01.课件1-2024数学基础班第1讲

罗泽兵 · 发表于 2024-4-4 10:24:20

好，各位同学，大家好，那么今天呢？是我们二零二四金虎教育管理的联考综合能力数学基础班的第一讲。啊，大家呢？把讲义可以翻开我们这个基础班的讲义呢？是按照考试大纲结合了我们历年真题编写的。啊，我们这个章节啊，也是按照考试大纲里面这个列出来的要点跟大家啊逐个啊。啊逐一来进行攻克，你看我们算数代数对吧啊？这个几何数据分析，

这是我们考试大纲列出来的四个章节。那么，我们讲义中编排的每一个呃，这个模块里面它的一些具体的考点完全对应着考试大纲。所以呢，这啊，这个基础班讲义里面100个考点精讲，我希望同学们呢？啊，从头到尾呢，就是在学习这个课程的啊，这个时候啊，要注意第一遍，要力求听懂第二遍啊，第二遍要力求。

增加熟练度第三遍啊，可以尝试盲听什么叫做盲听呢？就是说你经过了前面一遍两遍的学习之后。那么，第三遍的时候，你可以只听音频，就是说你啊，在听课的时候，比如说你在手机上播放或手机APP上播放的时候。你不看屏幕，只听我讲的声音对吧？只听这个声音，然后呢？看能不能够在大脑中想象出我当时是怎么讲的？把它复原出来。

比如说这样的话，你就可以利用零碎的时间来去学习，那完成第三遍了，比如说你在等公交车的时候，比如说你坐在公交车上，或者坐在地铁上，然后戴上耳机可以。他闭上眼睛就听去想这样的话，他能够帮啊把大家呢啊，帮助大家完成一个什么样的使命呢，就是从懂到熟的过程。进而呢啊，在大脑中去想象这一块对吧，因为我们这个考试啊嗯，这个管理的联考综合能力数学逻辑。

对吧，写作它包括写作它对我们的熟练度的要求是相当之高的，它不仅仅考的是懂不懂的问题，而且考的是你在懂的情况下还要非常的。熟练。好，刚才呢给大家啊啊，这个啊，阐述了一下我们这个课程学习的啊，这个方法叫三遍学习法，有的同学说老师。那我第一遍可能都要花比较多的时间，那么哪有那么多时间来学三遍呢？其实最好时间呢，就是第一遍那么第二遍。

啊，你可以跟着这个视频再重新再听一遍，你也可以对照第一遍你所做的讲义上的笔记，对吧？然后进行快速的复习，第三遍的话就利用明确的时间。实际上呢嗯，大家只要认真的去操作，这个你会发现嗯，要不了那么多时间。但是呢，它也帮助我们完成了这个从懂到熟的这个过程好。我今天呢，给大家第一讲呢，我并不是直接啊，

并不是直接讲考点一而是。节选了考点13，14，15，先从这三个考点来切入，那么我为什么要从这三个点来切入呢？做一个说明。因为啊，我们这个考点一考点二考点三这里面呢，有很多定性的分析，而定性的分析跟定量的分析结合起来往往。理解起来不那么好理解，对吧？难度较大，所以呢，

第一堂课呢，我要从定量的分析，定量的分析呢，就是计算这个场面了。计算中的一些技巧让同学们呢啊找到一个切入点，发现噢，数学原来还是蛮有窍门的，数学里面这个运算还是蛮有意思的，数学里面的这些东西对吧？我按照循序渐进的说了呢，我完全可以把它把握住。抓的抓的牢，对吧？我们啊，还能够这个胸有成竹，

所以呢啊，这个第一堂课呢，为了让同学们找到一个好的切入点，我从十三十四十五这三个考点来进行切入。好，大家把讲义翻到对应的地方。啊，把假题放到对应的地方，我们看到考点。13那么考点13呢，这个地方呢叫数啊，是数轴与绝对值是吧？数轴与绝对值。大家呢，可以跟我同步做笔记啊。

为什么要同步做笔记呢？是因为考试的时候我们是边看题边写边分析的，而不是啊，读题的时候这不动笔那是不行的，对吧啊？这是要养成一个好习惯，所以呢要。手对吧？动手啊脑啊大脑思考，然后眼用眼观察对吧啊？然后要多五点一。绝对值的含义。那么，必须要跟数轴对吧？必须要跟数轴结合起来，

所以呢，我们把相关的基础点给大家呢，复习一下。数轴呢来，我把它画出来。我们画出来了一个带方向的这个啊，这么一个。线对吧？这是是零，然后这是负一。啊，这是负二。啊，这边是一。这边是二。

啊，这边是三我们那我们会发现呢，这个这就是啊，就是通过最直观的啊，这个感觉。来认识这个数轴。数轴首先它是有方向的。对吧，数轴它的要素，它有方向，这个方向是通过这个箭头来表示。好，第二，它有原点。对吧，

它有原点，原点就是这这个地方就是原点。是不是然后第三它有刻度？啊刻度呢？就是像我们这边啊，一二三负一负二包括负三对吧？它左右两边可以无穷延伸的。所以呢，数轴它是带方向啊，有原点和刻度啊，单位长度对吧？刻度就这个单位长度。那么，它包括这三个要素。那么这个数轴呢？

呃，它有什么作用呢？好，它的作用是这样的。第一，它可以用来比大小。对吧，它可以用来比大小那么。它的大小呢，是越往右边啊，越右边。越往右。数越大。越往左数越小，对不对？

所以我只写一个啊，越往右它的数越大，比如说哪是左右啊？左右要分清楚，这是左啊，这是右，你越往右边走，也就是越往这个箭头的方向。啊，走那么它的数就越大。这是第一个。第二个。啊，它跟绝对值挂钩了。啊，

它跟绝对值挂钩了，数轴跟绝对值是有关联的。那么，我们比如说这地方有一个这个，这我就举具体例子来说吧，比如说负二负二，两边加一个。两边啊，加竖线啊，表示负二的绝对值，这个绝对值表示什么呢？表示负二这个点与原点之间的距离。那不就是二了吗？所以负二的绝对值是二，也就是说数轴它可以直观的告诉我们绝对值。

到底是什么样的几何意义？对不对？它在图形上的意义表示的是距离，那么又比如说二的绝对值呢？那我就找二二的绝对值，对吧？在这地方，二二二在这地方，那么二它的绝对值是不是表示二跟圆点之间的距离是不是还是二？所以同学们注意了，我们就可以得出来啊，一个结论叫做负a的绝对值啊，跟a的绝对值实际上是相等的。对吧，负a的绝对值和a的绝对值是相等的，

因为啊，它是在原点左右两边a和负a是对称的，所以呢。啊，对称的两个点到原点的距离对吧？那当然是相等的了，所以负a的绝对值是等于a的绝对值的。好，那么同学们注意了，我们啊来做一个应用啊，这个数轴这地方要点一数轴，我们做一个应用。比如说啊，在数轴上啊，我再画一个数轴啊，

同学们跟着我一起来啊，我这边画了一个数轴。这个数轴上呢，它好像没有标刻度，它直接这边写了一个a，这边写了一个b，这边写了一个c。对吧，它没有标上刻度，说ABC到底是多少？那么这样的话，我就可以得出来用，刚才我们讲的这个作用比大小就越往右数字越大。那c在右边对不对？所以c它是要大于b的b又在a的右边，

所以b是要大于a的。明白吧，啊b是要大于a的。能理解吧b要大于a。好，那么下面呢？我们来做一个拓展。同学们，注意我们现在再做一个拓展。绝对值好，我们实际上这个拓展呢，我们就可以引申出来了啊，我们可以。啊，往前延伸一步，

这个绝对值。啊，绝对值a-b的绝对值，它表示什么意思？同学们注意了。它表示。a与b。之间的距离。诶，绝对值，它是表示距离的，对吧？它表示a与b之间的距离。那么，如果啊啊同学们注意了，

如这我们看这个，如果如果你a是大于b的。a是大于b的。那它的距离是不是就是应该是啊，我们。是不是就可以得到a-b的绝对值？是不是就等于a-b啊？对不对？如果a比b大的话。啊，是不是用大的减小的相当于是是不是如果a小于等于b？那么这个时候b就是大的了a-b的绝对值，它就等于b-a了，因为它表示距离嘛，是不是啊？

啊，比如说这个上面这个图，你看这个b，它在右边b在a的右边，那么a和b之间的距离是不是应该是就是b-a了？是不是所以啊？我们把上面这个应用把它往前再拓展一步，绝对值那a-b的绝对值，表示它到底等于什么呢？它它到底表示什么呢？它表示的是a与b之间的距离，那么它到底等于什么呢？就是看a和b谁大谁小了，如果a小大于b，那我就用大的减小的就是a-b了，

a-b的绝对值就等于a-b了。如果a小于等于b，那我就应该大大减小了，是不是b-a了？是不是啊？所以说啊，一个看似很简单的数轴，实际上它如果跟我们的。这个管理的联考对接起来。啊，它的要点我就给大家全部罗列出来，全部展示出来了，跟大家还做了讲解，对吧？好，

下面呢？我们再啊。啊，给大家呢，做一个示范，比如说三减去五的绝对值，我们应该用大的减小的，它应该等于五减三是等于二的。那么，五减三的绝对值，它是直接用大的，减小的是不是五减三等于二？因为它表示距离，它表示三和五之间的距离。三和五之间的距离，

三减五的绝对值表示，三和五之间的距离，五减三的绝对值也表示，五和三之间的距离，也就三和五之间的距离，五和三之间的距离，跟三和五之间的距离是一样的意思。所以它是相等的。是不是所以它是相等？所以这样的话，大家也会发现了a-b的绝对值和b-a的绝对值是一样的意思，那么对于基础比较薄弱的同学，现在跟上了没有？好，那么下面我们再看到要点二刚才讲的要点，

一是数轴以及啊，这个数轴的三啊，就是数轴的三个要素。啊，以及它的作用，它的作用呢，一是比大小，第二个是引出绝对值的含义，以及它的运算，下面我们看到要点二。好，我们看到要点二绝对值。首先呢，绝对值它有。两层含两个含义，

第一个含义呢是它的几何意义。对吧啊，第二个呢是它的代数意义那么几何意义呢？我们刚才呢？已经在前面讲绝对值的啊，讲数轴的时候给大家做了相应的铺垫，那么下面我再给大家呢？把它写出来。那这边是零，比如说这边是。啊，这边是这个。假设这是a啊，这是b。那这边呢？

是a啊，这边是b。好，那么同学们。啊，几何意义？表示比如说。a的绝对值。表示a与零与原点零之间的距离。对吧，由于a在原点的左侧，它是个负数，所以呢啊，我们可以得到a的绝对值，它是等于负a的。

是不是a的绝对值是等于负a的，在这个图形中。能明白吧，比如说a是负一的话，那么负一的绝对值是表示负一到零之间的距离，那当然是等于一了距离是。非负的对吧？好，我们再看到b的绝对值在上面这个图形中。它表示。b与零之间的距离。那么我们上面这个图形中注意啊，一定是要结合这个图形来分析啊，我们才能够啊把抽象的东西变得更加直观具体。啊好，

我们看b的绝对值，由于b是大于零的b是在零的，在原点的右侧，我们说过与越靠右。这个数就越大，那b在右边，那b在原点零的右边，说明b就比零要大，是个正数，对吧？大于零的时候是个正数。所以呢，b和b的绝对值等于b点和零之间的距离，它直接就等于b了。好，

我们再来看这个零零的绝对值。啊，它表示零与零之间的距离。啊，同一个点之间的距离，那不就是零吗？是不是啊？所以我们就可以得到零的绝对值就是等于零的。是不是零的绝对值就是等于零的？好，这是我们刚才给大家。啊，刚才给大家。结合前面的数轴，给大家写出来的几何意义好，

那么下面呢？我们再看到。啊，我们再看到右边这个啊啊，右边这个呢，它没有坐标原点啊，没有原点了，对不对？没有原点，那么我们怎么去理解它呢？同学们，没有原点的话。啊，没有原点，我们是不是看它谁靠左谁靠右啊？

是不是啊？所以同学们注意了，在这个图形中。a-b的绝对值。它表示。a与b。对吧，表示a与b之间的距离。它表示a与b之间的距离。啊，在我们这个图形中上图中。a-b的绝对值，它表示点a跟点b之间的距离，那b点在右边b是大的，所以我们大的减小的是不是就b-a了？

对不对？那么大家再大家再看到左边这个图形。那当我的b=0啊，就当我们呃b=0的时候，那么a-b的绝对值是不是就是a- 0的绝对值是不是表示a和零之间的距离了？所以左右两边它是统一的啊，它是能够统一起来的。好，下面呢？我们把这个几何意义啊？大家注意啊，我们把这个几何意义呢？呃。把它再提炼出它的不变的东西啊，我们从代数的角度再来给大家看一看，

绝对值的意义啊。所所以同学们注意了啊，绝对值x的绝对值，它的代数角度是这么来研究的，这么学习的就是如果啊x是小于零的。那么x的绝对值，它是等于负x的。如果x大于等于零。同学们注意了，或者说我把它分的更细一点啊，如果x它是等于零的对吧？那么这个x的绝对值就是零了。如果x大于等于零的话，那么同学们注意了，那么这个x的绝对值就等于它本身。

是吧，这是它的代数意义。好，我们再来研究这个。啊，涉及到啊，两个未知数了，比如说x-y的绝对值，表示x和y之间的距离。那么，同学们注意了啊，就是啊，如果x是小于y的。那么x-y的绝对值是啊，负的括号x-y。

是吧，负的x-y。那么x如果是等于y的话，那么它是不是就等于零了？对吧，如果x是大于y的话，那么它是用大的，是不是x-y了，实际上就是把我们。是不是就把我们左边这个x的绝对值对吧？我们相当于是把x-y当做一个整体来考虑了。是不是是不是相当于把x-y当这个整体好，我这地方有的同学可能没反应过来，我再我把这地方再重新写一下。那大家呢？

就是说我把x-y当做一个整体考虑。那么，把左边的这个情况应用过来，是不是就相当于是x-y当x-y小于零的时候？那么x-y的绝对值去绝对值好，是不是添添个负号就行了？对吧，当x-y=0的时候。啊，等于零的时候，那这个绝对值就等于零了，对吧？但x-y大于零的时候，那这个去绝对之后是不是就是x直接是x-y了？对不对好？

这是绝对值的。代数意义啊，绝对值的几何意义和代数意义。那么，我们进一步的提炼，我们不可能永远都是用这些最基本的东西去解决问题啊，这个地方我们可以。写上x-y的绝对值等于大减小，明白吧，我现在不清楚xy谁大谁小。对吧啊，我就可以用直接，如果它是具体的数字，我就直接用大减小。明白，

我前面跟大家讲过啊，举例子来说，比如说三减去五的绝对值，我就直接用大的减小的就是五减三是等于二的。如果你分不清xy的大小关系，那那么就要向我们这边进行分类探讨了，是不是这是它的代数意义好？OK，我们刚才呢跟大家呢？做了一点铺垫性的讲解，就是把我们数轴和绝对值它的意义给大家做了一个说明。那么下面呢？请大家看到啊，讲义上啊，这个例啊，

这个对应的例题，我们看了考点13。啊，考点13的例27。例27。ABC的呢，在数组上的位置如图所示那。注意了，这是个条件充分性判断的题型，唉，我在这边呢，首先跟大家把这个我们的呃，这种题型的结构说明一下啊。我们这种题型的结构啊，是这样的，

首先呢，它给一个结论出来。然后呢，下面有两个条件。所以啊，这个题目中的结构是。上面是结论。啊，这边呢，是条件是条件一。啊，这边呢是条件二。啊，它的结构是这样的，那么对于这种题目呢？

它的啊，选项规则是这样的，先做一个补充说明啊，把规则给大家做一个说明。规则呢是如果条件一单独能够推出结论来。但是条件二它推不出结论来。啊，所谓单独，就是我们看条件一的时候，就当条件二不存在条件一单独能够推结论，并且条件二单独不能够推结论。啊，那么这个时候我们人为的规定正确，答案选择a选项。那么，

如果条件一单独不能够推结推出结论来，条件二呢？单独可以推出结论来，那么这个时候我们人为的规定正确，答案是b选项。如果条件一它单独不能够推出结论来，条件二单独也不能够推出结论来。但是啊，它们联合能够推出结论来。好，我们看一看啊，如果他们条件一和条件二联合起来，能够推出结论来，那么这个时候我们人为规定。正确答案选择c选项。

如果条件一啊。我把这边稍微。挪一下啊。或者我把它放到这边来。节省一点空间。那么什么时候选d选项呢？d选项是？条件一，它单独能够推出结论来条件二，它单独也能够推出结论来，那么我们仍未规定正确答案，选择d选项。那么什么时候选e选项呢？好，大家注意了e选项，

我把它放在下面一点，跟那个c选项进行对比。啊一选项呢是条件一它单独不能够推出结论来条件二它单独也不能推出结论来。那么条件一跟条件二联合起来，也不能够推出结论了，那么我们仍未规定正确答案，选择e选项。是吧，这是它的这个。这个叫做条件充分性判断的一种题型啊，先给个结论，然后给两个条件。那么接下来啊，我们看到例27，这就是一个条件充分性判断的题型，

我把这个刚才的补充讲解的规则画一条虚线啊，把它隔开。啊，如果对规则不了解的同学可以看一看我们虚线右边的这个规则的讲解。下面呢，我们看到。这道题目。题目第一步，我们首先来研究条件，一条件一呢啊，我把这个数轴画出来。竖轴画出来。那么这个是。原点。这个是a。

这个是b啊，这个是c。嗯，那么我还是要跟大家复习到一个要点是在数轴上越靠越往哪边走，这个数越大呀。越往右边走，这个数就越大。对吧，我们这个数轴中条件一中这个数轴中告诉了原点，告诉了ABC的位置，那显然a在最右边，那a就是最大的。那b那c在最左边呢c就是最小的。是吧b夹在中间。好，

那么下面呢？我们就可以来进行化简了。结论中说b-a的绝对值。啊，加上c-b的绝对值，再加上啊，再减去再减去c的绝对值。那咱们画一下减。同学们注意了，我们前面给大家讲过x-y的绝对值，这种方式我们是不是应该用大的减小的？对不对？用大的减小的。是不是就是跟大家总结了x-y的绝对值啊它？是不是用大的减小的就行了，

那么谁大谁小，我是不是可以通过数轴上谁靠右谁就大？通过这种方式来啊，得到这个结果对不对？好，那么同学们看到那么b-a的绝对值。它等于a和b中用大的减小的，那么显然a靠右a就大嘛，所以它直接是等于什么呢？它直接是等于a-b注意，这边是括号啊。或者说这个绝对值号都可以直接去掉，这这个括号都不要，它是不是直接等于a-b了？好，

我们再来研究bc-b的绝对值啊，我们去绝对值号，它是应该等于大的减小的，又因为上面这个图形中b在数轴的靠右边。啊b在右c在左，所以呢，我应该用大的减小的，是不是应该是b-c啊？所以加上b-c。然后我们再看到这个CC的绝对值，又由于c是在原点的左边，对吧？所以呢c在原点的同学们注意了c在原点的左边。所以呢c的绝对值是等于负c的，所以这边应该是减去减去多少呢？

减去负c。是吧，减去负c。好，我们来化一下减啊，这边应该是等于a-b，加上b-c注意这边。负负得正对吧？负负得正，所以应该是加上c好我们。来减一个b+1个b，抵消减一个c+1个c，抵消所以最终的结果是多少呢？所以最终的结果它是等于a的。哟，

我们结论中说的就是这个绝对之后这个表达式化简之后就等于a。是不是啊？所以啊，因此啊。啊，这个故的意思就表示因此的意思，对吧？所以呢，这个一它是能够推出结论来的。对吧，括号一是能够推结论的好，那么我们第一步的工作就结束了，大家注意了，分析括号一能不能够推结论的时候，只看括号一，

只看条件一，不看括号二，也就不看条件二。这个要点一定要搞清楚。对吧，我们再来看它分析条件二。好条件二分析条件二的时候呢，我们再把这个数轴。我们再画一个数轴出来。嗯，这边呢，我们写上这是零。好，这是a。好，

这是b。这边是c。好，那么同学们，我们一起再来研究一下啊，这个b-a的绝对值，加上c-b的绝对值。再减去c的绝对值，这个时候我们准备进行运算，在条件二这个数轴上对吧？这个数轴上我们发现c是最靠右。c靠右越靠右，它的值就越大，所以c是最大的a是最靠左的，所以a的值是最小的b夹到中间。

好，我们还知道两个啊，这个b-a的绝对值，我是应该用大的减小的，此时此刻b是在a的左边，所以b比a要大，所以b-a的绝对值。在条件二的情况下，是不是应该化简之后是等于b-a的？大减小啊，注意啊，用大减小这边应该是大的，减小的是不是？啊好，那么我们再看到c-b的绝对值c在b的左啊右边，

所以c就是大的对不对？所以我们拒绝的时候应该是大减小，应该是c-b。那么c。是在零点的，是在原点的右边，所以c是个正数，那么c的绝对值是不是直接就等于c了，所以这边是减去c。下面我们把这个。化一下减没有这边一个bb-b=0了c-c是等于零了，那么通过这么一化简之后，我们发现得到的结果是。是什么呢？得到的结果是等于负a，

可是我们结论中啊，说那个绝对值化简之后得到的结果应该等于a，你现在得到的是负a，显然是。是不是推不出结论来了？对不对？所以要。写上来。所以条件二，它单独是推不出结论来的啊，它推不出结论来。那按照我们的规则来，同学们来看我们的规则是条件一能够推解呢，条件二不能够推解呢，按照我们的规则是不是正确答案应该是选择a选项。

是吧，这个时候我再次强调一下啊，有的同学说老师。这个题目怎么你abcd 1选项都没给我们那那你怎么知道选a啊？是不是这题目没写完呢？是不是这个题目有毛病呐？是不是题目有问题啊？没毛病。同学们，人家这种题目叫条件充分性判断啊叫。这种题目叫做。条件充分性判断c数学中的一种新题型，说它新呢，是因为很多同学没有见过它，没有见过这种题型，

它是人为规定的一种规则了。啊，说它不新呢，是因为咱们这个条件充分性判断的题型规则，在管理的联考中已经有十几年的历史了，考了十几年了。所以他并不信。对吧啊，其实同学们在以后学习的过程中，你可能会觉得好多知识点啊，好新呐，好多方法，你好新呐，你从来都没见过，但实际上他并不信他在数学历史上已经存在。

几十年，上百年了。只是说咱们不知道而已。对吧，只是说有些同学不知道而已，所以啊，我们要把这种啊这个。就是说这种啊，短板要快速的把它补上来。我们在这个新的世纪里面，国与国之间的战争不光光是军事装备，其实也是打了一个信息战。我们在考生群体中。所以呢，我们是不是也在打一种一一场战争叫信息战呢？

或者说啊，这个你掌握的方法，别别说你掌握的信息。啊，你拥有别人不拥有，那你就占优势，或者说你掌握的方法，你拥有别人不拥有，那你占优势，如果。别人都已经纳税于新的东西，你还是个新东西，对吧？你还是个陌生的东西，那这样的话，

你就算劣势了，所以同学们注意了，学习其实。呃，掌握了这些啊，它跟我们生活中啊，这个有很多密切的关系的，其实很多东西道理是相通的，那么这样既然明白了这个道理，我们就想办法把自己的实力提升上来。实力是最重要的广告。好，我们下面呢，看到第28题。第28题呢？

我这地方我要再次给同学们做一个复习。我要再次给同学们做一个复习，这个复习要点是这样的x的绝对值，同学们注意了啊x的绝对值，如果x是大于零的。那么它就直接去，绝对值好，如果x是等于零的，那么它就等于零了，如果x是啊是。小于零的同学们注意了，它就是负x。是不是x小于零，它就是负x，你看我们前面是不是讲过这个了，

只是我现在把这个顺序颠倒了一下而已。看同学们能不能适应过来，好有的同学说老师这么简单的东西，你还复习啊诶，我复习那肯定是有原因的。是因为这个看起来很简单，但是很容易犯错，好有的同学说老师，我怎么可能犯错呢？唉，大家还真别说啊，在考试过程中。命令老师很喜欢挑选那些你啊，很轻视的地方，你觉得very easy，

基本上没有任何难度的地方，他设置个小陷阱，比如说命令老师会这么设置陷阱。啊，考法。他说啊若。x是啊，若x是的绝对值是等于x的。则则可以得到一个什么结论，有的同学一上来毫不犹豫的就写上了x是大于零的。所以我们注意了这个。就错了。这个就错了。啊x的绝对值等于x这x大于零，这就不准确了。

应该写上什么呢？应该写上若x的绝对值等于x只要x啊，这个正确的结果啊。正确结果应该是x是大于等于零的。因为当x=0的时候x的绝对值也是等于它自己的。是不是啊？好，我们再看。若x的绝对值等于负x。这如果你看到这上面了，根据这个最基础的来，对不对？有人说x的绝对值等于负x，所以x是小于零的，注意了，

这个也是不对的啊。这个也是不对的。同学们啊，这个也要画一个叉叉。那么正确的结果呢？大家注意了。啊，这个正确的结果应该是啊，应该是这个x是小于等于零的。一定别忘了把这个等号挂起来。是吧，把这个等号挂起来。好，下面呢？我们再来看到考法二。

若x-y的绝对值，它直接等于x-y了。好，只要我们可以得到什么结果呢？这个时候啊，我们可以得到x-y要大于等于零，也就是x是要大于。等于y的。是不是x要大于等于y？若x-y的绝对值啊，它要等于y-x了啊，则我们可以得到应该是大于减小的，也就是说我们得到的结论啊。应该是y要大于等于x。是吧y要大于等于x看起来简单，

但实际上很容易犯错，一不小心就把这个等号是不是就给？是吧，相等的情况是不是给啊漏漏掉了？所以说数学啊，一方面是啊学方法，另外一方面就像打仗一样的。我们是不是要？这个全考虑全面了啊，一步，如果你考虑不全面，那么就容易这个中枪就容易。这个嗯，出现错误是不是好？我们下面来看到这个例28题的一个应用。

我们这道题目呢，它说x减去三的绝对值是等于三减去x，那我是不是马上可以得出来，它是应该去。拒绝了，他应该用大的减小的，所以三应该要大于等于x大的减小，所以一定要挂等号，所以三要大于等于x即。x是小于等于三了。是吧，所以这个题目正确答案选择d选项。对吧，选择4d选项。要选择4d选项。

好，那么这道题目呢？我还想给大家呢，做一个拓展。拓展就是x- 3的绝对值啊若。x- 3的绝对值。加上x- 4的绝对值。它啊啊它它等于等于多少呢？它等于一了。则则x的取值范围。这x的取值范围是多少？那么，像这个问题呢？我们怎么去解决它呢好？如果大家理解了我们刚才这个例28题所讲的这个基本原理，

对吧？它的这两种考法。实际上，这个题目呢，大家可以很巧妙的解决，像这个题目呢，这个拓展的这道题目呢，是难度较大的题目，但是呢，我们找到好的切入点之后，它实际上非常简单了。对吧，首先我们看到第一步。x- 3的绝对值。加上x- 4的绝对值，

我们可以它是等于一这个一呢，我们又可以把它写成什么呢？我们可以把它写成你看啊，它是等于等于四减三了是吧？等于四减三，所以呢，我们可以把它写成。x- 3。加上。四，减去x。是不是啊？我是不是可以这么写啊？我这边直接用括号把它括起来。那我再用括号把它括起来，

这是不是就变成了一呀？那我括。这样这个这个这个是不是就是把这个一做了一点变形了？是不是啊？把这个一写成x减三，加上四减x。那么我这么写了之后，大家会发现。那大家会发现什么呢？把它框起来啊。这一个啊。和这一个还有一个呢。诶，看一下啊。还有一个呢，

我用这个圆圈圈啊。啊啊，这一个它是不是变成了？这个对不对？好，我再用一个红色的线。那它是不是变成了这样的？好，那么我们根据绝对值的对应关系是不是第一步就做那个恒等变形了？没有做什么太多的东西。那么，第二步我们就可以得到那你x- 3的绝对值，你在运算的时候，这里面它隐含了这么一个运算关系，对不对？

x- 3的绝对值你等于x- 3了。那是不是就可以得出来？x是要大于等于三了，就大的减小的嘛，你x减去四的绝对值，你最后是等于四减去x。那我是不是应该用大的减小的也就是四是大的，所以四要大于等于x？是不是这两个要同时成立，所以最终我们是不是可以得出来？x是要小于等于四，要大于等于三，是不是很巧妙？就把这问题给解决了，所以同学们注意了，

最终的结果是x要小于等于四，要大于等于三。x要小于等于四，大于等于三。能理解吧。这是一种非常巧妙的一种思路和方法是吧？特别巧妙。那有的同学说老师，那你还能不能再出个题目给我做一下，我还想。试一试伸手好，那么下面我们再来看拓展二。或者二呢是这样的。若x- 3的绝对值啊若。x- 3的绝对值加上x- 4的绝对值，

它要等于2 x- 7。只要。好，这x的取值范围是？是什么？那这个题目呢？你看这个拓展拓展二跟咱们这个拓展一，实际上是有些关联的，大家可以啊，自己琢磨和体会啊，我跟大家呢去分析这种思路。首先第一步。我要把这个题目呢变一下形。啊x- 3的绝对值，加上x- 4的绝对值。

那么，这个2 x- 7我们是不是可以把它写成x- 3，加上x- 4啊？好对吧好。那我们再把这个。对号入座啊，我们把它实现对号入座。那这个。是不是变成了他呀？然后这个圆圈圈的内容是不是又变成了它呀？对不对？那么这是它的呃，也就说2 x- 7怎么来的？我是不是把它做了一个分解呀？也就是说，

我们不要被表面的东西所蒙蔽，我们要看到这个东西到底怎么产生的，是不是啊？叫顺藤摸瓜。嗯，好，我们这样的话就可以得出来噢x- 3的绝对值，原来去绝对值号之后，它是等于x- 3了。x- 4的绝对值去绝对值号之后，它等于x- 4了。而我们在前面给大家讲过绝对值嗯，在哪个地方讲过啊啊？在这个地方讲过x-y的绝对值，它是等于大减小的。

是不是啊？那我也可以反过来用啊，那你x- 3的绝对值等于x- 3，那我是不是就可以得出来大减小，那就x要比三要大了，对吧？当然是大于等于k挂等号的啊。所以呢，这边呢是x- 4的绝绝对值等于x- 4对吧？所以我们就可以得出来x是大于等于四的。那么，这两个需要同时成立，一方面x要大于等于三，另外一方面x要大于等于四，所以我们就可以得出来最终的结果就是x大于。

四，所以呢？这个x的取值范围就这个，有的同学说老师，你看原来这个例28题，如果给我去做，我觉得太简单了，一点意义都没有，一点含金量都没有。但是您这么一拓展，唉呦，我发现他真的不那个小看他不能轻敌啊。发现这个简单的原理。还是能解决复杂的问题的。对吧，

所以同学们注意了，学习的时候不管是简单还是难，我们不要只是看它的表面现象，我们一定要多追问自己。啊，如果你是命题老师，或者说命题老师可能会在这个地方。设置什么样的命题角度，这才是我们要琢磨的地方。那么飞哥呢？这十几年来啊。在教学的过程中啊跟。跟这个呃。啊，包括在平常上课的时候跟啊，

过往的一些命令老师啊，他们这个卸任之后啊，也也跟这个打扮上过课，所以呢？包括我们在做研究交流的过程中，我们就是对这个命题思路啊啊，应该说是很了解了。对吧，这是有些东西不能直接跟大家说而已，但是呢嗯。就是啊，这些命题角度，我通过其他的题目来给大家去示范啊，这个是没问题的。好，

这是。例题28，下面我们看到例题29。好，我们看到第二第29。这个题目呢，他说啊2 x- 1÷3的绝对值。是等于一减去二x。除以三。那么，同学们注意了这个呢？实际上，它是等于我稍微提一个负号出来，是不是要等于负的括号三分之二x减一啊？注意了，

我要把它当做一个整体，我们以前讲过了，说x的绝对值等于负x。那么我是可以得出来x是要小于等于零的。他是不是就考了这个考点了，只不过是他的表达式。画复杂了一点，我把这个当做一个整体，把这个当做一个整体，那不就是相当于是啊，一个数字绝对值等于啊，等于它的相反数吗？对吧？添了个负号。所以我直接可以得出来2 x- 1÷3，

这个东西是小于等于零的，从而我们可以解得二。2 x- 1小于等于零，可以得到x是小于等于。二分之一的。x小于等于二分之一，所以正确答案选择一选项。是吧，正确答案选择e选项好，那么同学们注意了，但是我发现第27题这种题目呢，是条件充分性判断这种新题型，第28题，第29题都是直接给了abcde五个选项了，像这种题目叫做。

问题求解对吧？所以呢，我们考试中数学有两种题型，第一种题型呢，叫做条件充分性啊，第一种题型叫问题求解，直接给出abcde五个选项了。那么，第二种题型呢？叫做条件充分性判断条件充分性判断呢？是这个嗯，不是在每一个题目后面啊？每一个题目，后面呢，没有给出abcd这样的五个选项，

它是给提前给我们约定了一个啊，选项的这个什么时候选a什么时候选b什么时候选c什么时候选选d什么时候选e是不是有个？提前约定了。对吧，好第29题呢啊，我想呢，给大家再做一个拓展。好，我们看到这个拓展题。这个拓展题呢，是这样的。若x的平方。减去啊，若x的平方啊，加上2 x- 3的绝对值。

它要等于。三减二x减x的平方。则则x的。取值范围。这x的取值范围是多少？那么，这个问题呢？我们一起来分析一下。首先第一步。我们把这个已知条件做一下变形x的平方，加上2 x- 3的绝对值，它要等于负的括号x的平方。加上2x啊，再减去三啊，再减去三。

对吧，这样的话，我把x的平方+2 x- 3看作是一个整体。那么我们就可以得出来，应该是x的平方，加上2 x- 3，它是不是得小于等于零了？对吧，我们的这个嗯规则啊，是a的绝对值等于负a，那么是可以推算出来a是小于等于零的。对吧，这是我们命题的着眼点。唉，有的同学说老师你写a的绝对值等于负a，

我可推算了a小于等于零，这个简单，但是。这个题目拓展的题目中搞这么复杂，我发现有点眩晕了，唉，实际上所以说我经常跟同学们说过。我们这个数学的学习啊，一定要透过现象看本质，不能够看表面的，我们逻辑的学习。啊，也是这样的，要透过现象看本质。好，

这是我们的第一步，那么下面呢？我们看到第二步，第二步呢？这是一个一元二次不等式，一元二次不等式呢？我们要分解因式。我们要分解因式，分解因式呢啊，注意了，这边呢，我们可以用十字交叉法，对吧？你当然我们也可以呃，这个提取公因式的方法，

那x的平方我正好呢。跟大家提前复习一下这个解决关系式的方法x的平方+2 x- 3，我们可以这样来，我们可以把它写成。x的平方。嗯，我看一下啊，应该怎么来呢？啊，我把它写成x的平方。减去x。加上3 x- 3，你看这个地方是可以复原的。是不是啊？它是给复原的。

啊减x+3 x是不是就等于相当于是加2x了？好，那么我为什么要这么去操作呢？这么去操作之后啊，我们可以提取公因式了，对吧？我们这在这叫这这在因式分解，那么这地方呢？提取公因式，那这边应该是x提个x出来，那么这边就是x×x- 1了，这边提个三出来是不是就变成了三×x- 1？好再提取个公因式是x- 1对吧？再提取个公因式x- 1，然后再乘以括号x。

加上三。对吧x- 1。啊乘以x+3。x- 1再乘以x+3。好，我们因式分解。因子分解之后，同学们注意了，所以呢啊。这个或波浪线的这个表达式，它就可以变成x- 1×x+3。它是小于等于零的。对吧，我们现在先用一下这个口诀，我们的口诀啊，

一元二次不等式，里面叫小于等于零夹中间。所以呢，甲在两根的中间x是要小于等于一对吧？要大于等于负三，大于等于负三啊。啊，这负三是从哪里来呢？就是x+3=0解出来，x是等于负三这个一从哪里来呢？x- 1=0对吧？让x- 1=0解出来，x=1。是不是啊？好，

这是我们所做的一个拓展，也就是说这个。好，大家注意了，这个拓展呢？好，这个拓展呢嗯。实际上呢，一方面是给大家复习了我们前面的例29所蕴含着的考点，另外一方面呢？也为我们。后续的复习做了一点铺垫，因为它涉及到了一元二次不等式求解的问题。求解决的问题，对吧？

这个可能有的同学呢啊，一看就能够回顾起来，有的同学说老师一元二次不等式，求解。我不会呀，怎么去因式分解？我也不会，不要着急，先把它记下来。记下来之后呢？我们后续啊，在学习因式分解的时候，在学习一元二次。啊，不能是去求解集的时候啊，

那么学完了之后你再回过来看一看。对吧，因为我们跟大家讲这个学习是要分三遍来啊。三遍的，所以呢，我们前后啊，大家会发现我们是瞻前也顾后，对吧？我们前后会有。这个铺垫关系呢，会有呼应关系的是啊，把它当做一盘棋来去下的。好，这是第29题，下面请同学们看到第30题。

第三十题，这道题目呢？它告诉我们a的绝对值是等于二分之一的。b的绝对值是等于一的。那么，要我们去求a的，要要我们去求a，加上b的绝对值是等于多少？对吧啊，是不这么一个问题啊？好，那么同学们注意了，我们首先来看。首先，我们来看到第一步。

好，我们看到第一步。由于这边呢a的绝对值等于二分之一，这有几种情况是不是啊？好，我们首先来研究一下啊，我们首先来。研究一下第一种情况啊啊，第一种情况是a等于。那呃，我看啊，这样来第一种情况a是等于二分之一的a大于零的时候是吧？因为a。可以等于二分之一，它a也可以等于负的二分之一。

是不是a等于二分之一啊？或者是。负的二分之一。那么这个b呢？是可以等于一或者是负一的。所以呢a+b啊，我们这个时候啊，要分几种情况，第一种情况。是吧，第一种情况呢，是a等于二分之一啊b等于一，这样的话我们可以得出来。a加b的绝对值，它是要等于啊，

它是要等于二分之一加上一的绝对值。它是等于二分之三的。好，第二种情况是。啊a等于二分之一。b要等于负一。那么，我们可以得出来。a加b的绝对值，它要等于二分之一，加上负一就减一了，它是等于负的二分之一的绝对值。它是等于二分之一的。好，第三种情况是。

a等于啊，第三种情况是a等于负啊，等于负的二分之一啊b是等于。b是等于负一的，那么这个时候我们可以得出来a+b的绝对值，它是要等于。负的二分之一减去一的绝对值，也就是等于负的二分之三的绝对值，它是等于二分之三的。好，我还有最后一种情况呢，我把它。放在这边来写。就是a等于负的二分之一啊b是等于一，那么这个时候我们可以推出来。

a加上b的绝对值是要等于负的二分之一，加上一的绝对值是等于二分之一的。诶，我们发现呢，这四种情况中有两种情况是啊，有两啊，你看。这个情况跟这个情况是一样的。还有这个二分之一跟这种情二分之一是一样的结果。所以虽然看起来有四种结果啊，四种情况，但是它的结果只有两个，它的结果是什么？好，它的结果是二分之一。

或者是二分之三。是吧，二分之一或者是二分之三。实际上，同学们。嗯啊，如果同学们去寻找它的规律的话，大家还可以获得更多的收获。其实啊。这个二分之一。就是这两个的差。这个二分之三就这两个的和。就是它的和差。好，所以呢，

我在这地方呢，我要跟同学们做一个拓展。我们要深挖。啊，大家看到拓展一。再来看这个拓展一。若a的绝对值等于二。b的绝对值等于五。则a+b的绝对值等于多少？这a+b的绝对值等于多少？来大家可以操作一下。a+b的绝对值等于多少呢？啊a+b的绝对值等于多少有两种情况？第一种情况是它的和。就是二+5。

等于七。第二种结果呢，是差，就是注意用大的减小的啊，五减二等于三，也就是它的结果是三或者是七。所以对不对？所以这边呢，结果啊答案。啊，他的答案应该是三。啊，或者是七。三或者是七。好，

我们再看呢，拓展二。我把上面的这个内容同学们注意了，我把上面的这个稍作变化。啊，我看看啊。我们把一些。我稍作变化。啊，我把你看原来这个地方呢，是加号对吧？这边呢，现在变成减号了，我说a-d的绝对值呢？同学们注意了，

并不改变结果，它的结果依然是和二+5=7。它的差依然是五点二=3，也就是说它的结果还是三或七。是不很神奇呀？对吧，很神奇。所以我们看一看它的一般规律。它的一般规律是。啊若。a的绝对值等于m。b的绝对值等于n。则a+b的绝对值等于多少，它是等于啊，它是等于。

啊mn。的和。或者是差。注意这个差的是大减小啊。大减去小啊。它是等于mn的和或者是差。好同样的道理，如果我们把这中间的减加号换成减号。它的结果依然是一样的。它的结果依然是一样的。那么，我们上面的这个拓展一和拓展二啊，以及这个一般规律的总结是怎么来的呢？就是根据例30。第一步和第二步分类讨论得到的对吧？

第一步有几种情况？第二步我们再把这个这几种情况呢逐一去计算。所以有的同学说，老师这例30题我一算，很快就算出来了，但是你没有获得它的养料，每一道题目它都有它的用意，每一道题目。对吧，它都啊，它都有它自身的养料，我们必须要吸取它的营养，挖掘它背后到底。啊，预示了命题，

老师怎么会命题？只有把这背后的东西把它挖掘到了。我们这个学习才算是彻底的，有很多同学呢嗯，喜欢。这个啊，用自己的感觉去判断它有没有价值，这个是不对的。一定要去借助题目啊，借助这道这每一道题目，它只是我们的一个载体，是一个导火索，是一个引子而已。对吧，要把它背后的东西把它引出来。

好，这个第30题我就跟大家讲到这里，下面请同学们看到第31题。好，我们看到第31题。已知a的绝对值等于5b的绝对绝对值等于7 AB是小于零的，哎呦！这个第31题跟第30题好像有点关系啊，好，我们把它写下来啊a的绝对值是等于五的。b的绝对值是等于七的。a×b是小于零的。则a-b的绝对值是等于多少？是吧，好，

我们首先第一步。我要问一下大家啊，这个a×b小于零是什么意思？这个意思表示的是？诶。b是异号的。AB是异号的啊AB是异号的AB异号的意思是指如果a我正了b我负了。对吧好，所以呢，我们分情况讨论的时候是有两种情况。对吧，所以呢，我们就可以得出来，有两种情况，第一种情况呢，

是a是正的。啊，就等于五了b是负的，就是负七的。对吧，第二种情况呢是？a是负的，a=- 5，那么这b呢？是正的是正七。是不是啊？好，这是第一步。好第二步。那么下面我们再来看一看，

对于第一种情况啊，来我们把这两种情况呢，把它再单独计算一下。不要怕麻烦啊。那么我们这边可以得到a减b的绝对值诶，它是不是应该等于五减负七啊？五减去负七。的绝对值，它是要等于五+7的绝对值是要等于12的。这边a减b的绝对值是要等于负五减去七的绝对值。c要等于负12的绝对值c要等于12。诶，结果怎么只有一个呢？好同学们注意了。这边我把它写下来，

它的结果啊，只有一个，就是12。对吧，它的结果只有一个是12，所以这个题目正确答案选择b选项。正确答案选择b选项。你看我们前面这个例30题，它的有两个结果对吧？正确答案是不是选择4d选项？那么，我们前面的第30题呢？又给大家做了一个一般规律的总结，这个30题跟31题呢？又好像有一点相似之处。

如果像第30题，它没有告诉我们AB是同号还是异号，那么a+b的绝对值有两个结果。a-b的绝对值也有两个结果。对吧，它的结果分别是啊，分别是这个mn的和与差。如果像第31题。他额外的给了一个条件，告诉我们AB的正负。那么，它的结果就这唯一的一个。明白吧，它的结果就只有唯一的一个。实际上呢AB是呃AB是一号的时候，

你发现这a-b的这个这个12实际上是哪里来呢？就是五+7嘛？五+7是不是就是它的和啊？是不是啊？好掌握这个规律就可以了啊，我们这地方呢嗯，就不再去跟着你们去细致的分很多东西了，因为有的时候啊。就是有些内容，我们要深究，有些东西你掌握规律，自己算就行了。啊，大脑中并不是说背的东西越多越好，建立在理解的基础上是最好的。

好，下面请同学们看到第32题。第32题呢，又是一个条件充分性判断的题型了，对吧？我们一起来看这道题目，首先看到第一个条件一。条件一呢，告诉我们说x比上y是等于三的，所以我们可以得到x是等于3y。那么这样的话，我们是不是就可以得到x？加上y的绝对值比上x-y，把它带进来x=3 y，所以呢，

3 y+y的绝对值。比上x=3 y代到分母中，那么3 y-y，所以我们这边是不是就可以得到应该是？4y的绝对值比上2y诶。同学们注意了，我们进一步的写它应该是等于二×y的绝对值比上y。同学们注意了哦，现在如果y是大于零。那么y的绝对值就等于y那么这分母分子分母可以约分约掉，它直接等于二，如果y的绝对值。呃，如果y是负的。那么y的绝对值除以y的话y的绝对值等于负y那那那这地方是不是就等于负一了？

那么，二乘以负一是等于负一的，也就说这个结果你看最终得到的这个结果，它不一定等于二。是不是啊？它要等于二。或者是负二，可是你结论说只能等于二，那显然是不是就推不出结论来了？所以条件一。是推不出结论来的。条件一，推不出结论来。好，下面我们看到第二步，

它说x比上y是等于三分之一的，所以我们可以得到。啊y啊，我们可以得到这个y是等于三啊y啊，这个这个y是等于3x的。好，我们把它带进来，也就是带到。这个表达式里面x+y的绝对值。比上x-y，它应该要等于这个这个x+3 x的绝对值。比上x- 3x对吧？它是等于负2x分之。4x的绝对值诶，它应该等于负二×x的绝对值比上x。

诶，那么这样的话，同学们注意又涉及到了这个x的绝对值号。是不是x的绝对值号？我去，绝对值号它到底等于多少呢？如果x大于零，那么x的绝对值就等于x了。如果x小于零，那么x的绝对值就等于负x了，所以x的绝对值除以x，它有可能等于一，也有可能等于负一。对吧，所以呢，

它依然是等于二啊，或者是负二。所以啊，给你们注意了，第二个条件。它是推不出结论来的。对吧，条件一不能推结论，条件二也不能够推结论，大家注意了，题目还没有做完。还要进一步的把一二联合。所谓一二联合，是指既要满足条件一，又要满足条件二，

那我们看x比y=3。并且x比上y等于三分之一。这不可能呐，对吧？你一方面等于三，你另外一方面等于三分之一，这是不是叫做矛盾了？是不是啊？这给的条件是互相冲突的，是矛盾的。所以呢，你已知条件都是互相对立，互相保护的呢，它不可能联合起来推结论啊，所以呢，

联合起来。它也不能够推出结论来。我们前面啊，给大家讲过啊，在比较靠前的地方给大家讲过规则啊，条件充分性判断的规则是。如果条件一不能够推结论，单独不能推结论条件二单独也不能够推结论条件一跟条件二联合起来，也不能推结论，这个时候我们的。啊，这个时候我们的正确答案是不应该是选择。e选项。是不是啊？选择e选项好，

这是我们的第32题。好，我在这地方呢，给同学们做一个小结。我们把整个解题过程中有价值的地方给大家做一个提炼，就是x的绝对值比上x，它是等于一。或者是负一的。对吧，好若x是大于零的，我们可以得出来x的绝对值比上x，它是等于正一的。若x是小于零的，我们可以得出来x的绝对值比上x，它是等于负一的。

好，另外一方面。请大家做一个对比。啊好，请大家做一个对比啊。对比呢，是这样的。说已知啊，已知x的绝对值等于x，我们可以得出来。x是大于等于零的。已知x的绝对值比上x是等于一的，我们可以得出来x只能是大于零。所以符号的区别。这边是大于等于。

这边是大于。它没有等号了，因为。x在分母中出现。所以它不能够是等号。是不是啊？好，这是第一组对比。那么，第二种对比呢是？已知x的绝对值等于负x，我们可以得到x是小于等于零的。那已知x的绝对值啊。啊比上x是等于负一的。对吧，

那么我们可以得出来x是小于零的。对吧好，这是。这是对比学习。是吧，这个对比学习非常重要。好，那么下面呢？我们看到第33题。我们看到第33题，若xy是实数，则x的绝对值加上y的绝对值等于x-y的绝对值。那么，这是它的结论对吧？若xy是实数，

这是公共已知条件，只要它后面是结论啊，对吧？x的绝对值加y的绝对值等于x-y的绝对值，这是它的结论。好，下面我们首先看到第一个条件。第一步啊，第一个条件呢，它说啊x是大于零的。啊y呢，是小于零的好，我们一起来分析啊，来把这个化简x的绝对值加上y的绝对值。它是首先我们我们从啊。

我们兵分两路来好不好？兵分两路，这个我们直接去，绝对值好。x是大于零的，大于零的数啊的绝对值就等于它本身。y是小于零的，所以y的绝对值啊，应该等于负y，所以就变成了x，加上负y，那实际上就等于x-y了。是吧，就等x-y。好x-y的绝对值。

x-y的绝对值。同学们注意了，因为啊x-y的绝对值是等于大减小，对吧？去绝对值号的时候是应该用大的减小的x是大于零的y是小于零，那那显然x比y要大。所以它是等于x-y的。那么这个。左边和右边是不是都等于x-y啊？对吧，因此我们可以推出来x的绝对值，加上y的绝对值是。是等于x-y的绝对值的，所以它是能够推出结论的。能推结论好，

这是我们的第一步，下面我们看到第二步。第二个条件呢，说x是小于零的。y是大于零的好，我们也兵分两路。x的绝对值加上y的绝对值，咱们去绝对值号啊x是小于零的，所以x的绝对值应该是等于负x。y是大于零的，所以y的绝对值就是它本身，所以它是等于负x+y。我们再来看x-y的绝对值，它应该等于大的减小的，对吧？

呃，这个大的减小的话，那么x小于零。它是小的y大于零，是大的是不是y大于x，所以应该用大的减小的是不是应该是y-x？好，大家注意了，负x+y它就等于y-x啊，所以这两个是相等的。对不对？所以呢，同学们注意了这个条件二。它也是能够推出啊，这个x的绝对值加y的绝对值等于x-y的绝对值的，

它才能够推解呢。那么，按照我们前面讲的题型，规则，条件，一跟条件二都能够推结论啊，分别都能都能够推结论，那么这个题目就讲完了，正确答案是不是应该是按照规则？选哪一个？按照我们的题型规则，是不是应该是选择4d选项？注意了啊，这个题目。按照我们的规则选择4d选项啊，

像这种条件充分性判断的题型啊，它的题目的后面并没有跟上abcde，这样选项是不是要我们按照提前约定的规则去解题？能理解吧，要按照提前约定的规则去解题。好，大家注意，我在这地方呢，想跟同学们呢，再进一步的做一些拓展。好，我们来做一个拓展。x的绝对值加上y的绝对值，它有个横等式，它是要大于等于。

x+y的绝对值了。这是第一个要点。啊，或者我这样来写啊。这是要点一。那么这边呢？我们把它对照起来写要点二。x的绝对值。加上y的绝对值。它也是大于等于x-y的绝对值。是吧x的绝对值加上y的绝对值，它是大于等于x-y的绝对值。啊，大于等于x-y的绝对值。那么，

我们很自然就要想到。什么时候举点号？对不对？什么时候什么时候取等号？啊，注意了啊，当x的绝对值啊，注意了，我们这么写吧。这个x的绝对值。加上y的绝对值等于x，加上y的绝对值。这个呢，它是等价于。它等价于什么呢？

等价于xy是大于等于零的，也就是说它是同号的。或者说有其中有一个为零。好，再来看到这边。这边呢，我们可以写得到啊，就是x的绝对值，加上y的绝对值，它等于x-y的绝对值。好同学们注意了。这个呢，是等价于x×y是小于。等于零的。是小于等于零的。

明白吧，是小于等于零的。就是说怎么去记啊？这实际上是为我们后面这个拓展啊，拓展的要点一和要点二啊，是为我们后面应试技巧强化阶段的学习做一个铺垫的，因为我们现在属于是基础阶段，对吧？我们基础班。这个课程刚刚开始。但是我们不能够只是停留在基础阶段，我们一定要为后面做一点铺垫啊。就是说我们这个学习必须是个开放式的学习，要能够往前拓展的，要能往前做延伸的。

那怎么去记它呢？我现在不讲它的它，它是为什么我们在后面在应试技巧强化阶段会跟大家去讲解？那我现在呢，先让大家认识它是个什么东西，怎么去把它记下来，就是说这边啊，你会发现这个绝对值号里面是。x+y对吧？这个加号的时候对应的就是正就是大于等于零。加号是不是就是正号？正好是不是就大于等于零了？好，你看这个绝对号里面是不是一个减号啊？这个减号。

就是负。对吧，减号就是负号。负号是不是就对应的是要小于等于零对不对？是不是把零挂上啊？注意把零挂上。能理解吧。啊x的绝对值加上y的绝对值，它也大于等于x+y的绝对值。能理解吧，它要大于等于啊，它要大于等于。x+y的绝对值。它大于等于x，加上y的绝对值。

好，我们现在呢？我们再重新。回到前面一道题目。对吧，前面呢有一道题目就是这个啊，拓展一和拓展二对吧？好，可以注意了啊，我们来看一看，我们重新再从另外一个角度。看一看这两道题目。回顾。啊x。减去三的绝对值。

加上x- 4的绝对值等于一。cl.这x的取值范围是什么？这边呢，是2x。是2 x- 7。是吧，那么我们当时是不是已经给大家从几绝对值的几何意义的角度做了讲解，我们现在呢？给它大家呢，再从另外一个角度再来做一个分析。啊，这个我可以把它写成什么呢？写成x- 3的绝对值，加上x- 4啊，

我们再认识。这个绝对值是不是可以把它写成写成什么呀？写成三减二。我们可以这样来写。可以把它写成。x- 3。啊，加上。四，减去x。天格绝对是好。也就是我们可以得到啊，我们把这个x减四的绝对值跟四减x的绝对值，它是相等的。是不是啊？

为什么它是相等呢？那为什么它是相等的？因为x- 4的绝对值表示。数轴上x与四之间的距离。四减x的绝对值，它也表示，数轴上x与四之间的距离啊，或者说四与x之间的距离，它俩都是一样的意思。是不是那么这样的话，我是不是就可以呃这个左边这个左边我把它变成我把它变成这个？这个右边呢，我把它变成这个，哎，我一看到这个样子，

是不是就是出现了上面拓展一的拓展拓展中的这个要点一的这种形式啊？x的绝对值加y的绝对值等于x+y的绝对值。那我是不是就可以得到它俩，应该是大于等于零的，乘起来也就是x- 3。乘以四减去x。它得大于等于零。对吧x-3×4-x加大于等于零。啊x减去三乘，以x减去三乘，以四减去x，它是要大于等于零的。好，这样的话，我们就可以进一步的得到。

啊，这就是一个减一元二次不等式了，我们进一步给它了x- 3乘以左右两边，同时乘以一个负号，对吧？啊，把这个等号两边同时乘以负号，不等号要变号，它也小于等于零，所以我们是不是可以得到小于等于零加中间，所以应该是小于等于四，大于等于三。你看从这个角度。从这个角度是不是一样的啦？是不是跟我们前面的是一样的，

而我们刚才所回啊，就是所应用的这个要点就是我们拓展要点中的要点一。而我们拓点拓展中的要点一和要点二，就是由第33题中的结论的样子体现出来。我们第33题的结论中的样子是这个。是不是是不是这个样子？能理解吧，好那么。我们进一步的来看这个。好，我们再来再认识。我们再来再认识那x- 3的绝对值，左边我照抄。啊，右边这个2 x- 7，

我把它写成x- 3。加上x- 4的绝对值。诶，右边我变形了，左边我没变照抄。这样的话，我是不是就可以得出来，应该是x- 3×x- 4。它也大于等于零，大于等于零啊，一元二次不等式的求解方法，我们现在还没给大家讲到，但是呢，因为这都是我们所。用的这些知识要点呢，

都是我们初中高中所学过的东西，对吧？只是很多同学都遗忘了，我现在先把它拿过来用一下，我们后面啊，它会可能要详细展开了。啊，这边应该是大于大的，小于小的，对吧？所以小于等于三啊，或者是x要大于等于四。诶，同学们。同学们，

看一看这地方有没有什么问题？大家看看有没有什么问题？我为什么我提出来这么一个问题，我这这么一句话呢，我说有没有什么问题，因为我发现这地方算出来，结果跟我们前面。好像有点不一样啊，我们前面的结果来来来，同学们看到这个拓展二就这就这道题目，我们的结果是x要大于等于四啊。有没有同学注意到这个问题？啊，有没有同学把这个问题关注到了，然后怎么去解决？

怎么去解决？原因是。啊，为什么会有这种差异呢？其实还因为我们用这个现在所讲的这个申论去做的时候，你还要稍微注意一点。这个2 x- 7啊，是两个绝对值啊x- 3的绝对值，加x- 4的绝对值，两个绝对值相加呢，肯定是非负的。所以我们是不是还有一个要点要补充上来呀？2 x- 7，你必须是大于等于零的。所以呢，

我们可以得到x对吧？是要大于等于三点五的，那你当然x小于等于三是不是要舍掉啊？所以只能留下x大于等于四。对不对？所以同学们注意了两种方法，对吧？两种方法前面那个方法。看起来啊，就用的都是很很轻很简单，对吧？很低级的方法，但实际上就是这种定义的方法，不仅能够保证我们的安全，做出正确答案来。

而且非常简洁，你看后面这种高级的方法。还带有陷阱，而后面这种高级的方法，也就是我们在应试技巧强化阶段，要给大家讲的方法，你会发现。嗯，如一不小心是容易犯错的，这就是为什么我特别强调同学们基础阶段的课程是不可或缺的。是因为基础阶段里面的一些很基础的方法，它按你你如果能够找到合适的切入点，也就是命题老师的命题点。那么你会发现，这些基础阶段的啊，

基础课程里面给大家讲的方法不仅。实用而且安全可靠。好，那么下面呢？我给点时间呢，大家理解和消化，我们考点13所讲解的这几道例题，以及给大家做的知识要点的补充。和啊，这个拓展啊，题目的讲解好，大家抓紧时间消化一下，然后呢，我再跟大家接着往后讲解。好同学们，

那么下面呢？我们继续接着往前讲解，大家把讲义翻到考点14啊，所以给接着往讲义考点14。考点14呢啊，是分式的恒等变形。啊，尤其是。技巧性的运算叫列项求和的技巧，对吧？好，我们下面呢，先给大家呢，这个讲解一下基础知识。首先讲一讲。

分数的运算。首先呢，我们看到加减啊。加法呢，是如果分母是相同的。啊，如果分母是相同的，比如说啊，比如说这个。嗯，这个c分之a。加上c分之b。那么，我们可以得到这样吧，我用小写字母来写好吧？

c分之a。加上c分之b，那它的分母是相同的。那么，分母相同的两个分数相加，那么它的分母还是原来的分母，对吧？它的分子呢？就是这个原来的两个分子相加等于c分之a加b。这是第一个。那么，如果它的分母不同，比如说变成了这个c分之a。加上啊d分之b。对吧，

它的分母是不一样的。那么，我们首先要把它的分母变成一样的分母变分母变成一样的，就找c和d的公倍数对吧？如当然，我们也可以找它的最小公倍数，我们也可以不找它的最小公倍数，比如说在这个地方，我直接把它变成CD。是吧，第一个分子分母同时乘以b，那么这边就是CD分之AD。第二个分数呢，分子分母同时乘以c，所以变成了CD分子BC。

这样的话，把它变成分母一样的啊，这个两个分数相加，它应该等于CD分之AD加上BC。啊，这些不需要去死记硬背啊，这些公式只需要知道它的规则就是同分母相加，同分母的两个分数相加。分母保持不变，直接把分子相加就可以了。啊异分母的两个分数相加，首先要把它变成分子分母相同的两个分数啊对对对，把它变成分母相同的两个分数相加。对不对好？这是加法，

那么如果是。变成减法呢，实际上这问题呢，就是那我用。我用蓝色的笔来写啊。如果是减法的话。啊啊，我们看c分之a。减去c分之b，它应该是等于c分之a减去b。第二个c分之a啊，减去d分之b。它应该是我们把这个这边写成CD分之AD。对吧，分母都变成CD，

这边是CD分之BC好，那么分母变成一样之后应该是CD分之。ad-bc。其实，加法跟减法是类似的是吧？好，这是它的规则，那么下面呢？我们再看到它的乘法与除法。啊，分数的乘法，比如说。c分之a。乘以d分之b，它是等于分母相乘。

作为新的分母分子，相乘作为新的分子。这是乘法。好，我们再来看到除号。c分之a除以d分之b注意了除以一个分数等于乘以这个分数的。导数对吧？或者说它的倒数，那么就是c分之a乘以b分之d，它要等于BC分之。AD好，这样的话。加减乘除它的规则，我们都有了。就这么简单的一个规则，

实际上呢，它就可以作为我们。啊，命令老师他，他就可以命中啊，命中出。各种带有技巧性的运算，要我们去计算。比如说啊，同学们，比如说这个嗯。来大家看到这边。比如说这个最基本的原理，对吧？我们刚才跟大家讲过c分之a减去c分之b。

它是等于c分之a减b，对吧？我们反过来。我们反过来c分之a减b是等于c分之a减去c分之b的。这原理呢，非常简单，但是呢，它应用起来的时候啊，可以命制比较啊，就是难度较高的题目。比如说我们来应用一下啊，我们应用一下，你看啊，这边我写这么一个表达式，叫做叫做二×3分之。

二乘三分之一，我可以把它写成二乘三分之三减二。它要等于二乘三分之三减去二乘三分之二诶分子分母，咱们又遇到了可以约分的。这一月这一月变成了一，这变成了一，再跟这个一约啊，再变成了一，再变成了一，这么就得到了是二分之一。减去三分之一。诶，是不是可以可以变形了？我们再来。我们再来做一个恒等变形，

比如说三乘以四分之一，它要等于。三乘以四分之四减三，它要等于三乘以四分之四。减去三乘以四分之三，它也等于约分约分，对吧？约了之后都写成一。啊，这边约分约分这个都写上一，所以它应该是等于三分之一减去四分之一的。是不是啊？它是可以，你看这个分数的。这个加减，

我们刚才是分数的减法的运算，把它反过来用。对吧，是不是产生一种？比较奇妙的效果好，我们来观察。我们刚才呢，已经得到了这样的几个，第一个是二乘以三分之一是等于三分之一减去啊，等于二分之一减去三分之一了。等于二分之一减去三分之一。那么第二个呢是？三乘以四分之一啊，它是要等于三分之一减去四分之一的。对吧，

好，我们再来看这边呢，是四乘以五分之一，它要等于。四分之一减去五分之一。对吧，是不是以此类推啊？我们多写几个啊，看能够发现什么东西，五乘以六分之一，它是要等于五分之一减去六分之一的。啊，那比如说六乘以七分之一，它是要等于六分之一减去七分之一的。那么，

我如果把它全部累加，会产生一个什么样的效果呢？对吧，我们累加起来累加起来呢，就变成了二乘以三分之一。加上三乘以四分之一，加上四乘以五分之一。加上啊，我把它写全。五乘以六分之一加上六乘以七分之一。好，这边的话应该是等于二分之一减去三分之一，加上三分之一减去四分之一。加上四分之一减去五分之一，加上五分之一减去六分之一，

加上六分之一减去七分之一。好，那么减一个加一个，减一个加一个，减一个加一个，减一个加一个，好，最终得到的结果是二。二分之一减去七分之一，唉，你看我们本来是比较复杂的几个分数相加。结果我们通过恒等变形，把好长一串。连环抵消了，那么最终得到的只是二分之一减七分之一，

这就好算了，然后我们再用一分母。啊的分数相减相加减的这个思路，把它全部变成二七十四，是不是变成了二分之一分子分母同时乘以七？十四分之七，这个七分之一分子分母同时乘以二也。十四分之二，所以呢，我们算出来结果是等于。十四分之五，你看一个非常基本的这个运算规则啊，可能很多同学都看不起他，瞧不起他，很鄙视他，

这么简单一点东西。对吧，但实际上我们。我们前面跟大家已经反复强调过学习的时候，千万不要轻敌，我们一定要透过现象看本质，我们一定要把这个基本规则。基础阶段的基本规则跟考试对就行了，对吧？这样的话你就学有所用。学了能用得上，用了能搞对，是不是啊？好下面呢我们？再来研究一下。

我们进一步的啊，来做一个拓展。那我们进一步的做一个拓展。这个拓展呢，我们也来去尝试找一些规律啊，比如说这个啊，三×5。分之一，大家跟着我一块来看，我就可以把它写成啊，或者说三乘以五分之二。我们可以把它写成三乘以五分之五减三，这个二我把它变成五减三。然后我再利用分数的减法运算的，这个反过来用对吧？

它就变成了三乘以五分之五。减去三乘以五分之三。好，这个地方可以约分约掉啊，约分之后就变成了一这个跟这边约分约掉，它就变成了一。所以呢，我们这边计算出来是等于三分之一减去五分之一。是吧，三分之一减去五分之一。好，这是第一个，我们进一步的观察。五乘以七分之二。我们可以得出来，

应该是应该是啊，把这个分子啊，分母照抄分子的二把它换成七减五。好，这边你变成了什么呢？变成了五乘七分之七，减乘减去五乘七分之五。对吧，五乘七分之七减去五乘七分之五。好，这边呢，我们进一步的得出来，应该是等于五分之一减去七分之一。是吧，五分之一减去七分之一。

啊，我们再来看到往后写。七乘以九分之二啊，我们再来做横等边形，它要等于七乘以九分之七。七啊，或者说九减去七对吧，它应该等于七乘以九分之九。减去七乘以九分之七，你看约个分儿九跟九约分约掉，这剩下一这剩下一。七跟七约掉这剩下一这个地方，剩下一是不是啊？所以呢啊，我们把它写上来，

那么它应该是等于。七分之一减去九分之一。好，我们。这样吧，再多写一多，再多写一项，它应该是等于九啊，我们的九乘以十一分之二。好，可以恒等变形成为九乘以十一分之十一减九，好，我们把它展开。应该是九乘以十一分之十一减去九乘以十一分之九继续约分，这一约这一约这一约这一约是吧？

啊，实际上呢？约之后呢？就变成了九分之一，减去十一分之一。九分之一。减去十一分之一。好同学们注意了，我们现在呢？把这个准备累加。哪家呢？我用这个蓝色的笔来去写这个啊，左边啊这一串全部加起来。它要等于最右边的这一串全部加起来，对吧？

所以应该是三乘以五分之二。加上五乘以七分之二，加上七乘以九分之二。加上九乘以十一分之二，它应该是等于。三分最把最右边的这个圈圈加总起来应该是三分之一减去五分之一。对吧，加这是第一项。第二项呢，是五分之一减去七分之一，加上七分之一减去九分之一。加上九分之一减去十一分之一。好，那么减一项加一项减一项加一项减一项加一项，好，

最终得到的结果。它应该是等于三分之一减去十一分之一。好，我们把它变成一样的分母，应该是三十三分之十一减去三十三分之三分的分母。是不是变成就是把这个两个分数的分母变成一样了，分子分母也要同时扩大了，对不对？好，这样的话就等于。三十三分之八。三十三分之八。好，那么我们更进一步的往前再来做一个推理。嗯，

我看一下啊，我们。我们再把再我用红笔来写吧。比如说这个问题变成了三乘以五分之一。加上五乘以七分之一。对吧，加上七乘以九分之一。加上九乘以十一分之一。那么最终。等于多少呢？是不是应该是在如果我说上面这个整体为a大写字母a的话，它是不是应该等于二分之一？乘以a啊，而a我们已经求出来是等于三十三分之八，对吧？

所以它应该是等于二分之一乘以。三十三分之八，它要等于等于六十六分之八是等于三十三分之四约分之后。是不是啊？好通过我们刚才的这个呃引导，实际上呢，我们得出来了，这个分式列项。求和连环比下的这个技巧呢，已经给大家对吧展示出来了。那么下面呢？嗯，我准备应用上来给大家解两道题，大家看到例34。好，

大家看到例34。那13。乘以十五分之一。加上十五乘以十七分之一。加上省略号。啊，一直加到三十七乘以三十九分之一。同学们注意了，他要去求这个值，我设这个值等于a。可不可以啊？那是可以的。然后第一步。我先去求，我发现这个分母中的两个数啊，

它是相差为二的。是不是啊？相差为二。所以呢，我要准备相差分母中的两个相乘的说相差几，我就乘以几倍。所以呢，我们就可以得到2a。二a要等于十三乘以十五分之二。好，这边是十五乘以十七分之二好，我多写几项吧。十七乘以十九分之二。好同学们，注意了，

后面中间打省略号的地方，我多写几项啊，19×2。二十一分之二啊，一直往后加，加到三十七乘以。三十九分之二。好，那么写了这一步之后，我们就可以列项了，我们可以怎么写呢？我们再再再来一下啊，13×15分之。那么，我们把这个二呢写成15-13。

这边是十五乘十七分之二，这个二我们把它写成十七减去十五。十七乘以十九分之二，这个二呢？可以写成十九减去十七。十九乘以二十一分之二，这个边写成二十一减去十九。好，我们这边呢，写上37×39分之，这边呢，写上39。减去37。好，这样的话，

我们就可以展开。展开来应该是。十三乘以十五分之十五减去十三乘以十五分之十三。好，这边呢，是十五乘十七分之十七减十五乘十七分之十五。好，中间呢，我打省略号写啊，打省略号了，然后后面的是。三十七乘以三十九分之三十九。减去。三十七乘以三十九分之三十七注意了，这中间有约分的十五跟十五约分。

是吧，13跟13约分约分的，注意注意写上一啊。17跟17约分再写成15跟15约分写成一再跟这约写成一三十七跟37约分写成一。好，写成这样了之后那么。好，那么我们就进一步的可以写成它，应该是等于十三分之一减去十五分之一。加上加上十五分之一。减去十七分之一。好，一直加加到。三十七分之一减去三十九分之一。好，

这样的话，我们发现减一项加一项，减一项加一项，减一项加一项，全部都中间全部都底下了。只剩下首尾两项。是吧，只剩下首尾两项，所以呢，我们就可以得出来，它是等于十三分之一。减去三十九分之一好，那么分母不一样，我现在把它分母变成相同的。我们十三注意了，

三十三乘以三十等于三十九了，对不对？所以我扩分子十三分之一，我分子分母同时扩大三倍。变成了三十九分之三，减去三十九分之一。对吧，所以最终的结果呢，是等于多少呢？它是等于三十九分之二。对吧，等于三十九分之二。但是大家注意，我算的是2a哦，对不对？

我这边算的是2a，所以接下来我们还要进入到。第二步。你二a是等于三十九分之二的，所以我们是不是可以得出来a要等于三十九分之一啊？所以这道题目正确答案选择b选项。啊，这中间的这个推导过程呢？我也给大家呢，体现出来了。那么，我们平常学习啊，最开始切入的时候呢？这个过程中间的变形过程，我们是需要了解的。

因为只有建立在了解理解深入啊，熟悉的基础上，我们才可能提高速度。唉，好下面呢，我们来。看到这个题目的。小节。小结论是。a乘以括号a+k。分之k。它是等于。a乘以。a+k。分子。

a+k。再减去a。它是等于。a×a+k分之。a+k。再减去。a乘以a加上k分之a。对吧，所以呢，我们这边。可以约分约掉这边剩下一这边可以约掉这边剩下一。那么，这么一减之后呢？好，它是等于我把它我把这个写的稍微紧凑一点哈。

好，我们。紧凑一点，我们一行把它写下来。所以呢，最终得到的结果啊，是等于等于a分之一减去a加上k分之一。也就是我们最左边的这个式子是要等于最右边的这个式子的。他是不是列项了，对吧？把它分裂成为两个数，分裂成为两个项。a乘以a加k分之k是等于a分之一减去a加上k分之一的。好，我们。

啊及再把它提炼一下，我加粗啊加粗的笔来跟着你写。也就是a乘以括号。a加上k分之k。是要等于。a分之一减去。a加上k分之一的。a乘以a加k分之k是等于a分之一减去a加上k分之一的。好，那么进一步的，我们又可以把它做变形。就是把。a×a+k，我们把这个分子变成一了。也就是说，

分子。除缩小k，缩小k倍，那么我们等号的右边是不是得缩小k倍啊？所以应该是k分之一。乘以括号a分之一减去。a加上k分之一。是吧a乘以a加上k分之一是等于k分之一乘以a分之一减去a加上k分之一。好，这是。好，这是我们小结的第一点。好，这是我们小结的第一点。注意了，

这个k啊。不一定是一，它可以是一，也可以是二，它甚至还可以是个分数。能理解吧，它甚至还可以是一个分数。好，下面呢？我们看到小结的第二点。小结的第二点呢，实际上是它的一个具体的应用，具体的应用啊，第一个应用呢是比如说。一乘以二分之一加上二乘以三分之一加上三乘以四分之一。

加上四乘以五分之一。一直加，加了多少呢？一直加到n乘以n加上一分之一。同学们，它列项之后，它是等于。一分之一减去二分之一，加上二分之一减去三分之一，加上三分之一减去四分之一，加上四分之一减五分之一。一直加加到n分之一，减去n加上一分之一。然后这中间的全部在底下了，你看减加减加减加减。

对吧，中间全部都抵消了，只剩下首尾两项，所以它是等于一减去n加上一分之一的。当然，你还可以进一步的化简，是等于n加一分之n。对吧好，我们再看看圈二。一乘以三分之一。加上三乘以五分之一。加上五乘以七分之一。啊，加上七乘以九分之一，一直加加到二n减一。

乘以二n加一分之一。这是不是就变成了啊？中间隔了两项了呃，这这这个这个啊，分母中是隔了相差两个数，相乘是相差二的，对不对？相相乘的两个数相差为二。所以呢，我们要使用什么呢？要使用这个公式了，对不对？使用这个公式来进行计算。所以呢，它是等于。

二分之一乘以。一分之一减去三分之一。加上二分之一乘以。三分之一减去五分之一。加上二分之一乘以。五分之一减去七分之一，加上二分之一乘以。七分之一减去九分之一，好一直加加到二分之一乘以。2n。减一分之一。减去。2n。啊，加上一分之一。

是吧，二n减一分之一。啊，减去二n加上一分之一。那么这样的话，我们就可以啊，减一项加一项。实际上，有的同学说，老师这怎么能够这样解呢啊？那我多写一步，我们把这个二分之一全部提出来。这个二分之一全部提取出来之后，就变成了一分之一，减去三分之一二。

然后再加上三分之一减去五分之一，再加上五分之一减去七分之一。加上七分之一减去九分之一，一直加加到二n减一分之一g。减去。啊二n加上一分之一。是不是然后这样的话，我们就可以看得很明显了，减一个三分之一加一个三分之一，减个五分之一，加个五分之一，减个七分之一，加个七分之一，减个九分之一，后面还有个加个九分之一。

对吧，然后这中间呢，你会发现全部都抵消了，就只剩下什么呢，只剩下首尾两项二分之一乘以一。减去二n加上一分之一，当然我们还可以进一步的化简，它是要等于二n加上一分之n的。由于我们这个括号对吧，它只有一只有一只有一重括号，所以我们都用原括号来表示。明白吧，对语言括号来表示。所以它是等于二n加上一分之n诶，大家看一看我们小结的第二大点中的圈二也就这个问题。

那不就是我们的例题35吗？对吧，例例三十五是不是就这道题啊？所以它的答案是二n加上一分之n，因此本题的正确答案。选择a选项。选择a选项。好，现在呢？我给点时间，大家快速的消化一下我刚才啊啊给大家所讲的这个基础知识，以及这些基础。知识的一个具体的应用啊，那么要结合这两道例题，34题和35题来去学习。

好同学们，那么下面呢？我们啊给大家呢嗯，做一个拓展讲解啊。就是在我们刚才这个例题34例题35，也就是考点14的基础上给大家呢，再做一个。呃，拓展这个拓展呢？实际上是呃。从啊，就是把我们这个基础阶段呢，往强应试技巧强化阶段呢，做一个铺垫嗯。这样的话，

我们也就说我们整个基础阶段的这个课程的学习，你会发现呢，它并不是只是着眼于基础，它不仅着眼于基础，而且放眼未来看到。这个呃。应试技巧这一块了。所以说我们整个课程的实战性是非常强的。那么，请同学们来看。拓展一。等差数列的求和公式。等差数列的求和公式是SN是等于。首项。加上尾项。

乘以项数。再除以二。对吧，首项加尾项乘以项数除以二，那么也可以把它写成首项是a1。末项式，尾项式an，然后再乘以n÷2对吧？用符号和用文字两种方式，我就跟大家写下来。那么，我们来看应用一下啊。应用比如说SN，它是等于一+2+3一直加加到多少呢？一直加到n。

他是不是有n项啊？这就是他的首项，首项就是第一项。啊，这个就是它的尾项。好尾项是第n项。那么，它有多少项呢？它共有n项。也共有n个数相加，这叫做项数，所以呢，我们用公式来说，首项加上尾项，再乘以项数除以二。

是不是啊？好同学们，这是应用一。那么下面呢？我们来看到应用二。这个一加上二加上三，一直加加到n分之一。诶，这个分数好复杂呀。那么，我们把应用一的结果把它用上来，它应该是一除以。二分之。一+n×n。对吧，

除以一个分数等于乘以这个分数的倒数，所以它是等于n乘以n加上一分之二的。是不是得到这么一个表达式啊？好，我们再把它列项列项成为它是等于两倍的括号n分之一减去n加上一分之一。是不是啊？两倍的n分之一减去n加上一分之一。那么我在中间就用到了这么一个公式，叫做n乘以括号n，加上一分之一，它是等于n分之一减去n，加上一分之一的。是不是啊？使用到了这个基本公式。啊好，

这是应用二。那么，这个拓展一里面呢？我写了两个应用，那么下面呢？请同学们看到拓展二。好，我们看到拓展二。这个式子呢，有一点复杂，它说一加上二分之一。加上一加上二加上三分之一。好，我多写几项嘛，这是省略号对吧？

我们把它多写几项可以看得更加清楚，一加二加三加四分之一。好再加，加上一加二加三对吧？一直加加了多少呢？加上n分之一。这是不是一个？很复杂的一个式子了。那么，同学们注意了这个n呢？我干脆呀，用一个具体的数据来。代表它，要不我就加了99吧。好吧，

加到99要求这么复杂的一个表达式，它的结果是多少？那么，对于这个问题，我们怎么去求解呢？我们的方法是这样的，首先啊，分析它的。一般规律。这个一般规律呢，就是我们的拓展一。我们的拓展一中的应用二对不对？同学们注意了。它的一般规律呢，是这样的，

一+2一直加加到n。加到n分之一，它是要等于啊，同学们注意了，它是等于啊，我们刚才已经拓展二里面有拓展一的第二个小问题，对吧？啊，已经。已经解决了这个问题，它是等于二啊，它是等于两倍的啊，在这呢，不是二分之一，是两倍的两倍的。

它是等于两倍的n分之一减去n加上一分之一，是不是我们再回过来看一眼？两倍的n分之一减去啊，减去n加上一分之一。好，那么这是它的一般规律，下面呢？我们看。这个题目中，同学们注意了，如果啊令，那我们令n=2的话。那么是不是就可以得出来一加上二分之一，它是要等于二乘以，你把这n等于二代进来就行了。

它等于二乘以二分之一减去三分之一。好，我们再来看令n=3。我们是不是可以得到一加上二加上三分之一？也就是把n=3带到哪里呢？我把它框起来啊。我用个框框把它框起来，就带到这个一般规律里面，把n=3。把n=3把它带进去，那么就变成了。二乘以括号三分之一减去四分之一三分之一减四分之一。好，我们再来看令n等于四，我们就可以得到，

这边是一加二加上三加上四分之一。对吧，它应该是等于二乘以。四分之一减去五分之一。同学们注意了，这里面呢？呃，它是有个这个对应关系是如何找的呢？这边这个分母就是对应的这边。的，然后减去了这个分母这个分数的分母呢啊，它要大于是不是啊，所以啊。我们再来看啊，中间是省略号，

这边都是省略号。然后我们再另。我们的令n等于九十九，所以我们就可以得到一加上二，一直加到九十九分之一。是吧，它是等于二乘以九十九分之一减去。减去一百分之一。对吧，然后呢，我们把这边的。我们把它累加。是吧，我们把它累加起来。累加起来呢，

就可以得到左边加左边等于右边加右边是不是，所以就变成了一加上二分之一加一加上二加上。三分之一一直加，加到一加上二加上九十。九，除以二。这边写清楚啊。加上省略号，再加上九十九分之一。是吧，这边计算出来的结果呢，应该是等于应该是等于二乘以。啊，我就把这个。同学们，

我就把这个二全部把它。我就把这个二全部把它。对吧，提出来。然后这里面呢？这是左边的这一串，左边加左边要等，右边加右边了，是不是？好，这边呢，应该是。二分之一减去三分之一，再加上三分之一减去四分之一，好加上四分之一减去五分之一。

一直加加到九十九分之一。减去。一百分之一。那么，这中间我们是不可以加减抵消啊？啊，这边减一个加一个，减一个加一个，减一个加一个，对吧？好一抵消之后呢，我们发现这边应该是等于二乘以二分之一。减去一百分之一。好把它乘进来，就变成了二乘以二分之一，

是等于一啊减去二乘以一百分之一，是不是减去五十分之一了？所以最后得出的结果是等于五分之四十九，你看。一个很复杂的问题。是吧，一个很复杂的一个表达式，最后我们画出了啊，这个这个通过这个列项求和发现得到的结果是个非常简洁的结果，等于五十分之四十九。所以没有想象中的那么复杂。好，我们再来看一道题，这是拓展二，我们看到拓展三。

这个拓展三呢是？已知。ab- 2的绝对值。加上b-e的绝对值等于零。则则AB分之一。加上a+1。乘以b加一分之一。加上b呃，加上a+2。啊，加上a+2。乘以b加上二分之一好一直加加上。a加上二零。啊。好看吗？

这样我干脆把这个数字写小一点嘛a+99。乘以b加上。九十九分之一。等于多少是不是啊？这么一个题目，那么这个题目怎么去解决它呢？首先第一步，因为两个绝对值的和是等于零的绝对值是大于等于零的，对吧？两个非负数之和为零。那么，它们分别为零，所以呢，我们可以得到AB减去二四=0的。并且b减去，

一是等于零的。是吧，因此我们可以解得。b是等于一把b=1代到ab- 2=0，我是不是也可以解得a是等于二了？好，这是我们第一步的工作。第二步。第二步呢我呀把这个。要求的这个表达式，把它复制过来啊，一个很复杂的一个表达式，对吧？但是我们不怕它把它写上来。它是要等于什么呢？

同学们注意这两个这这个等号，我把它写在下面了。那它是等于二乘以一分之一，加上三乘以二分之一。加上四乘以三分之一一直加加到。幺零幺乘以100。分之一好，那么我们进一步的写成我们习惯的形式应该是一乘二分之一，加上二乘以三分之一。加上三乘以四分之一一直加，加到一百乘以一百零一分之一。是不是啊？好，我们进一步的写它，应该是等于一减去二分之一啊，

加上二分之一。减去三分之一，加上三分之一，减去四分之一，一直加加到。啊，一百分之一减去一百零一分之一。然后这中间呢，就会出现连环抵消的情况，你看减个二分之一，加个二分之一，减个三分之一，加个三分之一，全部是不是又抵消了？一抵消之后，

剩下首尾两项，所以应该是一减去幺零幺分之一，它是等于幺零幺分之100。你看看起来好像很复杂，实际上。并不复杂。是不是啊？所以也就是说我们给大家嗯，做的这三个拓展拓展一呢，是为拓展二和拓展三做铺垫工作的。那么拓展二呢呃，实际上嗯，就是我们前面所讲的列项求和的这种技巧的一种隐蔽的考法。拓展三呢，实际上也是一种隐蔽的考法，

是不是啊？所以我们需要养成一个火眼金睛，在学习技术。知识的时候，在基础阶段的时候，我们不仅要掌握这些。经典的方法，核心的方法，而且我们还要能够识别出它的隐蔽形式和我们。应对的方案应应对的方法。好，那么我们的考点。14，30例34和35我就给大家讲到这里，下面请同学们看到考点15。

考点15呢，是供热公式与恒等变形，首先呢，我要给大家复习一下这个基础知识啊。复习一下基础知识。那么，第一个基础知识。第一个基础知识啊，叫做。平方差公式。啊，叫做平方差公式，平方差公式呢，指的是a的平方减去b的平方。它是要等于a-b×a+b的。

对吧，这个公式呢？我们还有一些变形。啊，变形一反过来写就是a-b。乘以a，加上b。对吧，它是要等于a的平方。减去b的平方了。这是变形一。好变形二就是我们看到a+b的时候，同学们注意了，我们可以把它把它写成什么呢？我们可以创造出一个平方差公式来，

可以写成a-b乘以括号a+b。我再除以一个a减b，那么这样分子就可以用平方差公式是等于a的平方减b的平方。对吧，这个分母呢是a-b，有的同学说老师这个变形二。这没什么用吧，有用好请同学们再看，我们进一步的变形好，大家看到。变形三。就是我写这么一个表达式，你看a+b×a^2+b^2。表面上看起来跟平方差没有。关系，

但实际上呢，它可以跟啊，可以巧妙的使用平方的公式，那么怎么去巧妙使用呢？我要把这个先乘以一个a-b。对吧，我乘以一个a-b之后呢，我再除以一个a-b啊，我再除一个a-b。是不是就是还原啦？好，那么我这么做了之后，这个分子。那a-b×a+b，这就构成了一个平方差公式。

是吧，它也构成一个平方差公式啊，那我就可以用平方差的公式来使用了啊，就是a方减去b方好。大家会发现，这个a方减b方，这个结果跟我们后面的a方加b方，它再次。是不是可以构成一个平方差公式啊？所以它是等于a的四次方。减去b的四次方再除以a-b。是吧a的四次方减去b的四次方再除以a-b，这是平方差公式。好，这是第一个复习要点。

那么，第二个复习要点是？关于供热根式。啊，供给更是指的是形如。啊，或者这么说，这是一对共有根式啊，就说a+b乘以根号下。啊b乘以根号下，比如说根号下二吧啊与。a-b乘以根号二。它构成了共有的公式。它构成了光合根式，那么也可以进一步的减进一步的这么写，

叫做啊，它的格式是a加上根号下b。啊与a减去根号下b啊。啊，构成了共有根式。啊，构成共恶。那么，其中根号下b是看不出来的啊，这个是无理数啊。就是无理数，已经看不出来了，对吧？比如说二加上根号，三与二减去根号三。

他就是共恶的。明白吧，它就是共作的。那么，共和根式。它跟平方差有关吗？它有关好，我们来做一个应用，比如说。二加上根号三。乘以二减去根号三，它就可以构成一个平方差公式，对吧？它是要等于二的平方减去根号三的平方。它是要等于四减三，

是等于一的。能明白吧，它可以它的共有根式在运算的过程中，它可以产生它可以把这个根号把它消掉。是不是啊？好这个应用的第一个要点啊？好，我们第二个要点呢？是它的一般规律是a加上根号b。乘以a减去根号b，它是要等于a的平方减去根号b的平方是要等于a的平方。减去b的。好进一步的同学们，注意了，我们还可以这样来看，

比如说啊啊，比如说这个根号下。n加上根号唉，这样写吧根号下。啊，这个写长一点根号下n+1加上根号下n。乘以。根号下n+1减去根号下n。那么我们发现是不是就可以使用平方的公式啊？它应该等于根号下n，加上一括号的平方，减去根号下n。的平方。它是等于n+1-n。它是要等于一的，

它是要等于一的。就是根号下n+1，加上根号下n乘以根号下n+1，减去根号下n。啊，它是等于n+1-n=1的。好同学们注意了。那么，这个表达式呢？我们还可以进一步的啊，给大家再来写，把它写在这边啊，根号下n+1加上根号下n。乘以根号下n+1减去根号下n是等于一的，对吧？

是不是好我们下面呢？再来研究个问题，根号下n加上根号下n加一分之一，它等于多少呢？它等于多少呢？同学们注意了，它等于我可以用啊，恒等变形分子分母同时乘以它的供热公式啊，或者说啊，用平方差构造构造平方差公式来去。进行化简对吧？或者说叫做分母有理化，我们这边写上根号下n+1加上根号下n，把这个原来的分母交换一下位置，这两个加数对不对？

这是不产生。影响的，然后后面的写上根号下n+1减去根号下n，也就说我的分子分母中同时乘以根号下n+1减去根号下n。对不对？那么这个分母同学们注意了，是不是就出现了我们上面写的这个结果？用平方差公式可以得出来是等于一的，所以它等于。它要等于一分之根号下n，加上一减去根号n，它是要等于负的根号下n。加上根号下n+1了。它等于负的根号n加上根号下n+1。即这边有一个重要的，

这个结果我们可以把它提炼出来是啊，这个结果呢？是根号下n。加上根号下n加上一分之一。啊，它要等于负的根号下n，加上根号下n，加上一。根号下n加上根号下n加上一分之一，它是等于负的根号下n加上根号下n加一。负的根号下n加上根号下n+1。好，这是这一个啊，这是我们考点15的，这个复习要点，

那么下面呢？我们准备来做一个。应用。好，大家看到例题30。我们看到例题36。首先呢，这道题目告诉我们a是等于二减去根号三的b呢是等于二加上根号三。那么现在要我们去求a+a×b对吧？a×b应该等于二减根号三乘以。二加上根号三，我们用平方加公式得掉它，应该等于二的平方乘以根号三的平方啊，减去根号三的平方对吧？二的平方减去根号三的平方。

是等于四减去三是等于一的，所以说这道题目正确，答案应该是选择a选项。那么下面呢？我想给大家呢，做一个拓展。这道题目呢是？啊，这道题目呢是？已知a=2减根号三。b=2加根号三。则啊则b的三次方。他的整数部分。为多少？啊，

有两个问题啊，第一个问题是a的三次方，我也把它写上了啊a的三次方。它的整数部分。为多少？两个问题。第一个问题呢，是a的三次方，第二个问题是b的三次方。分别去求它的整数部分，什么叫整数部分呢？比如说啊，一点二它的整数部分是一一点八，它的整数部分还是一？二点二点零五它的整数部分是二二点四五，

它的整数部分是二二点五五，它的整数部分还是二二点九五，它的整数部分还是二。明白吧，所以要去求它的整数部分，把它的小数部分就不看了。那么像这样的问题，有的同学说老师那我不知道根号三等于多少啊，有的同学说老师我知道根号三等于多少根号三=1点七三二，我带进去死死算。行不行呢？当然你死算的话也是可以的，那么下面我们用一种技巧性的方法呢，给大家去运算。首先第一步。

第一步根号三啊，它是小于根号四，它是大于根号一的。对吧，而根号四呢，又是等于二的根号一呢，是等于一的，所以我们可以得出来根号三是小于二大于一的，也就是它等于一点几。从而我们就可以得出来二减去根号三。二减根号三根号三是等于一点几二减一点几是不是等于零点几啊？是不是啊？所以也就是二减根号三是小于一大于零的。小于大于零，所以我们就可以得出来二减去根号三，

也就是a对不对，也就是a的整数部分是多少呢？好，大家注意了，也就是a的整数啊，注意这个就是a了。对吧，也就是我们可以得出来a的整数部分。a的整数部分为零。好，大家注意啊，也就是a=0点几零点几的三次方是不是还是零呐？零点几的三次方是不是还是等于零点几啊？所以零所以这个a的三次方，它的整部分还是零。

是不是能理解吧，所以呢，我们可以推进一步的，可以推出来a的三次方。a的三次方，它肯定也是小于建于零到一之间的，因此我们可以推出来a的三次方。它的整数部分。为零。好，这是我们的第一步。那么下面呢？我们看到第二步好，我们看到第二步。那么这个b呢？

注意了啊，这个b呢，我们准备我们发现这个a和b是一个共遏的，这个这个结构，所以呢，我们可以写下来a+b。是等于二减根号三+2加根号三，它是等于四的对吧？你减一个加一个就抵消了。那么a×b它是要等于二减去根号三×2加上根号三。它是要等于二的平方减去根号三的平方，它要等于四减三是等于一的。对吧，四减三等于一，那么这样的话，

我们就可以。想法求出a的三次方加上b的三次方，对吧？a的三次方加b的三次方有一个立方和的公式。它是等于a+b括号的三次方减去3 AB×a+b的好，这个呢，也是为我们。后续啊，学这个代数式的恒等变形，做一个铺垫工作啊，做一个铺垫工作，这个公式呢？同学们，需要现在就啊，从基础阶段就开始。

啊，结束它，然后熟悉起来，这是我们考试中的一个重要公式，把它带进来a+b的3 a+b是等于四，所以它应该是四的三次方。减去三×1×4，对吧？同学们注意了，等于多少啊？四的三次方减去12，也就是。64-12是等于52的。所以a的三次方加b的三次方是等于也就是说a的三次方加上b的三次方是等于52的。而b的三三次方是而而而这个a的三次方是等于零点几。

对吧，所以我们可以得到b的三次方等于52-0点几，它是等于51点几的。是吧，52-0点几，是不是等于一点几啊？从而我们是不是就可以得出来a的三次啊？这个叫b的三次方了啊。可以得到b的三次方的。b的三次方，他的整数部分为51。b的三次方的整数部分。b的三次方的整数部分为啊b的三次方的整数部分为。50为51。啊b的三次方的整数部分是51。

好，这是第36题啊，这个题目本身以及我们所做的这个拓展，显然这个拓展它是有一定的难度了，对吧？因为它涉及到了这个呃估算根式的估算，它也涉及到了这个呃。立方和的公式的运算。好，下面请同学们看到第37题。好，我们看到第37题。是a等于根号三减根号二b等于二减根号三c等于根号五减去二。好，那么这个我们怎么去比它的大小呢？

直接去算显然不够现实对不对？嗯，那有的同学说老师那如果死记硬算呢？好，这样吧，我还是跟大家讲两种方法啊。方法一，我们需要了解根号。二是约等于一点四幺四的。根号三啊，是约等于一点七三二。根号五是约等于二点二三六，如果你要去死算，那就必须要。把这几个经验数据。

把它熟练掌握。啊，考试的时候是不做要求的，但是呢，我们如果想对吧，就是你不知道技巧的时候怎么办？那你去死算死算的话，就必须要掌握这几个数据。那么下面呢？我们来看一看a等于根号三减去根号二它就啊约等于。一点七三二减去一点四幺四对吧？我们计算一下，一点七三二。一点四幺四减一下。注意不要只最好是计算一下，

不要直接口算啊，口算的话，有的同学是容易犯错的，二减四等于八。这边啊，借位了，所以是二减一是等于一的，对吧？这边七减四是等于三的，所以它是等于。零点三幺八。它是等于零点，约等于零点三幺八的。好，这是a那么b呢？

它是等于二减去根号三好，我们可以说它是约等于二减去一点七三二。对吧，二减去。啊，一点七三二这边就变成了八六二零点二六八。是不是好，所以这边是等于零点二六八，我们再看c。c呢，它说是根号五减去二好，它是约等于二点二三六。减去二是等于零点二三六，那显然ABC是啊，从大到小来排列的。

是不是啊？所以呢？这个a是大于b，是大于c的a，大于b，大于c啊a，大于b，大于c。所以这个题目正确答案选a，这是方法一死算。好，下面呢？我们看到方法二。嗯，我把这个腾挪一点地方出来啊，

这个刚才这个。看到这地方的计算呢，我就我就删除了。我们挪到这边来。啊，正确答案选择的是。a选项啊。那么下面呢？我们看到方法二方法二呢？是这个技巧性的运算。那么，大家看到这个AA呢，是等于根号三减去根号二，我能怎么怎么来呢我呀？先乘以啊，

我这样了啊，根号三减去根号二，我先乘以一个根号三，加上根号二。我再除以一个根号三加上根号二那么这么一啊，这么一变形，它的分子就构成了一个平方差公式。啊，平方差就是根号三的平方，减根号二的平方再除以。根号三加上根号二，所以它是等于啊，它是等于啊分母根号三加根号五把它。啊，从小到大写应该根号二加根号三分之一对吧？

三减二是等于一的。好，这是a。那么这个b呢？它说要等于二减去根号三，我这样的，我们把它写成了啊，这边是二减去根号三。我再乘以二加上根号三。我再除以一个二加根号三。对吧，这边就变成了什么呢？变成了二的平方，减去根号三的平方，再除以。

二加上根号三分子构成了一个平方差公式，应该是四减三等于一，所以这边变成了一比上对吧？后面的这个四呢？我把它啊，我我我可以把它写成。根号呃，这个二呢？可以写成根号四，所以它就先变，相当于变成了根号三，加上根号四了，或者说你写成。啊，这样来吧，

根号三加上根号四根号四就是就是二了嘛。对不对？我都把它写成根号，方便我们比大小，那么这个c呢？它说要等于根号下五减去二。我用同样的方法来操作啊。咱们用同样的方法来操作，这边应该是首先啊，根号五减去二乘以根号五加上二。比上根号五减去二呃加，加上二对吧？你乘以了根号五加二我就得除以根号五加二。所以这边呢，应该是等于根号五的平方减去二的平方，

再比上根号五加上二。好对吧？那么这个分子呢？利用平方差公式是不是可以得到五减四等于二呀啊？五减四等于一呀？好这边呢？分母就变成了根号五加上啊，加上这个二而这个二呢，就是根号四，再加上根号五。那么，大家有没有发现呢？我们这个分母中。这个分母是最小的。对吧，

这个根号四加根号五。这是最大的。我们说分母是这个都是正数啊，那分母越小的话，它的分数的值是不是就越大呀？所以呢，我们就得到了这个数，这个值。对吧，你分母越小，这个分数的值就越大，对吧？你这个是分母是最大的，那么对应的，这个分数的值。

是不是就最小的，然后这个b呢？夹在中间，所以我们是不是也是可以得到a是大于b大于c的？大家有没有发现呢？虽然方法二看起来很巧妙，但实际上它的运算量比方法一这种死算，我们看起来觉得很笨的方法。实际上比那个还要大一点呢。况且，很多同学根本就想不到方法，这种啊，构造平方差公式的这种技巧。所以说死算。并不是很低级的，

见不得人的方法。始算有的时候可以划繁，就简快刀斩乱麻，明白吧？这也是为什么我们在基础阶段的时候一定要。就是说我有的时候会给大家提供多种方法啊，给大家参考，你去试试，就是我们考试的时候能够左右逢源。好，这个是第37题。那么下面呢？请同学们看到第38题。好，咱们看到第38题。

第38题呢啊。我首先要给大家做一个复习，我们前面呢，给大家其实是讲过来了，就是有这么一个表达式，叫做根号n。加上根号下n加上一分之一，我们化简之后啊，用它是等于根号下n加上根号下n加上一的。啊，在哪个地方讲的呢？在前面啊，在这个地方啊，就这个红色的笔对吧？这个红色笔写的这个。

根号n加上根号n加上一分之一是等于负的根号下n加上根号下n加上一的。好，这是第三例38，那么下面呢？我们再看。好，下面呢？我们看到这个。好同学们，下面呢？我们看到这个它的应用好，我们另。你看啊，我们令n等于一，我们就可以得出来根号，

下一就是等于一了，对吧？一加上根号二分之一。它是等于负的根号，下一就是负一了，然后再加上根号二，我们再来看令n等于。好令n=2，我们把它带进去，带到带到哪儿？我把它框起来，就是带到我们这个公式里面。是不是啊？那么我们就可以得到根号下二，加上根号三分之一，

它是等于。负的根号二啊，加上根号三了。好，我们令n等于三呢，我们可知道应该是根号三，加上根号四分之一啊，它应该是等于负的根号三。好，加上根号四。对吧，那我再写一个吧，令n等于四，咱们把它带进去，那么就是根号四加上根号五分之一。

它要等于负的根号四啊，加上根号五。好，我们再来看啊，令n等于。令n等于多少呢？我们比如说啊，就令n=x吧。你看稳定n=x。那我是不是就可以得到？应该是根号下那么这样吧，我我我不写这个。我不写这个0n等于这个了，我直接把最后一项把它写下来啊，就是最后一项是根号下啊。

那根号下n加上根号下n加上一分之一，它是要等于负的根号下n加上根号下n加上一。那么我如果把他一累加你，看我们。一累加我们就可以。得到一种连环抵消的效果啊，左边呐，我把左边圈画起来。左边呢，就是这一串。啊，右边呢，就是这一串。是吧，右边就这一串，

左边加左边等于右边加右边，也就是一加上根号二分之一。加上根号二，加上根号三分之一好，加上根号三，加上根号四分之一。好一直加，加上根号下n加上根号下n加上一分之一。那么，这样的话，它是等于什么呢？它是等于负一加上根号二减去根号二加上根号三。减去根号三，加上根号四好，一直到这边啊，

应该是减去根号下。n再加上根号下n+1。那么，这中间你看啊，加一项减一项加一项减一项加一项减一项，是不是全部抵消了？所以就是得到是负一。加上根号下n+1啊负一，加上根号下n+1。那么，最终的结果就在这了，非常简洁。实际上呢，它是等于什么呢？它是等于最后一项的这个大的根号，

减去最前面这个小的。是不是啊？那么我们来，我把它写下来啊。我把它在这边再重新写一遍啊，就是用黑色的笔写吧就是。一加上根号二分之一，加上根号二，加上根号三分之一，加上。根号三加根号四分之一，接着加加到根号下n加上根号下n加上一分之一，我们发现它是等于。最最末尾的那一项啊，再减去最前面的那一项。

最末尾中的这个分母中的最大的减去这个最前面的这个分母中最小的。那么我们就实际上我们可以。得到一些具体的应用呢，比如说啊，我们比如说这个吧，我把它复制过来。那比如说这个，我就可以直接得到它等于什么呢？它直接得到是等于根号四减一是等于二减一。对吧，等于二减一是等于一的。是吧，它是等于。根号四减一，它是等于二减一，

是等于一的。这明能理解吧，好，那么我们再来看。比如说一加上根号二分之一，加上根号二，加上根号三分之一，加上根号三，加上根号四分之一。一直加加到根号九十九，加上根号下一百分之一，那么我们使用刚才的这个技巧。我是不是直接找最后的这一项？那找最后的这一项啊，这最大的减去这个最小的一项，

最前面这一个，它是不是应该是？等于根号下100-1=10-1=9，是不是很奇妙？很多无理数相加，很多带根号的，这样的分式相加，最后得到了一个整数。好，那么下面呢？我们啊，再回归到看这个第38题。第38题呢？我们就可以使用这个结论，直接快速秒杀它，

应该是一加上根号二分之一，加上根号二，加上根号三分之一。啊啊，一直加啊，加了根号三加根号四分之一。好加上省略号，再加上根号下x减一，加上根号x分之一，我是不是直接？啊，他说是等于十啊，我是不是直接使用刚才的这个结论，用最后一个啊，最后一项中的分母那个大的根号减去最前面这个分母较小的。

啊呃，这个这个第一个分母中啊，第一个分母中较小的那个数。是不是这样的话，我是不是就可以得出来，应该是等于根号x减去，一是要等于十啊，所以我们可以得到根号x是等于11的。所以得到x是等于11的平方，是等于121的。对吧，所以这样的题目，这道题目正确答案选择CD选项。正确答案选择4d选项。好，

这是第38题。好，下面呢？请同学们看到第39题。好，我们看到第39题，第39题呢？跟第38题呢？它相比啊，做了一点变形。是吧，我们首先来研究一下规律吧，好，我们先。复习一下平方差公式。

那平方差公式呢？是a-b。乘以a+b是等于a的平方，减b的平方。这是不是就叫平方差公式啊？是不是啊？这就是平方差公式。那么接下来呢？我们再看到啊，我们看到这个呃。这个表达式啊，我们看到根号下a加上根号下a+k分之。一我们把它做一个横等变形，我们通过构造平方差公式，对吧？

来进行变形。那么这边呢，是根号下a+k加上根号下a乘以根号下a+k。减去根号下a注意了，我把分母乘以了一个数，那我分子是不是也要乘以这个数啊？这样的话才能够保持不变。这边是a+k减去根号下a好分母呢，是一个平方差公式。所以呢，我们直接可以得到，应该是根号下a+k^2减去。根号下a的平方。好，这是我们的分母，

这个分子呢？我们把它这样写，叫做负的根号a加上根号下a+k。好，那么同学们注意了，这个分母用平方差公式之后就可以得到四=k了，对不对？a+k-a是等于k。所以呢，最终得到的这个结果，我把它写在下面，这个啊，就是等于k分之一乘以负的根号下a。再加上根号下a+k。是不是啊？

所以我用红色的笔，再把它凸显一下即。根号下a加上根号下a加上k分之一是等于。k分之一乘以负的根号下a，再加上根号下a加上k。对吧好，这是我们的例39题的这个复习，那么同学们来跟着我一块把这个公式再次熟悉一下，让你现场把它掌握啊。应该是根号下a啊，加上根号下a，加上k啊分之一是等于k。k分之一乘以根号下啊，负的根号下a，加上根号下a，

加上k。好来，大家跟着我一块来，把它应用一下啊，我们来一块呢，把它应用一下根号下一加上根号下。啊三。注意了，同学们注意了这个啊，这个两个根号下面是不是相差的为k啊？相差的这个k就是。啊，就是这个前面这个系数k分之一的分母。所以呢，我抓住了这个本质，

是不是一跟三它差二对吧？是不是直接乘以二分之一啊？二分之一乘以负的根号下一。加上根号下三。是不是我们再来，比如说根号三加上根号五分之一？那由于三跟五，他是不是隔了两个？三跟五隔了两个，所以我这边是不是应该是二分之一乘以负的根号三啊？加上根号五。是不是啊？负的根号三加上根号。那么下面呢？我们再来好。

你看啊，我们如果写一长串的话，比如说。一加上根号三分之一，这个一可以写成根号下一对吧？加上根号三加上根号五分之一。加上根号啊，根号五加上根号七分之一，我多写几项吧，根号七加上根号九分之一。好，一直加加到啊，加到根号下二零二三加根号下二零二五分之一。那么，同学们注意了，

我就可以反复使用。对吧，反复使用这个这个公式，那应该是等于啊，注意了分母中的两个根号，下面两个数都是相差为二的，所以有个二分之一。乘以二分之一，乘以负的根号下一，加上根号下三，减去根号三，加上根号五，注意这个二分之一，我提到最前面来了啊。然后再减去根号五，

再加上根号七。对吧，然后再减去根号七，再加上根号九好，一直这样的减去根号下二零二三，加上根号下二零二五。哟，因为我们发现是不是又产生了连环抵消的效果啊？加一个减一个，加一个减一个，加一个减一个，是不是全部都抵消了？全部都抵消了，所以呢，我们最终得到的应该是二分之一乘以负根号下一。

加上根号下二零二五，所以呢，我们可以得到，应该是等于二分之一乘以注意了这个。呃，二零二五是45的平方，所以根号下二零二五是45对吧？所以这边负一+45。它要等于二分之一乘以四十四，是等于二十二的，因此这道题目正确答案选择c选项，这不就是我们的第。39题是不是悄无声息，不知不觉就把它给解决掉了？实际上，

我们数学的学习，如果大家注意好方法呢，它都是这样的，就是看起来好像这个呃，没什么关系啊，讲了对吧，但是呢，实际上它的背后的东西是一样的。你看我们今天所讲的这个对平方差公式的应用，是不是次数特别多呀？对裂项求和的。这个技巧是不是涉及到的比较深入啊？对不对？好，这样的话，

同学们，我们就把我们讲义上。的考点13考点14考点15，我们进行了比较深入的讲解。那么，这个讲解呢？大家发现，我们并没有给大家啊，在基础阶段就是说纯粹的去讲一大堆的理论。啊，把这个我们小学的初中的高中的那些东西拿过来，恨不得当教科书拿过来整个讲一遍不是的。我是给大家呢啊。找一个好的切入点，跟大家呢啊，

有比较浅显的道理。填写的规则，填写的公式，给大家一步一步的引引入啊，这个引导到跟我们考试能直接对接上来的。这种命题模式上。我们可以这么说，从基础阶段开始，我们就直接对接命题点了，直接对接啊真题了。事实上，这有一些考法就是咱们真题中的考法，所以我希望大家呢，认真的落实这个在我们。开篇给大家讲解的三遍学习法，

第一遍要力求把课堂上的每一道例题，包括我们所做的补充讲解。举一反三和拓展训练，大家呢啊，都要把它听懂那么第二遍，要及时的去复习它。的复习很重要啊，那么第三遍的时候尝试盲听，有的同学说老师我基础不够好，我准备听到第五遍了，我再盲听行不行呢？当然可以了。也就是说，基础阶段。啊，

不要小看它，更不要跳过它，咱们现在大家看到我们基础阶段，不仅要回顾我们基本的概念定义。而且要迅速的把这个概念定义啊，它在考试的时候命定老师如何去命题。有哪些常见的错误点啊？那么这些都要跟大家揭示出来。好，我们现在下面呢，这是刚才给大家做了一个提示，下面呢，我们把我们今天啊，这一这第一第一小啊，第一讲的这个半天内容呢，

给大家快速的回顾一下。我们这一节呢，讲的是是节选的考点13考点14考点15，给大家来讲解的，那么考点13呢，是数轴与绝对值，我们首先讲了数轴的。三要素它的，也就是它的定义了，对不对啊？定义了方向，原点和刻度的这么一个啊，东西一个一一个。嗯，这个几何对象，

它就叫数轴，那么数轴有什么作用呢？两大作用，一是比大小，第二个是研究绝对值的几何意义。好，那么要点二呢？马上就过渡到绝对值了，绝对值，我们从几何意义和代数意义两个角度做了讲解。我们然后后面的是有几个啊，结合例题讲解的时候有几个易错点啊，特别是考法一对吧，例题28的考法一做x的绝对值等于x1定是注意的啊。不是推出来x大于零，

而是推出来x大于等于零。啊，退出来是x大于等于零。如果x的绝对值等于负x，我们正确结果是推出来是x小于等于零啊，推不出x小于零啊，只能推出来x小于等于零。小于等于零的含义是指x小于零或者是x=0，对吧？它是个获得关系。那么x-y的绝对值等于x-y，我们可推算的x是大于等于y的，如果x-y的绝对值等于y-x了。那么，我们可以推出来y是大于等于x的。

后面呢，我们给大家呢啊，这个讲解的拓展一和拓展二，这个拓展一和拓展二呢，我在后面啊，还给大家进行了这个再认识。对吧，载人是在哪呢？那在这个地方是不是再认识，所以呢，大家注意复习的时候把前后。把它贯通起来，比对学习，这样呢，我们才能够加深印象。

对比学习把容易混淆的方法放在一起啊，进行对比。加深对它的理解和体会。把同一道题目不同的解题方法放在一起进行对比，可以加深我们对这个知识点，对这个方法的理解。把不同的题目啊，看起来不同的题目，但是它里面。啊，所使用的你的方法又有一些关联的地方，我们放在一起对比也可以放在一块对比，对不对？也能够获得薪资。也可以获得新的认识。

好，我们考点14呢，是分式的，换量变形，我是从分式的加减乘除这个运算规则，给大家切入的。那么，加减乘除的运算规则呢？我们又重点选择了这个乘法和除法啊！乘法和减法的。这个啊，加减法的这个运算呢，我们把它进行了技巧性的这个透视挖掘，我们发现它存在列项求和，这是列项。

列项底下求和的这么一种技巧，对不对？跟大家呢？还是这个逐层的？深入像剥竹笋一样一层一层的把它剥开来了啊，也可以说像这个爬台爬楼梯一样的一层一层的啊，引导着大家往上攀爬的。对吧，从基础啊，逐步的深入进来，那么考点15呢是？嗯，平方差啊。在根式化简求值中的妙用，那么也是跟大家从最基本的公式给大家拓展开来的。

那么我们这个今天的这个。第一个半天的课程就给大家先讲到这里，谢谢大家。

		自动登录	找回密码
密码			立即注册