×b^2。好，这是它的。这样公式，

那么接下来我们要把这个两个重要的公式给大家推一遍。它的推导如下。首先，我们看到第一个。那a+b^2。好，大家注意了，它是等于用黑色的笔在写后面，它要等于a+b。乘以a+b，我们用乘法的分配律对吧？它应该是等于a+b。啊，把注意把这个地方当做一个整体，它要乘以a对吧？

它要乘以b，所以a+b×a。加上a+b×b。好，我们再用成本法的分配律，所以它要等于a×a是吧？加上b×a。加上这边再乘过去啊，这边再乘过去对吧？加上a×b+b×b好，我们整理一下。啊ha就是a的平方。啊，这边b×b就是b的平方这边啊，这边这个AB AB跟BA是相等的，

所以是两倍的AB合并同类项之后。是吧，它们是同类项啊，合并同类项之后是两倍的AB。所以我们就啊，所以我们就得出来a+b^2是等于a方加b方加2 AB的。对吧啊，这边这个公式a+b^2是等于a方加b方加2 AB。好，我们就给大家推证了，下面我们看到第二个。那a+b括号的三次方。它要等于。它要等于什么呢？它要等于a+b括号的平方再乘以啊，

再乘以a+b。我们想把上面的这个结果呀，直接拿过来用对吧？那么拿过来用的话，它就变成了什么呢？它就应该等于。a的平方+b^2，加上2 AB。啊，乘以。a+b。a的平方+b^2，加上2 AB啊，再乘以a+b。那么这个时候，

同学们注意了，我们再把这个当做整体。就是把这一块。对吧，把这一块当做一个整体，然后用乘法是吧？把它存进去。所以呢，它应该是等于a的平方，加上b的平方，加上2 AB。乘以a。加上括号a的平方，加上b的平方，加上2 AB×b。

好同学们，我们再来往下计算，我们再来把它分进去，对吧？把它把它分别相乘，应该是a的平方。乘以a对吧a的平方，再乘以a+b^2，乘以a+2 AB。乘以a啊，这边这边这个乘完了，我们下面再来乘，后面这一头这半头应该是。a的平方×b+b^2×b+2 AB×b。好，

下面我们做整理。这个地方啊，同学们注意了a的平方×a是a的三次方。后面这边b的平方×b是b的三次方。是吧，好同学们注意了啊，我们发现呢a×b^2。那这边这边是a×b^2。是吧，那这个地方是不是也是2a×b再乘b是不是2a×b^2，所以a×b^2+2 a×b^2合并同类项？是不是应该得是3 AB的平方三×a×b^2？那么我们再看到这个，这个和这一个啊，它是2 AB×a那化简之后就是2a的平方×b对吧？

这边呢，加上a的平方×b，那又可以合并同类项，所以应该是加上3a的平方×b。是不是这样的话，同学们注意了呃，就把a+b的三次方展开了，也就是我们这个啊a+b的三次方a+b括号的三次方是等于a的三次方，加上b的三次方，加上3a。的平方b+3 AB的平方对吧啊？这两个呢，写在随前，随后无所谓啊，这两个可以交换一下位置，

无所谓啊a的三次方加b的三次方加上3a。乘b的平方+3a的平方×b，对吧？啊后两项交换一下位置，没有任何影响。好，这样的话，我就跟大家呢，把平方公式啊，完全平方公式和完全立方公式都给大家做了一个推导。那么，希望同学们啊，现在把它的来龙去脉，把它搞懂，以后在考试的时候。

熟啊，一定要熟记这几个公式，考试的时候就不能把这些过程再来去推导了，它是很耗时间的，对吧？只有平常学习的时候把它搞清楚才行。好，下面呢？请同学们跟着我一块掌握一下它的变形。掌握一下它的变形。那么，完全平方公式啊啊a+b^2，它是要等于a的平方+b^2。加上2 AB，那么如果这中间变成减号a-b^2，

它要等于a的平方，加上b的平方。减去2 AB完全类似的方法，推导出来的对吧好，这是变形，那么第一个。那么，第二个好，大家注意了a+b的三次方啊，它是要等于a的三次方。加上b的三次方，加上3a的平方×b，加上3a×b^2。那么，如果考试中遇到了a-b的三次方，

这个时候我建议大家呀嗯。嗯，不要去专门去背一个公式了，就把它做一个啊，做一个什么变形呢，把它变成了。把它变成a，加上负b括号的三次方，就是说啊，你把它变成上面这种公式的这种样子。把它变成加号的样子。是吧呃，然后呢？套用上面这公式套用上面这公式的话，它应该是等于a的三次方，

加上负b括号的三次方。加上三a的平方乘以负b，加上三a乘以括号负b的平方。好好，那么我们直接利用上面这个公式啊，掌握上面这个公式就可以了，下面我们稍微花一下钱。它应该等于a的三次方减去b的三次方减减去3a的平方b啊，加上。3 AB的平方啊，3 AB的平方，那么这个公式同学们注意了像啊，这个公式要记这个公式要记这个公式要记下面这公式不用背啊。啊，明白了吗？

下面这个公式变形的，最下面这个公式a-b括号的三次方，这个公式不要去背，我为什么强调大家不要背，最后面这个公式呢？因为我担心。有些同学把符号记混淆明白吧，那么a+b的括号的三次方，它的符号全部都是加号，你不会记混？但是下面这个a-b括号的三次方有的同学。死这个经常死记硬背，那很容易记混的，明白了吧？所以呢呃，

如果考试过程中出现了a-b括号的三次方的这种展开。啊，咱们现场对吧？套用a+b括号的三次方运算一下，很快就可以得到结果。最关键是它能够确保我们的安全。那么，对于括号一里面的这两种对吧？a+b括号的三次方啊？a+b括号的平方以及a-b括号的平方。这两个呢，希望大家呢，能够耐受于心好OK，那么下面呢，我们准备结合讲义上的例题来给大家做进一步的讲解。

好，大家看到啊例一。已知x的平方减去四x加九x的平方减去四x加九。它与后面这个是同一个多项式，是同一个多项式，说明它是恒等式呗。对吧好，我把它写下来啊与。与a×x- 1^2+b×x- 2^2。加上c×x- 3^2。是同一个多项式。那么，同学们注意了，我在这边呢，用两种方法来给大家进行讲解。

大家注意了，既然是同一个多项式。说明什么？啊，同学们是同一个多项式，是不是说明它得是一个？啊好，我把它。复制下来。说明什么呢？说明这个同一个多项式，也就是说左右两边是相等，对吧？是恒等式。既然是一模一样的，

对吧？是一模一样的，是同一个多项式，说明它是恒等式。对吧，说明它是。恒等式x的平方减四x加九等于a乘x减一的平方加b乘x减二的平方加c乘x减三的平方是个恒等式。那么，既然是恒等式。啊恒等式的意义就是说我不管x取什么值，带到这个等式里面，它都是成立的。是恒等的左右两边是恒等的。是不是啊？是很成立的，

所以啊，我们。啊，写个口诀，叫做恒等式。啊，取特值。对吧，恒等式取特值。它是横成立的，我们直接令。x取一个特殊值。那取一个特殊值，我们要达到一个什么样的目标呢？啊，

我们的目标是什么？我们的目标是要去求a+c等于多少？这是我们的目标。对吧，那我们发现这个这个目标里面没有b，也就说我要想办法让这个b把它消失掉。那么，怎样让b消失呢？我们发现这个是b×x- 2，我直接让x等于二一代进去。我们是不是就可以得到这个这这个呃，这个b×2-2括号的平方是不是就bb×0了，那b就消失了？所以我把它带进去之后，左边应该是二的平方减去四乘以二。

加上九要等于a乘以括号二减一的平方，加上b乘以。二减二的平方加上c乘以二减三的平方。对吧，这个是成立的，因为恒等式嘛，恒等式的话，不管你x取什么值，带到这个等式里面，它左右里面都是相等的。那么我们画一下减。左边呢，是四减去八啊，加上九。那不就等于五了吗？

嗯，对吧啊。九减八等于一对吧？一加上四等于五，所以这边是五，左边是五，右边的是等于a乘以一。呃，加上b乘零，加上c乘负一的平方，就是c乘一了。诶，同学们注意了，那不就是a+c=5了吗？是吧，

是不是就是a+c=5啊？啊，看起来是不是很巧？没就把这个问题给解决了，所以这个题目正确答案选择a选项。这是方法一，所以很等式的题。我们是可以取特殊值的。取什么样的特殊值？我们需要把已知条件和我们的目标进行比较，比对分析对吧？然后呢去？取一个啊，有利于我们解题的这种特殊值，比如说这道题目中我们要想办法把。

这个系数b把它消掉，那么我就让x- 2^2=0，也就是x=2代进去，这b就没了。啊，只剩下a和c是不是很巧妙？就把这个问题给解决了，好，这是方法一。那么下面呢？我们看到方法二。首先呢，我们第一步呢，我们发现这边有个a啊，乘以x- 1^2啊，

加上。b×x- 2^2，加上c×x- 3^2。它是一个多项式啊，这个多项式呢，我想啊，把它展开之后合并同类项，我先化一下减。对吧，那么这边呢，用完全平方公式展开x- 1^2，它是等于x的平方。加上一减去二x或者我。把这个一次项写的中间x的平方减去二x，加上一。

啊，对面的是b乘以括号x的平方减去四x，加上四。这边呢，是c乘以括号x的平方减去六x啊，减去六x。加上九。啊a×x^2-2x+1，然后呢？加上b×x^2-4x+9，再加上c×x^2-6x+9。好，那么同学们注意了，我们合并同类项，把x的平方项。

合并在一起对吧？前面跟大家讲了合并同类项，那么这样的话，我们就可以得到，应该是a+b+c。乘以x的平方，再把一次项再合并同类项，应该是减去括号2a。加上啊4 b+6 c×x。对吧，然后再加上常数项常数项呢是a+4 b+9 c。是吧a+b+c×x^2减去这个好，同学们注意了，我们分析到这一步之后。第一步的工作就做完了。

那么下面我们看到第二步。由于上面这个表达式，我把它框起来啊，我把它选。就就这个表达式，把它复制过来，由于这个表达式。它与什么呢？它与x的平方减四x，加上九。是是同一个。多项式。那么是同一个多项式的话，我们前面跟大家讲过。啊，

就是说。啊，比如说同一个多项式，是不是对应的系数要相等，也就是很等式嘛，是不是那同一个多项式？也就是说这一个。和这个。啊，它是横等式。是吧，它是恒等式，它既然是恒等式，所以它对应上的系数是不是要相等啊？是不是啊？

它的对应项的系数要相等，所以我们可以得出来。它的它要一模一样，也就是x的平方向的系数是相等的。x的一次项的系数啊，也是相等的常数项也是相等的。啊及。这边呢，我们可以得到a+b+c。是等于一的。是吧，然后呢？负的括号。2 a+4 b。加上6c是要等于负四的。

然后呢？a+4 b啊，加上9c是要等于九的。这样我们就得到一个关于ABC的这个方程组。那么，这种方法一看就有点复杂了，但是呢，我们也掌握这种基本方法，对吧？正好呢，把我们的完全平方公式可以把它复习一下。好，接下来我要跟大家啊，借助这道题目给大家示范如何去求解。一个三个未知数，

三个方程的，这样的方程组叫三元一次方程组。对吧，好，大家跟着我一起来算啊，这边呢呃，我首先呢，把第一个方程保留就是a+b+c是等于一的。然后呢？我把第第二个方程同时除以二啊，除以负二，所以呢，这边就变成了a+2 b+3 c。是要等于二的。第三个方程呢？

我照抄就是a+4 b，加上九九c是等于九的。好同学们注意了，我们依然是把第一个方程保留，也就是a+b+c是等于一的。用第二个方程减去第一个方程，把a消元消掉啊，这叫消元法解应用题啊，不解这个方程组对吧，所以。消掉之后就变成了啊2 b-b是等于一个b3 c-c等于两个c，所以b+2 c是等于一的。然后呢，再把第三个方程减去第二个方程，左边减左边等于右边减右边是把a又消掉了。

那么，4 b- 2b是等于2b的，9c减去啊九九c。9 c- 3c是等于6c的。对吧，好这边呢，是等于九减二，四等于七的。好，这样的话，我们就可以把b给解出来是吧？同学们，我们是不是可以把b和c给解出来啊？好同学们，我们来操作一下这边呢呃。

我们把它再画一下，这应该是b加上三c是等于同时除以二这个同时除以二是不是b加上三c是等于二分之七的？对吧，它是等于二分之七的，因此我们啊，把这个地方设为圈一这第二，这是圈三。用圈三减去圈二，我们就可以得到c是等于二分之七减去，一是等于二分之五的哟。是一个分数啊，好同学们注意了，然后把这个c啊等于二分之五带到圈二里面。也就是。好代入到圈二，

我们可以得到b，加上2c就是加上五是等于一的，所以我们可以得到b是等于。负四对吧，然后再把它带入到啊，带入到圈啊，带入到圈一里面。把这个b=- 4带入了圈一里面就可以得到a- 4，加上c是等于一的，所以我们可以得到a+c。是等于五的诶，答案是不是就出来了？当然，我还可以进一步的把c等于二分之五带到a加c等于五里面，这样的话，

我是不是可以把a又可以解出来，也就是ABC三个字我都可以解出来。好，这就是方法二。方法二里面呢呃。这个显然，他跟我们方法一比起来。它是落后的。对吧，但是从学习的角度，我们这两种方法都建议大家掌握其中方法，二它帮助我们复习了。有几个公式对吧？有完全平方公式。它帮助我们作为一个学习的素材，

对吧？有完全平方公式，然后有合并同类项。好有恒等式的处理方案。对吧，恒等式那么它对应系数也相等，还有解方程。所以呢，这个方法帮助我们复习了三个要呃，复习了四个要点。这四个要点呢，是我们的基本功对吧？所以方法二虽然慢了一点，但是呢？它对我们基础阶段的复习是非常有帮助的。

方法一呢，虽然快了一些，但是他没有，就是他在我们夯实基本功的这件事情上没有做出。更好的贡献，明白吧，所以方法一呢，它比较适合什么呢？它比较适合呃，在冲刺阶段的时候对吧我们？嗯，都没有时间去。补基础了呃，只能是想着各种办法能够多考点分就多考点分，能够提高一点速度就提高一点速度，

在这种情况下，我们用方法一。是比较合适的，所以大家会注意啊，我在基础阶段上课的时候啊，我们基本上也是兼顾了。在后面应试技巧强化阶段，包括冲刺阶段，对吧？要学的一些思路和方法，我们都会给大家呢啊，做一些。啊，预热做一些准备工作，这样的话，

我们学完基础阶段，你再往后学这个应试技巧，强度阶段，再往后学这个冲刺阶段，你会发现。很轻松，因为我们前面都做了一些铺垫工作了，这就是为什么我强调学习的时候，为什么现强烈建议大家从基础阶段的这个网课开始学习一个重要的原因就在这。好，下面呢？请同学们看到例二啊，请同学们看到例二。例二呢，这道题目呢，

它说六x的平方减二十六x，加上三十三好，我把它写下来啊，六x的。平方减去26x。加上33。它与a×x- 1^2。加上b×x- 2^2。加上c×x- 3^2。它说是。同一个多项式，大家有没有发现呢？这道题目啊，跟我们例一是完全同一种类型的。所以有了例一的讲解，

那么现在我在讲例二的时候，我是不是当然应该用快的方法来去做了？对不对？所以同学们注意了，那我们首先得到第一步，这是一个恒等式。好，这是一个。恒等式。对吧，要明确这个。原理，恒等式取特值。啊恒等式，我们是可以取特值的，

因为它并没有要求我们去求a等于多少b等于多少c等于多少，如果要去求的话。那我就可以用这个呃，是吧？我是不是可以用前面这个方法来？来去做啊，对不对？好用，前面这个方法二来去做，如果只要我去求一个特殊的表达式，比如说a+c的值，那我就另。令x=2。嗯，那咱们把它代入之后，

应该是六乘以啊二的平方减去二十六乘以二。加上33，它要等于a×1^2就是a了，加上b×0，那那就没有了，对不对啊？啊加上c乘以啊负一的平方就是一了。好，下面我们计算一下四六二十四。啊24+33是等于57的。那么，26×2是等于52的57-52是等于五的，所以我们可以得出来。这边应该是a+c，它是等于五的，

因此这个题目的正确答案是选择c选项。这样的话，通过例一和例二这两道例题，我们是不是很快？啊，就把我们。这个考点16的。它的基础知识以及它的落脚点，落脚点在哪，落脚点在横轴处。对吧，在同类项的化简啊，合并化简恒等式的，这个第一个同类项的合并，第二个恒等式的啊，

处理方法。它的落脚点在这儿，那么它要哪些知知识呢？去支撑它呢？它要完全平方公式，有完全立方公式的展开，对吧？有什么单项式，多项式，同类项等等。这些基础知识来支撑它，实际上呢，当大家熟悉了这些内容，我们基本上都习以为常了，一看啊，

要化简合并同类项的时候，是不是很自然的就去？操作这个过程了。好考点16呢，我就先给大家讲到这里，下面花点时间呢，给点时间大家快速的把它熟悉一下，然后我们再接着继续往前讲解好，大家抓紧时间。好同学们，刚才呢，给了一点时间，大家来理解和消化，那么下面呢，我们继续往前推进，

大家看到考点17。考点17呢，是乘法公式与恒等边形，实际上呢，我们前面已经给大家做了相应的铺垫，所以我现在呢，给大家再来复习一下啊。第一个公式呢，是平方公式啊a+b括号的平方，它是等于a的平方+b^2+2 AB的。那么，大家注意了，这边我们可以做一个继续做一个变形变形之后呢，就是a的平方+b^2注意了，我把这个把它挪到左边来，

对不对？a方加b方是等于a+b括号的平方减去2 AB的。好同学们，这边呢，我们再做一个对比。我们做一个对比a减去b的平方，它是等于a的平方，加上b的平方减去二AB的。好，我们也是做变形。好，这样的话，我们就可以得到a的平方，加上b的平方，它要等于a+b括号的平方。

加上2 AB。a方加b方等于a+b平方，加上2 aba方加b方等于a+b的平a哎，同学们注意，这地方有个小错误哦。写错了哦。这边应该是a-b对吧啊？a+b括号的平方是减2 AB。啊a-b^2是加2 AB。所以我们进一步的来看，你看这个的左边是等于a方加b方这个的左边也是a方加b方。那么，是不是后面它就得相等了？是不是啊？后面得相等了，

所以我们从而进一步的可以啊。好进一步的变形。它都相等的话，我是不是可以得出来，应该是a+b^2这个啊。减去2 AB是要等于a-b^2，加上2 AB对吧？我也可以进一步的把它写成a+b^2。减去括号a减或者说a+b^2=a-b^2，加上4 AB。对不对a+b^2？a+b^2=a-b^2，加上4 AB。好，这是分析的第一个。

那么下面呢？我们看到括号二。关于这个立方公式啊。a+b的三次方，它是要等于a的三次方，加上b的三次方加上。3a的平方b+3 AB的平方，我们还可以变形，它可以写成啊，注意可以写成。a+b的三次方是等于a的三次方，加上b的三次方，加上3 AB。乘以a+b好，我们来做一个变形。

我们做一个变形。这边呢，应该是a的三次方加上b的三次方要等于a+b括号的三次方。减去3 AB×a+b。a的三次方加b的三次方啊，等于a+b括号的三次方，我是不是移项呢？把这一项啊移到左边来，移项的时候要变号的，对不对？移项的时候要变号，它要等于。a+b括号的三次方减去3 AB×a+b。啊，这是我们的平方公式啊，

与立方公式，它的一些常见的变形下面呢，我们结合相关的例题来给大家。加深对它的理解好。我们看到例三。首先，同学们注意了，题目中啊，告诉我们x+y是等于一的。x×y是等于负五的。所以呢，我们写公式对吧？它的公式应该是x的平方+y^2，它是要等于x+y^2。减去二xy的，

把东西带进来，它应该是等于一的平方，减去二乘以负五。是等于一+10是等于11的，所以本题的正确答案应该是选d选项。对吧，我们都没有，都没有第二步，这个题目就做完了。是不是啊嗯，很快。同学们，是不是很快啊？所以如果真的说要要分第一步和第二步的话，第一步实际上是叫什么呢？

第一步呢叫写公式。啊，第一步叫写公式，那么第二步呢？加代值。那么，这个写公式呢？就上面这个公式。第一步是写公式，第二步叫把值带进去，是不是啊？把值带进去。结果，重新调整一下，对吧？

第一步是写公式，第二步把这个数字带进去。把数字带进去，对吧啊？这是例三其实比较简单，那么下面我们看到例四。例四呢？这道题目呢？它的已知条件，我们先摆出来。它是x+y是等于一的x的平方，加上y的平方是等于三的x的三次方。加上y的三次方是等于多少要求这个，首先我们的第一步先写公式了再说。我们发现这里面有平方公式，

有立方公式，对吧？所以我把平方公式写下来x的平方+y^2，它是等于x+y括号的平方。减去2 xy的。那它有立方公式x的三次方加y的三次方啊，它是要等于x+y括号的三次方。减去3 xy对吧？再乘以x+y的，这是第一步写公式。第二步，代值。我们把数据带进来。把数据带进来呢，我带到这边吧啊，

我们带进来是不是可以得出来？应该是三要等于一的平方减去二xy。这边呢是呃x的三次方加y的三次方，同学们注意了好，我先把它求一下啊，这边呢应该是这个2x这个xy=- 1是吧？这个xy是等于负一的。那么，我们现在把它带到这边来。对，这个是等于负一。好，它应该是等于一的三次方减去三乘以负一，再乘以再乘以一。咱们运算一下，

是不是应该是等于一啊？加上三是等于四的。对吧，一+3=4。所以这个题目正确答案选择a选项。啊，正确答案选择a选项就是考到了两个公式，一个平方公式，一个立方公式，对吧？好，我再跟大家重申一下x的平方+y^2是等于x+y括号的平方减2 xy的。然后再把x方加y方等于三代进去x+y=1代进去，是不是就可以求出x×y的值是等于负一的？然后把x再再用啊，

再写个公式是x的三次方加y的三次方等于x+y的三次方减去三×xy再乘以x+y。把x+y=1把x×y=- 1把它带进去啊，这样的话解出来，这个结果是等于四。好同学们，注意了，这个地方呢，咱们做一个举一反三。来我们做一个举一反三。题目的已知条件是。x+y是等于一的。x的平方+y^2是等于三的。要求什么呢？要求x的四次方加y的四次方等于多少？要求x的五次方加y的五次方等于多少？

那这有没有办法去求呢？我们刚才已经求了x的三次方加y的三次方，对吧？那么，其他的两个给大家做一个示范，首先看到第一步，我们也是要写公式啊，那x来同学们来看到这边，首先呢x的。这个平方加上y的平方还是写公式啊。x的平方+y^2是要等于x+y^2-2xy。对吧x的三次方加y的三次方是要等于x+y的三次方。减去3 xy×x+y。那x的四次方加y的四次方，它是要等于x的平方+y^2。

的平方再减去。再减去二二倍的x的平方×y^2，所以说呢，可以写成x的平方。加y的平方括起来的平方再减去二倍的xy括号的平方。对吧，那么x的五次方加上y的五次方，它应该是等于x的平方+y^2。我们再乘以什么呢？再乘以这个嗯x的三次方加上y的三次方。你看把它展开之后啊，再把多余的剪掉，把它展开之后，它是x的五次方加上x的平方×y的三次方。加上x的呃三次方乘以y的平方，

再加上y的五次方，那我们发现这中间的这个地方是多余的。这个多余的话是什么呢？是x的平x×y我们可啊分。稍微写详细一点，它可以提出x的平方y的平方再乘以x+y对吧？那也就是x×y括号的平方。再乘以x+y对吧？所以应该是减去xy括号的平方，再乘以x+y。是不是我们做一个恒等边形，其中朋友们注意了，其中平啊，这个x方加y方，它的恒等边形公式以及x的三次方加y的三次方的恒等边形公式？

我们要纳数据性下面的x的四次方加y的四次方以及x的五次方加y的五次方要能够呃，看明白对吧？第一次见到他没关系，也不需要去背它。啊，但是呢，你就要知道我们是怎么去构造由已知的表达式来推，未知表达式的值的。明白吧，好，那么这是我们的第一步，写公式那么下面呢？我们进入第二步带数值。好，我们要把数字带进去。

好把数字带进来的话，同学们注意了，这边应该是等于一的平方啊。这个诶，这个是已经知道的啊。啊，可以推出来这边是啊，三要等于一的平方减去二xy，所以可以解得x乘y是等于负一的。那么，这个三次方呢？我们得自己计算一下对吧？三次方呢？所以我们可以得出来x的三次方加上y的三次方。它是等于一的三次方减去三乘以负一再乘，

一是等于四的。啊，就等于说我们现在知道了xy的值对吧？我们也知道了x的三次方加y的三次方的值。那么下面呢？我们进一步的再次进来x的四次方加y的四次方这边。所以给它了x的四次方加y的四次方应该是等于注意啊，应该是等于x方加y方啊，我们知道了它是等于三的对吧，它应该等于三的平方。减去二乘以括号负一的平方，对吧？是不是等于三减二？是等于呃三的平方减二等于九减二？是等于七。

七的对吧？九减二是等于七的，所以这个咱们也知道了，对吧？x的四次方加y的四次方，咱们求出来是等于。七的那么下面我们进一步的来去求这个x的五次方加y的五次方。所以呢，我们可以得到x的五次方加y的五次方应该等于注意啊，这是我们解题的依据，把东西带进来。x的平方+y^2是等于三的对不对好，然后x的三次方加y的三次方是等于四的。然后x×y是等于负一的，所以这边是负一的平方，

再乘以x+y是等于一的，对吧？要计算一下31，12，12-1是等于十。11所以x的五次方加y的五次方是等于11的。是不是就求出来了？对吧，能理解吧。好，这样，这就是我们的这个恒等变形啊，大家可以把这个举一反三，同学们可以把这个举一反三，和我们的例四啊，

包括例三啊。放在一起进行比对，学习好下面呢，请同学们看到这个例五，请大家看到例五。啊例五已知2 x- 1的六次方啊。啊2 x- 1的六次方，它要等于a0啊，加上a1×x。加上a2×x^2好，一直加加到a6×x的六次方。那么，同学们注意了，这是一个啊，它告诉我们这是一个展开式，

对不对？展开式把2 x- 1的六次方展开，那肯定是横等变形了。是不是啊？所以它是一个恒等式，展开之后得到的是一个恒等式。那么现在要我们去求什么呢？要我们去把所有的系数全部求出来啊，它的和求出来啊a1 a 0+a一+a二一直要加上a6。等于多少？对吧，好同学们注意了，那么这个问题怎么怎么去做第一步？既然是横啊，首先我们得指出来它是一个横等式。

对吧，指出来它是个恒等式，为什么它是个恒等式呢？因为它的左边是一个六次六次啊x- 1。括号的六次方，它展开之后等于右边的这个表达式，那展开之后做的这种合并同类项对吧呃？啊，整理合并同类项进行整理之后，得到的一定是个恒等变形，所以呢，它是个恒等式，对吧？既然是恒等式，所以我是不是可以叫做？

啊恒等式。恒等式取特值。对吧，恒等式取特值，那么我们可以逆逆什么呢？我为了让所有的系数全部相加，我是不是直接逆x=1啊？例x等于一，那么左边就变成了二减一的六次方，它要等于a零。加上a1，加上a2，一直加加到a6。对不对？那不就相当于是呃目标对吧啊？

也就是这就是我们的目标嘛，这个目标啊，这边是负一呃二减一等于一的六次方是不是就一等于目标也就是目标所求的？啊，我们要求的这个值它就等于一了。对不对？所以同学们注意了，这个题目是不是很简洁，很快就。得出来正确答案是选a。是不是这道题目是非常巧妙？对不对？非常巧妙，就把这个问题给解决了，好，

这是这是例五。好，下面请同学们看到啊，请同学们看到例六啊，这个例五啊，看成这样，我跟大家呢也来做一个举一反三。我们也做一个举一反三。这题目呢是？已知2 x- 1的六次方。它要等于。a 0+a 1x。加上a2x的平方。加上a6x的六次方。则a 0+a二+a四。

加上a6等于多少，这是第一个问题。第二个问题是a 1+a三。加上a5。等于多少？好，那么像这个问题，咱们怎么做？实际上我们是不是首先第一步还是得明确它是个恒等式，得认识到它是一个恒等变形。因为唯有如此，我们是不是才能够。那它是一个恒等式。它是个恒等式，所以呢，

我们才可以取特殊值，那么这个特值呢，我们可以多另几个，比如说令x等于。我们令x=1。你看例x=1，我们得到一个什么，我们刚才是不是已经得到了？应该是。一的六次方对吧？一的六次方就等于一了，它要等于a 0+a一啊，加上a2，我把它写全。加上a3，

加上a4，加上a5。加上a6，然后呢？我们令x=- 1，我们把它带进去，可以得到这个呃负三的六次方，也就等于三的六次方。好三的六次方是等于。九的三次方对吧？九九八十一八十一×9是等于729。是吧，好这边应该是729，它要等于把x=- 1代进来，应该是等于a0。

减去a1。啊，加上a2。减去a3。加上a4。减去a5。啊，加上a6。其实呢，我们在这地方呢，还可以命对吧，我们我先把这个问题先解决了再说啊，这个地方设为圈一这个地方设为圈二。大家注意了，我如果把圈一啊，

加上圈二。同学们，注意圈一加上圈二会得到什么呢？啊，同学们，如果我用圈一加上圈二。啊，同学们，如果我用圈一加上圈二左边相加是等于730的。右边你看这个加一个ae-1个ae，是不是就底下了加一个a3-1个a3就底下了？对不对？所以就得到是两倍的a0。加上两倍的a2。好，

再加上。啊，加上两倍的a4，再加上两倍的a6。诶，我在两边同时除以二，我是不是就可以得到a 0+a二+a四加上？加上a6是不是应该等于365啊？对吧，等于365=730÷2=365。如果我用圈一减去圈二的话。那我是不是可以得到一减去七百二十九等于负的七百二十八负的七百二十八？它要等于啊，把a0a2a4a6是不是全部抵消了？它要等于两倍的a1加上两倍的a3。

加上两倍的a5。对吧，这样我两边同时除以除以二，所以就可以得到a1，加上a3，加上a5。它是等于负的啊，728÷2等于负的360。四是吧，等于负的364那这个问题就解决了。比如说这个题目，如果要我去啊，我再进一步的再探讨一下，如果人家要我们进一步的去求a0等于多少呢？对吧，

要我们去求a0等于多少？那我要去求a0的话，我是不是应该要令要令多少啊？如果要要要去求a0的话，就令x=0。代进去啊，左边等于负一的六次方就等于一了，右边等于多少，右边就等于a0了。所以a0就等于一了。你看我们上面得到了a 0+a二+a四+a六。是吧，得到AA 0+a二+a四+a六的值它等于它是等于365的，那我现在要知道a0是等于一的。对吧，

是不是我又知道了a0是等于一啊，所以这个时候我要你去求这个，比如说我们要去求第四个问题。要去求a 2+a四+a六等于多少？那是不是得365减再减一个a0的？这个一啊，是不是应该等于364呢？对不对？所以大家会发现a 2+a四+a六是等于364a一+a三+a五是等于负的364。你会发现很多有趣的现象，对吧？那么啊，希望大家呢，把咱们这个举一反三和例五啊，可以放在一起，

结合比对学习，同时也可以把例五和例一例。二啊，这两道题目放在一块比对学习，因为它都用的是横等式举特特值。是不是啊？恒等式取特值这个思路。好，下面呢，我们再往前看到例六。好，我们看到例六。例六呢嗯，首先要给大家复习一个基本公式啊，这是我们前面啊，

讲很多变形的时候给大家讲过的。就是说a的平方加b的平方，加上c的平方，同学们注意了，它是等于啊，它是等于二分之一。乘以括号a-b^2。加上b-c^2。加上c-a^2。对吧？唉唉，没写完呢。这边还有重要的。它要减AB，减BC，

减CA，对吧？它才能够等于这一串。那么，我们把这个跟大家做一个推导。做一个推导证明。啊，推导如下。我们有完全平方公式。作为切入点切入啊，因为a-b括号的平方，它是要等于a的平方。加b的平方减去二AB的。b-c^2，它要等于b的平方+c^2啊，

减去2 BC。那么c减去a的平方啊，它是等于c的平方，加上a的平方减去二CA。咱们把它累加起来。咱们把它累加我们就可以得到什么呢？可以得到这个a-b^2。加上b-c^2，加上c-a^2是等于。两倍的括号a的平方，加b的平方，加c的平方减去AB。减去BC，减去CA，对吧？

也就左边加左边等于右边加右边这三个等式，上面这三个等式，左边加左边等于右边加右边。好，那么两边同时除以二就是二分之一乘以括号好，这个括号的这一块呢？把它复制过来，你就把这一个。放在这里面。好，它是要等于什么呢？它是要等于。它是等于这个的，对吧？当然了，

这个我们也可以，同学们注意了，这个我们也可以把它。啊，我们也可以把它反过来写，是不是反过来写就先写等号的？这个右边啊，在写等号的左边也是可以的。对吧，即即a的平方加b的平方加c的平方减AB减BC减c是等于二分之一乘以a减b的平方加b减c的平方加c减a的平方。好，这个公式呢？希望同学们能够记得滚瓜烂熟，因为在我们考试过程中重复率啊，它的复现率是非常非常高的。

好，下面呢？我们看到这道题目的这个这个公式的应用。好，第一步，咱们写公式。写公式呢，就是a的平方+b^2+c^2-ab-bc。减去CA，它要等于二分之一乘以括号a减b的平方。加上b-c^2，加上c-a^2。好第二步。我们带数值。把一些数字我们带进来啊，

因为题目中的已知条件告诉我们a-b是等于负一的。啊b-c是等于负一的，所以根据这两个，我把它累加对吧？累加一下的话。我们累加之后呢，可以得到左边加左边等于右边加右边是不是啊？左边加左边等于右边加右边。那么左边相加啊，把这个b给抵消就变成了a-c了，右边相加是等于负二的。啊及啊c-a是等于二的。好，把它带进来，对吧？

把它带进来，这样的话就得出来，等于二分之一乘以括号啊，负一的平方。啊b减c呢，是负一的平方c减AC减a是二的平方对吧？所以它应该等于二分之一乘以六是等于三的。因此，这道题目正确答案选择c选项。好，这是我们的方法，一有的同学说老师这个方法，一这个公式，万一我不记在了怎么办呢？这个公式必须要记下来啊。

啊，如果你万一这公式记不下来了怎么办？下面还有方法，二方法二呢是特值法。由于这个题目的答案是唯一的，所以我可以取一个特殊值，你看题目中说a-b是等于负一对吧？b-c是等于负一。我干脆直接令令b=0，只要我们可以解的，可以解的a。减去零是等于负一的零，减去c是等于负一的，所以我可以迅速的解得a是等于负一。c是等于一的，

那么这个b呢是等于零我取的特殊值对吧？所以呢，同学们注意了啊，从而。a的平方加b的平方，加上c的平方减去AB减去BC。减去CA，那么我们就可以对号入座a的平方是等于一的b的平方是等于零c的平方是等于一减AB，凡是含有b的。对吧，凡是跟b相乘的都等于零，对吧？减a ab是等于0 BC是等于0 caa是等于负一。对吧，负一×1=-1，

那这样的话，我是不是得出来就等于三了？还是选c。是不是啊？所以大家会发现我们这个数学呀。其实它是有很多种方案去做的，就跟我们登山翼一样，这个山路其实有很多条啊，我我我们这个比如说在北京吧北京。咱们爬香山对吧？最北京最知名的山就是香山了啊，它这个香山呢，也是全国比较知名的山，虽然不高，但是很有名。

啊，那么这个爬香山呢？它的最高的最高峰呢？是叫香炉峰对我们从山脚下爬到香炉峰有很多条路线，你可以沿着。这个人工铺设的啊，铺设的这个台阶一级一级的往上爬。对吧，然后在爬的过程中，你会发现它有很多不同的路线给分叉，你也可以走那些走那些野路，那些野路呢，就是你能够看得出来是以前有很多人走过，但是呢，他没有用石头铺好。

也没有用那个水泥铺好它就是啊，那个啊有树叶啊草叶啊，像泥巴的那种路，但是呢啊。也可以走，对吧？也就是路很多。所以呢，我想跟同学们说的是我们这个数学的学习也是一样的，你可以用正儿八经的方法这样爬上去啊，沿着台阶一级一级的往上爬，你也可以用一些。对吧，用一些快速解题的方法，对吧？

直接穿插上去。是不是比如说咱们这个例六的方法一对吧？就正规的方法例例六的方法二，特殊值的方法就是走了一个巧径，取了一个巧径。对不对？好下面呢啊，我就给点时间，大家消化一下，我们考点17啊，考点17乘法公式与恒等边形这一块，我给大家做了一些。啊，这个说明和讲解，大家快速啊，

熟怀一下。好同学们，那么我们继续接着给大家讲解，大家看到考点18。嗯，考点18呢，这一块属于是多项式的竖式除法以及横等变形。那么我们以前呢学过对吧？我们在前面的课程啊，给大家讲过了竖式除法，其实我们在小学阶段学这个除法的时候数啊。啊，比如说三位数除以啊一位数，三位除以两位数，四位数除以两位数，

这种竖式除法对吧？我们都这个呃学过，但是呢？一个代数式，一个多项式，除一个多项式呢，这种的可能很多同学呢，都已经淡忘了，或者根本就没学过，那么大家注意了啊，大家做一个对比学习啊，互相比较。比如说啊，一二三四五对吧？除以啊，

比如说除以这个。呃七那我们。啊，复习一下这个，回顾一下这个竖式除法，然后呢，想通过这个最浅显的原理，把它拓展出啊啊，把它延伸到我们要学的东西上，好大家跟着我一起来操作。这边这边我们三个啊，这个一呢嗯，已经小于七了，所以呢，在一的上面，

咱们没办法上只能是一二对吧12？12这边除以七呢，是一七得七好。好，然后。用12-7，这边是五把这个三再把它掉下来，然后我们再来商应该是商756不行，超过了53，所以只能是七七四十九。是吧，这边是49好，我们依然是用上面的减去下面53-49，这边是四啊44。好，

我们再来这边，再来算多少呢？得算六六七四十二。对吧，六七四十二用上面的减去用上面的减去下面的这边二好把这个五掉下来。好，这边我们再来上这边应该是三七二十一对吧？三七二十一好这边呢？用上面的减去下面的这边是四。所以同学们注意了这个啊，这个呢。一二三四五这个叫做被除被除数。然后这个七呢，我们把它叫做除数。这个红色的，

这边幺七六三一千七百六十三，这个叫做商。然后剩下的这个四呢，叫做余数。这就叫做竖式除法啊。那么，在这个式子中呢？我们还可以写成对吧？得到一个恒等式，得到一个恒等式叫什么呢？叫做。被除数。它是等于。被除数是等于除数。啊乘以三再加上余数。

好同学们注意了，这是一个恒等式。我们把它框起来。这是一个恒等式，恒等式的意思是指呃恒成立对吧？一定成立，这是一个。很等式，在任何情况下，它都是成立的，被除数等于除数乘以三加上余数。好，接下来呢？我们再来研究一下这个呃多项式的竖式除法。举个例子来说。

比如说x的三次方加上3x的平方，再加上4 x+5。然后再除以多少呢？除以x+1，那么同学们注意了，这里面呢是很类似的啊。那这边x+1是有两项，有两项我们就要数两项出来x的三次方加3x的平方是两项，所以呢，在这地方开始商。删多少呢？得删。要确保啊，上我们可以上x的平方，要确保这个除4 x+1呃乘以这个我们商x的平方。

啊，使得它的最高次项啊，能够跟我们x的三次方抵消掉了，那你看啊x的平方乘以这个三啊。乘以这个啊，乘以这个这个x的平方除以乘以这个除四。那么，得到的结果呢？好。我把它写过来，这边是3x的平方，所以这边写上xx的平方×x+1是等于x的三次方。加上x的平方了，对吧？然后用上面的减下面的这边是。

啊，这边应该是2x的平方对吧？啊x的三次方加3x的平方减去这个x的三次方加x的平方减去这个红色的对吧？得到的就是2x的平方把x的三次方这个最高次。最高次项把它给抵消掉。好那么，然后把这个上面加4x再掉下来，这边写上加上4x是不是特别像我们数式的？这个数的除法呀，数的数是除法，对吧？那么整数的数是除法，那我们下面我们继续商商的时候呢？在这边写上加上多少呢？一定要注意。

使得这个x+1的这个x就是这个商啊，乘以我们要写的这个x+2 x对吧？加上2x，因为只有2x乘以这个x+1呢？啊，你看是不是正好是跟我们这个2x的平方+4x这个最高事项是呃，可以抵消的，对吧我们？商多少是以是要达是要达到一个目标的，就是要把最高次项把它给抵消掉，所以呢，这边的2x×x+1。对吧，那这边呢？2x×x+1这边要乘以它，

然后呢？写到这边来，也就是写到2x的平方，加上2x。好好加上2x，然后咱们再画上一条线。用上面的减下面的，你看这个2x的平方就抵消了，这边4 x- 2x还剩下2x好把这个五。把它拿下来。把这个五把它挪下来，挪下来之后我们来进一步的算算多少呢？是不是应该得加上二呀？因为这个二。跟这个这个二跟二跟这个x+1相乘，

是不是再写到这边来？对吧？写到这边来就是2 x+2了。啊，所以这边写上2 x+2。好，然后用上面的减下面的是等于三。那么，同学们这一块呢啊，就是说。CA，一块。就叫做叫做什么呢？叫做。被除四。

啊，这个叫被除式。啊，这一块呢叫做。啊，叫做除四。是吧，然后。这个呢？叫做什么呢？叫做商式，它是一个表达式，所以我们后面加一个式子对吧？然后这个呢？叫做余式。

因为它是一个数字，所以呢，我们也可以把它直接写成叫余数，对吧？有的时候这个余数啊，它它不是一个数字，它是一个表达式，所以呢，我们用余式表示更好一点。那么模仿啊，对照我们刚才的。对照我们刚才的这个呃，右右啊，这个左边对吧？左边这个数字除法，

我们就可以得到一个横等式叫做什么呢？叫做被除式。是要等于。除四。乘以商四。再加上于是。被除式等于除式乘以商式，再加上余式。好，同学们。这就是一个横等式，你看左右两边可以对比起来进行学习。啊，左右两边对比起来学习，那么我们再把这个具体的数字把它写进来。

对于左边那么被除数是等于一二三四五一万两千三百四十五要等于七啊乘以幺七。六三再加上四我们啊右边呢，这个表达式呢，这个合等式呢，可以写成应该是。x的三次方加上。3x的平方+4 x+5，它要等于x+1。乘以x的平方，加上2x，加上二，再加上三，对吧？这就是恒等式。明白吧，

这就是横等式。好，这是呃，这个竖式除法。那么下面呢？我们。啊，我们通过这个竖式除法呀来给大家呢嗯。讲几道题来看看他到底可以怎么使用。好，下面我们看到例七。例七呢，它说x的四次方加x的三次方加ax的平方+bx- 1÷x^2+x+1余是为2 x- 5则a+b等于多少？那么，首先这道题目我是不是应该用竖式除法来除一下呀？

对吧？咱们用竖式除法来除一下。嗯，这个竖式除法呢，我到这边来演示啊，应该是x的四次方加上x的。三次方加上ax的平方。加上bx- 1。好除以什么呢？除以x的平方，加上二二x的平方，加上x+1。x的平方+x+1。那么，大家注意了啊，

我们发现这边有一项，有两项，有三项，所以我呀。这个呃，写商的时候啊，这边是一项两项三项，我是不是要在这上面商啊？算多少呢？商要注意，要把最高次项要把这x的四次方给抵消了，所以我要算x的平方。x的平方跟除式相乘，就是x的四次方，加上x的三次方，

加上x的平方。是吧，好那么下面呢？我们用上面的减去啊，用上面的减去下面的。诶，一减我们发现这边。x的四次方抵消了x的三次方也抵消了，对吧？那只剩下这边是a- 1乘，以括号x的平方。好，那么同学们注意了，我上面哪一项下来是bx？现在哪一项下来之后呢？

我们这个a- 1×x^2，加上bx，你看这个是不是只有两项啊？但是我们这个除是有三项。所以呢，同学们注意了，这这个时候怎么办呢？这个时候就呃写商的时候。写三的时候就直接写上加零项不够，所以呢，我们要进一步的把它拿下来。把这个再掉下来，再减去一对吧？减去一了之后，这个时候我们就可以开始商了，

因为这道题目呢。它说它的余数是2x呃减五对吧？2 x- 5，所以我这个时候这可以怎么办呢？同学们，我们这个时候是不是可以商乘啊？它把平方向抵消了，所以我们商算多少呢？应该是要把最高次项消掉，应该是加上。a- 1对吧？这个a- 1乘以注意这边的零，这个零应该怎么写呢？实际上是零×x。是不是是零×x二？

这个中间这一项。啊，这边应该是。啊零×x就一次项是没有了对吧？然后这边呢，加上括号常数项是a- 1。那么这边呢，就是a- 1×x^2，注意啊，用a- 1乘以这个除式啊。啊，加上括号a- 1×x，加上括号a- 1，那么。我们用上面的减去下面的最高次项，

就抵消了，剩下的应该是啊，这边。是减出来啊，同学们注意了啊，减出来应该是b-a+1×x。对吧，乘以x再减去a注意负一减去括号a- 1是等于负a的。那么这样的话，我们就可以得出来它的余式为多少，好由竖式除法可得。好，咱们由竖式除法可得这个。于是于是在哪看呢？于是是不是在这啊？

这就是于是于是等于b-a+1。乘以x再减去a而而我们题目中，它告诉我们余式是等于多少的呢？于是是等于2x2 x- 5的。那么，这实际上我是不是就可以对号入座了？因为于是是同一个东西，所以说明。这个啊。这个系数是要一模一样的，对吧？也就b-a+1是不是要对应的是二呀？然后这个负这个这个减a。对吧，这个减a是不是要对应这个五啊？

是不是啊？所以呢？所以第二步来。第二步，我们就可以得到b减去。a+1是等于二的，这个a呢是等于五的是吧？所以我们解得来。同学们，注意看这个b等于多少啊？应该是b- 5+1是等于二的b- 4是等于二的。所以b是等于六的，对吧？所以呢？a=5 b=6，

因此我们可以解得a+b是等于五+6是等于11的。因此，这一道题目正确答案选择b选项。这就是竖式除法的这个巧妙的应用，实际上呢，我们也谈不上它是个什么巧妙的应用，它就只是。把诉讼处罚的这个原理啊，应用在实战中了，应用在解题中了，如果像这样的题目，用其他的方法去做，可能会有一定的困难，但是用诉讼手法。可以直截了当的，

这个切中要害，对吧？这就是数式除法的妙用好，下面呢，我给点时间，大家快速的把我前面啊。报前面。这个讲的呃，原理部分也就是呃，竖式除法是怎么操作的以及竖式除法可以得到一个横等式？对吧，还有我们这个例七，大家现场快速的实际操作一下，然后我再接着往前讲解，这样的话大家会啊掌握的会更加顺畅一些。

好同学们，刚才呢，给了一点时间，大家的理解和消化啊，我们前面所讲的例七和这个知识要点的学习，那么下面呢，我们看到例八。例八呢，这道题目呢，是一个条件充分性判断的题型，它的结论说这个多项式x的四次方x的四次方加m×x^2-nx+2能够被。x的平方+3 x+2说整除整除，那意思就是说前面这个多项式除以x的平方+3 x+2所得到的余数是零。对吧好，我们那首先第一步啊，

这个做一个竖式除法，这个竖式除法呢，注意了，它说x的四次方加上m×x^2，中间的x的三次方是没有的。没有，我们就要把它补补齐，怎么补呢？写上零×x的三次方，对吧？把它的位置还要留出来啊，加上什么呢？加上m×x^2，再减去n×x+2。好，

我们画一条线，把这个除号写出来，这边呢写上x的。呃平方加上3 x+2。那么，大家注意了，这边呢，是有三项对吧？这个除是有三项，那么就意味着我们要数三项了，从这地方开始。对吧，从这地方开始啊，那么我们算多少呢？算x的平方要确保啊，

要确保把我们这个x的四次方大会也抵消掉，那x的平方乘以这个除是。得到的结果写在下面，对齐应该是x的四次方加上3x的三次方对吧，然后再加上2x的平方。好，我们用上面减去下面的，那么这边应该是负3x的三次方，加上m减去。m- 2×x^2好，那么把上面的这个减ax把它掉下来减去nx。对吧，减去nx。好，然后我们再来这边呢，

应该是商多少呢？商减去3 x- 3x跟这边一乘跟这个除十相乘。啊，那么得到的这边应该是负3x的三次方减去9x对吧？减去9x的平方。再减去6x。好，这样这个负3x的三次方，它就抵消掉了啊，最高是想抵消了，那么剩下的我们这边应该是。啊，应该是m- 2再减去负九就变成了m加上啊m+7。七了对吧？所以啊m-2--9就相当于是m-2+9就是m+7×x^2。

啊，再加上负n-- 6就是负n+6×x好把那个加二把那个二掉下来。然后这个时候我们上多少呢？这个时候就有个窍门了，因为它能整除，所以余数为零，我们又关注到。这个常数项是二这边的，这个常数项是二对不对？所以我是不是直接加上一个一就行了，加上一个一。对不对？加上一那么这边就变成了啊x的平方啊，加上3x再加上。二对吧，

再加上二那么这个上面减去下面的注意了。这个常数项一减它是为零的，对吧？那么其他项是不是减出来也要为零了？也就是说好同学们注意了有数次除法可得。那。好由竖式，除法可得。m+7×x^2。加上负n+6×x，再加上二，它与x的平方。与x的平方+3 x+2注意了，这是。同一个多项式。

对吧，同一个多项式相减的时候，是不是才能够？抵消了，完全抵消掉，所以我们就可以得到，对吧？那么下面呢？我们就进入到第二步，这第二步就跟我们。前面讲的这个是不是很类似了，两个多项式是同一个多项式，对吧？那那么那就说明对应系数要相等了，所以我们可以得出来m+t是要等于一的。

对吧，这个负n+6是要等于三的，这个二是要等于二的，也就对应项要相等，这个系数要跟前面这个一这个系数要相等。这边这个系数呢？跟这边这个系数要相等是吧？所以我们就可以得出来，这个m是要等于负六的这个n呢？是要等于三的。对吧，是不是得出来m和n的值啊？好，这样的话，我们就可以得到原结论等价于。

好，所以原结论。啊，原结论等价于什么呢？等价于m要等于负六。m=- 6，n=3是吧？m=- 6，n=3那么下面我们来进行。判断条件一说m=- 6 n=3，那就是我们的等价结论对吧？所以它能够推结论。那么条件二。好好，下面我们看到第四步。

条件二呢，他说这个。m是等于三的n呢是等于。等于负六的，那显然它就推不出结论来了。对吧，条件一能够大家注意了啊，条件一呢，能够推结论条件二呢，不能够推结论，按照我们的题型规则是不是正确答案应该是。选择a选项。对吧，要选择a选项。好，

这是例八这一道题目啊，看起来是一道超级难题，但是我们也用竖式除法巧妙的解决了。好，下面请同学们看到例九。好，我们看到例九这道题目，例九这道题目呢，它说已知x的平方+2x加加2 x=1是吧？好同学们注意了，我要。想办法呢，我我现在呢，想做一个恒等变形，因为我们知道x的平方，

加上2 x=1，我是可以得出来。x的平方+2 x- 1是等于零的好，这是第一步。那么现在呢？我们的目标是想想。想怎么样呢？我们想把这个x的三次方减去2x的平方，减去9 x+1。想把它写成写成x的平方，加上2 x- 1对吧？乘以一个东西，再加一点零头。这样的话啊，是不可以进行大幅度的化简了？

那么，怎样才能够实现这个目标呢？诶，我们想到。那我们想到竖式除法是可以帮我们辅助，我们进行恒等变形的。对吧，竖式除法可以辅助我们恒等变形来，我们来操作一下啊，用竖式除法来恒等变形x的平三次方减去2x的平方。减去9x，加上一来咱们除一下除多少呢？除以x的平方，加上2 x- 1。对吧，

同学们注意了，这边是有三项的。啊，这边是有三项的，所以呢，我在除的时候对吧？我在除的时候这边也要数三项，一项两项三项对吧？对吧，所以我要从这地方开始上，对吧？我要从这边开始上。嗯，一项两项三项，我除的时候这边这边三个x对吧？

这边应该是x的三次方。加上二x的平方减去x。对吧，减去x。好，我们用上面的减去下面的用上面的减下面的，这边应该是负4x的平方。对吧，负四x的平方好注意了，这边呢是负九注意负二减二是等于负四的负九减负一是。是不是应该等于负八呀？所以这边应该是减去8x，再加上一，然后我们这地方再上多少呢？我们再商负四这边应该是减去四对吧，

所以这边是负4x的平方。啊，减去8x。对吧，然后再加上四。再加上四啊，用上面的减下面的应该是等于对吧？是不是一减去四等于负三？那其他的话。呃，这个平方项和一次项是不是都全部抵消掉了？所以我们根据恒等变形同学们注意了。有多项式的数字除法，那我们看到第二步。由啊，

由竖式除法。由竖式除法。可得。如下恒等式。我们可以得到一个恒等式，这个恒等式呢？是x的三次方减去2x的平方，减去9 x+1。它是要等于x的平方，加上2 x- 1乘，以x- 4再减去三。是不是得到这么一个恒等式？那上面这个目标呢，是我们想变形成为这个样子，那么怎么去变形成为这个样子呢？

我们可以借助于竖式除法。对吧，借助于竖式除法。好，那么下面呢？嗯，我们从而啊。那么下面我们看到第三步，又因为x的平方，加上2 x- 1是等于零的。所以原式。它是等于零×x- 4再减三，它是等于负三的。所以这道题目正确答案选择一选项。正确答案选择e选项。

好那么竖式除法呢？它的功能是非常强大的啊啊，注意了，竖式除法呢呃，它要。承担的使命就是做横等变形。就做恒等变形。可能有些同学会深入的思考啊，有一些疑惑，比如说老师啊，你看这个x的平方减去x的平方加二x减一。它是除式啊。可是这个题目中x的平方+2 x- 1=0，它是除是不能够等于零的，你现在怎么等于零了呢？

注意了，这问题问的非常好。啊，那么怎么去理解这个问题呢？就是说竖式除法。它是用一个多项式除以另外一个多项式。对吧，它做的是一个恒等变形。也就说我们啊呃，我们用这个速数除法呢，你这个除式呢？我们我们如果在除式中啊，在这个啊分数中啊，在除法中除式是不可以为零的。但是我们用这个啊，

用这个竖式除法呢。我们可以借助这个除除法运算的，这个过程写出一个恒等式，这个恒等式。对吧，它是成立的，它是恒成立的，我只要明白这个就行了，也就说这个竖式除法，它只是告诉我们得到了一个恒等式，这个恒等式是永远成立的。啊，是永远成立的，就是这个，它就就这个x的平方+2 x- 1=0的时候，

它也是成立的。它不等于零的时候也是成立的，这是个恒等式。而竖式除法呢，他只是辅助我们去把这个横等式找到了而已。明白吧，所以啊，所以大家要理解这一块数字，除法只是一个工具，只是辅助我们把这个横等式找到了。而这个恒等式呢，是每一个部分对吧x的平方+2 x- 1，它也它等于零的时候，我这个恒等式也成立啊，它不等于零的时候，

我这个恒等式也成立。所以呢，我就要借助于它不等于零的时候x的平方+2 x- 1不等于零的时候，这种情况我把这个恒等式把它找到。找到就要用竖式除法。明白了吧好，这是例九这个题目的这个讲解以及这个解释说明，下面请同学们看到第十题。好，我们看到例十已知x等于根号二减一啊，要求求这个表达式的值好这道题目呢，相当于是多了一道工序而已，好，我们看到第一步。因为x是等于根号二减去一的，

所以啊x加上一是等于根号二的两边平方。也就是x+1^2是要等于二的好用，完全平方公式把它展开，应该是x的平方+2 x+1是等于二好，我们一项可得。x的平方+2 x+1再减二是等于零的，那么是不是变成了x的平方+2x？减一=0呐。是不是啊？所以我们得到了x的平方，加上2 x- 1=0了。x的平方x的平方+2 x- 1是等于零的x的平方+2 x- 1是等于零的。那这样的话，是不是就跟我们的例九是一样的了，对吧？

所以呢，下面我们可以得到第二步。由竖式除法可得。啊由竖式除法。得这个x的。三次方减二x的平方减九x加一，它是等于x的平方，加上二x减一乘以呢？这个竖式除法我就不重新操作了啊，就直接一模一样的把它照抄过来就行了，对吧？乘以x- 4再减去三。对吧，又因为x的平方，加上2 x- 1是等于零的啊，

所以。啊，所以这个原式啊，它就等于零×x- 4再减三，它是等于负三的。对吧，所以这个题目正确答案也是选择e选项。好同学们，那么现在呢？我给你时间，大家把考点18中的后三道题例八例九例十快速消化一下。好同学们，那么下面我们继续接着往前讲解，大家看到考点19。好，

我们看到考点19考点19呢，属于是配方法和非复性，大家注意了，我们前面呢，已经给大家讲了，完全平方。对吧啊，完全平方公式是a-b^2，它是要等于a的平方+b^2-2ab的。那么完全平方呢？大家注意，它是具有非负性的，那完全平方。具有。完全平方，

它是具有非负性的啊，比如说啊，比如说a的平方，它肯定是要大于等于零的。又比如说a-b^2，它也是大于等于零的，对吧？只要是完全平方，它都是大于等于零的，就比如说。这个a的平方+b^2+c^2，这都是要大于等于零的，对吧？非负性就是指大于等于零。好，

那么同学们注意了，我们反过来那a的平方+b^2-2ab，它就等于a-b^2，它是大于等于零的。对吧，我们再来写，比如说哎，换成x的平方+y^2-2xy，那我是也可以得到x-y^2，它是等于x-y^2，它是大于等于零的。对吧，完全平方具有非负性是吧，完全平方具有非负性。好，

我们再来看。好，我们再来看这边呃。我们稍作变形啊，比如说a- 2b的平方，那它是等于a的平方加上。四b的平方再减去四AB对吧？我反过来我是不是就可以得到a的平方减去四AB？加上4b的平方是等于啊，是等于这个a- 2b括号的平方，它是大于等于零的。是不是也是具有非负性的？又比如说这个a- 3b括号的平方，它是等于a的平方+9b的平方，再减去6 AB。

那我反过来写啊，稍作调整就是a的平方减去六AB加上九b的平方，它是要等于a减去三b的平方，也是大于等于零的。对吧，也是大于等于零的。好同学们，像这些我们需要非常熟练啊，我们再来看用一些数字来比来来表示，比如说a的平方啊。啊a的平方啊，减去2a，加上一同学们注意了，它是等于a- 1^2，要大于等于零。

又比如说a的平方减去四a，加上四，它要等于a减去二的平方，它是大于等于零的。又比如说a的平方减去六a，加上九，它是等于a减去三的平方，它是大于等于零的。对吧，我们还可以写，比如说a的平方减去a的平方减去八a加上十六。所以我们注意了，它是等于a减去四的平方，它是大于等于零的，对吧？

a的平方减去好继续来a的平方减去四。10 a+25，它是要等于a- 5^2，它是要大于等于零的，这都是有规律的。那么，这些完全平方中啊，这个用数字表示的字母和数字表示的这些完全平方中，大家有没有发现呢？这个16它是负八的。这个a的一次项系数一般的平方25，它是a的一次项系数负11般的平方，对吧？那么这个九啊，这边这个九它是a的一次项系数。

是负六负六一半的平方，也就说常数项等于一次项系数一半的啊，平方那么就可以写成一个完全平方了。是不是啊？好，这是给大家做的一个复习，下面请大家看到例11。好，我们看到例11这四个条件充分性判断了题型，它说无论x取何值，多项式的值都是一个正数。我们看到第一步。条件一。它说多项式是x的平方。加上y的平方减去二x。

加上12y。啊，加上40。x方加上y方减2 x+12 y+40。啊来，我们来运算一下，它是等于等于什么呢？我们把它进行重新分组一下，这这个跟这个一组啊x的平方减去二x加上一。啊，这可扣，这可以促成一个完全平方，对吧？然后后面呢？这个y的平方+120000来，

我们再来。啊y的平方+12y对吧？y的平方+12y，然后加上一次项系数一半的平方，一次项系数是12，它的一半是六的平方，一半的平方就是六的平方是36。对吧，那么我们这个常数项呢是40，我现在已经用了一个，又用了36，是不是用了37呀？还那么。我要把它抽成一个40，是不是是不是还得额外加上三呢？

这样的话，我就可以得到完全平方，应该是x- 1^2。加上啊y加上这个y+6^2，再加上三，我们知道完全平方是具有非负性的，它是要大于等于零，加上零，加上三。对吧，也就说原式最小最小都是三，那肯定是个正数了嘛，对不对？所以呢，它能够推出结论来是不是？

所以条件一。啊，条件一呢，是可以推出结论来的。是不是条件，一是可以推出结论来的。好，下面呢？我们看到第二步。条件二呢，它说x的平方。嗯，加上。2y的平方。减去2 xy。

加上6y。加上十。加上十的话，同学们注意了，我们现在呢嗯，把前面的这个这边有一个减2 xy。对吧，我是不是可以把它拆一下，把它拆成x的平方，减去2 xy，再加上y的平方？啊，也就是说我们把这个2y的平方可以把它拆成两项？能理解吗？能理解吗？

把这个2y的平方拆成就是x方加y方减去2 xy，然后再还有一个。把它拆成两个y方对吧？然后y方呢？加上6 y+10，我把这个十呢拆成九，再加上一。对吧，因为这个九为什么要加上九呢？九是九是y前面的一次项系数对吧？就是这个一次项系数y啊，一次项系数是不是就y前面这个系数是六啊六的一一次项系数一半的平方也就六的一半的平方？六的一半是三三的平方，九是不是这样的话，我们就可以得出来，

它应该是等于x-y^2，再加上y+3^2，再加上一。利用完全平方，具有非负性，所以这边是最小是0 x-y^2，最小是零对吧？y+3^2最小是零，然后再加上一，所以它最小是三。对吧啊，最小是一。对吧，它最小是一，最小是一，

它也是能够推出结论来的，因此啊，条件一跟条件二都能够推结论，按照我们的题型规则正确答案是不是应该选择？4d选项。对吧，正确答案是选择4d选项。好，下面呢？请同学们看到第12，我们看到例12。例12呢，它说已知实数xy是满足。好它满足x的平方。加上3x。

加上one。减去三=0，要我们去求x，加上y的最大值，那我显然我是不是要想办法把x+y给表示出来啊？所以我们把它拆一下x的平方，加上2x，加上x，加上y- 3=0，而这里面就是有xy，我是不是就把xy给产生出来了？所以这个x+y，它是等于负一项啊，剩下的其他的几项，我把它移到等号的右边，

应该是负x的平方。减去2x，再加上三对吧x+y，我是不是就表示出来了？表示成这个了。好同学们注意了接下来。我们再来配方，那这个嗯，把它挪下来写x+y是等于负我再提炼一下，提个负号出来。是负的x的平方，加上2 x+1对吧？加上一我再加上四是不是就可以还原回来啊？而x的平方+2 x+1，这是个完全平方，

对吧？所以是一个完全平方，它是要等于负的括号x+1^2，再加上四。利用完全平方的非负性可得，对吧？你x+1^2。是大于等于零的，那么负括号x+1^2是不是得小于等于零啊？所以它是小于等于零+4。对吧，等于四。所以它的最大值，同学们，它的最大值。

是不是四啊？对吧？所以这个题目啊及。哎，要是。加y。x+y。它的最大值为四，因此这个题目正确答案选择a选项，所以同学们注意了完全平方，它可以帮助我们。啊，意想意想不到的这个呃，解决一些比较复杂的问题。好，

下面呢？我给点时间，大家把我们考点19啊，所做的知识点的讲解和两道例题快速的复习消化一下。好同学们啊，那么我们就继续接着往前讲解了，大家看到考点20。考点20呢，这块属于是啊，因式分解。啊，什么叫做因式分解呢？我举个例子来说啊，比如说x。啊x的平方减去四x，

加上三啊，你看我们把它可以写成x减去一乘，以x减去三。就我把x- 1×x- 3，我把它展开之后啊，合并同类项，它是等于右它是这个右边是等于左边的。那么，这是做了一个恒等边形，我们把一个多项式写成几个？多项式相乘的形式，这种就叫做写成啊，实际上就是写成。多项式。就是写成多项式相乘的形式，

这种变形，这种变化对吧？横等变形就叫做因式分解啊。啊，把一个多项式写成几个简单的多项式相，一个比较复杂的多项式写成几个简单的多项式相乘的这个啊。这个样子，这个过程就叫做因式分解，对吧？这个结果也叫做因式分解之后得到的结果，它是恒等变形。好同学们注意了。我们不需要去掌握严格意义上的定义，但是我们要能够看到它，知道我们在干什么，

对吧？啊，看到这个因式分解，知道我们要朝哪个方向去思考啊？就是写成几个简单多项式相乘的，这个过程就叫做因式分解。那么，因式分解的方法呢？有哪些呢？好同学们注意了，因式分解的方法呢？实际上它是有固定的思路的。首先第一个方法叫啊叫做。题方法一。提取公因式。

啊叫提取公因式法。我们来给大家做一个示范。啊，给大家做一个示范，比如说ax加上。啊，或者这样写叫做。xy加上啊y×z，我们发现这边都有一个y，所以呢，我们可以提出来写成y乘以。x+z，这就叫做提取公因式法写成相乘的形式了，这是方法一。方法二。

啊，分组分解。啊，分组分解法。什么叫做分组分解法呢？举个例子来说。那x的平方减四x，加上三，我们可以把它写成先先拆项写成x的平方。啊x的平方减去x再减去三x，加上三。把这个作为一组，把这个后面作为一组好，我们继续写，它是等于什么呢？

它是等于啊，它是等于这个。提一个公因式对吧？分组我们把它分成两组，提一个公因式这边提一个x就变成了x×x- 1，后面呢，我们提一个负三出来。就变成了负三×x- 1对吧？我们再提取一个x- 1出来，所以应该是x- 1。乘以x- 3对吧？这一这也变成了相乘的形式，这叫分组分解法好，我们再看到方法三。好，

我们再看到方法三。方法一呢，是提取公因式法方法二呢，是分组分解法，这都是比较基础的方法啊，那么下面我们看到方法三叫十字相乘法。我们还是举上面这个例子啊x的平方减去四x，加上三。x的平方减去四x加上三，那么我们啊怎么用十字相乘法呢？我们可以这样来。就是把这个常数项啊，把这个把这个x的平方项的系数分解成为两个数相乘，那是平方项的系数是一只能分解成为一×1对吧？然后把这个常数项呢啊分解成为两个数相乘，

这个三呢可以分解成为一乘上，也可以分解成为负一乘负三。对吧，负一我们写成负一乘以负三那么呃。这个，然后再交叉相乘，大家看我画一条虚线，再画一条画一条实线，那么交叉相乘。再相加啊，注意这个这个是啊，这个过程。把常数项我再重申一下啊，把平方项分解成两个数相。把平方项的系数分解成为两个数相乘，

把常数项分解成为两个数相乘啊，它可能有很多种不同的分解，但是呢。怎样才是我们要找的那个分解呢？就是交叉相乘。啊，得到的结果相加啊，比如说我们这边加上相乘一乘以负三。再加上一乘以负一，是不是交叉相乘再相加？它是等于负四的，它是等于一次项的系数。如果啊，你交叉相乘之后得到的结果在相加。恰好等于一次项的系数，

就表明我们分解成功了，那就那那就说明什么呢？说明我们这个结果应该是等于好注意横向写啊，横着写啊，应该是等于。前面这个一啊，都代表的是x一个xx- 1×x- 3。很快，十字相乘法，对吧？十字相乘法对十字相乘法啊，跟分组分解法，你看我都是研究的，是同一个问题。啊，

也就是说呃，我们数学中其实一个问题，我们有很多种方法去解决了，对吧？好，这叫十字相乘法，我们再举个例子来说啊。好同学们，我们再举个例子，比如说要分解x的平方x的平方，减去6x，加上八，我们怎么去分解呢？我们把这个平方项的系数是一对吧？我们把它分解成为一乘一啊啊，

我们这个八呢可以分解成为一乘八，也可以分解成为啊，这个二乘四也可以分解成为负一乘负八，也可以分解成为负二乘负四。由于这个一次项的系数是个负六，所以我们把它分解成为两个负数相乘，所以我们分解成为负二乘负四，正好呢，这个交叉相乘。对吧，交叉相乘再相加得到的结果正好是负六是一次性的系数负六对吧，正好是一次性的系数负六，说明我们分解成功了。注意了，前面这个第一列啊，

这个一代表是一个x这个一代表一个x对不对？所以我们写成分解因式之后的结果呢？应该是这个x- 2注意横向啊，从横向的角度来看，啊x- 2×x- 4。这就是我们四字相乘法。好，下面呢？我们看到第三个方法，第三个方法呢？是这个公式法。啊，第四个方法了啊。啊，方法四。

公式法。公式法呢？比如说a的，比如说x的平方减y的平方，对吧？我们用平方差公式。x的平方减y的平方，它是等于x减去y乘以x加上y，这就是平方差公式啊，我们在因式分解的时候非常有用，又比如说。这个x的三次方加上y的三次方对吧？x的三次方加y的三次方，我们前面讲过平方讲过这个立方公式，因为x+y括号的。

三次方它是等于x的，三次方加上y的，三次方加上三啊，我们把它写完啊。它是等于呃，在等于x的三次方加y的三次方加上3x的平方y+3 xy对吧？我们再稍作变形。同学们，注意我们操作变形，它是等于什么？它是等于啊，我往下等着写二，它是等于x的三次方。加上y的三次方，加上3 xy再乘以x+y。

对吧，那么我们考试的时候这个公式，它就意味着有一个因式分解啊，我把它写全。你看这个地方，我们就可以得到什么呢？我用红色的笔来写啊，它可以得出来x的三次方加上y的三次方。它要等于x+y的三次方减去三倍的x×y，再乘以x+y。咱们提取公因式是吧？咱们提取公因式是不是应该就是x+y再乘以括号x+y^2？减去3 xy。对吧，这边应该是x+y啊，

乘以把它展开就是x方加y方加2 xy再减3 xy就变成了。x的平方减去xy，加上y方对吧？好整个推导的过程呢？我就跟大家。啊，写完了，那么下面呢？我把这个结果啊。嗯，同学们注意。我把这个结果呢，整合到这边写到这边来。这个结果呢，也就是x的三次方加上y的三次方是等于x+y×x^2。

减去xy+y^2，这是不是也把两个多项式呃，把一个多项式写成了两个多项式相乘的形式啊？这就是因式分解是吧？这就是因式分解。啊，这个同学们这一个啊，这个证明的过程啊，我就把它缩小了啊。感兴趣的同学呢啊。啊，我就把它缩小了，放在这边。然后同样的道理呢，这边x的三次方减去y的三次方，

它一次分解之后得到的结果是。x-y乘以乘以x的平方，加上xy+y^2。好，这是我们考试过程中常见的公式啊，常见的这几个公式非常重要。非常的重要。好同学们，这个啊，大家看一看能不能够理解到？好，这是方法四下面呢，我们看到最后一个方法也是最难的啊叫做。方法五叫双十字相乘法。双十日相乘法。

嗯，双十字相乘法呢？呃，它一般用来去解决什么呢？一般用来去解决二元二次多项式的因式分解。我举个例子来说啊。比如说x的平方。加上啊，加上这个2 xy+y^2。减去3x，减去3y，再减去40，这是一个二元二次多项式，对吧？我们要因式分解它的时候，

怎么分解呢？我们可以这样来，同学们注意了，把它的。把它的两个。平方项。找到x的平方y的平方还有常数项找到。然后呢，把这个平方项啊，把它分解成为两个数相乘，那就是x×x了，对吧？把这个y的平方呢，分解成为两个数相乘，是y×y。

那么分解的时候，大家注意了。要的，比如说这个x的平方和y的平方分解之后交叉相乘再相加啊x×y+x×y是不是等于2 xy？要恰好等于这个地方。就表示，分散光表示分散光了。然后在后面的。这个常数下呢，我们啊这个负四十可以分解成为五乘负八对吧？呃，当然也很多种不同的情况，也可以分解成为一层负四十一个，分解成为二层负二十，也可以分解成为这个四乘负十，

对不对？有很多种不同的分解，但是呢，要确保什么呢？要确保啊，这个x分解出来的结果，那看到了没有？x分解出来的这个结果啊，跟这个常数项交叉相乘，哎，看到没？我用蓝色里面写的。我用来这里面写的交叉相乘再相加，要恰好等于x的一次项的系数是负三。这是一方面对吧？

另外一方面好同学们注意，另外一方面嗯。另外一方面，这个嗯y。对吧y的平方分解出来这个两项跟我们的常数一样，分解出来的两项。它交叉相乘，再相加也要也要等于这个y的一次项的系数。啊，是吧，也也就是等于y的一次项是不是等于负3y应该也是符合要求的，这样的话就表明我们分解完毕了。写的时候呢，注意要横向写啊，要从横向来看。

好，也就说横向来看的话。好横向来看的话，它就等于横着横着看，应该是x+y+5对吧？横着看x+y+5。再乘以x+y啊，加上y- 8。x+y+5×x+y- 8这这样的话，是不是也把它分解成为两个多项式的乘积了？所以这个双十字相乘呢？大家发现实际上是有三个。是不是啊？实实际上是不是有三个十字架的检验呢？三个十字架对吧？

这是第一个，这是第二个，还有一个大的这个虚线。这个蓝色的笔画的虚线是不是总共有三个十字架来去验证啊？好，下面呢？我通过咱们讲义上的例题，再给大家做示范，刚才呢讲了五种方法，对吧？下面呢？我们用这五种方法来去解决我们讲义上的。这个若干例题，大家看到历史上。好，

我们看到例13啊，它要我们因式分解的是ax+ay。加上bx+by我们，首先呢，我们发现了这个呃。这两项都有a对吧？这两项都有b，所以我们可以考虑使用分组分解的方法，对吧？因为分完组之后我就可以提取公因式提取公因式之后，它又可以产生。啊，提取公因式对吧？就是可以为后面做好铺垫，所以要找到这个突破口，

我们先提取公因式就是。啊a乘以括号x+y对吧？加上b乘以括号x+y。那这个时候那x+y是不是就变成了我们的公因式了，所以它又可以往下写啊，应该是。等于x+y啊乘以括号a+b，这样的话是不是就分解完了？好，这是我们第13题啊，它用到的是分组分解方法，我们看到第14题。它要分解的表达式是x的平方减去xy减去x，再加上y。我们发现呢呃，

可以把这一组啊，比如说我们把这一组作为一组，把后面这个作为一组。那么我们就可以得到提取第一组呢？提取xx乘以括号x-y第二组呢？提取一个负一出来就是变成了减去一乘以。减去一乘以啊x-y好，这个时候我们是不是又产生了x-y对吧？x-y这个公因式啊。对吧，所以我们就可以得到，应该是x-y再乘以括号x- 1，这也是分组。对吧，分解的这个代表好，

下面呢，我们看到第15题。第15题呢，是x的平方，加上p+q×x。再加上p×q。那么，我们用两种方法来给大家去讲解方法。一首先，我们分组对吧？我们怎么分组呢？我们可以把它写成x的平方。加上px这作为第一组，然后再加上qx，再加上p×q，

把这个作为一组，把这个作为一组。前面的第一组呢，提取x出来x×x+p第二组呢，我们提取一个q出来q乘以。x+p那么x+p对吧？x+p我们是不是也可以提出来？应该是等于x+p。乘以x+q好，这是方法一那么下面呢？我们看到方法二。方法二呢，我们用十字相乘法来去解决x的平方，加上p啊，加上p+q。

乘以x+PK题目，我先抄写下来，我们用十字相乘法去做的时候呢，要先把平方项啊，我们把它分解一下对吧？分解成为x×x。嗯，当然，你也可以直接写成系数一×1对吧啊，我们直接写成x×x，然后把这个常数项把它分解成为两项相乘。啊p×q，然后交叉相乘得再相加，得到的结果是不是恰好是px×qx，也就是p+q×x？

对吧，这样的话，我们就分解出来啊，分解出来之后要横向来看啊，横向来看就是x+p。乘以x+q对吧？这是我们的第。15题，也就是说我们既可以用。分组分解的方法也可以用这个十字相乘。实质相乘法，来去解决好下面呢，我们看到第16题。第16题呢，是3x的平方，

加上16x加上。诶，这个我们可以考虑使用。十啊，这个十字相乘法，把3x的平方分解成为x和3x相乘，然后再把这个五分解成为一和五。再相乘，那么我们可以把一放在这样吧，这样写的话，你会发现交叉相乘之后再相加是5x加，3x是8x。这样的话，它跟我们你看这个，它跟我们的这个一次项是不一样的，

所以这个是不是就得舍掉？对吧，那么怎么去那么接下来咱们怎么办呢？我们要做调整。对吧，我们是不是要调整了？怎么去调整一下呢？同学们，咱们怎么去调整一下呢？我们是不是可以把这个五和一颠倒一下？是不是啊？我们可以把这个五和一颠倒一下，颠倒一下之后。那么，同学们看一看那么这边x+3 x×5就15 x+15 x就是16x。

这是不是就分解成功了，对吧？验证成功，它恰好等于一次项，所以这边我们就可以得到，应该是横向来去写啊，横向来写应该是。x加上二五×3 x+1对吧？x+5×3x加上。x+5×3 x+1。对吧，这个是正确的，对吧啊，这就是十字相乘法啊，同学们注意十字相乘法。

好，这就是咱们十字相乘法的十章示范，下面请同学们看到第17题。好，我们看到第17题。第17题呢？呃，看起来好像很复杂，我们一起来操作一下a的四次方乘以b。减去16×b的五次方，我们发现这地方都有b，我们提取一个b出来。所以就变成了b×a的四次方减去16×b的四次方。好，我们再做一个变化，

它应该是等于。啊，这样来写啊，它应该是等于b乘以括号a的平方，注意啊，我们把它这样来写啊。把它写成a的平方的平方，再减去4b的平方，括号的平方。这样的话，我是不是把a的平方当做整体，把4b的平方当做一个整体，这样的话构成了一个平方差公式，对吧？我们就可以分解这边往下写，

应该是b。乘以括号a的平方+4b的平方，再乘以a的平方再减去。4b的平方。那么，同学们注意了，这个a的平方减四b的平方。对吧，又可以。构成一个平方差公式。啊，因为2b的呃，这个4b的平方是等于2b括号乘以2b的是不是？所以呢，它又是一个又可以构成一个平方差公式。

注意啊，这边它又等于这边又是等于a啊减a+2 b啊，再乘以括号。啊a+2 b×a- 2b对吧？a+2 b×a- 2b所以啊啊同学们最终的结果呢？啊，最终的结果是a的四次方乘以b- 16倍的b的五次方。它应该是等于b乘以括号a的平方，加上4b的平方。乘以a+2 b，乘以a- 2b。对吧，这就是你看一个很看起来好像呃，只有两项的一个表达式，对吧？

呃，一个多项式，最后我们分解因式之后。变这么长了。对吧，变这么长一串了好，这是第17题，我们连续使用到了平方差公式好，下面呢，请同学们看到d。18题。第18题呢？我们首先要给大家复习一个公式，这个公式呢？是x的啊，

三次方减去y的三次方。它是等于x-y×x^2，加上xy再加上y的平方呢？那么我们这个题目中是不是只需要稍加应用就可以了？x的三次方减去一我是不是可以把这一写成一的三次方啊？那不就相当于是y=1了嘛，上面这个对吧？上面这个公式中y=1，所以就得到应该是等于x- 1×x^2。减x的平方+x，再加上一是不是在这个中？是不是另y=1？是不是就得到了下面这个是吧？就得到了下面这个好，这是第18题，

这叫立方差公式，立方差的平方。啊立方差的因式分解好，下面请同学们看到第19题。好，我们看到第19题。这道题目呢，它说x的平方+5 x+6是等于x+3。乘以x+m的对吧？要去求m我们用啊，我们有多种方法的去求解，首先看到方法一。我们首先知道这个题目的因式分解，因为它把一个多项式啊啊把它分解成为两个啊，简单的多项式相乘。

对吧，所以这叫做因式分解，我们直接因式分解，因为x的平方+5 x+6。我们把它分解啊，把平方项分解成为x×x，把这六呢分解成为这个可以分解成为一×6，也可以分解成为二×3，对吧？二和三呢，我们为什么要分解成二和三呢？因为我们待会交叉相乘再相加，恰是等于5x是等于这个一次项。对吧，所以呢，

我们分解出来之后注意分解出来之后要横着写啊，要横着写啊，也就是x+2 x+3对吧？所以它是等于x+3再乘以x+2，那么诶，那我们这一对号入座。是不是我们一对号入座，是不是很显然一对比我们就知道这个m要等于二？对比可知。这个m是等于二的。对吧，所以这个题目正确答案选择b选项。对吧，选择b选项好，这是咱们的方法一。

下面呢，我们看到方法二。好，下面咱们看到方法二。因为啊，因式分解是恒等变形，所以x的平方+5 x+6。等于x+3×x+m，它既然是恒等边形，所以它就是一个。恒等式对吧？哦，我们知道恒等式的话，是不是可以取特值的？对吧，

恒等式取特值啊，我把它写下来啊，这个口诀同学们要熟悉下来。叫做。啊恒等式。取特值，咱们令我要去求m对吧？我是不是直接令x=0了？对吧？令x=0。啊，那么代入。代入这个等式，我们可以得到左边就是零的平方，加上五×0就是零了，

再加上六是要等于啊零+3是等于三的，对吧？零+m是等于m的，所以我们可以得到这个六=3 MM要等于二是不是就还是得到要选择b选项？所以说条条道路通罗马。对吧，而我们用因式分解，用十字相乘法直接去因式分解，之后进行比对，我们也可以得出结果来，我们也可以进行啊，恒等式取特值的方法去解题。是不是都可以好下面请同学们看到第20题？好，我们看到第20题。

第20题呢，这是一个二元二次多项式，所以我们要考虑使用双十字相乘法，对吧？来去因式分解。这边呢，是x的平方。加上。5 xy。加上6y的平方。加上8x。加上18万。加上12。好，那么同学们，

我们首先呢，把它的平方项和常数项找到，这是平方项。对吧好，这是常数项注意了，像这边的话，我们要带系数啊，因为系它涉及到正负号，所以要把这个系数给带上。这边呢，我们把x的平方分解成为x×x，把6y的平方呢分解成为。这个2y×3y啊，这样的话交叉相乘，是不是再相加恰好等于5 xy？

是不是等于这个等于5x等于这个呃，这个平方项两个平方项中间的这个项啊，对不对？好，那么接下来我们再把这个常数项把它分解成为。两项啊，注意了，待会我们交叉相乘的时候要得到8x和18y，那么12我们怎么分呢？我们可以二六。对吧，我们可以写成分解成为二和六啊，待会我们可以来调整位置，因为我们为什么要分成二和六呢，因为12可以分解成为一×12，

也可以分解成为二×6，也可以分解成为三×4。但是我们只有把它分解成为二×6的时候，它跟啊这边交叉相乘啊。啊，这个交叉相乘再相加。才能够得到等于8x。是不是啊，才能得到点8x另外一方面，我们还得想办法这个y嗯，这个这个呃6y的平方分解出来的这个两个。式子跟常识要分解出来两个式子交叉相乘，它得等于18y啊，交叉相乘之后要等于18y，对不对？

对不对？所以呢，我们来看一看啊。那么这样啊，它2y×6+3y×2，那么得到的结果是不是正好是等于二六一十二+6是不是等于18y？所以这是不是也分解成功了？所以呢，用十字啊，用这个呃。双十字相乘法，我们分解的时候有可能运气比较好，一下子就试成功了，也有可能你要调整好几次才能够。啊，

试成功对吧？所以我们这样的话。我从对吧横向来看，我是不是就可以得到这个结果了？啊，所以呢，我们这边呢，应该是等于x。加上2y，再加上二×x，加上3y，再加上六。对吧，这样的话是不是就分解完毕了？对吧，

有的同学说老师，万一我当时写的时候把它写成六和二了呢？六和二。对吧，你发现呃，这个跟18y这边进行。比对的时候，它是不符合的，不符合那咱们把这个二和六六和二对调一下位置不就行了吗？是不是？所以同学们要注意这一点，它有的时候需要尝试好几次。那么，因式分解这一块呢啊，现在我留一点时间，

大家快速的啊，把咱们前面啊，因式分解的。这个。这个五种方法啊，因式分解的五种方法以及啊，这对应的几道例题快速的复习一下十章啊，有些题目。你实战在操作演练一下。

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