03.课件3-2024数学基础班第3讲

罗泽兵 · 发表于 2024-4-5 09:35:07

好，各位同学，大家好，那么今天呢？是我们二零二四金湖广中数学基础班的第三讲。我们在前面呢，第一讲已经给大家呢，把考点13，14，15，也就是啊，数轴绝对值分式的恒等边形公式的恒等边形给大家呢？已经做了讲解，那么在第二讲呢，给大家呢，

把考点一考点二考点三考点四考点五。也就是啊，这个有理数无理数的，这个分析奇偶分析完全平方数以及完全立方数质数与合数的分析。啊，约束与倍数这一块也给大家做了讲解，那么第三讲呢，我们的内容是考点六到考点12。主要涉及到我们讲义上的呃，这个。分数小数和百分数这个模块好，大家把讲义啊，对应的地方翻开，我们看到。考点六。

首先呢，这个给大家呢，做一些呃知识点的。呃，复习和梳理，大家注意了呃，我们这一块呢，相当于是小学的一点内容。啊，由于小学的内容呢，它的所吹的点特别多。但是呢，我们往年的联考里面这个考试呢，它有独特的切入点。所以呢，

我们在讲解的时候啊，给大家呢提取出啊，最核心的东西那些啊。自自默默的对吧，很琐碎的东西呢，我就给大家剔除掉好，我们看到考点六除法与。啊除法与余数。嗯，在小学的时候呢，我们学过啊，我们学过这么一个横等式啊叫做。叫做被除数。啊，除以。

处所。它是等于三。然后有余数。对吧，这是个恒等式，被除数除以除数等于商，如果有余数的话，就用个省略号，对吧？接在后面。那么也可以写成。啊，我先这样来写啊，举一个例子来说，比如说这个八除以啊，

八÷3，我们商二三得六。二三得六，还余一个二，对吧？我们就可以写成八除以。三，它是等于二还余还余二，对吧？又比如说这个十÷3。那么，三三三得九。对吧，这边余一那么我们就可以得到十。除以三，

它是等于三啊余一的。也就是说，这个非常浅显的这个道理呢，对于我们后面解决一些比较复杂的问题，实际上是非常有帮助的。那么，这个恒等式呢？它可以变形成为。被除数。等于。处暑。乘以三。再加上余数。啊，它可以变形成为这一个。

好，我把它框起来。那么，被除数等于除数乘以商加余数，这个我们如何去理解呢？好，大家注意了。啊，我举个例子来说，例如。啊，一个整数。那一个整数。除以。二与一。

对吧，那我就可以写成什么呢？这个整数啊，除以二余一，它的商是多少我不知道。对吧，我不知道，但是我可以设它的商，同学们注意我是不是可以设它的商？啊为k或者说设它的三为x都行，是不是啊？所以呢，我们就可以得到这个整数。啊，这个整数。

啊，该怎样说？是不应该等于啊，等于二。乘以三。这个商是多少呢？啊二，乘以三。啊，一个整数除以三，我们把它稍微改动一下。啊，一个整数除以三余一，那么这个整数我就可以写成三，再乘以三+1，

那我可以写成2 a+1。是吧，这个字母是可以发生变化的，我可以写成2 m+1，我也可以写成2 x+1，我也可以写成2 n+1。明白吧，好那么下面呢，再做一个变化。啊，比如说一个整数除以五余。啊。一个整数除以啊，比如说除以五余，除以五余二，

那我就可以。啊，推算了，这个整数应该等于五×3，再加上二对吧？再加上二，所以这边呢可以写成五。a+2。这啊，这种写法，这种变化就是根据上面这个横等式得到的，被除数等于除数乘以商加上余数。是不是非常浅显的？这个道理。那么下面呢？

我们不仅可以得出它的这个形式是这样的，我们还可以写出很多来，比如说当a=0的时候，它就是一。当a等于啊一的时候代进去，它是三当a=2的时候代进去，它是五当代的这个表达式对吧？当a等于。啊，当a等于这个三的时候，对吧？它带进去是七，所以它是我们是不是可以写出来？它是个等差数列。对吧，

又比如说啊。哎，这地方是三啊，这地方是三，又比如说这个呃，下面这个表达式对吧？满足一个整啊，满足除以三余一的，这样的整数。啊，这个是多少？那我是不是等于说呢？它等于3 a+1，那么当na当a=0的时候代进去，它就是一那a等于。

一的时候代进去，它是四当a=2的时候，它代进去是七当a=3的时候，它代进去是四。十对不对？它带进去十，它又构成了一个公差为三的等差数列，对吧？接下来是13，接下来是。16对吧？这后面我还得多写几个呢，你看一三五七九这上面呢，是不是应该得是11啊13？对不对？

好同学们注意了。好同学们，注意了，那么现在呢？如果一个题目，它说啊。呃，告诉我们这两个条件同时成立，说一个整数除以二余一÷3余一对吧？它除以二余一，并且除以三也是余一。那么，这个整数是多少呢？我是不是可以啊？根据除以二余一那么这些整数啊是一三五七九十一十三。

这里面中的这些数对吧？那么一个整数除以三余一，我是不是可以得出来？它是一四七十十三十六等等，这样一些数。那么，要同时满足这两个要求，我是不是要找公共的这个元素啊？那么公共的元素里面有一。对吧，有七。是吧，有13。对不对？这样的话，

我是不是就把两个要求都全部找到了？把它的规律找到了，而且这个一七十三大家有没有发现呢？它又构成了一个公差为六的等差数列。是不是公差为六的等差数列？接下来一个是19对吧？13+6=19。那么，这个六是怎么来的呢？同学们注意了，这个六就是二和三的公倍数。明白吧，下面是我们两个等差数列中要寻找公共的元素，那么那个公共的元素，公共的数字，

它又构成了一个等差数列。好，这是看起来非常简单的内容，实际上它里面暗藏着。可以出比较难的题目了。这样一些命题点。好同学们啊，刚才呢啊，在考点六呢，我给大家复习了我们小学所学的。啊，一个很懂事啊，可能。啊，有些同学觉得我被除数除以除数等于三啊呃，

这个呃，剩下一点余数这个这个太简单了，实际上我们。看到一个东西不能够表面上看起来觉得它很简单，就蔑视它，对吧？就轻视它。相反，我们要挖掘它背后的东西，要重视它。重视不是重视这个表面现象，而是要重视这个公式，对吧？这个很浅显的公式背后的出题点，命题点，

明白吧？这样的话，它就有意义了，这样呢，我们这个备考才是有效的好，下面请同学们看到咱们的例题，大家看到例。15。好，我们看到例15当整数n被六除的时候，其余数为三，这下列哪一项不是六的倍数？啊整数n被六除的时候余数为三。那么，同学们注意了这句话，

我们是不是可以按照刚才啊一个整数除以六余数是三？所以我们可以得出来该整数。它是不是可以写成？写成啊六。被六除的意思啊n被六除就是n÷6好这句话。要理解啊n被六除。他表示。n÷6。好，这个有些同学可能在词语的理解上呃，有些问题了，那么现在呢？咱们把这个问题把它梳理一遍，把它疏通。n被六除。

它就表示n÷6。好，那么根据这个已知条件说整数n被六除时，也就是n÷6的时候，它的余数是三，那我就可以得出来，应该是这个整数应该等于六。乘以a，再加上三。对吧，是不是可以写成六×a+3了？好，这是第一步。注意了，这个a是整数啊。

这个a是整数。那么下面我们看到第二步。他说，以下哪项不是六的倍数，来，我们一起来研究一下a选项。a选项呢？他说n=3，这个整数实际上就是n了，对不对？啊n- 3，它应该等于6a，加上三再减去三啊，化一下减它就等于6a。6a它肯定是六的倍数。

对吧，6a它是六的倍数。好，我们看到b选项。他说n+3。好，它应该是等于好6 a+3。再加上三，它应该等于6 a+6，所以呢，可以写成六倍的a，加上一，它也是六的倍数。对吧，六×1个整数，

它肯定是啊六的倍数了。好，我们看到c选项。呃c选项呢，是2n好2n呢，它应该是等于二乘以括号。6 a+3好，我们展开它也等于12 a+6，它要等于六倍的括号。2 a+1对吧？它也是六×1个数，所以呢，它依然是六的倍数。对吧，依然是六的倍数好，

我们看到这个4d选项。好4d选项呢？是啊，它说3n，所以你们注意了，我们把它代进来，应该是三乘以。6 a+3。好，它应该是等于十注意啊，等于18 a+9好，我们再写它又等于。18 a+6，再加上三，好注意了，

18 a+6啊，它是可以简写的，对吧？它可以写成。六乘以括号3 a+1，再加上三，那么同学们注意了，而六×3 a+1，这个是六的倍数。剩下一个三对不对？所以我们是不是可以得出来这个3n呢？它不是六的倍数对吧？它不是六的倍数。对吧好，我不用叉叉，

我直接用这个把啊，直接用这个。语言把它表达出来。啊，注意了啊，它不是六的倍数啊。我们不仅可以得出来它不是六的倍数，我们还得判断出来啊，它除以六这个余数是三。对不对？是不是有个？是吧，有个零头对吧？它除以六的余数是三。所以这个题目正确答案选择4d选项，

它就是要找不是六的倍数好，我们看了e选项e选项这个4n。对吧，这个4n那我们把它带进来，应该是四×6 a+3。它要等于24a，加上12，所以等于六×4a，加上二。那显然，它是六的倍数。对吧，它是六的倍数，所以呢嗯，同学们，

那么我们这道题目呢，正确答案应该选择d选项。对吧，选择d选项好，这是我们的第15题。那么，这道题目呢？呃，除了这种方法，在考试的过程中呢？呃，我们还可以用特殊值的方法好，下面我们讲方法二。比如说他说这个整数n÷6余数是三，我们是不是就可以让？

这个数等于三了，令n等于三三÷6它的余数啊，它的商为零，它的。这个余数为三，当然你也可以令这个n等于九九÷6，它的余数是三。是不是啊？等于n的n令n=3啊？当然你也可以令n=9对吧？那么，我们把n=3的这个情况来分析一下a选项里面n- 3，它等于零零。啊是。零是六的倍数，

对吧？是不是啊？所以a这要排除，那么我们再看看b选项b选项呢n+3，它是等于三+3等于六六四。六的倍数，所以b选项排除我们看到c选项2n2n是等于六二×3=6，它也是六的倍数，所以c选项排除。我们看到4d选项，3 n=3乘，三等于九九，它就不是六的倍数了，对不对？所以正确答案选择4d选项。

我们再看看一选项，4n是等于三十一十二对吧？三十一十二它也是六的倍数，所以这一选项也是要排除的。好有两种方法啊，讲了两种方法，显然方法二更快一些，对吧？但是它是举了一些特殊的例子。那么，我们方法一呢是？啊，这个就是它复杂一些，但是呢，它有更坚实的理论基础它。

就是有利于我们去把这些来龙去脉，对吧？这些。规则把它搞清楚，搞熟悉啊，这是第15句两种方法呢啊，希望大家都能掌握，我们不能够只是单纯的掌握。这个一种方法啊呃，单纯的掌握一种方法，这个就像我们两条腿走路，你只有一条腿走路的话，那是。不安全的对吧？也是不快的。

最关键是安全，加上快，两者要协调起来，我们只有两条腿走路才是稳当的，对吧安全？和快，我们都能追求到好，这是第15题，下面我们看到第16题。好，我们看到第16题。整数x大于一，并且小于200好，我们把它写下来x是要大于一。要小于200。

x÷3的余数是二÷5的余数是三诶，同学们注意了，我们这样来啊，第一步。因为x÷3的余数是二，我是不是马上可以得出来？x是要等于2a。啊a要等于3 a+2。对吧，等于3 a+2。也就是说啊，被除数等于除数乘以商，加上余数对吧？这个a就相当于是删了嘛？啊，

是这个AA就相当于是商对不对？好，这是我们得到的第一个啊，得到的第一个x=3 a+2好第二句话呢，他说呃，这个x÷5的余数是三。所以我这个x又可以把它写成啊，写成5b啊，等于5 b+3。是不是啊？它要等于啊。x要等于5 b+3。啊，其中这个b。其中这个b啊是。

这个自然数啊，就是b可以等于AA和b啊，注意这a和b可以等于零一二三啊，一直往下对不对？所以呢，我们把它写一下，看这个x可以等于多少啊？x可以等于二。当a=0的时候，等于二注意啊，这里面AB都是自然数啊，是零一二三。好那么当当x呃当a=0的时候代进去x=2当a=1的时候代进去x是等于五当a=2的时候x代进去是等于。八对吧？所以我们多写几项出来啊，

我们发现已经发现它有规律了，二五八这是公差为三的等差数列是吧？是吧，公差为三，首项为二，公差为三的等差数列，所以后面我们就可以得到八+31，再加30。14对吧？再加上17是不是再加上啊20？对吧，再加上23好二十六二十九啊32。啊，35啊，不用写那么多了啊啊，

我我为什么要多写几项呢？主要还是待会想让同学们能够看到其中的规律。好，我们看到这个第二个条件，我们可以得出来x当a当b=0的时候x是等于三的当b=1的时候x是等于八的，对不对？好当b=2的时候x是等于13的，我们发现了这个x是等于也是个等差数列，对吧？对吧x可以等于的是这个整数也是个等差数列构成了一个等差数列，它的首项为三公差为五好，那么后面加五就是18了。对吧啊，再加五是23了，再加五是28了，

再加五啊是30啊三了，再加五是等于38了。是吧，好，其实我们这上面你看上面这行，我们再再往后再写的话，是不是也是31也要重复的出现是38了？好同学们要同时满足圈一和圈二，要同时满足圈一和圈二，是不是要找？这两这两串等差数列里面公共的元素啊。那么，公共的元素，你看这地方有八。是不是啊？

这个八。啊，是满足除以三余二同时满足除以五余三了，还有没有我们看看还有没有还有啊？还有这个23跟这个23，它就是公共的。还有这个，比如说这个38。大家看一看，跟38也是公共的。所以呀，我们可以得出来。啊，找公共的元素，我们可以得出来x啊，

它是要等于啊x，它是要等于。八，23。38。打省略号，也就是说这个x是有很多个呃满足要求的值的，对吧？八二十三三十八那么这又构成了一个等差数列，你看。啊，这个八+15是23，23+15是38，也就是说x是一个首项为八。公差为15的等差数列。

是不是啊啊？这个是这是一个首项。首项为首项为八对吧公差。为38的。啊，而是公差为十啊15的。公差为15。首项为八公，差数为15的等差数列。啊x是等于啊，首项为八，公差为15的等差数列。首项为八公差为15的等差数列好第一步，这个咱们工作就做完了，就是把这个x求出来了。

那么接下来啊，这个我要给大家呢，复习一下，我们等差数列的这个公式啊。我们等差数列呢。来，我用红色的，我用红色的笔写在这边啊，我们等差数列呢，有个通项公式是an对吧？等于a1。加上n- 1×d这个叫等差数列的通项公式。其中a1是表示首项对吧n表示项数，这个d呢表示公差。呃，

这个有的同学说老师这等差数列的公式，我已经忘了啊，不要着急，先把它记下来，我们先用了再说，实际上这道题目呢？啊，有一定的难度对吧？但是它也。其实我们讲起来的话，虽然说这个题目本身有一定难度，但是我觉得啊，相信同学们还是能听懂的啊，我们这道题目呢，它存在着很多。

使命对吧？不仅要给大家复习到这个除法啊，也要给大家复习到给我们后面的这个等差数列做一点铺垫。好来，同学们注意了，你看这个我们就可以得出来呐，因为首项啊已经是八了。对吧，公差呢是15了，所以我们就可以得出来这个an呢，它是等于它是等于多少啊，这个an是要等于。八+n- 1×d。是吧，是不是乘以15啊？

对吧啊，乘以15它是等于15n。啊，等于15n加上。啊，等于15n注意啊，减去。15 n- 7是吧？15 n- 7，其中呢？n为正整数n=1。二三，依次下去。那么，我们既然得到了啊。

好同学们注意了，有等差数列，我把它写下来啊。由。等差数列的。通项公式。可知这个。就是an对吧，它是要等于15 n- 7，这个nn就是x了嘛？对不对？就是呃x可以写成有很多项，明白吧？这个x可以写成很多项啊？这个an=15 n- 7。

也就是这个an就是x是吧？an就是这个an就是x明白吧？这个an就是x由于。由x小于200大于一，我们是不是可以得出来？应该是15 n- 7。要小于200，要大于一。好同学们，我们就可以得到这个关于n的一个不等式。好来，我们来计算一下啊，我们可以得出一个关于n的不等式，应该是15n小于207要大于七。所以这n呢，

是要小于十五分之七，要大于十五分之二百零七。好，这个运算我给大家算一下，考试的时候不要怕它啊，我们算一下，这是15，这是57。三一个呃四不行了，对吧？是不是只能三个三了？对吧？这上面45这边是12。所以呢，好同学们跟上了没有？

好，这边呢，是等于十三又十五分之十二。是吧，那那这个13点几就是说啊，要小于13点几。它后面有小数点了，所以又因为n是正整数啊，所以我们是不是就可以得出来啊？注意啊，这是十五分之七小于n要小于。十三点几对吧？十五分之七十等于零点几。对吧，零点几所以呢，

我们就可以进一步的得出来n它只能等于多少n等于一二三一直到多少呢，一直到13。也就是说，总共是有13项这个x啊x。等于啊，一个x可以有很多个不同的，这个呃值对吧？很多个不同的，这个正整数。那么，这些正整数呢？构成了一个首项为八啊，公差为15，项数为13的等差数列。好，

我再把它写下来，所以啊，这个满足。啊，满足x的。满足条件的x。满足条件的x为。啊，应该是啊，为一个等差数列为一个等差。啊，为一个等差数列，并且这个等差数列呢，它的首啊，它的首项啊，

首项是八。对吧，它的首项是八。啊，它的公差是多少？它的公差是15？它的项数是13有13项。是不是啊？总共有13项。那么这样的话，我们是不就可以得出来？啊，它的末项第13项就应该等于15×13-7。好同学们注意了，在考试过程中，

由于我们不允许带计算器，有的同学呢，说老师这计算量很大，我算不对好。跟着我一块上。你要相信你这点技术上你是没有问题的啊。啊，以前的话我都是直接写结果了，现在在基础阶段，大家跟着我一块动笔算，不要看不起它动笔算啊，考试的时候啊。啊，往届很多同学啊，总是对这个计算问题不重视，

最终呢啊，出了大问题好，我们算一下。三五一十五四十五对吧？这边一五得五一。啊，这边是啊，一九五。一九五减去七。啊，这边是幺八八是吧？所以这边啊是等于。啊，188。好算到这一步之后，

我们进一步来看这道题目，要我们做什么呢？要我们去求出。啊，这所有满足条件的x的和。那么，我们是不是要用再用等差数列的求和公式啊？对吧？求和公式是等于首项。加上尾项首项是八，尾项是188，项数是13对吧？首项加上。尾项乘以项数。再除以二。

对不对？再除以二。首项加上尾项乘以项数除以二好，这个公式有的同学说老师我又忘了，好，我把公式给同学们写下来啊。用这用这个黑色的笔啊，用这个蓝色的笔写下来吧，就是注意啊首项。啊，这个这公式啊，求和公式是等于首项加上尾项啊，乘以项数n再除以二。注意，这是它的求和公式啊。

好，我们计算一下啊，这边应该是等于196÷2。啊，196×13÷2跟我一块算啊，这些最基础的东西不要啊，不要蔑视它啊。这边呢，是二九一十八二八一十六对吧？98×13。好98×13呢？我们发现这个98呢？比较靠近呃。这个100了，所以呢，

我们也可以稍微简写一下，等于100-2×13，所以它应该等于100×13-2×13，对吧？等于幺三零零减去二十六。所以它就等于1274。幺二七四对吧？当然你直接死算对吧？用乘法数字乘法算一下98×13就可以了。所以这边计算出来是等于幺二七四对吧？那么这道题目正确答案选择e选项。好同学们，这道题目呢？我从头到尾包括计算，对吧？

把整个考试的过程中的这个思路啊，给大家详细的慢动作的，给大家展示出来了。嗯，包括运算，我都给大家算了，所以呢呃，大家注意了，只有基础阶段我们。夯实了基本功，一步一个脚印下来，我们后面应试技巧强化阶段，对吧？我才能够跟他们说啊，第一步做什么？

第二步做什么？第三步做什么？可能计算我就不跟大家去算了。啊，至少课堂上我不会带着大家去啊，做这个计算，那么同学们呢？呃，完全有这个能力解决计算问题了啊，基础阶段的时候呢？我动作放的比较慢啊，让同学们呢，可以这个看的就是把整个完整的操作过程都看到自己呢，也可以按照这个过程去演练。好，

我再小结一下啊，这个第16题有一定的难度，也有一定的综合性，那么这道题目呢？我们是怎么找到突破口的？因为这道题目中x÷3的余数是二。除以五的余数是三，所以我马上可以得出来x可以写成。对吧，我们马上可以得出来，这个x是不是可以写成3 a+2 x可以写成5 b+3，我们分别让。这个AB等于零一二三一再一直带进去，我是不是就可以求出x的这个一系列的值啊？对吧那么？

实际上x=3 a+2，我可以得出来。x是一个以二为首项，公差为三的一个等差数列。x=5 b，加上三我就可以得出来。x是等于以三为首为首项，对吧？公差为五的一个等差数列。然后呢，它既要满足圈一，又要满足圈二，那么我们是不是就可以得出来这个x应该要找圈一和圈二中公共的那些整数啊？公共的整数我们把它拎出来，有八有二，

13有38。我们发现这一过程的一个首项为八公差为15的等差数列好，又由于这个x呢，它是有取值范围的，它要介于一到200之间。所以呢，我们就可以求出啊，利用啊，利用这个呃x，它是个等差数列，我是不是可以求出？这个呃I这个x这个等差数列到底有多少项？对吧？总共是有13项，然后我再用等差数列的求和公式对吧？

我们就可以把这些啊，这个等差数列的所有的项。它的和是不可求出来了好，这是第16题。那么下面呢？我们看到第。17题。好，我们看到第17题是n为正整数则啊，能够能够确定n除以注意啊，这地方有一个问题啊。应该是n÷5啊修改。漏了一个字，漏了一个字呢啊，这个题目的意思就发生变化，

所以我们先把它改过来啊，修改啊。就是啊，这个结论为。同学们注意啊，把这个结论改为。啊，能够确定。n÷5的余数。啊，能够确定n÷5的余数。就是把这个结论页呢，改一下多了一个字啊，多加了一就是我们这个讲义上是漏了一个字，应该是除以啊我。

啊n÷5的余数能够确定n÷5的余数好，大家注意了什么叫做能确定呢？能确定的意思是指？这个n÷5的余数是唯一的。对吧，如果n有很多个不同的值，它除以五的余数，有的有的整，有的数除以五的余数是一，有的数除以五的余数是二，那就叫不能确定。能确定的含义是指，这许多个满足要求的n呢，除以五的余数，它都是同一个。

比如说都是一啊，那么就表示能确定。明白吧，好下面呢，我们看到这个题目的一个条件。第一个条件呢，它说已知n÷2的余数。好，大家注意了。啊已知n÷2的余数，好同学们注意了，这个是推不出结论来的。那为什么呢？我们举一个例子吧。对吧，

我们举一个例子，举的这个例子呢，是反例，什么叫反例？反例就是指举的这个例子是满足条件一的。但是。它推不出结论来。好，我们举个例子来说啊，反例我们比如说已知n÷2的余数，你没有告诉我这个余数是多少啊？那我举个例子，就是说余数为。啊，我就说它的余数为一。

我就说它的余数为一，只要我们可以推出来，这个n它是要等于2 a+1的。对吧，2 a+1进，而我们是不是就可以得出来这个这个n啊，可以等于比如说可以等于一当n等于当a=0的时候代进去n是等于一的当a=1的时候代进去是三的。当a=2的时候，代进去是五。当a=3的时候，代进去。是啊，这个七诶，它构成了一个首项为一，公差为二的等差数列，

所以一三五七九。啊11啊十三十五。对吧，那么那么同学们注意了，我们来研究一下它除以五的余数是多少呢？好，大家注意了啊n。我干脆把这个挪到这边来写，这样待会我们的空间会更大一点。好事实。此时。此时n÷5的余数为为多少呢？你看一÷5的余数是一。三÷5的余数是三，五÷5的五的余数是零，

七÷5的余数是二。九÷5的余数是41，除以五的余数是13，除以五的余数是35，除以五的余数是。这个呃是是零又又变成零了。对吧，大家有没有发现呢？这个余数是不是你看有这么多个满足呃一满足条件一的n？n的值，但是呢，它除以五的余数并不唯一是不是啊？它是在不停的循环的，对不对？所以我的余数有幺三零二四对不对？

幺三零二四那那那这这就不唯一了，不唯一的话就表明它不能够确定。是吧，它是啊，注意啊，这个余数是不唯一的。故啊故，这个括号一。啊，推不出结论。对吧，这就是它的分析思路。那么下面呢？我们再看到第二步。好，

刚才呢，我们分析到了第一步呢，我稍微把它缩小一点啊。我们把空间节约一点，节约点些，然后呢我们？好，我们看到第二步。第二个条件呢？他说。已知n÷3的余数。同学们，注意了，这个它也是推不出结论来的。那么，

我们依然是寻找反例。我们寻我们依然是寻找返利。返利我们因为不知道这个n÷3的余数是多少，这个题目中第二个条件条件二，它是不是也没有告诉余数多少？那我就设出来。对吧，我们设我们给一个我们给一个特例出来举例子，就是找一个特殊例子嘛，我们就是已知n。初一。已知n÷3的。余数为一。这样的话，我们是不是可以得到n是等于啊？

n是等于3 a+1的，或者说为了。为了区别我写它成为3 b+1。啊，写成3 b+1这个b呢，是等于啊这个b呢，是等于零一二三四五六七的对吧？好，那么此时。我们就可以得出来，这个n等于多少呢？当b=0的时候n是等于一的，当b=1的时候n是等于。四的当b=2的时候n是等于七的当b=3的时候n是等于十的，大家会发现这又是一个。

等差数列首项为一，公差为。三对不对？我多写几下啊。这边是十三十六啊19。对不对？好那么同学们注意了。这个时候。好，此时。此时，这个n÷5的余数为多少呢？那一÷5的余数是一。四÷5的余数是四。七÷5的余数是20÷5的余数是零十三÷5的余数是36÷5的余数是一。

19，除以五的余数是四。好同学们，注意了，这边呢，一四二零三。这边呢，是一四二零三好，那么这个好，大家注意了，这边呢是？啊，它的。你看啊，它的余数是不是也是不唯一的？

除以五的余数，它的余数不为一。所以呢？啊，这个第二个条件，它单独也是不能够推出结论来的。好同学们，注意了第一步和第二步，单独都不能够推结论，对吧？条件一跟条件二，单独都不能推结论，那么按照题型规则，我们还要往下进行。第三步，

也就是条件一跟条件二联合起来。所谓条件一跟条件二联合，就是既要满足条件一，又要满足条件二。那么，同学们注意了，这个时候我是不是直接把这两个反例中公共的元素找出来？我们发现它依然推不出结论来。对吧，我们的返利。我们的返利。是不是找它的公共的元素啊？它的公共的元素来同学们注意了它的公共的元素，我们看看有。有一这是公共的，

有七。对吧，这是公共的，还有13，这是公共的，那么我是不是可以取n=1=7=13？对吧，这都是满足。对吧，这个返利是吧？我举返利的话。啊，把它详细一点写啊，我们的返利是什么呢？我们的返利是已知条件一说已知啊n÷2的余数对吧？

那我。它没有告诉我说n÷2的余数是多少，那我就除以二的余数是一对吧？举一个特殊的例子就行了。好返利n÷2的余数是一，然后呢？n÷3的这个余数。是一是不是条件一跟条件二同时都满足了，然后我们再找公共的元素，公共的元素的话，根据第一步和第二步写出来的这些n对吧，我们找共同的部分是不是可以得出来n是可以是。一呀七呀13唉，我们发现它又构成了一个首项为一，公差为六的等差数列。

我们现在来研究一下这个n÷5的余数啊，我们把它写下来。此时啊，此时n÷5的余数。是多少呢？唉，我用红色的笔来写这个一÷5的余数是一七÷5的余数是23÷5的余数是三唉，大家看看是不是又是不唯一的？对不对？你看这个余数除以五的余数不为一。是吧，除以五的余数不唯一，所以啊，一和二联合起来，它也是不能够推结论的，

对不对？啊余数是不唯一的啊。同学们，注意了，这个余数是不唯一的。啊，所以所以。一二联合。它是推不出结论来的。这样的话，我们就相对严谨的把这道题目给大家做了讲解。那么条件一。条件一。条件二，单独不能推结论联合起来，

也不能推结论，所以这道题目的正确答案选择e选项。啊，条件一跟条件二单独不能够推出结论来联合起来，可以推出结论来正确答案，选择一选项。这个第17题呢？啊是。啊，第17题你看。看起来好像没有任何头绪。但实际上呢？它的解题方法跟我们的第16题，跟我们的第15题对吧？跟我们前面的讲的这个横等变形对吧？

对吧，很等式的变形被除数等于除数乘以商加余数，是不是就由这个最基本的东西得到的？所以我这边呢，我要特别提醒同学们，为什么说咱们这个基础阶段的课程，大家一定要去学习呢就是。我们这个考试啊，它毕竟是研究生入学考试，有很多点呢，很多考点呢，因为它考的也是初等数学，它不考高等数学，不考微积分，对不对？

也不考线性代数，也不考概率统啊统计，那当然概率统计，我说的是不是考大学里面的概率统计，它考的是都是初等数学里面的，也就是我们小学初中高中的内容。但是我们并不能够说，因为它考到了一点小学的内容，就觉得它很简单，不是的，它它的知识点本身很简单，但是呢，它可以隐蔽起来考比较难的问题。比如说我们这个第15题相对来说比较简单，第16题可能上年难度了，

对吧？第17题就上年难度了，那么第17题呢？它的难度主要来自于它根本就没有告诉你n÷2的余数是多少，它也没有告诉你n÷3的余数是多少我们。是吧，我们在找反例的时候，是不是要举出特殊的例子来啊？对吧，我就可以人为的规定它这个余数是几嘛余对吧，我就可以人为的规定n÷2的余数是一自己找一个特殊的例子，满足已知条件，但是推不出结论来的例子就叫做反例。那么，第16对吧？

啊，这道题目也是带有一点小综合性的。所以同学们啊。啊，这些课啊，这个基础阶段的课程呢，非常重要啊，非常重要啊，它为我们。啊它啊它，实际上从基础阶段呢，我们这个课程设计上就直接瞄准的是考试中的啊，这个呃。真题命令老师对我们的要求，对吧？

从一开始呢呃，就跟大家把基础知识与真题对接起来，与我们啊。要考满分，考高分对接起来。啊好，那么下面呢啊？我给一点时间，大家快速的消化一下我们的考点六，也就是除法和余数。补充讲解的知识，以及这是这三道例题下面呢啊，大家抓紧时间梳理一下。好同学们，刚才呢，

给了一点时间，大家呢，理解和消化考点六的内容，下面我们进入到考点七分数的约分。好，首先呢，给大家呢，先把基础知识呢，做一个梳理和复习。第一个要点呢是。我们现在所谈的这个分数啊。是指啊，这个分数。m比上n对吧？这个分数m比上n啊，

这个它的分子分母。都为正整数。好，它的分子和分母都为正整数。那么，同学们注意了。这个分数呢，就叫做有理分数。n分之m叫做有理分数。啊，同学们注意了。这个有理分数呢，它可以进行啊变形，比如说这个n分之m，我们可以同时扩大k倍。

对吧，扩有扩扩大k倍就是啊，它要等于k×m÷k×n。其中这个k是不等于零的。对吧，为什么k不能等于零呢？因为如果k=0的话，你k×n。它就等于零了，那么这个分母我们是不能为零的，对不对？所以大家要注意。分子分母可以同时乘以一个不为零的数，这个分数的值是不发生变化的。啊，

第三个什么叫做真分数？真分数呢，是指啊。这一个分数。它是小于一大于零的。那么，这个分数就叫做真分数。那么，什么叫做假分数呢？假分数。就是。它是大于等于一的，比如对吧？大于等于一就是个就是个假分数了。比如说一二三四五六七一直这样的，

这个整数它都是假分数。那二分之三四分之六对吧？四分之七四分之八四分之九等等，这就叫假分数。好那么。如果这个n分之m。它的分子分母。的最大公约数。为一。则这个分数。啊，这该分数。叫做。几约分数。就是说分子分母已经约完，

分了g就是已经的意思啊g约分数就是已经约完分的分数。也叫做。最简分数。好也叫做最简分数。比举个例子来说啊，我们在这边呢，举若干例子。啊，比如说这个。呃，四分之二，咱们分子分母可以约分约掉二对吧？同时乘以二分之一分子分母，同时乘以二分之一二分之一或者说分子分母，同时除以二，

那么这边可以约分，对吧？那么，这个二分之一就叫做既约分数啊，就是已经约完分的分数就叫做既约分数，也叫做最简分数。那么，同时二分之一，它是介于零到一之间的，所以它也叫做。真分数。它既是一个最简分数，也是一个真分数，我们可以把它合起来，把它称为。

最简真分数，最简真分数也可以把它写成既约真分数。好，我们再来看这边，比如说。六分之九，它的分子分母还可以进一步的约分，对吧？因为它们的分子分母的。最大公约数是三，所以分子分母同时除以三，那么九÷33，六÷32。好同学们注意了。我们把它化简之后，

这个二分之三就是一个递约分数，它不能再约分了，对吧？啊，也可以叫做二分之三，也可以叫做最简分数，那么由于二分之三是大于等于一的，它是大于一的，对不对？所以呢，它是个假分数。也就说二分之三，它既是一个最简分数，也是一个假分数，所以我们。

把它整合在一起说，就叫做最简假分数，或者说叫做既约假分数。对吧啊，当然我们考试过程中呢，比较喜欢出现的这种概念叫做计月增分数。啊，第六个要点是。啊，第六个要点是同学们注意了。比如说这个。n是一个正整数啊n分之一。a分之二。n分之三一直到n分之n减一。好同学们，

它都是介于零到一之间的啊n为。同学们，注意了这个。这个N维。大于等于二的正整数对吧？n为大于等于为。或者说大于二吧。n为大于二的正整数。那么则这个都叫啊，都叫。这个都是。增分数。啊，这个都属于是基本概念，那么下面呢我们？

通过一道例题来给大家。加深啊，通过这个例题呢，加深对概念的理解，我们看到第18题。一个季约增分数，如果分子加上15分母加上27，得到的分数的值是不变的，则该季约分数的分子分母的乘积为多少？好，我们设。啊，我们设这个。几约分数。为m分之n。

或者说a分之b也可以，对吧？或者说x分之y也可以，我们换一下字母，因为前面用到了AB啊，用到了mn，我现在换一下。对吧，假设它是a分之b，这个计月分数为a分之b。则AB的。它的最大公约数。它的最大公约数为一。那么他说，分子加上15。

也就是b+15。分母加上27，也就是a+27。得到的新的分数值是不变的，这我得到了一个新的分数，它的值不变，是不是还是等于？还是等于a分之b呀。对吧，那么这该计约分数的分子和分母的乘积为多少？好第一步的工作，咱们就做完了，下面我们看到第二步，我们做个变形啊，这这个区分嘛，

对吧？因为这里面有a+27有a。那么，我们可以得到去分母啊，也就是交叉相乘也相等，应该是a×b+15。是等于b乘以。a+27。对吧a×b+15=b×a+27展开，这边就可以得到a×b加上。15 a=a×b，加上27b。好，那么同学们注意了AB，我们就可以抵消了。

这样的话，我们就可以得出来，应该是啊，15注意啊，15a要等于27b。15 a=27 b。那么这边的话嗯，我们就可以得到把这个b除过来是吧？a÷b。是等于22a÷b。好，同学们。这样的话，我们是。好同学们，

我们这样的话a÷b是等于27比上15的，但是我这个地方呢，我有一点呃这个疑惑。那我们这个记约分数是个真分数啊，这个十五分之二十七是一个假分数啦，对吧？我们可以约一下分，这边是等于五分之九的。对吧，也就是说。推出来a比上b是等于五分之九的，那为什么五分之九是个假分数呢？好可能有的同学有这个疑惑，要注意了啊，是因为啊，

我们设的时候啊。这个记约分数啊b在上分子中a在分母中，所以我要把它颠倒一下，对吧？我要颠倒一下b比上a。它是等于五比上九的，这样是不是就是？一个计月增分数的。对吧，我们写的是a分之b，设的是a分之b。对吧，你要你写成b分之a了，b分之a是等于五分之九，对吧？

我们是不是很自然要把它颠倒过来呀？所以a分之b是等于九分之五的，也就是说这个分数。是九分之五。那么，它的分子和分母的层级？这应该是五×9是等于45的。对吧，所以这个题目正确答案选择e选项。这道题目正确答案选择e选项。好，这是第18题。表面上看起来好像无从下手，实际上呢，我们把它的分子分母设出来之后，

利用既约真分数，利用既约这两个字啊。表示它是约过分的是吧？它是要约分之后呃，剩下来的结果，所以呢，我们把这个15和27约个分之后。啊，得了九分之五。是不是就是既约的，是不是就约分之后得到的结果啊？这样的话，我们就可以说年初a和b，它只能是九分之五了。好，

这是第18题，下面我们看到考点八。最简分数与最简真分数，实际上呢，我们在这个考点七的这地方呢，给大家已经复习到位了。好，我们直接看例题。第十九题呢，他说已知a是一个正整数一百四十三分之a，是一个最简真分数好，大家注意了。首先，一百四十三分之a是最啊，是真分数。

所以我就给推出来一百四十三分之a，它要小于一，要大于零，所以我们就可以得出来a是要小于一百四十三要大于。零这样的话，我们是不是就可以得出来这个a？它是等于一。二三一直到多少呢？最大值呢是142了。是吧，最大是142。那么，这样的分数。只能说它是个真分数，一百四十三分之a有一百四啊，

对应的是一百四十二个真分数，但是。这些真分数中，有一些分数是可以约分的。分子分母还可以约分的。是吧，那它不是最简的，我们要把把这样的把它剔除掉，留下最简的那些。好，接下来我们看到第二步。一百四十三分之a。这个143是等于11×13的，它可以分解质因数对吧？143=11×13。

那么，它是一个啊，它是。最简分数。那是不是可以推出来这个a？嗯，这个a。不是13的。啊，不是11的倍数。也不是13的倍数。好，那么现在我们考虑它的对立面。好，我们考虑它的对立面，

它的对立面就是。a4。11或者是。13的倍数。啊，是11的倍数，或者是13的倍数，对吧？有多少个？这样的a。好，这样的a有多少个？那么，这个问题呢？就转化成为我们前面啊，

给大家讲倍数和约束的时候讲过的体系了。是吧，注意了，这边这个a啊，是在这个第一步的框架范围之内去探讨的。是不是好，我们来研究一下啊，第一个。a4。11的倍数。我们看到有多少个11×1。11×2，11×3啊，一直到11乘以啊，11×12。

啊11×13注意了，由于11×13是等于140，这边是等于143的，我们只能a只能等于100，最大只能等于142。所以这个肯定是要排除的，是不是啊？所以呢，最大只能是11×12。啊，共有。共12个。是吧，共有12个。好，

我们再看看圈二。a是13的倍数。a是13的倍数，那么同学们注意了，这边呢，应该是啊，十它的倍数有多哪些呢？13×1。13×2。13×3。好，这边呢是13乘以。13×11。它是等于143的，可是我们最大值只能是142，

所以只能写成13×10，对不对啊？所以。所以这边呢，13的倍数共有11个。然后我们来看一看。啊ag是11。有事。13的倍数。啊，就是说它是十。它是11和13的公共的倍数，对吧？它既是11的倍数，又是13的倍数。

那么应该是啊，首先它的最小公倍数是11×13。它是等于143，143，这已经超过142了，所以是不是应该是有零个？对吧啊，共有零个。明白吗？我有宁哥。啊，注意啊，我们整个探讨的范围是在第一步的这个范围。第一步的这个范围内进行探讨的啊。啊，

就是说这a这个探讨的这个范围是在。是在一二三四五一直到142这个范围来进行探讨的。那么这样的话，我们是不是可以得出来？a是11或者是13的倍数，它应该等于11的倍数有12个，13的倍数有11个。我们把它加总起来，然后再减去重叠的啊，既是11又是12的倍数，重叠的有零个是不是减零个减零了？12+11-0啊，它是等于23。对吧，好那么同学们？

你发现这地方写的时候又有小问题了，这边应该是有十个，不是11个，对吧？我们一二一直到这边，是不是乘以十啊？这是有十个，马上把它解，把它修正过来，这应该是。12+10-0，明白吧？12+10-0，所以这边应该是等于22个。所以在。

考试的时候像这些低级错误，对吧？如果你我们第一方面要尽量的这个减少犯低级错误的。啊，这种次数另外一方面呢？如果你写错了啊，因为你有可能发生笔误，对不对啊？出现了问题，眼睛在扫描的过程中发现了之后，及时的把它改过来。好，接下来我们看到第三步。啊，这上面应该是第二步对吧？

这是第三步。那么，同学们总共是有142个真分数。减去22个可以约分的，是不是还剩下的？是啊，不可约分的，也就是低于分数。应该是120个对吧？应该是120个，所以这道题目同学们注意了正确答案，选择4d选项。选择CD选项。好，这是第19题，

下面我们看到第20题。第二十题呢，他说已知a是不超过五百的正整数，若一百四十三分之a是最简分数，这样的分数有多少个？注意了，这个a呢？它的取值范围是一二三一直到多少呢？一直到500，它不超过吗？不超过500。是不是最大是500呀？好，那么下面我们看到第二步。他说，

一百四十三分之s最简分数。一百四十三分之a。是最简分数。表明。a与143。啊，不能。在月份。而143。它是等于11×13的。所以呢，我们进一步的。啊，可以得出来。这个a。

寄语。既不是11的。倍数。也不是。13的倍数。对吧，既不是11的倍数，也不是13的倍数。那么，我们考虑它的对立面。好考虑它的对立面。就是啊a。41。或者。13的倍数。

对吧a是11或者13的倍数，那么下面我们来研究第一个问题。a是11的倍数。好，第二个问题，我们把框架先写出来。a是13的倍数。好，第三个问题。a啊g是11。a既是11的倍数。钥匙。好，又是13的倍数。那么，

这个问题我们怎么去啊？我们怎么去解决呢？好，大家跟着我一起来操作，那么a是11的倍数，应该是11×1。11×2，11×3，好一直往后11乘以多少呢啊？最后这个是11乘多少呢？好，我们只需要用啊，因为a呢，最大是500对吧？我们只需要用500÷11。

就可以求出来了。那500÷11，那我们一块来计算一下，首先算四，这边是44，这边是60，这边是五。55这边是五。是吧，好。好，所以呢，这边啊。它最大只能乘45了。对吧，

如果乘以46的话，那11×46的话，那超过500了，所以这边呢a是11的倍数。我们是不是可以得出来，共有40。五个对吧？共有45个。那么a是13的倍数，好同学们a是13的倍数呢？我们用一样的方法啊，它有多少个呢？13乘以。13×2对吧？13×3。

然后这边的13乘以多少呢？好，我们来算一下啊。好500，除以13。这边我们删一个四四四的话就过了，对吧？那是52了，所以只能删个三。这边是39幺幺零。我们这个三个。大家看行不行？三八二四四幺零四，所以这边应该是有。38个对吧？

共38个。那么，既是11又是13的倍数啊，那不就是相当于是找它的公倍数了嘛？它的公倍数是。143所以呢，我们这边写上143乘以一一百四十三×2。啊，143×3。啊，143×4。啊，大家发现是不是都不行了？143×4已经超过500了，所以呢，

我们。a既是11又是13的倍数，只有三个。那么这样的话。a是11或者13的倍数有多少个呢？应该是用。11的倍数，它有45个，加上13的倍数，它有38个，然后呢，再减去。重叠的个数就是既是11倍数，又是13的倍数，是不是重复了三个，

再减去三个？所以呢，计算出来这边应该是83-3是等于80。啊，有80个对吧？就是这个是11的倍数，或者是13的倍数，总共是有80个。然后现在我们再还原回来。对吧呃。能够约分的有80个，那不能约分的是不是应该是？500。减去不能约分的是吧？啊500减去能够约分的，

剩下的就是不能约分的，所以这边是420。也就是说。这样的分数有420个，好正确答案，选a选项。那么，大家可以把。第20题和第19题放在一块进行比较。它的解题思路是非常相似的。那么，它的区别在于啊，同学们注意了第19题呢？这个既是11的倍数，又是13的倍数，

它是有零个。那么，第20题呢？既是11的倍数，又是13的倍数，它不是零个，它有三个。这是11题啊，这是第19题和第20题的，它的区别所在，那么这两道题目。基本上把最简真分数和。最简分数这两种情况都代表了。都代表了好，下面呢，

我再给点时间，大家快速的把利器啊，把把这个考点七考点八。这三道例题快速的说化一下。好同学们，刚才呢，给了一点时间，大家呢，消化我们所讲的考点七和考点八，那么下面呢，我们继续往前给大家讲解考点九。小术语。这个循环规律。呃，我首先呢，

给大家呢，复习一下我们的基础知识啊，梳理一下，虽然是我们小学阶段就学了，但是呢，很多同学可能都已经。啊，一些知识点都遗忘了，我们先做一个啊，复习啊。首先第一点是如何把啊，就是说这个小数的分类啊。小数能分为有限小数。和无限小说。有些小数呢，

比如说啊一点二。啊，三点一四。啊，比如说二点零。对吧，二点零的话可以直接把它当做是二来看待，当做整数二来看待，我们也可以把它看作是二点零，对吧？啊，总而言之，它都是小数点，后面啊，小数点，

后面这个呃数位是零个呃数位，数位是有限个，不是无穷的，明白吧？那么，这个无限小数呢？我们可以把它分成两部分。第一部分呢是？啊，无线。玄幻小说。第二部分呢是？无限不循环小数。其中啊，无限循环小数的意思是指它的小数点，

后面啊，小数点后面。有一些数啊，有有有一些这个数字在重复出现，不停的有规律的重复出现。啊，比如说啊，比如说这个。一点二三二三二三二三这样一直循环下去。那么，我们又进一步的可以把它简写为。啊减记为减记为什么呢？减记为一点二三，在循环的上面加两个点。啊，

这个重复出现的叫做循环节啊，重复出现的这个数字叫做循环节。啊，那么重复出现的这个数，上面加个点就表示啊，表示它是在循环的。明白吧，那还有比如说一点啊一点。五六二三二三二三，它又开始循环了。那么，同学们注意了，像这一个呢，我们把它剪辑为什么呢？我们把它解决为一点五六二三，

在这上面循环的部分，上面加点。那么，同学们注意了这个呃，从小数点后面。没有杂质，没有没有这个干预的，没有这个呃。就是小数点，后面所有的都是循环的，一开始就是循环的，这叫做什么呢？这叫做啊纯。啊，这叫做纯循环。

然后呢？小数点后面有呐，有像这种杂质对吧？或者说有一些不参与循环的，这叫做混循环。啊，了解一下就可以了。啊，这叫做循混循环小数。那么，无限不循环小数呢？指的是什么呢？比如说圆周率派三点一四一五九二六五七对吧？等等，一直可以往下算下去。

还有是还有，比如说像根号三，我们开根号开出来，它是不循环的根号二，我们开根号，我们用这个计算器开出来，它也是。小数点后面无穷，多位不循环，对吧？它是不循环的。所以同学们注意了啊，小数是分成两大部分有限，小数和无限小数，无限小数又分成两大部分啊。

啊，分成呃，无限循环和无限不循环，那么无限循环小数呢？又分为两部分是啊，纯循环小数和混循环小数。其中大家注意啊，其中呢，有限小数是属于是啊。有理数那么无限循环，小数也属于是有理数。啊，这个。它属于是。啊，

有理数那么这一块也属于是有理数那么无限，不循环小数它就。它就是无理数了。那么，这个分类实际上我们在讲有理数和无理数就实数这一块对吧？在第二讲的。啊开头我就跟大家讲过这个。那么下面呢？我们看到。这个小数。化成分数。小数化成分数的方法。啊，第一有限小数，比如说啊零点二，

我们化成分数，它可以写成十分之二。对吧，它是等于约分五分之一。对吧，又比如说零点三，我们化成分数，它是等于十分之三。对吧，又比如说这个零点一五，我们化成分数，它是等于一百分之十五。可以约分分子分母，同时除以五，那么它应该是等于二十分之三。

对吧，又比如说一点二，我们化成分数，它应该是等于十分之十二。十分之十二。对吧啊，然后它也可以找规律，对吧？分子分母同时除以二是等于五分之六的。那么，它的规律是什么？它的规律是小数啊，就是小数点，后面有几位？那么小数点后面有一位这个分母就是十的一次方对吧？

小数点后面有两位，它的分母就是十的平方。是不是啊？然后这个呃，这是分母啊？那么，它的分子呢？就是直接把小数点抹掉，然后填在上面，零二就是二对吧？零三就是三零幺五就是一五。一点二就是一一二，明白吧？就是把小数化成分数的时候，当然我们现在写的是有限小数，

把有限小数化成分数的时候。对吧，小数点后面有几位我们的分母就是十的几次方。然后这个分子呢，就直接把小数点不看了，然后那串数字写在上面，如果最前面是零的话，就把那零贴着就行了。比如说零点二化成分数的时候，那个分子就是零二零二的话，因为最高位是零，所以零就可以省略不写了。好，这是有限小数化成分数啊，那么下面我们再看无限循环小数。

无限循环小数怎么化成分数？比如说零点二二循环化成分数，咱们怎么化？这个大家注意了。设未知数，我们设它等于x。啊，怎么化成分数？啊，零点二化成分数，那么这个怎么化？把零点二二循环化成。划算分数，它的方法第一步。设x是等于零点二二循环的。

那么，我们把它扩大十倍就是十×x，它要等于啊，二点二循环。那么，大家会发现啊，因为啊，这个零点二二循环它是它可以写成零点二二二一直往后有无穷多个？那我乘以十的话，那么10x是不是应该是等于在小数点后面往后移了一个？是不是就变成了二点二二二对不对？明白吧，所以呢，我们把它对齐来写，它就变成了二点二二二有无穷多个二后面。

那么我用啊，我我用这个这是圈一这是圈二。对吧，这是圈一，这是圈二，这样我干脆呀。同学们，注意。干脆把这个直接这样写呢，同学们可能看得更清楚一些。直接复制过来。好，我们用圈二减去圈一左边减左边等于右边减右边，左边相减十个x- 1个x是等于9x的。那么，

右边相减那个小数点后面的啊是一样的，所以就小数点后面的可以抵消。是吧，所以它是等于二减零，它就直接等于二了。所以这样的话，我们是不是就可以得出来？x是等于九分之二解出来就通过。方程对吧？列方程求解。明白吧，那么无限不循环小数呢？是不可以化成有限啊？不可以化成有理分数的啊？不可以化成分子分母都是。

啊，整数的情况。对吧，因为分子分母都是整数的啊，都是整数的，这样的分数叫做有理分数，有理分数，它属于是有理数中的一种了。那么，无限不循环小数，它是不可以，它不是有理分数，它不可以化成有理分数，它是个无理数。对吧，

它是个无理数，所以它不可能化成有理分数。这是无理数啊。这是无理数。好下面呢呃，我们再看到圈三。那我们看到圈三，比如说他要我们把。把这个一点二三二三二三循环，要把它画成。分数那咱们要把它化成分数。它的方法是什么呢？其实也是一样的，第一步我们设。x是等于一点二三二三。

二三对吧？这个二三十循环了，我们再乘以我们乘以多少呢？我们乘以。嗯，同学们注意了啊，我们准备乘多少呢？我们准备乘100。乘100x。我们从100x小数点后面就移到一两，往后移两位就变成了123点。二三二三又开始二三循环了。对吧，那么。这样的话，

第二步我们就可以直接这是圈一，这是圈二，我们直接可以用圈一减啊，圈二减去圈一。左边减左边等于右边减右边，对吧？左边相减得到的是100-100个x-1个x是99x，所以99x。要等于好，那么同学们注意了，这个小数点后面的这个循环的这一块是不是就是抵消了？抵消了之后，那么就剩下123减去。123-1是吧？是不是就？

等于一百二十二呀，所以我们可以得到x是等于九十九分之一百二十二。九十九分之一百二十二。那么这个。嗯，同学们，九十九分之一百二十二可不可以约分呢？它就不可以约分了，我们可以验证一下这个一百二十二是等于二乘以六十一的，这个九十九呢是等于三乘三乘以十一的。呃，对吧？呃，那么这样的话，分子分母它已经没有公约数了，

注意61是一个质数啊，一个质数它不能再分解了。所以啊，最终的结果，同学们注意，最终的结果就是九十九分之一百二十二把。无限。啊，循环小数我们也可以把它化成分数。好同学们，那么刚才呢？我们解决了小数化成分数的方法，现在我们反过来解决分数化成小数。分数化成。小数的方法。

你这个呢？嗯，同学们，这个呢？我们。比如说啊，二分之一。对吧，就直接除就行了。啊，这边。这是一，这是二上零对吧？往后添一个对吧？这边是点零，

往后添一个。这边是二五一十。零所以是零点五。对吧，这都是小学所学的内容，那么现在呢，我只是帮助大家呢，快速的把它复原起来，这是第一个示范。第二个示范，比如说这个一除以啊，三分之一对吧，三分之一一除以三。我们看三零这边呢，点三三得九对吧？

这边是一零再三三得九。这边是一零在三三得九。对吧，一直下去，所以呢，同学们注意它可以无限循环下去啊，它是零点三三三一直循环我，我们也可以写成零点三。三循环在上面加个点点就可以了。明白吧啊，那那比如说其他的。好，我再写一个，比如说我们要化成要化简一个，这个六分之六分之十。

啊，或者说六分之十一啊，不可约分的，那么我们怎么花呢啊？我们也是这样来。这边呢，首先三个一一六得六，这边是五对吧？零加个点，那么这边是六八。啊四十八二零三六一十八二零三六一十八。还是二二零在三六一十八好，大家已经能够看到。大家已经能够看到，这边应该是一点八三三三循环，

我们也可以把它写成。啊，一点八三。三上面加一个点。对吧，三上面加一个点一点八三三循环。好，这是考点九啊，考点九啊，小数的分类，小数与分数的互化。好，下面呢？我们结合这道例题。啊例，

二十一来给大家加深。对啊，我们这块这个知识要点的把握啊，我们看到七分之一，它说化成小数。呃，那么首先我是不是要把它画成小数啊？第一步七分之一，那我除一下啊，同学们。啊一÷7这边是三零。啊，这边是一七得七，这边是30。上四四七二十八这边是20，

这边是上二二七一十四这边上60，然后七八五十六。好，这边是40，这边是。五七三十五好五零。然后七七四十九。好，剩下是一啊，这边再上一七得七，这边是30对吧？这边是30。然后在四七二十八好二零，然后在二七一十四。好，

这边是六十七八五十六好，后面我就不写了，那么同学们注意了，我们把它写下来，它是零点一四二。八五七一四二八五七诶，我们发现它是有规律的，对不对？它的规律是。呃，循环啊，一四二八五七。啊，一四二八五七它是不是在这样的循环下去啊？对不对？

所以这个题目，它说将七分之一化成小数，得到的是一个无限循环小数。好第一步的工作，实际上我们是不是就这样做完了，下面我们来看到。好，我们看到第二步。第二步呢？他说。呃，从小数点后的第一位到第m位的数码之和。从小数点后面的。第一位。啊，

到第m位，这个m是多少我也不知道啊，他说这个。这么这MV的和是等于二零一八的啊，这m等于多少？好，大家注意了。这个MV的和等于2018是很大一个数，我们发现呢，每一个循环节的数，我们看加起来等于多少啊？那这个一四二八五七，那我们把它加起来，一+4+2+8+5+7。那这是十对吧啊？

这个是五，然后这边又构成了一个十，所以是不是应该等于27呀？也就是说，每一个。每一个循环段。他的。数字之和是等于27的。那么，比如说这个循环段出现一次，它的和为27出现两次，那么它这个小数点后面加起来。这个数字加起来是不是两段数字和就是27×2对吧？那么我们来看一看这个二零一八包含了多少段呢？好，

我们再来除一下。回到这边来写啊。这个二零一八÷27。啊，我们商一下啊，这边呢商比如说我看商多少商二八一十六七八五十六好像不行。对吧，那就上七呗。啊七七四十九。二七一十四幺八九好一减下来一减九等于二这边啊，记了位了，那么就九九减八等于一了。对吧呃，128。那我们在上，

上午好像。啊三五好像不行呐，等于三四对吧？好，我们再看四七二十八二十得八。一零，好余20。也就是说，同学们注意了这个二零一八是等于27×74要加上20的。对吧，被除数等于除数乘以商加余数，我们今天是不是讲到了，所以这最基本的原理，你看它又派上用途了。由于我们每一个循环段的和是20，

27。对吧，你看我们一四二诶，我们用黑色的笔来写吧。你看咱们小数点，后面是一四二八五七一四二八五七一四二八五七这一段的和啊，这一段的和是等于27的。这一段的和是等于27的，我们发现啊，所以我们注意了，那在嗯，我把它写下来啊，就是一四二八。五七我把它框起来。嗯，

同学们，这没没有写好啊，我得重新做，咱们就把它做写规则啊，一四二八。五七好，一四二八五七。呐，同学们，它可以。它是重复好多次的，对吧？重复很多次出现的，那中间呢？我再打个省略号。

你看这个的和是27，这个的和是对吧？这个和为27这一个的和为27这一个的和为27那每一小段的和为27。那么，同学们注意了。经过了74次重复。那么，它的和是多少呢？对吧？经过了74次重复。那么，它还没有它的和还没有达到二零一八，它的总和还没有达到啊，2018对吧？它的差异，

它后面还得凑出20来。啊，还得剩下的合为。是不是还剩下和为20啊？这个数字那么怎样来凑出和为20呢？我们看它又轮到了一。四二八。五那到这个地方的时候，那七还没有出现，这七就不要了是吧？一四二八五那加起来。是不是正好是二+8=10啊？一+4=5啊？五+5=10是不是合起来就20了？所以。

同学们，也就是说啊，我们经过了74次循环段的重复。然后还额外要有五个数相加等于20，对吧？这样的话，74次重复每一段。重复的和是27对吧？每一个循环段是它的和是27，经过了74次重复。然后是不是得额外的还得加上额外的，还得还得加上五个数是不是啊？啊，这个这有啊，五个数。

这五个数的和。啊，对不对？这五个数的和。明白吧，这五个数的和是20。那么，总共有多少个数字呢？好同学们注意了，总共有74段。每一段呢是啊，一四二八五七是不是有六个数啊？对吧，每段。每段是有六个数，

总共有70。总共有74段，然后额外是不是还得加上五个零头啊？对不对？那20是不是有五个数算出来了？所以呢，我们计算一下啊，所以这边是我把单位都写上来了啊，每一段是有70每一啊，注意总共是有74段，有74次重复。然后呢？每一段是啊，每一段呢是有六个数字，那么总共呃这个循环部分重复出现的有多少有多少个数字呢？

应该是74×6。由于它后面还有还要抽出20那个那个那个20是哪几个数加呢？是一四二八五。对吧，总共是五个数，所以我们计算一下啊。这边四六二十是六七四十二啊，40啊，四啊，这个。嗯，四啊，444。对吧好，然后再加上五。

它是等于449。也就是说，这个m是等于四四九的，因此咱们这道题目正确答案选择。4d选项。选择4d选项。好，这是我们的。好，这是我们这个题目的解析，我们分两步来去操作的。好，我们是分两步来去操作的第一步呢，首先把。分数化成小数是等于七分之一等于零点一四二八五七一四二八五七在循环。

第二步呢？是啊，它说小数点后面啊，第一位开始一直到dmv。所有的数字加起来是等于二零一八的，对吧？那我就看啊，这个二零一八这个循环啊，在这个循环段上每一小段呢？它的和是27，那么这个要要产生二零一八这个总和，我看它循环多少次？对吧，怎么去计算它循环了多少次呢？用二零一八除以每一个循环段的和。

除以27对不对计算出来，它等于。74还余20，说明重复了74次这个循环，这个这个这个啊。这个循环段，它重复了74次。对吧，它额外往后要数十数五个数，每一个循环段里面有六个数循环了60啊。循循环了74次，所以呢啊，应该总共有74×6个数字，然后再加上额外的五个数字，那么。

最终啊，结果是449好，这是我们的第21题。下面呢，我们看到这个考点十百分数啊。首先呢，跟大家把要点做一个复习。第100分数。与分数。小数的互化。啊，比如说百分之啊，同学们12%。那么我们就可以把它写成分数，它是等于一百分之十二的，

我们可以化简。啊分子分母同时除以四，它是等于二十五分之三的。是吧，那么12%我们又可以化成小数啊，这边写上一二对吧？一二然后呢？往前数两个小数啊，因为100是吧？要往前数两小数点，在这往前数两位，所以它变成了零点一二。又比如说6%把六写在这地方，我往前数两个，一个两个这边是。

零对吧？零点零六。对吧，能理解吧，352%那我们就可以写成它是等于三点五二。对吧，等于三点五二。好，刚才呢？这边呢是？第一个系列就是。百分数与分数小数的互换，那当然这边呢是等于零点一二。是吧，等于零点一二那么下面呢，

我们再看这个分数怎么化成？啊，这个分数怎么化成这个百分数？分数怎么化成百分数呢？比如说三分之一，我怎么化成百分数？我首先把它化成小数，它是等于零点三三三这样一直循环的。所以它是等于它是等于百分之三十三点三三，对吧？当然你也可以这样循环下去，对吧？你也可以，我们一般呢，保留小数点，

后面两位啊，有的时候保留小数点，后面只有一位，对吧？所以呢，它是约等于。约等于百分之。它是约等于百分之三十三点三三的。啊，又比如说四分之一，它是等于零点二五的，所以我们化成百分数呢，它是等于百分之二十五。对吧，然后比如说七分之一，

我们刚才已经计算了它是啊，它是等于零点幺四二八五七。它是循环的，所以我们写成百分数的话，它是约等于14%点百分之十四点三。对吧，百分之十四点三或者约等于百分之十四点二九也行，对吧？你保留小数点，后面一位就是14%点。啊，百分之十四点三对吧？如果你保数点小数点，后面两位的话就是百分之十四点二九是吧？好，

这是它的。注意了，我们呃四舍五入啊，用到了四舍五入。好，这是百分数与分数小数的互换。这是第一个要点，那么第二个要点呢？是我们百分数的问题，经常在应用题中，它会涉及到。啊，它是它会涉及到一些比例，所以是比例的问题，包含了比例的问题啊，

他说。甲等于假设，甲等于a，乙等于b说。同学们，注意有两种。这个表达啊。甲比乙。多百分之多百分之多少，这句话的意思是？啊多百分之几？啊，比如说甲这个是等于a我用100来表示啊，这边呢是80来表示。然后还有乙比甲。

少百分之几。那么有这两个问题啊，这两个问题容易混淆，那么甲比乙多百分之几，我们怎么做呢？应该用多的100-80。就这个差值，除以多少呢？注意了，它和谁比谁就在分配。它和乙比乙就在分母中，所以这边。啊，应该是啊，计算出来应该是80分之。

二十对吧？它是等于四分之一的，等于零点二五，所以这边是百分之二十五。对吧，甲比乙要多25%。那么一比较少多少呢？我们就用这个差值。注意和谁比，谁就放在分母中，你和甲比甲就放在分母中，所以这边。是100明白吧，和谁比谁就放在分母中。和谁比谁就放在分母中，

所以呢，我们这边呢，计算出来是等于一百分之二十是等于。对吧，它就等于20%。是吧，就等于20%，所以甲比乙多百分之几，跟乙比较少百分之几。它是你看在这个它是不相等的，所以大家要注意这个问题，下面我们结合例题来给大家示范。好，我们看到例22。某工厂呢，

生产一批零件，计划十天来完成任务啊，实际提前两天完成，这每天的产量比计划。提高了多少？同学们注意了。首先，我们研究一下啊，它说原计划啊。原计划是十天。好，原计划呢是十天完成。他说实际呢啊，提前两天实际是不是应该是八天完成呢？对吧，

他要我们去求每天的产量，那也就求每天的这个效率呗。刚但是题目没有告诉我们总共的这个产量是多少，对吧？我设。那我是要。总任务。为总总任务为多少呢啊？为了方便计算，我们设总任务为80。对吧，这个80是怎么来的呢？这个80就是十×8得到的。所以呢，原计划你十天完成，

那我是不是可以推出来原计划？每天的产量。为多少呢？为80÷10。是不等于八呀。那么，实际八天完成。所以实际每天的产量为。对吧，实际每天的产量为。80÷8是等于十的。好，这是咱们的第一步。咱们的第二步呢？他说。

实际每天的产量比原计划提高了多少？对吧，所以应该是十减去八，这是提高的。比原计划提高了多少，对吧？比计划提高了多少，跟谁比谁就放在分母中，计划每天的产量是八。对吧，所以把九放在分母中，这边是等于八分之二等于四分之一等于零点二五，它是等于百分之二十五的。所以这道题目正确答案选择c选项。是不是啊？

大家注意啊，这个第22题一定要注意跟我们的这个复习要点中的。跟我们复习要点中的啊。这个括号二结合起来学习。谁比谁多，百分之几？谁比谁少，百分之几对吧？那么那个分子。就是叉子。那么那个分母你跟谁比谁就放在分母中，明白了吧？好，这是第22题。啊，

正确答案选择c选项，下面请同学们看到第23题。好，我们看到第23题。第一季度，甲公司的产值比乙公司的产值要低20%。第二季度，甲公司的产值比第一季度增长。21%共收的产值比例就增长10%。哟，同学们注意了，全部都是百分比。对吧，我们又发现这道题目中有甲公司和乙公司有第一季度和第二季度第第二季度，所以像这样的题目很适合画一个表格来帮助我们去梳理。

来，我们画一个表格出来。好，咱们写上来。这是第一季度。好，这是第二季度。嗯，这边是。这边是甲公式。好，这边是。移公式。好，咱们把这个表格呢画出来之后呃，

我们就把已知条件中的信息啊，往表格里面填，我们首先看到第一句话，他说第一季度甲公司的产值比乙公司的产值低20%。跟谁比？谁就是分母对吧？也就是说乙这是甲。对吧，它要低百分之啊，这个词这个地方应该是差值。对吧，差值的话，它说甲比乙要低，那我是不是显然应该用乙减去甲？用大的减小的，

然后再除以一。除以一呢等于多少呢啊？等于20%。是吧，等于20%。如果同学们注意了，如果我们设这个乙。它第一周的产值是100是100a。可不可以啊？是100a，那这上面就变成了100a减去甲，它要等于20%。我们可以解出来，甲是要等于啊，要等于多少是要等于80a的。

是不是啊？好同学们第一步。是画表格。好，第二部分呢是？好，第二步呢？是填表格。那么对吗？这个。我们往这里面填进来啊，第一季度啊，这个地方研究的是第一季度。对吧，第一季度我们设乙是等于它的产值是100a，

那么甲的产值。就是80a了，所以甲比乙要低20%，我们就把这个百分比换成具体的数字了，他说第二季度甲产值。几家公司的产值比一季度增长了20%。那么，第二季度。它比第一季度增加了20%，是不是应该是80诶？这是第一季度对吧？乘以一加上20%。是不就是第二季度的？对吧，那么这么这那么这边呢，

我们把它计算一下啊，80a×1点二。20%=0点二对吧？一加20%=1点二。所以相当于是八×12=96对吧？所以这边是第二季度是等于96a的。啊，第二季度。是等于90甲公司第二季度的甲公司啊，是等于96a好，我们再看到乙公司啊，题目中有已知条件说。乙公司的产值比第一季度增长了10%，所以这边应该是啊。一共是的，

是第一季度是啊，最开始八一百a，它增加了10%，应该是乘以一加10%。对吧，所以这边应该是等于100×1点，一是等于110a。对吧，它等于110a。那么我们。好同学们，那么我们算到这一步之后，我们就可以按照题目的要求来去求。第二季度，甲公司。

啊，它的产值之比对吧甲？第二季度。的产值。比上。一。第二季度的产值应该是等于96a，比上110a，我们分子分母同时除以2a。应该是48比上55啊，48比上55啊，不能够再约分了。所以这个题目正确答案选择c选项。选择c选项。好，

下面呢，我再给一点时间，大家把我们讲的考点九和考点十这三道例题。快速的梳理，消化一下。好同学们，我们刚才给了一点时间呢，大家消化我们的考点九考点十下面呢，我们继续接着往前讲解啊，请同学们看到考点11。我们首先呢，给大家复习一下。这个比的基础啊，这个基本性质比和比例的基本性质。首先第一个。

啊，比如说这个四比五好，同学们注意了。这个就是一个比对吧，我们有的时候呢。呃灰，比如说啊，我们有的时候灰说x比上y，它是等于四比五的x比上y=4比五。那么，同学们注意了，由于比值，我们也可以这样写，也可以写作。写作什么呢？

写作x比上y写成这种分数的形式x比上y是等于四比五，我们也可以读作y分之x等于五分之四。对吧，好那么写成比例了之后写成分数了之后这个比例可以写成分数之后，那么因为分数的分子分母是可以同时乘以一个不为零的数，也可以同时除以一个不为零的数。那么，我们比例也拥有这个性质。是吧，也可以用于这种性质，比如说x比上y，它是等于六比上八，那么我们同时除以二，所以我们是不是可以？它是等于三比四的。

明白吧好，又比如说我们还可以把多个比。啊，多个单多个笔，我们连起来。我们可以把多个比连起来，比如说已知条件。它告诉我们a比上b是等于一比上二的。b比上c是等于三比上四的。那么我们就可以怎么怎么办呢？我们可以呀。你看都有b，是不是我们就可以想办法呢？把它串起来写。啊，

我们可以怎样写呢？我用。蓝色的笔写。你看这个b，它对应的是二。这个b它对应的是三。对吧，那么我们可以把第一个比。同时乘以。三对吧，我们可以扩大三倍，同时扩大三倍，它应该是等于啊，这边是三比上六。啊啊，

是不是那么第二个比的话，我同时扩大两倍，那么这边三×2就是六了，四×2是八，所以是六比上八。那么，这样的话，这个b呢？它对应着是六这边这个b呢？也对应的是六我是不是就可以把它串起来写了？是不是所以呢，我们就可以得出来。好，我用黑色的笔来写这一块儿。我们可以得出来a比b比上c，

它是要等于三比上六。比上八了。对吧，它要等于三比上六比上八。我们就可以把它串起来写连起来写了。好，这是把多个比化成两比。我们还可以把比例呢进行化简啊，比如说这个x比上y比上z。它是等于二分之一比上三分之一比上四分之一的。那么，像这种情况，我们可以怎么画呢？我们啊，我们可以。

可以如下化简。啊，我们可以怎么化简呢？利用。每一个地方是吧？同时乘以。我们把它同时乘以。二三四也就是它分母的公倍数是12，这边我乘以12。比上三分之一乘以十二，比上四分之一乘以十二。所以呢，我们一化简把这个分母可以把它消掉，对吧？它应该是等于六比上四对吧？

三分之一乘以十二是啊，三二分之一乘以十二是等于六的。三分之一乘以十二是等于四的四分之一乘以十二是等于三的，所以它是等于六比上四比上三啊。它等于六比四比三。那也就说我们可以把一个分数的比化成。啊，把它化成整数的比。注意了，二分之一比三分之一比四分之一，化简之后，它是等于六比四比三，它不等于四比三比二啊，它不是四，不是把这个分母倒过来了啊。

啊，这是大家注意好，同学们注意了，我们再看到这个笔中的见笔识k的技巧。健笔射k技巧。啊，如果已知条件。如果已知条件，告诉我们x比y比z是等于六呃比四比三，则我们可以。啊，我们可以设。我用红色的笔来写这一块啊。这样可可以设。这个x是要等于6k的。

y是要等于4k的。嗯z是等于3k的。对吧，所以应该是6k，4k和3k。啊，这是鉴比式k的技巧。好，那么下面呢？我们结合。讲义上的第24题和25题来帮助大家理解和消化这一块。好，我们看到第一步。x分之一比y分之一比z分之等于四比五比六啊x分之一比上y分之一。比上z分之一，

它是等于四比五比六。那么，我们可以设。啊，我们可以啊，或者说我们干脆想办法来画一下减也可以，是不是我们把它画成一样的格式呐？同学们注意了，我们把这个。四五六啊，同时都把它化成分母为一的情况，那么怎么化成分母为一呢？那么就是。把所有的啊，同学们注意啊，

也是把我们四五六啊，同时除以它的公倍数四五六的公倍数是60。所以呢，我们同时除以60也就四，除以60比上五，除以60。比上六，除以60。是不是啊？它是可以同时乘以一个相同的啊，不为零的数，或者同时除以一个啊相同的不为零的数都可以。那么现在呢？我们进一步的把这边啊六十分之四可以化简成为十五分之一。六十分之五可以化简成为十二分之一，

六十分之六可以化简成为十分之一。那么推荐码。我能把这地方框起来。呐，咱们再把这边框起来。啊，它是相等的。是不是那这样的话，我们对号入座，也就是说x分之一对应的是十五分之一？对吧啊，这一分之一呢，对应的是十分之一，你看它的分子都是一样的，所以我们是不是给得出来？

它的分母，它的分子都是一，我们是不是可以得出来啊？我们可以得出来x比y比上z。它是等于15比12比上十的。对吧，15比12比上十了。所以我们得到这么一结果。大家看到了没有？好，我们看到第二步，我们渐比色k。我们可以设。x是等于15k的。设y是等于12k的，

设z是等于10k。对吧，那我们x比y比z它等于15k比12k比10k在k约分约掉是不是就可以还原成过15比12比十啊？是不是那么则？x+y+z。是等于。15k。加上12k。加上10k。它是等于37k的。好，我们已知条件，37k它告诉我们x+y+z是等于74的。对不对？所以啊，

我们这个是不是就可以解出来k是等于二了？k=2，从而我们可以得到y是等于。12k是等于12乘以，二是等于24的。等于24，所以这道题目正确答案选择b选项。正确答案选择b选项。好，这是第24题，当然这一道题目呢？有的同学说，老师，我可不可以直接上来就鉴别CK呢？也可以。

啊，直接上来就可以设鉴鉴别设计也是可以的，那比如说我们可以怎么来呢？我们看到方法二。啊，我们第一步。因为题目中x分之一比上y分之一比上z分之一是等于四比五比六。所以啊，我们设。x分之一等于四k。y分之一等于五k。啊z分之一等于六k。好，这样的话，我们就。

可以反过来解出来x是等于四k分之一的。y呢是等于五k分之一的。那么z呢，是等于六k分之一的。好第一步的工作就做完了。下面我们看到第二步，第二步呢x加上y加上z，它要等于四k分之一。加上五k分之一。加上六k分之一。对吧，好，那么我们通过分它的分母是啊，4k5k6k它的公分母啊，公共的分母就相当于找它的公倍数了。

它的公倍数呢？是60k，所以应该是60k分之啊15，相当于是啊。啊，这个分子分母第一个啊，分子分母同时乘以15了，那么第二个分数分子分母同时乘以四应该是60k分之。四对吧？第三个是啊，分子分母同时乘以十，所以是60k分之。诶，这边是同时乘以12了啊，别写错了啊，

同时乘以十二五k分之一呢，分子分母同时乘以12啊，这边是60啊，第三个是60k分之。十对吧？我们计算一下，它是等于60k分之啊。37。对吧，而已，知条件告诉我们x加y加z是等于七十四的，所以应该是六十k分之三十七。等于74对吧？我们是不是可以解得60k是等于啊？等于多少？

同学们注意了，六十k可以解出来，对吧？它是等于七十四分之三十七，是等于二分之一的。对吧，等于二分之一。由于我们这个题目呢，它要去求的是呐，它要去求的是这个y等于多少对吧？那么同学们注意了，我们的y是等于。五k分之一的对吧？这样的话，我们是不是可以得到五k乘以十二是等于二分之一，

所以五。五k分之啊，五k分之一计算出来是等于二十四的，对不对？被解出来y是等于五k分之一。分之一=24对吧？一样的正确答案，选择b选项。好，这两种方法呢？大家都现场实操一下啊，我现在给点时间，大家现场实操一下，然后我们再往前推进。好同学们，

那么下面呢？我们继续接着往前讲解，大家看到第25题。我们看到第25题。已知三角形的三条高的长度之比是三比四比五，周长呢是47，要求这个三角形最大边长为多少？首先，同学们注意了这道题目呢。我们知道。三角形的面积公式是二分之一，底乘高由由于有三条底边，每一条底边都对应着它自己的高。对吧，所以呢，

我这样的这个题目的已知条件呢，相当于是三条高，分别是h1对吧？啊h1比上h2比上h3对吧？也就是。啊，这是三条高线。对吧，三条高线h1比上h2比上h3是等于三比四比五的。那么。呃，高线知道了他的。现在要去求它的最大的边长，我们怎么把这个高的比例转化成为边长的比例呢？诶，

我们可以通过等面积法，是不是那么同学们注意了面积，我们知道它是等于二分之一底乘高的。假设它的边这个h1对应的边长是a，就是a×h一。对吧，另外一方面s它又等于二分之一b边长乘以b边长的高h二。啊好，同时这个SN也等于二分之一c边长乘以啊c边上的高h三。对吧，这样的话，我们是不是就可以得出来这个啊？同学们注意了嗯。这个h1是等于二倍的s比上a的。h2是等于二倍的s比上b的。

h3它是等于二倍的s。比上c的。是吧，好，那么同学们注意了，那这样的话，我们就可以得到h1比上h2比上h3。它是等于a分之二s比上b分之二s比上c分之二s。而这个我们又可以换下减，对吧？这个比例同学们注意了，这个比例中它的分子都是2x，我们说。啊嗯，每一个地方同时除以2x对吧？

它的比值是不发生变化的，它这个比对吧？它这个呃三个比是可以这么进行操作的，就像分数啊，就像分式啊，这个分数的分子分母同时乘以一个数，或者除以一个数。啊，当然是啊，不为零的数。它是值不发生变化的，所以我这边可以约分。对吧，都除以二s是不是应应该等于a分之一比上b分之一比上c分之一啊？又因为已知条件告诉我们三条高知比是三比四比五。

对吧，所以呢，我们就可以得出来啊。好从r。我们就可以得出来这个。a分之一。比上b分之一，比上c分之一，它是要等于三比四比五的。对吧啊a分之一比b分之一比上c分之一，它是要等于三比四比五的。好同学们，这样的话，这个问题是不是就还是不是有一点类似于我们的第24题了？对吧，

也就说第25题，它在第24题的基础上是又进一步的把我们平面几何的一些。啊，这个面积公式融入进来，所以它隐蔽性更强了，好，接下来我们再做一个变形。啊，我们再做个变形，我们再让它再来变形啊，三比四比五。它的公倍啊，35的公倍数是60，所以呢，我每一个地方我都同时除以60，

这边就变成了。三，除以60。比上四÷60，比上五÷60。对吧，然后呢？啊化简出来六十分之三是等于二十分之一的。六十分之四是等于十五分之一的六十分之五是等于十二分之一的。这样的话，我们是不是进一步的可以得出来啊？注意哦，因为a分之一比b分之一比c分之一是等于二十分之一比十五分之一比十二分之一。所以我们可以得出来这个a比上b比上c是等于20比上15比上12。对吧，

这样的话，我们就可以建笔设k了。对吧，我们是不是可以减比4k了？啊，第一步的工作啊，这下面呢，我稍微把它。等一下啊，我把这一块稍微。缩小一点。为我们下面的第二步留点空间出来。好，下面我们看到第二步。好，

我们看到第二步。它又告诉我，周长等于47对吧，所以我们可以见比4k。我们可以渐比色k，对吧？设设a=20 k。b=15 k。啊c呢，是等于12k。这样的话，我们全部加起来，它的周长应该是等于a+b+c，它是要等于20k。加上15k，

加上12k是要等于47k，等于47的。所以啊，同学们注意了，我们就可以得出来k是等于一。是吧，我们得出来k要等于一。那么k=1之后呢？同学们，那么我们就可以得到它的最大边长。好，它的最大边长是等于多少？是不是应该等于20k啊？就这个a对吧？a是等于20k，

所以应该等于20×1，它就等于20。所以这个题目啊，正确答案是4d选项对吧？第25题，正确答案是4d选项。好，下面呢？我给点时间，同学们把第25题和第24题啊以及。以及我们考点11给大家所做的五个要点的复习。啊，我们这个复习也基本上是以实战化的方式啊，给大家做的复习不是跟大家讲的纯粹的理论化的，没有实操性的理论。

对吧，那都没用，我们都是把这些理论知识跟大家啊，在梳理的过程中，在复习的过程中跟。啊解题把它对接起来了。好，大家把这一块呢快速的啊，复习一下，熟化一下。好同学们，那么下面呢？我们依据接着往前讲解，我们看到考点12比例的性质，我在这地方呢，

重点讲这样的几个性质。好，我们先做复习。第一个姓郑的是。椅子。a比上啊，就是a1比上b1。它等于。a2比上b2。它等于a3比上b3。我们考试过程中呢，一般就是考这三个对吧？它很少考什么等于a4比上b4没有了，它就直接等于a3比b3就行了，像这种格式。

则大家注意了，我们如果设这个等于k的话。啊，那么大家注意了。用红色的笔来凸显这个。如果设这一个地方，等于k。则a 1+a二。加上a3。比上比一。加上b2，加上b3。好，它是等于k的。它也等于k。

好，注意了。它也是等于k的。已知a1比b1啊，等于a2比b 2=a三比b 3=k，那么我们把所有的分子全部相加作为新的分子，把所有的分母全部相加作为新的分母，我们可以得出来，它也是等于k的。好，下面呢？我们看到。好，下面呢？我们看了如何去证明？

它为什么是这样的？因为ae比上be是等于k的，所以我们可以得出来ae是等于be×k。对吧a2比上b 2=k，所以我们可以得出来a2。哎，是等于。b2×k的。好，因为a3比上b 3=k，所以我们可以得出来。a3是等于b3×k的。好，这个这样的话，我们就可以得出来，

同学们注意了，这个a 1+a二。加上a3这边比上b1，加上b2，加上b3。那么呃，好，这样的话，我们就可以得出来a 1+a二+a三对吧？我们是不是可以得出来？应该是等于。b1 k+b 2 k+b 3k，所以我们可以提取公因式k算呢，应该是等于b 1+b二。加上b3，

再乘以k。是吧，再乘以k除以啊b 1+b二+b三。啊，这个是不是也是等于k了？对吧，也是等于k的。是不是就证明了我们这个结论？好，这是第一个要点，那么第二个要点呢是？好同学们，注意第一个要点呢，我把它框起来。我们用红框把它框起来。

那么，第二个要点呢？我也红框把它框起来。第二个要点呢，是已知。好已知a1比上b 1=a二比上b2。则啊，注意了，刚才我们的第一个要点呢，是把分子全部相加了，对吧？作为新的分子啊，把分母呢全部相加，作为新的分母，现在呢，

我们是把分子跟分母混在一块了。比如说a 1+b一比上你看分子的分母相加，作为分子。啊，做个新的分子a1-b啊，这个分子减分母左边的分子加分子。作为新的分子啊，这左边啊，左边这个分数，左边这个分数对吧？AA 1比上b1这个分数啊啊，把分子加上分母作为新的分子。把分子减去分母作为新的分母，同学们注意了，你左边怎么变，

我右边就照着你，按照相同的。这个方式来做变化就可以了，这边呢是a2+b二这边呢是a2-b二，它依然是相等的，作业里面是相等。就是说你左边用一种什么样的方式变化，我右边就按照你相同的方式变化，得到的比值左右，两边依然是相等。因为它的结构啊，主要是考它的结构相同。对吧啊，这边我们写上同购机的。对吧，

写上同构机的，那么同构机的就是结构相同，对吧？结构相同，那么它的比值就是一样的。啊，它的比值就是一样的好，这是考点12啊，考点12的性质，那么下面呢？我们来看第26题。第26题呢？它告诉我们a+b+c是不等于零的哎，好同学们注意了啊，看到这个已知条件，

那我还得跟大家呢。再强调一下，由于我们这个b 1+b二+b三，我用蓝色的笔呢啊啊，我们这个b 1+b二+b三，它在分母中出啊，它在分母中出现了。而分母同学们注意，而分母呢，是不能为零的啊，注意这地方都出现了新的分母，注意啊，分母不为零。如果考试的时候你不知道这个表达式，这个新的分母到底等不等于零，

那么就意味着我们要分类讨论。是吧，要分类讨论，比如说我们看到这道题。啊，这个例26题它已经明确的告诉我们。已经明确的告诉我们。a+b+c是不等于零的。是吧a+b+c是不等于零的，它已经明确告诉我们了，那么大家注意了啊a+b÷c。等于b+c÷a。等于c+a÷b，它是等于k的。那么我就可以这样来呀，

我就可以得出来把所有的分子全部相加作为新的分子，对吧？a+b。加上b，加上c。啊加上c+a对吧？比上比上c+a+b。它是不是还要等于原来的k啊？是不是啊？它还要等于原来的k。那么这个新的啊，注意了，这个新的分子。啊，新的分子是二有两个a，

两个b，两个c对不对？所以呢，也就是两倍的括号a+b+c。那么，这个新的分母呢？是a+b+c。对吧，这个一划掉一划掉，它是等于k那不就相当于是推出来k就等于二了吗？是不是啊？推送的k就等于二。好，大家注意了，这个题目正确答案选择的就是a选项。

我们为什么能够啊？用这个方法得出来k=2呢，这里面实际上有一个小的陷阱点呢。它埋在这，你看a+b+c在分母中出现，因为题目中的已知条件，告诉我们a+b+c是不等于零的，所以它是不是保证了我们？a+b+c在分母中出现的时候，它是可以的，对吧？因为分母。能够保证不等于零吗？但是这道题目啊，我们做完之后稍微做一点变形。

它就有陷阱了，怎么变形呢？这么变它说啊，我们做一个。举一反三的练习啊。我们做一个举一反三的练习。它说若。啊若a+b比上c=b+c比上a=c+a比上b。它是等于k的。则k等于多少？你看这个举一反三的题目，跟我们的例26题，这个原题相比较，它就少了一个已知条件，他把原题中的a+b+c不等于零，

这句话把它删掉了。那么，这就导致我们结果就不同了，好，我们分析如下。好解啊，我们分类讨论。啊，第一类当a+b+c。不等于零的时候。我们是不是就可以得出来a+b？加上b，加上c。加上c，加上a。

除以。c+a+b，它还是等于k的。即两倍的括号。a+b+c比上a+b+c，它是等于k的，所以我们是不是可以得出来？k是等于二的。对吧好，这是第一步。那么第二步。我们来算一算。当a+b+c=0的时候。啊，当它等于零的时候，

等于零的时候，那我就不能按照上面这个啊，这个思路来去做了，因为按照这思路的话，那分母为零了，那不行，对不对？啊，所以我们得另外想其他的办法，因为a+b+c=0，所以我可以得到a+b是等于负c的。是吧a+b=-c。那么，现在我们再看看已知条件，已知条件，

又告诉我们a+b比上c是等于k的。对吧，所以呢，我们把它带进来a+b是等于负c，负c比上c=k那么约一下分。是不是就等于。是不是就可以推算k2=-1呀？对不对？所以同学们注意了，这个结果应该是k=2。啊，或者负一。明白吧k=2或者是负一有两个结果了。好，大家注意，

要把例26题和举一反三。对比起来学习。这样的话，我们才能够嗯。完整的，准确的。理解对吧？那么命令老师呢？不管他怎么去设置陷阱，咱们也不用怕了，是不是再也不用怕了？好同学们，现在呢？我给一点时间，大家快速的把第。

考点12啊，考点12啊，这道题目啊，26题啊，以及举一反三，这两道题目，大家快速的理解和消化一下，然后呢？我就呃，我们实际上我们这个呃第一第一章节。对吧啊，就算术这一块就跟大家全部讲完了，那么呃，大家消化一下啊，我待会呢跟大家。

做一些补充讲解给大家呢，讲几道为我们后面这个应试技巧强化阶段的课程呢，做一些铺垫。好，大家先消化。好同学们，那么下面呢？我给大家啊做一些补充的讲解，也是为我们后期。这个应试技巧强化阶段，甚至是我们冲刺阶段，做一些铺垫工作。好拓展讲解呢，这个呃，首先我们看到要点一。

这个符号。表示。啊，表示不超过x的最大整数。我们也叫做取整。也也叫做取子啊，什么意思呢？我们举例子啊。例如一点二。不超过一点二的整数部分啊，不超过一点二的整数是不是就是一啊？就是它的整数部分，又比如说一点九。不超过一点九的最大整数也是一。大家注意了，

这一种取整取整啊，取整数部分就是它取整它跟四舍五入是有区别的。对吧，四舍五入呢是一点二，它是约等于一。啊，一点九呢，它是约等于二对吧？这是四舍五入。明白吧，它是有区别的。那么，我们再来研究一下啊，负的一点二注意了，不超过负一点二的最大整数是多少呢？

它是不是负一了？是负二。能理解吧。那又比如说。负的一点九不超过负一点九的最大整数多少呢？是也是负二。好，这个大家要啊。要理解。啊，这个表是不超过x的最大整数部分？好，这要点一。一二点二。啊平方差公式。

a的平方减b的平方，同学们注意了，它是等于a加上b。乘以a-b的。啊，反过来。a加b乘以a减b，它又等于a的平方减b的平方。对吧，它又等于a的平方减b的平方。那么，这个平方差公式呢？对于我们公式的化简是非常有帮助的，比如说根号五+1。乘以根号五减去一，

它就等于根号五的平方减一，是等于五减一，是等于四的。又比如说啊，这个二加上根号三。乘以二减去根号三，它是等于二的平方减去根号三的平方是等于四减三是等于一的。啊，这是要点二，我们看到要点三。是完全平方公式。啊，是完全平方公式就是a的平方，我把它这样写啊，就是a+b^2。

它是等于a的平方。加上b的平方。加上2 AB的。a减b的平方，它是等于a的平方，加b的平方减二AB。那么，同学们注意了，反过来。反过来。a的平方+b^2，加上2 AB对吧？它要等于a+b^2。如果我这边开个根号对吧？根号下a的平方+b^2，

加上2 AB。同学们注意了，它要等于根号下a+b括号的平方，它等于a+b吗？注意了，不一定。它应该是等于a+b的绝对值，万一你a+b是个负的的话，那我是不是要添个绝对值哈？好同学们注意了，反过来啊，第二个反过来就是a的平方+b^2。减去2 AB，它是等于a-b^2的。那么我们看个根号a的平方+b^2-2ab，

它是等于根号下。a-b^2要等于a-b的绝对值。是吧，要等于a-b的绝对值。好，下面呢，我们给大家呢补充几道例题。啊，补充例题第一个题目。第一个题目呢是色。根号五加上一比上根号五减去一。它的整数部分为a。它的小数部分。为b。则则。

a的平方加上。二分之一a乘b。再加上b的平方等于多少？好，这是咱们这道题目，第一个题目。下面呢，我们分析一下这道题。第一步，我们把这个化一下减啊，这个根号五+1除以。根号五减去一我们化简的时候，主要是把这个分母中的根号啊，要把它消掉。那么，

怎么去消掉呢？我们就可以通过平方差公式，对吧？根号五减一乘以。啊乘以根号五+1。对吧，然后呢？这边呢？你分母乘以根号五+1，那么我分子是不是也要乘以根号五+1啊？所以。是根号五+1^2了。那么这个分啊，这个分母用平方差公式可得应该是根号五的平方减去一。那么上面呢是根号五啊，

根号五+1^2，我用完全平方公式是不是应该是？根号五的平方+1^2加上两倍的根号五。是吧，加上两倍的根号五，那么我们进一步的运算，它应该是根号五的平方就是五了，一的平方就是一了，然后再加上两倍的根号五。好这边呢是啊，根号五的平方是等于五减一对吧？它是等于四分之六加上两倍的根号五。四分之六加上两倍根号五，我们分子分母再约个二啊，应该是等于二分之三加上根号五。

对吧，二分之三加上根号五。我把这边呢。好，挪到这来。那么这个右边呢？我们。写第二步。好第二步，由于根号五同学们注意了。这个根号五呢，它是。小于根号九，大于根号四的。对吧，

也就是根号四呢，就是二嘛，对吧？根号九就是三嘛，也就是说根号五是介于二到三之间的。所以我们就可以得出来，我们可以得出来。三加上根号五，它是不是要小于三+36啊啊？它要大于二+35啊？对不对？这个同学们能理解吧？干脆啊，这样的。这样对照起来。

对吧，把它对照起来写。好，这样的话，我们就可以得到啊，我们进一步的就可以得到这个三加根号五÷2。它就小于六除，以二是三。它要大于五÷2。五，除以二十二点五。所以它介于二点五到三之间。是吧，介于二点五到三之间，所以我们就可以得出来它的整数部分是吧，

我们就可以得出来这个。呃，它的整数部分谁的整数部分呢？就是。三加上根号五÷2它的整数部分是不是就应该等于二呀？因为它是二点几，它的整数部分就是二。那么，它的小数部分呢啊及？啊及我们的a啊，注意整数部分，就是说我们已经求出来三加上根号五除以二的整数部分是二，也就是这个根号五加上一比上根号五减一，它的整数部分。这个a是不是要等于二呀？

a要等于二。好同学们注意了。呃，那么这个b等于多少呢？这个b啊，大家注意了，这个b是不是应该等于三加上根号五÷2啊，这个数减去它的整数部分。剩下。大概就是小数部分了。好，它是等于多少呢？它是等于二分之三加上根号五再减去四，它是等于二分之根号五。减去一的。

是吧，它等于二分之根号五减一。啊b是等于二十分之根号五减一。好，它是等于二分之根号五减一，也就是b求出来了，那么下面呢？我们啊？把目标求一下啊，也就是我们的第三步。好，我们看到第三步。同学们注意了a是等于二的。b呢是等于。啊b是等于。

二分之根，号五减一。所以我们。啊，求一下a方，加上二分之一a乘b，再加上b的平方，是不是可以化简了？咱们换一下键。啊，计算一下，它应该等于。啊，它要等于。四对吧？

二的平方啊，二的平方就是四等于二的平方，加上二分之一乘以二乘以二分之根号五减一。加上二分之根号五减一括号的平方好，咱们再计算一遍，这边注意了二的平方是四。这边啊，跟这个可以约分约掉对吧啊，加上二分之根号五减一，那么二分之根号五减一的平方。我们可以计算一下，它是等于四分之根号五减一的平方是五，加上一减去两倍的根号五。对吧，那么我们再次规整一下，

这边是四加上二分之根号五减一，再加上这边是。呃分子分母同时除以二这边是二分之对吧？六÷3是等于六÷2等于三三减去根号五。所以我们计算一下，它应该等于四注意了，这个加一个根号五减一个根号五，它就抵消了，对吧？啊，所以呢四。加上二分之三再减二分之一就是四，加上一了，所以最终的结果是等于。等于五的。

对吧，最终的结果啊是等于五的。你看表面上看起来。很复杂的一个东西。是吧，但实际上呢？没那么复杂。好，这是第20啊，这这个这个是给大家呢？嗯，补充的例题答案是五。啊，答案是五下面呢，我们再给大家呢。

补充第二道例题。那么，这道题目呢是？要我们化简。化简四加上两倍的根号三开根号。那么怎么去？怎么去化简呢？因为根号里面还有根号对吧？所以同学们注意了第一步。我们把它变一下形四，加上两倍的根号，三是等于三+1加上两倍的根号三。对吧，那么同学们注意了，我们进一步的变形，

它可以写成根号三的平方，加上一的平方，加上二乘以根号三再乘以一。同学们注意了，这实际上是一个完全平方，可以用完全平方公式，对吧？它应该是等于根号三加上括号。一的平方。对吧，这是我们的第一步，所以我们第二步根号下四加上两倍的根号三。是要等于根号下根号三+1^2。好，这边呢，

是等于根号三+1。对吧，等于根号三加上。等于根号三+1。好，这是我们的啊，这是我们的第二步，那么下面呢？我们再看到啊，这个我们可以实际上还可以做进一步的拓展。比如说啊，要化简这个。化简根号下四减去两倍的根号三。那我们能不能照葫芦画瓢呢？哎，

同学们，我们能不能够啊这个拓展呢？应该叫做举一反三更好一点。它叫做举一反三。对吧，它跟上面实际上是。很相似，或者说几乎是一样的。那么，我们能不能够照着上面这个葫芦，把下面这个瓢给画出来呢？好，大家跟着我一起来操作，我用蓝色的笔来写。好第一步。

四减去两倍的根号，三可以写成三+1减去两倍的根号，三它应该要等于根号三的平方。加上一的平方，减去二乘以根号，三×1它要等于根号三。它要等于根号三减去括号一的平方。好，下面我们看到。第二步，根号下四减去两倍的根号三。啊，它要等于根号下。这个根号三减去一括号的平方，由于根号三啊，

由于根号三是比。根号三是比一要大的，对不对？所以呢，我们直接开出来是等于根号三减去一。是吧，等于根号三减去一。那么，进一步的像这种题目，它还可能要我们化解。对吧，它要我们去化简根号下四加上两倍的根号三，再加上根号下四减去两倍的根号三。等于多少呢？那现在我们是不是有方法了？

第一个有啊，第二个例补充例题是不是可以得出来？它是等于根号三+1了。第二个有举一反三，是不是给得出来？它是等于根号三减一了，所以它就直接等于两倍根号三。它直接等于两倍的根号三。你看完全平方公式，居然还可以用来这么巧妙的来进行化简。是不是那么平方差公式还可以跟我们的取整数结合起来考？对吧，完全平方公式，你看这个补充例题一里面是不是也用到既用到了平方差公式，又用到了完全平方公式，

还涉及到这个。实数的化简运算。好，下面呢？我们看到第。呃，三个例题，三个补充例题。第三个补充例题呢是。已知。正整数。xy.他满足。根号下七减去两倍的根号六是等于根号x减去根号y的。折啊折。

啊x等于多少？y等于多少？能不能求出来？当然，考试的时候人家可能要我们去求x+y等于多少？对吧？要我们去求x×y等于多少？或者要我们去求一个别的x÷y等于多少？啊，也可能要我们去求x的y次方加y的x次方等于多少？是不是啊？所以呢，它是可以变化的，最关键是把xy给求出来好，下面我们看到第一步。

首先，七减去两倍的根号六，它是等于把这个七拆解成为六+1。再减去后面的两倍，根号六好，我们继续写根号六呢，是等于啊啊，这个六呢，是等于根号六的平方，这个一呢，是等于一的平方。减去二乘以根号，六再乘以一对吧？这边呢啊，它是等于根号六。

减去一的平方。是吧，根号六减去一的平方。好，这是。第一步好，下面呢？我们看到。好，下面我们看到第二步。好，我们看到第二步。啊，由于啊。已知条件中给出来的是一个二重根式根号下七减去两倍的根号六，

它是等于它是等于根号六减去括号一的平方。再开根号对吧？它是等于根号六减去一的。那么这样的话，我们就可以得到，从而。把这个已知条件用上来。啊，把这个等式用上来，从而我们可以得到根号六减去一，它要等于根号x减去根号y。同学们，注意了，这个时候我们是不是很显然可以对号入座呀？对吧，

因为xy都是啊，都是正整数啊，所以我们可以得到这个根号六实际上对应的就是。根号x这个一对应的就是根号y，所以我们可以得到x，它是等于六的啊y呢，是等于一的。对吧，这样我们很快就求出来了。另外一方面，如果你要去求x的y次方加y的x次方，那就等于六的一次方加上一的六次方六的一次方是六一的六次方是一，所以呢，它是等于七。题的对吧啊？

又比如这样的话。这样问这个题目呢，我们也把它给解决了。好同学们，最后呢，我给大家补充一道。这个字数分析啊和奇偶分析的题目，由于咱们字数分析和奇偶分析的题目呢呃，在我们考试中现在的。地位越来越重要了，所以呢，我们补充第四题，第四题呢是？已知a为质数。已知a为质数。

xy呢，属于这个符号，表示属于整数啊，它是整数。则x+y的绝对值。加上根号下x-y。等于a。它的解有多少组？对吧，要去求它有多少组解？首先，我们看到第一步。由于x+y，它肯定是。啊，

是一个整数。对吧，是正整数。啊，或者说是非负整数。它是非负的，最小是零。好它是非负整数。而a呢？为质数。那质数肯定也是整数嘛。是不是啊？好那么大家看一看。这是一个整数，这是一个整数，

所以我们是不是就可以得出来根号下x-y，它要等于。a-x+y的绝对值，它是等于。整数。检诊所。对吧，整数减整数是不是一定是一个整数啊？所以根号下x-y，它开根号是可以开出来的，对不对？x-y可以开根号开出来。能理解吧好。即x-y它是。完全平方数。

明白吧xy是完全平方数。可以这么理解吧x-y是完全平方数。那么又因为。好同学们注意了，又因为x+y与x-y。啊，它同同为奇，或者同为偶，因为相同的就两个数相加或者相减得到的结果。啊，它的奇偶性是一样的，就两个数的和与两个数的差，它们要么都是奇数，要么都是偶数。是吧，

这个地方要要理解一下啊，就是x+y与x-y。啊，这个同为。有相同的奇偶属性。嗯，这样吧，我担心有同学在这地方理解起来会有点难度啊，所以呢，我我稍微把这个过程再展开一点，我们刚才已经得到了。x-y是完全平方数对吧？我们设啊。我们设x-y=m。啊x-y=m。

那么这个m。为非负整数。因为它在二次根号下面。对吧，为非负整数。啊则x-y啊诶诶等等等一下等一下x减我们设。在这个x-y啊。它不是一个整数吗？我们设它等于m。对吧，我们设它等于m，所以呢x注意我设的是x根号下x-y=m啊等于m。只要我。写完整啊，同学们，

咱们把这边写完整。设根号下x-y，它是等于m。则x-y它是等于m的平方的。是不是啊？等于m的平方。好，我们再来看。那么x+y。啊x，加上y。那它是等于啊，就是x+y与x-y。那它是有相同的奇偶性。是不是啊有？

有相同的。奇偶性。那么它俩啊，由于x+y跟x-y有相同的奇偶性，所以呢，我们就进一步的可以得出来。x+y它的绝对值与根号下x-y注意了，因为x-y跟根号下x-y。它是有相同的奇偶属性的。我在这地方用黑笔来凸显一下。而m与m的平方。有相同的。极恶心。比如说以m为奇数的话，那么m的平方也是奇数，

对吧？你m为偶数的话，那m的平方也为偶数，因为。呃m为奇数的时候，奇数乘奇数还是奇数m为偶数的时候，偶数乘偶数还是偶数是吧？所以它具有相同的奇偶性。集啊集。根号下x-y与x-y。有相同的奇偶性。对吧，根号下x-y是mx-ym^2是x-y对不对？所以它有相同的奇偶性。它有相同的奇偶性。

我们刚才已经研究了x+y与x-y有相同的奇偶性。而x-y跟根号下x-y，它有相同的奇偶性。对吧，因为我们前面第一步已经研究了啊，我们第一步是不是已经研究了这个呃？就是研究了根号下x-y是一个整数嘛，是吧？是不是得出来是一个整数啊？所以我们这样的话就可以得出来啊。啊x+y的绝对值以根号下x-y。它具有相同的结偶性。对吧，它具有相同的奇偶性，那么具有相同的奇偶性的两个整数相啊，

这个非负整数相加，那肯定是个偶数嘛。所以我们就可以得出来。啊x+y的绝对值，加上根号减y根号下x-y，它等于偶数。这样的话，推出来什么呢？因为因为这个值。对吧，因为这个值，它又等于a嘛。是不是这个a等于它嘛，所以我们可以推出来a为。偶数，

你看这里面有很多这个整数分析。对吧？奇偶分析还有涉及到字数分析是不是又因为？a为质数。啊，所以我们给的出来a肯定等于二，因为既是质数又为偶数的。啊，这样的整数只有二。是不是只有二能理解吧，只有二。好，这样的话，我们就把它分析完了。其实呢，

如果大家嗯。就是说基本功比较扎实的话，我们可能好多话不用写了，因为。在大脑中，自己都能够啊，很快的反应出来，比如说m和m的平方，它是具有相同的奇偶性的，如果m为奇数，那么m的平方也是个奇数，如果m为偶数，那么m的平方也为偶数，所以呢？m和m啊的平方具有相同的奇偶性，

注意已知条件，肯定是m是个整数的，对不对？那么，第二个要点呢，是x+y跟x-y，它具有相同的奇偶性。能理解吧x+y与x-y具有相同的奇偶性，那么怎么去理解它呢？就是说啊，如果xy同啊。你可以分类讨论嘛，如果xy都是奇数，那我就给得出来x+y跟x-y，你看它都会偶数了，

它的奇偶性是相同的。如果xyx和y这两个数，它都为偶数，那我是不是可以得出来x+y为偶数x-y也为偶数，那不就是x+y跟x-y？具有相对的奇偶性的嘛。如果xy是一奇一偶，那么x+y跟x-y是不是都是奇数了？那么也具有相同的属性。是不是每一种情况下x+y与x-y它都具有相同的奇偶性？好，下面呢？我们看到第三步。刚才我们已经得到了a=2，所以我们马上可以得出来根号下啊呃，

这个绝对值绝对值x+y加上根号下x-y。等于二实际上呢，因为它都是非负的，所以我们是不是可以进行分类讨论呢啊，第一种情况是x+y它是等于零的。那么，此时根号下x-y呢？它就等于二了。那么，第二种情况呢？是x+y的绝对值啊，它是等于一的。那么，根号下x-y呢？它是等于一。

好，第三种情况呢是x+y。啊x+y的绝对值是等于二的，对吧？根号下x-y是等于。等于零的那么下面我们再来看一看，那这一个呢？好这个呢，我们可以推出来。x+y啊x+y是等于零的。x-y是等于四的，这样的话，我们是不是可以解得x是等于二啊y是？二=-2的。对吧xy都属于整数，

是符合要求的。那么下面我们再看看这边。我们看到圈二。圈二呢，实际上它又要分。两小组情况了，对吧？第一小组情况呢？是啊，是x+y=1。x-y呢是等于一。第二种情况呢，是x+y是等于负一的，那是吧？x-y呢等于一。

这样的话，我们。我们是不是就可以得出来啊？这一组解是x是等于一的对吧y等于？那么这边呢？可以得出来是？这个啊x是等于零的y是等于负一的。好，大家注意了，这我用红色的圈圈把它圈起来，这组解是可以的，这组解也可以，这组解也可以，对不对？那么下面我们。

啊，我们看到最后一大种情况，那么这种情况呢？我们可以得出来x+y啊，其实它是不是也要？啊，分两种情况，第一种情况呢是？x+y是等于二的。x-y呢是等于零的。对吧，第二种情况呢是x+y是等于负二的。x-y呢？是啊，是等于零的。

好，这样的话，我们就可以得出来什么呢？两式相加2 x=2，所以呢x=1，那y呢？是等于一。好，这边呢，我们又可以得出来两数相加，2 x=- 2，所以x是等于负一的，那y呢是等于负一的。对吧，所以呢，

这样我们可以得出来。是不是总共有五组解呀？对吧？大家有没有发现你看我们啊？总共是有五组解啊，你看这个第四题啊，看起来好像很简单。但是你看一个方程中含有三个未知数，还含有绝对值，还含有根号，还含有。质数最终呢？我们把x和y。对吧，以及a我们都可以求出来。

这个a呢，是可以确定出来就等于二这个x和y呢，它总共有五种不同的这个情况。对吧，所以嗯，你看表面上看起来很简单的题目，实际上它是需要我们。进行综合分析的。对吧，它涉及到奇偶分析啊，首先涉及到整数分析啊，还涉及到奇偶分析。是吧，还要涉及到这个字数分析。所以说啊，

包括后面还要解方程，解方程组分类讨论，所以包含的内容是比较多的。那么我们这个。这四道补充例题呢啊，我就跟大家呢，就讲到这那么到目前为止，我们通过三节课的内容跟大家呢？把算术部分啊，从运算到。啊，这个奇偶分析质数合数分析整除分析啊，除法的余数分析对吧啊等等？啊，还有什么倍数？

倍数合数最大。公约数最小公倍数对吧？以及它的一些啊，分式的变形啊，有最简分数对吧？有真分数等等，还有百分比对吧？比例问题，这些问题全部都跟大家逐一的讲到了。对我们考试大纲呢进行了进行了全覆盖。啊，同时也直接跟我们的后面啊，这个考试的要求提醒对接上了，希望大家呢把我们。啊，

这三讲的内容完全吃透消化，怎么去完全吃透呢？首先第一遍听课啊，必须要仔细去听了，要做笔记，边听课边做笔记边思考的。第二遍要复习，复习笔记也可以复习，把这课再重新听一遍也可以第三遍。啊，可以盲听。啊，什么叫盲拼呢？就是。把这个课件打开啊，

在有这个WIFI的情况下对吧？嗯，把这个课件打开，然后这个。只听用耳朵听，用大脑想，不用眼睛看。这样的话，因为你有了前面两边的学习的话，实际上在坐公交车啊，坐地铁啊，然后等等人的时候都可以去做这个事儿。好吧，我们这个考研啊，要去决定的去做它，

那我们就把它做好。那么今天的课呢，我就给大家讲到这里，谢谢大家。

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