23机械基础25.22第五章机械的平衡（2）

罗泽兵 · 发表于 2024-5-9 01:18:39

好，接下来咱们来看题型二就是动平衡，到底怎么去计算？如图所示，如图所示为一。滚筒滚筒有三个不平衡质量在这摆着。然后有一个带轮在这，对不对？测带轮有一个偏心质量m1，这是m1啊，为一千克，另外根据滚筒的结构知道另两个偏心距一个是m=3000克，另一个是四千克。然后偏心质量的位置如图所示，已经标出来了，

对吧？这是200，然后这是150，这是1100，这是100，这是。这是150，而且它的方位已经标出来了，对不对？方位已经标出来了，然后rr 3=200r4r2=300这个r1=250对不对？在哪个圆上是吧？圆上它的位置，咱都给它标清楚了，也说的比较清楚，

那么两个平衡。基面中平衡质量的回转半径取400，试问平衡质量的大小和？和方位也就说，平衡面上基面的平衡，质量的回转半径。什么意思？也就说我要在400的这么大的一个一个圆盘上，一个一个圆上。我要挖一个质量，或者是加一个质量。怎么样去弄对吧？就这个意思。取半径是400。那接下来怎么去做呢？

是不是我们来看？分解两个平面啊，是哪两个面？若以平衡基面选在若若平衡基面选在滚筒的端面上。这是一面，这是二面，是不是选在这两个面上？那你开始去去做吧，选在这两个面上之后，你就把所有的偏心质量现在是不是就三个把这三个偏心质量往这两个面上做？做投影呗，对吧？然后它们分别占就这两个面上分别把，比如说像m1。向一面儿和二面儿上分别占了多少呢？

是不是这样一个计算？假设在一面上，咱们先算一面上的投影，也就说m1到1面上，它能分到多少距离呢？呃，它它能分到多少的直径g呢？比如说MR呢？对不对？也就说MR能分得多少呢？是总距离，首先总距离不变，是1100对不对？1100写在这里总距离不变，是。

到哪的距离？也就是说m1到m2的距离比上总距离是不是？就是m1到1面上的分得的质量，对吧？也就说是1100肯定不能变了，对吧？1100这个总距离是两个平面之间的距离。这个是多少350吧？对吧m1到2面的距离比上总距离是。m1这个直径机或者是这个质量往这两个面儿上的做的，往往往那个一面儿上的投影分得的质量对吧？直径g嘛。啊，你一合出来，原来如此。

m1.到一面上的大小。是这么大。注意到一面上的投影的方向。与m1相反。与m1相反。把这句话再读一读本题，最大的易错点是直径gmr m1r1在一面上的投影分量与m1的方向相反，在二面上的分量。与m1相同。一定一定要注意。在一面上的分量是向上的，注意啊，你看我一压它，我一压它，

是不是这边翘起来？翘起来对吧？如果它有一个。惯性力的话，是不是相当于有个力往下压它？对不？这边是不是翘起来？这边是不是往下走？对吧？所以说二面上分得的。分得的这个直径积是和m1的方案是一样的，但是一面上的是相反。一定要注意，一定要注意。注意注意注意对吧？

赶紧注意一下。好啦，那。分解到二面上呢，把把m1产生的这个直径积分解到二面上的距离是多少呢？分解到二面的距离是不是到一面的距离比上总距离？总距离始终不变，就是1100。到2到2面到这个分解到二面上的是多少？是不是这个m1到1面的距离啊？m1到1面的距离是多少呢？先用1100。加一个。这个是150对吧？再加一个200。

对吧，这是m1到。面一上的距离比上总距离。是吧，就是到二面上的分的执行器是多大？就这么大。分得的这个质量的大小有了方向，与m1相同诶，这一部分我们就把m1。r1分解到两个面上对不对？这一部分我们就把m1r1分解到两个面上了。两面上了，对吧？你自己去做。分解到两个面儿上之后，

接下来接下来看m2。是吧m1分解完了，是不是该分解m2了m2到1面上的距离？m2分解到一面上的呃m2分解到一面上占多大，是不是它就到二面上的距离是不是150嘛？到二面上的距离比上总距离。150比上1100没毛病吧，我说的现在可不可以了？就是150比上1100。到2到1面上的投影的话，就是到二面的距离比上总距离。就得这个。方向呢？方向与m2相同，对吧？

m2产生的直径积分解到二面上的距离呃，不是分解到二面上，然后m2到1面的距离比上总距离，对不对？分解到这个距离，就是到一面的距离，比上总距离到一面的距离是多少？到一面的距离，到一面的距离，就是拿1100减去。1100-150对吧1100-150得950。就用950比上一千一九百五比上1100。950比上1100对吧？这是二这是m2好了，这一部分把m2的是不是搞定了？

这是m2搞定了。m2r2搞定了，那接下来搞搞谁去搞m3呗？是吧，上来第一步翻成先把m3。然后m1r1m2r2m3r3全分解到这两个面上去，对不对？看看占比同理。3到1面儿上的分量是多少？就是到二面儿的距离比上总距离二面儿的距离是多少呢？到二面的距离，到二面距离，你看还是1100-150这个是到二面的距离，比上总距离就是m3到1面上的分。分得的那个分量对吧？

就得960方向相同。也就是说，现在咱们发现，只要是你不在这两个。只要不是在这两个支撑端之外，只要不是在这两个支撑端之外，那么你产生的这个离心力到两个面上的分量。它都是相同的，就是都是方向都是一样的。对吧m2方向向朝上的，你到两个面上的分量也都是朝上的m3朝下的，那你的分分量也都是朝下的。只有m1。脱离了这两个支撑点以外，这两个支撑点在。

在这两个支撑点外边呢，所以说它产生的。产生的这个分量是相反的。一定要注意。好吧，还有3到2面上的距离，那就是到一面上的距离比上总距离呗，是吧？到二面上的分量就是用一面的距离比上到比上总距离。就得到了到二面的分量，对吧？方向而且相同，你看方向都是相同。那既然方向都相同，分解完了是吧？

两个面上都都搞定了。分解完完成完成任务了吧，对吧？将三个平均值呢？分解到两个平面上，接下来对两个平面分别使用。净平衡公式对吧？让这个平面满足净平衡条件，让这个平面满足净平衡条件，然后两个平面都满足了净平衡条件，那它就达到了动平衡的条件。先对先对一面先对这个一面进行受力分析。先对一面进行受力分析。也就说是。受力分析怎么样？

这个样子的你看。呃，它分解是分解下来。假设这是一面上。假设一面上把m1分解到一面上，现在这个质量是朝下的，但是你分解出来是不是朝上的了？对吧？是不是朝上的？那个x轴方向呢？x轴方向只有只有r3，只有质量，只有质量三对不对？只有质量三。在x轴方向有分量。

那分量是多少呢？就是比如说咱咱求到面一上面一上它方向不变嘛，它方向不变就是你分解，现在咱们把这个。把把这个圈拿出来，拿出一个来，就是拿到这个屏幕外边一个，然后里边一个，对不？这两个，然后除了m1。这个圈外部的假假如是假设是是面一的话，这个是不是在上面？这是不是在上面？对吧，

也就是说。也就是说，咱们假设是两个面的话，咱们把这两个面给它画出来，你看这是面一。这是质量2m2，这个呢，就变成了m1的分量了，假设m1的分量在这呢，对不对？然后这就是变成了m3的分量了，在这呢，然后另一个面上呢。这是m2。这是m1了。

这就变成了m3了。这是二面。为什么？为什么m1上？为什么面一上分得的这个质量是在上边了，不在这个旋转中心下边了，就是因为咱刚才分析的。和它相反对不对？分析到上边去了。其他的其他的你分解就把这个质量分解到这个面上，和分解到这个面上位置都不变，对不对？位置不变大小，只不过是发生了变化，对吧？

大小发生了变化，方向不变，那有了这个公式，我们就相当于是把。三的质量三的在一面上的投影，在x轴上的投影是不？我们可以给它求出来。这么大对吧？也就说这是一面上的x方向上的投影。只要我再把一面上外方向上的投影求出来。是不就可以了，也就是说现在x方向也有了y方向也有了。x方向也有了y方向也有了，是不是就有了？我把这三个质量合成一个质量。

对不对？把这三个质量合成一个质量，能听懂吗？就是现在比如说这个面上有三个质量。有三个质量，我现在在x轴上分解了一个质量，对不对？你该加加该减减，然后在y方向上，然后通过它俩平衡啊，等等的又消除又消除了一个，得到了一个y方向上的分量有多少？x方向上有分。分量有多少，然后x方向和y方向的，

它的分量占比。占比。就不就形成了一个摊题的值吗？对吧？也就说现在外方向上的分量，比如说外方向上的分量。就这么大x方向上，分量是这么大，说最终它形成了一个西塔角，就是在这个方位上形成了一个质量，对不对？也就说是。其他三个质量在一面上形成的偏心，离心力的时候合成出来的最最终的那个质量，对吧？

最终的这个质量为什么要加派？为什么要加派？也就说你用这公式求出来的这个质量。是不是你多出来的质量，我需要在对侧。需要在对侧。加一个这么大的质量，加一个一样的质量，如果是距离一样的对吧？如果距离不一样，那反正你就保证指定机一样，对不对？执行机一样。就让它一样就可以了，对吧？

好了，接下来咱们再再来看。在外方向上的分量就这是一面的啊，这是一面上边的。这一面上边的你会发现，一面上边的分量m1r1。m2r2的分量的那个就是占占比多少多少的那个就是咱们换成欧米伽b呃，不是WB。呃叫一在一面上的分量，然后加上二在一面上的分量对不对？还有三在一面上的分量。塞在一面上的分量。在y方向上，你还得乘上一个，其他的一个cos是吧？

这是个cos值吧？45度嘛，正好对吧？把它加起来，你看这俩得加起来减它。这两个加起来减它是吧？这两个加起来在同一方向上，你就不能这个m1在一面上是不是方向相反的？它应该在在上边对吧？咱说过了吧？就有了。一二加起来减三。一二加起来减三。一二加起来减三。对吧，

一二加起来减三。然后是负的哎，刚才我刚才不是不是我说错了啊，这个就是在在对策加这个派不是在在在对策的那个意思啊。因为这已经已经是负号了，已经是在对侧了，对吧？已经是在对侧了，为什么待会儿待会儿咱再讲，为什么加这个派啊？因为这个习题编出来时间有点长了。说错了呃，听听懂了没有？这这个加派不是这个对策啊，因为这已经算出来，

加上负号是不是就已经算是对策的了，对吧？已经算是对策。得正的这个东西，这个得负的对吧？这已经算是对策了，求完了。哎，求完了之后，求完之后，你会发现这个mbrbm。就是这个w bi。就最终的我要形成的。多大的一个直径机才能够抵消，才能够抵消产生的这个离心，

或者是这个这个它已经给的这个离心的直径机啊。对吧，就就这么大，就这么大。最后求出来这个质量，因为它是咱咱们要求的是400嘛，最后求出来是14千克。同学凡是求出165千克来的。你只要一做，凡是求出165千克来的。你保准把。保准把这个一面上的分量把这个。把这个东西啊。搞混了是相反是相反。它们两个是相加再减它，

然后得一个负的，对吧？14千克千万别求出165来啊！165就错了，那么接下来咱们来来来看这个。你求出来的是负的303七三七度，为什么要加这个派呢？因为。死角在第二象限，为什么？因为。x是不是负的，也就说你建立一个坐标系，这是x这是y。x是负的，

y是正的，你看是不是第二象限？是吧，第二象限吧。第二象限里边。第二象限里边正切是不是负的？正切是正切是正切是负的，好了，正切虽然是负的，那你求出来的是第二象限，你不能。真正的这个负的30，37，三十点三7度，那就代表的是第四象限了，

如果你这么直接写的话，对不对？所以说咱们还要把它归到第二象限里边。归到第二象限里边。知道这个第二象限是怎么判断出来的吗？为什么要加派了吗？就是因为你x是负的y是正的，你看x是负的。y是正的，这不就第二象限的规律吗？好吧，对二面进行受力分析，对二面进行受力分析的时候，那就简单了，那就简单了。

对吧，有了一面，上面的有了一面上的教训，对吧？我们开始写。但是但是这个就有了一个反向了，就是一。m1r1在二面上的投影。咳。在二面上的投影和。这个m2r2在案面上的投影，它俩的方向就相反了，现在不再是相加了，对不对？是相减了。

而且还要减一个三。你为什么乘以s in 45度？是不是它是它并不是纯粹的在y轴上呢？对吧？还有一个斜斜的45度呢？对吧，得出来是这个是这个规律，然后你就可以求出来了。总体的需要多大呢？x的也也有了。x方向上也求出来了y方向也求出来了把x方向y方向加起来平方开根号是不是就得总的了？就得总的了。也就是说，我需要加这么大的，我需要加这么大的一个。

一个指定机。才能够抵消，才能够抵消那三个质量产生的离心直径计，对吧？把它一除除以400，然后得0946千克，然后一除。一除又得这个啊，为什么判断这个角度做落在第几象限，落在第几象限，落在第三象限，我们需要加派。需要加排没问题吧？落在第三象限。你x是负的呃y也是负的是不第三象限？

x是负的，y也是负的，是不第三象限里？所以说，落在第三象限依然得出来，这个是不是在第一象限里边还得加一个派对吧？跑到第三象限里边去。25644.这就是整个习题的一个讲解。好吧，接下来咱们来看53，53学完了，上边这些内容之后啊53就是叫了解内容。不考的同学可以跳过，不看了。

它考什么就考一个机构的平衡。考这种先给大家看一下考试的题型。如果你们历年都没有考过这题型同学，请跳过这一部分。如果有考的话，那请你认认真真的听讲一下好吧？这个就是选学内容了，考点一。平面机构的概念。我们平面平呃，平面平衡的概念，平面平衡的概念。平面机构，我怎么样就达到平衡了？怎么样就平衡了平面机构运动时，

因为各个构件的质心都不在一块，对不对？它产生的运动，它的惯性力惯性力有。惯性力啊，惯性力有啊，总总有在不在这个机架上边的，那我们需要平衡的时候就很麻烦。那这时候就要借助一个。叫做代换。对吧，咱们说的动代换静代换是不是上上上一节不是上一章？是不是学过的静代换动代换对吧？这是惯性力吧？呃，

把把这个惯性力惯性力偶都给它解决掉。对吧，通过。机构的质心的总惯性力，因为通过代换啊，或者等等的其他的这个受力分析，我们得到了一个总的。惯性力。总的惯性力偶。此时的总惯性力。和总的这个惯性力哦，全部由。基座来承受。对吧，全部由机架来承受嘛。

你整个的整个的机构运行是不是最终的着着力点，还是这种机机座上啊？对不对？所以说为了消除。基座上边的引起的这个动压力，就必须设法平衡。设法平衡这这一部分的总的惯性力和总的惯性力用。那就有了机构的平衡条件，平衡的条件是机构的总惯性力和总的惯性力有分别为零，这句话是考点。出个填空考考，你出个选择考考，你也就说机构平衡的条件是什么？就是机构的总的惯性力和。总的力偶都为零了。

考点二，完全平衡不部分平衡，假如一个呃机构的总的质量为m其质心的加速度为。a as.则机构的总的惯性力f1=1个负的MMS。mas food.对吧，负的由质量m不可能由于。m不可能为零，那你只能让s为零呗，对不对？让只能让不是让让置心的加速度为零呗as为零呗。as怎么为零呢？也就说g我们做平衡的时候，我们做平衡的时候要尽量使质心的位置静止不动。

是吧，至心的位置静止不动。那你这就没有整个机构就没有就没有。洞载荷了是吧？我们就给它平衡平衡掉了，没问题吧？所以说平面机构的惯性力可分为。惯性力的完全惯性力的全部平衡，就是一下让它等于零了，它有一个部分平衡就是。削弱了，削弱了一部分，但是没有让它完全的静止。削弱了一部分。其中的这个利用平衡质量平衡。

这是考研的一个重点，其他的了解其他的了解，我们接下来。就针对这个，还有这些部分平衡，这个回去自己看一看，了解一下就可以，机构的一些平衡，就像这个部分平衡啊。或者是完全平衡利用机构的完全平衡，这个都简单了，咱们接下来来说一下考研考什么东西？考研就考这种平面机构的平衡，我们直接讲一个例题，不就什么都搞搞清楚了吗？

对吧？比如说。一个四连杆机构。一个连杆连架杆置芯，在这连杆的置芯，在这这个连架杆的置芯，在这是吧？三个置芯点。三个知心点。我要我我我要对这个机构进行完全平衡，达到完全平衡，让这个机构达到完全平衡。怎么去分？怎么去搞？长度也告诉你了。

lab是130 BC=400 CD=280 lda=450。lda=450.则质则各杆的质量分别为m1=0点202千克，这个等于08千克。还有一个等于06千克。一个等于02千克，这个是02，这个呢，等于08，这样呢，等于06，06千克。质心分别是s1s2s3，然后las 1，距a点的距离是75。

这个BS 2。是200这个ds 3是150。问，怎么去计算？其实这个就用到了咱们力学的代换。代换法诶，我看那个图呢，你看其实就是这个代换法。先把质量。挪到。BC两个点上。然后再对BC两个点进行平衡，这么一平衡的话，全都平衡到a点上。对吧，

全都平衡到AD点上AD点是是不是机架，也就说我们这道题，我们这道题的思路是什么？做这一道题，就是把机构。出来一道题，让你把机构全部平衡了，我们就把所有的质心质量。往BC。往BC两个圈上。去化简也就说把这个质量啊，往这去弄，把这个质量往这去弄。把这往这来。分解一下对吧？

往这分解分解的机架上，这个就无所谓了，对不对？分解的机架上，这就无所谓了，那把BC分解完成之后。然后如何平衡BC两个点的质量啊，我就是在对侧在这个杆的对侧是不是要再加一个质量在这杆的对侧是不是再再加一个质量？就可以了，对吧？就可以了。然后把整个的质量都平衡到a和d点上，因为a点和d点是连接着基线。是不它就在机架上，你只要是平衡到这两个位置上，

这个机架上那么至心，是不是就在这个机架上了？就达到了完全平衡了，对吧？来吧看吧，就是把m1。把AB杆的质量分别分配到a和b两个脚链上。分别把这个质量分别分配到a点和b点，这个简简不简单是吧？把这两个分配到a点和b点。没问题吧？比上总距离到谁谁谁的距离。你看是s1到b点的距离比上总距离是不是到a的？分量啊，你看还是这个还是这用的这个公式？

还是那个力学的公式吧，对不对？到对侧的距离比上总距离才是到你这个面上的分量，也就说想到a点的分量是多少，那就用s的s1到b点的距离比上总距离。比上总距离有了这个公式。是吧，这一个，然后再来第二个把它求出来了，然后到AB然后BC杆呢，然后分解到。b和c上两个脚链上，也就是说现在咱们的做题思路啊，就是往脚链上分，往脚链上分。

把所有的不在脚链上的质量都往脚链上去，分都往脚链上去分。这个又给大家分了，对不对？你看mbm 2 bm 2c对吧m2c？有了这样一个。解题的一个方法。解题的一个方法。然后再把CD杆往c角链和d角链上去分。那么分完了之后。BC角链一共。一共分配了多少质量啊？是不是我们把一构件一上的质量分配到b点上，加上构件二上的质量到b点的分分量对不对？得到一个总的，

然后c的得到一个总的，然后我们再集中起来平衡m。MB和MC的。这两个质量对吧？那怎么平衡呢？那怎么平衡呢？就是在。在这你看所有的质量点是不都划分到都划分上b点和c点这两个点上去了，对不对？也就是说，我在这两个e点和f点，再加两个质量，是不是让让它平衡一下就可以了，对吧？就这个意思。

然后加一个me和MF。取ae为100，取a取df为200。这都是你自己取的，你具体你不算出来MB到a点的距离，乘起来有多大，这个这不叫这不叫指定机吗？对不对？指定机然后。再用e点的质量乘以这个距离是吧？这个距离你自己去取，你取的长，那么就是e点的e点的这个质量就小me就小。是吧m1就行。把这个求出来，

求出来还没算完，对吧？求出来没算完，把所有的质量最终都转化到a。和d上面去了，就说MA质量是多少啊？原先这个杆一上的分分解的质量。然后再加上MB的质量，再加上me的质量，对不对？整个的质量是不都落在a点的质量上了，对不对？都落在这个a点上了。对吧，就把它加起来，

然后d点的质量是不是就给它加起来？哦，原来机构所有的这个质量都最终分解到a点和d点上面去了，对不对？a点和d点上面去了。a点占了172千克，然后d点占了201千克，那么它的质心质心。至心。置信的位置在哪呢？就这个s。是不谁的质量大，谁占占比大，它就靠近谁呀？也就说，

距离和质量的分配成反比呀，对不对？距离和质心的位置成反比。对吧，没问题吧诶，就求出来了，置信的位置在哪里？听没听懂就这这心的这个距离。as las.比上l。SD.就比上这段距离，就等于质量的反比。就等于md。比上MA。

是吧，距离等于质量的反比。你这边质量越大，你这个重心是不是越靠近它？对吧？没问题吧？最终把s求出来。这就是这道题。

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23机械基础25.22第五章机械的平衡（2）

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