02.课件2-2024数学基础班第2讲

罗泽兵 · 发表于 2024-4-5 06:45:24

好，各位同学，大家好，那么今天呢？是我们二零二四金湖广中数学基础班的第二讲。我们在上一小啊，上一节也就第一讲的时候呢，给大家已经讲解了，我们讲义上的考点13考点14和考点15。也就是数轴与绝对值分式的恒等变形根式的恒等变形。那么，我们在第二讲呢啊，要给大家讲解的是从考点一到这个考点五。这五个考点。那么，

这个五个考点呢啊，对应的内容是有理数与无理数，奇数与偶数，完全平方数，质数与合数和约数与倍数。那么，这五个考点呢？在学习的时候，它不是单纯的计算问题，它是要融入到分析的。这个方法进去是吧？要把分析的方法与技巧性的运算融合在一起。所以啊，从这个角度来说，它比我们第一讲的要求更高一些。

好，下面呢？请大家呢，看到讲义上的啊，这个。考点一有理数与无理数。我们要学习有理数和无理数，对吧？我们就要把它啊放在一个宏观的框架上来进行学习。同学们，注意了这个。实数啊。实数呢，它分为有理数和无理数。那么有理数呢？

它包括什么呢？有理数。它包括。有限小数。啊，比如说。一点二它的小数点后面只有一位。对吧，就是二比如说一点二三，它的小数点后面有两位，这都是有限的。比如说啊，整数我们就写成了二二小数点，后面就就是小数点，后面的就是零了，

对不对？二就相当于是二点零。明白吧啊，又比如说唉，也就是这个小数啊，我们从这个角度来分析的话，有限小数，它包括了小数点，后面为零小数点，后面不为零的。对吧，但是它的特点就是小数点，后面的数字是有限的。明白吧，是有限的。

比如说三点一四一五九二六呐，写这么长一串，它也是有限的，它只包括这几个。是不是啊？也就是说小如果一个整如果一个数是整数的话，那么它的小数点后面。它也是有限的，因为小数点后面是零。对不对？小数点后面是零，它是有限的。如果小数点后面不为零，它是其他的，只要你的个数是有限有限个啊，

那么它都是有限小数。好，还有。好无限。啊，无限小数。重的循环小数。好，大家看到我这么写呢？啊，心中应该有想法的，无限小数。它里面的循环小数。属于是有理数。啊，

比如说一点啊，比如说一点一一一打省略号，打省略号就表示它不停的在循环。对吧，这叫做啊循环的意思，就是重复出现。比如说一点二三。二三二三它不停的循环，循环出现，那么这都叫做循环小数。明白吧，无限循环啊，无限小数中，它包括循环小数和不循环小数。无限小数包括循环和不循环的。

啊，那么循环又就循环小数这一块呢，它就属于是啊，无限小数中的循环小数这一部分呢啊，这这这些数呢，属于有理数。那么无理数呢？它主要是指。啊，无限小数中的。无限小数中的不循环小数。啊，比如说。啊，一点二三。

啊啊，或者或者我们这样写啊，它不循环的话，我们怎么体现它呢啊？比如说这个圆周率派。派是等于三点一四一五九六五三五八九七九等于一直往下，它没有规定的表示二点七幺八二八对吧？这个派呢？指的是三点一四一五。啊九二六对吧？它是无限不循环小数，那么这个一呢啊，它的大小是指二点七幺八二八也是无限不循环小数。还有像这个根号三，它约等于一点四幺四啊，

不一点七三二对吧？根号二啊，一点四幺四根号，三根号五等等，这都是。啊，这都是无限。不循环的小数，所以它都是无理数。好，大家有没有发现呢？我们在学习有理数和无理数的时候，我是从单一的小数这个角度来去分析的。那么，同学们可能看到有些书上啊，

或者一些参考资料上把小数，分数，整数等等混为一谈。这个就容易产生重叠了啊，就是产生逻辑上的错误，所以呢，我就只看小说，因为。啊，为什么可以这样来呢？因为整数。比如说一我可以把它看成有限小数一点零。对吧，二二我可以把它看作是二点零三，可以把它看作三点零，

明白吗？所以整数是可以看成是？小数点后面都为零的对吧？小数点后面啊为零的有限小数。是不是那么分数好，大家注意了。分数啊，就是分子分母都是整数的，这种分数。那么，它可以化成有限小数或者是无限小数中的循环小数。也就说我们的有理分数对吧？也就说同学们注意了啊。我跟大家做一个说明。啊，

这个做一个标注第一点是。所有的整数可以看作是有限小数。啊，所有的整数可以看作是。有限小数。并且。小数点后面为零。这是第一个要点。第二个要点是。无限循环啊，就是这个我我我们再看一看，叫做分子啊，叫有理分数，我们先说一下啊。分子分母。

都为。整数的。分数。叫有你分数。他为什么叫做有理分数呢？因为它是个有理数，明白吧，这个分数是个有理数。那么，所有的有理分数。好所有的有理分数。它可以。他可以化为有限小数。啊，它可以化为有限小数。

或者是。无限循环小数。所有的有理分数。可以化啊，可以把它变形为有限小数或者是无限循环小数。正因为它可以，正因为它可以化简成为化成有限小数和无限循环小数，而有限小数和无限。循环小数，它们都是有理数，所以呢，我们把这个分数呢，叫做有理分数，这是有原因的，对吧？

比如说五分之二。它是等于零点四的。对吧，又比如说三分之一，它是等于零点三三三循环，它是一个。无限小数中的循环小数简称为无限循环小数。明白吧，又比如说四分之一是等于零点二五的。是吧，四分之三是等于零点七五的，那么它都是有限小数。也就是说，整数。我们可以。

化为啊，我们可以把它看作是有限小数，并且这个有限小数的小数点后面为零。对吧，那也就是所有的整数也是有理数呗。对不对？好那么？一个分数，如果它的分子分母都是整数。那么，这个分数叫有理分数，所有的有理分数呢？它可以化成两种，要么就两种小数中的某一种，要么就化成有限小数，

要么就化出来的是无限。小说中的循环小数。而这两种小数它都属于是有理数，所以呢，我们把这种分数叫做有理分数，对吧？所以有理分数就是分数，对吧？分数为什么我这地方强调一下啊？为什么要强调是有理分数？为什么强调这个分子分母啊？都必须是。整数我们研究这种分数，有的同学说，比如说像这种，

比如说三分之根号三，那也是个分数啊。但这种分数，它就不叫有理分数了，因为我们研究的是分子，分母都是整数，对吧？你看呃，你看这个这个三分之根号三。三分之根号三，它的分母是整数，但是这个根号三是无理数，对吧？所以这个分数它就不叫做。有理分数了，

它是个无理分数。明白吧，所以大家注意了，我们去研究的时候啊，我们现在跟大家去讲解这个实数的时候，我跟大家呢啊，快刀斩乱麻，我就研究小数。因为其他的东西都可以转化成小数的研研究，对不对？小数啊，小数就有三类，第一类是有限小数。第二类是无限小数中的循环小数。第三类是无限小数中的不循环小数。

就这三类其中啊。前两类统称为有理数。第三类啊，统称为无理数。只不过是像无理数，对吧？我们它的本质就是无限小数中的不循环小数，它有很多种伪装形式，比如说写成一个用一个专用的字母来表示它像派。圆周率派对不对？算是它是等于三点，一是一五九二六对吧？一直往下无限不循环的，那么还有这个啊，自然对数里面的这个一。

还有这个指数里面的一对不对？二点七幺八二八，它等于二点七幺八二八，往后无穷啊，是一个无限。小说中的不循环小数也叫无限不循环小数，还有像根号二根号三根号五根号七根号十根号11根号13等等，这些都是看不出根号了，看不出来的。是不是看不出来的这种根式这种根数啊？这这这种根式是不是它都叫做无理数啊？好，这是注。那么，这是第一个要点，

我就跟大家。啊，第一个要点跟大家讲解完毕，下面我们看到第二个要点。好。无理数。与有理数。之间的。关联。首先，第一，从定性的角度来说。从定性的角度来说，我们说。这个实数。

它是分为。有理数和无理数的。对吧，有理数和无理数，所以它肯定是有关联的，它是。它是一个事物的啊，两面或者说它是实数里面的分出来的两个类别。对吧好，这是定型啊，这是这个。定性的角对角度。第二，我们从。运算的角度。

好，我们从预算的角度来分析。同学们注意了。有理数。注意了，加上有理数。他还是有理数。就是有理数，加上有理数，它还是有理数。好，我们再来看。那么有理数减去有理数呢？啊，同学们有理数减去有理数，

它也是个有理数。有理数乘以有理数呢，它的结果也是有理数，有理数除以有理数啊，注意这个除法中啊，不为这个分母是不能为啊，这个这个这个除数是不能为零的，对不对？啊，有理数除以有理数，它还是有理数。那么这个我们怎么去理解它呢？啊，它叫做有理数内部，它具有封闭性。

有理数。就是有理数，具有封闭性，什么叫封闭性呢？就是他们对吧你？有理数之间的加减乘除得到的结果。还是有理数，它封闭在这个内部，对不对？那么，我们来看看这个无理数，无理数，它就不具有封闭性了啊。好，我把这个呢整体往这边挪一下啊。

我们再看一看。无理数。无理数加上。无理数。他的情况呢？是不确定。啊，同学们无理数，加上无理数，它的结果。是无理数还是有理数呢？不确定无理数减去无理数，它的结果是无理数还是有理数也不确定无理数乘以无理数，它的结果也不确定无理数，除以无理数，

它的结果啊。也不确定。所以我们这边写上叫做。无理数。啊，无理数它的结果。不具有封闭性。啊，无理数，它的结果不具有封闭性，那么像这种一个具有封闭性，一个不具有封闭性，我们需要掌握一些例子，尤其是无理数这一块。我举例子来说。

比如说啊，比如说啊，我在这上面来写吧，根号二加上根号三。它是等于无理数。对吧，根号二加上根号三两个无理数相加，它还是无理数。那么我们再看一个。啊二加上根号三。这是个无理数。加上二减去根号三唉，它是等于四这个四呢是有理数。也就是说。啊，

我们。这边举了一个例子。举了一个例子，叫做两个无理数相加根号二跟根号三，这是两个无理数，它相加得到的结果是无理数，我们又举了一个例子。啊二加根号三，这是个无理数，二减根号三也是个无理数，两个无理数相加，结果得到了一个有理数。是不是它的和是有理数，所以啊，同学们注意了两个无理数相加，

在我不知道这两个无理数是什么样的数的时候？啊，是什么样的？具体的物理数的时候，那么我是不能够直接贸然说它的和是有理数还是无理数？对吧，因为我刚才跟大家举了这个举例，一是不是举了两种情况，两个无理数的和它可以是有呃无理数它它的和也可以是有理数。好，我们现在看相减。好，我们看到先减。那根号二减去根号三。那它就是无理数，

它的和。对吧啊，它的差是无理数，我们再来看啊，这个。根号三加上二，这是个无理数，减去根号三减去二。对吧，这也是个无理数。是不是根号三减二是个无理数根号三加二也是个无理数，两个无理数的差是等于四诶，它的结果又是个有理数了。所以同学们注意了啊，两个无理数的差，

有可能是一个无理数，也有可能是一个有理数。对吧，它是不确定的。也就是说，你只是告诉我两个无理数进行加减，这两个无理数到底是什么具体的数字，你不告诉我，那我就没办法来准确的去判断它到底。这个和差到底是有理数还是无理数？是不是好？我们再来看乘法。我们看到举例三。啊根号二乘，以根号三。

它是等于根号六的。根号六是个无理数啊。对吧，根号六是个无理数。好，我们再来看。二加上根号三。啊乘以二减去根号三。那我用平方差公式可以得到它，应该是等于四啊，等于二的平方减根号，三的平方=4-3是等于一的，比如一它是个有理数。是不是啊？它是一个有理数。

所以说两个无理数相乘，当你没有明确的告诉我这两个无理数到底是什么的时候？那我就没有办法判断。这个层级啊，乘出来的结果到底是有理数还是无理数？是它是不确定的，它既有可能是有理数，也可能是无理数，对不对？所以说无理数，它不具有封闭性，加减乘除，不具有封闭性。那有的同学说老师这个除法呢好，我们下面看到举例四。

啊，我们看到举例四，比如说啊，这个两倍的来我们看看啊，好，我们写成根号三呐根号三。除以根号二，它要等于二分之根号六，我们化简之后之后对吧？等于二分之根号六，那这就是无理数。对吧，两个无理数，它的商是无理数，又比如说两倍的根号，

三除以根号，三它是等于二的。对吧，两个无理数都要。三它等于二是个有理数。是吧，它是一个有理数好，这是从运算的角度，我们发现啊，有理数内部进行加减乘除的运算。它是具有封闭性的，得到的结果也是个有理数，那么无理数啊啊，两个无理数之间的加减乘除，它不具有封闭性，

因为加减乘除得到的结果有可能是有理数，有可能是无理数。好，接下来我们再看到这个有理数和无理数之间的这种运算。好。有理数。啊为零的时候。有理数。不为零的时候注意了，一是个整数对吧？那这个零是个整数，所以零它是有理数。那么下面呢？我们把它进行对比学习，因为这个地方呢，

很容易搞混淆，很多同学呢，在学习基础阶段的时候，基本上把这一块都是忽略，对吧？或者说根本就没有去学习的。那么，这是我们基础阶段必须要掌握的一个要点。好同学们注意了。好同学们注意了，由于。由于这个啊，有理数已经是零了是吧？有理数已经是零了，所以呢，

我在这边呢。专门用红色的笔写下来。它是零。好，然后呢？这边呢？是有理数，加上无理数，减去无理数，乘以无理数，除以无理数。好，那么下面呢？我们来研究一下。好同学们，

零加上无理数，还是那个无理数，本身零减去无理数是它的相反数，还是个无理数，是不是啊？那么，这个零乘以无理数变成了零。所以这地方咱们写上它的结果是有理数零了。那么零除以无理数，它的它的结果是零，所以得到的是不是还是有理数零呐？所以大家注意了啊。这个有理数啊，为零的时候你会发现得到结果啊，就是啊，

这个零乘以任何一个无理数，它的结果是有理数的。零除以任何一个无理数，它的结果是啊，它的结果是啊，也是零这个有理数。好，下面呢，我们再看到这。这是非常容易犯错误的一个点啊。注意了，这边是这个有理数，我特别用红色的笔来写啊，这个有理数是不等于零的啊，它不等于零啊。

啊，这个有理数呢，它是等于零的对吧？但有理数不等于零的时候注意了，有理数加上啊，这边有理数加上。无无理数。他得到的是一个无理数，那么有理数减去一个无理数，他得到的还是个无理数。那么有理数乘以一个无理数。它得到的结果是无理数，有理数除以无理数啊，它得到的结果是无理数。所以同学们注意了，

容易产生错误的地方。啊，在哪呢？在这个地方？啊，注意这地方是不等于零的，明白吧，这个很容易搞混淆啊，这是容易搞混淆的地方。好无理数和有理数之间的关联。好同学们，注意了，下面呢，这是一个命题点。好，

这是个命题，点说这个已知。已知x是有理数。啊y是无理数。若x×y。若x×y。啊若x×y四。x×y，是有理数。则我们可以得到一个什么样的结论。x是有理数y的，是无理数若x×y是有理数，那么同学们注意了我们，我们可以得出来这个。x是等于零的。

是吧x是等于零的。啊，实际上用到的是哪个要点呢？用到的是我们刚才得到了有理数和无理数之间啊。的啊，有理数和无理数相乘的时候，如果得到的结果是有理数，那么说明那个那么说明什么？对吧，那么说明有理数必须是零了。如果有理数乘以无理数，得到的结果是个无理数，说明什么呢？说明那个有理数肯定不等于零。是不是所以说这个呃要点呢？

你如果平常学习的时候不把这种要点抓住，考试的时候你很有可能连它的。对吧，你很有可能连他的这个在考什么东西你都不清楚。好，我们把这个地方。好，这边呢是。x不等于零，对吧？如果得到的结果是无理数，这x不等于零，如果得到的结果是有理数，这x=0。好，

这是它的命题，点那么下面呢？我们来。看到讲义上的例一。好同学们注意了，我们学习的思路啊，我们一般不会纯粹的给大家去讲那些理论啊，如果讲一大堆的理论。不把这些理论跟实践解题结合起来，跟实战结合起来，如果不结合起来的话。那么，你会发现学的这一类，这这种理论你有点懵，你不知道它是干嘛的，

所以呢，我们基本上所讲的这些内容是紧扣考试大纲啊，规定的那些内容。以及我们实战中的要点来展开的，所以我们讲过理论知识，讲过一些这个啊，考试大纲中的知识要点之后，马上要对应在啊。这些经典的啊命题对吧？这些题目好，大家看到例一，他说a是一个无理数。注意了啊。s.a是无理数。

并且呢，a×b。加上a-b是等于一的。啊，则要我们去求b等于多少好，这是它的要点。那么下面呢？我们一起来操作一下，首先看到第一步。我们把这个做个变形。已知条件变形一下啊，这是AB+a-b，我们把这个等号右边的一眼挪到左边来。对吧，就变成了减一是等于零的。

好，这样的话，我们就可以得出来，把这个作为一组，把这个作为一组，对吧？这边就变成了a乘，以括号b+1提取公因式，对吧？提取个公因式。a出来a×b+1，然后再减去括号b+1是等于零的。好，这样的话，我们是不是就可以得出来？

应该是啊a- 1对吧？a- 1再乘以b+1是等于零的。对吧a- 1乘以啊a- 1×b+1是等于零的。那么这个时候呢啊，因式分解之后啊，写到这一步之后，我们就可以进一步的分析了，那因为a是无理数。啊，因为a是无理数，我们前面给大家讲过说呀，在在哪个地方呢？在这个地方啊，我们说无理数。啊，

同学们注意了啊。啊a是一个无理数是吧，来来？无理数根啊。有理数啊，或者说无理数呃，加上一个有加上一个一对吧？它是一个什么数？来我们看看。你看这个呃，这个a是一个无理数a- 1。那a- 1，他是不是还是个无理数啊？是不是啊？所以呢，

我们可以得到a- 1。它是。啊，它是无理数对吧？无理数啊，无理数。好跟有理数相加的时候，它还是个无理数，在哪地方呢？相加减还是个无理数？是不是同学们能理解吧，你看我们上面。就是这个地方。有理数。诶，

等于零是吧？啊，有理数跟无理数相加减。它的结果就是混血。对吧，有理数跟无无理数相加减的时候，它的结果都是统一的，都是无理数，你看不管你这个有理数是个什么数？是不是反正无理数跟有理数相加减的时候，得到的结果永远都是无理数？有理数跟无理数进行乘除的时候要注意一下，你得研究一下这个无理数啊，这个有理数到底是零还是？还是非零对吧？

等不等于零，那么它是影响结果的。所以呢，我们就得到了啊，我们回归了这个题目啊，我们可以得到a减，一是无理数。那么也就是说，这个式子中，这是一个无理数。那么，无理数乘以一个东西得到零了，那显然这个是是不是只能是零了？对不对？所以啊。

啊，我们就可以得出来。我们可以得出来，只能是b+1=0。对吧，因为一个无理数乘以一个有理数等于零，那么这个有理数肯定是零了。是不是所以我们可以解得b是等于负一的？是吧b=- 1，所以这道题目正确答案选择c选项。那么下面呢？我们再给大家小结一下。好，我们小结一下。无理数乘以。

无理数乘，以无理数。等于零一定可以推出来。一定可以推出来，这个有理数就是你。啊无理数乘以无理数啊无理数乘以有理数，它是等于零的，一定可以推出来这个有理数是等于零的。一定可推算的，这个有理数是等于零的。这就是个要点，那咱们这个题目中啊，它就对吧，你看是不是就应用到这个要点？一个无理数乘以一个啊，

因为b是啊。这个。实际上，我们也可以这么这么还可以进一步的把它。在深入往下写一下。一个无理数。乘以啊，无理数乘以m。是等于零的，我们一定可以得出来这个m，它就只能等于零了。是不是还可以进深进一步的深入下去？一个无理数乘以一个实数，这个实数它只能问你。啊无理数，

乘以一个实数，这个实数只能是问你。好，这是例一这道题。啊，这边把它标为圈一和圈二。好那么例一呢？在前面呢，给大家讲了一些基础知识啊，希望大家呢嗯，把有理数和无理数啊。它到底指的是什么？它在啊，它们俩有什么样的关系，尤其是在运算的时候，

有理数跟无理数之间的加减乘除得到的结果到底是什么？有理数和无理数之间的啊，就是就是首先有理数内部之间的加减乘除对吧？第二类呢是无理数内部的加减乘除，第三类呢是有理数和。无理数混合起来的加减乘除。是吧，这个是非常重要的，那么落实到实战的角度，就是说一个无理数，如果乘以一个实数，结果是等于零的，那么这个实数肯定为零。啊，也就无理数乘以m=0，

那么这个m就只能为零了。好，这是这道题。那么下面呢？我们看到呃。这个考点二啊，考点一呢是有理数与无理数，我们看到考点二。考点二呢，是奇数与偶数。好，首先我们看到第一点。它的定义。啊，除以二。

它的余数为一。的整数。我们把它叫做奇数。就是除以二与一的整数叫做奇数。除以二。余数为零。的整数，我们把它叫做偶数。好同学们注意了，我们这里面呢，有一些专业的符号啊，就是说比如说。一个整数是x。它等于一就表示这个x它就只能是一了。那么，

同学们注意了，如果我写成这样的符号，说x画了三条横杠，对吧？等号呢，就表示只有呃，就表示相等了，只有两个横杠，如果画了三个横杠。然后后面写了这么一个东西，写了一个MOD。表示什么意思呢？它表示的意思是这个x是一个整数，并且它除以二的余数是一。那么这个x。

表示除以二余一的整数。那么，这么个写法就表示x是一个啊，这表示。x为奇数。明白吧，这就表示x为奇数。那么x基数还可以，怎么表示呢？好，我先把它写下来啊，这是刚才是第一是定义，第二呢是表示方法，我把它挪下来。奇数的表示。

第一种方法呢，是x÷2的余数为一，对吧？也就是MOD啊模。这个呢MOD呢？我们把它用汉字写叫做模就是模二啊，模二=1的跟一是同余的。就是说除意思就是说除以二的余数为一，明白吧，这是第一种写法，第二种写法呢，我们可以设x是等于2 k- 1的。啊，或者说。是等于2 k+1的，

其中k为整数。其中k为整数对吧啊？如果k是一个整数啊？如果k是个整数，那么2 k- 1。或者2 k+1，它就叫做奇数。好，这是基数的表示方法。啊，我们再看到偶数。那对应着啊，我们可以这样来写，叫做x。和除以二的余数。

啊x÷2的余数为零。对吧x÷2的余数为零。那么就表示那么它就表示x是一个偶数了，那么我们也可以这么来写，叫做x是等于2k的。那么，这个k为整数？那么这个时候我们能够保证这个x=2 k，它是一个啊，它是一个。啊偶数好，这是它的表述。那有的同学说老师这后面的这种情况，说2k减一二k+1啊，包括这种2k对吧？

偶数可以写成2k，这种表示方法我见过。我以前也学过。但是前面呢，像这种用MOD表示除以二余一这种定义的方法，这种写法我好像没见过。好同学们注意了，这就是我们学习的意义之所在。呃，你啥都见过，你啥都会了，那就不需要去学了，直接去考试就可以了。所以说啊，咱们需对啊，

对这个啊，备考应该持有一种开放的心态。对吧，肯定有一些是咱们不会的，或者你从来没听说过的。啊，那么这个时候就要敞开心扉。去接纳它，去吸收它，去听懂它，是不是啊？把它变成自己的一种实战本领。好，下面我们看到第三。啊奇偶分析。

奇偶分析。好，大家注意了。呃，首先我们来看一看啊，这个。奇数加上奇数。啊，同学们注意了，奇数加上奇数，它是等于偶数的。啊基数减去基数。它是等于偶数的。奇数乘以奇数。它等于奇数，

这个除法呢？它有可能不是个整数，所以呢，我们就没办法分析它的奇偶了，因为。奇偶分析是在整数的范围来考虑的。我们再看到偶数。啊偶数加上偶数。它的结果是等于偶数。偶数减去偶数。它的结果还是偶数。那么偶数乘以偶数呢？它的结果。也是偶数。好，

我们看到这个。奇数乘以偶数啊。啊，或或者我们奇偶啊，混着来对吧？好奇数。加上偶数。它是等于。奇数的。啊奇数减去偶数。它也是等于奇数的。奇数乘以偶数，它是等于偶数的。那有的同学说啊，这个东西我记不住，

怎么办呢？好，我跟同学们来分析一下。那么，同学们注意了。这个加减法里面。那这是加减法。是不是加减法的规则是？同为。偶。e为g。就是说加减运算里面，如果这两个数它都是都是相同的属性。要么就是同位奇数，要么都同位偶数，

对吧？叫同位偶就是同位偶的意思就是说进行加减运算的，这两个整数它。它的奇偶属性是相同的。就属于相同意思就是说它们都为奇数，或者都为偶数，那么我们得到的结果一定是个偶数就同为偶数，这个意思同是指。加减运算的这两个整数。啊，进行加减运算的这两个整数，它们的属性是相同的，它们的性别是相同的，你可以这么理解，对吧？

那么得到的结果是偶数。那么e为g呢？是指啊e为g呢？是指加减运算的进行加减运算的这两个整数中，它们的属性是不一样的。啊，它们一个一一个偶那么得到的结果一定是个奇数。好，下面呢，我们再看到这个。我们再看到这个乘法，这个乘法它的规则。它的规则是。偶数。偶数具有同化作用。

什么意思呢？就是说在乘法中，只要有一个偶数。那么，得到的结果就可以。得到的结果就是偶数它同化了。对吧，如果你全部都是奇数，那么得到的结果才是奇数。明白吧好，这是嗯奇偶分析。好，也就是说，奇数与偶数这一块啊，奇数与偶数这一块要搞清楚三个要点，

第一，它的定义是什么？第二，怎么去表示奇数和偶数？第三。啊，它们的运算啊，自我分析在运加减乘除的啊，一般除法呢，我们不研究它对吧，只研究加号加法运算，减法运算和乘法运算。啊，这个结果的饥饿分析。那么，

有的人说，老师，你现在讲的这个用红色的笔写的这个两个规则之后，我好记了，那么万一我记不住怎么办呢？记不住还有一种方法。比如说啊，基数全部都可以用啊，同学们注意了，基数全部都可以用，一来代表。偶数全部都可以用，零来代表也就是它除以二的余数，对不对？那么这边你可以写成一+1，

它是等于二二。它就是偶数了。是不是啊？那一减一，它可以是零，然后这边呢是偶数，我们就可以写上零加上零。是等于零的零减去零是等于零的，这个零和一分别代表的是？偶数和奇数。又比如说啊，这个地方奇数用一代表偶数用零代表那么一加零是等于一的，所以它的结果是个奇数，对吧？一减去零啊，

它的结果是一也是个奇数。又比如说这边的一×0，它是等于零，对吧？所以它还是个偶数，它的结果是个偶数，就比如说这边偶数用零代表零×0=0，所以它的结果是个偶数。那么，这边一×1它是一个结果，是等于一一代表奇数，是不是你直接用通过这种方式啊？啊来代表就可以了。否则你理解是不是就是相当于是用了我们的？这个表示方法一啊，

表示方法一呢，对于我们这样进行自我分析呢，是非常有方便啊，方便性的。对吧，非非常这个方便。好，那么下面呢？我们看到这个考点二奇数与偶数下面的几道例题，我们看到例二。第二呢，结论中说a+b+c为偶数好，首先我们看到。第一步，把结论放到这啊。

它的结论是。a+b+c为偶数。那么下面我们看到第一个条件，他说a+b=c。啊a+b=c那么a+b=c现在你没有告诉我ABC到底是？什么样的数啊？对吧？它有可能连整数都谈不上，对不对？所以我只能得到a+b+c是等于啊，把这个a啊，把这a+b把它整合在一起。是不是它等于c+c是等于2c的？那么，如果我们这个时注意了，

它推不出来，它是一个整数啊，它推不出来，它是一个偶数。也就是说，它推不出结论来。是吧，推不出结论来。他推不出结论来，我们要举出一个反例来。这个反例呢？是什么呢？c是等于三分之一的。对吧c等于三分之一，那么你a加上b加上c等于二c，

它是不是要等于二乘以三分之一，它是等于三分之二？它不是偶数。它连一个整数都谈不上，所以它不是个整数。对吧，它更不是个偶数。所以呢，是不条件一是推不出结论来的好，下面我们看到第二步。第二个条件呢，他说a为偶数。然后呢BC为整数。好注意了，在分析条件一的时候，

我们要当条件二不存在在单独分析条件二的时候，我们要当条件一不存在。所以呢，只告诉我这点信息，他也是推不出结论来的。是不是啊？那么这个时候我们举一个反例反例的意思是指满足已知条件，但是推不出结论来。我们分析条件二的时候，极端条件一不存在，是不是啊？那么我们就可以这样来，你看啊，我为了举出一个反例来。就是说让a+b+c，

它不是对吧？它不是个偶数，它不是个偶数，我们怎么来？那我让a=2。是不是嗯，然后我让b等于我让b等于比如说我让b也等于二对吧，我再让c=1。那么，这一加的话，它是不是等于五啦？这五肯定不是个偶数啦。你看这样，我a是偶数b和c都是整数。是不是它a+b+c是？

五啊。它就推不出结论来了。好条件一跟条件二，它单独不能推结论，这个时候我们进入第三步，一和二联合。条件一和条件二要联合起来，联合起来是指啊，联合起来是指既要满足条件一，又要满足条件二。条件一呢是a+b是等于c的，对吧？条件二呢是啊a为偶数，并且BC为整数。是不是并且必设为整数好，

把它放到这边来。好，这样的话，我就可以得到什么呢？大家跟着我一块来分析。我到这边来研究一下那。我们可以得出来。我们可以得出来，这个你看a是偶数。对吧，这个b呢是整数。所以我们是不是很显然可以推出来c为整数啊？对不对？那我不需要我，我对吧？

我你如果不告诉我c你看这个题目是不是还多余？给了一点条件啊，你如果不告诉我c为整数，我自己也能推出来c为整数。明白吧，你不告诉我c位整数，实际上c位整数第二个条条件二里面c位整数是个多余的，对吧？你不告诉我c位整数。我年纪条件一跟条件二的时候，我也能推出来。好，接下来啊，又因为a+b+c。它是等于a+b+c把a+b=c带进来，

所以c+c是等于2c，而我们前面跟大家讲过。在哪个地方啊？在这地方在表示的时候，也就是说你如果告诉我k是个整数，那2k就是个啊偶数了，对不对？你如果那k我可以换成其他的字母。是不是那我把那q换成c的话，那c是个整数，那2c就是个偶数了，所以。我们可以得出来，它一定是个偶数。你看这道题目中它的规，

它的我们它的这个分析特点是这样的条件，一单独是推不出结论来的条件，二单独也不能推出结论来。条件一，跟条件二联合起来。它是可以推出结论来的。那么，按照我们的条件，充分性判断这种题型的规则，正确答案应该是选择c。c选项对吧？关于条件充分性判断的说明，我们前面在这个呃备考导学的直播课程，包括我们在基础班课程的。第一讲里面就跟大家讲到了这种题型的规则，

我现在也不再去重申了啊，大家呢？这个如果。还不了解题型规则了，建议大家把基础班网课的第一次课啊，第一次课啊，再复习一下，再听一听，再看一看。啊，这是考试中啊，数学考试中的两种题型之一啊，第一种题型呢，叫条件充它叫物理求解，第二种叫条件充分性判断。

好，这是例二这道题目啊，例二这道题目。证据。答案选择c选项。好，下面我们看到例三。好，我们看到例三设mn都是正整数好，请问已知条件啊，公共已知条件告诉我们mn都是正整数。啊，那么n为奇数，首先我们来看一看第一个条件。条件一里面呢，

它说二零一四。乘以m。加上二零一五×n。啊，它是等于。偶数的。同学们注意了。嗯，由于已知条件告诉我mn啊，公共已知条件。它告诉我们。mn为正整数。它的结论呢是？它的结论呢，是n为奇数。

那么，下面我们来做一个分析。大家看，由于m为整数，那二零一四它是一个偶数。对吧，我们利用奇偶分析偶数乘以一个整数，不管你这个整数是奇还是偶，因为偶数具有同化作用。对吧，偶数句同化作用，就是一个偶数乘以另外一个整数，不管你那个整数是奇还是偶，反正我得到的结果。都是偶数，

所以具有同化作用。所以呢，我们得到了这个同学们注意了，二零一四×m得到的这个结果是一个偶数。是吧，得到的结果是个偶数。也就是说，我们可以得到这个偶数，加上什么呢？加上我把这边复制过来。加上二零一五n。它是等于偶数的。所以我们就可以得到什么呢？所以我们就可以得出来。得出来二零一五n它要等于。

等于这边这个偶数减去这个红色的偶数对不对？所以它是两个偶数相减啊，偶数减去偶数。那么，偶数减偶数得到的结果是什么呢？啊，是不是得到的结果是个偶数啊？啊，同为偶异为奇，是不是啊？这个口诀，所以二零一五×n它是等于偶数的。又因为同学们注意了，又因为这个二零一五是一个整数，那么这个n啊啊二零一五的是个奇数，

对不对？这奇数乘以n它的结果是偶数说明什么？说明这个n1定是一个偶数。对吧，所以n是等于偶数呃，如果n是奇数的话，两个奇数相乘，二零一五是个奇数啊n又是个奇数，二零一五×n的话，那那只能那奇数乘奇数是不是只能等于奇数啊？它不可能等于偶数的。所以同学们注意了，所以这个n不可能等于奇数n，只能等于偶数，对不对？

那我们的结论说的就是n为奇数，那你得出来n是个偶数，因此条件一。它是推不出结论来的。对吧，条件一推不出结论来。那么下面呢？我们看到。啊，我们看到第二步。条件二呢，他说。二零一四×m^2。加上二零一五×n^2是等于。是等于奇数的，

我们现在呢，也是给大家来做奇偶分析，首先二零一四这是一个偶数。那么，这个m的平方啊，它是一个整数。对吧你你偶数乘以一个整数。对吧，因为偶数具有同化作用，所以我们可以得出来，这个得到的结果。是吧，一定是一个偶数。那么，偶数加上。

加上后面这个二零一五n的平方，对吧？它是等于基数的。好，这样的话，我们进一步的就可以得出来。二零一五×n^2要等于这个基数。减去这个红色的偶数，对吧？奇数减去偶数，而奇数减去偶数，同学们注意了它的结果，是不是等于奇数啊？二零一五×n^2。啊，

它要等于基数，而两个整数相乘，对吧？你看。这是一个基数。对吧，是不是只能够得出来n的平方是个奇数啊？只有奇数乘以奇数才能等于奇数啊。对吧，那n的平方是表示n×n是不是也进一步的可以得出来n？肯定是个奇数，只有奇数乘奇数才等于奇数，如果a是偶数的话，那n的平方等于偶数乘偶数，那是那结果是偶数，

那不可能是等于奇数的，对不对？所以那就产生矛盾了，所以n只能是奇数。所以推出了n为奇数。那这样的话，条件二。是不是能够推结论呢？那条件一。这个也推不出结论了，条件二能够推结论，那按照我们的题型规则正确答案，应该选择b选项。条件一，不能推结论。

条件二，才推结论正确。答案选择b选项。好，下面请同学们看到例四。好，我们看到例四。例四呢，它的公共已知条件是n是一个整数。是吧，则a1定是什么好？同学们，注意我们看到。第一步，我们分两类。

我们分两类。第一类，第一类n为奇数。好，这边呢是第二类。好，第二类是N维偶数。好，第一类呢是n位奇数，第二类是n位偶数，如果这两类情况都能够推出结论来，那么就表明这个条件啊，这个某个条件能够推进来，如果。呃，

这两类情况下有一个退步式结论了，那么就表明它不能退结论。是不是啊？好那么下面呢？好来，我们来看到条件一条件一呢，他说a是等于n+1^2-n^2。由于n+1是奇数。对吧，所以呢呃，由于n是奇数，所以n+1是等于偶数，对吧？偶数的平方减去。奇数的平方。

那么，偶数的平方，偶就是偶数乘，偶数了，偶数乘，偶数是不是还是等于偶数啊？奇数的平方等于奇数乘，奇数它还是奇数？所以啊，我们这个a呢呃，这样的话，我们这个a是不是等于奇数等于偶数减奇数，偶数减奇数？那么，它的结果是不是等于奇数啊？

是不是它结果是等于奇数啊？那也就是说，在这种情况下，条件e能够推减了。是吧，条件一然推减了。那么下面呢？我们看到条件二。条件二呢，它说a是等于n×n+1。啊，我们刚才说了，第一类里面的n是奇数的。是不是那么这个n+1啊，一个奇数加上一，

那不就等于偶数了吗？是不是啊？所以奇数乘以。偶数那么同学们注意了，它是等于什么呢啊？奇数乘以偶数，它是等于偶数的。所以同学们注意了。这个条件二，它是推不出结论来的。那么下面呢？我们再来看到第二类，第二类的情况呢是？啊，第二类说n是偶数，

我们来研究条件一条件一呢是等于n+1^2。减去n的平方对吧？那么n+1啊，注意了n是个偶数偶数加上一是等于奇数，所以。n+1^2是等于奇数的平方，对吧？减去n的平方，也就是减去偶数的平方。对吧，那这样的话，我们是不是可以得出来n等于奇数的平方减去偶数的平方奇数的平方等于奇数乘奇数，那是不是还是等于这个奇数啊？那减偶数的平方，偶数的平方等于偶数乘以偶数是不是还是个偶数啊？

对吧，所以应该是g- 5 g- 5还是等于g对吧，所以呢，它是能够推出结论来的。对吧，条件一能够推减了。那么下面我们看到啊，条件二条件二呢n是等于n×n+1。n是一个偶数，那么n+1就是个奇数了，偶数乘以奇数啊。因为偶数在乘法中具有同化作用，对吧？它是个偶数，所以呢，

同学们注意了这个条件，二它是推不出结论来的。好，这是我们的第一步的啊，分析下面呢，我们第二步小结一下。就是不管你n是奇数还是偶数，我们是不是都有条件一能够推结论对吧？条件二它推不出结论。对吧，不管你是哪一种情况，条件一都能推荐的，条件二不能推荐的，按照我们的题型规则。对吧，

按照我们的题型规则条件一能推解呢，条件二不能够推解呢，那么正确答案是应该是选择a选项啊。对不对？选择a选项好，我在这地方再次重申一下啊，这个规则题型规则。如果条件一单独能够推出结论来，条件二单独推不出结论来，我们人为规定正确答案，选择a选项。啊，那么如果条件一单独不能够推出结论来啊，条件二单独能够推出结论来，我们人为规定。

正确答案选择的是b选项。那么什么时候选c选项呢？啊选c选项呢是是指条件一单独推不出结论来，条件二单独也推不出结论来，但是条件一跟条件二联合起来。联合起来，他能够推出结论来，这个时候我们规定正确答案，选择c选项。什么时候选择d选项呢？好同学们注意了，选择d选项呢？四条件一，单独能够推出结论来条件二，单独也能够推出结论来那么正确答案，

选择4d选项。那么，这个一选项呢是？嗯，条件一单独不能推结论条件二单独也不能推结论条件一跟条件二联合起来。联合起来。啊，也推不出结论了，我们就选择e选项。好，这是abcde这五个选项啊，在什么情况下选它，我就跟大家做了一个复习。好，下面呢？

我给点时间，大家把我们的考点一和考点二这两个考点，大家快速的。过我们一下啊，包括我们讲的基础知识以及这些基础知识，在解题过程中的应用啊。也就这四道例题对吧？好，大家抓紧时间。好同学们，那么下面呢？我们继续接着往前讲解，大家看到考点三完全平方数。所谓完全平方数啊，是指自己跟自己相乘，

对吧？一的平方对吧？一的平方。二的平方。三的平方，四的平方一直这样下去，这样的数就叫做完全平方数，也就是说像我们把它乘出来啊，一一的平方等于一二的平方等于四三的平方等于九四的平方=4。16啊，就是一四九十六再往后你看五的平方，五的平方是不是就25了？对吧，这都叫做完全平方数好，我们做一个对比学习。

对比学习呢，叫完全立方数，你看啊一的立方。二的立方。三的立方。四的立方。五的立方。那么，这个完全立方数量，我们把它计算出来一的立方是等于一二的立方等于啊二的立方等于八三的立方。啊，等于二十七四的立方，六十四五的立方，125。好，

这是我们常见的一些完全平方数与完全立方数。那么，我们在做一个基本功的复习。啊，第一个呢是a的平方减去b的平方，对吧？两个完全平方数的差。我们可以因式分解它，因式分解之后呢，是a-b×a+b这个公式呢叫做。平方差公式。那么第二个呢？是a的立方减去b的立方，它是要等于a-b×a。a的平方+AB，

再加上b的平方。好同学们，我们在啊，有了刚才这个呃。基本概念的呃，这个学习和。平方差公式对吧？立方差公式的复习之后，我们就可以来看例五，通过例题来。加深对这个知识点的把握。例五呢，是一道条件充分性判断的题型，它告诉我们结论是能确定小明的年龄。这个能确定的意思是指能够求出它的年龄来，

并且结果是唯一的，对吧？条件一呢，他说小明的年龄是完全平方数。好，首先我们看到第一步小明的呃，这个。年龄是完全平方数。我们发现了完全平方数啊。小明的年龄。它可以是啊，一的平方。二的平方。三的平方，四的平方，

五的平方，六的平方啊，七的平方对吧？这都叫完全平方数。也就是说，它的年龄可以是一四九。16，25，36，49。对吧，它可以是这么多数那么这样的话，它就不具有唯一性了，因为题目中的结论说能够确定。小明的年龄，

它的含义是指小明的年龄是唯一确定的，是能够求出来，并且是唯一的。对吧，所以呢，这个条件一啊，他既然不能够确定出小明的年龄来。啊，对吧？所以呢，就表明它不能够推出结论了。好，下面呢？我们看到第二步。第二个条件呢，

他说20年后小明的年龄是完全平方数好来，我们再来写。20年后。20年后那么小明。啊，他是不是最少得有21岁了，对吧？那他的年龄。对吧，20年后小明的年龄可以是啊，比如说五的平方，六的平方，七的平方等等很多。集它可以是25，36。

49对吧？因此啊，同学们注意了。所以这个条件二是推不出结论来的。好，下面我们看到第三步。啊，条件一跟条件二都不能够推结论，对吧？它们单独都不能推结论，所以我们必须联合起来，那么条件一跟条件二联合起来。啊，我们四啊，这个我们换页来写啊，

我们四。小明。今年的。年龄为a的平方。那20年后。20年后，小明的年龄为为b的平方，对吧？因为今年他的年龄是个完全平方数，20年之后，他的年龄也是个完全平方数，所以我就设为a方和b方。那么则啊，20年后的年龄减去今年的年龄应该是不是就等于20啊？那么这个时候我们可以分解。

因此，啊b的平方减a的平方，我们是刚刚在前面给大家复习过啊，用平方差公式对吧？用平方差公式，它应该是等于b减去a。啊乘以括号b+a是要等于20，那么这个20呢？我们也可以把它分解成为。一×20。啊二，乘以十。啊四×5。对吧，这样的话啊，

注意了这个b-a肯定是比b+a要小嘛，所以我们是不是有这样的几种情况啊？对吧，第一种情况是b-a=1啊b，加上a=20。这是第一种情况。那么，第二种情况呢是？啊b-a=2，这个b+a=10。第三种情况呢，是b-a=4啊b+a=5。那么，对于这种情况，我们发现了解出来啊，

同学们注意了解出来这个2a上面的下面这个方程，减去上面这个方程对吧？2a。啊，等于二十减一是等于十九啊，解出来a是等于二分之十九那。因为这个年龄呢，它是整数对吧？我们在这个题目中都是啊，完全平方数，那肯定是整数了，对不对？所以呢？要排除那等于二分之十九，是不是个整数排除，

我们再看第二种情况，用下面这个方程减去上面这个方程，左边减左边等于右边减右边，左边相减等于二a。右边相减十减二是等于啊等于八的，所以我们可以解得a是等于四的。a等于四好，那么第三种情况用下面这个方程减去上面这个方程，我们可以得到二a是等于一的解得a是等于二分之一，这是不是也要排除啊？对吧，它也要排除好同学们，这样的话，我们这三种情况中只有第二种情况是符合要求的，解出来a等于。

四那么也就是a的平方是等于16的是吧？说明啊，他能够求出小明今年的年龄，并且他的年龄我们求出来是等于16。啊，所以说条件一跟条件二联合起来，联合起来是能够推出结论来的。对吧啊。一二年和能够推出结论来，它们单独不能推结论，联合起来可以推结论那么正确。答案选择的是。c选项是吧？正确答案选择c选项。其实啊呃，

这道题目我讲完之后呢，还可以跟同学们做一个补充，说明同学们注意了这个b-a。啊，跟这个b+a当AB都是整数的时候啊b-a和b+a，它们具有相同的奇偶属性。啊。它们具有。它们具有相同的奇偶性，这句话怎么理解呢？就是说如果b-a是一个奇数，那么b+a也是个奇数，如果b-a是个偶数，那么b+a也是个偶数。那么，

当我们明白了这个道理之后，我们实际上解题的时候可以更快一点，你看这个那一和20。那奇偶性不同，所以排除了那四和五，它的奇偶性不同，四是偶数，五是奇数，对吧？所以呢，奇偶性不同，是不是也要排除？而b-a和b+a，它是有相同的，奇偶性的，

那是不是只能够是二×12和十都是偶数对吧？所以是符合要求的。明白吧，这是我们啊，这个嗯，分类讨论用分类列举的这种方法，讲完之后回归过来还可以进一步的提高解题速度。对吧，我们不需要逐一的啊，这个列举的去分析啊，列举的去求值，我们直接进行分析。啊，利用饥饿分析可以直接得出来啊b-a是等于二对吧？b-a是等于十是不是只能是这种情况？

所以条件一跟条件二联合起来，是能够推结论的，它单独不能推结论联合起来，可以推出结论来，因此正确答案选择。c选项。好，这是完全平方数。那么下面呢？我想把这个题目呢？给大家做一个举一反三。我们做一个举一反三。题目呢是。题目是能够确定小明的年龄。能够确定小明的年龄。

条件意思。小明的年龄。四完全立方数。第二句话呢是。小明啊，就是二我我这样把这个题目呢，人家原题呢，说的是20年后对吧，把它稍微改一下。我把它改成。19年后，小明的年龄。四啊，19年后，小明的年龄是完全立方啊，

完全立方数。啊，19年后，小明的年龄是完全立方数好，那么下面呢？我们啊，一起来看这道题目。首先第一步。条件一，因为完全立方数啊，小明的年龄可以为。可以是一的立方，对吧？可以是二的立方啊，三的立方，

四的立方即。啊及一。八，27，64，它是不是可以有很多种情况啊？所以呢，条件一。条件一。推不出结论来。好，下面我们看到条件二，他说19年之后小明的年龄是完全立方数。所以我们可以写上。19年后。

19年后，小明的年龄可以为多少呢？可以为三的三次方，四的三次方，当然还可以写五的三次方，对吧？及啊，27和64那这样的话也不唯一对不对？不唯一的话就表明。条件二是单独推不出结论来的。注意啊，结论说的是能确定小明的年龄，这个确定是指唯一确定。如果你存在多种情况，那也不叫做那那也是那也是不能够确定的。

好，下面呢？我们看到条件一跟条件二联合起来。好条件一跟条件二联合起来，那我们就可以啊，我们就可以得出来啊，我们就先设吧，我们设。小明。今年的。年龄为。a的三次方。19年后。啊，19年后。

小明的年龄为b的三次方，这样的话我就可以得到b的三次方。减去a的三次方是等于19的。是吧b的三次方减去a的三次方等于19。好呃，我们进行严格的这个推理啊，严谨的推理啊，同学们注意了，先因式分解。b的三次方减a的三次方，我在前面跟大家讲过，对吧？是不是复习过这个基本公式啊啊？我们当时写的是a的三次方减b的三次方，我现在用b的三次方减a的三次方，

是不是一和的话嫖啊？把这个公式把它写上了。啊b的三次方减a的三次方好，我们因式分解它应该是等于b-a。啊，乘以。b的平方+b×a，再加上a的平方是等于19的，而19。只能分解成为一×19。对吧，显然b-a是较小的那个，那b的平方+BA，再加上a的平方是较大的那个数，所以我们就可以得到。

b-a是等于一的。啊b的平方+BA，再加上a的平方是等于19的好，这样我们就可以得到什么呢？我们这边就可以得到b是等于a+1的好，把它带入到把它带入到假设这是圈一这是圈二，把它带入到圈二。我们就可以啊，我们就可以。代入了圈二，我们就可以得到这个应该是a+1^2。加上a+1再乘以a再加上。a的平方是等于19的，得到一个关于a的一元二次方程，对吧？

这是很严格的推导，很严谨的推导。那么下面呢？我们展开啊，得到一个这边是a的平方，加上2 a+1。这边是a的平方，再加上a再加上a的平方，再减去19。是等于零的好，那么下面呢？那么下面呢？我们进一步来写，这是一个a方，两个a方，

三个a方，所以应该是3a的平方。好，这是2a对吧？这是a合起来是3a这边加上3a，这是加上一个一再减去一个19是不是就相当于是减18了？要等于零分啊，这边左右两边同时除以三，所以是a的平方，加上a- 6，那我们因式分解应该是得出来是。啊a- 2×a+3=0对吧？由于a是正数，所以呢，我们可以得到这a是不是只能等于二？

对不对a是唯一的，对不对啊a是唯一的，那我们是不是可以得到这个a的三次方？是不是应该等于二的三次方是等于八呀？那b我也可以求出来，那b是不是应该要等于a+e是要等于四啊？所以b的三次方是不是要等于四的三次方等于64啊啊诶，是不是朋友诶诶诶同学们？这个这边应该是三啊a加上一四=3，所以呢b的三次方是等于三的三次方应该是等于27啊，这个地方别写错了。所以呢，b的三次方是等于三的三次方是等于27啊，我们验算一下27-8确实等于19。这就是严格的推导证明。

也就是说，一和二联合起来，它是能够推结论的，对吧？条件一跟条件二，单独不能推结论联合起来，能够推结论。所以这道题目同学们注意了正确答案，选择的是c选项。那么，这个举一反三的题目呢？考的是完全立方数，那么原题例五这个原题呢？考的是。完全平方数这样的话，

是不是两啊两道题目例五以及它的举一反三的题目，就把咱们的完全平方数完全立方数。进行了复习，同时啊，你专门去学习什么是完全平方数完什么是完全立方数，这远远不够啊，对吧？所以呢，我们又结合。平方差公式和立方差公式以及因式分解啊，以及因式分解把它整合在一起。放在一个啊，一个更更就是一个更高的框架下来进行学习，这叫做。降维打击，

所以说同学们注意了这个学习的深入和方法是非常非常重要的，对吧？学习的视角也是非常重要的。我们绝对不能够就事论事，对吧啊？更不能够是啊，用记忆的方法来去学数学，用背诵的方法来去学数学，那都是行不通的。我们要建立在理解的基础上学习数学，我们要把数学放在对吧，要放在一个。这个嗯，一个更就是放在一个嗯。要布局谋篇的这个角度来去学习它。

把数学中的每一个单独的知识点把它放在这个考试大纲和真题命题思路，这个维度进行学习它。那么，它才是有效的。好，这是考点三啊，我就给大家讲到这里，下面请同学们看到考点四。考点四呢，涉及到质数与合数好，同学们注意了，我们啊，在这个地方呢，给大家呢，也是啊，

从一个更加宏大的框架下。来考察我们这个质数与合数，同学们注意了，在整数啊，这个正整数我们可以进行。啊如下的分类。第一个呢？第一类呢？叫做啊叫做质数。啊，第二类呢？叫做合数。第三类呢啊，就单独的一个一。这个一呢是什么特征呢？

叫既不是。既不是质数。既不是质数，也不是合数。是吧，既不质数，也不是合数，好同学们注意了啊，这个质数。它的定义是什么？啊质数啊，它的定义是恰好有两个。啊，所以啊，它的特征。

啊，恰有两个不同的正约束。啊，恰有两个不同的正约数的整数正整数。所以我们都在正数范围来考虑啊，正整数范围来考虑。啊，首先它是在正整数范围来考虑的，并且呢，它是恰有两个不同的正约数，这样的正整数叫做质数。什么叫做合数呢啊，至少。至少。有三个。

啊，有三个不同的正约束。的正整数。那么这个一呢，既不是质数，也不是合数，这个它的特点是什么呢？它的特点是？恰有恰有一个正约束。他只有一个正约束。好，那么下面呢？然后我们再来看一看这个质数有哪些啊，我们这个质数呢？有像二三。

五你看二只有只有一和二这两个正约数三，它只有一和三这两个正约数五，它只有一和五这两个正约数。对不对？这两个不同的正约数，其中一个是一，还有一个是它本身像二三五七十一十三。17，19啊，23，29。啊，这边是31，37。41。

43。47。啊，53。59。啊61，67，71，73，79。啊89和97啊，这都属于是。这都属于是啊，这个质数啊，100以内的质数。

这都是质数啊。那么，这个呃至少有三个不同的正约数的正整数呢？叫合数啊，比如说我们举个例子来说啊，比如说。像这个四它就有正约数一啊二和四对吧？一二四它有三个，那又比如说九。对吧九它有一三九是不是有三个不同的正约数，又比如说十六十六有一一是它的约数二有一二四。四八十六是不是有很多个正约数啊？对吧？这都叫做啊，这都这这都叫做合数了。

那么一呢，它既不是质数，也不是合数，因为它不满足质数和合数的定义对不对？所以同学们注意了，正整数它不仅包括质数。和合数，它还包括既不是质数，也不是合数的，这样的正整数一它只有单独的一个，对不对？啊，如果有人说啊，正整数可以分为质数与合数，那这句话就不对了，

因为它没有把一包含进去。是不是它没把一包含进去好，那么下面呢？我们来。这是第一个要点，那么第二个要点呢？是啊。有一些。命题点。这个命题点呢第一。二是最小的质数。二是最小的质数。二，它也是。二是唯一的偶质数。

二是唯一的，二是唯一的偶质数。二是唯一的偶质数。二是唯一的偶质数。好二是最小的质数，并且二是唯一的偶质数，既是所谓偶质数，就是既是质数又是偶数。好那么唯唯一二是唯一的偶质数呢？它会在质数分析和结果分析中考到。好那么。第二个。分解质因数。有一些比较常见的数据啊嗯，但是呢，

容易搞错的，比如说51同学们注意了，它是分解成为三×17的。啊，还有57，它是分解成为三×19的，对吧？三×19。还有比如说63。啊，它可以分解成为三乘以三乘以七啊七减六十三，对吧？它比如说这个九十一。它是等于三乘以啊，三乘以多少啊？

同学们啊呃，不是三乘多少？因为它不是三的倍数91呢，它可以等于七。七×13啊，七×13。三×17跟七×13，这个不要混淆，还有一个，比如说像87，它是等于它87是三的倍数，它是等于三×2。29的。三×29所以啊，90几90几啊中只有唯一的一个质数是97啊。

啊91不是质数啊91我们刚才已经说了啊。它可以分解成为七×13，那么我们就可以得出来91的91的正约数。那91的正约数有一有七有13，还有91，它有四个对吧？它有四个不同的正约数。大家会发现了，我如果通过分解质因数，把一个正整数分解质因数啊分解出来，这两个啊。这个字数你看。是吧，你看七和十三九十一分解成为七×13，那我就可以断定，

我可以断定什么呢？可以断定91，除了这两个质数之外，还有一和它本身。这样的话，是不是它的正约束是不肯定？是大于等于三个了，对吧？至少有三个不同的质因数，那肯定是个合数了嘛，反而是能够分解质因数的啊，反而是能够分解成为两个质数相乘的。那么，这样的正整数，它都是合数。

好，我把这句话把它写下来，这是考试要点。能分解为。两个。大于一的。正整数。相乘的。数。一定是合数。能够分解成为两个正整数相乘的，这样的数啊，一定是合数，这样的数肯定是个整数嘛，对吧？

都是两个正整数，两个正整数，相乘肯定是个整数。好同学们，那么下面呢？我们结合例题来给大家进行讲解，大家看到例六。例六这道题目呢，是一个条件充分性判断的题型，它的公共已知条件是mn都为自然数，我们把它写下来。啊mn都为正整数。那么它的结论。它的结论呢，是m要等于二。

首先，我们看到第一步条件一呢，它说n不等于二。m+n。为奇数就是m+n是等于一个奇数。好同学们，注意了，这个能不能够推出啊？能不能推出m=2来呢？那显然推不出来了。对不对？它推不出结论来，那么这个时候我们需要举出一个反例来啊，所谓反例就是指满足条件一。但是就推不出结论来，

比如说我们可以让m是等于三的。啊，对吧？让m=3，让n等于什么呢？让n=4。那么这个时候m+n是不是要等于七这个七就是一个奇数嘛？是不是这样的话？是不是满足n不等于二并且m+n等于奇数满足了条件一？它是符合条件一的，但是这个时候它就推不出结论了，因为m对吧，我们这个例子中m是等于三的，那你的结论是m=2。是不是就推不出结论来了？

好，这是我们的。第一步，我们下面看到第二步这个条件，二条件二呢，他说mn都是质数。啊mn都为质数，那显然这个。是推不出结论来的。好，下面呢？我们看到一个反例mn都为啊mn都为质数，那比如说m=3。那n=n=5，你看mn都为质数的，

但是这个时候m它就不等于二，是不是？所以它是推不出结论来的。那么，接下来我们进入第三步，当条件一跟条件二都不能够推结论的时候，我们必须要把一二联合起来。那一二联合起来，联合起来就是相当于是啊，已知条件是已知条件是。这个n不等于二。并且m+n是要等于奇数的，这是第一个条件，第二个条件呢是mn。都为。

啊mn都为。质数。好，下面呢？我们看到我换一种颜色的笔来写啊，我们看到这个怎么去分析它？大家注意了，我们前面跟大家讲过这个质数中啊。只有唯一的一个正数是偶数。是吧，就是二那么我们现在呢，再来研究这个，你看。m+n它是一个奇数。是不是我把它拿出来，

拿过来分析？啊，这个m+n是奇数，而我们知道奇数两个整数相加，它的和为奇数一定是积加五。是不是是不是一定是基数交偶数啊？所以我们可以推出来这个。mn.恰好。4e。GE.偶对吧，恰好一个是奇数，一个是偶数。那么也就说有一个为二对吧即？

mn中。啊，注意喽，又因为啊。来写上了啊。又因为。mn都是。质数对吧？这是不是我们的第二个已知条件告诉了，要因为mn都是质数，所以呢？我们就可以得出来。mn中。恰有一个是偶数，并且有并且它是质数，

那不就偶数吗？恰有一个是。偶数并且是质数，也就是恰有一个是偶质数。而二。是唯一的偶质数。对吧，他是唯一的偶质数。所以我们可以推出来。mn中。恰有一个为二。又因为第一个已知条件告诉我们n是不等于二的。对吧，是不是告诉我们n不等于二呀啊，所以我们就可以得出来，

那只能是m=2了mn中恰好有一个弯儿，你n不能等于二只能是m=2了。所以说它联合起来是能够推出结论来的。条件一跟条件二，它单独不能够推出结论来联合可以推出结论来是吧？联合能够推出结论来。那么正确答案是不是应该选择c选项？你看这道题目看起来特简单是吧？但实际上呢，是它非常经典的一道题目，因为它涉及到了。奇偶分析，它涉及到了质数与合数的分析。啊，所以说我们啊，

这个啊，我今天呢给大家开篇讲过，我们说这个呃。实数的分的有理数与无理数，对吧？奇数与偶数完全平方数，质数与合数等等等，它不是简单的一个计算问题。是吧，它是一个需要我们进行分析的，要把分析跟运算融为一体的，这种题目，所以它是有一定的综合性和难度的。下面呢，我们看到例七。

好，我们看到例七。如果ABC是三个连续的奇数，并且呢，这个ABC是介于十到20之间啊，并且b和c为质数，这a+b是等于多少的？好同学们，我们来看一看第一步，我们把题目中的已知条件做一个梳理。已知中的第一个条件是。啊ABC。为三个。连续的计数。好，

这是一个限定条件，第二个条件呢，告诉我们。这个。这个a小于b，小于CC又小于20，这a呢，是大于。十的好，第三个呢？是他说b和c为质数。BC.为质数。对吧，好，

那么我们的目标。是去求。a+b等于多少？这是我们的第一步。那么，下面第二步，我们来做一个分析。那嗯，在。介于十到20之间的啊。这个奇数，我们把它写下来对吧？有这个我们是不是可以得出来啊？有11。13，

15，17，19。是吧，有11，13，15，17，19。是不是就只有这只有这这这个连续的计数，我全部写出来了，并且说ABC为。三个连续的基数。那我这样的话，我是不是就可以得出来ABC有这样的几种可能？

是吧，我们可以得出来。啊，得出来这个ABC啊，它可以是。是啊，他的这个值有这样的可以为。啊，第一种情况是11，13，15。对吧，这是第一种情况，第二种情况呢是13。15，

17。第三种情况呢，是15，17，19。是吧，这样的话，我是不是就把咱们这个条件一啊条件二我已经用完了？条件一呢，告诉我连续的奇数是不是也用完了，接下来啊，接下来我是不是要研究第三个条件呢？第三个条件告诉我BC为质数好，你看这是BC的值。诶，

显然这15不是质数，是不是要排除啊？然后又他告诉我BC是质数，你看十五十七十五不是质数，所以要排除。所以同学们注意了，你看是不是只有17和19是符合要求的，它们都是质数。对不对？所以呢？所以我们注意了，这样的话，我们就可以。好，我们就可以得到。

这个a=15 b=17 c=19，因此可以解得a+b。是等于15+17，是等于32的，因此这个题目正确答案选择。4d选项。也就是说，像例七这样的题目，其实它并不算难题，它只是把若干信息啊融为一体了。我们只要搞清楚100以内的质数啊，我们做到烂熟于心是吧？那考试的时候。只要罗列一下就行了。况且这道题目。

都没要我们对吧？研究那么多，只要我们研究十到20之间的啊，这个基数和质数就可以了。好，这是第七题。那么下面呢？好同学们，那么下面呢？我想跟同学们呢？再做一个。啊，跟大家再做一个举一反三。已知ABC。啊，

是一个。等差数列。且啊ABC是个等差数列，且a小于b小于c。啊，小于100。这边呢是啊，大于大于二。啊ABC啊，是介于二到100之间的。则在这个数列的公差啊，公差d可以是等于多少？所以呢，这个举一反三的题目呢，有一定的难度啊，

由于这个题目中呢，它的已知条件。有两个对吧？第一个已知条件呢，是告诉我们这四个等差数列，这是第一个已知条件，第二个呢，是告诉我们这个取值范围。那显然，第一个条件我们不好切入，我们不好入手，但是第二个条件我们。对吧，是不是AI注意了，这地方还要说明一下啊。

还有一个，还有一个条件补充了ABC都为。都为质数这一个，这个用红笔补充上来，这个条件很重要啊，这是第三个已知条件。那么，我们根据第二个已知条件和第三个已知条件。我们是不是可以？把ABC的。这个范围进行一个这个精准定位，或者说进行一个啊，缩小包围圈了，对吧？好，

首先我们看到第一步。由圈二和圈三。我们可以知道。啊，我们可以知道它是100以内的，这个质数，并且把二给剔除掉，剔除掉了，对不对？所以我们可以得出来ABC啊。啊，是在哪在哪个范围内呢？是不是应该在三五七十一？13，17，

19，23，29。好，这边有31。37。41，43，47。53，59，61，67啊七啊，换号写吧。然后70注意这个这个二，

我们要把它排除掉，因为人家大于二了，对不对？明白吧，要大于二。所以这个二是没有的啊。这个二要把它擦掉啊。啊，这边解一下是71。七十三七十九。83。89和97。是吧，有这么多数那么下面呢，我们最从最小的来算。

你看它就分很多种类了，比如说d它等于二的时候，我们发现这个a。BC.所以呢，这ABC是等于。三五七的。是不是可以啊？三五七。好，又比如说。公差为六，对照这个上面啊，我们可以得到这个ABC呢，它可以是啊，

可以是五。11，17。啊，它还可以是什么呢？还可以是11，17，23。对吧，它还可以是。啊17，23，29。是不是都是公差为六的，对吧？

它还可以是啊，还可以是七。啊13。19对不对？我就不写，我就不再举举其他例子了，还有比如说啊，比如说还有没有？比如说61，67和73是不是有很多呀？公差为六。又比如说这个d是等于10 d=10的时候，这个这个ABC。对吧，这个ABC可以是三。

13，23，就比如说公差d可以是20是20的话，那么这个ABC可以是等于。三二十三对吧？43。啊，又比如说这个公差啊。啊，这个观察d。它会等于40呢，对吧？等于40的话，那么这个ABC它是等于三。四十三八十三。

所以啊，同学们注意。这个公差。可以是二对吧？可以是六，可以是十，可以是20，可以是40。所以说这里面有很多等差数列，那么这个公差啊，有多种不同的结果，那这个举一反三。啊，它告诉我们在。呃，

100以内的质数中看起来好像没什么规律，这些质数对吧？100以内的质数在这呢？啊，100以内的质数是吧？看起来好像没有什么规律，但实际上它是有章可循的。明白吧，它是有章可循的。它存在等差数列，它可以这些质数啊，这些质数中是存在等差数列的。啊，并且有很多个等差数列公差可以为二，可以为六，

可以为十，可以为20，对吧？大家还可以这个。啊，比如说公差为公差为六的等差数列还可以找可以还可以找出其他来来。啊，还可以找出其他来，明白吧？所以大家可以。在这里面自己再找一找。有很多啊，有很多。好同学们呃，这是。

咱们讲义上的例七，我就跟大家讲到这里，下面请同学们看到例八。一般呢，他说ABC是三个质数，并且是三个连续的奇数。好同学们，首先我们来研究一下。ABC.是质数。对吧，然后呢，还告诉我们ABC是。三个。连续的奇数。

诶，大家注意了，三个连续的计数呢，不就是个等差数列吗？是不是啊？所以我马上想到了，这是等差数列。哎，它又是质数，所以这个等差数列，并且等差数列的公啊，不仅是个等差数列，并且等差数列的公差d是等于二的。又因为它是质数，那不就是质数等差数列吗？

是不是质数等差数列？你看我们刚才前面做的举一反三，我们就跟大家研究过了。啊公差为二的质数等差数列。对吧，公差为二的质数等差数列。啊公差为二的质数等差数列是不是三五七啊？所以很快我是不是就可以得到啊ABC啊？是不是应该就是三五七了？对吧，所以呢，我们就给到了a=3 b=5 c=7。三五七。对吧嗯，那么当然了，

这个ABC啊，三五七你把它重新。重新编啊，这个这个啊，排一下序三三a=3 b=5啊c=7，你也可以写成a=a=5 b=3 c=7，是不是这都无所谓，因为这个题目啊。最终的结果是唯一的好，我们下面来运算一下啊a+10。乘以b加上十分之一。再加上。b+10。乘以c加上十分之一。再加上。

c+10。长以。a加上十分之一。好，我们把数据带进来。把a等于三b等于五，把c等于七，带进来应该是十三乘以十五分之一。加上十五乘以十七分之一啊，加上十七乘以十三分之一。好，我们前面呢，在跟大家讲基础班的第一节课的时候呢啊，就跟大家讲过了分式的列项。是吧，

列项技巧那么现在呢？我们把它啊，把它列项这边应该是等于二分之一乘以。十三分之一减去十五分之一。再加上二分之一乘以。十五分之一减去十七分之一，再加上四分之一乘以十三分之一。减去十七分之一。我们发现呢啊。这个啊，同学们注意，我们发现这个地方啊，减一个十五分之一加一个十五分之一，那不就抵消了吗？是不是？

所以呢，我们这边应该是等于二分之一。啊乘以括号十三分之一减去十七分之一，再加上。四分之一乘以十，三分之一减去十，七分之一。那我们不就可以提取公因式了吗？对吧？好提取公因式呢？我用这个红色的笔来去写它。那这边呢？应该是等于二分之一，加上四分之一乘以十三分之一减去十七分之一。我们把它乘啊，

把它二分之一加上四分之一是等于四分之三的，对吧？它是等于四分之三啊十三分之一减去十七分之一。它是等于十三乘以十七分之十七减去十三，是不是就是四了？好，正好我们这边可以约分把它约掉。啊，正好这个四跟四可以约分约掉13×17啊，13×17，咱们把它。计算一下，看看来13，十七一乘三七，21，

91，一三得三，一一得一，所以它是等于这边是一。这边是二二百二十一，所以它是等于二百二十一，二百二十一分之三。是吧，二百二十一分之三，所以这个题目正确答案选择b选项。啊例八正确答案选择b选项，你看这道题目，它融入到了。这个啊，融入到了。

奇数连续的奇数就等差数列了，对吧？融入到了呃，融合了这个质数分析啊，还融合了。这个分式的化简求值，所以它是一个有一定的综合性的技巧题。好，下面呢？现在我们看到这个例九，我们看到例九这道题。例九呢，他说ABC是小于12的三个不同的质数，所以这是我们的一个突破口是吧？首先第一步，

我们把十。12以内。把12以内的质数把它写出来，应该是有二三。五七。啊11。是不就这几个字数啊，二三五七十一。啊，这是第一个条件，我们就用完了。好，第二个条件呢，它告诉我们说。这个a-b的绝对值。

加上b-c的绝对值。加上c-a的绝对值是等于八的。由于我们这地方呢呃ABC的大小关系没有这个明确的告诉我们，为了方便我们分析。我们人为规定一个大小关系，我们不妨设a啊，我们不妨设a是呃。大于b的。啊b是大于c的，因为人家告诉我们ABC是不同的嘛，对吧？这样的话，我们来看一看则。啊，在圈移。

可以去绝对值号。这是为什么我们要啊，人为的规定ABC的大小关系啊，是因为我们要拒绝的时候，为什么我们可以拒绝这样人为规定大小关系呢？因为答案是唯一的。明白吧，答案是唯一的啊，所以呢，我们你规定a大于b大于c得到的结果跟规定你a小于b小于c得到的结果是一样的。所以我们去绝对值之后，我们就给到了，应该是a-b。加上b-c加上啊c-a的绝对值，拒绝的话是a-c是吧？

它要等于八，我们发现这地方呢？有一些呢，那比如说减一个b+1个b抵消。是不是啊？所以呢，剩下的是2 a- 2c。我们可以得到，应该是。2 a- 2c是等于八的。因此，可以得到a-c是等于四的。是吧，我们可以得到a-c=4。那么，

这是第二步，我们工作就做完了，接下来我们要进一步的分析这个a呢，是最大的是吧？a是最大的。啊，我们来研究一下，看看啊。这个呃ABC呢？注意了ABC呢？又是啊，二三五二三五七十一中的一个，我们从大到小来写有11。有七有五，有三有二。

那么，哪两个质数相减是等于四的呢？我们发现这个11-7是等于四的。对吧啊，也就说如果是a等于如果是a=11 c=7。那么，这个b注意了，人家ABC啊，这个b是夹在a和c的中间的，那b等于多少呢？b是不是就没有了，所以这就排除了。好，我们下面再来看第二种情况呢是？第二种情况呢，

是这个地方呐a是等于七的时候，那么c它是要等于三的。所以正好这个七跟三之间加了一个质数是五唉，这个是符合要求的，那么就没有其他的情况了。对吧，这样的话，我们就可以得出来ABC的值是不是就锁定了？那么a=7。啊，这个b是5c是三对吧？七+8是等于15的，所以这个题目正确答案选择。4d选项。好同学们，

大家会发现呢，这个质数与合数的分析啊啊，往往会和我们前面的奇偶分析呀。啊呃，这个。是吧，奇偶分析还有什么还有这个呃等差数列啊还有。嗯，这个分式的列项求和是吧啊？还有不等式的一些问题，是不是结合起来考啊？所以说它往往要把多种方法都要分析融为一体来考虑，那么从这个角度来看，它确实对我们的要求，分析能力的要求比较高。

同时呢，它也涉及到一些运算，但这种运算呢，往往运算量都不大。你看我们第一堂课给大家讲解的时候呢，讲的基本上是像这个呃根式的列项求和技巧啊，分式的列项求和技巧啊。是吧啊，它都是运算层面的啊，它没有什么太多的分析，而我们这一块呢，什么奇偶分析，质数与合数的分析等差数列的分析，对吧？还有呃，

这个呃几种不同的点融完融合在一起的这种分析啊，应该说它的综合性都比较强好，那么下面呢，我给一点时间大家快速的。消化下，我们刚才所讲的内容。好同学们，大家好，那么下面呢？我们继续接着往前讲解，大家看到考点五约束与倍数。首先我们看到定义。这个定义呢，我们更啊，从更加时段化的角度给大家去讲解啊，

就是让大家好理解，所以呢，我先啊，举个例子，比如说啊，比如说这个。四四呢，它是一的倍数，二的倍数，四的倍数，那么啊，所以呢，我们说一二四它是四的。约束。你看这个约数跟倍数，

它是一对啊，它是一个相对的概念，四是一的倍数，我就说一是四的约数，四是二的倍数，那我就可以说二是四的约数。44的倍数，我就可以说44的约数。对吧，那又比如六。啊，61的倍数啊，62的倍数，63的倍数啊，66的倍数，

所以我们就可以说一二三六。是六的约数。现在大家能理解了吧，就是说啊，要去找它的约束，我实际上比如说我在找啊，要找八八的约数，我要找八的约数，我就看八是。啊八是哪个整数的倍数？是不是那么这地方八呢？是一二？四八。一二四八，它是。

它是八的约数。一二四八十八的约数。好同学们，第二。公约数。我们发现了啊，同学们，我们发现这个。四六。八，它有公共的约束。啊，它有公共的约束啊，四六八。公啊，

公共的约束。你看它公共的约数是是多少？它公共约数有一是公共的二也是公共的，对吧？只有一和二是公共的。所以呢，它有两个，这个叫做什么呢啊？公共的约束叫公约数。公共的约束叫公约数。那么，最大公约数。好，我们再来看啊。四六八。

它的。最大公约数是二。也就是说，最大公约数就字面意思就是最大的。那个公约数。对吧，也就是说公约数中找最大的那个。好，这是也就是我通过举例子的这种方式，让大家更直观的去理解去了解啊，这个定义是什么？我们没有必要啊，用这个数学中的专业术语跟大家去表达啊，即便是把这个专业术语背的滚瓜烂熟，你会发现。

嗯，使用起啊，就是说用起来对吧？你不会用好同学们这个约束和公约数？我们就给大家讲了，那么下面呢？我们再看。啊，我们看这个。第三分解质因数。像我们上面给大家找约束的这个呢呃，对于比较小的这个正整数，我们可以通过直接罗列观察。啊观察罗列对吧啊？这个验证我们就可以找出它的所有的约束出来，

但是对于一些。呃，数字比较大的，它的约束很多的嗯，那么为了不产生遗漏，我们就不能够用这个逐一列举，或者说用这种试验的方法来去找了。啊，这有一点碰运气是吧？那么对于数字比较大，约束比较多的，这样的整数如何把它所有的约束全部找出来，并且没有重复，没有遗漏呢？我们用分解质因数的方法来去找。

比如说写出。比如说写出144。啊，所有的因素因素啊，所有的约束。啊，有这么一个问题，写出所有的144，所有的约数。那么那么这个144呢？这个数字有一点大是吧？这个数字有点大，那么这个144呢？约数呢也？有很多个，

所以呢，我们啊，很容易写漏了，对吧？那么怎么办呢？我们的方法呢？是分解。分解质因数的方法。我们先把这个144啊，把它分解质因数，把它展开144呢，是等于12的平方12×12。那么12呢，又可以等于二×2×3对吧？那么有两个啊，

那么同学们再写一个二×2×3。是不是那么我们这样把它整理一下，有四个二，所以是二的四次方有两个三，所以是三的平方。对吧，四的呃二的四次方乘以三的平方。好，那么我就把这个啊144。它的这个分解质因数的这个过程我就解决了，实际上分解质因数呢，我们没有用短除法对吧？我们就是直接呃通过肉眼观察把它拆解出来的。一般来说，我们这个考试过程中啊，

分的字因素都不复杂好，这是我们的第一步，下面我们的第二步。所有的约数啊，我们都是由啊约数的啊，注意啊，144的约数。大家注意了，144的约数是由它的格式是二的，多少次方乘以三的啊？注意二的可以可以这么写吧？应该它的格式一定是二的a次方乘以啊，乘以三的b次方，它是这种格式。那么这个a呢？

大家注意了，其中a呢？它可以是等于这a呢？可以等于零一二。二三四。啊，这是a这个b呢，可以等于零一二。等于零一二那么这个a和b的搭配注意a有五种，可可以取值的情况对吧？零一二三四有五种情况。那么这个b呢？有三种情况，零一二，所以呢，

大家注意了五×3对吧啊，这种搭配是应该总共是有15个啊，有15个。144是有15个不同的约数，明白吧？有15个，那么下面呢？我们来写一下啊，哪15个呢？首先啊a=0的时候，啊a=0的时候，那么这边呢，就变成了二的零次方乘以三的b次方。对吧，这个时候二的零次方就是一了，

对吧？那二的零次方就是注意哦，二的零次方啊，就是一实际上是不是就是三的b次方？那么这个时候它有啊，当a=0的时候。那么，同学们注意了，当a=0的时候，这三的b次方是不是可以是三的零次方，三的一次方，三的二次方？对吧啊，这是不是有产生了三个好，这地方是共三个。

好当a=1的时候，那么这边呢？是二的一次方乘以三的b次方啊，它是要等于二。乘以三的b次方，那么这个时候啊，它是什么呢啊？这个时候啊，大家注意了。我把这上面的这个数啊，用红笔把它写下来啊啊，这边是三的零次方是一三的三三的一次方是三三的平方是九对吧？也就一三九。那么我们下面这一行呢？二×3的b次方这b呢？

可以等于零一二，所以呢？是不是在上面基础上乘了个二？所以这边就是二对吧？二三得六二九一十八是不是啊？这边是共三个。那么这个是不是也是共有三个好？这都是它的约束，我们按照规律来去写啊，当a=3啊，当a=2的时候。当a=2的时候，这边就变成了二的平方×3的b次方，它是等于四乘以。啊四×3的b次方四×3的b次方在这个上面的基础上又乘了一个二对吧，

所以呢，这边。啊，就相当于在第一行的基础上乘以四了，对不对？所以应该是四啊十二三十六。这边是共共有三个，共有三个约束。好当a=3的时候，那么二的三次方乘以三的b次方，它是等于八×3的b次方。因此，我们可以得到这个应该是啊，应该是第一行乘以八对不对？那么这边就是八。

24，72，它也是有三个对吧？也是有三个下面呢？我们看到a=4的时候。那么，二的四次方乘以三的b次方这边应该是16×3的b次方。那么，我们把第一行的结果乘以16，那么这边应该是16啊16。48，144这边是共有三个，对吧？同学们注意了我们。这一行把它写下来，

我用红笔来写，这边是共有三个，对吧？我总共写了是吧？这红色的笔是不是总共写了？五行啊，每一行有三个，所以呢，同学们注意了，那么共有多少呢？应该是五×3。是等于15个。是不是也就是说144所有的约数？我们一个不落的把它写下来，按照规律去写，

实际上是有15个。如果呃，我们不需要把这个144所有的约束全部写出来，只需要。求出来144到底有多少个不同的约束？正约束。那么，我们用分解质因数的方法可以更更快的得到。对吧，更快的得到，是不是就在这地方直接是啊a有对吧，它的约数一定可以写成二的a次方乘以三的b次方这种格式？啊，而a呢？等于零一二三四啊，

可以等于零一二三四有五种不同的取值。b呢，可以是零一二有三种不同的取值，对吧？根据我们排列组合中乘法原理可以得到。应该是a和b总共有五×3=15种不同的搭配，也就说144。它是有15个不同的约束。如果我们要去把这所有的15个约数全部写出来啊，那么就可以按照我们上面的方法。是不是是不是可以相当于叫分类计数啊？分相当于是分五类了，对不对？分五类把它罗列出来就可以了。好，

这是我们啊，给大家讲解了约束啊，公约数分解质因数。以及用分解质因数的方法去求一个正整数，它到底多少个约数？那以及这个约数我们要全部把它写出来怎么写？好，那么这一小块呢？我已经跟大家讲完了，下面呢？我们看到第四个点倍数。好同学们，这个倍数呢？我我也是跟大家啊，按照这个约束的这种方式来去讲解它啊，

来咱们一起一起来看你看这个四四的倍数呢？啊，是四对吧啊，四×1啊，四×2。四×3啊，四×4，四×5，四×6对吧？一直下去，这是不是就是四的倍数啊？对吧，那么这个四的倍数呢？我啊，还给大家呢，

把它乘出来对吧？四×1它就是四四×2是八。四×32，四×46，四乘五二十，四乘六二十四。对吧，这就是它的啊，这就是四的倍数是乘出来的。好，那么咱们再写一个。啊，咱们再写一个六。啊六的倍数是六×1。六×2，

六×3，六×4，六×5，六×6，一直下去。对吧好，我们再写一下。我们把这个结果呢，乘出来六×1是等于六的六×22，六×38，六乘四二十四，六×5。36乘六三十六注意了，这个倍数有无穷多个对吧？好，

我们再写一个这个八。八的倍数呢？是啊，八×1。八×2。八×3。八×4。八×5。八×6那么。那么八×1呢？是八八×2呢？是十六八×3呢？是24啊？八×4呢？是三十二八×5呢？

是48×6呢？是48。好，同学们。好那么呃，我们讲完这个倍数之后呢？我们显然啊还要。我们通过观察呢，我们发现这里面有些公共的，对吧？所以呢，我们把这个公倍数写出来。我们发现这个。四六八有一些公共的这个倍数。啊，

公共的倍数在哪里呢？我们发现这个是不是有个24，这有24，这有24，这有24。对不对？好，我们来研究一下我们。啊，我们可以这样来写啊，你看。四和六。公共的。倍数。那四和六公共的倍数。

啊四和六公共的倍数有哪些啊？四和六公共倍的是倍数有12。是吧，有12有24。对吧，有12。24当然还有其他的。那么，最小的那一个。好四六啊的最小公倍数。四和六最小的公倍数就是12，就最小公共的倍数中最小的那一个就是12。对吧，好，我们再来看四六八。

我们不仅可以求两个数的最小公倍数，我们还可以去求三个数的最小公倍数，三个数的最小公倍数呢？就是我们红色的圈圈。对吧，最小的那个公倍数是24。是吧，四六八的最小公倍数。四六八的最小公倍数啊，是24。好，那么同学们注意了。我们刚才呢呃，这个用分解质因数的方法去求的一个数有多少个约数？对吧，

现在呢，我们进一步的用分解质因数的方法啊，去求它的最大公约数和最小公倍数。用分解质因数的方法。求。用分解质因数的方法去求最大公因数和最小公倍数。好，我们一起来看啊，求谁呢啊求，比如说求这个呃。36和54。是吧，36和54的最大公因数和最小公倍数，那么咱们的第一步的方法是？第一步，

分解质因数。第一步，分解质因数。三十六它是等于呃四乘九四减三十六，那么四啊，它是等于四乘九对吧？四又等于二的平方。四是等于二的平方的九呢是等于三的平方的。所以我们可以啊，我们可以得出来，同学们注意我们再写啊，这个54呢，它是等于。啊，它是等于二×27，

二×21=54对吧？二×27所以它是等于二的一次方。乘以三的三次方。我们知道这个36的约数啊，它是可以写成二的a次方乘以三的b次方。对吧，那么这个54呢？它的因数呢？它的公约数呢？也可以写成它也它的因数呢？也可以写成二的x次方。啊乘以啊，或者说二的m次方。啊乘以三的N次方可以写成这一种形式。那么，

要去找36和54的最大公约数，因为它的格式是长的是一样的。对吧，或者我这样来写。嗯，乘以。三啊，它的格式啊。就是说这有个方框框。这有个方框框，对吧？它的格式是这么一个格式。它俩的格式是一样的。那么嗯，上面这个呢次方呢？

可以是那？呵呵。那这个格子。啊，可以填零一二那这个格子里面呢？可以填零一二对吧？那么54呢？这个地方呢？注注意这个这个呢？可以填零一是吧？这个格子呢？可以填零一？二三。那么我们现在要去，我们知道它的公啊，

这个36的约数是是二的多少次方乘以三的多少次方这种格式54的约数呢？也可以写成二的多少次方乘以三的多少次方？是吧，那么现在要去找它的公共的约束。那么，是不是应该要找到它的次方是一样的，对吧？所以我就可以来来，大家跟我一块来分析。好，下面我们看到第二步。那36。与54的。啊，公约数。

公约数是不是可以写？可以写成。对吧，它可以写成二的多少次方啊乘以？删了多少次方，是不是可以写成这么一种格式啊？而这个二呢，这个地方，因为它是在公共的嘛，它是在公共的，对吧？是36和54这个次方是公共的。所以我们发现这个公共的是不是这有零和一可以取到这地方，有零和一，所以呢，

这个二的次方可以是填零。也可以填一。对吧，那么这个三的次方呢？你看36里面这个三的次方可以是零一二它的约数呢？三的次方是零一可以填零可以填一可以填二，那么54呢？啊，54的这个约数里面三的次方呢？可以填零一二三那么这三那我就不能取了，是不是也就说这地方只能取零一二？二对吧？取零一二这样的话，我是不是就可以得到这个36和54的公约数？它的公约数我是不是可以得到这个二的次方有两种情况，

三的次方有三种情况对吧？所以是二×3=6。也就是说，它的公约数是有有六个。那么，它的最大公约数？啊，也就说公约数有六个。即啊，公约数是由。六个那么它的最大公约数呢？那么，它的最大公约数呢？我是不只需要让这个二的次方最大呀。二的次方最大是不是一次方啊？

那么三的次方最大是不是二次方？是不是二的一次方乘以三的平方，因为这个二的次方最大值呢？一三的次方最大值呢？等于二，所以应该是等于二×9是等于。18的也就是36和54的最大公因数是20，最大公因数是18。我们把它记，为什么呢？好，我们把它记为用一个圆括号36逗号54括起来，它是等于18的。这就叫做它的啊。最大公约数，

我们下面看到第三步，求它的最小公倍数啊，36和54。好同学们注意了，它的公倍数。啊，它的最小公倍数啊，除以二。哈哈哈。啊，它的最小公倍数。可以写成。二的。多少次方乘以三的多少次方？其中因为它啊，

因为这个最小公倍数，它是36的倍数。是吧，是36的倍数，所以这个这个二的次方啊嗯，这个二的次方。比36分解出来的这个这个次方这二的次方啊，至少要跟它是一样大，所以这个这个次方呢？对吧，这个次方啊。它必须是啊，36分解出来的那个二的次方和30和54分解质因数之后，36和54分解质因数之后。这两个质因数里面分两个结果啊，

分解出来两个结果里面二的次方中，我们要找它的最大的那个数，比如说二的次方呢？大家看到了没有？36分解出来分解质因数之后二的次方是二，54分解质因数之后二的次方是一。那我要找这个次方二和一的。较大的那个填进来，所以呢，它的这个。应该是二的二次方。那么，36和54分解质因数之后。三的次方分别是二和三，那么我们就要找这个次方二和三中较大的数，

所以应该是三的三次方。那么，我们计算一下啊，那咱们计算一下这个呢，应该是等于四乘以。27对吧？四×27，四七，28，二四点八，108。所以它的那最小公倍数是108，我们记为。啊，我们记为。

36。54是等于108的。对吧，最小公倍数呢，我们用方括号表示最大公约数呢啊，最大公约数呢，我们是由原括号来表示的。那么下面呢？我们把这个要点呢？给大家呢？再小结一下。比如说a是等于。a是等于同学们注意了a是等于分解质因数之后等于p1的m一次方乘以p2的m二次方。啊乘以啊p3的m三次方，当然我就写这几个吧。

比如说这个y这个b这个数字呢，是等于PE的n一次方。乘以啊p2的。p2的n二次方。呃。好，然后再乘以。再乘以。p3的。a三次方。好同学们注意了。那我们分解质因数之后AB的最大公约数，我们有AB啊，这个外面括上的是原括号。啊，

表示最大公约数最大公约数呢是等于PE。好，这个地方。啊，有个。次方对吧，然后再乘以p2。这边有个次方。乘以p3这个有个次方，那么这个指数的这个地方填什么呢？这个地方要填上m1。与n1中。较小的。哪个？m1与n1中的较小值p2呢？

这边呢？这个次方呢？应该是m2。n2中。较小的字。然后p3呢？这边呢是？m3。与n3中。啊，它的较小值。这是它的最大公约数。那么，它的最小公倍数呢？啊，

它是。好把这上面复制过来。啊，它的。区别在于这边是什么呢？这边是较大值。啊好，这个是。好，大家注意啊，这个窍门啊，最大公约数找的是。最大公约数找的是那个较小的啊，那个次方那较小的。啊，

这个最小公倍数，那么它找的是这个次方中啊，较大的。较大的好，我在这边呢，给同学们呢，举个句子的例子来给大家示范。啊，比如说a是等于啊，比如说a是等于这个。五的平方啊，乘以七的一次方乘以13的。啊13的。这个三次方对吧？然后这个b呢是等于啊五的一次方乘以七的。

啊，一次方再乘以13的啊平方。那么这个时候我们就可以得到AB的最大公约数，它应该是等于找次方中啊表找同一个这个质啊，同同一个质因数里面那个次方中。啊叫小啊最大公因数我就要找最较小的，应该是五的一次方，因为五的次方中有二和一，那么二和一中较小的那个是一对吧？然后七的呃次方呢是一样的，我就写一就行了，那么13的次方呢可以有三有二对不对？有三和。有三和二对吧？嗯，

13的次方有三和二，我要找较小的那一个，所以呢，这边应该是。二次方。对吧，所以它的最大公约数是五的，一次方乘以七的，一次方乘以13的平方。好，我们再来看。AB的最小公倍数，我应该找啊，每一个质因数的次方加大的那个数，那么五的次方。

对吧，五的次方有二有一，我找大的是不是应该是二？然后七的次方是一。啊13的次方有三有二，我是不是要找三次方？对吧，这就是它的。这就是用分解质因数的方法啊，去求。几个数的两个数或者三个数，甚至更多的数，它的最大公约数和最小公倍数的方法。对吧，它的原理好，

我也跟大家做了一个示范。好，这是啊，约束与倍数这一块儿啊，下面呢，我们结合例题啊，结合具体的例题来给大家进行讲解，大家看到。咱们讲义上的考点五约束与备注中的历史。例十呢，他说已知甲乙丙三个人共捐款3500元，在那个确定每个人的捐款金额好，大家注意了这个啊。我们设啊。啊，

我们设甲乙丙。三人的捐款金额分别为xyz。好，那么这个公共已知条件。这个公共已知条件呢，就是x+y+z是等于。3500元的。那么，这道题目中的结论是什么呢？它的结论是每个人的捐款金额是可以确定的，也就是说xyz。它是唯一确定的这个，我们这个考试中碰到确定一定是指唯一的。就只有一种情况，明白吧？

好，这是。啊，咱们的第一步。那么，这个条件一。条件一呢，他说三个人的捐款金额各不相同，也就是说xyz各不相同。它各不相同，能够确定xyz是唯一的吗？那唯一确定吗？显然推不出结论来。对不对？他推不出结论来，

我们举反例。我们举反例，比如说我x=1 y=1那z呢是等于。三四九八。对吧al这个等于二啊。三四九七因为它说各不相同，这是不是举了一个例子啊？对吧，这是第一个例子，然后我们第二个例子，比如说x=2啊y=3。是吧z是等于三四九五。那么xyz是各不相同的。但是我们发现xyz有很多种不同的情况。那它是不唯一的，

所以它推不出结论来。那么下面呢？我们看到。第二个条件，他说三个人的捐款金额都是500的倍数。三个人的捐款金额都是500的倍数，那我是不是可以写成x是等于x是等于500a？啊y是等于500b，那么z呢是等于500c。是吧，等于500c。那么那么这个呢？我把它带入到。公共已知条件，我把这地方设为圈一注意了，

公共已知条件是指我在单独分析条件一的时候。啊，我要。把它跟条件一联合起来进行分析，我在分析条件二的时候，我也得把这个公共已知条件纳入到已知条件里面。对不对？好，我们把它代入到圈一。我们代入了圈，一里面就可以得到，应该是500倍的a+b+c。是等于3500的，那么左右两边约掉500，这边是七，

所以我们可以得到a+b+c是等于七的。对吧a+b+c=7好，同学们注意了，这个呢，依然是推不出结论来的。对吧，依然推不出结论来，那么我们来举这个反例。第一种例子是啊，第一种例子，比如说a是等于一的啊b是等于二的啊c是等于四的。对吧，这是第一种例子。第二种例子呢，我把它调过来a是等于四的啊b是等于二的对吧？

c是等于一的。你看这个是不是给出了两组不同的值啊？是不是两组不同的值？它就ABC有两种不同的值，那是不是就决定了xyz也是有两种不同的值啊？因此它是不确定的。明白吧，它也是不确定的好那么。算了，这一步之后。啊，分析到这一步之后，题目做完了吗？没有做完，我们还得我们还得进一步的分析。

那么下面呢？我们看到。第四步。条件一，跟条件二。联合起来。联合起来的话，那么由条件二啊，由条件二可得。那由二可得。a+b+c=7。是吧啊，由由括号一可得。你既然xyz是不相等的，那么就意味着ABC也不相等了，

是不是这个时候？条件一，跟条件二联合式子，既要考虑条件一，也要考虑条件二，对不对？ABC不等。ABC不相等。那么，这样这样的话，我是不是实际上还是可以得出来有几种不同的情况？第一种不同的情况，比如说a是等于一的b是等于二的c是等于四的，那ABC是不相等。第二种情况，

那我可以说a是等于二的，对吧？b是等于四的，c是等于一的，那这样的话，我们是不是就可以得出来？第一种情况x是等于500a，那么就等于。啊，等于500a那就直接是500了，对吧啊y呢是等于500b那是等于1000了。对吧，那么这个z呢是等于500c？等于500c对吧，所以它是等于2000的。

对吧，它就等于2000了。那么，第二种情况。好，第二种情况。啊，第二种情况呢？是啊。它稍微调调换了一下啊x是等于500a啊是等于1000的y呢是等于。500b是等于2000的。啊z呢是等于500c。啊，是等于500的，也就是说它也是不唯一的。

是不是所以说啊，条件一跟条件二联合起来，它也不能够推出结论来。那么，同学们注意了。啊，条件一联合起来不能啊，条条件一单独不能推结论条件二单独也不能推结论啊，条件一跟条件二联合起来了。也不能退结论，按照我们的题型规则，对吧？这个时候正确答案选择e选项。那么，这个历史呢？

嗯。它考到的倍数问题啊，都是500的倍数，但是这个题目呢，实际上只是啊，考了一下概念而已。根本就没有深入去考。但是这道题啊，大家注意啊，这道题目是我们这个近几年考过的真题啊啊，大家通过有的同学说老师，你怎么基础阶段就开始讲真题？我只是在进入阶段啊，把我们真题中的某些题目，它也不是很难，

对吧？拿过来给大家看一看，尽管有很多同学觉得这个题目很难，因为它做错了。实际上，我们如果说有了基本功，对吧？你对这个题它的难度与准确的判断的话。你会发现这个题目其实并不难，那为什么有的同学我觉得觉得这个考完试之后觉得这个题目很难呢？是因为它的基本功相当的不扎实。啊，错误的估啊，估计的形式有这个题目很难，所以呢，

这并不难，对吧？同学们都能看得出来，我们都没做什么太多的额外的分析。啊，大家注意了啊，从一从基础阶段开始就对真题啊，就接触一些真题，对真题有准确的认知。是很重要的。不然的话啊，你这个总是把真题估计的太简单，或者估计的太难，这都是对我们的备考。这个会产生危害的好，

下面我们看到第11题。第11题呢？这道题目呢？它说不超过二零一五的正整数中是三或者五的倍数的正整数有多少个？那首先我们第一步。我们研究一下。三的倍数。对吧啊，三的倍数，我把它全部罗列出来，有三×1。三×2。三×3，三×4，三×5，

一直打省略号，那么最后一个应该是三乘多少呢？注意了啊，三乘多少呢？我假设是三×m。对吧，三×m，因为它还得不超过二零一五啊，所以同学们注意了。我们运算一下啊，也就是3m，它得小于等于二零一五。是吧，小于等于二零一五。那么，

我们用这个除法除一下啊，二零一五除以三三六一十八二十一三七。20，一五一三，得三与二。也就是说，这个m啊啊，它是计算出来是小于等于那我们就可以得出来，这个m是小于等于六百七十一又三分之二。那么，因为m是整数了，对不对？是是正整数了，所以我们是不是m就等于m是不是最大只能取671啊？明白吧，

所以我们这个m这个值是不是应该是671啊？对吧，应该是三×671，那么也就是说这个我们可以得出来啊，三的倍数在不超过二零一五的正整数中，三的倍数有。671个。是吧，有671个。好，那么下面呢？我们。再看到第二步。啊，这个五的倍数。

五的倍数呢？有五×1。啊，五×2。五×3，五×4，五×5，最后我打省略号，那么最后一个呢是？那么最后一个呢？是五×n对吧？那么同学们注意了这个5n呢啊，它是五的倍数，人家这个题目呢，它说在不超过二零一五的正整数中考虑。

所以这个5n是不是要小于等于二零一五啊？这个数对吧？五×n要小于等于二零一五，所以我们可以解得n是小于等于。我们看啊，四五二十啊，零三五一十五，所以呢，我们是不是就可以得出来这个？好得出来，这个n是不是最大值呢？是等于403呢，所以呢，你看第一个数是五×1，第二个数五×2，

第三个数是五×3，第四个数是五×4。第第五个是五×5，那么最后一个是不是就403了，所以总共是有403个。对吧，五的倍数有403个。那么，这个题目要我们去求是三或者是五的倍数有多少个？注意了，我直接用671+403。这个并不是正确答案，因为啊，这中间还有重复的。是吧，

所以我们还得把这个重复的。啊，这个数把它研究一下，也就是。既啊，既是三的倍数，又是五的倍数，有多少个？啊啊g是三的倍数。啊，既是三的倍数，又是五的倍数。啊，我们知道三和五的公倍数，最小公倍数是15，

对不对？那是15×1。15×2。啊，15×3。啊，15×4。中间打省略号，然后再15乘以多少对吧？那么这边我们也运算一下，假设这地方是啊乘以。诶，乘以这个。啊，乘以a吧。

15×a那么这个15a，它是不是得小于等于二零一五啊？所以我们来计算一下这个a，它是要小于等于多少呢？我们除一下二零一五，除以15。上个一，这是15。这边是51再三个三啊，这边是45。这边是65对吧？然后再上个四，这边是60余五，所以呢，它应该是a要小于等于。

一百三十四又十五分之啊，十五分之五对吧，十五分之五还可以约分，但是我这地方。是不是没有必要去约分了，因为我们知道这个a的最大值是不是只能是等于？这a的最大值是不是应该是等于134啊？所以这地方啊，三既是三又是五，也就是三和五的公共的倍数共有。134个。啊，共有134个。好，那么这样的话，

因此最后就好办了，要去求13或者是五的这个倍数的，这个正整数有多少个呢？我就把三的倍数对吧？有671个，加上五的倍数有403个，一加重起来再减去啊，重复计算的134。对吧，是不是这样的，再咱们计算一下啊，咱们在这地方计算一下啊。这个计算呢，同学们注意了啊，严格打草稿啊，

671+403，这边是幺零七。七四再减去幺三四对吧？零四九好注意了，是940个。为什么要求大家严格的找草稿呢？有的同学啊，喜欢心算心算呢。这个表明你的能力很强，但是呢啊，根据过往的同学的这个经验来看的话，很多同学呢，在心算的过程中，一不小心就算错了。啊，

这样的话非常不划算。明白吧，所以呢嗯，同学们计算一下，其实很快这个题目正确答案选择4d选项。选择4d选项好，这是d。11题。那么下面呢？我们看到这个第12题。第12题，它说从一到二零一五的自然数中。能够被六或者是八整除的，能够被六或者是八整除的个数有多少？其实跟我们的例11是同一个思路，

对吧？那么下面呢？我们再操作一下啊，大家跟着一块儿。同步记笔记，同步进行思考。那首先我们看到第一步。啊，能够被六整除对吧？能够被六或者是八整除那不就是啊，等价于要去求六的倍数或者是八的倍数的，这样的整数有多少个吗？是不是好六的倍数？六的倍数有六×1，六×2，

六×3对吧？六×4，六×5中间我打省略号。最后是六乘多少呢？这个地方是不是直接除以一下对吧？我就用刚才的这个啊，六×m。是吧，六×m。来那么应该是6m，它要小于等于二零一五，咱们这边除一下啊。二零一五，除以六三六。18这是21。

三柳。一十八三十五。啊，这个五六三十。u所以这边呢，推出来这个m是不是小于等于三百三十五又六分之五？那么，我们可以得到这个m最大是多少呢？这个最大是不是应该是335啊？对吧，335。好第二步，然后呢？这边八的倍数。这个八的倍数呢？

是啊，八×1。八×2。八，乘上。八×4。八×5。好，这边呢八×n。然后这边呢，8n小于等于二零一五。好，这边呢n是小于等于好，我们再除一下啊，二零一五÷8。

啊，二八一十六这是很简单的计算对吧？然后五八四四。好，15整了三个八了，一八得八七对吧？所以n是小于等于251又。啊，八分之。那么也就是说这个n呢，最大是不是只能够取251了？对吧，只能取251。好，下面呢，

我们第三步呢。去求。g是六的倍数。啊，又是八的倍数。对吧，既是六的倍数，又是八的倍数。那么应该是找六和八的最小公倍数，对吧？六和八的最小公倍数是24。所以是24×1。24×2，24×3。24×4对吧？

一直往后写，然后到24乘以乘以a，那么我们也来计算一下。24a，它要小于等于。小于等于二零一五，所以我们来计算一下啊，这个a呢，同学们注意了。呃，那我们计算一下。到这边来算。二零一五，除以24。其实啊，

朋友们注意，我们在去做的时候啊。你看我上面已经用二零一五除了一个八，我现在我我我已经用二零一五除了一个啊，2015÷8了，最后得出来这边是整数是二二零二五幺，对吧？我是不是在下面只需要再除一个三就行了？对不对？大家可以按照按按照一种方法，是直接用二零一五÷24也可以呢，用什么呢？用上面的251。除以三对吧？这边三八二十四这边11啊，

三三得九余二，所以呢，我们可得出来这a。是要小于等于83，83点几对吧？所以呢，这个a它实际上呢？最大是83。那这样的话，我们就可以得出来六的倍数。啊六的倍数总共是有335个。八的倍数总共是有251个啊，既是六又是八的倍数，也就是啊，六和八的这个公倍数，

它们重合的部分是吧？重复计算的部分。啊，有83个。所以呢，接下来。啊，这个小节就很关键了，所以呢，这个六或者是八的倍数。啊，有多少个呢？有335。加上251再减去83，有这么多个？

咱们计算一下。335，251相加等于586再减去83。是不是等于503呢？所以算出来的结果是503个，所以这个题目。答案选择c选项。好同学们，这个。呃，方法啊，是这样的，大家可以把这个第12题和我们的第11题放在一块对比学习啊，这这个计算呢？嗯，

它并不复杂，主要是这个方法是吧，要理解这个申论和方法。这是第12题，那么下面呢？请同学们看到第。13题。好，我们看到第13题。嗯，排练体操的时候要求队伍呢，变成十行15行18行24行的长方形的方队，那最少需要多少个人参加？它要能够变成十行。啊整十行了，

说明这个队伍的人数是十的倍数，它能变成15行，说明这个队伍的人数是15的倍数，同样的道理，它队伍的人数呢？是18的倍数和24的倍数，是不是啊？所以这个题目同学们注意了。它就是要去求啊，既是十又是15还是18还是24的，这个这个倍数对吧？是它的公倍数，然后要去求人，人数最少，那不就是最小公倍数了吗？

所以啊，等价于原题，等价于。等价于求什么呢？求十。15。18和24这四个数的。最小公倍数。对吧，要去求它的最小公倍数，这是第一步，我们做了一个转化，我们看到第二步要求最小公倍数，我们分解质因数是吧？我们分解质因数的方法。

分解质因数呢，同学们注意了，十分解出来是等于二×5的用肉眼都可以观察到15呢，分解出来是三×5。啊18呢，分解出来是等于二×3^2。啊，24呢？分解出来是这个嗯，三八十四对吧？那么就是二的三次方。乘以三。好，我们写成这样子后之后呢？大家注意了，

还要进一步的写，因为我们啊，十十五十八二十四总共出现的质因数有二三五。所以呢，我把它写成这样的格式，写成二的一次方乘以它没有三，我写的三的零次方再乘以五的一次方。啊，这个15呢？分解的时候它没有二，我就把它写成二的零次方乘以三的一次方再乘以五的一次方。那么这个18呢？它没有五，我们待会呢，写成五的零次方对吧？

这边应该是二的一次方乘以三的平方，再乘以五的零次方。24呢，应该是二的三次方乘以三的一次方对吧？再乘以五的零次方。好，这是分解质因数。好同学们，那么下面呢？我们看到。第二步啊，第二步结束了，看到第三步啊，第三步呢，是它的最小公倍数，

最小公倍数，我有用方括号表示对吧？十，15。18，24，它的最小公倍数啊，应该是写成这样的一个格式二的多少次方？乘以三的多少次方乘以五的多少次方是吧？要写成这个，那么我们说过。求最小公倍数的时候，这个次方一定要找同一个质因数的，这个次方的最大的，比如说二的次方有零次方，

有一次方有零次方，有一次方有三次方，我要找最大的。所以应该是二的三次方。对吧，二的三次方，然后在这三的这个次方里面啊，有零有一有二有一，这次次方里面最大的是多少，最大的是二。所以应该三的二次方。然后这个五的次方里面对吧，有一有一，有零有零，是不是要找次方最大的是一啊，

所以咱们计算一下。二的三次方等于八三的平方等于九五的一次方是等于五对吧？所以我们计算一下五八四十四十乘以九四九三二。36所以360也就说这个参加。这个超练的人最少是有360个人参加，所以这个题目正确答案选择e选项。你看这道题目的表面上是一道应用题的，实际上啊，它的考点啊，是求最小公倍数。对吧，数字比较多。啊，那么下面呢？我们看到第14题，

我们看到例14。第14呢，他说现有红色的气球42个。绿色的气球112个，黄色的气球有70个，平均分成了若干队每堆中的同一种啊，颜色的气球的数量分别是相等的。对吧，最多可以分成多少队？那这样，我们设。好，我们设呀。啊，最多可以分成。

好，我们可以设设，可以分成。啊，我们可以分成m队。那么，每一堆中。每一堆落。啊，红色的气球。红色的气球呢，有a个。绿色的气球呢？有big。黄色的气球呢，

是有c个。对吧，因为它每一堆气球中这个同一种颜色的气球是一样多的，对吧？也就是说m堆中。这m堆中每一堆中红色的气球有a个，那么总共有多少个红色的气球呢？所以我们是不是就可以？得到m×a是等于。总共的这个红色气球数是42个，对不对？那么每总共分成了m队，每一队中呢啊？绿色的气球有b个，所以应该是m×b。

啊，是等于绿色的气球，总个数是等于112的。那么这个啊，总共分成了m堆，每一堆中的黄色的气球是c个对吧？所以m×c是等于70的。他是要等于70。好，那么大家注意了，这个题目要我们去求，最多可以分成多少队，也就是求m的最大值是不是啊？我们通过分析。我们可以得到这个m它是。

42的。约束。对不对m是42的约数？那同样的道理，你m×b是等于112的，说明这个112是m的倍数，那我可以说m是112的约数。是不是啊？是它的约数，所以呢，我们就进一步的可以得到这个m，它是112的。约束m×c=70，说明70是m的倍数，反过来我们可以说m是70的约束，

所以m它是70的约束。现在我们啊要去求m的最大值，所以啊，原题等价于什么呢？求m的。啊求m的最大值是不是等价于？求求什么呢？42，112和70的。最大公约数。是不是啊？它等价于求最大公约数，这是我们的第一步。下面呢，我们看到第二步。

分解质因数。我们用分解质因数的方法呢去求啊，那么同学们注意了，咱们来分解一下，42是等于六×7的，六又等于二×3，所以是二×3×7。112。啊，112来我们研究一下，112呢，它出啊，它是首先啊。除以二对吧？五二五一十二六一十二好，

这边又是七×8。那这个八呢，又等于那就相当于是二×8×7了，也就是说二二的四次方是等于16的，对吧？二的四次方乘以七。好，然后70它是等于二×5×7。好，接下来我们把它写成标准格式啊，我们发现这个42，112和70分解质因数出现了质因数二三五七。所以呢，我们都把它写上来，这边应该是二的一次方乘以三的一次方它没有五，

我就写成五的零次方对吧，再乘以七的一次方。那么，112呢？是等于二的四次方，它没有三，我就写成乘以三的零次方，它没有五，我就写成乘以五的零次方。再乘以七的一次方。然后这边呢70它是等于这是二的一次方那没有三，我就写成三的零次方啊，乘以五的一次方乘以七的一次方。所以同学们注意了，那这样的话，

我们要去求它们的最大公约数，最大公约数呢？是是用原括号表示的对吧？应该是42对话幺幺二对话70。它的最大公因数应该是等于二的，这边一个次方乘以三的多少次方乘以五的多少次方再乘以七的多少次方？注意了，求最大公约数的时候，这个次方应该填较小的，这个值你看二的次方中有一一次方四次方一次方填较小的，是不是应该是一次方？那么三的次方里面较小的是零次方五的次方里面较小的是零次方七的次方里面是一次方。对不对？咱们计算一下，它应该是等于二×1乘以一三的零次方是等于一的五的零次方是等于一对吧？

七的一次方是等于七，所以它是等于14。也就说，它的最大公约数是14，因此最多可以分成14对，所以这道题目的正确答案。是b选项。好，那么下面呢啊，这个我们就把刚才给大家讲解的这些内容，我们快速的回顾一下啊。我们这是第二堂课啊，给大家主要是讲解的这个考点，一二三四五对吧？五个考点。

啊，五个考点。14道例题，那么我们今天呢？首先呢，这堂课呢？对吧？首先给大家呢？是从实数的分类入手，给大家讲解的什么叫有理数，什么叫无理数，有理数和无理数？到底是怎么区分的无理数？它特指的是啊，无限小数中的不循环小数，

那么有理数呢？包括两类，一类是有限小数。有限小数就是小数点，后面的这个位数是有有限个对吧？无限小数中的循环小数，它也属于是有理数。那么，无限小数是指小数点后面的这个小数位啊，它是无穷尽的，但是呢，它有规律，它有个循环规律，重复出现的循环规律，这就叫做。

啊，无限小数中的循环小数。对吧，这是实数，那么同学们注意了，我们从小数的角度作为切入点，有利于我们抓住它的本质和要害。因为所有的整数都可以看做有限小数，所有的有理分数都可以看作是啊，都可以化成嗯，有限小数或者是无限小数中的循环小数。对不对？那么是什么叫做有理分数呢？有理分数就是一个分数的分子，分母都是有理数啊，

都是啊，分数分母都是有理数，或者说都是啊，分子分数啊，一个分数的分子分母都是整数，这叫做有理分数。我们还跟大家讲了无理数，内部之间的加减乘除啊啊，得到的结果到底是无理数还是有理数？有理数内部的加减乘除得到的是有理数还是无理数？有理数和无理数混杂在一起。加减乘除是一个什么样子，对吧？都给大家做了分析，还给大家了写了一些这个命题点以及啊以及啊举的例子。

啊，方便我们解题的时候遇到条件充分性判断这种题型要找反例的。然后呢？后面跟大家讲了一些例题。好，这是第一个考点，第二个考点是基我分析基我分析呢啊，主要是呃，这个基数。内部的加啊加减乘对吧？我们把除法呢排了一遍啊加减乘。得到是一个什么样的奇偶属性？那么，偶数内部的加减乘啊，还有奇数跟偶数混合在一起的加减乘对吧？

啊，这后面呢，都是举了一些例子。那么后面呢，跟大家讲了考点三的时候完全平方数附带给大家讲解了完全立方数以及完全啊，以及这个啊平方差公式和立方差公式。这是我我们后面做铺垫的。还给大家做了一个举一反三的例题，那么这个考点四呢？给大家讲解的是这个质数与合数对吧啊？什么叫质数？什么叫合数？啊，那么这个整数划分的时候，除了质数和合数之外，

还有一个既不是质数也不是合数的数，就是一对吧，以及最小的质数是二啊二，又是唯一的。啊偶质数既是质数，又是偶数的，是不是啊？同时呢，跟大家把这因组分解啊奇偶分析啊质数与合数的分析。跟大家通过例题进行了讲解和释放，那么考点五呢，是约束与倍数，这个什么叫最大公约数，什么叫最小公倍数，最大公约数和最小公倍数？

他们可以用一种通用的方法去求，那就是分解质因数的方法，他们是如何去操作的，以及要我们去求啊，这个位数有多少个约数有多少个？是不是都在给大家做了非常详细的讲解和示范，希望同学们呢？结合我们这一课啊，这一节课的讲解呢？啊，这个大家可以把。哪些是你的盲点？哪些是你的这个知识结构中相对说薄弱的地方可以把它做上标记，可以多听几遍这个课程，多听几遍，

多复习几遍，因为。啊，虽然说这个内容呢啊，大家或多或少听说过，但是呢，他是可能很多同学都早就已经把它淡忘了，对吧？甚至产生了很强烈的陌生感，这个时候我们要重新捡起来。啊，这个这个方法呢？要掌握这个讲义上的题目，要自己独立的熟练的做出来。其实一般啊，

学习对吧？我们这个课程听个两到三遍，这个讲义呢写啊，自己独立的做个两到三遍，基本上就。达到这个熟练度的要求了。好，我们这一节的内容就给大家讲到这里，谢谢大家。

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